LOI DE PARETO Introduction aux PROBABILITES et STATISTIQUES
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INTRODUCTION Lutilisation des probabilits et statistiques est
ancestrale. Les premiers concepts simples des probabilits, lis au
hasard, sont apparus ds lantiquit : jeux de hasard, divination,
sortilges, Mthode de dcision : il tait un petit navire Les activits
humaines sont pratiquement toutes affectes par le hasard : Un
accident Le temps quil fait Une maladie quon attrape au mauvais
moment Un mouvement inattendu de la bourse, Tirage au sort dune
quipe de foot, sont des exemples courants. 2
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Les premiers concepts des statistiques sont ns du besoin de
rpertorier lensemble de la population. Mesures des rcoltes
Recensement de la population, des armes Dans les socits actuelles
les statistiques sont quasi-prsentes : dmographie Politique
(lections) mdecine Consommation 3
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PROBABILITES DEFINITIONS La probabilit (du latin probabilitas)
est une valuation du caractre probable dun vnement. Le mot probable
signifie qui peut se produire dans le cas de futures ventualits, ou
- certainement vrai , vraisemblable . La probabilit est une des
thories mathmatiques utilise pour dcrire et quantifier lincertain.
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DEFINITION CLASSIQUE HISTORIQUE La probabilit dun vnement tait
dfinie comme le nombre de cas favorables pour lvnement, divis par
le nombre total dissues possibles lexprience alatoire. Par exemple
on a une probabilit de dobtenir un nombre pair en lanant un d non
pip. 5
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DEFINITION RIGOUREUSE MODERNE tant donn un espace
probabilisable ( ; A ), on appelle probabilit sur ( ; A ) toute
application P : A IR satisfaisant aux trois axiomes suivants : -
Axiome (1) : A A, P(A) 0. - Axiome (2) : P( ) = 1. - Axiome (3) :
Pour toute suite (An) d'lments deux deux disjoints, P( U An) =
P(An) (additivit) 6
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PROBABILITES - ORIGINE Les probabilits sont nes du dsir de
prvoir limprvisible ou de quantifier lincertain. Cest en cherchant
rsoudre des problmes poss par les jeux de hasard que les
mathmaticiens donnent naissance aux probabilits. Les jeux de hasard
motivrent depuis la nuit des temps et jusque de nos jours lintrt
destimer aussi prcisment que possible une probabilit. 7
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HASARD De larabe AZ-ZAHR, dsigne jeu de ds , transform en
espagnol AZAR d jouer (12 me sicle) vnement non prvisible sans
cause apparente ALEATOIRE Du latin ALEA jeu de ds (1596)
Imprvisible, li au hasard. 8
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JEUX DE HASARD ANCIENS (Asie et Orient) Jeu de lastragale jeu
du senet jeu du passage, pratiqu en Egypte 3000 ans av J-C Jeux de
ds en Grce et Rome Jeu des osselets chez les grecs Jeu des talus
chez les romains 9
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EVOLUTION Les archologues ont montr la prsence et pratiques de
ces jeux dans les socits antiques mais nont trouv nulle trace de
leur tude. Les premiers calculs de probabilit tudes sur la rgularit
dapparition de certaines squences dans les jeux de hasard par des
mathmaticiens italiens de la Renaissance GEROLAMO CARDANO
GALILEELUCA PACIOLI (1501-1576)(1564-1642) (1445-1517) 10
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Le jeu de passe-dix (Cardano) Pourquoi, alors que 9 et 10
scrivent dautant de faon diffrentes (6) comme somme de 3 ds, a-t-on
plus de chances dobtenir 10 que 9 en lanant trois ds ? 11
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: Chevalier de MR soumet 2 problmes PASCAL LE PROBLEME DU
DOUBLE-SIX Est-il plus probable dobtenir au moins un six lors de 4
lancers dun seul d quau moins un double-six lors de 24 lancers de
deux ds ? LE PROBLEME DES PARTIS Comment rpartir les mises de
manire quitable entre participants dun jeu de hasard lors dune
interruption prmature de la partie ? 12
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SOLUTIONS PAR PASCAL ET FERMAT Une correspondance a lieu entre
PASCAL et FERMAT Blaise PASCAL Pierre de FERMAT (1623-1662) (
1610-1665) PASCAL a finalement trouv la solution du problme mais
ncrira jamais de trait sur le sujet Synthse des rsultats du calcul
des probabilits tablie par HUYGENS lors de la publication dun trait
en 1657 TRAITE SUR LES RAISONNEMENTS DANS LE JEU DE DES Christian
de HUYGENS (1629-1695) 13
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Jacques BERNOUILLI LOI DES GRANDS NOMBRES (1654-1705) Abraham
de MOIVRE CONVERGENCE VERS LOI GAUSSIENNE (1668-1754) Pierre-Simon
de LAPLACE (1749-1827) TRAITE ANALYTIQUE DES PROBABILITES Ande
KOLMOGOROV AXIOMATISATION DU CALCUL DES PROBABILITES (1903-1987)
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STATISTIQUES DEFINITION La statistique est la fois une science
formelle, une mthode et une technique. Elle comprend la collecte,
l'analyse, l'interprtation de donnes ainsi que la prsentation de
ces ressources. Ce domaine des mathmatiques ne doit pas tre
confondu avec une statistique qui est un nombre calcul partir
d'observations. 15
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ORIGINE ET EVOLUTION 1 re poque LES RECENSEMENTS : POPULATION :
Il y a plus de 2000 ans, les peuples sentaient le besoin de
rpertorier lensemble de leur population. RECOLTES : la Chine
recensait ses productions agricoles 2238 ans avant J.C CADASTRE :
lEgypte tablie son institution du cadastre et du cens 1700 ans
avant J.C ARMEMEMT : les grands empires de lpoque ralisaient des
enqutes afin de rpertorier leur armes et afficher leur puissance.
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2 me poque DEVELOPPEMENT DE LA METHODE STATISTIQUE Le
dveloppement des mathmatiques des 18me et 19me sicles a ouvert une
voie nouvelle pour la statistique. FERMAT et PASCAL Prcurseurs des
statistiques actuelles Karl Friedrich GAUSS (1777-1855) LA LOI
NORMALE DES STATISTIQUES ACTUELLES Thomas BAYES (1702-1761) LA
REGLE DE BAYES trs utilise en classification automatique Florence
NIGHTINGALE (1820-1910) Premire utilisation des statistiques dans
les mdias 17
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Notre poque : LERE DES ORDINATEURS SYSTEMATISATION DES ETUDES
STATISTIQUES Dans le domaine industriel Dans le domaine politique
DEMOCRATISATION DES ETUDES STATISTIQUES Associations particuliers
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QUELQUES APPLICATIONS DES PROBABILITES ET STATISTIQUES
GEOPHYSIQUE, pour les prvisions mtorologiques,mtorologiques la
climatologie,climatologie la pollution,pollution les tudes des
rivires et des ocans ;riviresocans DEMOGRAPHIE : le recensement
permet de fairerecensement une photographie un instant donn d'une
population et permettrapopulation par la suite des sondages dans
des chantillons reprsentatifs ; 19
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SCIENCES ECONOMIQUES et SOCIALES, en conomtrie : l'tude du
comportement d'un groupe de population ou d'un secteur conomique
s'appuie sur des statistiques. C'est dans cette direction que
travaille l'INSEE.conomtriesecteur conomiqueINSEE Les questions
environnementales s'appuient galement sur des donnes statistiques
;donnes 20
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SOCIOLOGIE : les sources statistiques constituent des matriaux
d'enqute, et les mthodes statistiques sont utilises comme
techniques de traitement des donnes ;donnes MARKETING : le sondage
d'opinion devient un outilsondage d'opinion pour la dcision ou
l'investissement ;dcisioninvestissement METROLOGIE, pour tout ce
qui concerne les systmes de mesure et les mesures elles-mmes ;
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PHYSIQUE : l'tude de la mcanique statistique et de la
thermodynamique statistique, permet de dduire du comportement de
particules individuelles un comportement global (passage du
microscopique au macroscopique) ; 22 Tambour tournant contenant
13000 billes dacier. Ce dispositif ralise un coulement stable de
matire granulaire qui est analys par une camra rapide (D. Bonamy
SPEC).
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MEDECINE ET PSYCHOLOGIE, tant pour le comportement des
maladiesmaladies que leur frquence ou la validit d'un traitement ou
d'un dpistage ; ARCHEOLOGIE, applique aux vestiges (cramologie...)
ECOLOGIE, pour l'tude des communauts vgtales et des cosystmes.
ASSURANCE et FINANCE (calcul des risques,...) 23
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LOI DE PARETO LAUTEUR Vilfredo Pareto, italien (1848-1923)
Physicien, sociologue et conomiste. Spcialiste de llasticit des
corps solides, il sintressa aux statistiques et tablit des lois
mathmatiques rgissant certains phnomnes conomiques (conomtrie),
voire sociaux. 24
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DECOUVERTE ET EVOLUTION DE LA LOI DE PARETO Pareto a dcouvert
vers 1875 la distribution en tudiant la rpartition des revenus des
familles en Suisse. Il tait communment admis qu'il y a plus de
familles avec un bas revenu que de familles avec un revenu lev et
lobservation factuelle confirmait cette ide. Ce qui tait moins
connu cest que ces distributions ont une forme trs rgulire. Daprs
ses tudes, 80% des revenus dune socit vont vers 20% de la
population. 25
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Au vue de limportance des donnes, il regroupa ses observations
en utilisant le papier graphique Log-Log afin de condenser les
chelles et de pouvoir reprsenter toutes les valeurs sur un mme
diagramme. 26 La ligne droite, en chelle logarithmique, sur une
partie du graphique se prte aux calculs mathmatiques faciles.
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Y = A X + B Dans laquelle grand X est le logarithme du niveau
de revenu petit x, et grand Y est le logarithme du nombre de
personnes ayant un revenu petit x ce qui vite la notation lourde :
Log( y ) = A log (x) + B Cette forme de droite est trs
reconnaissable et permet dorienter les recherches ultrieures. Elle
permet aussi l'interpolation de valeurs intermdiaires absentes,
l'valuation de valeurs pour des limites de classe de taille
diffrentes, etc. 27
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DR JOSEPH JURAN, pionnier en matire de gestion de qualit,
labore ce principe dans les annes 1940 et dcouvre quil pouvait
sappliquer universellement. 19042008 Ce principe est alors nomm Loi
de Pareto 28
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ESTIMATION JOINTE DANS LA LOI DE PARETO recherche dun
estimateur joint du couple des paramtres de la loi de Pareto et
tude de la consistance faible et forte de cet estimateur 29
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GENERALISATION DE LA LOI 31
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ESTIMATEURS DES PARAMETRES 32
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ESTIMATEURS DES PARAMETRES 34
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THEOREMES 36
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THEOREMES 37
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THEOREMES 38
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SIMULATIONS 40
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SIMULATIONS 41
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SIMULATIONS 42
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SIMULATIONS 43
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EXPERIMENTATION Exprimentation des rsultats : En ptrochimie
Biologie Economie 44
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DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI GENERAL : 20% des causes
provoquent 80% des effets ; 20% des problmes reprsentent 80% des
proccupations ; 45
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DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI ACCOMPLISSEMENT : 20% des
facteurs influent sur 80% des objectifs ; 20% des moyens permettent
d'atteindre 80% des objectifs ; 20% du temps de travail suffit
accomplir 80% d'une tche ; 20% du personnel assure 80% du travail ;
20% de votre activit fournit 80% de vos rsultats ; 80%
d'accomplissement d'une mise au point ncessite 20% de l'effort en
gestion de projets ; 80% d'une production rsulte de 20% de
l'investissement qui lui a t consacr ; 46
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DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI RESSOURCES : 20% des gens
possdent 80% des richesses ; 20% de la population mondiale a accs
80% de l'eau potable ; 20% des salaris peroivent 80% de la masse
salariale ; 20% de la population mondiale tire profit de 80% des
ressources globales de la plante ; 47
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DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI COMMERCE : 20% des produits
reprsentent 80% du chiffre d'affaires ; 20% des ventes reprsentent
80% de la marge bnficiaire ; 20% de l'inventaire reprsente 80% de
la valeur du stock ; 20% des fournisseurs reprsentent 80% du volume
d'achat total ; 20% des entreprises ralisent 80% du PIB ; 80% du
chiffre d'affaires est ralis avec seulement 20% des clients ; 80%
du chiffre d'affaires est ralis par 20% des commerciaux ; 48 20% de
nos activits produisent 80% des rsultats
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DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI DEFAILLANCES : 20% des clients
sont l'origine de 80% des rclamations ; 20% du personnel est
concern par 80% des accidents du travail ; 20% des dfaillances de
production sont l'origine de 80% des dfauts des produits ; 20% des
dfauts du matriel sont l'origine de 80% des dfaillances
l'utilisation ; 20% des automobilistes causent 80% des accidents ;
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DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI INFORMATION : 20% des
indicateurs fournissent 80% de l'information de gestion ; 20%
seulement des documents archivs apportent 80% de l'information
utile ; 20% des e-mails reus apportent 80% de l'information utile ;
20% des lecteurs lisent 80% des livres vendus ; 20% des mots dans
une langue suffisent pour s'exprimer dans 80% des cas ; 20% des
pages de Wikipdia sont consultes par 80% des Wikinautes ; 50
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DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI CONSOMMATION : 20% de vos
vtements et chaussures sont ports 80% du temps ; 20% des pays
mettent 80% des gaz effet de serre ; 20% des articles psent 80% du
prix total de vos achats ; 51
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DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI ECOLE : 20% des lves produisent
80% des perturbations dans la classe ; 20% des lves d'une classes
font 80% de la participation utile ; 20% des tudiants demandent 80%
de l'nergie de leur enseignant ; 20% du temps d'apprentissage est
consacr 80% de ce quil faut savoir de votre leon ; 52
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DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI SOCIETE : 20% des hommes
politiques dtiennent 80% de l'espace dbat ; 20% des dlinquants
gnrent 80% des dlits ; 80% de l'intelligence humaine est le fruit
de 20% des humains ; 80% de la btise humaine est le produit de 20%
du genre humain ; 20% des dputs font voter 80% des lois ; 20% des
noms de familles sont ports par 80% des habitants ; 20% des
citoyens imposables gnrent 80% de la trsorerie publique ; 53
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DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI INFORMATIQUE : 20% du jeu
d'instructions d'un microprocesseur est utilis 80% du temps de
calcul ; 54
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DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI SPORT : 20% de l'effort
l'entrainement permet d'atteindre 80% de la performance pour un
sportif ; 20% des joueurs de foot marquent 80% des buts ; 55
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DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI EMPLOI DU TEMPS : Vous
consacrez 80% de votre temps 20% de vos activits Vous consacrez 80%
de votre temps libre 20% de vos loisirs 56
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CITATIONS Le vrai gnie rside dans laptitude valuer lincertain,
le hasardeux, les informations conflictuelles. Sir Winston Leonard
Spencer CHURCHILL Il est dans la probabilit que mille choses
arrivent qui sont contraires la probabilit. Henry Louis MENCKEN A
ceux qui lui demandaient quoi servaient les recherches
mathmatiques, Galile rpondait que la gomtrie servait principalement
peser, mesurer et compter : peser les ignorants, mesurer les sots,
et compter les uns et les autres. Jean le Rond dALEMBERT 57
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CITATIONS Il est trs curieux de constater que dans larme, les
statistiques le prouvent, la mortalit augmente bizarrement en temps
de guerre. Alphonse ALLAIS Je ne crois aux statistiques que lorsque
je les ai moi-mme falsifies. Sir Winston Leonard Spencer CHURCHILL
Lhomme a 100% de chances de mourir une fois dans sa vie. Denis
LANGLOIS Les statistiques sont formelles. Ce sont les vieux qui
vivent le plus longtemps. Denis LANGLOIS Le calcul des probabilits,
appliqu la mortalit humaine a donn naissance une science nouvelle :
celle des assurances. Emile de GIRARDIN 58