Logica UAS

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Carlos Ivorra CastilloLOGICAYTEORIADECONJUNTOSNopuedesencontrarlaverdadconlal ogicasi nolahasencontradoyasinella.G.K.ChestertonIndiceGeneral1 L ogicadeprimerorden 1Introduccionalalogicamatematica 3CaptuloI:Lenguajesformalesdeprimerorden 171.1 Introducci on a los lenguajes formales. . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Denici on de lenguaje formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3 Expresiones, terminos y f ormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4 Variables libres y ligadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5 Sustituci on de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6 Consideraciones nales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35CaptuloII:Sistemasdeductivosformales 392.1 El c alculo deductivo de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . 402.2 Reglas derivadas de inferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3 Tecnicas de deduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4 Teoras axiomaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5 Descriptores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.6 Forma prenexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.7 Consideraciones nales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71CaptuloIII:Modelos 733.1 Conceptos b asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2 Verdad y validez l ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3 Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89CaptuloIV:Lacompletitudsemantica 954.1 Completitud sint actica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2 La prueba del teorema de completitud . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3 Consecuencias del teorema de completitud. . . . . . . . . . . . . 1064.4 Consideraciones nales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116CaptuloV:Teoradelarecursion 1195.1 Funciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.2 Relaciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.3 Conjuntos recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127vviINDICEGENERAL5.4 N umeros de Godel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.5 Funciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.6 M aquinas de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.7 La tesis de Church-Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.8 Consideraciones nales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150CaptuloVI:Teorasaritmeticas 1536.1 Denici on y propiedades b asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.2 Algunos teoremas en teoras aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . 1566.3 Expresabilidad y representabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 163CaptuloVII:Incompletitud 1757.1 El primer teorema de incompletitud . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.2 El segundo teorema de incompletitud . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.3 El teorema de Rosser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.4 El teorema de Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.5 Otros resultados anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.6 El teorema de Church . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.7 Ecuaciones diof anticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1922 Lal ogicadelateoradeconjuntos 213Introduccionalateoraaxiomaticadeconjuntos 215CaptuloVIII:Losaxiomasdelateoradeconjuntos 2238.1 La teora de conjuntos de von Neumann-Bernays-G odel . . . . . 2238.2 La teora de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . . . . . . . . . . . . 2368.3 Los axiomas restantes de NBG y ZF . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.4 Los n umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.5 Eliminaci on de descriptores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251CaptuloIX:Modelosdelateoradeconjuntos 2539.1 La consistencia de ZFCAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.2 Consis NBG implica Consis ZFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2549.3 Consis ZFC implica Consis NBG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257CaptuloX:Laformalizaciondelalogicaenteoradeconjuntos 26510.1Lenguajes formales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26510.2Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.3L ogica de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27010.4El lenguaje de la teora de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 27610.5Los teoremas de incompletitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27910.6Modelos que son clases propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284INDICEGENERAL vii3 Lateoradeconjuntos 289Introduccionalateoradeconjuntos 291CaptuloXI:N umerosordinales 30111.1La construccion de los ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30111.2Inducci on y recursi on transnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30711.3Funciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31311.4La aritmetica ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31411.5La forma normal de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319CaptuloXII:Relacionesbienfundadas 32312.1Conceptos b asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32412.2Inducci on y recursi on transnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32712.3Conjuntos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33312.4Atomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337CaptuloXIII:N umeroscardinales 34113.1El axioma de eleccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34113.2Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34513.3La aritmetica cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35313.4Sumas y productos innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36113.5Conalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366CaptuloXIV:Laexponenciacioncardinal 37314.1La exponenciaci on en ZFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37314.2La hip otesis de los cardinales singulares . . . . . . . . . . . . . . 37914.3Cardinales fuertemente inaccesibles. . . . . . . . . . . . . . . . . 384CaptuloXV:Conjuntoscerradosnoacotados 39715.1Conjuntos cerrados no acotados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39715.2Conjuntos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40115.3Un teorema de Silver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40615.4Cardinales de Mahlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411ApendiceA:Conceptoselementalesdelateoradeconjuntos 415ApendiceB:Complementossobrearitmetica 421B.1 Hechos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421B.2 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424B.3 Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426B.4 Cuerpos cuadr aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429Bibliografa 433IndicedeMaterias 435PrimeraparteL ogicadeprimerorden1Introducci onalal ogicamatematicaLa logica y su historia Tradicionalmente se ha dicho que la l ogica se ocupadel estudio del razonamiento. Esto hoy en da puede considerarse desbordadoporlaenormeextensi onydiversidadquehaalcanzadoestadisciplina, peropuede servirnos como primera aproximaci on a su contenido.Unmatematicocompetentedistinguesindicultadunademostraci onco-rrectadeunaincorrecta, omejordicho, unademostraci ondeotracosaqueaparenta serlo pero que no lo es. Sin embargo, no le pregunteis que es lo que en-tiende por demostraci on, pues a menos que ademas sepa logica no os sabraresponder, ni falta que le hace. El matem atico se las arregla para reconocer lavalidez de un argumento o sus defectos posibles de una forma improvisada pero,al menos en principio, de total abilidad. No necesita para su tarea contar conun concepto preciso de demostracion. Eso es en cambio lo que ocupa al l ogico:El matematico demuestra,el logico estudia lo que hace el matematico cuandodemuestra.Aqu sevuelveobligadalapreguntadehastaquepuntotieneestointeresy hasta que punto es una perdida de tiempo. Hemos dicho que el matematicose las arregla solo sin necesidad de que nadie le vigile los pasos, pero entonces,que hace ah el l ogico?Posiblemente la mejor forma de justicar el estudio dela l ogica sea dar una visi on, aunque breve, de las causas hist oricas que han dadoa la l ogica actual tal grado de prosperidad.En el sentido m as general de la palabra,el estudio de la l ogica se remontaal siglo IV a.C., cuando Arist oteles la puso a la cabeza de su sistema losococomomateriaindispensableparacualquierotraciencia. Lal ogicaaristotelicaera bastante rgida y estrecha de miras, pero con todo pervivi o casi inalterada,paralelamenteal restodesudoctrina, hastael sigloXVI. Apartirdeaqu,mientrassufsicafuesustituidaporlanuevafsicadeGalileoyNewton, lal ogica simplemente fue ignorada. Se mantuvo, pero en manos de l osofos y enparte de los matematicos con inclinaciones losocas, aunque sin jugar ning unpapel relevanteenel desarrollodelasciencias. Leibnizlediociertoimpulso,pero sin abandonar una postura conservadora. A principios del siglo XIX, lostrabajosdeBooleyalgunosotrosempezaronarelacionarlam asdirectamentecon la matematica, pero sin obtener nada que la hiciera especialmente relevante34(aunquelos trabajos deBoolecobraranimportanciam as tardepor motivosquiz a distintos de los que el mismo tena in mente).As pues, tenemos que, hasta mediados del siglo XIX, la l ogica era poco masqueunacuriosidadqueinteresabaaquienessentanalgunainquietudporlalosofa de la matematica o del pensamiento en general. La l ogica como hoy laentendemos surgio b asicamente con los trabajos de Frege y Peano. En principioestoseran, al igual quelosanteriores, nuevosensayossobreel razonamiento,si bienm ascomplejosyambiciosos. Loquelesdioimportanciafuequenoaparecieroncomoproductosdementesinquietas, sinocomoculminaciondelprocesodeformalizacionquelamatematicavenaexperimentandodesdelostiempos de Newton y Leibniz.En efecto, el calculo innite