linha poligonal fechada

POLÍGONOS TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS

Nuno Marreiros

7º ANO

Polígonos

Antes de começar

Não é possível pois uma circunferência não é formada por segmentos de reta.

Nem tudo o que parece é …

Segmento de reta é a linha mais curta que une

dois pontos.

Notação:

O segmento de reta

representa-se por [CD].

Segmento de reta

Uma linha poligonal ou linha quebrada é aquela

que é formada por sucessivos segmentos de reta,

tendo, dois a dois apenas um extremo comum.

Linha poligonal

Uma linha poligonal fechada é uma linha poligonal

cujos extremos coincidem.

Linha poligonal fechada

Exercício:

Das figuras que se seguem, indica as linhas

poligonais fechadas.

Vamos praticar … Linha poligonal fechada

Chama-se polígono a toda a linha poligonal fechada simples, incluíndo

os pontos da região interna que essa linha determina.

As figuras a seguir são polígonos

As figuras a seguir não são polígonos

Polígonos

Elementos de um polígono

No polígono ABCDE temos que:

A

B

C D

E

• Os segmentos

são os lados do polígono;

, , , ,AB BC CD DE EA

• Os pontos A, B, C, D, E são os vértices

do polígono;

• Os segmentos

são as diagonais do polígono;

, , , ,AC AD BD BE CE

• são os ângulos internos

do polígono;

ˆ ˆˆ ˆ ˆABC, BCD, CDE, DEA, EAB

Nota:

Diagonal de um polígono é o segmento de

reta que une dois vértices não

consecutivos desse polígono.

Exercício:

Das figuras que se seguem, indica as que

representam polígonos.

Vamos praticar … Polígonos

São polígonos que têm os lados congruentes e os

ângulos também congruentes.

São os que não são regulares.

Regulares

Irregulares

Triângulo equilátero Quadrado

Classificação de polígonos quanto aos lados e ângulos

A fronteira de um polígono é linha poligonal

fechada que separa o interior e o exterior de um

polígono.

Fronteira de um Polígono

Um polígono diz-se convexo quando o

segmento de reta que une dois pontos

quaisquer da sua região interna está

sempre contido nela.

Polígonos convexos Polígonos côncavos

Um polígono diz-se côncavo

quando existem dois pontos da

sua região interna tais que o

segmento de reta por eles

determinado não está contido nela.

A

B

A

B

São polígonos convexos São polígonos côncavos

Polígonos convexos e côncavos

Vamos praticar … Polígonos convexos e côncavos

i1

i2

i3

i4

e1

e2

e3 e4 i1 + e1 = 180°

i2 + e2 = 180°

i3 + e3 = 180°

i4 + e4 = 180°

A

B

C

D

Em cada vértice, os ângulos interno e externo do polígono são sempre adjacentes e suplementares (180º).

Vértice A

Vértice B

Vértice C

Vértice D

MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer

Relação entre os ângulos interno e externo de um polígono

Vamos demonstrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

a

b

n

A

B C

r

Traçamos uma reta r, paralela ao lado BC, passando por A.

m

c

Essa paralela irá formar com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas indicamos por m e n, respetivamente.

Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo

Como r // BC, temos m = b e n = c

(alternos internos)

Como a + m + n = 180° Conclui-se que a + b + c = 180°

I

II

Vamos calcular a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer.

Para isso, traçamos uma das diagonais do quadrilátero.

Essa diagonal decompõe o quadrilátero em dois triângulos.

A soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo I é 180°; e a soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo II é 180°.

Portanto, podemos concluir que a soma das amplitudes dos ângulos internos do quadrilátero é igual a 2 x 180° = 360°.

Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …

Vamos calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono qualquer.

Para isso, traçamos duas das diagonais do pentágono que partem do mesmo vértice.

A soma das medidas dos ângulos internos do pentágono será igual à soma das medidas dos ângulos internos dos triângulos I, II, e III, ou seja, 3 x 180° = 540°.

I

II

III



... Vamos generalizar:

S3 = 180° x 1 S4 = 180° x 2

(3 – 2) (4 – 2)



S5 = 180° x 3 S6 = 180° x 4

(5 – 2) (6 – 2)



Si = 180° x (n – 2)

A soma Si das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer de n lados é dada por:



Vamos analisar a figura que mostra os ângulos internos e externos de um triângulo qualquer.

A

B C

i1

i2 i3

e1

e2

e3

i1 + e1 = 180°

i2 + e2 = 180°

i3 + e3 = 180°

Nota que, em cada vértice, a soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo é 180°.

+ Se = 180° ∙ 3 Si

+ Se = 540° 180°

Se = 360°


Soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono qualquer

Num polígono convexo, a soma dos ângulos externos com

vértices distintos é sempre igual a um ângulo giro (360º).

Nome Polígonos Número

Triângulo 3

Quadrilátero 4

Pentágono 5

Hexágono 6

Heptágono 7

Octógono 8

Eneágono 9

Decágono 10

Classificação de polígonos quanto ao número de lados

Um polígono com n lados chama-se polígono de n lados.

Número de

ladosPolígonos

1 Não existe

2 Não existe

3 Triângulo

4 Quadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

Número de

ladosPolígonos

11 Undecágono

12 Dodecágono

13 Tridecágono

14 Tetradecágono

15 Pentadecágono

16 Hexadecágono

17 Heptadecágono

18 Octadecágono

19 Eneadecágono

20 Icoságono

Classificação de polígonos quanto ao número de lados

Exercício:

Considera os seguintes polígonos e classifica-os

quanto ao número de lados.

Triângulo Heptágono

Eneágono Quadrilátero

Vamos praticar … Número de lados de um polígonos

Páginas Exercícios

18 1 e 2

19 3, 4, 5 e 6

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