LÓGICA PROPOSICIONAL Y PREDICADOS

UNIVERIDAD AMERICANA

CURSO : LOGICA Y ALGORITMOS

LÓGICA PROPOSICIONAL

Estudia las proposiciones o sentencias lógicas, sus posibles valoraciones de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad.

Para que esto sea posible se debe de cumplir…

1-Restringir los valores de verdad de las proposiciones a dos

2-Representar las proposiciones de manera general

3-Es posible combinar las proposiciones en formulas

4-Las formulas que combinan más de una

proposición, sentencia o enunciado, lo hacen por medio de conectivas lógicas

5-Se debe contar con un conjunto de símbolos para realizar el procesamiento matemático de los enunciados y de las formulas

Ejemplo

Sócrates es hombre Sócrates es mortal

Sócrates es hombre (¬ Sócrates es mortal)

LÓGICA DE PREDICADOS

Estudia las frases declarativas con mayor

Intensidad y detalle, considerando la estructura de las proposiciones.

El alfabeto de la lógica de predicados estará

formado por un conjunto de símbolos…

1-Conjunto de símbolos de variables (VAR) 2-Conjunto de símbolos CONSTANTE (CONS) 3-Conjunto de letra de función (FUNC) 4-Conjunto de letras de predicado (PRED)

Símbolos de conectivas:

¬ Negación. ^ AND, “Y”. ˅ OR, “o”. → IMPLICA, “entonces”. ↔ Doble implica o equivalencia.

Ejemplo:

Todos los peruanos son sudamericanos Todos los ayacuchanos son peruanos Luego, todos los ayacuchanos son

sudamericanos

(p ^ q)→r

CUANTIFICADORES

A través de la cuantificación se pueden crear

proposiciones desde una función proposicional, este procedimiento

queconvierte el predicado en proposición

CUANTIFICADOR UNIVERSAL “ ”

Es la proposición que es verdadera para

todos los valores de x en el discurso.

Ejemplo:

Sea P(x)= “x han estudiado programación”.Donde x= “Alumnos de la UAM”.

Entonces se puede expresar de la siguiente forma:

xP(x) que se lee “todos los alumnos de la UAM han estudiado programación”.

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL “Ǝ“

La cuantificación existencial de P(x) “es la

proposición en que existe un elemento x en

el universo de discurso tal que P(x) esverdad”.

Se denota con el símbolo “Ǝx” y se lee “hay

un tal que…”, “hay al menos un x tal que…”,

o “para algún x…”.

Ejemplo:

 Formalizar la expresión: “algunos estudiantes de

informática han estudiado programación” como

cuantificación existencial.

Sea P(x)= “x ha estudiado programación”.

Donde x= “alumnos de la UAM”.

Entonces se puede expresar como: ƎxP(x) que se

lee “existen algunos alumnos de la UAM que han

estudiado programación”.

NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES

La negación del cuantificador universal es

equivalente a la afirmación de cuantificador

existencial, respecto de la proposición

negada y viceversa.

Ejemplo:

Sea P(x): “x es alumno”Donde x: “personas de la UAM”.¬ xP(x).

“No todas las personas de la UAM son alumnos” esequivalente expresar que “existe al menos unapersona de la UAM que no es alumno” la cual seriaasi: ƎxP(¬x).

Es decir, ¬ x(Px) ≡ ƎxP(¬x).

LEYES DE ÁLGEBRA DECLARATIVA

LEYES DE MORGAN

La negación de la conjunción es equivalente a la

disyunción de las negaciones »

La negación de la disyunción es equivalente a la

conjunción de las negaciones».

¬ (p v q) ≡ ¬p^¬q

¬ (p ^ q) ≡¬p v ¬q

MODUS PONENDO PONENS “PP”

La regla “ponendo ponens” significa, “afirmandoafirmo” y en un condicional establece, que si elantecedente se afirma, necesariamente se afirma elconsecuente

p → q “si llueve, entonces las calles se mojan”

p “llueve” (premisa)

q “luego, las calles se mojan” (conclusión)

MODUS TOLLENDO TOLLENS “TT”Significa “negando niego”, y se refiere a unapropiedad inversa de los condicionales, a los que

nosreferimos en primer lugar.

p → q “si llueve, entonces las calles se mojan”

¬q “las calles no se mojan” ¬p “luego, no llueve”

EJERCICIOS