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Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa
Lógica CP: semântica
• ModeloUma interpretação que atribui o valor de verdade true auma fórmula
• Tautologia (fórmula válida)Fórmula verdadeira para todas as interpretações
• Contradição (fórmula inconsistente)Fórmula falsa para todas as interpretações
• ContingênciaFórmula verdadeira para umas interpretações e falsapara outras.
(P ∨ ¬P)
(P ∧ ¬P)
(P ∨ Q)
Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa
Lógica Equivalências
• Duas proposições p e q dizem-se logicamente equivalentes se é uma tautologia.p → q
p ⇔ qUsa-se a notação:
• Modo de provar: usando tabelas de verdade. - como funciona? - porque funciona?
Exemplo: (p → q) ⇔ (¬p ∨ q)
Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa
Lógica Equivalências
Equivalências Nome
Leis de Identidade
Leis de Dominância
Leis da Idempotência
Lei da Dupla Negação
Leis da Comutatividade
Leis da Associatividade
Leis da Distributividade
Leis de De Morgan
p ∧ T ⇔ p
p ∨ F ⇔ p
p ∨ T ⇔ T
p ∧ F ⇔ F
p ∨ p ⇔ p
p ∧ p ⇔ p
¬(¬p) ⇔ p
p ∨ q ⇔ q ∨ p
p ∧q ⇔ q ∧ p
(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r )
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )
¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa
Lógica CP: Dualidade
• Princípio da Dualidade
Sejam F e G são duas FBFs equivalentes eF’e G’ duas FBFs que se obtêm de F e de G,trocando true por false e false por truee ainda ∨ por Λ e Λ por ∨ .
Então F’ e G’ são equivalentes.
Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa
Lógica CP: Equivalência
Regra da Substituição
Qualquer sub-FBF de uma FBF pode ser substituidapor outra FBF equivalente, sem alterar o valor deverdade da FBF original
• Aplicações
(a) provar equivalência entre FBFs sem recursoa tabelas de verdade
(b) definir o estatuto de uma FBF (tautologia,contradição, contingência) sem recurso a tabelas deverdade.
Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa
Lógica CP: equivalência
• Exemplo (a)
A → (B → C) ⇔ B → ( A → C)
A → (B → C) ⇔ ¬A ∨ (¬B ∨ C) ⇔(¬A ∨ ¬B) ∨ C ⇔ (¬B ∨ ¬A) ∨ C ⇔¬B ∨ (¬A ∨ C) ⇔ ¬B ∨ (A → C) ⇔B → (A → C)
Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa
Lógica CP: Equivalência
• Exemplo (b) - Método de Quine
• Visualização gráfica: árvore binária
((A ∧ B → C) ∧ (A ∧ B)) → (A → C)
P → Q ∧ P
true → Q ∧ true
true → Q
false → Q ∧ false
false → false
trueQ
true false
P=true P=false
Q=true Q=false
Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa
Lógica CP:Formas Normais
• Literal
• Mintermo
• Forma Normal Disjuntiva (FND)
• Maxtermo (cláusula)
• Forma Normal Conjuntiva (FNC)
Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa
Lógica CP: FND
• Teorema: toda a FBF é equivalente a uma FND
• Algoritmo:
1) Eliminar equivalências2) Eliminar implicações3) Aproximar negações (criar literais)4) Aplicar propriedade distributiva
• Exemplo
((P ∧ Q) → R) ∧ S ⇔(¬(P ∧ Q) ∨ R) ∧ S ⇔(¬P ∨ ¬Q ∨ R) ∧ S ⇔(¬P ∧ S) ∨ (¬Q ∧ S) ∨ (R ∧ S)
Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa
Lógica CP: FNC
• Teorema: toda a FBF é equivalente a uma FNC
• Algoritmo:
1) Eliminar equivalências2) Eliminar implicações3) Aproximar negações (criar literais)4) Aplicar propriedade distributiva
• Exemplo
((P ∨ Q) → R) ∨ S ⇔(¬(P ∨ Q) ∨ R) ∨ S ⇔((¬P ∧ ¬Q) ∨ R) ∨ S ⇔((¬P ∨ R) ∧ (¬Q∨ R)) ∨ S ⇔(¬P ∨ R ∨ S) ∧ (¬Q ∨ R ∨ S)
Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa
Lógica CP: conjuntocompleto
• Necessitamos dos 5 conectores lógicos?
- equivalência
- implicação
• necessitamos dos restantes ?
• Bastam dois?
- NAND
• Conjuntos funcionalmente completos!
¬,∨{ }¬,∧{ }