ÇIKIŞ

Tanım: m , n eleman pozitif doğal sayılar için, (i = 1, 2, 3, ... , m : j = 1, 2, 3, ... , n) olmak üzere, aij

reel sayılardan oluşturulan;

a11 a12 .. a1j .. a1n

a21 a22 .. a2j .. a2n

. . . .

. . . .

. . . .

ai1 ai2 .. aij .. ain

. . . .

. . . .

am1 am2 .. amj .. amn

j. sütun

i. satır

Tablosuna, m x n biçiminde (tipinde) bir matris denir.

KONULARÇIKIŞ

A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve aij elemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir. aij elemanı, A matrisinin i. Satırı ile j. Sütununun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = [ aij ]m x n şeklinde gösterilir. Burada , m matrisin satır sayısını, n ise sütun sayısını gösterir.

A matrisinin, ai1, ...., aij ...., ain elemanlarına i. Satır elemanları;

a1j, ...., aij ...., amj elemanlarına da j. Sütun elemanları denir.

Örnek: Aşağıdaki matrislerin biçimlerini belirtelim.

a. 1 -2 3 b. -2 -1 3 c. -1

0 4 -1 0 2 5 4

4 -2 7

Çözüm:

a. 3 x 2 biçiminde

b. 3 x 3 biçiminde

c. 2 x 1 biçiminde

KONULARÇIKIŞ

Tanım: A= [ aij ]m x n matrisinin her satırına, satır matrisi ( satır vektörü ) denir.

B1 = [ a11 a12 ... a1n ] ( 1. Satır matrisi) A matrisi satır matrisine bağlı olarak ,

B2 = [ a21 a22 ... a2n ] ( 2. Satır matrisi)

. . . B1

. . . A = [ aij ]m x n = B2 şeklinde

Bm = [ am1 am2 ... amn ] ( m. Satır matrisi) : gösterilir.

Bm

Tanım: A= [ aij ]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi ( sütun vektörü ) denir.

a11 a12 a1n

A1 = a21 , A2 = a22 , ...... , An = a2n

: : :

am1 am2 amn

A1 : birinci sütun matrisi

A2 : ikinci sütun matrisi

: : : :

An : n. sütun matrisi

A matrisi sütun matrislerine bağlı olarak, A = [ aij ]m x n = [A1 A2 A3 .... An] şeklinde gösterilir.

KONULARÇIKIŞ

KARE MATRİS:

Tanım: n x n tipindeki [ aij ]m x n matrisine, n. sıradan (basamaktan ya da mertebeden) kare matris denir.

Örnek: 3 -4 matrisi 2. sıradan bir kare matristir.

1 5

SIFIR MATRİSi:

Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise, sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir.

Örnek: O = 0 0 0 matrisi, 2x3 tipinde bir sıfır matristir. 0 0 0 2x3

BİRİM MATRİS:

Tanım: Asal köşegen üzerendeki elemanları bir diğer elemanları sıfır olan kare matrise birim matris denir. N x n tipindeki bir birim matris In ile gösterilir.

Örnek: 1 0 0 0 0 1 0 0I4 = 0 0 1 0

0 0 0 1 Asal

köşegen

Matrisi, 4. Sıradan bir birim matristir. I4 ile gösterilir.

KONULARÇIKIŞ

Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrislere eşit matrisler denir.

Her (i, j) eleman M x N için, aij = bij ise [ aij ]m x n = [ bij ]m x n dir.

Örnek: 5a 3a + 2b 4 x

A = a + 2b 5b ve B = y 2 olmak üzere, A = B ise, kaçtır?

Çözüm: A = B ise 5a 3a + 2b 4 x

a + 2b 5b y 2

x

y

Matrislerinin eşitliğinden,

5a = 4, 5b = 2, 3a + 2b = x, a + 2b = y olduğundan,

5a = 22

5b = 2 ise 52b = 22 ise 5a = 52b den, a = 2b olur. Bulunan değer de yerinde yazılırsa;

x 3a + 2b 3(2b) + 2b 8b

y a+ 2b 2b + 2b 4b

x

y

2 bulunur.

KONULARÇIKIŞ

Tanım: A = [ aij ]m x n ve B = [ bij ]m x n matrisleri verilmiş olsun.

A + B = [ aij ]m x n + [ bij ]m x n matrisine , A ve B matrislerinin toplamı denir.

O halde matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır.

Örnek: A matrisi, (m + 1) x 2 ; B matrisi, (n + 1) x (p –2) ve A + B matrisi 3 x k biçiminde ise (m + p + k) kaçtır?

Çözüm: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre;

m + 1 = n + 1 Λ p – 2 = 2 ise m = n Λ p = 4

3 x k = (m + 1) x 2 den m + 1 = 3 Λ k = 2

m = n = 2, p = 4, k = 2 olmalıdır. m + p + k = 2 + 4 + 2 = 8 dir.

KONULARÇIKIŞ

Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi:

Tanım: A = [ aij ]m x n matrisi verilmiş olsun. –A = [ -aij ]m x n matrisine , A = [ aij ]m x n matrisinin toplama işlemine göre tersi denir.

Örnek:

A = matrisinin toplama işlemine göre tersi, matrisidir.

-2 1 3

4 5 -6

2 -1 -3

-4 -5 6

KONULARÇIKIŞ

TOPLAMA İLEMİNİN ÖZELLİKLERİ:

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ:

A = [ aij ]m x n ve B = [ bij ]m x n matrisleri için,

A +B = [ aij ]m x n + [ bij ]m x n

= [ aij + bji]m x n = [ bji + aji]m x n

= B + A dır.

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ:

A = [ aij ]m x n , B = [ bij ]m x n ve C = [ cij ]m x n matrisleri için

A + (B + C) = [ aij ]m x n + ( [ bij ]m x n + [ cij ]m x n )

= [ aij ]m x n + [ bij + cji ]m x n = [ aij + (bij + cij) ]m x n

= [ (aij + bij )+ cij ]m x n = [ aij + bij ]m x n + [cji ]m x n

= ( [ aij]m x n + [bij ]m x n ) + [cji ]m x n

= (A + B) + C olur.

KONULARÇIKIŞ

ETKİSİZ ELEMAN (SIFIR MATRİSİ) :

A = [ aij ]m x n , O = [ 0 ]mxn matrisleri için,

A + O = [ aij ]m x n + [ 0 ]mxn = [ aij + 0]m x n = [ aij ]m x n = A

O + A = [ 0 ]mxn + [ aij ]m x n = [ 0 + aij]m x n = [ aij ]m x n = A dır.

TERS MATRİS:

A + ( -A ) = [ aij ]m x n + [ -aij ]m x n = [ aij -aij ]m x n = [ 0ij ]mxn

( -A ) + A = [ -aij ]m x n + [ aij ]m x n = [ -aij + aij ]m x n = [ 0ij ]mxn dir.

KONULARÇIKIŞ

İKİ MATRİSİN FARKI:

Tanım: A = [ aij ]m x n , B = [ bij ]m x n matrislerinin farkı,

A – B = A + (-B) = [ aij ]m x n + [ -bij ]m x n = [ aij – bij ]m x n dir.

MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI:

Tanım: k skalar sayısı ve A = [ aij ]m x n matrisi verilmiş olsun.

k . A = [ aij ]m x n = [ k . aij ]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir.

Örnek: 2 -3

4 1

Matrisi ve k = 2 sayısı için, k . A matrisini bulalım.

Çözüm: 2 -3 2 . (2) -3 . (2) 4 -6

4 1 4 . (2) 1 . (2) 8 2Bulunur.k . A = 2 .

KONULARÇIKIŞ

SKALARLA ÇARPMANIN ÖZELLİKLERİ:

Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k1, k2 olsun. Her A = [ aij ]m x n ve B = [ bij ]m x n matrisleri için:

1. k . (A + B) = k . A + k . B

2. (k1 + k2) . A = k1 . A + k2 . A

3. k1 . (k2 . A) = (k1 . k2) . A

KONULARÇIKIŞ

Tanım: iki matrisin çarpılabilmesi için 1. Matrisin sütun sayısı 2. Matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. A= [ aij ]m x n B = [ bjk ]n x p olmak üzere;

Elemanları cik = aij . b1k + ai2 . b2k +.....+ ain . bnk toplamıyla bulunan C = [ cik ]m x p matrisine, A ve B matrislerinin çarpımları denir ve

C m x n = A m x n . B n x p biçiminde gösterilir.

1 -2 0 1 -4 3 3 4 -1 2 5 -1 -4 2 0

A = , B = matrisleri için

A . B çarpım matrisini bulalım:

2 x 33 x 3

BİR SONRAKİ SAYFA

Örnek:

KONULARÇIKIŞ

Çözüm: 1.1 + (-2) (2) + 0.(-4) 1.(-4) + (-2).5 + 0.2 1.3 + (-2).(-1) + 0.03.(1) + 4.(2) + (-1).(-4) 3.(-4) + 4.5 + (-1).2 3.3 + 4.(-1) + (-1).0

1-4 -4-10 3+2 --3 -14 53+8+4 -12+20-2 9+(-4) 15 6 5

A.B =

A.B = bulunur.

Örnek: A = [ aij ] (m+1)x2 , B = [ bjk ] (n+1)x(p-2) , C = [ cik ]3x4 matrisleri için A.B =C ise m + n + p = ?

Çözüm: A . B işleminin yapılabilmesi için n+1=2 olmalıdır. Buradan n = 1 bulunur. (A . B)(m+1)x(p-2) = ( C ) 3x4 olması için m + 1 = 3 ise m = 2 ve p - 2 = 4 ise p=6 bulunur. O halde m + n + p = 9 olur.

KONULARÇIKIŞ

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ:

1) BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

A = [ aij]mxn, B = [ bjk]nxp, C= [ cik]pxr olmak üzere A.(B.C) = (A.B).C dir.

2) DAĞILMA ÖZELLİĞİ

Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.

3) TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE SOLDAN DAĞILMA ÖZELLİĞİ

A = [ aij]mxn, B = [ bjk]nxp, C= [ cik]pxr olmak üzere A.(B+C) = A.B + A.C dir.

BİR SONRAKİ SAYFA

KONULARÇIKIŞ

4) TOPLAMA İŞLEMİ ÜZERİNE SAĞDAN DAĞILMA ÖZELLİĞİ

A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler;

(A.B).C = A.C + B.C olur.

( skalar sayısı içinde aynı dağılma özellikleri geçerlidir)

5) ÖZEL DURUM:

A matrisi 0’a eşit değil ve A.B = A.C iken, B = C olmayabilir.

6) BİRİM MATRİS ÇARPMA İŞLEMİNİN ETKİSİZ ELEMANIDIR

I birim matris olmak üzere; a A.I = I.A = A dır.

7) YUTAN ELEMAN

Sıfır matrisi çarpma işleminin yutan elemanıdır.

8) ÇARPMA İŞLEMİNDE DEĞİŞME ÖZELLİĞİ YOKTUR

KONULARÇIKIŞ

1. n. sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa.

( k.A)-1 = 1/k . A-1 dir.

2. n. Sıradan A ve B matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri A-1 ve B-1 ise

( A.B )-1 = B-1.A-1 dir.

3.

A = ise A-1 = 1/ ad –bc dir. a b d -b

c d -c a

ÖRNEK: A, B, C kare matrisleri n. sıradan olmak üzere A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa; A.B = 0 ise B = 0 olduğunu gösterelim.

ÇÖZÜM: A-1 . A . B = A-1 . 0 ise (A-1 . A) . B = 0 ise In . B = 0 ise B = 0 olur.

KONULARÇIKIŞ

Tanım: A = [aij]mxn matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun haline getirmekle elde edilen [aij]nxm matrisine A matrisinin transpozu denir ve AT veya Ad ile gösterilir.

Örnek:

A = matrisinin transpozu AT = Ad = dır.

ÖZELLİKLER:

1) (AT)T = A , (A+B)T = AT + BT, (k.A)T = k.AT dır.

2) A ve B matrisleri için, (A.B)T = BT . AT dir.

3) A tersi olan bir matris ise (AT)-1 = (A-1)T dir.

-3 4 5

2 -1 6

-3 2 4 -1 5 6

KONULARÇIKIŞ

A kare matris olmak üzere A matrisinin determinantı A veya det(A) biçiminde gösterilir. A matrisi n x n biçiminde ise A’ nın determinantı n. Mertebedendir denir.

Tanım: 1 x 1 biçimindeki A matrisinin determinantı A = a11 dir.

Örnek: A = [7] matrisi için det(A) = 7

B = [ 31/2] matrisi için det(B) = 31/2

Tanım: 2 x 2 biçimindeki A = matrisinin determinantı

Det(A) = = a11 . a22 – a12 . A21 dir.

a11 a12

a21 a22

a11 a12

a21 a22

KONULARÇIKIŞ

Tanım:

3 x 3 biçimindeki A = matrisinin determinantı;

det(A) = = (a11.a22.a33+a21.a22.a23+a31.a32.a33) - (a13.a22.a31+a23.a32.a11+a33.a12.a21) dir.

Örnek:

A = olduğuna göre det(A) yı hesaplayınız.

Çözüm:

det(A) = = [(-1).1.(-4) + 2.5.3 + 0.0.0] – [3.1.0 + 0.5.(-1) + (-4).0.2]

= (4+30+0) – (0+0+0) = 34 bulunur.

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

-1 0 3

2 1 0

0 5 -4

-1 0 3

2 1 0

0 5 -4

KONULARÇIKIŞ

Tanım: 3 x 3 türünden bütün matrislerin kümesi M3 olsun,

A = M3 ün elemanı olmak üzere

det(A) = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 ile tanımlı D: M3 R fonksiyonuna determinant fonksiyonu denir.

Örnek: A = matrisi için;

a. a21 minörünü bulalım,

b. a21 kofaktörünü bulalım.

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

BİR SONRAKİ SAYFA

-1 -3 4

2 5 8

-7 6 -2

KONULARÇIKIŞ

Çözüm:

a.

b. A21 = (-1)2+1 M21 den, A21 = -1.(-18) = 18 bulunur.

Örnek:

det(A) = determinantını hesaplayalım.

Çözüm: 3000 = a dersek, det(A) = (a+1).(a-1) – (a-3).(a+3) = (a2-1)-(a2-9)

= 8 bulunur.

-1 -3 4

2 5 8

-7 6 -2

A = ise M21 = = 6-24=-18 bulunur.-3 4

6 2

3001 3003

2997 2999

KONULARÇIKIŞ

SARRUS (SARUS) TEOREMİ:

Üçüncü mertebeden bir matrisin determinantı Sarus kuralına göre de hesaplanır, bu kural det(A) nın alt tarafına iki satır veya sağ tarafına iki sütun yazılarak aşağıdaki gibi hesaplanır:

İlk iki satır tekrar edilerek açılırsa,

a11 a12 a13 det(A) = a21 a22 a23 a31 a32 a33

a11 a12 a13 a21 a22 a23

+

++

-

-

-

Det(A) = (a11a22a33+a21a32a13+a31a21a23) - (a13a22a31+a23a32a11+a33a12a21) dir.

KONULARÇIKIŞ

Ö R N E K

KONULARÇIKIŞ

Örnek: 4 -5 1

C = 0 1 2 matrisinin determinantını bulalım:

1 0 -1

4 -5 1 4 5 0 1 2 0 1 1 0 -1 1 0

Det(C) = -4-10+0-1+0+0 = -15 bulunur.

+++- - -

DETERMİNANT FONKSİYONU:

Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi M3 olsun.

a22 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

: : : Mn in elemanı olmak üzere,

an1 an2 ... ann

Det(A) = a11 . A11 + a12 . A12 +.....+ a1n . A1n ile tanımlı D:Mn R fonksiyonuna determinant fonksiyonu; D(A) = det(A) ifadesine de A matrisinin determinantı denir.

KONULARÇIKIŞ

1. Bir kare matrisin determinant değeri ile devriğinin determinant değeri

eşittir.

2. Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise bu matrisin

determinantının değeri sıfırdır. (ya da iki satır veya sütun aynı ise determi –

nantın değeri sıfırdır)

3. Bir kare matrisin her hangi bir satır veya sütununda bulunan tüm terim-

ler sıfır ise determinantın değeri sıfırdır.

4. Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki ya da altındaki tüm elemanlar

sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da

bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.

5. Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse

determinant işaret değiştirir.KONULARÇIKIŞ

6. Bir determinantın bir satırı veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa determinantın değeri de k katına çıkar.

7. Bir determinantın her hangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm elemanların k katı alınarak başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.

8. Bir determinantın her hangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.

9. Bir determinantın herhangi bir satır veya sütununa ait terimler bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa toplam sıfır olur.

10. n. Mertebeden A ve B matrisleri için det(A.B) = det(A) . det(B) dir.KONULARÇIKIŞ

Tanım: n. Mertebeden A kare matrisi verilmiş olsun. aij elemanının kofaktörü Aij ise [Aij]T matrisine A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir.

Örnek:

A = matrisinin ek matrisi bulunurken tanıma

göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır.

T

Ek(A) = =

Örnek: A = matrisinin ek matrisini bulalım.

Çözüm: Önce her elemanın kofaktörlerini hesaplarız.

Ek(A) = T = bulunur.

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33-4 5

6 7

A11 = 7 , A12 = -6

A21 = -5 , A22 = -47 -6

-5 -4

7 -6

-5 -4

KONULARÇIKIŞ

EK MATRİS ÖZELLİĞİ

A . Ek(A) = Ek(A) . A = det(A) . I

Yukarıdaki özelliği A = matrisi için gösterelim:

. = = (ad-bc) = det(A) . I2 dir.

a b

c d

a b

c d

d -b

-c a

ad - bc -ab+ab

cd - cd -bd+ad

1 0

0 1

KONULARÇIKIŞ

* M.E.B YAYINLARI LİSE 3 DERS KİTABI

* TÜMAY YAYINLARI MATEMETİK SET’İ

KONULARÇIKIŞ