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LOGARITMI ED ESPONENZIALI

1. (Da Veterinaria 2013) Riscrivendo 93x+2 nel formato 3y, quale sarà il valore di y?a) 3xb) 3x + 4 c) 6x + 2 d) 6x + 4 e) 9x + 6

2. (Da Odontoiatria 2009) Qual è la soluzione dell’equazione log((2x + 1)/x) = 0?a) - 1 b) - 1/2 c) 1/2 d) 1 e) 2

3. (Da Veterinaria 2009) Sia x un numero reale tale che x·logx < 0. Ciò equivale a: a) x < -1 b) -1 < x < 0 c) x < 0 d) 0 < x < 1 e) x > 1

4. (Da Veterinaria 2007) L’insieme di tutte le soluzioni dell’equazione 2logx = log16 è:a) {log8}b) {log14}c) {-log14 , +log14} d) {4}e) {-4 , +4}

5. (Da Medicina 2005) È data l’equazione . L’insieme di tutte le sue soluzioni reali è: a) {2}b) {4}c) {-2 ; +2}

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d) e)

6. (Da Medicina 2005)L’espressione significa che: a)  x è l’esponente da dare a b per ottenere y b)  x è l’esponente da dare a y per ottenere b c)  y è l’esponente di una potenza di base b e di valore x d)  x è il valore di una potenza di base y ed esponente b e)  x è la base di una potenza che vale y

7. (Da Veterinaria 2005)Una radice dell’equazione è:a) 0 b) -2 c) 2 d) 1/2 e) 1/3

8. (Da Veterinaria 2005) L’insieme di tutte le soluzioni dell’equazione 2logx = log5 è:a) {3}b) {-3 , +3}c) {log(5/2)}d) {√5}e) {-√5 , +√5}

9. (Da Medicina 2004) Siano a e b due numeri maggiori di zero. Quale delle affermazioni seguenti è CORRETTA? a) loga b + loga b = loga b2 b) loga b + loga b = loga 2b c) loga b + loga b = (loga b)2 d) loga b + loga b = - 2logb ae) loga b - logb a = 0

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SOLUZIONI

1. d)Vogliamo riscrivere 93x+2 come una potenza in base 3. Allora:

2. a)Ricordiamo la definizione di logaritmo: il risultato del logaritmo rappresenta l’esponente da dare alla base del logaritmo per ottenere l’argomento.Allora, da si ottiene:dove abbiamo identificato con a la generica base del logaritmo. Qualunque sia il valore di a, vale:Allora: (con la condizione di esistenza per il denominatore C.E. x≠0)

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3. d)Nella disequazione proposta il prodotto di due termini deve essere minore di zero.Risolviamo il quesito ponendo maggiore di zero ciascuno dei due termini, separatamente.- - Ricordando il grafico del logaritmo, logx è maggiore di zero quando (Per x > 1 il grafico del logaritmo sta sopra l’asse x) Allora, per determinare la soluzione della disequazione di partenza disegniamo un grafico dei segni:

Le linee continue rappresentano un segno +, mentre quelle tratteggiate un segno -.Allora:- a sinistra dello 0 abbiamo il prodotto di due termini negativi (due linee tratteggiate), che complessivamente dà un risultato positivo - nella regione compresa tra 0 e 1 abbiamo il prodotto di un termine positivo e uno negativo (una linea continua e una tratteggiata), che complessivamente dà un risultato negativo - a destra di 1 abbiamo il prodotto di due termini positivi (due linee continue), che

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-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

0 1

complessivamente dà un risultato positivo.

Tornando alla disequazione di partenza:osserviamo che siamo interessati alla regione negativa (disequazione minore di zero).Allora le soluzioni della disequazione sono:

4. d)Come prima cosa, imponiamo le condizioni di esistenza del logaritmo che compare nell’equazione.Affinché il termine logx sia ben definito, il suo argomento deve essere maggiore di zero. Allora:Le soluzioni dell’equazione dovranno rispettare tale condizione di esistenza.Risolviamo l’equazione.Applicando la proprietà dei logaritmi secondo cui:si ottiene:Allora, uguagliando gli argomenti dei due logaritmi, si ha:Confrontando le soluzioni ottenute con le condizioni di esistenza, osserviamo che è necessario scartare la soluzione x = -4, perché minore di zero.Perciò, la soluzione finale dell’equazione proposta è x = +4.

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0 1

+ - +

5. c)Risolviamo l’equazione esprimendo il numero 16 come una potenza in base 2:e uguagliando gli esponenti:

6. c)Dalla definizione di logaritmo, il risultato del logaritmo rappresenta l’esponente da dare alla base del logaritmo per ottenere l’argomento.Allora, nel caso di si ha che y è l’esponente da dare alla base b per ottenere l’argomento x, cioè:

7. b)Il metodo più veloce per individuare la soluzione dell’equazione è il metodo della verifica: sostituendo a x ciascuno dei valori proposti nelle cinque opzioni si può determinare quale tra di essi fornisce un’uguaglianza verificata.Per esempio, sostituendo il valore x = 0 proposto nella prima opzione si ottiene:che non è un’uguaglianza verificata. Allora possiamo scartare la risposta a).Sostituendo il valore x= - 2 proposto nella seconda opzione si ottiene:che è un’uguaglianza verificata. Allora x = -2 è la soluzione dell’equazione.In alternativa, possiamo risolvere l’equazione esponenziale utilizzando le proprietà delle potenze.

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Ricordando che:si ha:

8. d)Come prima cosa, imponiamo le condizioni di esistenza del logaritmo che compare nell’equazione.Affinché il termine logx sia ben definito, il suo argomento deve essere maggiore di zero. Allora:Le soluzioni dell’equazione dovranno rispettare tale condizione di esistenza.Risolviamo l’equazione.Applicando la proprietà dei logaritmi secondo cui:si ottiene:Allora, uguagliando gli argomenti dei due logaritmi, si ha:

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Confrontando le soluzioni ottenute con le condizioni di esistenza, osserviamo che è necessario scartare la soluzione x = -√5, perché minore di zero.Perciò, la soluzione finale dell’equazione proposta è x = +√5.

9. a)Applichiamo la proprietà dei logaritmi, secondo cui la somma di due o più logaritmi con la stessa base è pari a un logaritmo avente la medesima base e argomento pari al prodotto degli argomenti dei logaritmi di partenza. Allora:

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