Logic

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M.C. Juan Carlos Olivares [email protected]

February, 2009

mailto:[email protected]

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Representación del Conocimiento

Lógica de Proposiciones

Lógica de Predicados

Deducción Automática


• El conocimiento debe estar expresado en un lenguaje simbólico para que pueda ser reconocido por una computadora o ‘agente’.

• Los agentes pueden consultar a la base de conocimientos para resolver problema o bien agregar nuevos conocimientos.

• Los agentes pueden obtener esta nueva información a través de la inferencia lógica.


• Inicialmente el agente cuenta con unos conocimientos básicos llamados antecedentes o hechos.

• Se cuenta con una serie de reglas que definen la forma de deducir conocimiento.

• El agente pregunta a estas reglas y hechos para poder razonar que opción le conviene más ejecutar.

El Juejo del Wumpus

Percepciones: (4 sensores)

{Hedor, Brisa, Resplandor, Nada}

El agente no percibe su situación

Acciones:

Ir hacia adelante, girar izda/dcha 90º

Agarrar (estando en la casillla)

Disparar (sólo una flecha)

Objetivo: salir con el oro lo antes posible

1000 ptos: salir con el oro

1 pto penaliza cada acción. Penaliz. Máxima: 10000 ptos


• La sintaxis nos indica cuáles son los enunciados que se pueden construir.

• Los enunciados atómicos se componen de una sola proposición.

• Una proposición tiene un solo valor de verdad: Verdadero o Falso.


• Los enunciados complejos se forman a partir de enunciados más simples y el empleo de conectivos lógicos.

• Los Conectivos Lógicos son cinco:– NO (~) también conocida como Negación.– Y (^) también conocida como Conjunción.– O (v) también conocida como Disyunción.– Implicación ( ) también conocida como Condicional.⇒– Sí y sólo si (⇔) también conocida como

Bicondicional.


• Las expresiones que contienen conectivos lógicos se interpretan siguiendo el orden de precedencia que corresponde al mostrado en la tabla anterior.

• Por ejemplo: ~P ^Q v R S equivale a:⇒• (~(P) ^(Q v R)) S⇒

• Además, se emplean los paréntesis para evitar ambigüedades.


• La semántica nos define las reglas que permiten determinar el valor de verdad de un enunciado respecto de algún modelo.

• Con dos símbolos proposicionales existen 4 modelos posibles para cada uno de los 5 conectivos lógicos, ¿Cómo quedarían las tablas de verdad?

Lógica en Wumpus

• Regresemos al mundo del Wumpus para visualizar la construcción de la base de conocimiento.

• Notación:– Bij indica que hay brisa en la celda (i,j).– Pij indica que hay un pozo en la celda (i,j).

• A partir de un conocimiento inicial:– E1: ~P11

Lógica en Wumpus

• Cuando hay brisa en una casilla implica que en una casilla contigua hay un pozo:

• E2: B11 ⇔ P12 v P21

• Ahora agregamos la primera percepción, no se percibe brisa en la celda (1,1): E3: ~B11

• ¿Cómo relacionar los enunciados 2 y 3 para obtener nuevo conocimiento?


• Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son todos verdaderos, a esa proposición compuesta se le llama Tautología. Como ejemplo tenemos a: (p v ~p)

• Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son todos falsos, a esa proposición compuesta se le llama Contradicción. Como ejemplo tenemos a: (p ^ ~p)


• Básicamente la inferencia es la implementación de una implicación.

• Los enunciados conocidos como verdaderos forman parte del antecedente.

• El consecuente es un nuevo enunciado cuya veracidad se desprende de los anteriores. Simbólicamente se representa así:

• antecedente :: consecuente


• La equivalencia lógica se presenta cuando dos enunciados α y β tienen los mismos valores de verdad para el mismo conjunto de modelos.

• A continuación mostramos una tabla con las equivalencias lógicas más comunes:

• Doble Negación: ~( ~p ) ≡ p


• Leyes Conmutativas

( p v q ) ≡ ( q v p )

( p ^ q ) ≡ ( q ^ p )

• Leyes Asociativas

( p v q ) v r ≡ p v ( q v r )

( p ^ q ) ^ r ≡ p ^ ( q ^ r )


• Leyes Distributivas

p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r )

p ^ ( q v r ) ≡ ( p ^ q ) v ( p ^ r )

• Leyes de Idempotencia

( p v p ) ≡ p

( p ^ p ) ≡ p


• Leyes de DeMorgan

~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q

~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q

• Leyes de Identidad

( p v ~p ) ≡ t

( p ^ ~p ) ≡ f

( p v f ) ≡ p

( p v t ) ≡ t


• Leyes de Identidad

( p v f ) ≡ f

( p v t ) ≡ p• Leyes de la Implicación

(p ⇔ q) ≡ (p q) ^ (q p)⇒ ⇒(p q) ≡ (~q ~p)⇒ ⇒(q p) ≡ (~p ~q)⇒ ⇒(p q) ≡ (~p v q)⇒


• Reglas de Inferencias• La siguiente implicación lógica se llama Modus

Ponens y corresponde a la siguiente inferencia:

p ^ ( p q ) :: q⇒

• Ejemplo:

p: Estudio

p q: Si estudio aprobaré Matemáticas⇒q: Entonces, Aprobaré Matemáticas


• La siguiente implicación lógica se llama Modus Tollens y corresponde a la siguiente inferencia:

( p q ) ⇒ ^ ~q :: ~p

• Ejemplo:

p q: Si estudio apruebo Matemáticas⇒~q: No aprobé Matemáticas

~p: Entonces, no Estudié


• La siguiente implicación lógica se llama Silogismo Hipotético y corresponde a la siguiente inferencia:

( p q ) ⇒ ^ ( q r ) :: ( p r )⇒ ⇒

• Ejemplo:

p q: Si estudio apruebo Matemáticas⇒q r: Si apruebo Matemáticas me regalan un ⇒

auto

p r: Entonces, Si estudio me regalan un auto⇒


• La siguiente implicación lógica se llama Silogismo Disyuntivo y corresponde a la siguiente inferencia:

( p v q ) ^ ~p :: q

• Ejemplo:

p v q: Hay que estudiar Francés o Alemán

~p: No estudio Francés

q: Entonces, Estudio Alemán


• La simplificación conjuntiva consiste en eliminar uno de los términos de una conjunción:

( p ^ q ) :: q o también: ( p ^ q ) :: p

• Por el otro lado, la amplificación disyuntiva permite agregar un nuevo término:

p :: ( p v q )

Lógica en Wumpus

• Se tiene que:• E2: B11 ⇔ P12 v P21• E3: ~ B11

• Por lo que tenemos el siguiente razonamiento:• E4: (B11 (P12 v P21)) ^ ((P12 v P21) B11)⇒ ⇒• E5: ((P12 v P21) B11)⇒• E6: ~B11 ~(P12 v P21)⇒• E7: ~(P12 v P21)• E8: ~P12 ^ ~P21

Lógica en Wumpus

• Del razonamiento anterior concluimos que no hay un pozo en la casilla (1,2) ni en la (2,1).

• Ahora veamos el razonamiento cuando el agente llega a la celda (1,2).

• E9: ~B12• E10: B12 ⇔ P11 v P13 v P22• E12: ~P22

Lógica en Wumpus

• Concluimos que no hay pozo ni en la casilla (1,3) ni en la (2,2).

• E11: ~P13• E12: ~P22

• Pero cuando el agente visitó la celda (2,1) percibió una brisa:

• E13: B21• E14: B21 ⇔ P11 v P31 v P22

Lógica en Wumpus

• Dado que ya verificamos que no hay pozo en las celdas (1,1) y (2,2), resulta evidente la conclusión que:

• E15: P31

• Es conveniente que nuestra base de conocimiento esté basada solamente en conjunciones y disyunciones.

Lógica Proposicional

• Cualquier enunciado compuesto puede ser transformado a uno equivalente que esté en la FNC

• La Forma Normal Conjuntiva es la conjunción de n disyunciones de k elementos:

( p11 v … v p1k ) ^ … ^ ( pn1 v … v pnk )


• A continuación se describe un procedimiento para convertir a nuestra FNC:

• Eliminar ⇔ usando la equivalencia:

(p ⇔ q) ≡ (p q) ^ (q p)⇒ ⇒

• Eliminar usando la equivalencia:⇒(p q) ≡ (~p v q)⇒


• Simplificar ~ usando las equivalencias:

~( ~p ) ≡ p

~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q

~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q

• Finalmente, aplicar la ley distributiva donde sea necesario.

p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r )


• E2: B11 ⇔ (P12 v P21)

(B11 (P12 v P21)) ^ ((P12 v P21) B11 )⇒ ⇒(~B11 v P12 v P21) ^ (~(P12 v P21) v B11 )

(~B11 v P12 v P21) ^ ((~P12 ^ ~P21) v B11 )

(~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (~P21 v B11)


• Para demostrar que una implicación BC :: α es válida, se utiliza el método de reducción al absurdo.

• Esto es, probar que su negación: BC ^ ~α es una contradicción.

• Para ello se lleva a la FNC y luego se prueba que es equivalente a una cláusula vacía.


• Probar que: E2 ^ E4 :: ~P12.

• (B11 ⇔ (P12 - P21)) ^ ~B11 :: ~P12

• Se convierte a FNC:• (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (¿P21 v

B11) ^ ~B11 :: ~P12


• Y para probar por reducción al absurdo, tenemos la negación:

• (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (~P21 v B11) ^ ~B11 ^ P12

• El proceso de simplificación funciona como sigue:

• Si tomamos los primeros dos paréntesis, observamos que contienen a: ~B11 y B11, respectivamente.


• Como no pueden ser ambos verdaderos simultáneamente, entonces, o (P12 v P21) o bien (~P12 ) son verdaderos, lo que se reduce a la siguiente expresión:

• (P12 v P21 v ~P12)

• Como (P12 v ~P12 ) es una tautología, la expresión anterior se reduce a: (P21)


• Similarmente, los dos paréntesis siguientes, también contienen a: ~B11 y B11, por lo que la

• expresión simplificada queda: (~P21)

• Como ambas no pueden ser verdaderas, la conjunción resulta en una expresión nula.

Ejercicios

• ( p q ) ⇒ ^ ( q r )⇒

• p ^ ( p q )⇒

• ((p ^ q) ⇔ (p v ~q))

• ((~(p q) ^ r ) v ~(p ⇔ ~q))⇒


• Hay que aprovechar la característica declarativa y la composicionalidad de la lógica proposicional. Para ello definimos dos tipos de elementos:

• Los objetos (Agente, Flecha, Wumpus, Pozo)• Las relaciones entre ellos, generalmente

vinculadas por un verbo.

• El Agente lanzó una Flecha


• Las relaciones unitarias también se conocen como Propiedades y se vincula un objeto con una característica por el verbo SER:

• La Pelota es roja.

• Las Funciones son un tipo especial de relación que involucra un solo objeto y devuelven un valor:

• El padre de• Uno más que


• Uno sumado a Dos es igual a Tres– Objetos: Uno, Dos y Tres.– Relación: es igual a.– Función: sumado a; el resultado es un objeto,

llamado: Uno sumado a Dos.

• Las Casillas que rodean al Wumpus apestan.– Objetos: Casillas y Wumpus.– Relación: que rodean al.– Propiedad: apestan.

Lógica de Primer Orden

• La lógica de primer orden se construye sobre: Hechos, Objetos y Relaciones.

• La lógica de primer orden es universal porque puede expresar cualquier cosa que pueda ser programada.

• El dominio de un modelo es el conjunto de objetos que contiene.


• Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados.

• Por ejemplo, si Hugo, Paco y Luis son hermanos se denota así:

• H = { (Hugo, Paco), (Hugo, Luis), (Paco, Luis),

• Por ejemplo, si Pepe es el padre de Hugo, Paco y Luis, tenemos entonces:


• Padre_de(Hugo) → Pepe• Padre_de(Paco) → Pepe• Padre_de(Luis) → Pepe

• Padre_de(Pepe) ?

• A continuación se muestra la gramática de la LPO en BNF.


• Los símbolos se agrupan en tres clases:

• Símbolos de constante, que representan a los Objetos. Cada símbolo constante nombra a exactamente un objeto en el mundo, no todos los objetos necesitan tener nombres y algunos pueden tener más de un nombre.

• Ejemplo: Juan, Casa, Wumpus.


• Símbolos de predicado, que representan a las Relaciones. Ejemplos: Vecino, Hermano, …

• Símbolos de función. Ejemplos: Coseno, Padre_de, Oficina_de

• Los símbolos de predicado y de función tienen una Aridad que establece el número de argumentos.


• ⟨Enunciado → Sentencia Atómica | ⟩ ⟨ ⟩( Enunciado Conector Enunciado ) | ⟨ ⟩⟨ ⟩⟨ ⟩Cuantificador Variable … Enunciado | ⟨ ⟩⟨ ⟩ ⟨ ⟩

~ Sentencia⟨ ⟩

• ⟨Sentencia Atómica → Predicado⟩ ⟨ ⟩( Término …) | Término = Término⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

• ⟨Término → Función ( Término …) | ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩Constante | Variable⟨ ⟩ ⟨ ⟩


• ⟨Conector → . | - | ⇔ | ⇒⇒• ⟨Cuantificador → | ⟩ ∀ ∃• ⟨Constante → Martin | 59302 | Gato | X | …⟩• ⟨Variable → a | x | s | …⟩

• ⟨Predicado → Previo | Gusta | Llueve | Falla | ⟩…

• ⟨Función → Padre_de | Cabello_de | ⟩Oficina_de | …


• Un término es una expresión lógica que se refiere a un objeto.– Los símbolos constantes son términos– Los símbolos de función son términos.– Las variables también son términos.

• Una sentencia atómica está formada por un símbolo predicado seguido por una lista entre paréntesis de términos.


• Por ejemplo: Hermano(Roberto,Juan) indica que Roberto es el hermano de Juan.

• Las sentencias atómicas pueden tener argumentos que son términos complejos: Casado(Padrede(Roberto),Madrede(Juan))

• Se pueden usar conectores lógicos para construir sentencias más complejas.


• Ejemplo:• Hermano(Roberto,Juan) ∧

Hermano(Juan,Roberto)

• Es verdadero si Juan y Roberto son hermanos, pues la relación es simétrica.

• Los cuantificadores nos permiten expresar propiedades de colecciones de objetos.


• Hay dos cuantificadores en lógica de primer orden: universal y existencial.

• Cuando un enunciado abarca a todos los posibles valores del dominio de una variable, entonces se emplea el Cuantificador Universal, que se denota por . El cual se enuncia con ∀frases similares a: “Para todos …”, “Todos …”

• Ejemplo: Todos los gatos son mamíferos.


• Esta proposición es falsa si al menos un solo valor de la variable no satisface al enunciado.

• La representación simbólica es:• ∀x Gato(x) Mamifero(x)⇒

• Sin embargo, mucha gente cae en el error de interpretarla como:

• ∀x Gato(x) Mamifero(x)∧


• Aparentemente son equivalentes, pero esta segunda forma es más fuerte que la anterior, pues la primera será verdadera cuando el antecedente es falso (v.gr. x es un perro)

• Cuando un enunciado indica que al menos uno de los posibles valores del dominio de una variable, entonces se emplea el Cuantificador Existencial, el cual se denota por .∃


• Y se enuncia con frases similares a: “Hay ...” o “Existe ...” o “Para algunos ...”

• Ejemplo: En mi clase hay mujeres.• Esta proposición es falsa si no existe ningún

valor de la variable que satisfaga al enunciado.

• La representación simbólica es:• ∃x Alumnodemiclase(x) Mujer(x)∧


• Semejante al caso anterior, mucha gente cae en el error de interpretarla como:

• ∃x Alumnodemiclase(x) Mujer(x)⇒

• Pero esta segundo enunciado es más débil que el anterior y sería verdadero para los estudiantes que no están en mi clase.

• Se pueden realizar afirmaciones muy complejas si se anidan cuantificadores.


• Sin mezclar tipos de cuantificadores, podemos decir cosas como:

• ∀x,y Hermano(x,y) Hermano(y,x)⇒

• También podemos mezclar cuantificadores,• ∀x y Buenopara(x,y) “Todos somos buenos ∃

para alguna cosa"• ∃y x Buenopara(x,y) “Alguien es bueno para ∀

todo"


• Se pueden cambiar los cuantificadores mediante la negación.

• Considerar la sentencia:• ∀x ~Gusta(x,Verduras) “Para todo x, x no le

gustan las verduras."

• Es equivalente a decir: “No existe un x que le gusten las verduras.“

• ~ x Gusta(x, Verduras)∃


• Similarmente, los siguientes enunciados son equivalentes:

• ∃x P = ~ x ~P∀• ∀x P = ~ x ~P∃• ~ x P = x ~P∀ ∃• ∀x ~P = ~ x P∃

• Con frecuencia el símbolo de igualdad se incluye como un símbolo especial.


• Ejemplo: Padre(Juan) = José

• Afirmar que el objeto que es padre de Juan es el mismo que el objeto José.

• Los axiomas capturan los hechos básicos acerca de un dominio. Ejemplos:

• ∀x,y Padre(x,y) ⇔ Hijo(y,x)• ∀x,y Abuelo(x,y) ⇔ z Padre(x,z) . Padre(z,y)∃• ∀x Masculino(x) ⇔ ~Femenino(x)


• Algunos axiomas son considerados como Definiciones.

• Los axiomas son luego usados para probar teoremas.

• FOL en Wumpus:

• El primer paso es definir la interface entre el agente y el mundo.

FOL Wumpus

• Un ejemplo de percepción sería:• Percepción([Hedor,Brisa,Brillo,Nada,Nada],5)

• El vector de percepciones contiene 5 elementos que son: Hedor, Brisa, Brillo, Golpe con un muro y Grito. Además incluye un sexto elemento para el tiempo.

• Las acciones posibles del agente pueden ser las siguientes:

FOL Wumpus

• Girar(Derecha)• Girar(Izquierda)• Avanzar• Disparar• Tomar

• Para determinar cuál es la mejor acción, el agente realiza una petición como esta:

• PREGUNTAR(BC, x MejorAcción(x,5))∃

FOL Wumpus

• Esta petición retornará una lista de acciones posibles, tal como: {a/Tomar}.

• Antes de realizar esa acción, el agente deberá DECIR a la base de conocimiento su decisión de hacer la acción de Tomar:

• DECIR(BC, Acción(5)=Tomar)

• Reglas de diagnóstico: nos llevan de los efectos observados a sus causas.

FOL Wumpus

• Por ejemplo: si una casilla tiene brisa significa que una casilla adyacente tiene un pozo.

• ∀x Brisa(x) y Adyacente(y,x) Pozo(y)⇒ ∃ ∧

• Reglas Causales: reflejan conclusiones respecto de las percepciones y sus causas. Por ejemplo: un pozo en una casilla provoca brisa en todas las casillas adyacentes.

• ∀y Pozo(y) [ x Adyacente(x,y) Brisa(x)]⇒ ∀ ⇒


• La Ingeniería del Conocimiento es un proceso general para la construcción de una base de conocimiento. A continuación se describen los pasos de este proceso:

• Identificación de la tarea.• Recopilación del conocimiento. • Decidir el vocabulario. • Codificar el conocimiento.


• Para el hecho: Contrata(Telmex,Toño), podemos construir índices para las siguientes peticiones:

• Contrata(Telmex,Toño) ¿Contrata Telmex a Toño?

• Contrata(x,Toño) ¿Quién Contrata a Toño?• Contrata(Telmex,y) ¿A quién Contrata

Telmex?• Contrata(x,y) ¿Quién Contrata a quién?

Deducción automática

• El primer paso consiste en transformar los enunciados en sentencias lógicas.

• Posteriormente se aplican las técnicas anteriores para convertirlas en un conjunto de cláusulas positivas de primer orden.

• Luego se encadenan esos conocimientos para obtener nuevos enunciados.


• Pasar a FNC la siguiente base de conocimientos:

1.Asterix es un galo

2.Los romanos que son amigos de algún galo odian a César

3.Asterix ayudó a Marco

4.Marco es amigo de quien le ayuda

5.Quien odia a algún romano, lucha contra él

6.Marco es romano


1. Asterix es un galo• galo(Asterix) (en FNC)

1. Los romanos que son amigos de algún galo odian a César

• ∀x [romano(x) . ( y galo(y) . amigo(x, y)) ∃ ⇒odia(x,Cesar)]


• Reemplazando la cláusula existencial:• ∀x [romano(x) . (galo(G) . amigo(x, G)) ⇒

odia(x,Cesar)]

3.Asterix ayudó a Marco• ayuda(Asterix,Marco) (en FNC)

4.Marco es amigo de quien le ayuda• ∀x [ayuda(x,Marco) amigo(Marco, x)]⇒


5. Quien odia a algún romano, lucha contra él• ∀x y [romano(y) . odia(x, y) lucha(x, y)]∃ ⇒

• Reemplazando la cláusula existencial:• ∀x [romano(R) . odia(x, R) lucha(x, R)]⇒

6. Marco es romano• romano(Marco) (en FNC)


• Los Miembros del equipo de tenis son: Juan, Sara, Beto y Elena.

• Juan está casado con Sara.

• Beto es hermano de Elena.

• El cónyuge de un miembro del equipo también es miembro del equipo.


• La última reunión fue en casa de Juan.

• Representar los enunciados anteriores en lógica de predicados. Demostrar que:

• La última reunión fue en casa de Sara.• Elena no está casada.

• Agregue los hechos que necesite para las demostraciones.


• A Paco le gustan los cursos fáciles.

• Los cursos de Física son difíciles.

• Los cursos de Humanidades son fáciles.

• El curso de Ética es del área de Humanidades.

• ¿Qué curso le gustaría tomar a Paco?


• A Beto le gusta la comida italiana.

• En un restaurante hay comida mexicana a no ser que se anuncie explícitamente lo contrario.

• En “La Conchita” no anuncian que tipo de comida sirven.


• A las personas no les gusta ir a restaurantes donde sirven comida que no es de su preferencia.

• ¿Se puede concluir que a Beto no le gusta ir a “La Conchita”?


• Formaliza los siguientes hechos:• Todo dragón está feliz si todos sus hijos

pueden volar.• Los dragones verdes pueden volar. Un

dragón es verde si es hijo de al menos un dragón verde.

• Demuestra por resolución que la conjunción de los hechos anteriores implica que:

• Todos los dragones verdes son felices.


• Considere las siguientes relaciones:

• Feliz(x) para x es feliz.• Volar(x) para x puede volar.• Verde(x) para x es verde.• Dragón(x) para x es dragón• Rojo(x) para x es rojo.• Hijo(x,y) para x es hijo de y.

Referencias

• Carreón, J. (2007) Material de la Asignatura de Inteligencia Artificial, Universidad Vasco de Quiroga, Morelia, Michoacán, México.

• Nilsson, N. (2001). Inteligencia Artificial. Una nueva síntesis. McGraw-Hill, España.

• Russel, S. y Norving, P. (2004). Inteligencia Artificial. Un Nuevo enfoque. Pearson Prentice Hall, España

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