Liquidos_acelerados

7/30/2019 Liquidos_acelerados

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Informe de Laboratorio publicado en Fsica re-Creativa: www.fisicarecreativa.com

Comportamiento de fluidos aceleradosEstudio experimental y modelo terico

Alejandra Barnfather(a)

, Matas Benitez(b)y Victoria Crawley(c)

Laboratorio de Fsica III (Curso 2003), Facultad de Ingeniera y Ciencias Exactas yNaturales, Universidad Favaloro, Av. Belgrano 1723, (1093) C. A. de Buenos Aires

El objetivo de este trabajo es estudiar el comportamiento de un fluido cuando se losomete a una aceleracin. Se propone un modelo terico que describe la forma que

adquiere la superficie del fluido acelerado debido al gradiente de presin generadopor la aceleracin. Luego se describen los experimentos realizados con agua y

detergente. Estos lquidos se colocaron en un recipiente adecuado que poda seracelerado de manera controlada. Se estudiaron dos casos: en el primero, se someti

al fluido a una aceleracin lineal constante; en el segundo, se lo hizo rotar convelocidad angular constante alrededor de un eje de simetra del recipiente que lo

contena. Con una cmara digital se registraron las formas de las superficies en cadasituacin. El anlisis de los datos experimentales muestra la adecuacin del modeloterico empleado.

Introduccin

Cuando un fluido (lquido o gas) est en reposo ejerce una fuerza perpendicular a

cualquier superficie en contacto con l, como la pared del recipiente o un cuerpo sumergido

en el fluido. Si imaginamos una superficie dentro del fluido, ste ejerce fuerzas iguales y

opuestas a cada lado de ella (si no, la superficie se acelerara y el fluido no permanecera en

reposo).

Consideremos una superficie pequea de rea dA centrada en un punto en el fluido.

La fuerza normal ejercida por el fluido sobre cada lado es dF. Se define presinp en ese

punto a la fuerza normal por unidad de rea:[1]

dA

dFp = (1)

Si la presin es la misma en todos los puntos de la superficie plana finita de reaA, entonces:

A

Fp = (2)

dondeF es la fuerza normal neta sobre un lado de la superficie. Adems, sobre la superficie

libre del fluido acta la presin atmosfricaPo. A nivel del mar es:

P0 = 1 atm = 1,013 x 105

Pa (3)

Mediante consideraciones sencillas podemos deducir una expresin general entre la

presinp en cualquier punto de un fluido en reposo y la alturazdel mismo. Suponiendo que

la densidad y la aceleracin debida a la gravedadgson las mismas en todo el fluido, si ste

est en equilibrio cada elemento de volumen tambin lo est.[1] Consideremos un elemento

delgado, de altura dz, con superficies inferior y superior de reaA, ubicadas a alturaszyz+

dzpor encima de algn nivel de referencia donde z = 0 (Figura 1). El volumen del elemento

de fluido es:


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dzAdV = (4)

y su masa dm y la fuerza peso dWque acta sobre esta masa son:

dzAdVdm == (5)

dzAggdmdW == (6)

Las otras fuerzas que actan sobre este elemento son las fuerzas de presin. La

presin en la superficie superior esp+dp y en la inferior esp (Figura 1).

Figura 1- Representacin grfica de un diferencial de volumen del fluido en la direccinz(en esta direccin el

fluido se encuentra en reposo).

Como el elemento de fluido est en equilibrio en la direccinz, usando la segunda leyde Newton obtenemos que la fuerza neta en esta direccin debe anularse:

0= yF (7)

es decir,

0)( =+ dmgAdppAp (8)

Usando las expresiones (4) y (6) obtenemos:

dzgdp = (9)

y finalmente:

)()( xpzgzpgdz

dp+== (10)

Para ajustar la presin hay que realizar el mismo razonamiento en la direccin x delsistema. Nuestro estudio se realiz con una aceleracin determinada en la direccin x. Poresta razn, usando las leyes de Newton, la fuerza neta es:

amFx = (11)

A continuacin se desarrolla el mismo razonamiento para los dos sistemasestudiados.

Caso 1:

Se somete el recipiente a una aceleracin constante en la direccin creciente dex (verFigura 2). Como consecuencia la superficie adquiere una pendiente distinta de cero.


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Figura 2- Izquierda: Recipiente de largoL que contiene un fluido en reposo. Derecha: Al aceleraruniformemente el recipiente se observa el cambio en la pendiente de la superficie libre del fluido.

Imaginamos un volumen pequeo de ancho dx. La presin aplicada sobre el mismo es

p sobre la cara izquierda yp+dp sobre la cara derecha (ver Figura 3).

Figura 3- Representacin grfica de un elemento diferencial de volumen del fluido sometido a una aceleracinconstante en el sentido dex creciente.

Usando la ley de Newton (ecuacin (11)) obtenemos:

admAdppAp =+ )( (12)

donde A es el rea de la superficie y dm la masa del volumen elegido. Con las relacionesdefinidas por la ecuacin (5):

adxAAdppAp =+ )( (13)

Finalmente obtenemos:

)()( zPxaxpAdx

dp+== (14)

De las expresiones (10) y (14) obtenemos:

+= zgxazxP ),( (15)

de donde vemos que sizaumenta,p disminuye. Es decir que al subir en el fluido, la presindisminuye.

Para obtener la constante planteamos condiciones de contorno. Sabemos que elpunto medio de la superficie del fluido enx0 =L/2 se mantiene constante (a la altura inicial

del lquido en reposo); entonces:

)(),( 00000 hgxaPhgxaPhxP ++=+== (16)

Por otro lado, en la superficie del lquido la presin es siempre la misma y valeP0:


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)( 000 hgxaPzgxaP +++= (17)

xahgxaxzg += )()( 0 (18)

Despejandoz, obtenemos la forma de la superficie del lquido:

g

xah

g

xaxz

+

= 0)( (19)

que, como vemos, depende dex. La expresin (19) obtenida se reduce az= h = cte. cuando a

= 0 (fluido en equilibrio).

Caso 2:

Si hacemos girar el fluido con velocidad angular constante alrededor de su eje de

simetra, estamos aplicando una aceleracin radial constante dirigida hacia el eje. De esta

manera se forma una superficie libre curva debido a los cambios en la presin generados por

este movimiento (ver Figura 4).

Figura 4- Izquierda: Recipiente con un fluido en reposo. Derecha: Al acelerar al recipiente radialmente se

observa el cambio en la forma de la superficie libre del fluido.

La resolucin de este problema es muy similar al Caso 1, teniendo en cuenta que en

el presente caso, la aceleracin, como es radial, apunta hacia el eje de rotacin (ver Figura 5).

Figura 5- Representacin grfica de un elemento diferencial de volumen del fluido en rotacin.


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A travs del uso de las leyes de Newton (ecuacin (11)) resulta:

radadmAdppAp =+ )( (20)

Usando el mismo razonamiento con el que se determin la presin en funcin de la

altura obtenemos:

)(2

)(22

2zp

xxpx

dx

dp+

==

(21)

Combinando las expresiones (10) y (21) obtenemos:

+

= zgx

zxp2

),(22

(22)

Al igual que en el Caso 1 sabemos que sobre la superficie la presin es igual a P0:

0

2222

0

22

Px

zgzgx

P +

=+

=

(23)

Para obtener la constante planteamos condiciones de contorno, para lo que

tomamos en cuenta que el volumen del fluido se mantiene constante. Como la profundidaddel recipiente no vara, en este caso lo que se mantiene constante es el rea (regin

sombreada de la Figura 4). De esta forma planteamos que el rea total bajo la curva z(x) debeser igual al rea inicial (A = L h). Para resolver las integrales efectuamos los siguientes

cambios de variables:

ga

=

2

2(24)

g

P

=

0 (25)

Planteando las integrales y utilizando la ecuacin (22):

( ) +=L

dxxahL0

2 (26)

LLa

hLxx

ahL

L

+

=

+=

33

3

0

3

(27)

de donde:

3

2Lah

= (28)

Igualando las expresiones (25) y (28) obtenemos:

0

22

6P

Lgh +

=

(29)

y finalmente obtenemos la forma de la superficie del lquidoz(x) introduciendo (29) en (23):


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hL

xg

xz +

=

32)(

22

2

(30)

Esta expresin predice que la superficie del fluido que gira con velocidad angular constante

tomar la forma de una parbola.

Del anlisis de las expresiones (19) y (30) podemos observar que, en el marco del

modelo propuesto, la forma que adopta la superficie del fluido acelerado no depende de la

densidad del mismo.

El objetivo del presente trabajo es estudiar experimentalmente el comportamiento de

diferentes fluidos acelerados en las situaciones descriptas, y ver si las expectativas del

modelo desarrollado se ajustan a los datos experimentales.

Mtodo experimental

Realizamos los experimentos con agua y detergente. Para contener a los lquidosutilizamos una caja de plstico transparente, de largoL = 22,4 cm, alto h0=13 cm y ancho b =

2,5 cm.

Caso 1:

Para la primera parte del proyecto se mont el recipiente en un carrito que poda

moverse con poca friccin sobre una superficie suave. El recipiente fue acelerado con una

aceleracin constante cuando era tirado por un hilo del que colgaban algunas pesas. La

aceleracin fue determinada mediante un fotointerruptor vinculado a la polea por donde

pasaba el hilo.[2]

La Figura 6 muestra una fotografa del dispositivo utilizado.

Figura 6- Dispositivo utilizado en el Caso 1. El recipiente que contiene el lquido puede acelerarse mediante laaplicacin de una fuerza que transmite un hilo del que cuelgan pesos. El hilo pasa por una polea vinculada a un

fotointerruptor. El fotointerruptor mide tiempos a partir de los cuales se determina la aceleracin (Ref. [2]).


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Para la toma de mediciones se utiliz una cmara digital y se obtuvieron fotos

mientras el cuerpo se encontraba en movimiento. En este caso el nico fluido que se utiliz

fue agua con colorante (usamos tinta verde). La altura inicial del lquido fue h = 4,1 cm.

Caso 2:

Para la segunda parte del proyecto utilizamos una plataforma giratoria sobre la cual

colocamos el recipiente con el lquido. Se tuvo cuidado de que el recipiente girara alrededor

de su eje de simetra. Para esto, se cuid de que este eje coincidiera con el eje de giro de laplataforma. La plataforma estaba conectada a un motor de corriente continua por medio de

una correa de transmisin. Para la toma de mediciones se film el proceso con una cmaradigital. Luego se procedi a dividir la filmacin cuadro por cuadro con el programa

PictureGear 5.0 y elegimos aquellos cuadros en los que el recipiente se observaba de frente.

Simultneamente, con un fotointerruptor se midi la velocidad angular instantnea de la

plataforma. A continuacin se muestra el dispositivo implementado (Figura 7).

Figura 7- Dispositivo experimental utilizado en el Caso 2.

Para este caso se utiliz agua coloreada (Caso 2.1) y detergente (Caso 2.2), para versi el modelo terico propuesto se cumple para fluidos de distinta densidad.

Para determinar la densidad del detergente pesamos un volumen conocido y

obtuvimos la densidad de acuerdo a la definicin:

V

m= (31)

El valor de densidad obtenido para el detergente fue:

[ ]3det

m

kg1985 = (32)


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Para el agua adoptamos su densidad igual a:

3m

kg1000=agua (33)

En ambos casos, la altura inicial del lquido fue h = 5,3 cm.

Resultados

A partir de las imgenes grabadas definimos las formas de las superficies de losfluidos acelerados. Para esto, marcamos puntos (x, z) a lo largo de la superficie usando un

programa de edicin de imgenes. Luego anotamos la ubicacin de cada punto en pixeles,

los cuales fueron transformados a unidades de longitud a travs de una escala. Esta escala fue

definida a partir de las dimensiones del recipiente. Una vez obtenida la coordenada de cada

punto, los datos se graficaron y analizaron con el programa Excel Microsoft de edicin deplanillas de clculo.

Caso 1: Fluido con aceleracin lineal

A continuacin se presenta el grfico de distancia x en funcin de tiempo t paradeterminar la aceleracin del recipiente montado sobre el carrito. Para un movimiento

uniformemente acelerado: x(t) = at2 + v0t + x0. En la Figura 8 se muestra x(t) y el

correspondiente ajuste, de donde se deduce que la aceleracin constante fue:

[ ]2

002,0777,0s

ma =

Figura 8- Representacin grfica de distancia (x) en funcin del tiempo (t) para obtener la aceleracin delfluido.

En la Figura 9 se presenta la fotografa utilizada para tomar los datos del Caso 1. En

ella se han dibujado varios de los datos experimentales. En la Figura 10 se muestran las

curvas terica (ecuacin 19) y experimental. Como se puede observar, las curvas son casi

idnticas. La aceleracin utilizada es la obtenida por medio del fotointerruptor y el ajuste no

tiene parmetros libres. Se tomg= 9,81 m/s2

.


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Figura 9- Imagen usada para definir la superficie del agua para el CASO 1.

Figura 10- Representacin grfica dez(x) para el Caso 1 (corresponde a la imagen de la Figura 9). Se comparala observacin experimental con la prediccin del modelo terico [expresin (19)].

Caso 2: Fluido en rotacin

En las figuras 11 y 13 se presentan las fotografas utilizadas para tomar los datos del

Caso 2. En las fotografas se han dibujado varios de los datos experimentales. En las figuras

12 y 14 se muestran las curvas terica (ecuacin 30) y experimental, obtenidas para cadacaso. En estos casos, la velocidad angular utilizada para graficar la expresin teora fue la

velocidad angular instantnea obtenida a travs del fotointerrutor al mismo instante en que se

x (cm)

z

(cm)


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adquira la imagen (ver comentarios en Observaciones). Como se puede observar en laFigura 12 el modelo terico se ajusta a la curva experimental con muy buena precisin.

Caso 2.1: Agua

La velocidad angular instantnea en el momento de adquirir la imagen fue:

s

rad]02,033,12[ =

Figura 11- Imagen adquirida con la cmara digital. Se observa la superficie libre que forma el agua coloreada

cuando gira con una velocidad angular de 14,03 rad/s.

Figura 12- Representacin grfica dez(x) para el Caso 2.1 (corresponde a la imagen de la Figura 11).


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Caso 2.2: Detergente

En este caso la velocidad angular instantnea fue:

s

rad]02,003,14[ =

Figura 13- Imagen adquirida con la cmara digital. Se muestra la forma que adopta la superficie del detergenteque gira con una velocidad angular de 14,03 rad/s. La franja blancuzca es una capa fina de espuma.

Figura 14- Representacin grfica dez(x). Los datos corresponden al Caso 2.2 y fueron tomados de la imagen

de la Figura 13. Se comparan los datos (smbolos) con la prediccin del modelo terico (lnea).

Como se puede observar en los grficos, las curvas tericas son representativas de los

datos obtenidos experimentalmente. Por lo tanto, los datos estn descriptos por el modelo


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terico planteado. Adems se observa que la forma de la superficie del fluido esindependiente de la densidad del mismo.

Observaciones

Un problema que encontramos durante los experimentos de rotacin fue la dificultadpara mantener una velocidad angular constante. Esto se debi a limitaciones del motor de

corriente continua usado. Por esta razn se trabaj con la velocidad instantnea

correspondiente al cuadro seleccionado de la pelcula. Esto nos ocasion varios problemaspara elegir la fotografa adecuada ya que la parbola vara con la velocidad. De haber

conseguido rotaciones con velocidad constante, cualquier parbola hubiese servido.

Conclusiones

Se puede observar que al aplicar una aceleracin constante a lo largo de una direccinse forma una superficie del fluido con pendiente distinta de cero; en nuestro caso, como la

aceleracin tiene el mismo sentido en que crece el eje x, la recta formada es de pendientenegativa. Por otro lado, al rotar el fluido alrededor de su eje con una velocidad angular

constante, sobre la superficie del fluido se observa una parbola de concavidad positiva.

Estas superficies se forman debido al gradiente de presin que se genera en el fluido.

Como se puede observar en los grficos, el modelo terico propuesto describe losdatos experimentales, tanto para el agua como para el detergente, a pesar de que estos

lquidos tienen distintas densidades. Por lo tanto, se corrobor que la forma que adquiere la

superficie del fluido es independiente de la densidad del mismo, al menos en el (estrecho)

rango de densidad investigado.

Sera interesante estudiar el comportamiento de fluidos de diferentes viscosidades en

presencia de una aceleracin, ya que el modelo terico no tiene en cuenta las fuerzasviscosas.

Referencias

(a) [email protected]

(b) [email protected]

(c) [email protected]

1. F. Sears, M. Zemansky, H. Young y R. Freedman,Fsica universitaria, vol. 1, 9a

ed.,Addison-Wesley Longman, Mxico, 1999.

2. Esta tcnica de medicin puede verse en: S. Gil y E. Rodrguez, Fsica re-Creativa:Experimentos de Fsica usando nuevas tecnologas, Prentice Hall, Buenos Aires, 2001.

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