Slide 1
BAB IVLOGIKA MATEMATIKA
PernyataanKalimat tertutup (pernyataan)
Kalimat terbuka
Suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja,
tetapi tidak sekaligus benar dan salah.Suatu kalimat yang belum
dapat ditentukan nilainya benar saja atau salah
saja.Contoh:Nyatakan kalimat-kalimat berikut merupakan pernyataan,
kalimat terbuka atau bukan keduanya!1 tahun terdiri dari 12 bulanx
+ 4 = 7Berapa umurmu?Suku kelima barisan 1, 3, 5, .... adalah
11Hari ini adalah hari KamisCoklat adalah makanan yang
enakPenyelesaian:1 tahun terdiri dari 12 bulan merupakan pernyataan
yang bernilai BENARx + 4 merupakan kalimat terbuka. Untuk x = 3
bernilai benar dan untuk x yang lain bernilai salah.Berapa umurmu?,
bukan merupakan pernyataan maupun kalimat terbuka.Suku kelima
barisan 1, 3, 5, .... adalah 11 merupakan pernyataan ang bernilai
SALAH.Hari ini adalah hari Kamis merupakan pernyataan karena dengan
mudah dapat ditentukan apakah hari ini memang hari Kamis atau
bukan.Coklat adalah makanan yang enak merupakan kalimat terbuka,
karena kata enak sifatnya subjektif.
Negasi (Ingkaran)Negasi dari pernyataan adalah suatu pernyataan
baru yang diperoleh dari pernyataan semula sedemikian sehingga
bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika
pernyataan semula benar.Contoh:Tuliskan negasi dari pernyataan
pernyataan berikut!2 bilangan prima2 + 3 sama dengan 5Ali laparAni
lulus ujianNegasi dari suatu pernyataan p dinotasikan dengan ~p
Penyelesaian:
Misalkan p: 2 bilangan prima maka ~p : 2 bukan bilangan
primaMisalkan q : 2 + 3 sama dengan 5. maka ~q : 2 + 3 tidak sama
dengan 5Misalkan p : Ali lapar. maka ~p : Ali tidak laparMisalkan q
: Ani lulus ujian. maka ~q : Ani tidak lulus ujian.
Disjungsi (atau)Dari 2 pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu
pernyataan majemuk dalam bentuk p atau q yang disebut disjungsi dan
dinotasikan dengan
Tabel kebenaran disjungsi:pqBBBBSBSBBSSS
Ingat!!!!!!!! bernilai benar apabila ada yang benar, dalam hal
lainnya bernilai salah.
Contoh:Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk
berikut!3 bilangan prima atau 5 bilangan genap.5 2 = 3 atau 5 + 3 =
87 2 = 9 atau 7 + 2 = 5Penyelesaian:3 bilangan prima bernilai
BENAR. 5 bilangan genap bernilai SALAH. Karena ada yang bernilai
benar, maka pernyataan tersebut bernilai BENAR. 5 -2 = 3 bernilai
BENAR. 5 + 3 = 8 bernilai BENAR. Karena keduanya bernilai benar,
maka pernyataan majemuk tersebut bernilai BENAR.7 2 = 9 bernilai
SALAH. 7 + 2 bernilai SALAH. Karena tidak ada yang bernilai benar,
maka pernyataan majemuk tersebut bernilai SALAH.
Konjungsi (dan)Dari 2 pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu
pernyataan majemuk dalam bentuk p dan q yang disebut konjungsi dan
dinotasikan dengan
Tabel kebenaran konjungsi:pqBBBBSSSBSSSS
Ingat!!!!!!!! bernilai salah apabila ada diantara p dan q
bernilai salah, dalam hal lainnya bernilai benar.
Contoh 1:Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk
berikut!6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil2 bilangan prima dan
2 bilangan genapPenyelesaian:6 bilangan prima bernilai SALAH. 3
bilangan ganjil bernilai BENAR. Karena ada yang bernilai salah,
maka pernyataan tersebut bernilai SALAH. 2 bilangan prima bernilai
BENAR. 2 bilangan genap bernilai BENAR. Karena tidak ada yang
bernilai salah, maka pernyataan tersebut bernilai BENAR.
Contoh 2:Buatlah tabel kebenaran dari ~ !
Penyelesaian:pq~ p~BBSSBSSSSBBBSSBS
Negasi dariDisjungsi & Konjungsi~ ~ ~
~ ~ ~
Rumus:Contoh:Tentukan negasi dari:Ali makan atau Nina menangis2
+ 3 = 5 dan 2 3 = 6Penyelesaian:Negasi dari Ali makan atau Nina
menangis adalah Ali tidak makan dan Nina tidak menangis Negasi dari
2 + 3 = 5 dan 2 3 = 6 adalah 2 + 3 5 atau 2 3 6ImplikasiDari 2
pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam
bentuk jika p maka q yang disebut implikasi dan dinotasikan
dengan
Tabel kebenaran implikasi:pqBBBBSSSBBSSB
Ingat!!!!!!!! bernilai salah jika p bernilai benar dan q
bernilai salah, dalam hal lainnya bernilai benar.
Contoh 1:Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk
berikut!Jika 2 + 3 = 5, maka 4 + 5 = 7Jika 2 + 2 = 6, maka 2 + 2 =
5
Contoh 2:Buatlah tabel kebenaran dari ~ ~
Penyelesaian:pq~ p~q~ ~ BBSSBBSSBBSBBSSSSBBB
Penyelesaian:2 + 3 = 5 4 + 5 = 7. . Karena berbentuk B S, maka
pernyataan tersebut bernilai SALAH. 2 + 2 = 6 2 + 2 = 5 . Karena
tidak berbentuk B S, maka pernyataan tersebut bernilai BENAR.
SB
S
S
BiimplikasiDari 2 pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu
pernyataan majemuk dalam bentuk p jika dan hanya jika q yang
disebut biimplikasi dan dinotasikan dengan
Tabel kebenaran biimplikasi:pqBBBBSSSBSSSB
Ingat!!!!!!!!
bernilai benar jika p dan q bernilai sama, dalam hal lainnya
bernilai salah.
Penyelesaian:2 + 2 = 4 3 + 4 = 8. . Karena tidak bernilai sama,
maka pernyataan tersebut bernilai SALAH. 2 + 2 = 6 2 + 2 = 5 .
Karena bernilai sama, maka pernyataan tersebut bernilai BENAR.
SB
S
S
Contoh 1:Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk
berikut!Jika 2 + 2 = 4, 3 + 4 = 8Jika 2 + 3 = 6, 2 + 4 = 8
Negasi dari Implikasi & BiimplikasiRumus:~ ~
~ ~ ~
Contoh:Tentukan negasi dari:2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 2 + 2 = 4 3 + 3
= 6Jika Ali pergi maka Ani menangis
Penyelesaian:Negasi dari 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 adalah 2 + 3 = 5 3
+ 4 7 Negasi dari 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 adalah (2 + 2 = 4 3 + 3 6) (3
+ 3 = 6 2 + 2 4) Negasi dari Jika Ali pergi maka Ani menangis
adalah Jika Ali pergi maka Ani tidak menangis
Konvers, Invers, & Kontraposisi
~ ~
~ ~
KonversInversKontraposisiInversKonversContoh:Tuliskan konvers,
invers, dan kontraposisi dari pernyataan Jika saya makan, maka saya
kenyang!Penyelesaian:Pernyataan asal: Jika saya makan, maka saya
kenyang. Maka: Konvers : Jika saya kenyang, maka saya makan. Invers
: Jika saya tidak makan, maka saya tidak kenyang. Kontraposisi :
Jika saya tidak kenyang, maka saya tidak makan Penarikan
Kesimpulan1. Modus Ponens
Premis 1 : Jika p maka q (benar)Premis 2 : p (benar)
Konklusi : q (benar)
Contoh:Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan
berikut!Jika x bilangan prima maka x mempunyai dua faktor,7
bilangan primaPenyelesaian:Premis 1 : Jika x bilangan prima, x
mempunyai dua faktor.Premis 2 : 7 bilangan prima
Konklusi : 7 mempunyai dua faktor2. Modus Tollens~
~
Premis 1 : Jika p maka q (benar)Premis 2 : ~ q (benar)
Konklusi : ~ p (benar)
Contoh:Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan
berikut!Jika x bilangan prima maka x mempunyai dua faktor,4 tidak
mempunyai dua faktorPenyelesaian:Premis 1 : Jika x bilangan prima,
x mempunyai dua faktor.Premis 2 : 4 tidak mempunyai dua faktor
Konklusi : 4 bukan bilangan prima3. Silogisme
Premis 1 : Jika p maka q (benar)Premis 2 : Jika q maka r
(benar)
Konklusi : (benar)
Contoh:Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan
berikut!Penyelesaian:Jika maka Jika maka atau
Premis 1 : Jika maka Premis 2 : Jika maka x = 2 atau x = -2
Konklusi : Jika , maka x = 2 atau x = -2
