Embed Size (px)
Citation preview
LOGICKI TIPOVI I ONTOLOGIJA –
ZABILJESKE
(prva inacica: 23.06.2004.)
2. prosinca 2007.
Sadrzaj
1 Uvod: logicki tipovi i ontologija 41.1 Sto su to logicki tipovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Ontologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Paradoksi 62.1 Cantorov paradoks i teorija skupova . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Prethodni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Cantorov poucak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3 Cantorov paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.4 Burali-Fortiev paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Russellov paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 “Semanticki” (“epistemologijski”) paradoksi” . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Richardov paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Berryev paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Grellingov paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.4 Lazljivac i dr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Razgranjena (ramificirana) teorija tipova . . . . . . . . . . . . 122.4.1 Opca znacajka paradoksa prema Russellu . . . . . . . . 122.4.2 Nacelo “porocnoga (zacaranoga) kruga” . . . . . . . . 132.4.3 Logicki tipovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.4 Aksiom svedljivosti (reducibilnosti) . . . . . . . . . . . 162.4.5 Problemi razgranjene teorije tipova . . . . . . . . . . . 18
2.5 Dodatak: aksiomatska teorija skupova . . . . . . . . . . . . . 18
3 Jednostavna teorija tipova 223.1 Sintaksa i semantika jezika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1 Jezik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.2 Semantika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
SADRZAJ 3
3.2 Istinitosno stablo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.1 Primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Deduktivni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Metateorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Nekompaktnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.2 Nepotpunost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.3 Ne vrijedi Lowenheim-Skolemov poucak . . . . . . . . 30
3.5 Henkinovi (opci) modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6 Modalna logika visega reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.7 Godelov ontologijski dokaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7.1 Prvi dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.7.2 Drugi dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1 Uvod: logicki tipovi i ontologija
1.1 Sto su to logicki tipovi
Uvodno razlikovanje: prema logickome tipu razlikujemo, primjerice, pojed-inacne predmete od njihovih svojstava i relacija, a od svega toga, nadalje,svojstva svojstava i relacija, relacije svojstava i relacija, itd.
Prva teorija tipova:
B. Russell (1872.–1970.) u ‘Mathematical logic as based on the theory oftypes’ (ML), 1908., (Logic and Knowledge, London 1956.); u A. N. White-head, B. Russell: Principa mathematica (PM ), 1910.–1913., sv. 1.
Prethodnici: Frege (1848.–1925.), npr. u ‘Funktion und Begriff’, 1891.,na kraju teksta; u Grundgesetze der Arithmetik, 1983.-1903., §§21-25).
Lit. Nino B. Cocchiarella, ‘Theory of Types’, u Routledge Encyclopediaof Philosophy.
Logicke smo tipove vec susreli u elementarnoj logici:
a) iskazna logika: nema tipa predmeta, osim ako 〈〉 ne uzmemo kao tip;
b) prirocna logika (logika prvoga reda): svi su predmeti u predmet-nome podrucju tipa 0, to su predmeti prvoga reda (pojedinacni predmeti);pokolicavanje se izrvrsuje samo po predmetima tipa 0 — upravo se time idefinira logika prvoga reda. Tomu tipu predmeta odgovaraju i simboli tipa0: predmetne konstante i predmetne varijable. Skupovi uredenih n-toraka(tj. relacije) predmeta prvoga reda, tipa su 〈0, . . . , 0〉 (ne ulaze u predmetnopodrucje) i oznaceni su prirocima istoga tipa. To su tipovi drugoga reda.Mjesnost je priroka zapravo oznaka za tip. Tek se logikom drugoga redauvodi i pokolicavanje na “predmetima” drugoga reda.
Tipske su razlike relativne: npr. brojeve mozemo uzeti kao predmetetipa 0 (tip prvoga reda), a njihova svojstva i relacije kao tipove drugoga reda— iako se brojevi kao takvi mogu definirati kao svojstva svojstava (tipovitrecega reda).
1.2 Ontologija
Ontologiju smo dosad (u logici prvoga reda) maksimalno drzali neutralnomi liberalnom - u smislu sto cemo prihvacati kao predmete (u predmetnomepodrucju), a sto ne. Kao predmeti prvoga reda javljali su nam se:
• konkretni predmeti: obicni predmeti (ljudi, gradovi, stolice i sl.;
• apstraktni predmeti: geometrijska tijela, brojevi, jezicni predmeti udokazu potpunosti);
Uz to su se javljali pojmovi kao istina, neistina (vec u iskaznoj logici) irelacije (skupovi n-toraka) koji su unosili odredenu “strukturu” medu pred-mete. Istinu (neistinu) i relacije kao takve nismo uzimali kao predmete,makar bismo i to mogli ako zanemarimo njihovu specificnost (npr. neka jeD={i, n}).
Javljali su se problemi: npr. sto oznacuju odredeni opisi? Russell je nato pitanje odgovorio eliminacijom odredenih opisa, dopustajuci samo njihovokontekstualno znacenje u recenici.
U logici visega reda, gdje se u predmetnim podrucjima javljaju i predmetivisega reda, uspostavlja se izricit logicki odnos medu predmetima razlicitogareda. Ontologija time dobiva siru i opcenitiju strukturu.
5
2 Paradoksi
Razdioba paradoksa (Frank Ramsey (1903–1930), ‘The foundations of math-ematics’, 1925.):
1) logicko-matematicki: Russellov, Burali-Fortiev paradoks (Cantorovparadoks).
2) semanticki ili epistemologijski: Epimenid, Berryev, Richardov, Grellingovparadoks.
2.1 Cantorov paradoks i teorija skupova
Pojam sveopcega (univerzalnoga) skupa U (skup svih skupova) sadrzi paradoks!(Georg Cantor, 1845.–1918., izgradio teoriju skupova 1874.–1897.)
2.1.1 Prethodni pojmovi
Skup: ”okupljanje u cjelinu odredenih, razlicitih predmeta nase zamjedbe ilinase misli” (Cantor, 1895.).
Kardinalni broj skupa S, |S|: broj clanova skupa S. Prazan skup imakardinalni broj 0.
A i B imaju isti kardinalni broj, |A| = |B|, akko su jednakobrojni (ekvipo-tentni), A ≈ B.
— Skupovi su A i B jednakobrojni akko izmedu njih opstoji odgovaranje(korespondencija) 1 za 1; tj. obostrano jednoznacno pridruzivanje (bijekcija= injekcija i surjekcija, s A na B).
Skup je S beskonacan ako i samo ako je jednakobrojan sa svojim pravimpodskupom. Inace je konacan.
Npr. skup N (prirodni brojevi) i skup svih parnih pozitivnih cijelih bro-jeva kao pravi podskup skup N .
(Alternativno: skup je konacan akko jednakobrojan je s nekim prirodnimbrojem. Pri tom je prirodan broj definiran kao skup svih manjih brojeva -
von Neumannova definicija prirodnoga broja. — I prazan je skup konacan).
Skup je prebrojiv (denumerable) ako i samo ako ima isti kardinalni brojkao i P (skup svih pozitivnih cijelih brojeva). Taj je kardinalni broj ℵ0 (“alefnula”). – Npr. prebrojiv je skup Q (skup svih racionalnih brojeva) — sveracionalne brojeve mozemo uvrstiti u tablicu a zatim ih postaviti u linearniporedak (pratimo strjelice u tablici!):
1
1→ 1
2
1
3→ . . .
ւ ր ւ2
1
2
2
2
3. . .
↓ ր ւ3
1
3
2
3
3. . .
... ւ...
...
Skup je izbrojiv (enumerable, countable) ako i samo ako je konacan iliprebrojiv.
Ima i beskonacan neprebrojiv skup - R (skup svih realnih brojeva). Tose dokazuje dijagonalnim postupkom: definira se broj n veci od 0 a manjiili jednak 1 (0 ≤ x ≤ 1), koji se od prvoga broja u pretpostavljenoj tablicisvih brojeva toga intervala razlikuje prema prvoj decimali, od drugoga premadrugoj itd. Definiranoga broja n nema u tablici, tj. ne moze se prebrajanjemdoci do njega:
0, a1,1 a1,2 a1,3 . . .0, a2,1 a2,2 a2,3 . . .0, a3,1 a3,2 a3,3 . . ....
......
...
Napomenimo da se brojevi u tablicu zapisuju tako da nema nijedne zna-menke iza koje slijede same nule, nego se umjesto 0, 1000 . . . pise 0, 0999 . . .itd. (razlika izmedu 0, 1 i 0, 0999 . . . konvergira nuli: 0, 01; 0, 001; 0, 0001; . . .)— dakle se radi samo o beskonacnim decimalnim razlomcima.
Broj je n definiran tako da se dijagonalno umjesto ai,i stavlja znamenkakoja nije ni ai,i ni 0.) Stoga se n razlikuje od prvoga broja po tome stoumjesto a1,1 ima bilo koju znamenku koja nije ni a1,1 ni 0; od drugoga sebroja po tome sto umjesto umjesto a2,2 ima bilo koju znamenku koja nije nia2,2 ni 0; itd. n se stoga razlikuje od svakoga broja u tablici.
7
|R| = c = 2ℵ0. To se dokazuje
• pomocu svojstva realnih brojeva da se svaki realan broj moze injektivno(jedan za jedan) preslikati u podskup racionalnih brojeva manjih odnjega (pa je c ≤ 2ℵ0),
• te pomocu svojstva da se svaki podskup skupa P moze injektivno pres-likati u realan broj (s decimalnim znamenkama samo 0 i 1) unutarzatvorenoga intervala [0, 1] (pa je 2ℵ0 ≤ c).
.
(Beskonacni ili transfinitni kardinalni brojevi, ℵ0,ℵ1 = c,ℵ2 = 2ℵ1 , itd.Cantorova hipoteza kontinuuma, 1878.: svaki beskonacan podskup kontinu-uma jest izbrojiv ili ima kardinalni broj kontinuuma.)
Partitivni (potencijski) skup od S, ℘S, jest skup svih podskupova od S(uvijek ukljucuje i prazan skup).
Partitivni skup skupa S ima velicinu 2S. Partitivni skup skupa P imavelicinu 2ℵ0.
2.1.2 Cantorov poucak
Cantorov poucak (1891.) : kardinalni broj partitivnoga skupa od S veci jeod kardinalnoga broja skupa S, |℘S| > |S|. Dokaz:
1) |S| ≤ |℘S|, jer ima funkcija jedan za jedan (injektivna) za koju svakiclan si ∈ S ima kao svoju sliku jednoclani skup {si} ∈ ℘S.
2) Dijagonalnim se postupkom dokazuje da |S| 6= |℘S|. Neka |S| = |℘S|.Tada opstoji odgovaranje jedan za jedan, tako da svakomu si ∈ S odgovaraneki pi ∈ ℘S. Neka je p∗ skup svih clanova skupa S koji nisu clanovi svojihodgovarajucih clanova skupa ℘S. I skupu p∗ treba odgovarati neki sast. No,je li s∗ ∈ past. To nas pitanje vodi u protuslovlje. Stoga ne stoji da |S| = |℘S|
Iz 1) i 2) zajedno slijedi poucak.
(Quineov slikovit primjer za Cantorov poucak: ima vise skupova kravanego krava.)
8
2.1.3 Cantorov paradoks
Cantorov paradoks (1899. u pismu Dedekindu, ili koju godinu prije, obj.1932.): kardinalni broj partitivnoga skupa sveopcega skupa veci je od kardi-nalnoga broja sveopcega skupa, |℘U | > |U | — opstoji li sveopci skup i kojije njegov kardinalni broj?
Cantor je smatrao da je neka skupina skup ako i samo ako ju nepro-tuslovno mozemo smatrati predmetom. Anticipacija von Neumannova raz-likovanja skupa i razreda.
2.1.4 Burali-Fortiev paradoks
Cesare Burali-Forti (1897., prvi objavljeni paradoks) — paradoks o skupusvih rednih brojeva: neka je redni broj skup svih prethodnih rednih brojeva,skup svih rednih brojeva je ω, ali je redni broj skupa ω broj ω + 1.
Literatura:
Pavle Papic, Uvod u teoriju skupova, Zagreb, 2000;Darko Zubrinic, Diskretna matematika, Zagreb, 1997;
Vladimir Devide, Matematicka citanka, Zagreb, 1991.
Seymour Lipschutz, Set theory and related topics, McGraw–Hill, 1998.Herbert Enderton, Set theory, Academic Press, 1977.
G. Boolos, J. Burgess, R. Jeffrey, Computability and logic (4th izd.), Cam-bridge UP, 2002.
2.2 Russellov paradoks
Bertrand Russell (1901. otkrio paradoks, pismo Fregeu 1902., Principles ofmathematics, 1903.); paradoks je neovisno otkrio Ernst Zermelo.
a) Mogu se razlikovati “prirecivi” (predicable) i “neprirecivi” (non-predicable)priroci (pojmovi). Prvi se priricu sebi (npr. ‘je prirok’ je prirok, ‘je jednom-jesta’ je jednomjestan), a drugi ne (‘je bijel’ nije bijel, ‘je dvomjestan’ nijedvomjestan). Definirajmo sljedeci prirok:
9
ne se priricati sebi.
Pririce li se on sebi ili ne?b) Skup svih skupova koji nisu svoji clanovi, {x | x /∈ x}; je li taj skup
svoj clan ili nije?
Taj je paradoks uzdrmao temelje Fregeova logicistickoga programa (svodenjaaritmetike na logiku).
Fregeov V. aksiom:
⊢ ()
ǫf(ǫ) =)
αf(α)) = ∀x(fx = gx)
)
ǫf(ǫ) je ime vrijednosnoga toka (opsega) funkcije (pojma) f(ξ); definicija:imati isti vrijednosni tok znaci imati za isti argument istu vrijednost funkcije;vrijednosni je tok za Fregea neki predmet.
Napomene uz Fregea:a) zasto ‘=’ umjesto ‘↔’? Jer je znacenje recenice i vrijednost pojma (kao
funkcije s jednim argumentom) istinitosna vrijednost — istina (das Wahre)ili neistina (das Unwahre), a to su za Fregea predmeti (recenica je vlastitoime istine, odnosno, neistine);
b) Znak ‘⊢’ ima dva dijela:vodoravna crta je oznaka za funkciju koja ima vrijednost istinu ako izraz
koji slijedi oznacuje istinu, i vrijednost neistinu, ako izraz koji slijedi neoznacuje istinu;
okomita (sudna) crta: njome se tvrdi da izraz koji slijedi iza vodoravnecrte znaci istinu.
Russellov paradoks rusi i obicno (“naivno”) shvacanje skupova, premakojem vrijedi aksiom sadrzaja (komprehenzije):
∃y∀x(x ∈ y ↔ P (x))
(odnosno: ∀z1 . . .∀zn∃y∀x(x ∈ y ↔ P (x)), gdje su z1, . . . , zn varijablekoje se javljaju u P ).
Popularizacija Russellova paradoks (Russell, 1919.): brijac u nekome selukoji brije sve one koji sami sebe ne briju. Brije li on sam sebe ili ne? - No tomozemo lako rijesiti, zakljucujuci da nema takova brijaca.
10
2.3 “Semanticki” (“epistemologijski”) paradoksi”
2.3.1 Richardov paradoks
Jules Richard (1905. - pismo uredniku casopisa, pretisnuto 1906.)
1) Skup svih (konacnih) izraza pomocu hrvatske abecede (30 slova) jestprebrojiv (shvatimo i recenice kao nizove slova). Te izraze mozemo poredati:
jednoclani izrazi (jedno slovo): ima ih 30
dvoclani izrazi (dva slova): ima ih 30 × 30troclani izrazi (tri slova): ima ih 30 × 30 × 30itd.
(kao i decimalni sustav brojeva, samo je ovdje osnovica 30; u decimalnomsustavu ne brojimo posebno brojke koje pocinju s nulama)
2) E: svi (decimalni) brojevi koji se mogu definirati konacnim brojemrijeci; ima ℵ0 takvih brojeva (jer brojeva openito ima barem ℵ0, no vise odtoga se ne moze izraziti prebrojivim skupom izraza).
Te brojeve i njihove definicije mozemo poredati u niz (idemo redom ponizu izraza i preskacemo sve one koji ne oznacuju broj):
1. broj - definicija 1
2. broj - definicija 23. broj - definicija 3itd.
3) N : broj koji ima 0 kao cijelu znamenku, a od n-toga broja izmedu 0 i1 razlikuje se u njegovoj n toj znamenci p, tako da
umjesto p ima p+ 1 ako p 6= 9, ili 0 ako p = 9.
Toga broja nema u tablici, a ipak je definiran konacnim brojem rijeci.(To je dijagonalni postupak kao u Cantora za neprebrojivaost skupa re-
alnih brojeva.)
Kao da ima vise nego prebrojivo mnogo brojeva s konacnim definicijama,a ipak, ima samo prebrojivo mnogo brojeva s konacnim definicijama.
11
2.3.2 Berryev paradoks
George Godfrey Berry (1906., oxfordski knjiznicar), paradoks formulirao Rus-sell (1906.) na temelju Berryeva pisma:
Najmanji broj neimenljiv u manje od dvadeset slogova.
The least integer not nameable in fewer than nineteen sylla-bles. (111,777)
2.3.3 Grellingov paradoks
Kurt Grellling (1908.) (verbalna) varijanta Russellova paradoksa: razlikujuse heterologijski i autologijski pridjevi prema tome govore li o sebi ili ne.
a) heterologijski pridjevi: jednoslozan, bijel, drven, brz, itd.
b) autologijski pridjevi: viseslozan, troslozan, hrvatski, izre-civ, ne-bijel, itd.
Je li pridjev “heterologijski” heterologijski?
2.3.4 Lazljivac i dr.
Lazljivac (Eubulid, filozof 4. st. pr. Kr.): Ovo sto upravo govorim, jest neis-tinito. Epimenid (oko 600.): Svi Krecani lazu (nije pravi paradoks, zasto?).
Ti se paradoksi rjesavaju uvodenje hijerarhije jezika (predmetni jezik imetajezik, Tarski).
2.4 Razgranjena (ramificirana) teorija tipova
2.4.1 Opca znacajka paradoksa prema Russellu
Russell: navedeni paradoksi sadrze pretpostavku o nekoj sveukupnosti (to-tality) koja treba ukljucivati i clanove definirane samom tom sveukupnoscu(ili: ukljucivati samu sebe kao svoj clan), samoodnosajnost:
12
• svi skupovi i skup svih skupova (ako nisu svoji clanovi); svi pojmovi ipojam koji vrijedi o svih pojmovima (ako ne vrijede o sebi) (Russellovi Cantorov paradoks, koji Russell ovdje ne navodi) (Russell navodi iodgovarajuci paradoks o svim relacijama i relaciji T svih relacija akone stoje u relaciji T - vrijedi li T (T, T )?),
• svi redni brojevi i redni broj (dobro uredena skupa) svih rednih brojeva(Burali-Forti),
• sve (konacne) definicije (brojeva) i definicija definirana svim tim defini-cijama (Richard),
• sva imena i ime koje ukljucuje sva imena (Berry): za svako ime i, akoi ima manje od 20 slogova, i ne imenuje broj n,
• svi pridjevi i pridjev svih pridjeva (ako ne govore o sebi) (Grelling) -nema u Russella,
• svi iskazi i iskaz o svim iskazima (ako ih sada iskazujem) (Lazljivac):za bilo koji iskaz p vrijedi, ako sada tvrdim p, p nije istinito.
2.4.2 Nacelo “porocnoga (zacaranoga) kruga”
Paradoksi ce se izbjeci ako se pridrzavamo nacela porocnoga kruga: stogodukljucuje sve clanove neke skupine (collection), ne smije biti clan te skupine.
(Ili: nijedna sveukupnost (totality) ne moze sadrzavati clanove definiranetom sveukupnoscu)
2.4.3 Logicki tipovi
Postoje u Russella 2 “lagano razlicite” inacice teorije tipova (Church):
1. (ranija): ML, 1908. i Uvod u PM, pogl. 2,
2. (kasnija): PM, *12, i Uvod u 2. izd. PM.
(ima i Churchova inacica iz Introduction to mathematical logic, 1956,§§58–59).
Uglavnom se drzimo prve, ranije inacice.
13
Prethodna razlikovanja
1. Pojedinacni predmeti (individuals): jednostavni, opstoje samostalno(on its own account)
2. stavci (propositions) (i sudovi kojima ih tvrdimo); jednostavan primjer:stavak “A vidi B” jest slozaj od sastavnica A, videnje, i B – vidjenjeje tu samo clan (term) relacije izmedu A, B i vidjenja (sud dodaje urelaciju jos jednu sastavnicu: ja, duh (mind) koji sudi); pojedinacni supredmeti “izvorne” (genuine) sastavnice stavaka, ne nestaju u analizikao razredi i odredeni opisi (PM 51); stavak je nepotpun i trazi dopunusudom,
3. stavacne funkcije: ono sto dobijemo kad neke clanove u stavku ostavimodvosmislenim, neodredenim, dvosmislene su – njihov izraz sadrzi vari-jablu; – kad se varijabli pridruzi vrijednost, dobivamo stavke.
Stavacna je funkcija npr. φx, njezina je neodredena vrijednost φx, njezinaje odredena (nedvosmislena) vrijednost φa.
Stavacna se funkcija ne definira kao preslikavanje sa skupa u skup, jer sene pretpostavlja opstojnost skupova te se skup izvodi iz stavacne funkcije.
Kazemo da vrijednost x za koju je φx istinito, zadovoljava funkciju φx.
(a) Funkcija ne moze imati medu svojim vrijednostima nista sto pret-postavlja funkciju; vrijednosti funkcije su pretpostavljene funkcijom a neobratno (PM 39). Jer funkcija je dobro-definirana kad su joj dobro defini-rane vrijednosti:
PRIMJER: Funkcija φx ima neodredenu vrijednost φx; odredene su vri-jednosti: φa, φb, φc itd. Te vrijednosti moraju vec prije funkcije biti defini-rane ako zelimo da funkcija bude dobro definirana. – “x je covjek”, “x jecovjek” i “Ivan je covjek”.
(b) Sve funkcije koje kao argument imaju a, nisu legitimna sveukupnost(prema nacelu porocnoga kruga).
PRIMJER: funkcija f(φx, x), moze se poopciti u: ∀φf(φx, x). No i toje jedna funkcija od x. Stoga bi sama trebala biti jednom od vrijednostivarijable φx. Dakle, funkcija ∀φf(φx, x) sadrzi sveukupnost – ∀φ – koje bisama trebala biti clanom.
14
“Svi” (“uvijek”) u stavacnim funkcijama (npr. pojmovi) ne moze ukljucivatisve vrijednosti za “x” (tada bi ukljucivalo i sve stavke i sve funkcije), negosamo “legitimnu sveukupnost” za koju je funkcija smislena. Ta je legitimnasveukupnost “podrucje znacenja” funkcije: cine ga svi argumenti za koje jefunkcija istinita ili neistinita (za koje ima znaenje, vrijednost) (ML 72, 72*,73).
Rijeci kao sto su “istinit”, “neistinit”, “stavak”, “stavacna funkcija” imaju“sustavnu dvosmislenost”. p je istinito izgleda kao jedna funkcija, ali jeto uistinu mnogo “analognih” funkcija s razlicitim znacenjskim podrucjima.Tako ni logicki zakoni nisu iskazi (stavci) jer ne mozemo reci da vrijede osvim iskazima. Zbog nacela se porocnoga kruga ne moze reci: “Svi su iskaziistiniti ili neistiniti”. Mozemo samo reci:
p je istinito ili neistinito,p i ne-p ne mogu oba biti istiniti,
gdje je p bilo koji iskaz (stavak).
Tip
Tip je “podrucje znacenja neke funkcije”, skupina argumenata za koje recenafunkcija ima vrijednost (za koje je istinita ili neistinita).
Podrucje vrijednosti vezane varijable takoder je tip - odreden je funkcijomkoje se sve vrijednosti razmatraju.
Tehnicka formulacija nacela porocnoga krug: sto god sadrzi vezanu vari-jablu, ne smije biti vrijednost te varijable .
Svaki izraz koji sadrzi vezanu (apparent) varijablu (tj. odnosi se na svenekoga tipa), visega je tipa od te varijable (ML 102).
Hijerarhija tipova
Prvi tip: pojedinacni predmeti.
1. Funkcije prvoga reda: φ!x, φ!(x, y), a vrijednost im je opcenito φ!x,φ!(x, y).
(a) matrice (ili: priricne, predikativne funkcije) prvoga reda (nemavezanih varijabla): φx, ψ(x, y), χ(x, y, z)
15
(b) poopcene matrice prvoga reda (s vezanim varijablama, ali ne nasvim argumentima): ∀y ψ(x, y), ∃y ψ(x, y), ∀y∀z χ(x, y, z), ∀y∃z χ(x, y, z),sto su sve funkcije od x.
2. Stavci prvoga reda - s poopcenim svim argumentima u matrici prvogareda, npr. ∀x∀y φ(x, y).
3. Funkcije drugoga reda (funkcije prvoga reda za varijable, i nista sedrugo ne javlja za varijable osim jos pojedinacnih predmeta): f !(φ!z),f !(φ!z, x) itd., a vrijednost im je opcnito f !(φ!z), f !(φ!z, x); itd.
(a) matrice (ili: priricne funkcije) drugoga reda - nema vezanih vari-jabla:
f(φ!z), npr. φ!a ili ¬φ!a;
g(φ!z, ψ!z), npr. φ!a ∧ ψ!a (neR.);
F (φ!z, x), npr. ¬φ!x;
G(φ!z, x, y), npr. φ!x ∨ φ!y,
H(φ!z, ψ!z, x), npr. φ!x ∨ ψ!x, φ!x→ ψ!x, φ!x ∧ ψ!x
(b) poopcene matrice drugoga reda (ne na svim argumentima), npr.
∀φ g(φ!z, ψ!z), sto je funkcija od ψ!z;
∀xF (φ!z, x), sto je funkcija od φ!z;
∀φF (φ!z, x), sto je funkcija od x; itd.
4. Stavci drugoga reda - s poopcenim svim argumentima u matrici drugogareda, npr. ∀x∃φF (φ!z, x).
2.4.4 Aksiom svedljivosti (reducibilnosti)
Radi se o problemu da se u teoriji tipova, koliko smo ju dosad prikazali, nemoze govoriti, primjerice, o svim svojstvima predmeta a. Ipak, tako se govoriu matematici (matematicka indukcija) i u obicnome jeziku.
Odredimo najprije sto su to priricne (predikativne), a sto nepriricne(nepredikativne) funkcije. Funkcija reda n je priricna (predikativna) akkomedu svojim argumentima ima barem jedan argument reda n − 1 i nemadrugih argumenata koji su reda visega od n− 1. – Ako sve argumente redan− 1 vezemo koliciteljem, dobit cemo nepriricnu (non-predicative) funkciju.
16
(Od nepriricne funkcije razlikujmo “impredikativnu” (“bespriricnu”), – speci-ficiranu pomocu sveukupnosti kojoj funkcija pripada).
Sve stavacne funkcije potjecu od priricnih poopcavanja. Npr. x ima svasvojstva koja cine velikoga generala,
∀φ(f(φ!z) → φ!x)
gdje je f “biti svojstvo koje cini velikoga generala”, nije priricna funkcija. Nomoze se svesti na priricnu funkciju, npr. ψ!z, u znacenju disjunkcije tocnihtrenutaka rodenja svakoga od velikih generala. – Naravno ta priricna funkcija(u nasem primjeru) ne odgovara po “smislu” svojstvu “imati sva svojstvavelikoga generala”, ali, to je bitno, odgovara opsegovno (ekstenzijski).
Takvi primjeri navode na aksiom svedljivosti : svaka se stavacna funkcijamoze svesti na neku priricnu funkciju, npr. za jednu varijablu:
∀φ∃ψ∀x(φx ↔ ψ!x)
Slicno je i s istovjetnoscu. x i y su istovjetni akko, ako je φx istinito,istinito je φy. Dobivamo hijerarhiju istovjetnostı:
1. sva svojstva prvoga reda koja pripadaju x, pripadaju i y:
Def. x = y ↔ ∀φ (φ!x→ φ!y);
2. sva svojstva drugoga reda koja pripadaju x, pripadaju i y.
Imati sva svojstva drugoga reda x, implicira imati sva svojstva x prvogareda. Ali obratno vrijedi samo uz pomoc aksioma svedljivosti. Stoga punuistovjetnost predmeta x i y dobivamo samo pomocu aksioma svedljivosti (R.kaze da vec Leibnizova “istovjetnost nerazlucljivoga” daje taj aksiom).
Aksiom je svedljivosti nepotreban ako pretpostavimo opstojnost razreda(PM 166). Ali (prema Russellu)
(1) ako pretpostavimo razrede, rjesenje paradoksa se komplicira, i(2) aksiom je svedljivosti manja pretpostavka od pretpostavke o opsto-
jnosti razreda.Aksiom se svedljivosti stoga zove i ‘aksiom razreda’ (‘aksiom relacija’ za
slucaj s vise varijabla).Nepriricne su funkcije tim aksiomom ponistene - ali samo u opsegovnome
(ekstenzijskome) smislu, ne u sadrzajnome (intenzijskome) smislu, kakavstavacne funkcije mogu imati.
17
2.4.5 Problemi razgranjene teorije tipova
– Svaki pojam kao sto su “stavak”, “istina”, “funkcija”, “predmet”, “broj”,beskonacno se umnozava prema svojoj sustavnoj (tipskoj) dvosmislenosti.– Iskljucuje se samoodnosajnost, koja se javlja u obicnome diskursu i umatematici.– Aksiom se svedljivosti uvodi kako bi se izbjegla teorija skupova, a sam nijedostatno ocit.– Russellova formulacija teorije: ne postuje dovoljno razliku porabe i spom-ena; npr. kad R. kaze da stavacna funkcija sadrzi varijablu, cesto zapravomisli na to da izraz stavacne funkcije sadrzi varijablu; φ je katkad shematskoslovo (npr. kad se kaze: vrijednost funkcije prvoga reda φ!x), a drugi putvarijabla, npr. u ∀φ f(φ!z, x).
Prednosti:– teorija je jedinstvena, ne trazi svoju metateoriju, ne trazi teoriju skupova(teoriju je aktualizirao Alonzo Church u svojoj teoriji “smisla i obiljezavanja”1976., 1984.)
2.5 Dodatak: aksiomatska teorija skupova
“Naivna” teorija skupova:
1. Aksiom opsegovnosti (extensionality):
∀x∀y(∀y(z ∈ x↔ z ∈ y) → x = y)
2. Aksiomatska shema sadrzaja (comprehension):
∃x∀y(y ∈ x↔ p(y))
Kako p moze sadrzavati i druge varijable, preciznije je formulacije:∀z1 . . .∀zn∃x∀y(y ∈ x↔ p(y)).
Aksiomatskom je shemom naznaceno zapravo beskonacno mnogo aksiomatoga oblika (ovisno o tome sto stoji za p).
Takva teorija skupova vodi u paradokse (usp. Russellov paradoks zateoriju skupova). Ernst Zermelo aksiomatizira teoriju skupova (1908.) kako
18
bi se izbjegli paradoksi. Ta je teorija, uz neke kasnije preinake, poznata podnazivom ‘ZF ’ (Zermelo-Fraenkel), a ako joj se doda aksiom izbora, oznaujese se ‘ZFC ’ (‘C ’ za ‘choice’, ‘izbor’). U teoriji se ZF(C) umjesto aksiomasadrzaja uvodi aksiom odijeljenosti (v. dolje). No kako aksiom odijeljenostipostavlja veliko ogranicenja, pretpostavljajuci da su nadskupovi vec dani,potrebno je drugim aksiomima osigurati pojedine oblike skupova.
1. Aksiom opsegovnosti, v. gore!
2. Aksiomatska shema odijeljenosti (separation) (aksiom podskupova):
Nadskup z mora vec biti dan. Tada pomocu uvjeta p za sve ili nekenjegove clanove dobivamo skup (koji je podskup skupa z).
∀z∃x∀y(y ∈ x↔ (y ∈ z ∧ p(y))
Poopceno: ∀w1 . . . wn∀z∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ p(y)).
3. Aksiom praznoga skupa (x je prazan skup):
∃x∀y y /∈ x
Uvodimo oznaku ‘∅’ kao oznaku za prazan skup.
4. Aksiom parova (z je par):
∀x∀y∃z∀w(w ∈ z ↔ (w = x ∨ w = y))
Uvodimo ‘{x, y}’ kao oznaku za neureden par. U slucaju x = y, ak-siomom je osigurana opstojnost skupa s jednim clanom.
5. Aksiom spoja (unije) (y je unija clanova x):
∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x))
.
Uvodimo oznaku ‘∪’ za uniju.
19
6. Aksiom partitivnoga skupa: Svaki skup x ima svoj partitivni skup y.
∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ z ⊆ x)
Definiramo podskup: x ⊆ y =def ∀z(z ∈ x→ z ∈ y)
Uvodimo ‘℘x’ kao oznaku za partitivni skup skupa x.
7. Aksiom beskonacnosti: Opstoji skup svih prirodnih brojeva.
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x→ y′ ∈ x))
Definicija. y′ =def y ∪ {y} - skup svih prethodnih clanova (prema vonNeumannovoj definiciji prirodnoga broja).
Dobivamo beskonacan skup:
{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} . . .}
Svaki novi clan skupa ima kao svoje clanove sve prethodne clanoveskupa.
8. Aksiomatska shema zamjene (dodali Fraenkel / Skolem):
∀x(∀y(y ∈ x→ ∃!z p(y, z)) → ∃ww = {z|∃y y ∈ x ∧ p(y, z)}))
Ako je dan neki skup x i relacija p koja za svaki clan skupa x odredujejedan jedinstveni predmet, onda opstoji i skup svih predmeta u relacijip prema x.
9. Aksiom pravilnosti (utemeljenosti): Svaki neprazan skup ima baremjedan clan s kojim ima prazan prijesjek (razdvojeni su).
∀x(x 6= ∅ → ∃y(y ∈ x ∧ x ∩ y = ∅))
Definicija. ∀x(x ∈ y ∩ z ↔ (x ∈ y ∧ x ∈ z))
Iskljuceni su svi skupovi kojima clanovi nisu prethodno definirani, kaoskup {{{. . .}}}, koji je sam svoj clan. – Svaki skup sadrzi minimalniclan u silaznome clanstvenome nizu. Skupovi se stoga razlikuju premastupnjevima: ℘a je za jedan stupanj visi od skupa a
Odavde slijedi da nijedan skup nije svoj clan. Dokaz. Neka a ∈ a.Tada ima i skup {a}. Medutim tada, suprotno aksiomu pravilnosti,{a} i njegov jedini clan a imaju neprazan prijesijek, naime, zajednickiim je clan predmet a.
20
10. Aksiom izbora (AC): Neka je a skup nepraznih skupova. Tada imafunkcija f takva da
∀x(x ∈ a→ f(x) ∈ x).
Taj se aksiom cesto osporava. Pogledajmo sljedeca tri primjera:
1. Skup svih nepraznih skupova prirodnih brojeva. Uvijek mozemoizabrati najmanji clan skupa.
2. Skup svih intervala realnih brojeva s pozitivnim, konacnim dulji-nama. Uvijek mozemo izabrati sredinu intervala.
3. No nije pronadena prikladna funkcija za skup svih nepraznih skupovarealnoga kontinuuma (npr., nema svaki takav skup najmanji, najveciili srednji clan).
U prva dva slucaja aksiom nije potreban, a u trecem se samo (nekon-struktivisticki) postulira izborna funcija.
Dodajmo da se hipoteza kontinuuma i poopcena hipoteza kontinuuma nemogu u ZFC niti opovrci (Godel, 1939.) niti dokazati (Cohen 1963.).
Osim sustava ZFC poznat je, primjerice, i sustav NBG (John von Neu-mann, Paul Bernays i Kurt Godel). Za taj je sustav karakteristicno razliko-vanje skupa (kao posebnoga slucaja razreda) i “pravoga razreda”. Uvjet dax bude skup (S) odreduje se ovako:
Sx↔ ∃y(x ∈ y)
Pravi su razredi “preveliki” da bi bili skupovi:
¬Sx↔ |x| = |V |
gdje je V univerzalan skup.
21
3 Jednostavna teorija tipova
Razvoj:
Frege - “stupnjevi”; Russell, Principles of Mathematics (1903)L. Chwistek (1922), Ramsey (1925), Carnap (1929), Godel
(1931),Church, 1940. (potpunost teorija tipova: Henkin, 1950)R. Montague (Formal Philosophy, 1974.) - modalno prosirenje
Churchove jednostavne teorije tipova; sustav i potpunost: DanielGallin (1975.)
Churchova modalna inacica jednostavne teorije tipova 1974.
3.1 Sintaksa i semantika jezika
3.1.1 Jezik
U jeziku Lv imamo odgovarajuci mehanizam tipiziranja.
Definicija 3.1.1 (Tip) 0 je tip. Ako su τ1, . . . , τn tipovi, onda je〈τ1, . . . , τn〉 tip.
Definicija 3.1.2 (Red) Tip 0 jest tip prvoga reda. Ako je najvisi red tipovaτ1, . . . , τn red n, onda je tip 〈τ1, . . . , τn〉 tip n + 1. reda.
Primjer:0 — tip prvoga reda,〈0, 0, 0〉 — tip drugoga reda,〈0, 0, 〈0〉〉 — tip trecega reda.
Rjecnik
1. Konstante: cτ , dτ , eτ . . . , cτ1, . . .
neformalno:
• konstante prvoga reda: c, d, e, c1, . . .;
• konstante drugoga reda: P n, Qn, Rn, P n1, . . .;
• konstante visega reda: Pτ ,Qτ ,Rτ ,Pτ1, . . .;
(metavarijable: cτ , dτ itd.)
2. Varijable: xτ , yτ , zτ , xτ1, . . .
neformalno:
• x, y, z, x1, . . .;
• Xn, Y n, Zn, Xn1, . . .;
• X τ ,Yτ ,Zτ ,X τ1, . . .;
(metavarijable: xτ , yτ itd.)
3. Djelateljni simboli:
• ¬,→, . . .
• ∀, ∃
• λ
4. =〈τ,τ〉,
5. Pomocni simboli: . , ( )
Tvorbena pravila
Oznaka (term) se i formula moraju definirati zajedno zbog njihove definicijskemeduovisnosti.
Definicija 3.1.3 (Oznaka (term) i formula)
1. konstante i varijable jesu oznake,
2. ako je t〈τ1,...,τn〉 oznaka, i ako su tτ11, . . . , tτn
n oznake, onda je t〈τ1,...,τn〉(tτ11, . . . , tτn
n )formula (jednostavna, atomarna)
(neformalno, kad nema dvosmislenosti, mozemo pisati tt1 ili t(t1)),
3. ako je p formula, ¬p je formula,
23
4. ako je p formula, (p ∧ q), (p ∨ q), (p→ q), (p↔ q) jesu formule
(neformalno, kad ne proizlazi dvosmislenost, mozemo izostaviti vanjskezagrade),
5. ako je p formula a xτ varijabla, ∀xτp i ∃xτp jesu formule,
6. ako je su xτ11, . . . , xτn
n razlicite varijable, a p je formula, onda je (λxτ1. . . xτ
n.p)
oznaka (lambda-apstrakt)
(neformalno, kad je lambda apstrakt sam, mozemo izostaviti vanjskezagrade; kad ne proizlazi dvosmislenost, mozemo izostaviti vanjske za-grade u oblicima (p ∧ q) i sl.)
Opci i opstojni kolicitelj vezu pojavke varijabla analogno logici prvoga reda.λxτ1
1. . . xτn
n jest λ-djelatelj. On u p veze svaki slobodni pojavak varijablaxτ1
1. . . xτn
n .
Primjer. Apstrakt (λxτ11. . . xτn
n . p) jest tipa 〈τ1, . . . , τn〉.(Red formule jest najveci red njezina tipizirana dijela.)
Formalno i krace zapisane formule:
c〈0〉(c0) — Pcd〈0,0〉(c0, d0) — Qcdc〈0,0,〈0,0〉〉(c0, x0, c〈0,0〉) — P(c, x, P 2) (npr. pozeljno je da c i x stoje u
odnosu P).
Apstrakti i formule:
Primjeri
• ‘(λxy.Pxy ∧Qxy)’ je apstrakt tipa 〈0, 0〉
• ‘(λxy.Pxy ∧Qxy)(c, d)’ je jednostavna formula.
• ‘P(λxy.Pxy ∧Qxy)’ je jednostavna formula.
Evo jos jednoga skupa primjera:
• ‘Xx’ i ‘PX〈0〉’ jesu jednostavne formule,
24
• ‘(λx.∀X(PX → Xx))’ je apstrakt tipa 〈0〉 (imati sva pozitivna svo-jstva),
• ‘(λx.∀X(PX → Xx))(c)’ je jednostavna formula (predmet oznacen s‘c’ ima sva pozitivna svojstva),
• ‘(λX.Xc)’ je apstrakt tipa 〈〈0〉〉 (biti svojstvo predmeta oznacenoga s‘c’),
• ‘(λX.Xc)(P )’ je jednostavna formula (‘P 1’ oznacuje svojstvo predmetaoznacenoga s ‘c’, jednostavnije ‘Pc’),
• ‘(λX.Xa)(λx.∀yPxy)’ je jednostavna formula.
Supstitucija u formulu. Pripazimo da u supstitucijskome primjeru pokolicenogaiskaza varijable vezane lambda-apstraktom ne zamjenjujemo oprimjerujucomkonstantom. Npr. od iskaza
∀z(λxy.Pxz ∨Qy)(c, d)
supstitucijom (e/z) dobivamo
(λxy.Pxe ∨Qy)(c, d)
.
3.1.2 Semantika
Definicija 3.1.4 (Model) Model M je ureden par 〈D, T 〉 gdje
1. D = D0 je neprazan skup pojedinaka, a D〈τ1,...,τn〉 = ℘(Dτ1 × . . .×Dτn),
(dτ je predmet tipa τ nad D)
2. T je funkcija vrjednovanja takova da za svaku konstantu cτ , T (cτ ) ∈Dτ ;
3. T (=〈τ,τ〉) = {〈dτ , dτ 〉 | dτ ∈ Dτ}.
Definicija 3.1.5 (Vrjednovanje varijabla) Vrjednovanje varijabla v svakojvarijabli xτ pridruzuje predmet dτ , tj. v(xτ ) ∈ Dτ .
25
Definicija 3.1.6 (Oznacivanje i zadovoljenost)
1. JcτKM
v = T (c),
2. JxτKM
v = v(x),
3. M |=v t(t1, . . . , tn) akko 〈Jt1KM
v , . . . , JtnKM
v 〉 ∈ JtKM
v ,
4. M |=v ¬p akko M, v 6|= p,
5. M |=v p ∧ q akko M |=v p i M |=v q,
6. M |=v p ∨ q akko . . .,
7. M |=v p→ q akko . . .,
8. M |=v p↔ q akko . . .,
9. M |=v ∀xτp akko za svaki dτ ∈ Dτ ,M |=v[dτ /xτ ]p,
10. M |=v ∃xτp akko barem za jedan dτ ∈ Dτ ,M |=v[dτ /xτ ]p,
11. J(λxτ11. . . xτn
n . p)KM
v = {〈dτ11, . . . , dτn
n 〉 | M |=v[d
τ11 /x
τ11 ,...,d
τnn /x
τnn ]
p}.
Definicija 3.1.7 (Istina) M |= p akko za svako vrjednovanje varijabla v,M, v |= p.
Definicija 3.1.8 (Zadovoljivost) Skup je iskaza Γ zadovoljiv akko je svakiclan Γ istinit barem u jednome modelu M.
Definicija 3.1.9 (Semanticka posljedica i valjanost)
• Γ |= p akko je p istinito u svakome modelu u kojem je istinit svaki clanΓ.
• Zakljucak je valjan akko je njegov zaglavak istinit u svakome modelu ukojem su sve njegove premise istinite.
• Iskaz je valjan akko je istinit u svakome modelu.
Definicija 3.1.10 (Semanticka istovrijednost) Iskazi su p i q semantickiistovrijedni akko u svakome modelu M imaju istu istinitosnu vrijednost.
26
Primjeri
1. Russellova definicija istovjetnosti:
∀x∀y(x = y ↔ ∀X(Xx→ Xy)).
2. Definicije brojeva po tipovima:
∀X(0X ↔ ¬∃xXx)∀X(1X ↔ ∃x∀y(Xy ↔ x = y))∀X(2X ↔ ∃x∃y(x 6= y ∧ ∀z(Xz ↔ (x = y ∨ x = z)))∀X(3X ↔ ∃x∃y∃z(¬(x = y ∨ x = z ∨ y = z) ∧
∀w(Xw ↔ (w = x ∨ w = y ∨ w = z))))
0(λx.x = x) ↔ ¬∃xx = x1(λx.x = x) ↔ ∃x∀y y = x2(λx.x = x) ↔ ∃x∃y(¬x = y ∧ ∀z(z = x ∨ z = y))
Brojnost tipa opcenito: N(λxτ .xτ = xτ ).
3. Definicije svojstava relacija:
∀X(RX ↔ ∀xXxx),∀X(SX ↔ ∀x∀y(Xxy → Xyx)),∀X(PX ↔ ∀x∀y∀z((Xxy ∧Xyz) → Xxz)),∀X(EX ↔ ∀x∀y∀z((Xxy ∧Xxz) → Xzy)).
4. Funkcije
Mozemo definirati pojam funkcije, te injektivnost i surjektivnost:
Fun(X) ↔ ∀x∃y∀z(Xxz ↔ z = y),Inj(X) ↔ ∀x∀y∀z((Xxz ∧Xyz) → x = y),Sur(X) ↔ ∀y∃xXxy.
27
3.2 Istinitosno stablo
h ∃xτpX h ¬∀xτpXi p(cτ/xτ ) h∃ i ¬p(cτ/xτ ) h¬∀
cτ je nova konstanta cτ je nova konstanta
h ∀xτp h ¬∃xτpi p(tτ/xτ ) h∀ i ¬p(tτ/xτ ) ¬∃
tτ je zatvorena oznaka tτ je zatvorena oznaka
h (λxτ11. . . xτn
n . p)(t1, . . . , tn) h ¬(λxτ11. . . xτn
n . p)(t1, . . . , tn)i p(tτ1
1/xτ1
1, . . . , tτn
n /xτnn ) hλ i ¬p(¬tτ1
1/xτ1
1, . . . , tτn
n /xτnn ) h¬λ
tτ je zatvorena oznaka tτ je zatvorena oznaka
3.2.1 Primjeri
Provjeriti valjanost∀Y ∃X∀x¬(λy.Y xy) = X
Za X treba supstituirati (λy.¬Rxy).
3.3 Deduktivni sustav
h ∀xτpi p(tτ/xτ ) h i∀
tτ je zatvorena oznaka.
h p(cτ/xτ )i ∀xτp h u∀
cτ se ne javljau vrijedecim pretpostavkama niu ∀xτp.
Analogno za ‘∃’.
28
h p(tτ11/xτ1
1, . . . , tτn
n /xτnn )
i (λxτ11. . . xτn
n . p)(t1, . . . , tn) h uλ
tτ je zatvorena oznaka.
h (λxτ11. . . xτn
n . p)(t1, . . . , tn)i p(tτ1
1/xτ1
1, . . . , tτn
n /xτnn ) h iλ
tτ je zatvorena oznaka.
3.4 Metateorija
3.4.1 Nekompaktnost
Kon:
∀X((Fun(X) ∧ Inj(X)) → Surj(X))
(a) ∃x1∃2¬x1 = x2, itd.
Skup
{Kon, (a), (b), . . .}
je nezadovoljiv, iako je svaki njegov konacan podskup zadovoljiv.
3.4.2 Nepotpunost
{Kon, (a), (b), . . .} |= ⊥, a svaki je njegov konacan podskup zadovoljiv.
Neka je sustav V potpun.Dakle, {Kon, (a), (b), . . .} ⊢ ⊥,dakle, {Kon, (a), (b), . . .}′ ⊢ ⊥ (podskup, def. dokaza),
dakle, {Kon, (a), (b), . . .}′ |= ⊥ (prema pouzdanosti)ali, svaki je podskup {Kon, (a), (b), . . .}′ zadovoljiv.Dakle, sustav nije potpun.
29
3.4.3 Ne vrijedi Lowenheim-Skolemov poucak
Podimo od formule koja opisuje matematicku indukciju:
∀X((Xc ∧ ∀x((Xx → Xx′))) → ∀xXx).
Sukladno mozemo definiratiIzb(rojivost):
∃x∃f∀X((Xx ∧ ∀y((Xy → Xf(y)))) → ∀zXz),
gdje je f varijabla za funkciju (pojam funkcije je definirljiv u logici visegareda).
¬Kon izrazuje beskonacnost (skup je beskonacan akko nije konacan).Stoga: ¬Kon ∧ ¬Izb ima samo neprebrojive modele, sto nijece Lowenheim-Skolemov poucak.
3.5 Henkinovi (opci) modeli
Definicija 3.5.1 (Henkinov model (a), vrjednovanje varijabla) Hen-kinov je model, M, uredena trojka 〈H, T ,A〉, a vrjednovanje varijabla jefunkcija v, gdje
1. H je skup domena {Dτ} takvih da
(a) D0 je neprazan skup,
(b) D〈τ1,...,τn〉 ⊆ ℘(Dτ1 × . . .× Dτn), D〈τ1,...,τn〉 je neprazan,
2. v je funkcija vrjednovanja takova da za svaku varijablu xτ , v(xτ ) ∈ Dτ .
3. T je funkcija vrjednovanja takova da za svaku konstantu cτ , T (cτ ) ∈Dτ ,
4. A je funkcija takva da za svako v i za svaki apstrakt λxτ11. . . xτn
n . p,A(v, λxτ1
1. . . xτn
n . p) ∈ D〈τ1,...τn〉.
Slucaj 4 sluzi kako bi se osiguralo da je znacenje svakoga λ-apstrakta uodgovarajucoj domeni.
Definicija 3.5.2 (Oznacivanje i zadovoljenost)...
30
• Jλxτ11. . . xτn
n . pKMv = A(v, λxτ1
1. . . xτn
n . p).
Znacenje λ-apstrakta gore je samo prethodno (opcenito) definirano. Teksada se moze dati konacna definicija, kojom se ujedno dovrsuju definicijaHenkinova modela i oznacivanja i zadovoljenja.
Definicija 3.5.3 (Oznacivanje λ-apstrakta)
A(v, λxτ11. . . xτn
n . p) = {〈d1, . . . , dn〉 | M |=v[d1/x1,...,dn/xn]p}.
A je jedinstvena funkcija (u modelu). Moze biti i da je u konacno defini-ranome obliku nema za neki okvir 〈H, T 〉(Fitting, 22).
Definicije 3.5.1–3.5.3 treba uzeti kao jednu jedinstvenu definiciju.Sada se moze dokazati kompaktnost, potpunost i Lowenheim-Skolemov
poucak. Jer ima vise Henkinovih modela nego “klasicnih” modela u jednos-tavnoj teoriji tipova (i podskupovi partitivnih skupova kao domene, ne samopartitivni skupovi). Stoga je za valjanost i nezadovoljivost potrebna istinitostu vise modela nego u “klasicnoj” jednostavnoj teoriji tipova. Prema tome je∀X((Fun(X) ∧ Inj(X)) → Surj(X)) istinito i u beskonacnome modelu ukojem prednjak pogodbe nije zadovoljen (sto je sada moguce).
3.6 Modalna logika visega reda
Uvode se modalni djelatelji ‘2’ i ‘3’ te formule oblika 2p i 3p.
Modalni je model prvoga reda uredena petorka 〈S,R,D,Q, T 〉.Pri tom je T vrjednovanje koje
1. svakomu iskaznomu slovu p pridruzuje skup mogucih svjetova
2. svakomu priroku An pridruzuje funkciju S −→ ℘Dn.
3. svakoj predmetnoj konstanti a pridruzuje predmet d ∈ D0,
4. a T (E1) = {〈d, s〉 | d ∈ Q(s)}.
Henkinov model s osnovnim predmetnim podrucjem ovisnim o svijetu:
31
Definicija 3.6.1 (Modalni model visega reda) Model je M uredena sestorka〈S,R,H,Q,T ,A〉, gdje
1. S je neprazan skup (“svjetova”),
2. R ⊆ S × S,
3. H je skup {Dτ} podrucja, gdje
• D0 je neprazan skup pojedinaka, a inace
• D〈τ1,...,τn〉 ⊆ ℘(Dτ1 × . . .× Dτn)S (D〈τ1,...,τn〉 je neprazan),
4. Q: S −→ ℘D0 (Q(s) je neprazan),
5. T je funkcija vrjednovanja takva da za svaku konstantu cτ , T (cτ ) ∈ Dτ ;posebice
T (=〈0,0〉) je funkcija koje je vrijednost za svaki svijet w skup parova〈d0, d0〉 za svaki d0 ∈ D0,
3.7 Godelov ontologijski dokaz
Provodi se u S5-sustavu modalne logike visega reda. Za pokolicavanje prvogareda primijenjuju se pravila slobodne logike (kao u modalnoj logici prvogareda). Za kolicitelje reda visega od prvoga vrijede gornja pravila logike visegareda.
U donjem su dokazu mjestimice, zbog jednostavnosti i prijeglednosti, jed-nostavniji koraci prikazani u jedinstvenome retku.
3.7.1 Prvi dio
Aksiom 3.7.1 : ∀X¬(PX ↔ P¬X),
Aksiom 3.7.2 : ∀X∀Y ((PX ∧ 2∀x(Xx → Y x)) → PY ),
Stavak 3.7.1 P(λx.x = x)
32
Dokaz
1 ¬P(λx.x = x) pretpostavka
2 P(λx.¬x = x) 1 aksiom 3.7.13 2 Ea pretpostavka
4 (λx.¬x = x)(a) → (λx.x = x)(a) taut5 ∀x((λx.¬x = x)(x) → (λx.x = x)(x)) 3–4 uv ∀6 2∀x((λx.¬x = x)(x) → (λx.x = x)(x)) 3-5 uv 2
7 (P(λx.¬x = x) ∧ 2∀x((λx.¬x = x)(x) →(λx.x = x)(x)) → P(λx.x = x) aksiom 3.7.2
8 P(λx.x = x) 1, 6,7 isklj →9 ¬P(λx.x = x) 1 opet
10 P(λx.x = x) 1–9 isklj ¬
Poucak 3.7.1 ∀X(PX → 3∃xXx)
Dokaz
1 PA pretpostavka
2 ¬3∃xAx pretpostavka
3 2 ¬∃xAx 2 K-op4 Ea pretpostavka
5 ¬Aa 3,4 ¬∃ isklj6 Aa→ (λx.¬x = x)(a) ex falso quodlibet7 ∀x(Aa → (λx.¬x = x)(x)) 4–6 uv ∀8 2∀x(Aa → (λx.¬x = x)(x)) 3-7 uv 2
9 PA ∧ 2∀x(Aa → (λx.¬x = x)(x)) 1,8 uv ∧10 (PA ∧ 2∀x(Aa → (λx.¬x = x)(x)))
→ P(λx.¬x = x) aksiom 3.7.211 P(λx.¬x = x) 10,9 isklj →12 ¬P(λx.x = x) 11 aksiom 3.7.113 P(λx.x = x) stav. 3.7.114 3∃xAx 2-13 isklj ¬15 PA → 3∃xAx 1-14 uv →16 ∀X(PX → 3∃xXx) 15 uv ∀
33
Definicija 3.7.1 (Bog) : Gx↔def ∀X(PX → Xx),
Aksiom 3.7.3 : PG,
Korolarij 3.7.1 3∃xGx
Dokaz Slijedi iz aksioma 3.7.3 i poucka 3.7.1.
3.7.2 Drugi dio
Stavak 3.7.2 ∀x(Gx → ∀X(Xx→ PX))
Dokaz
1 Ea pretpostavka
2 Ga pretpostavka
3 Ha pretpostavka
4 ¬PH pretpostavka
5 P¬H ↔ ¬PH aksiom 3.7.16 P¬H 4,5 ↔ isklj7 ∀X(PX → Xa) 1,2 def. 3.7.1, isklj ∀8 P¬H → ¬Ha 7, isklj ∀9 ¬Ha 6,8 isklj →
10 Ha 3 op11 PH 4–10 isklj ¬12 Ha→ PH 3–11 uv →13 ∀X(Xa→ PX) 12 uv ∀14 Ga→ ∀X(Xa→ PX) 2–13 uv →15 ∀x(Gx → ∀X(Xx→ PX)) 1–14 uv ∀
Aksiom 3.7.4 ∀X(PX → 2PX),
34
Napomena 3.7.1 Iz aksioma 3.7.4 slijedi ∀X(¬PX → 2¬PX) pomocuaksioma 3.7.1, i obratno (i pomocu aksioma 3.7.1).
Definicija 3.7.2 (Bit)E∫∫(X, x) ↔def (Xx ∧ ∀Y (Y x→ 2∀y(Xy → Y y))),
Poucak 3.7.2 ∀x(Gx → E∫∫(G, x))
Dokaz
1 Ea pretpostavka
2 Ga pretpostavka
3 Ha pretpostavka
4 Ga→ (Ha→ PH) stav. 3.7.25 PH 2,3,4 isklj →6 2PH 5 aksiom 3.7.47 2 PH 6 K-op8 Eb pretpostavka
9 Gb pretpostavka
10 PH → Hb 8, 9 def. 3.7.1, isklj ∀11 Hb 7,10 isklj →12 Gb→ Hb 9–11 uv →13 ∀y(Gy → Hy) 8–12 uv ∀14 2∀y(Gy → Hy) 7-13 uv 2
15 Ha→ 2∀y(Gy → Hy) 3-14 uv →16 ∀Y (Y a→ 2∀y(Gy → Y y)) 15 uv ∀17 Ga ∧ ∀Y (Y a→ 2∀y(Gy → Y y)) 2,16 uv ∧18 E∫∫(G, a) 1,17 def. 3.7.2, isklj ∀19 Ga→ E∫∫(G, a) 2-18 uv →20 ∀x(Gx → E∫∫(G, x)) 1–19 uv ∀
Definicija 3.7.3 (Nuzna opstojnost)Nx ↔def ∀Y (E∫∫(Y, x) → 2∃xY x),
35
Aksiom 3.7.5 PN .
Poucak 3.7.3 ∃xGx → 2∃xGx
Dokaz
1 ∃xGx pretpostavka
2 Ga ∧Ea pretpostavka
3 PN → Na 2 def. 3.7.1, isklj ∀4 Na 3 aksiom 3.7.55 ∀Y (E∫∫(Y, a) → 2∃yY y) 2,4 def. 3.7.3, isklj ∀6 E∫∫(G, a) → 2∃yGy 5 isklj ∀7 Ga→ E∫∫(G, a) poucak 3.7.28 E∫∫(G, a) 2,7 isklj →9 2∃yGy 6,8 isklj →
10 2∃yGy 1,2-9 ∃ isklj11 ∃xGx → 2∃xGx 1-10 uv →
Poucak 3.7.4 2∃xGx
Dokaz
1 3∃xGx Kor. 3.7.12 ¬2∃xGx pretpostavka
3 2 ∃xGx (1) pretpostavka
4 2∃xGx 3 poucak 3.7.3 →E5 ¬2∃xGx 2 5-op7 ⊥ 1,3-5 isklj 3
8 2∃xGx 2-8 isklj ¬
36
