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LOS NUMEROS REALES

Conjunto no vacío designado como ℜ y denominado conjunto de los números reales. En

él se define una relación de igualdad “ = ” y dos operaciones algebraicas “ + ” y “ . ”

Relación de igualdad

Definición: R = ⎨(a,b) en que a ∧ b ∈ ℜ ∧ a R b ⎬

Propiedades de la relación “ = ” :

A1 Reflexividad : ∀ a ∈ ℜ ⇒ a = a

A2 Simetría : ∀ a, b ∈ ℜ, si a = b ⇒ b = a

A3 Transitividad : ∀ a, b, c ∈ ℜ, si a = b ∧ b = c ⇒ a = c

Operaciones en ℜ

Definición: Adición o Suma (+) : (a,b) ∈ ℜ → a + b ∈ ℜ

Multiplicación o producto ( . ) : (a,b) ∈ ℜ → a . b ∈ ℜ

Propiedades de las operaciones ( + ) y ( . ) : B1 Conmutatividad : a + b = b + a B2 Asociatividad : a + ( b + c ) = ( a + b ) + a B3 Existe un elemento identidad para la suma : a + 0 = 0 + a = a B4 Existencia de elementos inversos para la suma : a + (-a) = (-a) + a = 0 B5 Conmutatividad : a . b = b . a B6 Asociatividad : a . ( b . c ) = ( a . b ) . c B7 Existe un elemento identidad para la multiplicación: a . 1 = 1 . a = a B8 Existencia de inversos para la multiplicación, si a ≠ 0 : a . a-1 = a-1 . a = 1 B9 Ley distributiva: a . ( b + c ) = a . b + a . c

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La compatibilidad entre estas dos operaciones y la relación de igualdad, se establece

mediante las leyes:

Si a = b ⇒ a + c = b + c ; Si a = b ⇒ a . c = b . c Teorema 1. En ℜ, los elementos identidad para la suma y para la multiplicación

(neutro aditivo y multiplicativo respec.) son únicos.

Demostración: Se emplea el Método de Reducción al Absurdo. Supongamos la

existencia de otro elemento neutro para la suma, designado como 0* ≠ 0.

Entonces aplicando B2 se tiene:

0* + 0 = 0 y 0 + 0* = 0*

Por conmutatividad (B1) y aplicando transitividad (A3), se concluye

que 0 = 0* ⇒⇐ la suposición de la Hipót., luego es falso que 0* ≠ 0 y

entonces el neutro para la suma es único.

TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del neutro multiplicativo.

Teorema 2. En ℜ, los elementos inversos para la suma y para la multiplicación son

únicos.

Demostración: Dado a ∈ ℜ, supongamos ∃ (-a) y a´ elementos inversos de a para la

suma en que (-a) ≠ a´. Entonces se cumple:

a + (-a) = 0 y a + a´ = 0 ⇒ a + (-a) = a + a´ ⇔

[ a + (-a) ] + (-a) = [ a + a´ ] + (-a) ⇒ 0 + (-a) = [ a + (-a) ] + a´ luego

(-a) = a´ ⇒⇐ la Hipótesis ⇒ Es falso (-a) ≠ a´ y el inverso aditivo es único.

TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del inverso multiplicativo.

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Teorema 3: i) El cero es el inverso aditivo de sí mismo: (-0) = 0

ii) El uno es inverso multiplicativo de sí mismo: 1-1 = 1

Demostración: i) a + (-a) = 0 y el inverso aditivo es único, luego si a = 0 entonces:

0 + (-0) = 0 por lo tanto: (-0) = 0

ii) Demostrar de manera análoga.

COROLARIO: i) Por unicidad del inverso aditivo, si a + b = 0 ⇒ a = -b y

b = -a

ii) Por unicidad del inverso multiplicativo si a . b = 1 ⇒ a = b-1 y

b = a-1

Teorema 4: ∀ a ∈ ℜ ; a . 0 = 0

Demostración: Por axioma B3 se tiene que: 0 + 0 = 0, por lo tanto:

0 . a = ( 0 + 0 ) . a

0 . a = 0 . a + 0 . a Distributividad.

(-0 . a) + 0 . a = (-0 . a) + 0 . a + 0 . a

0 = a . 0 + [ (-0 . a) + 0 . a ]

0 = a . 0 = 0 . a

En particular, por este teorema: 0 . 0 = 0 y 1 . 0 = 0

Teorema 5: ∀ a , b ∈ ℜ, se cumplen las siguientes propiedades:

i) - (-a) = a

ii) (-a) . b = - (ab)

iii) a . (-b) = - (ab)

Demostración: TAREA

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Teorema 6: ∀ a, b ∈ ℜ en que a ≠ 0 y b ≠ 0 se tiene que:

i) (a-1)-1 = a ii) a-1 b = (a . b-1)-1

iii) a . b-1 = (a-1 . b)-1 iv) a-1 . b-1 = (a . b)-1

Demostración: i) (a-1)-1 = (a-1)-1 . 1 = (a-1)-1 . ( a . a-1) = [(a-1)-1 . (a-1)] . a

= 1 . a = a ⇒ (a-1)-1 = a

Tarea: Demostrar i), ii), iii) e iv).

Teorema 7: Leyes de Cancelación:

i) a + b = a + c ⇔ b = c ii) a . b = a . c ⇔ b = c a ≠ 0

Demostración: ii) Si a ≠ 0 ⇒ ∃ a-1 entonces si: a . b = a . c por la

compatibilidad de la igualdad con la multiplicación:

a-1 . (a . b) = a-1 . (a . c)

(a-1 . a) . b = (a-1 . a) . c ⇒ b = c. El recíproco corresponde

a la compatibilidad igualdad-multiplicación.

Tarea: Demostrar i)

Teorema 8: ∀ a, b ∈ ℜ si a . b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0

Demostración: Si a ≠ 0 entonces ∃ a-1 por lo tanto: a-1 . (a . b) = 0 . a-1

(a-1 . a) . b = 0 ⇒ b = 0. Demostrar para a = 0.

Teorema 9: i) La ecuación a + x = b tiene única solución: x = b + (-a)

ii) La ecuación a . x = b tiene única solución: x = a-1 b ( a ≠ 0 )

Tarea: Demostrar

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Definición 9: Se define a + (-b) como la diferencia entre a y b ; a – b

Teorema 10: ∀ a, b ∈ ℜ se cumple:

i) a – (-b) = a + b

ii) a – b = 0 ⇔ a = b

iii) a – (b + a) = a – b - a

Demostración: i) a – (-b) = a + [- (-b)] = a + b por T5 i)

ii) a – b = 0 ⇒ a + (-b) = 0 ⇒ a + b + (-b) = 0 + b

⇒ a + 0 = b ⇒ a = b

iii) a = a ⇒ a + 0 = a + 0

⇒ a + (a + b) + [-(a + b)] = a + a + (-a)

⇒ a + a + (-a) + b + (-b) + [-(a + b)] = a + a + (-a) +

(-a) + (-b)

⇒ a + 0 + 0 + [-(a + b)] = a + 0 + (-a) + (-b)

⇒ a + [-(a + b)] = a + (-b) + (-a)

⇒ a – (a + b) = a – b – a Por def. 9

Definición 10: Dados a, b ∈ ℜ ∧ b ≠ 0 se define a a . b-1 como ba

o bien

a : b expresándose cuociente entre a y b o bien a dividido

por b.

Teorema 11: Dados a, a1 , a2 , b, b1, b2 ∈ ℜ entonces se cumplen:

i) 1a

= a ii) Si a ≠ 0 ⇒ a1

= a-1 iii) Si a ≠ 0 ⇒ aa

= 1

iv) Si a2 ≠ 0 ∧ b2 ≠ 0 ⇒ 2

1

2

1

bb

aa

= ⇔ a1 . b2 = b1 . a2

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LOS REALES COMO CUERPO ORDENADO

Sea ℜ+ ⊂ ℜ, este subconjunto satisface los siguientes axiomas: 1. ℜ+ es cerrado para la suma. Si a, b ∈ ℜ+ ⇒ a + b ∈ ℜ+. 2. ℜ+ es cerrado para la multiplicación. Si a, b ∈ ℜ+ ⇒ a . b ∈ ℜ+. 3. Axioma de Tricotomía. ∀ a ∈ ℜ se cumple una y solo una de las

siguientes afirmaciones: i) a = 0 ii) a ∈ ℜ+

iii) -a ∈ ℜ+ Definición 1: i) a < b ⇔ b – a ∈ ℜ+ ii) a > b ⇔ a – b ∈ ℜ+ Teorema 1: Dados los reales a y b se cumple una y solo una afirmación: i) a = b ii) a < b iii) a > b Demostración: Aplicando el axioma de Tricotomía al número b – a, se tiene

una y solo una propiedad:

i) b – a = 0 ii) b – a ∈ ℜ+ iii) –(b – a ) ∈ ℜ+

i) Por T 10 ii): si b – a = 0 ⇒ a = b ii) Por definición 1 i): si b – a ∈ ℜ+ ⇒ a < b iii) Por definición 1 : si - (b – a) ∈ ℜ+ ⇒ a – b ∈ ℜ+ ⇒ a > b

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Teorema 2: Dado un real a, se cumple una y solo una proposición: i) a = 0 ii) a > 0 iii) a < 0 Demostración: Consecuencia del Teor. 1 haciendo b = 0 Teorema 3: La relación “<” tiene las siguientes propiedades: i) No reflexiva: ∀ a ∈ ℜ, no se cumple que a < a ii) No simétrica (asimétrica): Si a < b no se cumple que a > b. iii) Transitiva: Si a > b ∧ b > c ⇒ a > c Demostración: i) Si a > a ⇒ a – a ∈ ℜ+ ⇒ 0 ∈ ℜ+ ⇒ ⇐ Ax. Tric. ii) Si a > b ⇒ a – b ∈ ℜ+ por Ax. Tric. b – a ∉ ℜ+

iii) Si a > b ⇒ a – b ∈ ℜ+ ∧ si b > c ⇒ b – c ∈ ℜ+ por lo tanto dado que ℜ+ es cerrado para la suma: (a – b ) + (b – c ) ∈ ℜ+ ⇒ a – c ∈ ℜ+ ⇒ a > c Definición 2: Llamaremos conjunto de los números negativos al conjunto: ℜ- = ⎨ x ∈ ℜ : - x ∈ ℜ+ ⎬ OBSERVACIÓN: El 0 ∉ ℜ- por lo tanto, no es positivo ni negativo, además ℜ+ ∩ ℜ- = φ pero como todo real pertenece a uno y solo uno de los conjuntos ℜ+, ℜ-, ⎨0⎬ entonces: ℜ = ℜ+ ∪ ℜ- ∪ ⎨0⎬ en que 0 representa una frontera entre positivos y negativos.

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Definición 3: i) a ≤ b ⇔ (a < b) ∨ (a = b) ii) a ≥ b ⇔ (a > b) ∨ (a = b) Teorema 4: La relación “≤” tiene las siguientes propiedades:

i) Reflexiva: a ≤ a , ∀ a ∈ ℜ ii) Antisimétrica: Si a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b iii) Transitiva: Si a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c

Demostración:

i) Como a = a entonces a ≤ a

ii) Si a ≤ b ⇒ (a < b) ∨ (a = b). Si b ≤ a ⇒ (b < a) ∨ (a = b). Por Teor. 1 solo es posible a = b iii) Se tienen aquí las siguientes posibilidades:

a < b ∧ b < c ⇒ a < c por Teor. 3

a < b ∧ b = c ⇒ b – a ∈ ℜ+ y c – b = 0 ; por lo tanto: b – a + (c – b) =

c – a ∈ ℜ+ luego a < c

a = b ∧ b < c ⇒ Similar a la anterior.

a = b ∧ b = c ⇒ La igualdad es transitiva y de la definición de la relación

“ ≤ ”.

Teorema 5: a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c

Demostración: Si a ≤ b ⇒ a < b ∨ a = b. Si a < b ⇒ b – a ∈

ℜ+ ⇒ (b – a) + 0 ∈ ℜ+ ⇒ (b – a) + (c – c) ∈ ℜ+

⇒ (b + c) – (a + c) ∈ ℜ+ ⇒ a + c < b + c ⇒

a + c ≤ b + c. Si a = b ⇒ a + c = b + c

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Teorema 6: i) Si a ≤ b y c es positivo, entonces: a . c ≤ b . c

ii) Si a ≤ b y c es negativo, entonces: a . c ≥ b . c

Demostración: i) Si a ≤ b ⇒ a < b ∨ a = b.

Si a < b ⇒ b – a ∈ ℜ+ como c ∈ ℜ+ ⇒ (b – a ) . c ∈ ℜ+ ⇒ a . c < b . c

Dado que a = b , por compatibilidad igualdad-multiplicación ⇒ a . c = b . c

Por lo tanto: a . c ≤ b . c ii) Si a ≤ b ⇒ a < b ∨ a = b. Si a < b ⇒ b – a ∈ ℜ+ como

c ∈ ℜ- ⇒ - c ∈ ℜ+, luego: - c (b – a) ∈ ℜ+ ⇒ - bc + ac > 0 ⇒

a . c > b . c. Por compatibilidad igualdad-multiplicación ⇒ a . c = b . c

Por lo tanto: a . c ≥ b . c

Teorema 7: i) Si a > 0 ⇒ - a < 0 ii) Si a < 0 ⇒ - a > 0

iii) Si a > 0 ⇒ a-1 > 0 iv) Si a < 0 ⇒ a-1 < 0

Demostración: i) Si a > 0 ⇒ a ∈ ℜ+ ⇒ -a ∈ ℜ- ⇒ -a < 0

ii) Si a < 0 ⇒ -a ∈ ℜ+ ⇒ -a > 0

iii) Si a > 0 Supongamos que a-1 < 0 por T.6 i) a . a > 0 y por T.6

ii) : a-1 ( a . a ) < 0 ⇒ (a-1 . a) . a < 0 ⇒ a < 0 ⇒⇐ Hip., por lo

tanto: a-1 > 0

iv) Tarea

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Teorema 8: a . b > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)

Demostración: (⇒) Si a . b > 0 ⇒ a ≠ 0 y b ≠ 0 (T8., Nºs ℜ) . Si

a > 0 ⇒ a-1 > 0 ⇒ a-1 (a . b) > 0 ⇒ b > 0

Si a < 0 ⇒ a-1 < 0 ⇒ a-1 (a . b) < 0 ⇒ b < 0

(⇐) Tarea

Teorema 9: a . b < 0 ⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)

Demostración: (⇒) Si a . b < 0 ⇒ Si a > 0 ⇒ a-1 > 0 ⇒ a-1 (a . b) < 0

⇒ b < 0

Si a < 0 ⇒ a-1 < 0 ⇒ a-1 (a . b) > 0 ⇒ b > 0

Teorema 10: Sean a, b ∈ ℜ, si a < b ⇒ a < 2ba+

< b

Demostración: Si a < b sumando entonces : a + a < b + a ⇒ 2a < b + a

Si repetimos pero sumando b se tiene: a + b < 2b

Por transitividad: 2a < b + a < 2b. Luego dividiendo por 2 > 0

Se tiene: a < 2ba+

< b

Este teorema permite afirmar que siempre entre dos números reales distintos

es posible intercalar un tercer número c,

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VALOR ABSOLUTO EN LOS REALES

Permite determinar cuan cerca o lejos se encuentra un número del cero, por ejemplo. Definición 1: Llamaremos valor absoluto del número real a, denotado por a , al número:

a si a ≥ 0 a = - a si a < 0 Podemos apreciar que el número a y su inverso aditivo -a están a igual

distancia del cero.

Teorema 1: i) a ≥ 0 ii) a = a− iii) - a ≤ a ≤ a

iv) a = 0 ⇔ a = 0 v) ba . = a . b

vi) Si b > 0, a ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b

vii) Si b > 0, a ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ -b

viii) ba + ≤ a + b Demostración: i) Por Tricotomía: a > 0 ; a = 0 ; a < 0. Analizando cada una: Si a > 0 entonces a = a > 0

Si a = 0 entonces 0 = 0

Si a < 0 entonces - a > 0 , luego: - a > a > 0 Por lo tanto: a ≥ 0

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ii) a = a− Aplicamos Tricotomía: Si a > 0 ⇒ - a < 0, por lo tanto: a = a y a− = - ( - a ) = a Luego se cumple Si a = 0 ⇒ entonces: 0 = 0− = 0 Se cumple Si a < 0 ⇒ entonces - a > 0, por lo tanto: a = -a y a− = -a Se cumple iii) - a ≤ a ≤ a Aplicamos Tricotomía: Si a ≥ 0 ⇒ a = a , además - a ≤ 0. Puesto que : a > - a

a ≥ a > - a ≥ - a ⇒ a ≥ a ≥ - a Si a < 0 ⇒ a = - a y - a > 0. Por lo tanto a < - a. ⇒

- a = a < - a = a ⇒ a ≥ a ≥ - a iv) a = 0 ⇔ a = 0 ⇐ Si a = 0 , por definición a = 0 = 0 ⇒ a ∈ ℜ, por tricotomía a > 0 ∨ a < 0 ∨ a = 0. Descartando las

dos primeras posibilidades por contradicciones con la hipótesis por

ej:

Si a > 0 ⇒ a = a > 0 contradice la hipótesis.

resta la única posibilidad a = 0

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v) ba . = a . b Por Tricotomía: a . b > 0 ; a . b = 0 ; a . b < 0

Si a . b > 0 ⇒ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0). Por definición

de valor absoluto: ba . = a . b y para la primera posibilidad:

a > 0 ∧ b > 0 ⇒ a = a ∧ b = b. Por lo tanto a . b = a . b

Luego: ba . = a . b

Si a . b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 entonces:

ba . = 0 = 0 = a . b

Si a . b < 0 Tarea

vi) Si b > 0, a ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b Aplicando Tricotomía

⇒ Si a ≥ 0 ⇒ a = a Por Hipót., a ≤ b ⇒ a ≤ b

como b ≥ 0 ⇒ - b < 0 . Luego: - b ≤ a ≤ b

Si a < 0 ⇒ a = - a Por Hipót. – a ≤ b y como - a ≥ 0

y - b ≤ 0 ⇒ - b ≤ a ≤ - a ≤ b ⇒ - b ≤ a ≤ b

⇐ Si a ≥ 0 ⇒ a = a , por Hipót., a ≤ b

Si a < 0 ⇒ a = - a . por Hipót., – a ≤ b luego a ≤ b

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vii) Si b > 0, a ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ -b

⇒ Supongamos a ≥ b. Si a ≥ 0 entonces a = a y por lo tanto

a ≥ b. Si en cambio a < 0 entonces a = - a y en este caso

– a ≥ b luego: a ≤ - b

⇐ Tarea

viii) Tarea

AXIOMA DEL SUPREMO

Definición 1: Si ∀ x ∈ A ⊂ ℜ, ∃ y tal que y ≥ x entonces y es cota

superior de A.

Definición 2: Si y ∈ ℜ ∧ A ⊂ ℜ, entonces y es el supremo de A si y solo

si:

i) y es cota superior de A.

ii) Si ∀ z, cota superior de A, se tiene y ≤ z.

El supremo es la menor de las cotas superiores.

Teorema 1: Si A ⊆ ℜ, entonces y es el supremo de A ⇔ y es una cota

superior de A y ∀ ε ∈ ℜ+, ∃ x ∈ A tal que y - ε < x.

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Demostración: ⇒ Si y es supremo de A ⇒ y es cota superior de A,

por definición de supremo. Sea ε ℜ+, supongamos, por

reducción al absurdo, que ∃ x ∈ A tal que y - ε < x, luego

se puede afirmar que x ≤ y - ε ∀ x ∈ A, por lo tanto y - ε

es una cota superior, pero y - ε < y ⇒⇐ la hipót., que y es

supremo de A (y es la menor de las cotas superiores). Por lo

tanto debe existir al menos un x ∈ A mayor que y - ε.

⇐ Por Hipót., y es una cota superior de A, será supremo si es la menor de

las cotas superiores. Supongamos, al absurdo, que existe una cota

superior de A, z < y luego x < z ∀ x ∈ A. Como z < y ⇒

y – z > 0 aplicando la hipót., con ε = y – z, ∃ x ∈ A, x > y – (y – z).

Luego ∃ x ∈ A tal que x > z ⇒⇐ con hipót., que z es cota superior de A.

En consecuencia es falso suponer que existe una cota superior de A menor que

y, luego y es la menor cota superior de A y por tanto su supremo.

Teorema 2: Un conjunto de números reales puede tener a lo más un

supremo.

Demostración: Supongamos que en A ⊆ ℜ existen dos supremos y, z en que

y ≠ z , supongamos además que z < y, lo cual significa que

y – z > 0. Si tomamos este número positivo como ε

particular, por definición de supremo concluimos que ∃ x ∈

A tal que: x > y – (y – z), luego x > z ⇒⇐ que z sea

supremo de A. Por lo tanto existe a lo más un supremo en

un conjunto de números reales.

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El conjunto vacío es acotado superiormente por cualquier número real, puede

demostrarse por reducción al absurdo. Luego, el supremo de vacío es - ∞

Axioma del Supremo.

Si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota superior, entonces

tiene supremo en ℜ.

Definición 3: Si ∀ x ∈ A ⊂ ℜ, ∃ y tal que y ≤ x entonces y es cota

inferior de A.

Definición 4: Si y ∈ ℜ ∧ A ⊂ ℜ, entonces y es el ínfimo de A si y solo

si:

iii) y es cota inferior de A.

iv) Si ∀ z, cota inferior de A, se tiene y ≥ z.

El ínfimo es la mayor de las cotas inferiores.

Teorema 3: Si A ⊂ ℜ, entonces y es el ínfimo de A ⇔ y es una cota

inferior de A y ∀ ε ∈ ℜ+, ∃ x ∈ A tal que x < y + ε

TAREA: Demostrar en forma análoga a Teor 1.

Teorema 4: Un conjunto de números reales puede tener a lo más un ínfimo.

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TAREA: Demostrar en forma análoga a Teor 2.

El conjunto vacío es acotado inferiormente por cualquier número real, el

ínfimo de vacío es +∞

Teorema 5: Si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota

inferior, entonces tiene ínfimo en ℜ

TAREA: Demostrar

NUMEROS NATURALES E INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Definición 1: Sea I ⊂ ℜ, diremos que I es inductivo si se cumple:

i) 1∈ I ii) Si k ∈ I ⇒ k + 1 ∈ I

Teorema 1: Si A, B son conjuntos inductivos, entonces A ∩ B es inductivo.

Demostración: Sean A y B dos conjunto inductivos de ℜ. Por propiedad i)

de la def., 1 ∈ A ∩ B. Si k∈ A ∩ B ⇒ k ∈ A ∧ k ∈ B

pero como A y B son inductivos, entonces k + 1 ∈ A y k

+ 1 ∈ B ⇒ k + 1 ∈ A ∩ B. Entonces A ∩ B es

inductivo.

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Definición 2: Llamaremos conjunto de los números naturales ℵ, al

menor conjunto inductivo de ℜ , es decir:

{ }inductivoesIII ,: ℜ⊂∩=ℵ

Teorema 2: Principio de Inducción

Sea k ∈ ℵ y P( k) una propiedad satisfecha por k. Si se

cumplen: i) P( 1 )

ii) ∀ k, si P( k ) entonces P( k + 1)

Entonces la propiedad P( k) se satisface para todo k ∈ ℵ.

Demostración: Sea I = { }satisfacesekPk )(:ℜ∈ .Veremos que I es

inductivo

• 1 ∈ I, pues P(1) se satisface por i)

• Si k ∈ I entonces P(k) y por ii) se tiene P(k + 1), por

lo tanto k + 1 ∈ I

Como I es inductivo, por definición 2 ℵ ⊂ I, es decir,

P(k) se cumple ∀ k ∈ ℵ.

FUNCIONES DE VARIABLE CONTINUA

Definición 1: Sea x perteneciente a un intervalo I. Si mediante una cierta

regla tal que a cada x ∈ I le corresponda un único y ∈ ℜ, decimos que y es

una función numérica de x denotada: y = f(x) ; x se denomina variable

independiente e y variable dependiente.

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Definición 2: Se define dominio de la función f(x) al conjunto:

D( f ) = ⎨ x ∈ I : ∃ y ∈ ℜ tal que y = f(x) ⎬

Se define recorrido de la función f(x) al conjunto:

R( f ) = ⎨ y ∈ ℜ : ∃ x ∈ D( f ) : y = f(x) ⎬

Se define gráfico de f(x) al conjunto:

G( f ) = ⎨ (x, y) ∈ D( f ) × R( f ) : y = f(x) ⎬

Ejemplos de funciones:

• Función constante: ∀ x ∈ I le corresponde un mismo elemento

c; f(x) = c

• Función lineal: ∀ x ∈ I le corresponde el número ax + b con a,

b constantes y a ≠ 0

• Función cuadrática: ∀ x ∈ I le corresponde el número ax2 + bx

+ c con a, b, c constantes y a ≠ 0.

• Función polinomial: ∀ x ∈ I le corresponde el número anxn +

.....+ a1x + a0 en que los ai son constantes.

• Función racional: Aquella que se obtiene mediante cuocientes

de polinomios: )()()(

xqxpxf = en que D( f ) = ℜ - ⎨ x : q(x) = 0 ⎬

Definición 3: Dadas dos funciones numéricas f y g, se definen las

siguientes funciones cuyo dominio es D( f ) ∩ D( g )

i) ( f ± g ) ( x ) = f( x ) ± g( x )

ii) ( fg )( x ) = f( x ) . g( x )

iii) ( f / g )( x ) = f( x ) / g( x )

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Definición 4: Dadas dos funciones numéricas f y g, se dice que:

i) f = g si D( f ) = D( g ) y f( x ) = g( x ) ∀ x ∈ D( f ) ∩ D( g )

ii) f < g si y f( x ) < g( x ) ∀ x ∈ D( f ) ∩ D( g )

Definición 5: Diremos que la función f es acotada, si su recorrido es un

conjunto acotado, es decir, si ∃, M > 0 : )(xf ≤ M, ∀ x ∈ D( f ).

Definición 6: Sea f una función numérica no constante, I un intervalo

contenido en el dominio de f y x0 un punto de I. Se dice que f tiene:

i) Un cero en x0 cuando f( x0 ) = 0.

ii) Un máximo en x0, con valor f( x0 ), cuando ∀ x ∈ I, f( x ) ≤ f( x0 )

iii) Un mínimo en x0, con valor f( x0 ), cuando ∀ x ∈ I, f( x ) ≥ f( x0 )

iv) Un extremo en x0 cuando f tiene un máximo o un mínimo en x0.

Definición 7:

i) Una función se dice periódica, si existe un T ∈ ℜ, tal que: f(x + T) = f( x )

ii) Una función f se dice par si f(-x) = f(x), ∀ x ∈ D( f )

iv) Una función f se dice impar si f(-x) = - f(x), ∀ x ∈ D( f )

Definición 8: Sean I y J intervalos. Sean f y g funciones numéricas tales

que D( f ) = I, D( g ) = J y R( f ) ⊂ J. Entonces la función compuesta de f

con g, denotada g f está definida por:

i) D(g f) = I

ii) ( g f )(x) = g( f(x)), ∀ x ∈ I

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Definición 9: Una función f : I → J se dice sobreyectiva si y solo si:

R( f ) = J

Definición 10: Una función f se dice uno a uno o inyectiva sobre un

intervalo I, si ∀ x1, x2 ∈ I, con x1 ≠ x2 se tiene f( x1 ) ≠ f( x2 ).

Equivalentemente: f( x1 ) = f( x2 ) entonces x1 = x2

Ejemplos:

1. Sea f(x) = (x – 2)(8 – x) para 2 ≤ x ≤ 8. Encontrar:

a) f(6) y f(-1)

b) El dominio de f(x).

c) f(1 – t) y su dominio

d) f [ f(3) ]

e) Su representación gráfica.

f) Determinar si esta función es acotada superior e inferiormente y si

es así determine las cotas.

Solución:

a) f(6) = (6 – 2)(8 – 6) = 4 . 2 = 8 ; f(-1) = (-1 – 2)(8 - -1) = - 27

b) Df(x) = ⎨x ∈ ℜ : 2 ≤ x ≤ 8 ⎬

c) f(1 – t) = [(1 – t) - 2] [8 – (1 – t) ] = - t2 - 8 t – 7

d) f [ f(3) ] = f(5) = 9 y

e) y = (x – 2)(8 – x) para 2 ≤ x ≤ 8 9

0 2 5 8 x

22

f) La función es creciente para 2 < x < 5 pero es decreciente para 5 < x

< 8, por lo tanto su cota superior es 9 (para x = 5) y en los extremos

2 y 8, la función presenta su mínimo valor por lo tanto es acotada

inferiormente y su cota inferior es x = 0.

2. Determinar el dominio de las siguientes funciones:

a) )42)(3( +− xx b) 4

22 −−

xx c) xsen 3 d) log10 (x3 – 3x2 – 4x + 12)

Solución:

a) Df(x) = ⎨ x ∈ ℜ : -2 ≤ x ≤ 3 ⎬

b) ∀ x ∈ ℜ : x ≠ ± 2

c) 2m π ≤ 3x ≤ (2m + 1) π ⇒ 2m π /3 ≤ x ≤ (2m + 1) π /3 con

m = 0, ±1, ±2,….

d) (x – 3)(x2 – 4) > 0 ⇒ x > 3, -2 < x < 2

SUCESIONES

Definición 1: Una sucesión es una función f: ℵ → ℜ tal que a cada n le

asigna f(n) = an. También se denota como ⎨ an ⎬ en que an

es el término general de la sucesión o término enésimo.

23

Ejemplo: an = n2 ; ⎨ n2 ⎬ = 12, 22, 32,......, n2

an = 1/(2n – 1) para n = 1, 2, 3,...... los términos de la sucesión

son 1, 1/3, 1/5, 1/7,..........

Definición 2: Se dice que una sucesión es acotada si existe un número M tal

que na < M, ∀ n ∈ ℵ

Definición 3: Una sucesión es:

i) Estrictamente creciente si an < an+1 , ∀ n

ii) Creciente si an ≤ an+1 , ∀ n

iii) Estrictamente decreciente si an > an+1 , ∀ n

iv) Decreciente si an ≥ an+1 , , ∀ n

v) Monótona si satisface cualquiera de las condiciones anteriores.

Formas Indeterminadas

i) ∀ x ∈ ℜ, en que -∞ < x < ∞

ii) (+∞) + a = +∞ , ∀ a ∈ ℜ

iii) (-∞) + a = (-∞) , ∀ a ∈ ℜ

iv) (+∞) . a = +∞ , si a > 0

v) (-∞) . a = - ∞, si a > 0

vi) (-∞) . a = + ∞, si a < 0

vii) (+∞). a = - ∞, si a < 0

Las operaciones con estos símbolos que no están explícitamente definidas no

tienen sentido, nada se puede concluir, por tal razón se denominan formas

indeterminadas, por ejemplo: (+∞) + (- ∞) ; (+∞) . 0 ; (- ∞) . 0 ; etc.

24

Límite de una sucesión

Definición 4: El número L es el límite de la sucesión ⎨an⎬ si dado un

número positivo ε, existe un número N ∈ ℵ tal que si n ≥ N, se cumple que:

ε<− Lan , es decir, L - ε < an < L + ε, ∀ n ≥ N.

En este caso se expresa: nna

∞→lim = L o que la sucesión converge hacia L.

Ejemplo: Aplicando la definición de limite de una sucesión, verifique que el

limite de la sucesión 5413

+−

=nnun es ¾.

Solución:

Debemos mostrar que para cada ε > 0 (no importa cuan pequeño) existe un

número N (dependiente de ε) tal que ε<−43

nu ∀ n > N.

Ahora: ε<+

−=−

+−

)54(419

43

5413

nnn cuando ε<

+ )54(419n

o bien

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−> 5

419

41

εn Escogiendo N = ¼ (19/4ε - 5) vemos que: ε<−

43

nu

para todo n > N, por lo tanto 43lim =

∞→ nnu

Teorema 1:

Si =∞→ nn

alim A y =∞→ nn

blim B entonces:

1. =+∞→

)(lim nnnba nn

a∞→

lim + nnb

∞→lim = A + B

2. =−∞→

)(lim nnnba nn

a∞→

lim - nnb

∞→lim = A - B

3. =∞→

).(lim nnnba nn

a∞→

lim . nnb

∞→lim = A . B

25

4. n

n

n ba

∞→lim =

nn

nn

b

a

∞→

∞→

lim

lim = B

A en que =

∞→ nnblim B ≠ 0

Si B = 0 y A ≠ 0 entonces el límite no existe, pero si A = 0 y B = 0, entonces el límite puede existir o no.

5. p

nn

pnn

aa ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

∞→∞→limlim = Ap ∀ p ∈ ℜ si Ap existe.

6. na

np

∞→lim =

nna

p ∞→lim

= pA ∀ p ∈ ℜ si pA existe.

Demostración: 1. Si =

∞→ nnalim A y =

∞→ nnblim B entonces:

=+∞→

)(lim nnnba nn

a∞→

lim + nnb

∞→lim = A + B

Debemos demostrar que ∀ ε > 0, podemos encontrar N > 0 tal que

ε<+−+ )()( BAba nn ∀ n > N. De la desigualdad con módulo

baba +≤+ resulta: )()()()( BbAaBAba nnnn −+−=+−+ ≤

BbAa nn −+− . Por hipótesis, dado ε > 0 podemos encontrar N1 y

N2 tal que:

ε21

<− Aan ∀ n > N1 y ε21

<− Bbn ∀ n > N2

de la desigualdad: εεε =+<+−+21

21)()( BAba nn ∀ n > N en que

se debe considerar a N como el mayor de N1 y N2

26

Teorema 2. Toda sucesión convergente está acotada

Demostración: Dado =∞→ nn

alim A, debemos demostrar que existe un número

positivo P tal que <na P ∀ n > N. AAaAAaa nnn +−≤+−=

Por hipót., se sabe que podemos encontrar N tal que: ε<− Aan ∀ n > N

Por desigualdad con módulo: baba −≥− ⇒ Aan +< ε ∀ n > N

Por lo tanto se cumple <na P ∀ n > N si escogemos P como el mayor de

los números: a1, a2, a3,......., an, A+ε .

TAREA: Demostrar los restantes.

Ejercicios:

1. Calcular los límites de las siguientes sucesiones aplicando los teoremas de

límites:

a) nnnn

n +−−

∞→ 2

2

2324lim b)

72453

lim2

−+−

∞→ nnn

n c) )(lim 2 nnn

n−+

∞→

d) 348

)2()3(lim

−+−

∞→ nnn

n e) 121

2

10.210.310.310.4lim −−∞→ +

−nn

nn

n f) nnn

n

/1)32(lim +∞→

2. Aplicando la definición de límite de una sucesión, demuestre que:

32

2324lim −

=+−

∞→ nn

n

27

LIMITE DE FUNCIONES.

Definición: Sea y = f(x) una función numérica. Decimos que L es el límite

de esta función en x = a, con a ∈ ℜ, si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal

que, si 0 < ax− < δ entonces ε<− Lxf )( , se expresa:

Lxfax

=→

)(lim

Ejemplo: Si f(x) = 112

+−

xx

entonces 2)(lim1

−=−→

xfx

. Significa que dado

ε > 0 queremos que Lxf −)( =

ε<−−=+−=−−+− )1(21)2(112

xxxx

Y L + ε y = f(x) L L - ε O a - δ a a + δ X

28

DERIVADA DE UNA FUNCION

Definición: Sea y = f(x) una función definida en todo punto x0 del

intervalo abierto (a, b). Se define la derivada de la función en el

punto x = x0 al límite:

hxfhxf

h

)()(lim 00

0

−+=

→

Si este límite existe. Se denota como: dxydxf

dxd

=)( ⎜0xx =

Interpretación Geométrica

Y B Q P θ S f ( x0 + h ) – f ( x0 )

δ R

f(x0) Δx = h

A X x0 x0 + h

Sea la curva APQB la representación de la función y = f(x) de la figura, el

cuociente θtgx

xfxxfPRQR

=Δ

−Δ+=

)()( 00 es la pendiente de la secante

que une los puntos P y Q de la curva. Cuando Δx → 0 la secante se aproxima

a la tangente a la curva en el punto P, es decir PS entonces:

δtgPRSR

xxxf

x==

ΔΔ+

=→

)(lim 0

0

29