Logica Matematica

Seconda lezione

Teoria Formale Assiomatica L

Linguaggio formale

per il calcolo proposizionale.

È dato un insieme al più numerabile di simboli.In L i simboli sono: - connettivi primitivi , negazione, implicazione

- parentesi (,) - lettere enunciative A1, A2,...An.

Una sequenza finita di simboli si chiama

Espressione.

1

Le formule ben formate sono particolari espressioni individuate

dalla definizione seguente:• (a) Le lettere enunciative sono f.b.f.• (b) Se A e B sono f.b.f. lo sono anche (A) e (AB). A: negazione di A; AB: A implica B.

2

Si privilegia un insieme di f.b.f. da chiamare Assiomi.

La teoria si dice assiomatica se esiste un procedimento che permette di decidere effettivamente se una fbf è un assioma.

Nel nostro caso gli assiomi

(o, più precisamente, schemi di assiomi) sono:

3

Schemi di Assiomi di L

A1 (A (BA)) Da A segue ( B implica A).

A2 ((A(BC)) ((AB)(AC)) ) Se da A segue (B implica C), da (A implica B) segue (A implica C).

A3 ((B A) (( B A) B)). Se da (non B) segue (non A), da ((non B) implica A) segue B.

RITORNO

Regole di inferenzaEsiste un insieme finito di relazioni tra fbf dette regole di inferenza.In L abbiamo una sola regola di inferenza, il

Modus Ponens (M P):- Date le fbf. A e AB,

- B risulta conseguenza diretta di A e AB.

4

Dimostrazione

Sequenza di formule ben formate i cui elementi sono assiomi o conseguenze dirette di fbf precedenti per mezzo di una delle regole di inferenza (M P).

Teorema

Una fbf A con la proprietà che esiste una dimostrazione la cui ultima fbf è A.

Decidibilità

La teoria si dice decidibile quando

esiste un procedimento meccanico

che permette di stabilire se una

qualsiasi fbf è un teorema oppure no.

Conseguenza

Una fbf A si dice conseguenza di un insieme di fbf. se A è l’ultima fbf di una sequenza che

contiene assiomi, conseguenze dirette e fbf. di .

Si ha, in tal caso, una deduzione di A da .

Si usa scrivere: | A.

Quando è l’insieme vuoto, si scrive | A.

In quest’ultimo caso, A è un teorema.

Esempio di teorema in L• Lemma 1.7 | AA.

1) ( (A ((AA)A) ) ( (A(AA)) (AA) ) ) (A2)

2) (A ((AA)A)) (A1)

3) ( (A(AA)) (AA) ) 2), 1), MP

4) ( (A(AA)) (A1)

5) (AA) 4), 3), MP

Nelle applicazioni degli schemi di assiomi si sostituisce B con (A A) Schemi diassiomi

Principio d’induzione finita

Data una proposizione Pn, si supponga che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

1) P1 è vera;

2) Supposta vera Pn, si riesce a dimostrare

che è vera anche Pn+1. ___________________

Si può, allora, affermare che Pn è vera per ogni n.

Principio d’induzione finita:esempio

La somma dei primi n numeri dispari è n2. L’affermazione è vera per n=1.

Supposto, per ipotesi induttiva, che l’affermazione sia vera per n numeri dispari (cioè che 1+3+...+2n-1= n2), bisogna far vedere che essa risulta vera anche per n+1.

Principio d’induzione finita:esempio

Infatti, l’(n+1)esimo numero dispari si scrive

2(n+1)-1 = 2n+1

e, sommandolo a n2, si ottiene n2+2n+1=(n+1)2

Teorema di deduzione

Se ,A | B allora | AB. (Se B è una conseguenza delle ipotesi e A,

allora AB è una conseguenza di ).In particolare, nel caso in cui è l’insieme

vuoto, si ha che: se A |B allora | AB. (Se B è una conseguenza di A, allora AB è

un teorema).

Dimostrazione

Sia B1, B2,...Bn=B una deduzione di B da ,A.

Il teorema è vero per n=1:

- Se B1 è un assioma o B1 ,

poiché anche (B1 (AB1)) è un assioma ,

per MP si ottiene | AB1.

- Se B1 è A, per il lemma precedente si ha che |

AA e, a maggior ragione, | AA.SCHEMI DI ASSIOMI

Per ipotesi induttiva, sia il teorema

vero per ogni k<i: | ABk.

Bisogna far vedere che:

| ABi.

Se Bi è un assioma, Bi , Bi è A,

si procede come nel caso i=1.

Se Bi è ottenuto per MP da due elementi precedenti della sequenza, essi dovranno assumere la forma Bj e (BjBi) e, per ipotesi induttiva, si avrà :

| ABj e | A(BjBi).

Ma ((A (BjBi) ) ( (ABj) (ABi) ))

è un assioma e, per MP applicato due volte, si otterrà, finalmente,

| ABi.

Proposizione 1.11

• Ogni teorema di L è una tautologia. Infatti, gli assiomi sono tautologie

e l’MP fa passare da tautologie a tautologie.

Corollario 1.9a)

AB, BC | ACDimostrazione1) A B ip2) BC ip.3) A ip.4) B 1, 3, MP5) C 2, 4, MP_________________AB, BC , A | CPer il teorema di deduzioneAB, BC | AC RITORNO

Corollario 1.9b)A (BC), B | AC Dimostrazione1) A (BC) ip2) A ip.3) B ip.4) BC 1, 2, MP5) C 3, 4, MP_________________A (BC), B, A | CPer il teorema di deduzioneA(BC), B | AC RITORNO

Lemma 1.10

a) | BB.

1) (B B)((BB) B) A3

2) ( B B) lemma 1.7

3) ( B B) B 1, 2, cor. 1.9b

4) B (B B ) A1

5) B B 3, 4, cor.1.9aCorollario 1.9a) Corollario 1.9b) Assiomi

Lemma 1.10b) | B B.

1) (BB)((BB) B) A3

2) (B B) Lemma1.10a

3) ( B B) B 1, 2, MP

4) B (B B ) A1

5) B B 3,4,cor. 1.9a

RITORNOASSIOMI

C) | A (AB). 1) A ip. 2) A ip. 3) A (BA) A1 4) A(BA) A1 5) BA 2, 3, MP 6) BA 1, 4 MP 7) (BA) ((BA)B) A3 8) (BA) B 6, 7, MP 9) B 5, 8, MP________________________________________Perciò A, A | B e, per il teorema di deduzione,

| A(AB).RITORNO

d) | (BA) (AB) 1) BA ip. 2) A ip. 3) (BA ) (BA)B A3 4) A(BA) A1 5) (BA)B 1, 3, MP 6) AB 4, 5, cor. 1.9a 7) B 2, 6, MP

Perciò (BA), A |B) e, con due successive applicazioni del teorema di deduzione | (BA) (AB)

e)| (AB)(BA) 1)AB ip. 2)A A parte a) 3)AB 1, 2, cor.1.9a) 4)BB parte b) 5)AB 3, 4, cor.1.9a) 6)(AB) (BA) parte d) 7)(BA) 5, 6. MP_____________________________________Perciò AB | BA e, per il teorema di deduzione | (AB) (BA).

f) | A(B (AB)

1) A ip.

2) AB ip.

3) B 1, 2, MP

Perciò A, AB | B e, per il teorema di deduzione,

| A((AB)B).

4)A((AB)B)

5)((AB)B).(B(AB)) Lemma 1.10 e)

6)A(B (AB) 4, 5, cor.1.9a

RITORNO

g) | (AB)((AB)B) 1) (AB) ip. 2) AB ip. 3) (AB) (BA) parte e) 4) B A 1, 3, MP 5) (AB) (BA) parte e) 6) B A 2, 5, MP 7) (B A)(B A)B A3 8) (B A)B 6, 7, MP 9) B 4, 8, MPPerciò AB, AB| A e, per il t. di deduzione

| (AB)((AB)B).RITORNO

Lemma 1.12Sia A una fbf e B1,..., Bk le lettere enunciative che

occorrono in A.

Per una data assegnazione di valori di verità a B1,..., Bk, siano B’1,..., B’k tali che B’i sia Bi se Bi assume il valore di verità V, B’i sia Bi se Bi assume il valore F.

In maniera analoga A’ sarà A se quest’ultima assume il valore V, A’ sarà A se A assume il valore F.

Allora B’1,..., B’k | A’.

Esempio di applicazione del lemma 1.12

A2 A5 (A2A5) Relazioni di deducibilità V V F A2, A5 (A2A5) F V F A2, A5 (A2A5) V F F A2,A5 (A2A5) F F V A2, A5 (A2A5)

Dimostrazione del lemma 1.12

Se n=0 allora A è una lettera enunciative B1 e il lemma si riduce a B1| B1 e B1 | B1.

Supponiamo che il lemma valga per tutte le fbf con un numero di connettivi primitivi j < n:

1) A è B. B ha meno occorrenze di A .

a) B ha il valore V e A ha il valore F.

B’ è B e A’ è A. Per ipotesi induttiva

B’1,..., B’k | B e,

poiché B B** si ha, per MP,

B’1,..., B’k | B, cioè

B’1,..., B’k |A’

** lemma 1.10bLEMMA 1.10

b) B ha il valore F e A il valore V.

B’ è B e A’ è A.

Per ipotesi induttiva

B’1,..., B’k | B, cioè

B’1,..., B’k | A’

2) A è (B C). Poiché B e C hanno meno occorrenze di A

per ipotesi induttiva si avrà

B’1,..., B’k | B’e B’1,..., B’k | C’. a) B ha il valore F e A il valore V.

B’1,..., B’k | B e

B’1,..., B’k | (BC)***. Ma (BC) è A’, per cui B’1,..., B’k | A’

*** Lemma 1.10c)

b)C ha il valore V e, quindi, A il valore V.

B’1,..., B’k C e, per lo schema d’assiomi A1 e MP,

B’1,..., B’k BC. Quindi, B’1,..., B’k A’.

c) C ha il valore F e B il valore V,

quindi A ha il valore F.

B’1,..., B’k | C, quindi,

B’1,..., B’k | (BC)****.

Poiché (BC) è A’,

si ha la tesi.**** Lemma 1.10f)

Teorema di completezza

Se una formula ben formata

è una tautologia, allora essa è un teorema di L.

Dimostrazione : essendo A una tautologia,

essa ha sempre il valore V.

Il lemma 1.12 dà le due relazioni di deduzione: B’1,...,B’k-1, Bk | A

B’1,...,B’k-1,Bk|A.

Per il teorema di deduzione si ha

B’1,...,B’k-1 | Bk A

B’1,...,B’k-1 | BkA.

Si ha, quindi, B’1,...,B’k-1 | A.***** Applicando k volte questo procedimento si ottiene | A.

***** Lemma 1.10g)

Corollario 1.15

Il sistema L è consistente, cioè non esiste alcuna fbf. A tale che tanto A quanto A siano teoremi di L.

Dimostrazione.

Ogni teorema di L è una tautologia e, dato che la negazione di una tautologia non può essere, a sua volta, una tautologia, si ottiene la tesi.

Si osservi che L è consistente se e solo se non tutte le sue fbf sono teoremi.

Infatti, se L è consistente , le negazioni dei teoremi sono fbf che non sono teoremi. .

Viceversa, se L è inconsistente (cioè, se ammette come teoremi una fbf e la sua negazione), allora, 1) A ip.2) A ip.3) A (AB) lemma 1.10c4) A B 1, 3, MP5) B 2, 4, MP

Perciò, se L è inconsistente, qualsiasi formula ben formata B è un teorema di L.

Una teoria nella quale non tutte le fbf sono teoremi è detta assolutamente consistente..

Indipendenza di assiomi

Proposizione 1.16.

Ogni schema di assiomi A1-A3 è indipendente.

Dimostrazione.

Indipendenza di A1.

Si considerino le seguenti tavole:

“Negazione”

A A

0 1

1 1

2 0

“Condizionale”A B AB0 0 01 0 22 0 00 1 21 1 22 1 00 2 21 2 02 2 0

• Se una formula ben formata A assume sempre il valore 0, diciamo che A è una scelta.

• L’MP fa passare da fbf scelte a fbf scelte. Gli schemi di assiomi A2 e A3 sono scelti, mentre A1 non è scelto. Con tecniche analoghe si fa vedere l’indipendenza degli altri schemi di assiomi.