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FEAAC – UFC
Estatística Econômica I
Prof. Rafael Costa
Lista de Exercícios #3
01. Verifique que a forma geral da função densidade da distribuição normal pode ser
derivada da distribuição normal padrão através da transformação Y= µ + σX.
02. Prove o seguinte teorema:
i) Se c é uma constante, E (c) = c.
ii) Se c é uma constante, E [c g(X)] = c E[g(x)].
iii) E [u (X) + v(X)] = E [u(X)] + E [v(X)].
iv) E (X - µ) = 0, onde µ = E(X).
03. Suponha que a função densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória
bidimensional (X, Y) seja uniformemente distribuída na região de domínio:
f(x, y) = kx (x-y), 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2
Encontre E(X).
04. Considere o v.a. X = (X1, X2, X3) com distribuição de probabilidade:
Encontre a probabilidade de 0 ≤ X1 ≤ 0,5.
05. Mostre que as seguintes assertivas são verdadeiras:
a) Seja ρ(x, y) o coeficiente de correlação entre as variáveis x e y. Se ab > 0, então ρ(ax, by) =
ρ(x, y); e se ab < 0, ρ(ax, by) = -ρ(x, y).
b) Se a função densidade conjunta de x e y for f(x, y) =e-x-y
, x > 0, y > 0 e f(x, y) = 0 para outros
valores de x e y, então ρ(x, y) = 0.
06. Suponha que a função densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória
bidimensional (X, Y) seja dada por:
Calcule a P(Y < X).
07. No começo do dia, uma máquina de refrigerantes armazena um montante aleatório Y de
líquido (medido em galões). No decorrer do mesmo dia, um montante aleatório X é
descartado pela máquina. Como a máquina não é carregada, X ≤ Y. A distribuição conjunta
de X e Y é:
Calcule a probabilidade de que menos de meio galão seja descarregado no decorrer de um
dia, dado que a máquina contém um galão no início do mesmo dia.
08. Duas v.a.’s X e Y são conjuntamente distribuídas de acordo com a função de densidade:
Calcule P(0 < Y < 1/4|X = 1/2).
09. Considere duas variáveis aleatórias X e Y. Suponha que X seja distribuída de acordo com
a seguinte função de densidade:
Suponha também que
Calcule E(Y).
10. Considere a seguinte função de densidade conjunta de duas v.a.’s contínuas X e Y dada
por
Ache a densidade marginal de Y.