LOGICKI TIPOVI I ONTOLOGIJA –

ZABILJESKE

5.2.2009., 2.12.2007., prva inacica 23.06.2004.

1 Uvod: logicki tipovi i ontologija

1.1 Sto su to logicki tipovi

Uvodno razlikovanje: prema logickome tipu razlikujemo, primjerice, pojedi-nacne predmete od njihovih svojstava i relacija, a od svega toga, nadalje,svojstva svojstava i relacija, relacije svojstava i relacija, itd.

Prva teorija tipova:

B. Russell (1872.–1970.) u ‘Mathematical logic as based on the theory oftypes’ (ML), 1908., (Logic and Knowledge, London 1956.); u A. N. Whitehe-ad, B. Russell: Principa mathematica (PM ), 1910.–1913., sv. 1.

Prethodnici: Frege (1848.–1925.), npr. u ‘Funktion und Begriff’, 1891.,na kraju teksta; u Grundgesetze der Arithmetik, 1983.-1903., §§21-25).

Lit. Nino B. Cocchiarella, ‘Theory of Types’, u Routledge Encyclopediaof Philosophy.

Logicke smo tipove vec susreli u elementarnoj logici:

a) iskazna logika: nema tipa predmeta, osim ako 〈〉 ne uzmemo kao tip;

b) prirocna logika (logika prvoga reda): svi su predmeti u predmetnomepodrucju tipa 0, to su predmeti prvoga reda (pojedinacni predmeti); poko-licavanje se izrvrsuje samo po predmetima tipa 0 — upravo se time i de-finira logika prvoga reda. Tomu tipu predmeta odgovaraju i simboli tipa0: predmetne konstante i predmetne varijable. Skupovi uredenih n-toraka(tj. relacije) predmeta prvoga reda, tipa su 〈0, . . . , 0〉 (ne ulaze u predmetnopodrucje) i oznaceni su prirocima istoga tipa. To su tipovi drugoga reda.Mjesnost je priroka zapravo oznaka za tip. Tek se logikom drugoga redauvodi i pokolicavanje na “predmetima” drugoga reda.

Tipske su razlike relativne: npr. brojeve mozemo uzeti kao predmetetipa 0 (tip prvoga reda), a njihova svojstva i relacije kao tipove drugoga reda— iako se brojevi kao takvi mogu definirati kao svojstva svojstava (tipovitrecega reda).

1.2 Ontologija

Ontologiju smo dosad (u logici prvoga reda) maksimalno drzali neutralnomi liberalnom - u smislu sto cemo prihvacati kao predmete (u predmetnomepodrucju), a sto ne. Kao predmeti prvoga reda javljali su nam se:

• konkretni predmeti: obicni predmeti (ljudi, gradovi, stolice i sl.;

• apstraktni predmeti: geometrijska tijela, brojevi, jezicni predmeti udokazu potpunosti);

Uz to su se javljali pojmovi kao istina, neistina (vec u iskaznoj logici) irelacije (skupovi n-toraka) koji su unosili odredenu “strukturu” medu pred-mete. Istinu (neistinu) i relacije kao takve nismo uzimali kao predmete,makar bismo i to mogli ako zanemarimo njihovu specificnost (npr. nekaD = {i, n}).

Javljali su se problemi: npr. sto oznacuju odredeni opisi? Russell je nato pitanje odgovorio eliminacijom odredenih opisa, dopustajuci samo njihovokontekstualno znacenje u recenici.

U logici visega reda, gdje se u predmetnim podrucjima javljaju i predmetivisega reda, uspostavlja se izricit logicki odnos medu predmetima razlicitogareda. Ontologija time dobiva siru i opcenitiju strukturu.

3

2 Paradoksi

Razdioba paradoksa (Frank Ramsey (1903.–1930.), ‘The foundations of mat-hematics’, 1925.):

1) logicko-matematicki: Burali-Fortiev, Cantorov, Russellov (Zermelo)paradoks.

2) semanticki ili epistemologijski: Epimenid, Richardov, Berryev, Grel-lingov paradoks.

2.1 Cantorov paradoks i teorija skupova

Pojam sveopcega (univerzalnoga) skupa U (skup svih skupova) sadrzi para-doks!(Georg Cantor, 1845.–1918., izgradio teoriju skupova 1874.–1897.)

2.1.1 Prethodni pojmovi

Skup: ”okupljanje u cjelinu odredenih, razlicitih predmeta nase zamjedbe ilinase misli” (Cantor, 1895.).

Kardinalni broj skupa S, |S|: broj clanova skupa S. Prazan skup imakardinalni broj 0.

A i B imaju isti kardinalni broj, |A| = |B|, akko su jednakobrojni (ekvi-potentni), A ≈ B.

— Skupovi su A i B jednakobrojni akko izmedu njih opstoji odgovaranje(korespondencija) 1 za 1; tj. obostrano jednoznacno pridruzivanje (bijekcija= injekcija i surjekcija, s A na B).

Skup je S beskonacan ako i samo ako je jednakobrojan sa svojim pravimpodskupom. Inace je konacan.

Npr. skup N (prirodni brojevi) i skup svih parnih pozitivnih cijelih bro-jeva kao pravi podskup skup N .

(Alternativno: skup je konacan akko jednakobrojan je s nekim prirodnimbrojem. Pri tom je prirodan broj definiran kao skup svih manjih brojeva -von Neumannova definicija prirodnoga broja. — I prazan je skup konacan).

Skup je prebrojiv (denumerable) ako i samo ako ima isti kardinalni brojkao i P (skup svih pozitivnih cijelih brojeva). Taj je kardinalni broj ℵ0 (“alefnula”). – Npr. prebrojiv je skup Q (skup svih racionalnih brojeva) — sveracionalne brojeve mozemo uvrstiti u tablicu a zatim ih postaviti u linearniporedak (pratimo strjelice u tablici!):

1

1→ 1

2

1

3→ . . .

ւ ր ւ2

1

2

2

2

3. . .

↓ ր ւ3

1

3

2

3

3. . .

... ւ...

...

Skup je izbrojiv (enumerable, countable) ako i samo ako je konacan iliprebrojiv.

Ima i beskonacan neprebrojiv skup - R (skup svih realnih brojeva). Tose dokazuje dijagonalnim postupkom: definira se broj n veci od 0 a manjiili jednak 1 (0 < x ≤ 1), koji se od prvoga broja u pretpostavljenoj tablicisvih brojeva toga intervala razlikuje prema prvoj decimali, od drugoga premadrugoj itd. Definiranoga broja n nema u tablici, tj. ne moze se prebrajanjemdoci do njega:

0, a1,1 a1,2 a1,3 . . .0, a2,1 a2,2 a2,3 . . .0, a3,1 a3,2 a3,3 . . ....

......

...

Napomenimo da se brojevi u tablicu zapisuju tako da nema nijedne zna-menke iza koje slijede same nule, nego se umjesto 0, 1000 . . . pise 0, 0999 . . .itd. (razlika izmedu 0, 1 i 0, 0999 . . . konvergira nuli: 0, 01; 0, 001; 0, 0001; . . .)— dakle se radi samo o beskonacnim decimalnim razlomcima.

Broj je n definiran tako da se dijagonalno umjesto ai,i stavlja znamenkakoja nije ni ai,i ni 0.) Stoga se n razlikuje od prvoga broja po tome sto

5

umjesto a1,1 ima bilo koju znamenku koja nije ni a1,1 ni 0; od drugoga sebroja po tome sto umjesto umjesto a2,2 ima bilo koju znamenku koja nije nia2,2 ni 0; itd. n se stoga razlikuje od svakoga broja u tablici.

Partitivni (potencijski) skup od S, ℘S, jest skup svih podskupova od S(uvijek ukljucuje i prazan skup).

Partitivni skup skupa S ima velicinu 2S. Partitivni skup skupa P imavelicinu 2ℵ0.

|R| = c = 2ℵ0. To se dokazuje

• pomocu svojstva realnih brojeva da se svaki realan broj moze injektivno(jedan za jedan) preslikati u podskup racionalnih brojeva manjih odnjega (pa je c ≤ 2ℵ0),

• te pomocu svojstva da se svaki podskup skupa P moze injektivno pres-likati u realan broj s decimalnim znamenkama samo 0 i 1 unutar za-tvorenoga intervala [0, 1] (pa je 2ℵ0 ≤ c) (pritom se redom svakomupozitivnomu cijelomu broju koji je clan podskupa, pridruzuje 1, inace0).

(Beskonacni ili transfinitni kardinalni brojevi, ℵ0,ℵ1 = c,ℵ2 = 2ℵ1 , itd.Cantorova hipoteza kontinuuma, 1878.: svaki beskonacan podskup kontinu-uma jest izbrojiv ili ima kardinalni broj kontinuuma.)

2.1.2 Cantorov poucak

Cantorov poucak (1891.) : kardinalni broj partitivnoga skupa od S veci jeod kardinalnoga broja skupa S, |℘S| > |S|. Dokaz:

1) |S| ≤ |℘S|, jer ima funkcija jedan za jedan (injektivna) za koju svakiclan si ∈ S ima kao svoju sliku jednoclani skup {si} ∈ ℘S.

2) Dijagonalnim se postupkom dokazuje da |S| 6= |℘S|. Neka |S| = |℘S|.Tada opstoji odgovaranje jedan za jedan, tako da svakomu si ∈ S odgovaraneki pi ∈ ℘S. Neka je p∗ skup svih clanova skupa S koji nisu clanovi svojihodgovarajucih clanova skupa ℘S. I skupu p∗ treba odgovarati neki s∗. No,je li s∗ ∈ p∗. To nas pitanje vodi u protuslovlje. Stoga ne stoji da |S| = |℘S|

Iz 1) i 2) zajedno slijedi poucak.

6

(Quineov slikovit primjer za Cantorov poucak: ima vise skupova kravanego krava.)

2.1.3 Cantorov paradoks

Cantorov paradoks (1899. u pismu Dedekindu, ili koju godinu prije, obj.1932.): kardinalni broj partitivnoga skupa sveopcega skupa veci je od kardi-nalnoga broja sveopcega skupa, |℘U | > |U | — opstoji li sveopci skup i kojije njegov kardinalni broj?

Cantor je smatrao da je neka skupina skup ako i samo ako ju neprotuslov-no mozemo smatrati predmetom. Anticipacija von Neumannova razlikovanjaskupa i razreda.

Lit. Pavle Papic, Uvod u teoriju skupova, Zagreb, 2000; Darko Zubrinic,Diskretna matematika, Zagreb, 1997; Vladimir Devide, Matematicka citanka,Zagreb, 1991.

Seymour Lipschutz, Set theory and related topics, McGraw–Hill, 1998.

Herbert Enderton, Set theory, Academic Press, 1977.

G. Boolos, J. Burgess, R. Jeffrey, Computability and logic (4th izd.), Cam-bridge UP, 2002.

2.1.4 Burali-Fortiev paradoks

Cesare Burali-Forti (1897, prvi objavljeni paradoks) — paradoks o skupusvih rednih brojeva: neka je redni broj skup svih prethodnih rednih brojeva,skup svih rednih brojeva je ω, ali je redni broj skupa ω broj ω + 1.

2.2 Russellov paradoks

Bertrand Russell (1901. otkrio paradoks, pismo Fregeu 1902., Principles ofmathematics, 1903.); paradoks je neovisno otkrio Ernst Zermelo.

a) Mogu se razlikovati “prirecivi” (predicable) i “neprirecivi” (non-predicable)priroci (pojmovi). Prvi se priricu sebi (npr. ‘je prirok’ je prirok, ‘je jedno-

7

mjesta’ je jednomjestan), a drugi ne (‘je bijel’ nije bijel, ‘je dvomjestan’ nijedvomjestan). Definirajmo sljedeci prirok:

ne se priricati sebi.

Pririce li se on sebi ili ne?b) Skup svih skupova koji nisu svoji clanovi, {x | x /∈ x}; je li taj skup

svoj clan ili nije?

Taj je paradoks uzdrmao temelje Fregeova logicistickoga programa (svodenjaaritmetike na logiku).

Fregeov V. aksiom:

⊢ ()

ǫf(ǫ) =)

αf(α)) = ∀x(fx = gx)

)

ǫf(ǫ) je ime vrijednosnoga toka (opsega) funkcije (pojma) f(ξ); definicija:imati isti vrijednosni tok znaci imati za isti argument istu vrijednost funkcije;vrijednosni je tok za Fregea neki predmet.

Napomene uz Fregea:a) zasto ‘=’ umjesto ‘↔’? Jer je znacenje recenice i vrijednost pojma (kao

funkcije s jednim argumentom) istinitosna vrijednost — istina (das Wahre)ili neistina (das Unwahre), a to su za Fregea predmeti (recenica je vlastitoime istine, odnosno, neistine);

b) Znak ‘⊢’ ima dva dijela:vodoravna crta je oznaka za funkciju koji ima vrijednost istinu ako izraz

koji slijedi oznacuje istinu, i vrijednost neistinu, ako izraz koji slijedi neoznacuje istinu;

okomita (sudna) crta: njome se tvrdi da izraz koji slijedi iza vodoravnecrte znaci istinu.

Russellov paradoks rusi i obicno (“naivno”) shvacanje skupova, premakojem vrijedi aksiom sadrzaja (komprehenzije):

∃y∀x(x ∈ y ↔ P (x))

(odnosno: ∀z1 . . .∀zn∃y∀x(x ∈ y ↔ P (x)), gdje su z1, . . . , zn varijablekoje se javljaju u P ).

8

Popularizacija Russellova paradoks (Russell, 1919.): brijac u nekome selukoji brije sve one koji sami sebe ne briju. Brije li on sam sebe ili ne? - No tomozemo lako rijesiti, zakljucujuci da nema takova brijaca.

2.3 “Semanticki” (“epistemologijski”) para-

doksi”

2.3.1 Richardov paradoks

Jules Richard (1905. - pismo uredniku casopisa, pretisnuto 1906.)1) Skup svih (konacnih) izraza pomocu hrvatske abecede (30 slova) jest

prebrojiv (shvatimo i recenice kao nizove slova). Te izraze mozemo poredati:

jednoclani izrazi (jedno slovo): ima ih 30dvoclani izrazi (dva slova): ima ih 30 × 30troclani izrazi (tri slova): ima ih 30 × 30 × 30itd.

(kao i decimalni sustav brojeva, samo je ovdje osnovica 30; u decimalnomsustavu ne brojimo posebno brojke koje pocinju s nulama)

2) E: svi (decimalni) brojevi koji se mogu definirati konacnim brojemrijeci; ima prebrojivo mnogo takvih brojeva (npr. ima prebrojivo mnogorazlicitih brojeva koji se mogu izraziti kao konacni decimalni razlomci; noprebrojivim skupom izraza ne moze se izraziti vise od prebrojivo mnogobrojeva).

Te brojeve i njihove definicije mozemo poredati u niz (idemo redom ponizu izraza i preskacemo sve one koji ne oznacuju broj):

1. broj - definicija 12. broj - definicija 23. broj - definicija 3itd.

3) N : broj koji ima 0 kao cijelu znamenku, a od n-toga broja izmedu 0 i1 razlikuje se u njegovoj n-toj znamenci p, tako da

umjesto p ima p+ 1 ako p nije 8 ili 9, ili 1 ako je p 8 ili 9.

9

Toga broja nema u tablici, a ipak je definiran konacnim brojem rijeci.

(To je dijagonalni postupak kao u Cantora za neprebrojivaost skupa re-alnih brojeva.)

Kao da ima vise nego prebrojivo mnogo brojeva s konacnim definicijama,a ipak, ima samo prebrojivo mnogo brojeva s konacnim definicijama.

2.3.2 Berryev paradoks

George Godfrey Berry (1906., oxfordski knjiznicar), paradoks formulirao Ru-ssell (1906.) na temelju Berryeva pisma:

Najmanji broj neimenljiv u manje od dvadeset slogova.

The least integer not nameable in fewer than nineteen sylla-bles. (111,777)

2.3.3 Grellingov paradoks

Kurt Grellling (1908.) (verbalna) varijanta Russellova paradoksa: razlikujuse heterologijski i autologijski pridjevi prema tome govore li o sebi ili ne.

a) heterologijski pridjevi: jednoslozan, bijel, drven, brz, itd.

b) autologijski pridjevi: viseslozan, troslozan, hrvatski, izre-civ, ne-bijel, itd.

Je li pridjev “heterologijski” heterologijski?

2.3.4 Lazljivac i dr.

Lazljivac (Eubulid, filozof 4. st. pr. Kr.): Ovo sto upravo govorim, jest neis-tinito. Epimenid (oko 600.): Svi Krecani lazu (nije pravi paradoks, zasto?).

Ti se paradoksi rjesavaju uvodenje hijerarhije jezika (predmetni jezik imetajezik, Tarski).

10

2.4 Razgranjena (ramificirana) teorija tipova

2.4.1 Opca znacajka paradoksa prema Russellu

Russell: navedeni paradoksi sadrze pretpostavku o nekoj sveukupnosti (to-tality) koja treba ukljucivati i clanove definirane samom tom sveukupnoscu(ili: ukljucivati samu sebe kao svoj clan), samoodnosajnost:

• svi skupovi i skup svih skupova (ako nisu svoji clanovi); svi pojmovi ipojam koji vrijedi o svih pojmovima (ako ne vrijede o sebi) (Russellovi Cantorov paradoks, koji Russell ovdje ne navodi) (Russell navodi iodgovarajuci paradoks o svim relacijama i relaciji T svih relacija akone stoje u relaciji T - vrijedi li T (T, T )?),

• svi redni brojevi i redni broj (dobro uredena skupa) svih rednih brojeva(Burali-Forti),

• sve (konacne) definicije (brojeva) i definicija definirana svim tim defi-nicijama (Richard),

• sva imena i ime koje ukljucuje sva imena (Berry): za svako ime i, akoi ima manje od 20 slogova, i ne imenuje broj n,

• svi pridjevi i pridjev svih pridjeva (ako ne govore o sebi) (Grelling) -nema u Russella,

• svi iskazi i iskaz o svim iskazima (ako ih sada iskazujem) (Lazljivac):za bilo koji iskaz p vrijedi, ako sada tvrdim p, p nije istinito.

2.4.2 Nacelo “porocnoga (zacaranoga) kruga”

Paradoksi ce se izbjeci ako se pridrzavamo nacela porocnoga kruga: stogodukljucuje sve clanove neke skupine (collection), ne smije biti clan te skupine.

(Ili: nijedna sveukupnost (totality) ne moze sadrzavati clanove definiranetom sveukupnoscu)

2.4.3 Logicki tipovi

Postoje u Russella 2 “lagano razlicite” inacice teorije tipova (Church):1. (ranija): ML, 1908. i Uvod u PM, pogl. 2,

11

2. (kasnija): PM, *12, i Uvod u 2. izd. PM.

(ima i Churchova inacica iz Introduction to mathematical logic, 1956,§§58–59).

Uglavnom se drzimo prve, ranije inacice.

Prethodna razlikovanja

1. Pojedinacni predmeti (individuals): jednostavni, opstoje samostalno(on its own account)

2. stavci (propositions) (i sudovi kojim ih tvrdimo); jednostavan primjer:stavak “A vidi B” jest slozaj sastavnica A, videnje, i B – vidjenje tunije relacija nego clan (term) relacije bistava (entities); pojedinacni supredmeti “izvorne” (genuine) sastavnice stavaka, ne nestaju u analizikao razredi i odredeni opisi (PM 51); stavak je nepotpun i trazi dopunusudom,

3. stavacne funkcije: ono sto dobijemo kad neke clanove u stavku osta-vimo dvosmislenim, neodredenim, dvosmislene su – njihov izraz sadrzivarijablu; – kad se varijabli priduzi vrijednost, dobivamo stavke.

Stavacna je funkcija npr. φx, njezina neodredena je vrijednost φx, njezinaje odredena (nedvosmislena) vrijednost φa.

Stavacna se funkcija ne definira kao preslikavanje sa skupa u skup, jer sene pretpostavlja opstojnost skupova te se skup izvodi iz stavacne funkcije.

Kazemo da vrijednost x za koju je φx istinito, zadovoljava funkciju φx.

(a) Funkcija ne moze imati medu svojim vrijednostima nista sto pretpos-tavlja funkciju; vrijednosti funkcije su pretpostavljene funkcijom a ne obratno(PM 39). Jer funkcija je dobro-definirana kad su joj dobro definirane vrijed-nosti:

PRIMJER: Funkcija φx ima neodredenu vrijednost φx; odredene su vri-jednosti: φa, φb, φc itd. Te vrijednost moraju vec prije funkcije biti definiranekao zelimo da funkcija bude dobro definirana. – “x je covjek”, “x je covjek”i “Ivan je covjek”.

(b) Sve funkcije koje kao argument imaju a, nisu legitimna sveukupnost(prema nacelu porocnoga kruga).

12

PRIMJER: funkcija f(φx, x), moze se poopciti u: ∀φf(φx, x). No i toje jedna funkcija od x. Stoga bi sama trebala biti jednom od vrijednostivarijable φx. Dakle, funkcija ∀φf(φx, x) sadrzi sveukupnost – ∀φ – koje bisama trebala biti clanom.

“Svi” (“uvijek”) u stavacnim funkcijama (npr. pojmovi) ne moze ukljucivatisve vrijednosti za “x” (tada bi ukljucivalo i sve stavke i sve funkcije), negosamo “legitimnu sveukupnost” za koju je funkcija smislena. Ta je legitimnasveukupnost “podrucje znacenja” funkcije: cine ga svi argumenti za koje jefunkcija istinita ili neistinita (za koje ima znaenje, vrijednost) (ML 72, 72*,73).

Rijeci kao sto su “istiniti”, “neistinit”, “stavak”, “stavacna funkcija” ima-ju “sustavnu dvosmislenost”. p je istinito izgleda kao jedna funkcija, ali jeto uistinu mnogo “analognih” funkcija s razlicitim znacenjskim podrucjima.Tako ni logicki zakoni nisu iskazi (stavci) jer ne mozemo reci da vrijede osvim iskazima. Zbog nacela se porocnoga kruga ne moze reci: “Svi su iskaziistiniti ili neistiniti”. Mozemo samo reci:

p je istinito ili neistinito,p i ne-p ne mogu oba biti istiniti,

gdje je p bilo koji iskaz (stavak).

Tip

Tip je “podrucje znacenja neke funkcije”, skupina argumenata za koje recenafunkcija ima vrijednost (za koje je istinita ili neistinita).

Podrucje vrijednosti vezane varijable takoder je tip - odreden je funkcijomkoje se sve vrijednosti razmatraju.

Tehnicka formulacija nacela porocnoga krug: sto god sadrzi vezanu vari-jablu, ne smije biti vrijednost te varijable .

Svaki izraz koji sadrzi vezanu (apparent) varijablu (tj. odnosi se na svenekoga tipa), visega je tipa od te varijable (ML 102).

Hijerarhija tipova

Prvi tip: pojedinacni predmeti.

1. Funkcije prvoga reda (φ!x, φ!(x, y) a vrijednost im je φ!x, φ!(x, y))

13

(a) matrice (ili: priricne, predikativne funkcije) prvoga reda (nemavezanih varijabla): vrijednosti su im npr. φx, ψ(x, y), χ(x, y, z)

(b) poopcene matrice prvoga reda (s vezanim varijablama, ali ne nasvim argumentima): vrijednosti su im npr. ∀y ψ(x, y), ∃y ψ(x, y),∀y∀z χ(x, y, z), ∀y∃z χ(x, y, z), sto su sve funkcije od x.

2. Stavci prvoga reda - s poopcenim svim argumentima u matrici prvogareda, npr. ∀x∀y φ(x, y).

3. Funkcije drugoga reda (funkcije prvoga reda za varijable, i nista sedrugo ne javlja za varijable osim pojedinacnih predmeta)

(a) matrice (ili: priricne funkcije) drugoga reda - nema vezanih vari-jabla:

f(φ!z) s vrijednostima φ!a ili ¬φ!a;

g(φ!z, ψ!z) s vrijednostima φ!a ∧ ψ!a (neR.);

F (φ!z, x) s vrijednostima ¬φ!x;

G(φ!z, x, y) s vrijednostima φ!x ∨ φ!y,

H(φ!z, ψ!z, x) s vrijednostima φ!x ∨ ψ!x, φ!x→ ψ!x, φ!x ∧ ψ!x

(b) poopcene matrice drugoga reda (ne na svim argumentima), npr.

∀φ g(φ!z, ψ!z), sto je funkcija od ψ!z;

∀xF (φ!z, x), sto je funkcija od φ!z;

∀φF (φ!z, x), sto je funkcija od x; itd.

i. s jednim argumentom koji je funkcija prvoga reda: f !(φ!z),vrijednost: f !(φ!z), npr. ∀xφ!x, ∃xφ!x

ii. s dvama argumentima: funkcijom prvoga reda i pojedinacnimpredmetom, vrijednost joj je f !(φ!z, x)

2.4.4 Aksiom svedljivosti (reducibilnosti)

Radi se o problemu da se u teoriji tipova, koliko smo ju dosad prikazali, nemoze govoriti, primjerice, o svim svojstvima predmeta a. Ipak, tako se govoriu matematici i u obicnome govoru.

Odredimo najprije sto su to priricne (predikativne), a sto nepriricne (ne-predikativne) funkcije. Funkcija reda n je priricna (predikativna) akko medusvojim argumentima ima barem jedan argument reda n − 1 i nema drugih

14

argumenata koji su reda visega od n − 1. – Ako sve argumente reda n − 1vezemo koliciteljem, dobit cemo nepriricnu (non-predicative) funkciju. (Odnepriricnih funkcija razlikujmo “impredikativne” – specificirane pomocu sve-ukupnosti kojoj funkcija pripada).

Sve stavacne funkcije potjecu od priricnih poopcavanja. Npr. x ima svasvojstva koja cine velikoga generala,

∀φ(f(φ!z) → φ!x)

gdje je f “biti svojstvo koje cini velikoga generala”, nije priricna funkcija.No moze se svesti na priricnu funkciju, npr. ψ!z, sto je neko “opce i osobito”svojstvo prvoga reda upravo velikih generala, npr., disjunkcija tocnih tre-nutaka rodenja svakoga od velikih generala. – Naravno ta priricna funkcija(u nasem primjeru) ne odgovara po “smislu” svojstvu “imati sva svojstvavelikoga generala”, ali, to je bitno, odgovara opsegovno (ekstenzijski).

Takvi primjeri navode na aksiom svedljivosti : svaka se stavacna funkcijamoze svesti na neku priricnu funkciju, npr. za jednu varijablu:

∀φ∃ψ∀x(φx ↔ ψ!x)

Slicno je i s istovjetnoscu. x i y su istovjetni akko ako je φx istinito,istinito je φy. Dobivamo hijerarhiju istovjetnostı:

1. sva svojstva prvoga reda koja pripadaju x, pripadaju i y:

Def. x = y ↔ ∀φ (φ!x→ φ!y);

(Dovoljno je uporabiti pogodbu, umjesto dvopogodbe, jer φ! moze bitii neko svojstvo koje je osobito upravo za predmet x i nijedan drugi.)

2. sva svojstva drugoga reda koja pripadaju x, pripadaju i y.

Imati sva svojstva drugoga reda x, implicira imati sva svojstva x prvogareda. Ali obratno vrijedi samo uz pomoc aksioma svedljivosti. Stoga punuistovjetnost predmeta x i y dobivamo samo pomocu aksioma svedljivosti (R.kaze da vec Leibnizova “istovjetnost nerazlucljivoga” daje taj aksiom).

Aksiom je svedljivosti nepotreban ako pretpostavimo opstojnost razreda(PM 166). Ali (prema Russellu)

15

(1) ako pretpostavimo razrede, rjesenje paradoksa se komplicira i(2) aksiom svedljivosti je manja pretpostavka od pretpostavke o opstoj-

nosti razreda.Aksiom se svedljivosti stoga zove i ‘aksiom razreda’ (‘aksiom relacija’ za

slucaj s vise varijabla).Nepriricne su funkcije tim aksiomom ponistene - ali samo u opsegovno-

me (ekstenzijskome) smislu, ne u sadrzajnome (intenzijskome) smislu, kakavstavacne funkcije imaju.

2.4.5 Problemi razgranjene teorije tipova

– Svaki pojam kao sto su “stavak”, “istina”, “funkcija”, “predmet”, “broj”,beskonacno se umnozava prema svojoj sustavnoj (tipskoj) dvosmislenosti.– Iskljucuje se samoodnosajnost, koja se javlja u obicnome diskursu i u ma-tematici.– Aksiom se svedljivosti uvodi kako bi se izbjegla teorija skupova, a sam nijedostatno ocit.– Russellova formulacija teorije: ne postuje dovoljno razliku porabe i spo-mena; npr. kad R. kaze da stavacna funkcija sadrzi varijablu, cesto zapravomisli na to da izraz stavacne funkcije sadrzi varijablu; φ je katkad shematskoslovo (npr. kad se kaze: vrijednost funkcije prvoga reda φ!x), a drugi putvarijabla, npr. u ∀φ f(φ!z, x).

Prednosti:– teorija je jedinstvena, ne trazi svoju metateoriju, ne trazi teoriju skupova(teoriju je aktualizirao Alonzo Church u svojoj teoriji “smisla i obiljezavanja”1976., 1984.)

2.5 Dodatak: aksiomatska teorija skupova

“Naivna” teorija skupova:

1. Aksiom opsegovnosti (extensionality):

∀x∀y(∀y(z ∈ x↔ z ∈ y) → x = y)

2. Aksiomatska shema sadrzaja (comprehension):

16

∃x∀y(y ∈ x↔ p(y))

Kako p moze sadrzavati i druge varijable, preciznije je formulacije:∀z1 . . .∀zn∃x∀y(y ∈ x↔ p(y)).

Aksiomatskom je shemom naznaceno zapravo beskonacno mnogo aksiomatoga oblika (ovisno o tome sto stoji za p).

Takva teorija skupova vodi u paradokse (usp. Russellov paradoks zateoriju skupova). Ernst Zermelo aksiomatizira teoriju skupova (1908.) kakobi se izbjegli paradoksi. Ta je teorija, uz neke kasnije preinake, poznata podnazivom ‘ZF ’ (Zermelo-Fraenkel), a ako joj se doda aksiom izbora, oznaujese se ‘ZFC ’ (‘C ’ za ‘choice’, ‘izbor’). U teoriji se ZF(C) umjesto aksiomasadrzaja uvodi aksiom odijeljenosti (v. dolje). No kako aksiom odijeljenostipostavlja veliko ogranicenja, pretpostavljajuci da su nadskupovi vec dani,potrebno je drugim aksiomima osigurati pojedine oblike skupova.

1. Aksiom opsegovnosti, v. gore!

2. Aksiomatska shema odijeljenosti (separation) (aksiom podskupova):

Nadskup z mora vec biti dan. Tada pomocu uvjeta p za sve ili nekenjegove clanove dobivamo skup (koji je podskup skupa z).

∀z∃x∀y(y ∈ x↔ (y ∈ z ∧ p(y))

Poopceno: ∀w1 . . . wn∀z∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ z ∧ p(y)).

3. Aksiom praznoga skupa (x je prazan skup):

∃x∀y y /∈ x

Uvodimo oznaku ‘∅’ kao oznaku za prazan skup.

4. Aksiom parova (z je par):

∀x∀y∃z∀w(w ∈ z ↔ (w = x ∨ w = y))

Uvodimo ‘{x, y}’ kao oznaku za neureden par. U slucaju x = y, aksi-omom je osigurana opstojnost skupa s jednim clanom.

17

5. Aksiom spoja (unije) (y je unija clanova x):

∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x))

.

Uvodimo oznaku ‘∪’ za uniju.

6. Aksiom partitivnoga skupa: Svaki skup x ima svoj partitivni skup y.

∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ z ⊆ x)

Definiramo podskup: x ⊆ y =def ∀z(z ∈ x→ z ∈ y)

Uvodimo ‘℘x’ kao oznaku za partitivni skup skupa x.

7. Aksiom beskonacnosti: Opstoji skup svih prirodnih brojeva.

∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x→ y′ ∈ x))

Definicija. y′ =def y ∪ {y} - skup svih prethodnih clanova (prema vonNeumannovoj definiciji prirodnoga broja).

Dobivamo beskonacan skup:

{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} . . .}

Svaki novi clan skupa ima kao svoje clanove sve prethodne clanoveskupa.

8. Aksiomatska shema zamjene (dodali Fraenkel / Skolem):

∀x(∀y(y ∈ x→ ∃!z p(y, z)) → ∃ww = {z|∃y y ∈ x ∧ p(y, z)}))

Ako je dan neki skup x i relacija p koja za svaki clan skupa x odredujejedan jedinstveni predmet, onda opstoji i skup svih predmeta u relacijip prema x.

9. Aksiom pravilnosti (utemeljenosti): Svaki neprazan skup ima baremjedan clan s kojim ima prazan prijesjek (razdvojeni su).

∀x(x 6= ∅ → ∃y(y ∈ x ∧ x ∩ y = ∅))

18

Definicija. ∀x(x ∈ y ∩ z ↔ (x ∈ y ∧ x ∈ z))

Iskljuceni su svi skupovi kojima clanovi nisu prethodno definirani, kaoskup {{{. . .}}}, koji je sam svoj clan. – Svaki skup sadrzi minimalniclan u silaznome clanstvenome nizu. Skupovi se stoga razlikuju premastupnjevima: ℘a je za jedan stupanj visi od skupa a

Odavde slijedi da nijedan skup nije svoj clan. Dokaz. Neka a ∈ a.Tada ima i skup {a}. Medutim tada, suprotno aksiomu pravilnosti,{a} i njegov jedini clan a imaju neprazan prijesijek, naime, zajednickiim je clan predmet a.

10. Aksiom izbora (AC): Neka je a skup nepraznih skupova. Tada imafunkcija f takva da

∀x(x ∈ a→ f(x) ∈ x).

Taj se aksiom cesto osporava. Pogledajmo sljedeca tri primjera:

1. Skup svih nepraznih skupova prirodnih brojeva. Uvijek mozemoizabrati najmanji clan skupa.

2. Skup svih intervala realnih brojeva s pozitivnim, konacnim duljina-ma. Uvijek mozemo izabrati sredinu intervala.

3. No nije pronadena prikladna funkcija za skup svih nepraznih skupovarealnoga kontinuuma (npr., nema svaki takav skup najmanji, najveciili srednji clan).

U prva dva slucaja aksiom nije potreban, a u trecem se samo (nekons-truktivisticki) postulira izborna funcija.

Dodajmo da se hipoteza kontinuuma i poopcena hipoteza kontinuuma nemogu u ZFC niti opovrci (Godel, 1939.) niti dokazati (Cohen 1963.).

Osim sustava ZFC poznat je, primjerice, i sustav NBG (John von Ne-umann, Paul Bernays i Kurt Godel). Za taj je sustav karakteristicno razli-kovanje skupa (kao posebnoga slucaja razreda) i “pravoga razreda”. Uvjetda x bude skup (S) odreduje se ovako:

Sx↔ ∃y(x ∈ y)

19

Pravi su razredi “preveliki” da bi bili skupovi:

¬Sx ↔ |x| = |V |

gdje je V univerzalan skup.

20

3 Jednostavna teorija tipova

Usp. M. Fitting, Types, Tableaus and Godel’s God, Dordrecht: Kluwer, 2002.

Razvoj:

Frege - “stupnjevi”; Russell, Principles of mathematics (1903)L. Chwistek (1922), Ramsey (1925), Carnap (1929), Godel

(1931),Church, 1940. (potpunost teorije tipova: Henkin, 1950)R. Montague (Formal philosophy, 1974.) - modalno prosirenje

Churchove jednostavne teorije tipova; sustav i potpunost: DanielGallin (1975.)

Churchova modalna inacica jednostavne teorije tipova 1974.

3.1 Sintaksa i semantika jezika

3.1.1 Jezik

U jeziku Lv imamo odgovarajuci mehanizam tipiziranja.

Definicija 3.1.1 (Tip) 0 je tip. Ako su τ1, . . . , τn tipovi, onda je〈τ1, . . . , τn〉 tip.

Definicija 3.1.2 (Red) Tip 0 jest tip prvoga reda. Ako je najvisi red tipovaτ1, . . . , τn red k, onda je tip 〈τ1, . . . , τn〉 tip k + 1. reda.

Primjer:0 — tip prvoga reda (‘Sokrat’),〈0〉 — tip drugoga reda (‘hrabar’),〈0, 0〉 — tip drugoga reda (‘veci’),〈0, 0, 0〉 — tip drugoga reda (‘izmedu’),〈〈0〉〉 — tip trecega reda (‘krjepost’, ‘boja’, ‘bit’),〈〈0〉, 0〉 — tip trecega reda (odnos pripadnosti svojstva predmetu, npr. ‘x-

ova krjepost’, ‘x-ova boja’, ‘x-ova bit’, ili ‘to da neumjerenost kvari Antuna’),〈〈0, 0〉, 0, 0〉 — tip trecega reda (‘opravdanost odnosa R izmedu x i y’).

Rjecnik

1. Konstante: cτ , dτ , eτ . . . , cτ1, . . .

neformalno:

• konstante prvoga reda: c, d, e, c1, . . .;

• konstante drugoga reda: P n, Qn, Rn, P n1, . . .;

• konstante visega reda: Pτ ,Qτ ,Rτ ,Pτ1, . . .;

(metavarijable: cτ , dτ itd.)

2. Varijable: xτ , yτ , zτ , xτ1, . . .

neformalno:

• x, y, z, x1, . . .;

• Xn, Y n, Zn, Xn1, . . .;

• X τ ,Yτ ,Zτ ,X τ1, . . .;

(metavarijable: xτ , yτ itd.)

3. Djelateljni simboli:

• ¬,→, . . .

• ∀, ∃

• λ

4. =〈τ,τ〉,

5. Pomocni simboli: . , ( )

Tvorbena pravila

Oznaka (term) se i formula moraju definirati zajedno zbog njihove definicijskemeduovisnosti.

Definicija 3.1.3 (Oznaka (term) i formula)

1. konstante i varijable jesu oznake,

22

2. ako je t〈τ1,...,τn〉 oznaka, i ako su tτ11, . . . , tτn

n oznake, onda je t〈τ1,...,τn〉(tτ11, . . . , tτn

n )formula (jednostavna, atomarna)

(neformalno, kad nema dvosmislenosti, mozemo pisati tt1 ili t(t1)),

3. ako je p formula, ¬p je formula,

4. ako je p formula, (p ∧ q), (p ∨ q), (p→ q), (p↔ q) jesu formule

(neformalno, kad ne proizlazi dvosmislenost, mozemo izostaviti vanjskezagrade),

5. ako je p formula a xτ varijabla, ∀xτp i ∃xτp jesu formule,

6. ako su xτ11, . . . , xτn

n razlicite varijable, a p je formula, onda je (λxτ1. . . xτ

n.p)

oznaka (lambda-apstrakt)

(neformalno, kad je lambda apstrakt sam, mozemo izostaviti vanjskezagrade).

Opci i opstojni kolicitelj vezu pojavke varijabla analogno logici prvoga reda.λxτ1

1. . . xτn

n jest λ-djelatelj. On u p veze svaki slobodan pojavak varijablaxτ1

1. . . xτn

n .

Primjer. Apstrakt (λxτ11. . . xτn

n . p) jest tipa 〈τ1, . . . , τn〉.(Red formule jest najveci red njezina tipizirana dijela.)

Formalno i krace zapisane formule:

c〈0〉(c0) — Pcd〈0,0〉(c0, d0) — Qcdc〈0,0,〈0,0〉〉(c0, x0, c〈0,0〉) — P(c, x, P 2) (npr. pozeljno je da c i x stoje u od-

nosu P).

Apstrakti i formule:

Primjeri

• (λxy.Pxy ∧Qxy) je apstrakt tipa 〈0, 0〉

• (λxy.Pxy ∧Qxy)(c, d) je jednostavna formula.

23

• P(λxy.Pxy ∧Qxy) je jednostavna formula.

Evo jos jednoga skupa primjera (s neformalnom porabom oznaka):

• Xx i VX (‘x ima svojstvo X’, ‘X je svojstvo koje cini velikoga gene-rala’) jesu jednostavne formule,

• λx.∀X(VX → Xx) je apstrakt tipa 〈0〉 (‘imati sva svojstva koja cinevelikoga generala’, to je “impredikativno” svojstvo!),

• (λx.∀X(VX → Xx))(n) je jednostavna formula (‘Napoleon ima svasvojstva koja cine velikoga generala’),

• λX.Xn je apstrakt tipa 〈〈0〉〉 (‘biti Napoleonovo svojstvo’),

• (λX.Xn)(H) je jednostavna formula (‘hrabrost je Napoleonovo svoj-stvo’, jednostavnije: Hn),

• (λX.Xn)(λx.∃yPxy) je jednostavna formula (‘biti pobjednik nad ne-kim jest Napoleonovo svojstvo’),

• λXx.K(X, x) je apstrakt tipa 〈〈0〉, 0〉 (‘biti necija krjepost’).

Supstitucija u formulu. Pripazimo da u supstitucijskome primjeru poko-licenoga iskaza varijable vezane lambda-apstraktom ne zamjenjujemo opri-mjerujucom konstantom. Npr. od iskaza

∀z(λxy.Pxz ∨Qy)(c, d)

supstitucijom (e/z) dobivamo

(λxy.Pxe ∨Qy)(c, d)

.

3.1.2 Semantika

Definicija 3.1.4 (Model) Model M je ureden par 〈D, T 〉 gdje

1. D = D0 je neprazan skup pojedinaka, a D〈τ1,...,τn〉 = ℘(Dτ1 × . . .×Dτn),

(dτ je predmet tipa τ nad D)

24

2. T je funkcija vrjednovanja takova da za svaku konstantu cτ , T (cτ ) ∈Dτ ;

3. T (=〈τ,τ〉) = {〈dτ , dτ 〉 | dτ ∈ Dτ}.

Definicija 3.1.5 (Vrjednovanje varijabla) Vrjednovanje varijabla v sva-koj varijabli xτ pridruzuje predmet dτ , tj. v(xτ ) ∈ Dτ .

Definicija 3.1.6 (Oznacivanje i zadovoljenost)

1. Jcτ KM

v = T (c),

2. Jxτ KM

v = v(x),

3. M |=v t(t1, . . . , tn) akko 〈Jt1KM

v , . . . , JtnKM

v 〉 ∈ JtKM

v ,

4. M |=v ¬p akko M, v 6|= p,

5. M |=v p ∧ q akko M |=v p i M |=v q,

6. M |=v p ∨ q akko . . .,

7. M |=v p→ q akko . . .,

8. M |=v p↔ q akko . . .,

9. M |=v ∀xτp akko za svaki dτ ∈ Dτ ,M |=v[dτ /xτ ]p,

10. M |=v ∃xτp akko barem za jedan dτ ∈ Dτ ,M |=v[dτ /xτ ]p,

11. J(λxτ11. . . xτn

n . p)KM

v = {〈dτ11, . . . , dτn

n 〉 | M |=v[d

τ11

/xτ11

,...,dτnn /x

τnn ]

p}.

Definicija 3.1.7 (Istina) M |= p akko za svako vrjednovanje varijabla v,M, v |= p.

Definicija 3.1.8 (Zadovoljivost) Skup je iskaza Γ zadovoljiv akko je svakiclan Γ istinit barem u jednome modelu M.

Definicija 3.1.9 (Semanticka posljedica i valjanost)

• Γ |= p akko je p istinito u svakome modelu u kojem je istinit svaki clanΓ.

25

• Zakljucak je valjan akko je njegov zaglavak istinit u svakome modelu ukojem su sve njegove premise istinite.

• Iskaz je valjan akko je istinit u svakome modelu.

Definicija 3.1.10 (Semanticka istovrijednost) Iskazi su p i q seman-ticki istovrijedni akko u svakome modelu M imaju istu istinitosnu vrijednost.

Primjeri

1. Leibnizov zakon istovjetnosti:

∀x∀y(x = y ↔ ∀X(Xx↔ Xy))

(nadredena dvopogodba slijeva na desno: nerazlucljivost istovjetnoga,zdesna na lijevo: istovjetnost nerazlucljivoga).

(Russellova) definicija istovjetnosti:

∀x∀y(x = y ↔ ∀X(Xx→ Xy))

(dovoljna je pogodba jer X moze biti i svojstvo pripadno samo jednomupredmetu).

2. Definicije brojeva po tipovima:

∀X(0X ↔ ¬∃xXx)∀X(1X ↔ ∃x∀y(Xy ↔ x = y))∀X(2X ↔ ∃x∃y(¬x = y ∧ ∀z(Xz ↔ (z = x ∨ z = y))))∀X(3X ↔ ∃x∃y∃z(¬(x = y ∨ x = z ∨ y = z) ∧

∀w(Xw ↔ (w = x ∨ w = y ∨ w = z))))

0(λx.x = x) ↔ ¬∃xx = x1(λx.x = x) ↔ ∃x∀y y = x2(λx.x = x) ↔ ∃x∃y(¬x = y ∧ ∀z(z = x ∨ z = y))

Brojnost tipa opcenito: N(λxτ .xτ = xτ ).

26

3. Definicije svojstava relacija:

refleksivna: ∀X(RX ↔ ∀xXxx),npr. ‘istovjetan’, ‘slican’.simetricna: ∀X(SX ↔ ∀x∀y(Xxy → Xyx)),npr. ‘blizu’, ‘daleko’.prijelazna: ∀X(PX ↔ ∀x∀y∀z((Xxy ∧Xyz) → Xxz)),npr. ‘veci’, ‘manji’, ‘stariji’, ‘mladi’, ‘mudriji’.euklidska: ∀X(EX ↔ ∀x∀y∀z((Xxy ∧Xxz) → Xzy)),npr. spojivost tocaka u euklidskome prostoru.

4. Funkcije

Mozemo definirati pojam funkcije, te injektivnost i surjektivnost:

Fun(X) ↔ ∀x∃y∀z(Xxz ↔ z = y),Inj(X) ↔ ∀x∀y∀z((Xxz ∧Xyz) → x = y),Sur(X) ↔ ∀y∃xXxy.

3.2 Istinitosno stablo

h ∃xτpX h ¬∀xτpXi p(cτ/xτ ) h∃ i ¬p(cτ/xτ ) h¬∀

cτ je nova konstanta cτ je nova konstanta

h ∀xτp h ¬∃xτpi p(tτ/xτ ) h∀ i ¬p(tτ/xτ ) ¬∃

tτ je zatvorena oznaka tτ je zatvorena oznaka

h (λxτ11. . . xτn

n . p)(t1, . . . , tn) h ¬(λxτ11. . . xτn

n . p)(t1, . . . , tn)i p(tτ1

1/xτ1

1, . . . , tτn

n /xτnn ) hλ i ¬p(¬tτ1

1/xτ1

1, . . . , tτn

n /xτnn ) h¬λ

tτ je zatvorena oznaka tτ je zatvorena oznaka

3.2.1 Primjeri

Provjeriti valjanost∀Y ∃X∀x¬(λy.Y xy) = X

Za X treba supstituirati (λy.¬Rxy).

27

3.3 Deduktivni sustav

h ∀xτpi p(tτ/xτ ) h i∀

tτ je zatvorena oznaka.

h p(cτ/xτ )i ∀xτp h u∀

cτ se ne javljau vrijedecim pretpostavkama niu ∀xτp.

Analogno za ‘∃’.

h p(tτ11/xτ1

1, . . . , tτn

n /xτnn )

i (λxτ11. . . xτn

n . p)(t1, . . . , tn) h uλ

tτ je zatvorena oznaka.

h (λxτ11. . . xτn

n . p)(t1, . . . , tn)i p(tτ1

1/xτ1

1, . . . , tτn

n /xτnn ) h iλ

tτ je zatvorena oznaka.

3.4 Metateorija

Usp. M. Fitting, Types, Tableaus and Godel’s God, Dordrecht: Kluwer,2002, str. 15-16; G. Boolos, J. Burgess, R. Jeffrey, Computability and Logic,Cambridge UP, 2002, str. 281-282.

3.4.1 Nekompaktnost

Kon:

∀X((Fun(X) ∧ Inj(X)) → Surj(X))

28

(a) ∃x1∃2¬x1 = x2

(b) ∃x1∃2∃3¬(x1 = x2 ∨ x1 = x3 ∨ x2 = x3)

itd.

SkupA = {Kon, (a), (b), . . .}

je nezadovoljiv, iako je svaki njegov konacan podskup zadovoljiv. Dakle,logika je visega reda nekompaktna.

3.4.2 Nepotpunost

Promotrajmo neki pouzdan sustav V logike visega reda.A |= ⊥, a svaki je njegov konacan podskup zadovoljiv.Neka je sustav V potpun.Dakle, A ⊢ ⊥,dakle, A′ ⊢ ⊥ (gdje je A′ konacan podskup skupa A, def. dokaza),dakle, A′ |= ⊥ (prema pouzdanosti)ali, svaki je konacan podskup A′ zadovoljiv.Dakle, sustav V nije potpun.

3.4.3 Ne vrijedi Lowenheim-Skolemov poucak

Izbrojivost mozemo iskazati sljedecom formulom:

∃x∃f∀X((Xx ∧ ∀y((Xy → Xf(y)))) → ∀zXz) Izb

gdje je f varijabla za funkciju (pojam funkcije je definirljiv u logici visegareda).

¬Izb ima samo neizbrojive modele, sto nijece Lowenheim-Skolemov poucak.

3.5 Henkinovi (opci) modeli

Definicija 3.5.1 (Henkinov model (a), vrjednovanje varijabla) Hen-kinov je model, M, uredena trojka 〈H, T ,A〉, a vrjednovanje varijabla je funk-cija v, gdje

1. H je skup domena {Dτ} takvih da

29

(a) D0 je neprazan skup,

(b) D〈τ1,...,τn〉 ⊆ ℘(Dτ1 × . . .× Dτn), D〈τ1,...,τn〉 je neprazan,

2. v je funkcija vrjednovanja takova da za svaku varijablu xτ , v(xτ ) ∈ Dτ .

3. T je funkcija vrjednovanja takova da za svaku konstantu cτ , T (cτ ) ∈Dτ ,

4. A je funkcija takva da za svako v i za svaki apstrakt λxτ11. . . xτn

n . p,A(v, λxτ1

1. . . xτn

n . p) ∈ D〈τ1,...τn〉.

Slucaj 4 sluzi kako bi se osiguralo da je znacenje svakoga λ-apstrakta uodgovarajucoj domeni.

Definicija 3.5.2 (Oznacivanje i zadovoljenost)...

• Jλxτ11. . . xτn

n . pKMv = A(v, λxτ1

1. . . xτn

n . p).

Znacenje λ-apstrakta gore je samo prethodno (opcenito) definirano. Teksada se moze dati konacna definicija, kojom se ujedno dovrsuju definicijaHenkinova modela i oznacivanja i zadovoljenja.

Definicija 3.5.3 (Oznacivanje λ-apstrakta)

A(v, λxτ11. . . xτn

n . p) = {〈d1, . . . , dn〉 | M |=v[d1/x1,...,dn/xn]p}.

A je jedinstvena funkcija (u modelu). Moze biti i da je u konacno defini-ranome obliku nema za neki okvir 〈H, T 〉(Fitting, 22).

Definicije 3.5.1–3.5.3 treba uzeti kao jednu jedinstvenu definiciju.Sada se moze dokazati kompaktnost, potpunost i Lowenheim-Skolemov

poucak. Jer ima vise Henkinovih modela nego “klasicnih” modela u jednos-tavnoj teoriji tipova (i podskupovi partitivnih skupova kao domene, ne samopartitivni skupovi). Stoga je za valjanost i nezadovoljivost potrebna istinitostu vise modela nego u “klasicnoj” jednostavnoj teoriji tipova. Prema tome je∀X((Fun(X) ∧ Inj(X)) → Surj(X)) istinito i u beskonacnome modelu ukojem prednjak pogodbe nije zadovoljen (sto je sada moguce).

30

3.6 Modalna logika visega reda

Uvode se modalni djelatelji ‘2’ i ‘3’ te formule oblika 2p i 3p.

Modalni je model prvoga reda uredena petorka 〈S,R,D,Q, T 〉.Pri tom je T tumacenje koje

1. svakomu priroku An pridruzuje funkciju S −→ ℘Dn,

2. svakoj predmetnoj konstanti c pridruzuje predmet d ∈ D0,

3. a T (E1) = {〈d, s〉 | d ∈ Q(s)}.

Henkinov model s osnovnim predmetnim podrucjem ovisnim o svijetu:

Definicija 3.6.1 (Modalni model visega reda) Model je M uredena sestorka〈S,R,H,Q,T ,A〉, gdje

1. S je neprazan skup (“svjetova”),

2. R ⊆ S × S,

3. H je skup {Dτ} podrucja, gdje

• D0 je neprazan skup pojedinaka, a inace

• D〈τ1,...,τn〉 ⊆ ℘(Dτ1 × . . .× Dτn)S (D〈τ1,...,τn〉 je neprazan),

4. Q: S −→ ℘D0 (Q(s) je neprazan),

5. T je funkcija vrjednovanja takva da za svaku konstantu cτ , T (cτ ) ∈ Dτ ;posebice

T (=〈0,0〉) je funkcija koje je vrijednost za svaki svijet w skup parova〈d0, d0〉 za svaki d0 ∈ D0.

3.7 Godelov ontologijski dokaz

Provodi se u S5-sustavu modalne logike visega reda.1 Za pokolicavanje pr-voga reda primijenjuju se pravila slobodne logike (kao u modalnoj logici pr-voga reda. Za kolicitelje reda visega od prvoga vrijede gornja pravila logike

1Usp. J. H Sobel, Logic and Theism, Cambridge University Press, 2004.

31

visega reda. P je konstanta trecega reda i znaci “pozitivnost” (u “moralno-estetskom” smislu). ¬X je skraceno za λx.¬Xx.

U donjem su dokazu mjestimice, zbog jednostavnosti i prijeglednosti, jed-nostavniji koraci prikazani u jedinstvenome retku.

3.7.1 Prvi dio

Aksiom 3.7.1 ∀X¬(PX ↔ P¬X),

Aksiom 3.7.2 ∀X∀Y ((PX ∧ 2∀x(Xx → Y x)) → PY ),

Stavak 3.7.1 P(λx.x = x)

Dokaz Dokaz se temelji na tome da i iz nesamoistovjetnosti slijedi sa-moistovjetnost. Stoga, ako je nesamoistovjetnost pozitivna, pozitivna je isamoistovjetnost (prema aksiomu 3.7.1), sto prostuslovi aksiomu 3.7.2.

1 ¬P(λx.x = x) pretpostavka

2 P(λx.¬x = x) 1 aksiom 3.7.13 2 Ea pretpostavka

4 (λx.¬x = x)(a) → (λx.x = x)(a) taut5 ∀x((λx.¬x = x)(x) → (λx.x = x)(x)) 3–4 uv ∀6 2∀x((λx.¬x = x)(x) → (λx.x = x)(x)) 3-5 uv 2

7 (P(λx.¬x = x) ∧ 2∀x((λx.¬x = x)(x) →(λx.x = x)(x)) → P(λx.x = x) aksiom 3.7.2

8 P(λx.x = x) 1, 6,7 isklj →9 ¬P(λx.x = x) 1 opet

10 P(λx.x = x) 1–9 isklj ¬

Poucak 3.7.1 ∀X(PX → 3∃xXx)

Dokaz Kljuc je dokaza u tome da iz nemogucega slijedi nesamoistovjetnost.Stoga, ako je nemoguce imati neko pozitivno svojstvo, onda je i nesamoisto-vjetnost pozitivna, sto protuslovi stavku 3.7.1.

1 PA pretpostavka

32

2 ¬3∃xAx pretpostavka

3 2 ¬∃xAx 2 K-op4 Ea pretpostavka

5 ¬Aa 3,4 ¬∃ isklj6 Aa→ (λx.¬x = x)(a) ex falso quodlibet7 ∀x(Aa → (λx.¬x = x)(x)) 4–6 uv ∀8 2∀x(Aa → (λx.¬x = x)(x)) 3-7 uv 2

9 PA ∧ 2∀x(Aa → (λx.¬x = x)(x)) 1,8 uv ∧10 (PA ∧ 2∀x(Aa → (λx.¬x = x)(x)))

→ P(λx.¬x = x) aksiom 3.7.211 P(λx.¬x = x) 10,9 isklj →12 ¬P(λx.x = x) 11 aksiom 3.7.113 P(λx.x = x) stav. 3.7.114 3∃xAx 2-13 isklj ¬15 PA→ 3∃xAx 1-14 uv →16 ∀X(PX → 3∃xXx) 15 uv ∀

Definicija 3.7.1 (Bog) Gx↔def ∀X(PX → Xx),

Aksiom 3.7.3 PG,

Korolarij 3.7.1 3∃xGx

Dokaz Slijedi iz aksioma 3.7.3 i poucka 3.7.1.

3.7.2 Drugi dio

Stavak 3.7.2 ∀x(Gx → ∀X(Xx→ PX))

Dokaz Kad bi predmet x koji je Bog, imao neko svojstvo X koje nijepozitivno, morao bi (prema definiciji 3.7.1) imati i svojstvo ¬X, koje jepozitivno, te tako imati medusobno protuslovna svojstva.

1 Ea pretpostavka

33

2 Ga pretpostavka

3 Ha pretpostavka

4 ¬PH pretpostavka

5 P¬H ↔ ¬PH aksiom 3.7.16 P¬H 4,5 ↔ isklj7 ∀X(PX → Xa) 1,2 def. 3.7.1, isklj ∀8 P¬H → ¬Ha 7, isklj ∀9 ¬Ha 6,8 isklj →

10 Ha 3 op11 PH 4–10 isklj ¬12 Ha→ PH 3–11 uv →13 ∀X(Xa→ PX) 12 uv ∀14 Ga→ ∀X(Xa→ PX) 2–13 uv →15 ∀x(Gx→ ∀X(Xx→ PX)) 1–14 uv ∀

Aksiom 3.7.4 ∀X(PX → 2PX),

Napomena 3.7.1 Iz aksioma 3.7.4 slijedi ∀X(¬PX → 2¬PX) pomocuaksioma 3.7.1, i obratno (i pomocu aksioma 3.7.1).

Definicija 3.7.2 (Bit) E∫∫(X, x) ↔def (Xx∧∀Y (Y x→ 2∀y(Xy → Y y)))

tj. bit je predmeta je ono njegovo svojstvo koje odreduje sva svojstva togapredmeta.

Poucak 3.7.2 ∀x(Gx → E∫∫(G, x))

Dokaz Predmet koji je Bog ima sva pozitivna svojstva i samo pozitivnasvojstva. Stoga svojstvo ‘biti Bog’ odreduje sva svojstva predmeta.

1 Ea pretpostavka

2 Ga pretpostavka

34

3 Ha pretpostavka

4 Ga→ (Ha→ PH) stav. 3.7.25 PH 2,3,4 isklj →6 2PH 5 aksiom 3.7.47 2 PH 6 K-op8 Eb pretpostavka

9 Gb pretpostavka

10 PH → Hb 8, 9 def. 3.7.1, isklj ∀11 Hb 7,10 isklj →12 Gb→ Hb 9–11 uv →13 ∀y(Gy → Hy) 8–12 uv ∀14 2∀y(Gy → Hy) 7-13 uv 2

15 Ha→ 2∀y(Gy → Hy) 3-14 uv →16 ∀Y (Y a→ 2∀y(Gy → Y y)) 15 uv ∀17 Ga ∧ ∀Y (Y a→ 2∀y(Gy → Y y)) 2,16 uv ∧18 E∫∫(G, a) 1,17 def. 3.7.2, isklj ∀19 Ga→ E∫∫(G, a) 2-18 uv →20 ∀x(Gx → E∫∫(G, x)) 1–19 uv ∀

Definicija 3.7.3 (Nuzna opstojnost) Nx ↔def ∀Y (E∫∫(Y, x) → 2∃xY x)

tj. svojstvo nuzne opstojnosti ima predmet kojemu je bit nuzno oprimjerena.

Aksiom 3.7.5 PN .

Poucak 3.7.3 ∃xGx → 2∃xGx

Dokaz Predmet koji je Bog, ima svojstvo nuzne opstojnosti (jer je pozi-tivna). Stoga je (prema definiciji 3.7.3) bit toga predmeta, a to je upravosvojstvo “biti Bog”, nuzno oprimjerena.

35

1 ∃xGx pretpostavka

2 Ga ∧Ea pretpostavka

3 PN → Na 2 def. 3.7.1, isklj ∀4 Na 3 aksiom 3.7.55 ∀Y (E∫∫(Y, a) → 2∃yY y) 2,4 def. 3.7.3, isklj ∀6 E∫∫(G, a) → 2∃yGy 5 isklj ∀7 Ga→ E∫∫(G, a) poucak 3.7.28 E∫∫(G, a) 2,7 isklj →9 2∃yGy 6,8 isklj →

10 2∃yGy 1,2-9 ∃ isklj11 ∃xGx → 2∃xGx 1-10 uv →

Poucak 3.7.4 2∃xGx

Dokaz

1 3∃xGx Kor. 3.7.12 ¬2∃xGx pretpostavka

3 2 ∃xGx (1) pretpostavka

4 2∃xGx 3 poucak 3.7.3 →E5 ¬2∃xGx 2 5-op7 ⊥ 1,3-5 isklj 3

8 2∃xGx 2-8 isklj ¬

36