Las funciones parciales son computables (si tiene un resultado lo devuelvo, si no me cuelgo, me indefino). Una función es computable cuando hay un programa que la computa y es computable con una arquitectura sii lo es con otra. Tesis de Turing – Church: Cualquier procedimiento efectivo es computable por una máquina de Turing. No cualquier función es efectiva ( hay funciones que no son computables), no pueden ser realizadas por ninguna máquina de Turing. La intersección de todas las clases PRC es no vacía. Las funciones iniciales, son primitivas recursivas, si las compongo con otras sigue siendo PRC. PRC contiene a todas las funciones iniciales. Voy creando nuevas funciones a partir de lo que ya tengo en la lista. Haciendo inducción en n se puede probar que todos los elementos están en la clase (ver Diapo 27) Toda función primitiva recursiva es total. Las funciones iniciales son totales y la composición de funciones totales es una función total. La clase de funciones totales Turing computables es PRC. Si una función es primitiva recursiva es total y Turing computable. Una función que toma solo dos valores se llama predicado. Son expresiones que definen una propiedad. Las funciones totales son infinitas y no son numerables. Las funciones primitivas recursivas son infinitas pero numerables (pueden numerarse con los números naturales). Luego no es cierto que toda función total sea p.r. (hay funciones totales que no son primitivas recursivas). Si tengo una función total f: |N |N que no es p.r. y C una clase de funciones p.r. Clausurar C U {f} es una clase PRC estrictamente más grande que C. La clausura de un conjunto por una operación es agarrar todas las funciones de ese conjunto y “mezclarlas” con la f. DIAPO 35 h(t+1) solo puede depender de h(t). Toda función primitiva recursiva es computable. Diapo 40: Si P está en una clase PRC, entonces los cuantificadores acotados son predicados y también están en la clase. Lenguaje S No son estados de P si falta alguna variable o si aparece más de una vez. DIAPO 63: Sigma es un estado y i es un número. P tiene n instrucciones y tau es un estado. El número representa el número de linea en la que estoy. Parto de sigma, ejecuto la función y termino en tau.

La minimalización no acotada no es p.r. pero es parcial computable (cuando está indefinida se cuelga). La clase de funciones computables es PRC F es PARCIAL computable si existe un programa tal que psi_p (x1…xn) = f(x1…xn). F es COMPUTABLE si es parcial computable y TOTAL. Hay funciones totales computables que no son primitivas recursivas. DIAPO 100 ¿ fi e moño es computable porque como va a simular a una pr claramente es total. Si f es pr entonces es fi moño e para algún e entonces g es computable total y no es pr. Si sacamos el moño en lugar de pr estamos hablando de la función universal (de parciales computabes)…? Decir que fi e de e = fi e de e mas 1 es un absurdo siempre que fi e sea un nro. Pero si es un valor indefinido entonces está indefinido de los dos lados y eso no es un absurdo. Fi SI ES parcial computable La función de Ackermann es una función total computable que no es primitiva recursiva. TEOREMA: Dada f de n variables parcial computable => existe un predicado R de n+1 variables primitivo recursivo tal que f(x1…xn) = l(min z R(x1…xn, z) Una minimalización no acotada sobre algo primitivo recursivo es parcial computable. (ver hoja 7 de carpeta para demo) Snm son funciones inyectivas ver en el libro Toda función computable es c.e.