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Anhang 1

Lösungen der Übungsaufgaben

Aufgabe2.4 Lautstärkeregler

Mit dem Lautstärkeregler kann man die Lautstärke der Hifi-Anlage verändern. Ein Regler indem hier verwendeten Sinne würde die aktuelle Lautstärke jedoch selbstständig einem vorge-gebenen Sollwert anpassen, was offensichtlich bei Hifi-Anlagen nicht passiert. Der Lautstär-keregler ist im regelungstechnischen Sinn also nur ein Stellglied, das der als Regler wirkendeMensch verwendet, um die Lautstärke dem durch seine Empfindung gegebenen Sollwert an-zupassen.

Aufgabe2.5 Praktische Regelungsaufgaben

Alle vier Aufgaben haben gemeinsam, dass eine oder mehrere Größen einen vorgegebenenWert annehmen sollen. Bei der Verfolgung des Raumflugkörpers verändert sich dieser Soll-wert mit der Zeit. Würden keine Störungen auftreten, wären die Aufgaben durch eine einma-lige Festlegung der Stellgröße zu lösen. Da die Sollwerte jedoch auch unter dem Einfluss vonStörungen eingehalten werden sollen, muss ein Regler verwendet werden, der die Stellgrößeder durch die Störung verursachten Bewegung des Systems anpasst und dadurch die Abwei-chung des Istwertes der Regelgröße von ihrem Sollwert klein hält.Die Blockschaltbilder der vier Regelkreise sind in Abb. A.1 dargestellt.

• Bei der Temperaturregelung der Kühlflüssigkeit verändert der Regler die Geschwindigkeitder Wasserpumpe oder schaltet den Lüfter an oder aus je nach dem, ob die Temperatur desKühlwassers nach oben oder nach unten vom Sollwert abweicht. Beispiele für Störungensind eine veränderliche Außentemperatur und eine sich zeitlich ändernde Wärmeabgabedes Motors.

• Wenn angenommen wird, dass sich die Flugbahn des Raumflugkörper nicht ändert undsich der Raumflugkörper radial um die Erde bewegt, kann seine Position mit dem Win-kel φ exakt beschrieben werden (Abb. A.2). Ein Motor muss die Ausrichtung der Antenneso verändern, dass sie dem Flugkörper folgt.

• Soll die Papiergeschwindigkeit in einer Druckmaschine konstant sein, muss die Drehzahlder Druckwalze geregelt werden. Da das Papier eine veränderliche Dicke haben kann und


616 Anhang 1: Lösung der Übungsaufgaben

Abb. A.1: Blockschaltbilder der Regelkreise

der Umfang der beheizten Druckwalze von deren Temperatur abhängt, ist eine ständigeAnpassung des Drehzahl nötig, um eine konstante Papiergeschwindigkeit zu erreichen.

• Um in einem Flugzeug eine angenehme Atemluft zu schaffen, müssen Temperatur, Druckund Luftfeuchtigkeit konstant gehalten werden. In dem dargestellten Blockschaltbild sindalle Größen separat dargestellt.

Aufgabe 3.2 Blockschaltbild des Antriebsstranges eines Kraftfahrzeugs

Abbildung A.3 zeigt das Blockschaltbild, bei dem das durch das Gaspedal, die Stellung derKupplung und die Wahl des Gangs festgelegte Antriebsmoment um das durch den Fahrwider-

Aufgabe 3.3 617

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Abb. A.2: Verfolgung eines Satelliten mit einem Radar

stand entstehende Moment sowie um das Bremsmoment verkleinert wird. Das daraus resul-tierende Moment auf die Räder verkleinert oder vergrößert die Fahrzeuggeschwindigkeit.

Die Signalübertragung erfolgt in allen Blöcken über dynamische Systeme, bei denen deraktuelle Wert der Ausgangsgröße nicht nur vom aktuellen Wert, sondern vom vergangenenVerlauf der Eingangsgröße abhängt. Beispielsweise wirkt das Drehmoment auf die Räder alseine Beschleunigung, die die aktuelle Geschwindigkeit erhöht oder verkleinert. Man kanndeshalb die aktuelle Geschwindigkeit nur dann ausrechnen, wenn man den Verlauf des Dreh-moments bis zur aktuellen Zeit kennt oder, was dasselbe ist, wenn man zur Geschwindigkeitzu einem Zeitpunkt t0 das Integral der Beschleunigung zwischen t0 und der aktuellen Zeit taddiert.

Die Geschwindigkeitsregelung verwendet die aktuelle Fahrzeuggeschwindigkeit als Ist-wert, vergleicht sie mit einer Sollgeschwindigkeit und verändert den Gaspedalwinkel (oderdie Kraftstoffeinspritzung direkt) so, dass die Regelabweichung kleiner wird. Bei Fahrzeugenmit Automatikgetrieben wirkt darüber hinaus eine Rückführung von der Geschwindigkeit aufdie Kupplung und das Getriebe.

Aufgabe3.3 Künstliche Beatmung

1. Das in Abb. A.4 gezeigte Blockschaltbild besteht aus einer Reihenschaltung von drei Blö-cken. Das Beatmungsgerät erzeugt im Mund des Patienten einen bestimmten Luftdruckbzw. einen bestimmten Luftvolumenstrom. Mit dem Block „Atemmechanik“ ist das Zu-sammenwirken der in den Mund einströmenden Luft mit der Lunge und möglicherwei-se Atemreflexen des Patienten zusammengefasst. Für den Gasaustausch ist der Luftdruckund das Luftvolumen in der Lunge maßgebend. Die arteriellen Partialdrücke entstehenals Ergebnis eines Gasaustauschs, wobei nicht nur die physikalischen Verhältnisse auf derGasseite der Alveolen (Lungenbläschen), sondern auch die Partialdrücke im Blut vor demGasaustausch von Bedeutung sind, so dass pO2 und pCO2 auch von den genannten Stö-rungen abhängen.

2. Das Beatmungsgerät arbeitet in einer offenen Steuerkette, denn die Vorgaben pLuft, RRund fO2 werden nicht den aktuellen Werten pO2 und pCO2 nachgeführt, sondern durchden Arzt fest vorgegeben.


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Aufgabe 4.4 619

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Abb. A.4: Blockschaltbild der künstlichen Beatmung

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Abb. A.5: Erweitertes Blockschaltbild der künstlichen Beatmung

3. Man kann die aktuellen Partialdrücke pO2 und pCO2 nur dann vorgegebenen Sollwertenanpassen, wenn man sie kontinuierlich im Blut misst oder beispielsweise durch Analyseder Ausatemluft Rückschlüsse auf ihre aktuellenWerte zieht. Dann entsteht der in Abb. A.5gezeigte Regelkreis, in dem der Arzt oder ein automatischer Regler die Vorgaben pLuft,RR und fO2 für das Beatmungsgerät den aktuellen Regelabweichungen anpasst.

Aufgabe4.4 Phasenporträt eines ungedämpften Schwingkreises

Das Zustandsraummodell des ungedämpften Schwingkreises erhält man aus Gl. (4.5) für u =0 durch Nullsetzen des ohmschen Widerstandes:

x(t) =

(0 − 1

L

1C

0

)x(t).

Um das Phasenporträt zu bestimmen, muss die Zeit aus diesen Gleichungen eliminiert werden,denn die Zeit kommt in Phasenporträts nicht vor. Aus den beiden Zustandsgleichungen

x1(t) = − 1

Lx2(t)

x2(t) =1

Cx1(t)

erhält man

dt = −Ldx1(t)

x2(t)= C

dx2(t)

x1(t)

und ∫ t

0

Lx1 dx1 = −∫ t

0

Cx2 dx2

sowie nach IntegrationLx2

1(t) +Cx22(t) = r.


Dabei ist r eine Konstante, in die die Anfangsbedingungen x1(0) und x2(0) eingehen. Die-se Gleichung beschreibt im x1-x2-Raum eine Ellipse, die bei entsprechender Normierungder beiden Koordinatenachsen in einen Kreis übergeht. Für jede Anfangsauslenkung x0 be-schreibt der ungedämpfte Schwingkreis im Phasenraum einen Kreis bzw. eine Ellipse.

Aufgabe 4.5 Modellierung der Flugbahn eines Golfballs

Der Golfball fliegt unter dem Einfluss der Gewichtskraft FG und der von der Geschwindigkeitabhängigen Reibungskraft FR(t), die in die Komponenten FRx(t) und FRy(t) zerlegt wird(Abb. A.6). Für die Komponenten vx(t) und vy(t) des Geschwindigkeitsvektors v(t) geltendie Gleichungen

mvx(t) = −kRvx(t), vx(0) = vx0

mvy(t) = −kRvy(t)−mg, vy(0) = vy0,

wobei ein proportionaler Zusammenhang zwischen der Fluggeschwindigkeit und der Rei-bungskraft mit dem Proportionalitätsfaktor kR angesetzt wurde. m bezeichnet die Masse desGolfballs, g die Erdbeschleunigung, vx0 und vy0 die Anfangsgeschwindigkeiten des Balls inx- bzw. y-Richtung.

Abb. A.6: Kräfte und Geschwindigkeiten am Golfball

Für den in x- und y-Richtung zurückgelegten Weg gelten die Beziehungen

x(t) = vx(t), x(0) = x0

y(t) = vy(t), y(0) = y0,

wobei x0 und y0 die Anfangspositionen des Golfballs bezeichnen. Zum Zustandsraummodellzusammengefasst ergeben diese Gleichungen die Beziehung⎛⎜⎜⎝

x(t)y(t)vx(t)vy(t)

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝

0 0 1 00 0 0 1

0 0 − kRm

0

0 0 0 − kRm

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

x(t)y(t)vx(t)vy(t)

⎞⎟⎟⎠+

⎛⎜⎜⎝

000−g

⎞⎟⎟⎠ ,

⎛⎜⎜⎝

x(0)y(0)vx(0)vy(0)

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝

x0

y0vx0vy0

⎞⎟⎟⎠ .

Es handelt sich dabei um ein affines Modell, weil die Zustandsgleichung einen konstantenSummanden enthält. Wenn man die Position in x- und y-Richtung bestimmen will, brauchtman zwei Ausgabegleichungen:

Aufgabe 4.7 621

x(t) = (1 0 0 0)

⎛⎜⎜⎝

x(t)y(t)vx(t)vy(t)

⎞⎟⎟⎠ , y(t) = (0 1 0 0)

⎛⎜⎜⎝

x(t)y(t)vx(t)vy(t)

⎞⎟⎟⎠ .

Um die Flugbahn des Balls nach dem Auftreffen auf die Leinwand berechnen zu können,wählt man die Zeitachse so, dass t = 0 dem Zeitpunkt des Auftreffens des Balls auf derLeinwand bezeichnet. Entsprechend dem angegebenen Modell muss man für diesen Zeitpunktden Anfangszustand des Modells mit vier Komponenten ermittel. Dabei beschreibt x0 diePosition der Leinwand, die den Ball abfängt und y0 die Position des Balls beim Aufschlag aufdie Leinwand. Außerdem muss man die Beträge der Geschwindigkeitskomponenten in x- undy-Richtung ermitteln. Die Amplitude

v0 =√

v2x0 + v2y0

der Anfangsgeschwindigkeit kann man beispielsweise über den Druck messen, den der Ballauf die Leinwand ausübt. Nimmt man die Flugbahn bis zur Leinwand als Gerade an, so kannman den Winkel φ in Abb. A.6 aus

φ = arctany0x0

berechnen und daraus die gesuchten Anfangsgeschwindigkeitskomponenten

vx0 = v0 cos φ, vy0 = v0 sinφ

ermitteln.

Aufgabe4.7 Zustandsraummodell eines gekoppelten Feder-Masse-Systems

1. 1. Systemzerlegung. Das System besteht aus zwei Massen und drei Federn. Zur Sys-temzerlegung kommt man durch das in der Mechanik übliche Freischneiden, also durchein gedankliches Auftrennen der Verbindungen zwischen den Bauteilen, wobei an denSchnittstellen die dort wirkenden Kräfte eingeführt werden. Diese Kräfte müssen an bei-den Seiten des Schnitts gleich groß sein, so dass sie üblicherweise mit demselben Namenversehen werden (Abb. A.7). Mit y1 und y2 werden die Positionen der Massen bezeichnet,aus denen man auch die Längenänderung der Federn in Bezug zur Gleichgewichtslage be-stimmen und daraus deren Kräfte berechnen kann.

2. Komponentenmodelle. Entsprechend der angegebenen Modellierungssystematik wer-den zunächst die Gleichungen für die Komponenten getrennt aufgestellt. Die Kraft, dieeine Feder auf die Umgebung ausüben kann, hängt nur von ihrer Länge ab. Es gilt deshalb

Feder F1: fc1m1(t) = c1y1(t) (A.1)

Feder F2: fc2m1(t) = c2(y2(t)− y1(t)) (A.2)

fc2m1(t) = fc2m2(t)

Feder F3: fc3m2(t) = −c3y2(t). (A.3)

Für die beiden Massen gilt, dass die Summe der angreifenden Kräfte gleich der Trägheits-kraft ist:


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Abb. A.7: Schnittbild des Feder-Masse-Systems

Masse M1: m1y1(t) = fe(t) + fc2m1(t)− fc1m1(t) (A.4)

Masse M2: m2y2(t) = fc3m2(t)− fc2m2(t). (A.5)

3. Kopplungsbeziehungen. Die Kopplung der Elemente an den Schnittstellen erfolgtdurch das Gleichsetzen der dort wirkenden inneren Kräfte. Diese Tatsache wird beim Frei-schneiden bereits dadurch berücksichtigt, dass für die auf beiden Seiten eines Schnitts ein-geführten Kräfte dieselbe Bezeichnung verwendet wird, so dass die Koppelbeziehungenbereits in denselben Namen der Kräfte enthalten sind.

Wenn man dieser Bezeichnungsweise des Freischneides nicht folgt und systematischunterschiedliche Namen für die Kräfte einführt, beispielsweise fm1c1(t) für die Kraft, mitder die Feder F1 auf die MasseM1 einwirkt, und fc1m1(t) für die Kraft der MasseM1 aufdie Feder F1, dann bekommt man explizite Koppelgleichungen der Form

fm1c1(t) = fc1m1(t).

4. Modellumformung. In den folgenden Modellbildungsschritten muss aus den an-gegebenen Gleichungen ein Zustandsraummodell abgeleitet werden. Das Einsetzen derGln. (A.1) – (A.3) in (A.4) und (A.5) ergibt

m1y1(t) + c1y1(t)− c2(y2(t)− y1(t)) = fe(t) (A.6)

m2y2(t) + c2(y2(t)− y1(t)) + c3y2(t) = 0. (A.7)

Durch Auflösen nach y1 und y2 erhält man

y1(t) = −(

c1m1

+c2m1

)y1(t) +

c2m1

y2(t) +1

m1fe(t) (A.8)

y2(t) = −(

c3m2

+c2m2

)y2(t) +

c2m2

y1(t). (A.9)

Da die Gln. (A.8) und (A.9) zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung darstellen, er-gibt sich ein lineares Zustandsraummodell mit vier Zustandsvariablen. Wird der Zustands-vektor entsprechend

Aufgabe 4.7 623

x(t) =

⎛⎜⎜⎝

y1(t)y1(t)y2(t)y2(t)

⎞⎟⎟⎠

gewählt, so folgt aus den Gln. (A.8) und (A.9) mit u(t) = fe(t) das Zustandsraummodell

ΣFMS :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x(t) =

⎛⎜⎜⎝

0 1 0 0− c1+c2

m10 c2

m10

0 0 0 1c2m2

0 − c2+c3m2

0

⎞⎟⎟⎠x(t) +

⎛⎜⎜⎝

01

m1

00

⎞⎟⎟⎠u(t)

y(t) = (1 0 0 0) x(t).

Diskussion. Mit etwas Übung kann man die Differentialgleichungen (A.6), (A.7) für dasBeispiel direkt aus der Abbildung ablesen. In der angegebenen Lösung wurden die Kräftean den Federn und Massen zuerst einzeln in den Gln. (A.1) – (A.5) aufgeschrieben undanschließend zusammengefasst, um zu verdeutlichen, dass die behandelte Modellierungs-systematik hinter diesen Kräftegleichungen steckt und bei komplizierteren Beispielen hilft,Fehler zu vermeiden.

Bemerkenswerterweise hat das Zustandsraummodell nur die dynamische Ordnungvier, obwohl sich im System mit den drei Federn und zwei Massen insgesamt fünfSpeicherelemente befinden. Der Grund dafür liegt in der Tatsache, dass die Gesamtlängeder Anordnung durch die beiden Seitenwände festgelegt ist und die in den Elementen ge-speicherte Energie deshalb einer zusätzlichen Bedingung unterworfen ist. Die dynamischeOrdnung ist gleich der Anzahl der zur Zeit t = 0 unabhängig voneinander vorgebbarenGrößen. Hier können nur die vier Größen y1, y1, y2 und y2 unabhängig voneinander fest-gelegt werden. Damit sind auch die Längen der drei Federn vorgegeben. Wie in diesemBeispiel gilt allgemein, dass die dynamische Ordnung eines Systems gleich oder kleinerder Zahl der Speicherelemente ist.

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Abb. A.8: Signalflussgraph des Feder-Masse-Systems

2. Der Signalflussgraph des Systems ΣFMS ist in Abb. A.8 dargestellt. Nur die Zustandsvari-able x2 wird direkt von der Eingangsgröße beeinflusst, weil die Kraft fe direkt nur auf die


Masse m1 wirkt. Es gibt jedoch Pfade im Signalflussgraphen von u zu allen Zustandsvari-ablen sowie von allen Zustandsvariablen zu y.

Die eingezeichnete Schnittlinie verdeutlicht, dass die beiden Massen nur über die mitt-lere Feder (Federkonstante c2) miteinander gekoppelt sind.

Aufgabe 4.8 Zustandsraummodell eines RC-Gliedes

1. Die Bauelemente sind durch folgende Gleichungen beschrieben:

uR1(t) = R1iC1(t)

uR2(t) = R2iR2(t)

iC1(t) = C1duC1(t)

dt(A.10)

iC2(t) = C2duC2(t)

dt. (A.11)

Für die Kopplung der Bauelemente erhält man die Gleichungen für die in der Abb. A.9gekennzeichneten Maschen I und II

uC2(t)− u(t) + uR2(t) = 0 (A.12)

uC1(t)− uC2(t) + uR1(t) = 0 (A.13)

sowie die Knotenpunktsgleichung

iR2(t) = iC1 (t) + iC2(t). (A.14)

Mit diesen Gleichungen ist das RC-Glied vollständig beschrieben. Alle folgenden Umfor-mungen dienen dazu, aus diesen Gleichungen das gesuchte Zustandsraummodell abzulei-ten.

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� E

2 22

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� E � �

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�� E

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Abb. A.9: RC-Glied

Setzt man zunächst die Bauelementegleichungen für die ohmschen Widerstände unddie Knotenpunktgleichung in die Maschengleichungen (A.12), (A.13) ein, so erhält man

uC2(t)− u(t) +R2 (iC1(t) + iC2(t)) = 0 (A.15)

uC1(t)− uC2(t) +R1iC1(t) = 0. (A.16)

Aufgabe 4.8 625

Das RC-Glied enthält mit den beiden Kondensatoren zwei Energiespeicher, so dass alsZustandsvariablen die Kondensatorspannungen uC1 und uC2 eingeführt werden:

x(t) =

(uC1(t)

uC2(t)

). (A.17)

Um die Zustandsgleichung zu erhalten, werden die Gln. (A.15) und (A.16) folgenderma-ßen umgeformt:

iC1(t) =uC2(t)− uC1(t)

R1

u(t)− uC2(t) = R2

(uC2(t)− uC1(t)

R1+ iC2(t)

)

iC2(t) =u(t)− uC2(t)

R2− uC2(t)− uC1(t)

R1.

Das Einsetzen in die Gln. (A.10) und (A.11) ergibt

uC1(t) = − 1

R1C1uC1(t) +

1

R1C1uC2(t) (A.18)

uC2(t) =1

R1C2uC1 (t)−

R1 +R2

R1R2C2uC2(t) +

1

R2C2u(t) (A.19)

und damit die Zustandsgleichung in der Form (4.45)(uC1(t)

uC2(t)

)=

(− 1R1C1

1R1C1

1R1C2

− R1+R2R1R2C2

)(uC1(t)

uC2(t)

)+

(0

1R2C2

)u(t) (A.20)

mit dem Anfangszustand

x0 =

(uC1(0)

uC2(0)

).

2. Als Zustandsvariablen wurden die beiden Kondensatorspannungen gewählt. Deshalb heißtdie Ausgabegleichung

y(t) = (1 0)

(uC1(t)

uC2(t)

).

3. Aus dem linearen Zustandsraummodell folgt der in Abb. A.10 dargestellte Signalfluss-graph. Die Kantengewichte setzen sich wie im Modell angegeben aus den Parametern R1,R2, C1 und C2 zusammen, beispielsweise a11 = −1

R1C1.

Der Signalflussgraph zeigt, dass die Eingangsgröße u direkt nur auf x2 wirkt. Die Aus-gangsgröße y ist gleich der Zustandsgröße x1. Der Signalweg vom Eingang zum Ausgangführt jedoch über beide Zustandsgrößen.

4. Wie im Abschn. 4.4.1 erläutert wird, kann man generell die Ausgangsgröße und deren Ab-leitungen als Zustandsvariablen verwenden. Für das Beispiel heißt dieser Zustandsvektor

x(t) =

(uC1(t)

uC1(t)

).


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Abb. A.10: Signalflussgraph des RC-Gliedes

Als Zustandsraummodell erhält man nach Differentiation der Gl. (A.18) und Einsetzen derGl. (A.19)

ΣRC :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(uC1 (t)

uC1 (t)

)=

(0 1

−1R1R2C1C2

−R1C1+R2C1+R2C2R1R2C1C2

)(uC1(t)

uC1(t)

)+

+

(0

1R1R2C1C2

)u(t)

y(t) = (1 0)

(uC1(t)

uC1(t)

).

Den Anfangszustand berechnet man aus den als bekannt vorausgesetzten Kondensator-spannungen entsprechend(

uC1(0)

uC1(0)

)=

(uC1(0)

1R1C1

(uC2(0) − uC1 (0))

).

5. Bei der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße y sowie den im ersten Modell verwendetenZustandsgrößen uC1 und uC2 handelt es sich um Spannungen mit der Maßeinheit Volt.Die Elemente der SystemmatrixA und des Steuervektors b haben die Einheit AV

VAs= s−1.

Die Elemente des Beobachtungsvektors cT sind einheitenlos.

6. Für die Zeit wählt man zweckmäßigerweise die Einheit Millisekunde, so dass die Elementevon A und b dann die Maßeinheit 1

mshaben. Dann erhält man beispielsweise für das

Element a12 der Systemmatrix

a12 =1

R1C1=

1

10−4 s=

1

10−4 · 103 ms= 10

1

ms,

also mit den gewählten Maßeinheiten a12 = 10. Das Zustandsraummodell hat dann fol-gendes Aussehen:

ΣRC :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x(t) =

(−10 10

25 −26,25

)x(t) +

(0

1,25

)u(t)

y(t) = (1 0) x(t).

Aufgabe 4.9 627

Aufgabe4.9 Zustandsraummodell eines 3-Tank-Systems

1. Das System besteht aus drei Behältern, von denen jeder als Speicherelement wirkt. DasZustandsraummodell wird deshalb die Ordnung drei haben. Geeignete Zustandsvariablensind die Füllstände hi, denn das zukünftige Verhalten jedes Behälters kann bei gegebenemZufluss aus dem aktuellen Füllstand bestimmt werden.

2. Bezeichnet man den Zufluss (Volumenstrom pro Zeiteinheit) in jeden Behälter mit pzi undden Abfluss mit pai, so gilt für jeden Behälter die Volumenbilanz

Aidhi(t)

dt= pzi(t)− pai(t),

wobei Ai den Querschnitt des i-ten Behälters bezeichnet. Der Zufluss zum ersten Behälterist die Eingangsgröße

pz1(t) = u(t).

Für die Kopplung zwischen den Behältern 1 und 2 gilt

pa1(t) = pz2(t),

wobei bei dem hier verwendeten linearen Ansatz der Volumenstrom proportional zu derDifferenz der Füllstände in diesen Behältern ist1

pa1(t) = k12(h1(t)− h2(t)).

Der Proportionalitätsfaktor k12 hängt von der Geometrie, insbesondere vom Querschnittdes Verbindungsrohres, ab. Ähnliche Gleichungen gelten für die Kopplung der beiden rech-ten Behälter. Der Ablauf aus dem rechten Behälter ist durch

pa3(t) = k3h3(t)

beschrieben. Damit erhält man das Zustandsraummodell

Σ :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎛⎝ h1(t)

h2(t)

h3(t)

⎞⎠ =

⎛⎜⎜⎝

− k12A1

k12A1

0

k12A2

− k23+k12A2

k23A2

0 k23A3

− k23+k3A3

⎞⎟⎟⎠

⎛⎝ h1(t)

h2(t)h3(t)

⎞⎠+

⎛⎝ 1

A1

00

⎞⎠u(t)

y(t) = (0 0 1)

⎛⎝ h1(t)

h2(t)h3(t)

⎞⎠ .

Als Anfangszustand müssen die drei Füllstände h1(0), h2(0), h3(0) bekannt sein.

3. Das Modell gilt nur, solange die Behälter weder leer- noch überlaufen. Eingangs- und Aus-gangsgröße können nur positive Werte annehmen. Unter Verwendung von Schranken h1,h2 und h3, die von der Geometrie der Behälter abhängen, können diese Einschränkungenin der Form (4.96) aufgeschrieben werden:

1 Zwischen Volumenstrom und Füllstand gilt eigentlich der nichtlineare Zusammen-hang (4.99), der jedoch um den Arbeitspunkt linearisiert werden kann, wie es im Ab-schn. 4.5.1 gezeigt wird.


⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−u(t)h1(t)−h1(t)h2(t)−h2(t)h3(t)−h3(t)−y(t)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

≤

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0h1

0h2

0h3

00

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Aufgabe 4.10 Linearisierung der Pendelgleichungen

1. In Tangentialrichtung ergibt sich an der Masse m das in Abb. A.11 dargestellte Kräfte-gleichgewicht, wobei der Winkel ϕ entgegen dem Uhrzeigersinn positiv gezählt wird:

mlϕ(t) +mg sinϕ(t) = f(t). (A.21)

Für die Zustandsvariablen x1(t) = ϕ(t) und x2(t) = ϕ(t) erhält man aus Gl. (A.21) dieBeziehungen

x1(t) = x2(t) (A.22)

x2(t) = −g

lsin x1(t) +

1

mlu(t). (A.23)

Die Ausgangsgröße y(t) ist der Winkel ϕ(t) = x1(t), die Eingangsgröße u(t) dieKraft f(t). Das nichtlineare Zustandsraummodell der Form (4.100) lautet

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Abb. A.11: Kräftegleichgewicht am Pendel

Pendel :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(x1(t)

x2(t)

)=

(x2(t)

− glsin x1(t) +

1ml

u(t)

), x(0) =

(ϕ(0)

ϕ(0)

)

y(t) = x1(t).

Die Nichtlinearität äußert sich darin, dass x2 über die Sinusfunktion von x1 abhängt.

Aufgabe 4.10 629

2. Um ein lineares Zustandsraummodell zu erhalten, muss zunächst ein Arbeitspunkt (x, y)ermittelt werden. Aus der Annahme u = f und den Bedingungen (4.101), (4.102) für denArbeitspunkt ergibt sich

x1 = arcsinf

m g

x2 = 0

y = x1.

Die konstante Kraft f führt dazu, dass das Pendel bei der Auslenkung ϕ zur Ruhe kommt.Für das linearisierteModell erhält man entsprechend den Gln. (4.104), (4.105), (4.108)

und (4.109)

A =

(0 1

− glcosx1 0

)x=x,u=u

=

(0 1

− glcos x1 0

)

b =

(0

1ml

)x=x,u=u

=

(0

1ml

)

cT = (1 0)

d = 0.

Das linearisierte Modell

δx(t) ≈(

0 1−g/l cos x1 0

)δx(t) +

(0

1ml

)δu(t), δx(0) ≈

(ϕ(0) − x1

ϕ(0)

)

δy(t) ≈ (1 0) δx(t)

beschreibt das Verhalten des Systems in der Nähe des angegebenen Arbeitspunktes.

3. Misst man die Masse in Kilogramm, die Länge in Metern, den Winkel im Bogenmaß unddie Zeit in Sekunden, so liegt der Arbeitspunkt bei x1 = 0,205, also bei etwa 11 Grad.Das linearisierte Zustandsraummodell heißt

linearisiertes Pendel :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

δx(t) ≈(

0 1−9,6 0

)δx(t) +

(0

1

)δu(t)

δx(0) =

(ϕ(0)− 0,205

ϕ(0)

)

δy(t) ≈ (1 0) δx(t).

Dieses Zustandsraummodell ist mit

δu(t) = f(t)− f

zu verwenden. Hat man δy(t) berechnet, so erhält man den absoluten Wert aus der Bezie-hung

y(t) = y + δy(t).


Aufgabe 5.1 Eigenbewegung zweier gekoppelter Wasserbehälter

1. Im Gleichgewichtszustand sind beide Flüssigkeitsspiegel auf derselben Höhe h0. Aus derVolumenbilanz der beiden Behältern erhält man

v1(t) = A1h1(t) (A.24)

v2(t) = A2h2(t), (A.25)

wobei vi den Volumenstrom in den Behälter i hinein bezeichnet. Der von den Flüssigkei-ten in den beiden Behältern auf die Flüssigkeit im Verbindungsrohr ausgeübte Druck istproportional zum Füllstand:

p1(t) = ρh1(t) (A.26)

p2(t) = ρh2(t). (A.27)

Der durch das Verbindungsrohr fließende Volumenstrom ist unter der Annahme linearerZusammenhänge proportional zum Druckabfall über der Rohrleitung

v(t) = kΔp(t). (A.28)

Die beiden Behälter und das Verbindungsrohr sind über die Massenbilanz

v(t) = v1(t) = −v2(t) (A.29)

und das Kräftegleichgewicht

Δp(t) = p1(t)− p2(t) (A.30)

verkoppelt. Mit diesen Gleichungen ist das Behältersystem vollständig beschrieben. Diefolgenden Umformungen dienen dazu, aus diesen Gleichungen ein Zustandsraummodellabzuleiten.

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0

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Abb. A.12: Zweitanksystem

Aus den Gln. (A.26) – (A.28) und (A.30) erhält man

v(t) = k (h1(t)− h2(t)), (A.31)

Aufgabe 5.1 631

wobei k einen Proportionalitätsfaktor darstellt. Das Einsetzen in Gl. (A.29) und dann inGl. (A.24) führt auf die Differentialgleichung

h1(t) =k

A1(h2(t)− h1(t)). (A.32)

Andererseits führen die Gln. (A.24), (A.25) und (A.29) auf

A1h1(t) = −A2h2(t)

und nach Integration auf

A1(h1(t)− h1(0)) = −A2(h2(t)− h2(0))

undh2(t) = h2(0)− A1

A2(h1(t)− h1(0)). (A.33)

Diese algebraische Gleichung muss für alle Zeiten t gelten.Die insgesamt in den beiden Behältern vorhandene Flüssigkeit ist durch die Füllhö-

he h0 im Gleichgewichtszustand bestimmt. Es gilt

h2(0) =A1 +A2

A2h0 − A1

A2h1(0).

Damit erhält man aus Gl. (A.33) als Relation zwischen den Füllständen beider Behälterdie Beziehung

h2(t) =A1 +A2

A2h0 − A1

A2h1(t).

Diese Beziehung besagt, dass die Füllstände der beiden Behälter linear voneinander abhän-gen. Deshalb kann das Behältersystem durch ein Zustandsraummodell erster Ordnung be-schrieben werden.

ZumZustandsraummodell kommt man nun, indemman zunächst h2 aus der Gl. (A.32)eliminiert:

h1(t) = − k

A1

A1 +A2

A2h1(t) +

k(A1 + A2)

A1A2h0.

Diese Gleichung hat noch nicht die gewünschte Form, da sie einen konstanten Summandenenthält. Dieser Summand wird eliminiert, indem man als Zustandsgröße

x(t) = h1(t)− h0

einführt, wodurch sich die Zustandsgleichung

x(t) = − k

A1

A1 + A2

A2h1(t)

ergibt, die die Formx(t) = ax(t), x(0) = x0

mit

a = −k(A1 +A2)

A1A2

x0 = h1(0)− h0

hat.


2. Aus dem gegebenen Anfangszustand h1(0) = h10 folgt für das Modell die Anfangsbedin-gung x0 = h10 − h0. Die Eigenbewegung hat gemäß der Bewegungsgleichung (5.11) dieForm

x(t) = (h10 − h0)eat,

wobei der Modellparameter a negativ ist. Sie ist in Abb. A.13 dargestellt. Der Zustand xnähert sich asymptotisch dem Endwert x = 0, d. h., der Füllstand h1 erreicht asymptotischden Gleichgewichtszustand h0.

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Abb. A.13: Eigenbewegung des Zweitanksystems

Diskussion. Das sehr einfache Systemverhalten ergibt sich aufgrund der als linear ange-nommenen Zusammenhänge zwischen Füllstand und Volumenstrom im Verbindungsrohrund aufgrund der Vernachlässigung der Trägheitskräfte. Beide Annahmen sind sinnvoll,wenn der Querschnitt A3 des Verbindungsrohres viel kleiner als die Querschnitte A1 undA2 der Behälter sind.

Da das System mit den beiden Behältern zwei Speicherelemente besitzt, würde manein Zustandsraummodell der Ordnung n = 2 erwarten. Als Folge der Annahme, dass dieFlüssigkeit keine Trägheit besitzt, erhält man jedoch ein Modell erster Ordnung.

Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, so müssen die Trägheitskräfte berücksichtigt wer-den. Das heißt, die den Volumenstrom im Verbindungsrohr verursachenden Kräfte sinddann nicht nur von der Differenz der Füllstände, sondern auch von der Geschwindigkeitabhängig, mit der sich die Füllstände ändern. Es entsteht ein Zustandsraummodell zwei-ter Ordnung, das schwingungsfähig ist. Ausgehend von einer Anfangshöhe nähert sich derFüllstand h1 dem Gleichgewichtszustand h0, wobei er zunächst ein- oder mehrfach über-schwingt.

Aufgabe 5.2 Bewegungsgleichung für ein RC-Glied erster Ordnung

1. Das dynamische Verhalten des in Abb. A.14 dargestellten RC-Gliedes wird durch die Bau-elementegleichungen

uR(t) = (R1 +R2) i(t)

i(t) = CduC(t)

dt

und die Maschengleichung

Aufgabe 5.2 633

uR(t) + uC(t)− u(t) = 0

beschrieben (vgl. Aufgabe 4.8). Werden die Zeitkonstante T = (R1 + R2)C und dieZustandsvariable x = uC eingeführt, so ergibt sich die skalare Zustandsgleichung:

x = − 1

T︸︷︷︸a

x(t) +1

T︸︷︷︸b

u(t), x(0) = uC(0).

Sie hat die Form (5.7), wobei an Stelle der MatrixA und des Vektors b skalare Faktoren aund b stehen.

Ausgangsgröße y(t) ist die über dem Kondensator und demWiderstandR2 abfallendeSpannung

y(t) = uC(t) +R2 i(t) = uC(t) +R2 CuC(t)

= uC(t) +R2C

(− 1

TuC(t) +

1

Tu(t)

).

Damit lautet die Ausgabegleichung

y(t) =R1

R1 +R2︸︷︷︸c

x(t) +R2

R1 +R2︸︷︷︸d

u(t). (A.34)

Das RC-Glied stellt ein sprungfähiges System erster Ordnung dar, denn es gilt d �= 0.

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Abb. A.14: RC-Glied

In die angegebenen Gleichungen gehen alle physikalischen Größen mit ihrer Maßein-heit ein. Zu Zahlenwertgleichungen kommt man, wenn man die Maßeinheiten festlegt. ImFolgenden werden die Spannungen uC und y in Volt, die Widerstände in Ohm und die Zeitin Sekunden gemessen.

2. Mit der Anfangsbedingung x0 = 12ergibt sich gemäß Gl. (5.5) für die Eigenbewegung

xfrei(t) =1

2e−

tT .

Mit Gl. (A.34) folgt für die Eigenbewegung yfrei(t) der Ausgangsgröße

yfrei(t) =1

2

R1

R1 +R2e−

tT .

Die Funktion hat den in Abb. A.15 (links) dargestellten Verlauf.


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Abb. A.15: Überlagerung von Eigenbewegung und erzwungenerBewegung

3. Für die Eingangsgröße u(t) = σ(t) und x0 = 0 ergibt aus der Bewegungsgleichung (5.5)

xerzw(t) =1

T

∫ t

0

e−t−τT dτ = 1− e− t

T

und mit Gl. (A.34) die Ausgangsgröße

yerzw(t) =R1

R1 +R2

(1− e− t

T

)+

R2

R1 +R2.

In Abb. A.15 (Mitte) ist der Verlauf von yerzw(t) qualitativ dargestellt. Für die beidenGrenzfälle t → 0 und t → ∞ gilt

yerzw(0) =R2

R1 +R2

yerzw(∞) = 1.

Die Sprungfähigkeit des Systems äußert sich in der sprungförmigen Veränderung von yerzw(−0) =0 zu yerzw(+0) = R2

R1+R2.

4. Die Ausgangsspannung des RC-Gliedes ergibt sich aus der Überlagerung der erzwungenenBewegung mit der Eigenbewegung:

y(t) = yfrei(t) + yerzw(t).

In Abb. A.15 (rechts) ist dargestellt, wie y(t) grafisch durch Addition der beiden Teilbe-wegungen ermittelt werden kann.

Aufgabe 5.3 Bewegungsgleichung eines Fahrzeugs

1. An dem Fahrzeug wirken die in Abb. A.16 eingetragenen Kräfte. Die Trägheitskraft mvund die Widerstandskraft wirken entgegen der positiven v-Koordinate, so dass sich folgen-des Kräftegleichgewicht ergibt:

mv(t) + cw v(t) = u(t).

Im Arbeitspunkt gilt u = u, d. h., der Pedalwinkel ist so groß, dass der Luftwiderstandgerade kompensiert wird und sich das Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt.Mit der Zustandsvariablen x(t) = v(t) gilt für die Abweichung vom Arbeitspunkt

Aufgabe 5.3 635

δx(t) = x(t)− v (A.35)

die lineare Zustandsgleichung

δx(t) ≈ − cwm

δx(t) +1

mδu(t)

δy(t) ≈ δx(t),

bei der im Folgenden das δ weggelassen und das Näherungszeichen ≈ durch das Gleich-heitszeichen = ersetzt wird:

linearisiertes Fahrzeug :

{x(t) = − cw

mx(t) + 1

mu(t)

y(t) = x(t).(A.36)

Bezüglich der Gültigkeit des Modells ist zu beachten, dass die mit Hilfe des Luft-widerstandsbeiwertes cw beschriebene lineare Abhängigkeit der Widerstandskraft von derGeschwindigkeit nur in der Nähe eines Arbeitspunktes gilt, denn wie im Beispiel 4.14gezeigt wird hängt der Parameter cw vom Arbeitspunkt ab: cw = cw(v).

�� 0 �

0

! � 0

Abb. A.16: Kräftegleichgewicht am Fahrzeug

2. Entsprechend der Bewegungsgleichung (5.5) ergibt sich die Beziehung

x(t) = e− cwm

t x(0) +1

m

∫ t

0

e− cwm

(t−τ) u(τ ) dτ. (A.37)

3. Das Fahrzeug besitzt zum Zeitpunkt t = 0 eine Geschwindigkeit, die um δv0 höher alsdie des Arbeitspunktes ist. Für das Modell gilt folglich x0 = δv0. Verbleibt die Gaspedal-stellung für t ≥ 0 im Arbeitspunkt, so gilt u(t) = 0. Als Eigenbewegung folgt aus derBewegungsgleichung (A.37)

x(t) = e− cwm

t δv0,

(Abb. A.17 (oben)). Für den Geschwindigkeitsverlauf des Fahrzeugs muss man beachten,dass x(t) die Abweichung um die Geschwindigkeit v im Arbeitspunkt beschreibt (vgl.Gl. (A.35)). Aus dieser Überlegung ergibt sich der mit dem linearen Modell berechneteGeschwindigkeitsverlauf v(t) = v + x(t), der im unteren Teil der Abb. A.17 dargestelltist.

4. Befindet sich das Fahrzeug zum Zeitpunkt t = 0 im Arbeitspunkt, so gilt x(0) = 0und der erste Summand der Bewegungsgleichung (A.37) verschwindet. Die erzwunge-ne Bewegung folgt aus der Lösung des Integrals, das aufgrund der Unstetigkeit der Ein-gangsgröße u(t) in zwei Teilintegrale mit den Integrationsintervallen 0 ... t1 und t1 ... t2


�

�

�

.

� �

0 � � � � 0 � �

0.

0

Abb. A.17: Eigenbewegung des Fahrzeugs

aufgespaltet werden muss. Das zweite Integral verschwindet, weil in diesem Integrations-intervall u = 0 gilt. Beim ersten Integral müssen zwei Fälle unterschieden werden, beidenen die aktuelle Zeit t, für die x(t) bestimmt werden soll, größer oder kleiner als t1 ist.Es gilt

x(t) =1

m

∫ t

0

e− cwm

(t−τ) uB dτ, t < t1

und

x(t) =1

m

∫ t1

0

e− cwm

(t−τ) uB dτ, t ≥ t1.

Dabei bezeichnet uB den Wert der Eingangsgröße im Zeitintervall 0 ... t1. Wichtig ist,dass das Integrationsintervall des zweiten Integrals bei t1 endet, obwohl der Wert x(t)für t > t1 berechnet wird. Aus den angegebenen Integralen erhält man

x(t) =uB

cw

(1− e− cw

mt), t < t1 (A.38)

und

x(t) =uB

cw

(e− cw

m(t−t1) − e− cw

mt)= e− cw

mt uB

cw

(e

cwm

t1 − 1). (A.39)

Der qualitative Verlauf von x(t) = x + δx(t) ist in Abb. A.18 dargestellt. Für sehrgroße Zeit t1 nähert sich die in Gl. (A.38) beschriebene Trajektorie asymptotisch demEndwert uB

cw, der nur von der Beschleunigung uB und dem durch cw beschriebenen Luft-

widerstand bestimmt ist.

5. Kennt man den Anfangszustand eines Systems zu einem beliebigen Zeitpunkt t0, sobeschreibt das Zustandsraummodell den weiteren Verlauf der Zustandsgrößen. Die Lö-sung (A.39) für den zweiten Zeitabschnitt kann man deshalb so interpretieren, dass siedie Eigenbewegung des Systems beschreibt, wenn man t0 = t1 setzt, also mit der bei t1beginnenden Zeitachse t′ = t− t1 arbeitet und vom Anfangszustand

x(t′ = 0) = x(t1) =uB

cw

(1− e− cw

mt1)

ausgeht. Das Zustandsraummodell (A.36) bleibt dasselbe, gilt jetzt jedoch für die neueZeitvariable t′ im Intervall t′ ≥ 0 und die oben angegebene Anfangsbedingung. Das Mo-dell gilt für beliebige Eingangsgrößen u(t′) mit u(t′) = 0 für t′ < 0.

Aufgabe 5.4 637

�

��

�

Abb. A.18: Erzwungene Bewegung des Fahrzeugs

Aufgabe5.4 Fahrt mit der Eisenbahn

1. Auf die Eisenbahn wirken die in Abb. A.19 eingetragenen Kräfte. Die Trägheitskraftmv(t)und die Widerstandskraft Fw(t) = cv(t) wirken entgegen der positiven Koordinatenrich-tung, so dass sich folgendes Kräftegleichgewicht ergibt:

mv(t) + cv(t) = u(t).

Mit der Zustandsvariablen x = v erhält man daraus die skalare Zustandsgleichung

Eisenbahn :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x(t) = − c

m︸︷︷︸a

x(t) +1

m︸︷︷︸b

u(t), x(0) = v0

y(t) = x(t).

Da der Zug zur Zeit t = 0 im Bahnhof losfährt, gilt v0 = 0.

�� 0# ! �

0

� � � � I � � * � � � * � � �

# ! � � � � $ � � ! ' ( � � � � * � ( � % � * + �

Abb. A.19: Kräftegleichgewicht an der fahrenden Eisenbahn

2. Für die Eingangsgröße gilt:

u(t) =

⎧⎨⎩

Fa für 0 ≤ t < t10 für t1 ≤ t < t2

−Fb für t2 ≤ t < t3.

In Abb. A.20 ist oben der zeitliche Verlauf der Eingangsgröße dargestellt.Von der Bewegungsgleichung (5.5) ist wegen v0 = 0 nur der zweite Summand inter-

essant, der hier für die drei Zeitintervalle getrennt gelöst werden muss:

0 ≤ t ≤ t1 : x(t) =

∫ t

0

e a(t−τ)bFa dτ (A.40)

t1 ≤ t ≤ t2 : x(t) =

∫ t1

0

e a(t−τ)bFa dτ +

∫ t

t1

e a(t−τ)b0 dτ (A.41)

t2 ≤ t ≤ t3 : x(t) =

∫ t1

0

e a(t−τ)bFa dτ +

∫ t2

t1

e a(t−τ)b 0 dτ −∫ t

t2

e a(t−τ)bFb dτ,


� �

�

# *

��

� �. # �

�

��

Abb. A.20: Eingangsgröße (oben) und Geschwindigkeitsverlauf(unten) der Eisenbahn

wobei die Zerlegung durch die stückweise konstante Eingangsgröße vorgegeben ist. DieLösung wird hier nur für das Intervall t2 ≤ t ≤ t3 angegeben, bei dem der mittlereSummand verschwindet und für die beiden anderen Integrale die folgende Beziehung folgt:

x(t) =1

me at

(∫ t1

0

e−aτFa dτ −∫ t

t2

e−aτFb dτ

)

=1

ce− c

mt

(Fa e

cm

τ∣∣∣t10

+ Fb ecm

τ∣∣∣t2t

)

=Fa

ce− c

mt(e

cm

t1 − 1)+

Fb

ce− c

mt(e

cm

t2 − ecm

t)

=Fa

c

(e− c

m(t−t1) − e− c

mt)+

Fb

c

(e− c

m(t−t2) − 1

).

3. Da die Eingangsgröße im mittleren Zeitintervall verschwindet, kann man die in Gl. (A.41)beschriebene erzwungene Bewegung auch als Eigenbewegung der Eisenbahn darstellen,die im Zustand x(t1) beginnt. Dafür berechnet man x(t1) aus Gl. (A.40)

x(t1) =

∫ t1

0

e a(t1−τ)bFa dτ

= e at1

(−1

a

)e−aτ

∣∣∣∣t10

bFa

=bFa

−a

(1− e−at1

)und setzt diesen Zustand in Gl. (5.13) auf S. 131 ein:

Aufgabe 5.5 639

t1 ≤ t ≤ t2 : x(t) = e a(t−t1)x(t1) =bFa

−a

(1− e−at1

)e a(t−t1).

Man kann leicht ausrechnen, dass diese Darstellung mit Gl. (A.41) übereinstimmt. DerZustand x(t1) ist positiv, weil der Modellparameter a negativ ist.

4. Mit x(t3) = 0 ergibt sich, dass der Zug zur Zeit

t3 = −m

cln

(Fb

Fa(ecm

t1 − 1) + Fbecm

t2

)= 336

zum Stillstand kommt. Im unteren Teil von Abb. A.20 ist der Geschwindigkeitsverlauf x(t)qualitativ dargestellt.

Aufgabe5.5 Verhalten zweier Rührkessel

1. Als Zustandsgrößen wählt man die Konzentrationen x1(t) = c1(t) und x2(t) = c2(t), mitdenen der Stoff A im ersten bzw. zweiten Behälter vorliegt. Die Konzentration im erstenBehälter ändert sich, wenn die Konzentration im Zulauf um u(t) vom ArbeitspunktwertcA abweicht:

x1(t) =F

V1(u(t)− x1(t)). (A.42)

Dabei bezeichnen F den konstanten Volumenstrom durch die Behälter und V1 das Volu-men des ersten Behälters. Zu dieser Gleichung kommt man, wenn man eine Teilchenbilanzaufstellt, in der die Änderung der Teilchenanzahl n1 betrachtet wird. Es gilt

n1(t) = V1c1(t)

unddn1(t)

dt=

dV1c1(t)

dt= c0F − c1(t)F ,

da das Volumen V1 konstant ist. Mit

c1(t) =n1(t)

V1

erhält man Gl. (A.42).Für den zweiten Behälter gilt

x2(t) =F

V2(x1(t)− x2(t)).

Daraus erhält man das Zustandsraummodell

Rührkessel :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(x1(t)

x2(t)

)=

( − FV1

0

FV2

− FV2

)(x1(t)

x2(t)

)+

(FV1

0

)u(t)

(x1(0)

x2(0)

)=

(cA

cA

)

y(t) = (0 1)

(x1(t)

x2(t)

).

(A.43)


2. Mit den in der Aufgabenstellung angegebenen Parametern erhält man das Modell(x1(t)

x2(t)

)=

(−0,5 0

0,67 −0,67

)(x1(t)

x2(t)

)+

(0,5

0

)u(t)

y(t) = (0 1)

(x1(t)

x2(t)

),

wobei die Zeit in Minuten und das Volumen in Litern gemessen wird.

3. Als Maßeinheit für die Konzentration wird moll

verwendet. Ist u(t) = 1, so erhält man ausdem Zustandsraummodell für x1 = 0 und x2 = 0 die Beziehung x1 = x2 = 1, die alsAnfangsbedingung (

x1(0)

x2(0)

)=

(1

1

)

verwendet wird.Führt man die neuen Signale

x1(t) = x1(t)− 1

x2(t) = x2(t)− 1

u(t) = u(t)− 1

y(t) = y(t)− 1

ein, so erhält man das Modell(˙x1(t)

˙x2(t)

)=

(−0,5 0

0,67 −0,67

)(x1(t)

x2(t)

)+

(0,5

0

)u(t),

(x1(0)

x2(0)

)=

(0

0

)

y(t) = (0 1)

(x1(t)

x2(t)

),

das die Abweichungen u, x1, x2 und y von den Arbeitspunktwerten u = x1 = x2 = y =1 darstellt.

4. Man rechnet zweckmäßigerweise mit dem zweiten Modell, da für dieses aufgrund derverschwindenden Anfangsbedingung keine Eigenbewegung zu ermitteln ist. Aus der ge-gebenen Eingangsgröße erhält man

u(t) =

{5 0 ≤ t ≤ 0,250 t > 0,25,

woraus für die Zustände der beiden Behälter die Beziehungen(x1(t)

x2(t)

)= 5

∫ t

0

eA(t−τ)b dτ für t ≤ 0,25

und (x1(t)

x2(t)

)= 5

∫ 0,25

0

eA(t−τ)b dτ für t > 0,25

folgen. Dabei bezeichnet b den Steuervektor des oben angegebenen Modells.

Aufgabe 5.7 641

Mit Hilfe der Sylvesterformel (5.23) erhält man für die Übergangsmatrix

eAt =

(1 0

3,94 0

)e−0,5t +

(0 0

−3,94 1

)e−0,67t.

Damit gilt(x1(t)

x2(t)

)= 5

(1− e−0,5t

1− 3,94e −0,5t + 2,94e −0,67t

)für t ≤ 0,25 (A.44)

und (x1(t)

x2(t)

)=

(0,668

2,62

)e−0,5t +

(0

−2,68

)e−0,67t für t > 0,25. (A.45)

Die Ausgangsgröße y ist in Abb. A.21 (unten) dargestellt.

Abb. A.21: Ausgangsgröße des Behältersystems bei impulsförmigerErregung

Aufgabe5.7 Transformation des Zustandsraumes eines RC-Gliedes

1. Der neue Zustandsvektor ergibt sich durch die Transformation(uC1(t)

uC1(t)

)=

(1 0

− 1R1C1

1R1C1

)(uC1(t)

uC2(t)

),

denn aus den Gln. (A.10) und (A.16) folgt

uC1(t) =uC2(t)− uC1(t)

R1C1.


Die Beziehungen (5.27), (5.28) und (5.31) sind also mit

T−1 =

(1 0

− 1R1C1

1R1C1

)anzuwenden. Man erhält

A =

(0 1

− 1R1C1R2C2

−R2C2+C1(R1+R2)R1C1R2C2

), b =

(0

1R1R2C1C2

)

cT = (1 0).

2. Die transformierte Systemmatrix A ist eine Begleitmatrix, weil entsprechend der Aufga-benstellung die Ausgangsgröße und deren erste Ableitung als Zustandsvariablen verwendetwerden.

Aufgabe 5.8 Bewegungsgleichung in kanonischer Darstellung

1. Da es sich bei der gegebenen Systemmatrix um eine Dreiecksmatrix handelt, sind die Ei-genwerte gleich den Diagonalelementen

λ1 = − 1

T1, λ2 = − 1

T2.

Die Eigenvektoren folgen aus der Beziehung( − 1T1

01T2

− 1T2

)vi = λivi.

Man erhält

v1 =

(v11

T1T1−T2

v11

), v2 =

(0

v22

),

wobei v11 und v22 beliebige reelle Werte sind, die im Folgenden gleich 1 gesetzt werden.

2. Die Transformationsmatrix und ihre Inverse lauten

V = (v1 v2) =

(1 0T1

T1−T21

)

V −1 =

(1 0T1

T2−T11

).

Nach Gl. (5.26) wird mit dem neuen Zustandsvektor(x1(t)

x2(t)

)=

(1 0T1

T2−T11

)(x1(t)

x2(t)

)(A.46)

gearbeitet. Für das Modell mit kanonischen Zustandsvariablen erhält man

Aufgabe 5.8 643

A =

( − 1T1

0

0 − 1T2

)

b =

(1T1

1T2−T1

)

cT =

(T2

T2 − T1− 1

).

Auch der Anfangszustand muss gemäß x(0) = V −1x0 transformiert werden:

x0 =

(x1(0)

T1T2−T1

x1(0) + x2(0)

).

Das Zustandsraummodell in kanonischer Normalform lautet damit

Σ :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

˙x(t) =

( − 1T1

0

0 − 1T2

)x(t) +

(1T1

1T2−T1

)u(t), x(0) = x0

y(t) =(

T2T2−T1

− 1)x(t).

Der Signalflussgraph ist in Abb. A.22 dargestellt. Es ist ersichtlich, dass im Unterschiedzum Signalflussgraphen in Abb. 4.8 keine direkten Kopplungen zwischen den Zustandsva-riablen mehr auftreten.

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. �

�

�

��

� �

�

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�

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� ��

�

� �

Abb. A.22: Signalflussgraph

3. Als Bewegungsgleichung ergibt sich gemäß Gl. (5.11) die Beziehung

x(t) = e diag λit x0 +

∫ t

0

e diag λi(t−τ) bu(τ ) dτ

=

(e− t

T1 0

0 e− t

T2

)x0 +

∫ t

0

(e− t−τ

T1 0

0 e− t−τ

T2

)(1T1

1T2−T1

)u(τ ) dτ

=

⎛⎝ e

− tT1 x1(0)

e− t

T2 x2(0)

⎞⎠+

∫ t

0

⎛⎝ 1

T1e− t−τ

T1

1T2−T1

e− t−τ

T2

⎞⎠u(τ ) dτ. (A.47)


4. Die Eigenbewegung folgt aus Gl. (A.47) für u(t) = 0:

xfrei(t) =

⎛⎝ e

− tT1 x1(0)

e− t

T2 x2(0)

⎞⎠ .

Die Rücktransformation nach (5.63) liefert:

xfrei(t) =

(1

T1T1−T2

)e− t

T1

︸︷︷︸Eigenvorgang 1

x1(0) +

(0

1

)e− t

T2

︸︷︷︸Eigenvorgang 2

x2(0).

Aufgabe 5.10 Beziehungen zwischen der Regelungs- und der E/A-Normalform

Eine aus einem Vergleich der Signalflussgraphen abgeleitete Vermutung muss sich auch quan-titativ beweisen lassen. Dabei muss man beachten, dass die Zustandsvariablen beider Modellenicht genau gleich, aber linear voneinander abhängig sein müssen. Der Beweis der Vermu-tung wird im Folgenden dadurch erbracht, dass eine reelle Zahl α bestimmt wird, mit derdie Beziehung T−1

E = αT−1R gilt, die für die Zustände der beiden Modelle die Relation

xE(t) = αxR(t) impliziert.Aus Gln. (5.76) und (5.77) folgt die Beziehung

sTR(b Ab A2b ...An−1b) = (0 0 ... 0 1),

während Gl. (5.85) auf

cTb = 0

cTAb = 0...

cTAn−2b = 0

cTAn−1b = α �= 0

und damit aufcT(b Ab A2b ...An−1b) = (0 0 ... 0 α)

führt, wobei die von null verschiedene Zahl in der letzten Zeile der Bestimmungsgleichungdes relativen Grads mit α bezeichnet wurde. Daraus sieht man, dass die Vektoren cT und sTRlinear abhängig sind

cT = αsTR

und folglich die Beziehung T−1E = αT−1

R mit α = cTAn−1b gilt.

Diskussion. Die Voraussetzung r = n führt dazu, dass in den Modellen ein Zusammenhangzwischen den Vektoren b und cT besteht, der die beiden aus (A, b) bzw. (A, cT) gebildetenTransformationsmatrizen linear abhängig macht. Der Unterschied in den beiden Zustandsvek-toren xE(t) und xR(t) führt auf zwei kleine Unterschiede zwischen den Modellen (5.69),(5.72) und (5.95), die für r = n die Vektoren

Aufgabe 5.11 645

bR =

⎛⎜⎜⎜⎝

0...01

⎞⎟⎟⎟⎠ , cTR = (α 0 . . . 0) bzw. bI =

⎛⎜⎜⎜⎝

0...0α

⎞⎟⎟⎟⎠ , cTI = (1 0 . . . 0)

mit α = b0 = bq enthalten.

Aufgabe5.11 Bestimmung der statischen Verstärkung

Für die Regelungsnormalform (5.67) führt die Anwendung von Gl. (5.119) zu einer relativaufwändigen Rechnung. Schneller erhält man ks aus der Überlegung, dass im statischen Zu-stand x für die konstante Eingangsgröße u(t) = u alle Ableitungen der Zustandsvariablenverschwinden:

x1 = x2 = 0

x2 = x3 = 0

...

xn−1 = xn = 0

xn = 0 = −a0x1 + u

Daraus erhält man x1 = 1a0

u und ks = b0a0

.In der E/A-Normalform müssen in beiden Integratorketten sämtliche Eingänge der Inte-

gratoren verschwinden, damit sich das System in einer Ruhelage befindet. Wie bei der Rege-lungsnormalform erhält man für die E/A-Dynamik aus der letzten Zeile von Gl. (5.98)

dry

dtr= 0 = e1y + er+1xN1 + bqu

und aus der letzten Zeile der Internen Dynamik (5.99)

xNq = 0 =1

bqy − b0

bqxN1,

also xN1 = 1b0y und

y

(e1 +

er+1

b0

)+ bqu = 0

sowie schließlichks = − bq

e1 +er+1

b0

. (A.48)

Mit den abgeleiteten Beziehungen kann man die statische Verstärkung direkt aus den beidenModellen ablesen.


Aufgabe 5.12 Berechnung der Gewichtsfunktion

1. Für die Gewichtsfunktion erhält man mit der Sylvesterformel (5.23) für die angegebenenDaten

g(t) = (0 1) exp

((−0,5 0

0,67 −0,67

)t

) (0,5

0

)

= (0 1)

((1 0

3,94 0

)e−0,5t +

(0 0

−3,94 1

)e−0,67t

)(0,5

0

)

= 1,97(e−0,5t − e−0,67t)

(durchgezogene Kurve in Abb. A.23).

Abb. A.23: Vergleich der Gewichtsfunktion mit der Ausgangsgrößedes Behältersystems bei impulsförmiger Erregung

2. Die Eigenvorgänge des Behältersystems enthalten die e-Funktionen e−0,5t und e−0,67t, die6 bzw. 4,5 Zeiteinheiten (Minuten) benötigen, um vom Anfangswert 1 bei t = 0 auf denWert 0,05 abzuklingen. Verglichen mit diesen Zeitangaben ist die Impulsdauer von 0,25Zeiteinheiten sehr klein. Die verwendete Impulsdauer entspricht also in guter Näherungder eines Einheitsimpulses. Allerdings muss beachtet werden, dass er die Fläche 5 ·0,25 =1,25 (an Stelle von eins) hat.

3. Aus den Gln. (A.44) und (A.45) erhält man nach Multiplikation mit 11,25

= 0,8 zur Korrek-tur der verwendeten Impulsfläche für die Näherung

g(t) =

{4− 15,76 e−0,5t + 11,76 e−0,67t für t ≤ 0,25

2,09 e−0,5t − 2,14 e−0,67t für t > 0,25.

Diese Näherung ist als gestrichelte Linie in Abb. A.23 eingetragen. Wie die Abbildungzeigt, stimmt sie gut mit der tatsächlichen Gewichtsfunktion überein.

Aufgabe 5.16 647

Aufgabe5.16 Übergangsverhalten und stationäres Verhalten eines Regelkreises

1. Setzt man das Reglergesetzu(t) = kw(t)− kcx(t)

in das Regelstreckenmodell ein, so erhält man das Zustandsraummodell des Regelkreises:

Σ :

{x(t) = (a− bkc)x(t) + bkw(t), x(0) = 0

y(t) = cx(t).

2. Für die Gewichtsfunktion kann man daraus die Beziehung g(t) = bkce (a−bkc)t ablesen.

3. Die Ausgangsgröße entspricht der mit w multiplizierten Übergangsfunktion, für die manentsprechend Gl. (5.116) die Beziehung

y(t) = − bkc

a− bkc

(1− e (a−bkc)t

)w

enthält. Wenn der Regelkreis stabil ist (a − bkc < 0), existiert der Quotient. Die Über-gangsfunktion des Regelkreises hat die in Abb. 5.32 für das PT1-Glied angegebene Form.

Durch Umstellung der Gleichung erhält man

y(t) = − bkc

a− bkcw︸︷︷︸

ys(t)

+bkc

a− bkcwe (a−bkc)t

︸︷︷︸yu(t)

,

wobei der erste Summand das stationäre Verhalten und der zweite Summand das Über-gangsverhalten beschreibt (vgl. auch Gln. (5.137) – (5.139)). Das stationäre Verhal-ten ys(t) ist eine Sprungfunktion mit der Amplitude − bkc

a−bkc, das Übergangsverhalten

eine abklingende e-Funktion.

4. Die Zielstellung y(t) = w der Regelung wird aus zwei Gründen nur näherungsweise er-reicht. Erstens erfüllt das stationäre Verhalten ys(t) die Forderung ys(t) = w nur, wennfür die Regelstrecke der Parameter a verschwindet. Für a �= 0 tritt eine bleibende Regel-abweichung w(∞)− y(∞) = a

a−bkcw auf. Zweitens folgt der Regelkreis dem zum Zeit-

punkt t = 0 auf den Wert w gesetzten Sollwert nur verzögert. Die Verzögerung ist durchdas Übergangsverhalten yu(t) beschrieben. Je kleiner der negative Parameter a − bkc ist,umso schneller klingt das Übergangsverhalten ab.

5. Für die Ausgangsgröße des Regelkreises erhält man

y(t) = (g ∗ w)(t) =

∫ t

0

bkc e (a−bkc)(t−τ)w e μτ dτ

= − bkcw

a− bkc− μe μt

︸︷︷︸ys(t)

+bkcw

a− bkc− μe (a−bkc)t.

Es soll ys(t) = w(t) gelten, also

− bkcw

a− bkc− μ= w.


Daraus erhält man die Forderung a = μ. Dies ist eine Bedingung an die Regelstrecke.Sie besagt, dass der Eigenvorgang e at der Regelstrecke mit der Eingangsgröße w(t) desRegelkreises übereinstimmen muss. Im Abschn. 7.3.4 wird dies allgemeiner durch die For-derung ausgedrückt, dass die offene Kette ein „inneres Modell“ der Führungsgröße habenmuss (Inneres-Modell-Prinzip).

Aufgabe 5.18 Nulldynamik bei der Störunterdrückung in Regelkreisen

Wie im Abschn. 4.4.3 gezeigt wurde, muss man die beiden Zustandsvariablen der Regelstreckeund des Reglers zum Zustandsvektor des Regelkreises kombinieren, so dass das folgendeModell entsteht:

Σ :

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

(x(t)

xr(t)

)=

(− 1

T− kI

T

ks 0

)(x(t)

xr(t)

)+

(1T

0

)d(t),

(x(0)

xr(0)

)=

(x0

xr0

)

y(t) = (ks 0)

(x(t)

xr(t)

).

Um die gewünschte Struktur zu erhalten, muss man dieses Modell in die E/A-Normalformüberführen. Es wird zunächst der relative Grad bestimmt, wobei man wegen

cTb = (ks 0)

(1T

0

)=

ksT

�= 0

den Wert r = 1 bekommt. Zur Bestimmung des Vektors sTR aus Gl. (5.77) wird die Matrix SS

aufgestellt

SS =

(1T

− 1T2

0 ksT

)

und invertiert

S−1S =

(T 1

ks

0 Tks

),

so dass man

sTR =

(0

T

ks

)erhält. Damit gilt für die Transformationsmatrix (5.103) die Beziehung

T−1E =

(ks 0

0 Tks

).

Mit dem neuen Zustandsvektor xE(t) = T−1E x(t) hat das Modell des Regelkreise Σ die

Form

Σ :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(xI(t)

xN(t)

)=

(− 1

T− kIk

2s

T2

Tks

0

)(xI(t)

xN(t)

)+

(ksT

0

)d(t)

y(t) = (1 0)

(xI(t)

xN(t)

)

Aufgabe 5.21 649

und den Anfangszustand (xI(0)

xN(0)

)=

(ksx0

Tksxr0

).

Die beiden Modellteile haben jeweils eine skalare Zustandsgröße. Die Nulldynamik liest manaus der zweiten Zeile für y(t) = xI(t) = 0 ab:

xN(t) = 0, xN(0) =T

ksxr0.

Der daraus entstehende Eingangsgrößengenerator (5.157) erzeugt hier die Störung d(t):

Σd :

{xN(t) = 0, xN(0) =

Tksxr0

d(t) = kIks

TxN(t)

Er ist entsprechend Abb. 5.30 mit Σd bezeichnet. Die durch ihn erzeugten Signale sind kon-stant, wobei die Amplitude vom Anfangszustand des Reglers abhängt:

d(t) =kIksT

T

ksxr0 = kIxr0. (A.49)

Für den Anfangszustand x0 = 0 der Regelstrecke und xr0 des Reglers kompensiert der Reglerdie Störung (A.49) vollständig, so dass die Regelstrecke für alle Zeitpunkte t ≥ 0 verschwin-det.

Diskussion. Unter der Nulldynamik versteht man bei diesem Regelkreis die Bewegung desReglers, der die Stellgröße

u(t) = −kIxr(t) = −kIxr0

erzeugt, die die Störung (A.49) an der Summationsstelle in Abb. 5.30 kompensiert. Es istgenauer betrachtet gar keine „Bewegung“, denn sowohl die Störung als auch die Stellgrößehaben einen konstanten Wert. Aber es ist eine Bewegung in dem Sinne, dass der Zustand desRegelkreises nicht für alle Zeiten verschwindet, während der Ausgang für dasselbe Zeitinter-vall gleich null ist.

Aufgabe5.21 Zustandsraummodell und Gewichtsfunktion eines PTn–Gliedes

1. Das betrachtete PTn-Glied besteht aus einer Reihenschaltung von n PT1-Gliedern (5.163).Bezeichnet man den Zustand des i–ten Glieds mit xi(t), so ist der Zustand des PTn-Gliedes durch den Vektor x(t) = (x1(t) x2(t) ... xn(t))

T beschrieben und das Zustands-raummodell hat die Form

PTn-Glied :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x(t) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

− 1T1T

− 1T1T

− 1T

. . .. . .

1T

− 1T

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠x(t) +

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1T

00...0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠u(t)

y(t) = (0 0 0 . . . 1) x(t)(A.50)

mit verschwindendem Anfangszustand.


2. Die Systemmatrix A hat n gleiche Eigenwerte λi = − 1T, (i = 1, 2, ..., n). Aufgrund

der Einträge unterhalb der Hauptdiagonalen ist sie nicht diagonalähnlich. Dies sieht man,wenn man die transponierte Matrix betrachtet und den Faktor 1

Tausklammert, was auf

einen Jordanblock führt. Folglich wird die zu berechnende Gewichtsfunktion nicht nurTerme der Form e− t

T , sondern auch Summanden der Form tke− tT besitzen.

3. Zerlegt man das Modell (A.50) in der Form

Σ1 : x1(t) = − 1

Tx1(t) +

1

Tu(t)

Σi : xi(t) = − 1

Txi(t) +

1

Txi−1(t), i = 2, 3, ..., n

y(t) = xn(t),

dann kann man die Gewichtsfunktion schrittweise wie folgt berechnen. Für u(t) = δ(t)erhält man aus dem Modell von Σ1

x1(t) =1

Te− t

T .

Der Zustand von Σ2 ist durch die Faltung der Gewichtsfunktion

g(t) =1

Te− t

T

dieses PT1-Gliedes mit der Eingangsgröße x1(t) bestimmt:

x2(t) = (g ∗ x1)(t)

=

∫ t

0

1

Te− t−τ

T1

Te− τ

T dτ

=1

T 2e− t

T

∫ t

0

1 dτ

=1

T 2t e− t

T .

Setzt man die Berechnung für die nächsten Teilsysteme Σi, (i = 3, ..., n) fort, so erhältman

x3(t) = (g ∗ x2)(t)

=

∫ t

0

1

Te− t−τ

T1

T 2τ e− τ

T dτ

=1

T 3e− t

T

∫ t

0

τ dτ

=1

2T 2t2 e− t

T .

und schließlich als Ausgangsgröße y(t) die Gewichtsfunktion

g(t) =1

Tn(i− 1)!tn−1 e− t

T .

Da die Systemmatrix des PTn-Gliedes nicht diagonalähnlich ist, entstehen in der Aus-gangsgröße Terme der Form tk e− t

T . Der Verlauf dieser Gewichtsfunktionen für (i =1, ..., 5) wird im unteren Teil von Abb. 5.36 auf S. 205 gezeigt.

Aufgabe 5.23 651

Aufgabe5.23 Wirkstoffkonzentrationsverlauf im Blut

1. Die Konzentrationen verändern sich zeitlich so wie die Gewichtsfunktionen eines PTn-Gliedes für n = 1, 2 bzw. 3 (vgl. Abb. 5.36 auf S. 205). Die Darmkonzentration nimmtnach einer e-Funktion ab, die Blutkonzentration steigt bis zu einem Maximalwert an undfällt dann wieder auf null ab und die Konzentration im Urin verläuft noch flacher. Da essich um Konzentrationen handelt, muss man die Kurven auf die Volumina normieren, denndie Stoffkonzentration ist beispielsweise im Darm schon aufgrund des kleineren Volumensdeutlich höher als im Blut. Hinzu kommt, dass die maximalen Konzentrationswerte umsokleiner werden, je mehr Verzögerungsglieder durchlaufen werden.

2. Bei intravenöser Verabreichung des Medikaments springt die Blutkonzentration sofort aufden Maximalwert und fällt dann nach einer e-Funktion. Bei gleicher Dosierung wie durcheine Tablette ist die Maximalkonzentration also erheblich höher, allerdings ist der Wirk-stoff auch schneller wieder aus dem Körper ausgeschieden. Bei der Verabreichung als Ta-blette wirkt der Darm als Zwischenspeicher, durch den der Wirkstoff länger im Körpergehalten wird.

Abb. A.24: Verlauf des Blutalkoholspiegels

3. Der Blutalkoholspiegel ist bei der beschriebenen Modellvorstellung die Ausgangsgrößeeines PT2-Gliedes mit den Zeitkonstanten T1 = 25 [Minuten] und T2 = 35. Die statischeVerstärkung ergibt sich aus der Verdünnung, die die Alkoholmenge in der betrachtetenFlüssigkeitsmenge von 0,5 · (17 + 23 + 5) = 22,5 [Liter] erfährt: ks = 1/22,5. DieEingangsgröße wird als Diracimpuls angesetzt, dessen Amplitude (Fläche) gleich der Al-koholmenge von 4,5% · 1 + 40% · 0,04 ist. Mit Gl. (5.168) erhält man den in Abb. A.24gezeigten Verlauf, aus dem jeder seine Schlüsse ziehen sollte!

Anmerkung. Der Alkohol wird im Körper nicht proportional zur Konzentration (wiebei einem PT1-Glied), sondern mit einer konstanten Rate von 0,15 Promille pro Stundeabgebaut. Deshalb verläuft die Kurve des tatsächlichen Blutalkoholspiegels entsprechendder gestrichelt eingetragenen Kurve nach dem Überschreiten des Maximums wesentlichflacher als die mit dem Modell berechnete durchgezogene Kurve in Abb. A.24.


Aufgabe 5.29 Klassifikation alltäglicher Vorgänge

Das Übergangsverhalten der untersuchten Systeme ist qualitativ in Abb. A.25 dargestellt. Dar-aus ergibt sich folgende Klassifizierung:

1. Stellventil: Wird die Spannung am Stellmotor sprungförmig von null auf einen konstan-ten Wert u0 erhöht, so fährt das Ventil mit einer konstanten Geschwindigkeit auf, d. h., derÖffnungsquerschnitt vergrößert sich immer mehr. Somit liegt ein integrales Verhalten vor.

2. Kochtopf: Der Wärmeübergang wird nicht schlagartig erfolgen, aber es wird sich nacheiniger Zeit eine stationäre Temperatur ϑ einstellen, die proportional zur Schalterstellungdes Elektroherdes ist. Die Verzögerung ist von höherer Ordnung, wobei man näherungs-weise die Kochplatte und den Kochtopf mit je einem Verzögerungsglied erster Ordnungbeschreiben kann, so dass ein PTn-Glied mit n ≥ 2 entsteht.

8 � � � � 9 � � � ' � �

�

�

# $ < 5 � $ +

; A � � * * �

�

D � � � *

&

�

�

& � $

�/ A � � �

�

�

� �

� 8

Abb. A.25: Qualitativer Verlauf der Übergangsfunktionen bzw. derGewichtsfunktion

3. Hörsaal: Das qualitative Verhalten entspricht dem eines Kochtopfes (siehe Abb. A.25).

4. Mensa: Eine Erhöhung des Essenspreises hat vermutlich eine schlagartige Verringerungder Anzahl z der Essensteilnehmer zur Folge. Nachdem der überwiegende Teil der „Es-senverweigerer“ festgestellt hat, dass es keine preiswerte Alternative zur Mensa gibt, wirder wieder essen gehen. Es handelt sich also um ein differenzierendes Verhalten mit Ver-zögerung. Nimmt man an, dass je nach Preiserhöhung ein kleiner Teil a der Teilnehmerdauerhaft wegbleibt, erhält man eine Kombination von P- und D-Verhalten, die sich ineiner Parallelschaltung eines P- und eines DT1-Gliedes darstellen lässt.

5. Hausarztpraxis: Aus ähnlichen Gründen wie bei der Mensa hat die Einführung der Pra-xisgebühr im Jahr 2004 nur kurzzeitig die erhoffte Verringerung der Anzahl der Patientenin den Hausarztpraxen bewirkt. Seit 2007 liegt die Anzahl der Arztbesuche wieder auf demNiveau des Jahres 2003 (DT1-Verhalten).

Aufgabe 6.4 653

6. Fahrendes Auto: Wird ein Schlagloch überfahren (= Impuls), so wird nach einer Verzö-gerung durch Trägheitskräfte je nach Dämpfungsgrad eine abklingende Schwingung y(t)entstehen. Aufgrund dieser Überlegung ist in Abb. A.25 nicht die Übergangsfunktion, son-dern die Gewichtsfunktion dargestellt. Das Auto hat ein proportionales Verhalten höhererOrdnung, wobei die Ordnung von der Anzahl der Federn und Massen abhängt, aus denenman sich das Fahrzeug zusammengesetzt vorstellen kann. Näherungsweise verhält sich dasFahrzeug wie ein schwingungsfähiges PT2-Glied.

7. Börse: Fällt der Aktienindex sprungartig, so wird die Länge L des Börsenkommentarszunächst schlagartig ansteigen, um dann mit einer Verzögerung, möglicherweise höhererOrdnung, wieder auf die ursprüngliche Länge abzunehmen. Das entspricht einem differen-zierenden Verhalten mit Verzögerung (wie viele journalistische Aktivitäten).

Aufgabe5.30 Bestimmung der Systemtypen aus dem E/A-Verhalten

Um den Systemtyp bestimmen zu können, braucht man sich nur den ersten Übergangsvor-gang anzusehen. Die erste Ausgangsgröße ist offensichtlich die eines PT1-Gliedes, die zweiteAusgangsgröße die eines PT2-Gliedes mit Dämpfung d < 1, denn die Übergangsfunktionschwingt erheblich über, und die dritte Ausgangsgröße ist die eines I-Gliedes, die sich genauso lange verändert, wie die Eingangsgröße von null verschieden ist.Diskussion. Das stationäre Verhalten von Proportionalgliedern hängt vom Wert der Ein-gangsgröße ab. Ist u über einen längeren Zeitraum konstant, so klingt das Übergangsverhaltenab und die Ausgangsgröße nimmt einen zu u proportionalen Wert an. Dies ist an den beidenoberen Ausgangsgrößen zu erkennen. Im Gegensatz dazu ändert sich die Ausgangsgröße desdritten Systems nur dann, wenn eine nicht verschwindende Eingangsgröße anliegt. Deshalbhat die Ausgangsgröße einen positiven konstanten Wert, nachdem das I-Glied durch die an-gegebene Eingangsgröße mehrfach umgesteuert wurde. Die beiden Proportionalglieder sinddemgegenüber wieder in der Ruhelage.

Aufgabe6.4 Berechnung der Übertragungsfunktion

1. Wird Gl. (6.80) in Gl. (6.82) eingesetzt, so folgt daraus

y(t) = R2Cx(t) + x(t)

und die zeitliche Ableitung

y(t) = R2Cx(t) + x(t). (A.51)

Aus Gln. (6.80) und (6.81) erhält man

u(t) = R1Cx(t) + y(t) (A.52)

u(t) = R1Cx(t) + y(t) (A.53)

Kombiniert man die Gln. (A.51) und (A.52) zu

u(t) = R1C(y(t)−R2Cx(t)) + y(t)


und dann mit der Gl. (A.53), so folgt die gewünschte Differentialgleichung

(R1 +R2)Cy(t) + y(t) = R2Cu(t) + u(t)

und aus dieser die Übertragungsfunktion gemäß Gl. (6.76):

G(s) =Y (s)

U(s)=

R2Cs+ 1

(R1 +R2)Cs+ 1. (A.54)

2. Die Laplacetransformation jeweils beider Seiten der Gleichungen (6.80) – (6.82) liefertfür y(0) = 0 unter Anwendung des Differentiationssatzes

I(s) = sCX(s) (A.55)

U(s) = (R1 +R2) I(s) +X(s) (A.56)

Y (s) = R2 I(s) +X(s). (A.57)

Aus den Gln. (A.55) und (A.57) folgt

Y (s) = R2CsX(s) +X(s) (A.58)

X(s) =1

R2Cs+ 1Y (s) (A.59)

und aus den Gln. (A.55) und (A.56)

U(s) = ((R1 +R2)Cs+ 1)X(s). (A.60)

Aus Gln. (A.58), (A.59) und (A.60) ergibt sich wie im ersten Teil der Aufgabe die Über-tragungsfunktion

G(s) =Y (s)

U(s)=

R2Cs+ 1

(R1 +R2)Cs+ 1,

der Rechenaufwand ist jedoch geringer.

� � � � � �

� � �

� �

�

Abb. A.26: Übergangsfunktion des RC-Gliedes

Diskussion. Bei dem gegebenen RC-Glied handelt es sich um ein sprungfähiges System,denn in der Übertragungsfunktion sind Zähler- und Nennergrad gleich groß. Die Übergangs-funktion ist in Abb. A.26 dargestellt. Aus dem Anfangswertsatz ergibt sich aus Gl. (A.54)direkt der Anfangswert der Übergangsfunktion h(+0). Physikalisch bedeutet dies, dass zum

Aufgabe 6.10 655

Zeitpunkt t = +0 (rechtsseitiger Grenzwert) durch den vorher vollständig entladenen Kon-densator (Anfangsbedingung) ein Ladestrom fließt, der durch die Widerstände R1 und R2

begrenzt ist. Nach der Spannungsteilerregel ergibt sich deshalb am Ausgang die Span-nung R2

R1+R2u0. Aus dem Endwertsatz folgt h(∞) = u0, d. h., nachdem sich der Kon-

densator aufgeladen hat, fließt kein Strom mehr und der Spannungsabfall an den beidenWiderständen verschwindet. Die Ausgangsspannung entspricht dann der Eingangsspannung(y(∞) = u(∞) = u0).

Aufgabe6.6 Übertragungseigenschaften von PT2-Gliedern

1. Aus Gl. (6.69) erhält man für u = 1, ω = 0, φu = π2und δ = μ die Beziehung

ys(t) = |G(μ)|eμt =∣∣∣∣ 1

(T1μ+ 1)

∣∣∣∣ e μt.

|G(μ)| ist reell und verändert in Abhängigkeit von μ die „Amplitude“ der e-Funktion.Für die sinusförmige Eingangsgröße

u(t) = sinωt = − j

2e jωt +

j

2e−jωt

entsteht gemäß Gl. (6.32) das stationäre Verhalten

ys(t) = − j

2

1

jωT + 1e jωt +

j

2

1

−jωT + 1e−jωt

=j

2

1√ω2T 2 + 1

(−e j arctanωT e jωt + e−j arctanωT e−jωt

)=

j

2

1√ω2T 2 + 1

(−2j sin(ωt+ φs)) mit φy = arctan ωT

=1√

ω2T 2 + 1sin(ωt+ φs),

bei dem der linke Faktor die Amplitude und φy die Phasenverschiebung zwischen Eingangund Ausgang darstellen.

2. Das stationäre Verhalten ist eine e-Funktion mit demselben Exponenten wie die Eingangs-größe. Der Anfangswert ys(0) hängt von μ sowie dem Systemparameter T1 ab. Für T1 = 1und μ = 1,5 ist der Verlauf in Abb. A.27 gezeigt. Für μ > 0 entstehen aufklingende e-Funktionen.

Für die sinusförmige Eingangsgröße erhält man eine sinusförmige Ausgangsgröße mitderselben Frequenz, aber veränderter Amplitude und Phasenlage.

Aufgabe6.10 Beschreibung des Systemverhaltens

Die Lösung ist sehr einfach zu erkennen: Das gegebene System überträgt die sinusförmigeEingangsgröße nicht, besitzt also bei ±j2 zwei Nullstellen, so dass G(±j2) = 0 gilt. Dieeinzige Übertragungsfunktion, die derartige Nullstellen aufweist, ist


Abb. A.27: Stationäres Verhalten des PT2-Gliedes

G(s) =s2 + 4

(s+ 1)(s+ 2)(s+ 3).

Die abgebildete Ausgangsgröße beschreibt das Übergangsverhalten yu(t), da das stationäreVerhalten ys(t) verschwindet.

Um dies nachzurechnen, transformiert man die gegebene Eingangsgröße

u(t) = sin 2t ◦−• U(s) =2

s2 + 4

und berechnet mit dieser die Ausgangsgröße

Y (s) = G(s)U(s) =s2 + 4

(s+ 1)(s+ 2)(s+ 3)

2

s2 + 4

=2

(s+ 1)(s+ 2)(s+ 3)

=1

s+ 1+

−2

s+ 2+

1

s+ 3

y(t) = e−t − 2e−2t + e−3t.

Erwartungsgemäß tritt in dieser Summe kein Summand mit sin 2t auf. Die Exponenten dere-Funktionen sind durch die Pole der Übertragungsfunktion bestimmt, nicht durch die Ein-gangsgröße.

Aufgabe 6.11 Übertragungsfunktion der Verladebrücke

Zur Vereinfachung des Lösungsweges wird das Zustandsraummodell in der Form

Verladebrücke :

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x(t) =

⎛⎜⎜⎝

0 1 0 00 0 a23 00 0 0 10 0 a43 0

⎞⎟⎟⎠x(t) +

⎛⎜⎜⎝

0b20b4

⎞⎟⎟⎠u(t)

y(t) = (c1 0 c3 0) x(t)

geschrieben.

Aufgabe 6.11 657

1. Entsprechend Gl. (6.78) erhält man für die Übertragungsfunktion die Beziehung

G(s) = (c1 0 c3 0)

⎛⎜⎜⎝

s −1 0 00 s −a23 00 0 s −10 0 −a43 s

⎞⎟⎟⎠

−1 ⎛⎜⎜⎝0b20b4

⎞⎟⎟⎠ .

Die inverse Matrix lässt sich folgendermaßen umformen⎛⎜⎜⎝

s −1 0 00 s −a23 00 0 s −10 0 −a43 s

⎞⎟⎟⎠

−1

=1

s2(s2 − a43)adj

⎛⎜⎜⎝

s −1 0 00 s −a23 00 0 s −10 0 −a43 s

⎞⎟⎟⎠

=1

s2(s2 − a43)

⎛⎜⎜⎝

∗ s2 − a43 ∗ a23

∗ ∗ ∗ ∗∗ 0 ∗ s2

∗ ∗ ∗ ∗

⎞⎟⎟⎠ ,

wobei für die weitere Rechnung von der Inversen aufgrund der Gestalt der Vektoren b undcT nur die eingetragenen Elemente wichtig sind. Damit erhält man die Beziehung

G(s) =(c1b2 + c3b4)s

2 + (c1b4a23 − c1b2a43)

s2(s2 − a43). (A.61)

Erwartungsgemäß steht für die Verladebrücke mit dem Zustandsraummodell vierter Ord-nung ein Polynom vierter Ordnung im Nenner der Übertragungsfunktion. Der Zähler ver-einfacht sich jedoch, wenn man die Parameter des Zustandsraummodells durch die physi-kalischen Parameter ersetzt. Es gilt nämlich

(c1b2 + c3b4)s2 + (c1b4a23 − c1b2a43)

=

(1

mK− l

1

mKl

)s2 +

(− 1

mKl

mGg

mK+

1

mK

(mK +mG)g

mKl

)=

g

mKl,

d. h., die Verladebrücke hat gar keine Nullstelle. Die in der letzten Zeile durchgeführte Ver-einfachung gilt unabhängig von den physikalischen Parameterwerten. Als Übertragungs-funktion erhält man damit

G(s) =

gmKl

s2(s2 + (mK+mG)gmKl

). (A.62)

2. Die Verladebrücke hat keine Nullstelle und vier Pole. Zwei Pole haben den Wert null, diebeiden anderen die Werte

s3/4 = ±j

√(mK +mG)g

mKl. (A.63)


3. Die Ausgabegleichung für den Seilwinkel lautet

y(t) = (0 0 1 0)x(t),

so dass die Übertragungsfunktion (A.61) für c1 = 0 gilt:

G(s) =c3b4s

2

s2(s2 − a43).

Nach Kürzen von s2 erhält man die Beziehung

G(s) =c3b4

s2 − a43=

− 1mKl

s2 + (mK+mG)gmKl

. (A.64)

4. Der grundlegende Unterschied zwischen den beiden Übertragungsfunktionen (A.62) und(A.64) besteht in der Tatsache, dass bei der Verwendung des Seilwinkels als Ausgangsgrö-ße das Nennerpolynom nur den Grad 2 hat, obwohl das Zustandsraummodell die dynami-sche Ordnung 4 hat. Bei der Berechnung wurde der Term s2 gekürzt. Die Übertragungs-funktion (A.64) hat deshalb nur zwei Pole und zwar die in Gl. (A.63) angegebenen.

Abb. A.28: Signalflussgraph der Verladebrücke

Die Erklärung dafür findet man im Signalflussgraphen (Abb. A.28). Wenn man ϑ alsAusgangsgröße verwendet, so gibt es keine Pfade von den Zustandsvariablen x1 = skund x2 = sk zum Systemausgang. Die Bewegung dieser beiden Zustandsvariablen kommtdeshalb nicht in der E/A-Beschreibung der Verladebrücke vor und die Ordnung der Über-tragungsfunktion ist niedriger als die des Zustandsraummodells.

Physikalisch lässt sich diese Tatsache dadurch erklären, dass die Position und die Ge-schwindigkeit der Laufkatze keinen Einfluss auf den Seilwinkel hat. Die Wirkung einerKraft, die die Laufkatze beschleunigt, wird direkt von dem im Signalflussgraphen untendargestellten Teil des Modells mit den beiden Zustandsvariablen x3 = ϑ und x4 = ϑ er-fasst. Derartige Phänomene werden im Kap. II-3 eingehend untersucht, während in diesemBand davon ausgegangen wird, dass sich die Übertragungsfunktion nicht kürzen lässt.

Aufgabe 6.16 659

Aufgabe6.16 Berechnung der Übergangsmatrix

1. Mit dem Differentiationssatz (6.59) der Laplacetransformation folgt aus der gegebenenDifferentialgleichung die Beziehung

Φ(s) = −Φ(0) + sΦ(s) = AΦ(s)

und mit Φ(0) = I

−I + sΦ(s) = AΦ(s).

Somit kann die Übergangsmatrix durch die Gleichung

Φ(s) = (sI −A)−1 =adj(sI −A)

det(sI −A)

berechnet werden. Aus der auf diese Weise ermittelten Matrix Φ(s) kann jedes Elementdirekt in den Zeitbereich zurücktransformiert werden:

φij(t) = L−1{φij(s)}.

Diskussion. Ist A eine Diagonalmatrix A = diag {λi}, so ergibt sich die leicht nach-prüfbare Beziehung

Φ(t) = L−1

⎛⎜⎜⎜⎝

1s−λ1

1s−λ2

. . .1

s−λn

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝

eλ1t

eλ2t

. . .eλnt

⎞⎟⎟⎠ .

2. Als Übergangsmatrix folgt für die gegebene Matrix A

Φ(s) =

(s −10 s+ 1

)−1

=1

s(s+ 1)

(s+ 1 10 s

)=

( 1s

1s(s+1)

0 1s+1

).

Die elementeweise Rücktransformation liefert

Φ(t) =

(1 1− e−t

0 e−t

).

Auf demselben Weg erhält man folgende weitere Ergebnisse:

A =

(λ1 0

0 λ2

), Φ(t) =

(e λ1t 0

0 e λ1t

)

A =

(λ 1

0 λ

), Φ(t) =

(e λt te λt

0 e λt

)

A =

(δ ω

−ω δ

), Φ(t) = e λt

(cosωt sinωt

− sinωt cosωt

).


Aufgabe 6.20 Frequenzgang einer Operationsverstärkerschaltung

1. Es liegt eine Rückkopplung vor, weil ein Teil der Ausgangsspannung Ua den Eingang desOperationsverstärkers beeinflusst (Abb. 6.26). Es gilt

UD = Ue − Z2

Z1 + Z2Ua. (A.65)

Diese Gleichung erhält man unter der bei Operationsverstärkerschaltungen üblichen An-nahme, dass der Strom durch den Operationsverstärker vernachlässigbar klein und folglichder Spannungsteiler unbelastet ist. Deshalb trifft Abb. 6.27 zu, wobei Z2

Z1+Z2Ua das rück-

gekoppelte Signal ist.

2. Aus Gl. (A.65) folgt unmittelbar

Gr =Z2

Z1 + Z2.

Gr ist eine Übertragungsfunktion, deren Charakter von Z1 und Z2 abhängt. Sind beideWiderstände ohmsch, so stellt Gr ein P-Glied dar.

3. Die Zusammenfassung der Rückführung in Abb. 6.27 liefert

G(jω) =k

1 + k Gr(jω).

Als Grenzwert ergibt sich limk→∞ G(jω) = 1Gr

, d. h., das Übertragungsverhalten derSchaltung wird nur durch die äußere Beschaltung des Operationsverstärkers festgelegt.Die in Abb. 6.26 dargestellte Schaltung ist daher das Übertragungsglied

G(jω) = 1 +Z1(jω)

Z2(jω). (A.66)

�

�

�

� -

� �

�

� �

�

� 2

Abb. A.29: Beschaltung des Operationsverstärkers mit dynamischenElementen

4. Die Übertragungsfunktionen für die in Abb. A.29 dargestellten Beschaltungen erhält manunmittelbar aus Gln. (A.66), beispielsweise:

Aufgabe 6.23 661

G(s) = R1 +R2R2

P-Glied

G(s) = 1 + R11

Cs

= 1 +R1C s PD-Glied

G(s) = 1 +1

Cs

R2= 1 +R2Cs

R2C s PI-Glied. (A.67)

Aufgabe6.21 Nullstellen eines Systems in E/A-Normalform

Die Lösung der Aufgabe erhält man direkt aus dem Strukturbild eines Systems in E/A-Normalform in Abb. 5.16 auf S. 168. Die beiden gezeigten Blöcke sind durch die Übertra-gungsfunktionen GI(s) und GN(s) beschrieben, die jeweils in die Zähler- und Nennerpoly-nome zerlegt werden:

GI(s) =ZI(s)

NI(s), GN(s) =

ZN(s)

NN(s).

Dabei gilt ZI(s) = 1, weil die E/A-Dynamik aus einer Integratorkette besteht, deren letzteZustandsvariable mit der Ausgangsgröße und damit mit der Koppelgröße zwischen beidenBlöcken übereinstimmt. Das System Σ hat damit die Übertragungsfunktion

G(s) =GI(s)

1−GI(s)GN(s)

=

1NI(s)

1− 1NI(s)

ZN(s)NN(s)

=NN(s)

NI(s)NN(s)− ZN

und seine Nullstellen stimmen mit den Nullstellen des Nennerpolynoms NN(s) der inter-nen Dynamik überein. Das Nennerpolynom enthält als Nullstellen die Eigenwerte der Ma-trixANN, womit der gesuchte Beweis erbracht ist.

Diskussion. Die Matrix ANN ist eine Begleitmatrix, deren charakteristisches Polynomdie letzte Zeile der Matrix als Koeffizienten enthält. Da diese Koeffizienten von bi, (i =0, 1, ..., q) abhängen, die die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung (4.3)bzw. des Zählerpolynoms der Übertragungsfunktion (6.76) des Systems Σ sind, erkennt manden gesuchten Zusammenhang zwischen den Eigenwerte von ANN und den Nullstellen s0i,(i = 1, 2, ..., q) des Systems Σ auch auf anderem Wege.

Aufgabe6.23 Verhalten von PT2-Gliedern

Die Übergangsfunktion unten rechts ist die einzige mit instabilem Verhalten (aufklingenden e-Funktionen). Folglich gehören zu ihr die beiden Pole in der rechten komplexen Halbebene. Dieanderen Übergangsfunktionen unterscheiden sich bezüglich der Zeit, die bis zum Erreichendes statischen Endwertes vergeht, bzw. bezüglich der Schwingungsamplitude.

Die Zuordnung der Pole zu den Übergangsfunktionen ergibt sich aus folgender Tabelle,in der die Pole in derselben Position wie die zugehörigen Übergangsfunktionen in Abb. 6.44


auf S. 317 eingetragen sind:

−3± 3j −3± 5j

−2, −2,3 −5, −6 +2, +3

Aufgabe 6.25 Bestimmung der Übertragungsfunktion aus dem Amplitudengang

1. Aus der Geradenapproximation kann man die Knickfrequenzen

ω1 = 1, ω01 = 5

ω2 = 20

ω3 = 80

sowie die statische Verstärkung ks = 1 ablesen. Entsprechend Gl. (6.124) auf S. 321 erhältman daraus den Frequenzgang

G(jω) = ks1 + jω

ω01

(1 + jωω1

)(1 + jωω2

)(1 + jωω3

)

= 11 + jω

5

(1 + jω1)(1 + jω

20)(1 + jω

80)

und die Übertragungsfunktion

G(s) =0,2s + 1

(s+ 1)(0,05s + 1)(0,0125s + 1)= 320

s+ 5

(s + 1)(s+ 20)(s + 80).

Abb. A.30: Geradenapproximation des hydraulischen Stellantriebs

Aufgabe 6.26 663

2. Abbildung A.30 zeigt die Geradenapproximation des gegebenen Amplitudengangs, dieman leicht mit Lineal und Bleistift konstruieren kann. Das System hat offenbar I-Verhalten,denn der Amplitudengang fällt für kleine Frequenzen um 20 dB/Dekade ab. Ab der Fre-quenz ω1 = 1 rad

sverändert sich die Neigung auf −60 dB/Dekade, wobei in der Umge-

bung der Frequenz ω1 eine Resonanzüberhöhung von etwa 5 dB auftritt. Das betrachteteSystem ist folglich eine Reihenschaltung eines I-Gliedes (6.120) mit einem schwingungs-fähigen PT2-Glied (6.109), wofür man die Übertragungsfunktion

G(s) =1

TIs

ksT 2s2 + 2dTs+ 1

(A.68)

aufschreiben kann. Es gilt TI = 1 s und T = 1ω1

= 1 s, weil die Knickfrequenz mitder Schnittfrequenz 1 rad

sdurch die 0 dB-Achse übereinstimmt. Für d liest man aus dem

Diagramm 6.42 auf S. 315 bei |G(jωr)| = 5dB den Wert d = 0,3 ab. Die statischeVerstärkung ermittelt man aus dem Amplitudengang bei kleinen Frequenzen, für die

|G(jω)| ≈∣∣∣∣ ksjω

∣∣∣∣ = |ks|ω

gilt. Da beispielsweise |G(0,01j)|dB = 40 ist, erhält man aus dieser Betrachtung ks = 1.Die gesuchte Übertragungsfunktion lautet somit

G(s) =1

s(s2 + 0,6s + 1).

Abbildung A.30 zeigt auch den dazugehörigen Phasengang, der für das hier betrachtetestabile System aus der Kenntnis des Amplitudenganges konstruiert werden kann.

Man kann in der Übertragungsfunktion (A.68) auch ks und TI zu einem neuen Para-meter T = TI

kszusammenfassen, wodurch der I-Anteil die Form 1

T sund das PT2-Glied die

statische Verstärkung von eins erhält. Den Parameter T erhält man dann aus dem Schnitt-punkt der mit 20 dB/Dekade abfallenden Amplitudenkennlinie im Punkt ωs = 1: T = 1.Da bei dieser Frequenz die Geradenapproximation abknickt, gilt T = 1 für das PT2-Glied.

Aufgabe6.26 Interpretation des Bodediagramms

Entsprechend Gl. (6.35) bestimmt der Betrag |G(jω)| die Verstärkung und die Phase φ(jω) dieVerschiebung der sinusförmigen Eingangsgröße auf der Zeitachse. Aus dem Bodediagrammkann man für die drei gegebenen Frequenzen ω1, ω2 und ω3 diese Werte ablesen und darausdas stationäre Verhalten zeichnen, wie es in Abb. A.31 und A.33 für das PT1- bzw. das I-Glied gezeigt ist. In den Bodediagrammen sind die zu den gegebenen Frequenzen gehörendenVerstärkungsfaktoren und Phasenverschiebungen markiert.

Beim PT1-GliedG1(s) wird die Sinusfunktion für die kleinste Frequenz ω1 um die stati-sche Verstärkung ks = 3 verstärkt und nur geringfügig auf der Zeitachse nach rechts verscho-ben, weil die Frequenz ω1 = 1 der Eingangsgröße deutlich kleiner als die Knickfrequenz ist.Für die mittlere Frequenz ω2 = 1, die der Knickfrequenz für die Geradenapproximation desBodediagramms entspricht, erhält man den Verstärkungsfaktor |G1(jω2)| = 6,5 dB = 2,1und die Phasenverschiebung φ = −45o, woraus sich die Amplitude von 2,1 · 2 = 4,2 be-rechnet. Bei der größten Frequenz ω3 wird die Eingangsgröße um den Faktor −10 dB = 0,3verkleinert und um φ = −90o verschoben. Mit diesen Größen entstehen die im rechten Teil


Abb. A.31: Bodediagramm (links) und stationäres Verhalten (rechts)des PT1-Gliedes

von Abb. A.31 gezeigten Kurven. Gestrichelt ist die Eingangsgröße u(t) dargestellt, mit derdurchgezogenen Linie die Ausgangsgröße. Im unteren Teil der Abbildung wird gezeigt, dasssich die Phasenverschiebung φ1 = −90o beispielsweise dadurch äußert, dass der Nulldurch-gang der Eingangsgröße zur Zeit t = 2π

ω3= 0,628 zum Nulldurchgang der Ausgangsgröße

zur Zeit t = 2π−φ1ω3

= 0,775 führt, wobei der dort markierte Winkel φ1 im Bogenmaß einzu-setzen ist.

Abb. A.32: Bodediagramm und stationäres Verhalten des I-Gliedes

Beim I-GliedG2(s) sind alle Kurven für die Ausgangsgröße um φ = −90o gegenüber derEingangsgröße verschoben und der Verstärkungsfaktor liegt bei 20 dB = 10, 0 dB = 1 bzw.−20 dB = 0,1. Für das DT1-Glied G3(s) erhält man die Ausgangsgrößen auf demselbenWeg, wobei hier die Verstärkung mit der Frequenz zunimmt.

Die erzwungene Bewegung y(t) unterscheidet sich vom stationären Verhalten ys(t) umdas Übergangsverhalten yu(t), das beim PT1-Glied mit der Zeitkonstante T = 1 abklingt(yu(t) ∼ e−t

)und deshalb nur bei der höchsten Frequenz zu sehen ist (Abb. A.33 (links)).

Beim I-Glied ist das Übergangsverhalten eine konstante Größe yu(t) ∼ e 0t = 1, da dasI-Glied einen Pol bei null besitzt. Die Ausgangsgröße unterscheidet sich deshalb für alle Zei-ten vom stationären Verhalten, wie Abb. A.33 (rechts) zeigt. Für dieses Glied kann man die

Aufgabe 6.27 665

Abb. A.33: Vergleich von stationärem Verhalten (- - -) underzwungener Bewegung (—) für das PT1-Glied (links) und das I-Glied

(rechts)

Ausgangsgröße übrigens sehr einfach ausrechnen, wenn man die Funktion des I-Gliedes alsIntegrator ausnutzt:

y(t) =

∫ t

0

u(t) dt =2

ωsin(ωt− 90o) +

2

ω

(für y(0) = 0), wobei der zweite Summand das Übergangsverhalten beschreibt.

Aufgabe6.27 Bodediagramm eines Feder-Masse-Schwingers

Mit den gegebenen Parametern erhält man die Differentialgleichung (4.23) in der Form

ΣFMS : 0,2y(t) + 0,25y(t) + y(t) = u(t)

und daraus die Übertragungsfunktion

G(s) =1

0,2s2 + 0,25s + 1=

ksT 2s2 + 2dTs+ 1

mitks = 1, T = 0,447 s und d = 0,27.

Der Amplitudengang verläuft deshalb für kleine Frequenzen auf der Frequenzachse und fälltoberhalb der Knickfrequenz

ω1 =1

0,447= 2,24

rad

s

um 40 dB/Dekade. Entsprechend Abb. 6.42 auf S. 315 hat der Amplitudengang bei derKnickfrequenz eine Resonanzüberhöhung von etwa 5dB. Dazu gehört ein Phasengang, dervon 0o in der Nähe der Knickfrequenz auf −180o fällt (Abb. A.34).

In der Abbildung sind die im Beispiel 6.2 auf S. 251 verwendeten Frequenzen gekenn-zeichnet. Es ist zu erkennen, dass in je einem Experiment eine Eingangsgröße mit einer Fre-quenz unterhalb, in der Nähe bzw. oberhalb der Resonanzfrequenz verwendet wird. Dies er-klärt auch die im Beispiel beobachteten Phasenverschiebungen.


Abb. A.34: Bodediagramm des Feder-Masse-Schwingers

Aufgabe 6.28 Bodediagramm der Verladebrücke

Die Verladebrücke hat keine Nullstelle und die vier Pole

s1/2 = 0 und s3/4 = ±j1,75.

Die Übertragungsfunktion (6.130) kann entsprechend

G(s) =1

49,9s

1

49,9s

1

0,326s2 + 1

zerlegt werden. Für niedrige Frequenzen bis zur Knickfrequenz 1,75 hat der Amplitudengangeine Neigung von −40 dB/Dekade, wozu eine Phase von −180o gehört. Der Schnittpunktmit der 0 dB-Achse liegt bei 1

49,9= 0,02. Oberhalb der Knickfrequenz hat die Geradenap-

proximation des Amplitudenganges die Neigung von −80 dB/Dekade, wozu eine Phasen-verschiebung von −360o gehört.

Da der letzte Faktor der zerlegten Übertragungsfunktion einem ungedämpften PT2-Glied(d = 0) entspricht, hat die Verladebrücke bei der Knickfrequenz eine unendlich hohe Reso-nanzüberhöhung. Die unendliche Höhe resultiert aus der Tatsache, dass die Reibung in derPendelbewegung des Greifers bei der Modellbildung vernachlässigt wurde. Für d = 0 fälltdie Phasenverschiebung sprungförmig von −180o auf −360o (Abb. A.35).

Aufgabe 6.29 Elektrische Schaltungen mit positiv reeller Übertragungsfunktion

Die Schaltung hat dieselbe Zustandsgleichung (A.20) wie in der Aufg. 4.8. Die neue Ausga-begleichung erhält man durch Einsetzen von Gl. (A.14) in Gl. (A.15), wodurch

y(t) =

(0 − 1

R2

)x(t) +

1

R2u(t)

mit dem Zustandsvektor aus Gl. (A.17) entsteht. Entsprechend Gl. (6.78) heißt die Übertra-gungsfunktion

Aufgabe 6.34 667

Abb. A.35: Bodediagramm der Verladebrücke

G(s) =

(0 − 1

R2

)(s+ 1

R1C1− 1

R1C1

− 1R1C2

s+ R1+R2R1R2C2

)−1 (0

1R2C2

)+

1

R2

=R1C1C2s

2 + (C1 + C2)s

R1R2C1C2s2 + (R1C1 +R2C2 +R2C1)s+ 1

Der Frequenzgang

G(jω) =−R1C1C2ω

2 + j(C1 + C2)ω

N(jω)

mit dem NennerN(jω) = −R1R2C1C2ω2+1+j(R1C1+R2C2+R2C1)ω hat den Realteil

Re{G(jω)}

=−R1C1C2ω

2(−R1R2C1C2ω2 + 1) + (C1 + C2)(R1C1 +R2C2 +R2C1)ω

2

N(jω)N(−jω)

=R2

1R2C21C

22ω

4 + ((C1 + C2)(R2C2 +R2C1) +R1C21 )ω

2

N(jω)N(−jω),

der für alle ω > 0 positiv ist. Als Beispiel ist die Ortskurve der Schaltung für

R1 = R2 = 10Ω und C1 = C2 = 10μF

in Abb. A.36 zu sehen.

Aufgabe6.34 Rückwärtseinparken von Fahrzeugen

Wegen

cTb = 0

cTAb = (1 − l 0)

⎛⎝ 0 −v 0

0 0 vl

0 0 0

⎞⎠

⎛⎝ 0

01

⎞⎠ = −v �= 0


Abb. A.36: Ortskurve des RC-Gliedes

hat das Fahrzeug den relativen Grad r = 2, also eine interne Dynamik erster Ordnung. Mitder Transformationsmatrix (5.103)

T−1E =

⎛⎝ 1 −l 0

0 −v −v− l

v2 0 0

⎞⎠ .

erhält man die E/A-Normalform des Fahrzeugs

Σ :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎛⎝ xI1(t)

xI2(t)xN1(t)

⎞⎠ =

⎛⎝ 0 1 0

− v2

l2vl

− v4

l3− 1v

0 − vl

⎞⎠

⎛⎝ xI1(t)

xI2(t)xN1(t)

⎞⎠+

⎛⎝ 0

−v0

⎞⎠u(t)

y(t) = (1 0 0)

⎛⎝ xI1(t)

xI2(t)xN1(t)

⎞⎠ .

Die interne Dynamik

ΣN :

{xN1(t) = − v

lxN1(t)− 1

vy(t)

yN(t) = v3

l3xN1(t)

hat den Eigenwert s0 = − vl, der gleich der Nullstelle des Fahrzeugs ist. Für das Rückwärts-

fahren (v < 0) ist die interne Dynamik instabil, das Fahrzeug also nichtminimalphasig. BeimVorwärtsfahren ist s0 negativ, das Fahrzeug folglich minimalphasig.

Aufgabe 6.35 Übertragungsfunktion eines Gleichstrommotors

1. Abbildung A.37 zeigt das Blockschaltbild des Gleichstrommotors. Da die Drehzahl− undnicht der Drehwinkel – die Ausgangsgröße darstellt und die Spannung uM(t) nichtvon φ(t), sondern von dφ(t)

dtabhängt, ist es nicht zweckmäßig, φ(t) als Signal einzuführen

und daraus dφ(t)dt

durch ein Differenzierglied zu bestimmen.

2. Die in dem Block dargestellte Rückführung entsteht durch die aufgrund der Gegenindukti-vität bewirkten Rückwirkung des Rotors auf den Ankerkreis. Sie ist Ausdruck dafür, dasssich die Belastung der Maschine auf den Ankerkreis auswirkt, weil der Motor zur Erzeu-gung einer höheren mechanischen Leisung eine höhere elektrische Leistung erfordert.

Aufgabe 6.37 669

�� $ � � � �

�$ � ' � � � ! :

� � � � � � , �

� D

! 1

! D

� ( �

( ��

Abb. A.37: Blockschaltbild des Gleichstrommotors

3. Die Übertragungsfunktionen, die in den Blöcken eingetragen sind, lassen sich direkt ausden in der Aufgabenstellung angegebenen Gleichungen ableiten. Eine Zusammenfassungder Blöcke ergibt das Motormodell

ΣM : N(s) = G(s)UA(s) (A.69)

mit der Übertragungsfunktion

G(s) =kT2π

JLAs2 + (kLLA + JRA)s+ (RAkL + kMkT).

Der Motor hat PT2-Verhalten.

4. Wird der Drehwinkel als Ausgangsgröße verwendet, so erhält das Blockschaltbild einenzusätzlichen Integrator, mit dem φ aus n berechnet wird. Der Motor hat dann IT2-Verhalten.

5. Mit den angegebenen Parametern erhält man die Übertragungsfunktion

G(s) =0,4775

0,011s2 + 0,911s + 9,90=

0,0482

0,0011s2 + 0,092s + 1,

die keine Nullstellen und die Pole

s1 = −69,95 und s2 = −12,87

besitzt. Der Gleichstrommotor ist ein minimalphasiges System. Für die statische Verstär-kung erhält man

ks = G(0) = 0,0482.

Das Bodediagramm ist in Abb. A.38 zu sehen.

Aufgabe6.37 Klassifikation von Systemen

Die Anordnung der Bodediagramme stimmt mit folgender Anordnung der Übertragungsfunk-tionen überein:

G(s) =1000

(s+ 0,1)(s+ 1)(s+ 2)(s+ 10), G(s) =

s(s+ 2)

s2 + 4s+ 8

G(s) =0,25s

0,5s + 1e−5s, G(s) =

100(s + 1)(s+ 3)

4s(s+ 10)(s+ 5).


Abb. A.38: Bodediagramm des Gleichstrommotors

Die Systeme unterscheiden sich grundlegend, so dass sich die Zuordnung aus dem qualitati-ven Verlauf der Diagramme ergibt und man keine Knickfrequenzen und dergleichen berech-nen muss. Das Diagramm oben links zeigt ein proportional wirkendes System. Die Phase fälltauf −360o ab; das System hat also mindestens vier Pole. Die oben rechts bzw. unten linksdargestellten Systeme übertragen kleine Frequenzen nicht und haben dort eine Phase von 90o.Oben rechts ist die Phasenverschiebung endlich, so dass ein Totzeitanteil ausgeschlossen wer-den kann, während unten links eine stark ansteigende Phasenverschiebung zu sehen ist, wasauf das Totzeitglied hinweist. Das System unten rechts hat I-Verhalten, was aus dem Ampli-tudengang (Neigung −20 dB/Dekade) und der Phase von −90o zu erkennen ist.

Abb. A.39: Ortskurven der vier Systeme

Die Ortskurven sind in Abb. A.39 dargestellt. Sie können direkt aus dem Frequenzkennli-niendiagramm abgeleitet werden, wenn man die zu steigender Frequenz gehörende Amplitudeund Phase als Vektor in der komplexen Ebene interpretiert. Die Ortskurve oben links mündetaus Richtung der positiven reellen Achse in den Nullpunkt, was aus der Phasenverschiebung

Aufgabe 6.41 671

zu erkennen ist, aufgrund der kleinen Amplitude aber schwer erkennbar ist. Durch den D-Anteil übertragen die Systeme oben rechts und unten links auch sehr hohe Frequenzen. Daherbeginnen die Ortskurven im Nullpunkt. Dies gilt auch für die unten links gezeigte Spirale, dievon innen nach außen durchlaufen wird. Auf die Darstellung der Ortskurve für negative Fre-quenzen wurde bei dem Totzeitsystem verzichtet, um das Bild lesbar zu machen. Durch denI-Anteil des Systems rechts unten kommt die Ortskurve von −j∞. Dass sie im vierten Qua-dranten verläuft, ist aus der Phasen zu erkennen, die zwischen 0o und −90o liegt. Die kleineSchlinge kann aus dem Frequenzkennliniendiagramm nur bei sehr genauer Betrachtung abge-lesen werden. Sie ist aber für den prinzipiellen Verlauf nicht entscheidend.

Aufgabe6.41 Schwingungstilgung am Hochhaus „Taipeh 101“

1. Aus Gl. (5.145) erhält man die Nullstellen

μ1/2 = − d22m2

±√

d224m2

2

− c2m2

,

die offensichtlich nur von den Parametern des Dämpfers und nicht von den Parameterndes Hauses abhängen. Durch eine geeignete Wahl dieser Parameter müssen die Nullstellenso platziert werden, dass sie die Wirkung der wichtigsten Anregung auslöschen. DieseAnregung darf dann eine abklingende Schwingung sein.

Da die Dämpfung typischerweise sehr klein ist, kann man näherungsweise mit d2 = 0arbeiten, wofür sich die Nullstellen

μ1/2 = ±j

√c2m2

ergeben, durch die eine rein sinusförmige Störung mit der von c2 und m2 abhängigenFrequenz gedämpft wird.

Abb. A.40: Verhalten des Hochhauses bei sinusförmiger Erregung


2. Mit den angegebenen Parametern liegen die Nullstellen bei −0,0909 ± j9,53, so dass dasHaus für die Erregung

u(t) = e−0,0909t sin(9,53t)

untersucht werden muss. Das Ergebnis ist in Abb. A.40 gezeigt. x3(t) ist die Bewegungdes Pendels, durch die die Dämpfung hervorgerufen wird.

Da die Dämpfung sehr klein ist, klingt das Übergangsverhalten sehr langsam ab unddie Bewegung y(t) des Hauses und x3(t) des Dämpfers besteht im betrachteten Zeitinter-vall aus der Summe des stationären und des Übergangsverhaltens, also aus Frequenzen derAnregung und des Hauses.

Abb. A.41: Vergleich des Verhaltens mit und ohne Dämpfer

Zum Vergleich ist in Abb. A.41 das Verhalten mit und ohne Dämpfer dargestellt. DasPendel dämpft die Hochhausbewegung etwa um den Faktor 10.

Abb. A.42: Vergleich des Amplitudenganges mit und ohne Dämpfer

3. Abbildung A.42 zeigt den Amplitudengang mit und ohne Dämpfer. Die eingeführten Null-stellen drücken den Amplitudengang in der Nähe der Resonanzfrequenz erheblich. DieserFrequenzbereich muss durch die geeignete Wahl der Dämpferparameter so platziert wer-den, dass er im Bereich der wichtigsten Anregungen durch Wind bzw. Erdbeben liegt.

Aufgabe 7.1 Frequenzgang eines Regelkreises

1. Die Ortskurve der Regelstrecke ist für drei Werte des Parameters k im linken Teil vonAbb. A.43 gezeigt. Die Ortskurven unterscheiden sich für einen bestimmten Wert der Fre-quenz ω nur im Betrag, nicht in der Phase, wie die drei für ω = 0,8 rad

seingetragenen

Punkte ∗ zeigen.

Aufgabe 7.1 673

Abb. A.43: Ortskurve der Regelstrecke für k = 1, 2 und 5 (links) undOrtskurve der offenen Kette (rechts)

2. Für die offene Kette mit PI-Regler erhält man die Übertragungsfunktion

G0(s) =

(1 +

1

s

)2

(s+ 1)(s+ 2)=

2

s(s+ 2).

Die zugehörige Ortskurve ist im rechten Teil von Abb. A.43 dargestellt. Sie beginntbei −j∞ und nähert sich für hohe Frequenzen dem Koordinatenursprung.

Die Frequenzgänge des Regelkreises sind

Gw(jω) =2

−ω2 + j2ω + 2

und

Gd(jω) =−ω2 + j2ω

−ω2 + j2ω + 2.

Abbildung A.44 zeigt die Ortskurven. Das Führungsverhalten ist durch die statische Ver-stärkung von eins und Gw(∞) = 0 gekennzeichnet. Bezüglich des Störverhaltens ist derStandardregelkreis ein sprungfähiges System mit verschwindender statischer Verstärkung.Deshalb beginnt die Ortskurve im Koordinatenursprung und endet bei Gd(∞) = 1.

Abb. A.44: Ortskurve des Führungs- bzw. Störverhaltens desRegelkreises


Aufgabe 7.3 Notwendigkeit des I-Anteils in der offenen Kette

1. Aus dem Blockschaltbild des Standardregelkreises in Abb. 7.7 auf S. 367 erkennt man,dass bei d(t) = 0, r(t) = 0 und w(t) = w für die Stellgröße u die Beziehung

u(∞) =1

ksw (A.70)

gelten muss, wenn die Regelgröße den Sollwert annehmen soll (y(∞) = w). Dabei ist ksdie statische Verstärkung der Regelstrecke. Unter dieser Bedingung gilt wie gefordert

y(∞) = ksu(∞) = ks1

ksw = w.

Diese Stellgröße (A.70) kann nicht mit einer proportionalen Regelung erzeugt werden,denn wenn die Regelgröße dem Sollwert angepasst ist und die Regelabweichung ver-schwindet (e = 0), kann ein proportionaler Regler u = kPe keine von null verschiedeneStellgröße erzeugen. Der Regler muss deshalb die Eigenschaft besitzen, seine Stellgrößesolange zu verändern, bis die Regelabweichung verschwindet, und wenn die Regelabwei-chung verschwindet, die Stellgröße unverändert lassen. Diese Eigenschaft besitzen nurSysteme mit I-Verhalten (vgl. Abschn. 5.6.2 auf S. 207).

2. Bei einer proportionalen Regelung u(t) = kPe(t) gilt für die stationären Endwerte

e(∞) = w − y(∞)

y(∞) = ksu(∞).

Aus diesen Gleichungen erhält man mit k0 = kPks die Beziehung

e(∞) =1

1 + k0w,

die Gl. (7.33) unter der für diese Gleichung verwendeten Voraussetzung w = 1 entspricht.

3. Wenn man die Führungsgröße sprungförmig verändert (z. B. w(t) = wσ(t)), so hat dieStellgröße im ungestörten Regelkreis den statischen Endwert (A.70), aus dem man denaktuellen Wert der statischen Verstärkung ermitteln kann.

Diskussion. Aus dieser Betrachtung wird die Wirkungsweise des I-Reglers offensichtlich.Bei einer Sollwerterhöhung vergrößert der Regler die Stellgröße solange, bis die Regelgrößeausreichend angehoben ist. Wenn man dies langsam genug macht, also mit einer hinreichendkleinen Reglerverstärkung arbeitet, ist das System stabil und die Regelung funktioniert wie ge-wünscht. Probleme kann es lediglich dadurch geben, dass der Regler die Stellgröße zu schnellanhebt. Die Regelgröße folgt dann dieser Anhebung erst mit einiger Zeitverzögerung, erreichteinen zu hohen Wert und erzeugt eine negative Regelabweichung, woraufhin der Regler dieStellgröße nach unten korrigiert. Durch eine zu große Reglerverstärkung kann der Regelkreisalso instabil gemacht werden (vgl. Aufgabe 8.12 auf S. 458).

Aufgabe 7.6 675

Aufgabe7.4 Frequenzregelung eines Elektroenergieverteilungsnetzes

1. Der Regelkreis ist in Abb. A.45 zu sehen. G(s) ist die zur Gewichtsfunktion g(t) gehören-de Übertragungsfunktion des leistungsgeregelten Generators.

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� :

� I �� I � � � $ � �

Abb. A.45: Blockschaltbild der Frequenzregelung

2. Für die Störübertragungsfunktion gilt

Gd(s) =F (s)

PL(s)=

−1Ts

1 + 1Ts

G(s)K(s)=

−1

Ts+G(s)K(s),

woraus für den statischen Endwert der Störübergangsfunktion die Beziehung

hd(∞) = lims→0

Gd(s) =−1

G(0)K(0)

folgt. Wenn der Leistungsregler des Generators keine bleibende Regelabweichung zulässt,gilt pGsoll(∞) = pG(∞) und folglich G(0) = 1. Wird der proportionale Regler einge-setzt, so erhält man

hd(∞) =−1

kP.

Es entsteht also eine bleibende Regelabweichung. Folglich muss der Regler einen I-Anteilbesitzen.Diskussion. Die im Abschn. 7.3.3 angegebene Regel, dass bei einer offenen Kette mitintegralem Verhalten keine bleibende Regelabweichung auftritt, gilt für die am Regelstre-ckenausgang auftretende sprungförmige Störung. Wie in Abb. A.45 zu sehen ist, greift dieStörung hier vor dem Integrator ein. Transformiert man diese Störung an den Ausgang derRegelstrecke, so hat man es mit einer rampenförmigen Störung zu tun, für die die obenangegebene Regel nicht anwendbar ist.

Bezüglich des Führungsverhaltens sind die Ergebnisse des Abschnitts 7.3.3 anwend-bar. Die offene Kette mit integralem Verhalten verhindert eine bleibende Regelabwei-chung. In Bezug auf das Führungsverhalten ist also kein integraler Anteil im Regler not-wendig. Mit einem P-Regler gilt für die Führungsübertragungsfunktion Gw(0) = 1.

Aufgabe7.6 Füllstandsregelung einer Talsperre

Aus Gl. (7.36) erhält man für die Regelstrecke das Modell

sH(s) = k(Qzu(s)−Qab(s)).


Weil qzu als Störung und qab als Stellgröße wirkt, führt dieses Modell auf

sH(s) = k(D(s)− U(s))

und

G(s) =H(s)

U(s)=

−k

s

(Abb. A.46). Die Regelstrecke hat I-Verhalten.

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Abb. A.46: Regelkreis für die Talsperre

Um Sollwertfolge bezüglich sprungförmiger Führungssignale zu erhalten, ist keine beson-dere Reglerdynamik erforderlich, denn die offene Kette hat I-Charakter. Es kann mit einemP-ReglerK(s) = kP gearbeitet werden, aber auch ein dynamischer Regler eingesetzt werden,wenn die Dynamik zur Gestaltung des dynamischen Übergangsverhaltens eingesetzt wird.

Bei Betrachtung der Störkompensation muss man die sprungförmige StörungD(s) = qzus

zunächst an den Ausgang der Regelstrecke transformieren (Abb. A.46), damit das Innere-Modell-Prinzip anwendbar wird. Aus dem Blockschaltbild kann man die Beziehung

H(s) = G(s)(qzu

s− U(s)

)= −G(s)U(s) +

−kqzus2

ablesen, in der die additiv am Ausgang wirkende Störung −kqzus2

heißt. Um die Störung ohnebleibende Regelabweichung abbauen zu können, muss die Übertragungsfunktion der offenenKette entspreschend dem Inneren-Modell-Prinzip den Faktor 1/s2 besitzen. Um dies zu errei-chen, muss ein I-Regler verwendet werden. Ein P-Regler ist nicht ausreichend.

Aufgabe 7.7 Struktur des Abstandsreglers bei Fahrzeugen

Abbildung A.47 zeigt den Regelkreis, in dem K(s) den Regler mit der hier zu bestimmen-den Struktur darstellt. Das Übertragungsverhalten von der Kraft f auf die Geschwindigkeitv2 ist proportional und zeitlich verzögert und wird im Folgenden mit G(s) bezeichnet. DerFahrzeugabstand wird, ausgehend vom Anfangsabstand d0, durch Integration der Differenz-geschwindigkeit v1 − v2 bestimmt.

1. Bei der Konvoibildung wirkt der Anfangsabstand d0 als Anfangszustand des im Block-schaltbild gezeigten Integrators. Das Innere-Modell-Prinzip schreibt für den Regler keineeigene Dynamik vor, so dass ein P-Regler K(s) = kP eingesetzt werden kann.

Um diesen Sachverhalt nachzuweisen, wird der Anfangszustand durch eine impuls-förmige Störung d0δ(t) am eingang des Integrators interpretiwert (vgl. Abschn. 7.3.2 aufS. 372) Für das Störverhalten erhält man damit die Beziehung

Aufgabe 7.7 677

Abb. A.47: Regelung des Fahrzeugabstandes

Y (s) =1s

1− G(s)s

kPd0,

wobeiG(s) das Übertragungsglied mit P-Verhalten beschreibt. Das Minuszeichen im Nen-ner erscheint wegen der zweimaligen Vorzeichenumkehr im Regelkreis. Nach dem Grenz-wertsatz der Laplacetransformation erhält man

y(∞) = lims→0

s1s

1− G(s)s

kPd0 = 0.

2. Das Innere-Modell-Prinzip setzt voraus, dass die Störgröße an den Ausgang der Regelstre-cke transformiert ist, was für den zweiten Störfall zu einer rampenförmigen Ausgangsstö-rung v1t führt. Die offene Kette muss also I2-Verhalten besitzen. Da die Regelstrecke nureinen Integrator enthält, muss der Regler den Faktor 1

sin die offene Kette einbringen; es

muss also mit einem I-Regler gearbeitet werden.Um dies zu veranschaulichen, wird für das Störverhalten aus dem Blockschaltbild die

Beziehung

Y (s) =1s

1− G(s)s

K(s)

v1s

=1

s−G(s)K(s)

v1s

abgelesen. Der Fahrzeugabstand

y(∞) = lims→0

s1

s−G(s)K(s)

v1s

=1

−G(0) lims→0 K(s)v1

verschwindet nur dann asymptotisch, wenn der Regler I-Charakter hat.

3. Bei der Betrachtung der Hangbeschleunigung muss der Block mit der proportionalen Über-tragungsfunktion G(s) wie in Abb. A.47 unten gezeigt aufgelöst werden. Die Größe a2(t)ist die resultierende Beschleunigung des Fahrzeugs, also die Summe der Beschleuni-gung a(t) des Motors, der Beschleunigung aB(t) durch die Hangabtriebskraft und derBremsbeschleunigung ac(t). Entsprechend der im Beispiel 4.14 abgeleiteten linearisiertenBeziehung gilt


v2(t) = a2(t) = −2cwm

v2(t)︸︷︷︸ac(t)

+1

mf(t)︸︷︷︸

a(t)

+aB(t),

was zu dem gezeigten Blockschaltbild führt, bei dem die P-Glieder die Verstärkungsfak-toren 1

mund 2 cw

mhaben. Eine Erhöhung der Kraft f(t) führt nur solange zu einer zusätz-

lichen Beschleunigung, bis der mit der Geschwindigkeit steigende Luftwiderstand einegleich große Gegenkraft erzeugt.

Da der Integrator zusammen mit der durch den Luftwiderstand hervorgerufenen Rück-führung ein PT1-Glied darstellt, hat eine zusätzliche Beschleunigung aBσ(t) bezüglich derSollwertfolge dieselbe Wirkung wie eine am Ausgang der Regelstrecke angreifende ram-penförmig Störung −aBt. Die Übertragungsfunktion der offenen Kette muss deshalb denFaktor 1

s2enthalten, was nur dann der Fall ist, wenn K(s) einen I-Anteil enthält.

Aus dem Blockschaltbild erhält man die Beziehung

Y (s) =− G(s)

s

1− G(s)s

K(s)

aB

s=

−G(s)

s−G(s)K(s)

aB

s

wobei G(s) und G(s) die Übertragungsfunktionen von aB nach v2 und von f nach v2bezeichnen. Daraus ergibt sich der Ausdruck

y(∞) = lims→0

s−G(s)

s−G(s)K(s)

aB

s=

−G(0)

−G(0) lims→0 K(s)aB,

der nur dann verschwindet, wenn K(s) den Faktor 1senthält.

4. Um bei Änderung des Sollabstandes (w(t) = w) eine bleibende Regelabweichung zuverhindern, reicht ein P-Regler K(s) = kP, denn die offene Kette hat I-Verhalten. Ausdem Blockschaltbild erhält man dafür

Y (s) =−G(s)

skP

1− G(s)s

kP

w

s=

−G(s)kPs−G(s)kP

w

s

und

y(∞) = lims→0

s−G(s)kPs−G(s)kP

w

s=

−G(0)kP−G(0)kP

w = w.

Diskussion. Das Innere-Modell-Prinzip schreibt vor, welche dynamischen Elemente imRegler notwendigerweise vorkommen müssen, damit für vorgegebene Führungs- oder Störsi-gnale keine bleibende Regelabweichung auftritt. Zusätzliche dynamische Elemente sind mög-lich. Bei dem hier betrachteten Fall würde man also mit einem I-Regler Sollwertfolge bzw.Störkompensation für alle vier Fälle erreichen, mit dem P-Regler nur in den Fällen 1 und 4.

Die Sollwertfolge bzw. Störkompensation setzt voraus, dass der Regelkreis stabil ist. Dieswird bei Verwendung des I-Reglers einige Schwierigkeiten mit sich bringen, weil die offeneKette den Faktor 1

s2enthält, der über den gesamten Frequenzbereich eine Phasenverschiebung

von −180o mit sich bringt, zu der die Phasenverschiebung der Verzögerungsglieder hinzu-kommt. Es müssen also zusätzliche dynamische Elemente in den Regler eingebracht werden,um die Phase in der Nähe der Schnittfrequenz soweit anzuheben, dass die Stabilität des Re-gelkreises gesichert ist.

Aufgabe 7.8 679

Selbst wenn man den Regelkreis auf diese Weise stabil macht, ist es fraglich, ob man denhier betrachteten Regelkreis mit doppelt integrierender offener Kette dynamisch schnell ge-nug machen kann. In Aufgabe 13.6 wird deshalb untersucht, wie man das Regelungsproblemfür den Störfall 3 durch eine Kaskadenregelung vereinfachen kann, bei der ein unterlagerterRegler zunächst die Geschwindigkeit v2 kontrolliert und ein überlagerter Regler den Abstandauf den geforderten Wert bringt.

Aufgabe7.8 Analyse des Fliehkraftreglers von Dampfmaschinen

Um die Sollwertfolge analysieren zu können, stellt man die im betrachteten Regelkreis vorhan-denenWirkungsketten in einem Blockschaltbild dar und bestimmt die wichtigsten Eigenschaf-ten der auftretenden Blöcke. Abbildung A.48 zeigt, dass der Fliehkraftregler den Klappenwin-kel β in Abhängigkeit von der Drehzahl n festlegt. Es findet kein expliziter Sollwertvergleichstatt, weil die Solldrehzahl bei dieser Regelung durch die Position der Massen indirekt vorge-geben wird. Das im Regelkreis üblicherweise hervorgehobene Minuszeichen der Rückführungist im Fliehkraftregler realisiert, denn eine Erhöhung von n führt auf eine Verkleinerung vonβ. Der Klappenwinkel β bestimmt die dem Kolben zugeführte Dampfmenge und damit dasDrehmoment. Dieses wird als Signal im Blockschaltbild dargestellt, weil die angeschlossenenMaschinen ein Lastmoment erzeugen, das von diesem Signal abzuziehen ist. Die Differenzaus Antriebsmoment und Lastmoment bestimmt die Drehzahl n.

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Abb. A.48: Regelkreis der Dampfmaschine

Der Fliehkraftregler hat ein proportionales Verhalten, denn eine bleibende Veränderungvon n führt zu einer bleibenden Veränderung von β. Gleiches gilt für das Klappenventil. DieDampfmaschine hat integrales Verhalten, denn eine bleibende Erhöhung der Differenz vonAntriebs- und Lastmoment führt auf einen rampenförmigen Anstieg der Drehzahl (bis die hiervernachlässigten Reibungskräfte dieses Moment kompensieren).

Es gibt zwei Wege um festzustellen, ob bei diesem Regelkreis eine bleibende Regelab-weichung auftritt. Beim ersten Weg transformiert man den Regelkreis in die Standardform,bei der die Störung am Ausgang der Regelstrecke angreift. Dabei wird aus der hier als sprung-förmig angenommenen Last dσ(t) eine rampenförmige Störung dt. Das Störmodell ist alsoein Doppelintegrator 1

s2, den der Regelkreis als inneres Modell besitzen muss. Da die Dampf-

maschine nur eine einfache Integration bewirkt, muss der Regler I-Verhalten haben, um dieStörung restlos ausgleichen zu können. Der Fliehkraftregler hat aber proportionales Verhalten.Folglich tritt eine bleibende Regelabweichung auf.

Alternativ zu dieser Argumentation kann man ausrechnen, dass eine bleibende Regelab-weichung auftritt. Aus dem Blockschaltbild liest man für die Störübertragungsfunktion dieBeziehung


Gd(s) =N(s)

D(s)=

−GD(s)

1−GD(s)GV(s)K(s)

ab, wobeiK(s) die Übertragungsfunktion des Fliehkraftreglers,GV(s) die des Dampfeinlass-ventils und GD(s) die der Dampfmaschine ist und das Minuszeichen im Nenner auftritt, weilder geschlossene Kreis positiv rückgekoppelt ist (das Minuszeichen der Rückkopplung stecktin K(s)). Dieses Modell gilt bekanntermassen für einen auf Null normierten Sollwert. N(s)ist also die Abweichung der Drehzahl vom Sollwert. Für sprungförmige Störung D(s) = d

s

erhält man für diese Drehzahlabweichung die Beziehung

N(s) =−GD(s)

1−GD(s)GV(s)K(s)

d

s

und daraus mit dem Grenzwertsatz der Laplacetransformation

limt→∞

n(t) = lims→0

s−GD(s)

1−GD(s)GV(s)K(s)

d

s

= lims→0

−11

GD(s)−GV(s)K(s)

d

=−1

−GV(0)K(0)d �= 0,

wobeiGV(0) undK(0) die statischen Verstärkungen des Dampfeinlassventils bzw. des Flieh-kraftreglers sind. Für die letzte Umformung wurde die Tatsache verwendet, dass die Dampf-maschine integrales Verhalten hat und GD(s) für s → 0 unendlich gross wird. Die letzteZeile zeigt, dass eine bleibende Regelabweichung auftritt. Beachtet man noch, dass GV(0)positiv, aber K(0) negativ ist, so erkennt man auch, dass sich bei der Lasterhöhung (d > 0)die Drehzahl verkleinert, also n(∞) negativ ist.

Aufgabe 7.11 Abbremsen eines Fahrzeugs

Bei der Trajektorienplanung entsprechend Algorithmus 7.1 wird für die Solltrajektorie, aufder das Fahrzeug in sechs Sekunden auf die neue Geschwindigkeit abgebremst werden soll,ein Polynom dritter Ordnung angesetzt, da die Bremsbeschleunigung nicht stetig sein muss.Man erhält dabei die in Abb. A.49 (oben) gezeigte Solltrajektorie

w(t) = 0,154t3 − 1,389t2 + 33,33, 0 ≤ t ≤ 6.

Zum Entwurf der Vorsteuerung muss zunächst die E/A-Normalform des Modells ermitteltwerden. Wegen

cTb = 0 und cTAb = −9,96

gilt r = 2 und die E/A-Normalform wird mit der Transformationsmatrix

T−1E =

(cT

cTA

)=

(1 0

−6,96 1,88

)

erzeugt:

Aufgabe 7.11 681

Abb. A.49: Solltrajektorie w[0,6] und Ableitungen w(t), w(t)

ΣF :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

xE(t) =

(0 1

0 −16,92

)xE(t) +

(0

−9,96

)u(t)

y(t) = ( 1 0 ) xE(t).

Damit erhält man für die Vorsteuerung (7.60) den Vektor

vT = − 1

−9,96(0 − 16,92 − 1)

und die Stellgrößeu[0,6] = −0,786t2 + 4,624t + 0,279

(Abb. A.50), die die gewünschte Trajektorie y[0,6] erzeugt. Für t ≥ 6 bleibt bei u(t) = 0 dieGeschwindigkeit konstant.

Abb. A.50: Stellgröße u[0,6] und Geschwindigkeit v(t)

Für die gewählte Transitionszeit liegt u(t) unterhalt von 6 ms2, was eine für trockenen

Asphalt realisierbare Bremsbeschleunigung bedeutet.


Aufgabe 8.3 Eigenschaften des Hurwitzkriteriums

1. Für ein System zweiter Ordnung mit dem charakteristischen Polynom a2λ2 + a1λ + a0

heißt die Hurwitzmatrix (8.21)

H =

(a1 0a0 a2

).

Wenn die Vorzeichenbedingung (8.22) erfüllt ist

a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0,

dann sind auch die Hauptabschnittsdeterminanten D1 = a1 und D2 = a1a2 positiv. Beieinem System zweiter Ordnung muss man also nur die Vorzeichenbedingung (8.22) desHurwitzkriteriums überprüfen.

2. Wenn die Vorzeichenbedingung (8.22) erfüllt ist, so gilt

anλn + an−1λ

n−1 + ... + a1λ+ a0 > 0, λ ≥ 0,

so dass es keine positiven reellen Nullstellen des Polynoms geben kann.

3. Aufgrund der Ergebnisse der ersten beiden Teilaufgaben muss man ein Polynom drittenGrades betrachten, das die reelle Nullstelle λ1 < 0 und die konjugiert-komplexen Null-stellen λ2/3 = δ ± jω hat. Das Polynom ist

p(λ) = (λ− λ1)(λ− λ2)(λ− λ3)

= (λ− λ1)(λ2 − 2δλ+ δ2 + ω2)

= λ3 + (−λ1 − 2δ)︸︷︷︸a2

λ2 + (δ2 + ω2)λ− λ1(δ2 + ω2)

erfüllt die Vorzeichenbedingung, wenn der Koeffizient a2 positiv ist, also wenn

δ < −λ1

2

gilt. Obwohl die Vorzeichenbedingung erfüllt ist, hat das Polynom Nullstellen mit positi-vem Realteil, wenn 0 < δ < λ1

2gilt.

Aufgabe 8.4 Stabilisierbarkeit eines invertierten Pendels

Aus der Übertragungsfunktion

G0(s) =40 kP

s2 − 29,43

der offenen Kette erhält man die charakteristische Gleichung

1 +40 kP

s2 − 29,43= 0

s2 − 29,43 + 40 kP = 0.

Aufgabe 8.7 683

Da der Koeffizient a1 für alle Reglerverstärkungen kP verschwindet, ist das Hurwitzkriteri-um verletzt und der Regelkreis also für keinen Parameterwert kP E/A-stabil. Das Pendel istfolglich nicht durch einen P-Regler stabilisierbar.

Aufgabe8.7 Stabilisierung einer instabilen Regelstrecke

Die charakteristische Gl. (8.27) heißt für den betrachteten Regelkreis

s2 + 2s+ 3(kP − 1) = 0.

Da es sich um ein System zweiter Ordnung handelt, ist die erste Bedingung des Hurwitzkrite-riums notwendig und hinreichend (vgl. Aufgabe 8.3). Stabilität ist genau dann gewährleistet,wenn

3(kP − 1) ≥ 0

gilt. Folglich ist der geschlossene Kreis für kP > 1 stabil. Für die Stabilisierung der instabilenRegelstrecke ist also ein Regler mit einer Mindestverstärkung notwendig.

Schreibt man die charakteristische Gleichung für den aus der Regelstrecke

G(s) =3

(s− s1)(s+ 3)(A.71)

und dem P-Regler bestehenden Regelkreis auf

s2 + (3− s1)s+ 3(kP − s1) = 0,

so ergeben sich aus dem Hurwitzkriterium die Bedingungen

s1 < 3

kP > s1.

Diese Bedingungen zeigen, dass durch den P-Regler nur Regelstrecken der Form (A.71) stabi-lisiert werden können, für die der instabile Pol betragsmäßig den stabilen Pol nicht übersteigt.Für diese Regelstrecke braucht der Regler eine Mindestverstärkung, die von der Lage des in-stabilen Pols abhängt. Je weiter der Pol in der rechten komplexen Ebene auf der reellen Achsenach rechts wandert, umso größer muss die Reglerverstärkung sein.

Die Stabilität wird durch Gegenkopplung erreicht, denn durch das Reglergesetz

ΣR : u(t) = −kPy(t) + kPw(t)

mit positiver Reglerverstärkung kP wird das Signal y(t) mit negativem Vorzeichen auf dieStellgröße zurückgeführt.

Diskussion. Um zu erkennen, dass der Regler einer Abweichung der Regelgröße vom Soll-wert 0 tatsächlich entgegenwirkt, muss man berücksichtigen, dass das gegebene instabile Sys-tem auf eine positive Erregung (u(t) > 0) mit einer positiven Regelgröße (y(t) > 0) reagiert.Eine negative Stellgröße hat deshalb eine Verkleinerung der Regelgröße zur Folge. Da derRegler für y > 0 mit einer Stellgröße u < 0 reagiert, ist die Rückkopplung eine Gegenkopp-lung.


Würde die Regelstrecke an Stelle von G(s) die Übertragungsfunktion −G(s) besitzen,so würde ein P-Regler mit kP > 0 eine Mitkopplung erzeugen. In diesem Falle folgt aus demHurwitzkriterium als notwendige und hinreichende Stabilitätsbedingung kP < −1, womitwiederum eine Gegenkopplung entsteht.

Aufgabe 8.8 Stabilität von Regelkreisen mit I-Regler

Da die Regelstrecke stabil ist, haben alle Koeffizienten des Nennerpolynoms N(s) dasselbeVorzeichen. Dieses Vorzeichen stimmt mit dem des Absolutgliedes N(0) überein.

Aus der charakteristischen Gl. (8.27) des Regelkreises erhält man nach Umstellung dieBeziehung

sN(s) + kI Z(s) = 0.

Damit sämtliche Lösungen dieser Gleichung negativen Realteil haben, müssen alle Koeffizi-enten des auf der linken Seite stehenden Polynoms dasselbe Vorzeichen haben. Da für eintechnisch realisierbares System der Grad von Z(s) nicht größer als der Grad von N(s) istund da alle Koeffizienten vonN(s) dasselbe Vorzeichen haben, hat der Koeffizient der höchs-ten Potenz von s dasselbe Vorzeichen wie N(0). Das Absolutglied hat dasselbe Vorzeichenwie kIZ(0). Notwendig für die Stabilität des Regelkreises ist deshalb, dass N(0) und kIZ(0)dasselbe Vorzeichen haben müssen. Diese Bedingung kann auch als

kIZ(0)

N(0)= kIks > 0 (A.72)

geschrieben werden, wobei ks die statische Verstärkung der Regelstrecke bezeichnet. Die Be-dingung (A.72) besagt, dass die durch den I-Regler erzeugte Rückkopplung eine Gegenkopp-lung sein muss (vgl. Diskussion der Aufgabe 8.7).

Aufgabe 8.11 Stabilitätsanalyse einer Lautsprecheranlage

1. Abbildung A.51 zeigt das Blockschaltbild der Lautsprecheranlage. Die Signale stellen denSchalldruck am Mikrofon, das vom Mikrofon ausgegebene Signal, das verstärkte Signalsowie den vom Lautsprecher erzeugten Schalldruck dar. Im Gegensatz zum Standardregel-kreis enthält diese Rückkopplung kein Minuszeichen.

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Abb. A.51: Blockschaltbild der Lautsprecheranlage

Aufgabe 8.11 685

2. Die Übertragungsfunktion der offenen Kette setzt sich aus den Übertragungsfunktionen dervier Blöcke zusammen, die entsprechend der Aufgabenstellung als PT1- bzw. PTt-Gliederaufgefasst werden. Man erhält

G0(s) = − kM1 + s

ωM

kV1 + s

ωV

kL1 + s

ωL

kWe−sTt

mit

kW =k 1

2

d2und Tt =

d

vS,

wobei das Minuszeichen eingefügt werden muss, weil die Rückkopplungsschaltung diefür Regelkreise typische Vorzeichenumkehr nicht enthält. Durch kW wird die quadratischeAbnahme des Schalldrucks gegenüber der Entfernung vom Lautsprecher und durch Tt dieTotzeit für die Schallausbreitung berücksichtigt. Für den Proportionalitätsfaktor gilt

k 12=

25m2

2= 12,5m2.

Abb. A.52: Ortskurve der offenen Kette der Lautsprecheranlage fürunterschiedliche Mikrofon-Lautsprecher-Entfernungen (links) undOrtskurve der Telefon-Radio-Anordnung für d = 0.3 (rechts)

3. Die offene Kette ist stabil. Entsprechend dem Nyquistkriterium darf die Ortskurve vonG0(jω) den Punkt −1 nicht umschlingen. Abbildung A.52 (links) zeigt diese Ortskur-ve für unterschiedliche Entfernungen d über den für die Stabilitätsanalyse bestimmendenFrequenzbereich. Für höhere Frequenzen nähern sich alle Ortskurven in Form einer Spira-le dem Ursprung der komplexen Ebene, was in der Abbildung weggelassen ist. Offenbarerfüllt das System für einen Mikrofon-Lautsprecher-Abstand von 25 Metern das Stabili-tätskriterium, während es für Entfernungen kleiner als etwa d = 15 instabil ist.

4. Bei der Telefon-Radio-Anordnung hat die offene Kette kleinere Grenzfrequenzen, der Pro-portionalitätsfaktor

k 12=

1

2,

die Verstärkung der offenen Kette und die betrachteten Entfernungen sind kleiner. DasStabilitätskriterium ist dasselbe, die Ortskurve hat jedoch eine andere Form, wie der rechtsTeil von Abb. A.52 zeigt. Das System ist für die angegebene Entfernung instabil, denn die


Ortskurve umschlingt den Punkt –1. Stellen Sie sich also niemals zu nahe an Ihr Radio,wenn Sie mit dem eingeschalteten Sender telefonieren, weil sonst alle Rundfunkteilnehmernur einen Pfeifton hören (sofern der Sender nicht eine „Sicherheitsschaltung“ eingebauthat).

5. Das Prinzip der Stabilitätsprüfung ist bei beiden Anordnungen dasselbe. In beiden Fällenmuss die mit wachsender Entfernung abnehmende Verstärkung kW so klein sein, dass diestatische Verstärkung der offenen Kette kleiner als eins ist. Die Phasenverschiebung spielteine untergeordnete Rolle. Um einen Pfeifton zu verhindern, muss man also in jedem Fallden Signalweg vom Lautsprecher zum Mikrofon dämpfen.

Anmerkung. Da man bei Freisprechanlagen oder Videokonferenzen den Signalweg vomLautsprecher zum Mikrofon (Echopfad) nicht beeinflussen kann, arbeitet man dort mit einerakustischen Echounterdrückung, bei der das Lautsprechersignal über ein Filter mit negativemVorzeichen hinter dem Mikrofon eingekoppelt wird, so dass es dort das über den Echopfadkommende Mikrofonsignal kompensiert.

Aufgabe 8.13 Lageregelung von Raumflugkörpern

Die offene Kette besteht aus einem I-Regler, zwei Tt-Gliedern sowie einem PT1-Glied:

G0(s) =1

TIs(Ts+ 1)e−2sTt .

Sie ist stabil, so dass die Stabilität des Regelkreises genau dann gesichert ist, wenn derPunkt −1 nicht von der Ortskurve umschlungen wird bzw. wenn der Phasenrand positiv ist.Die Phasenverschiebung der offenen Kette und der Phasenrand berechnen sich aus

φ = −90o − arctanωT − 2ωTt

ΦR = 90o − arctan ωsT − 2ωsTt,

wobei ωs die Schnittfrequenz bezeichnet. Der zweite Summand liefert höchstens 90o, derletzte Summand steigt linear mit der Schnittfrequenz ωs. Aus diesem Grund muss die Schnitt-frequenz sehr klein sein, wenn ein positiver Phasenrand entstehen soll.

Da das Totzeitglied keinen Einfluss auf die Amplitude |G0(jω)| und folglich keinen Ein-fluss auf die Schnittfrequenz ωs hat, braucht man sich für die Diskussion der Stabilität nurden Amplitudengang eines IT1-Gliedes aufzuzeichnen (vgl. Abb. 6.45 auf S. 318). Da in demin der Aufgabenstellung angeführten Beispiel die Zeitkonstante T des PT1-Gliedes in der-selben Größenordnung liegt wie die doppelte Totzeit, trägt das Totzeitglied in der Nähe derKnickfrequenz 1

Terheblich zur Phasenverschiebung der offenen Kette bei. Man muss des-

halb die Nachstellzeit TI sehr groß wählen und damit den Amplitudengang im Bodediagrammweit nach unten schieben, um eine niedrige Schnittfrequenz zu erhalten und die Stabilität desRegelkreises zu gewährleisten. Damit verbunden ist eine schlechte Dynamik, d. h., der Raum-flugkörper bzw. Weltraumroboter erreicht nur sehr langsam einen angestrebten Sollwert.

Diskussion. Dieses Stabilitätsproblemwird übrigens noch größer, wenn der Raumflugkörperbeispielsweise ein Satellit ist, dessen Lage durch kleine Impulse eines Düsenantriebs geregeltwerden soll. Dann ist die Stellgröße eine Kraft, aus der die Lage durch zweimalige Integra-tion hervorgeht. Die Regelstrecke hat folglich I2-Verhalten. Für diesen Fall zeigen die oben

Aufgabe 8.14 687

beschriebenen Überlegungen, dass die Lageregelung praktisch nicht von der Erde aus durch-führbar ist.

Einen Ausweg erreicht man durch Installation des Regelkreises vor Ort im Flugkörper.Dann entfallen die Totzeiten der Signalübertragung. Der Mensch muss dann das Experimentnicht mehr Schritt für Schritt steuern, sondern nur noch Sollwerte vorgeben, die durch denschnelleren Regelkreis realisiert werden. Der Flugkörper bzw. Weltraumroboter erhält mehrAutonomie; der Mensch tritt aus dem Regelkreis heraus und übernimmt Überwachungsfunk-tionen. Dadurch tritt die Übertragungstotzeit nur dann in Erscheinung, wenn ein neuer Soll-wert zum Flugkörper gesendet wird.

Aufgabe8.14 Phasenrandkriterium bei D-Ketten

Wie Abb. A.53 (links) zeigt, umschlingt die Ortskurve der offenen Kette (8.42) den kritischenPunkt −1. Da die offene Kette stabil ist, ist der Regelkreis folglich instabil.

Abb. A.53: Ortskurve und Bodediagramm der D-Kette

Mit dem Bodediagramm in Abb. A.53 (rechts) erhält man dasselbe Ergebnis. Durch dendreifachen D-Anteil hat der Amplitudengang im niederfrequenten Bereich eine Neigung von+60dB/Dekade, wozu eine Phasenverschiebung von +270o gehört, und im hochfrequentenBereich die Neigung von −100 dB/Dekade mit der Phase von –450o. Die offene Kette hateinen negativen Phasenrand, so dass der Regelkreis instabil ist.

Senkt man den Amplitudengang durch Verkleinerung der Reglerverstärkung ab, so dassbeispielsweise im Zähler von G0 jetzt 0,0001s3 steht, so entsteht ein positiver Phasenrand.Der Regelkreis ist mit der verkleinerten Verstärkung stabil.

Das Beispiel zeigt, dass man bei offenen Ketten, deren Amplitudengang die 0 dB-Achsemehrfach schneidet, auch einen Phasenrand und einen Amplitudenrand bestimmen kann, bei-de Größen jedoch besser an der Ortskurve als am Bodediagramm abgelesen werden können.


Aufgabe 8.19 Stabilitätseigenschaften von Drehrohrofen und Klinkerkühler

1. Abbildung A.54 zeigt das Blockschaltbild, in dem gegenüber Abb. 3.4 alle als konstantangenommenen Signale unberücksichtigt bleiben. Als Übertragungsglieder wurden ent-sprechend der Aufgabenstellung für die Brenntemperaturregelung ein DT1-Glied GB(s),für die Veränderung des Klinkerenergiestromes in Abhängigkeit von der Brenntemperaturein Übertragungsglied mit der Übertragungsfunktion GM(s) aus Gl. (8.52) und für denKühler ein PT1-Glied GK(s) eingesetzt.

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Abb. A.54: Vereinfachtes Blockschaltbild der AnordnungDrehrohrofen - Klinkerkühler

2. Die Rückkopplung erfolgt bei diesem System – im Gegensatz zu einem Regelkreis – nichtmit einer Vorzeichenumkehr. Es wird deshalb mit

G0(s) = −GB(s)GM(s)GK(s)

gerechnet. Mit den in der Aufgabenstellung genannten Parametern erhält man für die Über-tragungsfunktionen

GB(s) =3s

3s+ 1und GK(s) =

4015

2s+ 1.

Die Zeit wird in Minuten und die Temperaturänderungen in Kelvin gemessen. GB ist einDT1-Glied der Form (6.123), bei dem TD = T = 3min gesetzt wurde, weil sich eine Er-höhung der Sekundärlufttemperatur im ersten Moment in einer betragsmäßig gleichgroßenErhöhung der Brenntemperatur äußert und weil der Regler diesen Fehler mit einer Zeitkon-stante von 3 Minuten abbaut. Für den Kühler ergibt sich die Zeitkonstante von 2 Minuten,wenn die in der Aufgabenstellung genannte Zeit als „95%-Zeit“ angesetzt wird.

Die Ortskurve beginnt und endet im Ursprung der komplexen Ebene, weil die offeneKette D-Verhalten hat. Sie umschlingt den Punkt −1. Folglich ist der geschlossene Kreisinstabil. Die gezeigte Funktion ist übrigens wenig von den verwendeten Parametern abhän-gig, die im Anlagenbetrieb beobachteten Schwingungen sind also für derartige Anlagentypisch.

3. Der geschlossene Kreis wird jetzt bezüglich einer am Eingang des Kühlers auftretendenimpulsförmigen Störung untersucht. Für die Übertragungsfunktion von der Störung zurSekundärlufttemperatur θ erhält man

Gg(s) =GK(s)

1−GB(s)GM(s)GK(s),

was man entsprechend

Aufgabe 8.19 689

Abb. A.55: Ortskurve der AnordnungDrehrohrofen – Klinkerkühler

» Kreis = feedback(Kuehler, Ofen, 1);

berechnen kann. Die Systemantwort auf eine impulsförmige Erregung berechnet man durch

» Time = [0:0.01:200];» impulse(Kreis, Time);

wobei die explizite Angabe der Zeitachse Time notwendig ist, weil die für die Pendelungenverantwortlichen Zeitkonstanten sehr groß sind und sich die automatische Skalierung anden wesentlich kleineren Zeitkonstanten orientiert. Abb. A.56 (oben) zeigt das Ergebnis.Das System schwingt nach Abklingen des Übergangsvorganges mit einer Periodendauervon etwa 1 Stunde.

Abb. A.56: Sekundärlufttemperatur bei impulsförmiger Erregung(oben: ungeregelt; unten: mit Sekundärlufttemperaturregelung)

4. Die Übertragungsfunktionen werden in MATLAB durch

» zb = [3 0];» nb = [3 1];» Brennraum = tf(zb, nb);


ProgrammA.1 Stabilitätseigenschaften von Drehrohrofen und Klinkerkühler (Aufgabe 8.19)

Modell der offenen Kettebestehend aus Brennraum, Massenstrom und Ofen

» zb = [3 0];» nb = [3 1];» Brennraum = tf(zb, nb);» zm = [-2.5 0 0];» nm = [1 0.5 0.08 0.004];» Massenstrom = tf(zm, nm);» zk = 40/15;» nk = [2 1];» Kuehler = tf(zk, nk);» Ofen = series(Massenstrom, Brennraum);» offeneKette = series(Ofen, Kuehler);

Analyse der offenen Kette» nyquist(-offeneKette); ...erzeugt Abb. A.55 (links)

Kühlerverhalten bei impulsförmiger Störung» Kreis = feedback(Kuehler, Ofen, 1);» Time = [0:0.01:200];» impulse(Kreis, Time); ...erzeugt Abb. A.56 (oben)

Wiederholung der Analyse mit geregeltem Kühler» zkr = [4 0];» nkr = [8 6 1]; DT2-Approximation des geregelten Kühlers» gerKuehler = tf(zkr, nkr);» offeneKette2 = series(Ofen, gerKuehler);» nyquist(-offeneKette2); ...erzeugt Abb. A.55 (rechts)

» Kreis2 = feedback(gerKuehler, Ofen, 1);» impulse(Kreis2, Time); ...erzeugt Abb. A.56 (unten)

» zm = [-2.5 0 0];» nm = [1 0.5 0.08 0.004];» Massenstrom = tf(zm, nm);» zk = 40/15;» nk = [2 1];» Kuehler = tf(zk, nk);

eingegeben und durch

» Ofen = series(Massenstrom, Brennraum);» offeneKette = series(Ofen, Kuehler);

zur Übertragungsfunktion des Ofens bzw. der offenen Kette zusammengefasst. Die inAbb. A.55 (links) gezeigte Ortskurve erhält man durch den Funktionsaufruf

» nyquist(-offeneKette);

Aufgabe 10.5 691

5. Um die Schwingungen zu dämpfen, muss die Regelung der Sekundärlufttemperatur imKühler dafür sorgen, dass der Amplitudengang der Reihenschaltung von Drehrohrofenund Klinkerkühler kleiner wird, so dass die Ortskurve den kritischen Punkt nicht mehrumschlingt. Wie Abb. A.55 (rechts) zeigt, wird die Amplitude der Ortskurve durch dieRegelung deutlich verkleinert. Der kritische Punkt ist nicht mehr umschlossen und dieAnlage arbeitet stabil. AbbildungA.56 (unten) zeigt den Verlauf der Sekundärlufttempera-tur bei impulsförmiger Erregung der Anlage. Die für die Berechnung der Ortskurve unddie Darstellung des Verhaltens der Anlage notwendigen MATLAB-Befehle sind im Pro-gramm A.1 zusammengestellt.

Aufgabe10.2 Vom dominierenden Polpaar zu den Parametern T und d

Aus den beiden Polen s1/2 = −δe ± jωe erhält man den Nenner (s − s1)(s − s2) derÜbertragungsfunktion

G(s) =1

T 2s2 + 2dTs+ 1=

(δe − jωe)(δe + jωe))

(s+ δe − jωe)(s+ δe + jωe),

während der Zähler so gebildet wurde, dass die statische Verstärkung G(0) den Wert eins hat.Nach dem Ausmultiplizieren

G(s) =1

1δ2e+ω2

e(s2 + 2δes+ δ2e + ω2

e )

führt ein Koeffizientenvergleich auf die gesuchten Beziehungen

T =1√

δ2e + ω2e

und d =δe√

δ2e + ω2e

.

Der Parameter T beschreibt also den Abstand der Pole s1 und s2 in der komplexen Ebene vom0-Punkt während d = cosφd entsprechend Gl. (10.3) den Winkel der Dämpfungsgeradenbestimmt (Abb. 10.2 auf S. 491).

Aufgabe10.5 Wurzelortskurve für P-geregelte Systeme

1. Der Motor hat zwei Pole bei

s1 = −69,95 und s2 = −12,87

und keine Nullstellen. Deshalb besteht die Wurzelortskurve aus zwei Ästen, die in denbeiden Polen beginnen und deren Asympotote genau in der Mitte zwischen den beidenPolen parallel zur Imaginärachse verläuft (Abb. A.57 (links)).

Für jede positive Reglerverstärkung ist der Regelkreis stabil. Für kleine Reglerver-stärkung ist der geregelte Motor stark gedämpft, denn er hat zwei reelle Pole. Die Regler-verstärkung k1/2, für die die beiden Pole zusammenfallen, kann folgendermaßen berechnet


Abb. A.57: Wurzelortskurve des P-geregeltenGleichstrommotors (links) und der P-geregelten Verladebrücke (rechts)

werden. Man muss zunächst die Übertragungsfunktion der offenen Kette, die aus demMo-tor mit der Übertragungsfunktion (A.69) und einem P-Regler besteht, in die Form (10.18)bringen:

kG0 = kP0,0482

0,0011s2 + 0,0920s + 1

=kP · 0,04820,0011

1

s2 + 82,82s + 900

= k1

s2 + 82,82s + 900.

Folglich ergibt sich die Reglerverstärkung kP aus dem bei der Konstruktion der Wurzel-ortskurve verwendeten Faktor k nach der Formel

kP = k0,0011

0,0482.

Jetzt wird k aus der Wurzelortskurve bestimmt. Die Asympoten schneiden bei

s1 + s22

= 41,41

die reelle Achse. Von diesem Punkt liegen die beiden Pole um

s1 − s22

= 28,54

entfernt. Deshalb ergibt sich die Verstärkung k1/2 entsprechend Gl. (10.21) aus

k1/2 = 28,54 · 28,54 = 814,5

und die dafür notwendige Reglerverstärkung aus

kP = 814,50,0011

0,0482= 18,59.

Das heißt, dass der Regelkreis bei dieser Reglerverstärkung zwei reelle Pole bei −41,41hat. Für jede größere Reglerverstärkung fängt der Regelkreis an zu schwingen, und zwarumso weniger gedämpft, je größer die Reglerverstärkung ist.

Aufgabe 10.7 693

2. Die Verladebrücke (10.36) hat vier Pole:

s1/2 = 0

s3/4 = ±j1,75.

Deshalb beginnen die vier Äste der Wurzelortskurve in zwei Polen im Ursprung der kom-plexen Ebene und zwei Polen auf der Imaginärachse. Sie nähern sich für große Reglerver-stärkung vier Asymptoten an, die sich im Ursprung der komplexen Ebene schneiden.

Da zwei Pole im Ursprung liegen, erfüllt kein Punkt auf der reellen Achse außer demUrsprung die auf S. 507 angegebene Bedingung. Daraus ergibt sich, dass sich die im Ur-sprung der komplexen Ebene beginnenden Äste der Wurzelortskurve zunächst entlang derImaginärachse bewegen. Dort treffen sie die von den beiden anderen Polen ausgehendenÄste, um sich anschließend in zwei konjugiert komplexe Äste aufzuteilen und den Asym-ptoten anzunähern (Abb. A.57 (rechts)).

Aufgabe10.7 Reglerentwurf mit Hilfe der Wurzelortskurve

1. Der prinzipielle Verlauf der Wurzelortskurve lässt sich anhand der angegebenen Regelnleicht aufzeichnen. Da die offene Kette drei Pole und keine Nullstelle besitzt, ist die Wur-zelortskurve durch die Asymptoten bestimmt, die für einen Polüberschuss von drei ent-stehen. Der „Schwerpunkt“ der Pole liegt in der linken Halbebene (Abb. A.58 (links)).Folglich gibt es Reglereinstellungen, für die der Regelkreis stabil ist.

Abb. A.58: Wurzelortskurve für das P-geregelte System (links) undfür den Regelkreis mit dynamischem Regler (rechts,

Pole � für k = 15)

2. Sollwertfolge wird für P-Regler erreicht, da die Regelstrecke integrales Verhalten besitzt.Der Regler braucht also keine eigene Dynamik zu besitzen, wenn man allein Stabilität undSollwertfolge als Güteforderungen betrachtet.

3. Um das geforderte Überschwingen zu erreichen, müssen die dominierenden Pole innerhalbeines Sektors der linken Halbebene liegen, für die der Winkel φ kleiner als 60o ist. DieBeruhigungszeit fordert, dass die Pole links einer Parallelen zur Imaginärachse durch denPunkt –0,75 liegen.


Diese Güteforderungen können durch einen P-Regler nicht erfüllt werden, wie manaus dem linken Teil von Abb. A.58 erkennt, wenn man bedenkt, dass der mittlere Polbei −1 liegt. Zur Erfüllung der Dynamikforderungen ist deshalb eine Reglerdynamik er-forderlich.

Wählt man den Regler

K(s) = ks+ 1

s+ 4,

mit dem der Regelstreckenpol bei –1 kompensiert wird, so verschieben sich die Asympto-ten nach links. Wie Abb. A.58 (rechts) zeigt, kann man eine Reglerverstärkung wählen, fürdie die gewünschte Pollage erreicht wird. In Abb. A.59 ist die Führungsübergangsfunktionfür k = 15 dargestellt. Die Güteforderungen an den Regelkreis sind erfüllt.

Abb. A.59: Führungsübergangsfunktion des Regelkreises

Aufgabe 10.9 Steuerung eines Schiffes

1. Die Regelung betrifft die Drehbewegung des Schiffes um seine senkrechte Achse, wobei yder Drehwinkel ist. Die rotatorische Bewegung kann durch

y(t) = Jf(t)

beschrieben werden, wenn man, wie bei langsamen Drehungen möglich, den Widerstanddurch das Wasser vernachlässigt. Diese Gleichung besagt, dass die Winkelbeschleunigungproportional zu der vom Ruder ausgeübten Kraft f(t) ist. J ist das Trägheitsmoment desSchiffes bezüglich der genannten Drehachse. Die Kraft f(t) ist abhängig von der Winkel-stellung u(t) des Ruders, wobei hier für kleine Ruderausschläge u(t) eine proportionaleAbhängigkeit angenommen wird

f(t) = kru(t),

in der kr ein Proportionalitätsfaktor ist. Damit erhält man für das Schiff als Regelstreckedie Übertragungsfunktion

G(s) =krJ

s2.

Aufgabe 10.10 695

2. Proportionales Verhalten des Kapitäns kann durch

u(t) = −kP y(t)

beschrieben werden. Der geschlossene Kreis besteht folglich aus einem I2-Glied und ei-ner P-Rückführung. Die offene Kette hat zwei Pole im Koordinatenursprung der komple-xen Ebene und keine Nullstelle. Die Wurzelortskurve verläuft entlang der Imaginärachse.Folglich entsteht für beliebige Reglerverstärkungen ein rein imaginäres Polpaar für denRegelkreis. Der Kurs des Schiffes schlängelt sich sinusförmig um den vorgegebenen Kurs.

3. Es muss ein Regler eingesetzt werden, durch den die Wurzelortskurve in die linke komple-xe Halbebene „verbogen“ wird. Dies kann durch Einführung einer Nullstelle in der linkenHalbebene erfolgen. Der Kapitän muss also wie ein PD-Regler nicht nur auf die aktuel-le Kursabweichung, sondern auch auf die Veränderung y der Kursabweichung reagieren.Der Regelkreis hat dann zwei Pole mit negativem Realteil, so dass die Eigenbewegungabklingt, das Schiff also auf den vorgegebenen Kurs gesteuert wird.

Aufgabe10.10 Lageregelung hydraulischer Ruderstellsysteme

Für ein IT2-Glied erhält man die im linken Teil der Abb. A.60 dargestellte Wurzelortskurve, diezeigt, dass der Regelkreis schon bei kleiner Reglerverstärkung instabil wird und die Dämpfungdes Regelkreises schlechter als die der Regelstrecke ist. Die in der Abbildung eingetragenenAsymptoten zeigen, warum die Wurzelortskurve wie angegeben verlaufen.

Abb. A.60: Wurzelortskurve des Hydraulikantriebs mitP-Regler (links) und mit PT1-Regler (rechts)

Verwendet man eine PT1-Rückführung, so ändert sich die Wurzelortskurve durch denneu eingeführten Pol, der auch die Asymptoten beeinflusst. Wie die rechte Abbildung zeigt,verbessert sich die Dämpfung des Regelkreises für kleine Reglerverstärkungen. Gleichzeitigerhöht sich die kritische Verstärkung, bei der der Regelkreis instabil wird. In dem gewähltenBeispiel, bei dem die Zeitkonstante des PT1-Gliedes auf T = 1,5 s festgesetzt wurde, stiegdie kritische Verstärkung von 0,6 auf 0,7. Natürlich wird man den Regelkreis nicht bei die-sen kritischen Verstärkungen betreiben, aber der Spielraum für eine zweckmäßige Wahl derReglerverstärkung steigt. Die größere Reglerverstärkung hat die gewünschte Wirkung auf dieLaststeifigkeit, die indirekt proportional zur bleibenden Regelabweichung ist (vgl. Gl. (7.33)auf S. 374).


Aufgabe 10.12 Stabilisierung eines Fahrrades

1. Für den Balanciervorgang wirkt das Fahrrad als Regelstrecke mit der Stellgröße β(t) undder Regelgröße θ(t) (Abb. A.61). Die Störung d repräsentiert Kräfte, die das Fahrrad ausder Gleichgewichtslage θ = 0 bringen (Wind, Fahrbahnunebenheiten usw.).

� 3 $ 4 � 3 $ 4M

� �� 8 $ � � � � � �

�

Abb. A.61: Fahrrad als Regelstrecke

2. Das lineare Modell (10.41) führt auf die Übertragungsfunktion

G(s) =

mahv0bJp

s+mhv2

0bJp

s2 − mghJp

= ks− s0

(s− s1)(s− s2)(A.73)

mit dem Parameter k, der Nullstelle s0 und den beiden Polen s1/2:

k =mahv0bJp

(A.74)

s0 = −v0a

(A.75)

s1/2 = ±√

mgh

Jp. (A.76)

Die Nullstelle ist negativ, die Regelstrecke also minimalphasig.

3. Wie die Wurzelortskurve im linken Teil von Abb. A.62 zeigt, ist der Regelkreis ab einerbestimmten Mindestverstärkung des Reglers stabil.

Abb. A.62: Wurzelortskurve für P-Regelung (links:Vorderradlenkung, rechts: Hinterradlenkung)

Aus der charakteristischen Gleichung 1+G(s)K(s) = 0 des Regelkreises folgt unterBeachtung von s1 = −s2 die Beziehung

Aufgabe 10.12 697

s2 + kkPs+ (−s21 − kkPs0) = 0

und daraus als notwendige und hinreichende Stabilitätsbedingungen

kkP > 0

−s21 − kkPs0 > 0

und nach Umrechnung

kP >bg

v20.

Man kann das Stabilitätskriterium auch von rechts nach links lesen: Wenn der Regler ei-ne bestimmte Verstärkung kP hat, dann ist das Fahrrad für Vorwärtsbewegungen mit derGeschwindigkeit

v0 >

√bg

kP

stabil. Die rechte Seite dieser Ungleichung gibt eine Mindestgeschwindigkeit an. Je größerkP ist, desto kleiner ist diese Mindestgeschwindigkeit, für die das Fahrrad stabil fährt. Dasentspricht der Erfahrung: Je größer die Geschwindigkeit ist, umso kleinere Lenkausschlägestabilisieren das Rad.

Für die in der Tabelle angegebenen Parameter erhält man

kP >bg

v20= 2,94.

Das heißt, wenn man den Lenkwinkel β mindestens 2,94 mal so groß wählt wie den ak-tuellen Neigungswinkel θ, balanciert man das Fahrrad bei der angegebenen Geschwindig-keit v0 = 2m

s. Abbildung A.63 zeigt das Verhalten des geschlossenen Kreises für die

ReglerverstärkungkP = 4.

Abb. A.63: Verhalten des geregelten Fahrrades mit Vorderradlenkung

4. Das lineare Modell mit dem veränderten Vorzeichen führt auf die Übertragungsfunktion

G(s) =

mahv0bJp

s− mhv20

bJp

s2 − mghJp

= ks− s0

(s− s1)(s− s2), (A.77)


die sich nur im Zähler durch ein Minuszeichen von G(s) in Gl. (A.73) unterscheidet. DieParameter s1 und s2 sind dieselben wie in Gl. (A.76), die Nullstelle heißt jetzt jedoch

s0 =v0a. (A.78)

Die Regelstrecke hat eine positive Nullstelle, ist also ein nichtminimalphasiges System.Dies hat entscheidende Konsequenzen für die Stabilisierung des Fahrrades.

Die im rechten Teil von Abb. A.62 gezeichnete Wurzelortskurve zeigt, dass das Sys-tem für keine Reglerverstärkung stabil ist. Dasselbe Ergebnis erhält man auch aus dercharakteristischen Gleichung

s2 + kkPs+ (s1s2 − kkPs0) = 0

und den daraus folgenden notwendigen und hinreichenden Stabilitätsbedingungen

kkP > 0

s1s2 − kkPs0 > 0 .

Da s0 positiv und s1s2 negativ ist, muss kP negativ sein, um die zweite Bedingung zuerfüllen. Die erste Bedingung fordert aber positive Reglerverstärkungen. Für keinen Wertfür kP ist der Regelkreis stabil.

Diskussion. Die Unmöglichkeit, das Fahrrad mit einer proportionalen Regelung zu stabi-lisieren, ist auf die Nichtminimalphasigkeit der Regelstrecke zurückzuführen. Bei Vergröße-rung des Lenkwinkels reagiert das Fahrrad zunächst mit einer Vergrößerung (und nicht wiebei Vorderradlenkung mit einer Verkleinerung) des Neigungswinkels θ. Dies führt zu einerVergrößerung der Regelabweichung und folglich zu einer weiteren Vergrößerung des Lenk-winkels. Das Fahrrad kippt um.

Abb. A.64: Lenkwinkel β und Kraftverlauf Fz bei Vorder- undHinterradlenkung im Vergleich

Die Wirkung der Hinterradlenkung im Vergleich zur Vorderradlenkung ist in Abb. A.64veranschaulicht. Verstellt man den Lenkwinkel sinusförmig, so erhält man die im unteren Teilder Abbildung gezeigten Kräfteverläufe. Der Kraftverlauf bei Hinterradlenkung eilt dem beiVorderradlenkung nach, d. h., die für das Balancieren eingesetzte Kraft wirkt später. Tatsäch-lich wirkt sie bei einer Lenkwinkeländerung erst in die falsche Richtung. Dies ist in Abb. A.65zu sehen, bei der ein rampenförmiger Verlauf des Lenkwinkels angenommen wurde.

Aufgabe 10.13 699

Abb. A.65: Lenkwinkel β und Kraftverlauf Fz bei rampenförmigerLenkwinkelveränderung

Abb. A.66: Experimentalfahrrad

Das in Abb. A.66 gezeigte Fahrrad ermöglicht Experimente mit der Vorderrad- und derHinterradlenkung. Um den Nachlauf zu beseitigen, wurde das Vorderrad weiter nach vorngeschoben. Das Vorwärtsfahren soll lediglich zeigen, dass die am Fahrrad vorgenommenenÄnderungen die bisherige Funktionsweise nicht beeinträchtigen. Beim Rückwärtsfahren, alsoder Verwendung des Fahrrades mit Hinterradlenkung, hat der Fahrer fast dieselbe Position wiebeim Vorwärtsfahren. Die Lenkbewegung wird über zwei gekreuzte Seile auf die Gabel desdrehbaren Rades übertragen.

Aufgabe10.13 Reglerentwurf für eine allpasshaltige Regelstrecke

1. Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Kreises lautet

s2(1 + kP) + 2s− kP = 0.

Der Regelkreis ist genau dann stabil, wenn alle Koeffizienten gleiches Vorzeichen haben,also

−1 < kP < 0

gilt.Der Grund dafür, dass die Reglerverstärkung negativ sein muss, liegt in der Tatsa-

che, dass die statische Verstärkung der Regelstrecke negativ ist: ks = −0,5. Regler und


Abb. A.67: Wurzelortskurve für positive Reglerverstärkung kP (links)und für negative Reglerverstärkung kP (rechts; Pole � für kP = 0,2)

Regelstrecke sind also bei negativem kP, wie gewohnt, gegengekoppelt. Die „Höchstver-stärkung“ stellt sicher, dass die beiden Pole des geschlossenen Kreises in der negativenHalbebene gehalten werden.

2. Die Wurzelortskurve muss mit negativem Parameter k = kP gezeichnet werden. Verwen-det man zunächst, wie bei Wurzelortskurven üblich, positive Werte für k, so erhält manAbb. A.67 (links). Beide Äste der Wurzelortskurve beginnen in den Polen und wandern indie jeweils rechts von den Polen liegende Nullstelle. Es gibt keinen Wert für kP, für dender Regelkreis stabil ist.

Für negative Werte von kP gehören diejenigen Teile der reellen Achse zur Wurzel-ortskurve, bezüglich derer die Anzahl rechts liegender Pole und Nullstellen gerade ist.Beide Äste der Wurzelortskurve beginnen wieder in den Polen der offenen Kette und errei-chen wieder die Nullstellen, jetzt jedoch die jeweils links liegende Nullstelle (Abb. A.67(rechts)). Der im Pol bei –2 beginnende Ast verlässt die reelle Achse bei −∞ und kommtvon +∞ wieder in die komplexe Ebene. Für |kP| < 1 liegen beide Pole in der negativenkomplexen Ebene. Der Regelkreis ist folglich stabil.

Aufgabe 10.15 Wurzelortskurve eines Schwingkreises

1. Eine äquivalente Darstellung für das System (10.42) ist durch die folgenden Gleichungengegeben:

Schwingkreis :

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x(t) =

(0 − 1

L1C

0

)x(t) +

(0

1L

)u(t)

y(t) = (0 1) x(t)

u(t) = −Ry(t).

2. Aufgrund dieser Interpretation kann unter Verwendung der gegebenen Parameter der kriti-sche Wert für R mit dem Programm A.2 bestimmt werden (auf Maßeinheiten achten!)

Die erhaltene Wurzelortskurve ist in Abb. A.68 dargestellt. Der kritische Wert für denWiderstand wird durch den Punkt bestimmt, an dem sich die beiden Äste der Wurzelorts-kurve treffen. Dieser Punkt entspricht einem Widerstand von R = 200Ω. Für größereWiderstandswerte sind die Eigenwerte der Systemmatrix reell.

Aufgabe 10.17 701

Abb. A.68: Wurzelortskurve zur Bestimmung des kritischenWiderstandes

Programm A.2Wurzelortskurve eines Schwingkreises (Aufgabe 10.15)

» C = 0.01;» L = 100;» A = [0 -1/L; 1/C 0];» b = [0; 1/L];» c = [0 1];» d = 0;» offenerKreis = ss(A, b, c, d);» rlocus(offenerKreis); ...erzeugt Abb. A.68» rlocfind(offenerKreis) Punkt auf Wurzelortskurve auswählen

ans =200.05

Diskussion. Die Wurzelortskurve zeigt ferner das erwartete Ergebnis, dass für keinenWiderstandswert ein oder beide Eigenwerte positiven Realteil haben. Betrachtet man dieKonstruktionsvorschriften für dieWurzelortskurve, so wird offensichtlich, dass der „offeneSchwingkreis“ eine Nullstelle im Ursprung des Koordinatensystems oder auf der negativenreellen Achse haben muss, damit man dieses Ergebnis erhält. Wie die Abbildung zeigt,liegt die Nullstelle im Ursprung.

Aufgabe10.17 Dämpfung der Rollbewegung eines Schiffes

1. Abbildung A.69 zeigt das Blockschaltbild des Regelkreises. Im Schiff als Regelstreckewirkt der Stabilisator als Stellglied, das ein Moment erzeugt, dass der Rollbewegung entge-gen wirken soll. Der Stabilisator wird durch ein P-Glied mit dem Verstärkungsfaktor kStabdargestellt.

Die umrandeten Blöcke bilden gemeinsam ein schwingungsfähiges PT2-Glied. Dassdieses System als eine Reihenschaltung dargestellt wird, dessen dritter Block ein I-Gliedist, ergibt sich aus der Tatsache, dass nicht der Rollwinkel ϕ(t), sondern die Winkelge-schwindigkeit ϕ(t) gemessen und zurückgeführt wird. Die Reihenschaltung von Stabilisa-tor und Schiffskörper wird bei dieser Näherung folglich durch ein DT2-Glied beschrieben.


Die gemessene Rollgeschwindigkeit ϕ wird über einen proportionalen Regler kP anden Stabilisator geführt, der ein der Stellgröße proportionales Moment auf den Schiffskör-per erzeugt. Der zugehörige Proportionalitätsfaktor kStab wird zusammen mit der Regler-verstärkung zum Faktor k = kStab · kP zusammengefasst. Das von einer Welle oder einerWindböe erzeugte Moment wirkt additiv zu dem vom Stabilisator erzeugten Moment aufden Schiffskörper.

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Abb. A.69: Blockschaltbild des Stabilisators

2. Die in Abb. A.69 gezeigte Reihenschaltung von Schiffskörper und I-Glied bilden ein PT2-Glied mit der Übertragungsfunktion (6.111)

GSchiff(s) =ks

1ω20s2 + 2d

ω0s+ 1

,

für das der Dämpfungsfaktor d = 0,1 vorgegeben ist. Die Kreisfrequenz ω0 kann manfolgendermaßen aus der beobachteten Periodendauer ermitteln. Entsprechend Gl. (6.115)schwingt das PT2-Glied nach einer Anregung durch eine Welle mit der Frequenz f , für die

2πf = ω0

√1− d2

gilt. Die beobachtete Periodendauer von 6 Sekunden ist der Kehrwert der Frequenz f , sodass sich ω0 aus

ω0 =2π6√

1− 0,12= 1,05

rad

s

ergibt. Die statische Verstärkung ks muss man an die Vorgabe anpassen, dass eine impuls-förmige Welle (u(t) = δ(t)) einen maximalen Rollwinkel von 3o erzeugt.

Zur Berechnung der Rollbewegung muss zunächst das Modell definiert werden:

» z = 3.3; % statische Verstärkung ks» omega = 1.05;» T = 1/omega;» d = 0.1;» n = [T*T, 2*d*T, 1];» Schiff = tf(z, n);

Die Rollbewegung nach einer impulsförmigen Anregung des Schiffs durch eine Welle zurZeit t = 0 kann man dann mit der Funktion impulse als Gewichtsfunktion des PT2-Gliedes berechnen:

Aufgabe 10.17 703

Abb. A.70: Rollbewegung des ungeregelten Schiffes beiimpulsförmiger Anregung

» impulse(Schiff);

Wie man aus Abb. A.70 erkennt, ist ks = 3,3 eine geeignete Parameterwahl.

3. Da der Regler nicht den Rollwinkel, sondern die Rollgeschwindigkeit zurückführt, zeich-net man die Wurzelortskurve für G(s) = sGSchiff(s) mit der Funktion rlocus und erhältAbb. A.71:

» z1 = z*[1 0];» sSchiff = tf(z1, n);» rlocus(sSchiff);

Die Reglerverstärkung k wählt man mit der Funktion rlocfind so aus, dass für die Pole

cos φd = d = 0,7

gilt, die Pole also auf Dämpfungsgeraden mit dem Winkel von 45o liegen. Dabei erhältman etwa k = 0,38:

» rlocfind(sSchiff)ans =

0.38

Wenn man den Parameter kStab des Stabilisators kennt, kann man aus diesem Wert für kdie Reglerverstärkung kP = k

kStabbestimmen.

Abb. A.71: Wurzelortskurve des Stabilisatorregelkreises (Pole �bei k = 0,35)


4. Für das Störverhalten des stabilisierten Schiffes muss man zunächst die Übertragungsfunk-tion

Gd(s) =GSchiff(s)

1 + k · s ·GSchiff(s)

aufstellen

» kD = 0.38;» nd = n + [0 kD*z 0];» Gd = tf(z, nd);

und kann mit dieser dann die in Abb. A.72 (oben) im gleichen Maßstab wie in Abb. A.70gezeigte Gewichtsfunktion berechnen:

» impulse(Gd);

Wie gefordert bewegt sich das Schiff nach eine impulsförmigen Erregung durch eine Wellezur Zeit t = 0 ohne Überschwingen in die senkrechte Position zurück. Die dafür vomRegler zusammen mit dem Stabilisator erzeugte Moment auf den Schiffskörper ist im un-teren Teil der Abbildung zu sehen. Da der Regler die Rollbeschleunigung proportionalzurückführt, hat das Moment bereits zur Eingriffszeit t = 0 der Welle einen von nullverschiedenen Wert.

Abb. A.72: Bewegung des stabilisierten Schiffes bei impulsförmigerAnregung

5. Abbildung A.73 zeigt einen Vergleich der Störübertragungsfunktionen des geregelten unddes ungeregelten Schiffes. Die Resonanzüberhöhung wird durch den Stabilisator vollstän-dig abgebaut. Die verwendeten MATLAB-Befehle sind im Programm A.3 zusammenge-fasst.

6. Durch eine impulsförmige Störung (z. B. eine Windbö) wird die Schwingung des Schiffesangeregt, aber die Störung hat keine bleibende Wirkung auf das Schiff. Nach dem Abklin-gen der Störwirkung kehrt das Schiff in die stabile, senkrechte Ruhelage zurück. Dort istdann auch ϕ = 0, so dass der Regler keine Wirkung mehr hat.

Diskussion. Die Störübertragungsfunktion zeigt, dass das Schiff langsamen Erregungenvollständig folgt. Dies ist aufgrund der verwendeten proportionalen Rückführung nicht ver-wunderlich. Dass man diese einfache Regelung verwendet, liegt an der Tatsache, dass die das

Aufgabe 10.17 705

Abb. A.73: Bodediagramm des ungeregelten (—) und desstabilisierten Schiffes (- - -)

Schiff maßgebend anregenden Wellen in einem Frequenzbereich oberhalb von ω = 1 rads

lie-gen. Tieferfrequente Wellen sind nicht so hoch, so dass sie bei großen Schiffen keine spürbare

Programm A.3 Lösung der Aufgabe 10.17: Dämpfung der Rollbewegung eines Schiffes

Festlegung von GSchiff(s)» z = 3.3;» omega = 1.05;» T = 1/omega;» d = 0.1;» n = [T*T, 2*d*T, 1];» Schiff = tf(z, n);

» impulse(Schiff); ...erzeugt Abb. A.70» bode(Schiff); ...erzeugt durchgezogene Kurve in Abb. A.73

Zeichnen der Wurzelortskurve» z1 = z*[1 0];» sSchiff = tf(z1, n);» rlocus(sSchiff); ...erzeugt Abb. A.71» rlocfind(sSchiff) Punkt auf Wurzelortskurve auswählen

ans =0.38

Analyse des stabilisierten Schiffes» kD = 0.38;» nd = n + [0 kD*z 0];» Gd = tf(z, nd);» impulse(Gd); ...erzeugt Abb. A.72

» bode(Gd); ...erzeugt gestrichelte Kurve in Abb. A.73


Rollbewegung auslösen. Wie man sieht, unterdrückt die Regelung den wichtigen Frequenz-bereich wirksam. Dass nur wenige Teilnehmer an Kreuzfahrten seekrank werden, ist auf dashier (vereinfacht) beschriebene Wirkprinzip des Stabilisators zurückzuführen.

Die angegebenen Lösungsschritte dieser Regelungsaufgabe sind nicht nur für das hierbetrachtete Schiff, sondern auch für größere Schiffe zweckmäßig. Wiederholen Sie die Mo-dellbildung und den Reglerentwurf für Schiffe mit einer Rollperiode von 20 Sekunden.

Bei der praktischen Realisierung muss man darauf achten, dass die vom Stabilisator aus-gehende Kraftwirkung von der Fahrgeschwindigkeit abhängt. Mit einem fest eingestelltenRegler hat man deshalb bei höherer Geschwindigkeit eine größere Kreisverstärkung als beikleinerer Geschwindigkeit. Um dieser Veränderung der Kreisverstärkung entgegen zu wirken,wird die Reglerverstärkung der Fahrgeschwindigkeit angepasst.

Bei sprungförmigen Störungen (z. B. andauernden Seitenwind) bewirkt die Rückführungder Winkelgeschwindigkeit ϕ, dass das Schiff stationär nicht in der senkrechten Lage, sondernin einer von der Störung bestimmten Lage ϕ �= 0 fährt. Man verhindert diese Regelabwei-chung nicht, weil dafür eine sehr hohe Energie notwendig wäre. Das Fahren in einer schrägen,aber ruhigen Lage ist für die Passagiere gut zu ertragen, weil die Seekrankheit nicht durch dieLage ϕ �= 0, sondern durch die Bewegung ϕ �= 0 hervorgerufen wird.

Aufgabe 11.7 Dämpfung der Rollbewegung eines Flugzeugs

1. Die Regelstrecke hat I2-Verhalten mit dem in Abb. A.74 angegebenen Bodediagramm.Impulsförmige Störungen 0,1δ(t) am Eingang der Regelstrecke können als rampenförmi-ge Störungen 0,2t am Streckenausgang dargestellt werden. Damit lässt sich die auf denAusgang wirkende Störung nicht durch ein PT1-Glied mit sprungförmiger Eingangsgrößedarstellen, wie es in Abb. 11.7 vorausgesetzt wurde. Die hier betrachtete Dämpfung derRollbewegung passt also nicht genau zu der im Abschn. 11.1.4 untersuchten Entwurfsauf-gabe.

2. Für diese Art von Störungen erfüllt die offene Kette mit I2-Strecke und P-Regler dasInnere-Modell-Prinzip. Das heißt, das Innere-Modell-Prinzip schreibt keine bestimmteReglerstruktur (z. B. I-Anteile) vor. Wenn der Regelkreis stabil ist, gibt es keine bleibendeRegelabweichung.

3. Um die Güteforderungen in Vorgaben für das Frequenzkennliniendiagramm der offenenKette umzurechnen, wird zunächst aus Abb. 11.9 auf S. 543 für Δe ≈ 0 abgelesen,dass die Dämpfung d größer als 0,7 sein muss. Daraus erhält man für den Knickpunktab-stand a = 4d2 ≥ 2. Dies sind Richtwerte, die sich als zweckmäßig erweisen werden trotzder im ersten Schritt der Aufgabe erkannten Unterschiede zwischen der hier betrachtetenEntwurfsaufgabe und der den Diagrammen zugrunde liegenden Regelkreisstruktur.

Wenn man für die Vorgaben für em aus Abb. 11.9 (links) die Forderung TΣT

≈ 1abliest und beachtet, dass die auf den Ausgang transformierte Störung näherungsweisedurch eine sprungförmige Störung, die über ein Verzögerungsglied mit der Zeitkonstan-ten TΣ = 0,5 s geführt wird, erzeugt werden kann, erhält man für die Schnittfrequenz

ωs =1

2dT=

1

1,4T≈ 1,5

rad

s.

Aufgabe 11.7 707

Abb. A.74: Bodediagramm des Flugzeugs als Regelstrecke

4. Die Regelstrecke hat zwar die gewünschte Schnittfrequenz, nicht jedoch den Knick-punktabstand. Der zu verwendende Regler muss den Amplitudengang oberhalb der Schnitt-frequenz flacher machen, was durch ein differenzierendes Korrekturglied nach Abb. A.75geschehen kann:

K(s) = 2,5s + 0,7

s+ 4.

Abb. A.75: Bodediagramm des Reglers

Abbildung A.76 zeigt das Bodediagramm der offenen Kette. Der daraus entstehendeRegelkreis ist stabil, denn er weist einen Phasenrand von etwa 40o auf.

Das Störverhalten des Regelkreises bei der betrachteten impulsförmigen Störung zurZeit t = 0 ist in Abb. A.77 als durchgezogene Linie dargestellt. Die Abbildung zeigt,dass der Regelkreis die gegebenen Güteforderungen näherungsweise erfüllt. Die Stellgrößewird zur Zeit t = 0 sprungförmig der Störung angepasst, weil der verwendete Regler einsprungfähiges System ist.


Abb. A.76: Bodediagramm der offenen Kette

Abb. A.77: Störverhalten des Flugregelkreises

Abb. A.78: Bodediagramm der offenen Kette bei Berücksichtigungdes Messgliedes

5. Das Stellglied verändert den Regelkreis nur geringfügig, weil die Zeitkonstante von0,05 Sekunden sehr klein ist gegenüber den anderen auftretenden Zeitkonstanten. Abbil-dung A.78 zeigt das Bodediagramm der offenen Kette mit Messglied (durchgezogene Li-nie) im Vergleich zur offenen Kette ohne Messglied (gestichelte Linie). Die Reaktion des

Aufgabe 11.8 709

Regelkreises auf Störungen ist nur geringfügig langsamer als ohne Messglied, wie die ge-strichelte Kurve in Abb. A.77 zeigt. Auch mit Messglied sind die Güteforderungen erfüllt.

Abb. A.79: Bodediagramm der Regelstrecke und gewünschterAmplitudengang der offenen Kette

Aufgabe11.8 Entwurf einer Abstandsregelung für Fahrzeuge

1. Da eine Erhöhung der Motorleistung eine Verkleinerung des Abstandes zur Folge hat, stehtim Zähler der Übertragungsfunktion der Regelstrecke ein Minuszeichen. Deshalb mussauch der Regler mit einem negativen Vorzeichen versehen werden. Im Folgenden wird mitpositivem Zähler von G(s) und ohne Minuszeichen vor K(s) gearbeitet. Abbildung A.79zeigt das Frequenzkennliniendiagramm der Regelstrecke.

Die Forderung nach überschwingfreiem Einschwingen bedeutet entsprechendAbb. 11.3 auf S. 536, dass der Knickpunktabstand die Bedingung a ≥ 3 erfüllen muss. Ausder Vorgabe für die Einschwingzeit erhält man die Bedingung, dass die Schnittfrequenz beiωs ≈ 0,3 liegen soll, denn für das überschwingfreie Verhalten kann man näherungsweiseT5% ≈ Tm setzen und Gl. (11.6) anwenden.

Der angestrebte Amplitudengang der offenen Kette ist in Abb. A.79 durch die obe-re gestrichelte Kurve eingetragen. Dieser Amplitudengang soll in zwei Schritten erhaltenwerden. Erstens wird die jetzt bei 0,04 liegende Knickfrequenz nach ω1 = 0,9 verschoben,wofür ein differenzierendes Korrekturglied

K1(s) =

10,04

s+ 110,9

s+ 1

notwendig ist. Dabei entsteht die untere gestrichelte Kurve. Zweitens wird der Amplitu-dengang durch eine Proportionalverstärkung kP = 10 um 20 dB angehoben, so dass dieSchnittfrequenz bei 0,3 rad

sund der Knickpunktabstand bei 3 liegt.

Abbildung A.80 zeigt das Bodediagramm der offenen Kette, wobei der vor der Verstär-kungserhöhung erreichte Amplitudengang gestrichelt dargestellt ist. Die Kurven stimmen


Abb. A.80: Bodediagramm der offenen Kette

bis auf den runderen Verlauf in der Nähe der Knickfrequenz mit den in Abb. A.79 ge-strichelt eingetragenen Geradenapproximationen überein. Die Phase liegt jetzt zwischen−90o und −180o, weil das Minuszeichen im Zähler durch das entsprechende Vorzei-chen im Regler berücksichtigt wurde. Aufgrund dieser Tatsache muss an Stelle des Reg-lers kPK1(s) mit dem Regler

K(s) = −kPK1(s) = −1025s + 1

1,11s + 1

gearbeitet werden.

Abb. A.81: Führungsübergangsfunktion des Abstandsregelkreises

Abbildung A.81 zeigt die Führungsübergangsfunktion. Der Abstand wird forderungs-gemäß ohne Überschwingen in etwa 10 Sekunden auf den neuen Sollwert geführt. DieStellgröße folgt der Sollwertänderung zum Zeitpunkt t = 0 sofort, weil der Regler einsprungfähiges System ist.

Man könnte auch auf die Idee kommen und mit einem PD-Regler den Knick im Am-plitudengang der Regelstrecke aufheben, so dass eine reine I-Kette übrig bleibt. Der ge-schlossene Regelkreis wäre dann ein PT1-Glied, das natürlich kein Überschwingen er-zeugt. Ein derartiger PD-Regler hätte die Übertragungsfunktion K(s) = 1

0,04s + 1, was

Aufgabe 11.8 711

gerade dem Zählerpolynom des bisher betrachteten differenzierenden Korrekturgliedesentsprechend würde. Da man bei der technischen Realisierung des PD-Regler wieder einNennerpolynom (also einen Verzögerungsanteil mit kleiner Zeitkonstante) einführen muss,kommt man aber wieder zur selben Lösung wie vorher.

2. Die bisher am Bodediagramm durchgeführten Überlegungen lassen sich im PN-Bild fol-gendermaßen durchführen. Aufgrund der Güteforderungen an das Führungsverhalten mussdie Dämpfung in der Nähe von eins liegen, die Pole des geschlossenen Kreises also reellsein oder sehr kleine Imaginärteile besitzen. Die Beruhigungszeit von T5% = 10 s führtentsprechend Gl. (10.7) auf die Forderung δe ≈ 0,3.

Abb. A.82: Wurzelortskurve mit P-Regler bzw. mit differenzierendemKorrekturglied

Wie die linke Wurzelortskurve in Abb. A.82 zeigt, sind diese Güteforderungen durcheinen P-Regler nicht erfüllbar. Man muss versuchen, den linken Pol gegen eine Nullstellezu kürzen und einen weiter links liegenden Pol einzuführen, so dass sich auch der Schnitt-punkt der Asymptoten mit der reellen Achse nach links verschiebt. Diese Wirkung hat dieVerwendung des differenzierenden Korrekturgliedes K1(s).

Der rechte Teil von Abb. A.82 zeigt die Wurzelortskurve für G0(s) = G(s)K1(s).Der Schnittpunkt der Asympoten mit der reellen Achse liegt jetzt bei −0,45. Die Polekönnen durch geeignete Wahl der Reglerverstärkung so ausgewählt werden, dass sie beideeinen Realteil kleiner als−0,3 und kleine Imaginärteile haben. Die beim Entwurf mit demFrequenzkennliniendiagramm ausgewählte Verstärkung von kP = 10 legt die Pole an diein der Abbildung gezeigten Stellen, in denen sie ein näherungsweise überschwingfreiesVerhalten erzeugen.

Hätte man die Regelungsaufgabe von vornherein mit dem Wurzelortskurvenverfah-ren gelöst, so hätte man entsprechend Gl. (10.6) auf S. 493 reelle Pole erzeugt, dennnur für diese verschwindet das Überschwingen vollständig. Aus dieser Formel geht aberauch hervor, dass für die hier erhaltene Pollage −0,45± j0,15 die Überschwingweite denWertΔh ≈ 0,0001 hat und damit praktisch nicht sichtbar ist.

Diskussion. Das Innere-Modell-Prinzip schreibt für diese Regelungsaufgabe keine bestimm-te Struktur für den Regler vor. Es kann mit einem proportional wirkenden Regler gearbeitetwerden, da die Regelstrecke integrales Verhalten besitzt. Dies heißt jedoch nicht, dass zur Er-füllung der Dynamikforderungen an den Regelkreis keine dynamische Elemente in den Reglereingefügt werden müssen. Bei diesem Beispiel zeigen Bodediagramm und Wurzelortskurve,dass ein differenzierendes Korrekturglied verwendet werden muss, um die gewünschte Ein-schwingzeit zu erreichen. Der Regler hat damit weiterhin proportionales Verhalten.


Dass als Regler ein differenzierendes Korrekturglied verwendet werden muss, konnte mandirekt aus dem Bodediagramm erkennen. Dieser Regler hat aber auch eine offensichtlichetechnische Interpretation. Er besitzt keinen integralen Anteil, da die Regelstrecke integralesVerhalten besitzt. Der über einen bestimmten Frequenzbereich wirkende differenzierende An-teil ist notwendig, um den Regelkreis schnell genug zu machen, so dass Störungen ohne Über-schwingen abgebaut werden können. Die Wirkung dieses Anteils kann man sich anschaulichdadurch vergegenwärtigen, dass der Regler aus dem Fahrzeugabstand durch Differentiationdie Relativgeschwindigkeit beider Fahrzeuge bestimmt. Reagiert der Regler bereits auf die-se Geschwindigkeit (und nicht erst auf den sich durch diese Geschwindigkeit veränderndenAbstand), so kann er die Regelabweichung schneller abbauen.

Aufgabe 11.10 Regelung der Leerlaufdrehzahl eines Verbrennungsmotors

1. Abbildung A.83 zeigt das Blockschaltbild des Verbrennungsmotors mit den Übertragungs-funktionen

Ga(s) =ka

Tas+ 1, Gω(s) =

1

Js+ γund Gm(s) =

1

Tms+ 1.

Abb. A.83: Blockschaltbild des Verbrennungsmotors

2. Die sprungförmige StörungML(t)mit der Amplitude d wirkt über die Übertragungsfunk-tion

Gyd(s) =− 60

2π

(J s+ γ)(Tms+ 1)≈ Gyd(s) =

kydTΣs+ 1

mit TΣ = Tm + Jγ= 0,173 s und kyd = − 60

2πγ= −22,2 1

Nmsauf die Regelgröße. Aus

den Forderungen

em!≤ 80

d· 2πγ60

= 0,31

minund Δe

!≤ 20

d· 2πγ

60= 0,075

1

min

folgt entsprechend Abb. 11.9 auf S. 543 Tr ≈ 2,9 und d ≈ 0,5, so dass die offene Kettedie Kennwerte T = TΣ

Tr= 0,0596 s,

ωs =1

2dT= 16,8

rad

sund ω1 = 4d2ωs = 16,8

rad

s

besitzen muss. Da die Störung den Motor bremst, wurden die Kenngrößen betragsmäßigbetrachtet.

Aufgabe 11.10 713

Abb. A.84: Bodediagramm der Regelstrecke (—) und dergewünschten offenen Kette (- - -)

3. Abbildung A.84 zeigt das Bodediagramm der Regelstrecke und das Wunschverhalten deroffenen Kette. Da ωs � 1

Tmgilt, kann die Messverzögerung vernachlässigt und die Stre-

ckenübertragungsfunktion auf

G(s) ≈ G(s) =60

2πGω(s)Ga(s) =

60ka2πγ

(Ta s+ 1)( Jγs+ 1)

reduziert werden. Die Strecke hat zwei Pole bei

s1 = − 1

Ta= −2,5

rad

sund s2 = − γ

J= −6,14

rad

s.

Um das gewünschte IT1-Verhalten der offenen Kette zu erzeugen, wird ein PI-ReglerKPI(s) = kP

Tas+1s

, dessen Nullstelle mit dem Pol s1 übereinstimmt, und ein Korrek-turglied verwendet, das zwischen den Frequenzen s2 und ω1 den Abfall der Amplituden-kennlinie auf −20 dB

Dek.begrenzt:

K(s) = kPTa s+ 1

s︸︷︷︸KPI(s)

·Jγs+ 1

1ω1

s+ 1.

Aus der Forderung |G0(jωs)| = |G(jωs)K(jωs)| = 1 erhält man die Proportionalver-stärkung des Reglers:

kP =ωs

√(ωsω1

)2

+ 1

60ka2πγ

= 0,0093.

Abbildung A.85 zeigt, dass der Regelkreis das gewünschte Verhalten besitzt.


Abb. A.85: Störverhalten des Leerlaufdrehzahlregelkreises beiLaständerung ML(t) = dσ(t)

Aufgabe 13.3 Modell des Regelkreises mit Hilfsregelgröße

Aus Abb. 13.3 auf S. 600 erhält man die Gleichungen

Y (s) = G2(s)GyHd(s)D(s) +G2(s)G1(s)U(s)

YH(s) = GyHd(s)D(s) +G1(s)U(s)

U(s) = K(s) (W (s)− Y (s))−Ky(s)YH(s).

Daraus folgen durch Einsetzen die Beziehungen

YH = GyHdD +G1KW −G1KY −G1KyYH

YH =GyHd

1 +G1KyD +

G1K

1 +G1KyW − G1K

1 +G1KyY,

und

U = KW −KY −Ky

(GyHd

1 +G1KyD +

G1K

1 +G1KyW − G1K

1 +G1KyY

)

=

(K −Ky

G1K

1 +G1Ky

)W −

(K −Ky

G1K

1 +G1Ky

)Y −Ky

GyHd

1 +G1KyD

=K

1 +G1KyW − K

1 +G1KyY − GyHdKy

1 +G1KyD

sowie

Y = G2GyHdD +G2G1 ·(

K

1 +G1KyW − K

1 +G1KyY − GyHdKy

1 +G1KyD

)

Y

(1 +G1G2

K

1 +G1Ky

)=

(G2GyHd −G2G1

GyHdKy

1 +G1Ky

)D +

+G2G1

(K

1 +G1Ky

)W

Y =G2GyHd

1 +G1Ky +G1G2KD +

G1G2K

1 +G1Ky +G1G2KW.

Diese Gleichungen führen auf die in der Aufgabenstellung angegebenen Übertragungsfunk-tionen des Regelkreises.

Aufgabe 13.6 715

Aufgabe13.6 Kaskadenregelung des Fahrzeugabstandes

Abbildung A.86 zeigt die Kaskadenregelung. Der innere Regelkreis soll die Fahrzeugge-schwindigkeit v2 auf dem Sollwert wv halten, der als konstante bzw. sich langsam änderndeGröße angenommen wird. Die sprungförmige Störung aBσ(t) durch die Hangabtriebskraftbleibt eine sprungförmige Störung, wenn man sie an den Ausgang der Regelstrecke des inne-ren Regelkreises transformiert. Die offene Kette muss deshalb I-Verhalten besitzen, wenn maneine bleibende Regelabweichung vermeiden will. Da die Regelstrecke proportionales Verhal-ten hat, muss der ReglerKv(s) einen I-Anteil 1

senthalten. Der Reglerentwurf besteht deshalb

in der Wahl eines Geschwindigkeitsreglers Kv(s), für den der Geschwindigkeitsregelkreisstabil ist und durch den die Geschwindigkeit ausreichend schnell dem Sollwert wv angepasstwird.

. .

/ 0 � � �

�� ( � 9 0 � ( 3 $ 4 � 9 3 $ 4

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. ..

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� � � * � ( � � � � � � �

/ 0 � � �

�0 �� 9� ( � 9 3 $ 4� ( 3 $ 4

Abb. A.86: Kaskadenregelung des Fahrzeugabstandes

Für die Abstandsregelung ist maßgebend, dass der innere Regelkreis zu einem propor-tionalen Übertragungsglied mit der Übertragungsfunktion Gv(s) zusammengefasst werdenkann. Um einen Anfangsabstand d0 auszugleichen, der als impulsförmige Störung d0δ(t)interpretiert werden kann (vgl. Aufg. 7.7), und um Sollwertfolge bezüglich der sprungför-migen Führungsgröße wd zu erreichen, ist ein P-Regler ausreichend, weil die RegelstreckeI-Verhalten hat. Ein I-Anteil ist im Regler Kd(s) notwendig, um den Abstand trotz einersprungförmigen Störung v1σ(t), die am Ausgang der Regelstrecke als rampenförmige Stö-rung v1t wirkt, auf dem Sollwert zu halten.

Diskussion. Der Vorteil der Kaskadenregelung gegenüber einer Abstandsregelung ohne un-terlagerte Geschwindigkeitsregelung resultiert aus der Zerlegung der Regelungsaufgabe inzwei Teilaufgaben, die sich einfacher lösen lassen als die Gesamtaufgabe. Da auch die Ge-schwindigkeitsmessung keine technisch schwierigen Probleme aufwirft, ist es sehr zweck-mäßig, zunächst in einem unterlagerten Regelkreis mit der relativ kurzen Ursache-Wirkungs-


Kette von f zu v2 die Geschwindigkeit zu regeln und dann die Abstandsregelung unter Ver-wendung des Geschwindigkeitssollwertes wv als Stellgröße zu realisieren.

Dieser ingenieurtechnisch offensichtliche Vorteil ist auch aus einem Vergleich der Kom-plexität der beiden Teilaufgaben mit der der Gesamtaufgabe erkennbar. Die Abstandsrege-lung ohne unterlagerte Geschwindigkeitsregelung führt auf eine I2-Kette (vgl. Aufg. 7.7 aufS. 676), die nur bei starker Phasenanhebung zu einem stabilen Regelkreis geschlossen wer-den kann. Demgegenüber muss beim Geschwindigkeitsregelkreis eine offene Kette mit I-Verhalten stabilisiert werden, was deutlich einfacher ist. Der Entwurf des äußeren Regelkrei-ses erfordert dann lediglich die Wahl eines PI-Reglers für eine integral wirkende Regelstrecke.Insgesamt stecken in der Reihenschaltung von Abstandsregler und Geschwindigkeitsreglerwieder zwei Integratoren. Das Gesamtsystem kann jedoch in zwei Schritten stabilisiert wer-den, was auch bedeutet, dass die für das Gesamtsystem notwendige Phasenanhebung in zweiSchritten vorgenommen wird.

AufgabeA4.5 Entwurf der Kompensationsrückführung im Airbag-Sensor

Lösungsweg. Zur Lösung der Aufgabe kann das Kompensationsprinzip entweder als Regel-kreis zur Störkompensation entsprechend Abb. A4.4 oder nach Umzeichnen des Blockschalt-bildes als Regelkreis zur Sicherung der Sollwertfolge (A4.1) aufgefasst werden. Hier wirddie zweite Methode beschrieben, weil bei dieser Darstellung die Aufgabe des Sensors, dieMessgröße am(t) der aktuellen Beschleunigung a(t) anzupassen, besser sichtbar wird. Derumgezeichnete Regelkreis ist in Abb. A.87 zu sehen.

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.

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Abb. A.87: Umgezeichnetes Blockschaltbild des Sensors

Um dem Standardregelkreis möglichst nahe zu kommen, wurde die Mischstelle mit demMinuszeichen verschoben und a und Fa durch −a bzw. −Fa ersetzt. Die Nichtlinearität wirddurch ein P-Glied mit dem Verstärkungsfaktor k3 dargestellt. Dieses Glied würde im Rück-führzweig liegen, wenn man uc als Regelgröße verwenden würde. Da ein solcher Block imStandardregelkreis nicht vorgesehen ist, wird statt dessen mit Fe als Regelgröße und −Fa alsFührungsgröße gearbeitet. Aus Fe kann am entsprechend

am(t) =1

mFe(t) (A.79)

bestimmt werden. Der Vorwärtszweig in Abb. A.87 kann noch so umgeordnet werden, dassder durch den Integrator und das P-Glied mit der Verstärkung kI dargestellte Regler wie üblichhinter der Mischstelle und die durch das Schwingungsglied und das P-Glied mit der Verstär-kung k3 beschriebene Regelstrecke rechts davon liegt.

Aufgabe A4.5 717

Die Aufgabe kann nun in folgenden Schritten gelöst werden:

1. Stellen Sie die Übertragungsfunktion für alle Elemente des Kompensationskreises auf.

2. Zeichnen Sie das Bodediagramm für die offene Kette (mit kI = 1).

3. Bestimmen Sie aus den Anforderungen an die Dynamik des Kompensationskreises denerwünschten Amplitudengang der offenen Kette und daraus die Rückführverstärkung kI.

4. Zeichnen Sie die Sensorausgangsgröße am(t) für a = 3gσ(t), bewerten und korrigierenSie gegebenenfalls Ihr Entwurfsergebnis.

5. Bestimmen Sie nun das lineare Näherungsmodell der Nichtlinearität, wenn die Beschleu-nigung an Stelle von 3g den Wert 20g besitzt.

6. Zeichnen Sie die Sensorausgangsgröße am(t) für a = 20gσ(t) unter Verwendung desneuen Näherungsmodells der Nichtlinearität, aber des alten Wertes für kI und bewertenSie das Ergebnis. Ist der Kompensationskreis robust in dem Sinne, dass die für a = 3gentworfene Rückführung auch für a = 20g eingesetzt werden kann?

Beachten Sie, dass für die Aufstellung des Lösungsweges keine Rechenschritte unternommenwerden müssen, sondern der Lösungsweg direkt aus einer Betrachtung des Blockschaltbildesabgeleitet werden kann.

Abb. A.88: Linearisierung des nichtlinearen Zusammenhangeszwischen uc und Fe

Lösung. Im Folgenden wird die Zeit in Sekunden, die Masse in Kilogramm, der Weg inMetern, die Kraft in Newton und die Spannung in Volt angegeben.

1. Für die Pole des PT2-Gliedes

G(s) =ks

T 2s2 + 2dTs+ 1

erhält man entsprechend Gl. (6.115)

s1/2 = −ω0d± ω0

√d2 − 1 = −25000 ± 43301j.

Die statische Verstärkung ergibt sich aus

ks =1

F50a= 81,55,

wobei Fa50 = 50gm die Kraft bei einer Beschleunigung von 50g ist. Damit gilt

G(s) =81,55

4 · 10−10s2 + 2 · 10−5s+ 1.


Den Proportionalitätsfaktor α in der nichtlinearen Beziehung

Fe = αu2c

erhält man aus dem Betriebsfall amax = 50g. Dabei wirkt auf die mittlere Elektrode dieKraft Fa50, die durch eine gleichgroße Kraft Fe50 kompensiert werden muss. Dafür stehtdie Maximalspannung von ucmax = 10 zur Verfügung (Abb. A.88). Es gilt also

α =50gm

u2cmax

= 0,0012.

Die Nichtlinearität wird für den Betriebsfall a = 3g durch die lineare Beziehung

Fe = k3uc

ersetzt. Für diesen Betriebsfall wird die Kompensationskraft

Fe = Fe3 = 3gm

durch die Spannung

uc = uc3 =

√Fe3

α

erzeugt, so dass man für den Verstärkungsfaktor k3

k3 =Fe3

uc3=

√3gmα = 0,003 (A.80)

erhält. Die quadratische Kennlinie wird also durch die untere lineare Kennlinie in Abb. A.88ersetzt.

Der Proportionalitätsfaktor des P-Gliedes ganz links im Blockschaltbild istm. Für denBlock ganz rechts erhält man entsprechend Gl. (A.79) den Faktor 1

m. Am E/A-Verhalten

des Kompensationskreises ändert sich nichts, wenn man beide Blöcke weglässt und damitzum Standardregelkreis übergeht.

Abb. A.89: Frequenzkennlinien der offenen Kette

Aufgabe A4.5 719

2. Die offene Kette ist durch

G0(s) = G(s) k3kIs

=0,245kI

4 · 10−10s3 + 2 · 10−5s2 + s

beschrieben, woraus man für kI = 1 die in Abb. A.89 mit den durchgezogenen Liniendargestellten Frequenzkennlinien erhält. Bei der Knickfrequenz ω0 = 5·104 rad

sverändert

sich die Neigung des Amplitudenganges von −20 dB/Dekade auf −60 dB/Dekade.

3. Der Kompensationskreis muss bezüglich seines Führungsverhaltens entworfen werden.Der Sensor soll innerhalb von 100μs eine Beschleunigung detektieren, die größer als 3gist. Diese Forderung kann dadurch realisiert werden, dass der Kreis für ein kleines Über-schwingen (Δh ≈ 10%) und die Überschwingzeit Tm ≈ 10−4 s entworfen wird. Entspre-chend Abb. 11.3 bzw. Gl. (11.6) auf S. 537 muss der Einstellfaktor a größer als 1,5 seinund die Schnittfrequenz bei ωs ≈ 3 · 104 rad

sliegen.

Um den Amplitudengang der offenen Kette an diese Vorgaben anzupassen, steht nurein frei wählbarer Parameter kI zur Verfügung. Daher kann man die Kenngrößen nichtgenau, sondern nur näherungsweise erreichen. Verschiebt man den in Abb. A.89 mit derdurchgezogenen Linie dargestellten Amplitudengang um 100 dB nach oben, so liegt dieSchnittfrequenz bei ωs = 2·104 rad

s, während die Knickfrequenz bei 5·104 rad

sbleibt. Der

Abstand der Knickfrequenz von der Schnittfrequenz ist also größer, als es durch den Ein-stellfaktor von 1,5 vorgegeben ist. Der Amplitudengang hat oberhalb der Knickfrequenzjedoch nicht die gewünscht Neigung von −40 dB/Dekade, sondern −60 dB/Dekade.

Der entstehende Amplitudengang ist in Abb. A.89 durch die gestrichelte Linie gezeigt.Der Abstand beider Kurven entspricht

kI = 75 000 ≈ 100 dB.

Abb. A.90: Messergebnis bei Beschleunigung 3g

4. Abbildung A.90 zeigt die Ausgangsgröße des Sensors für die Führungsgröße a(t) =3gσ(t). Die Dynamik erfüllt die angegebenen Forderungen.

5. Linearisiert man die Nichtlinearität für a = 20g, so erhält man

Fe = k20uc

mitk20 =

√20gmα = 0,0078

(vgl. Gl. (A.80)). Die nichtlineare Kennlinie wird jetzt also durch die obere der beiden inAbb. A.88 eingetragenen Geraden angenähert. Das betreffende P-Glied hat eine größereVerstärkung als das der ersten Näherung.


Abb. A.91: Verschiebung des Amplitudenganges der offenen Kette

6. Ersetzt man im Kompensationskreis den Faktor k3 durch k20, so hat der offene Kreis einehöhere Verstärkung, die sich im Amplitudengang in einer Verschiebung nach oben bemerk-bar macht. Dies ist in Abb. A.91 durch den Übergang vom gestrichelten zum durchgezo-genen Amplitudengang veranschaulicht. Die Schnittfrequenz ωs wird vergrößert, was zueinem schnelleren Einschwingen des Kreises führt. Da der Phasengang durch die Verstär-kungserhöhung nicht beeinflusst wird, wird der Phasenrand des Kreises erheblich redu-ziert, was zu einem erheblichen Schwingen führt. Dies kann man auch bei Betrachtung desKnickpunktabstandes erkennen. Wie Abb. A.91 zeigt, ist die Knickfrequenz jetzt kleinerals die Schnittfrequenz, also a < 1, was entsprechend Abb. 11.6 zu einer hohen Über-schwingweite Δh führt.

Abb. A.92: Messergebnis bei a(t) = 20gσ(t)

Die durchgezogene Linie in Abb. A.92 zeigt das Messergebnis. Als gestrichelte Linieist im Vergleich dazu die auf den Endwert 20g bezogene Kurve aus Abb. A.90 eingetra-gen. Dieses Verhalten würde man erhalten, wenn der Zusammenhang zwischen uc und Fe

linear wäre. Durch die Nichtlinearität erhält der Kompensationskreis aber eine wesentlichehöhere Kreisverstärkung, die zu dem Schwingen führt.

Der Sensor ist robust gegenüber einer Veränderung des Arbeitspunktes in dem Sin-ne, dass er auch bei a = 20g das Überschreiten des Grenzwertes von 3g innerhalb dervorgegebenen Zeit signalisiert. Möglichkeiten zur Verbesserung des Verhaltens bei ho-hen Beschleunigungen und damit der Robustheit liegen einerseits in der Verwendung derPI- an Stelle der I-Rückführung sowie andererseits in einer konstruktiven Veränderungdes Sensors. Wenn man die Membran, die in der mikrosystemtechnischen Realisierungdie mittlere Platte der Kapazität trägt, verändert, modifiziert man die Parameter der PT2-Approximation und kann dann ebenfalls eine größere Robustheit des linearen Kreises er-reichen.

Aufgabe A4.6 721

AufgabeA4.6 Positionierung eines Radioteleskops

Hinweise zur Modellbildung. Die Modellierung der Elevationsbewegung erfolgt über denDrallsatz:

Js Φ(t) = u(t)−MR(t)−MA(t) +MG(t).

Js ist das Trägheitsmoment der beiden Gewichte um den Schwerpunkt, der im Drehpunkt derAntenne liegt und wie folgt berechnet wird:

Js = mA l2A +mG l2G.

Φ ist der Elevationswinkel. Das Antriebsmoment u des Elevationsantriebs greift inΦ-Richtungan. MR ist das geschwindigkeitsproportionale Reibmoment

MR(t) = kR Φ(t).

MA und MG sind die Momente, die durch die Gewichtskraft über die Hebel lA und lG aufden Drehpunkt wirken. Bei dem in Abb. A4.5 gezeigten Aufbau heben sich diese Momenteauf:

mA lA = mG lG.

Mit der Drehwinkelgeschwindigkeit ω = Φ ergibt sich aus dem Drallsatz die folgende Diffe-rentialgleichung für die Elevation:

Js ω(t) + kR ω(t) = u(t).

Hinweise zur Systemanalyse und zum Reglerentwurf. Gehen Sie in folgenden Schrittenvor:

1. Zeichnen Sie das Blockschaltbild der Regelstrecke. Welche Übertragungsglieder enthältdie Regelstrecke? Welches Übertragungsverhalten hat die Regelstrecke?

2. Stellen Sie das Zustandsraummodell der Regelstrecke mit dem Zustandsvektor

x(t) =

(Φ(t)

Φ(t)

)

auf.

3. Berechnen Sie zunächst das Übertragungsverhalten der Regelstrecke für impulsförmigeStellmomente u(t) = δ(t) und stellen Sie den Verlauf von Φ(t) in Grad dar. BeachtenSie die große Zeitkonstante des Systems.

4. Stellen Sie die Übertragungsfunktion der Regelstrecke G(s) = Y (s)U(s)

auf und geben Siedie Zahlenwerte der Parameter an.

5. Zeichnen Sie das Bodediagramm der Regelstrecke.

6. Zeichnen Sie das Blockschaltbild des geschlossenen Regelkreises. Nehmen Sie an, dassWindböen als impulsförmige Störgrößen wirken. Wo greift diese Störung an?

7. Welcher Regler muss gewählt werden, damit Sollwertfolge bei sprungförmigen Füh-rungsgrößen erreicht wird?

8. Damit die maximale Winkelgeschwindigkeit nicht überschritten wird, muss die Über-schwingzeit Tm ausreichend groß gewählt werden. Nehmen Sie ωmax = 10Grad

minan und

ermitteln Sie Tm aus1 rad

Tm≈ 10Grad

min.


9. Führen Sie den Reglerentwurf mit Hilfe des Frequenzkennliniendiagramms durch.

10. Simulieren Sie das Führungsverhalten für sprungförmige Führungsgrößen mit w(t) =σ(t) (im Bogenmaß) und stellen sie den Verlauf von Φ(t) in Grad dar. Werden die Güte-forderungen erfüllt?

Anhang 2

Kurze Einführung in MATLAB

A2.1. Der MATLAB-Interpreter

MATLAB� ist ein Programmpaket für numerische Berechnungen, das insbesondere dieMatrizenrechnung unterstützt. Es besteht aus einem MATLAB-Kern, der Algorithmen zurDurchführung wichtiger Matrizenoperationen wie beispielsweise Matrizenmultiplikation oderEigenwertberechnung umfasst und außerdem über Funktionen für die grafische Aufbereitungder Ergebnisse verfügt. Für regelungstechnische Anwendung gibt es als Ergänzung dazu dieControl System Toolbox, in der viele Algorithmen für die Analyse dynamischer Systeme undden Reglerentwurf enthalten sind. Die im Folgenden behandelten Funktionen sind entwederim MATLAB-Kern oder in dieser Toolbox verfügbar.

Um die hier beschriebenen Übungen durchführen zu können, reicht die in diesem Anhanggegebene Kurzbeschreibung von MATLAB aus. Wer „richtig“ programmieren will, sollte sichüber den vollen Funktionsumfang von MATLAB anhand der Handbücher MATLAB Refe-rence Manual und MATLAB User Guide informieren oder das Programmsystem z. B. mitdem Befehl demo am Rechner erkunden.

A2.2 Die wichtigsten MATLAB-Befehle

Aufruf. Das Anklicken des MATLAB-Icons öffnet ein Fenster, den sogenannten Workspace,in dem man nach dem Prompt » die inMATLAB implementierten Funktionen aufrufen kann.

Hilfen und Demos. Alle Befehle haben eine On-line-Hilfe, die mit dem Befehl

» help <name>

aufgerufen wird, wobei für <name> ein Funktionsname oder der Name einer Toolbox steht.Darüberhinaus können Stichwortsuchen mit dem Befehl:

» lookfor <stichwort>

durchgeführt werden, wobei <stichwort> ein englischer Suchbegriff ist. Die Befehlsüber-sicht über die regelungstechnischen Anwendungen der Control System Toolbox erhält man


724 Anhang 2: Kurze Einführung in MATLAB

mit

» help control

Eine kurze Übersicht über die Control System Toolbox erhält man nach dem Funktionsaufruf

» ctrldemo

MATLAB wird mit

» quit

beendet.

Funktionsaufrufe. MATLAB kennt im Wesentlichen nur einen Datentyp: Alle Variablensind Matrizen, deren Elemente Fließkommazahlen doppelter Genauigkeit sind (möglicher-weise komplexwertig). Skalare sind Matrizen der Dimension (1, 1). Es wird zwischen Zeilen-vektoren (1, n) und Spaltenvektoren (n, 1) unterschieden.

Mit MATLAB führt man Berechnungen durch, indem man die Funktion befehlmit derEingangsvariablen einvar aufruft und das Ergebnis einer Ausgabevariablen ausvar durchdas Gleichheitszeichen zuordnet:

» ausvar=befehl(einvar)

Definiert man keine neue Ausgabevariable, so wird das Ergebnis in der Variable ans (füranswer) gespeichert. Mehrere Eingabevariablen werden durch Kommas getrennt. Besteht dasErgebnis des Funktionsaufrufes aus mehreren Elementen, so sind die Ausgabevariablen ineckige (Matrix)-Klammern zu setzen:

» [aus1,aus2]=befehl(ein1,ein2,ein3)

Will man die Bildschirmausgabe der Ergebnisse unterdrücken (was insbesondere bei Zwi-schenergebnissen in Form großer Matrizen sinnvoll ist), so wird der Funktionsaufruf mit ei-nem Semikolon abgeschlossen:

» ausvar=befehl(einvar);

Dateneingabe. Matrizen werden interaktiv durch eckige Klammern umrahmt zeilenweiseeingegeben. Jede Spalte wird durch einen Leerraum oder ein Komma, jede Zeile durch einenZeilenvorschub (<Return>-Taste) oder ein Semikolon abgeschlossen. Die imaginäre Einheit jwird durch ein i oder j dargestellt (Vorsicht: i und j dürfen deshalb nicht als Variablennamenverwendet werden!).

Beispielsweise kann eine Matrix durch

» A=[ 2+0.1i 00 2-0.1i];

Anhang 2: Kurze Einführung in MATLAB 725

eingegeben werden. Als zweites Beispiel wird die Festlegung einer (4× 3)-Matrix A gezeigt,bei der auch auf einige elementare Funktionen und Konstanten zurückgegriffen wird

» A=[ 2.4 5e-2 5+i ; 5 -7 8pi log(2) exp(1) ; sqrt(2), sin(3.1), cos(0)]

A=2.4000 0.0500 5.0000+1.000i5.0000 -7.0000 8.00003.1416 0.6931 2.71831.4142 0.0416 1.0000

Für größere Matrizen ist die interaktive Dateneingabe nicht geeignet. Mit einem beliebigenEditor legt man sich deshalb eine Datei an, in die die Elemente der Matrix zeilenweise ge-schrieben werden, wobei hier nur Zahlen und keine Funktionsaufrufe benutzt werden dürfen.Ist der Name einer solchen Datei z. B. B.dat, so sind nach der Ausführung des Befehls

» load B.dat

der Matrix B die mit dem Editor eingegebenen Elemente zugeordnet.Die Dimension einer Matrix A erhält man mit dem Befehl

» size(A)

Das Ergebnis ist eine (1×2)-Matrix, deren erstes Element die Zeilenanzahl und deren zweitesElement die Spaltenanzahl angibt. Für die o. a. Matrix gilt

» size(A)ans=

4 3

Indizierung. Auf die Elemente einer Matrix kann einzeln zugegriffen werden. Benötigt manbeispielsweise das Element mit dem Index (2, 3) der Matrix A als Variable element, so gibtman

» element=A(2,3)

ein.

Spezielle Befehle. Um spezielle Matrizen einfacher anlegen zu können, gibt es den Befehl

» I = eye(n);

der eine (n× n)-Einheitsmatrix I anlegt, und die Befehle

» O = zeros(n,m);» E = ones(n,m);

die eine (n×m)-Nullmatrix O bzw. eine ausschließlich mit Einsen gefüllte Matrix E anlegen.


Durch

» At=A’;

wird die Matrix A transponiert bzw. die zu ihr konjugiert komplexe, transponierte Matrix ge-bildet. Auf diese Weise ist auch eine Umwandlung von Zeilen- in Spaltenvektoren und umge-kehrt möglich.

Die wichtigsten Matrizenfunktionen dienen der Eigenwertberechnung

» eig(A)

der Berechnung der Inversen

» inv(A)

und der Berechnung des Rangs

» rank(A)

einer Matrix A. In den ersten beiden Fällen muss die Matrix selbstverständlich quadratischsein. Mit der Funktion eig können außer den Eigenwerten auch die zugehörigen Eigenvek-toren berechnet werden, wenn man den Funktionsaufruf

» [V, D]=eig(A);

verwendet. Dabei wird der Variablen V die Matrix mit den Eigenvektoren und der Variablen Deine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten der Matrix A zugewiesen.

Scripte. Wenn man eine bestimmte Befehlsfolge häufig wiederholen will, wie es beiAnalyse- und Entwurfsaufgaben üblich ist, so legt man sich zweckmäßigerweise eine Da-tei script.mmit einem beliebigen Namen script und der Erweiterung .m an. Dafür ruftman mit

» edit

den MATLAB-Editor auf und schreibt die verwendeten Befehle untereinander. Nachdem mandie Datei im Arbeitsverzeichnis von MATLAB (das man gegebenenfalls mit

» cd Verzeichnis

in Verzeichnis verändern kann) gespeichert hat, kann man das Script mit

» script

aufrufen und die aufgeführte Befehlsfolge wird ausgeführt. Will man bestimmte Analyse- undEntwurfsschritte oder Parameter ändern, so muss man dies nur mit dem Editor in der Dateiscript tun und kann die Befehlsfolge von neuem starten.


Grafische Ausgaben. MATLAB vereinfacht die grafische Darstellung von Funktionen invielfältiger Weise. Darauf kann hier nur kurz eingegangen werden. Viele Funktionen wiestep oder bode führen zur grafischen Ausgabe der berechneten Funktionen. Sie könnenaber auch mit einer „linken Seite“ aufgerufen werden:

» [Y, T]=step(System);» [Betrag, Phase, Frequenz] = bode(System);

Im ersten Fall sind Y und T zwei gleich lange Vektoren, in denen die Werte der Zeitpunkte unddie zugehörigen Werte der Übergangsfunktion von System gespeichert sind. Im zweiten Fallsind in Betrag, Phase und Frequenz der Betrag und das Argument des Frequenzgangsbzw. die Frequenz, bei der der Frequenzgang berechnet wurde, angegeben. Mit der Funktion

» plot(T, Y)

kann die in T und Y gespeicherte Funktion y(t) grafisch dargestellt werden. Für das Bodedia-gramm wird durch die Aufrufe

» subplot(2, 1, 1)» semilogx(Frequenz, 20*log(Betrag(:)));» subplot(2, 1, 2)» semilogx(Frequenz, Phase(:));

das Bodediagramm gezeichnet. Dabei bewirken die subplot-Aufrufe, dass das Bild in 2 Tei-le (1. Argument) aufgeteilt wird, die in 1 Spalte (2. Argument) angeordnet sind und zunächstdas erste dieser Teilbilder beschrieben wird (3. Argument). Mit der Funktion semilogxwirdein Diagramm gezeichnet, bei der die x-Achse logarithmisch geteilt ist.

Eine Veränderung des Massstabs grafischer Darstellungen erreicht man mit der Funktion

» axis([xmin xmax ymin ymax]);

wobei die den Variablen xmin,xmax, ymin bzw. ymax zugewiesenen Zahlenwerte die Gren-zen der darzustellenden Bereiche der x- bzw. y-Achse bezeichnen.

A2.3 Modellformen und Analysemethoden

A2.3.1 Analyse linearer Systeme im Zeitbereich

Das Zustandsraummodell

System :

{x(t) = Ax(t) + bu(t), x(0) = x0

y(t) = cTx(t) + du(t)

wird durch die Matrix A, die Vektoren b und c und den Skalar d festgelegt. Bei den nach-folgenden MATLAB-Aufrufen werden Variable mit denselben Namen A, b, c und d ver-wendet.


Die Definition des Systems in Zustandsraumdarstellung erfolgt durch

» System = ss(A, b, c, d);

wobei System ein beliebig wählbarer Name für das betrachtete System ist, beispielsweiseStrecke oder Regler.

Folgende Funktionen werden häufig benötigt:

» [A, b, c, d]=ssdata(System)Auslesen des Zustandsraummodells eines Sys-tems; man erhält auch dann ein Zustands-raummodell, wenn System durch eine Über-tragungsfunktion definiert wurde (vgl. Ab-schn. 13.3)

» printsys(A, b, c, d) Ausgabe des Zustandsraummodells auf demBildschirm

» eig(A)» damp(A)

Berechnung der Eigenwerte bzw. der Eigenfre-quenzen und Dämpfungsfaktoren

Da die Ausgaben auf dem Bildschirm ausreichend kommentiert sind, lernt man die Wirkungder Befehle am besten dadurch kennen, dass man sie an einem Beispiel ausprobiert.

A2.3.2 Analyse linearer Systeme im Frequenzbereich

Kontinuierliche SystemeSystem : Y (s) = G(s) U(s)

werden im Frequenzbereich durch die gebrochen rationale Übertragungsfunktion G(s) be-schrieben, die in Zähler- und Nennerpolynom zerlegt werden kann:

G(s) =Z(s)

N(s).

Polynome werden in MATLAB durch Vektoren dargestellt, die die Polynomkoeffizienten inRichtung fallender Exponenten enthalten, beispielsweise

n = [1 3 0 1] für N(s) = s4 + 3s3 + 1.

Dementsprechend wirdG(s) durch ein Paar z, n von Polynomen beschrieben und ein Systemin Frequenzbereichsdarstellung durch

System = tf(z, n);

definiert.


Folgende Funktionen geben die Übertragungsfunktion aus:

» [z, n]=tfdata(System, ’v’) Auslesen der Übertragungsfunktion einesSystems System; man erhält auch danneine Übertragungsfunktion, wenn Systemdurch ein Zustandsraummodell definiertwurde (vgl. Abschn. 13.3)

» printsys(z, n); Ausgabe der Übertragungsfunktion auf demBildschirm

Da Totzeitsysteme keine gebrochen rationale Übertragungsfunktion haben, können die-se Systeme nicht ohne eigenen Programmieraufwand mit MATLAB behandelt werden. Mankann jedoch mit der Funktion

» [z, n] = pade(Tt, n);

die Padé-Approximation n-ter Ordnung für das Totzeitglied G(s) = exp(−sTt) berechnen,wenn der Variablen Tt zuvor der Wert der Totzeit zugewiesen wurde. Um keine numerischenProbleme zu bekommen, wählt man n nicht größer als fünf. Die totzeitfreie Approximationn-ter Ordnung von System erhält man mit dem Funktionsaufruf

» SystemApprox = pade(System, n);

A2.3.3 Weitere Analysefunktionen

Die folgenden Funktionen sind für Zeitbereichs- und Frequenzbereichsmodelle sehr ähnlich:

» dcgain(System) Berechnung von

ks = −cTA−1b+ d bzw. ks = G(0)

(auch für instabile Systeme, für die ks nicht dieBedeutung der statischen Verstärkung hat!)

» tzero(System) Berechnung der Nullstellen eines Systems

» minSystem = minreal(System)Bestimmung der minimalen Realisierung einesSystems System, die man aus der Frequenz-bereichsdarstellung durch Kürzen von Linear-faktoren im Zähler- und Nennerpolynom erhält,die aber auch aus dem Zustandsraummodell be-stimmt werden kann (vgl. Kap. II-3).


» pzmap(System) Grafische Darstellung des PN-Bildes

» step(System) Berechnung der Übergangsfunktion und grafi-sche Ausgabe auf dem Bildschirm

» impulse(System) Berechnung der Gewichtsfunktion und grafischeAusgabe auf dem Bildschirm

» initial(System, x0) Berechnung der Eigenbewegung des Systemsmit Anfangszustand x0

» lsim(System, u, t, x0)Berechnung der Ausgangsgröße für eine belie-big vorgegebene Eingangsgröße; u und t sindzwei Zeilenvektoren gleicher Länge, in denender Wert der Eingangsgröße u(t) und der zuge-hörige Zeitpunkt t stehen.

» quiver(X, Y, U, V) Grafische Darstellung des Vektorfeldes, wobeijeder Geschwindigkeitsvektor in den in X und Yangegebenen Koordinaten beginnt und die in Uund V angegebene Richtung hat

» bode(System) Berechnung des Bodediagramms und grafischeDarstellung auf dem Bildschirm

» nyquist(System) Berechnung der Ortskurve und grafische Dar-stellung auf dem Bildschirm

» margin(System) Berechnung des Amplitudenrandes und des Pha-senrandes eines Systems, grafische Ausgabe desBodediagramms und Markierung der Stabilitäts-ränder

» rlocus(offeneKette) Berechnung der Wurzelortskurve der offenenKette und grafische Darstellung

» rlocfind(offeneKette) Auswahl eines Punktes der Wurzelortskurve deroffenen Kette, die auf dem Bildschirm darge-stellt wird


A2.3.4 Transformationen zwischen unterschiedlichen Modellformen

Die folgenden Funktionen dienen der Überführung eines Zustandsraummodells mit ver-schwindendem Anfangszustand x0 = 0 in eine Übertragungsfunktion oder umgekehrt bzw.der Überführung des Zustandsraummodells in eine kanonische Normalform.

» [z, n] = tfdata(System)Auslesen der Übertragungsfunktion mit Zähler-polynom z und Nennerpolynom n bzw. Berech-nung der Übertragungsfunktion G(s)

G(s) = cT(sI −A)−1b+ d

aus dem Zustandsraummodell (je nach Definiti-on von System)

» [A, b, c, d] = ssdata(System)Auslesen des Zustandsraummodells bzw. Be-rechnung des Zustandsraummodells in Rege-lungsnormalform, das die gegebene Übertra-gungsfunktion besitzt (je nach Definition vonSystem)

» kanonSystem = ss2ss(System, inv(T))Berechnung des transformierten Zustandsraum-modells (5.27) – (5.31), wobei die Transforma-tionsmatrix T wie in Gl. (5.26) verwendet wird.

» [kanonSystem, Tinv] = canon(System, ’modal’)Berechnung der kanonischen Normalform (5.54)des Zustandsraummodells; wird die Typangabe’companion’ verwendet, so entsteht die Be-obachtungsnormalform

A2.3.5 Zusammenfassung von Übertragungsgliedern

Für die drei Standardfälle einer Zusammenschaltung zweier Übertragungsglieder gibt esFunktionen, die aus den Übertragungsfunktionen bzw. den Zustandsraummodellen der bei-den Elemente das Modell der Zusammenschaltung berechnen.

Reihenschaltung:

» Reihenschaltung = series(System1, System2)

Parallelschaltung:

» Parallelschaltung = parallel(System1, System2)


Rückführschaltung:

» Rueckfuehrschaltung= feedback(Vorwaertszweig, Rueckwaertszweig, -1)

Bei der Rückführschaltung wird von einer negativen Rückkopplung ausgegangen (-1 kannweggelassen werden) oder es muss durch +1 die positive Rückkopplung angegeben werden.

A2.4 Zusammenstellung der Programme

Programm 5.1 Systemanalyse im Zeitbereich (Beispiel 5.14: Analyseeiner Raumtemperaturregelung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231

Programm 6.1 Systemanalyse im Frequenzbereich (Beispiel 6.11:Analyse einer Raumtemperaturregelung) . . . . . . . . . . . .

352

Programm 10.1 Reglerentwurf mit Hilfe der Wurzelortskurve (Bei-spiel 10.5: Stabilisierung des invertierten Pendels) . . . .

527

Programm 11.1 Reglerentwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren(Beispiel 11.3: Geschwindigkeitsregelung eines Gleich-strommotors) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

564

Programm A.1 Lösung der Aufgabe 8.19: Stabilitätseigenschaften vonDrehrohrofen und Klinkerkühler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

690

Programm A.2 Lösung der Aufgabe 10.15: Wurzelortskurve einesSchwingkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

701

Programm A.3 Lösung der Aufgabe 10.17: Stabilisierung der Rollbe-wegung eines Schiffes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

705

Anhang 3

Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung

Dieser Anhang enthält Aufgaben, für deren Lösung der gesamte Stoff dieses Buchesverwendet werden muss und die sich deshalb für die Prüfungsvorbereitung eignen.

Aufgabe A3.1 Grundbegriffe der Regelungstechnik

Ordnen Sie folgende Begriffe den Modellierungs-, Analyse- und Entwurfsverfahren der Re-gelungstechnik zu und erläutern Sie ihre Bedeutung:

Anstiegszeit, Bandbreite, Eigenvorgang, Empfindlichkeitsfunktion, Folgeregelung,Gleichgewichtszustand, kanonische Zustandsvariablen, Knickpunktabstand, Kreis-verstärkung, Linearität, Nulldynamik, Resonanzfrequenz, statisches Verhalten,stationäres Verhalten, Stabilitätsgrenze, Übergangsmatrix. �

Aufgabe A3.2 Dynamik linearer Systeme

Welche Bedeutung haben Nullstellen, Pole, Eigenwerte, relativer Grad, Zeitkonstantenund Grenzfrequenz für das Systemverhalten? Wie berechnet man diese Größen aus denZeitbereichs- und Frequenzbereichsmodellen linearer Systeme? Ordnen Sie diese Eigen-schaften dem E/A-Verhalten bzw. der Eigenbewegung des Systems zu. Wie beeinflussendiese Eigenschaften das Übergangsverhalten bzw. das stationäre Verhalten? �

Aufgabe A3.3 Modelle dynamischer Systeme

In der Regelungstechnik werden sowohl Modelle für das Zeitverhalten dynamischer Syste-me als auch Frequenzbereichsbeschreibungen eingesetzt. Einige von ihnen erfassen nur dasE/A-Verhalten.

1. Stellen Sie diese Modelle einschließlich der Voraussetzungen zusammen, unter denendiese Modelle verwendet werden können.

2. Kennzeichnen Sie, durch welche Transformationen bzw. unter welchen zusätzlichenAnnahmen Sie von einer Modellform zu einer anderen kommen können. �


734 Anhang 3: Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung

Aufgabe A3.4 Wichtige Eigenschaften von Übertragungsgliedern

1. Wie können Übertragungsglieder klassifiziert werden? Geben Sie für alle Klassen tech-nische Beispiele an.

2. Wie lauten Zustandsraummodell und Übertragungsfunktion dieser Übertragungsglie-der in ihrer einfachsten Form?

3. Welche Eigenschaften besitzen diese Übertragungsglieder? Zeichnen Sie qualitativ dieÜbergangsfunktion, die Gewichtsfunktion, das PN-Bild, die Ortskurve und das Bode-diagramm der wichtigsten Übertragungsglieder auf.

4. Kennzeichnen Sie in den Diagrammen, wo Sie wichtige Kenngrößen wie statische Ver-stärkung, Summenzeitkonstante, Dämpfung usw. ablesen können bzw. wie Sie Aussa-gen über die Sprungfähigkeit, Minimalphasigkeit und Stabilität erhalten.

5. Welches Übergangsverhalten und welches stationäre Verhalten haben diese Übertra-gungsglieder? �

Aufgabe A3.5 Stabilität dynamischer Systeme

1. Welche Stabilitätsdefinitionen kennen Sie? Welcher Zusammenhang besteht zwischendiesen Eigenschaften?

2. Mit welchen Modellen können Sie diese Eigenschaften untersuchen?

3. Mit welchen Kriterien können Sie diese Stabilitätseigenschaften für die Regelstreckebzw. für den Regelkreis überprüfen? �

Aufgabe A3.6 Stabilität von Regelkreisen

Das Verhalten vieler Regelstrecken lässt sich in guter Näherung durch PT2- bzw. PTtT1-Glieder beschreiben. Diese Näherungen haben nicht nur den Vorteil, dass die Modelle einekleine dynamische Ordnung und wenige festzulegende Parameter besitzen. Die Stabilitäts-eigenschaften der mit diesen Regelstreckenmodellen entstehenden Regelkreise sind über-schaubar.

1. Wird ein P-Regler verwendet, so ist der Regelkreis mit PT2-Strecke für beliebige (po-sitive) Reglerverstärkungen stabil. Für die PTtT1-Strecke gibt es eine obere Schran-ke kkrit, so dass die Stabilität für k < kkrit gesichert ist. Wie können Sie diese Aus-sagen anhand des charakteristischen Polynoms des geschlossenen Kreises, anhand desBodediagramms und der Ortskurve der offenen Kette bzw. mit Hilfe der Wurzelorts-kurve beweisen?

2. Die angegebenen Aussagen gelten nur, solange man die Regelstrecke tatsächlich alsPT2- bzw. PTtT1-Glied auffassen kann. Zeigen Sie, dass die entstehenden Regelkreiserobust gegenüber Approximationsfehlern sind, d. h., dass man trotz kleiner Approxi-mationsfehler von der Stabilität des vereinfachten Modells des Regelkreises auf dieStabilität des realen Regelkreises schließen kann. Woran erkennen Sie Grenzen für dieRobustheit? Begründen Sie, warum es eine obere Schranke kkrit für die Reglerverstär-kung gibt, so dass der reale Regelkreis für k > kkrit instabil sein kann.

Anhang 3: Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung 735

3. Wie verändern sich alle vorherigen Betrachtungen, wenn an Stelle eines P- ein I-Reglerverwendet wird? �

Aufgabe A3.7 Vorsteuerung und Rückführsteuerung

1. Vergleichen Sie die Eigenschaften von Steuerungen in der offenen Wirkungskette undSteuerungen im geschlossenen Wirkungskreis. Wo werden diese Arten der Steuerungin technischen Anwendungen eingesetzt?

2. Wie entwirft man Vorsteuerungen? �

Aufgabe A3.8 Modelle und Eigenschaften von Regelkreisen

1. Wie kann man die folgenden Kenngrößen von Regelkreisen berechnen:

Führungsübertragungsfunktion, Störübergangsfunktion, bleibende Regelab-weichung, Kreisverstärkung, Stabilitätsrand, Pole, Empfindlichkeit?

2. Was besagt das Innere-Modell-Prinzip und wie kann man es für impulsförmige bzw.sprungförmige Störsignale erfüllen? �

Aufgabe A3.9 Auswahl der Reglerstruktur

Die Reglerstruktur wird anhand struktureller Eigenschaften der Regelstrecke festgelegt.Stellen Sie die Regeln für die Wahl der Reglerstruktur zusammen, wenn folgende Forde-rungen erfüllt werden sollen:

• Der Regelkreis soll stabil bzw. I-stabil sein.

• Der Regelkreis soll die Eigenschaft der Sollwertfolge besitzen.

• Das Messrauschen soll ausreichend unterdrückt werden.

• Der Regelkreis soll robust gegenüber Unsicherheiten des Regelstreckenmodells sein.

• Das Führungsverhalten und das Störverhalten sollen gegebene Dynamikforderungenerfüllen.

Klassifizieren Sie die Regelungsaufgaben in Abhängigkeit davon, welche dieser Forderun-gen von besonderer Bedeutung sind, und stellen Sie die für die einzelnen Klassen von Re-gelungsaufgaben zutreffenden Forderungen an die Reglerstruktur zusammen. Welche Be-schränkungen ergibt sich für die Wahl der Reglerparameter aufgrund des Gleichgewichts-theorems? �

736 Anhang 3: Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung

Aufgabe A3.10 Reglerentwurf

1. Welche Entwurfsverfahren für einschleifige Regelkreise kennen Sie?

2. Vergleichen Sie die Annahmen, von denen die einzelnen Verfahren ausgehen, und ge-ben Sie an, für welche Anwendungsfälle sich diese Verfahren deshalb besonders guteignen.

3. Schreiben Sie das Vorgehen beim Entwurf für die einzelnen Verfahren in Form ei-nes Programmablaufplanes auf. Wo treten Iterationsschleifen auf? Wann werden die-se Schleifen durchlaufen und welche Veränderungen gegenüber vorhergehenden Ent-wurfsschritten finden in ihnen statt? �

Aufgabe A3.11 Praktische Regelungstechnik

Ein Regelkreis, der aus einer stabilen Regelstrecke und einem PID-Regler besteht, schwingt.Wie müssen Sie die Reglerparameter kP, TI und TD verändern, um dieses Schwingen zubeseitigen? Erläutern Sie Ihr Vorgehen anhand der Wurzelortskurve, am Bodediagramm deroffenen Kette und an der Ortskurve der offenen Kette. Wie verändern sich diese Diagramme,wenn Sie den D-Anteil abschalten (TD = 0)? �

Anhang 4

Projektaufgaben

Die in diesem Anhang zusammengestellten Projektaufgaben betreffen den gesam-ten Lösungsweg von Regelungsaufgaben beginnend bei der Modellbildung über dieAnalyse der Regelstrecke bis zum Reglerentwurf. Sie eigenen sich für vorlesungs-begleitende Übungen, bei denen die Studenten die in der Vorlesung erläuterten Me-thoden unter Verwendung von MATLAB an praxisnahen Beispielen erproben. DieProjektaufgaben lassen erkennen, wie sich die einzelnen Verfahren unter den für dieunterschiedlichen Anwendungsbeispiele charakteristischen Randbedingungen, Re-gelstreckeneigenschaften und Güteforderungen anwenden lassen, und es wird offen-sichtlich, welche von mehreren möglichen Vorgehensweisen die für das betrachteteBeispiel günstigste ist.

Die Projektaufgaben haben steigenden Schwierigkeitsgrad. Für die erste Aufga-be sind die wichtigsten Lösungsschritte in diesem Buch im Zusammenhang mit Bei-spielen und Übungsaufgaben erläutert und müssen lediglich nachvollzogen werden.Für die zweite Aufgabe wird der Lösungsweg in der Aufgabenstellung vorgegeben,für die folgenden muss der Lösungsweg selbst geplant werden.

Ähnlich verhält es sich mit der Aufbereitung der Aufgabenstellung. Bei der ers-ten Aufgabe sind die Güteforderungen so vorgegeben, wie sie für die Anwendungder Entwurfsverfahren gebraucht werden, bei den weiteren Aufgabenmüssen die auspraktischer Sicht formulierten Forderungen erst in diese Form gebracht werden. DieAufgabentexte spiegeln die in der Praxis häufig auftretende Situation wider, dass ei-nerseits überflüssige Informationen vorliegen, andererseits fehlende Angaben durchsinnvolle Annahmen ergänzt werden müssen.

Bei der Bearbeitung der Projektaufgaben sollen die Leser selbst entscheiden,welche Lösungsschritte sie im Einzelnen gehen wollen. Die folgenden Hinweise die-nen lediglich als Anregung:

• Beginnen Sie mit einem Blockschaltbild für die zu entwerfende Regelung.

• Planen Sie den Lösungsweg und lösen Sie die Teilaufgaben anschließend in denzuvor festgelegten Schritten. Modifizieren Sie Ihren Lösungsweg, wenn dies dieAnalyseergebnisse erforderlich machen.

• Analysieren Sie die Regelstrecke und bewerten Sie die Regelungsaufgabe unddie zu erwartende Regelgüte anhand der Stabilitätseigenschaften, der statischen


738 Anhang 4: Projektaufgaben

Verstärkung, der Pole und Nullstellen sowie der Ortskurve und des Frequenz-kennliniendiagramms der Regelstrecke.

• Transformieren Sie das Regelstreckenmodell in Abhängigkeit von der betrachte-ten Analyseaufgabe gegebenenfalls in eine Normalform.

• Entscheiden Sie, ob die Güte der Regelung imWesentlichen durch das Führungs-verhalten oder das Störverhalten bestimmt wird.

• Vergleichen Sie die Eigenwerte des geschlossenen Regelkreises mit denen derRegelstrecke. Kann der Regelkreis wesentlich schneller gemacht werden als dieRegelstrecke?

• Sehen Sie sich bei der Bewertung der Regelgüte nicht nur den Verlauf der Re-gelgröße, sondern auch den Verlauf der Stellgröße an und bewerten Sie diesen inBezug auf Stellgrößenbeschränkungen.

• Untersuchen Sie den erhaltenen Regelkreis auch unter der Wirkung von Mess-störungen2.

Die in den Aufgabenstellungen angegebenen linearen Modelle beschreiben dieRegelstrecken in der Umgebung eines Arbeitspunktes. Berücksichtigen Sie bei derAnalyse des Regelkreises Nichtlinearitäten wie z. B. Stellgrößenbeschränkungen.

AufgabeA4.1 Drehzahlregelung eines Gleichstrommotors

Für den in Abb. A4.1 gezeigten Gleichstrommotor soll eine Drehzahlregelung entworfenwerden, die als Stellgröße die Spannung uA verwendet. Einer sprungförmigen Änderungdes Drehzahlsollwertes soll die Drehzahl innerhalb von einer Sekunde folgen, wobei dasÜberschwingen höchstens 20 Prozent betragen darf.

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Abb. A4.1: Gleichstrommotor

Der Motor hat folgende Parameter:

2 Die MATLAB-Funktion randn(n) erzeugt eine (n×n)-Matrix mit normalverteilten Zu-fallszahlen (Mittelwert 0, Standardabweichung 1)

Anhang 4: Projektaufgaben 739

RA = 15Ω LA = 200mH

J = 0,3 Nms2

radkT = 4 Nm

A

kM = 4 Vsrad kL = 0,2 Nms

rad

Untersuchen Sie auch die Robustheit des Reglers bezüglich einer Veränderung des Träg-heitsmoments J . �

AufgabeA4.2 Stabilität einer Flugregelung

Als Beispiel für eine Flugregelung wurde in Aufgabe 11.7 die Regelung der Rollbewegungbetrachtet, wobei als vereinfachtes Regelstreckenmodell die Übertragungsfunktion

G(s) =k

Ixxs2

verwendet wurde (Beispielparameter: kIxx

= 2). Bei dieser Regelung ist der Ausschlagdes Querruders die Stellgröße u und der Rollwinkel die Regelgröße y. Die Regelstrecke istoffensichtlich instabil.

Man könnte auf die Idee kommen, dass man die Rollbewegung am besten dadurch sta-bilisiert, dass man den Ruderausschlag u umso größer macht, je größer der Rollwinkel yist, also eine P-Regelung einsetzt. Begründen Sie in den folgenden Schritten, warum diesesRegelungsprinzip nicht funktioniert und entwerfen Sie einen Regler, mit dem die Rollbe-wegung stabilisiert werden kann.

1. Stellen Sie das Reglergesetz auf.

2. Untersuchen Sie die Stabilität des Regelkreises in Abhängigkeit von der Reglerverstär-kung mit dem Hurwitzkriterium, dem Nyquistkriterium, anhand des Bodediagrammsund anhand der Wurzelortskurve.

3. Bei schnellen Änderungen der Stellgröße muss man berücksichtigen, dass das Querru-der durch ein hydraulisches Ruderstellsystem in die durch den Regler vorgeschriebeneWinkelstellung gebracht wird (vgl. Aufgabe 10.10). Zur Vereinfachung der Betrachtun-gen wird dieses Stellglied durch ein PT1-Glied mit der Zeitkonstante T1 approximiert.Wie verändert das Stellglied das Bodediagramm der offenen Kette bzw. die Wurzel-ortskurve und wie wirkt es sich auf die Stabilität des Regelkreises aus? UntersuchenSie diese Frage in Abhängigkeit von der Zeitkonstanten T1.

4. Welchen Regler müssen Sie einsetzen, damit der Regelkreis mit und ohne verzögern-dem Stellglied stabil ist?

5. Bewerten Sie die Regelgüte anhand von Simulationsuntersuchungen und untersuchenSie die Robustheit bezüglich einer Veränderung des Trägheitsmoments Ixx, die auseiner unterschiedlichen Beladung des Flugzeugs resultiert. �

AufgabeA4.3 Temperaturregelung eines Wärmeübertragers

Bei Wärmeübertragern wird die mit dem Massenstrom w1 und der Temperatur T10 einströ-mende Flüssigkeit durch eine Kühlflüssigkeit auf die Temperatur T1 abgekühlt, wobei sich


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Abb. A4.2: Wärmeübertrager

die Kühlflüssigkeit mit dem Massenstrom w2 von der Temperatur T20 auf die Tempera-tur T2 erwärmt (Abb. A4.2).

Im stationären Zustand stellt sich bei den Eintrittstemperaturen T10 = 85 oC undT20 = 20 oC der Arbeitspunkt T1 = 52,25 oC und T2 = 41,83 oC ein. Um die Eigen-schaften des Wärmeübertragers zu ermitteln, werden zwei Experimente durchgeführt, de-ren Ergebnisse in Abb. A4.3 gezeigt werden. Im ersten Experiment wird zur Zeit t = 2minder Zufluss der Kühlflüssigkeit vom Arbeitspunktwert w2 = 3 kg

minum 0,5 kg

minverändert.

Die dabei gemessene Temperaturverlauf T1 ist im oberen Teil der Abbildung zu sehen. Imzweiten Experiment wird die Temperatur T10 von 85 oC auf 90 oC erhöht, wobei die imunteren Teil der Abbildung gezeigte Kurve erhalten wird.

Abb. A4.3: Ergebnisse der zwei Experimente mit demWärmeübertragers


Es soll eine Regelung entworfen werden, die die Temperatur T1 auf einem vorgege-benen Sollwert hält. Bei Sollwertänderung soll der neue Sollwert ohne Überschwingen er-reicht werden. Bei einer angenommenen sprungförmigen Änderung der Temperatur T10 um10 Kelvin soll die Temperatur T1 ohne Überschwingen (Δe = 0) zum Sollwert zurückkeh-ren. �

AufgabeA4.4 Regelung einer Verladebrücke

Mit der im Beispiel 5.1 beschriebenen Verladebrücke soll eine Last von der Position s0 indie Position se gebracht werden. Entwerfen Sie eine Regelung, mit der diese Aufgabe er-füllt wird. Erweitern Sie die Regelung um eine Trajektorienplanung und eine Vorsteuerungund vergleichen Sie die mit beiden Steuerungsstrukturen erreichten Ergebnisse. Der Positi-onswechsel der Last soll so durchgeführt werden, dass die Last ohne bzw. mit nur geringemÜberschwingen die vorgegebene Endposition erreicht.

Das Modell aus Beispiel 5.1 berücksichtigt keine Reibung. Was ändert sich am Modellund an der Regelung, wenn für die Laufkatze eine geschwindigkeitsproportionale Reibungangesetzt wird?

AufgabeA4.5∗ Entwurf der Kompensationsrückführung im Airbag-Sensor

Der heute in vielen Autos eingebaute Airbag soll auslösen, wenn die Bremsbeschleunigungdie dreifache Erdbeschleunigung überschreitet (a ≥ 3g). Der dafür notwendige Beschleu-nigungssensor besteht aus einem kapazitiven Sensor sowie einer Kompensationsschaltung,die im Mittelpunkt der folgenden Betrachtungen steht.

Der Sensor besteht im Prinzip aus drei Elektroden, die man sich vereinfacht als dreiparallel angeordnete Platten vorstellen kann, von denen die mittlere elastisch gelagert istund die Masse m hat. Zwischen jeweils zwei benachbarten Platten bestehen Kapazitäten,die zunächst gleich groß sind. Durch eine Beschleunigung a des Sensors wird die mittlerePlatte gegenüber den beiden äußeren durch die Kraft Fa = ma verschoben, wodurch sichdie eine Kapazität vergrößert und die andere verkleinert. Diese Kapazitätsänderung wirdin einer Brückenschaltung gemessen, wobei die dafür verwendete Wechselspannung eineso hohe Frequenz hat, dass sie die Kapazitätsänderung detektiert, ohne die Elektroden zubewegen. Für die folgenden Betrachtungen ist nur wichtig, dass die durch Demodulationgewonnene Gleichspannung ud der Kapazitätsänderung (näherungsweise) proportional ist.

Die Spannung ud wird nicht direkt als Messsignal verarbeitet. Statt dessen wird einKompensationskreis aufgebaut, durch den an die vergrößerte Kapazität eine so hohe Gleich-spannung uc angelegt wird, dass die durch diese Spannung erzeugte elektrostatische KraftFe

die mittlere Platte in ihre Ausgangsstellung zurückzieht. Im Gleichgewichtszustand mussalso

Fe!= −Fa = −ma (A4.1)

gelten. Aufgrund des Kompensationsprinzips ist das Messergebnis unabhängig von denelastischen Eigenschaften der Elektroden. Diese Eigenschaften beeinflussen nur die Dyna-mik des Sensors, insbesondere die Zeit, die der Sensor braucht, um den richtigen Messwertanzuzeigen. Diese Dynamik muss beim Entwurf des Kompensationskreises berücksichtigtwerden, denn es wird für den Airbagsensor gefordert, dass er eine Beschleunigung, diegrößer als 3g ist, nach spätestens 100μs anzeigt. Um das Auslösen des Airbags bei kleine-ren Beschleunigungen zu vermeiden, darf der Messwert während des Übergangsvorgangesseinen Endwert nicht wesentlich überschreiten.


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Abb. A4.4: Kompensationskreis des Airbag-Sensors

Der Kompensationskreis kann als Regelkreis aufgefasst werden (Abb. A4.4). Die Sum-me Fa+Fe der Kräfte, die von der Beschleunigung bzw. von der an die Elektroden angeleg-ten Spannung erzeugt werden, bewegen die mittlere Elektrode, verstimmen eine Brücken-schaltung und führen schließlich zur demodulierten Spannung ud(t). Diese Wirkungskettekann vereinfachend durch ein PT2-Glied mit der Grenzfrequenz ω0 = 50kHz und derDämpfung d = 0,5 dargestellt werden. Die Verstärkung dieses Übertragungsgliedes ist sogroß, dass bei maximaler Beschleunigung amax = 50g ohne Kompensationsrückführungdie demodulierte Spannung den statischen Endwert 10 V hat.

Stellgröße für die Kompensation ist die Spannung uc(t) an den Elektroden. Die Relati-on zwischen der an die vergrößerte Kapazität angelegten Spannung uc(t) und der dadurchauf die Elektroden wirkende Kraft Fe(t) ist nichtlinear, denn es gilt

Fe(t) = αuc(t)2,

wobei α ein Proportionalitätsfaktor ist, der von der Geometrie der Elektroden und dem Di-elektrikum abhängt. α kann berechnet werden, weil bekannt ist, dass der Sensor bis zurBeschleunigung amax verwendet wird, wobei die maximale Spannung ucmax = 10 V auf-tritt. Für die Bemessung der Rückführverstärkung wird die Nichtlinearität durch ein linearesstatisches Übertragungsglied ersetzt, dessen Verstärkung aus der quadratischen Beziehungfür den Betriebsfall a = 3g bestimmt wird. Wenn der Sensor richtig eingebaut ist, tretennur positive Positionsverschiebungen und folglich nur positive Spannungen auf.

Da die demodulierte Spannung ud(t) durch die Rückführung auf null gehalten werdensoll, wirkt die Beschleunigung als Störung auf den Kreis. Die Rückführung muss einenintegralen Anteil aufweisen, damit das Kompensationsprinzip verwirklicht werden kann.Es wird hier mit einer reinen I-Rückführung kI

sgearbeitet, die in Abb. A4.4 durch den

Integrator und das P-Glied mit der Verstärkung kI dargestellt ist. Zu bestimmen ist derVerstärkungsfaktor kI.

Das Messergebnis am(t) für die Beschleunigung erhält man aus der Spannung uc(t),die proportional zu am(t) ist.

Die heute verwendeten Beschleunigungssensoren werden in Mikrosystemtechnik her-gestellt, wobei der kapazitive Sensor mit der den Kompensationskreis realisierenden Schal-tung auf einem Chip zusammengefasst sind. Die Masse der auf einer Membran beweglichangeordneten Elektrode beträgt nur etwa 0,25g und die durch die Bewegung der Elektrodehervorgerufene Kapazitätsänderung liegt in der Größenordnung von 0,01 pF.

Bestimmen Sie kI für den Betriebspunkt a(t) = 3gσ(t) und überprüfen Sie das Ent-wurfsergebnis für a(t) = 20gσ(t), wobei Sie die Nichtlinearität dabei für den jeweiligenArbeitspunkt linearisieren.

Hinweise. In der angegebenen regelungstechnischen Interpretation wirkt die Beschleuni-gung als Störung. Man kann den Kreis aber auch so umzeichnen, dass das Ziel (A4.1) derKompensation als Forderung nach Sollwertfolge erscheint.


Das hier für den Airbag-Sensor beschriebene Kompensationsprinzip wurde in den fünf-ziger Jahren für kapazitive Membranmanometer zur Messung sehr kleiner Druckdifferenzenentwickelt [10], wobei das Kompensationsprinzip zunächst durch manuelle Einstellung ver-wirklicht wurde. Die selbsttätige Membranrückstellung ist in [34] beschrieben. Die in dieserAufgabe verwendeten Parameter gelten für die heute in Mikrosystemtechnik hergestelltenAirbag-Sensoren. �

AufgabeA4.6∗ Positionierung eines Radioteleskops

Im Bundesstaat Maharashtra im Westen Indiens sind 30 Radioteleskope über eine Distanzvon 25 km aufgebaut. Die Teleskope werden als Giant Metre Radio Teleskope (GMRT) be-zeichnet. Sie dienen zur Vermessung von Himmelskörpern mit elektromagnetischer Strah-lung mit Wellenlängen im Meterbereich. Durch die Baugröße der Antennen können lang-wellige Strahlungen mit einer hohen Empfindlichkeit empfangen werden. Bei einer Winke-labweichung von bis zu 2 Grad von der optimalen Ausrichtung zumMessobjekt können mitjedem der Telskope noch gute Messergebnisse erzielt werden. Die 30 Teleskope sind bau-gleich und haben einen Antennendurchmesser von 45 m mit einer Brennweite von 18,5 m.

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Abb. A4.5: Elevation der Antenne

Die Teleskope müssen bei der Vermessung von Himmelskörpern nachgeführt werden,indem sie um die vertikale Achse (Azimut-Achse) und um die horizontale Achse (Elevation-Achse) gedreht werden. Die Ausrichtung soll mit Hilfe einer Positionsregelung erfolgen,die den Elevations- und Azimutwinkel entsprechend einer Sollwertvorgabe möglichst exaktnachführt. Um die Haltekraft bei der Elevation der Antenne zu reduzieren, ist ein Gegenge-wicht so montiert, dass es das Gewicht der Antenne und des Empfängers im Gleichgewichthält.

In dieser Aufgabe soll die Positionsregelung für die Elevation entworfen werden. Fürdie Modellbildung können die Antenne und das Gegengewicht als Punktmassen mA undmG betrachtet werden, die im Abstand lA bzw. lG vom Drehpunkt der Antenne angeordnetsind. Die Anordnung ist in Abb. A4.5 dargestellt. Die Tabelle fasst die wichtigsten Parame-ter zusammen.


Parameter Bedeutung Wert

mA Gewicht der Antenne und des Empfängers 80 tmG Gegengewicht 40 tlA Hebelarm des Antennengewichts 3 mlG Hebelarm des Gegengewichts 6 mkR Reibungsbeiwert der Elevationsbewegung 0,1Nms

Die Regelung soll folgende Forderungen erfüllen. Es muss Sollwertfolge erreicht wer-den und bei sprungförmigen Änderungen des Sollwertes von w(t) = σ(t) (w in rad) darfdas Überschwingen maximal Δh = 2% betragen. Die Drehwinkelgeschwindigkeit ω darfden Maximalwert von ωmax = 20◦

minnicht überschreiten. �

AufgabeA4.7 Steuerung einer Schachtförderung im Steinkohlebergbau

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Abb. A4.6: Föderung imSchacht 2 des Bergwerkes

Lohberg

Die Förderung im Steinkohlenbergwerk Lohberg(stillgelegt 2005) brachte mit einem Förderkorb aufvier Tragböden bis zu 45 Kumpel gleichzeitig in 90Sekunden in eine Tiefe von 850m (Abb. A4.6). DieLeistung des Antriebs ist so dimensioniert, dass dieFörderung auch dann innerhalb von 10 Sekunden aufdie Endgeschwindigkeit beschleunigt werden kann,wenn ein Förderkorb besetzt und der andere leer ist.Zur Vereinfachung wird angenommen, dass das Seileine von der Beladung der Körbe unabhängige Längebesitzt und keine Reibung in der Umlenkrolle auftritt.Wenn sich der Förderkorb der Endposition sE =850m nähert (vgl. unten eingetragener Anschlag), sosoll ein rechtzeitig zugeschalteter Regler den Fahr-korb ohne Überschwingen in die gewünschte End-position bringen. Wie muss der Regler dimensioniertsein und wann muss er zugeschaltet werden?Da stets nur die Kumpel aus einer der vier Tragbö-den der Förderkörbe aussteigen können, müssen dieFörderkörbe dreimal angehoben werden, bis alle Mit-fahrer ausgestiegen sind. Kann hierfür dieselbe Posi-tionsregelung eingesetzt werden, wenn man für denKomfort der Mitfahrer fordert, dass der Ruck d3s

dt3

sehr klein sein soll? Wie kann man den Regler mo-difizieren, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist? �

AufgabeA4.8 Entwurf eines Geschwindigkeitsreglers

Entwerfen Sie den Geschwindigkeitsregler für ein Fahrzeug und bewerten Sie seine Funk-tion anhand von Simulationsuntersuchungen typischer Fahrsituationen.

Die mit den Markennamen Tempomat oder Tempostat bzw. als adaptive cruise control-ler (ACC) vertriebenen Geschwindigkeitsregler moderner Kraftfahrzeuge haben die Aufga-be, die Fahrgeschwindigkeit auf einem vom Fahrer vorgegebenen Sollwert zu halten. Sie


verwenden die Menge des in den Zylinder eingespritzten Kraftstoffs als Stellgröße. Typi-sche Güteforderungen verlangen, dass bei einer Veränderung der Sollgeschwindigkeit dieaktuelle Geschwindigkeit ohne Überschwingen dem Sollwert angepasst wird. Als Störgrö-ßen wirken auf den Regelkreis Steigungen und Wettereinflüsse. Oft wird durch Zusatzfunk-tionen sichergestellt, dass der Geschwindigkeitsregler abgeschaltet wird, wenn der Fahrerden Gang wechselt oder bremst bzw. dass generelle Geschwindigkeitsbeschränkungen (z.B. durch Winterreifen) oder temporäre Geschwindigkeitsbeschränkungen durch Verkehrs-zeichen eingehalten werden.

Das Fahrzeug kann bei dieser Aufgabe als Punktmasse betrachtet werden. Für den Mo-tor ist eine Beschreibung als PT1-Glied ausreichend.

Charakteristisch für den Einsatz dieses Reglers ist die Tatsache, dass häufig zwischenmanueller und automatischer Geschwindigkeitsregelung umgeschaltet wird. Wie kann manerreichen, dass die Fahrgeschwindigkeit v(t) beim Einschalten des Reglers nicht sprung-förmig verändert wird, also der Ruck v(t) möglichst klein bleibt? �

Anhang 5

Verzeichnis der wichtigstenFormelzeichen

Dieses Verzeichnis enthält die wichtigsten Formelzeichen und Symbole. Die Wahlder Formelzeichen hält sich an folgende Konventionen: Kleine kursive Buchstabenbezeichnen Skalare, z. B. x, a, t. Vektoren sind durch kleine halbfette Buchstaben, z.B. x,a, und Matrizen durch halbfette Großbuchstaben, z. B.A,X , dargestellt. Ent-sprechend dieser Festlegung werden die Elemente der Matrizen und Vektoren durchkursive Kleinbuchstaben, die gegebenenfallsmit Indizes versehen sind, symbolisiert,beispielsweise x1, x2, xi für Elemente des Vektors x und a12, aij für Elemente derMatrixA. Mengen sind durch kalligrafische Buchstaben dargestellt, z. B. Q,P .

A Systemmatrix Gl. (4.45)ai Koeffizienten der Differentialgleichung, des cha-

rakteristischen Polynoms, des Nennerpolynomsder Übertragungsfunktion

Gl. (4.3)

B, b Eingangsmatrix, Eingangsvektor Gl. (4.45)bi Koeffizienten der Differentialgleichung, des

Zählerpolynoms der ÜbertragungsfunktionGl. (4.3)

C, cT Ausgabematrix, Ausgabevektor Gl. (4.45)D, d Durchgangsmatrix, Durchgriff (skalar) Gl. (4.45)d Dämpfungsfaktor bei PT2-Gliedern Gl. (6.109)d(t), d(t) Störgröße (skalar, vektoriell)e(t), e(t) Regelabweichung (skalar, vektoriell)F (s) Rückführdifferenzfunktion Gl. (8.29)g(t) Gewichtsfunktion Gl. (5.122)G(s) Übertragungsfunktion Abschn. 6.5G(s), δG(s) Näherungsmodell, Modellfehler Abschn. 8.6G(s) Fehlerschranke Abschn. 8.6G0 Übertragungsfunktion der offenen Kette Gl. (7.9)


748 Anhang 5: Verzeichnis der Formelzeichen

Gd, Gw Störübertragungsfunktion, Führungsübertra-gungsfunktion

Gln. (7.5),(7.4)

h(t) Übergangsfunktion Gl. (5.116)I Einheitsmatrixj imaginäre Einheit j =

√−1k Verstärkungsfaktorks statische Verstärkung Gl. (5.119)K(s) Übertragungsfunktion eines Reglersm Anzahl der Eingangsgrößen (bei Mehrgrößen-

systemen)Gl. (4.48)

n dynamische Ordnung eines Systems; Grad desNennerpolynoms vonG(s)

N(s) Nennerpolynom einer ÜbertragungsfunktionO,0 Nullmatrix, Nullvektorp Anzahl der Ausgangsgrößen (bei Mehrgrößen-

systemen)Abschn. 4.3.3

q Grad der höchsten Ableitung der Eingangsgrößein der Differentialgleichung; Grad des Zählerpo-lynoms von G(s)

r relativer Grad Gl. (4.5) bzw.Gl. (4.48)

s komplexe Frequenz Kap. 6si, s0i Pole, Nullstellen dynamischer Systemet ZeitvariableT Transformationsmatrix Abschn. 5.3T, TΣ Zeitkonstante, Summenzeitkonstanteu(t), u(t) Eingangsgröße, Stellgröße (skalar, vektoriell)V Modalmatrix (Matrix der Eigenvektoren)vi Eigenvektor zum i-ten Eigenwertw(t), w(t) Führungsgrößex(t), xi(t) Zustand, Zustandsvariabley(t), y(t) Ausgangsgröße, Regelgröße (skalar, vektoriell)ys(t), yu(t) stationäres Verhalten, Übergangsverhalten Abschn. 5.5.2Z(s) Zählerpolynom einer Übertragungsfunktionδ(t) Diracimpuls Gl. (5.120)δG(s), δA Modellunbestimmtheiten Abschn. 8.6λ Eigenwert (der MatrixA)Σ, ΣR Bezeichnung für Systeme, Regelstrecke usw.σ(t) Sprungfunktion Gl. (5.113)φ Argument der Übertragungsfunktion, des Fre-

quenzgangsΦR Phasenrand Abschn. 8.5.5ω Frequenzωs Schnittfrequenz (im Bodediagramm)ωgr Grenzfrequenz, Parameter des PT1-Gliedes Gl. (6.108)ω0 Parameter des PT2-Gliedes Gl. (6.111)

Anhang 6

Korrespondenztabelle derLaplacetransformation

Die folgende Tabelle enthält die Korrespondenzen für die einseitige Laplacetransfor-mation (6.48) kausaler Signale:

Nr. Funktion f(t) mit f(t) = 0 für t < 0 F (s) = L{f(t)}

1 δ(t) 1

2 11

s

3 t1

s2

4 t2

2

1

s3

5tn−1

(n− 1)!

1

sn

6 e−δt 1

s+ δ


750 Anhang 6: Korrespondenztabelle der Laplacetransformation

Nr. Funktion f(t) mit f(t) = 0 für t < 0 F (s) = L{f(t)}

71

Te− t

T1

Ts+ 1

8 t e−δt 1

(s+ δ)2

9 1− e− tT

1

s(Ts+ 1)

10 1− T1

T1 − T2e− t

T1 +T2

T1 − T2e− t

T21

s(T1s+ 1)(T2s+ 1)

11 sinωtω

s2 + ω2

12 cosωts

s2 + ω2

13 e−δt sinωtω

(s+ δ)2 + ω2

14 e−δt cosωts+ δ

(s+ δ)2 + ω2

15 1− 1√1− d2

e−dt

T sin(√1− d2

t

T+ arccosd)

1

s(T 2s2 + 2dTs+ 1)

Anhang 7

Fachwörter deutsch – englisch

In diesem Anhang sind die wichtigsten englischen und deutschen regelungstechni-schen Begriffe einander gegenübergestellt, wobei gleichzeitig auf die Seite verwie-sen wird, auf der der deutsche Begriff erklärt ist. Damit soll dem Leser der Zugriffauf die sehr umfangreiche englischsprachige Literatur erleichtert werden.

adaptive Regelung,607

adaptive control

Allpass, 329 all-pass

Amplitude, 236 magnitude

Amplitudengang,255

magnitude plot

Amplitudenrand, 461 gain margin

Anfangszustand, 77 initial state

Anstiegszeit, 223 rise time

Ausgabegleichung,76

output equation

Ausgangsrückfüh-rung, 480

output feedback

Ausgangsvektor, 82 output vector

Bandbreite, 303 bandwidth

Begleitmatrix, 86 companion matrix

Beobachtungsnor-malform, 163

observer canonicalform

Beruhigungszeit, 360 settling time

bleibende Regelab-weichung, 373

steady-state error

Blockschaltbild, 44 block diagram

Bodediagramm, 254 Bode plot

charakteristischeGleichung, 142

characteristic equati-on

charakteristischesPolynom, 142

characteristic poly-nomial

Dämpfung, 304 damping

Dämpfungsfaktor,202

damping coefficient,damping constant

Deskriptorsystem, 95 descriptor system

dezentrale Regelung,27

decentralised control

Differentialglei-chung, 61

differential equation

digital vernetztes Re-gelungssystem, 456

networked controlsystem

Dynamikforderung,359

speed-of-responsespecification

dynamisches Sys-tem, 2

dynamical system

D-Regler, 413 derivative controller

Eigenbewegung, 126 zero-input response,natural response

Eigenvorgang, 154 mode


752 Anhang 7: Fachwörter deutsch – englisch

Eingangsvektor, 82 input vector

eingeschwungenerZustand, 187

steady state

einschleifige Rege-lung, 4

single-loop feedbacksystem

Einstellfaktor, 535 tuning factor

Empfindlichkeit, 392 sensitivity

Empfindlichkeits-funktion, 365

sensitivity function

Entwurf, 477 design

erzwungene Bewe-gung, 126

zero-state response,forced response

E/A-Beschreibung,135

input-output des-cription, externaldescription

E/A-Stabilität, 428 input-output stability

E/A-Verhalten, 132 input-output perfor-mance, input-outputbehaviour

Faltungsintegral, 182 convolution integral

fehlertoleranteSteuerung, 608

fault-tolerant control

Folgeregelung, 362 servocontrol

Fouriertransforma-tion, 246

Fourier transform

freie Bewegung, 126 free motion

Frequenzbereich,258

frequency domain

Frequenzgang, 248 frequency response

Führungsgröße, 4 command signal, re-ference signal

Führungsübergangs-funktion, 363

command stepresponse

Führungsverhalten,363

command response

Fundamentalmatrix,130

fundamental ma-trix, state-transitionmatrix

Fuzzyregelung, 17 fuzzy control

Gegenkopplung, 439 negative feedback

Gewichtsfunktion,176

impulse response

Gleichgewichtstheo-rem, 386

Bode’s sensitivity in-tegral

Gleichgewichtszu-stand, 422

equilibrium state

Grenzfrequenz, 303 cut-off frequency

Grenzwertsatz (derLaplacetransforma-tion), 265

final value theorem

Güteforderung, 357 performance specifi-cation

Gütefunktional, 480 performance index

Hurwitzkriterium,434

Hurwitz criterion

Hurwitzmatrix, 435 Hurwitz matrix

Inneres-Modell-Prinzip, 375

Internal ModelPrinciple

Integrator, 416 integrator

Integrierglied, 207 Type I system

interne Dynamik,170

internal dynamics

I-Regler, 413 integral controller

kanonische Normal-form, 140

canonical form

Kaskadenregelung,602

cascade control

kausal, 60 non-anticipatory

Kausalität, 184 causality

Knickfrequenz, 302 break point

komplementäreEmpfindlichkeits-funktion, 365

complementary sen-sitivity function

Korrekturglied (pha-senanhebend), 415

lead compensator

Korrekturglied (pha-senabsenkend), 415

lag compensator

Anhang 7: Fachwörter deutsch – englisch 753

Kreisverstärkung,365

loop gain

Laplacetransforma-tion, 257

Laplace transform

Linearisierung, 110 linearisation

Matrixexponential-funktion, 129

matrix exponential

Mehrgrößenrege-lung, 26

multivariable control

Messglied, 6 sensor

Messrauschen, 5 measurement noise

minimalphasigesSystem, 332

minimumphase sys-tem

Modellunsicherhei-ten, 463

model uncertainties

Modellvereinfa-chung, 215

model aggregation,model simplification

Nachstellzeit, 412 reset time

Nicholsdiagramm,486

Nichols plot

nicht sprungfähigesSystem, 90

strictly proper sys-tem

Nulldynamik, 170 zero dynamics

Nullstelle, 278 zero

Nyquistkriterium,446

Nyquist criterion

Nyquistkurve, 443 Nyquist contour

offene Kette, 364 open-loop system

Ortskurve, 254 Nyquist plot, polarplot

Parallelschaltung,294

parallel connection

Partialbruchzerlegung,287

partial fraction ex-pansion

Phasengang, 250 phase plot, Bodephase plot

Phasenporträt, 80 phase portrait

Phasenrand, 459 phase margin

PID-Regler, 412 proportional-plus-integral-plus-deriva-tive (PID) controller,three term controller

PN-Bild, 279 pole-zero map, pole-zero diagram

Pol, 278 pole

Polüberschuss, 279 pole-zero excess

prädiktive Regelung,586

predictive control

Proportionalglied,200

Type-0 system

Prozess, 2 process

Prozessregelung, 24 process control

PT1-Glied, 201 first-order lag ele-ment

P-Regler, 413 proportional control-ler

rechnergestützterEntwurf, 481

computer-aideddesign

Regelabweichung, 6 control error

Regelgröße, 4 variable to be con-trolled, controlledvariable, plant output

Regelkreis, 5 closed-loop system,control system

Regelstrecke, 4 plant, controlled sys-tem

Regelung, 3 feedback control

Regelungsnormal-form, 89

controller canonicalform

Regelungstechnik, 1 control engineering

Regler, 4 controller, regulator

Reglereinstellung,479

controller tuning

Reglerentwurf, 18 controller design

Reglergesetz, 6 control law

Reglerverstärkung,382

feedback gain

754 Anhang 7: Fachwörter deutsch – englisch

Reihenschaltung,293

series connection,chain structure

Rekonfiguration, 608 reconfiguration, re-configurable control

relativer Grad, 62 relative degree

Resonanzfrequenz,360

resonance frequency

Resonanzüberhö-hung, 313

resonant peak

robuster Regler, 606 robust controller

Robustheit, 10 robustness

Rückführdifferenz-funktion, 438

return differencefunction

Rückkopplung, 10 feedback

Rückkopplungs-schaltung, 294

feedback connection

Ruhelage, 422 equilibrium state

Schnittfrequenz, 534 crossover frequency

Signal, 41 signal

Signalflussgraph, 55 signal-flow graph

Sollwert, 4 set-point, desired va-lue

Sollwertfolge, 358 asymptotic regulati-on, asymptotictracking, setpoint fol-lowing

Sprungantwort, 175 step response

sprungfähiges Sys-tem, 90

biproper system; sys-tem with feedthrough

Sprungfunktion, 175 step function

Stabilisierung, 387 stabilisation

Stabilität, 421 stability

Standardregelkreis,363

standard control loop

statische Verstär-kung, 176

DC gain, static rein-forcement

Stellglied, 5 actuator

Stellgröße, 4 control signal,actuating signal,plant input

Steuermatrix, 82 input matrix

Steuerung, 2 control

Steuerung im ge-schlossenen Wir-kungskreis, 11

feedback control

Steuerung in der of-fenen Wirkungskette,11

feedforward control

Störgröße, 4 disturbance

Störunterdrückung,362

disturbance rejec-tion, disturbance at-tenuation

System, 2 system

Systemmatrix, 77 system matrix

Totzeit, 119 dead time, time delay

Totzeitglied, 211 time delay element,transport lag element

Trajektorie, 80 trajectory

Übergangsfunktion,175

step response

Übergangsmatrix,130

state transition ma-trix

Übergangsverhalten,186

transient response

Überschwingweite,360

peak overshoot

Überschwingzeit,536

peak time

Übertragungs-funktion, 266

transfer function

Übertragungsglied,45

transfer element

Verhalten, 185 performance, beha-viour

Verzögerung, 201 delay

Anhang 7: Fachwörter deutsch – englisch 755

Verstärkung, 382 gain

vorausschauend, 72 anticipatory

Vorfilter, 397 prefilter

Vorsteuerung, 9 feedforward control

Wurzelort, 501 root locus

Zeitbereich, 258 time domain

Zeitkonstante, 282 time constant

Zeitkonstantenformder Übertragungs-funktion, 283

Bode form of thetransfer function

Zustand, 79 state, state vector

Zustandsgleichung,76

state equation

Zustandsraum, 80 state space

Zustandsstabilität,423

internal stability,Lyapunov stability

Zustandsvariable, 79 state variable

Sachwortverzeichnis

adaptive Regelung, 607adaptiver Regler, 607adjungierte Matrix, 273Ähnlichkeitssatz, 263algebraische Schleife, 103Allpass, 329Amplitude, 236Amplitudendichte, 244Amplitudendichtespektrum, 244Amplitudengang, 250, 255Geradenapproximation d. A., 301, 312,

322Amplitudenkennlinie, 255Amplitudenrand, 461Amplitudenspektrum, 242Amplitudenüberhöhung, 360Analyse, 17Anfangszustand, 77Anstiegszeit, 223, 360Architektur der Steuerung, 596asymptotische Stabilität, 423Ausgabegleichung, 76Ausgangsgröße, 59Ausgangsrückführung, 480Ausgangssignal, 59Ausgangsvektor, 82autonomes System, 77

Bahnkurve, 80Bandbreite, 303, 319, 360BARKHAUSEN, H., 438Begleitmatrix, 86, 159Beispiele, XVII, 21BeispielAbfüllautomat, 35Abstandsregelung von Fahrzeugen, 377,

560, 603Airbagsensor, 741

Backofen, 40Badewanne, 212Blutzuckerregelung, 37Budgetverteilung in Unternehmen, 341Chauffeur als Regler, 35, 472Dampfmaschine, 8, 378digital vernetztes System, 456Eisenbahn, 136Fahrrad, 523Fahrzeug, 31, 53, 115, 136, 213, 342, 411Feder-Masse-Dämpfer-System, 192, 198Feder-Masse-Schwinger, 64, 84, 87, 99,

251, 326Feder-Masse-System, 100Flugregelung, 33, 156, 328, 342, 559, 739Flussgebiet der Werra, 50Frequenz-Übergabeleistungsregelung, 28,

376Geschwindigkeitsregler, 744Gleichstrommotor, 144, 217, 343, 353,

465, 470, 512, 560, 563, 564, 738Golf, 84Herzschrittmacher, 9Hörsaal, 213invertiertes Pendel, 436, 516, 525Körpertemperaturregelung beim

Menschen, 598künstliche Beatmung, 54Klinkerkühler, 45, 473Knotenspannungsregelung, 551, 603Kochtopf, 213Kraftwerksregelung, 436Lagerhaltung, 51, 53Lautsprecheranlage, 457Lautstärkeregler, 35nichtminimalphasiges Reaktorsystem, 338Operationsverstärkerschaltung, 297Parallelschwingkreis, 285


758 Sachwortverzeichnis

Pendel, 118Radioteleskop, 743Raumflugkörper, 462Raumtemperaturregelung, 21, 40, 599RC-Glied, 109, 128, 141, 185, 212, 273,

328, 342Reihenschwingkreis, 62, 69, 75, 81, 84,

92, 97, 148, 162, 172, 199, 409, 526RL-Glied, 72Ruderstellsystem, 522Rührkesselreaktor, 24, 69, 117, 137, 347,

406, 411, 587, 591, 599Schachtförderung, 744Schiffsregelung, 521, 528Schwingungsdämpfer, 353Spannungs-Blindleistungsregelung, 28Stellventil, 213Stufenreaktion, 212Talsperrenregelung, 377Tank-System, 82, 110, 128, 231, 281Temperaturregelung, 7, 10, 23, 228, 350,

483, 556, 571, 599Thermostatventil, 380, 472UASB-Reaktor, 47Verbrennungsmotor, 564Verladebrücke, 7, 133, 285, 328, 512, 741Wärmeübertrager, 739Wasserkraftwerk, 334Wirkstoffkonzentration im Blut, 206

BELL, A. G., 256Beobachtbarkeit, 174Beobachternormalform, siehe Beobach-

tungsnormalformBeobachtungsmatrix, 82Beobachtungsnormalform, 163Beruhigungszeit, 360, 494Bewegung, siehe Verhalten

erzwungene B., 126freie B., 126

Bewegungsgleichung, 126, 130B. in kanonischer Darstellung, 153

Bildbereich, 258Bildfunktion, 257bleibende Regelabweichung, 359, 373, 539Blockschaltbild, 42–44, 295Bode integral, 386BODE, H. W., 254Bodediagramm, 254

charakteristische Gleichung, 278c. G. eines Regelkreises, 437c. G. eines Systems, 142

charakteristisches Polynom, 142, 273, 278,432, 442

CHEN, C.-T., 475

D-Glied, 99, 209, 275, 319D-Regler, 413DAE-System, siehe DeskriptorsystemDämpfung, 304, 490Dämpfungsfaktor, 202Dämpfungssatz, 264Deskriptorsystem, 95, 275dezentrale Regelung, 27, 605Dezibel, 256Differentialgleichung, 61

Lösung der D., 124Differentiation, 72Differentiationssatz, 264Differenzgrad, siehe relativer GradDifferenzierglied, 72, 99, siehe D-GliedDifferenzordnung, siehe relativer Graddigital vernetztes Regelungssystem, 456Diracimpuls, 177, 259dirichletsche Bedingung, 238, 244, 257Distribution, 177Dominanzmaß, 216dominierendes Polpaar, 490Doppelintegrator, 208Druckstoßverhalten, 336DT1-Glied, 209Dualität, 165Durchgangsmatrix, 82Dynamikforderung, 359dynamische Ordnung, 174dynamisches System, 2, 41, 184

E/A-Beschreibung, 135, 251, 266E/A-Dynamik, 166, 168E/A-Normalform, 165E/A-Stabilität, 428E/A-Verhalten, 132, 182Eigenbewegung, 126Eigenfrequenz, 304, 490Eigenvorgang, 154Eigenwert, 174Eingang

versteckter E., 169

Sachwortverzeichnis 759

Eingangs-Ausgangs-Verhalten, sieheE/A-Verhalten

Eingangsgröße, 59Eingangssignal, 59Eingangsvektor, 82eingeschwungener Zustand, 187Einhüllende, 261Einheitsimpuls, 177einschleifige Regelung, 4Einschwingvorgang, 186Einschwingzeit, 360, 537Einstellfaktor, 535Einstellregel, 479Empfindlichkeit, 392Empfindlichkeitsfunktion, 365, 385, 393komplementäre E., 469

Energienetzintelligentes E., 29

Entwurf, siehe Reglerentwurf, rechnerge-stützter Entwurf

erzwungene Bewegung, 126EVANS, W. R., 529Exponentialfunktion, 259extern positives System, 453

Faddeevalgorithmus, 273Fahrerassistenzsystem, 31Faltungsintegral, 182Faltungssatz, 265fehlertolerante Regelung, 608fehlertolerante Steuerung, 608Festwertregelung, 14, 362, 381Filter, 268Folgeregelung, 14, 362, 381Fourierintegral, 244Fourierkoeffizient, 238Fourierreihe, 238Exponentialdarstellung der F., 239

Fourierrücktransformation, 246Fouriertheorem, 237Fouriertransformation, 246Fouriertransformierte, 244, 258freie Bewegung, 126Frequenz, 242Frequenzbereich, 237, 258Frequenzgang, 248, 250, 267, 277experimentelle Bestimmung des F., 251Interpretation des F., 250

Frequenzkennliniendiagramm, 254

Frequenzkennlinienverfahren, 531Frobeniusmatrix, 86Führungsgröße, 4Führungsgrößengenerator, 371Führungsübergangsfunktion, 368Führungsübertragungsfunktion, 363Führungsverhalten, 363Fundamentalmatrix, 130Funktionstabile F., 244

Funktionalmatrix, 113Fuzzyregelung, 17

Gain/phase theorem, 355Gebäudeautomatisierung, 21Gegenkopplung, 8, 439G. bei I-Reglern, 439

Gegenkopplungsbereich, 386gestörtes System, 77Gewichtsfunktion, 174, 176G. in kanonischer Darstellung, 179

Gleichgewichtstheorem, 386Gleichgewichtszustand, 174, 409, 422stabiler G., 423

Grenzfrequenz, 303, 319Grenzwertsatz (der Laplacetransformation),

265Güteforderung, 357Gütefunktional, 480

H2-Optimierung, 576HEAVISIDE, O., 175Heavisidefunktion, 175HERTZ, H. R., 242high gain feedback, 519Hilfsregelgröße, 599Hilfsstellgröße, 604Hochpass, 319Homöostase, 35HOROWITZ, I. M., 486, 529HSU, C.-H., 475Hsu-Chen-Theorem, 442HURWITZ, A., 433, 475Hurwitzdeterminante, 434Hurwitzkriterium, 434Hurwitzmatrix, 435Hurwitzpolynom, 435

I-Glied, 207, 317


I-Regler, 413I-Stabilität, 441I2-Glied, 208Identifikation, 43, 60IMC-Regelung, 573Impulsantwort, siehe GewichtsfunktionInneres-Modell-Prinzip, 375, 570Integralformel von Cauchy, 277Integrationssatz, 264Integrator, 416Integratorkette, 87, 89Integrierglied, siehe I-GliedIntensivmedizin, 37Internal Model Control, siehe IMC-Regelunginterne Dynamik, 166, 170, 174, 401Invarianz, 173

I. gegenüber Zustandstransformation, 173I. gegenüber Störung, 597, 601statische I., 598

ISE-Kriterium, 577IT1-Glied, 207, 222, 317

Jacobimatrix, 113Jordannormalform, 152

KALMAN, R. E., 121kanonische Normalform, 140kanonische Zustandsvariable, 144Kaskadenregelung, 602kausal, 60, 71Kausalität, 71, 184Kennfunktion, 175Kennwertermittlung

K. für PT1-Glied, 220K. für PT1Tt-Glied, 224K. für PT2-Glied, 223

Knickfrequenz, 302Knickpunktabstand, 535Kolonnenstabilität, 560Kompartimentmodell, 206Kompensationsregler, 567komplementäre Empfindlichkeitsfunktion,

365, 469, 581kompositionale Modellbildung, 56Konvergenzabszisse, 258koordinateninvariante Eigenschaften, 173Kopplung, 53koprim, 280Korrekturglied, 415, 515, 546

phasenabsenkendes K., 415phasenanhebendes K., 415

Korrespondenztabelle, 258, 749Kreisfrequenz, 242Kreisverstärkung, 365kritischer Punkt, 447KÜPFMÜLLER, K., 475

Laplaceintegral, 257Laplacerücktransformation, 260Laplacetransformation, 257

Eigenschaften der L., 263Interpretation der L., 260

lineares System, 69Linearisierung, 110Linearität, 69, 135LJAPUNOW, A. M., 423, 475loopshaping, 479, 545

Matrixadjungierte M., 273

Matrixexponentialfunktion, 129MAXWELL, J. C., 19Mechatronik, 32Medizintechnik, 37Mehrgrößenregelung, 4, 26, 480, 605Mehrgrößensystem, 82MEMS, 32Messglied, 6Messrauschen, 5minimalphasiges System, 332Minimalrealisierung, 89Mitkopplungsbereich, 386Mode, 154model matching, 567Modellaggregation, siehe Modellvereinfa-

chungModellannahme, 42, 105modellbasierte Regelung, 569, 574modellbasierte Verfahren, 16Modellbildung, 17, 41, 59

Identifikation, 43theoretische M., 43, 60, 93

Modellrückkopplung, 574Modellunbestimmtheit, 360, 361, 463Modellunsicherheit, siehe Modellunbe-

stimmtheitModellvalidierung, 43Modellvereinfachung, 215, 232, 361


MSR-Schema, 52

Nachlaufregelung, 362Nachrichtentechnik, 269Nachstellzeit, 412Networked control system, 456Nicholsdiagramm, 486nichtlineare KennlinieLinearisierung der n. K., 114, 719

nichtlinearer Regler, 607nichtminimalphasiges System, 332, 403n. Regelkreis, 384

Normalform des Zustandsraummodells, 140Normaxiom, 423Nulldynamik, 170, 195Nullstelle, 174, 188, 232, 278Berechnung, 191, 194Interpretation der N., 280N. des Regelkreises, 377

NYQUIST, H., 442, 475Nyquistkriterium, 446Nyquistkurve, 443, 453

offene Kette, 9, 364Operationsverstärker, 297, 417Ordnungsreduktion, siehe Modellvereinfa-

chungOriginalbereich, 258Originalfunktion, 257, 258Ortskurve, 254

P-Glied, 200P-Regler, 413Padéapproximation, 348, 353Padéentwicklung, 345Parallelschaltung, 101, 294Parameteroptimierung, 480Parametrierung aller stabilisierenden Regler,

576parsevalsches Theorem, 578Partialbruchzerlegung, 287PD-Regler, 413, 515Pendelgleichung, 118perfekte Regelung, 380Phase, 236Phasengang, 250, 255Phasenkennlinie, siehe PhasengangPhasenporträt, 80Phasenrand, 459

Phasenrandkriterium, 459Phasenraum, 80Phasenspektrum, 242Phasenverschiebung, 250PI-Regler, 413, 584PID-Regler, 412, 515PN-Bild, 279, 489, 505Pol, 278Interpretation der P., 280

Pol-Nullstellen-Bild, 279Polpaardominierendes P., 490

Polstelle, siehe PolPolüberschuss, 279, siehe relativer GradP. als Maß der Verzögerung, 300, 325

positives System, siehe extern positivesSystem

prädiktive Regelung, 586, 593Prädiktor, 586Primärregelung, 29proper, 254Proportionalglied, siehe P-Glied, 300Prozess, 2Prozessanalyse, 60Prozessregelung, 24PT1-Glied, 201, 219, 290, 300PT1Tt-Glied, 211, 224PT2-Glied, 202, 223, 274, 304, 449, 490PTn-Glied, 201

Raumtemperaturregelung, 21, 599realisierbar, 62, 73Realisierung, 271minimale R., 105

rechnergestützter Entwurf, 481Regelabweichung, 6bleibende R., 373, 539

Regeldifferenz, 4Regeleinrichtung, siehe ReglerRegelfaktor, 385Regelgröße, 4Regelkreis, 5erweiterte Struktur des R., 5Freiheitsgrade des R., 11, 367Grundstruktur des R., 4, 363, 479

Regelkreisentwurf, 358Regelkreisstruktur, 477Regelstrecke, 4R. mit Ausgleich, 416


Regelung, 3adaptive R., 607dezentrale R., 605digital vernetzte R., 456fehlertolerante R., 608Mehrgrößenregelung, 480modellbasierte R., 569, 574nichtlineare R., 607perfekte R., 380R. mit hoher Kreisverstärkung, 519rekonfigurierbare R., 608vermaschte R., 595

Regelung mit zwei Freiheitsgraden, 11, 398Regelungsaufgabe, 4Regelungsnormalform, 89, 158Regelungstechnik, 1Regelungsziel, 4, 357Regler, 4, siehe I-Regler, P-Regler,

PI-Regler, PID-Regleradaptiver R., 607dezentraler R., 605nichtlinearer R., 607prädiktiver R., 593robuster R., 606

Reglereinstellung, 479Reglerentwurf, 18, 397, 477, siehe

rechnergestützter EntwurfReglergesetz, 6, 71, 357, 515, 570, 605Reglerparameter, 397, 477, 501, 572, 607Reglerstruktur, 416, 477Reglersynthese, 397Reglertypen, 412Reglerverstärkung, 382Reihenschaltung, 101, 293Rekonfiguration, 608rekonfigurierbare Regelung, 608relativer Grad, 62, 89, 160, 174, 271, 279,

299, 325, 580Relativgrad, siehe relativer GradResiduensatz, 444Resonanz, 190Resonanzfrequenz, 313, 360Resonanzüberhöhung, 313Robotersteuerung, 29robuster Regler, 606Robustheit, 10, 26, 376, 463, 519Robustheitsforderung, 360ROUTH, E. J., 475

Rückführdifferenzfunktion, 438Rückführschaltung, 102Rückkopplung, 10Rückkopplungsschaltung, siehe Rückführ-

schaltung, 294Ruhelage, 422

s-Bereich, 258SCHMIDT, H., 19Schnittfrequenz, 459, 534SCHWARZE, G., 232Schwingungsdämpfer, 353Sekundärregelung, 29Selbsterregungsbedingung, 438Servoregelung, 404Signal, 41

kausales S., 60stabiles S., 132, 244, 426

Signalflussgraph, 55Signalverzweigung, 45Smart grid, 29SMITH, O. J. M., 593Smithprädiktor, 585, 601Solltrajektorie, 398Sollwert, 4Sollwertfolge, 358Spektraldichte, 244Sprungantwort, siehe ÜbergangsfunktionSprungfunktion, 175Störunterdrückung, 362Stabilisator (Schiff), 528Stabilisierbarkeit, 174Stabilisierung, 10, 387Stabilität, 132, 174, 421

asymptotische S., 423E/A-Stabilität, 428exponentielle S., 426I-Stabilität, 441innere S., 440Ljapunowstabilität, 423robuste S., 463Zustandsstabilität, 423

Stabilitätsgrenze, 451Standardregelkreis, 363stationäre Genauigkeit

s. G. des Regelkreises, 359s. G. eines Modells, 215

stationäres Verhalten, 187, 269


statische Verstärkung, 108, 174, 176, 298,364, 379, 501, 598

Stellglied, 5Stellgröße, 4Stellgrößenbeschränkung, 381Steuerbarkeit, 174Steuerbarkeitsmatrix, 160Steuereinrichtung, 9Steuermatrix, 82Steuerstrecke, 9Steuerung, 2Architektur d. S., 596diskrete S., 11S. im geschlossenen Wirkungskreis, 3, 10S. in der offenen Wirkungskette, 9vermaschte S., 596

Steuerungsnormalform, siehe Regelungsnor-malform

Stoßfunktion, 177Störgröße, 4Störgrößenaufschaltung, 596Störgrößengenerator, 370Störgrößenregelung, 362Störkompensation, 10, 358Störübergangsfunktion, 368Störübertragungsfunktion, 363Störverhalten, 539Strecke, siehe RegelstreckeSTREJC, V., 232Struktur dynamischer Systeme, 43Strukturbild, 44Summationsstelle, 45Summenzeitkonstante, 219, 283, 541Superpositionsprinzip, 69SYLVESTER, J. J., 139Sylvesterformel, 139System, 2, 41autonomes S., 77DAE-S., 95differentiell flaches S., 418dynamisches S., 41extern positives S., 453gestörtes S., 77lineares S., 69minimalphasiges S., 332nicht sprungfähiges S., 90nichtminimalphasiges S., 332realisierbares S., 62, 73

sprungfähiges S., 90, 176, 254, 275, 299ungestörtes S., 77zeitvariables S., 119

Systembiologie, 36Systemmatrix, 77, 82Systemordnung, 77

Tank-System, 181technisch realisierbar, siehe realisierbarTemperaturregelung, 483, 556, 571, 599Tiefpass, 303Totzeit, 119Totzeitglied, 211, 223, 263, 343Approximation von T., 344

Totzeitsystem, 118, 271, 455, 539Trajektorie, 80Trajektorienplanung, 398transformierte Zustandsgleichung, 141Transitionsmatrix, siehe ÜbergangsmatrixTransitionszeit, 405

Übergangsfunktion, 174, 175Übergangsmatrix, 130, 138, 292Übergangsverhalten, 186, 269Überlagerungssatz, 263Überschwingweite, 360, 492Überschwingzeit, 360, 492, 536Übertragungsfunktion, 266Ü. in kanonischer Darstellung, 270Exponentialform der Ü., 266Interpretation der Ü., 267Pol-Nullstellen-Form der Ü., 279Polynomform der Ü., 278positiv reelle Ü., 328Produktform der Ü., 283Zeitkonstantenform der Ü., 283

Übertragungsglied, 45Übertragungsverhalten, 135, 175Unempfindlichkeitsbereich, 386ungestörtes System, 77

Vektorfeld, 81Vektornorm, 423Verhalten, 123, 185E/A-Verhalten, 132stationäres V., 186transientes V., 186Übergangsverhalten, 186

vermaschte Regelung, 595


vernetzte Regelung, 456Verschiebeprinzip, 74Verschiebungssatz, 263Verstärkung, siehe statische Verstärkung,

Kreisverstärkungversteckter Eingang, 169Verzögerungsglied, 201Verzugszeit, 223vorausschauend, 72Vorfilter, 397Vorhalteglied, 209Vorhaltezeit, 412Vorsteuerung, 9, 11Vorsteuerungsentwurf, 399

inversionsbasierter V., 402

WATT, J., 8WESTCOTT, J. H., 386Wirkungsrichtung, 44Wirkungsschema, 44Wortmodell, 42Wurzelort, 501Wurzelortskurve, 501

Amplitudenbedingung der W., 504Asymptoten der W., 506Phasenbedingung der W., 504Symmetrie der W., 505

Wurzelortskurvenverfahren, 513

YOULA, D. C., 576, 593Youlaparametrierung, 576

Zeit-Bandbreiten-Produkt, 304Zeitbereich, 258Zeitkonstante, 201, 282Zustand, 79Zustandsäquivalenz, 141Zustandsgleichung, 76

Lösung der Z., 129transformierte Z., 141

Zustandsgröße, 79Zustandskurve, 80Zustandsraum, 80Zustandsraummodell, 74

lineares Z., 76nichtlineares Z., 111Z. in Beobachtungsnormalform, 163Z. in E/A-Normalform, 165Z. in kanonischer Normalform, 140Z. in Regelungsnormalform, 89, 158

Zustandsrückführung, 480Zustandsstabilität, 423Zustandsvariable, 79

kanonische Z., 144Zustandsvektor, 79, 82

Documents

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