LINEÁRNE SPOJITÉ SÚSTAVY

Ing. Jozef Zavacký, PhD.

prof. Ing. Ján Mihalík, PhD.

Ing. Iveta Gladišová, PhD.

Laboratórium číslicového spracovania obrazov a videokomunikácií

Katedra elektroniky a multimediálnych telekomunikácií

Fakulta elektrotechniky a informatiky

Technická univerzita v Košiciach

OBSAH

1. ZÁKLADNÉ DEFINÍCIE A ROZDELENIE SÚSTAV 1

2. PÔSOBENIE LINEÁRNYCH SPOJITÝCH SÚSTAV NA DETERMI-

NOVANÉ SIGNÁLY 6

2.1. Popisovanie lineárnej spojitej sústavy diferenciálnou rovnicou a jej

riešenie 6

2.2. Frekvenčné a časové charakteristiky lineárnych spojitých sústav 9

2.2.1. Frekvenčné charakteristiky LSS 9

2.2.2. Časové charakteristiky LSS 14

2.3. Neskreslený prenos a šírka frekvenčného pásma LSS 18

2.4. Stabilita lineárnych spojitých sústav 20

2.5. Prenosové funkcie LSS s minimálnou a neminimálnou fázou 22

3. PÔSOBENIE LINEÁRNYCH SPOJITÝCH SÚSTAV NA NÁHODNÉ

SIGNÁLY 26

3.1. Autokorelačná funkcia výstupného náhodného signálu 26

3.2. Spektrum výstupného náhodného signálu 28

3.3. Odozva lineárnej spojitej sústavy na biely šum 30

4. MNOHOKANÁLOVÉ LINEÁRNE SPOJITÉ SÚSTAVY 32

4.1. MKLSS s oneskorením signálu v jednotlivých kanáloch 34

4.1.1. Výsledky simulácie dvojkanálovej a trojkanálovej LSS

s oneskorením signálu v jednotlivých kanáloch 37

4.2. MKLSS s použitím derivácií vstupného signálu 42

4.2.1. Výsledky simulácie dvojkanálovej a trojkanálovej LSS s použitím

derivácií vstupného signálu 44

4.3. MKLSS s rozdelením spektra vstupného signálu na pásma 48

4.3.1. Výsledky simulácie dvojkanálovej a trojkanálovej LSS

s rozdelením spektra vstupného signálu na pásma. 53

4.3.2. Banka zrkadlových filtrov pre MKLSS s rozdelením spektra

vstupného signálu na pásma 58

LITERATÚRA 65

1

1. ZÁKLADNÉ DEFINÍCIE A ROZDELENIE SÚSTAV

Sústava (systém) je súbor prvkov vhodným spôsobom spojených a vzájomne na seba pôsobiacich pod vplyvom vonkajších a vnútorných signálov za účelom plnenia požadovanej funkcie.

Ak prvkami sústavy budú elektronické prvky (rezistory, kapacitory, induktory, tranzistory, operačné zosilňovače a pod.), tak vtedy budeme hovoriť o elektronických sústavách. V ďalšom sa budeme zaoberať len elektronickými sústavami a budeme ich skrátene nazývať sústavy. Sústava bez signálov nemôže existovať a naopak, signály sú vždy viazané na nejakú sústavu.

Charakteristickým znakom každej prenosovej sústavy je, že má vstup a výstup. Na vstupe pôsobí vstupný signál, pre ktorý existujú aj iné názvy ako príčina, budenie atď. Na výstupe máme výstupný signál, pre ktorý existujú aj názvy následok, odozva, reakcia a iné.

Závislosť výstupného signálu od vstupného je charakterizovaná tzv. sústavovou (systémovou) funkciou, častejšie nazývanou prenosovou funkciou (prenosom, transmitanciou), ktorá je základnou charakteristikou sústavy.

Informačná sústava sa dá znázorniť blokovou schémou na obr.1. Od zdroja (odosielateľa) správ sa dostane správa prostredníctvom nejakého neelektrického signálu s(t) do vhodného vstupného meniča (prevodník, senzor), ktorý pretransformuje daný signál na elektrický signál. Z meniča sa dostane elektrický signál f(t) do vysielača pre ďalšie spracovanie vhodné na prenos, čo závisí predovšetkým od vzdialenosti, na ktorú ho treba preniesť. Potom sa signál prenáša prenosovou cestou (telekomunikačný kanál), ktorá predstavuje súbor zariadení a prostredie, v ktorom sa vhodne upravený signál nesúci správu prenáša na miesto určenia. Môžu to byť vedenia rôzneho druhu, alebo je to obmedzená oblasť priestoru, v ktorej sa šíri elektromagnetické pole od vysielača k prijímaču. V prijímači sa zo signálu a´(t) vyberá požadovaný užitočný signál, ktorý sa transformuje na prvotný signál, napr. dekódovaním alebo demoduláciou.

2

Obr.1. Bloková schéma informačnej sústavy.

Vo výstupnom meniči (napr. reproduktor, obrazovka a pod.) sa transformuje prijímaný elektrický signál f´(t) na pôvodnú správu či iný požadovaný tvar správy, vhodný pre príjemcu.

Vysielač, prenosová cesta a prijímač tvoria prenosovú sústavu. Pri prenose informácie pôsobia na signály rôzne rušivé signály. Všetky rušivé signály pre zjednodušenie sú reprezentované v jednom zdroji, ako to vidno v obr.1. Pretože rušivé signály majú stochastický (náhodný) charakter, signál na vstupe prijímača a´(t) sa bude náhodným spôsobom líšiť od vyslaného signálu a(t).

Charakteristiky prenosovej sústavy môžeme rozdeliť na vonkajšie a vnútorné. K vonkajším charakteristikám, na základe ktorých príjemca správ hodnotí kvalitu prenosu, patria: vernosť, rýchlosť a súčasnosť prenosu. Vnútorné charakteristiky umožňujú hodnotiť stupeň využitia limitných možností sústavy a patria sem: odolnosť prenosu voči rušivým signálom a efektívnosť prenosovej sústavy

Sústavy môžeme rozdeliť podľa rôznych hľadísk.

A. Za základné kritérium delenia sústav budeme považovať matematický model sústavy, ktorý popisuje jej vlastnosti. Podľa toho možno sústavy deliť na lineárne a nelineárne.

Lineárne sústavy sú tie, ktorých vlastnosti vieme popísať lineárnymi algebraickými, diferenciálnymi alebo diferenčnými rovnicami. Pre lineárne sústavy platí princíp superpozície a proporcionality.

Nelineárne sústavy sú tie, ktorých vlastnosti nevieme popísať lineárnymi rovnicami a preto ich popisujeme nelineárnymi rovnicami. Reálne sústavy

3

vo všeobecnom slova zmysle sú v prírode i v technických realizáciách vždy nelineárne. Možno tvrdiť, že lineárne sústavy sú vlastne zvláštnym prípadom nelineárnych, ak sú splnené určité podmienky. Preto pri analýze sústav postupujeme často tak, že dané nelineárne sústavy linearizujeme. O linearite môžeme pri reálnych sústavách hovoriť len za predpokladu, že sa obmedzíme napríklad na konečný úsek frekvenčného rozsahu prenosových vlastností sústavy s konečným rozsahom dynamiky signálov, ktoré sústavou prechádzajú a pod. Linearita sústavy je teda vlastne rozumná a užitočná abstrakcia, ktorú si v matematickom modeli môžeme dovoliť, avšak pri aplikáciách treba poznať všetky ohraničujúce podmienky.

B. Podľa závislosti parametrov prvkov ( z ktorých je sústava zložená) od priestoru delíme sústavy s prvkami so sústredenými parametrami a s nesústredenými (rozloženými) parametrami.

Sústavy s prvkami so sústredenými parametrami sú také sústavy, ktorých všetky prvky majú sústredené parametre. Prvok so sústredenými parametrami je ten, ktorým sa elektromagnetické vlnenie šíri nekonečne veľkou rýchlosťou, alebo má nulové geometrické rozmery. Z toho vyplýva, že zavedenie prvkov so sústredenými parametrami je v najvšeobecnejšom slova zmysle určitá idealizácia. V praxi má však význam v ohraničujúcich podmienkach. O prvku so sústredenými parametrami hovoríme vtedy, keď jeho geometrické rozmery sú zanedbateľne malé voči vlnovej dĺžke signálov ním prechádzajúcich.

Ak táto podmienka nie je splnená, hovoríme o prvku s nesústredenými parametrami. Ak sústava obsahuje aspoň jeden takýto prvok, budeme hovoriť o sústave s prvkom s nesústredenými parametrami. Medzi takéto sústavy patria: vedenia rôznych druhov, prostredie, v ktorom sa šíri elektromagnetické vlnenie, niektoré mikroelektronické štruktúry.

C. Podľa závislosti parametrov prvkov od niektorých fyzikálnych veličín, napr. napätie, prúd a pod. možno sústavy deliť na parametrické a neparametrické.

Parametrické sústavy sú tie, ktoré majú aspoň jeden prvok s parametrom závislým od niektorej fyzikálnej veličiny (napätie, prúd, magnetický tok a i.).

Ostatné sústavy sú neparametrické.

4

D. Podľa časovej závislosti parametrov prvkov sústav ich možno deliť delíme na časovo nemenné sústavy a časovo premenné sústavy.

Sústavy časovo premenné (nestacionárne) resp. časovo závislé sú tie, keď sa ich vlastnosti menia s časom.

Ak aspoň v čase pozorovania budú sústavy zachovávať všetky svoje vlastnosti, t.j. nebudú závisieť od času, vtedy hovoríme o sústavách časovo nepremenných (stacionárnych), resp. časovo invariantných. Reálne sústavy sú vždy časovo závislé, lebo parametre prvkov sa po rôznymi vplyvmi menia s časom (napr. v závislosti od starnutia). Ak sú však časové zmeny parametrov prvkov pomalé, možno sústavu v danom časovom úseku považovať za časovo invariantnú.

E. Z hľadiska prenášaných a spracovávaných signálov sústavami má zmysel deliť ich na spojité a diskrétne.

Spojité sústavy prenášajú a spracovávajú len signály spojité v čase. Ak prenášajú a spracovávajú signály spojité v čase aj v hodnote, hovoríme im analógové sústavy.

Diskrétne sústavy prenášajú a spracovávajú iba signály diskrétne v čase. Zvláštny prípad sú číslicové (digitálne) sústavy, ktoré prenášajú a spracovávajú signály diskrétne v čase aj v hodnote.

F. Sústavy možno deliť tiež na statické (bezpamäťové) a dynamické (pamäťové).

Statické sústavy sú také, pri ktorých výstupný signál v každom časovom okamihu závisí len od hodnoty vstupného signálu v danom okamihu, teda nikdy nie od jeho predchádzajúcich a nasledujúcich hodnôt.

Dynamické sústavy sú také, pri ktorých výstupný signál závisí aj pod predchádzajúcich hodnôt vstupného signálu. Hovoríme im, že majú pamäť, preto ich nazývame pamäťové.

Ďalej bude venovaná pozornosť lineárnym spojitým sústavám s prvkami so sústredenými parametrami, ktoré sú neparametrické a časovo invariantné. Označovať ich budeme skratkou LSS.

5

Základné vlastnosti reálnych LSS sú nasledovné:

1. Linearita

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }1 1 2 2 1 1 2 2O c x t c x t c O x t c O x t+ = + , .konštc,c 21 = (1) Operátor O (pravidlo podľa ktorého sa transformácia vykonáva) je lineárny. Vzťah (1) sa často nazýva princíp superpozície.

Odozva na súčet budiacich signálov x1(t) a x2(t) na vstupe je rovná súčtu odoziev na samostatné budiace signály lineárnej spojitej sústavy.

2. Časová invariancia

Sústavu označujeme za časovo invariantnú vtedy, keď pre ľubovoľné reálne t0 bude vždy platiť

( ) ( )0 0O x t t y t t− = − (2)

Pre časovo invariantnú sústavu je tvar výstupného signálu nezávislý od toho, kedy začne vstupný signál pôsobiť. Inými slovami sústava/systém je časovo invariantná, keď jeho vlastnosti nie sú explicitne funkciou času, resp. ak sa s časom nemenia.

3. Kauzalita

Spojitá sústava je kauzálna, ak výstupný signál y(t) v ľubovoľnom čase t = t0 nie je závislý od hodnôt vstupného signálu x(t) v čase t < t0.

4. Stabilita Lineárna spojitá sústava je stabilná, ak ľubovoľný vstupný signál x(t) s konečnou maximálnou absolútnou hodnotou vyvolá výstupný signál y(t) tiež s konečnou maximálnou absolútnou hodnotou.

6

2. PÔSOBENIE LINEÁRNYCH SPOJITÝCH SÚSTAV NA DETERMINOVANÉ SIGNÁLY

2.1. Popisovanie lineárnej spojitej sústavy diferenciálnou rovnicou a jej riešenie

Budeme uvažovať lineárne spojité sústavy (LSS) s jedným vstupom a jedným výstupom (obr.2). Túto sústavu možno popísať lineárnou diferenciálnou rovnicou m-tého rádu s konštantnými koeficientmi a nenulovou pravou stranou.

LSS Budenie x(t) Odozva y(t)

vstup výstup

Obr.2. Lineárna spojitá sústava.

Teda

( ) ( ) ( ) ( )

m m 1

m m 1 1 0m m 1

d y t d y t dy ta a ..... a a y t

dtdt dt

−

− −+ + + + =

( ) ( ) ( ) ( )n n 1

n n 1 1 0n n 1

d x t d x t dx tb b ..... b b x t

dtdt dt

−

− −= + + + + (3)

kde x(t) je vstupný (budiaci) signál, y(t) je výstupný signál (odozva), ai ,bj sú konštanty. Pre reálne LSS musí byť m n≥ .

Najskôr nájdeme fundamentálny systém riešenia príslušnej diferenciálnej rovnice (3) bez pravej strany

( ) ( ) ( ) ( )

m m 1

m m 1 1 0m m 1

d y t d y t dy ta a ..... a a y t 0

dtdt dt

−

− −+ + + + = . (4)

Fundamentálny systém riešenia rov.(4) nájdeme tak, že určíme korene charakteristickej diferenciálnej rovnice

m m 1m m 1 1 0a p a p ..... a p a 0−

−+ + + + = , (5)

7

ktorá sa získa z algebraizovanej diferenciálnej rov. (4) bez pravej strany za predpokladu, že y(t) ≠ 0. Korene tejto rovnice nazývame charakteristické korene diferenciálnej rovnice bez pravej strany. Dá sa ukázať, že rov.(5) má práve m koreňov, ktoré vo všeobecnosti môžu byť komplexne združené, viacnásobné alebo jednoduché, reálne. Za predpokladu m rôznych koreňov

m21 p,....,p,p dostaneme fundamentálny systém riešenia rov.(4) v tvare

( ) im

p t1 i

i 1

y t k e=

=∑ , (6)

kde všeobecný komplexný koreň i i ip j= σ + ω a ľubovoľné konštanty ki môžeme určiť, ak sú známe začiatočné podmienky stavu sústavy. Nájsť aspoň jedno (partikulárne) riešenie diferenciálnej rovnice s pravou stranou je vo všeobecnosti vždy možné, ale je veľmi zdĺhavé a zložité. Avšak pre niektoré špeciálne prípady funkcií x(t) na pravej strane vieme uhádnuť tvar riešenia y2(t). Ako neskôr uvidíme, v niektorých riešených prípadoch elektronických sústav je vždy možné uvažovať budiace signály x(t) v tvare funkcií, pre ktoré sú riešenia y2(t) ľahko stanoviteľné.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (3) je dané nasledovne

( ) ( ) ( ) ( )im

p t1 2 i 2

i 1

y t y t y t k e y t=

= + = +∑ . (7)

Fyzikálny význam riešenia rov.(7) je v našich úvahách podstatný. Prvý riešenie y1(t) dané vzťahom (6) je riešenie diferenciálnej rovnice bez pravej strany (rov.4), ktorá opisuje sústavu pre nulový budiaci signál, t.j. sústava, keď x(t) = 0. Napriek tomu, že sústava nie je budená, odozva na výstupe bude

y1(t) ≠ 0. Táto zložka, ktorá je nezávislá od budenia x(t), má charakteristický priebeh pre všetky sústavy daný riešením (6). Závisí teda len a len od vlastnej sústavy, čiže charakterizuje jej prirodzené vlastnosti.

Preto tejto zložke hovoríme prirodzená odozva a kmitom, ktoré jej zodpovedajú hovoríme prirodzené (vlastné) kmity sústavy. Prakticky možno význam týchto kmitov najlepšie pochopiť v elektronických sústavách s aktívnymi prvkami, ktoré treba aktivovať pripojením napájacích jednosmerných zdrojov. Napätia resp. prúdy napájacích zdrojov nepredstavujú pre sústavu vstupný signál x(t). Sú súčasťou vnútornej štruktúry sústavy. Avšak ich uvedením do činnosti v sústave sa objaví pre x(t)=0 na výstupe odozva y1(t), ktorá je pozorovateľná. Pre sústavy

8

len s pasívnymi prvkami sa zložka y1(t) objavuje iba súčasne s odozvou na nejaký budiaci signál.

Druhé riešenie y2(t) je potom odozva sústavy na daný budiaci signál x(t) a závisí od neho. Tejto zložke hovoríme vnútená odozva a kmitom, ktoré zodpovedajú tejto odozve, hovoríme vnútené kmity sústavy.

Vráťme sa k zložke y1(t) v rov. (6). Z nej vidno, že je daná súčtom exponenciálnych kmitov typu k�e���, ktoré pre komplexný koreň nadobudnú vo všeobecnosti tvar

y�t � � k�e����

��

� � k�e���e������� , y�t � ∑ k�e������ �cosω�t � j sinω�t , (8)

čo zodpovedá v závislosti od σi buď tlmeným, či narastajúcim alebo harmonickým kmitom (obr. 3).

Obr.3. Tlmené kmity (vľavo hore), harmonické kmity (vpravo) a narastajúce kmity (vľavo dole).

9

V prípade, že pre všetky zložky súčtu (rov. (8)) je i 0σ < , t.j. všetky kmity sú tlmené, zložka y1(t) s rastúcim časom t klesá k nule. V technických sústavách, pokiaľ to ich poslanie zvlášť nevyžaduje, klesanie zložky y1(t) k nule býva rýchle, alebo aspoň klesanie jej veľkosti v porovnaní k zložke y2(t) je také, že už v krátkom časovom okamihu 0t > je zložka y1(t) zanedbateľná oproti zložke y2(t). Hovoríme, že zložka y2(t) je dominantnou zložkou a podmienky, pri ktorých tento stav nastane, nazývame dominantnými podmienkami. Pri splnení dominantných podmienok má teda zložka y1(t) len prechodný charakter, a preto jej často hovoríme zložka prechodového stavu, zatiaľ čo zložke y2(t) hovoríme zložka ustáleného stavu.

2.2. Frekvenčné a časové charakteristiky lineárnych spojitých sústav

2.2.1. Frekvenčné charakteristiky LSS

Uvažujme prípad, že LSS je budená exponenciálnym signálom ( ) ptx t e= . V technickej praxi, ale aj v prírodovedných disciplínach je exponenciálna funkcia veľmi dôležitou funkciou. Okrem iného snáď aj preto, že má jedinečnú vlastnosť. Totižto jej derivácia či integrál vedú k jej samotnej funkcii.

Partikulárne riešenie diferenciálnej rov. (3) pri budení sústavy týmto typom signálu bude

y��t = Ce��, (9) kde C je komplexná konštanta vzhľadom na premennú t. Konštantu C môžeme určiť dosadením riešenia (9) do rov. (3). Po úprave dostaneme

n n 1

n n 1 1 0m m 1

m m 1 1 0

b p b p .... b p bC

a p a p .... a p a

−−

−−

+ + + +=+ + + +

, (10)

kde komplexná premenná p j= σ + ω má fyzikálny význam tzv. komplexnej frekvencie. Koeficienty ai, bj polynómov v menovateli a v čitateli rov.(10) sú konštanty nezávisle ani od času t, ani od komplexnej premennej p. Preto označme C = A(p), resp.

A�p = ∑ #���$�%&∑ '(�()(%& (11)

10

kde A(p) je základom pre analýzu a syntézu sústavy vo frekvenčnej oblasti pre jej neustálený stav. Výraz A(p) je známy ako charakteristika LSS pod názvom prenosová funkcia LSS. Je to reálna funkcia komplexnej premennej p.

Prenosová funkcia A(p) dynamickej LSS býva spravidla definovaná vzťahom

( ) ( )( )( ){ }( ){ }

L y tY pA p

X p L x t= = (12)

kde ( ) ( ){ }Y p L y t= je Laplaceov obraz výstupného signálu y(t) a ( ) ( ){ }X p L x t= je Laplaceov obraz vstupného signálu x(t).

Korene polynómu menovateľa prenosovej funkcie A(p) nazývame póly a korene čitateľa prenosovej funkcie nuly prenosovej funkcie.

Ak sa jedná o budenie LSS exponenciálnym signálom typu ej  ωt , tento prípad nazývame budenie LSS harmonickým signálom, nakoľko reálna aj imaginárna časť budiaceho signálu e*+� predstavuje harmonické funkcie, keďže platí

e*+� = cosωt + sinωt . (13) Teda pre budiaci signál x�t = e*+� dostaneme odozvu y��t = A�jωe*+�. Je zrejmé, že pri splnení dominantných podmienok a za dostatočne dlhého času bude výsledná odozva

y�t =- A�jωe*+� , (14) kde A(jω) sa nazýva komplexná frekvenčná charakteristika LSS. Táto charakteristika je komplexná funkcia reálnej premennej ω a je spravidla definovaná (pre sústavy s aktívnymi prvkami) vzťahom

( ) ( )( )( ){ }( ){ }

F y tY jA j

X j F x t

ωω = =

ω, (15)

kde Y�jω = F0y�t1 je Fourierova transformácia (obraz) výstupného signálu y�t, X�jω = F0x�t1 je Fourierova transformácia (obraz) vstupného signálu 3�4.

11

Ak uvážime skutočnosť, že na elementárny signál x�t = e*+� je odozva y�t = A�jωe*+�, potom pri platnosti princípu superpozície a proporcionality ľubovoľný aj nekauzálny vstupný signál aproximovaný spätnou Fourierovou transformáciou

( ) ( ) j t1x t X j e d2

∞ω

−∞

= ω ωπ ∫

(16)

má odozvu

( ) ( ) ( ) j t1y t X j A j e d2

∞ω

−∞

= ω ω ωπ ∫

, (17)

z čoho vyplýva, že

( ) ( ) ( )Y j X j A jω = ω ω , (18)

čo sa dalo očakávať.

Pomocou komplexnej frekvenčnej charakteristiky popisujeme vlastnosti LSS v ustálenom stave a harmonickom budení. Môžeme ju vyjadriť v zložkovom tvare

( ) ( ) ( )r iA j A jAω = ω + ω , (19)

kde ( ) ( ){ }rA Re A jω = ω je jej reálna časť a ( ) ( ){ }iA Im A jω = ω je jej imaginárna časť. Častejšie sa vyjadruje v Eulerovom tvare

( ) ( ) ( )jA j A e ϕ ωω = ω , (20)

kde ( ) ( )A A jω = ω je modul komplexnej frekvenčnej charakteristiky a ( ) ( )arg A jϕ ω = ω je argument tejto charakteristiky.

Z toho vyplývajú názvy amplitúdová (modulová) frekvenčná charakteristika pre A(ω) a fázová (argumentová) frekvenčná charakteristika pre ϕ(ω).

Funkciu A�jω môžeme graficky znázorňovať tiež v Gaussovej rovine ako vektor s veľkosťou A�ω a uhlom φ�ω, ktorý zviera s vodorovnou osou, pričom pri zmene premennej ω dostaneme vektorovú čiaru, opísanú koncovým bodom tohto vektor. Tento hodograf sa nazýva združená frekvenčná

12

charakteristika. Príklady amplitúdovej, fázovej a združenej charakteristiky sústavy sú na obr.4.

a)

b) c)

Obr.4 Príklady priebehu a) amplitúdovej (modulovej), fázovej (argumentovej, c) združenej charakteristiky.

Ďalšie dôležité frekvenčné charakteristiky sú fázové oneskorenie

( ) ( )f /τ ω = −ϕ ω ω (21)

a skupinové oneskorenie

( ) ( )s d / dτ ω = − ϕ ω ω . (22)

Rozsah hodnôt A(jω) býva v praxi často veľký, preto sa s výhodou používa logaritmické vyjadrenie, ktoré dostaneme logaritmovaním rov. (20)

13

( ) ( ) ( )ln A j ln A jω = ω + ϕ ω . (23)

Výraz

( ) ( )a ln Aω = ω (24)

sa nazýva miera zisku a ak ju vyjadríme v decibeloch [ ]dB , bude mať tvar

( ) ( )a 20log Aω = ω . (25)

Pri splnení niektorých podmienok, ktoré tu nevyslovíme, platia vzájomné vzťahy medzi mierou zisku 6�7 amplitúdovou resp. fázovou frekvenčnou charakteristikou sústavy. Tieto vzťahy sa nazývajú Hilbertova transformácia.

Platí

( ) ( )u1ln A duu

∞

−∞

ϕω = −

π ω −∫, (26)

( ) ( )ln A u1 duu

∞

−∞

ϕ ω =π ω −∫

. (27)

kde u je pomocná premenná.

Ako vidieť zo vzťahov (26) a (27), Hilbertova transformácia transformuje funkcie v rovnakej dimenzionálnej oblasti, t.j. v našom prípade vo frekvenčnej oblasti. Pre výpočet týchto integrálov existuje vhodná Thomasova metóda.

2.2.2. Časové charakteristiky LSS

Významnú charakteristiku LSS dostaneme za predpokladu, že je sústava budená signálom, ktorý nazývame jednotkový (Diracov) impulz δ(t). Potom impulzná charakteristika g(t) LSS je jej odozva na jednotkový impulz (obr.5).

Ak označíme Laplaceovu transformáciu impulznej odozvy ( ) ( ){ }G p L g t= a Diracovho impulzu ( ){ }L t 1δ = , potom z definície prenosovej funkcie A(p) v rov.(12) vyplýva

14

( ) ( )( )( ) ( )Y p G pA p G p

X p 1= = = . (28)

Obr.5. Impulzná charakteristika LSS.

Ak je známa prenosová funkcia A(p) LSS, z nej vieme vypočítať impulznú charakteristiku pomocou spätnej Laplaceovej transformácie

( ) ( ){ } ( ){ }1 1g t L G p L A p− −= = . (29) Analogicky platí pre vzájomný vzťah komplexnej frekvenčnej charakteristiky

A(j ω) a impulznej charakteristiky

( ) ( ){ } ( ){ }1 1g t F G j F A j− −= ω = ω . (30) Možno konštatovať, že impulzná charakteristika g(t) sústavy je v časovej oblasti ekvivalentom prenosovej funkcie A(jω) vo frekvenčnej oblasti.

Ak treba vypočítať odozvu na ľubovoľný spojitý signál x(t) a je známa impulzná charakteristika g(t), potom vychádzame z rov.( 12) a (28), pričom platí

( ) ( ) ( )Y p G p X p= . (31)

Keďže súčinu obrazov vo frekvenčnej oblasti v rov.(31) zodpovedá konvolučný súčin originálov v časovej oblasti, bude pre kauzálnu LSS s nulovým počiatočným stavom platiť

∫ τττ−==t

0

d)(x)t(g)t(x*)t(g)t(y , (32)

15

čo poznáme pod názvom konvolučný integrál.

Fyzikálny význam rov. (32) si vysvetlíme pomocou aproximácie budiaceho signálu spojitým súčtom posunutých jednotkových impulzov s veľkosťami zodpovedajúcimi hodnotám vstupného signálu x(t) a šírkou ∆τ, pozri obr.6. Keďže v LSS platí princíp superpozície a proporcionality, výsledná odozva y(t) bude daná spojitým súčtom odoziev na jednotlivé impulzné zložky.

Obr.5. Aproximácie budiaceho signálu x(t) spojitým súčtom posunutých jednotkových impulzov.

Ďalšou významnou charakteristikou LSS, ktorá charakterizuje jej vlastnosti v časovej oblasti, je odozva tejto sústavy na jednotkový skok σ(t) ako budiaci signál. Túto odozvu označujeme h(t) a nazývame ju prechodová charakteristika sústavy, pozri obr.7. Ak označíme Laplaceov obraz tejto charakteristiky H(p) a vieme, že ( ){ }L t 1/ pσ = , tak z definície prenosovej funkcie A(p) dostaneme

( ) ( )( )( ) ( )Y p H pA p pH p

X p 1/ p= = = . (33)

x(τ)

τ Δτ

0

16

Obr.7. Prechodová charakteristika LSS.

Ak poznáme prenosovú funkciu LSS, vieme z nej vypočítať prechodovú charakteristiku takto

( ) ( ){ } ( )1 1 A ph t L H p Lp

− − = =

. (34)

Podobne, ak poznáme komplexnú frekvenčnú charakteristiku LSS, vieme vypočítať prechodovú charakteristiku pomocou spätnej Fourierovej transformácie nasledovne

( ) ( ){ } ( )1 1 A jh t F H j Fj

− − ω = ω = ω . (35)

Keďže medzi jednotkovým skokom σ(t) a jednotkovým impulzom δ(t) platia nasledovné vzťahy

( ) ( )t

t d−∞

σ = δ τ τ∫ , ( )( )d t

tdt

σδ = , (36)

budú podľa princípu superpozície platiť medzi prechodovou a impulznou charakteristikou tieto vzťahy

( ) ( )t

h t g d−∞

= τ τ∫ , (37)

( ) ( )dh tg tdt

= . (38)

17

V ďalšom nájdeme odozvu LSS na ľubovoľný signál x(t), ak je známa prechodová charakteristika h(t). Z rov. (33) vyplýva, že

( ) ( ) ( )Y p pH p X p= . (39)

Analogicky z vlastnosti Laplaceovej transformácie pre časovú odozvu LSS dostaneme

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

0

y t h´ t * x t h´ x t d= = τ − τ τ∫ , (40)

alebo alternatívny vzťah

( ) ( ) ( )t

0

y t h t x´ d= − τ τ τ∫ , (41)

ktorý je známy ako Duhamelov integrál. Pritom ( ) ( )h´ dh /dτ = τ τ , ( ) ( )x´ dx /dτ = τ τ a predpokladáme nulový začiatočný stav LSS.

Fyzikálny význam rov.(41) možno vysvetliť pomocou aproximácie budiaceho signálu spojitým súčtom posunutých skokov s veľkosťami zodpovedajúcimi hodnotám budiaceho signálu x(t), pozri obr.8. Vieme, že v LSS platí princíp superpozície a proporcionality. Potom výsledná odozva y(t) bude daná spojitým súčtom odoziev na jednotlivé skokové zložky.

Obr.8. Aproximácie budiaceho signálu x(t) spojitým súčtom posunutých jednotkových skokov.

x(τ)

0

τ

18

Podmienka fyzikálnej realizovateľnosti LSS vyplýva z definície impulznej a prechodovej charakteristiky, kedy musí platiť, že:

g(t) = 0 , pre t < 0 (42)

h(t) = 0 , pre t < 0 (43)

to znamená, že odozva y(t) nemôže vzniknúť pred začatím pôsobenia vstupného signálu x(t).

Impulzná a prechodová charakteristika sú kauzálnymi funkciami pri fyzikálne realizovateľných sústavách.

2.3. Neskreslený prenos a šírka frekvenčného pásma LSS

Za neskreslený prenos signálu cez LSS sa považuje taký prenos, keď sa odozva y(t) líši od vstupného (budiaceho) signálu x(t) len veľkosťou a časovým oneskorením, t.j. ak platí

)tt(xK)t(y 0−= , (44)

kde K je konštanta a t0 je konštantné časové oneskorenie.

Po vykonaní Fourierovej transformácie na predchádzajúci vzťah možno získať podmienku neskresleného prenosu vo frekvenčnej oblasti

{ } 0tje)j(XK)t(yF)j(Y ω−ω==ω (45)

Po dosadení Y(jω) do výrazu pre frekvenčnú prenosovú funkciu )j(X

)j(Y)j(A

ωω=ω

dostaneme

0tjeK)j(A ω−=ω (46)

Tento vzťah predstavuje podmienku neskresleného prenosu vo frekvenčnej oblasti.

19

Zo vzťahu vyplývajú podmienky pre modulovú (amplitúdovú) a argumentovú (fázovú) frekvenčnú charakteristiku nasledujúce vzťahy

( )∞∞∈ω=ω ,- pre K)(A , (47)

( ) ,- pre kt)( 0 ∞∞∈ωπ±ω−=ωϕ , (48)

tj. amplitúdová charakteristika LSS musí byť konštantná v celom frekvenčnom rozsahu a fázová charakteristika musí byť lineárna (obr.9).

V tomto prípade je charakteristika skupinového oneskorenia (rov.22) konštantná v celom frekvenčnom pásme. Všetky zložky majú rovnaké časové oneskorenie t0 (pozri obr.9)

Obr.9. Amplitúdová charakteristika, fázová .charakteristika a charakteristika skupinového oneskorenia pri neskreslenom prenose signálu cez LSS.

Ak nie sú splnené hore uvedené podmienky, potom hovoríme o tzv. lineárnom skreslení. Podľa toho, ktorá z uvedených podmienok nie je splnená, hovoríme amplitúdovom alebo fázovom skreslení.

Šírka frekvenčného pásma LSS je definovaná ako rozsah kruhových

frekvencií, v ktorom amplitúdová charakteristika A(ω) poklesne na 21

hodnoty stredu frekvenčného pásma ( t.j. pokles o 3 dB).

Na obr. 10 je príklad šírky frekvenčného pásma B pre dané A(ω), kde šírka frekvenčného pásma B = ω h - ω d.

20

Obr.10. Šírka frekvenčného pásma LSS.

Z rov.(47) pre amplitúdovú charakteristiku A(ω) vyplýva, že pre neskreslený prenos je potrebná sústava s nekonečnou šírkou frekvenčného pásma. Pri ľubovoľnom fyzikálne realizovateľnom signáli klesá rozloženie energie s rastúcou frekvenciou. V praxi sa vždy realizujú LSS s takou šírkou frekvenčného pásma, v ktorej sa prenášajú frekvenčné zložky signálu, na ktoré pripadá podstatná časť energie signálu. Potlačenie veľmi vysokých frekvenčných zložiek má za následok veľmi malé skreslenie spracovávaného (prenášaného) signálu.

2.4. Stabilita lineárnych spojitých sústav

V kap. 2.1 sme ukázali, že riešenie diferenciálnej rovnice (3) opisujúcej vlastnosti LSS má dve zložky. Prvá y1(t) zodpovedá tzv. prirodzenej odozve sústavy, t.j. odozve sústavy za predpokladu, že nie je budená (x(t) = 0). Druhá y2(t) zodpovedá tzv. vnútenej odozve sústavy, t.j. odozve sústavy s budiacim signálom x(t) � 0. O prirodzenej odozve sústavy, ktorej sme priradili vlastné kmity sústavy s frekvenciami p1, p2, ..., pm sme uviedli, že môže mať vo všeobecnosti charakter narastajúcich, ustálených alebo klesajúcich kmitov pri každej frekvencii pi (i = 1, 2, ..., m). Tieto tri možnosti charakterizujú stav sústavy z hľadiska stability. Ak sú splnené tzv. dominantné podmienky, t.j. kmity pri všetkých frekvenciách pi majú klesajúci charakter, tak sústava je stabilná. V opačnom prípade, ak majú kmity aspoň pri jednej frekvencii pi charakter narastajúcich kmitov, tak sústava je nestabilná. V prípade, že kmity aspoň je jednej frekvencii pi majú charakter ustálených kmitov (sú harmonické), tak hovoríme, že sústava je na hranici stability.

21

Tieto tri stavy sústavy môžeme definovať jednak v časovej, jednak vo frekvenčnej oblasti.

Definícia stability LSS v časovej oblasti

LSS ja stabilná, ak jej impulzná charakteristika g(t) je absolútne integrovateľná, t.j.

( )0

g t M∞

= < ∞∫ . (49)

Z danej definície vyplýva, že impulzná charakteristika g(t) musí byť v jej hodnotách ohraničená. LSS je na hranici stability, ak jej impulzná charakteristika g(t) ostáva ohraničená okrem možného konečného počtu bodov nespojitosti. V opačnom prípade je LSS nestabilná.

Definícia stability LSS vo frekvenčnej oblasti

Póly prenosovej funkcie A(p) alebo tiež korene charakteristickej rovnice určujú svojou polohou v p-rovine stabilitu LSS, ktorá je stabilná vtedy, ak všetky póly prenosovej funkcie (korene menovateľa v rov.(11)) ležia v ľavej polrovine p-roviny.

LSS je na hranici stability, ak aspoň jeden pól leží na imaginárnej osi jω p-roviny a je buď jednoduchý alebo tvorí dvojicu komplexne združených pólov, pričom ostatné musia ležať v jej ľavej polrovine. Ak aspoň jeden pól prenosovej funkcie A(p) leží v pravej polrovine p-roviny, potom je LSS nestabilná. Poloha núl prenosovej funkcie A(p) (korene čitateľa v rov.(11)) nie je z hľadiska stability obmedzená, avšak má vplyv na iné vlastnosti LSS. V prípade zložitejších úloh (diferenciálne rovnice 3. rádu a vyššie) sa namiesto priameho riešenia koreňov charakteristickej rovnice s výhodou používajú nepriame metódy skúmania stability, ktoré sa nazývajú kritériami stability. Bolo vypracovaných viacero metód na skúmanie stability LSS. Väčšina z nich vychádza z riešenia charakteristickej rovnice

( ) m m 1m m 1 1 0Q p a p a p ..... a p a 0−−= + + + + = . (50)

22

Nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou pre stabilnú LSS je požiadavka, aby všetky koeficienty ai charakteristickej rovnice (50) boli nenulové a kladné, t.j. ai > 0 pre i=0,1,2,....,m. Existujú rôzne kritéria stability LSS, ktoré sa spravidla delia na kvalitatívne, t.j. také, ktorými zisťujeme, či sústava je alebo nie je stabilná a na kvantitatívne, ktoré určujú aj akúsi mieru stability, resp. nestability. K algebraickým kritériám stability patrí napr. Hurwitzovo, Routhovo - Schurovo, Hájekovo atď. Medzi grafické testy stability patria kritéria Nyquistovo, Cramerovo a iné.

2.5 Prenosové funkcie lineárnych spojitých sústav s minimálnou a neminimálnou fázou

Prenosové funkcie LSS môžu mať minimálnu alebo neminimálnu fázovú frekvenčnú charakteristiku k danému priebehu amplitúdovej charakteristiky.

• Keď nuly prenosovej funkcie ležia v ľavej polrovine alebo na imaginárnej osi p-roviny (žiaden nulový bod neleží v pravej polrovine), ide o prenosovú funkciu s minimálnou fázou.

• Keď aspoň jedna nula prenosovej funkcie leží v pravej polrovine p-roviny, ide o prenosovú funkciu s neminimálnou fázou.

Pre stabilné sústavy so stabilnými nulami odvodil Bode vzťah medzi priebehom amplitúdovej a fázovej charakteristiky, ktorý môžeme aproximatívne vyjadriť vzťahom

arg A�jω ≅ ?@|B�*+|= >?@+ = k

23

Prenosové funkcie s NMF môžu mať rovnakú amplitúdovú charakteristiku, ale rôznu fázovú charakteristiku, z ktorých tá s najmenšími hodnotami fázovej charakteristiky zodpovedá prenosovej funkcii MF.

1. Sústavy s nestabilnými nulami

Uvažujme lineárnu dynamickú sústavu opísaný prenosovou funkciou

A�p = K ∑ ��EF()(%G∑ ��E��$�%G , (52) kde zj sú nuly prenosovej funkcie A (p), pi sú póly A(p) a K je parameter, ktorý je možné vyjadriť pomocou statického zosilnenia Ks

KH = A�0 = K ∑ �EF()(%G∑ �E��$�%G => K = KH ∑ �E��)(%G∑ �EF($�%G . (53) Pre ilustráciu vplyvu nestabilných núl na priebeh fázy budeme pre jednoduchosť uvažovať prenosovú funkciu (52) s jednou nestabilnou nulou zk, zk > 0.

Prenosová funkcia A(p) s polynomiálnym faktorom p −KL v čitateli prenosu môže byť zapísaná vo faktorizovanom tvare pozostávajúcom z časti s neminimálnou fázou a z časti s minimálnou fázou

A�p = AMNO�pANO�p. (54) Stabilným členom p +KL rozšírime čitateľa časti prenosu s minimálnou fázou AMF(p) a zavedieme ho aj do menovateľa časti prenosu s neminimálnou fázou ANMF(p), pretože stabilné póly voči stabilným nulám môžu byť krátené.

Faktorizácia je teda prevedená tak, že časť s neminimálnou fázová má tvar tzv. “all-pass” filtra (v našej literatúre sa pre LSS s prenosovou funkciou týchto vlastností používa názov fázovací dvojbran alebo fázovací článok)

AMNO�p = PEQRPSQR , (55) ktorý má jednotkové zosilnenie pre všetky frekvencie, ale zavádza výrazné fázové oneskorenie. Z dôvodu ilustratívnosti fázového oneskorenia je pre výpočet fázového oneskorenia vhodné v čitateli fázovacieho článku s nestabilnou nulou dočasne zmeniť znamienko, aby sme previedli prenos do

24

kvadrantov umožňujúcich interpretáciu fázového oneskorenia. Na pôvodný tvar prenosu prevedieme následným prenásobením −1, t.j. −1 = 1eE

25

AMNO�p = PSPRPEPR . (56) Fázovací článok má opäť jednotkové zosilnenie pre všetky frekvencie a je možné ukázať, že tento člen zavádza pre 7 ∈ V0,∞ dodatočné fázové oneskorenie v intervale (-180°, 0°) k fázovému oneskoreniu prenosovej funkcie AMF(p) , pričom X�\L = −90°.

26

3. PÔSOBENIE LINEÁRNYCH SPOJITÝCH SÚSTAV NA

NÁHODNÉ SIGNÁLY

Analyzujme pôsobenie LSS (s prvkami so sústredenými parametrami, neparametrickej, časovo invariantnej) na stacionárne náhodné signály, čo v konečnom znamená vypočítať charakteristiky výstupných signálov, t.j. odozvy, ak sú známe charakteristiky sústavy a vstupných náhodných signálov. Vlastnosti ideálnej LSS nemenia charakter prenášaného signálu, t.j. ak je budiaci signál náhodný, bude mať náhodný charakter aj výstupný signál. Navyše nám konštantnosť parametrov prvkov sústavy zabezpečí, že sa stacionárnosť resp. ergodičnosť vstupných náhodných signálov pri prenose nemení. Budeme sa zaoberať pôsobením lineárnej spojitej sústavy definovanej charakteristikami –

frekvenčná prenosová funkcia a impulzná charakteristika t.j. ( ) ( ){ }A j ,g tω na vstupný stacionárny náhodný signál X(t) popísaný jeho základnými charakteristikami – stredná hodnota, autokorelačná funkcia, výkonová

spektrálna hustota t.j. ( ) ( ){ }x x xm ,R ,Sτ ω a budeme hľadať charakteristiky ( ) ( ){ }y y ym ,R ,Sτ ω výstupného náhodného signálu Y(t), ako to ilustruje obr.12.

Obr.12. Prenos náhodného signálu LSS.

3.1. Autokorelačná funkcia výstupného náhodného signálu

Ak LSS pôsobí na realizáciu náhodného signálu x(t) a poznáme jej impulznú charakteristiku g(t), pomocou rov.(32) vieme vypočítať odozvu y(t) takto

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t *g t x g t d∞

−∞

= = τ − τ τ∫ . (57)

Symbolicky možno nahradiť x(t) v rov. (57) náhodným vstupným signálom X(t) a y(t) náhodným výstupným signálom Y(t). Potom platí

27

( ) ( ) ( )Y t X g t d∞

−∞

= τ − τ τ∫ . (58)

Vzťah v rov.(58) je len formálny, pretože funkcie X(t) a Y(t) nie sú analyticky vyjadrené. Preto je potrebné nájsť také vzťahy medzi vstupným a výstupným náhodným signálom, ktoré by vyjadrovali vzťahy medzi ich charakteristikami. Potom pre strednú hodnotu výstupného náhodného signálu Y(t) dostaneme

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

y

x

m t E Y t E g t X d

g t E X d g t m d

∞

−∞∞ ∞

−∞ −∞

= = − τ τ τ =

= − τ τ τ = − τ τ τ

∫

∫ ∫

(59)

Pre stacionárny náhodný signál mx(t) = mx (konštanta) a po dosadení do rov.(59) máme

( ) ( ) ( )y x xm E Y t m g u du m A 0∞

−∞

= = = ∫ (60)

Pre náhodné signály X(t) a Y(t) sú autokorelačné funkcie definované vzťahmi

( ) ( ) ( )xR t, t ' E X t X t '= , (61)

( ) ( ) ( )yR t, t ' E Y t Y t '= , (62)

kde t, 't sú dva rôzne časové rezy. Dosadením rov.(58) do rov.(62) dostaneme

( ) ( ) ( ) ( ) ( )yR t, t ' E X t g d X t ' g d∞ ∞

−∞ −∞

= − τ τ τ − τ τ τ

∫ ∫ (63)

Úpravami možno získať

( ) ( ) ( ) ( ) ( )yu v

R t, t ' g u g v E X t u X t ' v dudv∞ ∞

=−∞ =−∞

= − − = ∫ ∫

( ) ( ) ( )xR t u, t ' v g u g v dudv∞ ∞

−∞ −∞

= − −∫ ∫ (64)

28

Pre stacionárny náhodný signál platí t ' t= + τ a zároveň použijeme označenie ( ) ( )x xR t, t R+ τ = τ a ( ) ( )y yR t,t R+ τ = τ . Potom

( ) ( ) ( ) ( )y xR R v u g u g v dudv∞ ∞

−∞ −∞

τ = τ − +∫ ∫ (65)

Pre reálne LSS je g(t)=0, ak t 0< a preto

( ) ( ) ( ) ( )y x0 0

R R v u g u g v dudv∞ ∞

τ = τ − +∫ ∫ (66)

Výraz v argumente funkcie Rx t.j. v uτ − + dostaneme jednoduchou úpravou. Keďže t ' tτ = − a posunutie pre t ' bude t ' v− ,resp. pre t zasa ut − , potom rozdielu t ' t− zodpovedá rozdiel ( ) ( )t ' v t u− − − čo je vlastne utvt ' +−− alebo v uτ − + . Všetky funkcie v rov. (66) sú analyticky vyjadrené a preto možno urobiť jej exaktný výpočet.

Štatistickú strednú kvadratickú hodnotu výstupného náhodného signálu Y(t) možno získať pomocou autokorelačnej funkcie z rov.(66) pre 0τ = , t.j.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 y x yE Y t R 0 R u v g u g v dudv P∞ ∞

−∞ −∞

= = − = ∫ ∫ (67)

Stredná kvadratická hodnota ( )2E Y t fyzikálne predstavuje celkový stredný normovaný výkon Py výstupného náhodného signálu Y(t).

3.2. Spektrum výstupného náhodného signálu

Iná možnosť charakterizovania výstupného náhodného signálu Y(t), ktorý je odozvou na vstupný stacionárny náhodný signál, je pomocou jeho výkonovej spektrálnej hustoty. Z Wienerovych-Chinčinovych vzťahov z teórie signálov pre náhodné signály X(t) a Y(t) dostaneme

( ) ( ) jx xS R e d∞

− ωτ

−∞

ω = τ τ∫ (68)

29

( ) ( ) jy yS R e d∞

− ωτ

−∞

ω = τ τ∫ (69)

Dosadením rov. (66) do rov. (69) a po úpravách máme

( ) ( ) ( ) ( ) jy xS g u g v R v u e dudv∞ ∞ ∞

− ωτ

−∞ −∞ τ=−∞

ω = τ − +∫ ∫ ∫ (70)

Po substitúcii z v u= τ − + , z čoho dz d= τ bude

j j z j v j ue e e e− ωτ − ω − ω ω= (71)

potom z rov.(70) prejde do tvaru

( ) ( ) ( ) ( )j u j v j zy xS g u e du g v e dv R z e dz∞ ∞ ∞

ω − ω − ω

−∞ −∞ −∞

ω = ∫ ∫ ∫ (72)

Medzi komplexnou frekvenčnou charakteristikou A(jω) a impulznou charakteristikou g(t) platí známy vzťah, že

( ) ( ) ( ) j tA j F g t g t e dt∞

− ω

−∞

ω = = ∫ (73)

alebo tiež platí

( ) ( ) j tA j g t e dt∞

ω

−∞

− ω = ∫ . (74)

Potom pre výkonovú spektrálnu hustotu výstupného náhodného z rov.(72)signálu môžeme napísať

( ) ( ) ( ) ( )y xS A j A j Sω = − ω ω ω (75)

Pretože platí, že

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* 2A j A j A j A j A− ω ω = ω ω = ω , (76)

kde A(ω) je amplitúdová frekvenčná charakteristika LSS, bude výsledný vzťah pre výkonovú spektrálnu hustotu výstupného náhodného signálu

( ) ( ) ( )2y xS A Sω = ω ω (77)

30

Výrazu (75) v časovej oblasti zodpovedá autokorelačná funkcia ( )yR τ výstupného stacionárneho signálu, ktorú možno vypočítať takto

( ) ( ) ( ) ( )y xR g *g *Rτ = τ −τ τ . (78)

Štatistickú strednú kvadratickú hodnotu výstupného náhodného signálu možno

vypočítať pomocou jeho výkonovej spektrálnej hustoty ( )ωyS takto

[ ] y0

x2

yy2 Pd)(S)(A

2

1d)(S

2

1)0(R)t(YE =ωωω

π=ωω

π== ∫∫

∞∞

∞−

. (79)

3.3. Odozva lineárnej spojitej sústavy na biely šum

Šum je obyčajne používaný pre označenie nežiaducich signálov, ktoré rušia prenos užitočných signálov reálnymi sústavami a ktorých pôsobenie nemožno úplne ovládať. V telekomunikačných systémoch existuje mnoho zdrojov šumu. Šumy možno deliť napr. na umelé a prirodzené. Umelé šumy vznikli činnosťou človeka (komutačné motory, trakcie, rušenie motorovými elektrickými vozidlami pod.). Tieto šumy možno teoretický úplne potlačiť. Prirodzené šumy sú napr. šumy v atmosfére kozmického priestoru. Všetky vyššie uvedené druhy šumov sa niekedy označujú ako šumy vonkajšie, z hľadiska prenosového systému. Na druhej strane existujú šumy vnútorné, ktorých pôvod je v spontánnych fluktuáciách nosičov náboja. Z hľadiska prvého delenia sú to šumy prirodzené. Tieto šumy sa vyskytujú vo všetkých telekomunikačných systémoch a sú základným obmedzením pre prenos, resp. detekciu užitočných signálov.

Zo šumov elektrických obvodov sú najznámejšie: tepelný, výstrelový a rozdielový šum. Všetky šumy elektrických obvodov majú nulovú strednú hodnotu a Gaussovo (normálne) rozdelenie pravdepodobnosti jeho hodnôt.

Biely šum je abstraktný pojem, nie je to označenie žiadneho konkrétneho šumu. Ak považujeme šum za náhodný proces, potom možno definovať biely šum pomocou výkonovej spektrálnej hustoty, ktorá je pre neho konštantná a nezávislá od frekvencie. Pojem biely vznikol analógiou s bielym svetlom obsahujúcim všetky zložky viditeľného spektra. Za biely šum považujeme napr. vyššie uvedené šumy elektrických obvodov, atmosférické šumy, galaktické

31

šumy a pod. Podmienkou je, aby spektrum šumu bolo približne konštantné v pásme podstatne širšom ako je frekvenčné pásmo uvažovanej sústavy. Pretože šumy, ktoré považujeme za biely šum majú Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti, nazýva sa biely šum tiež Gaussov šum.

Uvažujme na vstupe LSS s impulznou charakteristikou g(t) biely šum

s konštantnou výkonovou spektrálnou hustotou ( )x 0S Nω = a autokorelačnou funkciou

( ) ( )x 0R Nτ = δ τ . (80)

Autokorelačnú funkciu výstupného náhodného signálu dostaneme dosadením rov. (80) do rov. (78)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y 0 0 0R N g g N g g N g u g u du∞

−∞

τ = δ τ ∗ τ ∗ −τ = τ ∗ −τ = τ +∫ .

(81)

Dosadením ( )x 0S Nω = do rov. (77) bude výkonová spektrálna hustota výstupného náhodného signálu

( ) ( )2y 0S A Nω = ω . (82)

32

4. MNOHOKANÁLOVÉ LINEÁRNE SPOJITÉ SÚSTAVY

Zovšeobecnením predtým analyzovaných jednokanálových LSS sú mnohokanálové LSS (MKLSS). MKLSS umožňujú reprezentovať determinované signály s ohraničeným spektrom pomocou vzoriek odoberaných v jednotlivých kanáloch so vzorkovacou frekvenciou v - krát menšou, než je Nyquistova frekvencia f0 pri rovnomernom vzorkovaní, pričom v je počet kanálov. To je výhodné napr. vtedy, keď šírka spektra vstupného signálu vyžaduje vzorkovaciu frekvenciu vyššiu, ako sú možnosti dostupnej technológie napr. pri pásmovom kódovaní.

Bloková schéma mnohokanálovej lineárnej spojitej sústavy, ktorá pozostáva z časti analýzy a syntézy je znázornená na obr. 13.

Analýza Syntéza

Obr.13. Mnohokanálová lineárna spojitá sústava.

Vstupný analógový signál x(t) sa privádza do filtrov analýzy, pričom ich výstupné signály x[�t sú vzorkované pomocou postupnosti Diracovych impulzov δ�t J nT. Pri rekonštrukcii sa vzorkované signály x[∗�t privádzajú do filtrov syntézy a signály z ich výstupov sú nakoniec sčítané v sumátore.

33

MKLSS dokonale rekonštruuje vstupný signál x�t s ohraničeným spektrom X̀(ω) na intervale 〈−ω�, ω�〉 pomocou vzoriek odoziev x[�t na výstupoch filtrov analýzy s komplexnými frekvenčnými charakteristikami G[ddd�ω a spoločným vstupom x�t. Pritom vzorkovacia perióda T = vTf a vzorkovacia frekvencia v jednotlivých kanáloch

f = hi& = j&h , (83) pričom Nyquistova frekvencia ff = 2f�, kde f� je maximálna frekvencia spektra vstupného signálu. Spätnú rekonštrukciu signálu x�t vykonáme, ak pre dané komplexné frekvenčné charakteristiky G[ddd�ω vypočítame funkcie Y[ddd�ω, t z nasledujúcej sústavy lineárnych algebrických rovníc

lmmn G

ddd�ωGddd�ω + ω= G�ddd�ωG�ddd�ω + ω= … Ghddd�ω… Ghddd�ω + ω=⋮ ⋮ ⋮GdddVω + �v − 1ω=q G�dddVω + �v − 1ω=q … GhdddVω + �v − 1ω=qrsstlmmnỲ�ω, tY�ddd�ω, t⋮Yhddd�ω, trs

st =

= u 1e*+v�⋮e*�hE

+v�w , (84) pričom

ω= = �

34

4.1. MKLSS s oneskorením signálu v jednotlivých kanáloch

Túto modifikáciu MKLSS dostaneme, ak signál x�t v jednotlivých kanáloch oneskoríme o časovú konštantu α[. Signálx�t je pritom jednoznačne určený postupnosťami vzoriek x�nT + α[, |α[| < T/2, pričom G[ddd�ω = e*αω, x[�t = x�t + α[ Pre = máme = .

Gddd�ω = e*αGω, x�t = x�t + α

, G�ddd�ω = e*αω, x��t = x�t + α� .

Po dosadení do sústavy rov. (84) dostávame nasledovnú sústavu rovníc

e*αGωỲ�ω, t + e*αωY�ddd�ω, t = 1 e*αG�ωSω)Ỳ�ω, t + e*α�ωSω)Y�ddd�ω, t = e*ω)� . (88) Jej riešením sú funkcie

Ỳ�ω, t = E(ω)�αE(ω)�αGαeE*αGω , (89)

Y�ddd�ω, t = E(ω)�αGE(ω)�ααGeE*αω . (90) Po dosadení rov.(89), (90) do rov. (86) impulzné charakteristiky filtrov analýzy (oneskorovacie články) sú

y�t = E(ω)�αE(ω)�αGα E(ω)�αG*ω)��EαG , (91)

y��t = E(ω)�αGE(ω)�ααG E(ω)�α*ω)��Eα . (92)

Z posledných dvoch vzťahov vyplýva vzájomná súvislosť medzi týmito impulznými charakteristikami t.j.

y��t,α, α� = y�t,α�, α

. (93) Úpravou rov. (91) získame pre y�t výsledný vzťah v tvare

35

y�t = Si ω)��EαG� H�{Vω)��Eα/�qH�{Vω)�αGEα/�q , (94) ktorý možno prepísať do tvaru

y�t = ω)��EαG ?HVω)�αEαG/�qE?Hω)��EαGα H�{Vω)�αGEα/�q . (95)

Analogicky dostaneme pre druhú impulznú charakteristiku

y��t = Si ω)��Eα� H�{Vω)��EαG/�qH�{Vω)�αEαG/�q (96) alebo

y��t = ω)��Eα ?HVω)�αGEα/�qE?Hω)��EααG H�{Vω)�αEαG/�q . (97)

Platí, že

y��t = y�α + α� − t , (98)

t.j. impulzná charakteristika � je zrkadlovým obrazom impulznej charakteristiky � vzhľadom na os zrkadlenia prechádzajúcu bodom t� = αGSα� . (99) Pre zvolené = − = máme

y�t = ?Hω)αE?Hω)�ω) H�{ω)α �Eα, (100)

y��t = ?Hω)αE?Hω)�ω) H�{ω)α �Sα . (101)

Dosadením rov. (100) a (101) do rov. (87) dostaneme

x�t = ?Hω)αE?Hω)�ω) H�{ω)α ∑ �{iSα�E{iEα − �{iEα�E{iSα∞{�E∞ . (102)

36

Pre zvolené � 0, � � − bude

y�t = ?Hω) E ?Hω)��Sαω)� H�{ω)α , (103) y��t = ?Hω) E ?Hω)��Sαω)��Sα H�{ω)α (104) a rekonštruovaný signál

x�t =

ω) H�{ω)α ∑ cos ω)α� − cosω��t − nT + α�∞{�E∞ �{i�E{i − �{iEα�E{iSα

(105)

pre = a α = 0, α� = −α, α = −2α bude = / G̀�ω = 1, G̀��ω � eE*α ω, G̀�ω � eE*�α ω,

x�t = x�t, x��t = x�t − α, x�t = x�t − 2α.

Analogicky riešením sústavy rov. (84) vypočítame funkcie

Ỳ�ω, t = �(ωvE(ωvα �(ωvE(ωvS(αωv�E(αωv , (106)

Ỳ��ω, t = �E(ωv �(ωvE(ωv�E(ωv e*α�ωSωv, (107)

Ỳ�ω, t = �E(ωv �E(ωv�α

S(ωv�E(ωv e*�αω. (108) Potom výsledný analógový signál

x�t = � Vx�nTy�t − nT + x�nT − αy��t − nT + x�nT − 2αy�t − nTq∞{�E∞ kde (109)

y�t = H�{ωv ��Sα H�{ωv ��S�αH�{ωv α �H�{ωvα Si�ωv�� , (110)

37

y��t = ?Hωv��SαE ?Hωvα�H�{ωv Si�ωv� �t + α

, (111)

y�t = H�{ωv �H�{ωv ��SαH�{ωv α�H�{ωvα Si�ωv� �t + 2α

. (112)

Impulzné charakteristiky (pre v = 2a3 sú charakteristické tým, že okrem funkcie Si�t obsahujú aj funkciu sin�t (pre v = 2, 3) alebo sin�t a cos�t (pre v = 3.

4.1.1. Výsledky simulácie dvojkanálovej a trojkanálovej LSS s oneskorením signálu v jednotlivých kanáloch

Pre simuláciu na počítači bol zvolený vstupný analógový signál

x�t =

S� ,t ∈ 〈−5,5〉 . (113) Spektrum tohto signálu X̀�ω = πeE|ω| nie je ohraničené, ale vyznačuje sa rýchlym exponenciálnym poklesom pri narastaní kruhovej frekvencie. Praktická šírka spektra je určená maximálnou frekvenciou f� = π/2 Hz, pričom rozdiel medzi signálom x�t a signálom s praktickou šírkou spektra dosahuje maximum v bodet = 0 a je rovný ∆�'� = 2,675.10E¤. Z toho vyplýva, že je to zanedbateľná hodnota a preto signál x�turčený rov. (113) možno použiť pre nasledovnú simuláciu. Ako kritéria pre posúdenie presnosti rekonštrukcie bola zvolená stredná kvadratická chyba medzi vstupným signálom x�t a rekonštruovaným analógovým signálom x¥�t určená na intervale rekonštrukcie 〈−5,5〉 takto #E'x Vx�t − x¥�tq�dt,b = −a = 5#' (114) Výpočet integrálu vo vzťahu (114) bol realizovaný numericky s použitím lichobežníkového pravidla s krokom 0,05. Pre ilustráciu uvádzame najprv výsledky simulácie pre dvojkanálovú LSS, kedy sa vychádzalo z rov. (102). Na obr.14 sú - rekonštruovaný analógový signál x¥�t v prvom kanáli a rekonštruovaný signál x¥��t v druhom kanáli, pričom α = −α� = α = 0,1 a vzorkovacia frekvencia f � π/2 Hz.

38

a) b)

Obr. 14. Rekonštruovaný analógový signál a) 3¥�4 v prvom kanáli, b) 3¥��4 v druhom kanáli; = −� = = 0,1; f = π/2 Hz.

Úplný rekonštruovaný signál x¥�t spolu s priebehom vstupného analógového signálu x�t je na obr.15a), pričom stredná kvadratická chyba ε � 0,518711. 10E©. Analogicky bola tiež vypočítaná stredná kvadratická chyba ε � 0,505863. 10E©, pričom parametre α � 0, Jα� � α � 0,1 a vzorkovacia frekvencia f � π/2 Hz. Uvedené stredné kvadratické chyby sú toho istého rádu a rozdiel medzi nimi je veľmi malý. Rozdielne časové oneskorenia α � 0,1 a α � 0 nemajú výrazný vplyv na vypočítanú strednú kvadratickú chybu. Na obr.15b) je grafická závislosť strednej kvadratickej chyby ε od časového oneskorenia α vzoriek vstupného signálu x�t pre dvojkanálovú LSS, pričom α � Jα� � α= 0,1 a vzorkovacia frekvencia f � π/2 Hz. Vypočítané hodnoty εprislúchajúce tomuto grafu sú uvedené v Tab.1.

a) b)

Obr. 15. a) Úplný rekonštruovaný analógový signál 3¥�4; � J� � �0,1; f = π/2 Hz; ɛ = 0,518711 10E©; b) závislosť strednej kvadratickej chyby ɛ od časového oneskorenia .

39

Tab. 1 Alfa Stredná kvadratická chyba 0,02 0,49043475392 D-04 0,04 0,49323732995 D-04 0,06 0,49830671814 D-04 0,08 0,50632442135 D-04 0,1 0,51871158846 D-04 0,12 0,53655815620 D-04 0,14 0,56385897668 D-04 0,16 0,60587099552 D-04 0,18 0,67271544460 D-04 0,2 0,78480998854 D-04 0,22 0,98397128115 D-04 0,24 0,13795598826 D-03

Analogické výsledky obr.16 až obr.19 uvádzame aj pre trojkanálovú

LSS, pričom α = 0, α� � Jα, α � J2α, α � 0,2 a vzorkovacia frekvencia f � π/3 Hz. Stredná kvadratická chyba rekonštruovaného signálu x�t je ε � 0,130871. 10Eª.

Obr. 16. Rekonštruovaný analógový signál 3¥�4 v prvom kanáli,

α � 0,α� � Jα, α � J2α,α � 0,2; f = π/3 Hz.

40

Obr. 17. Rekonštruovaný analógový signál 3¥��4 v druhom kanáli,

α = 0,α� � Jα, α � J2α,α � 0,2; f = π/3 Hz.

Obr. 18. Rekonštruovaný analógový signál 3¥�4 v treťom kanáli,

α � 0,α� � Jα, α � J2α,α � 0,2; f = π/3 Hz.

41

Obr. 19. Úplný rekonštruovaný analógový signál 3¥�4,

α = 0,α� � Jα, α � J2α,α � 0,2; f = π/3 Hz; ɛ = 0,130871 10Eª.

Na obr.20 je grafická závislosť strednej kvadratickej chyby ε od časového oneskorenia α vzoriek vstupného signálu x�t pre trojkanálovú LSS, pričom α � 0, α� � Jα, α � J2α, α � 0,2 a vzorkovacia frekvencia f � π/3 Hz. Príslušné hodnoty ε sú v Tab.2.

Porovnaním strednej kvadratickej chyby ε � 0,566419. 10E¬ (Tab. 2) pre trojkanálovú LSS s α � 0, α� � Jα, α � J2α, α � 0,2 ; f � π/3 Hz so strednými kvadratickými chybami pre dvojkanálovú LSS, t.j. ε � 0,518711. 10E©, pričom α � Jα� � α � 0,1 ; f � π/2 Hz a ε �0,505863. 10E© , pričom α � 0, α� � Jα � 0,1; f � π/2 Hz vidno, že táto chyba je takmer o dva rády menšia ako pre dvojkanálovú LSS.

Obr.20. Závislosť strednej kvadratickej chyby ɛ od časového oneskorenia ; α � 0,α� � Jα, α � J2α,α � 0,2; f = π/3 Hz.

42

Tab.2 Alfa Stredná kvadratická chyba

0,02 0,42240564519 D-06

0,04 0,43875821588 D-06 0,06 0,46697558299 D-06 0,08 0,50866797329 D-06 0,1 0,56641983604 D-06 0,12 0,64412371655 D-06 0,14 0,74743108988 D-06 0,16 0,88436583120 D-06 0,18 0,10661933047 D-05 0,2 0,13087193328 D-05 0,22 0,16343371726 D-05 0,24 0,20754086440 D-05

Stredná kvadratická chyba pre dvojkanálovú aj trojkanálovú LSS narastá exponenciálne v závislosti od oneskorenia pri konštantnej hodnote vzorkovacej frekvencie. Odvodenie impulzných charakteristík pre v = 3 a všeobecne zvolené časové oneskorenia α, α�, α je zložité a táto zložitosť ďalej rastie s počtom kanálov.

4.2. MKLSS s použitím derivácií vstupného signálu

MKLSS umožňuje vyjadriť signál x�t pomocou jeho vzoriek a vzoriek jeho v-1 derivácií, pričom G̀[�ω = �jω[E a x[�t = x�[E

�t =d�[E

x�t/dt. Pre = bude T = 2π/ω�, ω= = ω�, x�t = x�t, x��t = x´�t, G̀�ω = 1, G̀��ω � jω. Po dosadení do sústavy rov. (84) dostávame túto sústavu rovníc

Ỳ�ω, t + jωỲ��ω, t = 1 , Ỳ�ω, t + j�ω+ ω�Ỳ��ω, t = e*ω)�. (115)

43

Jej riešením sú funkcie

Ỳ�ω, t = 1 J ωω) e*ω)� − 1, (116) Ỳ��ω, t = *ω) e*ω)� − 1. (117) Po dosadení rov. (116), (117) do rov. (86) dostaneme príslušné impulzné charakteristiky

y�t = H�{ω)ω) ® = VSi�ω�t/2q� = VSi�πftq� , (118) y��t = H�{ω)ω) ® = tVSi�ω�t/2q� = ty�t . (119) Dosadením rov. (118), (119) do rov. (87) vypočítame rekonštruovaný analógový signál takto

x�t = 4sin��ω)�� ∑ �{i�ω)�E�{π + ´�{iω)�ω)�E�{π =∞{�E∞

= ∑ Vx�nT + �t − nTx´�nTq0SiVπ�t − nT/Tq1�∞{�E∞ . (120)

Pre = máme T = 3π/ω�, ω= = 2ω�/3, x�t = x�t, x��t = x´�t, x�t = x´´�t, G̀�ω = 1, G̀��ω � jω, G̀�ω = −ω�. Analogickým spôsobom ako pre v = 2 vypočítame funkcie Ỳ�ω, t = 1 � �E(ωvωv J �ω� ω=Ỳ�ω, t , (121) Ỳ��ω, t = j �E(ωvωv − j�2ω+ ω=Ỳ�ω, t , (122) Ỳ�ω, t = − � �(ωvEωv � . (123) Aplikovaním rov. (86) vypočítame nasledovné impulzné charakteristiky

y�t = 1 � ω) �¯ VSi�ω�t/3q , (124) y��t = tVSi�ω�t/3q , (125)

44

y�t � �� VSi�ω�t/3q . (126) Potom výsledný rekonštruovaný signál má tvar

x�t � ∑ °±�1 � ω) ��E{i¯ x�nT � �t J nTx´�nT � ��E{i� x´´�nT²³∞{�E∞ . . Si�ω) �t J nT

� ∑ V�1 � �πj��E{i� x�nT � �t J nTx´�nT � ⋯�∞{�E∞ � ��E{i� x´´�nTqVSi�πf�t J nT

q (127)

4.2.1. Výsledky simulácie dvojkanálovej a trojkanálovej LSS s použitím derivácií vstupného signálu

Pre simuláciu bol opäť použitý signál x�t daný rov. (113) a stredná kvadratická chyba bola počítaná na intervale 〈J5,5〉. Uvedieme najprv výsledky pre dvojkanálovú LSS, pričom vzorkovacia frekvencia f � π/2 Hz. Na obr.21 a obr.22 sú - rekonštruovaný signál x¥�t v prvom kanáli a rekonštruovaný signál x¥��t v druhom kanáli. Úplný rekonštruovaný signál x¥�t spolu s priebehom vstupného analógového signálu x�t je na obr.23, pričom stredná kvadratická chyba ε � 0,489538. 10E©.

Obr. 21. Rekonštruovaný analógový signál 3¥�4 v prvom kanáli, f = π/2 Hz.

45

Obr. 22. Rekonštruovaný analógový signál 3¥��4 v druhom kanáli, f = π/2 Hz.

Obr. 23. Úplný rekonštruovaný analógový signál 3¥�4, f = π/2 Hz;

ɛ = 0,489538 10E©.

Z obr.23 vidno, že rekonštruovaný signál x¥�t dobre aproximuje vstupný analógový signál x�t. Väčšia chyba na koncoch intervalu rekonštrukcie vzniká v dôsledku useknutia radu daného rov. (120). Vypočítali sme tiež závislosť strednej kvadratickej chyby ε od vzorkovacej frekvencie, ktorá sa menila od hodnoty π/20 Hz. Výsledky sú v Tab.3, kde je uvedený aj počet vzoriek pre rekonštrukciu v každom z kanálov. Z Tab.3 je zrejmé, že hodnota strednej kvadratickej chyby ε sa výrazne mení od hodnoty vzorkovacej frekvencie f � 7π/20 Hz smerom hore. Rekonštruovaný signál x¥�t sa málo líši od pôvodného vstupného analógového signálu x�t aj pre vzorkovaciu frekvenciu menšiu ako π/2 Hz.

46

Tab. 3 Vzorkovacia frekvencia

Počet vzoriek

Stredná kvadratická chyba

π/20 1 0,11675471456 D 00 2π/20 3 0,15108905311 D-01 3π/20 5 0,12562774211 D-02 4π/20 7 0,30138181940 D-03 5π/20 7 0,16077791236 D-03

6π/20 9 0,42992131657 D-04 7π/20 11 0,79256936688 D-05

8π/20 13 0,15473429211 D-05

9π/20 15 0,10801306748 D-05 10π/20 15 0,48953821108 D-04

Analogické výsledky na obr.24 a obr.25 uvádzame aj pre trojkanálovú LSS vstupného signálu, pričom vzorkovacia frekvencia f � π/3 Hz. Stredná kvadratická chyba rekonštruovaného signálu x�t je ε � 0,417046. 10E¬. Porovnaním tejto strednej kvadratickej chyby so strednou kvadratickou chybou pre v � 2, f � π/2 Hz vidno, že je nižšia rádovo o 10E�. V Tab.4 sú uvedené výsledky závislosti strednej kvadratickej chyby ε od vzorkovacej frekvencie, ktorá sa menila od hodnoty f � π/30 Hz po π/3 Hz. Uvedený je aj počet vzoriek pre rekonštrukciu v každom kanáli. Z tejto tabuľky je zrejmé, že hodnota strednej kvadratickej chyby ε sa výrazne nemení pre vzorkovaciu frekvenciu 6π/30 Hz < f < π/3 Hz a rekonštruovaný signál x¥�t sa veľmi nelíši od pôvodného vstupného analógového signálu x�t.

Obr.24. Rekonštruovaný analógový signál a) 3¥�4 v prvom kanáli, b) 3¥��4 v druhom kanáli, c) 3¥�4 v treťom kanáli; f = π/3 Hz.

47

Obr. 25. Úplný rekonštruovaný analógový signál 3¥�4, f = π/3 Hz; ɛ = 0,417046 10E´.

Tab. 4

Vzorkovacia frekvencia

Počet vzoriek

Stredná kvadratická chyba

π/30 1 0,14793061248 D 02 2π/30 3 0,32174917970 D 00 3π/30 3 0,18710996621 D-01 4π/30 5 0,16932421450 D-02 5π/30 5 0,27413541047 D-03

6π/30 7 0,17763692363 D-04 7π/30 7 0,33029641543 D-04

8π/30 9 0,12617874631 D-05

9π/30 9 0,41684307926 D-04 10π/30 11 0,41704634299 D-06

Vypočítané boli ďalej stredné kvadratické chyby ε pre trojkanálovú LSS s použitím derivácií (3KLSS_D) alebo s časovým oneskorením (3KLSS_O) vstupného signálu v jednotlivých kanáloch s α � 0,α� � Jα, α � J2α, α � 0,2, pričom vzorkovacia frekvencia f � π/3 Hz a celkový počet vzoriek 9, 15, 21. Kvôli porovnaniu uvedených dvoch modifikácií trojkanálovej LSS s jednokanálovou LSS boli vypočítané stredné kvadratické chyby aj pre tento prípad, pričom počet vzoriek sa nezmenil a vzorkovacia frekvencia f � π Hz. Stredné kvadratické chyby ε (Tab. 5) sú toho istého rádu a rozdiel medzi nimi je

48

veľmi malý, z čoho vyplýva možnosť náhrady jednokanálového rovnomerného vzorkovania s rozpracovanými modifikáciami MKLSS. Tab. 5

Stredná kvadratická chyba Celkový počet

vzoriek pre rekonštrukciu

1K LSS

3K LSS_D

3K LSS_O

9 0,0133173728 0,0120153084 0,0129427739 15 0,0034882259 0,0033812278 0,0033812278 21 0,0010959566 0,0010319848 0,0010645218

Porovnaním rekonštruovaných signálov v jednotlivých kanáloch pre dvojkanálovú a trojkanálovú LSS s oneskorením signálu v jednotlivých kanáloch s rekonštruovanými signálmi v jednotlivých kanáloch pre dvojkanálovú a trojkanálovú LSS s použitím derivácií vstupného signálu x�t sú zrejmé rozdiely medzi nimi, čo súvisí predovšetkým s daným charakterom filtrov analýzy použitej MKLSS. Výsledný rekonštruovaný signál x¥�t u obidvoch modifikácií však dobre aproximuje pôvodný vstupný signál.

4.3. MKLSS s rozdelením spektra vstupného signálu na pásma

Vo všeobecnosti bloková schéma mnohokanálovej lineárnej spojitej sústavy (obr.13) obsahuje filtre analýzy a syntézy s komplexnými frekvenčnými charakteristikami G̀[(ω) a H̀[ (ω). Ak komplexné frekvenčné charakteristiky G̀[(ω), k = 1, 2,..., v filtrov analýzy nie sú ideálne pásmovo ohraničené funkcie, potom po vykonaní vzorkovania signálov xk(t) na výstupoch týchto filtrov so vzorkovacou frekvenciou f = 1/T = 1/vT0 (rov.83) dochádza k prekrývaniu sa hlavnej a postranných zložiek spektra X̀[∗ (ω) vzorkovaného signálu x[∗ (t). Pretože komplexné spektrum vzorkovaného signálu xk(t) v k – tom kanáli

X̀[∗�ω = i∑ X̀[�ω− nω= = i∑ X̀�ω− nω=∞{�E∞ G̀[�ω− nω=∞{�E∞ , (128)

možno komplexné spektrum rekonštruovaného analógového signálu x¥(t) na výstupe MKLSS vyjadriť nasledovne

49

X̀µ�ω = i∑ X̀�ω− nω=∑ G̀[�ω− nω=h[� H̀[�ω∞{�E∞ (129) Prekrývajúce sa zložky potlačíme pomocou vhodných kombinácií komplexných

frekvenčných charakteristík G̀[(ω), H̀[(ω) filtrov analýzy a syntézy. Potom výsledná MKLSS má komplexnú frekvenčnú charakteristiku

K̀�ω = ¶̀µ�ω¶̀�+ = i ∑ G̀[�ωH̀[�ωh[� . (130) Keď G̀[�ω a H̀[ (ω) sú zvolené tak, že K̀(ω) zodpovedá ideálnemu fázovému článku, potom x¥(t) = c x(t - t0). Dokonale rekonštruovaný analógový signál, t.j. x¥�t) = x(t) môžeme dostať, ak budú splnené nasledujúce rovnice pre všetky n G̀�ω− nω=H̀�ω + G̀��ω− nω=H̀��ω + ⋯ .+G̀h�ω− nω=H̀h�ω =

= Tδ�n , (131) kde δ (n) je Kroneckerova delta funkcia. Zvolíme komplexné frekvenčné charakteristiky filtrov syntézy tak, aby H̀[�ω = 0 pre |ω| ≥ ω�. Potom pre −ω� < 7 ≤ 0 uvažujeme v rov. (131) n = 0, -1, -2, ..., - (v-1) a pre 0 ≤ ω < ωm bude n = 0, 1, 2, ...., (v-1).

Vo všeobecnosti pre v kanálov vypočítame H̀[�ω z nasledujúcej sústavy rovníc v maticovom tvare

lmmmn G̀�ω G̀��ω… G̀h�ω¹̀G�ω±ωv⋮¹̀GVω±�hE

ωvq

G̀��ω± ω= … G̀��ω± ω=⋮G̀�Vω± �v − 1ω=] ⋮G̀hVω± �v J 1ω=]rssst »¼̀G�ω¼̀�ω⋮¼̀½�ω¾ � u

T0⋮0w, (132)

pričom v zátvorke pre − ωm < ω ≤ 0 platí kladné a pre 0 ≤ ω < ωm záporné znamienko. Predpokladajme, že matice veľkosti (v x v) sú nesingulárne, potom možno vypočítať H̀�ω až H̀h�ω pre každé z uvedených frekvenčných pásiem. Za predpokladu, že filtre analýzy majú vlastnosti reálnych sústav t.j. pre ich komplexné frekvenčné charakteristiky platí

50

G̀�Jω � G̀∗�ω až G̀h�Jω � G̀h∗�ω, (133) potom aj filtre syntézy budú mať túto vlastnosť, t.j.

H̀�Jω � H̀∗�ω až H̀h�Jω � H̀h∗�ω. (134) Pre ilustráciu uvažujeme systém s dvomi kanálmi (v = 2). Dokonale rekonštruovaný vstupný analógový signál dostaneme, keď budú splnené nasledujúce rovnice pre všetky n

G̀�ωJ nω=H̀�ω � G̀��ωJ nω=H̀��ω � Tδ�n, (135) pričom ωd = 2π/T = ωm a spektrumX̀�ωJ nω= pre jednotlivé hodnoty parametra n je na obr. 26.

Obr. 26. Hlavná zložka a postranné zložky spektra ¿d�ωJ ÀωÁ.

Sústava rov. (132) sa modifikuje potom takto

± G̀�ω G̀��ωG̀�ωº ω= G̀��ωº ω=² ÂH̀�ωH̀��ωà � T0 (136)

Kvalitatívne iná situácia (bez prekrývania hlavnej a postranných zložiek spektier X̀[∗�ω) nastane, keď komplexné frekvenčné charakteristiky G̀[�ω filtrov analýzy sú ideálne pásmovo ohraničené funkcie. Vtedy sa jedná o MKLSS s rozdelením spektra vstupného analógového signálu x(t) na pásma. Uvažujme dvojkanálovú LSS , pričom budeme predpokladať ideálne filtre analýzy s nulovou fázovou frekvenčnou charakteristikou. V prvom kanáli bude

51

filter analýzy typu ideálneho dolného priepustu s amplitúdovou frekvenčnou charakteristikou (obr. 27a)

G�ω � Ä1,|ω| ω�/20,|ω| · ω�/2 (137) a v druhom kanáli bude filter analýzy typu pásmového priepustu s amplitúdovou frekvenčnou charakteristikou (obr. 27b)

G��ω � Ä1,ω� Å |ω| · ω�/20,inde (138)

Obr. 27. Amplitúdová frekvenčná charakteristika filtra analýzy a) v prvom kanáli, b) v druhom kanáli.

Na základe rov. (136), (137), (138) môžeme určiť amplitúdové frekvenčné charakteristiky filtrov syntézy

H�ω � ÄT,|ω| ω�/20,|ω| · ω�/2 (139)

H��ω � ÄT,ω� Å |ω| · ω�/20,inde (140) Potom impulzovú charakteristiku filtra syntézy v prvom kanáli možno vyjadriť takto

h�t � �πx H�ωe*ω�dωω)/�Eω)/� � Si�πft. (141) Amplitúdovú frekvenčnú charakteristiku filtra syntézy v druhom kanáli možno prepísať do tvaru

52

H��ω = H′�ω − H′′�ω , kde (142)

H′�ω = ÄT,|ω| < ω�0,|ω| ≥ ω� , (143)

H′′�ω = ÄT,|ω| < ω�/20,|ω| ≥ ω�/2 . (144)

Z toho dostaneme impulzovú charakteristiku ideálneho pásmového priepustu

h��t = h′�t − h′′�t , h��t = 2Si�2πft − Si�πft . (145)

Dokonale rekonštruovaný vstupný analógový signál bude

x¥�t = x∗�t ∗ h�t + x�∗�t ∗ h��t , x¥�t = ∑ x�nTSiπ�ft − n + x��nTV2Si2π�ft − n −∞{�E∞−Siπ�ft − nq (146)

Analogicky možno spektrum vstupného signálu rozdeliť na viacej rovnakých frekvenčných pásiem a odvodiť príslušný rad rekonštrukcie

x¥�t = � x�nTSiVπ�ft − nq + x��nTV2Si2π�ft − n −∞{�E∞ −Siπ�ft − nq + x�nTÆ3Si3π�ft − n − 2Si2π�ft − nÇ + ⋯+

+xh�nTÆvSivπ�ft − n − �v − 1Si�v − 1π�ft − nÇ . (147)

53

4.3.1. Výsledky simulácie dvojkanálovej a trojkanálovej LSS s rozdelením spektra vstupného signálu na pásma.

Pri simulácii sme opäť použili vstupný signál x�t = �1 � t�E so spektrom X̀�ω = πeE|ω|. Pre dvojkanálovú LSS signál x1(t), ktorý je odozvou filtra analýzy s komplexnou frekvenčnou charakteristikouG̀�ω bude

x�t = �πx X̀�ωe*ω�dωω)Eω) =

S� V1 � eω) �tsin ω)� t − cos ω)� tq (148)

Signál x2(t), ktorý je odozvou filtra analýzy s komplexnou frekvenčnou charakteristikou G̀��ω) bude

x��t = �πx X̀�ωe*ω�dωω)Eω) + �πx X̀�ωe*ω�dωω)ω) = = ω)S� cos ω)� t − tsin ω)� t + ω)S� �tsinω�t − cosω�t (149)

Pre v – kanálov budú odozvy na výstupoch jednotlivých filtrov analýzy v tvare

x�t =

S� ef�cos0 − tsin0 − eω)½ cos ω)h t − tsin ω)h t,

x��t =

S� eω)½ cos ω)h t − tsin ω)h t − eω)½ cos �ω)h t − tsinω�t,

xh�t =

S� Âe�½Gω)½ cos �hE

ω)h t − tsin �hE

ω)h t − eω)�cosω�t −−tsinω�tà . (150)

54

Na obr.28 je zobrazený rekonštruovaný analógový signál 3¥1(t) v prvom kanáli a na obr.29 a obr.30 (v inej mierke) rekonštruovaný analógový signál 3¥2(t) v druhom kanáli, pričom vzorkovacia frekvencia f = π/2 Hz. Vychádzali sme pritom z rov. (146) a (147). Úplný rekonštruovaný analógový signál 3¥(t) spolu s priebehom vstupného analógového signálu x(t) je na obr.31, pričom stredná kvadratická chyba vypočítaná na intervale Ɛ = 0,396114.10-4.

Vypočítali sme tiež závislosť strednej kvadratickej chyby Ɛ od vzorkovacej frekvencie, ktorá sa menila od hodnoty π/20 Hz po π/2 Hz. Výsledky sú v Tab.6, kde je uvedený aj počet vzoriek pre rekonštrukciu v každom z kanálov.

Obr.28. Rekonštruovaný analógový signál 3¥�4 v prvom kanáli; f = π/2 Hz.

Obr.29. Rekonštruovaný analógový signál 3¥��4 v druhom kanáli; f = π/2 Hz.

55

Obr.30. Rekonštruovaný analógový signál 3¥��4 v druhom kanáli (iná mierka);

f = π/2 Hz.

Obr. 31. Úplný rekonštruovaný analógový signál 3¥�4, f = π/2 Hz; ɛ = 0,396114 10E©.

Tab.6 Vzorkovacia frekvencia

Počet vzoriek

Stredná kvadratická chyba

π/20 1 0,222953581 D 00 2π/20 3 0,514433143 D-01 3π/20 5 0,138356813 D-01 4π/20 7 0,452276758 D-02 5π/20 7 0,203736686 D-02

6π/20 9 0,520724010 D-03 7π/20 11 0,267746304 D-03

8π/20 13 0,562752643 D-04

9π/20 15 0,193538198 D-04 10π/20 15 0,396114985 D-04

56

Analogické výsledky – obr.32 až po obr.35, uvádzame aj pre trojkanálovú LSS, pričom vzorkovacia frekvencia f= π/3 Hz. Výsledky závislostí strednej kvadratickej chyby Ɛ od vzorkovacej frekvencie sú v Tab.7. Úplný rekonštruovaný analógový signál x(t) jak pre v = 2; f= π/2 Hz, tak aj pre v = 3; f = π/3 Hz dobre aproximuje pôvodný vstupný signál s chybou, ktorá je porovnateľná pre dvojkanálovú a trojkanálovú LSS s oneskorením signálu v jednotlivých kanáloch a s použitím derivácií vstupného signálu.

Obr.32. Rekonštruovaný analógový signál 3¥�4 v prvom kanáli; f = π/3 Hz.

Obr.33. Rekonštruovaný analógový signál 3¥��4 v druhom kanáli; f = π/3 Hz.

57

Obr.34. Rekonštruovaný analógový signál 3¥�4 v treťom kanáli; f = π/3 Hz.

Obr. 35. Úplný rekonštruovaný analógový signál 3¥�4, f = π/3 Hz; ɛ = 0,159649 10Eª.

Tab.7 Vzorkovacia frekvencia

Počet vzoriek

Stredná kvadratická chyba

π/30 1 0,358036755 D 00 2π/30 3 0,112594316 D 00 3π/30 3 0,417678235 D-01 4π/30 5 0,159422683 D-01 5π/30 5 0,690449925 D-02

6π/30 7 0,396511191 D-02 7π/30 7 0,214411491 D-02

8π/30 9 0,550857250 D-03

9π/30 9 0,573882337 D-04 10π/30 11 0,159649164 D-05

58

Doposiaľ v uvažovanej mnohokanálovej LSS s rozdelením spektra vstupného signálu na pásma sme uvažovali predspracujúce ideálne filtre analýzy a syntézy s nulovou fázovou frekvenčnou charakteristikou a s amplitúdovou frekvenčnou charakteristikou konštantou v pásme prepúšťania. Ak by sme uvažovali tieto filtre s lineárnou fázovou frekvenčnou charakteristikou, potom by sa musela dodržať podmienka zhodnosti výsledných lineárnych fázových

frekvenčných charakteristík φ[�ω = arg VG[�ωH[�ωq, k = 1, 2, ..... v jednotlivých kanáloch, aby v úplnom rekonštruovanom analógovom signáli nedošlo k chybe v dôsledku rozdielnych lineárnych fázových frekvenčných charakteristík filtrov analýzy a syntézy. Rekonštruovaný analógový signál 3¥(t) by bol časove oneskorený oproti vstupnému signálu x(t).

4.3.2. Banka zrkadlových filtrov pre MKLSS s rozdelením spektra vstupného signálu na pásma

Pre MKLSS s rozdelením spektra vstupného signálu na pásma sme doposiaľ uvažovali ideálne filtre. Pri použití reálnych filtrov, ktoré sa vyznačujú plynulým prechodom amplitúdovej frekvenčnej charakteristiky z pásma prepúšťania do pásma tlmenia, bude vždy dochádzať k prekrývaniu hlavnej a postranných zložiek spektra vzorkovaného signálu.

Pre počet kanálov v = 2 navrhneme takú kombináciu filtrov analýzy a syntézy, že budú potlačené prekrývajúce sa zložky spektra a rekonštruovaný analógový signál bude oneskorený oproti vstupnému signálu. Nech komplexná frekvenčná charakteristika dolnopásmového filtra

G̀�ω = G�ωe*φG�ω = G�ωeE*ω�G , (151) kde t1 je časové oneskorenie tohto filtra, pričom platí, že

φ ω)� = Eω)� t ≤−π , (152) t.j. uvažujeme filter analýzy v prvom kanáli s lineárnou fázovou frekvenčnou charakteristikou (obr.36b) a amplitúdovou frekvenčnou charakteristikou (obr.36a), ktorá má klesajúci priebeh v prechodovom pásme so šírkou 2∆ω,

pričom predpokladáme, že ∆ω je omnoho menšie ako ωm/2.

59

Obr. 36. a) Amplitúdová frekvenčná charakteristika G1(ω),

b) fázová frekvenčná charakteristika È1(ω). Pretože spektrum X̀�ω je zhora ohraničené maximálnou kruhovou frekvenciou ωm, môžeme filter analýzy v druhom kanáli uvažovať typu horného priepustu takto

G̀��ω � G��ωe*φ�ω � G��ωeE*ω�G e*π/� (153) Potom táto amplitúdová a fázová frekvenčná charakteristika sú na obr. 37.

Obr. 37. a) Amplitúdová frekvenčná charakteristika G2(ω),

b) fázová frekvenčná charakteristika È2(ω).

60

Pritom amplitúdové frekvenčné charakteristiky zvolíme tak, aby pre

ω = < - ωm , ωm > platilo

G̀��ω � G̀���ω � 1 (154) Táto vlastnosť je pre ω > 0 ilustrovaná na obr. 38.

Obr. 38. Zrkadlová vlastnosť filtrov analýzy.

Komplexné frekvenčné charakteristiky filtrov syntézy vypočítame zo sústavy rov. (136), pričom pravá strana prvej rovnice bude TeE*ω�É . Po dosadení a úprave rov. (151), (152) do matice filtrov analýzy ju môžeme pre ω = < 0, ωm > zapísať takto

B�ω � ± GωeE*ω�G G��ωe*ω�G e*π/�G�ωJ ω=eE*�ωEωv�G G��ωJ ω=eE*�ωEωv�G e*π/�². (155) Pretože platí pre ω = < 0 , ωm >

G�ωJ ω= � G��ωaG��ωJ ω= � G�ω, (156) môžeme maticu B�ω prepísať do tvaru B�ω � ± GωeE*ω�G G��ωeE*ω�G e*π/�G�ωeE*�ωEωv�G G�ωeE*�ωEωv�G eE*π/�² (157) a vypočítať jej determinant

det B�ω � JjeE*�ω�Ge*ωv�GÆG̀��ω � G̀���ωÇ � eE*�ω�Ge*ω�GeE*π/� (158)

61

Vyjadríme inverznú maticu

BE�ω = =� Ë�ω ±G�ωeE*�ωEωv�GeE*π/� −G��ωeE*ω�GeE*π/�−G��ωeE*�ωEωv�G G�ωeE*�ω�G ² (159) a komplexné frekvenčné charakteristiky filtrov syntézy vypočítame zo sústavy rovníc

±H̀�ωH̀��ωdddddddd² = BE�ω ÂTeE*ω�É0 à , (160) odkiaľ dostávame

H̀�ω = TG�ωE*ω��ÉE�G, (161) H̀��ω = −jTG��ωE*ω��ÉE�G. (162)

Keď zvolíme tc = 2t1, potom

H̀�ω = TG�ωE*ω�G = TG̀�ω (163) H̀��ω = −jTG��ωE*ω�G = −TG̀��ω (164)

Pre ω = < -ωm , 0 > možno analogicky odvodiť platnosť rov. (163), (164) aj pre tento interval, pričom podľa predpokladov v kap. 4.3 H̀[�ω = 0pre|ω| > ωm.

V špeciálnom prípade ak φ1(ω) = 0 pre ω = a φ 2(ω) = π/2 pre ω = < 0, ωm >, pričom φ 2(ω) je nepárna funkcia, budú tak isto platiť rov. (163), (164) pre ω = . Z uvedeného vyplýva, ak G̀�ω je dané rov. (151), G̀��ω rov. (153), pričom platí pre ω = rov. (154), jedná sa o tzv. zrkadlové filtre, kedy filtre syntézy budú v jednotlivých kanáloch rovnakého charakteru ako sú filtre analýzy a výsledná MKLSS sa chová ako ideálny oneskorovací prenosný článok.

Ďalej vyšetríme, ako sa zmení impulzová charakteristika filtra syntézy v prvom kanáli, ak budeme uvažovať neideálny priebeh jeho amplitúdovej frekvenčnej charakteristiky podľa obr.39, pričom sa nejedná o zrkadlový filter.

62

H�ω � Ä1/f�,0 |ω| ω�/2|ω| · ω�/2 (165)

Obr. 39. Amplitúdová frekvenčná charakteristika filtra syntézy.

HÌ �ω � Íω) E|ω|πj) λ � j) ,0,inde

ω)� |ω| ¸ �1 � λ ω)� (166) kde Î � �Ï, . Prislúchajúce impulzové charakteristiky sú h1(t) = Si(ωmt/2),

hÌ �t � �πx Ðω) Sωπj) λ � j)Ñ e*ω�Eω)E�Sλω) dω� x Ðω) Eωπj) λ � j)Ñ e*ω�dω �ω) �Sλω) � 1t� ω�2 � λ cos

ω�2 t J cos�1 � λω�2 t J sinω�2 t

ω�t2 �

� �2 � λ2 sin Âω�t�2 � λ4 Ã

ω�t�2 � λ4 sin λω�t4 λω�t4 J

sin ω�t2 ω�t2 �

� �2 � λ2 Si ±ω�t�2 � λ4 ² Si Ðλω�t4 Ñ J Si Ðω�t2 Ñ (167)

63

Potom výsledná impulzová charakteristika

hÌÌ�t � h�t � hÌ �t , hÌÌ�t � ��Sλ� Si ω)���Sλ© Si λω)�© (168)

Z rov. (168) je zrejmé, že pre hodnoty λ blízke nule sa bude impulzová charakteristika hÌ �t veľmi málo líšiť od impulzovej charakteristiky h1(t) na časovom intervale hlavného laloku funkcie Si λω)�© . Pre Î����0bude hÌÌ�t � h�t � Si�πf�t. (169) Uvažujeme inú modifikáciu amplitúdovej frekvenčnej charakteristiky filtra syntézy v prvom kanáli podľa obr. 40, ktorá je popísaná výrazom

HÌÌÌ�ω �ÒÓÓÔÓÓÕ1�f�,0 < |ω| ≤

ω)�Eλ�

j) cos� ©λj) ωJ ω)� �1 − λ0,|ω| Å ω)�Sλ�

,ω)� �1 − λ < |ω| ≤ ω)�Sλ�

(170)

Obr. 40. Amplitúdová frekvenčná charakteristika ÖÌÌÌ(ω). Príslušná impulzová charakteristika

hÌÌÌ�t � Si�πf�t ?H λπj)�E©λ�j) (171)

64

Z rov. (171) vyplýva, že pre λ blízke nule sa impulzová charakteristika hÌÌÌ�t veľmi málo líši od funkcie Si (π fm t ). Čím menšia bude hodnota λ, t.j. čím užšie je dané prechodové pásmo, tým menej sa impulzová charakteristika hÌÌÌ�t aj hÌÌ�t bude líšiť od funkcie Si(π fm t) = h1(t). Analogicky by sme mohli vyšetriť aj vplyv neideálnej amplitúdovej frekvenčnej charakteristiky pásmového priepustu na impulzovú charakteristiku. Z rov. (145), (169) a (171) vyplýva, že možno dospieť k podobným záverom ako pre dolný priepust. Na základe vykonanej analýzy sa dá očakávať,