Logaritmus - wintsche.web.elte.huwintsche.web.elte.hu/wp-content/uploads/2019/04/Botka_Logaritmus.pdf · Exponenciális függvény. Az exponenciális függvény ábrázolása, vizsgálata

Mattan IV. – 2018/19/2 Logaritmus Deák Réka, Horváth Luca, Bottka Benedek

1

Logaritmus

Tanmenet emelt-B kerettantervhez, gimnáziumi 11. fakultációs csoportnak

Deák Réka, Horváth Luca, Bottka Benedek

Matematika tanítása IV.

2018/19/2

Tartalomjegyzék

Kerettanterv .............................................................................................................................................. 2

Szoros előzmények .................................................................................................................................. 4

Fogalmi háló ............................................................................................................................................ 5

Tanmenet .................................................................................................................................................. 6

Óraterv ...................................................................................................................................................... 8

Témazáró ................................................................................................................................................ 14

A témazáró pontozása ............................................................................................................................ 15


2

Kerettanterv

Az ide vágó részlet az emelt-B típusú kerettanterv 11. osztályra vonatkozó követelményeiből:

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 2. Hatvány, gyök, logaritmus Órakeret 25 óra

Előzetes tudás Hatványozás egész kitevővel, hatványozás azonosságai, n-edik gyök, gyökvonás azonosságai. Valós számok

halmaza.

A tematikai egység nevelési-

fejlesztési céljai

A matematika belső fejlődésének felismerése, új fogalmak alkotása: a racionális kitevő értelmezése. Tájékozódás a

világ mennyiségi viszonyaiban: exponenciálisan, logaritmikusan változó mennyiségek. A matematikai ismeretek

alkalmazásának felismerése más tudományágban és mindennapjainkban.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok

Az egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságainak ismétlése.

Számológép használata hatványok értékének kiszámításában, normálalak használatában.

Azonos átalakítások; a célszerű módszer, lépés megválasztása.

Kamatszámítás, hitelfelvétel, törlesztőrészlet-számítás.

A hatványfogalom kiterjesztése – törtkitevőjű hatványok.

A hatványozás eddigi azonosságai érvényben maradnak – permanencia-elv.

Exponenciális függvény.

Az exponenciális függvény ábrázolása, vizsgálata – irracionális kitevőjű hatvány fogalma szemléletes

alapon.

Fizika: radioaktivitás (bomlási törvény,

aktivitás).

Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek.

Megoldás a definíció és az azonosságok alkalmazásával.

Exponenciális egyenletre vezető valós problémák megoldása.

Földrajz; biológia-egészségtan: globális

problémák (pl. demográfiai mutatók, a Föld

eltartó képessége és az élelmezési válság,

betegségek, világjárványok, túltermelés és

túlfogyasztás).


3

Számolás 10 hatványaival, 2 hatványaival.

A logaritmus fogalma.

A logaritmus értékének meghatározása a definíció alapján és számológéppel.

A logaritmus azonosságai:

szorzat, hányados, hatvány logaritmusa;

áttérés más alapú logaritmusra.

A logaritmus azonosságainak alkalmazása kifejezések számértékének meghatározására, kifejezések

átalakítására.

Matematikatörténet: a logaritmus fogalmának kialakulása, változása. Logaritmustáblázat.

Kémia: pH-számítás.

Fizika: radioaktivitással kapcsolatos

számítási feladatok.

A logaritmusfüggvény.

A logaritmusfüggvény ábrázolása, vizsgálata.

Adott alaphoz tartozó exponenciális és logaritmusfüggvény kapcsolata.

Inverz függvénykapcsolat szemléletes fogalma.

Logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek.

Megoldás a definíció és az azonosságok alkalmazásával.

Értelmezési tartomány vizsgálata. Számológép használata.

Kulcsfogalmak/

fogalmak Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus.

Jelentős eltérés a középszintű fejlesztési követelményektől a logaritmus szempontjából:

- a függvény tárgyalása egy másik egységben zajlik

- az egyenlőtlenségek középszinten nem elvártak

- az egyenletek közül középszinten csak az azonosságok közvetlen használatával megoldhatóak elvártak


4

Szoros előzmények

Téma Óraszám

Logikai műveletek

Kombinatorika

Gráfelmélet 12

Hatványozás

- racionális kitevő

- azonosságok

- hatványfüggvények (ábrázolás, transzformálás, inverz kapcsolat)

13 Exponenciális kifejezések

- valós hatványkitevő

- azonosságok

- exponenciális függvények (ábrázolás, transzformálás)

- egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek (áttérés monotonitással)

- tantárgyi kapcsolatok: radioaktív bomlás, szaporulat, Koch-görbe


5

Fogalmi háló


6

Tanmenet Tanmenet - Logaritmus

Az óra

száma Az óra témája Új ismeretanyag Megjegyzések

1. A logaritmus fogalma

(Óravázlat)

szám logaritmusa

(racionális eredményű)

- a fogalom bevezetése exponenciális kapcsolatokon keresztül

- matematikatörténeti, egyéb tudományterületi vonatkozások

- a visszafelé gondolkodás elmélyítése

2. A logaritmusfüggvény - tetszőleges szám logaritmusa

- a logaritmusfüggvény grafikonja

- számológép-használat

- értéktáblázat- készítés függvényábrázolás

- a függvény analízise (korábbi ismeretek alkalmazása: menet,

ÉT, ÉK, ZH, metszéspont)

- GeoGebra használata

3. A logaritmusfüggvény,

transzformációi

- inverz függvény (exponenciális)

- függvénytranszformáció

- az inverz-tulajdonság grafikusan

- transzformációs szabályok átültetése

- csoportmunka (mozaik-módszer)

4.

Röpdolgozat (10 p.) 1- 3 óra anyaga a csoport tudásának felmérése

A logaritmikus azonosságok a négy azonosság

(szorzat, tört, hatvány, áttérés)

- az azonosságok levezetése definícióból, kapcsolat a

hatványozás azonosságaival

- gyakorlás egyszerű példákon keresztül

5. A logaritmikus azonosságok

gyakorlása

az azonosságok elmélyítése, a későbbi magabiztos használat

érdekében


7

6. Logaritmikus egyenletek logaritmikus egyenletek megoldási

módszerei

- azonosságok felhasználása az egyenletmegoldásban

- a monotonitás szerepének megértése – felelevenítés az

exponenciálisból

- ÉT és kikötés szerepének hangsúlyozása

7. Logaritmikus szöveges

feladatok

- logaritmus-táblázat, logarléc

- kapcsolódó logaritmikus

jelenségek:

Richter-skála, dB, pH, Benford-

törvény (érdekességként)

- a logaritmus-táblázat használatához kereső verseny

függvénytáblázattal (amennyiben a csoport alkalmas rá)

- szöveges feladatok (fizika, kémia)

- páros munka a gyorsabb megértéshez

8.

Logaritmussal megoldható

egyenletek, szöveges

feladatok

- exponenciális egyenletek

megoldása logaritmussal

- kapcsolódó exponenciális

jelenségek

(radioaktív bomlás, szaporulat,

kamatszámítás, Koch-görbe)

- exponenciális és logaritmikus kifejezések együttes

használata

- egyenletmegoldó módszerek gyakorlása, alkalmazása

szöveges feladatoknál

- szöveges feladatok (fizika, biológia, matematika)

9.

Röpdolgozat (15p.) 4-7 óra anyaga a csoport tudásának felmérése

Logaritmikus

egyenlőtlenségek

logaritmikus egyenlőtlenségek

megoldása

- az azonosságok használata az egyenlőtlenség megoldása

során

- a monotonitás szerepének megértése (áttéréskor)

10. Logaritmikus

egyenletrendszerek

logaritmikus egyenletrendszerek

megoldási módszerei

- a dolgozat alapján felmerülő hiányosságok pótlása

- egyenletrendszer-megoldás felidézése

- logaritmikus egyenlet felidézése

- egyenletrendszer-megoldás felidézése


8

11. Összefoglalás 1-9 óra anyaga

- ismétlés, gyakorlás

- csoportverseny

12. Témazáró dolgozat

13. A témazáró kiértékelése

A csoport fogékonysága alapján +1 óra beiktatható a nehéznek bizonyuló témakörök segítésére!

Óraterv

Iskolatípus: gimnázium

Évfolyam: 11.

Csoport: koedukált, fakultációs csoport (16 fő)

Kerettanterv: Emelt-B.

Téma: A logaritmus bevezetése

Előzmények: az exponenciális téma lezárása dolgozattal (valós kitevőjű hatványok, exponenciális függvény, exponenciális egyenletek,

egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek, szöveges példák), ellenőrzésével

Folytatás: irracionális eredményű logaritmikus kifejezések értelmezése, logaritmus függvény bevezetése

Könyvek:

Juhász István, Orosz Gyula, Paróczay József, Szászné dr. Simon Judit: Matematika 11. – OFI, Az érthető matematika sorozat,

2015 (az órához feladataiban nem, csak tematikájában felhasznált)

Az óra célja: a logaritmus fogalmának bevezetése, a racionális eredményű logaritmusok kiszámításának elmélyítése

Eszközök: nagy papír, filctollak, blue tack


9

Idő Az óraegység menete Tanári kommentár Módszer Megjegyzések Eszközök

0

–

2

Köszönés, adminisztratív

feladatok

2

–

8

Exponenciális ismeretek

felelevenítése (hozott példák)

Most még, amíg friss az emlék,

elevenítsük fel csak, hogy is volt az a

hatványozás? Mindenki írja azt, amit

én írok!”

„Sanyi, meg tudnád mondani, hogy

hogyan néz ki normál tört alakban

az, amit felírtam a táblára?”

„ Csavarjunk kicsit a dolgon, most

oldjunk meg három exponenciális

problémát! Kata, mennyi x ebben az

egyenletben?”

A feladatok

közös

megbeszélése

felszólítással

A pirossal írt rész mostantól

minden esetben a feladat

során kiszámítandó érték.

A diákok által diktált

megoldásokat a tanár felírja a

táblára.

Az előző téma az

exponenciálissal foglalkozó

volt, így ezek a fajta

problémák nem idegenek.

A példák nem szépek, ez a

logaritmus motiválásának

érdekében van.

füzet

tábla

kréta

8

–

10

Átvezetés

„ Szépen megoldottátok ezeket,

viszont azért örülnénk neki, hogy ha

lenne valami rövidebb módja ezek

kiszámítására, nem? Nos,

képzeljétek, van is!”

frotnális Átvezetésként kicsi történeti

háttér, az érdeklődés

felkeltésére.

https://hu.wikipedia.org/wiki/Logaritmus

https://hu.wikipedia.org/wiki/Logaritmus


10

Történeti háttér:

„A logaritmust John Napier vezette be a szorzást, hatványozást tartalmazó

számolások megkönnyítésére. Az elnevezés a görög „λόγος” (logosz,

arány) és „ἀριθμός” (arithmosz, szám) szavak összetételéből származik. A

számítások megkönnyítésére logarléceket és logaritmustáblázatokat

készítettek, amelyek hamarosan elterjedtek a tengerészetben, a

tudományokban és a mérnökök között. Ezek az eszközök a logaritmus

azonosságait használják fel. A logaritmus mai jelölése Eulertól származik,

aki elsőként kapcsolta össze az exponenciális függvénnyel.”

10

–

15

A definíció

- a definíció lediktálása, felírása a

táblára:

„Azt a kitevőt, melyre az a

számot emelve a b számot kapjuk,

a b szám a alapú logaritmusának

nevezzük. Jele: ”

- feltételek

felírása segítő kérdésekkel

- a definíció másik fajta leírása:

- az jelölések bevezetése

„ Milyen szám lehet a? Emlékeztek

még, milyen alapokat használhattunk

az exponenciális kifejezéseknél?”

„És a akármilyen pozitív szám lehet?

Van annak értelme például, hogy

? „

„És milyen szám lehet b? Milyen

számok voltak az exponenciális

kifejezések eredményei?”

Frontális,

kérdések

feltevése

A definíció befogadása elsőre

nehéz lehet, a tényleges

megértésére az ezt követő

példáknál számítok.

Ki is mondhatnánk a

feltételeket rögtön, de a

kigondolásuk segíthet a

megjegyzésükben.

Bár a szöveges definíció

ugyanezt mondja ki, érdemes

le is írni karakterekkel.

füzet,

tankönyv


11

15

–

20

Feladatok a definíció

gyakorlására (hozott példák)

„Nézzük akkor meg, hogyan

működik ez a logaritmus! Oldjuk

meg ezeket a példákat közösen!”

Közös

megoldás,

ötletelés

A megoldás menete

bemondásos alapú, ügyelve

arra, hogy a tanulók biztosan

megértsék a példákat. A

megoldás kezdeti szakaszban

a definíció kimondásával

történik a konkrét példára.

Vissza lehet térni az óra elei

exponenciális problémák

átgondolásához is,

logaritmikus megoldásuk

szempontjából.

füzet

tábla

kréta

20

–

25

Alkalmazások

Logaritmust felhasználó területek

rövid bemutatása (megemlítés,

esetleg képlet a táblára):

- pH-skála

- Richter-skála

- dB-skála

(a csoport beállítottsága alapján

ezekből vagy másik témákból)

„Hallott-e már valaki olyan

területről, ahol logaritmust

használnak?”

közös ötletelés

beszámoló

Elsősorban a diákok ötleteire

építünk, ha ők már kifogytak,

akkor hozzuk a sajátokat.

A kapcsolódó jelenségeket

csak említés szintjén mutatjuk

be, számolásokat a tanmenet

későbbi részében fogunk

végezni.

A témák motiváló

bemutatásához

segítség(zanza.tv), de a videó

bemutatását nem javasoljuk

(nem ide illő számolásokba

megy bele)

tábla

kréta

https://zanza.tv/matematika/szamtan-algebra/logaritmus-korulottunk


12

25

–

33

Csoportmunka (hozott példák)

1. csoport:

2. csoport:

3. csoport:

4. csoport:

„4-es csoportokban fogtok dolgozni!

Minden csoport kap egy lapot, 2

színű filctollat és 3 feladatot! Miután

megoldottátok a feladatot, írjátok rá

nagyba a papírra, úgy, hogy amit

kiszámoltatok, az legyen a másik

színnel! Mindenki dolgozzon, mert

utána el kell magyarázni a

többieknek! Sorsolással fog eldőlni,

hogy ki az a 3 diák egy csoportból,

aki megmondja a megoldást.”

Csoportmunka

(4 fő),

kooperatív

kézségek

fejlesztése

A tanár az osztályt 4 fős

csoportokra osztja, minden

csoport kap egy nagy lapot,

filctollakat, és 3 logaritmusos

gyakorlófeladatot. A csoport

megoldja a feladatokat,

nagyban felírja a papírjára és

blue tack-el kirakja a táblára.

A csoportok beosztása

ülésrend szerinti, kivéve, ha

azt magatartási vagy

felzárkóztatási szempontok

nem bírálják felül.

Mivel 3 ember lesz

kiválasztva egy csoportból,

akik elmondják a feladatot,

ezért mindenkinek mindegyik

feladatot érteni kell.

Az egész csoportot értékeljük

szóban, hogy ezzel is

motiváljuk őket, hogy

segítsék egymást.

nagy lap

filctollak

blue tack


13

33

–

42

A csoportmunkai feladatok

ellenőrzése

„Megkérjük akkor az 1-es csoportot,

hogy mindenki magyarázza el egy

feladat megoldását, hogy a többiek is

megértsék! A többiek pedig írják le a

példákat a füzetükbe!

Közös

megbeszélés

Ellenőrzés:

a csoportok sorban (a

helyükről) elmondják a

megoldásukat (a kiválasztott

3 csoporttag 1-et), a többi

diák leírja a füzetébe.

A feladat megmagyarázása a

gondolkodásmód bemutatását

vagy a definíció kimondását

jelenti a konkrét példára.

füzet

tábla

kréta

42

–

45

A következő óra motivációja,

házi feladat, óra lezárása

- A nem racionális eredményű

logaritmikus probléma felvetése a

következő óra motiválására

- Az elkészített papírokat kirakjuk

a faliújságra

- Házi feladat (hozott példák):

Nézzenek utána,

hogyan működik a

logaritmustáblázat

„Ha megnézitek, az órán csak olyan

logaritmust számoltunk, aminek

racionális lett az eredménye, de van

egyéb számoknak is logaritmusa ám!

Aki szeretne, gondolkozzon el rajta,

hogy vajon mennyi lehet ?

Ezzel fogunk foglalkozni jövő órán!”

„Az utolsó feladathoz találtok egy

ilyen táblázatot a 4jegyű

függvénytábla 84. oldalán!

Próbáljátok megfejteni, hogy vajon

hogyan működhet!

Frontális

Amennyiben egy ehhez

hasonló kérdés a diákban már

korábban felmerül: „Nagyon

jó kérdés, következő órán

fogunk foglalkozni

ilyenekkel, jó?”

Felfedeztető típusú feladat, a

tényleges eszköztáruk még

nincs meg a pontos

megfejtéshez, viszont a

találgatás a következő óra

kezdéséhez jó tapasztalatokat

nyújt.

füzet

tábla

kréta


14

Témazáró 1. Oldd meg a következő egyszerű példákat! (5p)

a.

b.

c.

d.

e.

2. Ábrázold a függvényeket koordinátarendszerben és add meg az értelmezési tartományukat, értékkészletüket, zérushelyeiket, monotonitásukat

és közös pontjaik koordinátáit! (6p, lehet sok részpontot szerezni!)

a. b.

3. Oldd meg a következő egyenleteket! (6+6p)

a. b. 4. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! (5p)

5. (Érettségi közép szint 2011.okt.) Újsághír: „Szeizmológusok számításai alapján a 2004. december 26-án Szumátra szigetének közelében

kipattant földrengés a Richter-skála szerint 9,3-es erősségű volt” A földrengés Richter-skála szerinti „erőssége” és a rengés középpontjában

felszabaduló energia között fennálló összefüggés:

Ebben a képletben E a földrengés középpontjában felszabaduló energia mérőszáma (joule-ban mérve), M pedig a földrengés erősségét megadó

nem negatív szám a Richter-skálán.

a) A Nagasakira 1945-ben ledobott atombomba felrobbanásakor felszabaduló energia joule volt. A Richter-skála szerint

mekkora erősségű az a földrengés, amelynek középpontjában ekkora energia szabadul fel? (2p)

b) A 2004. december 26-i szumátrai földrengésben mekkora volt a felszabadult energia? (3p)

c*) Pluszpont: A 2007-es chilei nagy földrengés erőssége a Richter-skála szerint 2-vel nagyobb volt, mint annak a kanadai földrengésnek az

erőssége, amely ugyanebben az évben következett be. Hányszor akkora energia szabadult fel a chilei földrengésben, mint a kanadaiban? (4p)

6. Egy testet baktériumok támadnak meg. Az antibiotikum beadása után a baktériumok száma óránként az aktuális szám 10%-val csökken.

Mennyi idő múlva lesz feleannyi baktérium, mint az antibiotikum beadása előtt volt? (4p)


15

A témazáró pontozása 1. a) 1 pont

b) 1 pont

c) 1 pont

d) 3 1 pont

e) 1 pont

Összesen: 5 pont

2. f(x) és g(x) ábrázolása:

f(x) helyes

ábrázolása 0,5 pont;

g(x) helyes

ábrázolása 1 pont

f(x) értelmezési tartománya 0,5 pont Ezek a pontok akkor

is járnak, ha a diák

rossz ábrát készített,

de arról helyesen

olvassa le az

értékeket.

f(x) értékkészlete 0,5 pont

f(x) zérushelye x=1 0,5 pont

f(x) monotonitása szig. mon. nő 0,5 pont

g(x) értelmezési tartománya 0,5 pont

g(x) értékkészlete 0,5 pont

g(x) zérushelye x=4 0,5 pont

g(x) monotonitása szig. mon. csökken 0,5 pont

f(x) és g(x) közös pontja M (3;1) 0,5 pont

Összesen: 6 pont


16

3. a)

Kikötés:

1 pont

Azonosság alkalmazása: 1 pont

Szig. monotonitásra hivatkozás 1 pont

Összevonás és rendezés

A szorzattá alakítás nem szükséges, anélkül is

megoldható a feladat.

1 pont

1. gyök megtalálása

1pont

2. gyök megtalálása 1 pont

Összesen: 6 pont

3. b)

Akkor is jár a pont, ha ez a gondolat

csak a megoldásból derül ki.

1 pont

Új ismeretlen bevezetése

1 pont

Másodfokú egyenlet megoldása -42=0

1 pont

Visszahelyettesítés

Szig. monotonitásra hivatkozás

1 pont

Gyök megtalálása 1 pont

Másik gyök visszahelyettesítése és a

megoldás kizárása.

1 pont

Összesen: 6 pont


17

4.

Kikötés: 1 pont

Jobb oldal átírása 1 pont

Szig. monoton csökkenésre hivatkozás 1 pont

1 pont

További egy pont jár, ha a diák észreveszi a relációjelek

megfordulását.

1 pont

Összesen: 5 pont

5. a)

Behelyettesítés a képletbe

1 pont

Más, helyes kerekítés is elfogadható. 1 pont

Összesen: 2 pont

5. b)

Behelyettesítés a képletbe

1 pont

Az egyenlet rendezése 1 pont

Számológép megfelelő használata 1 pont

Összesen: 3 pont

5. *

Egyenlet felírása

1 pont

Egyenlet rendezése 1 pont


18

Azonosság alkalmazása

1 pont

1000-szer akkora volt a felszabadult energia

1 pont

Összesen: 4 pont

6.

A növekedés felírása 1 pont

Egyenlet felírása

1 pont

Logaritmus használata

1 pont

Más, helyes kerekítés is elfogadható. óra 1 pont

Összesen: 4 pont

Összesen: 36 + 4 pont

Pontozás

5 36 – 32

4 31 – 27

3 26 – 22

2 21 – 17

1 16 – 0

(a maximális pont feletti eredményre az órai rendszer alapján plusz vagy kisötös járhat)

Documents

Logaritmus - wintsche.web.elte.huwintsche.web.elte.hu/wp-content/uploads/2019/04/Botka_Logaritmus.pdf · Exponenciális függvény. Az exponenciális függvény ábrázolása, vizsgálata