L’offerta della singola impresa:

l’impresa e la minimizzazione dei

costi

10 LEZIONE

Quando l’impresa decide il livello di output da produrre per massimizzare il

profitto deve anche preoccuparsi che questo livello di output sia prodotto al

minor costo possibile.

2211, 21

min xwxwxx

+

!Una combinazione ottima di input è anche definita come quella

combinazione che garantisce un certo livello di output al minimo costo

Il problema di minimizzazione dei costi da sostenere per la

produzione di un dato livello di output è:

Tale che

( ) yxxf =21

,

Usiamo la funzione Lagrangiana:

( )( )yxxfxwxwL −−+=212211

,λ

Le condizioni del primo ordine sono:

( )

( )

( ) 0,

0,

0,

21

2

21

2

1

21

1

=−

=∂

∂−

=∂

∂−

yxxf

x

xxfw

x

xxfw

λ

λ

Dividendo la prima per la seconda:

( )( )

2

*

2

*

1

1

*

2

*

1

2

1

/,

/,

xxxf

xxxf

w

w

∂∂

∂∂=

2w1

w

Saggio marginale di sostituzione tecnica deve essere uguale al Saggio marginale di sostituzione tecnica deve essere uguale al

rapporto tra i prezzi degli inputrapporto tra i prezzi degli input

Metodo grafico

I costi minimi necessari per produrre l’output desiderato quando i prezzi

dei fattori sono e sono rappresentabile tramite la funzione di costo:

( )ywwc ,,21

Cerchiamo tutte le combinazioni di input che danno luogo ad un certo livello di

costo C, cioè:

Cxwxw =+2211

2xRisolvendo per otteniamo le rette di isocosto:

1

2

1

2

2x

w

w

w

Cx −=

*

1x

*

2x

( ) yxxf =12

,

1

2

1

2

2x

w

w

w

Cx −=

inclinazione

•isoquanto

La combinazione di fattori che minimizza i costi per produrre il livello di

output y si determina individuando sull’isoquanto il punto al quale è

associata la curva di isocosto più bassa

La combinazione ottima si ha nel punto di tangenza tra isoquanto

e isocosto, quindi otteniamo la tessa condizione di ottimo ottenuta con il

metodo della funzione Lagrangiana

( )*

2

*

1, xx

isocosto

( )( )

2

*

2

*

1

1

*

2

*

1

2

1

/,

/,

xxxf

xxxfTRS

w

w

∂∂

∂∂−==−

( )( )

2

*

2

*

1

1

*

2

*

1

2

1

/,

/,

xxxf

xxxf

w

w

∂∂

∂∂<

*

1x

Si ha tangenza quando il saggio marginale di sostituzione

tecnica è uguale al rapporto tra i prezzi dei fattori

*

2x • ( )

( )2

*

2

*

1

1

*

2

*

1

2

1

/,

/,

xxxf

xxxf

w

w

∂∂

∂∂>

•

•

Aumentando il fattore uno e

diminuendo il fattore due produco

lo stesso livello di output ad un

costo più basso

Aumentando il fattore due e

diminuendo il fattore uno

produco lo stesso livello di

output ad un costo più basso

Sostituendo i valori ottimi dei due fattori in c(.), otteniamo la funzione di costo:

( ) ( ) ( )ywwxwywwxwywwc ,,,,,,21

*

2221

*

1121+=

( )ywwx ,,21

*

2

Dalla condizione di ottimo otteniamo le funzioni di domanda condizionata dei fattori (o domanda derivata dei fattori)

( )ywwx ,,21

*

1

La curva di costo indica il costo minimo che deve essere sostenuto per produrre una quantità di output y

Bisogna distinguere tra funzioni di costo di breve e di lungo periodo

2x

La curva di costo di breve periodo rappresenta i costi minimi che l’impresa

sostiene per produrre una data quantità di output, variando l’impiego dei

soli fattori produttivi variabili.

Supponiamo che il fattore 2 sia fisso ad un predeterminato livello , e

che nel lungo sia variabile. La funzione di costo di breve periodo è

( )

( ) yxxf

ct

xwxwxycx

s

=

+=

21

22112

,

..

min,1

La domanda di breve periodo dei fattori sarà:

( )22

22111,,,

xx

yxwwxxs

=

=

1x2

x

Funzione di domanda di

breve periodo del fattore 1

che minimizza i costi

es. = dimensioni ufficio (fisso nel breve periodo), numero di

lavoratori impiegati dati determinati prezzi e livelli di output (dipendente

dalla dimensione dell’edificio)

La funzione di costo di breve periodo è quindi:

( ) ( ) 22221112 ,,,, xwyxwwxwxycs +=

La funzione di costo di lungo periodo è:

( )2211

, 21

min xwxwycxx

+=

( ) yxxf =21

,

Tale che

Tutti I fattori variano e la i costi di lungo periodo dipendono dalla

quantità di output che l’impresa vuole produrre e dai prezzi dei fattori

Le domande dei fattori di lungo periodo sono:

( )ywwx ,,212

( )ywwx ,,211

RENDIMENTI DI SCALA E FUNZIONI DI COSTO

( )1,,21

wwc

Il tipo di tecnologia dell’impresa influenza la sua funzione di costo

•Con Rendimenti costanti di scala i costi crescono proporzionalmente al

livello di output prodotto

Dato che il costo di produrre una unità di output è

Intuizione: per raddoppiare l’output devo impiegare il doppio di ciascun

input, ma impiegare ciascun input in quantità doppia significa raddoppiare

i costi

Quindi il (minor) costo di produrre y unità è dato da:

( )ywwc 1,,21

Con Rendimenti costanti di scala la funzione di costo cresce

linearmente con il livello di output prodotto

• Con rendimenti crescenti di scala allora i costi aumentano meno che

proporzionalmente rispetto all’output.

Intuizione: se l’impresa vuole produrre un livello doppio di output,

allora può utilizzare ciascun input in quantità meno che doppia,

quindi costi risulteranno meno che doppi

• Con rendimenti decrescenti di scala allora i costi aumentano più che

proporzionalmente rispetto all’output.

Con Rendimenti crescenti di scala la funzione di costo cresce meno

che linearmente con il livello di output prodotto

Con Rendimenti decrescenti di scala la funzione di costo cresce più

che linearmente con il livello di output prodotto

La funzione di costo medio (o unitario) riassume il legame tra

rendimenti e costi, essa esprime il costo unitario di produzione di y

unità di output:

( )( )

y

ywwcyAC

,,21=

( )ywwc 1,,21

Con rendimenti costanti di scala la funzione di costo è

Quindi la funzione di costo medio è:

( )( )

( )1,,1,,

21

21 wwcy

ywwcyAC ==

Fissati i valori dei prezzi dei fattori la funzione di costo medio è

costante e non dipende dalla quantità di output prodotto

y c(y)

yx

AC

y1 2

2

2,5

Curve di costo con rendimenti decrescenti di scala

y c(y)

yx

AC

y1 2

1

2

Curve di costo con rendimenti costanti di scala

y c(y)

yx

AC

y1 2

1

2,7

1 2,7

Curve di costo con rendimenti crescenti di scala

2211, 21

min xwxwxx

+

yxxba =21

Esempio di minimizzazione dei costi con funzione di produzione Cobb-Douglas

Possiamo applicare il Lagrangiano o la sostituzione.

2x

( ) bayxx

/1

12

−=

( ) ba

xyxwxw

/1

12111

min−+

Sostituzione

Risolviamo il vincolo per come:

Sostituendo nella funzione obiettivo si ha il seguente problema di

minimizzazione non vincolata:

Deriviamo per e poniamo la derivata uguale a zero otteniamo la

domanda condizionata dei due fattori1

x

Metodo della funzione Lagrangiana

021

1

212

2

1

11

=−

=

=

−

−

yxx

xbxw

xaxw

ba

ba

ba

λ

λ

Le condizioni del primo ordine sono

( )yxxxwxwLba −−+=212211

λ

La funzione Lagrangiana è:

Moltiplicando la prima equazione per e la seconda per otteniamo: 1x

2x

byxbxxw

ayxaxxw

ba

ba

λλ

λλ

==

==

2122

2111

Quindi

2

2

1

1

w

byx

w

ayx

λ

λ

=

=

Sostituendo le espressioni dei due fattori nella terza equazione troviamo λ:

yw

by

w

ayba

=

21

λλ

( ) babababaywwba +−−−−=

11

21λ

Risolvendo otteniamo:

Inserendo λ nelle espressioni per i due fattori otteniamo le

funzioni di domanda dei fattori:

( )

( ) baba

a

ba

aba

a

baba

b

ba

bba

a

ywwb

aywwx

ywwb

aywwx

++

−

+

+−

+++

−+

=

=

1

21212

1

21211

,,

,,

Dato che la funzione di costo è

( ) ( ) ( )ywwxwywwxwywwc ,,,,,,2122211121

+=

sostituendo le funzioni di domanda dei fattori otteniamo

( ) baba

b

ba

aba

a

ba

b

ywwb

a

b

aywwc +++

+

−

+

+

=

1

2121,,

a+b>1 rendimenti crescenti di scalaI costi aumentano

meno che

proporzionalmente

rispetto all’output

a+b=1 rendimenti costanti di scala I costi aumentano

proporzionalmente

rispetto all’output

a+b<1 rendimenti decrescenti di scala I costi aumentano più

che proporzionalmente

rispetto all’output

Dato l’utilizzo della Cobb-Douglass, possiamo vedere come: