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MAT. II
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Lic. Segundo Oscar Minaya Salinas
LISTA DE EJERCICIOS Nº 1 – MATEMÁTICA IV
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
I.- Hallar la Ecuación Diferencial Ordinaria para las
siguientes funciones:
1) 3 2 2( )x C x y
2) 2 2
1 2( ) ( ) 1x C y C
3) 22 /21
2 yy Cex
4) 1 2 3( ) xy C C x e C
5) 2
1 2 3
x x xy C e C e C e
6)1 2( ) ( )y C Cos x C Sen x
7)1 2( ) ( )ax axy C e Cos bx C e Sen bx
8)1 2( ( ) ( )) ( ( ) ( ))y C Cos x xSen x C Sen x xCos x
9) ( )xe
y x dx Cx
10)
2/3
1 22
xey C x dx C x
x
II.- Verificar si la siguiente función es solución de la
ecuación diferencial dada:
1) 2 2 6 10 34 0x y x y ; 3
5
dy x
dx y
2) ( )x yLn Cy ; '( )y x y y
3) 1 2
1 2
x xy C e C e
;
1 2 1 2'' ( ) ' 0y y y
4) ( / )y Ln x y ; 2( ) '' ( ') ' 2 ' 0xy x y x y yy y
5)( ) ( ( ))
( ) (1 ( ))
x a Sen
y a Cos
,
2(1 ( ') ) 2 '' 0y yy
6) 22
( ) ( )
( ) 12
x t t ArcSen t
ty t t
, ' ( ')x y ArcSen y
7) 2
0( )
xtyLn y x e dt ;
22(1 ( )) '' ( ') 2 xLn y y y xye
8) 2( 1)ky x x ; 2 2(1 ) '' ' 0x y xy k y
9) 1
2 2 20( )
( )
dxx t
x t
; 2 2
1'( ) 3 ( ) 0
(1 )tx t x t
t
10) 0
1( ) ( )
x
y R t Senhk x t dtk
; 0k
2 2(1 ) '' ' 0x y xy k y
III.- Resolver:
1)
2
(1 ) ' 0( )
y yy e y
xLn x
2) 2 2( 2 ( ) ( )) (2 ( ) ) 0xy xyLn y yLn y dx x Ln y x dy
3) 6 5 4 3 2 2 3( 2 2 4 ) ( 4 ) 0x x x y x y dx xy x dy
4) ( ) ( ) 1dy
x y Ln x ydx
5) 1
1
x ydy
dx x y
6) 22 2y y y y
xSen xTg yCos ySec dxx x x x
2 0y y
xCos xSec dyx x
IV.- Resolver:
1) 2 2 2 22 '( 2 ) 0ax bxy cy y bx cxy fy
2) 3 2 22( ) 0y dx x xy dy
3) 2 4( 1) 2 0y y x y dx xdy
4) x y x ydy
dx x y x y
5)
2
3 5
15
dy x y
dx x y
6) (1 )
(1 )
dy x xy
dx y xy
V.- Resolver:
1)2 2
ydy ydxxdx ydy
x y
2) / /( ) (1 / ) 0x y x yx e dx e x y dy
3) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 0xCos y ySen y dy xSen y yCos y dx
4) [ ( ) ( )]nCos nx my mSen mx ny dx
[ ( ) ( )] 0mCos nx my nSen mx ny dy
5) /
22 2
1( )
x yeydx xdy
yy y x
2 2 2 2
0( )(1 )
xdx ydy
x y x y
6) 2 2
1 1 0( ) ( )
y xdx dy
x y x y
VI.- Resolver:
1)2 2(1 ) ( 1 ( ) )y dx y Sen y xy dy
2) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) 0Sen x Sen y tg x dx Cos x Cos y dy
3)1
( ) ' (1 ( )) (2 ( )) 02
xLn x y Ln x y x Ln x
4) ' ( ) ( ) 0y Sen y xCos y x
5) ' 3 4 yxy xe
6) 1
0( ) ( )x d n x , 0n
VII.- Resolver:
1) 33 (1 ( ) 3 ( ))xdy y xSen x y Sen x dx
Lic. Segundo Oscar Minaya Salinas
2) 2'( )
'( )
x y yy
x
3) 1/2
2 2
2 4' ( )
1 1
xy y ArcTg x y
x x
4)2 3' ( )xy y y xCos x
5) 2 2( ) ( )
( ) ( )
dy y Sen x yCos x
dx Sen x Cos x
6) 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) 1 (3 )3 '
( )
x a x x ay y
x x a y x a
VIII.- Resolver:
1) 2
1'
( ')y xy
y
2) ' 'y xy ay
3) '3'
2
yy xy e
4) ( ') ( ')y xSen y Cos y
5) ' 'y mxy ay b
6) 2' 1 ( ') ( ')y xy y ArcCos y
7) 2( 1 ( ') ) 0y y dx xdy
8) 3( ') ' 2 0y xy y
9) 22( ') ' 2 0y xy y
10) 2 2' ( ) ( ') ( )y y Tg x y Sec x
IX.- Resolver:
1) 2(1 2 ) (1 )y x x y x y , ( ) 1x
2) 2 2 32 1y xy x y x x , ( ) 1x x
3) 2 2' x x xy e ye e y , ( ) xx e
4) 2 3 2' 8 4 (4 1) (8 4 1)y xy x x y x x
( )x x
5) 2 2 21( ) ( ) 0
( ) ( )
dySen x y y Cos x
dx Sen x Cos x
( ) ( )x Ctg x
6) 2
2
( )( ) 2
( )
dy Sen xy Sen x
dx Cos x ,
1( )
( )x
Cos x
X.- Resolver:
1) '' ' ( ' / )xy y Ln y x
2) 2(1 ( ') ) 1x y
3) 3( ') ( 2) 0yy x e
4)
2
2 '( '') ' '''
yy y y
x
5) 4 3 2( ') ( 2 1)( ') ( 2 2 )( ') 2 ' 0y x y y x y xy y xyy
6) 2 2 2( ) '' (1 ( ') )( ' )x y y y xy y
7) 2(1 ( )) '' (1 ( ))( ') 0y Ln y y Ln y y
8) 2( '' ') ( ( ) ) ' (2 ( ))xy y e Cos x x y x Sen x y
2 ( )x Sen x
9) 2 ( )( ( ) 2 ')y Cos x Cos x yy
2 ( )( ( ) 2 ') 4 ' ( )ySen x Cos x yy yy Cos x
10) 3
2 3 2
2''' 3 ' '' 2( ') ( '' ( ') )
y yy y yy y y yy y
x x
XI.- 1) Demuestre que
32 2
22
d y d x dx
dy dydx
y usando
esta igualdad resuelva
32
2( ) 0
d x dxSen x
dy dy
2) Demuestre que la ecuación no separable
[ ( ) ( )] ( ) 0F x yG xy dx xG xy dy se convierte
en separable haciendo u xy .
3) Demuestre que 2 2
2 2
( 1)
( 1)
dy y y x
dx x y x
se puede
resolver transformándola a coordenadas polares.
4) Probar que una condición necesaria y suficiente
para que la siguiente ecuación sea exacta:
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g y dx f x g y dy es
que 1 2( ) ( )g y dx f x dy sea una diferencial
exacta.
5) Muestre que 5 22
3 3
3 3
2 2
dy x yx
dx x y y
se puede resolver
haciendo px u ,
qy v y escogiendo las
constantes adecuadamente.
6) Demuestre que la ecuación de la forma
( ) ( ) 0p q r sx y ydx xdy r y dx xdy , tiene
un factor integrante de la forma a bx y donde a y
b se escogen de forma adecuada.
7) Si / /P x Q y y / /P y Q x demuestre
que la ecuación ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy no es
exacta, pero se hace exacta si se multiplica por 2 21/ ( )P Q .
8) Demuestre que si u y v son 2 factores integrantes
distintos de la ecuación ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy
entonces su solución general es u cv , 0c .
9) Demuestre que si ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy es
exacta y homogénea entonces su solución
( , ) ( , )M x y x N x y y c .
10) Muestre que la ecuación ' ( ) ( ) ( )y P x y Q x yLn y
puede resolverse haciendo ( )u Ln y .
11) Demuestre que ' ( ) ( ) ( ) ( )y P x F y Q x G y se
puede reducir a una ecuación lineal haciendo
( )/ ( )u F y G y o ( )/ ( )u G y F y siempre que
( ' ')FG GF
G
o
( ' ')FG GF
F
sea una constante.
12) Demuestre que la ecuación de la forma 2' ( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x puede ser resuelta
haciendo ( ) ( ) 1/ ( )y x x z x , donde ( )x es
una solución de la ecuación.