Lineární zobrazeníLineární zobrazení

Zobrazení Zobrazení ff množiny množiny AA do množiny do množiny B B

f:f: AA BB

je taková relace f mezi množinami A, B, která splňuje vlastnost:

ke každému x A existuje právě jedno y B tak, že f(x) = y

Zobrazení f: U Zobrazení f: U W je lineární W je lineární ( (U, W jsou vektorové prostoryU, W jsou vektorové prostory ) )

f(u + v) = f(u) + f(v)

f(au) = af(u)

u, v U a a R

Příklady lineárního zobrazeníPříklady lineárního zobrazení

Zobrazení, které přiřadí každé matici matici k ní transponovanou. (aA + bB)T = aAT + bBT

Zobrazení, které přiřadí každému polynomu jeho první derivaci. (af + bg)´ = a (f´ ) + b (g´ )

Zobrazení, které přiřadí každému polynomu jeho druhou derivaci.

Obraz nulového vektoruObraz nulového vektoru

Obrazem nulového vektoru je v lineárním zobrazení

opět nulový vektor

Nechť U, W jsou vektorové prostory, Nechť U, W jsou vektorové prostory,

ff:: U U W je lineární zobrazení. W je lineární zobrazení. f(U) = {y W: y = f(x), x U }

Označme f(U) = Im f

f(U) je podprostor ve W

Nazývá se obraz vektorového prostoru U v zobrazení f a značí se Im f.

Jeho dimenzi nazveme hodností lineárního zobrazení f. Platí tedy: hod f = dim f(U).

ZZobrazení je obrazení je určeno obrazy určeno obrazy vektorů bázevektorů báze

Nechť B = b1, b2, …, bn je uspořádaná báze

vektorového prostoru U a nechť w1, w2, …, wn jsou vektory z prostoru W.

Pak existuje právě jedno zobrazení f: U W takové, že

f(bi) = wi, i = 1, 2, ..., n.

Lineární zobrazení přiřazuje lineárně závislým vektorům opět lineárně závislé vektory.

Lineární zobrazení může lineárně nezávislým vektorům přiřadit vektory lineárně závislé.

U, W jsou vektorové prostory, U, W jsou vektorové prostory, f: U f: U W je lineární zobrazení W je lineární zobrazení

Množinu všech vektorů z U, které se zobrazí do nulového vektoru prostoru W, nazýváme jádro zobrazení f.

Značíme: Ker f = {x U: f(x) = oW }

Jádro lineárního zobrazení je podprostor v U

Dimenze jádra lineárního zobrazení f se nazývá defekt lineárního zobrazení f.def f = dim Ker f

Matice lineárního zobrazeníMatice lineárního zobrazeníNechť f: U W je lineární zobrazení,

B = b1, b2, …, bn je uspořádaná báze

vektorového prostoru U a F = f1, f2, …, fm je

uspořádaná báze vektorového prostoru W.

Vyjádřeme obrazy vektorů báze B v bázi F:f(b1) = a11f1 + a12f2 + … + a1mfm

f(b2) = a21f1 + a22f2 + … + a2mfm

f(bn) = an1f1 + an2f2 + … + anmfm

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22212

12111

Matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím B, F

Lineární zobrazení f: R3 R3 je definováno

vztahem f((x1, x2, x3)) = (x2 + x3, 2x1 + x3, x1 – 3x2 + x3)

Najděte matici tohoto lineárního zobrazení

131

102

110

Najdeme obrazy vektorů kanonické báze prostoru R3.

(1, 0, 0) (0, 2, 1)(0, 1, 0) (1, 0, –3)(0, 0, 1) (1, 1, 1)

Hodnost lineárního zobrazeníHodnost lineárního zobrazení

 

je rovna hodnosti matice A tohoto lineárního zobrazení

hod f = dim f(U) = dim Im f

hod f = hod A

Hodnost lineárního zobrazeníHodnost lineárního zobrazení

 

hod f = hod A = dim f(U) = dim Im f

def f = dim Ker f

dim f(U) + dim Ker f = dim U

hod f + def f = dim U

Lineární zobrazení je definováno vztahy: f(1, 2) = (–2, 1), f(2, 1) = (6, –3).

Určete matici tohoto zobrazení Určete hod f, Ker f a def fNajděte všechny vektory u, které se zobrazí

do vektoru (4, –2), tj. f(u) = (4, –2).

Na které vektory se při daném zobrazení zobrazí vektory kanonické báze?

2,11,20,1

2,11,21,0

31

32

32

31

36

310

37

314

,

,

6,–32,1–

6,–32,1–

31

32

32

31

57

1014

3

1

35

37

310

314

57

1014

3

1 5,7

hod A = hod f = 1

def f = dim R2 – hod f = 2 – 1 = 1

Jádro zobrazeníJádro zobrazení

0

0.

57

1014

3

1

2

1

x

x

soustava dvou závislých rovnic o dvou neznámých 7x1 – 5x2 = 0 x = k.(5, 7), kde k R

Ker f = {x R2 : x = k.(5, 7), k R}

2

4.

57

1014

3

1

2

1

u

u

soustava dvou závislých rovnic o dvou neznámých

7u1 – 5u2 = 6 u = (3, 3) + t.(5, 7), kde t R

Pro všechny vektory Pro všechny vektory uu, které se zobrazí , které se zobrazí na vektor (4, –2) platí:na vektor (4, –2) platí:

Změna matice lineárního zobrazení Změna matice lineárního zobrazení při změně bázepři změně báze

Lineární zobrazení f: R3 R3 je určeno maticí A vzhledem ke kanonické bázi E.

Najděte matici B tohoto zobrazení vzhledem k bázi F = (0, 1, 1), (2, 0, –1), (–1, 1, 1).

201

110

211

A

1. obrazy vektorů báze 1. obrazy vektorů báze FF ve zobrazení ve zobrazení ff

1

1

0

.

201

110

211

2

0

1

f(f1) = (1, 0, –2)

f(f2) = (0, 1, 4) f(f3) = (0, 0, –3)

2. souřadnice obrazů vektorů báze 2. souřadnice obrazů vektorů báze vyjádříme vzhledem k bázi vyjádříme vzhledem k bázi FF

(1, 0, –2) = –3.(0, 1, 1) + 2.(2, 0, –1) + 3.(–1, 1, 1)

(0, 1, 4) = 7.(0, 1, 1) – 3.(2, 0, –1) – 6.(–1, 1, 1)

(0, 0, –3) = –6.(0, 1, 1) + 3.(2, 0, –1) + 6.(–1, 1, 1)

matice B tohoto zobrazení vzhledem k bázi F je

663

332

673

B

Lineární zobrazení f: R3 R2 je určeno maticí A vzhledem ke kanonickým bázím E, F. Najděte

matici B tohoto zobrazení vzhledem k bázím G, H, je-li

G = (1, 1, 1), (0, 1, 2), (2, –1, 1), H = (1, 1), (2, 3)

111

132A

1. obrazy vektorů báze 1. obrazy vektorů báze GG ve zobrazení ve zobrazení ff

1

1

1

.111

132

3

0 f(g1) = (0, 3)

f(g2) = (–1, 3) f(g3) = (8, 2)

2. souřadnice obrazů vektorů báze 2. souřadnice obrazů vektorů báze vyjádříme vzhledem k bázi vyjádříme vzhledem k bázi HH

(0, 3) = –6.(1, 1) + 3.(2, 3)

(–1, 3) = –9.(1, 1) + 4.(2, 3)

(8, 2) = 20.(1, 1) – 6.(2, 3)

matice B tohoto zobrazení vzhledem k bázím G, H je

643

2096B