Geografía y Sistemas de Información Geográfica (GEOSIG). Revista digital del Grupo de Estudios sobre Geografía y Análisis Espacial con Sistemas de Información Geográfica (GESIG). Programa de Estudios Geográficos (PROEG). Universidad Nacional de Luján, Argentina. http://www.gesig-proeg.com.ar (ISSN 1852-8031) LUJÁN, AÑO 2, NÚMERO 2, 2010, SECCIÓN ARTÍCULOS: I PP. 20-53

EL POSITIVISMO, EL EMPIRISMO LÓGICO Y LAS RAMAS DE LA MATEMÁTICA QUE INCIDIERON EN LA GEOGRAFÍA

Darío C. Sánchez

IMHICIHU-CONICET dario.cesar.sánchez@speedy.com.ar

“El sentimiento elemental del orden es, en una palabra, naturalmente inseparable de todas las especulaciones positivas, dirigidas de continuo al descubrimiento de los medios de unión entre observaciones cuyo principal valor resulta de su sistematización”.

August Comte1 “Los principales procedimientos teóricos en ciencia - esto es, comprobar una teoría, proporcionar una explicación para un hecho conocido y predecir un hecho desconocido - traen consigo como componentes esenciales deducción y cálculo; en otras palabras, la aplicación de la lógica y de las matemáticas”.

Rudolf Carnap2 “Lo que dio poder a la ciencia moderna fue la invención del método hipotético - deductivo, el método que construye una explicación en forma de hipótesis matemática de la que se deducen los hechos observados”.

Hans Reichenbach3

LA FILOSOFÍA CIENTÍFICA DEL POSITIVISMO

La filosofía del positivismo engloba, para autores como el panameño Ricaurte Soler4, no sólo al comtismo ortodoxo, sino también al agnosticismo spenceriano y al cientificismo5, entendido éste último como la prolongación metafísica de las tesis y conclusiones

1 COMTE, A. 1998. Discurso sobre el espíritu positivo. Barcelona, Altaya, Grandes Obras del Pensamiento, 98,

p. 77. (Edición original: París, 1844; También: Buenos Aires, Aguilar, 1954. Biblioteca de Iniciación Filosófica, 4.)

2 CARNAP, R. 1975. Fundamentos de lógica y matemáticas. Madrid, Taller de Ediciones Josefina Betancor, p. 13.

3 REICHENBACH, H. 1967. La filosofía científica. México D. F., Fondo de Cultura Económica, 2º edición, p. 111.

4 SOLER, R. 1968. El positivismo argentino. Pensamiento filosófico y sociológico. Buenos Aires, Paidós, Biblioteca América Latina, 12, p. 19.

5 VARSAVSKY, O. 1969. Ciencia, política y cientificismo. Buenos Aires, Centro Editor de América Latina.

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fundamentales de la ciencia6. Por otra parte, entre las fuentes filosóficas del positivismo científico se deben incluir tanto el empirismo como el racionalismo cartesiano7. La vieja tendencia del empirismo había sido redefinida por el filósofo y político inglés Francis Bacon8 (1561-1626), para quien el método científico consistía en un conjunto de reglas para la observación de los fenómenos y la obtención de conclusiones, mientras que la historia era apenas una ciencia de la memoria9. Asimismo, la estrecha asociación entre verdad y experiencia ya había sido considerada en el siglo XVII por el filósofo francés Renato Descartes10 (1596-1650), quien escribió: “siempre abrigué en lo más profundo de mi corazón el deseo behementísimo11 de aprender a distinguir lo verdadero de lo falso”12, y por ello dedicó varios años “al estudio en el libro del mundo, tratando de adquirir cierta experiencia”13. El empirismo y el racionalismo fueron posteriormente amalgamados por los filósofos ilustrados de fines del siglo XVIII y comienzos del siglo XIX. Entre ellos, merece mencionarse el filósofo, historiador y economista escocés David Hume (1711-1776), famoso por sus obras Tratado de la naturaleza humana14 e Investigación sobre el conocimiento humano15. Hume fue considerado un empirista escéptico, ya que únicamente aceptaba como verdadero aquello que podía ser comprobado a partir de la experiencia. De esta manera pretendía asegurar la neutralidad de la ciencia. Otro antecedente importante del positivismo fue la obra del filósofo, político y matemático francés Marie Jean Antoine Caritat (1743-1794), más conocido como Marqués de Condorcet, quien poco antes de envenenarse para no morir en el cadalso escribió Bosquejo de un cuadro histórico de los progresos del espíritu humano16, cuya concepción del progreso repercutiera hondamente en August Comte, así como previamente en figuras patrióticas como Manuel Belgrano.

6 ROMERO, F. 1949. Alejandro Korn. En: Korn, A. Obras completas. Buenos Aires, Claridad, p. 17. 7 RODIS - LEWIS, G. 1971. Descartes y el racionalismo. Barcelona, Oikos - Tau, ¿Qué sé?, 58. 8 BACON, F. 1957. La Nueva Atlántida. Buenos Aires, Aguilar, Biblioteca de Iniciación Filosófica, 65.

BACON, F. 1958. Ensayos. Buenos Aires, Aguilar, Biblioteca de Iniciación Filosófica, 70. BACON, F. 1997. Teoría del cielo. Barcelona, Altaya, Grandes Obras del Pensamiento, 49.

9 KARNEY, H. 1970. Orígenes de la ciencia moderna (1500 - 1700). Madrid, Guadarrama. 10 DESCARTES, R. 1944. Discurso del método. Buenos Aires, Sopena Argentina, p. 30. (También: Buenos

Aires, Aguilar, 1954. Biblioteca de Iniciación Filosófica, 18; Barcelona, Altaya, 1997. Grandes Obras del Pensamiento, 14. Edición original: 1637.) DESCARTES, R. 1957. Meditaciones metafísicas. Buenos Aires, Aguilar, Biblioteca de Iniciación Filosófica, 60. DESCARTES, R. 1959. Las pasiones del alma. Buenos Aires, Aguilar, Biblioteca de Iniciación Filosófica, 86. DESCARTES, R. 1960. Reglas para la dirección de la mente. Buenos Aires, Aguilar, Biblioteca de Iniciación Filosófica, 105.

11 Sic. 12 DESCARTES, R. 1944. Op. cit., p. 30. 13 DESCARTES, R. 1944. Ibídem, p. 31. 14 HUME, D. 1992. Tratado de la naturaleza humana. Madrid, Tecnos. (También: Madrid, Nacional, 1977;

Edición original: Edinburgh, 1739-1740.) 15 HUME, D. 1998. Investigación sobre el conocimiento humano. Barcelona, Altaya, Grandes Obras del

Pensamiento, 57. (También: HUME, D. 1955. Del conocimiento. Buenos Aires, Aguilar, Biblioteca de Iniciación Filosófica, 43.)

16 CONDORCET. 1794. Esquisse d’un tableau historique des progrés de l’espirit humain. París.

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Por otra parte, la famosa obra del economista alemán Johan von Thünen (1783-1850) titulada El Estado aislado17, editada en 1826 y considerada la primera gran expresión del análisis espacial, se anticipó también al positivismo, ya que el francés August Comte (1798-1857), fundador de esta doctrina filosófica, escribió sus Cursos de filosofía positiva18 en seis volúmenes que fueron publicados entre los años 1830 y 1842, y su Discurso sobre el espíritu positivo, un resumen de sus ideas, un tiempo después19. Siguiendo un análisis típicamente historicista, August Comte estudió la evolución intelectual de la humanidad, la cual según él se inició con un estado teológico o ficticio, y tras pasar por un estado metafísico o abstracto alcanzó su punto más alto en el estado positivo o real, que subordina la imaginación a la observación, y aún así alcanza sólo conocimientos imperfectos, relativos, teniendo por destino la previsión racional. En efecto, según August Comte20, “el verdadero espíritu positivo consiste, ante todo, en ver para prever, en estudiar lo que es, a fin de concluir de ello lo que será”21. Como señala Homans, cuanto más capacitados estemos para interpretar lo que ha pasado, más también lo estaremos para predecir lo que ocurrirá. La palabra positivo significaba para Comte real, útil, cierto, preciso, optimista, y la ciencia positiva debía considerarse compatible con el arte y con el sentido común, pero no con la teología. Así, la ciencia positiva se enfrentó desde un principio con la Iglesia Católica, que por aquel entonces todavía añoraba su posición hegemónica respecto al conocimiento científico. Por otra parte, el espíritu positivo conciliaba el orden con el progreso. “El sentimiento elemental del orden es, en una palabra, naturalmente inseparable de todas las especulaciones positivas, dirigidas de continuo al descubrimiento de los medios de unión entre observaciones cuyo principal valor resulta de su sistematización"22. En cuanto al progreso, “este perfeccionamiento consiste esencialmente, sea para el individuo o para la especie, en hacer prevalecer cada vez más los atributos eminentes que distinguen más nuestra humanidad de la mera animalidad; es decir, de un lado, la inteligencia; de otro, la sociabilidad, facultades naturalmente solidarias, que se sirven mutuamente de medio y de fin”23. Respecto a la moral, las ideas de Comte también chocaron con el pensamiento cristiano, ya que para él la moral debía ser independiente de la teología y de la metafísica. La moral teológica, según August Comte, era individualista, egoísta, y en cambio se requería una moral colectiva, porque el espíritu positivo es social: “el hombre propiamente dicho no existe, no puede existir más que la Humanidad, puesto que todo nuestro desarrollo se debe a la 17 THÜNEN, J. H. von 1826. Der isolierte staat in beziehung auf landwirtschaft und nationalökonomie. Rostock.

(2º edición: Jena, 1930.) (Traducción al inglés: The isolated state. Oxford, Pergamon, 1966.) 18 COMTE, A. 1830-1842. Cours de philosophie positive. Paris, Rouen, 6 vv. 19 COMTE, A. 1998. Op. cit. 20 HOMANS, G. C. 1970. La naturaleza de la ciencia social. Buenos Aires, EUDEBA, p. 103. (Original: New

York, Harcourt, Brace and World, 1967.) 21 COMTE, A. 1998. Ibídem, p. 32. 22 COMTE, A. 1998. Op. cit., p. 77. 23 COMTE, A. 1998. Ibídem, p. 78.

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sociedad”24, y “los sentimientos benévolos son los únicos que pueden desarrollarse libremente en el estado social”25. Este espíritu positivo debía difundirse masivamente a través de la educación, lo que implicaba la alianza de los proletarios y los filósofos, así como la necesidad de clasificar y ordenar las ciencias según su dependencia sucesiva, que coincidía con su antigüedad y generalidad decreciente y a la vez con una complejidad creciente. Así, el orden propuesto por Comte para las ciencias fue el siguiente: matemática, astronomía, física, química, biología y sociología, siendo ésta última el único fin esencial de toda la filosofía positiva, por referirse a la Humanidad, “única concepción plenamente universal”26. Como puede verse, el positivismo comtiano muestra varios puntos de contacto con las posturas humanistas, y aún con las socialistas. El español Juan Vilá Valentí resumió el positivismo científico resaltando tres características esenciales del mismo: la consideración exclusiva de hechos singulares, la convicción respecto al carácter único de la ciencia y la posibilidad de establecer generalizaciones a través de procesos de inducción27. Respecto a la primera característica, para el positivismo clásico sólo interesaban los hechos y los fenómenos, y estos podían ser observados a través de métodos autópticos y experimentados mediante métodos empíricos. Esto coincidía con el realismo28 u objetivismo y con la ya citada tendencia del empirismo. En cuanto al carácter único de la ciencia, esta unicidad implicaba que el análisis de los hechos tenía que cumplir en todas sus ramas con los mismos requisitos e idénticas exigencias. Las ciencias humanas debían entonces utilizar metodologías tan rigurosas como las ciencias físico - naturales, y si podían usar las mismas mejor, porque esto aseguraba la seriedad de la investigación. Así, las distintas disciplinas mantenían cierta independencia en cuanto a su objeto de estudio, pero compartían la mayoría de los métodos. Por último, la consideración de muchos hechos singulares posibilitaba la generalización mediante procesos inductivos, y por consiguiente la formulación de leyes científicas29. El inductivismo había sido introducido por William Whewell30 con la obra Filosofía de las ciencias inductivas, pero su difusión se debió al economista británico John Stuart Mill31 24 COMTE, A. 1998. Ibídem, p. 94. 25 COMTE, A. 1998. Ibídem, p. 95. 26 COMTE, A. 1998. Ibídem, p. 125. 27 VILÁ VALENTÍ, J. 1988. Positivismo y humanismo en la geografía contemporánea. En: Barrére, P. et al.

Espacios rurales y urbanos en áreas industrializadas. II Congreso Mundial Vasco. Barcelona, Oikos - Tau, p. 193.

28 SMART, J. J. C. 1963. Philosophy and scientific realism. London, Routledge and Kegan Paul. 29 GOLLEDGE, R. G.; AMEDEO, D. 1968. On laws in geography. Annals of the Association of American

Geographers, 58: 760 – 774. 30 BLANCHÉ, R. 1935. Le rationalisme de Whewell. París, Alcan. 31 MILL, J. S. 1843a. A system of logic, ratiocinative and inductive. London, John Parker. (Traducción al

español: Sistema de lógica inductiva y deductiva. Madrid, Daniel Jorro, 1917, 960 pp.) MILL, J. S. 1943b. Principios de economía política con algunas de sus aplicaciones a la filosofía social. México D. F., Fondo de Cultura Económica, Colección Obras Clásicas de Economía. (Edición original: London, 1848.) MILL, J.

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(1806-1873), quien utilizaba un lenguaje tomado de la física, por lo que las leyes inductivas fueron tildadas de mecanicistas por los detractores de turno32. Con el tiempo, el positivismo comtiano se fue transformando, en virtud de la enorme influencia ejercida por las obras del naturalista inglés Charles Darwin33 (1809-1882), en un positivismo evolucionista o ambientalista. Entre las figuras más trascendentes de este positivismo de fines del siglo XIX deben mencionarse, además de Darwin, el sociólogo inglés Herbert Spencer34 (1820-1903), denostado por su evolucionismo social o darwinismo social, considerado inclusive por Bunge35 “una filosofía social conservadora y estéril”, y el naturalista alemán Ernst Haeckel (1834-1919), racionalista para quien la religión se resumía a la ciencia, el bien y la belleza36. También podría incluirse a dos filósofos que han sido considerados positivistas subjetivistas: el fenomenista austríaco Ernst Mach37 (1838-1916), para quien lo dado se reducía a las sensaciones y sus relaciones, y el alemán Richard Avenarius (1843-1896), defensor de un empirismo crítico que rechazaba, al igual que el anterior, la habitual distinción entre el sujeto y el objeto38. En lo que respecta a la República Argentina, el positivismo comtiano fue original, distinto, no fue ni intelectualista ni mecanicista, aunque sí biologista y naturalista39. Entre las figuras más destacadas del positivismo argentino pueden citarse, sin más orden que el cronológico, el educador francés Amédée Jacques (1813-1865), el médico y político sanjuanino Guillermo Rawson (1821-1890), el médico, político y escritor boliviano Eduardo Wilde (1844-1913), el escritor e historiador francés Paul Groussac (1848-1929), el médico y escritor Jose María Ramos Mejía (1849-1914), el antropólogo, paleontólogo y naturalista Florentino Ameghino (1854-1911), el abogado e historiador tucumano José Nicolás Matienzo (1860-1936), el pedagogo y literato correntino Alfredo Ferreira (1863-1938), el médico, legislador y periodista Juan Bautista Justo (1865-1928), el psicólogo y pedagogo Rodolfo Senet (1872-1938), el jurisconsulto, historiador y pedagogo Carlos Octavio Bunge (1875-1918) y el médico, sociólogo y psiquiatra italiano José Ingenieros (1877-1925), entre muchos otros.

S. 1953. Autobiografía. Madrid, Espasa - Calpe, Colección Austral, 83. (Edición original: London, 1873.) MILL, J. S. 1954. Sobre la libertad. Buenos Aires, Aguilar, Biblioteca de Iniciación Filosófica, 11. (Edición original: London, 1859.) MILL, J. S. 1968. El utilitarismo. Buenos Aires, Aguilar, Biblioteca de Iniciación Filosófica, 34, 4º edición, 132 pp. (1º edición: 1955; Edición original: Utilitarianism. London, 1863; También: Barcelona, Altaya, 1997. Colección Grandes Obras del Pensamiento, 50.)

32 BARKER, S. F. 1968. Inducción e hipótesis. Buenos Aires, EUDEBA. 33 DARWIN, Ch. 1997. Textos fundamentales. Barcelona, Altaya, Grandes Obras del Pensamiento, 11. 34 SPENCER, H. 1890. First principles. New York, Appleton. SPENCER, H. 1898-1899. Principles of

sociology. New York, Appleton, 3 vv. SPENCER, H. 1954. El hombre contra el Estado. Buenos Aires, Aguilar, Biblioteca de Iniciación Filosófica, 5. SPENCER, H. 1961. L’education intellectuel, moral et physique. París. Presses Universitaires de France.

35 BUNGE, M. 1972. Teoría y realidad. Barcelona, Ariel, Ariel Quincenal, Volumen Extra, 303 pp., p. 238. 36 KOLAKOWSKI, L. 1979. La filosofía positivista. Ciencia y filosofía. Madrid, Cátedra. 37 BOUVIER, R. 1923. La pensée d’Ernest Mach. Ginebra, Vélin d’Or. 38 MEED, G. H. 1936. Movements of thought in the nineteenth century. Chicago, University of Chicago Press. 39 SMOLIKOVSKY, S. 1881. La doctrina de Augusto Comte sobre el Estado Social, I: Desarrollo del

positivismo en Europa, en Asia y en América. Varsovia, J. Noskovski. ZEA, L. 1949. Dos etapas del pensamiento en Hispanoamérica. Del romanticismo al positivismo. México D. F., El Colegio de México D. F.. PERELSTEIN, B. 1952. Positivismo y antipositivismo en la Argentina. Buenos Aires, Procyon. SOLER, R. 1968. Op. cit.

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Por supuesto que la mención de Juan B. Justo o José Ingenieros no es un error: la convergencia de socialismo, positivismo y liberalismo es particularmente notable cuando se consideran las doctrinas sociales del comtismo argentino40, mucho más críticas que las europeas, al atacar por igual la religión y el orden social establecido41. Es más, del mismo positivismo se dedujeron “los postulados para establecer la justicia social en la Argentina”42, algo que muchos socialistas desconocen, asociando en su ignorancia el positivismo con las ideas conservadoras que el propio August Comte combatió43. Por ejemplo, tomando las palabras de quien más objetivamente estudió el positivismo argentino: Ricaurte Soler, por ser panameño y realizar su investigación en la ciudad de París, José “Ingenieros estableció los fundamentos de un socialismo cientificista”44, según el cual el progreso aparece “como tendiente a consolidar en un futuro relativamente próximo, el predominio económico y social de la clase proletaria”45.

EL EMPIRISMO LÓGICO, POSITIVISMO LÓGICO O NEOPOSITIVISMO

Ahora bien, la pregunta que se impone en este punto es ¿cómo se produjo en unas pocas décadas del siglo veinte un desarrollo epistemológico tan grande en las ciencias sociales y en particular en la geografía? La respuesta a esta pregunta está en el surgimiento de un nuevo positivismo o neopositivismo46 en el período comprendido entre las dos grandes guerras mundiales, el cual apuntó sus reflexiones hacia las características lógicas que debía presentar el pensamiento científico, por lo que Rudolf Carnap lo bautizó como empirismo lógico47. Entre los principales representantes de esta nueva doctrina, también denominada positivismo lógico, se contaron los ingleses Bertrand Russell48 (1872-1970) y George Edward Moore (1873-1958), líderes de la escuela de filosofía analítica de Oxford; los alemanes Moritz Schlick (1882-1936), Hans Reichenbach (1891-1953) y Rudolf Carnap (1891-1970); y los austríacos Ludwig Wittgenstein (1889-1951) y Karl Raimond Popper (1902-1994), ambos miembros del prestigioso Círculo de Viena. 40 SOLER, R. 1968. Op. cit., p. 226. 41 SOLER, R. 1968. Ibídem, p. 249. 42 ZEA, L. 1949. Op. cit., p. 287. 43 COMTE, A. 1898. El llamamiento a los conservadores. San Miguel de Tucumán, La Argentina. 44 SOLER, R. 1968. Op. cit., p. 250. 45 SOLER, R. 1968. Ibídem. pp. 250 - 251. 46 CAPEL SÁEZ, H. 1983. Filosofía y ciencia en la geografía contemporánea. Una introducción a la geografía.

Barcelona, Barcanova, Temas Universitarios, 2º edición, pp. 367 - 378. 47 JOERGENSEN, J. 1951. The development of logical empiricism. Chicago, University of Chicago Press.

AYER, A. J. (Comp.) 1959. Logical positivism. Glencoe, The Free Press. VAX, L. 1970. L’empirisme logique. París, Presses Universitaires de France. JACOB, P. 1980. L’empirisme logique. Paris, Les Editions de Minuit.

48 RUSSELL, B. 1951. Análisis del espíritu. Buenos Aires, Paidós, Biblioteca del hombre contemporáneo, 14. RUSSELL, B. 1952. La conquista de la felicidad. Madrid, Espasa - Calpe, Austral, 23. RUSSELL, B. 1957. Misticismo y lógica. Buenos Aires, Paidós, Biblioteca del hombre contemporáneo, 73. RUSSELL, B. 1969. La perspectiva científica. Barcelona, Ariel. WHITEHEAD, N.; RUSSELL, B. 1981. Principia mathematica. Madrid, Paraninfo. (Edición original: 1910.) RUSSELL, B. 1983. Significado y verdad. Barcelona, Ariel. RUSSELL, B. 1989. Ecrits de logique philosophique. Paris, Presses Universitaires de France. RUSSELL, B. 1997. Ensayos filosóficos. Barcelona, Altaya, Grandes Obras del Pensamiento, 5.

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El neopositivismo comenzó a desarrollarse en Europa Central durante las décadas segunda y tercera del siglo pasado, sobre todo en dos núcleos fundamentales: el ya citado Círculo de Viena, fundado por el físico y filósofo alemán Moritz Schlick en 1927, que organizó el Primer Congreso Internacional de Epistemología en 1935 en París, y el Grupo de Berlín, encabezado por el físico Hans Reichenbach. Ambos grupos tenían en común un rechazo esencial a la metafísica y al idealismo, y en particular el Círculo de Viena también tenía por objetivo alcanzar una ciencia unificada. Para Moritz Schlick, todo conocimiento era una expresión o representación que podía darse de muy distintas maneras, en cualquier idioma o por medio de cualquier sistema arbitrario de signos; pero todos estos modos de representación, si realmente expresaban el mismo conocimiento tenían que tener algo en común, y ese algo en común era su forma lógica.49 En su Teoría general del conocimiento, Moritz Schlick incorporó la disciplina que denominó logística, la cual difería de la lógica tradicional por su reducción de las operaciones lógicas sólo a cálculos matemáticos. Schlick aplicó la logística a la construcción de un empirismo puro y realista, que aceptaba que las cualidades de los hechos podían ser objetivas o subjetivas, de tal modo que existían proposiciones científicas empíricas o puramente racionales. Por su parte, Rudolf Carnap dedicó buena parte de su esfuerzo intelectual a desprestigiar a la metafísica. Hizo notar que muchas expresiones empleadas por esta rama de la filosofía, por ejemplo principio, Dios, la idea, el absoluto, la esencia, el no ser, el ego, etc., eran utilizadas por un mismo autor y en un mismo texto en situaciones claramente contradictorias. Entonces, consideró estas palabras como asignificativas, y las proposiciones que las utilizaban como pseudoproposiciones. Como consecuencia, la metafísica, basada en la utilización de estas palabras asignificativas y sus correspondientes pseudoproposiciones, carecía de sentido, y no era más que la expresión de una actitud emotiva ante la vida, “un sustituto del arte, aun cuando inadecuado”50: “La metafísica posee un contenido –sólo que éste no es teorético. Las (pseudo) proposiciones de la metafísica no sirven para la descripción de relaciones objetivas (...); ellas sirven para la expresión de una actitud emotiva ante la vida. (...) El metafísico cree moverse en el terreno de lo verdadero y lo falso cuando en realidad no ha afirmado nada, sino solamente expresado algo, como un artista”.51

49 SCHLICK, M. 1969. El viraje de la filosofía. En: Terán, O. (Ed.) Existencialismo, marxismo y empirismo

lógico. Buenos Aires, Siglomundo, Centro Editor de América Latina, Biblioteca de Literatura y Ciencias Sociales, pp. 58 - 63. (Edición original: Erkenntnis, 1, 1930-1931.), p. 59.

50 CARNAP, R. 1969. La superación de la metafísica mediante el análisis lógico del lenguaje. En: Terán, O. (Ed.) Existencialismo, marxismo y empirismo lógico. Buenos Aires, Siglomundo, Centro Editor de América Latina, Biblioteca de Literatura y Ciencias Sociales, pp. 64 - 92. (Edición original: Erkenntnis, 2, 1932.), p. 89. CARNAP, R. 1985. Fundamentación lógica de la física. Madrid, Orbis. (También: Buenos Aires, Sudamericana, 1969; Edición original: New York - London, Basic Books, 1966.)

51 CARNAP, R. 1969. Ibídem, pp. 87 - 89.

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En La estructura lógica del mundo, Rudolf Carnap52 expresó también la necesidad de concentrarse en las relaciones de similitud, que permitían establecer clasificaciones de los hechos y los fenómenos bajo estudio. Asimismo, en Fundamentos de lógica y matemáticas, dicho autor planteó que para unificar la ciencia se debía establecer un simbolismo libre de las impurezas de los lenguajes históricos; de allí la necesidad de utilizar el lenguaje matemático y la lógica, concebida por él como una sintaxis de la ciencia:

“Los principales procedimientos teóricos en ciencia - esto es, comprobar una teoría, proporcionar una explicación para un hecho conocido y predecir un hecho desconocido - traen consigo como componentes esenciales deducción y cálculo; en otras palabras, la aplicación de la lógica y de las matemáticas”53.

En coincidencia con Rudolf Carnap, el también alemán Hans Reichenbach consideraba que “lo que dio poder a la ciencia moderna fue la invención del método hipotético - deductivo, el método que construye una explicación en forma de hipótesis matemática de la que se deducen los hechos observados”54. No obstante, para Reichenbach el punto de partida debía ser siempre la experiencia, ya que sólo habría conocimiento a partir de ella55. Por su parte, en su Tractatus Logico - Philosophicus56, el austríaco Ludwig Wittgenstein57 intentó alcanzar un lenguaje perfecto, que permitiera enunciar todo con gran exactitud, y posteriormente en su obra póstuma: Investigaciones filosóficas, se centró en el lenguaje hablado y la inconveniencia de su utilización, tanto en la ciencia como en la filosofía. Wittgenstein consideraba que el significado de las palabras era móvil, es decir que varíaba según el ámbito en que se aplicaran58. No obstante, en oposición a esta postura el epistemólogo y positivista argentino Mario Bunge59 ha llegado a afirmar que esta filosofía lingüística terminó matando al Circulo de Viena "desde adentro", antes que el nazismo mismo. Por su parte, el también austríaco Karl R. Popper defendió el papel de la lógica. Consideraba que “todo lo que es verdad en el dominio de la lógica, lo es también en el método científico y en la historia de la ciencia”60. Asimismo, criticó con dureza al inductivismo61 y consideró, por 52 CARNAP, R. 1934. La science et la métaphysique devant l’analyse logique du langage. Paris, Hermann.

CARNAP, R. 1969. Op. cit. CARNAP, R. 1971. The logical syntax of language. London, Routledge and Kegan Paul. CARNAP, R. 1975. Op. cit.

53 CARNAP, R. 1975. Op. cit., p. 13. 54 REICHENBACH, H. 1967. Op. cit., p. 111. 55 REICHENBACH, H. 1938. Experience and prediction. Chicago, University of Chicago Press. 56 WITTGENSTEIN, L. 1958. Tractatus Logico - Philosophicus. Madrid, Revista de Occidente. (También:

Barcelona, Altaya, 1994, Grandes Obras del Pensamiento, 37; Edición original: 1921.) 57 WITTGENSTEIN, L. 1958. Philosophical investigations. Oxford, Basil Blackwell. WITTGENSTEIN, L.

1980. Grammaire philosophique. Paris, Gallimard. (Edición original: 1969.) WITTGENSTEIN, L. 1984. Remarques philosophiques. Paris, Gallimard. (Edición original: 1953.) GRANGER, G. G. 1990. Invitation à la lecture de Wittgenstein. Aix-en-Provence, Alinéa.

58 QUINE, W. V. O. 1960. Word and object. Cambridge, The Massachusetts Institute of Technology Press. AYER, A. J. 1971. Lenguaje, verdad y lógica. Buenos Aires, EUDEBA. MORETTI, A. 1999. Argumentos, deducción y lenguaje. . En: Scarano, E. R. (Coord.) Metodología de las ciencias sociales –Lógica, lenguaje y racionalidad–. Buenos Aires, Ediciones Macchi, Ciencias Sociales, 492 pp., Cap. 7: pp. 127 – 150.

59 BUNGE, M. 1997. Epistemología. Curso de actualización. México D. F., Siglo XXI, 2º edición, p. 24. 60 POPPER, K. R. 1974. Conocimiento objetivo. Madrid, Tecnos, p. 19. (Original: Oxford, Clarendon Press,

1972.)

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el contrario, que el trabajo del científico debía consistir en proponer teorías y contrastarlas con la realidad. Popper decía: “elegimos la teoría que se mantiene mejor en la competición con las demás teorías, la que por selección natural muestra ser apta para sobrevivir”.62 Según Karl Popper, estos planteamientos deductivos debían asentarse siempre sobre el más riguroso empirismo, no podían ser idealistas63. En tal sentido, con La lógica de la investigación científica, y en general con su fecunda producción64, Popper produjo un cambio significativo entre los propios empiristas lógicos, proponiendo la falsación65 en reemplazo de la verificación66, revolucionando a la ciencia en general y por ende también a la geografía67. Esta nueva concepción tomo el nombre de racionalismo crítico68. En términos generales, desde el neopositivismo se rechazó la clásica división entre ciencias de la naturaleza y ciencias del espíritu. También se relativizaron los problemas filosóficos, ya que a partir del análisis lógico se podía comprobar que muchos eran falsos y los restantes podían ser transformados en problemas empíricos y convertidos, por lo tanto, en objeto de la ciencia69. El objetivo debe ser siempre "la descripción científica, aplicando el análisis lógico al material empírico, pero esta descripción no ha de referirse ni contener ninguna esencia del objeto, sino solamente su estructura. (...) La óptica física sólo admite lo que es en principio comprensible también para un ciego"70. Los neopositivistas se centraron, entonces, en el rigor que debía

61 MUSGRAVE, A. 1993. Popper on induction. Philosophy of the Social Sciences, 23 (4).. 62 POPPER, K. R. 1977. La lógica de la investigación científica. Madrid, Tecnos, 3º reimpresión, p. 103. (1º

edición: 1962; edición en inglés: London, Hutchinson and Co., 1959.) 63 POPPER, K. R. 1977. Op. cit., pp. 28 - 29. 64 POPPER, K. R. 1967. La sociedad abierta y sus enemigos. Buenos Aires, Paidós, Biblioteca del hombre

contemporáneo, 182, 2 vv. (Edición original: London, Routledge and Kegan Paul, 1945.). POPPER, K. R. 1972. Die logik der sozialwissenschaften. En: Adorno, T. W. et al. Der positivismusstreit in der deutschen soziologie. Ulm, Luchterhand. POPPER, K. R. 1973. La miseria del historicismo. Madrid, Alianza - Taurus. (Edición original: The poverty of historicism. London, Routledge and Kegan Paul, 1957.) POPPER, K. R. 1974. Op. cit. SCHILPP, P. A. 1974. The philosophy of Karl Popper. Open Court, La Salle. POPPER, K. R. 1977. Op. cit. O’HEAR, A. 1980. Karl Popper. London, Routledge and Kegan Paul. POPPER, K. R. 1982. El desarrollo del conocimiento científico: Conjeturas y refutaciones. Madrid, Tecnos. (Edición original: London, Routledge and Kegan Paul, 1963.) SCHUSTER, F. G. (Comp.) 1992. Popper y las ciencias sociales. Buenos Aires, Centro Editor de América Latina. POPPER, K. R. 1994. Búsqueda sin término. Madrid, Tecnos. COMESAÑA, M. 1996. Razón, verdad y experiencia. Un análisis de sus vínculos en la epistemología contemporánea, con especial referencia a Popper. Mar del Plata, Ediciones de la Universidad de Mar del Plata.

65 LAKATOS, I. 1975. La falsación y la metodología de los programas de investigación científica. En: Lakatos, I.; Musgrave, A. (Eds.) La crítica y el desarrollo del conocimiento. Barcelona, Grijalbo.

66 ZETTERBERG, H. L. 1963. On theory and verification in sociology. Totowa (New Jersey), The Bedminster Press. RESCHER, N. 1964. Hypothetical reasoning. Amsterdam, North Holland. BARKER, S. F. 1968. Op. cit.

67 BIRD, J. H. 1985. Geography in three words. How Popper’s system can help elucidate dichotomies and changes in the discipline. The Professional Geographer, 37: 403 – 409. Washington D. C., AAG.

68 COMESAÑA, M. 1999. Racionalismo crítico. En: Scarano, E. R. (Coord.) Metodología de las ciencias sociales –Lógica, lenguaje y racionalidad–. Buenos Aires, Ediciones Macchi, Ciencias Sociales, 492 pp., Cap. 10: pp. 189 – 220.

69 KRAFT, V. 1953. The Vienna Circle. New York. (Traducción: Madrid, Taurus, 1966.) 70 CAPEL SÁEZ, H. 1983. Op. cit., p. 370.

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caracterizar al análisis científico y en la posibilidad de establecer leyes, “subrayando con ello el valor nomotético que toda ciencia ha de presentar”71. En cuanto a las diferencias con el positivismo comtiano, tomando las palabras de Horacio Capel podemos afirmar que "el nuevo positivismo coincide con el positivismo decimonónico en la afirmación de la neutralidad de la ciencia, en la consideración de que los juicios axiológicos no tienen cabida en ella: la ciencia tiene un carácter descriptivo, y no puede realizar valoraciones. En cambio se diferencia del positivismo del siglo XIX en el rechazo que existe ahora del riguroso determinismo causal de los fenómenos"72. En efecto, el determinismo es reemplazado ahora por el concepto de probabilidad, entendido como “una relación, explícita o implícita, entre el número de circunstancias favorables y contrarias que intervienen en la realización de un suceso de azar”73. Como bien señaló Horacio Capel, ahora "los enunciados científicos pueden alcanzar únicamente grados continuos de probabilidad, cuyos límites superior e inferior, inalcanzables, son la verdad y la falsedad"74. El nuevo lenguaje matemático y la elaboración de leyes probabilísticas produjeron una revolución científica sin precedentes en la ciencia: “la más grandiosa desde el nacimiento de la teoría atómica contemporánea”75: la revolución cuantitativa de la ciencia, que permitió no sólo que las teorías matemáticas se aplicaran al mundo real, sino que a partir de observaciones de la realidad se fomentara el desarrollo de nuevas teorías matemáticas para su explicación, con todas las ventajas que la formalización matemática implica, y que pueden resumirse en esta frase de Enzo Gentile:

“El verdadero ser de la matemática radica en su capacidad inagotable de formular problemas. Pero a diferencia de otras ciencias, no sólo se contenta en hallar sus soluciones, sino que, para resolverlos, puede crear teorías, que a su vez generan nueva matemática. Esta es precisamente la esencia de su dinamismo creador”.76

PEARSON, SPEARMAN, KOLMOGOROFF, WALD Y LA ESTADÍSTICA CIENTÍFICA

El positivismo decimonónico sirvió de sustento filosófico para una auténtica transformación de los métodos estadísticos tradicionales, hasta entonces centrados fundamentalmente en la recolección y organización de la información. Surgió así, en los inicios del siglo veinte, la moderna teoría estadística77, caracterizada sobre todo por el desarrollo de la inferencia estadística y los potentes métodos de análisis multidimensional.

71 VILÁ VALENTÍ, J. 1988. Op. cit., p. 195. 72 CAPEL SÁEZ, H. 1983. Op. cit., p. 371. 73 ALCAYDE Y CARVAJAL, D. N. 1922. Cálculo de probabilidades. Madrid, Librería Dossat, 3º edición, xvi

y 128 pp., p. 2. CHOYNOWSKI, M. 1959. Maps based on probabilities. Journal of the American Statistical Association, 54: 385 – 388. (También: Berry, B. J. L.; Marble, D. F. (Eds.) 1968. Spatial analysis. A reader in statistical geography. New Jersey, Prentice Hall, Cap. IV – 5, pp. 180 – 183.)

74 CAPEL SÁEZ, H. 1983. Op. cit., p. 372. 75 BUNGE, M. 1972. Op. cit., p. 10. 76 Citado en: HERREN, G. 2002. Fractales: las estructuras aleatorias. Buenos Aires, Longseller, Compendios,

9, 112 pp., p. 5. 77 YULE. G. U.; KENDALL, M. 1940. An introduction to the theory of statistics. London, Charles Griffin and

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Las primeras contribuciones importantes correspondieron al matemático y biólogo británico Karl Pearson (1857-1936), considerado uno de los fundadores de esta estadística moderna. Pearson realizó importantes aportes a la biometría, incluida la fundación de la revista Biometrika, pero fundamentalmente nos legó el índice de correlación lineal que lleva su nombre, el cual un siglo más tarde sigue siendo el método de asociación de variables más utilizado en casi todas las disciplinas científicas78. Otro jalón en la breve pero prolífica historia de la estadística moderna es la obra del filósofo y psicólogo británico Edward Spearman (1863-1945), doctorado en filosofía en la Universidad de Leipzig y primer gran exponente del neopositivismo en la disciplina estadística. Spearman dedicó su vida a la investigación científica, interesado primero por la percepción visual y luego por el estudio y la medición de la inteligencia humana79. Respecto a esto último, con su teoría de los factores, según la cual la inteligencia depende de un factor genético y varios factores específicos80, Edward Spearman sentó las bases del análisis factorial y aun del análisis multivariado en general. Además, creó también otro famoso índice de correlación basado ya no en los valores que toman las variables para los distintos individuos, sino en los rangos o posiciones que ocupan los mismos en la distribución estadística de la variable. Asimismo, merece un reconocimiento especial la labor del matemático ruso Andrej Nikoljewitsch Kolmogoroff (1903-1987), profesor de la Universidad de Moscú y miembro de la Academia de Ciencias de la Unión Soviética, por su aporte a la teoría de las probabilidades. La teoría de las probabilidades había alcanzado amplia difusión ya a comienzos del siglo veinte81, pero el gran aporte de Andrej Kolmogoroff fue haber presentado en 1933 la axiomatización del cálculo de probabilidades82, y haber desarrollado, junto con otros matemáticos rusos, las matemáticas de las probabilidades83 y la teoría de los procesos estocásticos84, esta última continuada más tarde por J. L. Doob85, L. Takacs86 y otros autores.

Co., 12º edición, revisada. 78 PEARSON, K. 1901. On lines and planes of closed fit to system of point in space. Philosophical Magazine, 6:

559 – 572. 79 SPEARMAN, E. 1904. General intelligence, objectively determined and measured. American Journal of

Psychology, 15: 201 – 293. 80 SPEARMAN, E. 1927. The abilities of man. New York, Macmillan. (Traducción: Buenos Aires, Paidós,

1955.) 81 ALCAYDE Y CARVAJAL, D. N. 1922. Op. cit. FRY, T. C. 1928. Probability and its engineering uses. New

York, D. Van Nostrand. 82 FELLER, W. 1950. An introduction to probability theory and its applications. New York, John Wiley and

Sons. (2º edición: 1967.) CRAMER, H. 1955. The elements of probability theory. New York, John Wiley and Sons. (Traducción: Madrid, Aguilar, 1958.). LOÈVE, M. 1955. Probability theory. New York, D. van Nostrand Co. PARZEN, E. 1960. Modern probability theory and its applications. New York, John Wiley and Sons.

83 USPENSKY, J. V. 1947. Matemáticas de las probabilidades. Buenos Aires, Nigar. CRAMER, H. 1953. Métodos matemáticos de estadística. Madrid, Aguilar.

84 SACHS, L. 1978. Estadística aplicada. Barcelona, Labor, Técnicas Básicas de Ingeniería, p. 470. (Original: Statistische Auswertungsmethoden. Berlín, Springer – Verlag, 1968.)

85 DOOB, J. L. 1953. Stochastic processes. New York, John Wiley and Sons. 86 TAKACS, L. 1967. Combinatorial methods of stochastic processes. New York, John Wiley and Sons, 262 pp.

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Ya próximos a la mitad del siglo pasado, debemos también destacar la tarea del matemático austríaco Abraham Wald (1902-1950), quien escapando del nazismo se exilió en 1938 en los Estados Unidos. Allí se dedicó de lleno al estudio de la estadística, a la que intentó darle un mayor rigor matemático. Finalizada la Segunda Guerra Mundial, Wald publicó en 1947 su obra Análisis secuencial87, y tres años más tarde Funciones de decisión estadística88. Cada uno de estos libros abrió las puertas a nuevas líneas de investigación, y seguramente los aportes de Abraham Wald hubieran continuado de no producirse su muerte en la plenitud de su carrera. La teoría del análisis secuencial se utiliza como método para estudiar las diferencias entre dos poblaciones, y consiste en incorporar las observaciones una por una al análisis estadístico. “Mediante el resultado de cada observación individual se decide si es necesario proseguir observando, esto es, continuar con la secuencia o sucesión de experimentos, o si por el contrario ya es posible tomar una decisión”89. La labor original de Abraham Wald fue continuada, entre otros, por H. Freeman90. Por su parte, la teoría estadística de la decisión proporciona directrices para actuar ante situaciones de incertidumbre, transformando así los razonamientos estadísticos en problemas de decisión. Esta teoría recibió numerosas contribuciones posteriores, como la obra Procesos de decisión de R. M. Thrall, C. H. Coombs y R. L. Davis91, publicada en 1954; Teoría de la decisión estadística aplicada de H. Raiffa y R. Schlaifer92, de 1961; Análisis de decisiones bajo incertidumbre del propio R. Schlaifer93, un voluminoso manual publicado en 1969; y Decisiones estadísticas óptimas de M. H. de Groot94, del año 1970. Además del análisis secuencial y la teoría de la decisión, a partir de la segunda mitad del siglo veinte se produjeron importantes desarrollos en temas tales como las técnicas de muestreo y el diseño de encuestas, la estadística no paramétrica, la teoría del diseño de experimentos, el análisis de la varianza y el estudio de las series temporales. En el primer caso merece destacarse la obra pionera de W. G. Cochran95 titulada precisamente Técnicas de muestreo, publicada por John Wiley and Sons de New York en 1953. A posteriori pueden mencionarse un libro de P. F. Azorín96 y algunos importantes trabajos referidos a cuestiones específicas, como el de Don A. Dillman97 sobre la metodología de las encuestas

87 WALD, A. 1947. Sequential analysis. New York, John Wiley and Sons. 88 WALD, A. 1950. Statistical decision functions. New York, John Wiley and Sons. 89 SACHS, L. 1978. Op. cit., p. 188. 90 FREEMAN, H. 1957. Sequential analysis of statistical data: applications. New York, Columbia University

Press. 91 THRALL, R. M.; COOMBS, C. H.; DAVIS, R. L. 1954. Decision processes. New York, John Wiley and

Sons. 92 RAIFFA, H.; SCHLAIFER, R. 1961. Applied statistical decision theory. Boston (Massachusetts), Harvard

Business School – Division of Research. 93 SCHLAIFER, R. 1969. Analysis of decisions under uncertainty. New York, Mc Graw – Hill, 729 pp. 94 DE GROOT, M. H. 1970. Optimal statistical decisions. New York, Mc Graw – Hill, 489 pp. 95 COCHRAN, G. W. 1953. Sampling techniques. New York, John Wiley and Sons. 96 AZORÍN, P. F. 1972. Curso de muestreo y aplicaciones. Madrid, Aguilar, 375 pp. 97 DILLMAN, D. A. 1978. Mail and telephone surveys: the total design method. New York, John Wiley and

Sons.

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telefónicas y por correo y el de S. Sudman y N. Bradburn98 sobre el diseño de los respectivos cuestionarios. Además, como respuesta a la obra Estadística no paramétrica aplicada a las ciencias de la conducta de S. Siegel99, publicada en 1956 y varias veces reeditada y ampliada100, los métodos no paramétricos alcanzaron un gran desarrollo, tal como puede observarse en los libros de J. E. Walsh101, G. E. Noether102 y M. Hollander y D. A. Wolfe103, e inclusive fueron aplicados al análisis multivariado104 y a la resolución de los problemas que en estadística suelen ocasionar los valores extremos105. Como su nombre lo indica, estos procedimientos, a diferencia de la mayoría de la metodología estadística, no se basan en los parámetros estadísticos tradicionales, es decir media aritmética y desviación standard o varianza, porque se aplican a estudios en los que las variables involucradas presentan distribuciones estadísticas alejadas de la forma normal o gaussiana. En cuanto a la teoría del diseño de experimentos, muy ligada por cierto a la teoría de la decisión, la primera obra de gran magnitud fue la de G. W. Cochran y G. M. Cox106, publicada por John Wiley and Sons de New York en 1957. Hacia fines de los años sesenta y comienzos de los años setenta se escribieron otras obras generales, destacándose en particular las de F Yates107, B. J. Winer108, J. L. Myers109, V. L. Anderson y R. A. Mc Lean110 y un voluminoso tratado de G. E. P. Box, W. G. Hunter y J. S. Hunter111. Más recientemente aparecieron en español dos obras muy importantes: Diseños experimentales de G. A. Martínez112, publicada por la editorial Trillas, y Experimentación:

98 SUDMAN, S.; BRADBURN, N. 1983. Asking questions: a practical guide to questionnaire design. San

Francisco (California), Jossey - Bass. 99 SIEGEL, S. 1956. Nonparametric statistics for the behavioral sciences. New York, Mc Graw – Hill, 278 pp.

(Traducción: México D. F., Trillas, 1965, 346 pp.) 100 SIEGEL, S.; CASTELLÁN, N. J. 1995. Estadística no paramétrica aplicada a las ciencias de la conducta.

México D. F., Trillas. 101 WALSH, J. E. 1962. Handbook of nonparametric statistics, I. Princeton (New Jersey), D. van Nostrand Co.,

549 pp. 102 NOETHER, G. E. 1967. Elements of nonparametric statistics. New York, John Wiley and Sons, 104 pp. 103 HOLLANDER, M.; WOLFE, D. A. 1973. Nonparametric statistical methods. New York, John Wiley and

Sons, 503 pp. 104 PURI, M. L.; SEN, P. K. 1971. Nonparametric methods in multivariate analysis. London, John Wiley and

Sons, 450 pp. 105 BARNETT, V.; LEWIS, T. 1978. Outliers in statistical data. New York, John Wiley and Sons, 365 pp. 106 COCHRAN, G. W.; COX, G. M. 1957. Experimental design. New York, John Wiley and Sons, 661 pp. 107 YATES, F. (Ed.) 1970. Experimental design. Selected papers. Darien (Connecticut), Hafner, 296 pp. 108 WINER, B. J. 1971. Statistical principles in experimental design. New York, Mc Graw – Hill, 2º edición, 907

pp. 109 MYERS, J. L. 1972. Fundamentals of experimental design. Boston (Massachusetts), Allyn and Bacon, 2º

edición, 407 pp. 110 ANDERSON, V. L.; MC LEAN, R. A. 1974. Design of experiments: a realistic approach. New York, Marcel

Dekker Inc., 418 pp. 111 BOX, G. E. P.; HUNTER, W. G.; HUNTER, J. S. 1978. Statistics for experimenters: an introduction to

design, data analysis and model building. New York, John Wiley and Sons, 653 pp. 112 MARTÍNEZ, G. A. 1988. Diseños experimentales. México D. F., Trillas, 756 pp.

32

Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos de D. C. Baird113, publicada por Prentice Hall Hispanoamericana, ambas en la ciudad de México. También merecen mencionarse dos libros más específicos: el de R. E. Kirk114, del año 1968, centrado en los procedimientos aplicables a las ciencias del comportamiento; y el de W. Mendenhall115, del mismo año, que relaciona el diseño de experimentos con el modelo lineal. Con respecto al análisis de la varianza, es un tema sobre el cual existe abundante bibliografía, motivo por el cual sólo mencionaremos una obra clásica bastante exhaustiva y accesible: El análisis de la varianza de H. Scheffé116, publicada por John Wiley and Sons de la ciudad de New York en 1959. Respecto al estudio de las series cronológicas o series temporales, el mismo despertó el interés de los estadísticos matemáticos desde los comienzos mismos de la estadística moderna, en virtud de la gran variedad de procesos cíclicos que se presentan en las ciencias fácticas, no sólo en las de la naturaleza, sino también en la economía, la sociología y tantas otras, incluida la geografía. Los primeros aportes intentaron medir la correlación serial o autocorrelación117, es decir la correlación de una variable consigo misma, pero para dos períodos distintos, los cuales pueden o no ser consecutivos. Una obra pionera fue El análisis de series de tiempo múltiples, de M. H. Quenoville118, del año 1957; y otra igualmente importante fue la de R. G. Brown119 cuyo título podría traducirse como Suavizando pronósticos y predicciones de series de tiempo discretas, publicada en 1962. Ya en la década del setenta merecen citarse Análisis de series de tiempo: pronóstico y control, de G. E. P. Box y G. M. Jenkins120, y Series de tiempo, de M. G. Kendall121, obras que contribuyeron a una revalorización de los estudios diacrónicos entre los científicos del espacio122.

113 BAIRD, D. C. 1991. Experimentación. Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de

experimentos. México D. F., Prentice Hall Hispanoamericana. 114 KIRK, R. E. 1968. Experimental design. Procedures for the behavioral sciences. Belmont (California),

Brooks – Coole, 577 pp. 115 MENDENHALL, W. 1968. Introduction to linear models and the design and analysis of experiments.

Belmont (California), Wadsworth International Group, 465 pp. 116 SCHEFFÉ, H. 1959. The analysis of variance. New York, John Wiley and Sons, 477 pp. 117 BUZAI, G. D. 2004. Distribución, segregación y autocorrelación espacial de extranjeros en la ciudad de

Luján. Avances de Investigación, 2 (4): 1 – 48. Luján, Universidad Nacional de Luján – Departamento de Ciencias Sociales – División Geografía.

118 QUENOVILLE, M. H. 1957. The analysis of multiple time series. London, Charles Griffin and Co. 119 BROWN, R. G. 1962. Smoothing forecasting and prediction of discrete time series. London, Prentice Hall –

Englewood Cliffs, 468 pp. 120 BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M. 1970. Time series analysis: forecasting and control. San Francisco

(California), Holden – Day, 553 pp. 121 KENDALL, M. G. 1976. Time series. London, Charles Griffin and Co. 122 CARLSTEIN, T.; PARKES; D.; THRIFT, N. 1978. Timing space and spacing time. London, Edward Arnold,

3 vv. CORMACK, R. M.; ORD, J. K. (Eds.) 1979. Spatial and temporal analysis in ecology. Fairland (Maryland), International Co-operative Publishing House, International Statistical Ecology Program.

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Por último, en los años setenta y ochenta también merecen recordarse aportes que han considerado algunos temas específicos con gran profundidad, como el de J. K. Ord123 sobre las familias de distribuciones estadísticas de frecuencias; la obra de Stephen Campbell124 respecto a los equívocos y las falacias en la interpretación de las estadísticas; el libro de J. L. Fleiss125 sobre los métodos estadísticos asociados al estudio de las tasas y las proporciones; el de David Hutsberger y Patrick Bellingsley126 referido a la estadística inferencial en general; y el de B. Fingleton sobre los modelos para el tratamiento de datos agrupados en categorías127.

EL ANÁLISIS MULTIVARIADO Y SUS MÚLTIPLES MÉTODOS

De la mano del álgebra matricial, desde mediados del siglo pasado se produjo también el desarrollo y la difusión del análisis multivariado, o si se quiere análisis multivariable, cuya aplicación no ha reconocido frontera científica alguna. La producción bibliográfica muestra por sí sola la importancia que alcanzó esta metodología en la investigación, sobre todo para favorecer la síntesis y para la obtención de tipologías o clasificaciones. Entre las obras generales más importantes, todas en idioma inglés, en la década del cincuenta del siglo pasado se recuerdan las de precursores como M. G. Kendall128 y T. W. Anderson129, y en la década siguiente los manuales de P. R. Krishnaiah130, R. Harris131, D. F. Morrison132, A. P. Dempster133 y K. Hope134. Asimismo, a lo largo de la década del setenta aparecieron, entre muchas otras, las obras de W. Cooley y P. R. Lohnes135, M. L. Puri y P. K. Sen136, S. J. Press137, H. Kres138, N. C. Giri139, R. Gnanadesikan140, B. Everitt141 y K. V. Mardia, J. T. Kent y J. M. Bibby142. 123 ORD, J. K. 1972. Families of frecuency distributions. London, Charles Griffin and Co. 124 CAMPBELL, S. 1981. Equívocos y falacias en la interpretación de estadísticas. México D. F., Limusa. 125 FLEISS, J. L. 1981. Statistical methods for rates and proportions. New York, John Wiley and Sons. 126 HUTSBERGER, D.; BELLINGSLEY, P. 1983. Elementos de estadística inferencial. México D. F., CECSA. 127 FINGLETON, B. 1984. Models of category counts. Cambridge (UK), Cambridge University Press. 128 KENDALL, M. G. 1957. A course in multivariate analysis. London, Charles Griffin and Co., 152 pp. 129 ANDERSON, T. W. 1958. An introduction to multivariate statistical analysis. New York, John Wiley and

Sons. (2º edición: 1984, 675 pp.) 130 KRISHNAIAH, P. R. (Ed.) 1966. Multivariate analysis II. New York, Academic Press, 592 pp.

KRISHNAIAH, P. R. (Ed.) 1969. Multivariate analysis III. New York, Academic Press, 696 pp. 131 HARRIS, R. 1967. A primer of multivariate statistics. New York, Academic Press, 332 pp. 132 MORRISON, D. F. 1967. Multivariate statistical methods. New York, Mc Graw – Hill, 338 pp. (2º edición:

1976, 515 pp.) 133 DEMPSTER, A. P. 1968. Elements of continuous multivariate analysis. Reading (Massachusetts), Addison –

Wesley, 400 pp. 134 HOPE, K. 1968. Methods of multivariate analysis with handbook of multivariate methods programmed in

Atlas autocode. London, University of London Press, 288 pp. 135 COOLEY, W.; LOHNES, P. R. 1971. Multivariate data analysis. New York, John Wiley and Sons, 364 pp. 136 PURI, M. L.; SEN, P. K. 1971. Op. cit. 137 PRESS, S. J. 1972. Applied multivariate analysis. New York, Henry Holt, Rinehart and Winston, 521 pp. 138 KRES, H. 1974. Elemente der multivariaten analysis. Heidelberg, Springer. 139 GIRI, N. C. 1977. Multivariate statistical inference. New York, Academic Press, 319 pp. 140 GNANADESIKAN, R. 1977. Methods for statistical data analysis of multivariate observations. New York,

John Wiley and Sons, 298 pp. 141 EVERITT, B. 1978. Multivariate techniques for multivariate data. London, Heinemann. 142 MARDIA, K. V.; KENT, J. T.; BIBBY, J. M. 1979. Multivariate analysis. New York, Academic Press, 521

pp.

34

Por aquel entonces, T. W. Anderson, S. D. Gupta y G. P. H. Styan143 publicaron una muy interesante y detallada bibliografía que permite reconstruir la historia de la metodología para el análisis multidimensional, por lo menos hasta comienzos de los años setenta. En los años ochenta se siguieron publicando nuevas obras generales, como las de C. Chatfield y A. J. Collins144, M. G. Kendall145, S. F. Arnold146, R. J. Muirhead147, B. B. Jackson148, M. S. Srivastava y E. M. Carter149, W. Dillon y M. Goldstein150, H. Y. Bozdogan y A. K. Gupta151 y Bernstein y otros152, y en 1992 apareció también el libro Análisis estadístico multivariado aplicado de R. A. Johnson y D. W. Wichern153. Asimismo, en nuestro idioma merecen destacarse muy especialmente los siguientes libros: Introducción a las técnicas de análisis multivariable aplicadas a las ciencias sociales, editado en Madrid en 1984 por Juan J. Sánchez Carrión154; Introducción conceptual al análisis multivariable de R. Bisquerra Alzina155, publicado en Barcelona en 1989; Métodos multivariados aplicados al análisis de datos de D. E. Johnson156, editado en la ciudad de México en 1998; y Análisis multivariante de J. F. Hair Jr., R. E. Anderson, R. L. Tatham y W. C. Black157, publicado en Madrid en 1999. El análisis multivariado o multivariable se halla integrado por un conjunto de métodos entre los cuales se destacan el análisis de correlación y regresión múltiple, el análisis de componentes principales, el análisis factorial, el linkage analysis o análisis en cadena y el cluster analysis.

143 ANDERSON, T. W.; GUPTA, S. D.; STYAN, G. P. H. 1973. A bibliography of multivariate statistical

analysis. Edimburgh, Oliver and Boyd, 654 pp. 144 CHATFIELD, C.; COLLINS, A. J. 1980. Introduction to multivariate analysis. New York, Chapman and

Hall, 246 pp. 145 KENDALL, M. G. 1980. Multivariate analysis. London, Charles Griffin and Co., 2º edición, 210 pp. 146 ARNOLD, S. F. 1981. The theory of linear models and multivariate analysis. New York, John Wiley and

Sons, 474 pp. 147 MUIRHEAD, R. J. 1982. Aspects of multivariate statistical theory. New York, John Wiley and Sons, 673 pp. 148 JACKSON, B. B. 1983. Multivariate data analysis. An introduction. Homewood (Illinois), Richard D. Irwin

Inc. 149 SRIVASTAVA, M. S.; CARTER, E. M. 1983. An introduction to applied multivariate statistics. New York,

North Holland, 394 pp. 150 DILLON, W.; GOLDSTEIN, M. 1984. Multivariate analysis. Methods and applications. New York, John

Wiley and Sons. 151 BOZDOGAN, H. Y.; GUPTA, A. K. (Ed.) 1987. Multivariate statistical modeling and data analysis.

Dordrecht (Holanda), D. Reidel Publishing Co. 152 BERNSTEIN, I. H. et al. 1988. Applied multivariate analysis. New York, Springer - Verlag. 153 JOHNSON, R. A.; WICHERN, D. W. 1992. Applied multivariate statistical analysis. New Jersey, Simon and

Scbuster. 154 SÁNCHEZ CARRIÓN, J. J. (Ed.) 1984. Introducción a las técnicas de análisis multivariable aplicadas a las

ciencias sociales. Madrid, Centro de Investigaciones Sociológicas. 155 BISQUERRA ALZINA, R. 1989. Introducción conceptual al análisis multivariable. Barcelona, Promociones

y Publicaciones Universitarias, 2 vv. 156 JOHNSON, D. E. 1998. Métodos multivariados aplicados al análisis de datos. México D. F., International

Thomson Editores. 157 HAIR, J. F. Jr., ANDERSON, R. E.; TATHAM, R. L.; BLACK, W. C. 1999. Análisis multivariante. Madrid,

Prentice Hall.

35

Partiendo del índice de correlación bivariada pergeñado por Karl Pearson158, el inglés G. U. Yule159 se ocupó de idear un índice de correlación neta o parcial, en un intento por cuantificar la intensidad de la relación entre dos variables, aislándolas del efecto de una tercera. Más tarde, en su libro Métodos de análisis de correlación, M. Ezequiel160 se encargó de sistematizar esta metodología, incluyendo distintas técnicas de análisis de correlación múltiple, con abundante y adecuado material gráfico. El análisis de correlación y regresión múltiple constituye una extensión de la metodología desarrollada por Karl Pearson para el plano, a un espacio de varias, e inclusive muchas dimensiones. Entre las obras más representativas sobre el tema, todas publicadas en los Estados Unidos de América, se pueden citar la de P. H. Dubois161, de 1957; la de N. R. Draper y H. Smith162, de 1966; la de S. Chatterjee y B. Price163, del año 1977; la de D. Kleinbaum y L. Kupper164, del año siguiente; y la de S. Weisberg165, de 1980. El análisis de componentes principales es un método inductivo desarrollado por H. Hotelling166 en 1933, que consiste en resumir la información brindada por un cierto número de variables en un número sensiblemente menor de macrovariables o componentes principales, con la consiguiente reducción de la dimensionalidad de la problemática. Al respecto se pueden consultar la obra pionera de P. Oleron167, publicada en París en 1957, y un libro más reciente de G. H. Dunteman168, aunque en idioma español también se han editado textos muy interesantes, como los de Juan Carlos Rego169, F. Mallo170, Laura E. Pla171 y A. García de León Loza172. En cuanto al análisis factorial, el mismo comparte numerosas técnicas con el análisis de componentes principales, pero a diferencia del anterior se trata de un método deductivo: el investigador, partiendo de la teoría, conoce la existencia de ciertos factores y debe hallarlos, en su caso de estudio, partiendo de la matriz de correlaciones lineales entre las variables involucradas en el análisis. 158 PEARSON, K. 1901. Op. cit. 159 YULE, G. U. 1932. An introduction to the thory of statistics. London, Charles Griffin. 160 EZEQUIEL, M. 1941. Methods of correlation analysis. London, John Wiley and Sons. 161 DUBOIS, P. H. 1957. Multivariate correlational analysis. New York, Harper and Row, 202 pp. 162 DRAPER, N. R.; SMITH, H. 1966. Applied regression analysis. New York, John Wiley and Sons, 407 pp. 163 CHATTERJEE, S.; PRICE, B. 1977. Regression analysis by examples. New York, John Wiley and Sons, 228

pp. 164 KLEINBAUM, D.; KUPPER, L. 1978. Applied regression analysis and other multivariate methods. Boston

(Massachusetts), Duxbury Press. 165 WEISBERG, S. 1980. Applied linear regression. New York, John Wiley and Sons, 283 pp. 166 HOTELLING, H. 1933. Analysis of a complex of statistical variables into principal components. Journal of

Educational Psychology, 24: 417 – 441 y 498 – 520. 167 OLERON, P. 1957. Les composantes de l’ intelligence. Paris, Presses Universitaires de France. 168 DUNTEMAN, G. H. 1989. Principal components analysis. Newbury Park (California), Sage, QASS 69. 169 REGO, J. C. 1978. La marcha del análisis cuantitativo de datos espaciales. Buenos Aires, OIKOS,

Contribuciones, 2 - 04, pp. 35 – 47. (También: Mendoza, CEIFAR, 1978, 185 pp.) 170 MALLO, F. 1985. Analisis de componentes principales y técnicas factoriales relacionadas. León (España),

Universidad de León. 171 PLA, L. E. 1986. Análisis multivariado: método de componentes principales. Washington D. C., OEA –

Secretaría General, Colección de Monografías Científicas, Serie de Matemática, 27, 93 pp. 172 GARCÍA de LEÖN LOZA, A. 1988. Generalidades del análisis de cúmulos y del análisis de componentes

principales. México D. F., Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).

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Como ya se ha dicho anteriormente, el precursor del análisis factorial fue Edward Spearman173 con su teoría bifactorial, según la cual tras el ejercicio de cualquier habilidad subyacen tan sólo dos factores: uno general a todas las habilidades y otro específico a cada una de las mismas. Más tarde Spearman introdujo el concepto de factores comunes para habilidades afines, también denominados factores de grupo174. Entre los continuadores de la obra de Spearman se destacaron varios psicólogos: sobre todo el estadounidense T. L. Kelley175 y el inglés C. Burt (1883-1971). Este último, discípulo de Edward Spearman, en su libro Los factores de la mente176, publicado en 1941, desarrolló el método por sumatoria para la obtención de los componentes principales. En el mismo año también se publicó el Análisis factorial de K. J. Holzinger y H. H. Harman177. Entre otras obras pioneras del análisis factorial, también merece mencionarse Análisis de factores múltiples de L. L. Thurstone178, del año 1947, donde dicho autor presentó el método centroide y la rotación de los factores, a la vez que planteó la teoría multifactorial, que considera la existencia de siete factores de la habilidad mental: orientación espacial, atención, memoria visual, facilidad numérica, comprensión verbal, visualización y razonamiento lógico. Una tercera teoría del análisis factorial es la denominada teoría anárquica, diametralmente opuesta a la de Spearman, cuyo principal exponente fue G. H. Thomson179 con su obra El análisis factorial de la capacidad humana. Según dicha teoría la mente posé gran cantidad de facultades independientes, las cuales “sólo se unifican en la respuesta concreta a un determinado estímulo”180. Entre otras importantes contribuciones al análisis factorial, en la década de los cincuenta del siglo pasado se publicaron las obras Análisis de la transformación de datos factoriales de Y. Ahmavaara181 y La técnica del análisis factorial de M. Yela182, esta última en idioma español. En 1960 vio la luz otro clásico del tema: Análisis factorial moderno de H. H. Harman183, varias veces reeditado y traducido a distintos idiomas; en los años setenta aparecieron los manuales de R. J. Rummel184, D. N. Lawley y A. E. Maxwell185, S. Mulaik186, J. Torrens - 173 SPEARMAN, E. 1904. Op. cit. SPEARMAN, E. 1927. Op. cit. 174 REGO, J. C. 1978. Op. cit., p. 28. 175 KELLEY, T. L. 1928. Crossroads in the mind of man. Stanford (California), University of California Press.

KELLEY, T. L. 1935. Essential traits of mental life. Cambridge, Harvard University Press. 176 BURT, C. 1941. The factors of the mind. New York, Macmillan. 177 HOLZINGER, K. J.; HARMAN, H. H. 1941. Factor analysis. Chicago (Illinois). The University of Chicago

Press. 178 THURSTONE, L. L. 1947. Multiple factor analysis. Chicago (Illinois), The Chicago University Press. 179 THOMSON, G. H. 1953. The factorial analysis of human ability. Boston (Massachusetts), Houghton Mifflin

and Co., 5º edición. 180 REGO, J. C. 1978. Op. cit., p. 30. 181 AHMAVAARA, Y. 1954. Transformation analysis of factorial data. Helsinki. 182 YELA, M. 1957. La técnica del análisis factorial. Madrid, Biblioteca Nueva. 183 HARMAN, H. H. 1960. Modern factor analysis. Chicago (Illinois), The University of Chicago Press. (2º

edición: 1967, 474 pp.) (Traducción: Madrid, Saltés, 1980.) 184 RUMMEL, R. J. 1970. Applied factor analysis. Evanston (Illinois), Northwestern University Press, 617 pp. 185 LAWLEY, D. N.; MAXWELL, A. E. 1971. Factor analysis as a statistical method. London, Butterworth,

153 pp. 186 MULAIK, S. 1972. Foundations of factor analysis. New York, Mc Graw – Hill.

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Ibern187, R. Gorsuch188 y J. Goddard y A. Kirby189, y más recientemente los de J. S. Long190 y R. P. Mc Donald191. Asimismo, el sociólogo argentino Juan Carlos Rego publicó una excelente monografía que, con el título La marcha del análisis cuantitativo de datos espaciales, explica en detalle la metodología para la reducción factorial de las matrices de datos geográficos192. En cuanto al linkage analysis, o análisis en cadena, el método original se debe a J. Mc Quitty193 y realmente es muy sencillo. Básicamente consiste en elaborar un diagrama con las principales cadenas de asociación que resultan de la matriz de correlaciones (Rvxv) entre las variables. En primer lugar se agrupan todas las variables a partir de las correlaciones más significativas de cada una de las mismas, obteniéndose tantos grupos o factores como pares recíprocos contenga la matriz de correlaciones, que son los casos en que la mayor correlación, en módulo o valor absoluto, de una variable X1 es con otra X2 y viceversa. Por último, se interpretan los resultados alcanzados en el agrupamiento a la luz de la teoría y de los antecedentes empíricos y se intenta dar un nombre a cada grupo o factor. Existen algunas variantes del análisis en cadena que parten de la clasificación de todas las correlaciones de la matriz (Rvxv) en función de sus distintos niveles de significación, los que se obtienen generalmente a partir de un test como el t de Student. Estas variantes han sido tratadas con cierto detalle por Juan Carlos Rego en la obra citada anteriormente194. Finalmente, el cluster analysis consiste en un conjunto de métodos para la obtención de tipologías o clasificaciones, basados en algoritmos que permiten agrupar a los individuos estadísticos por su grado de semejanza respecto a las variables consideradas. En el caso particular del análisis espacial los individuos se denominan unidades espaciales y las clases resultantes tipologías espaciales, zonificaciones e inclusive regionalizaciones195. Una obra pionera del cluster analysis es la de R. C. Tryon196, publicada en 1939, y un algoritmo muy utilizado, inclusive hasta el presente, es el desarrollado por J. H. Ward197. Por otra parte, en la década del setenta se editaron numerosos manuales sobre el tema, entre los

187 TORRENS – IBERN, J. 1972. Mòdeles et méthodes de l’ analyse factorielle. Paris, Dunod. 188 GORSUCH, R. 1974. Factor analysis. Philadelphia (Pennsylvania), Saunders. 189 GODDARD, J.; KIRBY, A. 1976. An introduction to factor analysis. Geo Abstracts. Concepts and

Techniques in Modern Geography, 7. Norwich, 39 pp. 190 LONG, J. S. 1983. Confirmatory factor analysis. Beverly Hills (California), Sage. 191 MC DONALD; R. P. 1985. Factor analysis and related methods. Hillsdale (New Jersey), Lawrence Elrbaum

Association. 192 REGO, J. C. 1978. Op. cit., pp. 27 – 102. 193 MC QUITTY, J. 1957. Elementary linkage analysis for isolating orthogonal and oblique types and typal

relevancies. Educational and psychological Measurement, 17: 207 – 229. 194 REGO, J. C. 1978. Op. cit., pp. 19 – 25. 195 KUNZ, I. 1988. El uso de la estadística en la construcción de clasificaciones y regionalizaciones. México D.

F., Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). 196 TRYON, R. C. 1939. Cluster analysis. Ann Arbor (Michigan), Edward Brothers. 197 WARD, J. H. 1963. Hierarchical grouping to optimize an objective function. Journal of the American

Statistical Association, 58: 236 – 244.

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que nos permitimos mencionar los de M. R. Anderberg198, P. H. A. Sneath y R. R. Sokal199, B. Everitt200, J. A. Hartigan201 y J. L. Chandon y S. Pinson202. Más recientemente aparecieron los libros de H. Spath203, M. Aldenferder y R. Blashfield204 y L. Kaufman y P. J. Rousseeuw205. Al respecto, es de destacar que en nuestro medio se han aplicado distintos procedimientos de linkage analysis para la obtención de tipologías espaciales, tal como puede comprobarse en sendas publicaciones de Nidia S. Tadeo de Zapata206 y de quien suscribe207. Para terminar, debemos señalar que en las últimas décadas, en la literatura sobre la metodología del análisis multivariado se ha comenzado a diferenciar el análisis exploratorio de datos, básicamente de índole inductiva, tal es el caso del análisis de componentes principales, del análisis confirmatorio208, que es netamente deductivo, como por ejemplo el método del análisis factorial. Respecto a la metodología del análisis exploratorio, la obra clásica por excelencia es Análisis exploratorio de datos de J. W. Tukey209, publicada en 1977 en Reading (Massachusetts). En la década del ochenta le sucedieron varios textos dedicados a distintos aspectos de la problemática, todos ellos en idioma inglés, como los de P. Velleman y D. C. Hoaglin210, D. C. Hoaglin y F. Mosteller211, D. C. Hoaglin, F. Mosteller y J. W. Tukey212 y C. Marsh213. En particular, merece resaltarse este último, referido al análisis exploratorio de datos en las ciencias sociales.

198 ANDERBERG, M. R. 1973. Cluster analysis for applications. New York, Academic Press, 359 pp. 199 SNEATH, P. H. A.; SOKAL, R. R. 1973. Numerical taxonomy. The principles and practice of numerical

classification. San Francisco (California), W. F. Freeman and Co., 2º edición, 573 pp. 200 EVERITT, B. 1974. Cluster analysis. London, Heinemann. 201 HARTIGAN, J. A. 1975. Clustering algorithms. New York, John Wiley and Sons. 202 CHANDON, J. L.; PINSON, S. 1979. Les méthodes d’ analyse typologique. Paris, Masson. 203 SPATH, H. 1980. Cluster algorithms for data reduction and classification of objects. Chichester (West

Sussex), Ellis Horwood and Halted Press. 204 ALDENFERDER, M; BLASHFIELD, R. 1984. Cluster analysis. Beverly Hills (California), Sage. 205 KAUFMAN, L.; ROUSSEEUW, P. J. 1990. Finding groups in data. An introduction to cluster analysis. New

York, John Wiley and Sons. 206 TADEO de ZAPATA, N. S. 1984. El desarrollo de la electrificación rural en el partido de Magdalena. Su

incidencia en la actividad agropecuaria. La Plata, Universidad Nacional de La Plata, 80 pp., 25 figs. 207 SÁNCHEZ, D. C. 1985b. Aplicación del análisis en cadena a la construcción de regiones: un ejemplo para el

Comahue. En: XLVIIº Semana de Geografía. Contribuciones científicas. Mendoza, GAEA, v. 2, pp. 479 - 493. ASTINZA, M.; SÁNCHEZ, D. C. 2004. Las tasas migratorias de las provincias argentinas 1991 - 2001: estimaciones, explicaciones e interpretaciones. Signos Universitarios. Revista de la Universidad del Salvador.

208 LONG, J. S. 1983. Op. cit. 209 TUKEY, J. W. 1977. Exploratory data analysis. Reading (Massachusetts), Addison – Wesley. 210 VELLEMAN, P.; HOAGLIN, D. C. 1981. Applications, basics, and computing of exploratory data analysis.

Boston (Massachusetts), Duxbury Press, 354 pp. 211 HOAGLIN, D. C.; MOSTELLER, F. 1983. Understanding robust and exploratory data analysis. New York,

John Wiley and Sons. 212 HOAGLIN, D. C.; MOSTELLER, F.; TUKEY, J. W. 1985. Exploring data, tables, trends and shapes. New

York, John Wiley and Sons, 527 pp. 213 MARSH, C. 1988. Exploring data. An introduction to data analysis for social scientists. Cambridge, Polity

Press, 385 pp.

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Ya en los años noventa del siglo veinte aparecieron dos obras en castellano: la de M. Freixa214 y la de J. Bosque Sendra y A. Moreno Jiménez215, ambas publicadas en la ciudad de Barcelona.

LAS NUEVAS TEORÍAS MATEMÁTICAS SURGIDAS DEL NEOPOSITIVISMO La matemática moderna Al igual que cualquier otra rama del conocimiento, nuestro sistema numérico no ha permanecido estático a través del tiempo; por el contrario, se ha ido enriqueciendo y esto ha hecho que los números ya no se conciban hoy de la misma manera que hace un siglo. Ocurre que la matemática, una de las ciencias más antiguas, crece y expande sus áreas de investigación como cualquier otra ciencia, desarrollando nuevas ideas y también nuevos conceptos y líneas de investigación. De la mano del desarrollo de la lógica216, junto con estas nuevas ideas se fue produciendo un nuevo vocabulario matemático, y los textos actuales de matemática están llenos de expresiones bastante recientes, como teoría de grupos217, anillo, cuerpo, isomorfismo, homomorfismo, etc.. Pero esto no significa que la nueva matemática218 o matemática moderna219, o en particular el álgebra moderna220, difieran totalmente de lo que eran en el siglo XIX. Los números y el espacio siguen siendo el corazón de la matemática, pero ahora se los estudia de un modo más general, intentando descubrir reglas válidas para distintos campos en que se puedan efectuar las operaciones. Veamos un párrafo al respecto de Irving Adler221: 214 FREIXA, M. et al. 1992. Análisis exploratorio de datos: nuevas técnicas estadísticas. Barcelona, PPU, 296

pp. 215 BOSQUE SENDRA, J.; MORENO JIMÉNEZ, A. 1994. Prácticas de análisis exploratorio y multivariante de

datos. Barcelona, Oikos - Tau, Prácticas de Geografía Humana, 214 pp. 216 TARSKI, A.1939. Introduction to logic. Oxford (UK), Oxford University Press. (Traducción: Buenos Aires,

Espasa Calpe Argentina, 1951.) CHURCH, A. 1956. Introduction to mathematical logic. Princeton (New Jersey), Princeton University Press. VAN HEIJENOORT, J. 1967. From Frege to Gödel – A source book in mathematical logic, 1879–1931. Cambridge (Massachusetts), Harvard University Press. MATES, B. 1971. Lógica matemática elemental. Madrid, Tecnos. TARSKI, A. 1971. Logique, sémantique, métamathématique. Paris, Armand Colin, 2 vv. CARNAP, R. 1975. Op. cit. SUPPES, P. 1979. Introducción a la lógica simbólica. México D. F., Cecsa. QUINE, W. V. O. 1993. Los métodos de la lógica. Barcelona, Planeta – Agostini. ALCHOURRÓN, C.; MÉNDEZ, J.; DRAYEN, R. (Comps.) 1998. Lógica. Madrid, Trotta, Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía, 7.

217 ZASSENHAUS, H. 1937. Lerbuch der gruppentheorie. Leipzig, B. G. Teubner. SMIRNOV, V. I. 1961. Linear algebra and groups theory. New York, Mc Graw – Hill.

218 ADLER, I. 1967. La nueva matemática. El fascinante reino de los números. Buenos Aires, EUDEBA Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Ciencia Joven, 33, 286 pp. (Edición original: New York, The John Day Company.)

219 PAPY, G. 1971. Matemática moderna. EUDEBA Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección La escuela en el tiempo, 3º edición, 5 vv. (1º edición: 1968; Edición original: Bruxelles, Marcel Didier Ed., 1964-1967, 5 vv.)

220 BIRKOFF, G.; MAC LANE, S. 1953. A survey of modern algebra. London, Macmillan, 1953. (Traducción: Álgebra moderna. Barcelona, Teide, 1954.) VAN DER WAERDEN, B. L. 1953. Modern algebra. New York, Ungar. CHATELET, A. 1954. Arithmétique et algèbre modernes. Paris, Presses Universitaires de France. SAGASTUME BERRA, A. 1961. Lecciones de álgebra moderna. Buenos Aires, Kapelusz..

221 ADLER, I. 1967. Op. cit., p. 10.

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“El matemático considera el sistema numérico como un complejo de estructuras interrelacionadas. Estudia estas estructuras en forma separada y en sus relaciones mutuas. La exploración de estas estructuras ha revelado que tenemos no un sistema numérico, sino varios sistemas numéricos; no un álgebra, sino varias álgebras, no una geometría, sino varias geometrías; no un espacio, sino varios espacios. Al generalizarse las propiedades de los números y el espacio, se ha pluralizado el objeto de la matemática.” En síntesis, estos espacios que se definen en las matemáticas tienen un reflejo en la realidad, y como dijo hace poco el brillante matemático ruso – argentino Misha Cotlar222, el gran misterio de las matemáticas es precisamente “que algo tan abstracto rija el mundo material”.

La investigación operativa Estrechamente asociados a la doctrina filosófica del neopositivismo y al desarrollo de la estadística científica, a partir de la segunda mitad del siglo pasado se fueron consolidando algunos nuevos campos de estudio dentro de las matemáticas aplicadas a las ciencias fácticas. Entre ellos se destacó, sobre todo, la denominada investigación operativa, disciplina nacida durante la Segunda Guerra Mundial con fines estrictamente bélicos y, finalizada la misma, aplicada en muy diversos campos del conocimiento. El rápido crecimiento de la investigación operativa queda de manifiesto si comprobamos que, a fines de los años cincuenta del siglo pasado, ya existían en varios países publicaciones periódicas dedicadas a este campo del saber: en Estados Unidos la Operations Research de Baltimore, en Francia la Revue de Recherche Opérationnelle de París, en Inglaterra el Operations Research Quarterly de Londres, en Bélgica la Revue Belge de Recherche Opérationnelle et Statistique de Bruselas, en Italia el Bolletino del Centro per la Ricerca Operativa de Milán, en Austria la revista Unternehmensforschung de Viena, e inclusive en Argentina se podrían mencionar las publicaciones sistemáticas del Grupo de Investigación Operativa del CITEFA de Buenos Aires. La investigación operativa constituye un conjunto de métodos y técnicas, matemáticas y estadísticas, que tienen por objeto el análisis científico de las organizaciones, la determinación de sus estructuras óptimas y la resolución de problemas que implican una toma de decisiones fundamentada, ante muchas posibles soluciones. Los primeros aportes importantes al respecto se produjeron en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) a partir de mediados del siglo pasado, en que comenzaron a realizarse cursos de verano sobre investigación operativa. Se recuerdan, como una obra pionera, los Métodos de investigación operativa de P. M. Morse y G. E. Kimball223, publicados conjuntamente por el MIT y la editorial John Wiley and Sons de New York en 1951.

222 MOLEDO, L. 2006. Misha Cotlar, uno de los mitos de la época de oro de la UBA: “Soy un estudiante de

matemáticas”. Página 12, 24 de mayo de 2006. Buenos Aires. 223 MORSE, P. M.; KIMBALL, G. E. 1951. Methods of operations research. New York, The Massachusetts

Institute of Technology Press and John Wiley and Sons.

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Entre los libros posteriores pueden citarse Investigación operativa para la administración, editado por Clushen224 en 1956; Introducción a la investigación operativa de C. W. Churchman, R. L. Ackoff y E. L. Arnoff225, profesores del Instituto de Tecnología CASE de Cleveland (Ohio), publicado en 1957; Métodos y modelos de la investigación operativa (Las matemáticas de la empresa) del francés A. Kaufmann226, profesor del Instituto Politécnico de Grenoble, editado por Dunod de Paris; Métodos matemáticos de la investigación operativa de Thomas L. Saaty227; e Investigación operativa. Métodos y problemas de M. Sasieni, A. Yaspan y L. Friedman228, los tres últimos publicados en 1959. Vale recordar que en 1958 y 1959, en la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, el ingeniero Isidoro Marín dictó sendos cursos sobre temas específicos de la investigación operativa, y en 1960 el Centro de Estudiantes de dicha casa de altos estudios publicó en dos volúmenes una versión mecanográfica de tales cursos que constituye, aún hoy, un excelente manual sobre la cuestión229. El primer volumen de este manual se refiere a la programación lineal, y el segundo, que se editó repitiendo por error el subtítulo del primero, en realidad responde a la temática probabilística de la teoría de los juegos. A posteriori aparecieron obras como Aplicación práctica de la investigación operativa, de M. Spilman230; La investigación operativa de Robert Faure, Jean Pierre Boss y André Le Garff231, traducida por la editorial EUDEBA de la Universidad de Buenos Aires; Investigación operativa y organización232, publicada por Aguilar de Madrid; Teoría económica y análisis operativo, de W. J. Baumol233; La investigación operativa como instrumento de la dirección, del italiano L. Negri Patroni234, traducida al español por la Sociedad Ibérico Europea de Ediciones; Introducción a la investigación operativa, de F. S.

224 CLUSHEN, W. E. (Ed.) 1956. Operational research for management. Baltimore (Madison), The John

Hopkins University Press – Department of Operational Research, 2 vv. 225 CHURCHMAN, C. W.; ACKOFF, R. L.; ARNOFF, E. L. (Eds.) 1957. Introduction to operations research.

New York, John Wiley and Sons. (Traducción al francés: Élements de recherche opérationnelle. Paris, Dunod, 1961. Collection Organisation et gestion scientifiques, viii y 572 pp.)

226 KAUFMANN, A. 1959. Méthodes et modèles de la recherche opérationnelle (Les mathématiques de l’entreprise). Paris, Dunod, Collection L’économie d’entreprise, 7. (2º edición: 1962, xxii y 534 pp.)

227 SAATY, T. L. 1959. Mathematical methods of operations research. New York, Mc Graw - Hill. 228 SASIENI, M.; YASPAN, A.; FRIEDMAN, L. 1959. Operations research. Methods and problems. New

York, John Wiley and Sons. 229 MARÌN, I. 1960. Investigación operativa. Buenos Aires, CEI. Centro de Estudiantes de Ingeniería La Línea

Recta, 2 vv., 128 pp. y 266 pp. 230 SPILMAN, M. 1960. Application pratique de la recherche opérationnelle. Paris, Eyrolles. 231 FAURE, R.; BOSS, J. P.; LE GARFF, A. 1961. La recherche opérationnelle. Paris, Presses Universitaires de

France. (Traducción: Buenos Aires, EUDEBA, 1966, Cuadernos de EUDEBA, 110; 2° edición: 1967, 118 pp.)

232 AFCOS. 1962. Investigación operativa y organización. Madrid, Aguilar, Biblioteca de Economía, Organización y Problemas de la Empresa.

233 BAUMOL, W. J. 1965. Economic theory and operations analysis. New Jersey, Prentice Hall – Englewood Cliffs.

234 NEGRI PATRONI, L. 1965. Strumenti matematici per le decisioni aziendall. Milán, Franco Angeli Editore. (Traducción: La investigación operativa como instrumento de la dirección. Madrid, Ibérico Europea de Ediciones, La Empresa Moderna, 1967, 343 pp.)

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Hillier y G. J. Lieberman235 y Fundamentos de investigación operativa, de R. L. Ackoff y N. W. Sasieni236.

La teoría de los juegos La investigación operativa se centró fundamentalmente en dos grandes capítulos: la teoría de los juegos y la programación lineal. Respecto a la teoría de los juegos, sus métodos parten de la teoría de las probabilidades y abarcan cuestiones tales como la teoría de la cola o espera en fila, los modelos de stock y la teoría de fallas y reemplazos. La teoría de la cola o espera en fila se aplica a problemas que comprenden flujos y su objeto es analizar las capacidades de atención de los sistema posibles para determinar el óptimo. Se utiliza para cuestiones tales como el movimiento de aviones en un aeropuerto o de ómnibus y trenes en estaciones terminales, la carga y descarga de buques, la atención de equipos en una fábrica, pacientes en una clínica, público en ventanillas o automóviles en estaciones de servicio; la programación de semáforos o centrales telefónicas, etc.237 En cuanto a los modelos de stock, contribuyen a la toma de decisiones respecto al nivel óptimo de reservas en un inventario, por debajo del cual debe realizarse una reposición. Sus aplicaciones incluyen, por ejemplo, a los productos para la venta, las materias primas para la fabricación de un producto, los insumos para el trabajo en una oficina, etc. Por su parte, la teoría de fallas y reemplazos intenta contribuir a la toma de decisiones respecto a la estrategia a seguir con las maquinarias e instrumentos que se desgastan, pierden eficiencia o están sujetos a una falla repentina. En tal sentido, se han elaborado dos tipos básicos de modelos: los de elementos que se deterioran y los de elementos que fallan o mueren. El origen de la teoría de los juegos debe buscarse en los clásicos juegos de estrategia militar238 y la obra pionera, publicada en el año 1953, correspondió a J. von Neumann y O. Morgenstern y se tituló Teoría de los juegos y comportamiento económico239. Le sucedió Teoría de los juegos y programación lineal de S. Vajda240, de 1956, traducida en Buenos Aires por EUDEBA diez años más tarde. Por los años sesenta se recuerdan los libros Juegos de estrategia: teoría y aplicaciones, de M. Dresher241; Juegos de guerra, de D. F. Featherstone242; Hombre, juego y juegos de R. 235 HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. 1967. Introduction to operations research. San Francisco (California),

Holden – Day, 639 pp. 236 ACKOFF, R. L.; SASIENI, N. W. 1968. Fundamentals of operations research. London, John Wiley and

Sons. 237 MARÌN, I. 1960. Op. cit., v. 2, p. 65. 238 YOUNG, J. P. 1956. A brief history of war gaming. Baltimore (Madison), The John Hopkins University Press

– Department of Operational Research. 239 VON NEUMANN, J.; MORGENSTERN, O. 1953. Theory of games and economic behaviour. Princeton

(New Jersey), Princeton University Press. (2º edición: 1964.) 240 VAJDA, S. 1956. The theory of games and linear programming. London, Methuen and Co. (Traducción:

Introducción a la programación lineal y a la teoría de juegos. Buenos Aires, EUDEBA, 1966.) 241 DRESHER, M. 1961. Games of strategy: theory and applications. New Jersey, Prentice Hall - Englewood

Cliffs. 242 FEATHERSTONE, D. F. 1962. War games. London, Stanley Paul.

43

Callois243; Avances en la teoría de los juegos, de M. Dresher, L. S. Shapley y A. W. Tucker244; Teoría de los juegos y enfoques relativos al comportamiento social, editado por M. Shubik245; Los juegos que juega la gente, de E. Berne246; y posteriormente La teoría de los juegos, de Morton D. Davis247, publicada por Armand Colin de París en 1973. En cuanto a los textos sobre aspectos específicos, en lo que respecta a la teoría de la cola los primeros se publicaron en 1958, y son Colas, inventarios y mantenimiento, del ya citado P. M. Morse248, y Tablas de colas finitas, de L. G. Peck y R. N. Hazelwood249. Ese mismo año, el Grupo de Investigación Operativa del CITEFA publicó en Buenos Aires tres monografías referidas a distintos aspectos de esta problemática: Introducción a la teoría de la cola de A. Durañona y Vedia250, Contribución a la teoría de la cola simple, de A. Durañona y Vedia y H. Reggini251, y Teoría de la cola. Canales y fuentes múltiples, de H. Reggini252. A su vez, en 1961 los franceses A. Kaufmann y R. Cruon253, del Instituto Politécnico de Grenoble, publicaron Los fenómenos de espera. Teoría y aplicaciones. Sobre los modelos y problemas de stock e inventarios, un artículo pionero de A. Dvoretzky, J. Kiefer y J. Wolfowitz254 se publicó en dos partes en la revista Econometrica, en 1952, con el tituló El problema del inventario. Pocos años después aparecieron dos importantes libros: La teoría de la administración de inventarios de T. W. Whitin255 en 1957 y Estudios sobre la teoría matemática de inventarios y producción de K. J. Arrow, S. Karlin y H. Scarf256. En lo que atañe a la teoría de fallas y reemplazos, el libro más antiguo de que tenemos noticia es El estado presente de la teoría de reemplazos de G. A. Preinreich257, publicado en Baltimore en 1940, y otra obra pionera fue Política dinámica de equipamiento de G. Terborgh258, del año 1949.

250

243 CALLOIS, R. 1963. Man, play and games. London, Thames and Hudson. 244 DRESHER, M.; SHAPLEY, L. S.; TUCKER, A. W. (Eds.) 1964. Advances in game theory. Princeton (New

Jersey), Princeton University Press. 245 SHUBIK, M. (Ed.) 1964. Game theory and related approaches to social behaviour. New York, John Wiley

and Sons. 246 BERNE, E. 1968. Games people play. Harmondsworth (Middlesex), Penguin Books. 247 DAVIS, M. D. 1973. La théorie des jeux. Paris, Armand Colin. 248 MORSE, P. M. 1958. Queues, inventories and maintenance. New York, John Wiley and Sons. 249 PECK, L. G.; HAZELWOOD, R. N. 1958. Finite queuing tables. New York, John Wiley and Sons.

DURAÑONA Y VEDIA, A. 1958. Introducción a la teoría de la cola. Buenos Aires, CITEFA – Grupo de Investigación Operativa.

251 DURAÑONA Y VEDIA, A.; REGGINI, H. 1958. Contribución a la teoría de la cola simple. Buenos Aires, CITEFA – Grupo de Investigación Operativa.

252 REGGINI, H. 1958a. Teoría de la cola. Canales y fuentes múltiples. Buenos Aires, CITEFA – Grupo de Investigación Operativa.

253 KAUFMANN, A.; CRUON, R. 1961. Les phénomènes d’attente. Théorie et applications. Paris, Dunod, xiv y 274 pp.

254 DVORETZKY, A.; KIEFER, J.; WOLFOWITZ, J. 1952. The inventory problem. Econometrica, 20: 187 – 222 y 450 – 466.

255 WHITIN, T. M. 1957. The theory of inventory management. New Jersey, Princeton University Press. 256 ARROW, K. J.; KARLIN, S.; SCARF, H. 1958. Studies in the mathematical theory of inventory and

production. Stanford (California), Stanford University Press. 257 PREINREICH, G. A. 1940. The present status of renewal theory. Baltimore, Waverly Press. 258 TERBORGH, G. 1949. Dynamic equipment policy. New York, Mc Graw Hill.

44

A estas obras les sucedieron Análisis para la administración de la producción de E. H. Bowman y R. B. Fetter259 e Ingeniería de sistemas de H. H. Goode y R. E. Machol260, ambas publicadas en 1957. Asimismo, el ya citado H. Reggini261 publicó en el CITEFA, en 1958, dos trabajos sobre el análisis probabilístico de las fallas en los equipos. Una especialización de particular interés para los geógrafos ha sido la de los denominados juegos urbanos, tema sobre el cual puede leerse una obra de Martin Kuezlen262 titulada precisamente Jugando juegos urbanos; pero también se han escrito algunos libros y numerosos artículos científicos referidos exclusivamente a la aplicación de la teoría de los juegos en geografía263, sobre lo cual nos referiremos con mayor detalle más adelante. Por otra parte, uno de los métodos más difundidos de la teoría de los juegos es el conocido como método de Monte Carlo, llamado así por el célebre casino del principado de Mónaco, haciendo referencia a su carácter estocástico o probabilístico, semejante al de los juegos de azar. Este método ha sido bastante utilizado por los geógrafos, siendo un pionero el sueco Törsten Hägerstrand, quien lo aplicó en sus estudios de difusión de innovaciones264. Las bases teóricas de sus distintas variantes pueden encontrarse en una obra de M. H. Kalos y P. A. Whitlock265. En otro orden de cosas, la teoría de los juegos se halla estrechamente ligada a los modelos de simulación. Respecto a esto último, algunas obras útiles para los cultores del análisis espacial fueron Simulación en ciencias sociales, editada por H. Guetzkow266 en 1962; Sistemas y simulación de D. N. Chorafas267, del año 1965; Fundamentos de simulación de J. H. Mize y J. G. Cox268, de 1968; Simulando el desarrollo económico regional, de W. H. Miernyk269, publicado en 1970; y Evolución de los modelos de simulación de políticas de Robert Pugh270, de 1977, todas obras publicadas en idioma inglés. Desde fines de los años sesenta, la producción de manuales sobre modelos de simulación se centró en la utilización de las herramientas informáticas, tal como puede verse en los libros de F. F. Martin271, J. U. M. Smith272 y B. R. Wilkins273; y en lo que respecta a los geógrafos las 259 BOWMAN, E. H.; FETTER, R. B. 1957. Analysis for production management. Chicago (Illinois), Irwin. 260 GOODE, H. H.; MACHOL, R. E. 1957. System engineering. New York, Mc Graw Hill. 261 REGGINI, H. 1958b. Análisis de evolución de un conjunto de elementos análogos. Buenos Aires, CITEFA –

Grupo de Investigación Operativa. REGGINI, H. 1958c. Análisis probabilístico de fallas en equipos. Buenos Aires, CITEFA – Grupo de Investigación Operativa.

262 KUEZLEN, M. 1972. Playing urban games. Boston (Massachusetts), I Press. 263 COLE, J. P. 1966. Geographical games. Nottingham, University of Nottingham – Department of Geography.

WALDORF, R. 1969. Games in geography. London, Longman, Education Today (5º reimpresión: 1973, 123 pp.). MINSHULL, R. et. al. 1972. Simulation games in geography. London, Macmillan.

264 HÄGERSTRAND, T. 1965. A Monte Carlo approach to diffusion. European Journal of Sociology, 6: 43 - 67. 265 KALOS, M. H.; WHITLOCK, P. A. 1986. Monte Carlo methods. New York, John Wiley and Sons. 266 GUETZKOW, H. (Ed.) 1962. Simulation in social sciences: readings. New Jersey, Prentice Hall –

Englewood Cliffs. 267 CHORAFAS, D. N. 1965. Systems and simulation. New York, Academic Press. 268 MIZE, J. H.; COX, J. G. 1968. Essentials of simulation. London, Prentice – Hall International, 234 pp. 269 MIERNYK, W. H. et al. 1970. Simulating regional economic development. Lexington (Massachusetts), Heath

Lexington Book. 270 PUGH, R. 1977. Evolution of policy simulation models. Washington D. C., Information Resources Press. 271 MARTIN, F. F. 1968. Computer modeling and simulation. New York, John Wiley and Sons, 331 pp. 272 SMITH, J. U. M. 1968. Computer simulation models. London, Charles Griffin and Co., 112 pp.

45

aplicaciones han tenido que ver principalmente con los sistemas urbanos y con el análisis de redes, temas sobre los que nos referiremos en otros aportes. La programación lineal

En cuanto a la programación lineal, otro de los grandes temas de la investigación operativa, sus métodos parten, al igual que los de análisis multivariado, del álgebra lineal274 y su análisis matricial275, y sus primeras aplicaciones no bélicas permitieron resolver problemas económicos de asignación, de transporte y de distribución. El álgebra lineal o matricial había alcanzado una importante madurez durante la primera mitad del siglo pasado, tal como puede verse en libros como Ecuaciones lineales integrales de W. V. Louitt276; Curso de calculo matricial aplicado de M. Denis – Papin y A. Kaufmann277, ambos publicados en 1950; Introducción a las matemáticas finitas, traducido al francés como Álgebra moderna y actividades humanas, de J. G. Kemeny, J. L. Snell y G. L. Thomson278; Espacios vectoriales y matrices de R. M. Trall y L. Tornheim279, los dos del año 1957 ; y Ejercicios de cálculo matricial aplicado de M. Denis – Papin, R. Faure y A. Kaufmann280, publicado en París en 1958. Por su parte, los desarrollos matemáticos de la programación lineal tienen como principal antecedente las obras Computación lineal de P. S. Dwyer281, de 1951, y Una introducción a la programación lineal de A Charnes, W. W. Cooper y A. Henderson282, de 1953, ambas publicadas por John Wiley and Sons de New York. Esta editorial presentó otros dos libros sobre el tema en 1958: Lecturas sobre programación lineal de S. Vajda283 y Programación científica en negocios e industria de A. Vazsonyi284. En 1958 la editorial Mc Graw - Hill de la misma ciudad publicó también tres trabajos sobre el particular: Programación lineal y análisis económico, de Robert Dorfman, Paul Samuelson y

273 WILKINS, B. R. 1970. Analogue and iterative methods in computation. Simulation and control. London,

Chapman and Hall, 276 pp. 274 JAEGER, A. 1960. Introduction to analytic geometry and linear algebra. New York, Henry Holt, Rinehart

and Winston. GELFAND, I. M. 1961. Lectures of linear algebra. New York, Interscience Publishers. HADLEY, G. F. 1961. Linear algebra. Reading (Massachusetts), Addison – Wesley. COTLAR, M.; RATTO de SADOSKY, C. 1966. Introducción al álgebra. Nociones de álgebra lineal. Buenos Aires, EUDEBA Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Ediciones Previas / Matemática, 4º edición, 280 pp. (1º edición: 1962.)

275 GANTMACHER, F. R. 1959. The theory of matrices. New York, Chelsea. BELLMAN, R. 1960. Introduction to matrix analysis. New York, Mc Graw – Hill.

276 LOUITT, W. V. 1950. Linear integral equations. New York, Dover Publications Inc. 277 DENIS – PAPIN, M.; KAUFMANN, A. 1950. Cours de calcul matriciel appliqué. Paris, Albin Michel. 278 KEMENY, J. G.; SNELL, J. L.; THOMPSON, G. L. 1957. Introduction to finite mathematics. New Jersey,

Prentice Hall – Englewood Cliffs. (Traducción al francés: Algèbre moderne et activités humaines. Paris, Dunod, 1960.)

279 TRALL, R. M.; TORNHEIM, L. 1957. Vector spaces and matrices. New York, John Wiley and Sons. 280 DENIS – PAPIN, M.; FAURE, R.; KAUFMANN, A. 1958. Exercices de calcul matriciel appliqué. Paris,

Eyrolles. 281 DWYER, P. S. 1951. Linear computations. New York, John Wiley and Sons. 282 CHARNES, A.; COOPER, W. W.; HENDERSON, A. 1953. An introduction to linear programming. New

York, John Wiley and Sons. 283 VAJDA, S. 1958. Readings in linear programming. New York, John Wiley and Sons. 284 VAZSONYI, A. 1958. Scientific programming in business and industry. New York, John Wiley and Sons.

46

Robert Solow285, traducido al español cuatro años más tarde por Aguilar de Madrid; Programación lineal, de George A. Ferguson y J. Sargent286; y Programación lineal. Métodos y aplicaciones de S. I. Gass287, varias veces reeditado. Por aquel entonces también merece mencionarse un conjunto de publicaciones realizadas por el CITEFA de Buenos Aires, referidas a cuestiones específicas de la programación lineal, tales como la aplicación de poliedros convexos288, la resolución de problemas de transporte289 y de asignación290, el método Simplex291 para la maximización de beneficios o la minimización de costos, y el problema dual de la programación lineal292. Respecto a esto último, el dual de un problema de maximización es un problema de minimización y viceversa, de manera que cuando un problema de maximización puede ser resuelto mediante un planteo de programación lineal, utilizando la misma información un problema de minimización podrá ser resuelto mediante el dual del planteo original293. Avances posteriores se registraron en textos tales como Métodos computacionales y álgebra lineal de V. N. Faddeeeva294; y Cálculo lineal de J. M. Souriau295, ambos del año 1959; La teoría de los modelos económicos lineales, de D. Gale296; Programación lineal de George F. Hadley297; Inferencia estadística lineal y sus aplicaciones, de C. R. Rao298; Introducción a los modelos lineales y al diseño y análisis de experimentos, de W. Mendenhall299; y por los años setenta Modelos lineales de S. R. Searle300 y Modelos estadísticos lineales: interpretación y aplicaciones de R. I. Méndez301. También merecen citarse dos obras sobre el tema pensadas exclusivamente para los

285 DORFMAN, R.; SAMUELSON, P. S.; SOLOW, R. M. 1958. Linear programming and economic analysis.

New York, Mc Graw – Hill. (Traducción: Madrid, Aguilar, 1962.) 286 FERGUSON; G. A.; SARGENT, J. 1958. Linear programming. New York, Mc Graw – Hill. 287 GASS, S. I. 1958. Linear programming. Methods and applications. New York, Mc Graw – Hill. (3º edición:

1969, 325 pp.) 288 MARÍN, I. 1958a. Poliedros convexos y programación lineal. Buenos Aires, CITEFA – Grupo de

Investigación Operativa. 289 MARÍN, I. 1958b. Problema de transporte. Buenos Aires, CITEFA – Grupo de Investigación Operativa.. 290 MARÍN, I. 1958c. Problema de asignación. Buenos Aires, CITEFA – Grupo de Investigación Operativa.. 291 MARÍN, I. 1958e. Programación lineal – Método Simplex. Buenos Aires, CITEFA – Grupo de Investigación

Operativa. MOUJAN OTAÑO, M. 1958. Método Simplex. Buenos Aires, CITEFA – Grupo de Investigación Operativa.

292 MARÍN, I. 1958d. Obtención y significado del problema dual de programación lineal. Buenos Aires, CITEFA – Grupo de Investigación Operativa.

293 MARÌN, I. 1960. Op. cit, v. 1, pp. 122 – 126. 294 FADDEEEVA, V. N. 1959. Computational methods of linear algebra. New York, Dover.Publications Inc. 295 SOURIAU, J. M. 1959. Calcul linéaire. Paris, Presses Universitaires de France. 296 GALE, D. 1960. The theory of linear economic models. New York, Mc Graw – Hill. 297 HADLEY, G. F. 1962. Linear programming. Reading (Massachusetts), Addison - Wesley. 298 RAO, C. R. 1965. Linear statistical inference and its applications. New York, John Wiley and Sons. (2º

edición: 1973, 608 pp.) 299 MENDENHALL, W. 1968. Op. cit. 300 SEARLE, S. R. 1971. Linear models. New York, John Wiley and Sons, 532 pp. 301 MÉNDEZ, R. I. 1976. Modelos estadísticos lineales: Interpretación y aplicaciones. México D. F., FOCCAVI

– CONACYT, 140 pp.

47

científicos sociales: Álgebra matricial para científicos sociales de Paul Horst302, del año 1963, e Introducción al álgebra lineal para científicos sociales de Mills303, edición de 1968. La topología y la teoría de los grafos

Desde mediados del siglo pasado, y a partir de obras como Topología general de John Kelley304, traducida por la editorial EUDEBA de la Universidad de Buenos Aires, la topología, “rama de las matemáticas que estudia la posición y las relaciones entre puntos, líneas y superficies, sin tener en cuenta las formas ni el tamaño de las áreas”305, alcanzó también gran desarrollo. Una rama de la topología particularmente favorecida fue la teoría de los grafos, que recibió importantes contribuciones durante la década del cincuenta a partir de obras como La teoría de los grafos como modelo matemático en las ciencias sociales, de F. Harary y R. Z. Norman306 y Teoría de los grafos y sus aplicaciones, de Claude Berge307. Posteriormente se publicaron dos importantes libros de O. Ore308, un tratado de B Roy309 en dos volúmenes titulado Álgebra moderna y teoría de los grafos, un libro introductorio de W. L. Price310 y una muy buena síntesis del matemático argentino Fausto Toranzos311. Toranzos definió al grafo como “una terna G = (V;A;ϕ), donde V y A son conjuntos finitos y ϕ una aplicación que, a cada elemento de A, asocia un par de elementos de V. Los elementos de V se llaman vértices de G, los elementos de A serán las aristas de G, y ϕ será la aplicación de incidencia, que asocia a cada arista sus extremos o vértices”312. Se dirá entonces que un vértice y una arista del grafo son incidentes si el primero es extremo de la segunda. Un tipo especial de grafos son los grafos dirigidos u orientados, también denominados digrafos, que son aquellos en los que las aristas presentan una única dirección y se simbolizan mediante flechas. El estudio de los grafos dirigidos fue presentado en profundidad por F. Harary, R. Z. Norman y J. Cartwright313 en una obra publicada por la editorial Dunod de París en 1968.

302 HORST, P. 1963. Matrix algebra for social scientists. New York, Henry Holt, Rinehart and Winston. 303 MILLS, G. 1968. Introduction to linear algebra for social scientists. London, George Allen and Unwin. 304 KELLEY, J. L. 1955. General topology. Princeton (New Jersey), D. van Nostrand Co. (Traducción: Buenos

Aires, EUDEBA, Manuales, 1962; 2º edición: 1975, 336 pp.) 305 SÁNCHEZ, D. C. 1984. La teoría de los grafos y sus aplicaciones a los sistemas de transporte. Buenos

Aires, Universidad de Buenos Aires – Facultad de Filosofía y Letras – Cátedra de Análisis Matemático I, p. 3.

306 HARARY, F.; NORMAN, R. Z. 1953. Graph theory as a mathematical model in social science. Ann Arbor (Michigan), University of Michigan - Institute for Sociological Research.

307 BERGE, C. 1958. Theorie des graphes et leur applications. Paris, Dunod, 246 pp. (Traducción: Teoría de las redes y sus aplicaciones. México D. F., 1962, 246 pp.)

308 ORE, O. 1962. Theory of graphs. New York, American Mathematical Society. ORE, O. 1970. Les graphs et leur applications. Paris, Dunod.

309 ROY, B. 1970. Algébre moderne et theorie des graphes. Paris, Dunod, 2 vv. 310 PRICE, W. L. 1974. Introduction aux graphes et aux réseaux. Paris, Masson, 120 pp. 311 TORANZOS, F. A. 1976. Introducción a la teoría de los grafos. Washington D. C., Organización de los

Estados Americanos (OEA), 74 pp. 312 TORANZOS, F. A. 1976. Op. cit., p. 8. 313 HARARY, F.; NORMAN, R. Z.; CARTWRIGHT, J. 1968. Introduction á la theorie des graphes orientés.

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La teoría de los grafos, relacionada con la teoría matemática de la comunicación314, impactó de manera inmediata sobre el desarrollo del análisis de redes, aplicado entre los geógrafos y otros científicos espaciales tanto en los estudios de la infraestructura del transporte, como en los referidos a la geomorfometría de las cuencas fluviales. Así, el análisis de redes se centró en cuestiones tan diversas como el análisis de accesibilidad, los métodos de ruteo óptimo, el análisis de conectividad, el análisis de flujos, la determinación de regiones nodales, el análisis de sinuosidad o rodeo, los estudios de geomorfometría, etc. En efecto, a partir de mediados del siglo pasado se produjeron numerosos trabajos pioneros que aplicaron la teoría de grafos al análisis de la accesibilidad de los distintos puntos de la red; esto es, al estudio de la posición relativa de uno o varios de los nodos en relación con los demás nodos y con la totalidad del sistema considerado. Entre los principales aportes se recuerdan publicaciones de A. Shimbel315, A. Shimbel y W. Katz316 y el geógrafo F. R. Pitts317. En cuanto a los métodos de ruteo óptimo, todos ellos intentan resolver lo que se conoce habitualmente como el problema del viajante de comercio, que implica encontrar la combinación de recorridos que minimiza las distancias, los tiempos o los costos de transporte. Algunas contribuciones fueron realizadas por G. Dantzig, R. Fulkerson y S. Johnson318, W. Miehle319, Y. Boye320 y más recientemente K. Lombard y R. L. Church321. Por su parte, el análisis de conectividad de las redes se centra en el estudio de la eficiencia del sistema en su conjunto, que mucho tiene que ver con la cantidad de conexiones directas entre los distintos nodos, destacándose los trabajos pioneros de Z. Prihar322. Respecto al análisis de flujos, la obra más representativa ha sido Flujos y redes de L. R. Ford Jr. y D. R. Fulkerson323, publicada por la Universidad de Princeton (New Jersey) en 1962.

Modéles structuraux. Paris, Dunod.

314 SHANNON, C. E.; WEAVER, W. 1964. The mathematical theory of communication. Urbana, The University of Illinois Press, 125 pp.

315 SHIMBEL, A. 1953. Estructural parameters of communication networks. Bulletin of Mathematical Biophysics, 15: 501 – 507.

316 SHIMBEL, A.; KATZ, W. 1953. A new status index derived from socio – metric analysis. Psychometrica, 18: 39 – 43.

317 PITTS, F. R. 1965. A graph theoretic approach to historical geography. The Professional Geographer, 17 (5): 15 – 20. Association of American Geographers.

318 DANTZIG, G.; FULKERSON, R.; JOHNSON, S. 1954. Solution of a large – scale travelling – salesman problem. Operations Research, 2: 215 – 221.

319 MIEHLE, W. 1958. Link – length minimization in networks. Operations Research, 6: 232 – 243. 320 BOYE, Y. 1965. Routing methods: principles for handling multiple travelling salesman problems. Lund

Studies in Geography, C: General and Mathematical Geography, 5. 321 LOMBARD, K.; CHURCH, R. L. 1993. The gateway shortest path problem: generating alternative routes for

a corridor location problem. Geographical Systems, 1: 25 – 45. 322 PRIHAR, Z. 1956. Topological properties of telecommunication networks. Proceedings of the Institute of

Radio Engineers, 44: 929 – 933. 323 FORD, L. R. Jr.; FULKERSON, D. R. 1962. Flows in networks. Princeton (New Jersey), Princeton

University Press.

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La teoría de los grafos dirigidos fue aplicada en la década del setenta del siglo pasado por G. Kreweras324 y más recientemente merece destacarse muy especialmente al español Antonio Morillas Raya325, de la Universidad de Málaga, por sus estudios sobre el análisis económico regional input – output de la estructura productiva de Andalucía.

ACTUALES LÍNEAS DE ACCIÓN

La geometría fractal

Como acabamos de ver, del mismo modo que la metodología estadística, el crecimiento evidenciado por algunas ramas de la matemática contribuyó de manera inmediata en el desarrollo de nuevas líneas de investigación en las ciencias sociales y en la geografía en particular. Tal es el caso, durante las últimas décadas, del análisis espectral326, de los métodos de análisis no lineal327, utilizados entre otras cosas para la elaboración de modelos demográficos, y sobre todo de la geometría fractal y de la teoría de los sistemas dinámicos o teoría del caos. En efecto, a partir de los años ochenta cobraron mucha fuerza los estudios sobre geometría fractal, cuya denominación fue introducida en el lenguaje científico por el matemático francés Benoit Mandelbrot, quien tomó la palabra fractal del vocablo latino fractus, que significa fragmentado o irregular. Así, un objeto fractal es aquel cuya superficie es compleja e irregular, y a la vez presenta la característica que su geometría es similar sea cual fuere la escala a la que se observe. La geometría tradicional recurre a elementos simples, como el punto, la recta o el círculo, pero estas figuras no reflejan las formas de la naturaleza, que son mucho más complejas, con irregularidades a distintas escalas. Para ello se creó la geometría fractal, que permite estudiar cuestiones tan disímiles como los ecosistemas naturales, la superficie de las células cancerosas o las fluctuaciones de los precios en el mercado de valores. El francés Benoit Mandelbrot no sólo creó el término fractal, sino que también publicó los primeros tratados sobre el tema: originalmente Los objetos fractales: forma, azar y dimensión328, publicado por Flammarion de París en 1977 y traducido diez años más tarde por 324 KREWERAS, G. 1972. Graphes, chaines de Markov et quelques applications economiques. Paris, Dolloz. 325 MORILLAS RAYA, A. 1983a. Indicadores “topológicos” de las características estructurales de una tabla

input – output. Aplicación a la economía andaluza. Investigaciones Económicas, 20: 103 – 118. Madrid, Fundación Empresa Pública. MORILLAS RAYA, A. 1983b. La teoría de grafos en el análisis input – output. La estructura productiva andaluza. Málaga, Universidad de Málaga - Secretariado de Publicaciones. MORILLAS RAYA, A. 1995. Aplicación de la teoría de grafos al estudio de los cambios en las relaciones intersectoriales de la economía andaluza en la década de los ochenta. En: Instituto de Estadística de Andalucía. Contabilidad regional y tablas input – output de Andalucía 1990. Análisis de resultados. Sevilla, IEA, 2 vv., 630 pp., v. 1, pp. 89 – 141. MORILLAS RAYA, A. 1996. La teoría de grafos en el análisis económico regional. El agua como factor productivo en Andalucía. Boletín Económico de Andalucía, 21.

326 JENKINS, G. M.; WATTS, D. E. 1968. Spectrum analysis and its applications. San Francisco, Holden – Day, 350 pp.

327 BELLMAN, R. 1970. Methods of non – linear analysis. Volume 1. New York, Academic Press. RASBAND, S. N. 1989. Chaotic dynamics of non linear systems. Chichester (West Sussex), Wiley Interscience.

328 MANDELBROT, B. B. 1977. Les objects fractals: forme, hasard et dimension. Paris, Flammarion. (Traducción: Barcelona, Tusquets, 1987.)

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la editorial Tusquets de Barcelona; y luego La geometría fractal de la naturaleza329, publicado en California en 1982 y traducido por la editorial Gedisa, también en Barcelona. En 1982 apareció, asimismo, Los Fractales, de Ian Steward330, una obra de divulgación también en francés, y entre los múltiples aportes posteriores podemos resaltar los textos de J. Feder331, K. Falconer332, T. Vicsek333, B. H. Kaye334, H. E. Stanley, E. F. Taylor y P. A. Trunfio335 y N. Lesmoir - Gordon, W. Rood y R. Edney336. Asimismo, en la República Argentina se publicó en 2002 una obra de divulgación de Gustavo Herren337 titulada Fractales: las estructuras aleatorias, correspondiente a la colección Compendios de la editorial Longseller de la ciudad de Buenos Aires. Por otra parte, desde comienzos de la década del noventa, las nuevas contribuciones teóricas sobre el tema han tendido a relacionar la geometría fractal con la teoría del caos y la complejidad, ya que se suele considerar a la primera como la forma estructural resultante de un proceso caótico338. Buenos ejemplos de esto son una obra de Heinz Otto Peitgen y Hans Jürgens339, publicada en Alemania en 1988; el texto Fractales y caos de A. J. Crilly, R. A. Earnshaw y H. Jones340 editado por Springer – Verlag en 1991; y el libro Caos y fractales: nuevas fronteras de la ciencia de H. O. Peitgen, H. Jurgens y D. Saupe341, publicado por la misma editorial un año más tarde. La teoría de los sistemas dinámicos o teoría del caos

En cuanto a la teoría de los sistemas dinámicos, el descubrimiento del caos es considerado por los físicos como la tercera gran revolución de la física del siglo veinte, después de la

329 MANDELBROT, B. B. 1982. The fractal geometry of the nature. San Francisco (California), W. F. Freeman.

(Traducción: Barcelona, Gedisa, 1998.) 330 STEWARD, I. 1982. Les fractals. Paris, Librairie Classique de Eugène Belin, Les Chroniques de Rose

Polymath. 331 FEDER, J. 1988. Fractals. New York, Plenum Press. 332 FALCONER, K. 1990. Fractal geometry: mathematical foundations and applications. New York, John

Wiley and Sons. 333 VICSEK, T. 1991. Fractal growth phenomena. Singapur, World Scientific, 2º edición. 334 KAYE, B. H. 1994. A random walk through fractal dimensions. Weinheim, VCH Verlagsgesellschaft. 335 STANLEY, H. E.; TAYLOR, E. F.; TRUNFIO, P. A. 1994. Fractals in science: an introductory course. New

York. Springer – Verlag. 336 LESMOIR - GORDON, N.; ROOD, W.; EDNEY, R. 2000. Introducing fractal geometry. London, Icon

Book. 337 HERREN, G. 2002. Op. cit. 338 CHRISTOFOLETTI, A. 1998. Perspectivas para el análisis de la complejidad y la autoorganización en

sistemas geomorfológicos. En: Matteucci, S. D.; Buzai, G. D. (Comp.) Sistemas ambientales complejos: herramientas de análisis espacial. Buenos Aires, EUDEBA, Colección Centro de Estudios Avanzados, 21, Cap. 3, p. 69.

339 PEITGEN, H. O.; JÜRGENS, H. 1988. Fraktale gezäbmtes chaos. Berlín, Carl S. F. von Siemens. 340 CRILLY, A. J.; EARNSHAW, R. A.; JONES, H. (Eds.) 1991. Fractals and chaos. New York, Springer –

Verlag. 341 PEITGEN, H. O.; JÜRGENS, H.; SAUPE, D. 1992. Chaos and fractals: new frontiers of science. New York,

Springer – Verlag.

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teoría de la relatividad y de la teoría cuántica, y sus consecuencias serían de trascendencia comparable a la que tuvieron éstas. La teoría de los sistemas dinámicos o teoría del caos considera que la mayoría de los sistemas dinámicos deterministas tienen movimientos tan complejos, que resulta imposible toda predicción para períodos de tiempo prolongados, así como extremadamente difícil su investigación. En estos casos es cuando se utiliza el concepto paradójico de caos determinista. “Los sistemas caóticos “parecen” o se presentan como aleatorios, aunque, sorprendentemente, se trata de sistemas deterministas (...), su estado actual determina su estado futuro (...), su comportamiento se explica a través de algunas leyes específicas y queda condicionado por las acciones iniciales que se ejerzan sobre él.”342 El caos es, entonces, un fenómeno muy general que excede en mucho a la ciencia física, manifiestándose, por el contrario, en los más variados campos del conocimiento, inclusive en astronomía, donde el movimiento de los planetas era considerado, hasta hace muy poco tiempo, como el ejemplo por antonomasia del movimiento perfectamente periódico. Por consiguiente, la teoría del caos tiene consecuencias muy importantes para la ciencia en general, ya que ahora puede saberse que hay sistemas aparentemente muy simples que pueden comportarse de un modo muy complejo, y que en un sistema caótico pequeñas variaciones de las condiciones iniciales pueden conducir a grandes divergencias del fenómeno final, con lo cual las predicciones resultan poco menos que imposibles. En síntesis, la teoría del caos afirma que hay ciertos sistemas particularmente sensibles en los cuales una pequeña perturbación puede producir grandes cambios. Edward N. Lorenz simbolizó esto gráficamente mediante lo que denominó el efecto mariposa, expresando que en tales sistemas “un aleteo de mariposa alcanzaría para desencadenar un ciclón”343. En principio, los sistemas caoticos son sistemas deterministas, ya que las ecuaciones y las condiciones iniciales especifican exactamente toda la evolución posterior de los hechos; pero en la práctica, sin embargo, estos sistemas se comportan de un modo aleatorio e imprevisible344. El ruso Ilya Prigogine, Premio Nobel de Química en 1977, fue el primero en advertir sobre los comportamientos caóticos: “Creo que fue en 1967 cuando utilicé por primera vez la noción de estructuras disipativas y, a partir de entonces, estas nociones han hecho su camino en muchos campos, e incluso se ha apropiado de ellas el dominio común; la ecología, la sociología y hasta la economía han venido siendo dominadas por la idea de inestabilidad. Aun los fenómenos que se habían considerado más armoniosos y previsibles están afectados por la Revolución caótica”.345 Entre las obras más importantes sobre la teoría del caos merece mencionarse, en primer lugar, la que Ilya Prigogine escribió en colaboración con I. Stengers en 1984, titulada Orden fuera

342 CARBÓN POSSE, E. 2001. La teoría del caos: ¿Caprichosas leyes del azar? Buenos Aires, Longseller,

Compendios, 4, 98 pp., p. 24. 343 CARBÓN POSSE, E. 2001. Ibídem, p. 10. 344 O’SULLIVAN, D. 2004. Complexity science and human geography. Transactions of The Institute of British

Geographers, 29: 282 – 295. London, IBG. 345 CARBÓN POSSE, E. 2001. Op. cit., p. 5.

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del caos: nuevo diálogo del hombre con la naturaleza346, publicada en Nueva York. También se debe destacar el libro Caos: la creación de una ciencia, del periodista científico James Gleick347, publicado en Inglaterra en 1987 pero traducido al español por Seix – Barral varios años más tarde. En 1989 se publicó también Explorando la complejidad, de G. Nicolis y el propio Ilya Prigogine348, y ese mismo año fueron publicadas las ya citadas de S. N. Rasband349 y otra de David Ruelle350. Durante la última década del siglo pasado se escribieron también numerosos tratados sobre el caos y la complejidad, destacándose el de N. K. Hayles351, el de M. M. Waldrop352, el de Edward N. Lorenz353, con aplicaciones a la meteorología, el de B. H. Kaye354, una versión española de la obra de David Ruelle355 con múltiples ejemplos de aplicación, y también los de J. Cohen e I. Stewart356 y P. Coveney y R. Highfield357, ambos publicados en Inglaterra. En nuestro medio podemos señalar la obra de divulgación de Eduardo Carbón Posse titulada La teoría del caos: ¿Caprichosas leyes del azar?, edición 2001 de Longseller358. Igualmente merece citarse el capítulo de E. Morin359 en la compilación de D. F. Schnitman, Nuevos paradigmas, cultura y subjetividad, editado por Paidós, así como un artículo de Claudio El Hasi360 en Ciencia Hoy de Buenos Aires, que aplica la teoría del caos al estudio de los procesos inflacionarios. © Darío César Sánchez Sánchez, D.C. 2010. El Positivismo, el Empirismo Lógico y las ramas de la Matemática que incidieron en la Geografía. Geografía y Sistemas de Información Geográfica. (GESIG-UNLU, Luján). Año 2, N° 2, Sección I:20-53. On-line: www.gesig-proeg.com.ar Recibido: 10 de mayo de 2010 - Aprobado: 7 de julio de 2010

346 PRIGOGINE, I.; STENGERS, I. 1984. Order out of chaos: man’s new dialogue with nature. New York,

Bantam. 347 GLEICK, J. 1987. Chaos: making a new science. Harmondsworth (Middlesex - UK), Viking Penguin Books.

(Traducción al español: Caos. La creación de una ciencia. Barcelona, Seix – Barral.) 348 NICOLIS, G.; PRIGOGINE, I. 1989. Exploring complexity. San Francisco (California), W. F. Freeman. 349 RASBAND, S. N. 1989. Op. cit. 350 RUELLE, D. 1989. Chaotic evolution and strange attractors. Cambridge (Inglaterra), Cambridge University

Press. 351 HAYLES, N. K. 1991. Chaos and order. Chicago (Illinois). The University of Chicago Press. 352 WALDROP, M. M. 1992. Complexity: The emerging science at the edge of order and chaos. Harmondsworth

(Middlesex), Penguin Books. 353 LORENZ, E. N. 1993. The essence of Chaos. Washington D. C., Washington University Press. (Traducción:

Madrid, Debate, 1995.) 354 KAYE, B. H. 1993. Chaos and complexity. Weinheim, Verlagsgesellschaft. 355 RUELLE, D. 1993. Azar y caos. Madrid, Alianza. 356 COHEN, J.; STEWART, I. 1995. The collapse of chaos. Harmondsworth (Middlesex), Penguin Books. 357 COVENEY, P.; HIGHFIELD, R. 1995. Frontiers of complexity: The search for order in a chaotic world.

London, Faber and Faber. 358 CARBÓN POSSE, E. 2001. Op. cit. 359 MORIN, E. 1995. Epistemología de la complejidad. En: Schnitman, D. F. (Comp.) Nuevos paradigmas,

cultura y subjetividad. Buenos Aires, Paidós, pp. 421 – 446. 360 EL HASI, C. D. 1998. Inflación y caos. Ciencia Hoy, 8 (45): 42 – 51. Buenos Aires.

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