MARINHA DO BRASIL

CENTRO DE INSTRUÇÃO ALMIRANTE BRAZ DE AGUIAR

SUPERINTENDÊNCIA DE ENSINO

III Lista de Exercícios de Cálculo I

1. Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de 0,1m�/s.

O vértice está a 15m do topo e o raio do topo é de 10m. Com que velocidade o nível h da água está

subindo no instante em que � 5m.

2. Um ponto move-se sobre uma semicircunferência �� �� 5, � � 0. Suponha ���� � 0.

Determine o ponto da curva em que a velocidade de � seja o dobro da de �.

3. A equação do movimento de uma partícula que se desloca ao longo do eixo � é � ��� sen �, � � 0.

a) Determine a velocidade e a aceleração no instante t.

b) Calcule

lim���� ��� sen � . c) Esboce o gráfico da função.

4. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo � varia com o tempo segundo a

equação

� !" #1 $ ��%�&, � � 0

onde ! e " são constantes estritamente positivas.

a) Qual a velocidade no instante t?

b) Justifique a afirmação: “a função é estritamente crescente”.

c) Qual a aceleração no instante t?

d) Justifique a afirmação: “o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo”.

e) Esboce o gráfico da função.

5. Um ponto P move-se ao longo do gráfico de

� 1�� 1

de tal modo que a sua abscissa � varia a uma velocidade constante de 5m/s. Qual a velocidade de

� no instante em que � 10m ?

6. Um ponto move-se ao longo da elipse �� 4�� 1. A abscissa � está variando a uma velocidade (�(� sen 4� .

Mostre que (�(� $� sen 4�

4� .

7. Uma escada de 8m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for

afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2m/s, com que velocidade a extremidade

superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede?

8. Seja � �� 3�.

a) Calcule o diferencial.

b) Calcule o erro que se comete na aproximação de ∆� por (�.

9. Seja . 4/0�/3, 0 � 0.

a) Calcule o diferencial.

b) Interprete geometricamente (..

10. Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1m� de volume. Nas laterais e no fundo será

utilizado material que custa R$ 10 o metro quadrado e na tampa material de R$ 20 o metro quadrado.

Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.

11. Duas partículas P e Q movem-se, respectivamente, os eixos 0� e 0�. A função da posição de P é

� √� e a de Q , � �� $ 3/4, � � 0. Determine o instante em que a distância entre P e Q seja a

menor possível.

12. Calcule.

2& 3#6�� 5� 1&(�

5& 3 1 $ 2��� (�

7& 3#38��9 3&(�

(& 3#��: ���:&(�

�& 3#√�; 3 cos 3�&(�

=& 3#sen 3� cos 5�&(�

>& 3?sen �3 11 �� $

1√1 $ ��@ (�

�& 3 � sen ��(�

A& 3#���:; �� cos �B&(�

C& 3 ?senD� cos � 116 4�� $

�√1 $ �B@ (�

E& 3#sec� � tg � sec� �&(�

H& 3#sen� � sen � sec� �&(�

I& 3 cos� � (�

J& 3 ��1 �K (�

L& 3 sen� � cos� � (�

13. Determine a função � �#�&, � M N, tal que

2& (�(� 3� $ 1 e �#0& 2

5& (�(� cos � e �#0& 0

7& (�(� sen 3� e �#0& 1

(& (�(� �2 3 e �#$1& 0

�& (�(� ��: e �#0& 1

14. Uma partícula desloca-se sobre o eixo � com velocidade #�& 2� $ 3, � � 0. Sabe-se que no

instante � 0 a partícula encontra-se na posição � 5. Determine o instante em que a partícula

estará mais próxima da origem.

15. Calcule:

2& 3 #� 3&(�O!

5& 3 P� $ ��2 Q(�

�!

7& 3 sen 3� (�RB!

(& 3 #� 1&�(�O!

�& 3 #cos 3� 3&(�R�!

=& 3 sec� � (�R/B!

>& 3 ���:S(�O�O

16. Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de � � e � ��/2, com 0 T � T 2.

17. Calcule a área do conjunto de todos os pontos #�, �& tais que �� T � T √�.