logica-difusa (8)

Logica Difusa

Miguel Angel Espinoza DiazUniversidad Nacional del Callao

16 de julio de 2014

Indice general

1. Introduccion a la Logica Difusa 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Definiciones de Logica Difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Teoria de conjuntos difusos 62.1. Conjunto Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1. Significancia Lingustica . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2. Funciones de Pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3. Grado de pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4. Ejemplos de Conjuntos Difusos . . . . . . . . . . . . . 102.1.5. Caractersticas de los Conjuntos Difusos . . . . . . . . 11

2.2. Operaciones sobre Conjuntos Difusos . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1. Comparacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2. Operaciones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Procedimiento para realizar el Analisis Difuso 143.1. Bloque Difusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Bloque de Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1. Metodo Mandami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2. Metodo Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3. Desdifusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Aplicaciones 17

Bibliografa 20

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Indice de figuras

1.1. L.A Zadeh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1. Clasificacion de Temperaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Funcion de pertenencia triangular . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Funcion de pertenencia trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Funcion de pertenencia gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1. Esquema General de un Sistema basado en Logica Difusa. . . 14

4.1. Clasificacion de temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2. Grados de pertenencia de T=29oC . . . . . . . . . . . . . . . . 19

ii

Captulo 1

Introduccion a la Logica Difusa

1.1. Introduccion

Hace unas 6 decadas aproximadamente muchos de los problemas se abor-daban solo a traves de la Logica Discreta o Logica Tradicional 1, pero en elano 1965 Lofty A. Zadeh, un distinguido profesor de la Universidad de Ber-keley plantea el concepto de Logica Difusa o Logica Borrosa para abordartemas muy complejos, turbulentos y de mucha incertidumbre que la LogicaTradicional no poda resolver.

Estos conceptos planteados por Lofty fueron profundizados por EbrahimMamdami, que en el ano 1974 desarrolla el primer control difuso ,para la re-gulacion de un motor a vapor.Unos anos mas tarde, en 1985 Takagi y Sugenoaportan un nuevo metodo llamado Takagi-Sugeno-Kang(TSK).

La Logica difusa tiene diversas aplicaciones. En la Industria lo podemosver a traves de sistemas de control de acondicionadores de aire, en sistemasde foco automatico en camaras fotograficas, en maniobras complejas en laagencia espacial de la NASA.En la medicina, especialmente en la Oriental,ademas se han hecho estudios en el que se aborda el problema de la segmenta-cion del arbol vascular retiniano en imagenes de fondo de ojo.Actualmente sea visto estudios que intentan aplicar Logica Difusa en el contexto educativo.

1Se basa en la Logica Booleana donde una proposicion puede tomar el valor de ver-dadero o falso

1

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA LOGICA DIFUSA 2

1.2. Historia

Los conceptos primigenios de Logica Difusa se remonta a los tiempos delos filosofos Aristoteles y Platon. Ellos fueron los pioneros en considerar queexistan diferentes grados de verdad y falsedad.

En el siglo XVIII, David Hume e Immanuel Kant continuaron pensandoestas ideas. Ambos concluyeron en que el razonamiento se adquiere gracias alas vivencias a lo largo de nuestra vida. Hume crea en la logica del sentidocomun y Kant pensaba que solo los matematicos podan proveer definicio-nes claras y que por lo tanto haba principios contradictorios que no tenansolucion. Uno de los ejemplos dados por Kant es que, la materia poda serdividida infinitamente, pero al mismo tiempo no poda ser dividida infinita-mente. En conclusion, ambos detectaron algunos principios contradictoriosen la Logica Clasica.

A principios del siglo XX, el filosofo y matematico britanico BertrandRussell divulgo la idea de que la logica produce contradicciones. Realizo unestudio sobre las vaguedades del lenguaje, concluyendo con precision que lavaguedad es un grado. Tambien en este tiempo Ludwing Wittgenstein, es-tudio las diferentes acepciones que tiene una misma palabra. Este llego a laconclusion de que en el lenguaje una misma palabra expresa modos y mane-ras diferentes.

En 1920 Jan Lukasiewicz, desarrollo la primera logica de vaguedades.Para el los conjuntos tienen un posible grado de pertenencia con valores queoscilan entre 0 y 1, y en este intervalo existen un numero infinito de valores.

El padre del termino borrosofue Lofti Asier Zadeh cuando en 1965publico Fuzzy Sets(Conjuntos Difusos). Las tesis que propone surgen delestudio de pensadores de distintas disciplinas que como el, tenan una visionde los problemas diferente de la logica tradicional. La paradoja del conjun-to de Bertrand Russell, el principio de incertidumbre de la fsica cuanticade Werner Heisenberg, la teora de los conjuntos vagos de Max Black y laaportacion de Jan Lukasiewiz, influyeron para que Zadeh publicase el ensayoFuzzy Sets.en la revista Information and Control 2tres anos despues en 1968,Fuzzy Algorithm.

Al comienzo las ideas publicadas por Zadeh no fueron seguidas por lacomunidad cientfica del momento, pero con el tiempo comenzo a tener se-


guidores lo que produjo que sus teoras fuesen ampliadas y se asentaran susconocimientos. La intencion de Zadeh era la creacion de un formalismo paramanejar de forma mas eficiente la imprecision del razonamiento humano. Esen 1971, cuando realiza la publicacion de Quantitative Fuzzy Semantics.en

donde aparecen los elementos formales que dan lugar a la metodologa de laLogica Borrosa y de sus aplicaciones tal y como se conocen en la actualidad.A partir de 1973, con la teora basica de los controladores borrosos de Za-deh, otros investigadores comenzaron a aplicar la Logica Borrosa a diversosprocesos. Se establecen varios grupos de investigacion en logica difusa en al-gunas pequenas universidades japonesas; los profesores Terano y Shibata enTokio y los profesores Tanaka y Asai en Osaka hacen grandes aportacionestanto al desarrollo de la teora de la Logica Borrosa como al estudio de susaplicaciones.

En 1974 Assilian y Mamdani en el Reino Unido desarrollaron el primercontrolador difuso disenado para la maquina de vapor. La implantacion realde un controlador de este tipo no fue realizada hasta 1980 por F.L. Smidthy Co. en una planta cementera en Dinamarca.

Figura 1.1: L.A Zadeh.

En 1987 Hitachi usa un controlador fuzzy para el control del tren de Sen-dai, el cual usa uno de los sistemas mas novedosos creados por el hombre.


Desde entonces, el controlador ha realizado su trabajo correctamente con laconsiguiente satisfaccion por parte de los usuarios de dicho tren. Es tambienen este ano cuando la empresa Omron desarrolla los primeros controladoresdifusos comerciales y es que 1987 es considerado como el fuzzy boomdebidoa la gran cantidad de productos basados en Logica Borrosa que se comercia-lizan.

En 1993, Fuji aplica la Logica Borrosa para el control de inyeccion qumicaen plantas depuradoras de agua por primera vez en Japon. Ha sido precisa-mente aqu, en donde mas apogeo ha tenido la Logica Borrosa, creandoseestrechas colaboraciones entre el gobierno, las universidades y las industrias,estableciendo proyectos llevados a cabo por el Ministerio de Industria y Co-mercio (MITI) y la Agencia de Ciencia y Tecnologa (STA) en consorcio conel Laboratory for International Fuzzy Engineering Research (LIFE).

De forma paralela al desarrollo de las aplicaciones de la logica difusa,Takagi y Sugeno desarrollan la primera aproximacion para construir reglasfuzzy a partir de datos de entrenamiento.

Otro factor decisivo para continuar con la investigacion de este campoes el interes en las redes neuronales y su semejanza con los sistemas fuzzy.Se buscan relaciones entre las dos tecnicas obteniendose como resultado lossistemas neuro-fuzzy, que usan metodos de aprendizaje basados en redes neu-ronales para identificar y optimizar sus parametros. Para finalizar, aparecenlos algoritmos geneticos que sumados a las redes neuronales y los sistemasfuzzy son herramientas de trabajo muy potentes en el campo de los sistemasde control.

1.3. Definiciones de Logica Difusa

La logica difusa procura crear aproximaciones matematicas en la resolu-cion de ciertos tipos de problemas.Pretenden producir resultados exactos apartir de datos imprecisos, por lo cual son particularmente utiles en aplica-ciones electronicas o computacionales. [1]

La logica difusa es una tecnica de la inteligencia computacional2 que

2Es una rama de la inteligencia artificial centrada en el estudio de mecanismos adap-tativos para permitir el comportamiento inteligente de sistemas complejos y cambiantes


permite trabajar con informacion con alto grado de impresicion, en esto sediferencia de la logica convencional que trabaja con informacion bien defi-nida y precisa. Es una logica multivaluada 3que permite valores intermediospara poder definir evaluaciones entre s/no, verdadero/falso, caliente/fro,pequeno/grande,etc. [2]

La logica difusa es una metodologa que proporciona una manera sim-ple y elegante de obtener una conclusion a partir de informacion de entradavaga, ambigua, imprecisa, con ruido o incompleta. En general la logica difu-sa imita como una persona toma desiciones basada en informacion con lascaractersticas mencionadas. Una de las ventajas de la logica difusa es la posi-bilidad de inplementar sistemas basados tanto en hardware como en softwareo en combinacion de ambos.

Un conjunto borroso es una clase de objetos con un grado de pertenen-cia continuo. Dicho conjunto se caracteriza por una funcion de pertenencia(funcion caracterstica) que asigna a cada objeto un grado de pertenenciaevaluable entre cero y uno. Las nociones de inclusion, union, interseccion,complemento, relacion, convexidad, etc. se extienden a estos conjuntos, a lavez que se establecen diversas propiedades de estas nociones en el contexto delos conjuntos borrosos. En particular, se demuestra un teorema de separacionpara conjuntos borrosos convexos sin exigir que sean disjuntos. [3]

3Admite varios valores de verdad posibles

Captulo 2

Teoria de conjuntos difusos

2.1. Conjunto Difuso

Una forma sencilla de definir un conjunto difuso es decir que es un con-junto con lmites borrosos o no muy biendefinidos. Cuando se dice conjuntocon lmies borrosos se refiere a que por ejemplo conceptos como CALIENTE,TIBIO Y FRIO son percibidos de manera diferente por cada persona. Parauna persona de Alaska el concepto de caliente sera arriba 10oC, mientras quepara un peruano que vive en la selva caliente es por arriba de 30oC. Por estarazon los conjuntos CALIENTE, TIBIO, FRIO son llamados CONJUNTOSDIFUSOS. [4]

Ahora es necesario hacer una definicion mas formal, la cual define a unconjunto difuso A como una funcion de pertenencia que enlaza o emparejalos elementos de un dominio o universo de discurso X con elementos del in-tervalo [0,1]:A : X [0, 1]

6

CAPITULO 2. TEORIA DE CONJUNTOS DIFUSOS 7

Figura 2.1: Clasificacion de Temperaturas.

Existen tres conceptos claves en conjuntos difusos: significancia lingusti-ca, funcion de membresa y grado de membresa.

2.1.1. Significancia Lingustica

La significancia lingustica es el nombre asociado que se le da a los con-juntos difusos, por ejemplo si hablamos de la temperatura de un invernaderopodriamos definirlo como caliente, tibio o fro. Como se puede ver estavariable linguistica puede estar definido o un adjetivo, palabra o etiqueta.

La funcion de membresa se refiere a los intervalos que se le da a ca-da conjunto difuso. Por ejemplo podriamos decir que es frio si es menor oigual a 18. tibio si esta entre 18 y 25: y caliente si es mayor o igual a 25. Paraestablecer estos intervalos se toma en cuenta el juicio experto1.

1Es la persona que basado en la experiencia puede esablecer rangos en las funcionesde membresa


2.1.2. Funciones de Pertenencia

La funcion de pertenencia de un conjunto nos indica el grado en que cadaelemento de un universo dado, pertenece a dicho conjunto. Es decir, la fun-cion de pertenencia de un conjunto A sobre un universo X sera de la forma:uA : X [0, 1], donde uA(x) = r ;si r es el grado en que x pertenece a A.

La forma de la funcion de pertenencia se debe elegir de acuerdo al pro-blema que se desea resolver. Existen muchas formas diferentes entre ellas:triangular, trapezoidal, gaussiana.

Funciones de pertenencia Triangular

Definida mediante el lmite inferior a, el superior b y el valor modal m,tal que amb. La funcion no tiene porque ser simetrica.

uA(x) =

0 si x 0(xa)(ma) si x (a,m]

(bx)(bm) si x (m, b)

0 si x b

Figura 2.2: Funcion de pertenencia triangular


Funciones de pertenencia Trapezoidal

Definida por sus lmites inferior a, superior d, y los lmites de soporteinferior b y superior c, tal que abcd. En este caso, si los valores de b y cson iguales, se obtiene una funcion triangular.

uA(x) =

0 si (x < a) o (x > d)

(xa)(ba) si x (a, b]

1 si x (b, c)(dx)(dc) si x (c, d]

Figura 2.3: Funcion de pertenencia trapezoidal

Funciones de pertenencia Gaussiana

Definida por su valor medio m y el parametro k0. Esta funcion es latpica campana de Gauss y cuanto mayor es el valor de k, mas estrecha esdicha campana.


Figura 2.4: Funcion de pertenencia gaussiana

2.1.3. Grado de pertenencia

El grado de pertenencia esta dado por un intervao entre 0 y 1 El 1 re-presenta pertenencia total al conjunto, mientras que 0 nos indica ningunapertenencia al conjunto difuso.

A(x) =

{1, si x A0, si x / A (2.1)

2.1.4. Ejemplos de Conjuntos Difusos

Para ilustrar el concepto de la logica difusa y los conjuntos difusos vamosa explicar el primer ejemplo que puso Zadeh. Para ello puso el ejemplo delconjunto de los hombres altos. Segun la teora de logica clasica al conjuntode hombres altos solo pertenecen los que miden mas de una determinadaaltura y esa altura lmite es 1.80 metros, as un hombre es considerado altocuando mide por ejemplo 1.81 metros y uno bajo cuando mide 1.79 metros.Esto no parece una razon muy logica para catalogar a un hombre de altoo bajo ya que por ejemplo en el caso expuesto la altura de uno a otro solose diferencia en 2 centmetros. Ah, en casos como este donde no es facilcatalogar algo, se introduce la logica borrosa. Segun la logica borrosa, el


conjunto de hombres altos es un conjunto que no tiene una frontera claraque indique que perteneces a ese grupo o no. El evaluar si un hombre es altoo bajo, se hace mediante una funcion que define la transicion entre alto abajo y para ello asigna a las distintas alturas un valor entre 0 y 1. Segun seaeste valor se considera que se pertenece al conjunto o no. Aplicando esto alcaso anterior, un hombre que mida 1.79 metros se puede decir que perteneceal conjunto de hombres altos con un grado de 0.75 y el hombre que meda1.81 metros pertenece al conjunto de hombres altos con un grado de 0.8. [3]

2.1.5. Caractersticas de los Conjuntos Difusos

Permiten considerar vaguedad, ambiguedad, incerteza, ambivalencia

Reconcilian la precision de las matematicas con la imprecision del mundoreal.

Permiten considerar bordes borrosos, restricciones suaves, informacionambigua.

Trabajan con un espacio grande de soluciones

2.2. Operaciones sobre Conjuntos Difusos

Una vez definidos formalmente los conjuntos difusos, vamos a estudiar deque forma pueden extenderse las operaciones entre conjuntos clasicos paraser aplicadas sobre conjuntos difusos. Una caracterstica a destacar es queno existe una definicion univoca de alguna de las operaciones clasicas comola union o interseccion de conjuntos, sino que existen multiples formas dedesarrollar estas operaciones. Esto implica que a la hora de utilizar conjuntosdifusos se debe definir no solo las funciones de pertenencia que caracterizancada conjunto, sino tambien el operador concreto a utilizar para desarrollarcada operacion. [5]


2.2.1. Comparacion

Igualdad

Dados dos conjuntos difusos A y B, definidos sobre el mismo universo dediscurso U, se dice que los conjuntos son iguales si tienen las misma funcionde pertenencia.

A = B A(u) = B(u), U (2.2)

Inclusion

Dados dos conjuntos difusos A y B, definidos sobre el mismo universo dediscurso U, se dice que A esta includo en B, si para cada elemento del dis-curso, el grado de pertenencia a A es menor o igual que el grado de pertenciaa B.

A B A(u) B(u), U (2.3)

2.2.2. Operaciones Basicas

Interseccion

Dados dos conjuntos difusos A y B definidos sobre el mismo universo dediscurso U, se define la interseccion de ambos conjuntos como un conjuntodifuso AB .

Union

Dados dos conjuntos difusos A y B, definidos sobre el mismo universo dediscurso U, se define la union de ambos conjuntos como un conjunto difusoAB .


Complemento

En conjuntos clasicos se define el complemento como el conjunto de loselementos que le faltan a un conjunto para ser igual al conjunto universo.De la misma manera en conjuntos difusos se habla del complemento como elconjunto formado por los valores de pertencias que le permitiran al conjuntoobtener el valor maximo de pertenencia posible, siendo 1 el valor maximode pertenencia que un conjunto difuso puede suministrar, este conjunto sepodra formar restandole a 1 los valores de pertenencia del conjunto difusoal que se desea encontrar el complemento.

Captulo 3

Procedimiento para realizar elAnalisis Difuso

El esquema basado en tecnicas de logica difusa se presentan en la figura3.1

Figura 3.1: Esquema General de un Sistema basado en Logica Difusa.

3.1. Bloque Difusor

Bloque en el que a cada variable de entrada se le asigna un grado de pe-renencia a cada uno de los conjuntos difusos que se a considerado, mediantelas funciones caractersticas asociadas a estos conjuntos difusos. Las entradasa este bloque son valores concretos de las variables de entrada y las salidasson grados de pertenencia a los conjuntos difusos considerados.

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CAPITULO 3. PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR EL ANALISIS DIFUSO15

3.2. Bloque de Inferencia

Bloque que mediante los mecanismos de inferencia, relaciona conjuntosde entrada y de salida: y que representa a las reglas que definen el sistema.Las entradas a este bloque son conjuntos difusos(grados de pertenencia) ylas salidas son tambien conjuntos difusos, asociados a la variable de salida.

3.2.1. Metodo Mandami

El metodo de Mamdani es el mas usado en aplicaciones, dado que tieneuna estructura muy simple de operaciones mn-max.

En la practica se suele implementar mediante el uso de reglas borrosas:

Si Entonces

Inconvenientes del Metodo de Mandami

El numero de reglas se incrementa exponencialmente con el numero devariables del antecedente.

El incremento de reglas hace que la tarea de su construccion sea exce-sivamente laboriosa.

Si el numero de variables de la premisa es grande, es muy difcil com-prender las relaciones causales entre las premisas y los consecuentes. [6]

3.2.2. Metodo Sugeno

Este metodo emplea reglas de inferencia con la siguiente estructura: IF xis A and y is B THEN z=ax+by+c donde A, B son conjuntos difusos.

IF la temperatura de la habitacion temperatura de la habitacion es unpoco alta y la humedad es bastante THEN ajusta el aire acondicionadoaire acondicionado usando temperatura de la temperatura de la habitacionx 0.2 + humedad x 0.05. [6]

CAPITULO 3. PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR EL ANALISIS DIFUSO16

3.3. Desdifusor

Bloque en el cual a parir del conjunto difuso obtenido en el mecanismode inferencia y mediante los metodos matematicos de desdifusion se obtienenun valor concreto de la variale de salida, es decir, el resultado.

Para ello existen diversas tecnicas, entre ellas:

Promedio de Maximos:

Que consiste en calcular el promedio de todas las variables que tienen elmayor grado de membresa.

Metodo del Centroide:

Que consiste en calcular el promedio ponderado de las salidas.

Captulo 4

Aplicaciones

La siguiente aplicacion es para el CONTROL DE TEMPERATURA DEUN INVERNADERO. Actualmente el control de temperatura del invernade-ro se hace de forma manual (abriendo y cerrando la valvula) por un operador.

Como primer paso definiremos la variable lingusticaTemperatura, la cualtiene asociada las etiquetas lingusticas (Tibio, Frio y Caliente).

Una vez clasificadas las temperaturas del invernadero, el operador debe asig-narle valores a cada etiqueta lingustica, es decir debera definir los rangos detemperaturas basandose en su experiencia.

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CAPITULO 4. APLICACIONES 18

Figura 4.1: Clasificacion de temperaturas

Ahora supongamos que se mide a temperatura en el invernadero y la medi-cion es de 29.9 oC, segun los rangos establecidos lineas arriba la temperaturapertenece al conjunto TIBIO, pero esta solo a 0.1 oC para ser CALIENTE,podramos decir que la temperatura es casi caliente. Es a partir de esterazonamiento que surge la necesidad de definir un rango donde 29.9 oC esteicluido tambien dentro del conjunto CALIENTE.

CAPITULO 4. APLICACIONES 19

Figura 4.2: Grados de pertenencia de T=29oC

En la siguiente grafica se nota que a 29oC se le asocia un grado de per-tenencia tanto en CALIENTE como en TIBIO. Esto lo podemos representarde la siguiente manera:

GP (29oC,CALIENTE) = 0,82 (4.1)

GP (29oC, TIBIO) = 0,22 (4.2)

GP (29oC,FRIO) = 0 (4.3)

Bibliografa

[1] G. Morales Luna, Introduccion a la logica difusa, 2002.

[2] C. E. DNegri, Introduccion al razonamiento aproximado: logica difusa,2006.

[3] L. A. Zadeh, Fuzzy set, 1965.

[4] D. Guzman, La logica difuso en ingeniera: Principios, aplicaciones yfuturo, 2006.

[5] P. Ruspini, A new approach to clustering, information and control,1998.

[6] http://www.giaa.inf.uc3m.es/docencia/ii/rincertidumbre/teoria/tema5-logicaconjuntosborrosos.pdf,

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