MAE-229 - Introduo Probabilidade e Estatstica II 1a Lista de Exerccios - 2o Sem./2012 - FEA Noturno

Profs. Lane Alencar e Nelson Tanaka

1) A seo de assistncia tcnica da Cia. Milsa tem 5 funcionrios: A, B, C, D e E, cujos tempos de servio na Cia. so, respectivamente, 1, 3, 5, 5 e 7 anos.

(a) Faa um grfico representando a distribuio de frequncia de X= tempo de servio de um funcionrio escolhido ao acaso da compania.

(b) Calcule a mdia (X), a varincia Var(X) e a mediana Md(X).

Duas novas firmas, a Verde e a Azul, solicitaram o servio de assistncia tcnica da Milsa. Funcionrios so escolhidos ao acaso com reposio para os atendimentos. O par (A,B) significa que o funcionrio A atender a firma Verde e o funcionrio B, firma Azul.

(c) Escreva os 25 possveis pares de funcionrios para atender a ambos os pedidos. (d) Para cada par sejam X1 e X2 os tempos de servios dos funcionrios escolhidos. Considere o tempo

mdio de servio X , faa a sua distribuio de freqncia e a sua representao grfica. Compare com o resultado de (a).

(e) Calcule para os 25 valores de X os parmetros ( X ), Var ( X ) e Md ( X ). Compare com os resultados obtidos em (b). Que tipo de concluso voc poderia tirar?

(f) Para cada par obtido em (c), calcule a varincia do par e indique-a por S2. Faa a representao grfica da distribuio dos valores de S2.

(g) Calcule (S2) e Var (S2). (h) Descreva a distribuio conjunta da varivel bidimensional (X1 , X2) (i) As duas variveis X1 e X2 so independentes? (j) O que voc pode falar sobre as distribuies marginais de X1 e X2? (k) Suponha agora que trs firmas solicitem o servio de assistncia tcnica. Quantas triplas podem ser

formadas? (l) Sem calcular todas as possibilidades, como voc acha que ficaria o histograma

de X ? E ( X )? E Var( X )? (m) E sobre a varivel S2? (n) A varivel tridimensional (X1, X2, X3) teria alguma propriedade especial para as suas marginais?

2) Uma varivel aleatria X tem distribuio normal, com mdia 100 e desvio padro 10. (a) Qual a P(90

4) No quadro abaixo tem-se a distribuio dos salrios da Secretaria A.

Classe de Salrios Frequncia Relativa 4,5| 7,5 0,10 7,5| 10,5 0,20

10,5| 13,5 0,40 13,5| 16,5 0,20 16,5| 19,5 0,10

(a) Calcule a mdia , a varincia 2 e a mediana md dos salrios na populao. (b) Construa a distribuio amostral da mdia e da mediana para amostras de tamanho 2, retiradas dessa

populao. (c) Mostre que a mdia X e a mediana Md da amostra so estimadores no viesados da mediana md da

populao, no sentido que E( X ) = E(Md)=md. (d) Qual dos dois estimadores no viesados voc usaria para estimar md neste caso? Por qu? (e) Baseado na distribuio amostral da mdia, encontre a distribuio amostral da estatstica

2. npara nXZ =

=

(f) Quais os valores de E(Z) e Var(Z)?

(g) Construa a distribuio amostral da estatstica ( )Sn

X Xi

n

i2

1

211

=

=

, e faa o histograma.

(h) Calcule E(S2) e Var(S2). (i) Baseando-se nas distribuies amostrais anteriores, determine a distribuio amostral da estatstica

tX

Sn=

, e construa seu o histograma.

(j) Eliminando incongruncias que possam surgir, calcule E(t) e Var(t). (k) Qual a P(| t | < 2) e P( | t |< 4,30)?

5) Uma varivel X tem distribuio normal, com mdia 10 e desvio padro 4. Aos participantes de um jogo permitido observar uma amostra de qualquer tamanho e calcular a mdia amostral. Ganha um prmio aquele cuja mdia amostral for maior que 12.

(a) Se um participante escolher uma amostra de tamanho 16, qual a probabilidade de ele ganhar um prmio? (b) Escolha um tamanho de amostra diferente de 16 para participar do jogo. Qual a probabilidade de voc

ganhar um prmio? (c) Baseado nos resultados acima, qual o melhor tamanho da amostra para participar do jogo?

6) Definimos a varivel e = X - como sendo o erro amostral da mdia. Suponha que a varincia dos salrios de uma certa regio seja 400 unidades ao quadrado.

(a) Determine E(e) e Var(e). (b) Que proporo das amostras de tamanho 25 tero erro amostral absoluto maior do que 2 unidades? (c) E que proporo das amostras de tamanho 100? (d) Neste ltimo caso, qual o valor de d, tal que P( | e | > d)=1%? (e) Qual deve ser o tamanho da amostra para que 95% dos erros amostrais absolutos sejam inferiores a uma

unidade?

7) Uma empresa fabrica cilindros com 50 mm de dimetro. O desvio padro dos dimetros dos cilindros 2,5 mm. Os dimetros de uma amostra de 4 cilindros so medidos a cada hora. A mdia da amostra usada para decidir se o processo de fabricao est operando satisfatoriamente. Aplica-se a seguinte regra de deciso: se o dimetro mdio da amostra de 4 cilindros igual a 53,7 mm ou mais, ou igual a 46,3 mm ou menos, deve-se parar o processo. Se o dimetro estiver entre 46,3 e 53,7 mm, o processo deve continuar.

(a) Qual a probabilidade de se parar o processo se a mdia do processo continuar com 50 mm? (b) Qual a probabilidade do processo continuar se a mdia do processo se deslocar para = 53,7?