Upload
lara
View
35
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Lineární zobrazení. Definice 46. Nechť P a Q jsou vektorové prostory nad stejným tělesem T. Nechť A je zobrazení A : P -> Q . Říkáme, že A je lineární, právě když platí. Množinu všech lineárních zobrazení P do Q značíme L (P,Q). Na L (P,Q) definujeme operace. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Lineární zobrazení
V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www.gnu.org).
Definice 46. Nechť P a Q jsou vektorové prostory nad stejným tělesem T. Nechť A je zobrazení A : P -> Q. Říkáme, že A je lineární, právě když platí
)()())((
)()()())((
xAxATPx
yAxAyxAPyPx
Množinu všech lineárních zobrazení P do Q značíme L(P,Q). Na L(P,Q) definujeme operace
)()())(()( xBxAxBAPx
Pozn.: Množina L(P,Q) s výše uvedenými operacemi je vektorový prostor nad tělesem T s dimenzí dim L(P,Q) = dim P x dim Q (jsou-li obě dimenze konečné).
1) součet zobrazení A,B z L(P,Q) definujeme jako
)())(()( xAxAPx 2) násobení zobrazení A z L(P,Q) číslem z T definujeme jako
Dokáže toto tvrzení někdo ?
Lineární zobrazení
Definice 47. Nechť V je vektorový prostor nad T. Pak speciálně:
1) Lineární zobrazení V do V nazýváme lineární operátor na V. Množinu všech lineárních operátorů na V značíme krátce L(V).
2) Lineární zobrazení V do tělesa T nazýváme lineární funkcionál na V. Množinu všech lineárních funkcionálů na V značíme krátce V# a nazýváme ji duální prostor k V.
Pozn. : prosté zobrazení P na Q nazýváme izomorfní. prosté zobrazení V na V nazýváme regulární operátor.
Věta 9.
##2
#1
# ,,, nxxxX
Základní věta o lineárních funkcionálech : Nechť soubor vektorů X = (x1, x2, … , xn ) je báze V. Potom soubor
kde xi# jsou souřadnicové funkcionály, je bází duálního prostoru V#
(duální báze k X). Duální prostor má tedy stejnou dimenzi. Dále pro každý funkcionál φ z V# platí, že souřadnice φ v bázi X# získáme jako
)(,),(),( 21 nxxx
Lineární zobrazení
Zobrazení z R3 do prostoru polynomů nejvýše prvního stupně P1
3212103221
110
3321
tj.)()(
)(),,(
tAx
ttpx PRPříklad
Zobrazení z R3 do tělesa R
),,( 3213
321 Axx RPříklad
Zobrazení z P2 do P2
02 tj.2
)()(
2211021
22210
22210
tAp
tttqtttp PP
Příklad
Zobrazení z R3 do prostoru R3
),,(
),,(),,(
3213221
3321
3321
Ax
yx RR
Příklad
Lineární zobrazení
Definice 48.Nechť A je zobrazení z L(P,Q). Číslo dim A(P), tj dimenzi oboru hodnot, nazýváme hodností zobrazení a značíme h(A). Vzor jednoprvkové množiny {θ} nazýváme jádro zobrazení a značíme ker A.
θθ
ker A
Množina ker A je podprostorem P. Číslo dim ker A(P), tj dimenzi jádra, nazýváme defektem zobrazení a značíme d(A).
Pozn. : Prosté zobrazení zachovává lineární závislost a nezávislost, tj. je-li vzor souboru LN, pak i jeho obraz je LN a obráceně.
Pozn. : Lineární zobrazení převede podprostor (lineární obal nějakého souboru z P) opět na podprostor (lineární obal nějakého souboru z Q), tj. :
nn AxAxAxxxxA ,,,,,, 2121
Pozn. : vždy buď {θ}, nebo nekonečná
množina.
Lineární zobrazení
Určete jádro zobrazení z R3 do prostoru polynomů nejvýše prvního stupně P1
3212103221
110
3321
tj.)()(
)(),,(
tAx
ttpx PR
Příklad
Nejprve si uvědomme, co je nulový vektor v P1 - je jím polynom θ(t) = 0 + 0t . Určíme všechny vektory z R3, které se na něj zobrazí:
32121
3221
00
)()()(
tAxt
To nás dovede na soustavu
0
0
32
21
32
31
)1 ,1- ,1(nebo ) ,- ,( 3333 xx TR
Lineární zobrazení
Určete jádro zobrazení z R3 do tělesa R
),,( 3213
321 Axx RPříklad
Musí platit 0 321 Ax což nás vede na jednoduchou soustavu
321321 0
a řešením je tedy
, ),,( 323
3232 TRR x
což lze ekvivalentně zapsat pomocí lineárního obalu dvou LN řešení:
1,0 )1,0,1(
0,1 )0,1,1(
323
2
323
1
R
R
x
x
)1,0,1(),0,1,1( x
Lineární zobrazení
Určete jádro zobrazení z P2 do P2
02 tj.2
)()(
2211021
22210
22210
tAp
tttqtttp PP
Příklad
Nulový vektor v P2 - je jím polynom θ(t) = 0 + 0t +0t2 . Určíme všechny vektory z P2, které se na něj zobrazí:
221 02)( tt Apt
To nás dovede na soustavu 02,0 21 kde se α0 vůbec nevyskytuje a můžetedy být libovolné. Jádro zobrazení je proto
)0,0,( 03
0 TCR x
)0,0,1(x
Lineární zobrazení
Nalezněte jádro zobrazení z R3 do R3 Příklad
Řešíme rovnici 0)0,(0,),,( 313221 Ax tj. soustavu
0
0
0
111
110
011
0
0
0
100
110
011
0
0
0
100
010
011
0
0
0
100
010
001zjevně jen x = (0, 0, 0), tj. ker A = {θ}.
),,(
),,(),,(
3213221
3321
3321
Ax
yx RR
Lineární zobrazení
Věta 10.
ii yAxni )ˆ(
Nechť P, Q jsou vektorové prostory nad T. Nechť soubor vektorů X = (x1, x2, … , xn ) je báze P, Y = (y1, y2, … , yn ) je libovolný soubor vektorů z Q. Potom existuje právě jedno lineární zobrazení A z L(P,Q) takové, že
Jinými slovy : lineární zobrazení lze určit tak, že předepíšeme obrazy vektorů z jedné libovolně zvolené báze P. Zobrazení má pak tvar
n
iii ywxAww
1
# )()( P
Souřadnice vektoru w v bázi X
Vektory z Y
Pozn. : Toto je běžný způsob zadávání lineárního zobrazení – předepíšeme, na co se zobrazí soubory z nějaké báze (nejčastěji standardní, je-li zavedena).
Lineární zobrazení
3212103221
110
3321
tj.)()(
)(),,(
tAx
ttpx PRPříklad
Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto:
),,( 3213
321 Axx RPříklad
Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto:
tpAAe
tpAAe
pAAe
1)1,0,0(
11)0,1,0(
1)0,0,1(
33
22
11
1)1,0,0(
1)0,1,0(
1)0,0,1(
33
22
11
kAAe
kAAe
kAAe
3
1
# )(i
ii pxeAx
3
1
# )(i
ii kxeAx
Lineární zobrazení
02 tj.2
)()(
2211021
22210
22210
tAp
tttqtttp PPPříklad
Příklad
Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto:
tqtteAAe
qtteAAe
qteAAe
2)(
1)(
01)(
32
33
222
111
3
1
# )(i
ii qpeAp
Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto:
)1,1,0()1,0,0(
)1,1,1()0,1,0(
)1,0,1()0,0,1(
13
22
11
yAAe
yAAe
yAAe
3
1
# )(i
ii yxeAx
),,(
),,(),,(
3213221
3321
3321
Ax
yx RR
Lineární zobrazení
3321
3321 ),,(),,( RR yxPříklad
Zkonstruujte předpis operátoru na R3, víte-li, že na standardní bázi působí takto:
)1,1,1()1,0,0(
)3,2,1()0,1,0(
)0,1,2()0,0,1(
13
22
11
yAAe
yAAe
yAAe
110
3321 )(),,( PR ttpx Příklad
Zkonstruujte předpis zobrazení R3 do P1, víte-li, že na standardní bázi působí takto:
233
22
11
23)1,0,0(
1)0,1,0(
1)0,0,1(
ttpAAe
tpAAe
tpAAe
Izomorfní vektorové prostory
Definice 49.Nechť P a Q jsou vektorové prostory nad T. Existuje-li izomorfní zobrazení (tj. prosté a na) A : P -> Q, říkáme, že P a Q jsou izomorfní a značíme
Pozn. : existuje-li mezi prostory zobrazení prosté a na, pak lze vektory obou prostorů přiřadit „jedna k jedné“ a prostory tudíž mají mnoho shodných vlastností. Zejména platí, že
QP
QP dimdim
a dále, že každý vektorový prostor o konečné dimenzi n se chová stejně, jako prostor n-tic Tn. To zajišťuje izomorfní zobrazení
)(,),(),()( ##2
#1 yxyxyxAxVy nn
tj. zobrazení, které převede libovolný vektor na n-tici jeho souřadnic v nějaké bází X = ( x1, x2, … , xn ). Tomuto zobrazení se někdy říká souřadnicový izomorfizmus.
Matice lineárního zobrazení
Označme si : bázi prostoru Pm , dim Pm = m mxxxX ,,, 21
bázi prostoru Qn , dim Qn = n nyyyY ,,, 21
bázi prostoru Vs , dim Vs = s swwwW ,,, 21
Definice 50.Nechť A je zobrazení z L(P, Q). Matici XAY z prostoru Tmn, jejíž prvky budeme značit XAij
Y, definovanou
)()ˆ)(ˆ( #ij
Yij
X AxyAnjmi
nazýváme maticí zobrazení A v bázích X, Y. Speciálně pro zápis matice operátoru v té samé bázi značíme matici jednodušeji jako XA
Matici konstruujeme následovně. Necháme zobrazení působit na první bazický vektor z prostoru P. Výsledkem je nějaký vektor z prostoru Q. Najdeme jeho souřadnice v bázi Y a zapíšeme je jako první sloupec hledané matice. Pak vezmeme další bazický vektor P, postup zopakujeme, výsledek zapíšeme do druhého sloupce a tak dále.
Pozn. : odsud plyne, že dim L(Pm , Qn) = mxn.
Matice lineárního zobrazení
Věta 11.
),( smLBAC VP
Nechť A je zobrazení z L(Qn, Vs), B je zobrazení z L(Pm, Qn). Pro matici složeného zobrazení
platí
YXWYWX BABA tj. že skládání zobrazení je ekvivalentní vynásobení jejich matic, pokud si v „prostředním přestupném“ prostoru zvolíme společnou bázi:
Pm -> Qn -> Vs báze prostoru Qn nyyyY ,,, 21
Věta 12.Nechť A je zobrazení z L(Pm, Qn). Potom platí, že obraz vektoru z z Pm lze získat vynásobením sloupce jeho souřadnic ve zvolené bázi X a matice zobrazení. Výsledek je sloupec souřadnic obrazu ve zvolené bázi Y.
So
uřa
dn
ice
Az
v Y
So
uřa
dn
ice
z v
XMatice zobrazení A v bázích X, Y
XAY
= x
Lineární zobrazení
Nalezněte matici zobrazení z R3 do prostoru polynomů nejvýše prvního stupně P1 ve standardních bázích
3212103221
110
3321
tj.)()(
)(),,(
tAx
ttpx PR
Příklad
tpAAe
tpAAe
pAAe
1)1,0,0(
11)0,1,0(
1)0,0,1(
33
22
11
Takto působí A na standardní bázi R3
Jelikož standardní báze P1 jsou polynomy 1 a t, budou souřadnice p1, p2 a p3 v této bázi )1,0()1,1()0,1( 321 ppp
Tato čísla napíšeme do sloupců a získáme matici
110
011 A
Pozn. : zkuste zobrazením „prohnat“ vektory (1,-1,2) a (3,2,1) nejprve normálně a pak přes matici. Výsledky srovnejte. Utvořte matice od dalších zobrazení a ověřte na bazických vektorech.
Souvislost se soustavami rovnic
Vektorovou lineární rovnicí nazýváme rovnost bAx kde A je zobrazení zL( P, Q) , x vektor z P a b vektor z Q. Rovnice má zjevně řešení pouze v tom případě, že b leží v oboru hodnot A . Pokud je b nulový vektor, nazýváme rovnici homogenní, je-li nenulový, nazýváme rovnici nehomogenní. Množinou všech homogenních řešení je
AAxx ker PS0množinu nehomogenních řešení značíme
)(1 bAbAxx PS
Homogenní lineární rovnice má vždy alespoň jedno řešení – nulový vektor. Pokud A je prosté, pak homogenní i nehomogenní rovnice má právě jedno řešení.
Zapíšeme-li zobrazení maticí a vektor souřadnicemi, pak je vektorová rovnice převedena na soustavu číselných lineárních rovnic.
Pozn. : vlastnosti matic a zobrazení jsou svázány, například hodnost zobrazení můžeme definovat jednoduše jako hodnost jeho matice (která zůstává stejná nehledě na volbu bází).
Souvislost se soustavami rovnic
Věta 12.
AabA ker)(1 S
Nechť A je zobrazení z L(P, Q), b je vektor z Q. Nechť existuje vektor w z P tak, že splňuje rovnici Aw = b. Potom platí, že množina všech řešení rovnice Ax = b se dá zapsat jako
Zde vidíme souvislost s Frobeniovou větou. Množina ker A není nic jiného, než množina všech řešení homogenní soustavy Ax = θ, tj. řešení homogenní soustavy číselných lineárních rovnic tvořené maticí zobrazení. Vektor w je pak partikulární řešení negomogenní soustavy.
Hledání řešení vektorové lineární rovnice (v prostoru konečné dimenze ovšem) se tak dá vždy převést na hledání řešení soustavy číselných lineárních rovnic.
ker A
řešení homo-genní s.
všechna řešení
partikulární řešení w
Inverzní operátor a matice
Definice 51.Zobrazení E : V -> V definované vztahem xExx )( V
Nechť A a B jsou regulární operátory L(V). Potom AB je také regulární a platí (AB)-1 = B-1A-1.
nazýváme identita (identické zobrazení). Pro libovolný operátor z L(V) platí AE = EA = A.
Pro regulární A z L(V) existuje operátor A-1 tak, že A-1A = AA-1 = E. Pozn.: pouhá prostota operátoru takovou existenci nezajišťuje (V může mít i nekonečnou dimenzi). Dále platí (A-1)-1 = A.
Věta 13.
Definice 52.Matici A z Tnn nazýváme čtvercovou maticí řádu n. Čtvercovou matici řádu n nazveme regulární, právě když její hodnost h(A)=n. Pokud h(A)<n, nazýváme ji singulární.
Matici E z Tnn, kde nazýváme jednotkovou.
Pozn.: pro čtvercové matice libovolného řádu platí A.E = E.A = A. Operátor je regulární právě tehdy, je-li regulární jeho matice (na Vn).
ijij E
Nechť A je operátor z L(Vn), X je báze Vn. Potom platíVěta 14.
EAx EA Tj. matice identity v libovolné bázi je jednotková matice.
Inverzní operátor a matice
Buď A regulární matice z Tnn. Potom existuje právě jedna regulární matice B z Tnn tak, že platí A.B = B.A = E. Tuto matici nazýváme inverzní k A a značíme ji A-1.
Věta 15.
Buď A regulární operátor z L(V), XA jeho matice v bázi X. Potom platí, že matice inverzního operátoru je inverzní matice operátoru původního, tj. :
Věta 16.
11 )()( AA xX
Gaussova metoda k nalezení inverzní matice : Každou regulární matici A z Tnn lze ekvivalentními řádkovými úpravami převést na jednotkovou. Převedeme-li ( A | E ) ekvivalentními řádkovými úpravami na tvar ( E | B ), pak matice B je inverzní k A.
Věta 17.
1~
AEEA
Neplatí to ale pro matici v různých bázích.
Vlastní čísla a vektory
Definice 53.Nechť V je vektorový prostor nad T, nechť A je operátor z L(V), nechť λ je číslo z tělesa T. Říkáme, že λ je vlastním nebo charakteristickým číslem operátoru A, právě když existuje vektor x ≠ θ takový, že
xAx tj. že operátor A protáhne (zkrátí) vektor x na λ-násobek. Vektor x pak nazýváme vlastním nebo charakteristickým vektorem operátoru A.
Množinu všech vlastních čísel operátoru nazýváme spektrum a značíme σ(A).
xEAExAx
xAxxAx
)(
Pozn. : Pro vlastní číslo λ a vlastní vektor x operátoru A platí
Vlastní čísla a vektory
Nechť a je operátor z L(V), λ je vlastní číslo A. Vlastních vektorů příslušejících k vlastnímu číslu λ je nekonečně mnoho a po přidání nulového vektoru tvoří podprostor prostoru V (nějaký lineární obal).
Nechť λ1, λ2, …, λk jsou navzájem různá vlastní čísla operátoru A, nechť x1, x2, …, xk jsou k nim příslušné vlastní vektory. Potom soubor vektorů ( x1, x2, …, xk ) je lineárně nezávislý.
Věta 18.
)()()( 1111 xxAxxA
Důkaz první části : Buďte x1,x2 navzájem různé vlastní vektory příslušné k vlastní-mu číslu λ. Potom platí, že
tj., vektor αx1 je rovněž vlastní vektor příslušný k λ, a zároveň
)()( 21212121 xxxxAxAxxxA tj., vektor x1 + x2 je rovněž vlastní vektor příslušný k λ. Podmnožina všech vlastních vektorů příslušných k λ je tedy uzavřená vůči vektorovým operacím a sama je vektorovým prostorem.
Vlastní čísla a vektory
Definice 54.Nechť A je operátor z L(V). Determinant matice operátoru (A – λE) jakožto funkce proměnné λ je polynom stupně právě n:
nnnn
n
n
21
22212
12111
)det( EA
Rovnici det (A – λE) = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí operátoru A. Její kořeny tvoří spektrum operátoru A (jsou-li z tělesa).
Pozn. : v prostorech nad komplexním tělesem má každý operátor alespoň jedno vlastní číslo – to plyne ze základní věty algebry.
Pozn. : vlastní čísla operátorů jsou důležitá zejména pro kvantovou mechaniku. Tam ovšem pracujeme s operátory na prostorech nekonečné dimenze a charakteristický polynom vytvořit nelze – pro hledání vlastních čísel je potřeba použít jiné metody.
Skalární součin
Definice 55.Buď V prostor nad T, buď h zobrazení V x V -> T následujících vlastností:
0),(),()4
),(),())(()3
),(),())()(()2
),(),(),(
))()(()1
xxhxx
xyhyxhyx
zxhzxhzx
zyhzxhzyxh
zyx
V
VV
VTV
VVV
Zobrazení h nazveme skalárním součinem na prostoru V, výraz ),( xxh nazývámenormou na prostoru V a značíme jej ||x||. Příkladem skalárního součinu je
n
iiiyx
1
kde x = (α1, α2, … , αn) a y = (β1, β2, … , βn) jsou souřadnice vektorů x, y ve standardní bázi. Součin nazýváme překvapivě standardní skalární součin.
Skalární součin
Pro skalární součin a normu lze dokázat následující vlastnosti:
yxyx
yxyx
xx
xx
xx
zxyxzyx
)6
)5
)4
0)3
0)2
)()()1
Schwarzova nerovnost
Trojúhelníková nerovnost
Ortogonalita
Definice 56.Buď V prostor nad T se skalárním součinem. Vektory x, y z V nazveme ortogonální (kolmé), právě když jejich skalární součin x∙y = 0. Soubor vektorů x1, x2, …, xn nazýváme ortogonální, právě když
)0)(,ˆ,( ji xxjinji
Pozn. : pro ortogonální vektory x, y platí Pythagorova věta ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 a opačně – platí-li pro vektory Pythagorova věta, jsou ortogonální.
Pozn. : každý ortogonální (a tím spíše ortonormální) soubor vektorů je lineárně nezávislý
Soubor nazveme ortonormální, právě když
))(ˆ,( ijji xxnji
Pozn. : pro každý lineární obal [x1, x2, …, xn]λ lze najít ortonormální soubor
nm xxxyyy ,,,,,, 2121
takový, že [x1, x2, …, xn]λ = [y1, y2, …, ym]λ - tj. vždy existuje ortonormální báze. Například v prostorech se standardním součinem jsou standardní báze ortonormální.
Riezsova věta
Riezsova věta : Mějme vektorový prostor V se skalárním součinem. Zvolme pevně vektor y. Přiřadíme-li pak každému vektoru x z V číslo předpisem
získali jsme lineární funkcionál na V:
ke každému vektoru y z V jsme tak našli lineární funkcionál. Na prostorech konečné dimenze (a v dalších speciálních prostorech) to jde i obráceně – ke každému funkcionálu existuje vektor y takový, že
Věta 19.
tj. :
yxx :
TV :
yxx )(
yxxxy )())(( 1# VVV
Pozn. : vektorový prostor a příslušný duální prostor jsou touto větou velmi těsně svázány : jeden vektor – jeden funkcionál. Možnost zaměnit funkcionál a vektor je opět zhusta využíváno v kvantové mechanice.
Sdružený operátor
Buď A operátor na prostoru konečné dimenze V. Potom existuje právě jeden operátor označený A* takový, že platí
)*()())(( yAxyAxyx VV
Definice 57.
Operátor A* nazýváme sdružený k operátoru A. Pro sdružené operátory platí:
)6
*,*)5
*)*()4
**)*()3
*)*()2
**)*()1
EE
AA
ABAB
AA
BABA
Je-li A regulární, pak i A* je regulární a platí (A*)-1 = (A-1)*.
Sdružený operátor
Ve speciálních případech operátory nazýváme:Definice 58.
CT
RT
EAAAA
CT
RT
AA
AAAA
**)3
*)2
**)1 normální
samosdružený
symetrický
hermitovský
izometrický
ortogonální
unitární
Pozn. : „hvězdičkování“ operátorů je do jisté míry analogie „pruhování“ komplexních čísel – tj. vytváření komplexně sdružených čísel. Například samosdružené operátory hrají roli reálných čísel v komplexní rovině.
Sdružený operátor
Nechť A je matice řádu n. Matici A* řádu n definujme jako (A*)ij = Aji a nazýváme ji sdruženou k A. Podle vlastností A pak nazýváme
Definice 59.
CA
RA
EAAAA
CA
RA
AA
AAAA
ij
ij
ij
ij
**)3
*)2
**)1 normální
samosdružená
symetrická
hermitovská
izometrická
ortogonální
unitární
Pozn. : matice operátoru v ortonormální bázi X (např. standardní) mají stejné vlastnosti jako sám operátor – tj. normální operátor má normální matici, hermitovský operátor má hermitovskou matici (a tak podobně) a platí
*)(*)( AA XX
Sdružený operátor
Buď A operátor na prostoru konečné dimenze se skalárním součinem V. Potom platí:
Věta 20.
1) Je-li A samosdružený, pak det A je reálný.
2) Je-li A izometrický, pak det A = 1.
3) Je-li A ortogonální, pak existuje ortonormální báze, ve které má A matici ve tvaru
kk
kk
cossin
sincos
cossin0
sincos
1
1
01
1
11
11
Sdružený operátor
Důsledek - na prostorech dimenze 2 jsou jen čtyři možnosti, jak zkonstruovat ortogo-nální operátor:
10
01operátor identity (E)
10
01operátor překlopení podle osy
10
01operátor souměrnosti podle počátku
cossin
sincosoperátor rotace o úhel φ
Shrnutí
• Lineární zobrazení, operátor a funkcionál
• Duální prostor
• Jádro zobrazení, předpis zobrazení bazickými vektory
• Izomorfizmus
• Matice lineárního zobrazení
• Souvislost lineárních zobrazení a soustav rovnic
• Inverzní operátor a matice
• Vlastní čísla a vektory
• Skalární součin a norma
• Ortogonalita
• Riezsova věta
• Sdružené operátory