A A σσ(n)-n = s(n)(n)-n = s(n) számelméleti függvény számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati vizsgálata és gyakorlati

alkalmazásaalkalmazása

Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek:Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek:

Győrffy Lajos Szudi LászlóGyőrffy Lajos Szudi László

Lamm ÉvaLamm Éva Eckert János Eckert János

Pap Máté Réti NorbertPap Máté Réti Norbert

Témavezető: dr. Katz SándorTémavezető: dr. Katz Sándor

FogalmakFogalmak

• Egy Egy nn pozitív egész szám esetén s( pozitív egész szám esetén s(nn)-nel )-nel jelöljük a nála kisebb osztóinak összegét.jelöljük a nála kisebb osztóinak összegét.

pl.: s(18)=1+2+3+6+9=21pl.: s(18)=1+2+3+6+9=21

s(16)=1+2+4+8=15s(16)=1+2+4+8=15

• σσ((nn)-nel jelöljük egy az )-nel jelöljük egy az nn szám összes szám összes osztójának összegét. osztójának összegét.

• σσ((nn) értéke ) értéke nn-nel nagyobb a s(-nel nagyobb a s(nn)-nél. )-nél.

pl.: pl.: σσ(18)=1+2+3+6+9+18=39 (18)=1+2+3+6+9+18=39

σσ(16)=1+2+4+8+16=31(16)=1+2+4+8+16=31

s(n) függvény

• Az s(n) és n viszonya alapján 3 csoportra oszthatjuk a számokat:

• Ha s(n) < n, akkor a szám hiányos,

pl.: s(9)=1+3=4 < 9

• Ha s(n) > n, akkor a szám bővelkedő

pl.: s(12)=1+2+3+4+6=16 > 12

• Ha s(n) = n, akkor a szám tökéletes

pl.: s(6)=1+2+3=6.

Tökéletes számokTökéletes számok

A páros tökéletes számok ma már ismert alakja:

Ahol prím.

Az ilyen alakú prímeket Mersenne prímeknekMersenne prímeknek nevezzük. Ezekből mindössze 4747 darabot ismerünk. Továbbá minden Mersenne prímhez tartozik tökéletes szám és fordítva.

n =2n =2p-1p-1 (2 (2pp –1)–1)

22pp –1–1

Már Euklidesz (i. e. 365-300) megmutatta, hogy ha n = (2p-1) · 2p-1 alakú, ahol p és 2p-1 prímszám, akkor n tökéletes szám.

Pl: p=2-re: (22-1) · 22-1 = 3 · 2=6

p=3-ra: (23-1) · 23-1 = 7 · 4=28

Marin Mersenne, francia szerzetes több olyan p prímet adott meg, amelyekre (2p-1) is prím. Az ilyen alakú prímeket azóta is Mersenne-prímeknek nevezzük.

Marin Mersenne(1588-1648)

Leonhard Euler(1707-1783)

Leonard Euler

megmutatta, hogy páros tökéletes szám csak n=(2p-1) ·2p-1 alakú lehet. És ő találta a 8. tökéletes számot, ami 19 jegyű.

Derrick Lehmer

(1905-1991)

Derrick Lehmer kidolgozott olyan eljárást, amivel nagyobb tökéletes számokat is lehet keresni.

Eddig (2009 okt. 24.) 47 tökéletes számot ismerünk.

Ez mind páros.

Az első 15 Mersenne-prím és tökéletes szám## p (exponent) digits in Mp digits in Pp year discoverer

1 2 1 1 ---- ----

2 3 1 2 ---- ----

3 5 2 3 ---- ----

4 7 3 4 ---- ----

5 13 4 8 1456 anonymous

6 17 6 10 1588 Cataldi

7 19 6 12 1588 Cataldi

8 31 10 19 1772 Euler

9 61 19 37 1883 Pervushin

10 89 27 54 1911 Powers

11 107 33 65 1914 Powers

12 127 39 77 1876 Lucas

13 521 157 314 1952 Robinson

14 607 183 366 1952 Robinson

15 1279 386 770 1952 Robinson

PrímszámrekordPrímszámrekord

A mai rekord 12 978 189 jegyből áll.

2008. augusztus 23. - Edson SmithEdson Smith

Mersenne-képlet alapján a rekordszám:

(2 (2 43 112 60943 112 609)-1)-1

(GIMPS: Great Internet Mersenne Prime Search)

A legnagyobb ismert prímek

1. 243 112 609-1 12 978 189 jegyű Aug 2008 M47??

2. 242 643 801-1

12 837 064 jegyű Jun 2009 M46??

3 237 156 667-1

11 185 272 jegyű Sep 2008 M45??

4 232 582 657-1

9 808 358 jegyű Sep 2006 M44??

Nem tudjuk, hogy van-e, de ha van, ilyen N, akkor

•N-nek legalább 75 törzstényezője van – pl.:53 3-nak számít. (Kevin Hare 2005.)

•A legnagyobb prímtényezője 100 milliónál nagyobb (Takeshi Goto és Yasuo Ohno, 2006)

•Minimum 9 prímosztója van (Nielsen, 2006)

•Maga szám 10500 –nál is nagyobb. (2006)

Létezik-e páratlan tökéletes szám?

Aliquot sequencesAliquot sequences

Hogyan viselkedik ez a sorozat?Hogyan viselkedik ez a sorozat?

n n → → s(n) s(n) → → s(s(n)) s(s(n)) →→ s(s(s(n))) s(s(s(n))) → …→ …

pl. 12 → 16 → 15 → 9 → 4 →3 →1.pl. 12 → 16 → 15 → 9 → 4 →3 →1.

Milyen lehetőségek vannak?

Aliquot sequencesAliquot sequences

- Lehet, hogy a sorozatban prímet, majd 1-et kapunk, ezzel a sorozat véget ér.

- Lehet, hogy ciklusok ismétlődnek a sorozatban.

Hány eleműek lehetnek ezek a ciklusok?

- Lehet, hogy a sorozat sosem ér véget?

Hány elemű ciklusok lehetnek?- Egy eleműek a tökéletes számok

pl. 6 → 6 → 6 → … 47 ismert.

- Két eleműek a barátságos számokpl. 220→284→220→284

több, mint 12 000 000 ismert

- Három eleműt nem ismerünk

- Négy, vagy annál több eleműPl.: 1 264 460 → 1 547 860 → 1 727 636 → 1 305 1840

12496 →14288 →15472 →14536 → 14264 2009 márciusig 152 ilyen ciklus ismert.

(28 elemű a leghoszabb.)

Barátságos számok- A görörgök egy párt ismertek: 220-284

- 1300 körül Al Banna arab matematikus találta a következő párt: 17 296 - 18 410.

(Ezt Európában nem ismerték és csak 1636-ban találta meg ezt a párt Fermat.)

- 1638-ban Descartes talált egy újabb párt:

9 363 584 – 9 437 056.

A következő?

Barátságos számok

- Euler 1742-től 1750-ig újabb 61 párt talált, köztük olyat is, amely páratlan számokból áll: 69 615 – 87 633.

- 1946- ban még csak 390 párt ismertek,

2009-ben már több, mint 12 000 000 ismert.

Barátságos számok

Néhány nyitott kérdés: • Van-e páros - páratlan pár?

• Van-e olyan pár, amelyben az egyik szám sokkal nagyobb a másiknál?

(Az eddig ismert párok elemei közel vannak egymáshoz, vagyis ha az (a;b) barátságos párban a< b, akkor az eddig ismert párokra az arány egy elég szűk intervallumban helyezkedik el:

0,697893577 ≤ a/b ≤ 0,999852518

Egy hosszú sorozat:

1. 2. 3. 4. 5.

138 →150 → 222 → 234 → 312→…

113.

… → 179 931 895 322 →…

169. 170. 171. 172.

200 → 265 → 59 → 1

276 → ?

Nem ismert végű ciklusok

Lehmer five

   Sequenz / sequence 276 552 564 660 966

      last index 1567 881 3119 626 770

      last update ) 26-08-2008

26-08-2008

26-08-2008

26-08-2008

26-08-2008

   Größe in Dezimalstellen C149/ C139/ C134/C132

C152

Lehmer five grafiikonja

Milyen értékeket vesz fel az s(n) függvény?

• Végtelen sok olyan érték van, amit nem vesz fel. (Erdős P. 1936.)

• Minden páratlan értéket felvesz, ha a páros számokra vonatkozó Goldbach-sejtés igaz.

A h(n)=h(n)=s(s(nn)/)/nn hányadosról hányadosról• h(n) akármilyen kis poztív értéket felvehet, ha n

elegendően nagy prímszám• Belátható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket

felvehet. Legyen n=a!

( )( )

s nh n

n

Ebből látható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket felvehet.

Gombos László A sorozatról című, a POLYGON 1998. 2. számában megjelent cikkében bebizonyította, hogy h(n) értékei a számegyenesen mindenütt sűrűn helyezkednek el.

aaa

aaaa1

...3

1

2

11

!

!...

3

!

2

!

1

!

( )n

n

Egy sejtésEgy sejtés "n" amíg vizsgáltuk a számokat n -ig a bővelkedő számok "k" száma k/n arány

10 0 0100 22 0,22

1000 246 0,24610000 2488 0,249

100000 24795 0,2481000000 247545 0,247

10000000 2476744 0,24767

A problémát Marc Deléglise a közelmúltban már megoldotta.

A keresett határérték a ] 0,2474; 0,2480[ intervallumba esik.

Nyitott kérdések az s(n) Nyitott kérdések az s(n) függvénnyel kapcsolatbanfüggvénnyel kapcsolatban

• van-e bármilyen van-e bármilyen nn szám, amelyre szám, amelyre s(n)= n-1s(n)= n-1??

A kettő hatványok ilyenek, nem tudjuk kettő hatványok ilyenek, nem tudjuk van-e más?van-e más?

• van-e bármilyen van-e bármilyen nn szám, amelyre szám, amelyre s(n)= n+1s(n)= n+1??Tudjuk, hogy páros Tudjuk, hogy páros n-ren-re nem teljesül. nem teljesül.

A S(n) és s(n) függvények egy A S(n) és s(n) függvények egy összehasonlításaösszehasonlítása

n p p pk krkr 1 2

1 2 ...Az szám pozitív osztóinak összege:

1 22 2 21 1 1 2 2 21 ... 1 ... ... 1 ... rk k k

n r r rp p p p p p p p p

A szorzat tényezőit felírhatjuk mértani sorozatok összegeként:

121 111 2

1 2

( 1)( 1) ( 1)( ) .....

( 1) ( 1) ( 1)

k mkkm

m

pp pn

p p p

A képlet segítségével σ(n)-ből meg tudjuk határozni n-t!

1( 1)

( 1)

iki

i

p

p

gyorsan nő .Tetszőleges pi esetén ki értékeit növelve

Pl.: Pl.: σσ(n) = 8736(n) = 8736 Tekintsük a d = képletet! Legyen p1 = 2,

k1 = 1 esetén d = 3, mivel 3| 8736, ezért 2| n;k1 = 2 esetén d = 7, mivel 7| 8736, ezért 22| n;k1 = 3 esetén d = 15, mivel 15 nem osztója 8736-nak, ezért 23 sem osztója n-nek;Ugyanezen gondolatmenet alapján kiszámítható,hogy n osztói lesznek még 53 és 7.Vagyis n = 22 · 53 ·7 = 3500

1( 1)

( 1)

iki

i

p

p

Az s(Az s(nn) függvénynél nincsenek ) függvénynél nincsenek ilyen gyors eljárások. ilyen gyors eljárások.

Nem tudjuk ilyen egyszerűen Nem tudjuk ilyen egyszerűen eldönteni s(eldönteni s(nn) értékének ) értékének ismeretében,hogy egy prím ismeretében,hogy egy prím szerepel-e szerepel-e nn-ben vagy nem.-ben vagy nem.

Egy adott s(Egy adott s(nn) esetén milyen határok ) esetén milyen határok között kereshetjük között kereshetjük nn értékét? értékét?

- Bármely n = prím szám esetén s(n) = 1, és fordítva- n = p2 , ahol p prím, ekkor s(n) = 1+p

A két egyenletből kifejezve: n=(s(n)-1)2

Tehát egy adott s(n) érték esetén

n ≤ (s(n)-1)2

Ez pl. azt jelenti, hogy egy 64 jegyű s(n) esetén n nem lehet nagyobb 128 jegyűnél.

Hol lehet n?

0 s(n) 2s(n) (s(n)-1)2

A próbálkozások csökkentése

• Ha s(n) páros, akkor s(n)=σ(n)-n miatt

- n páratlan négyzetszám, vagy

- n=2km, ahol m nem négyzetszám.

• Ha s(n) páratlan, akkor

- n páratlan nem négyzetszám, vagy

- n=2km, ahol m négyzetszám.

Mindezek a korlátozások azonban alig Mindezek a korlátozások azonban alig csökkentik a próbálkozások számát, csökkentik a próbálkozások számát, idejét.idejét.

Ha a Ha a 128128 jegyűekig jegyűekig minden minden nn-t végig -t végig kellene próbálni, hogy az adott s(kellene próbálni, hogy az adott s(nn) érték ) érték tartozik-e hozzá, akkor ez igen sokáig tartozik-e hozzá, akkor ez igen sokáig tartana. Pl. ha egy számítógép minden tartana. Pl. ha egy számítógép minden nn esetén átlagosan 0,00001 s alatt döntené esetén átlagosan 0,00001 s alatt döntené el, hogy hozzá az adott s(el, hogy hozzá az adott s(nn) tartozik-e, ) tartozik-e, akkor ez több, mint akkor ez több, mint 1010100100 évig tartana. évig tartana.

• Minden olyan művelet, ami egyik irányban viszonylag gyorsan kiszámolható, de ez a számítás visszafele nagyon sok ideig tartana alkalmas lehet titkosításra.

• Ilyen tulajdonsággal rendelkezik az n s(n) függvény is.

Alkalmazhatóság: Alkalmazhatóság: ún. borítékolt üznetek titkosításaún. borítékolt üznetek titkosítása

Olyan üzenet kódolásaára lehet ez alkalmas, amikor Olyan üzenet kódolásaára lehet ez alkalmas, amikor az elküldés időpontjában még nem akarjuk, hogy a az elküldés időpontjában még nem akarjuk, hogy a partner el tudja azt olvasni.partner el tudja azt olvasni.Pl. ha két fél interneten sakkozik és egyik a lépését Pl. ha két fél interneten sakkozik és egyik a lépését borítékolni akarja.borítékolni akarja.

A kódolás lépései a következők:A kódolás lépései a következők:1.: A szöveget ASCII kód segítségével átírjuk egy számmá (ez könnyen megtehető, mivel az ASCII kód minden karakterhez egy számot rendel hozzá). Legyen ez a szám n.2.: n számhoz ezután a program segítségével rendeljük hozzá az s(n)-jét. Ezt az s(n)-t küldjük el, mint kódolt üzenetet.

Egy példa a borítékolásraEgy példa a borítékolásraKódolandó üzenet:Kódolandó üzenet:

A2rőlB3ra

Torzított üzenet:Torzított üzenet:szeretlek te A2rőlB3ra édes mostoha

ASCII kóddal kódolt alakja:ASCII kóddal kódolt alakja: 1151 221011 1410111 610810 110732 116101 1151 221011 1410111 610810 110732 116101

326550 114245 108665 111497 322331 001011 326550 114245 108665 111497 322331 001011 153210 911111 511611 110497153210 911111 511611 110497

A fenti szám s(A fenti szám s(nn)-je: )-je: 3837 403370 471969 286544 3837 403370 471969 286544 954134 795272 191872 899415 456620 967898 954134 795272 191872 899415 456620 967898 776770 220474 300551 934442 249017 566943776770 220474 300551 934442 249017 566943

Borítékbontás:Borítékbontás:

Elküldjük az n-t, azaz az eredeti szöveget.

A partner könnyen ellenőrizheti, hogy ehhez a n-hez valóban az előzőleg elküldött s(n) tartozik-e.

(Tehát időközben nem tudunk változtatni az üzeneten.)

Megfejtendő üzenet

www.petofi-bhad.sulinet.hu

s(n) = 11 796 893 749 241 036 845 717 932 775178 816 228 370 307 360 535 662 842 886

n= ?

Felhasznált irodalom:

K. Guy Richard: Unsolved Problems in Number Theory: [1.] B4 Amicable numbers [2.] B6 Aliquot sequence

[3.] B7 Aliquot cycles [4.] B11 Solutions of mσ(m)

[5.] http://www.aliquot.de/lehmer.htm[6.] http://www.aliquot.de/aliquote.htm

[7.] http://amicable.homepage.dk/apstat.htm[8.] Elemente der Mathematik 1973.: (83-87. o.)

Pál Erdős: Über die Zahlen der Form σ(n)-n und n-φ(n) [9.] http://www.wurzel.org: Vollkommenende Zahlen

Köszönöm a figyelmet!