LOGARITMOS Mathema

Prof.: Christiam Huertas R. www.xhuertas.blogspot.com 1

Un poco de historia Los logaritmos irrumpen en la historia de la humanidad hace casi 400 años y fueron utilizados durante casi 350 años como la principal herramienta en los cálculos aritméticos. Un increíble esfuerzo se ahorró usándolos, pues permitieron trabajar con los pesados cálculos necesarios en los problemas de agrimensura, astronomía, y particularmente en las aplicaciones a la navegación. Merced a estos números, las multiplicaciones pudieron sustituirse por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las raíces por divisiones, lo que no sólo simplificó enormemente la realización manual de los cálculos matemáticos, sino que permitió realizar otros que sin su invención no hubieran sido posibles. Si bien Napier fue uno de los que impulsó fuertemente su desarrollo, y por tal razón es considerado el inventor de los logaritmos, muchos otros matemáticos de la época también trabajaron con ellos. John Napier (en español Neper) nació en 1550 en Edimburgo (Escocia) y allí fallece el 4 de abril de 1617. Perteneció a una familia noble de gran riqueza y los historiadores cuentan que estuvo dedicado a cuidar de sus propiedades, transformando su castillo en residencia para científicos y artistas, lo que llevó a que usara su gran fortuna para mantener e invitar a inventores, matemáticos, astrónomos, poetas, pintores, etc. Se lo define como un terrateniente escocés (estudió Matemática sólo como un hobby) de la baja nobleza (barón) y que estaba particularmente interesado en la medición de fincas, donde a grandes números se le pueden hacer corresponder graves errores y perjuicios. Es de destacar que en su época, la forma de operar con grandes números era confusa y compleja.

PROBLEMAS 1. Calcule el logaritmo de 38 4 en base

5 2 .

Rpta: 55/3 2. Hallar el valor de x de la siguiente

ecuación.

7 ( 2)32 5− =Log xLog

Rpta: 51 3. Hallar el valor de

3

0,7 6,756

0,2

49 3 324900

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Log Log

Log

Rpta: 4/3 4. Si 14 28 =Log x , halle el valor de

4916Log en términos de x .

Rpta: 2( 1)

2−−

xx

5. Si 4=yxLog x , calcule el valor de

5

153xy

xLogy

.

Rpta: 13/15 6. Si se cumple que 1

2

3=Log x ∧

23

=xLog y , calcule el valor de

1colog2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

y .

Rpta: 1/ 2−

7. Si 2 3 4 1= = =

n n nLog x Log y Log z , halle el

valor de nLog xyz .

Rpta: 9 8. Siendo 2=aLog b y 3=qLog b .

Calcular el valor de 20 cLog b , si

1 2 3 10. . . .= …c a a a a , además 1−= iia aq ;

∈i . 9. Luego de efectuar

14 2 14 77. 7 2. 2+ −Log Log Log Log

7 214. 14Log Log

se obtiene. Rpta: 3−

10. Si 1 2 41 2−

=+

mn

mn

Log nLog n

; 0> >m n . Halle el

valor de ⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

mn mn

mLog Log mnn

.

11. Simplifique la siguiente expresión

( )( ).+

+ +xyz xyz xyz

xyz xyz xyz xyz

Log x Log y Log zLog x Log z Log x Log y

.

Rpta: 1

12. Reduzca la siguiente expresión. 3

3 3 3

3 3 35 5 5

2 3 1002 3 100

⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥

+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Log Log LogLog Log Log

.

13. Indique el valor de

2 3 41 5 5 5 5Log Log Log Log+ + + + + +… …

Rpta: 210Log

14. Simplifique la siguiente expresión.

1 1 1( ) ( ) ( )

( )

− − −

+ +Log x Log y Log z

Logx Logy Logzx y zLog xyz

Rpta: 1−

15. Resuelva la ecuación

22

4 4

5( 2) ( )2+ +

+ + =x x xLog x Log x .

Rpta: {2}

16. Resuelva la siguiente ecuación.

24 4( 1) (5 )+ +− = −x xLog x Log x

Rpta: {2}

17. Halle la suma de soluciones de la

siguiente ecuación. 2 2 22 2 (4! 4 )− = −x xLog Log Log

18. Halle la mayor solución de la ecuación

221 ( 2) 2+ = + −x Log x x .

Rpta: 0

19. Halle la solución de la ecuación

1(2 1) (2 1) 1 2−− + − = −x xLog Log Log .

Rpta: 2 (3 41) 1+ −Log

20. Si 4> −x , halle el valor de x que

resuelve la ecuación2( 5) ( 8 16)+ + + + =Log x Log x x

21 ( 9 20)= + + +Log x x .

Rpta: 6 21. Resolver la ecuación

2 4 2 4 2 2 2+ =Log Log Log x Log Log Log x

22. Halle el valor de 3xy del sistema

3 3

2 23 3

. 8

10

⎧ ⎛ ⎞= −⎪ ⎜ ⎟

⎨ ⎝ ⎠⎪ + =⎩

xLog xy Logy

Log x Log y

.

Rpta: 1/3

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23. Halle la suma de soluciones de la ecuación 1 2 ( 2) 1+ − + = −Lnx Ln ex .

Rpta: 2 / e

24. Al resolver la ecuación

1 11

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Logx

xLnxLog LnLnx e

se obtiene

como CS={ n me }, calcule el valor de +m n .

Rpta: 20

25. Dada la ecuación

[ ] 2

12 . 1 0256

⎡ ⎤⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦senx sen x

Log Log

calcule el valor de senx . 26. Calcular el valor de

[ ]5 5colog (antilog 5)− xLog sí se sabe que

[ ]5 5 5antilog colog ( ) 5=Log x .

27. Calcular el valor de

643 3 2 2 2log ( ( log ( log 8)))anti log anti co

Rpta: 1/27

28. ¿Cuántas soluciones enteras tiene la

ecuación 2 (4 ) 2 4− = +x x x ?

Rpta: 3 29. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación

54

241 2+

⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠x

LogLog

x ?

Rpta: 1 30. Sean , , , +∈x y z w . Calcule el menor

valor de 2 ( )Log xyzw , si

( )+ + + = + +Log x y z w Logx Logy + +Logz Logw .

Rpta: 8/3

31. Resuelva 2

12

( 5 7) 0− + ≥Log x x .

Rpta: [2;3] 32. Resuelva la inecuación

11 11 11(3 5) (5 3)+ − ≤ −Log x Log x Log x .

Rpta: ]5 / 3; 3

33. Resuelva la inecuación

10 10 10

( 1) ( 1) (2 7)Log x Log x Log xπ π π+ + − > +

e indique la suma de las soluciones enteras.

Rpta: 5

34. Resolver la inecuación 0,2 (3 8) 1− >Log x

Rpta: 8 41;3 15

35. Resuelva la inecuación 3 11

+⎛ ⎞ >⎜ ⎟−⎝ ⎠x

xLogx

36. Sean los conjuntos

A ={ ∈x / (1 ) 2− <xLog x }

B ={ 4 ∈x / ∈x A } indique el número de elementos de B .

Rpta: 2

37. Si 9 60 < <a a ; resolver la inecuación

3 22 3( 1) ( 1) 3⎡ ⎤− < − −⎣ ⎦a a

Log x Log x x .

Rpta: 2,3

38. Si el conjunto solución de la inecuación

2 / 5 3 / 7log<Log x Co x es ;+∞a ; calcule

el valor de Lna . Rpta: 0

39. Resuelva el sistema 2 3

6 7

11

⎧ < +⎪⎨

> +⎪⎩

Logx LogxLnx Lnx

.

Rpta: 1 1;

10x

e∈

40. Resuelva la inecuación 9 9 10.3+ ≤x x e

indique su intervalo solución. 41. Resuelva la siguiente inecuación.

26[ ( 4)] 2

−− ≤xLn Log xe

42. Dados los conjuntos

A ={ 2( ; )∈x y / 2≤ xy }

B ={ 2( ; )∈x y / ≤Lnx y }

C ={ 2( ; )∈x y / 8+ ≤x y ∧ 0≥y }. Esbozar la región formada por ∩ ∩A B C .

43. Dados los conjuntos

A ={ 2( ; )∈x y / | |≤y Ln x }

B ={ 2( ; )∈x y / | |4. −≤ xy e }, represente gráficamente ∩A B .

44. Resuelva la siguiente inecuación.

12 2(2 1). (2 2) 2+− − >x xLog Log

Rpta: 2 250; 3;4

∪ +∞Log Log

45. Resuelva la inecuación 1≥xLog x

46. Resuelva la inecuación

22 2

cos2 122 4

− −+ ≤xxx sen x .

Rpta: [1;3]

47. Con respecto a la función | |1( )

2⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

x

f x

indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. El máximo valor de la función es 1/2. II. No tiene inversa. III. Su rango es 0;1] .

Rpta: FVV 48. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación

2 | | 2 | |= −Log x x ?

Rpta: 6 49. ¿Cuántas soluciones tiene la siguiente

ecuación? 2|2 |2 | |− =x x

Rpta: 4 50. Halle el valor de + +a b c , si la función

1 22

2( )1

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

xf x Logx

tiene como

dominio al intervalo ; ] ; ]− ∪a b a c ;

0>a .

Rpta: 3 51. Determine el rango de la función f , si

2 12

1( ) | 2 1|2

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

f x Log x Log x .

Rpta: {1}