Livro de Fundamentos Metodologia do Ensino da Matemática nas séries iniciais

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Justina Motter MaccariniJustina Motter Maccarini

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Fund_Metod_Ens_Matem – 1ª PROVA – 13/12/10 – Page 1 of 1 APROVADA: __________________

Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática

Curitiba2010

1ª Reimpressão, 2011

Justina Motter Maccarini

Fundam_Met_Ens_Matematica.indd 1 13/12/2010 14:51:24


FAELDiretor Executivo Maurício Emerson Nunes

Diretor Acadêmico Osíris Manne Bastos

Coordenadora do Núcleo de Educação a Distância

Vívian de Camargo Bastos

Coordenadora do Curso de Pedagogia EaD

Ana Cristina Gipiela Pienta

Secretária Acadêmica Dirlei Werle Fávaro

EDitorA FAELCoordenadora Geral Dinamara Pereira Machado

Coordenador Editorial William Marlos da Costa

Edição Alexandre Gomes Popadiuk

revisão Jaqueline NascimentoLisiane Marcele dos SantosSilvia Milena Bernsdorf

Projeto Gráfico e Capa Denise Pires Pierin

ilustração da Capa Cristian Crescencio

Diagramação Ana Lúcia Ehler Rodrigues

ilustrações Ana Lúcia Ehler RodriguesIgor SantosSandro Niemicz

Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cleide Cavalcanti Albuquerque CRB9/1424

Maccarini, Justina Motter

M122f Fundamentos e metodologia do ensino de matemática / Justina Motter Maccarini. – Curitiba: Editora Fael, 2010.

170 p.: il.

Nota: conforme Novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa.

1. Matemática (Ensino fundamental). 2. Professores – Formação. I. Título.

CDD 372.7

1ª Reimpressão, 2011.Direitos desta edição reservados à Fael.É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.


06 Fund_Metod_Ens_Matem – 4ª PROVA – 13/12/2010 APROVADO___________

A cada um dos meus familiares que caminham comigo e sempre estão presentes, inclusive nas horas mais incertas.

Aos grandes professores que tive ao longo do percurso, que sempre me impulsionaram a buscar, a experimentar, a avançar.

A todos os alunos que estiveram comigo nesses anos de caminhada, contribuindo significativamente para o meu crescimento pessoal e profissional.





apresentação

Neste início do século XXI, há consenso mundial sobre a impor-tância da formação dos professores para a melhoria do ensino e dos resultados da escola fundamental. Há consenso, também, sobre a ne-cessidade de o ensino da matemática constituir-se em prática efetiva de educação matemática, campo de conhecimento que articula a matemáti-ca com os saberes da psicologia cognitiva, da história, da antropologia, entre outros, e que objetiva formar cidadãos instrumentalizados para agir com autonomia, responsabilidade e precisão nos processos cultu-rais da atualidade.

Mas como aprimorar os processos de educação matemática? Como auxiliar professores e futuros professores de matemática a desempe-nharem a função didática com eficiência? Como articular saberes es-senciais à prática de ensino de conteúdos matemáticos? Como realizar práticas de ensino que, ao mesmo tempo, superem a repetição mecâni-ca de registros gráficos e ultrapassem a compreensão ingênua de que o pensamento matemático independe de desafios e de sistematização didática? Como professores podem aprender a planejar e a efetivar prá-ticas de ensino na forma de situações-problema, focadas no estudo e na aprendizagem de relações entre números, operações, espaços, formas, grandezas, medidas e tratamento de informações cotidianas?

Essas indagações estão presentes no dia a dia de professores e de gestores educacionais que objetivam melhorar a qualidade do ensino e os resultados escolares brasileiros. Este livro de Maccarini traz, de forma clara e bem dosada, uma resposta a essas indagações. Uma resposta metodicamente organizada sobre formação em educa-ção matemática, para professores e futuros professores dos anos ini-ciais. Uma resposta elaborada na pauta de conexão que somente uma professora-pesquisadora consegue construir: a que une fundamentos

apresentação



teóricos à prática pedagógica, no rumo da aprendizagem de professo-res para a efetiva aprendizagem de seus alunos.

Nara Salamunes*

* Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná e doutora em Informática na Educação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Além de escritora, atualmente é professora universitária e diretora do Departamento de Ensino Fundamental da Prefeitura Municipal de Curitiba. Possui experiência na área de Educação, com ênfase em Currículos Específicos para Níveis e Tipos de Educação, atuando principalmente nos seguintes temas: formação docente, alfabetização, currículo e avaliação.

apresentação

apresentação



Prefácio.....................................................................................9

1 Do ensino tradicional à educação matemática ........................11

2 A criança e o conhecimento matemático .................................23

3 Objetivos do ensino de matemática .........................................31

4 Conteúdos matemáticos ...........................................................45

5 Abordagem metodológica dos conteúdos ................................63

6 Operações mentais lógico-matemáticas ..................................83

7 Números e geometria ...............................................................101

8 Operações fundamentais .........................................................121

9 Resolução de problemas ..........................................................139

10 Avaliação ...................................................................................157

Referências...............................................................................167

sumáriosumário





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prefácioprefácio

A produção de um material destinado à formação pedagógica de profissionais pedagogos em educação matemática remete-me às minhas vivências e aos contatos com professores, nas mais diversas situações de formação: inicial, continuada ou permanente, e dos mais diferentes locais e contextos.

Algumas lacunas deixadas pela formação acadêmica em torno do conhecimento de conceitos, conteúdos e encaminhamentos me-todológicos básicos da matemática, referentes à Educação Infantil e aos anos iniciais do Ensino Fundamental, evidenciam-se na obser-vação e no contato com profissionais que atuam nesses segmentos educacionais escolares. Por isso, este material foi produzido com base nessas vivências, nos estudos, nas diretrizes nacionais e nas pesquisas em educação matemática, delineando o que é imprescindível para a formação do profissional pedagogo, com ênfase na construção signi-ficativa do saber matemático, aliando teoria e prática.

A reflexão contínua e permanente permeia o estudo de cada tó-pico, favorecendo o desenvolvimento da autonomia de estudo do lei-tor. Outro aspecto relevante, levado em consideração nesta produção, é a busca constante pela excelência profissional, que está presente em todos os segmentos da sociedade. Nesse universo, o pedagogo se depara com a exigência na competência de educar e de articular os elementos componentes da formação acadêmica do educando. A educação matemática é parte integrante desse cenário educacional e social, cujas relações são bastante complexas.



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A educação matemática percebida e proposta no cenário nacio-nal atual é o resultado de uma longa trajetória de pesquisas, estudos e enfrentamentos ocorridos nas últimas décadas. Isso foi possibilita-do pelo empenho de educadores e pesquisadores matemáticos insa-tisfeitos com o ensino da matemática, cuja antiga ênfase estava na memorização de procedimentos e técnicas, na repetição mecânica de exercícios modelos, passando a ideia de uma matemática pronta e acabada, muitas vezes sem compreensão e sem significado.

Atualmente, propõe-se uma educação matemática voltada para a construção e apropriação do conhecimento com compreensão e com significado, percebendo a sua trajetória histórica e a sua relevância social e cultural.

Portanto, ensinar e aprender matemática consiste em perceber o sentido matemático de cada conteúdo e/ou conceito, seja na geo-metria, nas quantidades numéricas, nas operações, nas medidas, nas informações veiculadas na mídia, seja nas abstrações, nos registros simbólicos, na linguagem e na lógica interna de sua estruturação.

A autora.*

* Justina Motter Maccarini é especialista em Educação Matemática e Educação a Dis-tância e mestre em Educação. É professora de matemática da rede pública e privada de Curitiba (PR) e de cursos de Pós-graduação. É, também, autora de diversas obras didáti-cas e paradidáticas, inclusive com obra didática aprovada pelo PNLA/MEC, e consultora e docente de cursos e oficinas de formação continuada de professores em educação matemática para Educação Infantil e Ensino Fundamental.

prefácioprefácio



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Historicamente, há diferentes formas de perceber e conceber o ensino e a aprendizagem da matemática, de acordo com os diferentes contextos culturais e sociais em que as sociedades estão imersas.

Isso nos leva a perceber que o conhecimento matemático foi sendo construído pela humanidade, portanto é um conhecimento histórico, conquistado em um processo contínuo e cumulativo, com acertos e er-ros, que foi se compondo em um corpo de conhecimentos estruturados e organizados, com características e linguagem próprias. Essa constru-ção do conhecimento foi avançando, e avança, de acordo com as neces-sidades apresentadas pelos seres humanos e pelas relações decorrentes da vida em sociedade.

Para situar a educação matemática no contexto histórico atual e com-preender alguns fatos e encaminhamentos utilizados atualmente, cabe descrever uma breve trajetória do ensino da matemática no Brasil, ocor-rido nas últimas décadas, reportando à década de 50 do século passado. Esse período foi marcado por inúmeras e grandes discussões em torno do ensino da matemática no país, influenciadas pelas discussões que estavam ocorrendo internacionalmente.

As discussões sobre o ensino da matemática e a busca por novos caminhos são impulsionadas pela expansão industrial e pela necessi-dade de reconstrução social e econômica do período Pós-Guerra1, na

1 Período após 1945. A Segunda Guerra Mundial ocorreu no período de 1939 a 1945, sendo considerada uma das maiores catástrofes provocadas pelo ser humano em toda a sua his-tória. Envolveu 72 nações dos 5 continentes, alguns de forma direta e outros indiretamente, mas afetou a todos.

Do ensino tradicional à educação matemática

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tentativa de que o ensino favorecesse uma política social e econômica em prol da modernização de tais estruturas.

D’Ambrósio (2001) faz referência a esse período, destacando a im-portância da matemática como instrumento de base para a reconstru-ção social e econômica:

Instrumentos materiais (armamento e tecnologia de suporte) e intelectuais (ideologias e teorias sociais e econômicas) foram de-senvolvidos como suporte ao conflito. Esses instrumentos mate-riais e intelectuais tinham e têm, como base, a matemática.

Para o desenvolvimento desses instrumentos surgiram, como aconteceu em outros tempos da história, novas áreas de pes-quisa matemática. Não só nos conteúdos, mas também novos conceitos de rigor e de critérios de verdade (D’AMBRÓSIO, 2001, p. 16).

Nesse período, as escolas brasileiras trabalhavam com o ensino tradicional de matemática, o que vinha gerando certa insatisfação en-tre pesquisadores e professores.

Ensino tradicional de matemáticaPensar sobre o ensino tradicional de matemática é referir-se a uma

prática educacional que perpassa várias décadas e ainda se faz presente em muitos momentos da prática pedagógica, que, por vezes, mostra-se disfarçada por discursos ou tendências de novos encaminhamentos. No entanto, essa forma de conceber o ensino de matemática está fortemen-te presente até a década de 60 do século XX, quando surgem grandes discussões em torno do ensino da matemática no país.

Na concepção tradicional do ensino de matemática, evidenciam-se dois papéis bem distintos no processo de ensinar e aprender:

do ● professor – que ensina, avalia, pergunta, cobra, enfim, detém o saber, o poder e o controle sobre o que ensina e deve ser ensinado;

do ● aluno – que aprende, busca o saber que não possui, res-ponde, reproduz o que o professor ensina, somente é avaliado (não participa do processo de avaliação), enfim, é um ser pas-sivo que só recebe o saber. A responsabilidade pela aprendiza-gem recai toda sobre o aluno.



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Segundo Micotti (1999, p. 156-157),Este ensino acentua a transmissão do saber já construído, es-truturado pelo professor; a aprendizagem é vista como im-pressão, na mente dos alunos, das informações apresentadas nas aulas. O trabalho didático escolhe um trajeto “simples” – transferir para o aprendiz os elementos extraídos do saber cria-do e sistematizado, ao longo da história das ciências, fruto do trabalho dos pesquisadores. As aulas consistem, sobretudo, em explanações sobre temas do programa; entende-se que basta o professor dominar a matéria que leciona para ensinar bem.

De acordo com Micotti (1999), o ensino tradicional de matemática priorizava a memorização pela memorização, ou seja, a “decoreba”, a re-petição mecânica de exercícios modelos, muitas vezes sem compreensão e sem significado para o aluno.

A prática do ensino tradicional de matemática conduzia o indiví-duo a atitudes passivas, de simples aceitação frente às situações que se apresentavam nos diversos contextos sociais, com destaque para o am-biente escolar, no qual o questionamento e a criticidade não eram bem aceitos, contribuindo para a formação de pessoas alienadas e submissas.

É evidente que essa forma, com certa rigidez no ensino de ma-temática e papéis bem definidos entre professor e aluno, presente no contexto educacional, sofre alterações e se flexibiliza no decorrer da segunda metade do século XX. No entanto, são perceptíveis, ainda, muitas marcas do ensino tradicional no contexto educacional atual.

No final da década de 50 e no decorrer da década de 60, foram realizados cinco congressos nacionais (1955, 1957, 1958, 1962 e 1966) para discutir a situação do ensino de matemática no Brasil, acompa-nhando as discussões e tendências internacionais.

Movimento da Matemática Moderna (MMM)A partir da mobilização dos professores e educadores matemáticos,

desencadeada nos congressos nacionais citados anteriormente, foi criado o Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (GEEM), em 1961, em São Paulo, sob a coordenação do professor Osvaldo Sangiorgi, que foi também um dos pioneiros na divulgação da Matemática Moderna no Brasil.




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Ao situarem a trajetória do ensino de matemática no processo histórico das reformas, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p. 19) assim se expressam em relação ao Movimento da Matemá-tica Moderna no Brasil:

A Matemática Moderna nasceu como um movimento educa-cional inscrito numa política de modernização econômica e foi posta na linha de frente do ensino por se considerar que, juntamente com a área das Ciências, ela constituía uma via de acesso privilegiada para o pensamento científico e tecnoló-gico. Para tanto, procurou-se aproximar a matemática desen-volvida na escola da matemática como é vista pelos estudiosos e pesquisadores.

O ensino proposto fundamentava-se em grandes estruturas que organizam o conhecimento matemático contemporâneo e enfatizava a teoria dos conjuntos, as estruturas algébricas, a topologia, etc. Esse movimento provocou em vários países do mundo inclusive no Brasil, discussões e amplas reformas no currículo de matemática.

Portanto, o Movimento da Matemática Moderna buscou refor-mular e modernizar os currículos escolares, procurando aproximar a matemática escolar da matemática pura. Com isso, foi dada ênfase às estruturas que compõem o conhecimento matemático apoiado na ló-gica, na álgebra, na topologia, na ordem, com destaque para a teoria dos conjuntos. Houve uma preocupação exagerada com as abstrações, ocorrendo o excesso de formalização.

Segundo Fiorentini (1995), houve um destaque excessivo no uso da linguagem e no uso correto dos símbolos, tratando-os com precisão, com rigor, deixando de lado os processos que os produzem, porque a ênfase era dada ao lógico sobre o psicológico, o formal sobre o social, o sistemático-estruturado sobre o histórico. A matemática foi tratada como se fosse neutra, pronta e acabada e não tivesse relação alguma com questões sociais e políticas.

Com uma matemática extremamente formal, centrada em sua es-trutura e no rigor das suas regras, símbolos e procedimentos, os alunos começaram a apresentar dificuldades na aprendizagem, não conseguin-do estabelecer conexões entre o que era ensinado e a realidade vivida. Para os alunos, a matemática ensinada nas escolas estava distante da realidade, fora do contexto no qual eles viviam.



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Os Parâmetros Curriculares Nacionais também destacam que o Mo-vimento da Matemática Moderna não levou em consideração a questão da linguagem e da simbologia adequadas às crianças em suas diferentes faixas etárias, não observando a fase do desenvolvimento psicológico e neurológico infantil. Com isso, determinados conteúdos eram inaces-síveis às crianças no momento escolar em que eram trabalhados. “Essas reformas deixaram de considerar um ponto básico que viria a tornar-se seu maior problema: o que se propunha estava fora do alcance dos alu-nos, em especial daqueles das séries iniciais do Ensino Fundamental.” (BRASIL, 1998, p. 19).

No final da década de 70 do século XX, começa o declínio do Movimento da Matemática Moderna, denominado por vários pesqui-sadores e educadores como o “fracasso da Matemática Moderna”.

Mesmo diante desse cenário, com inúmeras críticas, vários edu-cadores e pesquisadores do ensino da matemática consideram que o Movimento da Matemática Moderna deixou um saldo positivo, no sentido de favorecer novas formas de conduzir o ensino de matemática em sala de aula, ampliando o debate e as discussões em torno do pro-cesso de ensinar e aprender matemática. Outro aspecto destacado por educadores, tais como Ubiratan D’Ambrósio, foi que o Movimento da Matemática Moderna contribuiu positivamente para a diminuição na ênfase, quase que exclusiva, em contas e “carroções” e cálculos envol-vendo muita “decoreba”, favorecendo, assim, uma participação maior do aluno e de novas formas de pensar o ensino da matemática.

Assim como há práticas pedagógicas adequadas e não adequadas do ensino tradicional de matemática que persistem no âmbito escolar até hoje, há também questões relacionadas ao Movimento da Mate-mática Moderna que permeiam as práticas pedagógicas, as quais nem sempre estão em consonância com os anseios da sociedade atual.

ReflitaReflita

“A matemática precisa ser ensinada como um instrumento para a in-terpretação do mundo em seus diversos contextos. Isso é formar para a criticidade, para a indignação, para a cidadania e não para a memori-zação, para alienação, para a exclusão.” (ROCHA, 2001, p. 30).




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Faça uma reflexão sobre esse pensamento de Rocha confrontando-o com as principais características do ensino tradicional de matemática e do Movimento da Matemática Moderna.

ReflitaReflita

Novas tendências: ensino de matemática e educação matemática

A partir da década de 80 do século passado, algumas tendências do ensino da matemática ganharam força, tais como a modelagem, a etno-matemática e a resolução de problemas. Onuchic (1999, p. 204) des-taca que “a resolução de problemas ganhou espaço no mundo inteiro. Começou o movimento a favor do ensino de resolução de problemas”.

Outra tendência que ganhou destaque nesse período é a que con-sidera a matemática uma ciência em construção, relacionada a um con-texto social e histórico, conforme relata Fiorentini (1995).

A matemática, sob o ponto de vista histórico-crítico não pode ser concebida como um saber pronto e acabado, mas, ao con-trário, como um saber vivo, dinâmico e que, historicamente, vem sendo construído, atendendo a estímulos externos (neces-sidades sociais) e internos (necessidades teóricas de ampliação dos conceitos). (FIORENTINI, 1995, p. 31)

Essa tendência, relacionada à importância de se pensar na matemá-tica como uma construção relacionada à realidade e no conhecimento matemático como uma construção constante, também é destacada por Onuchic (1999, p. 215), o qual afirma que: “a atividade matemática escolar não se resume a olhar para as coisas prontas e definidas, mas para a construção e a apropriação, pelo aluno, de um conhecimento do qual se servirá para compreender e transformar a realidade”.

As diversas tendências e formas de ver e conceber a matemática no âmbito educacional começam a estruturar a educação matemática no Bra-sil como campo profissional e científico, que recebe um grande impulso quando pesquisadores, professores e educadores se agregam no Primeiro Encontro Nacional de Educação Matemática (I ENEM), em 1987, na ci-dade de São Paulo. Foi um encontro científico com dimensões nacionais,



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e a sua realização confirmou a existência de uma comunidade de educa-dores preocupados com ensinar e aprender matemática na escola, ou seja, com a educação matemática de fato.

Esse grupo de educadores matemáticos articulou o Segundo Encontro Nacional de Educação Matemática (II ENEM) e a cria-ção de uma sociedade para congregar os educadores matemáticos de todo o país e fortalecer as tendências da educação matemática. Em janeiro de 1988, em Maringá, no Paraná, acontece o II ENEM, com a criação e a oficialização da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM).

Nesse sentido, a SBEM2 se constitui em um fórum permanente de debate, de troca de ideias, experiências, informações e resultados de pesquisas, assim como incentiva a pesquisa e divulga as tendências e questões relacionadas à educação matemática. Os Encontros Nacio-nais de Educação Matemática (ENEM) que congregam pesquisadores, educadores e professores que trabalham e desenvolvem atividades re-lacionadas à educação matemática são realizados periodicamente em diferentes regiões do país.

Diante desse cenário, o conhecimento matemático ficou em evidên-cia, e a sua importância desencadeou inúmeras reflexões e pesquisas com foco nos processos que envolvem o seu ensino e a sua aprendizagem.

Podemos pensar então: o que caracteriza o ensino de matemática? E a educação matemática? Há diferença entre ensino de matemática e educação matemática?

Alguns pesquisadores matemáticos que desenvolvem pesquisas vol-tadas para a matemática educacional, como é o caso de Baldino (1991, p. 51), fazem algumas considerações em torno dessas questões, dizendo que: “falar em ensino lembra ‘didática’, lembra ‘instrução’, ‘transmis-são’, ‘apresentação’; abre o campo da técnica. Falar em educação lembra “pedagogia’, lembra ‘aprendizagem’, ‘motivação’, ‘desejo’; abre o campo do sujeito situado no contexto social”.

O foco do ensino de matemática está em como ensinar determinado assunto ou conteúdo, isto é, “como desenvolver determinada habilidade,

2 Para mais informações, consulte o site: <http://www.sbem.com.br>.




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relacionada a algum pedaço específico dessa disciplina, é parte da educa-ção matemática, mas está longe de ser o todo” (BICUDO, 1991, p. 33).

Por outro lado, ao expressar o que significa a educação matemáti-ca, Bicudo (1991, p. 33) recorre, primeiramente, ao conceito de edu-cação, dizendo que o seu estudo implica a compreensão mais completa possível do significado de homem e sociedade, portanto: “a educação matemática deve compreender a reflexão de em que medida pode a matemática concorrer para que o homem e a sociedade satisfaçam o seu destino.”

O ensino de matemática é um dos aspectos da educação mate-mática, que se caracteriza como um processo educacional imbuído da totalidade e se desenvolve a partir do conhecimento matemático.

A educação matemática é uma área do conhecimento das ciên-cias sociais e humanas que estuda o ensino e a aprendizagem da matemática. De modo geral, poderíamos dizer que a educação matemática caracteriza-se como uma práxis que envolve o do-mínio do conteúdo específico (a matemática) e o domínio das ideias e processos pedagógicos relativos à transmissão/assimila-ção e/ou à apropriação/construção do saber matemático escolar (FIORENTINI; LORENZATO, 2006, p. 5).

Diante disso, evidencia-se o ensino de matemática como uma prá-tica pedagógica voltada para as questões metodológicas. Nesse sentido, o ensino de matemática se depara com questionamentos do tipo:

Que recursos são mais adequados para se trabalhar um deter- ●minado conteúdo?

Como desenvolver, da melhor forma possível, os conteúdos ●em sala de aula?

Que atividades podem ser mais interessantes para que o aluno ●aprenda matemática com mais facilidade?

Qual é a forma mais adequada de transmitir esse ou aquele ●conteúdo?

Nesse tipo de encaminhamento, percebe-se que a busca está volta-da para o melhor método ou técnica para o ensino de matemática.

A prática pedagógica, na perspectiva da educação matemáti-ca, além de incluir os métodos e técnicas utilizadas no ensino de



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matemática, dá ênfase aos aspectos sociais, políticos, históricos e culturais do conhecimento matemático. Nesse sentido, a educação matemática se depara, além dos questionamentos anteriores, com questões do tipo:

Que matemática deve ser trabalhada com esses alunos que ●pertencem a esse grupo social inserido nessa sociedade?

Esse ou aquele conteúdo matemático é relevante ou não para ●esses alunos?

Qual é a relevância histórica desse conteúdo matemático? ●

Que contribuições esse conhecimento matemático pode dar ●aos alunos em um determinado momento e espaço?

Como o aluno aprende? ●

Que relações podem ser estabelecidas entre o conteúdo mate- ●mático e a vida social, política e cultural dos alunos?

Qual é a contribuição social do estudo de um determinado ●conteúdo matemático?

Como trabalhar uma matemática inclusiva? Ou seja, como ●incluir o indivíduo para uma participação social mais efetiva por meio do conhecimento matemático?

Nessa perspectiva de trabalho pedagógico, evidenciam-se as inú-meras relações que se estabelecem em uma sociedade humana, que vão além dos conteúdos, métodos e técnicas. Convém ressaltar que, na edu-cação matemática, há uma preocupação, também, com o não esvazia-mento do conhecimento matemático, ou seja, os conteúdos não podem ser trabalhados de forma superficial.

Diante do exposto, fica evidente que a educação matemática é um campo do conhecimento que estabelece relações com as outras áreas do conhecimento, como a sociologia, a psicologia, a pedagogia, a lin-guística, a história, a epistemologia da ciência, além da matemática, é claro. A educação matemática é uma área que dialoga com várias disciplinas, apresentando características interdisciplinares, cujo centro é a matemática.




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ReflitaReflita

“Ao passar de uma sociedade rural, onde ‘poucos precisavam conhecer matemática’, para uma sociedade industrial onde mais gente ‘precisava aprender matemática’ em razão da necessidade de técnicos especializados, daí para uma sociedade de informação onde a maioria das pessoas ‘precisa saber matemática’ e, agora, caminhando para uma sociedade do conheci-mento que exige de todos ‘saber muita matemática’, é natural que o ho-mem se tenha interessado em promover mudanças na forma de como se ensina e como se aprende matemática.” (ONUCHIC, 1999, p. 200).

Faça uma reflexão sobre a afirmação de Onuchic, identificando os di-ferentes momentos históricos e sociais em que o conhecimento mate-mático se fez presente, como ele era considerado pelas pessoas e como se destacou nesses diferentes momentos. Reflita também sobre as formas como a matemática se faz presente na sociedade atual e a sua importância no contexto social.

ReflitaReflita

Da teoria para a práticaA utilização do livro didático nas escolas é uma das práticas es-

colares que se intensificaram a partir do Movimento da Matemática Moderna e que ganhou força nessas últimas décadas.

Providencie alguns livros didáticos de matemática, se possível ●de diferentes épocas.

Analise as diferentes formas de encaminhamento dos conteú- ●dos matemáticos que são utilizados para favorecer a aprendi-zagem dos alunos, confrontando essas formas de apresentação dos conteúdos com o texto estudado anteriormente.

Agora, resolva as questões a seguir. ●



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1. É possível identificar alguma situação analisada nesses livros didáticos, com enfoque no ensino tradicional da matemática? Destaque e justifique a sua resposta.

2. É possível identificar alguma situação, nesses livros didá-ticos, que possa fazer referência ao Movimento da Mate-mática Moderna? Por quê?

3. É possível identificar alguma situação encontrada no livro didático cujo foco está no ensino da matemática? Destaque e justifique.

4. É possível identificar alguma situação encontrada no livro didático cujo foco está na educação matemática? Destaque e justifique.

SínteseA educação matemática no Brasil mostrou seus primeiros sinais na

década de 50 do século passado, por meio da movimentação dos pro-fessores e educadores insatisfeitos com o ensino de matemática. Nesse período, o ensino de matemática era caracterizado pela forma tradicio-nal, cujo foco era a aprendizagem por repetição mecânica de exercícios modelos, sem a preocupação com a compreensão e o significado dos símbolos, propriedades, registros e procedimentos. Professor e aluno tinham papéis bem distintos e definidos.

No decorrer da década seguinte, foi implantado o Movimento da Matemática Moderna no Brasil, procurando reformular e modernizar os currículos escolares, dando ênfase aos aspectos formais da matemá-tica, apoiado na lógica, na álgebra, na topologia, na ordem, com des-taque para a teoria dos conjuntos. Houve uma preocupação exagerada com as abstrações, ocorrendo um excesso de formalização.

Na década de 80, com o declínio da Matemática Moderna, in-tensificaram-se as discussões em torno do ensino de matemática, e começam a ganhar força as propostas que enfatizam a educação pela matemática e não a educação para a matemática. Com isso, a educação




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matemática, como campo do conhecimento, ganha espaço e se conso-lida como uma área significativa nas pesquisas e no âmbito escolar. A educação matemática tem como foco a matemática e todas as relações humanas, sociais, culturais e históricas envolvidas com o conhecimento matemático e no processo de ensinar e aprender matemática.



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Desde o seu nascimento, inúmeras ideias e raciocínios ma-temáticos estão presentes, mesmo que intuitivamente, nos espaços e ambientes da vida da criança. Sendo assim, cultural e socialmente, ela está em permanente contato com situações que envolvem a ma-temática. No entanto, a aquisição da linguagem matemática formal, o estudo organizado e sistematizado do conhecimento matemático se inicia na escolarização, que começa já na Educação Infantil.

No decorrer do processo de ensino e aprendizagem de matemática, é necessário estar atendo para algumas características importantes do desenvolvimento da criança, as quais serão vistas a seguir.

Fases do desenvolvimento da criança e o conhecimento matemático

Nos primeiros anos de vida, de acordo com Piaget, a criança está na fase sensório-motora, que se caracteriza, principalmente, pelo brincar sozinha e pela não vinculação de regras nas brincadei-ras. O que predomina, nessa fase, é o que lhe chama mais a atenção momentânea e intuitivamente. Não apresenta aspectos de lógica formal. A relação da criança com o conhecimento matemático é estritamente intuitiva e apoiada em objetos concretos e que perpas-sam as experiências sensoriais.

Para ilustrar, podemos citar uma situação que é bastante comum no meio social em que vivemos: é o caso de quando solicitado para uma

A criança e o conhecimento matemático 2




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criança que está fazendo um ano de idade: “quantos aninhos você está fazendo?” e ela imediatamente mostra:

Ao levar um dedo indicando um ano de idade, não significa que ela conhece o número 1 ou que estabelece relação entre o número 1 e a quantidade mostrada: 1 dedo. Essa é uma ação intuitiva adquirida pela interferência e estímulos advindos do meio social em que ela vive.

Em seguida, a partir dos dois ou três anos de idade, a criança co-meça a perceber e estabelecer relações com outras crianças e com outros elementos presentes no espaço. Ela entra na fase denominada por Pia-get como pré-operatória, em que a relação com outras crianças começa a ser significativa, e o estabelecimento de pequenos comandos e regras comuns aos participantes das brincadeiras começam a ser percebidos e respeitados pela criança. Nessa fase, a criança brinca, também, de faz de conta, ou seja, começa a criar representações simbólicas para situações do real; ela mostra sinais da ação do imaginário, com isso, as regras co-meçam a ser estabelecidas e a fazer parte das suas brincadeiras e jogos.

Para ilustrar, podemos citar as representações que as crianças fazem a partir de brincadeiras que vivenciam com outras crianças. Uma dessas brincadeiras é o lançamento de dados.



Capítulo 2


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Ao lançar um dado e sair, por exemplo, o número 3, a criança consegue estabelecer relações entre o símbolo numérico e a quantidade de objetos que ele representa, assim como percebe quantidades maiores e menores, ao compará-las entre si.

trÊs tampinHas menos de trÊs tampinHas

mais de trÊs tampinHas

Com o desenvolvimento das estruturas mentais proporcionadas pelo próprio desenvolvimento do ser humano e pelas experiências cul-turais e sociais e as interferências do meio, a criança entra na fase das operações concretas, que, segundo Piaget, inicia-se por volta dos 5 a 7 anos de idade. Nessa fase, a criança organiza as experiências de for-ma consciente, faz juízo racional de suas experiências, faz classificações, seriações e agrupamentos, utilizando critérios isolados ou simultâneos com diferentes formas de organização, torna reversíveis as operações que executa e pensa sobre um determinado evento de diferentes pers-pectivas, faz operações aditivas e multiplicativas com números inteiros e fracionários, resolve situações-problema por meio de representações e registros matemáticos, estima resultados e confere-os, entre outras características.

Em seguida, a criança entra na fase das operações for-mais, período da pré-adolescência ou adolescência, que tem como principais características: o pensamento formal, as abstrações e o raciocínio sobre hipóteses. Citamos essa fase do desenvolvimento, enquanto informação, mas não vamos detalhá-la, pois não é o objetivo deste trabalho.

Para além das fases do desenvolvimentoSabe-se, no entanto, que pesquisas recentes mostram que a apren-

dizagem matemática está relacionada às fases de desenvolvimento sim, mas, também, a estímulos e interferências proporcionadas nas relações sociais. Portanto, as crianças, quando estimuladas pela convivência com outras pessoas, podem apresentar um desenvolvimento cognitivo




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26

diferenciado de outras crianças da mesma idade, de acordo com as in-tervenções do meio em que ela está inserida.

Nesse sentido, o professor exerce papel fundamental no desenvol-vimento e na relação da criança com o conhecimento matemático, na medida em que valoriza e aproveita as experiências já vivenciadas por ela, fazendo as devidas intervenções e proporcionando a ampliação des-se conhecimento. Com relação a isso, Nunes e Bryant (1997, p. 230) se expressam afirmando:

As crianças raciocinam sobre matemática e seu raciocínio me-lhora à medida que elas crescem. Elas herdam o poder das fer-ramentas culturais matemáticas, em parte, como resultado de serem ensinadas sobre elas, e, em parte, devido a experiências informais fora da escola. A variedade de experiências matemá-ticas que as afetam em quase todas as etapas de suas vidas pode, a princípio, causar-lhes dificuldades, pois um dos seus maiores problemas é compreender que relações matemáticas e símbolos não estão vinculados a situações específicas. Mas o valor de suas experiências informais e a genuinidade de sua aprendiza-gem matemática fora da escola deveriam ser reconhecidos por pais, professores e pesquisadores igualmente. Devemos ajudar as crianças a reconhecer o poder de seu raciocínio e devemos ajudá-las a formar uma visão nova, uma nova representação social da matemática que torne fácil para elas levar sua com-preensão da vida cotidiana para a sala de aula.

Portanto, a relação da criança com o conhecimento matemático se dá a partir das relações que ela estabelece com o mundo em que vive, inicialmente de forma intuitiva, e vai se ampliando e adquirindo no-vas estruturas à medida que ela cresce e estabelece novas relações com o meio social e cultural em que está inserida. Posteriormente, ao ser inserida no processo educacional escolar, a criança se depara com as re-presentações abstratas da linguagem formal e simbólica da matemática, cujos raciocínios são ampliados e adquirem novos significados.

ReflitaReflita

“Compreender é inventar ou reconstruir através da reinvenção, e será preciso curvar-se ante tais necessidades se o que se pretende, para o fu-turo, é termos indivíduos capazes de produzir ou de criar, e não apenas de repetir.” (PIAGET)



Capítulo 2


27

Partindo do pressuposto de que a criança deve compreender os signifi-cados de cada aprendizagem matemática, faça uma reflexão sobre esse pensamento de Piaget e estabeleça um paralelo entre ele e a relação que a criança tem com o conhecimento matemático na vida cotidiana e no âmbito escolar.

ReflitaReflita

Da teoria para a práticaMuitos educadores e pesquisadores da atualidade destacam a im-

portância da atividade lúdica para o desenvolvimento intelectual das crianças nas diferentes fases da aprendizagem e consideram-na indis-pensável na prática educativa, destacando sua importância no desen-volvimento dos raciocínios lógico-matemáticos.

Nesse sentido, propomos seguinte atividade lúdica para ser traba-lhada com os alunos:

Providencie: ●dois dados comuns;•tabela com os números e as sete figuras de petecas (ver •página 28);alguns marcadores, sendo um marcador para cada par-•ticipante;dois a quatro participantes.•

Regras da atividade lúdica: ●cada participante, na sua vez, lança os dois dados simul-•taneamente;adiciona os dois números e marca o resultado na sua ta-•bela numérica;se a soma dos dois números que saíram nas faces superio-•res dos dados for 7, marcar uma das petecas;poderá ser combinado que, se sair uma soma de números •que já está marcada, será feita uma anotação ao lado do número para, depois, verificar qual foi a soma que saiu mais vezes no lançamento dos dados;




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a brincadeira termina quanto um dos participantes con-•segue marcar todos os números ou todas as petecas;após a análise dos dados, podem ser feitas outras rodadas •da atividade.

Análise dos dados: ●

Por que não tem o número 1 na tabela numérica?•Por que o último número é o 12?•Quais são as possibilidades de, ao lançar dois dados, sair a •soma 2? E a soma 3? E as demais somas?Qual foi a soma que mais saiu?•Ao lançar os dois dados, há maior probabilidade de sair a •soma 7 ou a soma 9? Explique por quê.

Essa atividade lúdica coloca o indivíduo frente a diversos conheci-mentos matemáticos, tais como: contagem; relação – símbolo numéri-co X quantidade; sequência numérica; comparação entre quantidades; operação de adição; levantamento de possibilidades; análise de resulta-dos, etc.

Relacione esses conhecimentos matemáticos, e outros que ●você identifica nessa atividade lúdica, com as fases do desen-volvimento cognitivo da criança.

Redija um pequeno texto com as suas conclusões da atividade ●lúdica, relacionando-as com o conteúdo estudado no capítulo.

Tabela Atividade lúdica – as sete petecas.

2 3 4 5 6

8 9 10 11 12



Capítulo 2


29

SínteseA aquisição do conhecimento matemático se dá desde o nascimen-

to da criança, inicialmente de forma intuitiva, e se amplia de acordo com as interferências sociais e culturais presentes no ambiente em que ela está inserida. Além dessas interferências, a aprendizagem matemática está relacionada a determinadas fases do desenvolvimento da criança.

De acordo com Piaget, a primeira fase de desenvolvimento da criança denomina-se sensório-motora; em seguida, ela passa pela fase pré-operatória e, depois, pela fase das operações concretas até chegar à fase das abstrações.

Pesquisas recentes mostram que o conhecimento matemático da criança pode ser ampliado em cada uma das fases do desenvolvimento, de acordo com as intervenções sociais e culturais do meio.





31

A disciplina de matemática e seu ensino estão contemplados nos currículos escolares da Educação Infantil e do Ensino Fundamental com uma carga horária expressiva na grade curricular. Partindo dessa constatação, levantamos dois questionamentos:

Por que ensinar matemática? ●

Qual é a finalidade do ensino de matemática? ●

Ao refletir sobre esses questionamentos você pode ter pensado em dois argumentos:

1º o ensino de matemática desenvolve o raciocínio lógico do in-divíduo;

2º é importante aprender matemática porque ela está presente no cotidiano das pessoas. Ela permeia as ações humanas.

Esses dois argumentos mostram a dicotomia entre matemática formal e matemática utilitária (teoria X prática) que se constituiu, his-toricamente, de acordo com os objetivos a que se propunha o ensino de matemática, nos diferentes momentos históricos e para as diferentes classes sociais.

De fato, o meio social e cultural em que vivemos está “impregnado de matemática”. É quase impossível pensar em viver um dia na socie-dade atual sem ter contato algum com ideias, raciocínios, registros ou linguagens que tenham matemática na sua essência.

De acordo com D’Ambrósio (1993, p. 13), o ensino de matemáti-ca ganhou uma importância significativa nas últimas décadas, ao con-siderar os aspectos socioculturais no estudo dessa disciplina, “e pode-se

Objetivos do ensino de matemática 3




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32

dizer que representa o início de um pensar mais abrangente sobre a educação matemática” na formação do cidadão.

[...] a educação matemática não depende de revisões de con-teúdos, mas da dinamização da própria Matemática, pro-curando levar novas práticas à geração de conhecimento. Tampouco depende de uma metodologia “mágica”. Depende essencialmente de o professor assumir sua nova posição, reco-nhecer que ele é companheiro de seus estudantes na busca de conhecimento, e que a matemática é parte integrante desse conhecimento. Um conhecimento que dia a dia se renova e se enriquece pela experiência vivida por todos os indivíduos deste planeta (D’AMBRÁOSIO, 1993, p. 14).

Portanto, ao pensar nos objetivos de ensinar e aprender matemáti-ca, é necessário vislumbrar o contexto histórico em que o conhecimen-to foi construído e os motivos que levaram a humanidade a tal cons-trução, bem como a sua utilização e aplicação nos diferentes contextos sociais e culturais.

Dessa forma, o estudante deixa de ver a matemática apenas como uma linguagem simbólica e abstrata, com fórmulas sem sentido, com poucos significados, chegando a pensar, erroneamente, que aprender matemática é apenas desenvolver o hábito de repetir procedimentos e aplicações mecânicas e memorizá-las.

Aprender matemática é muito mais do que isso; é utilizá-la como uma ferramenta imprescindível para a inserção e participação do indiví-duo na sociedade em que vive, de forma a resolver as problematizações que fazem parte do seu contexto social e cultural, buscando a melhoria da sua qualidade de vida e dos seus pares, enquanto cidadãos.

Outro aspecto que nos remete ao ensino de matemática é o de-senvolvimento do raciocínio lógico. De fato, o ensino de matemática contribui para esse desenvolvimento, por ser uma área do conheci-mento que trabalha com a abstração, a simbologia, a organização do pensamento, exercita a argumentação e a análise, desenvolve formas de pensar sobre fatos e problematizações, estimula a fazer previsões e levantar possibilidades, entre outras. No entanto, quando o ensino des-sa disciplina se baseia na simples memorização de cálculos, fórmulas e procedimentos mecânicos de resolução, ele não favorece, adequada-mente, o desenvolvimento do raciocínio lógico do indivíduo.



Capítulo 3


33

Portanto, a construção do raciocínio lógico-matemático se dá à medida que ocorrem situações que permitam ao indivíduo desenvolver ações, externa ou internamente, que favoreçam a resolução de proble-mas, a análise e a argumentação que façam sentido, a tomada de decisão acertada, o raciocínio construtivo e crítico, indutivo ou dedutivo, entre outros, os quais são importantes não só para as atividades escolares, mas, também, para a vivência no cotidiano e para a obtenção de sucesso nos diversos aspectos da sua vida.

A seguir, destacamos os principais objetivos do ensino de matemá-tica na Educação Infantil e nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Educação InfantilPara pensar nos objetivos da educação matemática para as crianças

da Educação Infantil é necessário ter presente os aspectos cognitivos relacionados às fases do desenvolvimento próprio da criança de cada faixa etária, suas necessidades, prioridades e formas de contato que ela estabelece com o mundo que a cerca.

A criança está inserida em um mundo bastante “matematizado” e precisa conhecer, desde o seu nascimento, o mundo em que vive para poder interagir com esse meio social e cultural.

A seguir, você terá os objetivos pensados e organizados nacional-mente para a Educação Infantil no que se refere ao conhecimento ma-temático para a formação da criança desta faixa etária.

a) Objetivos da educação matemática para crianças de 0 a 3 anos

Dar oportunidade para que desenvolvam a ca-pacidade de estabelecer aproximações com algumas noções matemáticas presentes no cotidiano, como contagem, relações espa-ciais, etc. (BRASIL, RCN, 1998).




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Esse objetivo pode ser pensado a partir das seguintes especificações:perceber que há diferentes espaços que compõem o meio so- ●cial em que ela vive, aprendendo a localizar-se gradativamente nesses espaços;desenvolver, de forma progressiva, noções de orientação, movi- ●mentação e localização do próprio corpo em relação a si próprio, às outras pessoas, aos objetos e ao espaço em que a criança está;identificar gradativamente as noções de: dentro, fora, perto, ●longe, aberto, fechado, entre outras;compreender e executar comandos lógicos simples, estabelecendo ●relação de causa e efeito, como: bater palmas (relacionar o coman-do ao som); empurrar um objeto (pode produzir som ou cair); andar até a mesa; procurar um objeto que está sobre a mesa; ten-tar abrir ou fechar uma caixa; buscar um objeto que está na frente ou atrás de outro; abrir a porta; fechar a porta; entre outros;desenvolver, de forma progressiva, noções de tempo por meio ●das atividades do cotidiano da criança, como: hora do almo-ço, hora do lanche, hora da higiene pessoal, hora de brincar, hora de dormir, etc.;desenvolver a habilidade de comparar por meio da observação, ●estabelecendo semelhanças e diferenças, iniciando, dessa forma, as primeiras noções das operações mentais de classificar e seriar;resolver situações diversas do seu cotidiano, estabelecendo re- ●lações quantitativas e noções simples de lógica-matemática, como: pegar um objeto; abraçar um amigo; ficar na frente do amigo; ficar de costas para a mesa; entre outros.

b) Objetivos da educação matemática para crianças de 4 e 5 anos

Reconhecer e valorizar os números, operações numéricas, as contagens orais e as noções es-paciais como ferramentas necessárias no seu cotidiano (BRASIL, RCN, 1998).



Capítulo 3


35

Esse objetivo pode ser alcançado a partir das seguintes especificações:

identificar e compreender os números utilizados em diferentes ●contextos sociais, apreendendo os números naturais utilizados na contagem e na representação de quantidades;

perceber a diversidade de formas geométricas que compõem o ●espaço, identificando algumas características dessas formas;

classificar e seriar objetos, pessoas, ações, formas geométricas ●e quantidades numéricas presentes no espaço social e cultural em que a criança vive;

ampliar as relações quantitativas, desenvolvendo, progressiva- ●mente, o conceito de número e as noções das operações bási-cas da matemática, por meio de situações concretas presentes no cotidiano da criança;

perceber as relações de inclusão, comparação e conservação ●entre quantidades numéricas e sua relação com a simbologia matemática.

Comunicar ideias matemáticas, hipóteses, processos utilizados e resultados encon-trados em situações-problema relativas a quantidades, espaço físico e medidas, utilizando a linguagem oral, escrita, pictó-rica e a linguagem matemática (BRASIL, RCN, 1998).


desenvolver noções de localização, movimentação e orienta- ●ção espacial tendo como referência o próprio corpo, o de ou-tras pessoas e objetos, estabelecendo relações entre si;

desenvolver as noções de medida de tempo, identificando al- ●gumas unidades de medidas básicas (manhã, tarde, noite, dia, entre outras) e o tempo de deslocamento do próprio corpo em relação ao espaço;




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36

favorecer o desenvolvimento das diversas formas de expressar ●o pensamento e o conhecimento matemático, seja por meio da oralidade ou do registro (recorte e colagem, pictórico, es-crita, simbologia matemática, entre outros);

resolver situações-problema relacionadas ao contexto social e ●cultural da criança, favorecendo o levantamento de hipóteses e diferentes formas de resolução, além da aplicação de diver-sos conhecimentos matemáticos;

conhecer e utilizar unidades e instrumentos de medidas, pa- ●dronizadas ou não padronizadas, relacionadas ao seu contexto social e cultural, como: tamanho, altura, largura, comprimen-to, espessura, quanto cabe, quanto “pesa”, etc.; iniciando com unidades não padronizadas até chegar a algumas unidades de medidas padronizadas.

Ter confiança em suas próprias estraté-gias e na sua capacidade para lidar com situações matemáticas novas, utilizando seus conhecimentos prévios (BRASIL, RCN, 1998).


classificar e seriar objetos, seres e ações a partir da observação ●e análise, estabelecendo critérios de organização do pensa-mento e das ações;

resolver situações-problema relacionadas ao contexto social e ●cultural das crianças, envolvendo números, operações, formas geométricas e noções de medidas.



Capítulo 3


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Anos iniciais do Ensino FundamentalAo pensar nos objetivos de ensino e aprendizagem de matemática

para os cinco primeiros anos do Ensino Fundamental, é necessário pro-curar respostas para o seguinte questionamento: que indivíduos quere-mos formar com o ensino de matemática no âmbito escolar? Isso nos leva a estabelecer os objetivos que queremos atingir ao propormos o trabalho com a educação matemática na escola.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) apontam os principais objetivos da educação matemática para os anos iniciais do Ensi-no Fundamental, como linha de trabalho a ser desenvolvida nacionalmen-te no que se refere ao ensino e a aprendizagem dessa disciplina.

1. Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para com-preender, interagir e modificar, se necessário, o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da matemáti-ca, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade de analisar e de resolver problemas (BRASIL, 1997, p. 51).

2. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualita-tivos do ponto de vista do conhecimento e estabelecer o maior número possível de relações entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemáti-co (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, probabilístico); selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para inter-pretá-las e avaliá-las criticamente (BRASIL, 1997, p. 51).

Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualita-tivos do ponto de vista do conhecimento e estabelecer o




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38

3. Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resul-tados, desenvolvendo formas de raciocínios e processos, como de-dução, intuição, analogia, estimativa e utilizando conceitos e pro-cedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis (BRASIL, 1997, p. 51).

4. Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas (BRASIL, 1997, p. 51).

5. Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes cam-pos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curricu-lares, percebendo a aplicação do conhecimento matemático em situações reais da vida (BRASIL, 1997, p. 52).



Capítulo 3


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6. Desenvolver a autonomia nas formas de pensar e de agir em situações do cotidiano que envolvem matemática, percebendo a sua capacidade de construir e aplicar os conhe-cimentos matemáticos, valorizando a sua au-toestima e a perseverança na busca de solu-ções para as mais diversas problematizações que envolvem o pensamento matemático (BRASIL, 1997, p. 52).

7. Perceber que o conhecimento matemático é uma produção hu-mana, social e cultural, identificando a linguagem matemática como uma forma de expressar as relações sociais, que está em constante evolução e que, portanto, é um conhecimento cons-truído historicamente.

Século um dois três quatro cinco seis sete oito nove zero

VI (indiano)

IX (indiano)

X (árabe ocidental)

X (europeu)

XI (árabe oriental)

XII (europeu)

XIII (árabe europeu)

XIII (europeu)

XIV (árabe ocidental)

XV (árabe oriental)

XV (europeu)




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8. Interagir com as outras pessoas de forma cooperativa, trabalhan-do coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e/ou outras pessoas, aprendendo com elas (BRASIL, 1997, p. 52).

Para atingir esses objetivos é necessário desenvolver o trabalho com conteúdos matemáticos consistentes e socialmente relevantes, as-sim como adequados à faixa etária das crianças dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Além disso, é necessário pensar em estratégias e encaminhamentos metodológicos que, de fato, favoreçam a construção de significados e que atinjam os objetivos propostos, com avaliações constantes e periódicas.

Nos próximos capítulos, serão apresentados os conteúdos e alguns encaminhamentos metodológicos que apontam possibilidades para que esses objetivos possam ser alcançados.

ReflitaReflitaA Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB – n. 9.394, de 24 de dezembro de 1996, que rege a educação brasileira, afirma no seu artigo 32 que: “O ensino fundamental terá por objetivo a formação básica do cidadão, mediante [...] a compreensão do ambiente natural e social, do sistema político, da tecnologia, das artes e dos valores em que se fundamenta a sociedade”.

Partindo-se do pressuposto de que o ensino da matemática, como parte in-tegrante do currículo escolar e com carga horária significativa, faz parte de um dos objetivos expressos na LDB, deve-se refletir sobre as relações entre o ensino da matemática escolar e esse objetivo do Ensino Fundamental.

ReflitaReflita



Capítulo 3


41

Da teoria para a práticaPropomos duas atividades práticas relacionadas aos objetivos da

educação matemática, como aplicação desse trabalho na Educação In-fantil e nos anos iniciais do Ensino Fundamental.1. Um dos objetivos da educação matemática na Educação Infantil é

favorecer à criança o conhecimento do mundo que a cerca. Como sabemos, vivemos em um mundo letrado e repleto de simbologias.Observe e analise os registros simbólicos representados a seguir.

Peça para os alunos classificarem os registros simbólicos que ●aparecem anteriormente em:

números;•letras e palavras;•outros símbolos.•

Identifique com os alunos a função social de cada um desses ●registros simbólicos.




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2. Um dos objetivos da educação matemática nos anos iniciais do En-sino Fundamental é estimular a criança a fazer previsões, estima-tivas, identificando as possibilidades de um evento ocorrer assim como, desenvolver a análise de resultados obtidos.

a) Ao lançar um dado comum, qual é a chance de sair um núme-ro maior que 4?

b) Para resolver essa situação, proponha que os alunos pensem:

Quantas faces têm um dado comum?•

Em quantas faces aparecem números maiores que 4?•

Ao lançar uma única vez o dado, quais números podem •cair na face superior?

Em quais em quantas dessas possibilidades o número é •maior que 4?

c) Providencie um dado comum e faça lançamentos para verifi-car se as possibilidades se efetivam. Registre com os alunos o resultado de cada lançamento.

Em seis lançamentos saíram duas vezes números maiores •que 4? O que você constatou?

O que significa: possibilidades de um evento ocorrer?•



Capítulo 3


43

SínteseEstudos recentes sobre o desenvolvimento e as formas como as

crianças aprendem mostram que ela está, desde o nascimento, em con-tato com um universo do qual os conhecimentos matemáticos são parte integrante. Por isso a importância de pensar em situações que levem a criança a interagir com o meio, de forma a construir estruturas que favorecem a aprendizagem de noções matemáticas desde os seus pri-meiros contatos com o mundo que a cerca.

Em seguida, desenvolvemos os objetivos gerais propostos para os anos iniciais do Ensino Fundamental para a educação matemática. Mui-to mais do que descrever objetivos que favoreçam a mecanização de sím-bolos, fórmulas e procedimentos de resolução, os objetivos de ensinar e aprender matemática devem vislumbrar o desenvolvimento do raciocínio lógico e a capacidade de argumentar, compreender, interpretar, projetar, de criar e atribuir significados para as mais diversas situações sociais em que aparecem ideias, raciocínios e conhecimentos matemáticos.





45

A matemática deve ser percebida como ciência das relações e estar presente nos mais diversos contextos sociais e culturais. Para tanto, deve ser usada como ferramenta para o desenvolvimento do raciocínio lógico, assim como na formalização de novas formas de pensar e de agir.

Constantemente nos deparamos com questionamentos do tipo: quais conteúdos são relevantes para o trabalho pedagógico? Por que trabalhar com esse ou aquele conteúdo? Por que aprender esse con-teúdo matemático? Onde são usados esses ou aqueles conteúdos ma-temáticos?

Esses questionamentos nos levam a refletir sobre a importância da seleção dos conteúdos matemáticos que devem ser trabalhados em cada momento da vida escolar do indivíduo, levando-se em consideração os aspectos sociais e culturais do conhecimento matemático.

O conhecimento matemático entendido como uma constru-ção social, como um produto cultural, abre possibilidades para que o aprendiz [...] se veja como sujeito que constrói, que é capaz de teorizar e confrontar suas teorias com outros sujeitos e com objetos (ARAÚJO, 2007, p. 4-5).

O conhecimento construído socialmente deve ser traduzido em conhecimentos específicos, os quais devem servir de base para a defi-nição dos conteúdos específicos de matemática para serem trabalhados no âmbito escolar.

Ao abordar os conteúdos, deve-se colocar a criança como sujeito e ser principal do processo, ela deve participar ativamente de cada si-tuação apresentada, pois, para compreender, entender, trabalhar ou criar matemática, as crianças precisam estar envolvidas com ideias, símbolos,

Conteúdos matemáticos 4




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46

conceitos e representações, participando da construção e incorporação do conhecimento.

O conhecimento matemático adquire significado na medida em que alunos e professores estudam, analisam e contribuem na seleção do que deve ser ensinado e aprendido, como deve ser ensinado e aprendi-do, relacionando aos porquês da importância de tal conteúdo na for-mação do cidadão.

Ao pensar no desenvolvimento do trabalho com os conteúdos ma-temáticos escolares, é necessário vislumbrar conteúdos adequados à so-ciedade atual, percebendo o conhecimento em constante construção. Conforme expressa Fiorentini (1995, p. 31), a matemática “não pode ser concebida como um saber pronto e acabado, mas, ao contrário, atendendo a estímulos externos (necessidades sociais) e internos (ne-cessidades teóricas de ampliação dos conceitos)”.

A seguir, destacamos os conteúdos matemáticos pensados, nacio-nalmente, para a Educação Infantil e para os anos iniciais do Ensino Fundamental, por meio de algumas ideias relacionadas a esses conteú-dos para as crianças nessas fases da escolarização.

Educação InfantilA Educação Infantil deve favorecer a iniciação da criança a ser in-

serida no mundo letrado, de forma a conhecer criticamente a realidade social, favorecendo a sua independência e autonomia.

Para o desenvolvimento pleno das potencialidades da criança, é imprescindível o trabalho pedagógico com a matemática, a qual é ne-cessária tanto para a vida na nossa sociedade como para o desenvol-vimento do raciocínio lógico e da criatividade. Conforme expressam Nunes e Bryant (1997, p. 17), “as crianças precisam aprender sobre matemática a fim de entender o mundo ao seu redor.”

Essa necessidade da matemática para compreender o mundo e in-teragir com ele pode ser percebida, inicialmente, como algo espontâneo e natural no cotidiano da criança, por meio das ações que ela desempe-nha para vencer obstáculos, desafios e dificuldades que enfrenta.



Capítulo 4


47

A Educação Infantil é um momento bastante propício para o con-tato e o trabalho com o conhecimento matemático. Por ser uma fase em que a criança está totalmente aberta a novas descobertas, é importante trabalhar tendo o objetivo de desenvolver estruturas de pensamento e ação, com vistas à sua flexibilidade e criatividade.

Inúmeras ações do cotidiano da criança estão permeadas pelo pensa-mento matemático, como: agrupar, juntar, comparar, separar, retirar, con-tar, entre tantas outras. Por meio dessas atividades do dia a dia, a criança estabelece correspondência entre objetos, seres ou ações, descobrindo e vivenciando propriedades relacionadas ao conhecimento matemático.

Para estabelecer os conteúdos matemáticos que devem ser tra-balhados na Educação Infantil, é necessário ter presentes aspectos relacionados:

ao período de desenvolvimento cognitivo em que a criança está; ●

ao meio social e cultural em que a criança vive; ●

às experiências vividas pela criança. ●

Os conteúdos matemáticos propostos para a Educação Infantil não são pré-requisitos para o trabalho com os conteúdos de mate-mática propostos para os anos iniciais do Ensino Fundamental, mas são conteú dos estruturantes para o trabalho da matemática nos anos seguintes. Isso significa que os conteúdos desenvolvidos na Educação Infantil propiciam estruturas significativas para a continuidade do tra-balho com o conhecimento matemático. Por exemplo, a contagem de objetos é condição estruturante para o trabalho com a numeração.

O conhecimento matemático não se constitui num conjunto de fatos a serem memorizados; que aprender números é mais do que contar, muito embora a contagem seja importante para a compreensão do conceito de número; que as ideias mate-máticas que as crianças aprendem na Educação Infantil serão de grande importância em toda a sua vida escolar e cotidiana (SMOLE; DINIZ; CÂNDIDO, 2000, p. 9).

De acordo com essas autoras, o trabalho de matemática na Educa-ção Infantil deve favorecer a exploração das inúmeras ideias matemáti-cas, desde as pré-numéricas, numéricas, formas geométricas e medidas até as noções de estatística, envolvendo a criança na construção de sig-nificados a cada conteúdo desenvolvido.




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De acordo com o Referencial Curricular Nacional para a Educa-ção Infantil – RCN – (BRASIL, 1998), a organização e seleção dos conteúdos matemáticos, para cada etapa do trabalho, é imprescindível para o planejamento de atividades que favoreçam o desenvolvimento integral da criança. O RCN (BRASIL, 1998, p. 217) destaca que, ao selecionar os conteúdos, deve-se levar em conta estes dois aspectos:

aprender matemática é um processo contínuo e de abstra-•ção no qual as crianças atribuem significado e estabelecem relações com base nas observações, experiências e ações que fazem, desde cedo, sobre elementos do seu ambiente físico e sociocultural;

a construção de competências matemáticas pela criança •ocorre simultaneamente ao desenvolvimento de inúmeras outras de naturezas diferentes e igualmente importantes, tais como comunicar-se oralmente, desenhar, ler, escrever, movimentar-se, cantar, etc.

Os primeiros conteúdos matemáticos dos quais as crianças da Educação Infantil fazem inferências estão relacionados à aritmética e ao espaço. Portanto, cabe à educação escolar o dever de trabalhar esse conhecimento, partindo da vivência da criança, gradativamente, para a construção de significados matemáticos mais complexos e abstratos.

a) Conteúdos de educação matemática para crianças de 0 a 3 anos

O RCN (BRASIL, 1998, p. 217) destaca os seguintes conteúdos matemáticos para essa faixa etária da Educação Infantil:

1. Utilização da contagem oral, de noções de quantidade, de tempo e de espaço em jogos, brincadeiras e músicas junto com o professor e nos diversos contextos nos quais as crianças reconheçam essa utilização como necessária.



Capítulo 4


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2. Manipulação e exploração de objetos e brinquedos, em si-tuações organizadas de forma a existirem quantidades indi-viduais suficientes para que cada criança possa descobrir as características e propriedades principais e suas possibilidades associativas: empilhar, rolar, transvasar, encaixar, etc.

b) Conteúdos de educação matemática para crianças de 4 e 5 anos

Nessa faixa etária, o trabalho pedagógico visa ao aprofundamento dos conteúdos desenvolvidos na fase anterior e à construção de novos conhecimentos matemáticos.

De acordo com o RCN (BRASIL, 1998), os conteúdos estão or-ganizados em três blocos: números e sistema de numeração, gran-dezas e medidas, espaço e forma, com o intuito de favorecer a organização pedagógica. No entanto, os conteúdos não podem ser trabalhados de forma linear e fragmentada, e sim de forma inte-grada para que a criança os relacione em situações do dia a dia e os perceba nas atividades do cotidiano.

Veja os conteúdos matemáticos indicados nacionalmente para essa faixa etária, com base no RCN e em outros autores que estudam os processos de aprendizagem em crianças da Educação Infantil.

1. Números e sistema de numeração

Classificação de objetos e quantidades, identificando e •utilizando diferentes critérios.

Comparação de objetos e quantidades, reconhecendo •igualdades e diferenças.




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Inclusão hierárquica.•

Conservação de quantidades.•

Utilização da contagem oral nas brincadeiras e em situa-•ções nas quais as crianças reconheçam sua necessidade.

Utilização de noções simples de cálculo mental como fer-•ramenta para resolver problemas.

Comunicação de quantidades, utilizando a linguagem oral, •a notação numérica e/ou registros não convencionais.

Identificação da posição de um objeto ou número em •uma série, explicitando a noção de sucessor e antecessor.

Identificação de números nos diferentes contextos em •que se encontram.

Comparação de escritas numéricas, identificando algu-•mas regularidades (BRASIL, 1998, p. 219-220).

2. Grandezas e medidas

Exploração de diferentes procedimentos para comparar •grandezas.

Introdução às noções de medida de comprimento, mas-•sa, capacidade e tempo, pela utilização de unidades não convencionais e convencionais.

Marcação do tempo por meio de calendários.•



Capítulo 4


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Experiências com dinheiro em brincadeiras ou em situa-•ção do universo das crianças (BRASIL, 1998, p. 225).

3. Espaço e forma

Explicitação e/ou representação da posição de pessoas e •objetos, utilizando vocabulário pertinente nos jogos, nas brincadeiras e nas diversas situações nas quais as crianças considerem necessária essa ação.

Exploração e identificação de propriedades geométricas •de objetos e figuras, relacionadas ao universo da criança.

Representações bidimensionais e tridimensionais de objetos.•

Identificação de pontos de referências para situar-se e •deslocar-se no espaço.

Descrição e representação de pequenos percursos e trajetos, •observando pontos de referência (BRASIL, 1998, p. 229).




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Anos iniciais do Ensino FundamentalNa perspectiva de desenvolver um trabalho pedagógico que vise à

inter-relação entre os conteúdos, rompendo com o excesso de linearida-de, fragmentação, como se os conteúdos fossem colocados em degraus diferenciados e, muitas vezes, isolados e sem significado, Machado (1993, p. 31) propõe que:

[...] conhecer é cada vez mais conhecer o significado, de que o significado de A se contrói através de múltiplas relações que podem ser estabelecidas entre A e B, C, D, E, X, T, G, K, W etc, estejam ou não as fontes de relações no âmbito da discipli-na que se estuda. Insistimos: não se pode pretender conhecer A para, então, poder-se conhecer B, ou C, ou X, ou Z, mas o conhecimento de A, a construção do significado de A, faz-se a partir das relações que podem ser estabelecidas entre A e B, C, X, G, ... e o resto do mundo.

Portanto, a assimilação/apropriação do conhecimento mate-mático se dá à medida que a criança constrói e atribui significados aos conceitos, cujos conteúdos se entrelaçam formando uma rede de conhecimento, favorecendo a construção de novas relações e conhe-cimentos. É dessa forma que os conteúdos matemáticos devem ser propostos e desenvolvidos na prática pedagógica. É claro que, para efeitos de organização, é necessário selecionar os conteúdos, colocan-do-os de forma linear. No entanto, a prática pedagógica não pode ser linear e fragmentada.

De acordo com os PCN (BRASIL, 1998), os conteúdos histori-camente construídos e sistematizados estão organizados, para efeitos didáticos, em quatro grandes blocos: números e operações; grandezas e medidas; espaço e forma e tratamento da informação, os quais devem ser contemplados em todos os anos de escolarização e aprofundados em cada ano de estudo.

Os quatro blocos de conteúdos

a) Números e operaçõesO conhecimento numérico é desenvolvido a partir das experiências que a criança possui, em um processo de construção e apropriação, destacando o significado de cada ideia, registro ou símbolo mate-mático. Isso ocorre também no desenvolvimento das operações. O



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trabalho se concentra na compreensão dos diferentes significados das ideias, operações e registros e nas relações existentes entre elas, bem como na compreensão, por meio de análise, reflexão e com-partilhamento de ideias dos diferentes cálculos, sejam eles mentais, aproximados (estimativas) ou exatos.

b) Espaço e formaO conhecimento geométrico surgiu de procedimentos empíricos, por isso está repleto de ações que levam a perceber, construir, re-presentar e conceber, o que o torna valioso instrumento entre a linguagem do cotidiano e o formalismo matemático. Assim, o es-tudo do espaço geométrico e das formas parte do que é percebido ao que é concebido, isto é, realiza-se por meio da percepção das formas geométricas básicas e de suas características, desenvolven-do, assim, um tipo especial de pensamento que permite ao alu-no compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive.O trabalho da geometria favorece o trabalho com situações-pro-blema, das quais os alunos, normalmente, gostam e pelas quais se interessam naturalmente. A geometria contribui também no estudo e na compreensão de números, medidas e tratamento da informação, pois estimula o aluno a observar, a notar semelhanças e diferenças, a identificar regularidades, a perceber representações simbólicas, entre outras habilidades.

c) Grandezas e medidasO conhecimento dos conteúdos relacionados a grandezas e me-didas se dá com certa facilidade, em razão de sua forte relevân-cia social, seu caráter prático e utilitário e pela possibilidade de relacioná-los com outras áreas do conhecimento. As medidas es-tão presentes nas mais diversas situações e atividades exercidas na sociedade. Desse modo, desempenham papel importante nas experiências e aprendizagens escolares, pois mostram claramente ao aluno a utilidade do conhecimento matemático no cotidiano.

d) Tratamento da informação

Vivemos na “era da informação e da comunicação”, por isso as informações estatísticas e as maneiras de apresentá-las à sociedade




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ocupam lugar importante em nossa realidade social. Em jornais, revistas, fôlderes, panfletos, televisão, internet, é comum serem veiculadas informações matemáticas que, muitas vezes, utilizam tabelas e gráficos, fazendo, assim, parte do cotidiano das pessoas. Isso demonstra a importância de estudar o processo de obtenção e de análise dos dados estatísticos, bem como prever e tirar con-clusões sobre um fenômeno em estudo. Ao trabalhar com a crian-ça conceitos e aplicações básicas de informações matemáticas que aparecem na mídia, estamos favorecendo a interpretação, leitura e análise dessas informações, que são utilizadas nos diferentes setores da sociedade, favorecendo a formação do aluno cidadão.Diante da relevância social do tratamento da informação, é neces-sário que o aluno construa procedimentos para coletar, organizar, comunicar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem frequentemente em seu dia a dia.

Organização dos conteúdos

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) fazem algu-mas considerações importantes que devem ser relevadas no momento em que se organizam os conteúdos para cada um dos anos iniciais do Ensino Fundamental, as quais destacamos a seguir.

Deve-se considerar a variedade de relações que podem ser es- ●tabelecidas entre os conteúdos dos diferentes blocos.

Estabelecer ênfase maior ou menor no estudo de cada con- ●teúdo de acordo com a sua relevância social e cultural, assim como na formação do indivíduo.

Deve-se considerar o nível de aprofundamento de cada conteú- ●do de acordo com o nível de compreensão da criança.

Quadro de conteúdos

Há certo consenso, tanto entre os educadores matemáticos e pe-dagogos como entre as propostas curriculares nacionais e regionais, em relação aos conteúdos que compõem a base de estudos de matemática em cada ano dos anos iniciais do Ensino fundamental.



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Os quadros a seguir mostram esses conteúdos matemáticos bá-sicos e sugestão de sua distribuição, que, para efeitos de organização, foram colocados na forma linear. É importante salientar que não exis-te rigidez na distribuição desses conteúdos por ano de escolarização.

1º anonúmeros e operações

Espaço e forma

Grandezas e medidas

Tratamento da informação

Comparação•

Classificação•

Sequência•

Seriação/ordenação•

Correspondência •biunívoca (um a um)

Função social dos •números

Conservação de •quantidade

Inclusão •hierárquica

Contagem•

Construção do •número

Sistema de Nume-•ração Decimal (unidade e dezena)

Relações numéricas •de comparação

Ideias das quatro •operações fundamentais e algumas de suas propriedades

Operações de adi-•ção e de subtração

Cálculo mental•

Noções topológi-•cas: lateralidade, aberto/fechado, interior/exterior, longe/perto, separado/unido, contínuo/descon-tínuo, alto/baixo, dentro/fora, fronteira

Reconhecimen-•to de formas tridimensionais: esfera, cone, cubo, paralelepí-pedo, pirâmide e outras

Relações com ob-•jetos do espaço e do plano

Reconhecimento •de formas bidi-mensionais: qua-drado, retângulo, círculo, triângulo e outras

Medida de tem-•po: construção do calendário

Medida de •valor: cédulas e moedas

Noções de medi-•das de compri-mento, massa e capacidade

Uso social do •número

Tabelas e grá-•ficos simples, com poucas informações

Noções de pro-•babilidade: de certo, provável e impossível, em contextos simples do cotidiano




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2º ano

números e operações Espaço e formaGrandezas e

medidasTratamento da

informação

Contagem•Agrupamentos para •facilitar a contagemConstrução do Sistema •de Numeração Decimal (até a centena – podendo ser iniciado o trabalho com a unidade de milhar)Pares e ímpares•Sequência•Antecessor e sucessor•Composição e decom-•posiçãoProporcionalidade •(relação multiplicativa entre duas grandezas, dois números ou duas medidas)Noções históricas da •construção numérica (contagem, diferentes sistemas de nume-ração, função dos números)Operação de adição•Operação de multi-•plicação (raciocínios aditivo, combinatório e proporcional)Cálculo mental•Dobro•Operação de subtração •(ideia aditiva, subtrati-va e comparativa)Operação de divisão •(ideia subtrativa e repartitiva)Metade•

Noções topo-•lógicas: latera-lidade, aberto/fechado, interior/exterior, longe/perto, separado/unido, contínuo/descontínuo, alto/baixo, fron-teiraRepresentação •do espaço (ma-lhas quadricula-das, mapas, ma-quetes e outras) com noções de escala (propor-cionalidade)Formas tridi-•mensionais: esfera, cone, cubo, paralelepí-pedo, pirâmide e outrasObtenção de •figuras planas por meio das faces das formas tridimensionaisFormas bidimen-•sionais: quadra-do, retângulo, círculo, triângulo e outrasSimetria obtida •por um eixo

Medida de tem-•po: construção do calendário, hora e meia horaMedida de •valor: cédulas e moedasMedidas de •comprimento: metro e centí-metroMedida de •massa: grama e quilogramaMedida de •medidas de capacidade: litro e mililitro

Uso do número •em diferen-tes contextos sociaisUtilização de •tabelas e gráfi-cos de barrasIdentificação da •possibilidade de um evento ocorrer em: certo, provável e impossível



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3º ano



informação

História dos nú-•meros (contagem, diferentes sistemas de numeração, fun-ção dos números)Sistema de Nume-•ração Decimal (até milhar)Antecessor e •sucessorComposição e •decomposiçãoSequência•Proporcionalidade •(relação multipli-cativa entre duas grandezas, dois números ou duas medidas)Operação de •adiçãoMultiplicação •(raciocínios aditivo, combinatório e proporcional)Dobro, triplo, etc.•Operação de •subtração (ideia aditiva, subtrativa e comparativa)Operação de divisão •(como ideia subtra-tiva e repartitiva)Metade e terça •parteCálculo mental•Relações entre as •operações na solu-ção de diferentes problemas

Noções de •localização de um objeto e orientação no espaçoRepresentação •do espaço (malhas quadricula-das, mapas, maquetes e outras) com noções de escala (propor-cionalidade)Formas tridi-•mensionais: esfera, cone, cubo, parale- lepípedo, pirâ-mide e outrasPlanificação•Formas bidi-•mensionais: quadrado, retângulo, cír-culo, triângulo e outrasSimetria•

Medida de •tempo: cons-trução do ca-lendário, hora e minutosMedida de va-•lor: cédulas e moedas reais e centavosMedida •de massa: quilograma e gramaMedida de •capacidade: litro e partes do litroMedida de •comprimento: quilômetro, metro e centímetro

Tabelas e •gráficos de barras e pictogramasPossibilida-•des de um evento ocorrer em: certo, provável e impossívelUso da •calculadora (tecnologia)




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4º ano

números e operações Espaço e forma Grandezas e medidasTratamento da

informação

Aspectos históri-•cos da construção numéricaSistema de Nume-•ração Decimal (até milhares)Antecessor e •sucessorComposição e •decomposiçãoSequência•Raciocínio propor-•cionalAs quatro opera-•ções fundamen-tais, suas ideias e propriedades (até a classe dos milhares)Cálculo mental•Dobro, triplo, quá-•druplo, etc.Metade, terça par-•te, quarta parte, etc.Relações entre as •operações na solu-ção de diferentes problemasNúmeros racionais •(representações fracionária, deci-mal e percentual)Frações de unidade •e de quantidadeEquivalência de •fraçõesOperações com •números decimais (adição e subtração)

Localização e •orientação no espaçoRepresentação •do espaço em diferentes tipos de malhas, ma-pas e maquetes, com noções de escala (propor-cionalidade)Formas tridimen-•sionais: poliedros e corpos redondosÂngulos: 90º, •180º e 360ºPlanificação•Formas bidimen-•sionais: polígonos e círculosAmpliação e •reduçãoSimetrias•

Medida de tempo •e suas unidadesMedida de valor •monetário: reais e centavosMedida de •comprimento: quilômetro, me-tro, centímetro e milímetroNoções de perí-•metro e de áreaMedida de massa: •quilograma, gra-ma e toneladaMedida de ca-•pacidade: litro e mililitroCálculo entre as •diferentes grandezas

Chances e •possibilidades de um evento ocorrerEstimativas•Tabelas e •gráficos: leitura, construção e análiseNoção de por-•centagemUso da calcula-•dora (tecnologia)



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5º ano



informação

Sistema de Numeração •Decimal (até milhões)Antecessor e sucessor•Composição e •decomposiçãoSequência•Raciocínio proporcional•História da construção •numéricaAs quatro operações fun-•damentais, suas ideias, propriedades, nomencla-tura dos termos, inversasDobro, triplo, quádruplo •e outrosMetade, terça parte, •quarta parte e outrosCálculo mental•Relações entre as ope-•rações na solução de diferentes problemasNúmeros racionais (re-•presentações fracionária, decimal e percentual)Frações de unidade e •de quantidadeEquivalência de frações•Ideias sobre operações •fundamentais com fra-ções: adição e subtração, multiplicação (natural por fracionário) e divisão (fração por natural)Operações com núme-•ros decimais: adição e subtração, multiplica-ção (natural por deci-mal) e divisão (decimal por natural)

Localização de •um objeto e orientação no espaçoRepresentação •do espaço em diferentes ma-lhas, mapas e maquetes, com escala (propor-cionalidade)Formas tridi-•mensionais: poliedros e corpos redondosPlanificação•Ângulos•Formas bidi-•mensionais: polígonos e círculosAmpliação e •redução de figurasSimetrias•

Medida de •comprimentoCálculo de •perímetro e de áreaMedida de •massa: quilo-grama, grama e toneladaMedida de •capacidade: litro, mililitroNoções de me-•dida de volume: metro cúbico e decímetro cúbicoRelação entre •dm³ e litroMedida de •tempo: hora, minutos, segundosMedida de valor •monetário: reais e centavosCálculo entre •as diferentes grandezas

Chances e •possibilidades de um evento acontecerEstimativas•Noções de mé-•dia aritméticaPesquisa de •opinião: amos-tra, população, tabulação de dados e análiseTabelas•Gráfico de bar-•ras, de colunas, de segmentos de reta e de setoresPorcentagem•Uso da •calculadora (tecnologia)




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ReflitaReflita

Os conteúdos matemáticos fazem parte do trabalho pedagógico desen-volvido nas escolas. O conhecimento como um todo deve valer a pena ser aprendido. Veja o que diz Antônio Nóvoa, num dos documentos do MEC (BRASIL, 2009, p. 6) sobre essa questão:

[...] vale a pena ser ensinado tudo o que une e tudo o que liberta. Tudo o que une, isto é, tudo o que integra cada indivíduo num espaço de cultura e de sentidos. Tudo o que liberta, isto é, tudo o que promove a aquisição de conhecimentos, o despertar do espírito científico. [...] e tudo o que torna a vida mais decente.

a) Faça uma reflexão sobre esse pensamento de Nóvoa e estabeleça um paralelo entre ele e os conteúdos matemáticos trabalhados em cada ano da vida escolar da criança.

b) De acordo com as suas reflexões, responda:

o conhecimento matemático escolar contribui para a integração xe a liberdade do indivíduo em todos os sentidos e na sua forma mais ampla?

o conhecimento matemático escolar contribui para tornar a vida xmais decente? Exemplifique.

ReflitaReflita

Da teoria para a práticaA cantiga descrita a seguir é bastante apreciada pelas crianças.

Os indiozinhos

(Cantiga popular)

Um, dois, três indiozinhos,

Quatro, cinco, seis indiozinhos,

Sete, oito, nove indiozinhos,



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Dez, num pequeno bote,

Iam navegando pelo rio abaixo,

Quando um jacaré se aproximou,

E o pequeno bote dos indiozinhos,

Quase, quase virou...

Agora responda:

a) A letra dessa cantiga sugere alguns conteúdos matemáticos. Que con-teúdos matemáticos são possíveis explorar com a letra dessa cantiga?

b) Esses conteúdos (listados no item anterior) fazem parte de quais blocos descritos nos quadros de conteúdos?

c) Para que ano(s) da escolarização da criança você trabalharia com essa cantiga?

d) Descreva uma situação concreta de trabalho pedagógico utilizando essa cantiga.

SínteseO Referencial Curricular Nacional – RCN – (BRASIL, 1998) dá

indicativos dos conteúdos matemáticos que devem ser trabalhados na Educação Infantil, mostrando a relevância desse trabalho desde os pri-meiros anos de vida da criança. Os conteúdos desenvolvidos nessa faixa etária são estruturantes no trabalho com o conhecimento matemático, favorecendo a construção de estruturas mentais de pensamento e ação que contribuem diretamente para a formação integral do indivíduo.

Os conteúdos matemáticos que fazem parte do currículo escolar dos anos iniciais do Ensino Fundamental, normalmente, estão contemplados em campos da matemática e organizados em quatro blocos, definidos nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) como: números e ope-rações; espaço e forma; grandezas e medidas; tratamento da informação.




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A organização dos conteúdos em blocos do conhecimento ma-temático deve favorecer a visualização, organização e o estudo apro-fundado dos temas envolvidos no trabalho pedagógico. No entanto, a prática pedagógica não pode ser linear; ela deve ser pensada no sentido de estabelecer relações entre os diferentes conteúdos, ultrapassando a linha imaginária que divide os blocos de conteúdos, assim como uti-lizar informações e ideias de outras áreas do conhecimento, para que o trabalho pedagógico seja dinâmico e interativo, em uma construção contínua e significativa do conhecimento matemático.



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Vivemos em uma sociedade na qual o conhecimento matemá-tico é fator indispensável para a participação social e, portanto, todo o cidadão tem o direito de acesso a esse conhecimento. Os PCN (BRA-SIL, 1998, p. 27) destacam essa importância ao comentar sobre as in-formações veiculadas na mídia: “para exercer a cidadania é necessário saber calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar informações esta-tisticamente, etc.”.

Os PCN (BRASIL, 1998, p. 27) destacam que a matemática con-tribui significativamente na construção da cidadania, na medida em que desenvolve metodologias que favoreçam a “construção de estraté-gias, a comprovação e justificativa de resultados, a criatividade, a inicia-tiva pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios”.

Ao pensar na formação do indivíduo enquanto cidadão, Ferreira (1993, p. 16) comenta sobre a importância de um trabalho pedagógico com a matemática que favoreça a construção de significados.

Se não se permitir que o aluno aceite “verdades” apenas por autoridade (seja do professor, do livro, etc.), mas que fomen-te uma atitude crítica em que qualquer “verdade” é sempre verificada pelo aluno; se se encara o professor como alguém que faz matemática e não como um detentor de uma série de conhecimentos estáticos; se o aluno é levado a recriar a matemática, baseando-se na sua intuição e lógica, chegando a diferentes níveis de abstração e rigor, conforme seu próprio desenvolvimento e as necessidades por eles sentidas.

Dessa forma, o ambiente escolar passa a ser um espaço investigati-vo em que os sujeitos (aluno e professor) estão constantemente frente a situações desafiadoras e em busca das melhores formas de resolver cada

Abordagem metodológica dos conteúdos 5




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situação apresentada. Assim sendo, a “missão dos educadores é preparar as novas gerações para o mundo em que terão que viver” (SANTALÓ, 2001, p. 11).

Diante disso, cabe destacar que a diversidade de estratégias e en-caminhamentos metodológicos no trato com os conteúdos certamente contribuirá para as inúmeras possibilidades de perceber e construir os conhecimentos matemáticos indispensáveis para a vida social e na for-mação da sua cidadania.

Estudos e pesquisas mostram que não existe um único e melhor caminho para se ensinar e aprender matemática. É fundamental que os educadores matemáticos conheçam as mais diferentes possibilidades de trabalho pedagógico para que possam planejar e construir a sua prática de forma significativa na construção do conhecimento matemático.

A seguir vamos mostrar algumas possibilidades metodológicas e estratégias para encaminhar o trabalho pedagógico com a matemática. É fundamental, no entanto, destacar que, neste capítulo, não vamos abordar a resolução de problemas, à qual dedicamos um capítulo in-teiro, devido à sua relevância no trato com a matemática.

Modelagem matemáticaA modelagem matemática é uma forma de abordagem metodoló-

gica que privilegia o contexto social do indivíduo, ao mesmo tempo em que procura levantar situações problematizadoras a partir de questiona-mentos da realidade. É uma forma de criar “um ambiente de aprendi-zagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade” (BARBOSA, 2001, p. 6) e que, por vezes, inicialmente, nem possui ligação direta com a matemática.

Essa forma de conduzir o trabalho com a matemática propõe que os sujeitos (professor e aluno) levantem problematizações que os instiguem e que tenham significado no contexto real no qual estão inseridos. A par-tir da proposição de uma problemática, os sujeitos vão se envolver na

formulação de hipóteses e simplificações adequadas na cria-ção de modelos matemáticos para analisar o problema em estudo, para ser vista como uma alternativa para inserir apli-cações matemáticas no currículo escolar sem, no entanto, al-terar as formalidades inerentes ao ensino (ALMEIDA; DIAS, 2004, p. 22).



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Portanto, a modelagem matemática possibilita a articulação entre o contexto social real e os conteúdos matemáticos, bem como estabele-ce conexão com as outras áreas do conhecimento, ao estudar as proble-matizações levantadas a partir da realidade.

História da matemáticaNos últimos anos, tem-se discutido muito sobre a importância da

utilização da história da matemática como um recurso pedagógico em sala de aula.

Os PCN (BRASIL, 1998, p. 42) consideram importante o uso da história da matemática ao dizer que ela:

pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao reve-lar a matemática como uma criação humana, ao mostrar ne-cessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferen-tes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante do conhecimento.

É possível verificar nos PCN (BRASIL, 1998, p. 43) que a história da matemática pode contribuir no sentido de levar o aluno a compreen-der muitas ideias e conceitos matemáticos que estão sendo estudados, “especialmente para dar respostas a alguns 'porquês' e, desse modo, contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre os obje-tos do conhecimento”.

Dessa forma, há certo consenso entre educadores e pesquisadores matemáticos quanto à importância da utilização da história da mate-mática como forma de favorecer ao aluno a construção de significados para os conhecimentos matemáticos estudados no âmbito escolar.

EtnomatemáticaA etnomatemática é considerada um programa de ensino e

aprendizagem da matemática, cujo mentor é o professor Ubiratan D’Ambrósio, que, na década de 1970, propôs que os sistemas educa-cionais deveriam dar ênfase às matemáticas produzidas pelas diferentes culturas e grupos sociais.




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D’Ambrósio (2002, p. 9) define a etnomatemática como um pro-grama que trabalha com a

matemática praticada por grupos culturais, tais como comu-nidades urbanas e rurais, grupos de trabalhadores, classes pro-fissionais, crianças de certa faixa etária, sociedades indígenas e tantos outros grupos que se identificam por objetivos e tradi-ções comuns aos grupos.

De acordo com o autor, a utilização da etnomatemática no desen-volvimento do trabalho pedagógico em matemática destaca a impor-tância e a valorização dos diferentes saberes matemáticos, não excluindo um em detrimento do outro, mas enfatizando o saber matemático de cada cultura, de cada grupo social, mostrando que todo o conhecimen-to matemático pertencente a um grupo social tem significado.

TecnologiaA utilização das tecnologias, sejam elas as calculadoras, os computa-

dores, os vídeos, etc., no âmbito escolar tem favorecido a compreensão e o significado de diversos conteúdos matemáticos, assim como tem am-pliado as formas e possibilidades de resolução de problemas, proporcio-nando, também, um leque maior de informações.

Partindo do pressuposto que a escola deve contribuir significativa-mente para a inserção do indivíduo na sociedade em que vive e sabendo que vivemos em uma sociedade tecnológica, é imprescindível que os recursos tecnológicos façam parte do processo de ensinar e aprender matemática como ferramentas pedagógicas fundamentais no trabalho em sala de aula.

Os PCN (BRASIL, 1997, p. 46) colocam que o acesso à calcula-dora, aos computadores e a outros recursos tecnológicos já é realidade para parte significativa da população, destacando ainda que

Estudos e experiências evidenciam que a calculadora é um instrumento que pode contribuir para a melhoria do ensi-no da matemática. A justificativa para essa visão é o fato de que ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação. Além dis-so, ela abre novas possibilidades educativas, como a de levar o aluno a perceber a importância do uso dos meios tecnológi-cos disponíveis na sociedade contemporânea. A calculadora é



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também um recurso para verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de autoavaliação.

A utilização da calculadora no âmbito escolar está bastante difun-dida, visto que hoje se tornou instrumento básico para a realização de diversas atividades. Ela pode ser utilizada, não para substituir o cálculo escrito e o cálculo mental que o aluno deve realizar, mas, principalmente, para desenvolver algumas atividades, como: descobrir algumas curiosida-des matemáticas envolvendo cálculos ou sequências numéricas; realizar cálculos extensos e complexos em que é mais importante dar ênfase no raciocínio e na resolução do problema e, com isso, o aluno ganha tempo; verificar resultados, utilizando-a como instrumento de autocorreção; tra-balhar e descobrir regularidades nas operações; entre outras situações em que o cálculo pode ser feito pelo uso da calculadora.

JogosAs brincadeiras e jogos fazem parte do mundo infantil. Portan-

to, a matemática apresentada por meio de atividades lúdicas torna-se envolvente e favorece a construção de significados de conhecimentos matemáticos próprios do mundo da criança.

A aceitação e utilização de jogos e brincadeiras como uma estraté-gia no processo de ensinar e aprender matemática têm ganhado força entre os educadores e pesquisadores matemáticos nesses últimos anos, por considerarem, em sua grande maioria, uma forma de trabalho pe-dagógico que estimula o raciocínio e favorece a vivência de conteúdos matemáticos e a relação com situações do cotidiano.

O jogo como estratégia de ensino e aprendizagem matemática em sala de aula deve favorecer à criança a construção do conhecimento científico, propiciando a vivência de situações “reais” ou “imaginárias”, propondo à criança desafios e instigando-a a buscar soluções para as situações que se apresentarem durante o jogo ou mesmo nas problema-tizações que surgirem como consequência do jogo, levando-a a racioci-nar, trocar ideias e tomar decisões.

Os PCN (BRASIL, 1998, p. 46) destacam o recurso aos jogos como uma importante ferramenta na proposição e na resolução de problemas,




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pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrati-vo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções. Propiciam a simulação de situa-ções-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o planejamento das ações; possibilitam a construção de uma atitude positiva perante os erros, uma vez que as situa-ções sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural, no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas.

A atividade de brincar e de jogar promove a busca da compreen-são de regras, a imaginação, a criatividade, a resolução de situações que aparecem no decorrer do jogo, tendem a promover o ensino e a aprendizagem que permitem a utilização de conhecimentos prévios da criança, levando-a a atribuir novos significados e a construir e ela-borar novos conhecimentos.

O jogo na educação matemática propicia a introdução da lingua-gem matemática que pouco a pouco vai sendo incorporada aos con-ceitos matemáticos formais, ao desenvolver a capacidade de lidar com informações e ao criar significados culturais para os conceitos mate-máticos e o estudo de novos conceitos. Para tanto, a escolha dos jogos e brincadeiras para utilização na educação matemática deve ser bem criteriosa e com objetivos bastante claros e definidos, para que, de fato, a criança incorpore novos conhecimentos e/ou ressignifique os conhe-cimentos já construídos, ampliando-os.

Textos, imagens e literatura infantilO trabalho com literatura infantil, textos e imagens está cada vez

mais presente na prática pedagógica da Educação Infantil e dos anos iniciais do Ensino Fundamental para trabalhar conteúdos relacionados à educação matemática.

Com o intuito de desenvolver diversas habilidades nas crianças, o aprendizado da língua materna falada e escrita, a representação de per-sonagens das histórias infantis, a percepção e a imaginação desenvolvi-das por meio das imagens e dos textos das histórias em quadrinhos, o encadeamento sequencial da história ou de imagens, desenvolvimento do raciocínio, da representação, do ouvir, da escrita, da compreensão da realidade e muitas outras favorecem o contato e o aprendizado de conhecimentos matemáticos.



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Smole, Cândido e Stancanelli (1999, p. 12-13) defendem a ideia do trabalho de educação matemática em conexão com a literatura in-fantil, de forma a integrar a literatura no trabalho pedagógico em ma-temática, ao destacar que essa integração

[...] representa uma substancial mudança no ensino tradicional da matemática, pois, em atividades deste tipo, os alunos não aprendem primeiro a matemática para depois aplicar a história, mas exploram a matemática e a história ao mesmo tempo.

Interrogado pelo texto, o leitor volta a ele muitas vezes para acrescentar outras expectativas, percepções e experiências. Desta forma, a história contribui para que os alunos apren-dam e façam matemática, assim como exploram lugares, ca-racterísticas e acontecimentos na história, o que permite que habilidades matemáticas e de linguagem desenvolvam-se jun-tas, enquanto os alunos leem, escrevem e conversam sobre as ideias matemáticas que vão aparecendo ao longo da leitura. É neste contexto que a conexão da matemática com a literatura infantil aparece.

O mundo mágico da literatura infantil, o colorido das imagens e a observação e análise de cenas prendem a atenção de qualquer crian-ça, despertando o seu mundo imaginário e sua criatividade. Portanto, abordar conteúdos a partir de histórias infantis, imagens, representações de cenas da realidade e do mundo da criança, torna a aprendizagem da matemática agradável, com significado e de fácil assimilação.

Materiais manipuláveisAlgumas das possibilidades metodológicas descritas anteriormente

também utilizam materiais manipuláveis, como: jogos, uso da calculado-ra, entre outros. Porém, neste tópico, queremos destacar outros materiais pedagógicos manipuláveis que são fortes aliados do professor no desen-volvimento do trabalho em educação matemática. Aqui vamos apresen-tar alguns desses materiais; há inúmeros outros que podem contribuir significativamente para o processo do ensinar e aprender matemática.

Os materiais manipuláveis, ao serem utilizados adequadamente, podem favorecer a diminuição nos processos puramente mecânicos, proporcionando ao aluno a oportunidade de construir e vivenciar si-tuações de raciocínios, observação e construção de procedimentos de




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cálculo, formas diversificadas de pensar e perceber a realidade, atri-buindo significado aos conteúdos e aos conceitos matemáticos.

Dessa forma, a educação matemática favorece o desenvolvimento do pensar e do atuar, construindo habilidades, valores e atitudes que am-pliam a visão de mundo e a construção do conhecimento matemático.

Os materiais manipuláveis favorecem a construção e a vivência de atividades matemáticas escolares, em que não há espaço para uma mate-mática pronta e acabada, privilegiando a memorização sem compreen-são, mas contribui para a construção e apropriação, pela criança, de um conhecimento dinâmico, significativo, que lhe permita compreender e intervir na realidade.

Diante disso, a utilização adequada de materiais manipuláveis pas-sa a ser fundamental na prática pedagógica do educador, uma vez que ensinar e aprender matemática consiste em perceber o significado e o sentido de cada conteúdo matemático e a aplicação nos diferentes contextos sociais.

Carvalho (1991, p. 107) destaca a importância do uso de materiais manipuláveis adequados para o trabalho com conteúdos matemáticos, dizendo que “na manipulação do material didático a ênfase não está sobre objetos e sim sobre as operações que com eles se realizam”.

Portanto, a utilização adequada de materiais manipuláveis pode auxiliar o aluno a compreender e perceber com mais facilidade e com significado determinados conteúdos e as relações neles presentes. Ao observar e vivenciar concretamente determinadas aplicações de regras, estruturas matemáticas, propriedades, procedimentos, cálculos, entre outros, torna-se mais acessível a compreensão e a relação que se estabe-lece entre o vivenciado e o registro simbólico.

A utilização de materiais manipuláveis na prática pedagógica deve ser planejada e com objetivos bem definidos. Para isso, é necessário usar material manipulável adequado para o conteúdo em estudo, que ajude e facilite a compreensão do conteúdo, atribuindo-lhe significado, favorecendo, também, a compreensão dos registros simbólicos mate-máticos.

Ao iniciar o trabalho pedagógico com material manipulável, são fa-vorecidas atividades que coloquem a criança em contato com o material



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para ela explorá-lo livremente. É nesse momento que o aluno percebe a forma, a constituição e os tipos de peças de cada material, para poder, depois, explorar a maior quantidade possível de conteúdos matemáticos, estabelecendo todas as relações possíveis.

A participação da criança como sujeito na construção do conhecimen-to matemático contribui nas formas de abordar notações e convenções da linguagem matemática, incentivando a criança a criar seus próprios méto-dos de resolver problemas com materiais concretos e pensar as notações e expressões que usará para representar suas soluções. Assim sendo, a criança é levada a perceber que toda notação é um dos muitos modos válidos para expressar seu pensamento e suas formas de raciocínio.

A seguir apresentamos alguns recursos manipuláveis que podem ser usados na prática pedagógica a fim de contribuir para o ensino e a aprendizagem de conteúdos e conceitos matemáticos.

Material dourado

O material dourado foi criado por Maria Montessori, médica ita-liana (1879-1952). Ela desenvolveu o trabalho de construção e apro-priação do Sistema de Numeração Decimal (SND), suas propriedades e operações, por pessoas que apresentavam dificuldades de aprendizagem em matemática.

O material dourado é utilizado, principalmente, para desenvolver o trabalho com:

o Sistema de Numeração Decimal; ●

as operações fundamentais; ●

o desenvolvimento de algumas habilidades, como: observa- ●ção, comparação, percepção, autonomia, criatividade, racio-cínios lógicos, entre outras;




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72

a percepção entre o simbólico e o manipulável; ●

a resolução de problemas. ●

Além disso, o material dourado pode favorecer a concentração, o interesse, o raciocínio lógico, desenvolver a inteligência e a imaginação criadora, pois a criança, por natureza, está sempre predisposta ao jogo.

O material dourado se baseia nas regras do Sistema de Numeração Decimal e é composto por:

Cubinho cada cubinho representa uma unidade:

1 unidade = 1 U

Barra cada barra é composta por 10 unidades:

10 unidades = 10 U

1 dezena = 1 D

Placa cada placa é composta por 100 unidades:

100 unidades = 100 U

10 dezenas = 10 D

1 centena = 1 C

Cubo cada cubo é composto por 1 000 unidades:

1 000 unidades = 1 000 U

100 dezenas = 100 D

10 centenas = 10 C

1 unidade de milhar = 1 UM

Na falta do material dourado tridimensional, é comum confeccio-nar um material similar no plano, com quadradinhos de 1cm 1cm,



Capítulo 5


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com o objetivo de desenvolver as atividades pedagógicas relacionadas à construção da numeração decimal. As peças ficam assim:

1 centena 1 dezena 1 unidade

Como esse material é feito no plano, não é possível confeccionar o cubo; por isso a sua representação se limita ao trabalho pedagógico até a centena. Mesmo assim, é possível desenvolver um bom trabalho em relação à numeração.

É imprescindível destacar que o material dourado, por si só, não evidencia o valor posicional do número, princípio fundamental do Sistema de Numeração Decimal.

Quadro valor-lugar

Ccentena

Ddezena

Uunidade

Ccentena

Ddezena

Uunidade

Mmilhar




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O quadro valor-lugar (Q. V. L.), também denominado cartaz va-lor-lugar (conhecido pela sua abreviatura: cavalu), é um material ma-nipulável utilizado, principalmente, para a construção e compreensão do Sistema de Numeração Decimal (SND) e para a resolução das ope-rações fundamentais.

É um material de fácil confecção, pois pode ser confeccionado colando-se uma folha de papel pardo pregueado (cada prega pode ter aproximadamente a profundidade de 3 centímetros) sobre um pedaço de papelão ou uma folha de papel cartão. Fazer duas ou mais separa-ções verticais, usando fita adesiva colorida ou fita crepe. Com o quadro valor-lugar e palitos de sorvete, pode-se representar quantidades numé-ricas, fazendo o reagrupamento de ordens e estimular a compreender a representação da resolução das operações fundamentais, principalmen-te as adições e as subtrações.

O quadro valor-lugar (cavalu) é um material manipulável que pode ser utilizado como variação para a representação numérica e a resolução das operações fundamentais realizadas com o ábaco e com o material dourado.

Ábaco

DM UM C UD C UD

O ábaco é um instrumento milenar utilizado para a representação numérica e para a realização de cálculos. Como os cálculos eram feitos basicamente em ábacos, ele é considerado a primeira máquina de cal-cular inventada.

É muito usado ainda, principalmente nas escolas, para a repre-sentação e compreensão do Sistema de Numeração Decimal e para a resolução das operações fundamentais. Nas escolas, é mais usado o ába-co aberto, que é formado por hastes, uma base de madeira ou outro material e várias pecinhas para serem colocadas nas hastes, de acordo com a representação numérica em questão.



Capítulo 5


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Mas, além da escola, ele ainda é usado em países como Índia, Chi-na, Japão e Rússia, nas mãos de pessoas que operam com facilidade e agilidade esse instrumento.

É um recurso material que favorece a visualização da representação do Sistema de Numeração Decimal, a base 10 e o valor posicional dos algarismos, além de ser um instrumento utilizado na resolução das ope-rações fundamentais, com destaque para a adição e a subtração.

Blocos lógicos

Os blocos lógicos foram criados pelo matemático húngaro Zoltan Paul Dienes, na década de 50 do século passado, com o principal obje-tivo de desenvolver o raciocínio lógico, a análise, o pensamento flexível e as operações mentais estruturantes do pensamento matemático, que ocorrem por meio da manipulação de peças com atributos lógicos, fa-vorecendo a articulação de raciocínios e a busca de múltiplas soluções para os problemas que possam surgir.

Os blocos lógicos são compostos por um conjunto de 48 peças (tri-dimensionais) com quatro atributos: forma, cor, tamanho e espessura.

4 formas 2 Tamanhos

Cilindro / Prisma de base triangular / Prisma de base quadrada / Prisma

de base retangular Grande / Pequeno




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2 EspEssuras 3 corEs

Fino / Grosso Azul / Amarelo / Vermelho

Observação: por questões de praticidade e para não incorrer no erro de tratar um bloco tridimensional de quadrado, triângulo, retân-gulo ou círculo (que são figuras planas – bidimensionais), as peças (ou blocos) podem ser nominadas de acordo com a forma geométrica de sua base. Por exemplo:

cilindro peça (ou bloco) de base circular.

prisma de base triangular peça (ou bloco) de base triangular.

prisma de base quadrada peça (ou bloco) de base quadrada.

prisma de base retangular peça (ou bloco) de base retangular.

Sólidos geométricos

Os sólidos geométricos são representações das formas tridimensio-nais presentes no espaço que nos rodeia.



Capítulo 5


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Conhecer e utilizar os sólidos geométricos ou seus modelos contri-bui significativamente para a compreensão das características e proprie-dades que compõem as diferentes formas geométricas presentes no es-paço em que vivemos. Por meio dos sólidos geométricos (representações tridimensionais) obtemos, também, as figuras planas (bidimensionais).

Observe que alguns sólidos geométricos têm todas as suas superfí-cies (faces) planas, enquanto outros têm superfícies curvas. Essa carac-terística matemática é o critério de classificação dos sólidos geométricos em dois grandes grupos. Veja:


Poliedros (faces planas)Corpos redondos

(superfícies arredondadas)

Prismas Pirâmides Outros Cone Cilindro Esfera

É possível afirmar que o ensino da geometria por meio da cons-trução e da manipulação das formas proporciona a compreensão do conhecimento, atribuindo significado às características e propriedades geométricas, assim como desenvolve inúmeras habilidades relacionadas ao raciocínio e ao pensamento geométrico.




FAEL

78

ReflitaReflita

Leia e reflita sobre as quatro afirmações a seguir.

1. As mudanças sociais têm ocorrido numa velocidade nunca imagina-da há bem pouco tempo. A educação como parte integrante dessa so-ciedade deve procurar se integrar eficazmente às mudanças de forma crítica e construtiva.

2. A educação exerce papel fundamental no processo de construção dos conhecimentos necessários à inserção do indivíduo na sociedade.

3. O professor exerce papel fundamental enquanto orientador, insti-gador e mediador entre o conhecimento e o aluno.

4. Ao favorecer a manipulação de materiais, a criança agrega novas expe-riências à sua vida, favorecendo a construção de novas aprendizagens e, com isso, a construção e assimilação de novos conceitos matemáticos.

Faça uma reflexão sobre cada uma dessas afirmações e relacione-as com as abordagens metodológicas desenvolvidas no capítulo.

A partir das suas reflexões, estabeleça um paralelo entre essas afirma-ções e as abordagens metodológicas que contribuem na efetivação do ensino e da aprendizagem matemática no âmbito escolar.

ReflitaReflita

Da teoria para a prática1. A etnomatemática tem como objetivo valorizar e trabalhar a ma-

temática utilizada por diferentes grupos sociais. Partindo dessa afirmação, podemos estabelecer que as crianças, com suas brinca-deiras específicas, formam um grupo social. Além dessa forma de abordar as brincadeiras infantis, podemos pensá-las, também, na abordagem metodológica dos jogos, enquanto forma articuladora de ensinar e aprender matemática.



Capítulo 5


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Uma das brincadeiras infantis apreciadas pelas crianças é a amarelinha.

Então, vamos brincar de amarelinha?

a) Há diferentes formas de desenhar a amarelinha. Veja duas possi-bilidades.

1

23

54

6

8 79

Céu Céu

1

2 3

6

4

5

9

7

810

b) Regras da brincadeira.

Cada criança, na sua vez, joga uma pedrinha, iniciando •na casa de número 1, devendo acertá-la dentro da casa.

Em seguida, pula com um só pé nas casas isoladas e •com dois pés nas casas duplas, evitando a que contém a pedrinha.

Chegando ao céu, pisa-se com os dois pés, e retorna da •mesma forma que foi.

No retorno deve pegar a pedrinha do chão, sem perder o •equilíbrio, nem pisar no traçado e nem fora das figuras, voltando ao ponto de partida.




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Se não cometer erros, joga a pedrinha na casa de número •2 e assim sucessivamente.

Se cometer algum erro passa a vez para a outra criança e •aguarda a próxima vez de jogar.

Ganha o jogo quem alcançar o céu.•

c) Agora, analise a brincadeira e responda.

Quais são as abordagens metodológicas envolvidas nessa •atividade?

Quais os conteúdos matemáticos que podem ser traba-•lhados com essa brincadeira?

d) É possível iniciar o trabalho com o conhecimento matemático desde o traçado da amarelinha.

Que formas geométricas são essas? As linhas são retas ou •curvas? Onde estão as linhas retas? E as curvas?

Quais números vamos colocar nas casas? Qual é a sequên-•cia numérica usada?

O que significa cada um desses números?•

Qual é a quantidade que cada número representa?•

Qual é o antecessor do 3? E o sucessor?•

Você poderá elaborar outros questionamentos, de acordo com a realidade das crianças, durante a brincadeira.

SínteseO conhecimento matemático faz parte da sociedade contemporâ-

nea e a sua aprendizagem é imprescindível na formação da cidadania e para uma participação efetiva no meio social em que vivemos. Há di-versas abordagens metodológicas que contribuem para que essa apren-dizagem se efetive com compreensão e significado para a criança.



Capítulo 5


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O trabalho pedagógico com o conhecimento matemático pode adquirir maior significado na medida em que é desenvolvido por meio de diferentes abordagens metodológicas. Entre as diversas possibili-dades de “fazer” matemática em sala de aula, destacamos: modelagem matemática, etnomatemática, história da matemática, jogos, uso da tecnologia, uso de textos, imagens e literatura infantil e materiais ma-nipuláveis. A resolução de problemas permeia essas abordagens me-todológicas, além de ser uma das possibilidades de trabalho pedagó-gico da matemática. Não abordamos a resolução de problemas neste momento, pois será trabalhado um capítulo, neste livro, sobre essa abordagem metodológica.

Os jogos, atividades lúdicas, brincadeiras, literatura infantil e ma-teriais manipuláveis, se usados adequadamente, contribuem significati-vamente na construção e compreensão do conhecimento matemático. Essas formas de trabalhar o conhecimento matemático devem visar à construção e à apropriação da linguagem simbólica e dos raciocínios matemáticos.





83

As operações mentais se constituem por meio das ações mo-toras e sensoriais utilizadas pelo ser humano desde a mais tenra ida-de. As experiências vivenciadas concretamente pela criança favorecem o desenvolvimento das estruturas de pensamento e ação, que fazem parte do desenvolvimento do pensamento lógico-matemático.

As operações mentais que permitem à criança estabelecer relações entre os elementos, iguais ou diferentes, presentes no meio em que ela está inserida se desenvolvem com maior intensidade quando o egocen-trismo diminui, e a convivência e a cooperação com outras crianças assumem o lugar do brinquedo isolado.

As variações nas idades das crianças, em que ocorrem os proces-sos de apropriação de determinadas estruturas mentais e de raciocínio lógico-matemático, devem-se às ações e às relações da vida social da criança e aos estímulos proporcionados em função do seu desenvolvi-mento humano.

A contagem numérica, por exemplo, pode ser iniciada pelas crian-ças em diferentes idades, de acordo com a interferência do meio social na aquisição dessa habilidade. Destaca-se, no entanto, que uma criança que aprendeu a contar até dez ou mais, mesmo que relacione correta-mente o número falado à quantidade de objetos reais, não garante que ela já possua as estruturas mentais desenvolvidas para a compreensão dos números ou mesmo para a resolução de operações matemáticas mais complexas. Isso ainda pode levar algum tempo.

Para construir e atribuir significado ao conhecimento matemático, como o Sistema de Numeração Decimal, é necessária a construção de

Operações mentais lógico-matemáticas 6




FAEL

84

determinadas estruturas mentais, bem como a formação de certos há-bitos de pensamento e ação. Por isso, destacamos a seguir as principais operações mentais lógico-matemáticas fundamentais para a construção das estruturas lógicas de pensamento e ação.

Operação de classificaçãoDesde pequena, a criança começa a reconhecer objetos, pessoas

ou seres que ocupam o espaço. Ao reconhecer, por meio do contato, o mundo ao seu redor, começa a nomear e identificar brinquedos, pessoas, animais, objetos, entre outros, identificando intuitivamente característi-cas dos seres e coisas que fazem parte do seu mundo.

Dessa forma, a criança inicia o desenvolvimento da operação men-tal de classificação, a qual se modifica à medida que ela cresce e sofre as influências e intervenções do meio social em que vive.

Durante o seu desenvolvimento, a criança percebe e identifica, por exemplo, que um cachorro é diferente de um pássaro, classificando-os em grupos distintos, pois apresentam características diferentes. Mais tarde, a criança aprenderá que o cachorro e o pássaro pertencem a um grupo maior, denominado animais; ou seja, mesmo com características tão diferentes, eles pertencem ao mesmo grupo – o de animais –, pois há características comuns entre eles. Essa capacidade de identificar e incluir em um grupo maior animais, objetos, seres, pessoas, ações que apresentam determinadas características comuns mostra que a criança adquiriu a noção de inclusão. A ideia de inclusão é essencial para o desenvolvimento do pensamento lógico-matemático.

Portanto, de acordo com Piaget (1975), a classificação é uma ope-ração lógica que consiste na capacidade de separar objetos, pessoas, fa-tos, ações ou ideias em classes ou grupos, tendo por critério uma ou várias características comuns.

Outras palavras que são associadas à operação mental de classificar:

organizar; ●

juntar; ●

separar; ●

reagrupar. ●



Capítulo 6


85

Para classificar é necessário estabelecer critérios ou atributos, que visam identificar se um elemento pertence ou não àquele grupo, ou seja, se faz parte de um determinado grupo ou classe.

Estabelecendo classificações

a) Classificar os objetos representados a seguir, em dois grupos, de acordo com a cor.

Critério (ou atributo) de classificação: objetos com cores es- ●curas e objetos com cores claras.

Essa classificação fica assim representada:

cor escura cor clara

Se designarmos de “A” o grupo de objetos de cor escura e de “B” o grupo de objetos de cor clara, podemos dizer que um elemento de cor branca pertence ao grupo B, isto é, esse ele-mento faz parte do grupo B, estabelecendo assim a relação de pertinência entre o elemento e o grupo a que ele pertence.




FAEL

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b) Classificar os objetos em dois grupos de acordo com a forma geo-métrica.

250g

Extrato detomate

Sucode uva

200ml

Critério (ou atributo) de classificação: objetos que apresen- ●tam todas as faces planas e objetos que apresentam alguma face arredondada ou curva.

Essa classificação fica assim representada:

todas as faces planas alguma face arredondada ou curva

Sucode uva

200ml

250g

Extrato detomate

O 1º grupo é composto por objetos que apresentam todas as faces planas, e o 2º grupo, por objetos que possuem faces arredondadas.



Capítulo 6


87

Ao estabelecer a relação de pertinência ou de inclusão, pode-mos dizer que uma bola de futebol pertence e pode ser incluí-da no 2º grupo de objetos.

Ampliando o conceito de critério

Critério é um padrão que se usa como norma para julgar ou com-parar. O critério é estabelecido pelas pessoas de acordo com o que se pretende frente à situação que se apresenta.

Podemos ter, basicamente, três tipos de critérios:

a) Critério objetivo – caracteriza-se por apresentar padrão comum a qualquer pessoa. É critério lógico-matemático.

Por exemplo:

Organizar os objetos de acordo com a cor. ●

Grupo 1 – cor clara

Grupo 2 – cor escura

O critério cor é objetivo.

b) Critério comparativo – caracteriza-se por apresentar um ele-mento de comparação como medida de padronização. É critério lógico-matemático.

Exemplos:

Separar os objetos em dois grupos – grandes e pequenos. ●

Questões para se pensar:

O que caracteriza um objeto grande? Ele é grande em •relação a quem?




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88

O que caracteriza um objeto pequeno? Ele é pequeno em •relação a quem?

Objetos maiores (grandes)

Objetos menores (pequenos)

Ao comparar os objetos entre si, estabelecemos o critério de tamanho, separando-os em grandes e pequenos.

O critério tamanho (grande e pequeno) é comparativo.

Organizar as pessoas em dois grupos – as altas e as baixas. ●

Questões para pensar:

Quanto deve medir uma pessoa para ser considerada •alta? Ela é alta em relação a quem?

Quanto deve medir uma pessoa para ser considerada bai-•xa? Ela é baixa em relação a quem?



Capítulo 6


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Ao comparar as pessoas entre si, estabelecemos o critério de altura, classificando-as em altas e baixas.

O critério altura (alto e baixo) é comparativo.

Note, porém, que se compararmos a pessoa mais alta, das repre-sentadas anteriormente, com a altura de um prédio, é possível afir-mar que essa pessoa é baixa. Isso se deve ao fato de mudarmos o parâmetro de comparação.

Por isso, é necessário ter um elemento de comparação que serve como parâmetro nos critérios comparativos.

c) Critério subjetivo – a subjetividade nem sempre é considerada um critério. No entanto, optamos por citá-lo, pois, ao se traba-lhar com crianças, percebe-se que é bastante comum, entre elas, a utilização da subjetividade como critério, padrão pessoal, para organizar, separar ou agrupar objetos ou seres. O subjetivo não é critério lógico-matemático, pois está relacionado ao individual; é válido somente para o sujeito que o estabelece. Não apresenta padrão comum às pessoas.

Por exemplo:

Ao classificar os brinquedos em dois grupos, a criança identi- ●ficou os que ela gosta, separando-os dos que ela não gosta.




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nÃo gosta gosta

Essa é uma forma de separar e organizar coisas, objetos, seres, entre outros, utilizada no cotidiano das pessoas, porém, é uma forma subjetiva de classificar.

O desenvolvimento da operação mental de classificação contribui significa-tivamente na formação de hábitos e atitudes necessários à vida cotidiana das pessoas. Por exemplo: classificação de produtos de mercado – ao reali-zarmos compras, separamos os produtos de limpeza dos de alimentação, entre outros; classificamos as roupas na hora de lavá-las ou guardá-las; etc.

A operação de classificação contribui, em especial, na formação da estrutu-ra mental de construção do número e das operações lógico-matemáticas, ao desenvolver a observação, a comparação, a lógica, de modo a perceber semelhanças e diferenças e, dessa forma, estabelecer relações de pertinên-cia e de inclusão.

Operação de seriação

A seriação é a organização de uma sequência lógica, utilizando um critério que estabelece relações entre os elementos. Por exemplo:

Organização das crianças por ordem de idade – da que tem menor a) idade à que tem a maior idade.



Capítulo 6


91

Pedro

7 anos

Felipe

9 anos

Pedro FelipeTiago

5 anos

Por estabelecer relações entre os elementos, a seriação apresenta duas propriedades fundamentais: a transitividade e a reciprocidade.

Transitividade ● : é a propriedade que se caracteriza por estabe-lecer a relação entre o primeiro e o último elemento de uma série, a partir da relação existente entre um elemento e o seu antecessor e sucessor. Por exemplo: se Tiago é mais novo que Pedro, e Pedro é mais novo que Felipe, então, Tiago é mais novo que Felipe.

Se T P F, então T F

Reciprocidade ● : é a propriedade que se caracteriza por eviden-ciar a relação entre um elemento e outro na série que, ao in-verter esses elementos na série, a relação entre eles também se inverte. Por exemplo: se Tiago é mais novo que Pedro, então, Pedro é mais velho que Tiago.

Se T < P, então P > T

Ao trabalhar com seriação, desenvolvemos estruturas mentais importantes relacionadas ao raciocínio lógico-matemático que contri-buirão para a aprendizagem significativa dos conceitos e propriedades relacionados aos conteúdos matemáticos. Para se obter uma seriação é necessário estabelecer um critério que organize a sequência lógica.




FAEL

92

Por exemplo:

b) Organizar uma sequência de cubos em ordem crescente de tamanho.

Critério: ordem crescente de tamanho dos cubos.

Esta série de cubos tem como característica a ordem crescente de tamanho: o 2º cubo é maior que o 1º; o 3º é maior que o 2º; o 4º é maior que o 3º; e assim sucessivamente. Há uma relação de “vizinhança” entre os elementos, ou seja, a série estabelece relações entre os elementos anteriores e posteriores.

c) Organizar uma sequência com os objetos, observando a forma geométrica.

Critério: forma geométrica dos objetos.

Essa série tem como característica as faces dos objetos: um objeto com face plana e dois objetos com faces arredondadas. Nessa série é possível perceber, também, a sequência de cores entre os elemen-tos que a compõem: escuro, claro, claro; escuro, claro, claro; e assim sucessivamente.

Além da contribuição na formação de hábitos e atitudes necessários à vida cotidiana das pessoas, a operação mental de seriação, contribui fortemen-te na construção das estruturas lógicas do conhecimento matemático, em especial, na formação do Sistema de Numeração Decimal, ao estabelecer relações entre o elemento anterior e o posterior.



Capítulo 6


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Inclusão hierárquicaA inclusão hierárquica é a relação entre dois ou mais termos, em

que um faz parte do outro, estabelecendo rigorosamente uma hierar-quia, isto é, uma ordem crescente.

Essa relação permite estabelecer a quantificação de um grupo de objetos. Ao solicitar que uma criança mostre seis objetos, é natural que ela ordene-os para facilitar a contagem e, depois de ordenado, mostre que seis objetos são o grupo todo e não somente o sexto objeto. Se a criança apontar somente para o sexto objeto, isto significa que ela não percebeu a inclusão dos elementos anteriores na composição da quanti-dade seis e, portanto, não construiu o significado da quantidade seis.

Veja algumas exemplificações de inclusão hierárquica em quanti-ficações do cotidiano, identificando a importância da construção dessa estrutura mental de pensamento e ação no desenvolvimento do racio-cínio lógico-matemático.

a) Na medida de valor monetário

Se há R$ 5,00, para obter R$ 7,00 é necessário incluir R$ 2,00.

R$ 5,00

R$ 7,00

R$ 2,00

b) Na medida de tempo/idade

Para completar 6 anos é necessário ter 5 anos e incluir mais 1 ano.

5 anos

6 anos

1 ano

5 anos + 1 ano = 6 anos

Vou fazer 6 anos




FAEL

94

c) No Sistema de Numeração Decimal

•1 •2 •3 •4 •5

Cada elemento da série numérica é uma unidade a mais que seu antecessor e uma a menos que o seu sucessor.

Comparação: semelhanças e diferenças

Por meio da observação e da comparação, identificamos caracterís-ticas semelhantes e diferentes entre objetos, pessoas e fatos, permitindo a organização e reorganização do pensar e do agir.

A operação mental de comparar favorece a correspondência ter-mo a termo, identificando quantidades diferentes ou semelhantes entre grupos de objetos, pessoas, animais, fatos, entre outros.

Veja as exemplificações de comparação mostradas a seguir, identi-ficando a importância da construção dessa estrutura mental de pensa-mento e ação no desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático.

a) Os cubos representados a seguir possuem características comuns (semelhanças) e diferentes.

Semelhanças: forma geométrica; consequentemente os dois ●cubos têm a mesma quantidade de faces, de vértices e de arestas.

Diferenças: tamanho, cor, volume. ●



Capítulo 6


95

b) Ao comparar, termo a termo, a quantidade de objetos que com-põem os dois grupos a seguir, temos:

A

B

A cada dado do grupo A corresponde um botão do grupo B. No entanto, nem todos os botões do grupo B correspondem a um dado do grupo A, ou seja, há mais botões do que dados. Portanto, a quantidade de elementos entre os grupos é diferente.

Há seis dados e seis botões mais um botão, ou seja, sete botões.

Ao comparar características e quantidades de objetos e seres, percebendo semelhanças e diferenças, desenvolvemos a observação e a análise de algo visível e perceptível. Esse trabalho é a base para o desenvolvimento de es-truturas mentais de raciocínio lógico voltadas para a análise de ideias, opi-niões, conhecimentos e saberes que exigem uma abstração maior.

Conservação de quantidadeÉ a operação mental que nos permite perceber que uma determina-

da quantidade pode ser representada de diferentes formas e maneiras.

Os exemplos a seguir mostram a importância da construção dessa estrutura mental de pensamento e ação no desenvolvimento do racio-cínio lógico-matemático.

a) A disposição dos cubinhos e a mudança nas cores não alteram a sua quantidade em cada um dos grupos.




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b) A quantidade 7 pode ser representada de diferentes maneiras.

7

7

7

A conservação de quantidade está relacionada à ação mental de fazer e desfazer uma mesma situação, favorecendo a flexibilidade e a reversibilidade de pensamento e ação.

ReflitaReflitaLeia este pensamento de Piaget.

“É através da atividade concreta que a criança desenvolve a capacidade lógica; a ação deve anteceder ou acompanhar o raciocínio em todas as atividades.”

Faça uma reflexão sobre esse pensamento e estabeleça um paralelo entre ele e as operações mentais estruturantes do pensamento lógi-co-matemático.

ReflitaReflita



Capítulo 6


97

Da teoria para a práticaA seguir, propomos duas atividades práticas de aplicação das opera-

ções mentais lógico-matemáticas, para serem trabalhadas em sala de aula.

1. Providencie algumas embalagens vazias (que não sejam de vidros ou cortantes).

a) Classifique as embalagens vazias em dois grupos, de acordo com os seguintes critérios:

cor (por exemplo: predominância de cores claras X pre- ●dominância de cores escuras);

tamanho (por exemplo: embalagens maiores X embala- ●gens menores);

tipo de material usado na confecção da embalagem (por ●exemplo: embalagens de papelão X outras);

tipo de produto que havia na embalagem (por exemplo: ●alimentos X não alimentos; produtos de higiene X ou-tros; etc.);

tipo de medida registrada na embalagem (por exemplo: ●medidas de massa X outras medidas).

b) Além dos critérios descritos anteriormente que outros crité-rios é possível utilizar para classificar essas embalagens em dois grupos?




FAEL

98

Faça as classificações e registre os critérios utilizados.•

Faça a maior quantidade possível de classificações com •essas embalagens.

c) Organize as embalagens em diferentes sequências lógicas, re-gistrando o critério utilizado em cada uma das sequências.

d) Pegue duas embalagens aleatoriamente.

Compare-as.•

Descreva todas as características semelhantes e diferentes •existentes entre elas.

2. Com um jogo de blocos lógicos, realize a atividade: “Descobrindo a peça escondida”.

Espalhe as 48 peças dos blocos lógicos sobre uma mesa ou ●mesmo no chão;

Um participante da atividade esconde uma das peças sem que ●os demais participantes vejam qual foi a peça escondida;

Os participantes que não viram qual foi a peça escondida têm ●de descobrir, por meio da observação, da classificação e da análise das 47 peças que sobraram, qual foi a peça escondida, descrevendo as suas características;

Misturam-se novamente todas as peças e um novo participan- ●te esconde uma peça e os demais tentam descobrir qual foi a peça escondida; e assim sucessivamente.

SínteseAs operações mentais lógico-matemáticas favorecem o desenvol-

vimento de estruturas que propiciam a construção do conhecimento e dos saberes matemáticos com compreensão e significado.

As operações mentais de classificação, seriação, inclusão hierárqui-ca, comparação e conservação de quantidade são necessárias para a for-mação de certos hábitos de pensamento e ação e no desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático.



Capítulo 6


99

A operação de classificação consiste na capacidade de organizar grupos de objetos, pessoas, animais, fatos ou ações, por meio de crité-rios lógicos, tendo uma ou várias características comuns. A operação de seriação consiste na capacidade de organizar elementos em sequência lógica, estabelecendo relação entre o elemento anterior e o posterior. A inclusão hierárquica consiste na capacidade de perceber e compreender a relação existente entre dois ou mais termos, na qual um deles faz par-te do outro, estabelecendo rigorosamente uma hierarquia, isto é, uma ordem crescente.

A operação de comparar consiste na capacidade de identificar se-melhanças e diferenças de características e de quantidades, desenvol-vendo a observação, a análise e o raciocínio lógico-matemático.

Por fim, a operação de conservação de quantidade consiste na ca-pacidade de perceber que uma determinada quantidade pode ser repre-sentada de diferentes formas e maneiras, favorecendo a flexibilidade e a reversibilidade de pensamento e ação.





101

A construção e o conhecimento dos números e da geometria são essenciais para o exercício da cidadania na sociedade em que vive-mos, uma vez que interagimos em um ambiente social e cultural em que a numeração e as formas são partes constituintes do meio.

O contato da criança com os números e com as formas geométricas ocorre antes mesmo que ela comece a frequentar a escola. Por ser uma construção social e objeto de uso do cotidiano, os números são usados pelas crianças nas mais diversas situações, como as brincadeiras, jogos, páginas de livros de história, canais de televisão, teclas de telefone, en-tre tantas outras situações. Da mesma maneira, o mundo ao redor da criança está repleto de formas geométricas, sejam elas tridimensionais ou bidimensionais.

Gundlach (1992, p. 1) destaca a importância do conhecimento das informações relativas a números e formas, considerando-as úteis e necessárias:

De todas as formas de vida conhecidas sobre a terra, a espé-cie humana é a única a ter desenvolvido um procedimento sistemático para armazenar informações úteis e transmiti-las de uma geração a outra. Uma parte considerável dessas infor-mações relaciona-se com forma e quantidade. Uma linguagem para relacionar forma e quantidade e suas várias inter-relações é uma necessidade.

Construção do númeroA construção do número é considerada por muitos pesquisadores

em educação matemática como uma das noções mais importantes da

Números e geometria 7




FAEL

102

matemática ensinadas nos anos iniciais da escolarização da criança. De acordo com Vergnaud (2009, p. 125),

longe se ser uma noção elementar, ela se apoia em outras noções, tais como a de aplicação, correspondência biunívoca, de relação de equivalência, de relação de ordem. [...] Enfim, é a possibi-lidade de fazer adições que dá à noção de número seu caráter específico em relação às noções sobre as quais ela se baseia.

A construção do número envolve diversas habilidades e operações, tais como: classificação, seriação, inclusão hierárquica, comparação, conservação de quantidade; assim, essas operações, juntamente com as noções de adição, fundem-se no conceito de número.

Kamii (1998, p. 13) destaca que “o número é construído pela criança a partir de todos os tipos de relações que ela cria entre os obje-tos”. Assim sendo, a formação da ideia de número é interna e indivi-dual, o sujeito a constrói a partir das relações que estabelece com o mundo que o cerca. Portanto, quanto maior e mais diversificadas forem as experiências vivenciadas pelo sujeito maior será a sua compreensão numérica.

Partindo-se desse princípio, podemos dizer que o número é uma construção mental e individual, portanto, é uma construção interna e abstrata, que se dá na medida em que o sujeito vivencia e estabelece relações entre a realidade e as estruturas mentais do conhecimento que vão se constituindo.

Para que a construção do número se efetive, além do desenvolvi-mento das operações mentais trabalhadas no capítulo anterior, consi-deramos essencial o trabalho pedagógico e desenvolvimento de algumas habilidades, raciocínios e vivências, os quais destacamos nos três tópi-cos a seguir.

a) Contagem numérica sequencial

As crianças, desde pequenas, fazem contagens numéricas que vão se modificando de acordo com o contexto, a compreensão e o sig-nificado que elas atribuem ao número. As contagens, normalmen-te, são usadas em um determinado contexto para a execução de uma ação e, por isso, têm significado para a criança.

A regularidade sequencial vai sendo adquirida “pela criança por meio da vivência social, com intervenções de pessoas adultas, ou de



Capítulo 7


103

outras crianças maiores” (MACCARINI, 2009, p. 15), por meio da qual ela passa a perceber a formação do conjunto de números que compõem a sequência utilizada para fazer contagens.

De acordo com Vergnaud (2009), a contagem sequencial adquire diferentes estágios de acordo com o desenvolvimento da criança (crescimento físico), ou seja, vai adquirindo novos elementos e no-vas compreensões. A partir do momento que a criança faz conta-gens ela pode apresentar dois níveis diferentes:

No nível da simples recitação (do “canto” como se diz às •vezes): a criança se limita a recitar as palavras que ela sabe que devem vir uma após a outra. [...] Na verdade, a ati-vidade de contar implica não apenas que a criança recite a sequência numérica, mas que, ao mesmo tempo, faça corresponder esta recitação à exploração de um conjunto de objetos.

No nível da contagem, propriamente dito: a recitação •da sequência numérica é então acompanhada de gestos da mão e de movimentos dos olhos que mostram que a criança executa sua atividade de estabelecer uma corres-pondência entre o conjunto de objetos, de um lado, e a se-quência numérica falada, de outro (VERGNAUD, 2009, p. 125-126).

Portanto, a contagem é uma estratégia fundamental para estabele-cer a relação entre a fala e a representação do conjunto de objetos estabelecido pela quantidade numérica.

O zero não aparece nas contagens realizadas pelas crianças. Para elas, é natural não contar se não há elementos a serem contados, isto é, não faz sentido contar a partir do zero, ou se não aparecem elementos. A construção do zero é posterior à construção dos de-mais números.

b) Relação quantidade X representação simbólica

A simples contagem sequencial dos números não garante a relação entre a representação do conjunto de objetos e o símbolo numérico correspondente à quantidade. Cabe destacar que os registros sim-bólicos dos números são uma produção humana, historicamente construídos para registrar e guardar as informações quantitativas, repassadas socialmente e culturalmente para as novas gerações.




FAEL

104

De acordo com Vergnaud (2009, p. 127), a construção do número envolve propriedades, sobre as quais o autor enuncia que, o “número quatro é uma propriedade comum a todos os conjuntos de objetos que têm quatro elementos. Essa propriedade é chamada de ‘cardinal’”.

Para que essa propriedade seja construída internamente pela crian-ça, ela deve estabelecer uma relação biunívoca, identificando cada um dos quatro elementos que compõe o quatro com a representa-ção dos objetos, com a contagem recitada e, posteriormente, com representação e relação com o símbolo 4.

Veja essas relações no esquema a seguir.

É no estabelecimento dessas relações entre contagem, represen-tação dos objetos, relação objeto X símbolo, relação biunívoca e inclusão hierárquica que vai se constituindo a base da construção numérica mental no sujeito.

c) Significado e contextualização do número

A aplicação do conceito de número em contextos reais permite identificar se a criança, de fato, incorporou o significado de cada número construído.



Capítulo 7


105

Podemos questionar: quem é o 5?

Para responder a esse questionamento, utilizamos diversos recur-sos, como:

a representação pictórica de objetos; ●

a conservação de quantidade; ●

a)

2 + 3

b)

1 + 4

c)

1 + 1 + 1 + 1 + 1

a contextualização. ●

Tenho 5 figurinhas!




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106

Essas são algumas formas de expressar e externar o significado do número 5, que são construídas mentalmente pela criança durante o processo de aquisição do conceito de número.

Sistema de Numeração Decimal – SNDO trabalho pedagógico com o Sistema de Numeração Decimal

(SND) merece atenção especial, tanto nos aspectos da compreensão histórica, sua constituição e propriedades, quanto nos aspectos de seus significados.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) mostram a importância do trabalho desse conteúdo com as crianças, desde os primei-ros anos de sua escolarização, propondo que no 1º ciclo (1º, 2º e 3º anos do Ensino Fundamental) seja dada ênfase aos números naturais e, no 2º ciclo (4º e 5º anos do Ensino Fundamental), haja continuidade com os números naturais e a ampliação para os números racionais positivos.

Destaca-se a importância de iniciar o trabalho com números que fazem parte do cotidiano da criança, para que ela atribua significado ao que está sendo estudado para, depois, desenvolver o estudo dos princí-pios e fundamentos que constituem o Sistema de Numeração Decimal.

Explorar as escritas pessoais elaboradas pelos alunos não exclui outro aspecto fundamental que é o de caminhar em direção às escritas convencionais, sem as quais não terão referências para se apropriarem do conhecimento socialmente estabelecido. [...] É no trabalho com números “maiores” e menos frequentes na vivência da criança que será necessário explorar os proce-dimentos de leitura, associando-os à representação escrita do número (BRASIL, 1997, p. 100).

O Sistema de Numeração Decimal (SND) é adotado em quase todo o mundo e conhecido também como Sistema de Numeração De-cimal Indo-arábico, por ter sido criado pelo povo hindu e divulgado pelos árabes.

Princípios do Sistema de Numeração Decimal

O Sistema de Numeração Decimal foi organizado em ordens e clas-ses, da direita para a esquerda. Cada algarismo ocupa uma ordem no número, e a cada três ordens forma-se uma classe numérica. Dessa forma, o SND possui alguns princípios básicos, dos quais destacamos três.



Capítulo 7


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a) Princípio decimal

A cada 10 elementos forma-se um grupo, passando-o para a ordem seguinte à esquerda; quando esta ordem formar 10 grupos (de 10 elementos cada um) forma-se um grupo maior, passando-o para a ordem seguinte, à esquerda, e assim sucessivamente. Portanto, a cada grupo de 10, forma-se um grupo na ordem imediatamente superior (à esquerda, no número). Por isso, dizemos que o Sistema de Numeração Decimal é de base dez.

Por exemplo:

65 (com 65 unidades é possível compor 6 grupos de 10 (6 10 = 60) e 5 elementos unitários. De acordo com a base dez do Sistema de Numeração Decimal, a cada 10 unidades, formamos uma dezena. No número 65 é possível compor 6 grupos de 10 e restam 5 unidades.

b) Princípio aditivo

Os números naturais têm por base a ideia aditiva. Qualquer nú-mero pode ser composto ou decomposto por meio da adição de outros números.

Em um sistema de numeração com uma base, a composição aditiva do número por unidades de valores diferentes é um conceito fundamental. Sem este entendimento, é difícil para as crianças aprenderem a ler e escrever números. A composi-ção aditiva, por sua vez, parece basear-se mais na compreensão das crianças de adição do que em correspondência termo a termo (NUNES; BRYANT, 1997, p. 80).

Por exemplo, o número 38 pode ser obtido por meio de diversas possibilidades aditivas:

10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 38•

30 + 8 = 38•

20 + 13 + 5 ou•

15 + 15 + 3 + 3 + 2 ou•

5 + 5 + 20 + 2 + 2 + 2 + 2 ou•

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 1 + 1•

E assim sucessivamente.




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c) Princípio posicional

Como o próprio nome diz, o princípio posicional refere-se à posição do algarismo no número, ou seja, o valor de um mesmo algarismo varia de acordo com a posição (ordem) que ele ocupa no número.

De acordo com esse princípio, é possível obter e registrar qualquer quantidade numérica usando somente dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que são denominados algarismos.

Por exemplo:

Os números 63 e 36 utilizam os mesmos símbolos numéricos (al-garismos), no entanto, eles representam quantidades diferentes, pois os algarismos ocupam ordens diferentes em cada um dos números.

6 3 = 60 + 3nesse número, o 6 representa seis dezenas, porque ocupa a ordem das dezenas, e o 3 representa três unidades, porque ocupa a ordem das unidades.

3 6 = 30 + 6nesse número, o 3 representa três dezenas, porque ocupa a ordem das dezenas, e o 6 representa seis unidades, porque ocupa a ordem das unidades.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, p. 100) des-tacam que “as características do sistema de numeração – agrupa-mentos de 10 em 10, valor posicional – serão observadas, princi-palmente, por meio da análise das representações numéricas e dos procedimentos de cálculo em situações-problema”.

De acordo com a construção histórica dos números, fica evidente que eles foram criados para atender às necessidades sociais do ser humano. A neces-sidade de representar a ausência de quantidade surgiu da necessidade da existência um símbolo para representar a ausência de valor em uma deter-minada posição (ordem) no número. Por exemplo: na representação de uma centena e três unidades, como não há dezenas na ordem das dezenas, é ne-cessário um símbolo para representar a ausência de dezenas nessa ordem. Então, o número fica assim representado: 1 0 3.



Capítulo 7


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O zero (0) foi criado inicialmente para suprir essa necessidade.

De acordo com Gundlach (1992, p. 34), a forma hindu mais antiga de repre-sentação do zero era um ponto preto e “era comumente usada em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço em branco, e era chamada sunya, significando ‘lacuna’ ou ‘vazio’. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa ‘vago’ ”.

Representações numéricas

O ábaco, o material dourado e o quadro valor-lugar são materiais manipuláveis construídos com determinadas características que procu-ram viabilizar o trabalho com o Sistema de Numeração Decimal.

Carvalho (1991, p. 107), ao destacar a importância do uso de ma-teriais manipuláveis adequados para o trabalho com conteúdos mate-máticos, afirma que “na manipulação do material didático a ênfase não está sobre objetos e sim sobre as operações que com eles se realizam”.

Dessa forma, utilizamos materiais manipuláveis para compreen-der os princípios que regem o Sistema de Numeração Decimal (SND), favorecendo a construção de significados das propriedades e estruturas matemáticas presentes no SND.

Acompanhe algumas representações numéricas:

a) Representação do número 1 207 no quadro valor-lugar.

Ccentena

Ddezena

Uunidade

UMmilhar

1 2 0 7




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1 unidade de milhar, 2 centenas e 7 unidades

1 000 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =

1 000 + 200 + 7 = 1 207

b) Representação do número 346 no material dourado.

É fundamental destacar que o material dourado não evidencia o va-lor posicional do número, princípio fundamental do Sistema de Nu-meração Decimal. Ele evidencia a quantidade indicada pelo número.

3 centenas, 4 dezenas e 6 unidades

100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =

300 + 40 + 6 = 346

c) Representação do número 1 049 no ábaco.

DM UM C UD

1 unidade de milhar, 4 dezenas e 9 unidades

1 000 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=

1 000 + 40 + 9 = 1 049

Observe que, no ábaco, cada pino equivale a uma posição (ordem) do número; a primeira, da direita para a esquerda, representa a unidade e as imediatamente posteriores representam dezena, cen-tena, unidade de milhar e assim por diante.



Capítulo 7


111

De acordo com a base dez do sistema indo-arábico, cada vez que se agrupam dez peças em um pino, é necessário retirá-las e trocá-las por uma peça que deverá ser colocada no pino imediatamente à esquerda, representando uma unidade na grandeza da ordem subsequente.

GeometriaO espaço em que vivemos é composto por inúmeras formas geomé-

tricas. Estudar e compreender as propriedades das formas favorece o de-senvolvimento do pensamento geométrico, permite interpretar, descrever, analisar e representar de maneira organizada o mundo em que vivemos.

As atividades de geometria desenvolvem também o sentido espa-cial, a melhor ocupação do espaço, a observação, a análise e o pensa-mento lógico.

Mas o que é geometria?

No sentido etimológico, temos que:

geo Terra

metria medida

medida da Terra

Esse significado foi atribuído ao surgimento da geometria quando se realizava, na Grécia Antiga, as demarcações de Terra. Hoje, atribui-se esse trabalho aos agrimensores (especialistas em medição de terras). A geometria passou a ter um sentido mais amplo, ocupando-se dos sa-beres relacionados às formas (planas e espaciais) e suas propriedades, destacando-se como principais objetos de estudo as questões relaciona-das às formas geométricas, às relações entre elas e suas propriedades, às possibilidades de ocupação do espaço, à localização e ao deslocamento de objetos no espaço, vistos sob diferentes ângulos.

Os PCN (BRASIL, 1998, p. 122) enfatizam a importância do trabalho pedagógico com a geometria e o desenvolvimento do pensar geometricamente dizendo que: “é cada vez mais indispensável que as pessoas desenvolvam a capacidade de observar o espaço tridimensional e de elaborar modos de comunicar-se a respeito dele, pois a imagem é um instrumento de informação essencial no mundo moderno”.




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112

O ensino da geometria ganhou espaço maior na prática pedagógi-ca nesses últimos anos, talvez por que contribui significativamente no desenvolvimento cognitivo da criança. Há pesquisas que mostram que crianças que trabalham com formas geométricas desde cedo tornam-se mais organizadas, desenvolvem melhor a coordenação motora e visual, melhoram a leitura e a análise, compreendem melhor as representações gráficas, tabelas, mapas, assim como desenvolvem o raciocínio propor-cional e formas diferenciadas de pensamento e ação.

De acordo com Maia (2000, p. 26), é possível perceber duas abor-dagens no estudo da geometria: “a atividade geométrica enquanto cons-tatação empírica, verificação e medição do espaço sensível, e a atividade geométrica enquanto experiência racional de dedução, visando, em últi-ma instância, à demonstração”. Dessa forma, podemos dizer que o ensi-no da geometria deve se pautar em duas faces: utilitária e formativa.

Princípios fundamentais no trabalho pedagógico de geometria

O estudo do espaço e das formas deve privilegiar a observação e a compreensão de relações e a utilização das noções geométricas para resolver problemas, em detrimento da simples memorização de fatos e vocabulários específicos. Porém, isso não significa que não se deva ter preocupação em levar os alunos a fazer uso de um vocabulário mais preciso (BRASIL, 1998, p. 68).

Portanto, o estudo da geometria deve ter significado. Por isso, des-tacamos alguns princípios que devem nortear a prática pedagógica no trabalho com os saberes relacionados à geometria.

a) O desenvolvimento do pensamento geométrico inicia-se por meio da observação; portanto, o estudo das formas e propriedades geomé-tricas deve partir do espaço ocupado pela criança e do seu redor.

b) A manipulação de objetos que ocupam o espaço favorece a experi-mentação e a identificação de características semelhantes e diferen-tes; isso é essencial para que a criança atribua significado aos compo-nentes geométricos. Portanto, deve-se iniciar o trabalho geométrico com a manipulação de objetos que compõem o espaço da criança.

c) O trabalho em geometria deve favorecer as relações entre os pro-priedades, princípios e conceitos de modo que a criança as perceba



Capítulo 7


113

de forma simultânea nos objetos e formas que compõem o espaço em que ela vive.

d) O desenvolvimento da prática pedagógica deve favorecer à criança a construção gradativa e progressiva do conhecimento geométrico, atribuindo significado a cada conteúdo trabalhado de forma que ela relacione-o com o meio em que está inserida.

e) Vivemos em um mundo tridimensional (três dimensões), por isso é fundamental que o estudo tenha como ponto de partida o mun-do físico em que vivemos. Deve-se favorecer à criança a manipula-ção, a observação e a análise dos corpos tridimensionais, por meio do uso de sólidos geométricos ou da construção de modelos de sólidos geométricos.

f ) A partir do conhecimento das propriedades geométricas dos corpos tridimensionais, pode-se introduzir o trabalho com as representa-ções no plano, diferenciando as representações tridimensionais das figuras planas.

g) Ao identificar e estudar os elementos das figuras tridimensionais e figuras planas e as suas representações no plano pode-se desenvol-ver o estudo dos conceitos primitivos da geometria.

h) O estudo da geometria poderá ser mais rico e com mais significado se ele for conduzido de forma a utilizar a maior variedade possível de recursos e encaminhamentos metodológicos que favoreçam a construção dos conceitos e propriedades.

i) O estudo da geometria deve favorecer a resolução de problemas. Por isso, é fundamental que o conhecimento geométrico seja tra-balhado por meio da resolução e da proposição de problemas.

j) O trabalho pedagógico de geometria deve favorecer o pensamento dedutivo, de forma a aplicar os conceitos e propriedades estudadas em outras situações concretas em seu entorno.

Portanto, ao pensar na prática pedagógica do trabalho em geome-tria, referimo-nos ao pensamento de Gálvez (2001, p. 251), que destaca a importância de gerar, no âmbito escolar,

situações nas quais os alunos formulem problemas relativos ao espaço e tentem resolvê-los baseados em suas concepções ‘es-pontâneas’ introduzindo-se em um processo no qual deverão elaborar conhecimentos adequados e reformular suas concep-ções teóricas para resolver problemas formulados.




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114

As formas geométricas

As formas geométricas podem ser organizadas em dois grandes grupos.

a) Formas geométricas tridimensionais

As formas tridimensionais possuem três dimensões: largura, compri-mento e altura, isto é, são todas as formas geométricas que ocupam um lugar no espaço e são denominadas sólidos geométricos.

O esquema a seguir mostra os sólidos geométricos mais comuns:

Formas geométricas tridimensionais


Poliedros Corpos redondos

Prismas Pirâmides Outros Cone Cilindro Esfera

Muitos objetos que compõem o espaço em que vivemos possuem formas mistas, ou seja, utilizam formas geométricas diferenciadas na sua composição.



Capítulo 7


115

b) Formas geométricas bidimensionais

As formas geométricas bidimensionais possuem duas dimensões, largura e comprimento, e são denominadas figuras planas.

O esquema a seguir mostra as figuras planas mais comuns:

Formas geométricas bidimensionais

Figuras planas

Polígonos

Quadriláteros

Paralelogramos

Não polígonos

Triângulos Pentágonos Hexágonos Outros Círculo OutrosCircun-ferência

Quadrados Losango

Retângulos Paralelogramo

Trapézios




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ReflitaReflita

O trabalho com noções geométricas contribui com a aprendizagem de números e medidas, pois estimula o aluno a observar, perceber semelhanças e diferen-ças, identificar regularidades, etc. [...] É fundamental que o estudo do espaço e forma sejam explorados [sic] a partir dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanatos, de modo que permita ao aluno estabelecer conexões entre a matemática e outras áreas do conhecimento (BRASIL, 1998, p. 51).

Partindo-se dessas afirmações em relação ao estudo da geometria, faça uma reflexão sobre essas ideias, e estabeleça um paralelo entre elas e as possibilidades de conexões da geometria a outras áreas do conheci-mento e levante alguns indicativos concretos que mostrem a contribui-ção do estudo da geometria na aprendizagem de números e medidas.

ReflitaReflita

Da teoria para a práticaPropomos duas atividades práticas para se trabalhar o Sistema de

Numeração Decimal em sala de aula.

1. Jogo do Nunca 10

Esta atividade prática objetiva o trabalho com a compreensão dos princípios básicos do Sistema de Numeração Decimal.

a) Organizar pequenos grupos (com 2, 3, 4 ou 5 participantes). Cada participante deve ter um ábaco aberto, cada grupo de participantes deve ter dois dados comuns.

b) Cada participante, na sua vez, lança os dois dados simulta-neamente.



Capítulo 7


117

Após o lançamento dos dois dados, o participante representa no seu ábaco o total de pontos conseguidos. Suponha este lançamento dos dois dados:

O participante deve representar, no ábaco, as duas quantida-des, uma de cada vez, adicionando-as. Assim:

DM UM C UDDM UM C UDUM C UDDM

2 + 6 → 8

Atenção! Quando acumular 10 peças (pontos) na haste das unidades, o participante deve retirar estas 10 peças e trocá-las por 1 peça, que deverá ser colocada na haste das dezenas, pois 10 unidades valem 1 dezena (nunca 10 na mesma haste).

c) Em seguida, passa-se a vez para o próximo participante. E assim sucessivamente.

d) Há várias possibilidades de estabelecer o término da atividade de lançamento dos dados, como:

é vencedor quem chegar a colocar a primeira peça na or-•dem das centenas;

é vencedor quem fizer mais pontos após cinco rodadas;•

é vencedor quem fizer mais pontos após oito (ou dez) •rodadas;

é vencedor quem, primeiro, conseguir deixar a ordem •das unidades vazia, depois da primeira rodada.




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118

e) Após o término dos lançamentos, trabalhar as informações matemáticas obtidas durante a realização da atividade. Levan-tar questões, como:

Quem fez mais pontos? Quantos pontos fez?• Decompor esse número de cinco maneiras diferentes.

Escrevê-lo por extenso.

Quem fez menos pontos? Quantos pontos fez?• Decompor esse número de diferentes maneiras. Escrevê-lo

por extenso.

Qual a diferença de pontos entre o que fez mais e o que •fez menos pontos?

Qual a diferença de pontos entre o participante “X” e o •participante “Y”?

Como compor a quantidade de pontos do participante •“A” usando somente a face do dado de número 4? Ou seja, quantas vezes cabe o 4 nesse número?

f ) Elabore outras problematizações a partir dos resultados obtidos no lançamento dos dados e que foram representados no ábaco.

Variação! Essa atividade pode ser realizada substituindo o ába-co pelo material dourado.

2. O uso de materiais manipuláveis Usando o quadro valor-lugar e palitos de sorvete, ou outro tipo de

palito, o material dourado e o ábaco, representar números signifi-cativos, como:a) número de alunos que estão na sala hoje. Exemplo: suponha que haja 25 alunos

Material dourado

2 dezenas e 5 unidades20 + 5

25



Capítulo 7


119

Quadro-valor-lugar

Ccentena

Ddezena

Uunidade


25

Ábaco

DM UM C UD


25

É possível representar, também:

b) o ano em que estamos.

c) o ano passado.

d) o próximo ano.

e) o ano em que nasci.

Entre outros.




FAEL

120

SínteseVivemos em uma sociedade repleta de formas e números. Estudar,

compreender e utilizar adequadamente esses conhecimentos para a re-solução de problemas da vida cotidiana é indispensável para a prática consciente da cidadania.

O pensamento quantitativo, as relações e os significados envolvi-dos na construção do número devem ser desenvolvidos desde cedo nas crianças, favorecendo a vivência de situações que as levem a construir e incorporar tal conhecimento. A construção do número vai se conso-lidando à medida que a criança desenvolve a contagem sequencial, a relação da representação quantitativa de objetos com a representação simbólica do número, atribui significado e contextualiza o número em situações concretas.

O Sistema de Numeração Decimal (SND) possui três princípios básicos: decimal (base dez – agrupamentos de 10), aditivo (composição aditiva do número por meio de potências de 10, ou mesmo por outros números), e posicional (o algarismo assume o valor da posição que ocu-pa no número). Por isso, com 10 símbolos numéricos, denominados algarismos, é possível pensar em qualquer quantidade numérica.

Por fim, destacamos algumas ideias geométricas e sua importância no desenvolvimento cognitivo da criança. A geometria tem como prin-cipais objetivos desenvolver o olhar e o pensar geométrico por meio das formas que ocupam o espaço em que vivemos, sejam elas tridimensio-nais ou bidimensionais. Destaca-se, também, a importância do estudo das propriedades, relações e tudo o que envolve o espaço e as formas contidas nele.



121

As operações básicas da matemática são consideradas, social e culturalmente, tão importantes que as pessoas que as conseguem resolver rapidamente, mesmo que mecanicamente, são consideradas boas em matemática. Mas ser bom em matemática não se resume a isso. É necessário compreender o significado, os raciocínios e as ideias presentes em cada operação. Para isso, é necessário pensar, racioci-nar, analisar e saber aplicar corretamente as operações na resolução de situações-problema.

A todo o momento nos deparamos com situações que exigem solu-ções, as quais o indivíduo resolverá com mais qualidade de acordo com a quantidade de estratégias e possibilidades de resolução que foram tra-balhadas na prática pedagógica.

A resolução das operações fundamentais deve ser desenvolvida com significado para a criança. O significado está em propor a resolu-ção de situações-problema, que envolvem as operações fundamentais, coerente com a realidade social e cultural, levantando as possibilidades de estratégias e raciocínios que podem ser utilizadas.

Os PCN (BRASIL, 1997, p. 55) mostram que o trabalho com as operações deve se realizar com o foco “na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando diferentes tipos – exato e aproximado, mental e escrito”.

Os PCN (BRASIL, 1997, p. 105) destacam, ainda, que “a cons-trução dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de solução”. As primeiras ideias do estudo

Operações fundamentais 8




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122

das operações fundamentais iniciam-se na Educação Infantil e perpassam todos os anos o Ensino Fundamental, devido às dificuldades lógicas, es-pecíficas de cada operação e da sua aplicação na resolução de problemas. Isso se deve, também, a uma grande variedade de tipos de problemas que podem ser resolvidos por meio das operações fundamentais.

O estudo das operações fundamentais deve partir da ação concre-ta para a abstrata. A compreensão dos fatos fundamentais e dos pro-cedimentos de resolução deve sobrepor-se à memorização. Com isso, destaca-se a importância da utilização de jogos, desafios e materiais ma-nipuláveis na construção da compreensão das propriedades, conceitos e procedimentos de resolução das operações fundamentais.

Ressalta-se, no entanto, que os jogos e materiais manipuláveis são recursos pedagógicos que devem ser utilizados como meio que favorece a compreensão dos conceitos e fatos fundamentais das operações; esses recursos são um meio e não um fim em si mesmos.

Portanto, é necessário saber como resolver as operações, porém de modo a compreender e significar os processos mentais e as proprieda-des que as envolvem.

Operação de adiçãoA operação de adição está associada às ideias de juntar, reunir,

acrescentar. Essas ideias intuitivas que a criança leva para a escola cons-tituem o ponto de partida para o aprendizado formal da adição.

Historicamente, o ser humano começou a contar de um em um, depois percebeu que a contagem em pequenos grupos facilitava a ob-tenção de um todo e, assim, aprendeu a reunir quantidades.

Como se pode perceber, adicionar está relacionado ao processo de contar. A contagem numérica traz em si a ideia de adição.

Por exemplo:

a) 28 vinte e oito 10 + 10 + 8

b) 147 100 + 40 + 7

c) 2 1 + 1; 3 2 + 1; 4 3 + 1; e assim sucessivamente.

Alguns pesquisadores matemáticos diferenciam duas ideias presen-tes nas problematizações que envolvem a operação de adição, a saber:



Capítulo 8


123

a) Ideia de juntar

Por exemplo:Sandro e Jane gostam de brincar de bolinha de gude. Sandro tem 28 bolinhas de gude e Jane tem 23. Quantas bolinhas de gude os dois têm juntos?Para resolver essa situação, juntamos as duas quantidades respei-tando as ordens numéricas, ou seja, unidade com unidade, dezena com dezena; sempre que ultrapassar 10 em uma ordem, formamos grupos de 10 exatos, reagrupando-os na ordem imediatamente à esquerda (superior). Assim:

D U

+2 8 quantidade de Sandro2 3 quantidade de Jane5 1 quantidade que os dois têm juntos

Ao juntar as duas quantidades, temos 51 bolinhas de gude.

b) Ideia de acrescentarPor exemplo:Sandro e Jane gostam de brincar de bolinha de gude. Sandro tem 28 bolinhas de gude e, ao jogar com Jane, ganhou 18 bolinhas de gude. Quantas bolinhas de gude Sandro tem agora?Para resolver essa situação, acrescentamos a quantidade que San-dro ganhou à quantidade que ele já tinha. Assim:

D U

+2 8 quantidade de Sandro1 8 quantidade que Sandro ganhou a mais4 6 quantidade que Sandro tem agora

Ao acrescentar uma nova quantidade à quantidade que já havia, tem-se um novo valor.Observe que a diferenciação entre essas duas ideias é tão sutil que muitos educadores matemáticos não fazem distinção entre elas. O importante é compreender o significado da adição, suas proprieda-des e a sua aplicação na resolução de problemas.




FAEL

124

É fundamental destacar que a utilização de materiais manipuláveis pode fa-cilitar a compreensão das ideias e dos procedimentos envolvidos em cada cálculo.

Para isso acompanhe a resolução de uma adição, com reagrupamento de or-dens e a utilização de material manipulável.

Marcos tinha R$ 148,00. Recebeu mais R$ 367,00. Quanto Marcos tem agora?Vamos convencionar que cada cubinho do material dourado representa R$1,00. Então, temos a seguinte representação:

100 + 40 + 8 300 + 60 + 7

+100 + 40 + 8

300 + 60 + 7

400 + 100 + 15

Reagrupando as ordens, temos:

400 + 100 + 10 + 5

500 + 10 + 5 = 515

Marcos tem, agora, R$ 515,00.

Operação de subtraçãoA operação de subtração é menos intuitiva para a criança do que

a adição. De acordo com Piaget, isso ocorre porque é mais natural o sujeito se voltar para ações, percepções e cognição que apontam para aspectos positivos, do que aspectos com ideias negativas.



Capítulo 8


125

A operação de subtração apresenta três ideias básicas diferentes: subtrativa, comparativa e aditiva. Essas ideias estão presentes nas pro-blematizações do cotidiano, como você pode acompanhar nos exem-plos a seguir.

a) Ideia subtrativa: é a ideia presente em situações em que há uma quantidade em que é necessário tirar parte dela. Por exemplo:

Bia tinha 83 figurinhas. Ao jogar com as amigas perdeu 27. Quantas figurinhas Bia tem agora?

A quantidade 27 está dentro da quantidade 83. É necessário tirar 27 de 83.

No algoritmo, fica assim representado:

D U

–8 3 Bia tinha2 7 Bia perdeu: tirar5 6 Bia tem agora

Bia tem 56 figurinhas.

b) Ideia comparativa: é a ideia presente em situações em que há as duas quantidades e é solicitada a comparação entre elas, a fim de calcular a diferença entre as quantidades, quanto há mais ou a menos entre elas.

Jane tem 63 figurinhas e sua amiga Pietra tem 29. Qual é a diferença na quantidade de figurinhas entre elas?

Ou então:

Quantas figurinhas Jane tem a mais que Pietra?•

Quantas figurinhas Pietra tem a menos que Jan• e?




FAEL

126

A ideia, nessa situação, é utilizar a operação de subtração, para comparar as duas quantidade existentes identificando a diferença entre elas.

Jane pietra

60 + 3 = 63 20 + 9 = 29


D U

–6 3 Jane tem2 9 Pietra tem – comparação entre as duas quantidades3 4 Diferença na quantidade de figurinhas que elas têm

Ao comparar as duas quantidades, por meio de uma operação de subtração, percebemos que a diferença é de 34 figurinhas. Ou en-tão, Jane tem 34 figurinhas a mais que Pietra. Ou, ainda, Pietra tem 34 figurinhas a menos que Jane.

c) Ideia aditiva: é a ideia presente em situações em que há uma quan-tidade menor do que a que se pretende ter. Portanto, calcula-se quanto falta para se chegar à quantidade maior.

Jonas tem R$ 45,00. Ele quer comprar uma calça que custa R$ 91,00. Quantos reais faltam para que Jonas consiga ter o valor da calça?

A ideia presente nessa problematização é a de chegar a uma quan-tidade maior do que a que se tem de fato. Então, a quantidade existente é menor.



Capítulo 8


127


D U

–9 1 Jonas quer ter este valor4 5 É o valor que Jonas tem4 6 Jonas precisa deste valor

Faltam R$ 46,00 para que Jonas consiga comprar a calça que custa R$ 91,00.

As três ideias da subtração estão presentes em situações do cotidia-no. Por isso, destaca-se a importância de perceber o significado de cada uma delas e os procedimentos de resolução.

De acordo com Vergnaud (2009, p. 180), as dificuldades presentes nos processos de resolução da subtração são evidentes, desde as diferen-ças nas ideias até os procedimentos hierárquicos de reagrupamento de ordens: “Para superar estas diferentes dificuldades, a ajuda de material de bases múltiplas, mais precisamente de pequenas bases, é de grande valia”. Isso equivale dizer que a utilização de materiais manipuláveis pode contribuir significativamente na compreensão e resolução da ope-ração de subtração.

Operação de multiplicaçãoA operação de multiplicação nos leva a pensar na ideia de adição

de parcelas iguais. De acordo com Vergnaud (2009, p. 183), ao ensinar a multiplicação, utilizando-se de materiais concretos, introduzimos, obrigatoriamente, “a multiplicação como adição reiterada de uma mes-ma quantidade e, em consequência, a fazer do multiplicando uma me-dida, e do multiplicador um simples operador sem dimensões físicas”.

Exemplificando:

Suponha que, ao lançar um dado 5 vezes, coincidentemente, caia sem-pre a mesma quantidade de pontos.

4 pontos em cada lançamento do dado 5 lançamentos = 20 pontos




FAEL

128

O algoritmo pode ser indicado assim:

4 pontos em cada lançamento do dado5 quantidade de lançamentos20 pontos

Nesse exemplo, de acordo com Vergnaud (2009), é possível perce-ber que o 4 (pontos) representa uma medida que se repetiu por 5 vezes.

A operação de multiplicação pode ser vista a partir de diferentes enfoques.

a) Adição de parcelas iguais: conforme já visto anteriormente, é a ideia básica da operação de multiplicação. Por exemplo:

Em um jogo, cada rodada valia 5 pontos. Marcelo ganhou 3 rodadas, e Jane, 4 rodadas. Quantos pontos cada um fez?

Marcelo 3 5 = 5 + 5 + 5 = 15 pontos

Jane 4 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 pontos

b) Ideia de comparação: em muitas situações multiplicativas aparece a ideia de comparar grandezas. Por exemplo:

Alice tem R$ 145,00. Sua irmã tem o triplo dessa quantidade. Quan-tos reais tem a irmã de Alice?

A grandeza R$ 145,00 é o valor de referência para a resolução; a partir desse valor, temos o parâmetro de comparação: triplo, ou seja, três vezes o valor de referência.

3 145 = 435

A irmã de Alice tem R$ 435,00.

c) Ideia de proporcionalidade: o raciocínio proporcional está pre-sente em inúmeras situações do cotidiano com o enfoque multipli-cativo.

Leia a informação, por exemplo:

Leve 5 caixas de 1 litro de leite e pague 4!

Se Paula levar 30 caixas de 1 litro de leite, quantas ela pagará, de fato?



Capítulo 8


129

Vamos visualizar esta situação em um quadro.

Quantidade de caixas de 1 litro levadas

5 10 15 20 25 30

Quantidade de caixas de 1 litro pagas

4 8 12 16 20 24

Ao levar 30 caixas de 1 litro de leite Paula pagará, de fato, 24 caixas de 1 litro de leite.Observe que, na primeira linha da tabela, aparecem resultados da multiplicação por 5; na segunda linha, são resultados da multipli-cação por 4.

d) Ideia de combinação: ao levantar as possibilidades de combinação dos elementos envolvidos em um determinado contexto, estamos usando o raciocínio combinatório. Por exemplo:O clube em que Juliano joga utiliza 3 tipos de bermudas e 2 tipos de camisetas para compor o seu uniforme. Quantos trajes diferentes é possível formar com essas peças de roupa?Podemos representar essa situação de diversas formas. Observe uma das formas de representação:

camisetas

bermudas




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130

camisetas

bermudas

É possível compor 6 trajes diferentes, ou seja, 2 3 = 6 trajes.

e) Ideia de multiplicação retangular: por meio da obtenção de retângulos em malhas quadriculadas desenvolvemos os produtos multiplicativos. Por exemplo:

3 × 6 = 18 6 × 3 = 18

Os retângulos: 3 6 e 6 3 são compostos por 18 quadradinhos internos.

Então, 3 6 = 6 3 = 18.

Por meio do raciocínio multiplicativo retangular é que calculamos e obtemos as áreas dos polígonos.



Capítulo 8


131

O termo tabuada é muito antigo e é utilizado para designar o conjunto de fatos fundamentais da multiplicação. As tendências atuais da educação matemática propõem a construção desses fatos básicos fundamentais da multiplicação com compreensão e significado, de forma contextualizada, por meio do uso de materiais manipuláveis, jogos e brincadeiras relaciona-dos ao registro matemático gradativo de cada fato construído e vivenciado, e não à simples memorização da tabuada.

Operação de divisãoA palavra dividir, na língua materna, nem sempre significa divisão

em partes iguais.Por exemplo:O presidente do clube falou sobre as novas regras, o que dividiu a

opinião dos seus associados.Observe que o termo dividir, nessa frase, não significa, necessaria-

mente, que a divisão de opinião entre os sócios do clube foi feita em partes iguais.

A operação matemática de divisão, por sua vez, supõe a ação de separar, repartir, um certo número em subgrupos com a mesma quanti-dade de elementos, ou mesmo um inteiro em partes iguais.

De acordo com Vergnaud (2009, p. 190), “a divisão é uma opera-ção complexa. Há para isso várias razões: algumas são de ordem con-ceitual, outras são ligadas à complexidade das regras operatórias impli-cadas pela divisão”.

Ao trabalhar com a operação de divisão, na prática pedagógica, é fundamental proporcionar à criança a vivência de diversas situações que envolvem ideias de repartir e distribuir, sejam elas em partes iguais ou não. Isso favorece o que Saiz (2001, p. 182) afirma ao dizer que “temos que permitir que as crianças comprovem seus próprios procedimentos, suas próprias soluções, antes de conhecer os algoritmos tradicionais”.

A operação de divisão envolve duas ideias distintas.

a) Ideia repartitiva ou distributiva: essa ideia aparece em situações problemas em que o todo deve ser distribuído em partes iguais.




FAEL

132

Por exemplo:Célia tem 12 bombons e vai repartir igualmente entre ela e suas 3 melhores amigas. Quantos bombons cada uma vai receber?A ideia é repartir os 12 bombons em 4 partes iguais.

12

1 + 1 + 1 = 3

1 + 1 + 1 = 3

1 + 1 + 1 = 3

1 + 1 + 1 = 3

12 : 4 = 3

Cada uma recebeu 3 bombons.b) Ideia subtrativa ou de medida: essa ideia está presente em situa-

ções-problema que querem saber quantas vezes um número cabe em outro.Por exemplo:O professor de educação física quer formar grupos com 6 alunos para um torneio de jogos na escola. Quantos grupos de alunos ele vai formar com os 72 alunos das turmas de 5º ano?Nessa situação, a ideia consiste em verificar quantas vezes é pos-sível formar grupos de 6 com a quantidade 72. Ou seja, quantas vezes o 6 cabe no 72. A ideia da divisão é a de sucessivas subtrações (ideia de medida):

72 – 6 = 6666 – 6 = 6060 – 6 = 5454 – 6 = 4848 – 6 = 4242 – 6 = 3636 – 6 = 3030 – 6 = 2424 – 6 = 1818 – 6 = 1212 – 6 = 66 – 6 = 0

72 : 6 = 12



Capítulo 8


133

O 6 cabe 12 vezes no 72. Portanto, o professor vai conseguir for-mar 12 grupos com 6 alunos.

No estudo da operação de divisão, devem ser exploradas as duas ideias, apresentando os diferentes registros, para que a criança perceba a contextualização da divisão e construa os significados com compreensão.

Para resolver uma operação de divisão há vários procedimentos e formas de registros. Destacamos, a seguir, dois processos de resolução: convencional e por estimativa.

Por exemplo:

Marta tem 25 flores para distribuir igualmente em 3 vasos. Quantas flores ela colocará em cada vaso?

A ideia presente nessa situação-problema é a de divisão em partes iguais, ou seja, ideia de distribuição, repartitiva. Vamos resolvê-la por meio dos dois processos de resolução para perceber as diferentes possi-bilidades de registro matemático de uma operação de divisão, além do registro pictórico.

a) Processo convencional de resolução

D U

–2 5 32 4 D U0 1 0 8

Resposta: 8 flores em cada vaso e sobrou uma flor; ou 8 flores em 2 vasos e 9 flores em um vaso.

No processo convencional, a operação é resolvida dividindo-se cada uma das ordens numéricas do dividendo pelo divisor. Pode ser usa-do o método “curto” ou “longo"; ou seja, os cálculos auxiliares, à es-querda da operação, podem aparecer todos, detalhadamente, con-forme mostrado acima (método longo), ou, então, pode-se resolver a operação de subtração (à esquerda da operação) mentalmente e registrar somente o resultado obtido (método curto).

b) Processo de resolução por estimativa

Há várias formas de registro por estimativa. Veja algumas:




FAEL

134

25 3– 3 1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8

22– 3

19– 3

16– 3

13– 3

10– 3

7– 3

4– 3

1

25 3– 3 1 + 2 + 2 + 2 + 1 = 8

22– 6

10– 6

4– 3

1

25 3– 15 5 + 1 + 2 = 8

10– 3

7– 6

1

25 3– 12 4 + 4 = 8

13– 12

1

R1 = 8 flores em cada vaso e sobrou 1 flor; ou

R2 = 8 flores em 2 vasos e 9 flores em um vaso.

R1 = 8 flores em cada vaso e so-brou 1 flor; ou

R2 = 8 flores em 2 vasos e 9 flo-res em um vaso.







Capítulo 8


135

Em todas as resoluções chegou-se ao mesmo resultado. Na resolu-ção por estimativa, os registros variam de acordo com a compreensão e o desenvolvimento cognitivo de cada criança. Elas vão abreviando os cálculos na medida em que desenvolvem o cálculo mental e a habilidade de estimar e fazer cálculos aproximados.

ReflitaReflita

De acordo com Lins e Gimenez, (1997, p. 83) a escola é cobrada social-mente e culturalmente para que a criança domine determinados cálcu-los em determinadas idades, como o domínio da tabuada no 3º ano do Ensino Fundamental. “Parece-nos que se esquecem de que o objetivo maior é que, ao finalizar a formação básica, o aluno tenha um domínio de cálculo aproximado, de modo que possa estimar quocientes aproxi-mados, resultados de operações em geral, e saiba quando aplicar uma operação a uma situação dada.”

Partindo-se do pressuposto que a criança deve compreender os signi-ficados de cada uma das operações fundamentais, resolvê-las correta-mente e aplicá-las adequadamente nas situações problemas do cotidia-no, faça uma reflexão sobre esse posicionamento dos autores acima e estabeleça um paralelo entre ele e o desenvolvimento do trabalho pe-dagógico da escola em relação às operações fundamentais.

ReflitaReflita

Da teoria para a práticaBrincando com números e cálculos em sala de aula.

1. Coloque sobre a mesa um punhado de cubinhos do material dou-rado ou outro material, como: tampinhas, sementes, etc.

Por exemplo:




FAEL

136

a) Quantos cubinhos você acha que tem sobre a mesa? Registre o seu “palpite”.

Antes de contar a quantidade exata de cubinhos, analise:

o número que você estimou é par ou ímpar?•

o que é um número par? E ímpar?•

quais são números pares? E quais são ímpares?•

por que você estimou essa quantidade?•

b) Faça a contagem, agrupando os cubinhos de 2 em 2. Se não sobrar resto é porque o número é par, pois ele permitiu for-mar exatos grupos de 2. Ou seja, a divisão do total de cubi-nhos por 2 é exata. O máximo de resto possível é 1.

Por que o resto de cubinhos não pode ser 2 ou mais?

c) Com os cubinhos é possível compor a seguinte expressão numérica:

68 2 + 1 =

Calcule essa expressão numérica.

d) Represente essa quantidade com o material dourado, de acor-do com as regras do Sistema de Numeração Decimal: cente-nas, dezenas e unidades.

e) Decomponha esse número de cinco ou mais formas diferentes.



Capítulo 8


137

Veja duas possibilidades:

137 = 100 + 30 + 7

137 = 50 + 50 + 10 + 10 + 10 + 1 + 3 + 1 + 2

f ) O 137 não é um número par, pois ao agrupar de 2 em 2 a divisão não deu exata; portanto, o 137 não é múltiplo do 2, e o 2 não é divisor do 137.

Que outros números são divisores do 137?

g) Quantos cubinhos faltam para se obter duas centenas?

h) Se tivesse sido colocado o triplo de cubinhos sobre a mesa, quantos cubinhos teria?

i) Elabore uma situação problema que envolva a ideia subtrativa da subtração com a quantidade 137, resolvendo-a.

SínteseAs quatro operações fundamentais fazem parte do currículo dos

anos iniciais do Ensino Fundamental como um dos conteúdos de gran-de relevância, iniciando-se o estudo das suas primeiras ideias desde a Educação Infantil.

A ênfase no estudo de cada uma das operações fundamentais deve ser no sentido de compreender os significados de cada uma delas e de aplicar as operações na resolução de problemas coerentes com a reali-dade social e cultural, desenvolvendo diversas possibilidades de estraté-gias, técnicas e raciocínios de resolução.

As operações fundamentais são: adição, que apresenta ideias de jun-tar, reunir, acrescentar. A subtração que apresenta três ideias distintas: ideia subtrativa, que sugere tirar uma quantidade de outra; ideia com-parativa, que sugere a comparação entre duas quantidades, calculando a diferença existente entre elas; ideia aditiva, que sugere o complemento de uma quantidade para se obter uma quantidade maior. A multiplica-ção, cuja ideia básica é a soma de parcelas iguais, possui também outros enfoques, os quais destacamos: o raciocínio proporcional, comparativo,




FAEL

138

combinatório e retangular. A divisão, que é considerada a operação mais complexa, apresenta duas ideias básicas: distributiva (ou repartitiva) e a subtrativa (também denominada de ideia de medida). A operação de divisão pode ser resolvida por diferentes processos, os quais destacamos a resolução pelo método convencional e a resolução por estimativas.



139

A necessidade de desenvolver habilidades lógicas para resolver problemas se coloca cada vez mais como uma meta a ser atingida no âmbito escolar, levando em consideração que todos os cidadãos convi-vem, diariamente, com problemas matemáticos.

A prática pedagógica tem mostrado certa limitação no trabalho com a resolução de problemas, pois apresenta ainda muitas situações de forma descontextualizada. É fundamental que se pense em formas e alternativas de problematizar o trabalho pedagógico com os conteúdos matemáticos, por meio de situações significativas da vida real ou de su-posições interessantes, utilizando os conhecimentos matemáticos como ferramenta para a resolução de problemas de ordem natural, histórica, social e cultural.

A educação matemática tem proposto e valorizado a resolução de problemas “ao longo dos últimos anos, sendo um dos tópicos mais di-fíceis de ser trabalhado na sala de aula. É comum os alunos saberem efetuar todos os algoritmos (as “continhas” de adição, subtração, multi-plicação e divisão) e não conseguirem resolver um problema que envol-va um ou mais desses algoritmos” (DANTE, 1998, p. 8).

De acordo com os PCN (BRASIL, 1997, p. 42) a prática peda-gógica de resolução de problemas nem sempre tem desempenhado sua função no processo de ensinar e aprender matemática, limitando-se a ser usado basicamente “como forma de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos”.

Na abordagem de resolução de problemas como uma me-todologia de ensino, o aluno tanto aprende matemática re-solvendo problemas como aprende matemática para resolver

Resolução de problemas 9




FAEL

140

problemas. O ensino de resolução de problemas não é um processo isolado. Nessa metodologia o ensino é fruto de um processo mais amplo, um ensino que se faz por meio da reso-lução de problemas (ONUCHIC, 1999, p. 210-211).

A educação matemática concebe que resolução de problemas é a principal razão do ensinar e do aprender matemática. Por meio da re-solução de problemas o aluno desenvolve o pensar matematicamente, adquire e reorganiza conceitos e habilidades e aplica conhecimentos e saberes matemáticos, atribuindo significado aos mesmos.

O que é um problema?A resolução de problemas nem sempre é direta e óbvia. A dificul-

dade encontrada pelas crianças está na própria natureza da resolução de problemas como metodologia de trabalho pedagógico, como é apon-tada por Medeiros (2001, p. 33), dizendo que o problema “precisa ser desafiador para o aluno, não podendo ser resolvido por meio de proce-dimentos padronizados. O meio, aqui, significa as condições didáticas da resolução”. De acordo com Ribeiro (1992), um problema só passa a existir quando surge uma situação que requer solução e que o indiví-duo, ao tentar resolver, fica pelo menos temporariamente frustrado na busca dessa solução.

A resolução de problemas, em geral, exige criatividade para analisar, sintetizar e avaliar as situações, enquanto que a re-solução de exercícios requer somente aplicação rotineira de fatos e de procedimentos aprendidos previamente. Portanto, a resolução de exercícios é rápida e certa, porém a resolução de problemas é difícil e imprecisa, fazendo com que o sucesso não possa ser garantido (RIBEIRO, 1992, p. 14).

A prática pedagógica deve ser permeada pela resolução de proble-mas desafiadores, reais, simuladores e interessantes, para que o aluno seja desafiado e construa o seu conhecimento com significado, aplican-do-o adequadamente.

Ampliando essa discussão, George Polya (apud ONUCHIC, 1999, p. 217) afirma que

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar



Capítulo 9


141

a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade suscetível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter.

Portanto, a resolução de problema possibilita que o indivíduo seja instigado a pensar e a raciocinar sobre situações desafiadoras, favore-cendo o levantamento de possibilidades de resolução, o desenvolvimen-to da análise das possibilidades e a resolução, de fato, do problema.

Todo o problema matemático exige raciocínios, saberes e conhe-cimentos matemáticos para ser resolvido, isto é, a resolução utiliza a matemática como ferramenta para solucioná-lo.

Alguns educadores matemáticos procuram classificar as problema-tizações matemáticas em diferentes grupos de acordo com determinadas características. Butts (1997) ampliou a discussão em torno da resolução de problemas, incluindo diferentes níveis de conhecimento e de apli-cação dos exercícios e da resolução de problemas, classificando-os em cinco categorias.

1. Exercícios de reconhecimento: são as atividades que exigem do aluno a aplicação direta de algum conhecimento matemático ad-quirido anteriormente. Por exemplo:

Dos números indicados a seguir, destaque os que são primos:

3 6 9 13 15 18 21 29

2. Exercícios algorítmicos: são as atividades que são resolvidas por meio da utilização de algoritmos, aplicando-os passo a passo. Por exemplo:

Qual é o resultado da expressão: 2 × 4 + 13

– 1 ?

3. Problemas de aplicação: são as problematizações elaboradas em lin-guagem materna, cuja resolução deve ser feita por meio da linguagem matemática e pela aplicação de cálculos já conhecidos. Por exemplo:

Paulo comprou um aparelho de TV em 5 parcelas fixas de R$ 268,00. Qual é o preço total desse aparelho de TV?




FAEL

142

4. Problemas em aberto: são as problematizações que não contém no enunciado uma estratégia explícita para a sua resolução. As es-tratégias são construídas pelo aluno de acordo com os seus raciocí-nios e a sua compreensão do problema. Por exemplo:

Quantos retângulos diferentes você pode obter com perímetro igual a 30 cm?

5. Situações-problema: são as situações problematizadoras mais am-plas, em que é necessário primeiro identificar o problema existente na situação, para depois resolvê-la, assim como testar as soluções encontradas. Por exemplo:

Faça uma planta da casa que você gostaria de morar.

Parece evidente que as últimas três categorias de Butts (1997) fa-vorecem, com maior intensidade, o desenvolvimento do indivíduo para a resolução de problemas necessários para a sua vida enquanto cidadão inserido em uma sociedade que exige cada vez mais pessoas com habili-dades de resolver problemas das mais diversas formas e situações.

Princípios e objetivosAo destacar a resolução de problemas como foco de trabalho com

o conhecimento matemático, os PCN (BRASIL, 1997, p. 43-44) indi-cam alguns princípios fundamentais, a saber:

a) o ponto de partida da atividade matemática deve ser o problema e não as definições e os conceitos;

b) o problema deve ir além da simples aplicação mecânica do co-nhecimento matemático, deve propor ao aluno pensar produtiva-mente, favorecendo o desenvolvimento do raciocínio e dos saberes matemáticos;

c) a resolução de problemas deve favorecer as aproximações sucessivas de conceitos e conteúdos, ampliando-os de acordo com a evolução na aplicação de novos problemas;

d) o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido em um campo de conceitos;



Capítulo 9


143

e) a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvi-da em paralelo a outras atividades matemáticas, mas à metodologia orientadora da prática pedagógica em educação matemática.

Dante (1998) destaca os principais objetivos da resolução de pro-blemas como possibilidade da prática pedagógica em educação mate-mática, que podem ser assim descritos:

fazer o aluno pensar produtivamente; ●

desenvolver o raciocínio do aluno; ●

ensinar o aluno a enfrentar situações novas; ●

dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações ●da matemática;

tornar as aulas de matemática mais interessantes e desafiadoras; ●

equipar o aluno com estratégias para resolver problemas; ●

dar uma boa base matemática ao aluno. ●

Ao escolher um problema para desenvolver com os alunos em sala de aula é importante estarmos atentos a algumas questões:

o assunto deve ser interessante e relacionado ao cotidiano dos ●alunos;

a linguagem deve ser adequada, clara e acessível; ●

é preciso, inicialmente, que os dados do problema possam ●ser representados concretamente, para que haja maior com-preensão.

Outro aspecto relevante na abordagem metodológica da resolução de problemas está relacionado à variedade e à flexibilidade dos pro-blemas apresentados, enfatizando os procedimentos utilizados pelos alunos, visando à construção dos conceitos matemáticos, ao desenvol-vimento de habilidades e não somente aos resultados finais.

Formas de apresentação e resolução de problemasAo pensar na resolução de problemas como estratégia organiza-

dora do trabalho em educação matemática, é necessário ter presente a




FAEL

144

dinamicidade e a flexibilidade que essa forma de encaminhar o processo de ensino-aprendizagem proporciona e exige do professor.

De acordo com Onuchic (1999, p. 211), em uma sala de aula que utiliza a abordagem metodológica da resolução de problemas para o ensino de matemática, o professor utiliza tudo o que há de bom nas diversas reformas educacionais ocorridas até então: “repetição, com-preensão, o uso da linguagem matemática da teoria dos conjuntos, resolver problemas e, às vezes, até a forma de ensino tradicional”.

Há diferentes formas de apresentar uma problematização na abor-dagem metodológica da resolução de problemas. Para isso, destacamos algumas dessas formas.

a) Problema de aplicação de conceitos e/ou conteúdos matemáticos: o texto apresenta todos os dados necessários para a resolução. Ler, ana-lisar e resolver o problema.

Por exemplo:

Em um restaurante, há mesas com 8 cadeiras e mesas com 4 cadeiras. Chegaram 163 pessoas para jantar. Se todas as 15 mesas com 8 lugares forem preenchidas antes, quantas mesas de 4 lugares, no mínimo, serão necessárias para acomodar todas as pessoas ao mesmo tempo?

Veja uma possibilidade de resolução:15 8 = 120 120 pessoas ocupam as 15 mesas com 8 lugares163 – 120 = 4343 : 4 = 10 e sobram 3 pessoas.

Portanto, são necessárias, no mínimo, 11 mesas com 4 lugares.



Capítulo 9


145

b) Apresentação de um texto problematizador sem a pergunta: ela-borar um questionamento a partir do texto matemático enunciado.

Por exemplo:

Jonas e Bia estão jogando dardos. Cada um lança três dardos em cada rodada. Observe o alvo.

20 15 10 5

Veja algumas possibilidades de resolução:

Quantos pontos Jonas fez se ele acertou os dardos no 10, no ●15 e no 5?

Ele fez 10 + 15 + 5 = 30 pontos.

Quantos pontos fez Bia se ela acertou os dardos no 20, no 5 ●e no 10?

Ela fez 20 + 5 + 10 = 35 pontos

Onde Jonas acertou os três dardos se ele fez 20 pontos? ● Ele acertou no 10, no 5 e no 5, pois: 10 + 5 + 5 = 20.

Bia fez a maior quantidade de pontos possíveis. Onde ela ●acertou os dardos? Quantos pontos ela fez?

Ela acertou no centro: 20 + 20 + 20 = 60 pontos.

É possível fazer mais de 60 pontos com três dardos? Por quê? ● Não, pois a maior pontuação para cada dardo é 20 pontos;

portanto, 3 20 = 60 pontos.




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146

c) Problemas com excesso de informações: fornecer um texto pro-blematizador com excesso de dados, solicitando a reescrita do mes-mo, eliminando as informações desnecessárias para a resolução. Em seguida, resolver o problema.

Por exemplo:

Beatriz foi ao supermercado com R$ 300,00. No supermercado, havia muitos produtos em promoção. Alguns produtos estavam com 10% de desconto, outros, com 15% de desconto, e outros, ainda, che-gavam a 40% de desconto. Beatriz comprou 5 caixas de leite. Cada caixa continha 12 unidades de um litro de leite. Se cada caixa custou R$ 25,80, qual foi o preço que Beatriz pagou em cada litro de leite?

Veja uma possibilidade de resolução:

Beatriz foi ao supermercado e pagou R$ 25,80 por uma caixa de leite, que continha 12 unidades de um litro de leite. Quanto Beatriz pagou em cada litro de leite?

R$ 25,80 : 12 = R$ 2,15

Beatriz pagou R$ 2,15 em cada litro de leite.

d) Problemas envolvendo figuras: elaborar uma problematização, um questionamento matemático, a partir de uma figura dada.

Por exemplo:

Observe atentamente a figura a seguir. Elabore uma questão matemá-tica a partir desta figura e resolva-a.



Capítulo 9


147

Veja algumas possibilidades de resolução:

Quantos quadrados há na figura? ●Resposta: há um quadrado.

Quantos triângulos há na figura? ●Resposta: há 9 triângulos.

Quantas figuras geométricas é possível observar na figura? ●Resposta: 10 figuras

No quadrado há duas linhas retas que se cruzam no centro. ●Qual é o nome dessas duas linhas?Resposta: as duas linhas retas são denominadas diagonais do quadrado. Diagonal é o segmento de reta que liga dois vérti-ces não consecutivos de um polígono.

É possível estabelecer uma relação de área ocupada entre os ●quatro triângulos que compõem o quadrado?Resposta: todos os quatro triângulos ocupam a mesma área do quadrado.

Quantos segmentos de reta foram usados para compor a figura? ●Resposta: há 9 segmentos de reta.

e) Elaboração de um problema a partir de um questionamento: fornecer uma pergunta como referência para a elaboração de um texto-problema, resolvendo-o.

Por exemplo:

Há quantas possibilidades de compor trajes diferentes, usando uma calça e uma camiseta?





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Mariana comprou 3 calças: uma listrada, uma branca e uma preta; e 3 camisetas: uma branca, uma preta e uma com bolinhas. Há quantas possibilidades de compor trajes diferentes, usando uma calça e uma camiseta?

Vamos representar a situação:

Calça listrada camiseta branca

Calça listrada camiseta preta

Calça listrada camiseta com bolinhas

Calça branca camiseta branca

Calça branca camiseta preta

Calça brancacamiseta com bolinhas

Calça pretacamiseta branca

Calça preta camiseta preta

Calça preta camiseta com bolinhas

Com cada uma das calças é possível compor 3 trajes diferentes:

3 3 = 9

Há 9 possibilidades de combinar as peças de roupas, formando trajes diferentes.



Capítulo 9


149

f ) Elaboração de um problema a partir de uma resposta: fornecer uma resposta como referência para a elaboração de um texto-pro-blema, resolvendo-o.

Por exemplo:

Ela usou 15 caixas para guardar todos os ovos.


Dona Marta cria muitas galinhas. Todos os dias ela recolhe os ovos e guarda-os em caixas contendo uma dúzia, para vender. Em um desses dias ela recolheu 178 ovos. Quantas caixas Dona Marta usou para guardar todos esses ovos?

Resolvendo:

178 – 12 = 166 1 caixa

166 – 12 = 154 1 caixa

154 – 12 = 142 1 caixa

142 – 12 = 130 1 caixa

130 – 12 = 118 1 caixa

118 – 12 = 106 1 caixa

106 – 12 = 94 1 caixa

94 – 12 = 82 1 caixa

82 – 12 = 70 1 caixa

70 – 12 = 58 1 caixa

58 – 12 = 46 1 caixa

46 – 12 = 34 1 caixa

34 – 12 = 22 1 caixa

22 – 12 = 10 1 caixa

10 .............. 1 caixa

Outra forma de resolver essa situação é por meio de uma operação de divisão. Assim:




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150

–1 7 8 12

1 2 C D U

–0 5 8 0 1 4

4 81 0

Portanto, ela usou 15 caixas para guardar todos os ovos.Observação: 14 caixas estão completas com 12 ovos em cada uma, e uma caixa está com 10 ovos; com isso, foram usadas 15 caixas para colocar todos os ovos.

g) Apresentação inicial de um enunciado de um problema: dar continuidade ao texto problematizador já iniciado, resolvendo-o.Por exemplo:Na festa infantil promovida por Bia, havia muitas crianças. Do total de 150 participantes ...Veja uma possibilidade de resolução:

Na festa infantil promovida por Bia, havia muitas crianças. Do to-

tal de 150 participantes, somente 16

eram pessoas adultas. Quan-

tas crianças havia na festa? E quantos eram os adultos?

Resolvendo:16

de 150 participantes 150 : 6 = 25

150 participantes – 25 adultos = 125 crianças.

Havia 125 crianças e 25 adultos participando da festa.

h) Elaboração de um problema a partir de uma operação ou ex-pressão numérica dada: fornecer uma operação ou expressão nu-mérica como referência para a elaboração de um texto-problema, resolvendo-o.Por exemplo:157 : 6Veja uma possibilidade de resolução:



Capítulo 9


151

A direção da escola organizou um campeonato de voleibol. Houve 157 inscrições de alunos. Se cada equipe era composta por 6 alunos, quantas equipes foram formadas?Resolvendo:157 : 6 = 26 e sobra um aluno.Portanto, foram formadas 26 equipes; podendo ser: 25 equipes com 6 alunos e uma equipe com 7 alunos, para que todos os ins-critos pudessem participar do campeonato de voleibol.

i) Apresentação de um problema sem números explícitos: ler, ana-lisar e resolver o problema.

Por exemplo:

No Brasil foi instituído, há alguns anos, o Dia Nacional da Mate-mática. Esse dia corresponde a um número formado por um único algarismo e é par; ele pode ser obtido pela média aritmética do maior número par de um só algarismo com o antecessor par do próprio nú-mero. O mês é indicado por um número formado por meia dezena. Em que dia e mês comemora-se o Dia Nacional da Matemática?

Resolvendo:

Os números pares formados por um só algarismo são: 0, 2, 4, 6, 8

O maior número par de um só algarismo é o 8.

Se o número for o 6, então o seu antecessor par é o 4.

Calculando a média aritmética entre 8 e 4 temos:

8 + 4 = 12 12 : 2 = 6

Então, o dia é 6.

O mês corresponde ao número que representa meia dezena, ou seja, 5.

Portanto, o Dia Nacional da Matemática é 6 de maio.

Essas são algumas possibilidades de dinamizar o trabalho pedagógico de resolução de problemas em sala de aula, objetivando o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático, a autonomia de pensamento e ação, a ampliação do conhecimento matemático, a descoberta de novas formas de resolver problemas, o desenvolvimento da criatividade, entre outros.




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A riqueza do trabalho peda-gógico de resolução de problemas se dá na medida em que o profes-sor promove o debate, o confronto de ideias e opiniões sobre as for-mas diferentes de pensar em torno das possibilidades de resolução de cada problematização proposta.

Portanto, a resolução de pro-blemas na perspectiva da educação matemática tende a dar ênfase à

aplicação da matemática em situações reais, assim como desenvolver o es-tudo de conceitos e conteúdos, ampliando os limites da própria disciplina e aprofundando as teorias e práticas envolvidas, direta ou indiretamente, com o conhecimento matemático.

ReflitaReflitaDe acordo com Dante (1998, p. 11),

um dos principais objetivos do ensino da matemática é fa-zer o aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe situações-problema que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las. Essa é uma das razões pela qual a resolução de problemas tem sido reconhe-cida no mundo todo como uma das metas fundamentais da matemática no Ensino Fundamental.

a) Faça uma reflexão sobre esse pensamento de Dante e estabeleça um paralelo entre essas ideias e os problemas que são trabalhados, normalmente, nas aulas de matemática dos anos iniciais do Ensino Fundamental, atualmente.

b) De acordo com as suas reflexões, responda:os problemas trabalhados em sala de aula favorecem o pensa-•mento produtivo do aluno? Por quê?os problemas trabalhados em sala de aula envolvem, motivam e •desafiam o aluno? Por quê?

ReflitaReflita

No dia 6 de maio, é comemorado o Dia Na-cional da Matemática, que foi instituído, em

2004, pelo congresso nacional. Esta data é uma homenagem ao grande matemático brasi-

leiro Professor Júlio César de Mello e Souza, conhecido como Malba Tahan, natural do Rio de Janeiro, filho de professores, nascido em 6 de maio de 1895 e falecido em 18 de junho de

1974, aos 79 anos, no Recife.

Saiba mais



Capítulo 9


153

Da teoria para a práticaVeja a seguir uma proposta de trabalho com a resolução de problemas.A resolução de problemas está na ordem do dia! Propor estratégias

diferenciadas para a resolução de um problema, desenvolvendo a cria-tividade, a imaginação, a descoberta e os raciocínios também está na ordem do dia!

Portanto, resolva os problemas apresentados a seguir, utilizando e registrando diferentes estratégias de resolução.

1. Providencie um panfleto de propaganda de produtos de supermer-cado, ou utilize a ideia de folder representada a seguir.

Leia e analise as informações contidas neste modelo de folder:

Sucode uva

200ml

R$ 1,55

500mlDetergente

R$ 1,35

900ml

Óleo

Margarina500g

Sabonete90g

R$ 5,28

R$ 0,98

Sabão em pó1kg

R$ 5,45

R$ 3,78

Macarrão

500g

Maionese500g

250g

Extrato detomate

R$ 3,25

R$ 2,98

R$ 4,98

R$ 8,16

R$ 2,20

Café500g

R$ 6,20

Açúcar5kg

R$ 2,98

Leite1 litro




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2. Agora, resolva as problematizações propostas a seguir, de acordo com as informações contidas no folder.

a) Qual é o produto mais caro? Quanto ele custa?

b) Qual é o produto mais barato? Quanto ele custa?

c) Quais os tipos de medidas que aparecem no folder?

d) Que produtos são comercializados em medida de massa? E de capacidade?

e) Qual é mais caro: 1 kg de macarrão ou 1,5 kg de margarina? Justifique.

f ) O que é possível comprar com R$ 10,00? Escreva três possi-bilidades.

3. Você foi a esse supermercado com R$ 30,00. Gastou exatamente esse valor na compra de produtos que estão representados nesse folder. Quais são os produtos que, possivelmente, você comprou?

Há outras possibilidades?

4. Elabore dois problemas a partir das informações contidas no folder. Resolva-os.

SínteseA resolução de problemas como forma de encaminhar o trabalho

pedagógico com o conhecimento matemático tem ganhado força nas últimas décadas, tanto no aspecto da aplicação de conceitos e conteú-dos, quanto na resolução de problemas como forma de aprender novos conteúdos e conceitos matemáticos.

Muitos educadores matemáticos defendem a ideia de que um pro-blema só existe se ele apresenta uma situação que requer solução, dei-xando o indivíduo, mesmo que por um pequeno período de tempo, pensativo e desafiado a buscar a solução.

A resolução de problemas promove o desenvolvimento da criati-vidade, autonomia de pensamento e ação, raciocínio lógico, análise,



Capítulo 9


155

argumentação, habilidade de levantar possibilidades e hipóteses, e habi-lidade de testar resultados obtidos, aceitando-os ou refutando-os.

Butts (1997) classifica as questões matemáticas, relacionadas à re-solução de problemas, em cinco categorias distintas: exercícios de reco-nhecimento, exercícios algorítmicos, problemas de aplicação, proble-mas em aberto e situações-problema.

Há diversas formas de desenvolver o trabalho com a resolução de problemas evidenciando a dinamicidade e a flexibilidade que esse tipo de encaminhamento metodológico proporciona ao processo ensino-apren-dizagem da matemática.

Quanto maior a variedade de problematizações desenvolvidas em sala de aula, maiores serão as oportunidades proporcionadas aos alunos na ampliação do conhecimento matemático e no desenvolvimento de competências relacionadas à resolução de problemas.





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A avaliação da aprendizagem é parte integrante do processo de ensinar e aprender matemática. Ao optar por um trabalho em educação matemática que privilegie a compreensão, a construção e o significado dos conceitos e do conhecimento matemático em estudo, é necessário, também, coerência nas formas de avaliar a aprendizagem e os processos de ensino utilizados na construção e apropriação desses saberes. Por isso, faz-se necessária uma nova visão na abordagem da avaliação no âmbito escolar.

A avaliação deve fazer parte de todo o processo de ensinar e apren-der, estando presente em todos os momentos e possuindo característi-cas formativas. Isso quer dizer que a avaliação deve acontecer tanto nos aspectos do ensino (professor) quanto nos aspectos da aprendizagem (aluno), bem como nos meios e recursos utilizados para percorrer os caminhos do ensinar e aprender matemática.

A avaliação permanente, visando à aprendizagem contínua do aluno, está expressa na Lei de Diretrizes e Bases da Educação, LDB n. 9.394 (BRASIL, 1997, p. 14), no Art. 24, que diz: “a avaliação con-tínua e cumulativa do desempenho do aluno, com prevalência dos as-pectos qualitativos sobre os quantitativos e dos resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais”, deve fazer parte do processo educacional e da prática pedagógica. Dessa forma, enten-demos que é um direito do aluno ter uma avaliação em prol da sua aprendizagem, e, portanto, sendo sempre repensada e reorganizada de tal modo que privilegie, de fato, a construção e apropriação do seu conhecimento matemático.

Avaliação 10




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O que é avaliar?Muito se fala em avaliação no âmbito escolar. Ela está presente cons-

tantemente na prática pedagógica; no entanto, a clareza do significado e das suas implicações, na perspectiva da educação matemática, nem sempre está evidenciada entre os sujeitos que fazem parte do processo educacional.

A avaliação é um elemento da prática educativa que deve estar em função da formação do sujeito. Na perspectiva da educação matemáti-ca, a avaliação deve subsidiar a prática pedagógica, de forma a redirecio-nar o trabalho com o ensinar e o aprender matemática.

O processo avaliativo possui características de um processo de investigação, de pesquisa, que visa às transformações e que leva às classificações. A avaliação só tem sentido se tiver como ponto de partida e ponto de chegada o processo pedagógico para que sejam estabelecidas estratégias de enfrentamento da situação de sucesso ou fracasso (SILVA, 2003, p. 47).

A avaliação, segundo Luckesi (2003, p. 27), é “um ato subsidiário da prática pedagógica, com vistas à obtenção de resultados os mais satisfató-rios possíveis diante do caminho de desenvolvimento de cada educando”.

A avaliação pressupõe objetivos claros e bem definidos em busca de metas que atendam à qualidade que todos os sujeitos envolvidos no processo almejam, ou seja, a busca constante da formação do indiví-duo. Por isso, ao avaliar, todos assumem responsabilidades de possí-veis mudanças, casos os resultados não sejam satisfatórios, em todos os segmentos envolvidos no processo educacional: alunos, professores, gestores, instrumentos e métodos utilizados no processo do ensinar e do aprender, conteúdos, conceitos e saberes presentes no ato de ensinar. Tudo deve ser revisto e repensado a cada momento do processo.

Diante disso, cabe destacar a fala de Luckesi (1999, p. 118), que diz: “enquanto o planejamento é o ato pelo qual decidimos o que cons-truir, a avaliação é o ato crítico que nos subsidia na verificação de como estamos construindo o nosso projeto”.

Avaliar para aprenderO trabalho pedagógico na perspectiva da educação matemática

não é compatível com a avaliação que apresenta características exclusi-vas de examinar a aprendizagem do aluno.



Capítulo 10


159

De acordo com Luckesi (2003), a avaliação praticada pela escola ainda possui características de exame, que tem por objetivo julgar, aprovar ou reprovar; é pontual; é classificatório; é seletivo; é antidemo-crático e fornece subsídios para uma prática pedagógica autoritária.

Essas características de exame como forma de avaliação ainda são perceptíveis no processo de ensinar e aprender matemática. Em muitas situações é colocada toda a responsabilidade do fracasso na aprendi-zagem do aluno. Não se faz uma reflexão sobre todos os elementos envolvidos no processo e nem sempre se propõe mudanças no ato do ensinar matemática.

Por outro lado, Luckesi (2003, p. 13-14) destaca as característi-cas de uma avaliação da aprendizagem, que promovem a formação contínua do indivíduo, em que todos os sujeitos são responsáveis pelos avanços e pela qualidade do processo do ensinar e do aprender. Dessa forma, a avaliação:

1º tem por objetivo diagnosticar a situação de aprendizagem do educando, tendo em vista subsidiar a tomada de decisões para a melhoria da qualidade do desempenho;

2º é diagnóstica e processual, ao admitir que, aqui e agora, este educando não possui um determinado conhecimento ou habilidade, mas, depois, se ele for cuidado, poderá apresentar o conhecimento ou a habilidade esperada. A avaliação opera com resultados provisórios (sempre há a possibilidade de um novo estado de qualidade, melhor e mais satisfatório) e suces-sivos (o estado mais satisfatório, ainda não foi atingido, mas poderá sê-lo);

3º é dinâmica, ou seja, não classifica o educando em um de-terminado nível de aprendizagem, mas diagnostica a situação para melhorá-la a partir de novas decisões pedagógicas; assim sendo, é oposta ao modo estático dos exames;

4º é inclusiva, na medida em que não seleciona os educandos melhores dos piores, mas sim subsidia a busca de meios pelos quais todos possam aprender aquilo que é necessário para o seu próprio desenvolvimento; o ato de avaliar é um ato pelo qual se inclui o educando dentro do processo educativo, da melhor forma possível;

5º decorrente do fato de ser inclusiva, é democrática, devido incluir todos. A prática avaliativa na escola está a serviço de




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160

todos, no sentido de que deve oferecer subsídios para um tra-balho pedagógico junto a todos, os que têm mais e os que têm menos dificuldades; o que importa é que todos aprendem e, consequentemente, se desenvolvem;

6º e isso exige uma prática pedagógica dialógica entre edu-cadores e educandos, tendo em vista estabelecer uma aliança negociada, um pacto de trabalho construtivo entre todos os sujeitos da prática educativa.

Portanto, é nessa perspectiva que deve ser organizada a avaliação da aprendizagem em educação matemática, de modo a vislumbrar a formação do indivíduo em todos os momentos do processo.

Alguns instrumentos de avaliaçãoA avaliação deve fornecer subsídios para que o professor repense,

a cada momento, a sua prática educativa e sua função social enquanto formador de seres pensantes. Essa reflexão da prática educativa permite ao professor tomar novas decisões diante dos resultados obtidos, de for-ma contínua e permanente, buscando sempre a melhoria na qualidade do ensino-aprendizagem da matemática, visando à construção de uma educação e formação matemática para a cidadania.

Para que a avaliação da aprendizagem seja, de fato, diagnóstica, formativa, contínua, processual e permanente, deve utilizar os mais di-versos recursos e instrumentos possíveis, para que os resultados possam propor a reflexão da situação real de cada momento da formação ma-temática do aluno.

A seguir, destacamos alguns instrumentos que podem ser usados na avaliação da aprendizagem.

a) Observação e registros do professor: observar, analisar e intervir na participação dos alunos, no seu interesse e no espírito colabora-tivo, registrando as informações obtidas com o objetivo de retomar com o aluno cada situação em que há indícios de não ter ocorrido a aprendizagem do conteúdo ou conceito em estudo.

b) Provas e testes: devem ser rotineiros, desafiadores, em vários mo-mentos do processo educativo e de várias maneiras: oral, escrito, agendado, não agendado; sempre com o objetivo de diagnosticar o ensinar e o aprender para intervir com mais qualidade.



Capítulo 10


161

c) Resolução de problemas: deve ser desafiadora e estimuladora da aprendizagem matemática. Deve estar presente continuamente na prática avaliativa, uma vez que é a mola propulsora da educação matemática.

d) Trabalhos e participação em atividades: atividades de sala de aula (individual ou em grupo), teatro, cinema, música, pesquisas de campo, pesquisas bibliográficas, pesquisas na internet, leituras de livros paradidáticos de matemática, coleta de informações, jo-gos, debates, entre outros.

e) Portfólio3 e caderno do aluno: a organização de um portfólio possibilita ao professor acompanhar e intervir nas produções dos alunos, pois ele pode visualizar o crescimento do aluno na aquisi-ção do conhecimento. No portfólio podem ser colocados também os testes, provas e produções feitas pelo aluno, assim como pode ser feito o registro das retomadas das atividades propostas de todos esses trabalhos.

f ) Entrevistas e conversas informais: é fundamental que o professor estabeleça um vínculo de diálogo com o aluno.

g) Autoavaliação: contribui para que o aluno faça uma autoanálise do processo de ensino-aprendizagem, desenvolvendo a sua auto-nomia ao identificar os elementos que contribuem, ou não, para a sua aprendizagem, assim como construir uma análise crítica do seu desempenho.

A diversidade e a flexibilidade de instrumentos e formas de ava-liar, quando usadas adequadamente, podem contribuir significati-vamente para a qualidade do ato de avaliar que, segundo Luckesi (2003, p. 94),

é um ato rigoroso de acompanhamento da aprendizagem do educando, ou seja, ela permite tomar conhecimento do que se aprendeu e do que não se aprendeu e reorientar o educando para que supere suas dificuldades e carências, na medida em que o que importa é aprender.

3 Portfólio é um conjunto de trabalhos e atividades realizadas e registradas pelo aluno du-rante um determinado período, que podem ser organizadas em uma pasta ou arquivo.




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162

Para além do erroA avaliação tem caráter formativo e se propõe a acompanhar a

aprendizagem matemática do aluno, favorecendo o desenvolvimento do seu potencial e ampliando-o sempre.

Um dos aspectos da avaliação que tem chamado a atenção dos pesquisadores e educadores matemáticos é o trabalho pedagógico a ser desenvolvido a partir do erro matemático do aluno. A utilização da tentativa e erro na resolução de problemas e atividades matemáticas permite ao professor identificar estratégias, caminhos e possibilidades de resoluções que o aluno utilizou para resolver uma determinada si-tuação, permitindo o olhar sobre as diferentes formas de pensar uma mesma situação.

Dessa forma, Cury (2007, p. 35-36) mostra que: “se a ênfase da avaliação dos estudantes se desloca do produto para o processo, há a possibilidade de que os erros cometidos venham a ser discutidos e pos-sam ser fonte de novas aprendizagens”.

A partir do erro do aluno, é fundamental desenvolver reflexões e análises, elaborando novas estratégias de ensino e de aprendizagem, que favoreçam novas aprendizagens. O erro pode indicar a forma de pensar do aluno, que mostra as dificuldades encontradas na resolução do que foi proposto. Essa dificuldade pode estar no conteúdo, no conceito, no ra-ciocínio, na estratégia, ou mesmo na compreensão da situação proposta.

Os erros podem ocorrer por diferentes motivos: falta de atenção, não domínio do conteúdo em questão, utili-zação de uma estratégia inadequada, enfim, diferentes condutas podem levar ao erro, e o professor deve estar atento a isso, pois para cada erro deve haver uma estra-tégia diferente para superá-lo (PEREGO; BURIASCO, 2005, p. 48).

O professor deve proporcionar o desenvolvimento de atitudes de análise e reflexão constante por meio de questionamentos que favo-reçam a troca de ideias, o confronto de opiniões e a comparação de processos de resolução utilizados entre os alunos, na construção de raciocínios, conteúdos e conceitos matemáticos. Dessa forma, os alu-nos comparam os possíveis erros cometidos e procuram identificar os porquês desses erros, desenvolvendo, assim, novas aprendizagens, ou preenchendo algumas lacunas da aprendizagem.



Capítulo 10


163

Portanto, a avaliação deve realimentar a qualidade do trabalho pe-dagógico, direcionando e redirecionando a ação educativa e o desempe-nho do aluno e do professor no processo de ensino-aprendizagem.

ReflitaReflita

Refletir sobre o erro do aluno é uma das atribuições do professor na prática pedagógica em educação matemática. Cury (2007, p. 80) des-taca “a ideia de que o erro se constitui como um conhecimento é um saber que o aluno possui, construído de alguma forma, e é necessário elaborar intervenções didáticas que desestabilizem as certezas, levan-do o estudante a um questionamento sobre as suas respostas”.

Partindo do pressuposto de que a criança deve compreender os signifi-cados de cada conceito e/ou conteúdo matemático trabalhado, e que as pessoas aprendem de maneiras diversas e em tempos diferentes, faça uma reflexão sobre esse pensamento de Cury e estabeleça um paralelo entre ele e a prática pedagógica da escola em relação a possíveis estra-tégias de trabalho com o erro do aluno em matemática.

ReflitaReflita

Da teoria para a prática1. Suponha a seguinte situação:

a) Uma professora de 3° ano elaborou esta questão para avaliar os seus alunos em um dos tópicos do conteúdo Sistema de Numeração Decimal.

Uma entidade beneficente promoveu um sorteio de prêmios, por meio do sorteio dos números correspondentes a cada prê-mio. Os números sorteados estão escritos, por extenso, no quadro a seguir.




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Leia cada um dos números e registre-os em algarismos na li-nha correspondente.

EscriTa por ExTEnso númEroSessenta e sete

Duzentos e nove

Dezoito

Oitocentos e quarenta

Dois mil e nove

b) Um dos alunos fez os seguintes registros numéricos:

EscriTa por ExTEnso númEro

Sessenta e sete

Duzentos e nove

Dezoito

Oitocentos e quarenta

Dois mil e nove

c) Agora imagine que você é o(a) professor(a) desse aluno:

Quais são as suas reflexões sobre essa situação?

Como você avalia esse aluno nessa situação?

A partir dessa avaliação, que procedimentos você adotaria com esse aluno? Por quê?

d) Elabore uma nova problematização envolvendo esse conteúdo (SND) para avaliar novamente esse aluno.

SínteseA avaliação é um elemento inerente à prática pedagógica, que deve

ser realizada com cuidado e coerência, envolvendo todos os sujeitos en-volvidos no processo educacional, assim como os recursos e estratégias utilizados ao ensinar e aprender matemática.



Capítulo 10


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A avaliação deve subsidiar a prática pedagógica, dando indicativos para o planejamento e/ou replanejamento das ações que favoreçam a construção e apreensão do conhecimento matemático pelos alunos.

Luckesi (2003) mostra a importância de ultrapassar o sentido de examinar, ainda presente na sala de aula, assumindo o real sentido de avaliar. A avaliação é processual, tem por objetivo diagnosticar, é dinâmica, é inclusiva, é democrática e exige uma prática pedagógica dialógica. Dessa forma, temos uma prática avaliativa formativa.

A avaliação pode ser feita por meio de diversos instrumentos, como: observações e registros, provas e testes, resolução de problemas, trabalhos e participação em atividades, portfólio e caderno do aluno, entrevistas e conversas informais, autoavaliação, entre outros.

Outros aspectos relevantes que devem fazer parte da avaliação for-mativa são a análise, a reflexão e o trabalho pedagógico, que devem ser desenvolvidos a partir do erro do aluno. Conforme expressam os PCN (BRASIL, 1998, p. 55), “na aprendizagem escolar o erro é inevitável e, muitas vezes, pode ser interpretado como um caminho para buscar o acerto”. Ao analisar e refletir sobre o erro do aluno, o professor obtém informações sobre como o estudante está pensando, que conhecimentos e raciocínios ele já domina e quais ele ainda não conseguiu adquirir.





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mátic

aFundamentos e

MetodologiaPensar na formação do pedagogo é pensar na complexi-dade de sua atuação e no desenvolvimento de competên-cias para o melhor desempenho profissional.

Na competência do profissional pedagogo está inserida a educação matemática, que se manifesta por meio do domínio do conteúdo matemático a ser desenvolvido na prática escolar da Educação Infantil e dos anos iniciais do Ensino Fundamental, pela clareza dos objetivos que devem ser atingidos e pelo domínio dos recursos e meios de comunicação que devem ser usados para mediar esse ensino e a aprendizagem dos alunos. Manifesta-se, ainda, pelo domínio da articulação do conhecimento matemático com os outros elementos que fazem parte da formação dos alunos na escola e pela percepção e reflexão sobre as complexas relações entre a matemática do âmbito esco-lar e suas implicações para a sociedade, na qual estão inseridos os educandos.

Há diversas formas, meios e modalidades para desen-volver e se apropriar desses elementos que compõem a competência do futuro profissional pedagogo em educa-ção matemática. Neste livro, destacamos a modalidade de Educação a Distância como uma real possibilidade de desenvolvimento do conhecimento matemático com quali-dade e de modo significativo, promovendo a construção e a apropriação desses saberes.

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Livro de Fundamentos Metodologia do Ensino da Matemática nas séries iniciais