LOGIKA MATEMATIKA.docx

LOGIKA MATEMATIKA

I. PENDAHULUAN

Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan

pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal

tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-

metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar

(correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide

tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau

memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan

dari sebuah pernyataan atau lebih.

II. PERNYATAAN

Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja

atau salah saja dan tidak kedua-duanya.

Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup,

kalimat deklaratif, statement atau proposisi.

III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK

Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat

juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan

tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan

lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan

kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan

tunggal.

Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat

baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari

pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-

komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal,

tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana

menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.

Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan

majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-

operasi logika matematika.

Contoh:

1. Jakarta adalah ibukota negara RI

2. Merah putih adalah bendera negara RI

3. 2 adalah bilangan prima yang genap

4. Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap

Soal:

Buatlah contoh pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai

kebenarannya!

IV. OPERASI LOGIKA

Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah

1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol “ ~ “

2. Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ “

3. Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ “

4. Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “ “

5. Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “ “

Contoh pernyataan majemuk:

1. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih

2. Ani dan Ana anak kembar

3. Cuaca hari ini mendung atau cerah

4. Jika x = 0 maka

5. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama

V. TABEL KEBENARAN

1. Operasi Negasi

Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada

sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “

Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.

Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu

pernyataan yang bernilai salah adalah benar.

Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang

berlawanan

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p ~ p

B S

S B

Contoh:

p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia

~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia

2. Operasi Konjungsi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua

pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi

konjungsi dilambangkan dengan “ “

Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai

benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah


p q p q

B B B B S S S B S S S S

3. Operasi Disjungsi


pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi

disjungsi dilambangkan dengan “ “

Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu

komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar

jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.


Disjungsi Inklusif: Disjungsi Eksklusif:

p q p q p q p q

B B B B B S B S B B S B S B B S B B S S S S S S

4. Operasi Implikasi


pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika …. maka ….. disebut

implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “ “

Definisi: Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan

konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar.


p q p q

B B B B S S S B B S S B

5. Operasi Bi-implikasi


pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika ……

disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “ “

Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya

mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya

mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.


p q p q

B B B B S S S B S S S B

VI. BENTUK-BENTUK PERNYATAAN

Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam:

1. Kontradiksi

2. Tautologi

3. Kontingensi

Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi

yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa

memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa

memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun

kontradiksi.

Contoh:

Selidiki pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi!

( ~p q ) v ( q p )

p q ~ p ~ p q q p ( ~p q ) v ( q p )

B B S S B B B S S S B B S B B B S B S S B S B B

Karena pada tabel kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas suatu

tautologi

Soal:

Selidiki apakah pernyataan-pernyataan di bawah ini suatu tautologi, kontradiksi atau

kontingensi!

1. ( p q ) p2. ( p q ) [ ( ~ q r ) ( r p ) ]3. ( p v q ) ( ~ p q )

VII. IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS

Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi disebut implikasi

logis.

Contoh: p q p q ( p q ) p [ ( p q ) p ] p

B B B B B B S S S B S B B S B S S B S B

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama

disebut ekwivalen logis dengan notasi “ “ atau “ “

Contoh: p q p q p q q p ( p q ) ( q p )

B B B B B B B S S S B S S B S B S S S S B B B B

Karena p q mempunyai nilai kebenaran sama dengan ( p q ) ( q p ), maka

kedua pernyataan majemuk di atas disebut ekwivalen logis.

Jadi, p q ( p q ) ( q p )

Soal:

Selidiki apakah pernyataan di bawah ini apakah implikasi logis atau ekwivalen logis!

1. [( p q ) v r ] [( p ~ q ) v r]

2. [ ~ ( p q )] ( p q )

VIII. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI

Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut konvers

Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ p ~ q disebut invers

Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q ~ p disebut

kontraposisi

Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb:

konvers p q q p

invers kontraposisi invers

~p ~q ~q ~p konvers

Contoh:

Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:

“ Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “

Konvers : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar

Invers : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah

Kontraposisi: Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar

Soal:

Buatlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:

1. Jika dua buah garis saling tegak lurus maka kedua garis itu membentuk sudut siku-

siku

2. Jika x = 3 maka = 9

IX. PENGERTIAN KUANTOR

Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu

kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup

atau pernyataan.

Kuantor dibedakan atas:

1. Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “ ”

2. Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : “ “

Contoh:

Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5

Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( S )

atau x, x + 3 > 5 ( B )

Jika x bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di

bawah ini!

1. ( x) ( y ) ( x + 2y = 7 )

2. ( x) ( y) (x + 2y = x)

3. ( x) ( y) ( x > y )

4. ( x) ( y) ( x.y = 1 )

X. PERNYATAAN BERKUANTOR

Contoh pernyataan berkuantor:

1. Semua manusia fana

2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa

3. Ada bunga mawar yang berwarna merah

4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter

Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi

proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “Semua manusia fana” maka

kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari

semua manusia fana adalah x, M(x) F(x)

Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini!

1. Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) )

2. Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) )

3. Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) )

4. Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )

XI. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR

Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan

berkuantor tersebut.

Contoh:

Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah

“ Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas “

Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi:

x, M(x) , negasinya x, M(x) T(x)

Soal:

Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berkuantor pada soal sebelumnya!

XII. ARGUMEN

Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana

pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir

disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen.

Contoh:

1. p q

2. p / q

1. ( p q ) ( r s )

2. ~ q v ~ s / ~ p v ~ r

1. p

2. q / p q

XIII. BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN

Bukti keabsahan argumen dapat melalui:

1. Tabel Kebenaran

2. Aturan Penyimpulan

Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit

bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen

yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada

logika diantaranya aturan penyimpulan.

Contoh:

Buktikan keabsahan argumen

1. 1. p q

2. ~ q / ~p

2. 1. a b

2. c d

3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c

Bukti:Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran

p q ~p ~q p q [( p q) ~q] [(p q) ~q] ~p B B S S B S B B S S B S S B S B B S B S B S S B B B B B

Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen sah

Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan 1. a b

2. c d

3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c

4. ( a b ) ( c d ) 1,2 Conj

5. ( ~b v ~d ) 3, Simpl

6. ~ a v ~c 4,5 DD

Soal:

Buktikan keabsahan argumen:

1. e ( f ~g)

2. ( f v g ) h

3. e / h

XIV. ATURAN PENYIMPULAN

1. Modus Ponens (MP) p q p / q

2. Modus Tolens (MT) p q ~q / ~p

3. Hypothetical Syllogisme (HS) p q q r / p r

4. Disjunctive Syllogisme (DS) p v q ~ p / q

5. Constructive Dillema (CD) ( p q ) ( r s ) p v r / q v s

6. Destructive Dillema (DD) ( p q ) ( r s ) ~ q v ~ s / ~p v ~r

7. Conjunction (Conj) p q / p q

8. Simplification (Simpl) p q

p

9. Addition ( Add) p p v q

XV. ATURAN PENGGANTIAN

1. De Morgan

a. ~ ( p q ) ~ p V ~ q

b. ~ ( p V q ) ~ p ~ q

2. Komutatif

a. ( p q ) ( q p )

b. ( p V q ) ( q V p )

3. Asosiatif

a. ( p V q ) V r p V ( q V r )

b. ( p q ) r p ( q r )

4. Distributif

a. ( p V q ) r ( p r ) V ( q r )

b. ( p q ) V r ( p V r ) ( q V r )

5. Dobel Negasi

~ ( ~ p ) p

6. Implikasi

p q ~ p V q

7. Material Equivalen

a. p q ( p q ) ( q p )

b. p q ( p q ) V ( ~ p ~ q )

8. Eksportasi

p ( q r ) ( p q ) r

9. Transposisi

p q ~ q ~ p

10. Tautologi

a. ( p v p ) p

b. ( p p ) p

Contoh:

Selidiki keabsahan argumen di bawah ini!

1. a ( b c )

2. c ( d e ) / a ( b d )

3. ( a b ) c 1, Eksportasi

4. ( a b ) ( d e ) 3,4, Hypothetical Syllogisme

5. ~ ( a b ) V ( d e ) 4, Implikasi

6. ( ~ a V ~ b ) V ( d e ) 5, De Morgan

7. [(~ a V ~ b ) V d ] [(~ a V ~ b ) V e ] 6, Distribusi

8. (~ a V ~ b ) V d 7, Simplifikasi

9. ~ a V ( ~ b V d ) 8, Asosiasi

10. a ( b d ) 9, Implikasi

Soal:

Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!

1. ( k V l ) ~ ( m n )

2. ( ~ m V ~ n ) ( o p )

3. ( o p ) ( q r ) / ( l V k ) ( r q )

XVI. HUBUNGAN ANTARA LOGIKA DAN HIMPUNAN

1. Semua bilangan bulat adalah bilangan real ( B(x); R(x) )

x, B(x) R(x)

B(x)

R(x)

2. Ada bilangan prima yang genap ( P(x); G(x) )

x, P(x) G(x) 2

P(x) G(x)

3. Tidak ada bilangan ganjil yang genap ( J(x); G(x) )

Ekuivalen dengan: Semua bilangan ganjil bukan bilangan genap

x, J(x) ~ G(x) J(x) ~ G(x)

LEMBAR KERJA

1. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini tautologi, kontradiksi atau kontingensi

a. ( p v q ) ( ~ p r )

b. [( p q ) ( q p )] ( p q )

c. ( p q ) ( p ~q )

2. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini implikasi logis, ekwivalen logis atau tidak

kedua-duanya

a. [( p q ) r] [( p ~q ) v r]

b. [( p q ) r] ( p v q )

c. [p ( q r )] [( p q ) r]

3. Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!

1. j k

2. j v ( k v ~l )

3. ~ k / ~l v ~k

4. Ubahlah kalimat di bawah ini ke dalam notasi logika!

a. Tidak semua bunga mawar berwarna merah (B(x), M(x))

b. Semua mahasiswa baru harus mendaftar ulang (M(x), U(x))

c. Ada bilangan prima yang genap (P(x), G(x))

d. Beberapa tamu yang datang pejabat negara (T(x), P(x))

e. Tidak semua penumpang memiliki karcis (P(x), K(x))

SELAMAT BEKERJA

Documents

LOGIKA MATEMATIKA.docx