Loeng 1

Loeng 1

SissejuhatusÕppekorraldus. Ülevaade kursusest: sisu ja tunnusjooned. Matemaatika: elementaarfunktsioonid ja nende graafikud, lähendusvalemid, minimaks, kompleksarvud (sh võnke- ja laineprotsesside esitamine nende abil), vektorid, lineaarsed difvõrrandid, jaotusfunktsioonid (keskväärtus ja dispersioon).Mehhaanika: kiirus, kiirendus, potentsiaalne ja kineetiline energia, jõud, impulss, impulssmoment, inertsmoment. Ühikud ja mastaabid: energia, ruum, aeg.

Rohelises kirjas märkused: programmiväline lisainfo huvilistele

Kursuse eesmärk on anda süsteemne ettekujutus aine ehitusest selle erinevatel struktuuritasanditel, tutvustada tahkisefüüsika põhimõisteid ja kontseptsioone ning anda oskusi lihtsamate teemakohaste arvutusülesannete lahendamiseks.

Kursuses käsitletakse aine ehitust selle erinevatel struktuuritasanditel põhirõhuga kondensfaasidele (kristallid, amorfsed materjalid, vedelikud, vedelkristallid, komposiitstruktuurid). Kursuse esimene osa (sügissemestril) keskendub kristallide struktuurile ja mikrodünaamikale, teine osa (kevadsemestril) teistele kondensfaasidele. Praktikumides lahendatakse kursuse sisuga seonduvaid harjutusülesandeid.

Spetsiifika:1) atomistlik – struktuurne käsitlus (vs. pidevate keskkondade teooriad)

"If, in some cataclysm, all of scientific knowledge were to be destroyed, and only one sentence passed on to the next generations of creatures, what statement would contain the most information in the fewest words? I believe it is the atomic hypothesis (or the atomic fact, or whatever you wish to call it) that all things are made of atoms---little particles that move around in perpetual motion, attracting each other when they are a little distance apart, but repelling upon being squeezed into one another''. - Richard Feynman

2) tugev* interaktsioon osakeste vahel (vs. gaaside molekulaarteooria)

3) rõhuasetus meso(supermolekulaarsetel) struktuuridel (vs. aatomi- ja molekulaarfüüsika, keemiakursused). Tahkisefüüsika olulisus.

4) mittekristalse kondensaine ja heterofaaside ulatuslik käsitlemine (vs. tahkisefüüsika)

5) mudelid – kasutame tuntuid (eeldusained) ja tutvustame uusi. Diskreetsed mudelid (punktmass, ideaalne gaas). Pidevad mudelid (kokkusurumatu vedelik, elastne keha) kui lähendus diskreetsete osakeste süsteemide kirjeldamisel. Kursuse käigus tutvutakse veel rea taoliste mudelitega. Struktuursed ja dünaamilised mudelid.

“The sciences do not try to explain, they hardly even try to interpret, they mainly make models. By a model is meant a mathematical construct which, with the addition of certain verbal interpretations, describes observed phenomena. The justification of such a mathematical construct is solely and precisely that it is expected to work.” - John von Neumann

6) sünteetiline käsitlus: klassikaline mehaanika + rudimentaarne kvantmehhaanika kursuse käigus [Joonis]

7) esimene pool: aatomid, molekulid, kristallid; teine pool: muud kondensfaasid (vedelikud, klaasid, vedelkristallid, heterofaasid).

8) matemaatiline aparatuur (laine-võnkeprotsesside kompleksne esitus, harilikud lineaarsed diffvõrrandid, vektorid)

1.2. Ruumilised struktuuritasemed.

Fundamentaaltase, tuumad, aatomid, molekulid, (nano-, meso-, mikro-)tase, makrotase, megatase (kosmoloogiline). Kus asub teaduse eesliin? Teaduse ühtsus. Kvantmehhaanika rollist: h = 0 ja h ( 0 füüsika.

1.3. Energia, massi ja ruumiskaalad

Energiaühikud

J

eV

K

cm-1

Hz

J

1

6,24(1018

7.24(1022

5.03(1022

1.51(1033

eV

1,60(10-19

1

1.16(104

8.07(103

2.42(1014

K

1.38(10-23

8.62(10-5

1

7.00(10-1

2.08(1010

cm-1

1.99(10-23

1.24(10-4

1.44

1

3,00(106

Hz

6.63(10-34

4.14(10-15

4.80(10-11

3.34(10-7

1

Seosed

E

= eU

= kT

= hc(-1

h(

Universaalkonstandid:elementaarlaeng e = 1,60(10-19 C

Boltzmanni konstant k = 1,38(10-23 JK-1

Plancki konstant h = 6,63(10-34 Js

valguse kiirus vaakumis c = 3,00(108 ms-1

Konverter: http://physics.nist.gov/cuu/Constants/energy.html

Näide: nähtava valguse footonite energia

( = 380(750 nm ( E = 1,24(3,26 eV. On see juhuslik?

Massiühikud1 kg = 5,62(1035 eV (m = eU/c2)

1 eV = 1,78(10-36 kg

Aatommassiühik: 1 amu = 1,6605402(10-27 kg = 931,5 MeV = 1/12 süsiniku isotoobi 12C tuumamassist

Pikkusühikud

1 Å = 10-10 m

1 fermi = 10-15 m

Lisades valguse kiirusele ja Planck’i konstandile gravitatsioonikonstandi G = 6,67(10-11 kg-1 m3 s-3 saab nimetatud kolmest universaalkonstandist moodustada vastavalt järgmised massi, pikkuse ja aja dimensiooniga suurused:MP = (hc/G)1/2 = 5,46(10-8 kg,

LP = (Gh/c3)1/2 = 4,05(10-35 m,

TP = (Gh/c5)1/2 = 1,35(10-43 s,

mis kannavad nimetusi Planck’i mass, pikkus ja aeg. Nende suuruste tähtsus ja tähendus jääb aja- ja ruumimastaapidesse, mis on palju suurusjärke väiksemad meie kursuses käsitlevatest.

Loeng 2

Rudimentaarne kvantmehhaanika.

Leiulaine ja tõenäosus. Schrödingeri võrrand ja omaolekud.Kvantarvud. Kõdumine. Vaba osake. Osake potentsiaalikastis. Harmooniline ostsillaator. Kahenivooline süsteem. Määramatuse printsiip. Väljad ja osakesed. Spinn. Fermionid ja bosonid

Olekufunktsioon (lainefunktsioon, leiulaine, vt. Käämbre)

(

)

t

,

r

y

y

=

Selle tõenäosuslik interpretatsioon: tõenäosus dp leida osakest ruumielemendis dV

(

)

(

)

(

)

ò

=

=

º

1

;

2

2

dV

t

,

t

,

t

,

dV

dp

r

r

r

y

y

r

(normeering)

Elektroni korral on

(

)

2

t

,

r

y

võrdeline ruumilaengu tihedusega. Elektroni leiufunktsioon sellisel kujul ei ole ”elektronväli” samas mõttes nagu (klassikaline) elektromagnetväli on ”footonväli”. Grassmani muutujad (a*b = - b*a).

Osakese (mass m, potentsiaalne energia U ) lainefunktsiooni kirjeldab Schrödingeri võrrand

(

)

y

y

y

y

y

z

y

x

U

z

y

x

m

t

i

,

,

2

2

2

2

2

2

2

2

+

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

¶

¶

+

¶

¶

+

¶

¶

-

=

¶

¶

h

h

[võrdle lainevõrrandi ja difusioonivõrrandiga].

Statsionaarne võrrand. Omaolekud (vrdl. tasakaaluolekud kl. mehhaanikas).

(

)

(

)

t

i

z

y

x

t

z

y

x

w

y

y

-

=

e

,

,

,

,

,

(

)

w

y

y

y

y

y

h

h

=

+

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

¶

¶

+

¶

¶

+

¶

¶

-

=

E

z

y

x

U

z

y

x

m

E

,

,

,

2

2

2

2

2

2

2

2

Vaba osake.

(

)

(

)

m

k

E

V

t

t

i

2

e

1

,

2

2

h

=

=

-

w

y

kr

r

Seotud seisundid (finiitne liikumine - diskreetsed energianivood). Osake kastis. 3D kast.

(

)

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

=

=

î

í

ì

¥

<

<

=

L

nx

L

n

n

m

L

E

L

x

x

U

n

n

p

y

p

sin

2

,....

3

,

2

,

1

,

2

0

,

0

2

2

2

2

h

Harmooniline kvantostsillaator [Joonis]. Energianivoode ekvidistantsus. Miks harmooniline ostsillaator on eriline? Klassikaline dünaamika kvantevolutsioonist.

(

)

(

)

(

)

(

)

x

m

H

n

n

E

Ax

x

U

n

n

n

h

h

w

x

x

x

y

w

x

=

µ

=

+

=

=

-

,

e

,...

2

,

1

,

0

,

2

1

2

/

2

2

Kvantarvud. Olekute kõdumine.

Määramatuse printsiip. Tunneleerimine.

p

p

2

/

2

/

h

x

p

h

t

E

x

³

D

×

D

³

D

×

D

Väli kui ruumis (aegruumis) pidevalt muutuv füüsikaline suurus. Välja antud ruumipunktis iseloomustab üks (skalaarväli) või enam (tensorväljad, sh. vektorväli) reaalarvulist suurust. Täpsemas määratluses peavad need suurused ruumi pööretel teisenema kindlate eeskirjade järgi, sh. skalaarvälja väärtus ei muutu. Dünaamiline väli kui väli mis allub kindlat tüüpi väljavõrranditele. Lineaarse välja korral on need võrrandid lineaarsed ja kehtib superpositsiooni printsiip.Fundamentaalosakesed ja –väljad kui füüsikalised objektid, mille kaudu kõik teised osakesed (liitosakesed) ja väljad on esitatavad.Kvantteoorias teiseneb oluliselt osakese (klassikaliselt diskreetne moodustis) ja välja (klassikaliselt pidev suurus) eristumine: kõik fundamentaalosakesed on teatud väljade kvandid ja fundamentaalväljad on kvantiseeritud (teatud mõttes diskreetsed). Näited: fotoefekt ja elektroni lainefunktsioon. Väljade ja (aine)osakeste eristamine omab siiski mõtet ja on võimalik ka kvantteoorias. Teatud seesmise tunnuse (kvantarv spinn s) järgi jagunevad kõiki osakesed (väljad) fermionideks ja bosoniteks (vastavalt fermion- ja bosonväljadeks): fermionidel s = 1/2, 3/2,... ja bosonitel s=0, 1, ... (ühikutes = h/2( = 1.05 x 10-34 Js). Spinn: kuidas teiseneb objekt 360( pöörde korral [Demo]. Fermionid alluvad nn. Pauli keelule, mille järgi ühes seisundis (kvantolekus) ei saa olla üle ühe osakese. See võib tunduda (ja ongi) ebaoluline klassikalises mehhaanikas (ja ka kvantmehhaanikas), kus seisundite hulk on pidev (leidub sisundeid, mis erinevad kuitahes vähe antud seisundist). Kvantmehhaanikas kirjeldatavate diskreetsete seisundite (kirjeldavad seotud osakeste süsteeme) korral omandab Pauli keeld aga fundamentaalse tähtsuse. Muuhulgas on ta eelduseks meile tuntud omadustega aine eksistentsiks, kuna ta välistab osakeste kuhjumise samasse ruumipiirkonda, st. aineosakesed peavad moodustama teatud ruumilise ulatusega struktuure. Siinkohal tuleb teha siiski üks mööndus: kahest poolearvulise spinniga osakesest (fermionist) koosnev liitosakene on täisarvulise spinniga, st. boson ja talle Pauli keeld ei rakendu (kaugustel, kus võime liitosakese sisestruktuuri ignoreerida). Selle asjaoluga on seotud nn. Bose-Einsteini kondensatsiooni nähtus, mille erinevateks ilminguteks on ülijuhtivus ja ülivoolavus, millest edaspidi veel juttu tuleb

Loeng 3

Aatomid, molekulid ja molekulaarinteraktsioonid.Vesiniku aatom. Bohri mudel. Kv.-mehh. käsitlus. Elektronkatete täitumine. Kovalentne side. Kaheaatomiline molekul. Paljuaatomilised molekulid. Lineaarsed polümeerid. Ioonid. Van der Waalsi jõud. Lennard-Jonesi potentsiaal.

Vesiniku aatom.

Elektroni potentsiaalne energia tuuma (laeng Z) kulonilises väljas

(

)

(

)

r

Z

e

r

U

U

0

2

4

pe

-

=

=

r

Bohr’i mudel.

Statsionaarsetel orbiitidel

...

,

3

,

2

,

1

,

=

=

n

n

mvr

h

(põhjendus osakese laineiseloomust: orbiidile raadiusega r peab mahtuma täisarv leiulaine lainepikkusi, teisiti: pöördimpulsi kvantimine). Statsionaarsete orbiitide raadiused

...

,

3

,

2

,

1

,

2

2

2

0

=

=

n

Z

me

n

h

r

n

p

e

ja vastavad energiaväärtused

...

,

3

,

2

,

1

,

8

2

2

2

0

2

4

=

-

=

n

n

h

Z

me

E

n

e

Need suurused on esitatavad kujul (vesiniku aatomi jaoks, Z = 1)

2

n

R

E

n

¥

-

=

,

2

0

n

a

r

n

=

kus esinevad parameetrid Bohri raadius a0 = 5,3(10-11 m = 0,53 Å ja Rydbergi konstant R( = 13,6 eV (kas sellise energiaga valguskvant on nähtav?) määravad aatomite maailma karakteersed ruumi- ja energiamastaabid. [Joonis].

Põhiseisund ja ergastatud seisundid. Siirded. Rydbergi aatomid (n > 500 (r > 0,01 mm) kosmoses (r >> (!). Kõrgionisatsioon. Z-1 kordselt ioniseeritud aatomis (Z ( 100) siirdesagedused ( 100 keV – võrdle (-siirete sagedustega tuumades.

Millest sõltub ainete tihedus?

3

e

p

m

m

µ

µ

r

!

Täpsemas käsitluses (vastava Schrödingeri võrrandi lahendamise abil) esitub elektroni leiulaine vesiniku aatomis kujul

(

)

(

)

(

)

(

)

j

q

y

y

,

lm

nl

nlm

Y

r

R

=

=

r

r

.

Funktsioonidega (nlm kirjelduvaid seisundeid nimetatakse elektronorbitaalideks (aatomorbitaalideks) ja neid iseloomustavad järgmised kvantarvud: peakvantarv (n), orbitaalne (l) ja asimutaalne (magnet-) (m) kvantarvud:

tulemus

ülaltoodud

/

)

1

)

/

exp(

1

2

/

1

(

)

1

2

/

1

(

)

1

(

2

/

)

1

(

2

/

)

(

)

1

(

1

))

/

exp(

(

)

/

exp(

)

2

/

1

(

0

0

0

0

=

=

-

+

=

-

+

=

=

-

+

=

=

-

+

=

=

-

=

Þ

=

-

=

µ

-

µ

+

=

å

å

å

å

¥

=

¥

=

¥

=

¥

=

dT

dU

C

T

k

h

h

q

q

h

q

dq

d

q

q

h

h

nq

q

h

h

E

p

T

U

q

q

p

p

T

k

h

q

q

T

k

E

p

n

h

E

B

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

B

n

B

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n =  1, 2, 3, .....

l = 0, 1, ..., n-1

m = -l, -l+1, ...., l-1, l

Aatomorbitaalide tähistamiseks kasutatakse kirjaviisi

ns (l = 0), np(l = 1), nd (l = 2), nf (l = 3), ...

Miks neid kvantarve on kolm? (vrdl. seisulained kastis). Kõdumine (degeneration, Käämbre - kidumine): energia sõltub ainult peakvantarvust. See on kulonilise potentsiaali eriomadus, suvalise sfääriliselt sümmeetrilise potentsiaali korral sõltub energia nii peakvantarvust n kui ka orbitaalsest kvantarvust l (vt. tuuma kihtmudel, jellium). Klassikaline analoog: taevakehade suletud (stabiilsed elliptilised) orbiidid gravitatsiooniväljas. Loeme kokku: peakvantarvu mingil kindlal väärtusel n saab moodustada n2 kvantarvude l,m erinevat komplekti (erinevat kvantseisundit). Kõigile neile vastab sama omaenergia väärtus (): vastav energianivoo on n2-kordselt kõdunud.

Põhiseisundi lainefunktsioon

(

)

(

)

0

3

0

100

exp

1

a

r

a

-

=

p

y

r

- see on ainus kõdumata seisund.

Taoline eksponentsiaalne sõltuvus (kahanemine) kaugusest ilmneb paljudes muudeski füüsikalistes situatsioonides (meenutame Yukawa potentsiaali) ja kannab üldiselt lokalisatsiooni nimetust. Lokalisatsiooni puhul tuleb sisse karakteerne ruumimõõde – lokalisatsiooni raadius. Antud juhul on selleks Bohri raadius a0.

Elektroni spinni tõttu iseloomustab kvantolekuid vesiniku aatomis veel üks kvantarv: spinni projektsioon s = (1/2. Meie lähenduses ei sõltu nivoo energia ka sellest suurusest ja seega on kõdumise täielik kordsus N = 2n2.

Vesiniku aatomi analoogid:

defektiga seotud elektron tahkises ((0(((0),

mesoaatomid (me( m( ( 200me): D-T mesomolekul: tuumasünteesi müüonkatalüüs. Elmar Vesman.

Sfääriliselt sümmeetriline aga mittekuloniline potentsiaal: tuuma kihtmudel, jellium.

Elementide perioodiline süsteem [4,5].

Elektronkatete täitumine. Maagilised arvud: N = 2n2 ( 2, 10, 28, 60, 110, ... Tegelik täitumine päris nii ei käi: väärisgaasid: Z = 2 (He), 10 (Ne) [1s22s22p6], 18 (Ar), 36 (Kr), 54 (Xe), 86 (Rn), 118 (Uuo). [Viide] Paljuelektroonsetes aatomites sõltuvad energiad ka orbitaalkvantarvust l. Energeetiline järjestus: 1s < 2s < 2p < 3s < 3p <4s < 3d <4p < 5s < 4d < 5p < 6s < 4f < 5d < 6p < 7s < 5f < 6d < 7p < 8s ... Ee lmentide perioodiline süsteem: vesinikust ununoktiumini. 115 identifitseeritud keemilist elementi: Z = 1...118, puuduvad (?) 113, 115, 117. [Viide: elektrontermide täitumine] Kõige kõrgem ionisatsioonipotentsiaal: He: - 24.59 eV.

Keemiline side

Kovalentne side.

Vesiniku molekul, H2 : kaks ((1/2 spinniga) elektroni (valentselektronid) kahte tuuma haaraval orbitaalil. Kovalentne side on suunatud ja küllastuv: aatomid saavad anda vaid suhteliselt piiratud arvu kovalentseid sidemeid (vrdl. ioonsete ja van der Waalsi jõududega). Valents: C(süsinik)=4. Seoseenergia. C-C side: 350 kJ/mol = 3,6 eV. Homopolaarne ja heteropolaarne side.

Kaheaatomilised molekulid. Laengute jaotus molekulis. Mittepolaarsed ja polaarsed molekulid (nt. N2 ja CO). Molekulaarsed diipolmomendid (1 Debye = 3,336(10-30 C(m). Multipoolsed interaktsioonid. Kvadrupolmoment. Laengutiheduse jaotus. CDW - laengulaine.

Polümeerid on makromolekulaarsed ained, mille molekulid koosnevad lihtsatest korduvatest osadest (kr. k. poly – palju, meros – palju; termin – Berzelius 1833 ), nn. meeridest. Tinglikult loetakse makromolekulideks molekule molekulaarmassiga > 1000. Polümeersed molekulid tekkivad polümerisatsioonireaktsiooni käigus, kus väikeste lähtemolekulide – monomeeride - vahel kujunevad kovalentsed sidemed. Polümerisatsiooniaste - monomeersete ühikute arv.

Klassifikatsioon sidususe (topoloogia) alusel: lineaarsed, tsüklilised, hargnenud (täht-tüüpi, kamm-tüüpi, puu-tüüpi, dendrimeer), ristseotud polümeerid.

Lineaarsed polümeerid

Homopolümeerid: -A-A-A-A-A-

Kopolümeerid (saadud kahest või enamast monomeerist):

korrapärased: vahelduvad: -A-B-A-B-A-B-A-B- ja perioodilised: -A-A-A-B-B-A-A-A-B-B-A-A-A-B-B

juhuslikud (aperioodilised): monomeersete ühikute vaheldumine juhuslik

Polüetüleen (-CH2-CH2-)n , teflon (-CF2-CF2-)n, polüstürool (-CH2-CHR-)n ,R=C6H5.

Ioonid ja ioonsed jõud.

Elektronafiinsus: aatomi energia muut ühe elektroni lisamisel.

Na(2,8,1) + F(2,7) (Na+(2,8) + F-(2,8) (neooni elektronkonfiguratsioon)

Metallid: (juhtivus)elektronide kollektiviseerumine.

Vesinikside (O-H(((O, O-H(((N jt: (0.1 eV). Vesi. Biosstruktuurid (proteiinid, folding).

Van der Waalsi jõud (Londoni interaktsioon, indutseeritud diipol-diipolinteraktsioon): ( R-6. Lennard-Jones’i potentsiaal (valem, parameetrite tähendus)

(

)

(

)

(

)

[

]

6

0

12

0

0

/

2

/

R

R

R

R

U

R

U

-

=

R0 – tasakaaluline vahekaugus, U0 (-h(0/2) – dissotsiatsioonienergia.

Casimiri efekt. Adhesioon. Klastrid. Maagilised arvud (vrdl. kvantarvud): väärisgaasid (7, 13, 19, 23, 55, … geomeetrilised) ja metallid (8, 20, 34, 40, 58 – elektroonsed – vabade elektronide arv klastris).

Harjutustund 1

Ülesanded (loengud 1-3)

1. Energiaühikute teisendamine.a) Millisel temperatuuril katkevad vesiniksidemed?b) Kas nähtava valguse kvandid suudavad purustada C-C kovalentse sideme?

2. Kvantmehaanika

a) Osake liigub 2D potentsiaali väljas, mis ühes sihis on paraboolne [U(x) = ax2] ja ristsihis lõpmata kõrgete “seintega” potentsiaalikast laiusega L. Kui suur on osakese mass, kui esimene ergastatud seisund on 2x kõdunud?

3. Aatoma) Ergastamise tulemusena viiakse vesiniku aatomid põhiseisundist seisundisse, milles kvantarv n = 3. Milliste lainepikkustega spektrijooned tekivad aatomite siirdumisel nimetatud ergastatud seisundist põhiseisundisse?

b) Arvutada He+ spektris lainepikkus, mis vastab elektroni siirdele 3. ringorbiidilt 2. ringorbiidile (Bohri mudelis).

c) Z-1 kordselt ioniseeritud aatomi spektris kõige lühema lainepikkusega spektrijoon vastab valguskvandi energiale 65,28 keV. Mis elemendiga on tegemist? (Mendelejevi tabel)d) Kui suur oleks mesoaine (aine, kus elektrone asendavad müüonid) tihedus? Müüoni mass mμ = 208me.

4. MolekulidAatomite vastastikmõju potentsiaalset energiat kaheaatomilises molekulis kirjeldab Lennard-Jonesi potentsiaal

(

)

(

)

(

)

[

]

6

0

12

0

0

/

2

/

R

R

R

R

U

R

U

-

=

,

kus R on aatomite vaheline kaugus.a) Milline on tasakaaluline kaugus aatomite vahel?b) Milline on seal molekuli energia? (klassikalise teooria järgi)c) Millisel kaugusel mõjub aatomite vahel tugevaim tõmbejõud?

d) Kui suur see on?

e) Milline on aatomite (väikese amplituudiga) võnkumise sagedus?

f) Osakesele on täiendavalt rakendatud väike jõud F, mis ei sõltu koordinaadist. Milline on tasakaaluasend?

g) Punkt b) kvantteooria järgih) Kui suur on dissotsioonienergia?

Loeng 4

Gaasid ja plasmaVaakuum. Gaasid. Gaaside kineetiline teooria. Kiiruste jaotus. Molekulide põrked. Vaba tee pikkus. Ühe- ja mitmeaatomiliste gaaside erisoojus. Plasma.

Tihedus: aine ruumiühiku mass või osakeste arv ruumiühikus.

( = M/V (n = N/V)

Gaas ja plasma: minimaalset tihedust ei eksisteeri (näide: aine tihedus tähtedevahelises ruumis - 106 m-3).

Laboratoorne vaakuum

Madalvaakuum:3(1016...3(1019 m-3

Keskvaakuum:

3(1014...3(1016 m-3

Kõrgvaakuum:

3(10 11...3(1013 m-3

Ultravaakuum:

< 3(1010 m-3

Avogadro arv NA = 6,0247(1026 kmol-1.

Gaaside tihedus normaaltingimustel n = 2,69(1022 m-3.

Gaaside kineetiline teooria

· molekulide arv on suur, aga nende vahemaad on suured võrreldes molekuli mõõtmetega.

· molekulid liiguvad juhuslikult muutumatu kiiruste jaotusega

· molekulide vahel ja molekulide ning anuma seinte vahel toimuvad elastsed põrked, kuid ei mõju muid jõude

· molekulide dünaamika allub klassikalistele Newtoni seadustele

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/ktcon.html

Molekulide kiiruste jaotus

Maxwelli jaotus

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/kintem.html#c3

Tuletus Boltzmanni jaotusest

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/molke.html

Rõhk anuma seintele (tuletus)

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/kinthe.html#c2

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/kinthe.html#c3

Ideaalse gaasi seadus

PV = nRT = NkBT,

kus P on rõhk, V ruumala, n moolide arv, R unversaalne gaasikonstant (8.314472 J·K‑1·mol-1), N molekulide arv, kB Boltzmanni constant, T – temperatuur.

Vaba tee pikkus (tuletus)

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/menfre.html

Kui molekuli läbimõõt on 10x väiksem molekulide keskmisest vahekaugusest, siis on vaba tee pikkus 10x suurem molekulide keskmisest vahekaugusest. Vaba tee pikkusest suurematel vahemaadel ja aegadel, mis on suuremad keskmisest põrgete vahelisest ajast, on osakese liikumine gaasis difusiivne (juhuslik ekslemine).

Ühe- ja mitmeaatomiliste gaaside erisoojus (sõltub vabadusastmete arvust)

CV = (3/2)R = (3/2)NAk(1-aatomiline)

CV = (5/2)R = (5/2)NAk(2-aatomiline)

CV = (6/2)R = (6/2)NAk(3- ja enamaatomiline)

R = 8.314472 J·K-1·mol-1 - universaalne gaasikonstant

Plasma on elektriliselt laetud osakeste (ioonid + elektronid) kogum, mikrodünaamika erinevuse gaaside omast põhjustab suhteliselt suure mõjuraadiusega kuloniline jõud osakeste vahel. Võrreldes gaasidega on olulise tähtsusega väikesed hajumisnurgad. Suuremas ruumalas on plasma (harilikult) elektriliselt neutraalne

http://en.wikipedia.org/wiki/Plasma_(physics)

Loeng 5

Molekulide ja tahkiste sümmeetria.Sümmeetriateisendused. Sümmeetriarühm. Näited: tsükliline ja N elemendi permutatsioonide rühm. Pidevad ja diskreetsed sümmeetriad. Nihkesümmeetria. Pöördesümmeetria, sümmeetriatelg. Korrapäraste hulktahukate sümmeetriad. Näited molekulide sümmeetriast. Peegelsümmeetria. Peegelsümmeetria looduses. Kiraalsed molekulid. Mitteruumilised sümmeetriad.

Sümmeetriaomadused on atomaarsete-molekulaarsete objektide (molekulid, kristallid jt) äärmiselt olulise tähtsusega, võimaldades suuresti lihtsustada nende kirjeldamist.

Sümmeetriateisendus on objekti transformatsioon, mille tulemusel see teiseneb iseendaks.

Sümmeetriarühm G on sümmeetriateisenduste gi kogum, mis rahuldab tingimusi

suletus: kui g1, g2 ( G, siis ka g3 = g2g1( G (g2g1 on teisenduste järjestikuse rakendamise tulemus);

assotsiatiivsus: (g1g2)g3 = g1(g2g3);

ühikteisenduse (identsusteisenduse) I ( G olemasolu:

iga g ( G korral Ig = gI;

pöördelemendi olemasolu: iga g ( G korral leidub g -1 ( G, niiet

g -1g = gg -1 =I

Samas ei pruugi rühm üldjuhul olla kommutatiivne, st üldjuhul g2g1 ( g1g2 (teisenduste järjestikuse rakendamise tulemus võib sõltuda järjekorrast).

Tsükliline rühm ZN: 1(2(3(...(N(1

N elemendi permutatsioonide rühm PN – N elemendi erinevad järjestused

“Korrutustabel” (Z2)

0

1

0

0

1

1

1

0

Pidevad sümmeetriad: sümmeetriateisendused on pidevad funktsioonid mingitest reaalarvulistest parameetritetest. Näide: ruumi pöörded.

Diskreetsed sümmeetriad: sümmeetriateisnduste hulk on lõplik või loenduv (vastavusse seatav naturaalarvude hulgaga).

Nihkesümmeetria: sümmeetriateisendus on määratud nihkevektoriga (komponentide arv = ruumi dimensioon).

Pöördesümmeetria: sümmeetriateisendus on määratud pöördetelje (sümmeetriatelje) ja pöördenurgaga (.

Sümmeetriatelje järk: maksimaalne n , mille korral pööre nurga ( = 2(/n võrra selle telje ümber on sümmeetriateisendus.

Korrapärased hulktahukad ja nende sümmeetriad:

tetraeeder (4 tahku, 6 serva, 4 tippu), kuup (6 tahku, 12 serva, 8 tippu), oktaeeder (8 tahku, 12 serva, 6 tippu), dodekaeeder (12 tahku, 30 serva, 20 tippu), ikosaeeder (20 tahku, 30 serva, 12 tippu)

Molekulide sümmeetriateljed: benseen

Peegelsümmeetria: sümmeetria ruumi peegelduse suhtes. Kiraalsus ("käelisus" (kr. ”cheir” - käsi): kiraalsed objektid ei ole sümmeetrilised ruumi peegelduste suhtes (näide: vasak ja parem käsi).

Sümmeetriatasand: tasand, mille suhtes peegeldamine on sümmeetriateisendus.

Molekulide kiraalsus: milline on maksimaalne aatomite arv molekulis, mille korral molekul ei saa olla kiraalne? (3)

Enantiomeerid: kiraalsete molekulide peegelteisendid.

Ratsemaatide (enantiomeeride segu) kristallisatsioon. Louis Pastuer (1848-1853): ratsemaatse Na-ammoonium tartraadi kristalliseerimisel tekkisid kahte tüüpi kristallid (peegelteisendid). (+)/(-) = d (dextrorsum – paremale: päripäeva valguse levisuunale vastu vaadates) / l(laevus – vasak: vastupäeva valguse levisuunale vastu vaadates), (() – ratsemaat, S (sinister - vasakul)/R (rectus-otse, õieti) – stereokeemilistest konventsioonides (Cahn-Ingold-Prelog nomenklatuur). Varasemat D/L konventsiooni kasutatakse veel traditsiooniliselt aminohapete ja suhkrute jaoks. Optilised omadused – valguse polarisatsioonitasandi pöördumine (ei vasta R-S klassifikatsioonile). Kiraalsed lõhnad: limoneen (R-(+): apelsin, S-(-): sidrun). Biomolekulide sümmeetria. Aminohapped esinevad vaid ühe enantiomeerina (v.a. kõige väiksem - glütsiin). Paarsuse rikkumine nõrga vasatasmõju protsessides ( imeväikene energeetiline eelis L-aminohapetele ja D-suhkrutele, võimendatud üles bioloogilise evolutsiooni käigus (?). Aminohapete kiraalne selektsioon (separeerumine) mõnede mineraalide (nt. kaltsiit) pindadel (?). Homokiraalsete peptiidide replikatsioon: heterokiraalsed (ühe defektiga) peptiidid ei paljune – enamgi veel – parandavad defekti (?).

Mitteruumilised sümmeetriad: sümmeetriateisendused ei ole seotud ruumiteisendustega (nt elektrilaengu märgi muutus).

Loeng 6

KristallvõredKristallvõre ja baas. Elementaarrakk ja selle ruumala. Kokkuleppeline rakk. Võrekonstandid. Kristallvõrede sümmeetriad. Bravais võred (3D). Kuubilised võred. Kristalliklassid ja süngooniad. Suunad ja tasandid kristallides. Isotroopia ja anisotroopia.

Kristalli nihkerühm T {a = n1a1 + n2a2+ n3a3, n1, n2, n3 - täisarvud}: nihked vektorite a võrra teisendavad kristalli iseendaks. Nihkevektoreid a1, a2, a3 nimetatakse primitiivseteks, kui nende kaudu on esitatavad kõik kristalli nihkesümmeetriateisendused (seda eeldame edasises). Primitiivsetele vektoritele a1, a2, a3 ehitatud rööptahukat nimetatakse kristalli elementaarrakuks (primitiivseks rakuks). Eksiteerivad erinevad võimalused vektorite a1, a2, a3, st. elementaarraku, valikuks – kõikide taoliste rakkude ruumalad on aga võrdsed (2D näited).

Kokkuleppeline rakk: suurem kui elementaarrakk, kasutatakse kristalli sümmeetria esiletoomiseks.

Elementaarraku ruumala =

= (kokkuleppelise raku ruumala) / (võresõlmede arv kokkuleppelises rakus)

Kristallvõre (Bravais’ võre): punktide {a = n1a1 + n2a2+ n3a3, n1, n2, n3 - täisarvud} – võre sõlmede – kogum. Bravais’ võre on geomeetriline konstruktsioon füüsiliste aatomite asukohtade kirjeldamiseks kristallis. Bravais’ võre sõlmed võivad aga ei pea kokku langema füüsiliste aatomite asukohtadega rj = xja1 + yja2+ zja3, 0 (xj , yj , zj( 1

Võrekonstandid: |a1| = a, |a2| = b, |a3| = c (1, 2 või 3 erinevat väärtust).

Kristallstruktuur = kristallvõre + aatomite asendid elementaarrakus (baas)

Punktsümmeetria: sümmeetriateisenduste hulk, mis jätab ruumis ühe punkti paigale.

Kristallis saavad nihkesümmeetria tõttu eksisteerida vaid 2, 3, 4 ja 6 järku sümmeetriateljed. (tõestus)

Süngoonia (kristallsüsteem): Bravais’ võre (punkt)sümmeetria (kokku on 7 erinevat süngooniat, mida iseloomustavad erinevad punktsümmeetria rühmad).

Erinevaid 3D Bravais võresid on kokku 14. Sama süngoonia piires eristuvad Bravais võred võresõlmede asendite poolest: primitiivsed (P, võresõlmed vaid kokkuleppelise raku tippudes), ruumkeskendatud (I, lisaks võresõlm kokkuleppelise ), tahkkeskendatud (F) ja baaskeskendatud (B) võred.

Süngooniad ja Bravais’ võred (3D)

Kristallsüsteem

(süngoonia)

Iseloomulikud

sümmeetriaelemendid

Bravais’ võre

tüüp

Kokkuleppeline (Bravais’) rakk

Kuubiline (Oh)

Neli 3-järku telge piki a+b+c,‑a+b+c, a-b+c, a+b-c (kuubi ruumilised diagonaalid)

- kõige kõrgema sümmeetriaga

võre

Primitiivne kuubiline (sc)

CsCl

a = b = c

= = = 90(

Ruumkeskendatud kuubiline (bcc)

a = b = c

= = = 90(

Tahkkeskendatud kuubiline (fcc)

NaCl

a = b = c

= = = 90(

Ortogonaalne (D2h)

Kolm vastastikku ristuvat 2-järku (peegelpöörde) telge piki a, b ja c

Primitiivne ortogonaalne

a ( b ( c

= = = 90(

Ruumkeskendatud ortogonaalne

a ( b ( c

= = = 90(

Baaskeskendatud ortogonaalne

a ( b ( c

= = = 90(

Tahkkeskendatud ortogonaalne

a ( b ( c

= = = 90(

Tetragonaalne (D4h)

(kvadraatne)

Üks 4-järku (peegelpöörde) telg piki c

Primitiivne tetragonaalne

a = b ( c

= = = 90(

Ruumkeskendatud tetragonaalne

a = b ( c

= = = 90(

Monokliinne (C2h)

Üks 2-järku (peegelpöörde) telg piki b

Primitiivne monokliinne

a ( b ( c

= = 90(,

( 90(

Baaskeskendatud monokliinne

a ( b ( c

= = 90(,

( 90(

Heksagonaalne (D6h)

Üks 6-järku

(peegelpöörde) telg

Heksagonaalne

üks rakk

kolm rakku

a = b ( c

= = 90(,

= 120(

Trigonaalne (D3h)

(romboeedriline)

Trigonaalne

a = b = c

= = ( 90(

Trikliinne (S2)

Samasus (inversioon)

- kõige madalama sümmeetriagavõre

Trikliinne

a ( b ( c

( ( ( 90(

Isotroopia: suundade võrdväärsus.

Anisotroopia: omaduste suunasõltuvus

Üldjuhul on kristallid anisotroopsed – nende omadused on erinevates suundades –erinevates tasandites erinevad. Näiteks: kristallid lõhestuvad harilikult mööda tasandeid, kus aatomite tihedus on suur (põhjendus).

Suunad kristallis

Kristalli suunaindeksid [klm] – Milleri indeksid:

· valime koordinaadistiku alguspunktist mõne võresõlmes ja telgedeks võrevektorid

· väljendame suuna sihivektori koordinaadid võrekonstantide kordsetena.

· leiame nendele suurustele vastavad (minimaalsed) täisarvud k, l ja m, mille vahel on samasugused suhted.

Tasandid kristallis

Kristallitasandi indeksid (klm):

· valime koordinaadistiku alguspunktist mõne võresõlmes ja telgedeks võrevektorid

· väljendame tasandi lõikepunktide kaugused koordinaadistiku alguspunktist võrekonstantide kordsetena.

· leiame nende suuruste pöördväärtused ja neile vastavad (minimaalsed) täisarvud k, l ja m, mille vahel on samasugused suhted

Negatiivset koordinaati tähistatakse kriipsuga vastava indeksi kohal

Kuubilises kristallis on suund [klm] risti tasandiga (klm)

Ruumirühm G (230): T + K + kruvipöörded ja liugpeegeldused

Kristallide makrosümmeetria: suundade sümmeetria

Kristalliklass H (32): kristalli makroskoopilise punktsümmeetria rühm. Hõlmab ka ka kruvipööretes ja liugpeegeldustes sisalduvaid pöördeid ja peegeldusi, mis iseseisvalt pole ruumirühma G elementideks.

Kirjandus:C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Seventh Edition, J.Wiley & Sons, 1996. Chapter 1: Crystal Structure

Harjutustund 2

Ülesanded (loengud 4-6)

1. Kristallide struktuur ja tihedus

1. NaCl võres on lähimate Na ioonide vahekaugus 3,98 Å. Leida

1. Kaugus antud Na ioonist järgmiste lähimate Na ioonideni (st suurem kui 3,98 Å).

2. Na ja Cl ioonide vähim vahekaugus.

3. NaCl ühikraku (NB! mitte kokkuleppelise raku) ruumala.

4. NaCl tihedus.

Aatommassid: Na – 23,0 amu, Cl – 35,5 amu (aatommassiühik 1 amu = 1,6605402(10-27 kg = 931,5 MeV = 1/12 süsiniku isotoobi 12C tuumamassist)

2. Sfäärikujulised osakesed on pakkunud kuubilisse võresse maksimaalse tihedusega (st et naaberosakesed on kokkupuutes). Milline on pakendi tihedus (osakeste poolt täidetud suhteline ruumiosa), kui võre on

1. Primitiivne. 2. Ruumkeskendatud3. Tahkkeskendatud.

Milline on nende pakendite korral kontaktarv – ühe osakesega puutes olevate osakeste arv? Milline on sfääriliste osakeste maksimaalne läbimõõt, mida sellisesse pakendisse veel lisada annab?

2. Tasandid ja suunad kristallvõres1. Ühtigu NaCl võres koordinaatide alguspunkt Na-iooni asukohaga ja olgu koordinaatteljed suunatud piki kokkulepelise raku telgi. Leida kristallograafilise tasandi Milleri indeksid, millel asetsevad 1., 2. ja 3. Na-ioon (piki vastavaid telgi koordinaatide alguspunktist arvates). Milline on selle tasandi kaugus samade Milleri indeksitega tasandist, mis läbib koordinaatide alguspunkti?

2. Millised tasandid kuubilises kristallis on risti tasandiga, mille Milleri indeksid on (101)?

1. (111)2. (010)3. (10

1

)4. (11

1

)5. (

1

EMBED Equation.3

1

EMBED Equation.3

1

)

3. Wigner-Seitzi rakk ja selle konstrueerimineWS-rakk on kristallvõres ruumiosa, mille lõikavad antud võresõlme ümber välja seda sõlme naabersõlmedega ühendavate sirglõikude keskristtasandid.

Konstrueerida 2D Bravais võrede Wigner-Seitzi rakud

Loeng 7

Reaalsed kristallidKovalentsed kristallid. Süsinikstruktuurid. Silikaadid. Ioonkristallid. Metallid. Molekulaarkristallid (van der Waalsi kristallid). Kanalid ja õõnsused kristallides.

Kovalentsetes kristallides on kristalli moodustavad aatomid seotud tugevate kovalentsete sidemetega (“supermolekul”). Näide: teemant

Teemandi (C) struktuur (fcc)

Tahkkeskendatud kuubilisse võresse on kujundatud neli tetraeedrit, mille tsentrites olevad süsiniku aatomid on kovalentselt seotud tetraeedrite tippudes olevatega. Elementaarrakus on 2 mitteekvivalentset süsinuku aatomit (0,0,0) ja (¼, ¼, ¼). Sama tüüpi võre veel nt ränil (Si) ja germaaniumil (Ge).

http://www.uwgb.edu/dutchs/petrolgy/Diamond%20Structure.HTM

Grafiidi struktuur (heksagonaalne võre) – koosneb kovalentselt seotud tasanditest, mille vahel on nõrga van der Waalsi jõud

Ioonkristallid koosnevad erinimeliselt laetud ioonidest (+ laenguga katioonid ja – laenguga anioonid). Näide: keedusool (NaCl) – fcc võre.

Silikaadid koosnevad (SiO4)4- teraeedritest, mis võivad olla ühendatud tippe, külgi või tahke pidi, aniooni laengu tasakaalustamiseks sisaldavad erinevaid katioone (nt Al3+ - alumosilikaadid: savimineraalid).

Metallid (kollektiviseerunud juhtivuselektronid)

Ruumkeskendatud kuubiline (bcc): raud (Fe), kroom (Cr), volfram (W)

Tahkkeskendatud kuubiline (fcc): kuld (Au) – ABC

Heksagonaalne tihkpakendatud (hcp): tsink (Zn) – ABA

Väga vähesed metallid (nt (-poloonium) on pakendatud primitiivses kuubilises (sc) võres

Molekulaarkristallid püsivad koos tänu van der Waalsi jõudude mõjul.

Näide: antratseen

Ka väärisgaaside kristallid on van der Waalsi kristallid

Kanalid ja õõnsused kristallides

Tseoliidid: alumosilikaathüdraadid mitmesuguste katioonide (Na+, K+, Ca2+, Mg2+ jt) manulusel, nt Na2Al2Si3O10-2H2O (natroliit).

Kirjandus:

1. C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Seventh Edition, J.Wiley & Sons, 1996. Chapter 1: Crystal Structure.

2. The Structure of Crystals

Loeng 8

Defektid, kord ja kaos kristallides.Punktdefektid: vakantsid, interstitsiaalid, võõraatomid. Asenduskorratus kristallides. Joondefektid: vint- ja servdislokatsioonid. Burgersi vektor. Dislokatsioonid pideva keskkonna lähenduses. Kristalli pind. Kristalli tahkude geomeetria.

Crystals are like people – it is the defects that make them interesting!

Defektidest saab rääkida vaid mingi ideaalse struktuuri taustal, siin on selleks kindlate sümmeetriaomadustega ideaalne kristallvõre. Defektse süsteemi omaduste kirjeldamise (mitte liiga kõrgetel defektide kontsentratsioonidel) teeb sageli lihtsaks aditiivsus: defektse süsteemi omadused on leitavad üksikute defektide mõjude summeerimisel. Näide: lisanditega seotud optilise neeldumise spekter.

Mis sõltub ja mis ei sõltu defektidest?

Defektide tüübist ja kontsentratsioonist (A) võivad oluliselt sõltuda: aine värvus, eritakistus, tugevus (omadused, millel võib olla suur rakenduslik tähtsus), (B) sõltub vähe nt tihedus.

Lisandid ja omadefektid (struktuursed defektid).

Lisandid on teiste keemiliste elementide või ühendite aatomid, ioonid või molekulid kristallvõret moodustavate põhiosakeste hulgas.

Probleem. Kuld prooviga 990 sisaldab väikeses osas vaske, mille aatomid asendavad kulla aatomeid kulla kristallvõres. Kui suur on nende kulla aatomite suhteline kontsentratsioon, millel pole ühtegi vase lähinaabrit? Asendusenergiate erinevusi pole vaja arvestada. Aatommassid: Au - 197, Cu – 63,5.

Omadefektid on rohkem või vähem lokaliseeritud piirkonnad, kus on rikutud (ideaalse) kristallvõre struktuur.

Defektide dimensionaalne (topoloogiline) liigitus: punktdefektid, joondefektid, pinnad

Punktdefektid: vakantsid ja interstitsiaalid.

Vakants on tühik kristallvõres (osakese puudumine positsioonis, kus ta ideaalses võres peaks asetsema).

F-tsenter on negatiivse iooni vakantsi ja elektroni seotud süsteem kristallis (F = Farbe). Lokaliseeritud elektronseisundid: vesiniku aatomi mudeli rakendus.

Interstitsiaal on kristallvõre ”vahepealses” (mitteregulaarses) positsioonis asetsev põhi- või võõraatom.

Võnkumiste lokalisatsioon: kerge lisandiaatomiga seotud piiratud ruumilise ulatusega kristallvõre võnkumine. Taolise võnkumise sagedus on suurem kui põhivõre võnkumise piirsagedus (Debye sagedus) ja ta amplituud kahaneb kiiresti (eksponentsiaalselt) kaugusega defektist (kergest aatomist).

Difusiooni efektiivsus tahkistes sõltub oluliselt vakantside kontsentratsioonist.

Joondefektid.

Dislokatsioonid (serv‑, vint-). Pideva keskkonna lähendus. Burgersi vektor – sulgeb defektses kristallis dilokatsiooni telge ümbritseva tee, mis oleks suletud ideaalses kristallis. Vintdislokatsioonidel (vasakpoolne joonis all) on Burgersi vektor paralleelne dislokatsiooni teljega, servdislokatsioonidel risti (parempoolne joonis all). Vintdislokatsioonid on sageli seotud kristalli kasvamisega, mida võib kujutada vintpinna moodustumisena ümber dislokatsiooni telje. Disklinatsioonid: klaaside disklinatsioonmudel.

Pinnad.

God created the solids, the devil their surfaces!

Tahkiste pind on reaalsetes kristallides alati esinev defekt, muutub aga eriti oluliseks nanokristallide korral, kus pindkihis olevad osakesed moodustavad olulise osa osakeste koguarvust. Pinnaga seotud füüsikalised efektid:

(1) pindkihi osakeste kaugus teise kihi osakestest on väiksem kui regulaarne võrekonstant,

(2) pindseisundid (nt. elektronseisundid - pinnaplasmonid), mille amplituud pinnast eemaldumisel kiiresti kahaneb (nt kulla nanokristallid rubiinklaasis),

(3) pinna rekonstruktsioon, sh. superstruktuuride moodustumine kristalli pindkihis (all vasakul: ränikristalli ”ideaalne” pind, paremal: sama pinna STM kujutis, nn. 7x7 rekonstruktsioon / pildid: http://nanowiz.tripod.com/sisteps/si111.htm).

INCLUDEPICTURE "http://nanowiz.tripod.com/sisteps/7X7_3D.JPG" \* MERGEFORMATINET

Doomenid – (mono)kristalli piirkonnad, mis erinevad mingi füüsikalise omaduse (struktuur, magnetmomendi või elektrilise diipolmomendi suund, nt) poolest. Doomensein – doomenite lahutuspind

Loeng 9

Molekulide ja kristallide võnkumised.Molekulide võnkumised. 1D kristalli pikivõnkumised. Üheaatomiline kristall. Disperisooniseos ja Brillouini tsoon. Võnkeseisundite tihedus. Kaheaatomiline kristall: optilised ja akustilised moodid. 3D kristalli võnkumised. Kristallide soojusmahtuvus: Dulong-Petit seadus, Einsteini ja Debye mudelid. Foononid. Soojusjuhtivus. Soojuspaisumine.

1-aatomilise molekuli vabadusastmed:  3 (kulgliikumine).

2-aatomilise molekuli vabadusastmed: 6 = 3 (kulgliikumine) + 2 (pöördliikumine) + 1 (sisevõnkumine).

N-aatomilise molekuli (N >2) vabadusastmed: 3N = 3 (kulgliikumine) + 3 (pöördliikumine) + 3N-6 (sisevõnkumised).

3N-6 vabadusastmega harmoonilise (jõud lineaarses sõltuvuses nihetest) süsteemi suvalised liikumised on esitatavad 3N-6 võnkumise (omavõnkumise, võnkemoodi) superpositsioonina. Omavõnkumiste sagedused on üldjuhul kõik erinevad, võivad aga sümmeetria tõttu kokku langeda (kõdumine).

Molekulide sisevõnkumised [vesinik, vesi, benseen]. Venitus- (streching) ja painde(bending)moodid: kumba sagedused on suuremad? Võnkesagedus LJ-potentsiaalist

1

0

0

2

6

/

-

=

=

R

m

U

m

k

w

1D võre (elastse ahela) pikivõnkumised (osakeste mass m, ”vedrude” jäikus K).

(

)

[

]

1

,...,

0

)

/

)(

/

2

(

2

used)

ääretingim

ed

(tsüklilis

,

,...,

1

,

)

(

exp

kujul

laine

se

harmoonili

lahendit

Otsime

2

rrandid

Liikumisvõ

0

1

0

1

0

0

0

1

1

2

2

-

=

=

Þ

=

º

=

=

-

+

=

-

-

-

=

+

+

-

N

j

N

j

a

k

j

kNa

x

x

N

n

an

x

kx

t

i

x

x

x

x

x

x

K

dt

x

d

m

N

n

n

k

n

n

n

n

n

n

p

p

w

d

m

K

a

v

k

m

K

a

m

K

ka

ka

m

K

k

D

D

k

=

Þ

»

=

=

=

levikiirus

helilaine

)

sagedustel

(väikestel

stel

lainepikku

Suurtel

2

2

sin

2

sin

2

w

w

w

w

sagedus

Debye

Seos ( = ((k) kannab dispersioonseose nimetust, so võnkesageduse sõltuvus lainevektorist (lainearvust). Paneme tähele, et kaks võnkumist, mille korral

k1 = k2 + 2(/a, on identsed, seeõttu on piisav vaadelda vaid lainearvude vahemikku ‑(/a < k < (/a, mida nimetatakse Brillouini (esimeseks) tsooniks.

Võnkeseisundite tihedus

const

d

dn

D

»

-

µ

2

2

1

w

w

w

Seisundite tihedus 1D ahelas dn/d( ( const. väikestel sagedustel. Pideva keskkonna lähendus ja helilained: ( = vk, kus k on helikiirus. Diskreetse struktuuri ilmingud: võnkumiste dispersioon, Debye sagedus.

Paljuaatomiline kristall

Mitme erineva aatomi olemasolul elementaarrakus ilmnevad akustilised (A, väikestel sagedustel võnguvad kõik aatomid elementaarrakus samas faasis, sagedus läheneb suurtel lainepikkustel nullile) ja optilised (O) võnkumised. Võnkeharu on dispersioonikõvera ühene sidus osa, 1D ahela pikivõnkumiste jaoks eksiteerib üks akustiline ja n-1 optilist võnkeharu (n – aatomite arv elementaarrrakus): 1A + (n-1)O.

3D kristall

3D võrede võnkumised: piki (L)- ja risti(T)võnkumised: 1 LA + 2 TA [((0] + (n-1) LO + 2 (n-1) TO. Võnkeseisundite tihedus 3D kristallis: dn/d( ( (2.

Soojusmahtuvus. Molaarne erisoojus C on ühe mooli aine siseenergia muutus temperatuuri ühikulisel muutusel. Diferentsiaalkujul C = dU/dT. Eristatakse isobaarset (CP, soojusvahetus konstantsel rõhul) ja isokoorset (CV, soojusvahetus konstantsel ruumalal) erisoojust, nende suuruste erinevus on tingitud isobaarsel protsessil keha paisumise (kokkutõmbumise) poolt tehtavast mehhaanilisest tööst. Üheaatomilise gaasi jaoks (CP-CV)/CV = 0,67, tahkiste jaoks on viimane suurus väike (ca. 0,01 vase jaoks 293 K juures).

Dulong-Petit’ seadus

C = 3R = 25 JK-1mol-1,

kus R on universaalne gaasikonstant (R = NAkB). Kehtib normaaltingimustel heas lähenduses paljude metallide jaoks (Al: 24,3; Cu: 24,2; Pb: 26,8 aga C(teemant): 6,24). Võrdl. Üheaatomilise gaasi jaoks CV = 3R/2. Erinevus tingitud tahkistes aatomite (molekulide) interaktsioonienergia lisandumisest kineetilisele energiale (ekvipartitsiooni printsiibi järgi sama suur).

Einstein’i mudel

Kristalli (1 mool) vaadeldakse koosnevana NA identsest ostsillaatorist sagedustega suurusjärgus ( = 1013 Hz (saab hinnata teades aine tihedust, moolmassi ja Youngi moodulit). Ostsillaatoreid käsitletakse kvantmehhaaniliselt, neid iseloomustavad diskreetsed energianivood

,...

2

,

1

,

0

),

2

/

1

(

=

+

=

n

n

h

E

n

n

Taolisest mudelist*

[

]

2

2

1

)

/

exp(

)

/

exp(

3

-

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

T

T

T

T

T

T

R

C

E

E

E

,

kus TE = h(/kB – Einsteini temperatuur. Piiril T>>TE saame Dulong-Petit seaduse, piiril T ( 0 C ( 0. See on tingitud asjaolust, et kvantostsillaatorid saavad energiat vastu võtta ainult teatud minimaalsete portsjonite (võnkekvantide kaupa). [teemandi jaoks TE ( 2000 K, mis seletab kvalitatiivselt ta väikest soojusmahtuvust toatemperatuuril]. Kristalli kindlat võnkumist, mille energia võrdub vastava võnkumise kvandiga, nimetatakse foononiks.

Debye mudel

arvestab 3D kristalli võnkeolekute tihedust (dn/d( ( (2), st. asjaolu, et erinevalt Einsteini mudelist on kristalli ostsillaatorite sagedused jaotatud nullist (lõpmatusel läheneva lainepikkusega helilained) kuni teatud maksimaalse sageduseni ( D (Debye sagedus, selle eksisteerimine on kristalli diskreetsuse ilming). Debye mudel kirjeldab kvalitatiivselt õieti erisoojuse käitumist kristallides madalatel temperatuuridel (C ( T3, Einsteini mudelis kahaneb see liialt kiiresti).

Latentne soojus – faasisiirdel vabanev (neelduv soojus). Vesi-jää: 3,34(105 J/kg.

Kalorimeetria – aine struktuurimuutuste uuring erisoojuse temperatuurisõltuvuste kaudu.

Soojusjuhtivus

Soojavoog läbi ühtlase ristlõikega katsekeha (pikkus L, ristlõige S), mille otsad on erinevatel temperatuuridel T1 ja T2:

L

S

T

T

k

dt

dQ

/

)

(

/

1

2

-

=

,

kus k – soojusjuhtivus tegur (ühikud: Wm-1K-1).

Head soojusjuhid: metallid – elektronide panus (Ag: k = 430 Wm-1K-1).

Halvad soojusjuhid: amorfsed dielektrikud (kvartsklaas: k = 1,4 Wm-1K-1)

Soojustakistus on kristalli võnkekvantide - foononite – (ka elektronide) hajumise ilming (sh. kristalli defektidelt). Soojustakistus kahaneb temperatuuri kahanemisel (safiir, 40 K, k = 6000 Wm-1K-1)

Soojuspaisumine - katsekeha mõõtmete muutus temperatuuri muutusel. On kristalli sisevõnkumiste anharmonismi ilming, ei ilmne harmoonilise (sümmeetrilise paraboolse) interaktsioonipotentsiaali korral. Lineaarne soojuspaisumistegur

T

L

L

D

D

=

1

b

omab tugevat positiivset korrelatsiooni materjali kokkusurutavusega ( (interaktsioonipotentsiaali lamedus suurendab mõlemat). Näiteks: pehmel metallil tseesiumil ( =97(10-6 K-1, ( = 500(10-12 Pa-1, teemandil ( =1,2(10-6 K-1, ( = 1,8(10-12 Pa-1. Üldiselt ( > 0 (erand: vesi 0-4 C().

Invar (Ni-teras) – väikese soojuspaisumisega materjal, soojuspaisumist kahandab temperatuuri tõusuga kaasnev struktuurimuutus.

Dilatomeetria – aine struktuurimuutuste uuring soojuspaisumise kaudu.

Kirjandus:1. C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Seventh Edition, J.Wiley & Sons, 1996. Chapter 4: Phonons I. Crystal Vibrations

Chapter 5: Phonons II. Thermal Properties

2. Physics 440: Condensed Matter Physics Vibrational Properties of the Lattice

* Einsteini soojusmahtuvuse tuletus

tulemus

ülaltoodud

/

)

1

)

/

exp(

1

2

/

1

(

)

1

2

/

1

(

)

1

(

2

/

)

1

(

2

/

)

(

)

1

(

1

))

/

exp(

(

)

/

exp(

)

2

/

1

(

0

0

0

0

=

=

-

+

=

-

+

=

=

-

+

=

=

-

+

=

=

-

=

Þ

=

-

=

µ

-

µ

+

=

å

å

å

å

¥

=

¥

=

¥

=

¥

=

dT

dU

C

T

k

h

h

q

q

h

q

dq

d

q

q

h

h

nq

q

h

h

E

p

T

U

q

q

p

p

T

k

h

q

q

T

k

E

p

n

h

E

B

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

B

n

B

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Loeng 10

ElektrongaasVaba elektroni leiulaine. Seos energia ja lainevektori vahel (dispersiooniseos). Fermi-Diraci jaotus. Fermi nivoo. Elektrongaasi panus soojusmahtuvusse. Interaktsioon ioonjääkidega ja energeetilised tsoonid. Teine lähenemine: interaktsioon lokaliseeritud seisundite vahel. Eritakistus. Tsoonide täitumine: dielektrikud, pooljuhid, metallid.

Vaba elektroni leiulaine

(

)

[

]

)

(

exp

1

,

kx

t

i

V

t

x

-

=

w

y

,

mille asendamine Schrödingeri võrrandisse annab dispersiooniseose

e

m

k

E

2

2

2

h

=

elektroni energia ja lainevektori vahel (vrdl dispersiooniseosega foononite jaoks).

Elektronsisundite tihedus 3D kristallis (”elektron potentsiaalikastis”) tuleneb disperisooniseosest ja ühtlasest jaotusest lainevektori komponentide järgi (ääretingimus: kasti servadel läheneb leiulaine nullile):

E

m

V

dE

dn

e

2

/

3

2

2

2

2

/

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

h

p

Kuna elektronid on fermionid ja alluvad Pauli keelule, saab sama ruumilise kvantarvude komplektiga olekus olla vaid kaks (erineva spinniga) elektroni, st. elektronide ansamblis on ka nulltemperatuuril täidetud kõrgema energiaga olekud.

Fermi-Diraci jaotus annab tõenäosuse, et temperatuuril T on asustatud seisund energiaga E:

)

exp(

1

1

)

(

T

k

E

E

E

f

B

F

-

+

=

Eelnevas valemis EF on Fermi energia (energia, milleni elektronnivood on täidetud nulltemperatuuril):

(

)

3

2

2

2

3

2

n

m

E

e

F

p

h

=

,

kus n=N/V on elektronide ruumiline tihedus. Fermi temperatuur TF = EF/kB

Vt. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/eedens.html#c1

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/fermi.html#c1

Fermi energiaga on määratud ka aine elektronsüsteemi iseloomustavad Fermi kiirus ja Fermi impulss:

(

)

F

e

F

e

e

F

F

v

m

p

n

m

m

E

v

=

=

=

3

1

2

3

2

p

h

Element

Fermi energiaeV

Fermi temperatuur(104 K)

Fermi kiirus(106 m/s)

Li

4.74

5.51

1.29

Na

3.24

3.77

1.07

K

2.12

2.46

0.86

Rb

1.85

2.15

0.81

Cs

1.59

1.84

0.75

Cu

7.00

8.16

1.57

Ag

5.49

6.38

1.39

Au

5.53

6.42

1.40

Be

14.3

16.6

2.25

Mg

7.08

8.23

1.58

Ca

4.69

5.44

1.28

Sr

3.93

4.57

1.18

Ba

3.64

4.23

1.13

Nb

5.32

6.18

1.37

Fe

11.1

13.0

1.98

Mn

10.9

12.7

1.96

Zn

9.47

11.0

1.83

Cd

7.47

8.68

1.62

Hg

7.13

8.29

1.58

Al

11.7

13.6

2.03

Ga

10.4

12.1

1.92

In

8.63

10.0

1.74

Tl

8.15

9.46

1.69

Sn

10.2

11.8

1.90

Pb

9.47

11.0

1.83

Bi

9.90

11.5

1.87

Sb

10.9

12.7

1.96

Temperatuuridel allpool Fermi temperatuuri käitub elektrongaas oluliselt kvantgaasina. Elektrongaasi soojusmahtuvus

F

B

2

2

E

T

k

R

C

p

=

- muutub metallides < 1 K domineerivaks võrreldes võrevõnkumistest tingitud soojusmahtuvusega, on ebaoluline kõrgematel temperatuuridel.

Energiatsoonid. Kaks lähenemist: (i) keelutsoonide teke vaba elektroni spektris interaktsiooni tõttu positiivsete aatomjääkidega; (i) erinevatel aatomitel lokaliseerunud elektronseisundite lõhestumine vastastikuse interaktsiooni toimel.

( valentstsoon, juhtivustsoon.

VtBand Theory of Solids: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/band.html#c1

Ohmi seadus

I

S

L

U

)

/

(

r

=

,

kus ( on ainet iseloomustav eritakistus. Diferentsiaalkujul

E = (i,

kus E = U/L on elektrivälja tugevus, i = I/S on voolutihedus. Eritakistus ( ja tema pöördväärtus – erijuhtivus ( on seotud laengukandjate laengu q, kontsentratsiooni n ja liikuvusega ( (triivi kiirus v ühikulise tugevusega elektriväljas E: (  =  v/E): ( = qn(.

Tsoonide täitumine

Isolaatorid (dielektrikud)

Puuduvad (praktiliselt) vabad laengukandjad (täielikult täidetud valentstsoon ja täitmata juhtivustsoon), kokkuleppeliselt ( > 108 (m. Parimad isolaatorid: teflon - ( (1016 (m. 

Juhid

Palju vabu laengukandjaid, kokkuleppeliselt ( < 10-6 (m. Metallid – laengukandjateks vabad elektronid juhtivustsoonis. Eritakistus kasvab temperatuuri kasvades. Parima (harilik) metalliline juht: hõbe - ( = 1,6(10-8 (m. 

Pooljuhid

Kokkuleppeliselt 10-6 (m < ( < 108 (m.

Väikese keelutsooni laiusega materjalid. Termilised (ka fotoindutseeritud) siirded täidetud valentstsoonist juhtivustsooni. Vabad laengukandjad: elektronid juhtuvustsoonis, augud valentstsoonis. Termiliste laengukandjate kontsentratsiooni temperatuurne sõltuvus ränis

)

/

exp(

T

k

W

n

B

-

µ

,

kus W = 0,55 eV (vrdl. teemant 7 eV) – eritakistus kahaneb kiiresti temperatuuri kasvades: ( (1000 K)/( (750 K) = 0,01.

Legeeritud pooljuhid. Doonor- ja aktseptorlisandid: seisundid keelutsoonis vastavalt juhtivustsooni põhja ja valentstsooni lae lähedal. Neljavalentses ränis on doonoriteks (elektronjuhtivus, n-juhtivus) viievalentsed P, As, Sb ja aktseptoriteks (aukjuhtivus, p-juhtivus) kolmevalentsed B, Al, Ga, In.

Kvaasivaba elektroni mudel doonorlisandite jaoks: vesniku aatom, aga ( = 12. E = E0/(2 ( 0,1 eV.

Loeng 11

Elektriväli kristallidesDielektriline polarisatsioon ja selle mehhanimid. Ferroelektrikud. Piesoelektrikud. Murdumisnäitaja ja selle dispersioon. Neeldumine. Optiline anisotroopia. Indutseeritud optiline anisotroopia – fotoelastsus. Optiline aktiivsus. Polaroidid. Peegeldumine ja hajumine. Luminestsents ja selle liigid. Luminofoorid.

Dielektriline polarisatsioon on laetud osakeste (elektronid, aatomite tuumad) ümberasetumine aines välise elektrivälja toimel. Isoleeritud katsekeha jääb taolisel juhul endiselt elektriliselt neutraalseks aga tema vastaspindadele tekkivad võrdse suurusega vastasmärgilised pindlaengud. Tulemusena indutseeritakse aines (staatilisel juhul) välisele väljale vastupidine elektriväli, mille tagajärjel summaarne väli kahaneb. See põhjustab näiteks kondensaatori mahtuvuse (C = U/Q) kasvu plaadivahe täitmisel polariseeruva keskkonnaga: C = (C0 , kus ( on aine polariseeritavust iseloomustav suurus – suhteline dielektriline läbitavus (vesi, RT: ( = 80).

Polarisatsiooni molekulaarsed mehhanismid

1) orientatsiooniline – püsivat diipolmomenti omavate molekulide ümberorienteerumine välises väljas (kõige aeglasem): vedelikes ja nn. plastilistes kristallides. Molekulide diipolmomendid. 1 Debye = 3.335641(10-30 C(m.

2) ioonne – erimärgiliste ioonide nihkumine välises väljas, põhjustab valguse neeldumist IR piirkonnas.

3) elektroonne – põhjustatud aatomite elektronkatete deformeerumisest välises elektriväljas, kõige kiirem (väiksema inertsiga) mehhanism, põhjustab valguse neeldumist nähtavas ja UV piirkonnas.

Elektretid – materjalid, milles säilub polarisatsioon ka välise väljata (nt. teflon: polariseeritakse kõrgel temperatuuril tugevas elektriväljas ja seejärel jahutatakse, oluline ka väike juhtivus – vabade laengukandjate väike kontsentratsioon).

Piesoefekt. Piesoelektrilistes kristallides tekitab mehhaaniline deformatsioon elektrilise polarisatsiooni ja vastupidi (nt. kvartskristall, rakendused: kellade stabiliseerimine, tulesüütajad - säde).

Murdumisnäitaja n

l

l

/

/

0

=

=

v

c

n

,

kus c – valguse kiirus vaakuumis, v –keskkonnas ja ( ((0) valguse lainepikkus keskkonnas (vaakuumis). Kahe erineva murdumisnäitajaga keskkonna lahutuspinnal

2

2

1

1

sin

sin

q

q

n

n

=

,

kus (1, (2 on nurgad, mille valguskiir moodustab lahutuspinna normaaliga (langemisnurk ja murdumisnurk). Näiteks: vesi: n = 1,33; teemant: n = 2,42 (( = 589 nm).

Ekstinktsioonikoefitsient ( kirjeldab valguse neeldumist keskkonnas:

dx

dI

I

1

4

p

l

k

-

=

,

kus I on x-telje sihis leviva valguslaine intensiivsus. Taolist valguslainet kirjeldab võrrand

[

]

)

(

exp

)

exp(

)

,

(

0

kx

t

i

kx

E

t

x

E

k

w

k

-

-

-

=

,

kus E on elektrivälja amplituud (I(|E|2). Valguse intensiivsus kahaneb levikul neelavas keskkonnas eksponentsiaalselt

)

exp(

)

/

exp(

0

0

x

I

x

I

I

a

d

-

=

-

=

,

kus ( = (-1 = 4(k/(.

Suurused n ja ( saab esitada kompleksse dielektrilise läbitavuse kaudu

( = (n+i()2,

neeldumise puudumisel mittemagnetilistes keskkondades

e

=

n

.

Peegeldumiskoefitsient R valguse normaalsel langemisel

(

)

(

)

2

1

2

2

1

2

n

n

n

n

R

+

-

=

.

Nt. klaasil R = 4%, teemandil 12%.

Murdumisnäitaja ja ekstinktsioonikoefitsient sõltuvad valguse sagedusest ja võivad sõltuda valguse polarisatsioonist. Dielektrike ja metallide ekstinktsioonikoefitsientide sagedussõltuvus (kvalitatiivselt). Aineid, mida iseloomustab polarisatsioonist sõltuv neeldumine, nimetatakse polaroidideks. Aineid, kus murdumisnäitaja on erinev erinevalt lineaarselt polariseeritud valguse jaoks, nimetatkse kaksikmurdvateks (nt. kaltsiit – Islandi pagu, CaCO3, 1,49 vs. 1,66).

Optiline aktiivsus (kiraalsus) ilmneb valgus polarisatsioonitasandi pöördumises levikul aines, tingitud murdumisnäitajate erinevusest erinevalt ringpolariseeritud (päri- või vastupäeva) valguslainete jaoks. Nt. kvartskristall (amorfne kvarts aga ei ole optiliselt aktiivne), looduslikku päritolu orgaaniliste ainete lahused (nt. suhkrud: sahharimeetria – nähtusel põhinev meetod suhkrulahuse kontsentratsiooni määramiseks).

Hajutavates keskkondades on murdumisnäitaja fluktuatsioonide ruumiline ulatus võrreldav valguse lainepikkusega või sellest suurem.

Optilised siirded tahkistes. Tsoonipilt ja optilised siirded.

Fotoefekt: laengukandjate teke valguse toimel (seesmine – juhtivuselektronid kristallis, väline – elektronide emissioon tahkisest), iseloomulik karakteerse ainsest sõltuva kvandienergia läve olemasolu.

Luminestsents on aine termiliselt mittetasakaaluline kiirgus. Liigitus kustumisaja järgi (pärast ergastuallika väljalülitamist): fluorestsents (suurusjärgus 1 ns) ja fosforestsents (suurusjärgus 1 ms või aeglasem). Liigitus tekkepõhjuste järgi: fotoluminestsents, elektroluminestsents, kemoluminestsents, termoluminestsents, triboluminestsents, sonoluminestsents.

Fotokromism – ainete värvuse (neeldumisspektri) muutus valgusega kiiritamise tagajärjel.

Fotograafiline protsess: 2AgCl + h( = 2Ag + Cl2.

Mittelineaarsed materjalid: väljuva valguslaine amplituud sõltub mittelineaarselt (näiteks ruutsõltuvus) pealelangeva valguslaine amplituudist, kasutatakse näiteks laser sageduse kordistamiseks.

Kaalumdivesinikfosfaadi (KDP) mittelineaarne kristall (National Ignition Facility)

Loeng 12

MagnetsüsteemidElektroni spinni ja orbitaalliikumisega seotud elementaarsed magnetmomendid. Bohri magneton. Diamagnetism. Paramagnetism. Ferromagnetism. Muud magnetkorrastuse liigid (antiferromagnetism, ferrimagnetism). Doomenid. Hüsterrees. Magnetostriktsioon.

Elementaarse ringvoolu (tugevus I, kontuuri pindal S) magnetmoment ( = ISn, kus n on kontuuri normaal, selline magnetmoment tekitab magnetvälja induktsiooniga B, mis on võrdeline seda tekitava magnetmomendi suurusega |( | = (. ja pöördvõrdeline kauguse kuubiga.

Viies vooluga pooli mingist ainest südamiku, muutub üldiselt pooli magnetväli (magnetiline induktsioon) B:

B = B0+(0M = B0(1+(M),

kus (0 = 4((10-7 N/A2 (vaakumi magnetiline läbitavus), M on magneetunud aine magnetmoment ruumiühiku kohta ja (M on südamiku materjali magnetomadusi iseloomustav magnetiline vastuvõtlikkus. Enamuse ainete korral |(M|<< 1 ((M < 0 – diamagneetikud, nõrgendavad välist välja; ((M > 0 – paramagneetikud, tugevdavad välist välja;). Eksisteerib väiksearvuline aga oluline materjalide klass kus (M >> 1: ferro- ja ferrimagneetikud. Nt. raud (99,8% Fe): (M ( 5000; supermalloy (Fe-Mo-Ni): (M ( 4,5(105. Diamagnetism on universaalne nähtus, mis esineb kõigi ainete korral, kuid millest teised magnetkorrastumise mehhanismid võivad osutuda oluliselt tugevamaks. Teda võib piltlikult käsitleda makroskoopilise elektromagnetilise induktsiooni atomaarse analoogina. Muutuv magnetväli tekitab elektrijuhis pöörisvoolud, mille magnetväli takistab voole tekitanud magnetvälja muutumist. Kui aga makroskoopiline vool tavalistes juhtides välja muutuse lakkades kustub, siis aatomisiseselt taoline sumbuvus puudub ja välja nõrgenemise efekt on permanentne. Ülijuhtides ei sumbu ka makroskoopilised voolud ja kuni teatud kriitilise magnetvälja väärtuseni on nad ideaalsed diamagneetikud ((M = -1) – magnetväli nendesse ei tungi (Meisneri efekt). Tugevaim ”harilik” diamagneetik on pürolüütiline grafiit - (M = -4,5·10-4 (maksimaalse väärtusega sihis).

Paramagneetiline korrastatus – tingitud energeetilistest erinevustest paardumata elektronide magnetmomentide erinevate orientatsioonide vahel välise magnetvälja suhtes. Elektroni spinniga on seotud elementaarne magnetmoment, nn. Bohri magneton

e

B

m

e

2

/

h

=

m

,

kus e on elektroni laeng ja me mass. Ka elektroni orbitaalse liikumisega on seotud magnetmoment, mis on võrdeline asimutaalse kvantarvuga m. Summaarne magnetmoment

( = g(BJ,

kus J on elektroni summaarne pöördimpulss ja g nn. Landé faktor (g = 2 ainult spinniga seotud pöördimpulsi korral ja g = 1 ainult orbitaalliikumisega seotud pöörimpulsi korral, reaalsetes aatomites midagi vahepealset).

Paramagneetiku magnetmomentide orienteerumisele välises magnetväljas töötab vastu temperatuur. Magnetilise vastuvõtlikkuse temperatuurisõltuvust paramagneetikutes kirjeldab Curie seadus

(M = C/T

Tugev paramagneetik: molekulaarne hapnik (vedelas olekus (M ( 3,4(10-3)

Ferromagneetikud – materjalid, kus eksisteerib naaberaatomite tugev magnetkorrastatus ka ilma välise väljata. Ferromagnetismi fenomenoloogilise selgituse andis Pierre Weiss (1910) nn. molekulaarvälja teooria abil, kus eeldatakse, et paramagnetilise tahkise sees toimiv magnetmomente korrastav väli omab kuju H + (M. Kasutades Curie seadust kujul

T

C

H

M

M

=

+

l

saame magnetilise vastuvõtlikkuse jaoks seose

C

T

T

C

C

T

C

H

M

-

=

-

=

l

,

mis kannab Curie-Weissi seaduse nime. Näeme, et teatud kriitilisel temperatuuril TC muutub magnetiline vastuvõtlikkus temperatuuri alanemisel lõpmatuks, see temperatuur kannab Curie temperatuuri (Curie punkti) nime ja vastab üleminekule ferromagnetilisse faasi. Raua (Fe) jaoks TC =1043 K.

Ferromagnetismi põhjus on tegelikult mittemagnetilist päritolu. Pauli keeld ei luba kahel elektronil olla korraga samas kvantseisundis. Seega peavad võrdsete (samapidiste) spinni projektsioonide korral erinema elektronide ruumilised jaotused, erinevate spinnide korral seda piirangut pole. Erinev ruumiline jaotus modifitseerib elektronide kulonilise interaktsiooni energiat. See erinevus (nn. vahetusenergia) ongi ferromagneetilise korrastuse põhjuseks. Taoline korrastatus piirdub harilikult nn. magentdoomeni ulatusega. Suurema ulatuse korral hakkab domineerima magnetmomentide otsene omavaheline interaktsioon, mis eelistab antiparalleelset asetus. Ferromagneetiku ümbermagneetimisel esineb hüsterees (mittepööravatavus).

Hüstereesisilmus HB-teljestikus, silmuse pindala = energiakadu ümbermagneetimisel. “b” – B väärtus = jääkinduktsioon, “c” – H väärtus = koertsitiivjõud.

Pehmed ferromagneetikud: väike hüsterreesisilmuse pindala (trafosüdamikud, magnetvarjestus) – väikesed energiakaod ümbermagneetumisel.

Kalgid ferromagneetikud: suur hüsterreesisilmuse pindala (püsimagnetid). Neodüümmagnetid Nd2Fe14B, jääkinduktsioon ca. 1 T.

Ferriidid: MO(Fe2O3, kus M = Zn, Cd, Fe, Ni, Cu, Co, Mg

Ferrovedelik: õlis dispergeeritud ferromagneetilised nanoosakesed (agregeerumise vältimiseks kaetud pindaktiivse kattega) – “superparamagneetik”

Magnetostriktsioon on keha mõõtmete muutus magnetväljas, suurima magentostriktsiooniga on sulam Terfenol-D (Tb0.3Dy0.7Fe1.9).

Harjutustund 3

Ülesanded (loeng 9)

Molekulide ja kristallide võnkumised. Erisoojus. Soojusjuhtivus.

Ülesanne 3.1

Kolmest sarnasest aatomist (massid M) koosneva molekuli sümmeetrilised võnkumised: (a) lineaarne molekul; (b) “kolmnurkne” molekul. Aatomite vahel mõjub LJ potentsiaal

(

)

(

)

(

)

[

]

6

0

12

0

0

/

2

/

R

R

R

R

U

R

U

-

=

Ülesanne 3.2

Kui palju erinevad hariliku (12C) ja “raske” (13C) teemandi erisoojused (kõrgtemperatuursel piiril / madalatemperatuursel piiril)?

Ülesanne 3.3

“Pliitoru” (T1 < Tm < T2, kL, kS): milline osa torust on täidetud sulametalliga?

Harjutustund 4

Ülesanded (loengud 10-11)

Elektrongaas ja elektrijuhtivus. Elektriväli kristallides.Magnetsüsteemid

Ülesanne 4.1

Komposiitmaterjali eritakistus, mis koosneb kahest erinevast materjalist eritakistustega (1 ja (2 erinevate geomeetriate korral (“niidid”, “lehed”).

Ülesanne 4.2.

Materjalide peegelduskoefitsiendid: kui palju valgust peegeldub tagasi rutiili (n = 2,72) ja anataasi (n = 2,55) pinnalt ristlangemisel? Rutiil ja anataas on titaandioksiidi (TiO2) erinevad kristallilised modifikatsioonid.

Loeng 13

Vedelikud ja klaasid

Tihedaim pakend. Lähi- ja kaugkorrastatus. Sisehõõre ja viskoossus. Newtoni vedelik. Molekulaardünaamika vedelikes: puuriefekt. Pindpinevus. Märgamine. Vesi ja vesinikside. Allajahutatud vedelikud. Klaasistumine. Klaaside termilised anomaaliad. Ergoodsus. Klaas kui mitteergoodne süsteem.

Kontaktarv = lähinaabrite arv = 12 3D sfääride tihkpakendite korral.

Ikosaeedrilised klastrid on lokaalselt kõige kõrgema sümmeetriaga, paraku ei saa 5-järku sümmeetria tõttu sellist struktuuri lõpmatult jätkata

Kaugkorrastatus (kristallides, kvaasikristallides) – osakeste ruumilised asendid on korreleeritud kuitahes suurte vahemaade tagant. Eksisteerib üldine teoreem, et 2D juhul on see võimatu (2D kristalle ei saa olemas olla! Aga grafeen?)

Lähikorrastatus (vedelikes, klaasides) – osakeste asendite korrelatsioon kaob nende vahekauguse kasvades.

Vedelikud on tihkfaasid, mis ei anna edasi nihkedeformatsiooni – tangentsiaalpinge toimel hakkavad nad voolama ( vaba tasakaalulise vedeliku pinnosakesele mõjuv jõud on risti vedeliku pinnaga. Millise kuju võtab veepind püsimagneti kohal?

Normaaltingimustel on suurima tihedusega vedelikuks … (13 540 kg/m3). Miks vaskkuul ujub ferrovedelikus?

Viskoossus ( on nihkepinge mis tekitab ühikulise kiiruse gradiendi:

( (siin: nihkepinge) = (

y

u

¶

¶

SI süsteemi ühikud: Pa·s

vee viskoossus: 8.90 × 10−4 Pa·s (25 °C).

Poiseuille voolamine: paraboolne kiiruste profiil viskoosse vedeliku voolamisel torus. Voolu kiirus toru seinal on null.

Selline klassikaline vooluseadus ütleb aga üles nanomõõtmes. Nanotorudes võib vedeliku voolamine toimuda “libisemisega” (voolukiirus seina ääres pole null), mistõttu selliste torude läbilaskvus on suurusjärke suurem (klassikalisest) teooriast tulenevast.

Newtoni vedelik – viskoossus ei sõltu kiirusest (kontranäited: tärklise suspensioon vees, Silly Putty)

Osakeste dünaamika vedelikes: (1) kiire võnkumine naaberosakestest moodustatud “puuris”, (2) aeglane difusioon (“puurivahetus”).

Pindpinevus: E = (S, F = (L, SI ühikud N/m.

Vee pindpinevus: 0,0728 N/m (20 °C), elavhõbedal 0,4865 N/m.

Märgamine: märgamisnurk (

(sg = (sl + (lgcos(

Märgavad: ( suur (vee korral: hüdrofiilsed pinnad), mittemärgavad: ( väike (vee puhul hüdrofoobsed pinnad).

„Isepesev klaas“: TiO2 kate aknaklaasi pinnal suurendab vee märgamisnurka, vihmavesi valgub klaasil ühtlaselt laiali ja sellele ei jää tilkade kuivamisjälgi.

„Lootosefekt“. Nanostruktuursed pinnad (nagu looduslikult nt lootostaime lehel) on ultrahüdrofoobsed. Selliseid pindu vesi ei märga vaid veereb kerakestena pinnalt maha, korjates kaasa ka pinnale sadestunud mustuse.

Vee termodünaamilised omadused erinevad oluliselt teiste sarnase molekuli ehitusega vedelike omadustest, nende anomaaliate põhjuseks on vesinikside vee molekulide vahel [Water and its structure].

Allajahutatud vedelik – metastabiilses olekus vedelik allpool kristallisatsioonitemperatuuri, puuduvad kristallisatsioonitsentrid. Mpemba efekt.

Klaasid on suure viskoossusega mittetasakaalulised tihkfaasid, kokkuleppeliselt loetakse klaasideks faase viskoossusega > 1013,6 Pa·s.

Klaaside termilised anomaaliad: erisoojus madalatel temperatuuridel c ~T

c/T3 vs T võrdluses amorfse ja kristalse kvartsi jaoks. Klaaside madalatemperatuursete termiliste anomaaliate avastamist 1970-te aastate alguses või lugeda „klaasfüüsika“ (st klaaside kui spetsiifilise tihkisfaasi mikrofüüsika) alguseks.

Ergoodsus: ruumiline keskmine = ajaline keskmine,

klaasid ei ole ergoodsed

D13.1 Silly Putty

D13.2. Teraskuul elavhõbedas.

D13.3. Vaskkuul ujub ferrovedelikus.

D13.4. Kätesoojenduspakett

Loeng 14

VedelkristallidTermotroopsed vedelkristallid. Nemaatikud. Orientatsiooniline korrastatus. Kolesteerikud. Smektikud. Lüotroopsed süsteemid.

Vedelkristallid on osakorrastusega molekulaarsüsteemid (“anisotroopsed vedelikud”), temperatuuriskaalal on nad sageli vahefaasid isotroopse vedeliku ja 3D nihkesümmeetriaga kristallide vahel, vedelkristalle moodustavad molekulid on tugevalt anisotroopsed (“vardad”, “kettad”).

Termotroopsetes vedelkristallides sõltub korrastuse aste temperatuurist.

Direktor – vektor, mis määrab molekulide eelisorientatsiooni suuna.

Nemaatikud: eksisteerib vaid orientatsiooniline korrastatus

Orientatsioonilise korrastuse parameeter S = <3cos2(-1>/2

Milline on S väärtus 100% orienteeritud, isotroopse, risttasandis orienteeritud faasi korral?

Rakendused: Twisted Nematics Cells

1. Aluspinna faktuur (saadud nt ühesuunalisel hõõrumisel) määrab vedelkristalli orientatsiooni.

2. Ristatud orientatsiooniga plaatide vahele tekib kiraalne (väänatud) vedelkristalli struktuur, mis pöörab valguse polarisatsioonitasandit ja põhjustab valguse läbimineku ristatud polaroididest.

3. Väline elektriväli orienteerib molekule risti plaatidega ja kahandab süsteemi optilist läbilaskvust.

TFT LCD=Thin Film Transistor Liquid Crystal Display

Kolesteerikud (näide: kolesterooli derivaadid) on kiraalsed nemaatikud, direktori suund muutub ruumis (otspunkt joonistab spiraali). Moodustuvad kiraalstetest molekulidest (või kiraalsete molekulide lisamisel akiraalsele vedelfaasile).

Kiraalsamm (chiral pitch, p) on vahemaa, millel on toimunud 360° pööre (füüsikalised omadused korduvad 180° kraadi tagant), mõnedel kolesteerikutel on kiraalsamm võrreldav nähtava valguse lainepikkusega. Naabermolekulide orientatsiooni muutust saab selgitada asümmeetriliste molekulide tihedaima pakendumisega. Kiraalsamm sõltub temperatuurist, selle tulemusel muutuvad sõltuvalt temperatuurist ka kolesteeriku optilised omadused.

Kolesterooli molekul

Sinised faasid (blue phases) on kiraalse nemaatiku ja isotroopse vedeliku vahel kitsas temperatuuriintervallis (mõni kelvin) eksisteerivad vahefaasid, mida iseloomustab defektidest moodustunud 3D superstruktuur - kuubiline võre võrekonstandiga mõnisada nanomeetrit. Hiljuti on siiski õnnestunud saavutada sinise faasi stabiilsus suuremas temperatuuriintervallis (kuni 60 K).

Smektikutes eksisteerib 1D korrastatus (kihid).

A-smektikud – molekulid orienteeritud risti kihtidega

C-smektikud – molekulid orienteeritud kihtidega nurga all

C*-smektikud – ruumis perioodiliselt muutuv orientatsioon

Ketasfaasid, sh sammasfaasid (discotic phases, columnar phases) – moodustuvad tasapinnalistest molekulidest, sambad võivad korrastuda heksagonaalsesse võresse.

Lüotroopsed vedelkristallid on kahe komponendi segud, kus korrastusaste sõltub suhtelisest kontsentratsioonist (näide: seebivesi, bioloogilised struktuurid - rakumembraan). Moodustuvad hüdrofoobseid ja hüdrofiilseid rühmi sisaldavatest amfifiilsetest molekulidest.

Kirjandus:

1. Liquid crystal. Wikipedia.

2. Liquid Crystal Phases

D14.1. Termotundlik vedelkristallkile

Loeng 15

“Pea-aegu-kristallid”: ühismõõduta ja kvaasikristallid

Elementaarraku kordistumine. Ühismõõduta kristallid. “Pesulaua efekt”. Kvaasiperioodilisus. Kvaasikristallid. Keelatud sümmeetriad. Penrose mosaiik. Fibonacci kristall.

Ühismõõduta kristallides [ incommensurate crystals ] on mingi karakteristik (aatomite asendid) moduleeritud perioodiga, millel puudub ühismõõt alusvõre perioodiga. Temperatuuriskaalal on nad sageli (väikese) ulatusega vahefaasid kõrg- ja madaltemperatuurse (lock-in) kristallfaasi vahel, viimast iseloomustab (võrreldes kõrgtemperatuurse faasiga) kordistunud mõõtmetega elementaarrakk.

Näited

1. Bifenüül (moduleeritud on väändenurk kahe fenüülringi vahel).

ICIII < 17 K < ICII < 40 K < CI

2. CDW (Charge Density Wave) süsteemid – moduleeritud on laengutihedus.

3. Helikoidaalsed ferromagneetikud: moduleeritud on magnetmoment (vektori otspunkt joonistab ruumis spiraali)

Probleem: Ääresingulaarsused sinusoidaalse modulatsioonilaine korral

Kombineeritud nihkesümmeetria: lisaks ruumilisele nihkele nihutatakse (kristalli suhtes) ka modulatsioonilainet (vrdl vintpöörded ja liugpeegeldused) ( nihe (formaalselt) kõrgemadimensionaalses ruumis ( kõrgemadimensionaalne kristallograafia.

“Pesulaua efekt” – ühismõõdutuse korral madaldub barjäär modulatsioonilaine nihkeks.

(Jakov) Frenkel-(Tatjana) Kontorova mudel: elastne (harmooniline) 1D ahel välises perioodilises väljas (sinusoidaalne potentsiaal).

Kvaasikristallid [ quasicrystals ] on kaugkorrastatud (positsiooniliselt) struktuurid, millel puudub nihkesümmeetria, difraktsioonipildis ilmnevad keelatud järku (5, 10 jt) sümmeetriad.

Al86Mn14 röntgendifraktsioon

D. Shechtman at al. (1984)

Penrose’i mosaiik: 2D (mudel)kvaasikristall, koosneb kahte tüüpi erineva kujuga rakkudest (“kõhnad” ja “paksud” rombid), esineb lokaalne 5. järku sümmeetriatelg.

(Sir Roger Penrose, 1973)

Fibonacci kristall: 1D (mudel)kvaasikristall, koosneb kahte tüüpi erineva ulatusega (L = long, S = short) rakkudest, konstruktiivne algoritm: S(L, L(SL.

Probleem: S/L suhe

Paljud kvaasikristallid on alumiiniumisulamid (Al-Li-Cu, Al-Mn-Si, Al-Ni-Co, Al-Pd-Mn, Al-Cu-Fe, Al-Cu-V jt), kuid mitte ainult (Cd-Yb, Ti-Zr-Ni, Zn-Mg-Ho, Zn-Mg-Sc, In-Ag-Yb, Pd-U-Si jt).

Potentsiaalsed rakendused pinnakatetena (väike hõõrdumine, halb soojusjuhtivus)

„Kvaasikristalne“ ornament Darb-e-Imami pühamus Esfahanis Iraanis (alust 1453).

Kristallid hüperruumis

Loeng 16

Faasisiirded

Faaside tasakaal. Gibbsi reeglid. Kolmikpunkt. Kriitiline punkt. 1. ja 2. järku faasissiirded, latentne soojus. Nihkesiire. Pehme mood. Nukleatsioon. Kineetika. Sulamine-tahkestumine. Tahkis-tahkis siirded.

Faasisiire on süsteemi omaduste hüppeline muutus (väliste) parameetrite (temperatuur, rõhk, elektri-või magnetväli, keemiline koostis jt) muutumisel. Faasisiirdel võib muutuda süsteemi sümmeetria, nt isotroopsest vedelikust moodustub temperatuuri alanemisel anisotroopne kristallfaas.

1. järku faasisiirded: nendega kaasneb soojuse vabanemine – neeldumine (latentne soojus – jää sulamissoojus 334 kJ/kg). Siirded vedeliku, gaasi ja tahkise vahel.

2. järku faasisiirded: latentne soojus puudub, erisoojus pole pidev temperatuuri funktsioon.

Faasidiagrammid (P-T tasandil). Faaside tasakaal. Gibbsi faaside reegel: maksimaalne arv n omavahel taskaalus olevaid faase r-komponentses segus n = r + 2, ühekomponentses segus võib tasakaalus olla maksimaalselt 3 faasi (gaas, vedelik, tahkis). Kolmikpunkt - punkt P-T tasandil, kus võivad koos eksisteerida 3 faasi. Kriitilises punktis kaob vahe vedel- ja gaasifaasi vahel.

Vee faasidiagramm

kriitiline punkt (373.95 °C, 220.64 atm) ja kolmikpunkt (0,01°C, 0,006 atm)

CO2: kriitiline punkt: (31.1°C, 73 atm) – ülekriitiline CO2 on kasutusel lahustina

Siirded tahkisfaaside vahel: “tinakatk” (tetragonaale (-tina ( kuubiline (-tina); termokroomne siire: Cu2HgI4 (67 (C, muutub superioonikuks); austeniitne (kuubiline) – martensiitne (monokliinne) siire nitinolis (kujumäluga sulam); paramagneetik-ferromagneetik siire Curie temperatuuril (2. järku faasisiire), siire ülijuhtivasse faasi.

Pehme mood ja struktuurne ebastabiilsus – faasisiirdele lähenemisel muutub mingi võnkumise sagedus nulliks, sellele võnkemoodile vastavad aatomite nihked Mudel: elastsete vedrudega kinnitatud punktmassi ristvõnkumiste mudel.

Metastabiilsed faasid: nt allajahutatud (toatemperatuurini) NaCH2COOH(3H2O vesilahus, tasakaaluline kristallisatsioon 54 (C

Kineetiliselt mahasurutud siirded: vedelik-klaas üleminek, pole tasakaaluline faasisiire.

Nukleatsioon. – uue faasi ”tilkade” teke faasisiirdele lähenemisel, suurus määratud faaside lahutuspinna energiaga. Mpemba efekt.

Kristallide kasv – sageli seotud vintdislokatsioonidega. Miks?

Dendriitne kasv. D(iffusion)-L(imited) A(ggregation). Isekoostumine (self-assembling).

D16.1. Soojapakett

D16.2. Termokroomne Cu2HgI4

Loeng 17

GraanulmaterjalidGraanulite statistika. Tihedus. Suspensioonid ja sedimentatsioon. Hõõrdumine. Rõhujaotus graanulmaterjalides. Rõhuahelad. Graanulmaterjalide dünaamika: segunemine, separatsioon ja segregatsioon. Jamming.

Graanulmaterjalid koosnevad osakestest, mille vahel mõjuvad jõud on oluliselt nõrgemad osakeste sees molekulide (aatomite vahel mõjuvatest jõududest).

Erinevused „atomaarsest mateeriast“: (1) energia dissipatsioon graanulites, (2) hõõrdejõud graanulite vahel.

Graanuli karakteristikud: läbimõõt d, pindala s, ruumala v (mass m). Seosed sfäärilise osakese jaoks.

Graanulite ansambli karakteristikud: graanulite arv N, “koguläbimõõt” D, kogupindala S, koguruumala V.

Arvu, “koguläbimõõdu”, kogupindala, koguruumala (massi) jaotusfunktsioonid osakese läbimõõdu, pindala, ruumala (massi) järgi. Näited.

Jahvatamine. Log-normaalne jaotus.

Fraktsioonid.

Sõelanalüüs.

Sedimentatsioon on osakeste settimine vedelikus või gaasis, leiab aset suspensioonides. Tasakaaluline kiirus hõõrde- ja raskusjõu tasakaalust:

Fvf + Fg = 0 [Fvf = -6(r(v, Fg = (4/3)(r3((-(0)g]

Kujuseparatsioon. Kuidas?

Graanulite kuju 2D lõigetest.

Hõõrdumine: kuiv e Coulombi hõõre Ff = (Fn

Sarnaste sfääriliste osakeste tihedaim pakend realiseerub nt tahkkeskendatud kuubilises võres, osakesed täidavad siis 74% kogu ruumalast (ellipsoidikujuliste osakeste pakketihedus võib aga selle väärtuse ületada!). Kuidas muutub see tihedus afiinsel deformatsioonil?

Kontaktarv tihedaima 3D pakendi korral = 12

Jäik pakend – iga osake puutub vähemasti nelja teist, puutepunktid ei asetse kõik ühel poolkeral (taolise pakendi minimaalne teadaolev tihedus on ca 5,55%!)

Dilatatsioon – graanulmaterjali ruumala kasv segamisel.

Pingeahelad (force chains): http://www.phy.duke.edu/~bob/

Voolav-tahke siire sõltuvalt tihedusest (jamming): pingeahelate perkolatsioon („kohvipaki efekt“).

“Brasiilia pähkli efekt”: suuremate osakeste pinnaletõus vibreeritavas graanulmaterjalis.

Hele-Shaw rakk: graanulsegude (nt liiv + suhkur) stratifikatsioon laviinides.

Kuidas näha graanulmaterjali sisse? Christianseni filter.

Harjutustund 5

Ülesanded (loengud 12-17)

Vedelikud: voolamine, pindpinevus, märgamineGraanulmaterjalid: jaotusfunktsioonid, sedimentatsioon

Ülesanne 5.1

Viskoossus. Kahe 1 m x 1 m klaasplaadi vahel on meekiht paksusega 1 mm, alumist plaati hoitakse paigal. Millist jõudu tuleb rakendada ülemisele plaadile, et nihutada teda alumise suhtes kiirusega 1 cm/s? Mee viskoossus on 10 Pa(s.

Ülesanne 5.2

Kui kiiresti voolab klaas? Klaasi toatemperatuurse viskoossuse hinnanguks võib võtta väärtuse 1020 Pa(s.

Ülesanne 5.3

Seebikile (“neli linna”). Ruudu (küljepikkus a) tippudega on risti neli pikka (pikkus L) varrast. Milline on kõiki neid ühendava