Aula 3 Potenciao e Radiciao

Potncia A expresso na , onde a um nmero real e n um nmero natural, com 1>n ,

denominada potncia. Ela representa um produto de n fatores iguais ao nmero a , isto : aaaaa

n......=

Por exemplo, 2.2.2 . Este produto pode ser escrito como 32 , onde o nmero 3 representa quantas vezes o fator 2 esta sendo multiplicado por ele mesmo.

oentebase

exp32 23 = l-se, dois elevado a terceira potencia ou dois elevado ao cubo.

O expoente informa quantas vezes o fator vai ser multiplicado por ele mesmo e a base, o fator a ser repetido. A potncia o resultado desta operao.

Exemplos (1): Determine como se l as potncias abaixo: 32: trs elevado a segunda potncia ou trs elevado ao quadrado. 64: seis elevado a quarta potncia. 75: sete elevado a quinta potncia. 28: dois elevado a oitava potncia.

Observaes: 1) Todo nmero elevado ao expoente um igual a ele mesmo. Por exemplo,

21 = 2, 94

94 1

=

, 131 = 13 e (1,2)1 = 1,2.

2) Todo nmero diferente de zero elevado expoente zero igual a um. Por exemplo,

60 = 1, 138 0

=

, 260 = 1 e (3,5)0 = 1.

3) Potncias de base 1: toda potncia de 1 igual a 1. Por exemplo,

10 = 1, 11 = 1, 12 = 1, 13 = 1 e 112 = 1. 4) Potncias de base 10: toda potncia de 10 igual ao nmero formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.

100 = 1, 102 = 100, 103 = 1000 e 104 = 10000. Uma aplicao das potncias de base 10 a Notao Cientfica, que til para

simplificar e padronizar o registro de nmeros. Por exemplo, a distncia de Vnus ao Sol que de km810.08,1 108.000.000 de quilmetros, que em notao cientfica fica km810.08,1 .

Propriedades da Potncia 1) Multiplicao de potncia de mesma base: somamos os expoentes e conservamos a base, observe:

32222.2 52323 === +

81333.3 4133 === +

4096444.4.4 632132 === ++

2) Diviso de potncia de mesma base: subtramos os expoentes e conservamos a base, observe:

2222:2 12323 ===

9333:3 22424 === 49777:7 23535 ===

3) Potncia de potncia: conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 8133)3( 42222 === x

53144133])3[( 12232232 === xx

Exemplo (2): Determine o valor das seguintes potncias: a) 813.3.3.334 == b) 1450 = c) 01024,04,0.4,0.4,0.4,0.4,0)4,0( 5 ==

d) 81

21

.

21

.

21

21 3

==

e) 9)3)(3()3( 2 ==

Potncia com Expoente Negativo Para encontrar o valor deste tipo de potncia deve-se inverter a base da potncia

para que o expoente fique positivo, e depois efetuar seu o clculo, como podemos ver nos exemplos abaixo:

161

414

22

=

=

; 2431

313

55

=

=

e 827

23

32 33

=

=

Radiciao A radiciao a operao inversa da potenciao, ou seja, extrair a raiz quadrada a

operao inversa de elevar ao quadrado, extrair a raiz cbica a operao inversa de elevar ao cubo, e assim sucessivamente.

A radiciao tem muitas aplicaes no nosso cotidiano. Por exemplo, se conhecermos a somente a rea de um terreno quadrado e queremos saber a medida de seu lado, basta calcular a raiz quadrada desta rea e o problema esta resolvido. Vamos aprender a trabalhar com estes radicais.

Raiz n-sima de um nmero real Definio: Sejam a um nmero real no negativo e n um numero natural, 1>n , a raiz n-sima de a o nmero real b, tal que abn = , isto ,

abba nn == Veja, a seguir, o nome de cada elemento da raiz:

Exemplo (3): Determine como se l os radicais abaixo: a) 4 : raiz quadrada de quatro. b) 3 8 : raiz cbica de oito. c) 4 5 : raiz quarta de cinco

Observaes: 1) quando n

par, a tem que ser positivo, pois nesse caso nenhum nmero elevado a potncias pares resulta em nmeros negativos. Por exemplo, 4)2( 2 = e 422 = e nesse caso,

24 = .

2) quando n impar, a pode ser tanto positivo quanto negativo. Por exemplo, 8)2( 3 = , assim, 283 = e 823 = , dai, 283 = .

Propriedades: Sejam + Rcba ,, e Nnm , , ento: 1) nnn baba .. = 4) nnn acbacab )( =

2) nn

n

ba

ba

= 5) ( ) n mmn aa = 3) nmm n aa .=

Exemplo (4): Com o auxlio das propriedades, determine o valor das razes abaixo: a) 3333 126.26.2 == b) 3333 3.33.2781 == c) 24

28

28

===

d) 35

925

925

==

e) 123.44 3 125125125 == f) 3333 5155)87(5857 =+=+ g) ( ) 93.33.333 2244 ==== E para finalizar nosso estudo sobre razes necessrio conhecer tambm:

Racionalizao dos denominadores irracionais

A racionalizao de uma frao irracional a operao que tem por finalidade transform-la em um nmero inteiro ou em uma frao equivalente com denominador racional. Para isso, deve-se multiplica o denominador por um radical que o torne racional, como podemos ver nos exemplos a seguir:

Exemplo (5): Racionalize as fraes.

EXERCCIOS

(1) Determine o valor das potncias. a) 27 b) 3)5( c) 28 d) 1)12( e) 03 f)

1

43

g)

2

61

h) 4)2(

i) 3)2( j) 24 5)2( k) 12 33 + l) 5244.4 m) (-0,2) n) -(0,5) o)(1,5)

p) (-2,02) q) (0,1).5 r) (1,2).(2) s) 2.3 t) 15 u) (-4.5) v)(1.3) x) 233

2 2216

(2) Encontre s potncias. a) 23 )5( b) 33 )2( c)

2

210

d)

3

71

e) 4

1

81 f) 32

100 g) 21

4 h) 31

8 i) 21

9

(3) Calcule as razes e efetue as operaes: a) 16 - 25 b) 3 8 + 49 c) 3 125 - 64 d) 2 - 25

e) 2516

f) 3 6

9

yx

(4) Simplifique os radicais: a)

84

4

217 b) 2. 316x

c) 7.49 5 d) 4051203

(5) Operaes com Radicais: a) 2 3 + 5 3 - 10 3 b) 3 108 + 3 32 - 6 3 4 c) 7 . 8 d) 3 55 64.6

e) 3 3 . 4 2 f) 520

g) 3 3

2 h)

4

3

55

(6) Racionalizar os seguintes radicais: a)

51

b) 51

1+

c) 3

2

d) 3 78

e) 13

5

f) 25

3+

(7) Jos tem um terreno quadrado que tem rea de 264m . Ele deseja comprar um porto que tome toda a parte da frente deste terreno. Qual o comprimento deste porto?

(8) Uma caixa de gua tem o formato de um cubo. Sabendo-se que seu volume de 31000dm , qual o comprimento de sua aresta?

Expresses Numricas

So expresses que envolvem nmeros e operaes, e quando as efetuamos chegamos sempre a um nmero.

Por exemplo, se considerarmos a expresso numrica 6.25 + . Esta expresso envolve adio e multiplicao. Para resolv-la, pode-se pensar de duas formas:

1 forma: fazendo primeiro a adio e depois a multiplicao, temos: 426.76.25 ==+

2 forma: fazendo primeiro a multiplicao e depois a adio, temos: 171256.25 =+=+

Mas isso no deve acontecer. Uma expresso numrica no pode ter dois resultados diferentes. Para evitar esta confuso, deve-se seguir o seguinte critrio: Quando existirem, parnteses, colchetes ou chaves, deve-se resolver primeiro expresso que se encontra dentro dos parnteses ( ), depois dos colchetes [ ], e por ultimo o contedo das chaves{ }. A ordem de resoluo das operaes : potncias e radicais, depois multiplicao ou diviso e por fim adio ou subtrao, para por fim obter os resultados. E caso tenha apenas operaes do mesmo nvel para resolver, adota-se o sentido da esquerda para a direita na ordem de resoluo das operaes. Logo, o valor correto da expresso anterior 17.

Exemplo (1): Determine o valor da expresso numrica: }2;]64.[3)7(:14.{3 2 Soluo:

=== }2:4.32.{3}2:)2.(32.{3}2:]64.[3)7(:14.{3 22 24}8.{3}62.{3}2:122.{3 ====