Embed Size (px)
Citation preview
DAFTAR ISI
1
Pertemuan 1 Peranan Matematika dalam Bisnis…………………………… 3Pertemuan 2 Deret …………………………………………………………. 4Pertemuan 3 Penerapan Deret dalam Bisnis………………………………... 8Pertemuan 4 Fungsi dan Persamaan Linear………………………………...12Pertemuan 5 Penerapan Fungsi dan Persamaan Linear dalam Bisnis………19 Pertemuan 6 Penerapan Fungsi dan Persamaan Linear dalam Bisnis………22Pertemuan 7 Penerapan Fungsi dan Persamaan Linear dalam Bisnis………28Pertemuan 8 (ujian tengah semester)Pertemuan 9 Persamaan Non Linear dan Penerapannya dalam Bisnis…….32Pertemuan 10 Persamaan Non Linear dan Penerapannya dalam Bisnis…….35 Pertemuan 11 Diferensial Fungsi Sederhana..………………………………40Pertemuan 12 Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Bisnis……...42Pertemuan 13 Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Bisnis……...45 Pertemuan 14 Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Bisnis……...48 Pertemuan 15 Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Bisnis……...51 Pertemuan 16 (ujian akhir semester)
PERTEMUAN 1
2
PERANAN MATEMATIKA DALAM BISNIS
PENTINGNYA MATEMATIKA DALAM BISNISMatematika merupakan cabang dari logika yang dapat memberikan
kerangka kerja sistematis pada suatu hubungan kuantitatif. Oleh karena itu, analisis bisnis yang berkenaan dengan konsep kuantitatif misal harga, biaya, produksi, penjualan, pendapatan, investasi, dan lain sebagainya dapat dilakukan dengan menggunakan konsep matematika.
Apabila variabel-variabel dalam ekonomi diwakilkan dengan simbol dan sifat-sifat yang dimiliki dinyatakan secara matematis, maka matematika dapat memberikan teknik-teknik untuk menganalisa hubungan antar simbol atau variabel tersebut. Matematika memungkinkan ahli ekonomi untuk mendefinisikan variabel-variabel yang relevan secara tepat, menyatakan secara jelas asumsi yang dibuat, menganalisa secara logis, dan mampu mempelajari pengaruh dari beberapa variabel terhadap satu atau beberapa variabel lain.
PENGGUNAAN MATEMATIKA DALAM BISNISKonsep matematika banyak digunakan dalam menganalisis bisnis.
Berikut ini adalah penggunaan matematika dalam bisnis.a. Pengetahuan mengenai deret/baris dapat digunakan untuk menganalisis
perkembangan dan pertumbuhan perusahaan yang mempunyai pola seperti yang disyaratkan dalam deret/baris. Selain itu, pengetahuan mengenai deret/baris juga dapat digunakan untuk menganalisis nilai uang, baik sekarang atau masa depan, pada tingkat bunga tertentu.
b. Pengetahuan mengenai fungsi dapat digunakan untuk menganalisis hubungan sebab-akibat antara berbagai variabel ekonomi, misal antara permintaan dan harga, penawaran dan harga.
c. Pengetahuan mengenai diferensiasi dapat digunakan untuk menganalisis keuntungan maksimum dan minimum yang dapat diperoleh perusahaan.
PERTEMUAN 2
3
DERET
DERET HITUNGDeret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan
mempunyai pola tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku.
Deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. Contoh: 2, 4, 6, 8, 10, 12 (pembeda = 2) 80, 75, 70, 65, 60 (pembeda = -5)Suku ke-n dari DH
Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari suatu deret hitung dapat diketahui melalui rumus berikut ini.
a : suku pertama atau S1b : pembedan : indeks suku
Jumlah n suku Jumlah suatu deret hitung sampai dengan suku tertentu, sejak suku
pertama sampai dengan suku ke-n, dapat dihitung melalui rumus-rumus berikut ini.
DERET UKUR Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan
perkalian terhadap suatu bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan rasio, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku didepannya.Contoh: 2, 4, 8, 16, 32, 64 (rasio = 2)
4
Sn=a+(n−1 ) b
Jn=n2
(a+Sn ) Jn=na+ n2
(n−1 ) b
10, -30, 90, -270, 810 (rasio = -3)Suku ke-n dari DU
Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari suatu deret ukur dapat dihitung melalui rumus berikut ini.
a : suku pertama atau S1r : rasion : indeks suku
Jumlah n sukuJumlah suatu deret ukur sampai dengan suku tertentu, sejak suku
pertama sampai dengan suku ke-n, dapat dihitung melalui rumus-rumus berikut ini.
; apabila rasio antara dua suku yang berurutan lebih kecil dari 1
; apabila rasio antara dua suku yang berurutan lebih besar dari 1
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoal 1Hitung suku ke-14 dan hitung jumlah deret hitung sampai suku ke-14 dari deret hitung 10, 12, 14, 16, 18, …Penyelesaiana = 10; b = 2; n = 14Suku ke-n dari suatu deret hitungSn = a + (n - 1)bS14 = 10 + (14-1)2 = 36Jumlah deret hitung
Jn=n2
(a+Sn )
J14=142
(10+S14 )
= 142 (10 + 36)
= 322
Soal 2
5
Sn=arn−1
Jn=a (1−rn)
1−r
Jn=a (rn−1)
r−1
Nilai suku pertama dari suatu deret hitung adalah 20 dan nilai suku ke-10 adalah 38. Hitung :a. Beda antara dua suku yang berurutanb. Nilai dari suku ke-25c. Suku ke berapa yang bernilai 100d. Jumlah deret hitung sampai suku ke 40Penyelesaiana. Nilai a = 20; S10 = 38Sn=a+(n−1 ) bS10=20+ (10−1 ) b
38 = 20 + 9b18 = 9bb = 2
b. S25=20+ (25−1 ) 2
= 20 + 48 = 68
c. Sn=20+(n−1 )2
100 = 20 + 2n – 2100 = 18 + 2n2n = 82n = 41S41=100
d. Jn=na+ n2
(n−1 ) b
J40=40.20+ 402
(40−1 )2
¿800+1560
= 2360
Soal 3Hitung suku ke-10 dan hitung jumlah deret ukur sampai suku ke-10 dari deret hitung 2, 6, 18, 54,…Penyelesaiana = 2; r = 3; n = 10Suku ke-n dari suatu deret ukurSn=arn−1
S10=2(3)10−1
= 2 (19683)
= 39366
Jumlah deret ukur
Jn=a (rn−1)
r−1
J10=2((3)10−1)
3−1
= 2(59048)
2
= 59048
SOAL LATIHAN
6
Soal 1Hitung suku pertama, beda antara dua suku-sukunya yang berurutan dan suku ke-10 dari suatu deret hitung, apabila pada deret hitung tersebut diketahui:a. S5=70 dan J6=384
b. S3=75 dan J 4=320
c. S3=62dan S7=40
d. S5=6dan J 9=7
Soal 2Tuliskan sepuluh suku pertama dari deret hitung berikut, apabila diketahui:a. b = 2 dan S7=22
b. a = 40 dan S6=20
c. b = 5 dan S3+S5=78
d. b = -5 dan S4+S5=125
Soal 3Tuliskan sepuluh suku pertama dari deret ukur berikut, apabila diketahui:a. a = 5 dan S3=405
b. r = -3 dan S6=−243
c. r = 1/2 dan S8=3825
d. r = 3 dan S10=39366
7
PERTEMUAN 3PENERAPAN DERET DALAM BISNIS
PERKEMBANGAN KEGIATAN PERUSAHAANRumus-rumus yang berlaku dalam suatu deret dapat digunakan
untuk menjelaskan perkembangan kegiatan perusahaan secara kuantitatif. Apabila perkembangan kegiatan perusahaan tersebut dinyatakan dalam angka-angka yang mengikuti pola perubahan seperti yang disyaratkan dalam deret hitung maupun ukur, maka nilai-nilainya pada berbagai periode waktu yang diinginkan dapat ditentukan.
Kasus 1Perusahaan buku PT Makmur menghasilkan 5000 buku pada bulan pertama produksinya. Perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buku setiap bulannya dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah buku yang dihasilkan pada bulan ke empat? Berapa buku yang telah dihasilkan sampai pada bulan tersebut?Penyelesaian
a = 5000, b = 500, n = 4Sn=a+(n−1 ) b
S4=5000+( 4−1 )500
¿6500
Jn=n2
(a+Sn )
J4=42
(5000+6500 )
¿23000
Kasus 2Hasil penjualan PT Mitra Pekerti pada tahun pertama produksinya adalah sebesar Rp 150juta. Apabila hasil penjualan tersebut bertumbuh sebesar 8% per tahun, berapa hasil penjualan perusahaan pada tahun ke-6?PenyelesaianSuku pertama 150juta, Suku kedua 150juta + 8% (150juta) = 162juta; sehingga rasio = 162juta/150juta = 1,08
a = 150juta, r = 1,08 dan, n = 6Sn=arn−1
S6=150 juta¿ ¿150 juta¿¿
= 220399211,5
8
TEORI NILAI UANGRumus-rumus yang berlaku dalam deret, baik hitung maupun ukur,
dapat digunakan sebagai alat untuk, misalnya menghitung perubahan nilai uang dari waktu ke waktu pada suku bunga tertentu, menentukan besar pembayaran cicilan pada suku bunga dan jangka waktu tertentu, menentukan bunga dari sejumlah uang dalam jangka waktu tertentu. Khusus untuk penerapan deret ukur dalam teori nilai uang dapat digunakan model bunga majemuk.Kasus 1Arif meminjam uang sebesar Rp 6000000 dari Koperasi Aman Selalu dan berjanji akan membayar secara cicilan sebesar Rp 300000 tiap akhir bulan dengan membayar bunga 20% pertahun dari sisa hutangnya. Hitung :a. Jumlah bunga yang harus dibayar sampai dengan pinjaman lunas?b. Jumlah uang yang harus dibayar untuk melunasi pinjaman?Penyelesaiana. Arif akan membayar hutangnya dengan 6juta/300ribu = 20 kali cicilan.
Cicilan pertama bunga yang harus dibayar 6juta (20%)(1/12) = 100ribuCicilan kedua bunga yang harus dibayar 5,7juta (20%)(1/12) = 95ribu; sehingga a = 100ribu, b = 5ribu, n=20
Jn=na+ n2
(n−1 ) b
J20=20.100 ribu+ 202
(20−1 )5 ribu
= 2juta + 950ribu = 2950000b. Jumlah uang yang harus dibayar untuk melunasi pinjaman
= pinjaman pokok + jumlah bunga = 6000000 + 2950000= 8950000
Kasus 2 dengan menggunakan model bunga majemukModel bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam
kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Model ini dapat digunakan untuk menghitung besarnya pengembalian kredit dimasa datang berdasarkan tingkat bunganya atau menghitung nilai sekarang dari jumlah investasi yang akan diterima di masa datang.
Rumus untuk menghitung jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang adalah sebagai berikut.
9
P : jumlah sekarangi : tingkat bunga per tahunn : jumlah tahun
Rumus di atas dapat juga digunakan untuk menghitung besarnya nilai sekarang apabila yang diketahui jumlahnya di masa datang.
atau
ContohSeorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak 5 juta rupiah untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus dikembalikan?Penyelesaian
P = 5000000n = 3i = 2% Jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat
pelunasanFn=P(1+i)n
F3=5000000(1+0,02)3
¿5000000(1,061208)3
¿5306040
Jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan, apabila bunga dibayar tiap semester
Fn=P(1+i /m)mn
F3=5000000(1+0,01)6
¿5000000(1,06152)¿5307600
ContohTabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp 532.400 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang?
10
Fn=P(1+i)n
P= 1
(1+ i)nF P= 1
(1+ i /m)mnF
PenyelesaianF = 532400n = 3i = 10% = 0,1Tabungan mahasiswa pada saat sekarang:
P= 1
(1+ i)nF
¿1
(1+i)3532400
¿400000
SOAL LATIHANSoal 1PT Indah Sentosa meperoleh hasil penjualan sebesar Rp 460000000 pada tahun ke-3 dan Rp 850000000 pada tahun ke-6. Apabila pertambahan hasil penjualan perusahaan mengikuti pola deret hitung, tentukan:a. Pertambahan hasil penjualan perusahaan per tahun?b. Hasil penjualan perusahaan pada tahun pertama?c. Pada tahun berapakah hasil penjualan perusahaan menjadi Rp
1370000000?Soal 2Andi meminjam uang sebesar Rp 20000000 dari bank dan berjanji akan membayarnya secara cicilan sebesar Rp 500000 tiap akhir 4 bulan ditambah dengan bunga 15% per tahun dari sisa hutangnya. Hitung:a. Bunga yang dibayar pada cicilan terakhir?b. Jumlah bunga yang dibayar sampai dengan pinjaman lunas?c. Jumlah uang yang harus dibayar untuk melunasi pinjaman? Soal 3Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak 12 juta rupiah untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Hitung: a. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan? b. Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan
tiap semester, berapa jumlah yang harus dikembalikan?
11
x
y
PERTEMUAN 4FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR
PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSIFungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang
menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien, dan konstanta. Misal:
y = 5+0,8x variabel dependen variabel independen
konstanta koefisien
Fungsi dapat berbentuk persamaan dan pertidaksamaan. Fungsi berbentuk persamaan apabila ruas kiri dan kanan fungsi dihubungkan dengan tanda kesamaan (=), sedangkan fungsi berbentuk pertidaksamaan apabila ruas kiri dan kanan fungsi dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan (¿atau>¿).
FUNGSI LINEARFungsi linear adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah pangkat satu. Setiap fungsi linear apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus. Bentuk umum persamaan linear adalah y = a + bx; dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal y, sedangkan b adalah koefisien arah atau gradien garis yang bersangkutan.
b a
12
PENGGAMBARAN FUNGSI LINEARSetiap fungsi dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang
sumbu silang (sistem koordinat). Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya, dan kemudian memindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang. Penggambaran pada fungsi linear akan menghasilkan sebuah garis lurus. Berikut contoh penggambaran persamaan linear.
Contoh :y = 2 + 2x
X 0 1 2 3 4
Y 2 4 6 8 10
10
8
6
4
2
1 2 3 4 5 6 7
PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEARSebuah persamaan linear dapat dibentuk melalui beberapa
macam cara, tergantung pada data yang tersedia. Berikut ini empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linear.
a. Cara dwi-koordinatApabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2), maka rumus persamaan linearnya adalah:
13
y− y1
y2− y1
=x−x1
x2−x1
Contoh Soal:Misalkan diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5), maka persamaan linearnya:
y− y1
y2− y1
=x−x1
x2−x1
y−35−3
= x−26−2
y−32
= x−24
4y - 12 = 2x - 4
4y = 8 + 2x
y = 2 + 0,5x
b. Cara koordinat-lerengApabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1,y1) dan lereng garisnya b, maka rumus persamaan linearnya adalah:
y− y1=b(x−x1)
Contoh Soal :Apabila diketahui titik A (2,3) dengan lereng garis 0,5 maka persamaan linearnya:
y− y1=b(x−x1)
y−3=0,5( x−2)
y−3=0,5 x−1
y=2+0,5 x
c. Cara penggal-lerengApabila diketahui penggal (a) dan lereng garis (b), maka rumus persamaan linearnya adalah:
y = a + bx; a = penggal, b = lerengContoh Soal :Apabila diketahui penggal dan lereng garis persamaan y =f (x) masing-masing adalah 2 dan 0,5, maka persamaan linearnya adalah y = 2 + 0,5x
d. Cara dwi-penggalApabila diketahui penggal garis pada masing-masing sumbu, yaitu penggal pada sumbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0), maka persamaan linearnya adalah:
14
y=a−ac
x; a = penggal vertikal, c = penggal horizontal
Contoh Soal :Apabila diketahui penggal sebuah garis pada sumbu vertikal dan sumbu horisontal masing-masing 2 dan -4, maka persamaan linearnya adalah:
y=a−ac
x
y=2− 2(−4)
x
y=2−0,5 x
HUBUNGAN DUA GARIS LURUSDua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk
hubungan dalam sistem sepasang sumbu-silang, yaitu berimpit, sejajar, berpotongan, dan tegak lurus. a. Berimpit
Dua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yang lain. Dengan demikian, garis y1=a1+b1 xakan berimpit dengan garis y2=a2+b2 x , jika y1=n y2, a1=n a2, dan b1=n b2
y
0 xb. Sejajar
Dua garis lurus akan sejajar apabila lereng/gradien garis yang satu sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian, garis y=a1+b1 xakan sejajar dengan garis y=a2+b2 x, jika b1=b2
y
15
0 x
c. BerpotonganDua garis lurus akan berpotongan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian,
garis y=a1+b1 x akan berpotongan dengan garis y=a2+b2 x, jika y
0 xd. Tegak lurus
Dua garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng/gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng/gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demikian , garis y=a1+b1 x akan tegak lurus dengan garisy=a2+b2 x , jika b1−1/b2 atau b1 . b2=−1
y
0 x
PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN LINEARMencari akar-akar persamaan maksudnya adalah menghitung besarnya
nilai variabel-variabel dalam suatu persamaan. Terdapat beberapa cara untuk mencari akar-akar persamaan, yaitu:a. Cara substitusi
16
Dua bilangan dalam dua persamaan, misal x dan y, dapat dicari dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu persamaan pertama, kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan kedua. Contoh: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Langkah pertama selesaikan terlebih dahulu persamaan x + 4y = 23x + 4y = 23 x = 23 - 4y
Langkah kedua substitusikan hasil langkah pertama kepersamaan berikutnya
2x + 3y = 21
2(23 - 4y) + 3y = 2146 - 8y + 3y = 2146 - 5y = 21 25 = 5y y = 5
Langkah ketiga masukkan nilai y dalam salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai xx = 23 - 4yx = 23 - 4(5) x = 3
b. Cara eliminasiDua bilangan dalam dua persamaan, misal x dan y, dapat dicari dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan yang ada, sehingga dapat dihitung bilangan yang lain.Contoh: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut2x+3y = 21 dan x+4y = 23 Langkah pertama eliminasi salah satu bilangan, misal bilangan x
2x + 3y = 21 x1 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 x2 2x + 8y = 46 -5y = -25 y = 5 Langkah kedua masukkan nilai y dalam salah satu persamaan untuk
mendapatkan nilai xx = 23 - 4y
x = 23 - 4(5)
17
x = 3
SOAL LATIHANSoal 1Bentuklah persamaan linear berdasarkan data berikut ini:a. (-1,-4) dan (1,0)b. (1,4) dan (2,3)c. (-1,3) dan koefisien arah/lereng 2d. (-1,3) dan koefisien arah/lereng 5Soal 2Tentukan hubungan dua garis lurus berikut ini dan gambarkan grafiknya.a. y = 4 + 0,5x dan y = 6 + 0,5xb. y = 5 – 2x dan y = 3 –xc. -3y = -6 – 2x dan -6y = -12 – 4xSoal 3Hitunglah nilai x dan y dari persamaan berikut ini.a. y = -2 + 4x dan y = 2 + 2xb. y = 2 + 2x dan y = 10 – 2xc. y = 5 – 2x dan 3y = 3 – 2xd. 4y = -4 + 8x dan 3y = 21 – 2x
18
PERTEMUAN 5PENERAPAN FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR
DALAM BISNIS
Hubungan sebab-akibat antara berbagai variabel ekonomi, misal antara permintaan dan harga, dapat dengan mudah dinyatakan dan diterangkan dalam bentuk fungsi. Di antara berbagai hubungan fungsional yang ada, hubungan linear merupakan bentuk paling dasar dan paling sering digunakan dalam analisis bisnis. Berikut adalah penerapan fungsi linear dalam bisnis.
FUNGSI PERMINTAANFungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah barang yang
diminta oleh konsumen (Q) dengan harga barang tersebut (P). Bentuk umum fungsi permintaan:
Q = a – bP atau P=ab−1
bQ
P P 'e
Pe
0 Q 'e Q e Q
Persamaan di atas memperlihatkan bahwa variabel P (price/harga) dan variabel Q (quantity/jumlah) mempunyai tanda yang berlawanan arah. Hal ini mencerminkan hukum permintaan, yaitu apabila harga barang naik, maka jumlah barang yang diminta oleh konsumen akan berkurang dan apabila harga barang turun, maka jumlah barang yang diminta oleh konsumen akan bertambah.
19
FUNGSI PENAWARANFungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah barang yang
ditawarkan oleh produsen dengan harga barang tersebut. Bentuk umum fungsi penawaran:
Q = -a + bP atau P=ab+ 1
bQ
P
P 'e Pe
Qe Q ' e QPersamaan di atas memperlihatkan bahwa variabel P (price/harga) dan
variabel Q (quantity/jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Hal ini mencerminkan hukum penawaran, yaitu apabila harga barang naik, maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga barang turun, maka jumlah barang yang ditawarkan akan berkurang.
KESEIMBANGAN PASARPasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan
(equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. P Qs E Pe
Qd
0 Qe QSyarat Keseimbangan Pasar :
Qd = jumlah permintaan
20
Qd = Qs
Qs = jumlah penawaranE = titik keseimbanganPe = harga keseimbanganQe = jumlah keseimbangan
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalFungsi permintaan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5P dan fungsi penawaran suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qs = – 4 + 9P. Tentukan harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar?PenyelesaianKeseimbangan pasar :
Qd = Qs
10 – 5 P = – 4 + 9P Q = 10 – 5P 14P = 14; Q = 10 – 5(1) P = 1; Pe = 1 Q = 5; Qe = 5
Harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar adalah E (5,1 )
SOAL LATIHANSoal 1Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dalam persamaan 2Q = 20 – P, sedangkan fungsi penawarannya ditunjukkan dalam persamaan Q = -5 + P. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar?Soal 2Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dalam persamaan 4Q = 20 – 8P, sedangkan fungsi penawarannya ditunjukkan dalam persamaan Q = -5 + 3P. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar?Soal 3Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dalam persamaan 6Q = 18 – 12P, sedangkan fungsi penawarannya ditunjukkan dalam persamaan Q = -5 + 6P. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar?
21
PERTEMUAN 6PENERAPAN FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR
DALAM BISNIS
PENGARUH PAJAK TERHADAP KESEIMBANGAN PASARPengenaan pajak pada suatu barang akan menaikkan harga barang
sebab produsen cenderung mengalihkan sebagian beban pajak tersebut kepada konsumen. Akibatnya harga keseimbangan yang tercipta di pasar menjadi lebih tinggi daripada harga keseimbangan sebelum pajak, sedangkan jumlah keseimbangannya menjadi lebih rendah. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak dapat digambarkan sebagai berikut. P
Q 'S (sesudah pajak) E’ QS (sebelum pajak) P 'e E Pe
Q 'e Q e QPengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual
menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas, dengan penggal yang lebih besar pada sumbu harga. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak persamaan penawarannya akan menjadi P = a + bQ + t
Kecenderung produsen untuk mengalihkan sebagian beban pajak kepada konsumen membuat, pada akhirnya, beban pajak tersebut ditanggung baik oleh konsumen maupun produsen.Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen : tk = P’e - Pe
22
Beban pajak yang ditanggung oleh produsen : tp = t – tkJumlah pajak yang diterima oleh pemerintah : T = t x Q’e
t : besar pajak per unit barangP’e : harga keseimbangan sesudah pajak
Pe : harga keseimbangan sebelum pajakQ’e : jumlah keseimbangan sesudah pajak
Qe : jumlah keseimbangan sebelum pajakE’e : keseimbangan sesudah pajak
Ee : keseimbangan sebelum pajak
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoal Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 8 - P, sedangkan fungsi penawaran Q = 16 + P. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit. a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak?b. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen?c. Berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah?Penyelesaiana. Keseimbangan pasar sebelum pajak
Qd = Qs
8 – P = 16 + P Q = 8 - P2P = -8 Q = 8 – (-4) P = -4 Q = 12
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 12,-4 )Keseimbangan pasar sesudah pajak
P = -16 + Q + t Qs = Qd Q = 13 + P = -16 + Q + 3 13 + P = 8 – P = 13 + (-2,5)
= -13 + Q 2P = -5 = 10,5 P = -2,5
Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E’ ( 10,5,-2.5 )b. Besar pajak yang ditanggung konsumen
tk = P’e - Pe
= -2,5 – (-4) = 1,5/unit
Besar pajak yang ditanggung produsentp = t – tk
23
= 3 – 1,5 = 1,5/unit
c. Besar penerimaan pajak oleh pemerintahT = t x Q’e
= 3 x 10,5 = 31,5
PENGARUH SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN PASARSubsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang
menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah karena ongkos produksi menjadi lebih kecil.
Jika produk dikenakan subsidi s per unit, maka akan terjadi penurunan harga produk sehingga keseimbangan pasar atas produk tersebut juga akan bergeser. Jika sebelum subsidi persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah subsidi akan menjadi P’ = a + bQ – s P
Qs (tanpa subsidi) E Q 's (dengan subsidi)Qe E’ Q 'e
Qd
Qe Q 'e Q
Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen : sk = Pe – Pe‘Bagian subsidi yang dinikmati oleh produsen : sp = s – sk
Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah : S = s x Q’e
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoal Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 12–2P sedangkan penawarannya ditunjukkan oleh persamaan Qs = -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2 per unit barang.a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi ?b. Berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ?c. Berapa subsidi total yang harus dibayar oleh pemerintah ?Penyelesaian
24
a. Keseimbangan pasar sebelum subsidiQd = Qs
12 – 2P = -4 + 2P Q = 12 - 2P 4P = 16 Q = 12 – 2(4) P = 4 Q = 4
Jadi keseimbangan pasar sebelum subsidi E ( 4,4 )Keseimbangan pasar sesudah subsidi
2P = 4 + Q - s Qs = Qd Q = 2P - 2 = 4 + Q - 2 2P - 2 = 12 – 2P = 2(3,5) - 2
= 2 + Q 4P = 14 = 5 P = 3,5
Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E’ ( 5,3,5 )b. Bagian subsidi untuk konsumen
sk = Pe - P’e = 4 – 3,5 = 0,5/unit
Bagian subsidi untuk produsensp = s – sk = 2 – 0,5 = 1,5/unit
c. Besar subsidi yang dibayar oleh pemerintahS = s x Q’e
= 2 x 5 = 10
KESEIMBANGAN PASAR UNTUK DUA JENIS PRODUKTerdapat beberapa kasus dimana permintaan terhadap suatu barang
tidak hanya dipengaruhi oleh harga barang itu sendiri, tetapi juga dipengaruhi oleh harga dari barang lainnya, misal teh dan kopi yang mempunyai hubungan substitusi/saling menggantikan. Permintaan teh tidak hanya dipengaruhi oleh harga dari teh itu sendiri, tapi juga dipengaruhi oleh harga dari kopi.
Apabila barang X dan Y mempunyai hubungan penggunaan, permintaan terhadap masing-masing barang dipengaruhi juga oleh harga barang lainnya, maka fungsi permintaan masing-masing barang tersebut adalah sebagai berikut.
Qdx=f ( P x P y )Q dx= jumlah permintaanbarang X
Qdy=g ( Py Px ) Qdy= jumlah permintaan barangY
25
P x=harga barang X perunit
P y=hargabarangY per unit
Oleh karena permintaan masing-masing barang merupakan fungsi dari harga dua macam barang, maka keseimbangan pasar yang tercipta adalah keseimbangan pasar untuk kedua macam barang tersebut.
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalPermintaan terhadap barang X ditunjukkan oleh persamaan Qdx=10−4 Px+2 P y, sedangkan penawarannya Qsx=−6+6 Px. Sementara itu permintaan terhadap barang Y ditunjukkan oleh persamaan Qdy=9−3 Py+4 Px, sedangkan penawarannya Qsy=−3+7 P y.. Berapa harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar untuk masing-masing barang tersebut?Penyelesaian
Qdx = Qsx
10 – 4Px + 2Py = -6 + 6Px
10Px – 2Py = 16 …………….(1)
Qdy = Qsy
9 – 3Py + 4Px = -3 + 7Py
4Px – 10Py = -12…………….(2) 10Px – 2Py = 16 x1 10Px – 2Py = 16 4Px – 10Py = -12 x 2,5 10Px – 25 Py = -30
23 Py = 46 Py = 2, maka diperoleh Px = 2
Setelah nilai Px dan Py diketahui masukkan nilai-nilai tersebut kedalam persamaan permintaan atau penawaran untuk memperoleh nilai Qx dan Qy.
Setelah dihitung diperoleh nilai Qx = 6 dan Qy = 11Sehingga diperoleh kesimpulan Px equilibrium = 2, Qx equilibrium = 6 serta Py equilibrium = 2, Qy equilibrium = 11.
SOAL LATIHANSoal 1Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dalam persamaan Q = 11 – P, sedangkan fungsi penawarannya ditunjukkan daalam persamaan Q = -4 + 2P. Barang-barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 3/unit. Hitunglah:a. Harga dan jumlah keseimbangan sebelum pajak dan sesudah pajak?
26
b. Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen dan produsen?c. Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah? Soal 2Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dalam persamaan Q = 20 – P, sedangkan fungsi penawarannya ditunjukkan dalam persamaan 2Q = -5 + P. Barang-barang tersebut mendapat subsidi sebesar Rp 3/unit. Hitunglah:a. Harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi?b. Jumlah subsidi yang dinikmati oleh konsumen dan produsen?c. Jumlah subsidi yang dibayar oleh pemerintah?Soal 3Permintaan terhadap barang X ditunjukkan oleh persamaan Qdx=3−Px+2P y, sedangkan penawarannya Qsx=−5+7 Px. Sementara itu permintaan terhadap barang Y ditunjukkan oleh persamaan Qdy=4−P y+2 Px, sedangkan penawarannya Qsy=−4+2 Py. Berapa harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar untuk masing-masing barang tersebut?
27
PERTEMUAN 7PENERAPAN FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR
DALAM BISNIS
FUNGSI BIAYABiaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasi
bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variable cost). Sifat biaya tetap adalah tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan dan biaya tetap merupakan sebuah konstanta, sedangkan sifat biaya variabel tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan.
FC = kVC = f(Q) = vQ C = g (Q) = FC + VC = k + vQ
C C = k + vQ FC = biaya tetap VC = biaya variabel VC = vQ C = biaya total k = konstanta
V = lereng kurva VC dan kurva C k
FC = k
0 Q CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalBiaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp 50000 sedangkan biaya variabel ditunjukkan oleh persamaan VC = 200 Q. Tunjukkan persamaan biaya totalnya dan Hitung biaya total yang dikeluarkan jika perusahaan memproduksi 800 unit barang?
28
PenyelesaianFC = 50000VC = 200 QPersamaan biaya totalC = FC + VC → C = 50000 + 200 QBiaya total jika diproduksi 800 unit barangC = 50000 + 200Q = 50000 + 200 (800) = 210000
FUNGSI PENERIMAANPenerimaan suatu perusahaan merupakan fungsi dari jumlah barang
yang terjual. Penerimaan total (total revenue) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut.
R = Q x P = f (Q)Secara matematik penerimaan merupakan fungsi jumlah barang, kurvanya berupa garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik pangkal.
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalHarga jual produk pada suatu perusahaan Rp 500 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini serta berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 800 unit ?PenyelesaianPersamaan penerimaan total R = Q x P = Q x 500 = 500QBesar penerimaan bila terjual barang sebanyak 800 unit R = Q X 500 R = 500Q = 800 X 500 = 400000 400ribu
50ribu
29
100 800
ANALISIS BREAK-EVENAnalisis break-even adalah konsep yang digunakan untuk menganalisis
jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan break-even terjadi apabila R (penerimaan total) = C (biaya total) atau dengan kata lain perusahaan tidak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula mengalami kerugian. Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalBiaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukan oleh persamaan C = 80.000 + 200 Q dan penerimaan totalnya R = 400 Q. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan mengalami break-even? apa yang terjadi jika perusahaan memproduksi 500 unit ?PenyelesaianSyarat break-even
R = C 400Q = 80000 + 200Q 200Q = 80000
Q = 400Jadi, pada tingkat produksi 400 unit tercapai keadaan break-evenJika perusahaan memproduksi 500 unit:
Π (profit) = R – C = 400Q – ( 80000 + 200Q)
= 200 Q – 80000 = 200(500) – 80000 = 20000
Jadi, pada tingkat produksi 500 unit, perusahaan akan mengalami keuntungan sebesar Rp. 20000
SOAL LATIHANSoal 1
30
Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp 80000 sedangkan biaya variabel ditunjukkan oleh persamaan VC = 400Q. Tunjukkan persamaan biaya totalnya dan hitung biaya total yang dikeluarkan jika perusahaan memproduksi 800 unit barang?
Soal 2Harga jual produk pada suatu perusahaan Rp 300 per unit. Tunjukkan persamaan penerimaan total perusahaan ini serta berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 800 unit ?Soal 3Biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukan oleh persamaan C = 50000 + 200 Q dan penerimaan totalnya R = 400 Q. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan mengalami break-even? Apa yang terjadi jika perusahaan memproduksi 300 unit ?
31
PERTEMUAN 9PERSAMAAN NON LINEAR DAN PENERAPANNYA
DALAM BISNIS
PERSAMAAN NON LINEARPersamaan non linear merupakan model persamaan yang tidak kalah
pentingnya dibandingkan dengan persamaan linear dalam penerapan ekonomi. Tidak sedikit hubungan antarvariabel ekonomi lebih realistik dan rasional jika diterangkan dengan menggunakan model persamaan non linear.
Terdapat beberapa macam model persamaan non linear. Namun, model yang paling sering digunakan dalam analisis ekonomi adalah model persamaan kuadrat dan persamaan kubik.
Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah y = ax2 + bx + c, dimana a ≠ nol.
Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga. Bentuk umum persamaan kubik adalah y = ax3 + bx2 + cx + d, dimana a ≠ nol.
PENERAPAN PERSAMAAN NON LINEAR DALAM BISNISPERMINTAAN, PENAWARAN DAN KESEIMBANGAN PASAR
Selain berbentuk fungsi linear, permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk fungsi non linear. Cara menganalisis keseimbangan pasar untuk permintaan dan penawaran non linear sama seperti halnya pada kasus linear. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs pada perpotongan antara kurva permintaan dan penawaran.
Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama seperti pada kondisi linear. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit, sedangkan subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.
32
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalFungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 19 – P2
sedangkan fungsi penawarannya Qs = - 8 + 2P2. Tentukan:
a. Harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar?b. Harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar jika
barang dikenakan pajak 1 rupiah per unit?Penyelesaiana. Qd = Qs
19 – P2 = -8 + 2P2
19 + 8 = 2P2 + P 2 27 = 3P2
P2 = 9 P = 9 = 3 Jika nilai P = 3, maka Q = 19 – P2 = 19 – (3)2 = 10
Jadi keseimbangan tercipta di pasar pada harga 3 rupiah dan 10 unit barang.
b. Jika dikenakan pajak sebesar t = 1, maka:Fungsi penawaran setelah pajak Q s = - 8 + 2( P – t ) 2
Q s = - 8 + 2( P – 1) 2 Q s = - 8 + 2( P2 – 2P + 1 ) Q s = - 8 + 2P 2 – 4P + 2 Q s = 2P 2 – 4P - 6
Titik keseimbangan setelah kena pajak Qd = Qs
19 – P2 = 2P2 – 4P - 6 = 2P2 + P2 – 4P – 6 – 19 = 3 P2 – 4P – 25
Untuk mencari nilai P gunakan rumus abc
X 12 =
−b±√b2−4 ac2 a
P12 =
4±√(−4 )2−4(3 )(−25 )2(3)
33
=
4±√16+3006
=
4±√3166
=
4±17 , 786
P1 =
4+17 ,786 = 3,63 (yang dipilih)
P2 =
4−17 , 786 = - 2,2967
Q d = 19 – P 2 = 19 – (3,63)2 = 19 – 13,1769 = 5,8231 ¿ 6Jadi harga keseimbangan setelah pajak menjadi Rp. 3,63 dan jumlah permintaan setelah pajak menjadi 6 unit.
SOAL LATIHANFungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 24 – P2
sedangkan fungsi penawarannya Qs = - 24 + 2P2. Tentukan:
a. Harga keseimbangan yang tercipta di pasar?b. Jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar?c. Harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar jika barang
dikenakan pajak 1 rupiah per unit?d. Harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar jika barang
dikenakan subsidi 1 rupiah per unit?
34
PERTEMUAN 10PERSAMAAN NON LINEAR DAN PENERAPANNYA
DALAM BISNIS
FUNGSI BIAYATerdapat beberapa konsep biaya yang harus diketahui untuk membahas
mengenai penerapan fungsi biaya dalam bisnis. Berikut ini adalah beberapa konsep biaya tersebut.1. Biaya Tetap (FC) = k atau konstanta2. Biaya Variabel (VC) = f (Q)3. Biaya Total (C) = FC + VC = k + f (Q)
4. Biaya tetap rata-rata (AFC) = FCQ
5. Biaya variabel rata-rata (AVC) = VCQ
6. Biaya total rata-rata (AC) = CQ = AFC + AVC
7. Biaya Marginal (MC) = ∆ C∆ Q
Bentuk non linier dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabola dan fungsi kubik. Fungsi biaya bentuk kuadrat parabola
C = aQ2 – bQ + c VC FC
Fungsi biaya bentuk kubik C = aQ 3 – bQ 2 + cQ + d
VC FC
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoal
35
Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan ditunjukkan dengan persamaan C = 2Q2 – 24Q + 102. Tentukan:a. Tingkat produksi pada biaya total minimum?b. Biaya total minimum?c. Biaya tetap, biaya variabel, biaya tetap rata-rata, biaya variabel rata-rata
dan biaya total rata-rata pada tingkat produksi minimum?d. Jika produksi dinaikkan sebesar 1 unit, berapa besar biaya marginal?Penyelesaiana. Biaya total dan harga minimum pada bentuk kuadrat parabola terletak pada
titik ekstrim parabolaTitik ekstrim parabola (Q,C)
Q pada C minimum =
−b2 a =
−(−24 )2(2 ) =
244 = 6 unit
Jadi biaya total minimum dapat diperoleh ketika tingkat produksi 6 unit.b. C (biaya total) minimum = 2Q2 – 24Q +102
= 2 (6)2 – 24(6) + 102 = 30
c. Pada Q = 6, maka:FC = 102
VC = 2Q 2 – 24Q = 2(6)2 – 24(6) = -72
AFC = FCQ
=¿ 1026 = 17
AVC = VCQ
=−726 = -12
AC = AFC +AVC = 17 + (-12) = 5d. Q ditambah 1 unit menjadi 7 unit
C = 2Q2 – 24Q +102 = 2(7)2 – 24(7) + 102 = 32
MC = ∆ C∆ Q =
32−307−6 = 2
Jadi untuk menaikkan produksi dari 6 unit menjadi 7 unit diperlukan biaya tambahan sebesar 2.
36
(−b2 a ), (b2−4ac
−4 a )
FUNGSI PENERIMAANBentuk non linier dari fungsi penerimaan pada umumnya berupa
parabola menghadap ke bawah dan hal ini terjadi di pasar monopoli. Terdapat beberapa konsep penerimaan yang harus diketahui untuk membahas mengenai penerapan fungsi penerimaan dalam bisnis. Berikut ini adalah beberapa konsep penerimaan tersebut.1. Penerimaan total (R) = Q X P = f (Q)
2. Penerimaan rata-rata (AR) = RQ
3. Penerimaan marjinal (MR) = ∆ R∆ Q
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalFungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 900 – 1,5Q. Tentukan:a. Persamaan penerimaan total?b. Besar penerimaan total jika barang terjual 200 unit dan berapa harga jual
per unit?c. Penerimaan marjinal jika penjualan meningkat menjadi 250 unit?d. Tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum dan
besarnya penerimaan total maksimum tersebut?Penyelesaiana. R = P x Q
= (900 – 1,5Q) x Q = 900Q – 1,5Q2
b. R = 900Q – 1,5Q2
= 900 (200) – 1,5(200)2
= 120000
AR = RQ =
120000200 = 600
c. R2 = 900Q – 1,5Q2
= 900 (250) – 1,5(250)2
= 131250
MR = ∆ R∆ Q =
131250−120000250−200 = 225
d. R maksimum pada saat Q = −b2 a =
−9002(−1,5) = 300
37
e. R maksimum = 900Q – 1,5Q2
= 900 (300) – 1,5(300)2
= 135000
KEUNTUNGAN DAN KERUGIANBesar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih
positif antara R dan C. Namun, tidak selalu R maksimum dan C minimum menghasilkan keuntungan maksimum.
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoal
Penerimaan total yang diperoleh perusahaan ditunjukkan oleh persamaan R = -0,10Q2 + 20Q, sedangkan persamaan biaya total C = 0,25Q3 – 3Q2 + 7Q + 20. Hitunglah profit perusahaan jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit. Penyelesaianπ = R – C = (-0,10Q2 + 20Q) – (0,25Q3 – 3Q2 + 7Q + 20) = -0,25Q3 + 2,9Q2 + 13Q – 20Q = 10; π = -0,25Q3 + 2,9Q2 + 13Q – 20 = -0,25(10)3 + 2,9(10)2 + 13(10) – 20 = 150 (keuntungan)Q = 20; π = -0,25Q3 + 2,9Q2 + 13Q – 20 = -0,25(20)3 + 2,9(20)2 + 13(20) – 20 = -600 (kerugian)
SOAL LATIHANSoal 1Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan ditunjukkan dengan persamaan C = 2Q2 – 48Q + 360. Tentukan:a. Tingkat produksi pada biaya total minimum?b. Biaya total minimum?c. Biaya tetap, biaya variabel, biaya tetap rata-rata, biaya variabel rata-rata
dan biaya total rata-rata pada tingkat produksi minimum?
38
d. Jika produksi dinaikkan sebesar 1 unit, berapa besar biaya marginal?Soal 2Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 800 – 2Q. Tentukan:a. Persamaan penerimaan total?b. Besar penerimaan total jika barang terjual 100 unit dan berapa harga jual
per unit?c. Penerimaan marjinal jika penjualan meningkat menjadi 150 unit?d. Tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum dan
besarnya penerimaan total maksimum tersebut?Soal 3
Penerimaan total yang diperoleh perusahaan ditunjukkan oleh persamaan R = -2Q2 + 800Q, sedangkan persamaan biaya total C = 2Q2 - 48Q + 360. Hitunglah profit perusahaan jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 20 unit?
39
PERTEMUAN 11DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi, sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Diferensial dapat juga digunakan untuk mempelajari titik maksimum, titik minimum, dan titik belok. Oleh karena itu diferensial merupakan salah satu alat analisis yang penting dalam bisnis dan ekonomi.Jika diketahui fungsi asli y = f(x), maka diferensiasi/turunannya dapat
dituliskan dengan notasi
dydx atau y 1 atau f 1 (x).
KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIASIKaidah-kaidah yang dapat digunakan untuk menurunkan berbagai
bentuk fungsi tertentu adalah sebagai berikut ini.1. Diferensiasi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka
dydx = 0
Contoh y = 10, maka d y
d x
= 0
2. Diferensiasi fungsi pangkat
40
Jika y = x n, dimana n adalah konstanta, maka
dydx = n x n-1
Contoh y = x5, maka d y
d x
= 5x 5-1 = 5x4
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
Jika y = kv, dimana v = h (x), maka
dydx = k
dvdx
Contoh y = 7x2, maka
d y
d x
= 7(2x) = 14x
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi
Jika y =
kv , dimana v = h (x), maka
dydx =
−k
dvdx
v2
Contoh y =7
x3 , maka d y
d x
=−7 (3 x2)
¿¿ Type equation here .
5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi
Jika y = u ± v, di mana u = g(x) dan v = h (x), maka dydx
=dudx
±dvdx
Contoh y = 5x 2 + 2 x3 , maka d y
d x
= 10x + 6x2
6. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika y = uv, dimana u = g (x) dan v = h (x), maka
dydx = u
dv
dx
±
v
du
dx
41
Contoh y = 4x3 (x2), maka d y
d x
= 4x3(2x) + x2(4(3x2))
= 8x4 + 12x 4 = 20x4
7. Diferensiasi pembagian fungsi
Jika y = uv , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka d y
d x
=
v du
d x
−ud v
d x
v2
Contoh y = 5 x3
x4 , maka
d y
d x
= x4 ¿¿
= x4 ( 15 x2 )−20 x6
x8❑
=15 x6−20 x6
x8❑
= −5 x6
x8 =−5 x−2
8. Diferensiasi fungsi komposit Jika y = f(u), sedangkan u = g(x), dengan kata lain y = f {g(x)}, maka
dydx =
dydu .
dudx
Contoh y = (5x3 + 5)2, maka d y
d x
= 2(5x3 + 5)(15x2)
= (10x3 + 10)(15x2) = 150x 5 + 150 x 2
9. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = un, dimana u = g (x), maka
dydx = nu n – 1.
du
dx
Contoh y = (6x3 + 4)2, maka
d y
d x
= 2(6x3 + 4).18x2
= (12x3 + 8).18x2 = 216x5 + 144x2
SOAL LATIHAN
1. y = 6
x62. y = 2x3 – 4x2 + 7x + 53. y = 9 – 3x-1 + 6x-2
42
4. y = (x2 - 4)(2x - 6)5. y = (3x2 - x)(2 + x-1)
6. y = x2−42 x−6
7. y = (3x2 - x)(5x + 2)8. y = (5x + 12 – 2x-1)3
PERTEMUAN 12PENERAPAN DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
DALAM BISNIS
ELASTISITAS PERMINTAANElastisitas permintaan adalah perubahan persentase jumlah barang yang
diminta oleh konsumen akibat adanya perubahan persentase dari harga barang itu sendiri. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd=f ( P ) , maka elastisitas permintaannya:
Ed=dQd
dP.
PQd
; dimana dQdP
=Q 'd=f '(P) dan jika:
│Ed│> 1, maka permintaan suatu barang dikatakan elastis terhadap harga│Ed│< 1, maka permintaan suatu barang dikatakan inelastis terhadap harga │Ed│= 1, maka permintaan suatu barang dikatakan uniter terhadap harga
Barang yang permintaannya elastis mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalFungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 24 – 3P2. Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 4.Penyelesaian
Qd = 24 – 3P2 ; maka Ed=Q 'd .P
Qd
Q’d = -6P = -6P. P
24−3 P2
= -6(4). 4
24−3(42)
= -24.4
24−48 = 4
Ed = 4 berarti pada kedudukan P = 4, jika harga naik (turun)sebesar 1% maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebesar 4%.
43
ELASTISITAS PENAWARANElastisitas penawaran adalah perubahan persentase jumlah barang yang
ditawarkan oleh produsen akibat adanya perubahan persentase dari harga barang itu sendiri. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs=f (P), maka elastisitas penawarannya:
E s=d Q s
dP.
PQ s
; dimana d Q s
dP=Q' s= f ' (P) dan jika:
│E s│> 1, maka penawaran suatu barang dikatakan elastis terhadap harga│E s│< 1, maka penawaran suatu barang dikatakan inelastis terhadap harga │E s│= 1, maka penawaran suatu barang dikatakan uniter terhadap harga
Barang yang penawarannya inelastis mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka penawaran terhadapnya akan berubah (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya.
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalFungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = 25 + 3P2. Tentukan elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 5.Penyelesaian
Qs = 25 + 3P2 ; maka E s=Q 's .PQ s
Q’s = 6P = 6P. P
25+3 P2
= 6(5). 5
25+3(52)
= 30.5
25+75 = 1,5
Es = 1,5 berarti pada kedudukan P = 5, jika harga naik (turun)sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebesar 1,5%.
ELASTISITAS PRODUKSIElastisitas produksi adalah perubahan persentase jumlah output yang
44
dihasilkan akibat adanya perubahan persentase jumlah input yang digunakan. Jika fungsi produksinya dinyatakan dengan Y ¿ f (X ), dimana Y melambangkan jumlah produksi yang dihasilkan dan X melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, maka elastisitas produksinya:
E=dYdX
.XY
; dimana dYdX
=Y '=f ' (X )
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalFungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Y = 6X2 - X3. Tentukan elastisitas produksi pada tingkat penggunaan faktor produksi X = 3 unit.Penyelesaian
Y = 6X2 – X3 ; maka E=Y ' .XY
Y’ = 12X – 3X2 = (12X – 3X2). X
6 X2−X3
= (12(3) – 3(3)3). 3
6(32)−33
= (36 – 27).3
(54−27) = 1
E = 1 berarti pada kedudukan X = 3, jika jumlah faktor produksi yang digunakan naik (turun) sebesar 1%, maka jumlah produksi yang dihasilkan akan bertambah (berkurang) sebesar 1%.
SOAL LATIHANSoal 1Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 27 – 3P2. Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 9 serta tentukan jenis elastisitasnya.Soal 2Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = 45 + 9P2. Tentukan elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 5 serta tentukan jenis elastisitasnya.Soal 3Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Y = 8X2 - 2X3. Tentukan elastisitas produksi pada tingkat penggunaan faktor produksi X = 2 unit.
45
PERTEMUAN 13PENERAPAN DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
DALAM BISNIS
BIAYA MARJINALBiaya marjinal (MC) adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk
menghasilkan satu unit tambahan produk. Fungsi biaya marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total.
Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f(Q) di mana C adalah biaya total dan Q adalah jumlah produk, maka biaya marjinalnya:
MC = C’ = dCdQ
Biaya total minimum apabila C’ = MC = 0 dan C” > 0
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalBiaya total yang dikeluarkan perusahaan mengikuti persamaan C = Q3 – 12Q2
+ 36Q + 1000. Tentukan:a. Fungsi biaya marjinalnyab. Tingkat produksi ketika biaya total minimumc. Besarnya biaya total minimumPenyelesaian
a. MC = C’ = dCdQ
= 3Q2 – 24Q + 36b. MC = 0
3Q2 – 24Q + 36 = 0 Q2 – 8Q + 12 = 0 (Q – 2)(Q - 6) = 0
Q = 2 atau Q = 6C” > 0C” = 6Q – 24 = 6(2) – 24 = -12 < 0C” = 6Q – 24 = 6 (6) – 24 = 12 > 0
Jadi biaya total minimum terjadi pada tingkat produksi sebesar 6 unit.
46
c. C = Q3 – 12Q2 + 36Q + 1000 = (6)3 – 12(6)2 + 36(6) + 1000 = 216 – 432 + 216 + 1000 = 1000
Jadi besar biaya total minimum = 1000
PENERIMAAN MARJINALPenerimaan marjinal (MR) adalah penerimaan tambahan yang
diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit tambahan keluaran yang diproduksi atau terjual. Fungsi penerimaan marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total.
Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f(Q) di mana R adalah penerimaan total dan Q adalah jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya:
MR = R’ = dRdQ
Penerimaan total maksimum jika R’ = MR = 0 dan R” < 0.
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalPermintaan suatu barang mengikuti persamaan P = 1000 – 50Q. Tentukan:a. Fungsi penerimaan marjinalnyab. Jumlah produksi ketika penerimaan total maksimumc. Besarnya penerimaan total maksimum tersebut.Penyelesaiana. Penerimaan total = R = P.Q
= (1000 – 50Q)(Q) = 1000Q – 50Q2
MR = R’ = dRdQ
= 1000 – 100Qb. MR = 0
1000 – 100Q = 0 100Q = 1000 Q = 10Jadi penerimaan total maksimum terjadi pada tingkat produksi sebesar 10 unit.
47
c. R = 1000Q – 50Q2
= 1000(10) – 50(10)2
= 10000 - 5000 = 5000Jadi besarnya penerimaan total maksimum = 5000.
SOAL LATIHANSoal 1Biaya total yang dikeluarkan perusahaan mengikuti persamaan C = Q3 – 9Q2
+ 24Q + 500. Tentukan:a. Fungsi biaya marjinalnyab. Tingkat produksi ketika biaya total minimumc. Besarnya biaya total minimumSoal 2Permintaan suatu barang mengikuti persamaan P = 4000 – 80Q. Tentukan:a. Fungsi penerimaan marjinalnyab. Jumlah produksi ketika penerimaan total maksimumc. Besarnya penerimaan total maksimum tersebut.Soal 3Permintaan suatu barang mengikuti persamaan P = 3500 – 75Q. Tentukan:a. Fungsi penerimaan marjinalnyab. Jumlah produksi ketika penerimaan total maksimumc. Besarnya penerimaan total maksimum tersebut.
48
PERTEMUAN 14PENERAPAN DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
DALAM BISNIS
UTILITAS MARJINALUtilitas Marjinal (MU) adalah utilitas tambahan yang diperoleh
konsumen berkenaan satu unit tambahan barang yang dikonsumsinya. Fungsi utilitas marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi utilitas total.
Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f(Q) dimana U adalah utilitas total dan Q adalah jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya:
MU = U’ = dUdQ
Utilitas total maksimum jika U’ = MU = 0 dan U” < 0.
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalUtilitas total barang mengikuti persamaan U = 90Q – 5Q2. Tentukan:a. Fungsi utilitas marjinalnyab. Jumlah barang yang dikonsumsi ketika utilitas total maksimumc. Besarnya utilitas total maksimum tersebut.Penyelesaian
a. MU = U’ = dUdQ
= 90 – 10Qb. MU = 0
90 – 10Q = 0 10Q = 90 Q = 9
49
Jadi utilitas total maksimum terjadi ketika jumlah barang yang dikonsumsi adalah 9 unit.
c. U = 90Q – 5Q2
= 90(9) – 5(9)2
= 405Jadi besarnya utilitas total maksimum = 405.
PRODUK MARJINALProduk Marjinal (MP) adalah produk tambahan yang dihasilkan dari
satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Fungsi produk marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi produk total.
Jika fungsi produk total dinyatakan dengan P = f(X) dimana P adalah jumlah produk total dan X adalah jumlah masukan, maka produk marjinalnya:
MP = P’ = dPdX
Produk total maksimum jika P’ = MP = 0 dan P” < 0.
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalProduk total barang mengikuti persamaan P = 9X2 – X3. Tentukan:a. Fungsi produk marjinalnyab. Jumlah masukkan ketika produk total maksimumc. Besarnya produk total maksimum tersebut.Penyelesaian
a. MP = P’ = dPdX
= 18X – 3X2
b. MP = 018X – 3X2 = 0 3X2 = 18X X2 = 6X X = 6Jadi produk total maksimum terjadi ketika jumlah masukkan adalah 6 unit.
c. P = 9X2 – X3
= 9(6)2 – (6)3
= 324 -216 = 108
50
Jadi besarnya produk total maksimum = 108.
SOAL LATIHANSoal 1Utilitas total barang mengikuti persamaan U = 180Q – 5Q2. Tentukan:a. Fungsi utilitas marjinalnyab. Jumlah barang yang dikonsumsi ketika utilitas total maksimumc. Besarnya utilitas total maksimum tersebut
Soal 2Produk total barang mengikuti persamaan P = 12X2 – X3. Tentukan:a. Fungsi produk marjinalnyab. Jumlah masukkan ketika produk total maksimumc. Besarnya produk total maksimum tersebut.Soal 3Produk total barang mengikuti persamaan P = 15X2 – 2X3. Tentukan:a. Fungsi produk marjinalnyab. Jumlah masukkan ketika produk total maksimumc. Besarnya produk total maksimum tersebut.
51
PERTEMUAN 15PENERAPAN DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
ANALISIS LABA MAKSIMUMKonsep diferensiasi dapat digunakan untuk menganalisis laba
maksimum yang mungkin diperoleh perusahaan. Laba perusahaan dapat ditentukan sebagai berikut.
π = R – C = f(Q); R = penerimaan total C = biaya total
Laba maksimum dapat diperoleh apabila: π’ = 0 atau MR =MC
π” < 0
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANSoalJika diketahui fungsi penerimaan total R = -2Q2 + 1000Q dan fungsi biaya total C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000. Tentukan:a. Fungsi laba (π);b. Jumlah produksi untuk menghasilkan laba maksimum;c. laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan!Penyelesaian a. π = R – C
= (-2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000) = -Q3 + 57Q2 - 315Q – 2000
b. π’ = 0-3Q2 + 114Q – 315 = 0-Q2 + 38Q – 105 = 0(-Q + 3)(Q – 35) = 0, diperoleh Q1 = 3 dan Q2 = 35
52
Π” < 0-6Q + 114 < 0
Jika Q1 = 3; -6(3) + 114 = 96 > 0Jika Q2 = 35; -6(35) + 114 = -96 < 0Jadi laba maksimum dapat dihasilkan pada tingkat produksi 35 unit.
c. π’ = - Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000 = - (35)3 - 59(35)2 – 1315(35) + 2000 = 13.925
SOAL LATIHAN Soal 1Jika diketahui fungsi penerimaan total R = -2Q2 + 100Q dan fungsi biaya total
C = 13Q3 – 10Q2 + 20Q + 100. Tentukan:
a. Fungsi laba (π);b. Jumlah produksi untuk menghasilkan laba maksimum;c. laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan.Soal 2Jika diketahui fungsi penerimaan total R = -0,2Q2 + 557Q dan fungsi biaya total C = 0,05Q3 – 0,2Q2 + 17Q + 7000. Tentukan:a. Fungsi laba (π);b. Jumlah produksi untuk menghasilkan laba maksimum;c. laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan.Soal 3Jika diketahui fungsi penerimaan total R = -5Q2 + 28Q dan fungsi biaya total C = Q2 + 4Q. Tentukan:a. Fungsi laba (π);b. Jumlah produksi untuk menghasilkan laba maksimum;c. laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan.
53
DAFTAR PUSTAKA
Dumairy. 2012. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE.
Sarjono, H. dan L. Sanny. 2012. Aplikasi Matematika untuk Bisnis dan Manajemen. Jakarta: Salemba Empat.
Sihotang, J. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: Graha Ilmu.Supranto, J. 1987. Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: FEUI.
54
