Lärarhandledningen som stöd för matematikundervisningen

Institutionen för

pedagogik, didaktik och

utbildningsstudier

Självständigt arbete 2

för grundlärare Fk-3

och 4-6, 15 hp

Therése Ehn

Lisa Mossfeldt

Handledare: Kajsa Bråting

Examinator: Johan Prytz

2

Sammanfattning

I denna studie presenteras en analys av sex svenska lärarhandledningar i matematik för

årskurs 6 och 8. Det är en kvalitativ innehållsanalys med kvantitativa inslag där innehållet

som berör algebra har analyserats med hjälp av ett analysverktyg som använts i tidigare

forskning om lärarhandledningar i matematik. Syftet med studien är att undersöka hur svenska

lärarhandledningar i matematik kan tänkas stödja och utveckla undervisningen. De frågor vi

ställer oss handlar om vilken typ av stöd som erbjuds samt skillnader och likheter i stöd

mellan årskurserna. Resultatet visar att det mesta av innehållet rör antingen stöd i hur man

håller genomgångar, hur man hjälper eleverna att lösa problem i elevboken eller information

om hur man använder lärarhandledningen och hur den är kopplad till övrigt material i

läromedelsserien. Muntlig kommunikation om matematik finns det inte så mycket av i någon

lärarhandledning, den som har mest av det är av finskt ursprung. Övriga kategorier av text

som analyserats finns representerade i mindre utsträckning i en av eller båda årskurserna,

även om lärarhandledningarna skiljer sig från varandra. Slutsatsen som dras är därför att

lärarhandledningarna kan tänkas stödja undervisningen i matematik, även om detta sker på

olika sätt och inom olika områden i dem.

Nyckelord: Matematikdidaktik, lärarhandledningar, innehållsanalys, algebra

3

Innehållsförteckning

Sammanfattning ..................................................................................................................................... 2

1. Inledning ............................................................................................................................................. 4

2. Bakgrund ............................................................................................................................................. 5

3. Forskningsöversikt ............................................................................................................................ 8

4. Teoretiska utgångspunkter ............................................................................................................ 12

4.1 Teorin om didaktisk transposition ........................................................................................ 12

4.2 Artefakter, och läromedel som artefakter ............................................................................ 13

5. Syfte och frågeställningar .............................................................................................................. 15

6. Metod ................................................................................................................................................. 16

6.1 Val av metod ............................................................................................................................. 16

6.2 Urval och avgränsning ............................................................................................................. 18

6.3 Reflektioner över metoden ..................................................................................................... 21

6.4 Etiska överväganden ................................................................................................................ 22

7. Resultat och analys ......................................................................................................................... 23

7.1 Resultat och analys av lärarhandledningar för årskurs 6 .................................................. 24

7.2 Resultat och analys av lärarhandledningar för årskurs 8 .................................................. 29

7.3 Jämförande av resultatet för årskurs 6 och 8 ...................................................................... 35

8. Diskussion ......................................................................................................................................... 36

Referenslista .......................................................................................................................................... 40

Bilaga 1. Exempelsida från Eldorados lärarhandledning ............................................................ 43

Bilaga 2. Exempelsida från Vektors lärarhandledning ................................................................ 44

4

1. Inledning

Att svenska skolelevers matematikkunskaper är dåliga sett i ett internationellt perspektiv

uppmärksammas ständigt i media. I den senaste internationella TIMSS-mätningen (TIMSS

Trends in International Mathematics and Science Study) (Skolverket, 2016a, s. 20) hade

visserligen matematikresultaten blivit bättre än föregående år men de ligger fortfarande under

alla deltagande länders genomsnitt, både i årskurs 4 och 8. Detta faktum i sig väcker en

nyfikenhet och motivation hos oss att vilja skriva om just matematik i det här självständiga

arbetet. Vi har även båda sedan innan ett stort intresse för matematik. En av oss, Lisa

Mossfeldt, är blivande ämneslärare för högstadiet och gymnasiet i matematik. Den andra av

oss, Therése Ehn, är blivande mellanstadielärare och har under sin verksamhetsförlagda

utbildning utvecklat ett stort intresse för matematikdidaktik samt läromedels påverkan på

undervisningen.

Att vi väljer att fokusera på just lärarhandledningar är för att de är, eller åtminstone borde

vara, en av kanalerna mellan forskning om vad som är framgångsrik undervisning och den

praktiserande läraren. Detta är en av sakerna Andreas Ryve, professor i matematikdidaktik vid

Mälardalens Högskola, diskuterar i ett reportage av SVT Nyheter från 2015 (Zaccheus, 2015).

Där påtalar han även att svenska läromedel, jämfört med finska, är för lite inriktade på att ge

stöd till läraren i hur denne ska planera, agera och reflektera i sin undervisning.

Då våra studier kommer leda till behörighet att undervisa på olika stadier har vi valt att

analysera lärarhandledningar både från mellanstadiet och högstadiet, i två separata delstudier,

och därefter jämföra de båda resultaten med varandra. Då tiden vi har för att genomföra det

här arbetet är begränsad krävs en begränsning i mängden material som kan analyseras. Därför

har vi valt att avgränsa oss till området algebra i våra analyser. Beträffande arbetsfördelningen

har forskningsöversikten skrivits av Lisa Mossfeldt och kapitlet om teori av Therése Ehn.

Redogörelsen för resultat och analys har skrivits av Therése för årskurs 6 och av Lisa för

årskurs 8. Övriga delar av uppsatsen har skrivits gemensamt.

5

2. Bakgrund

I denna bakgrund beskrivs utgångspunkterna för det självständiga arbetet utifrån relevant

skoldebatt och viss forskning. Kapitlet inleds med en beskrivning av forsknings- och

debattläget kring läromedels potential. Därefter redogörs för vikten av en varierad

undervisning. Vikten av att studera algebra i en svensk kontext följer därpå. Avslutningsvis

beskrivs kortfattat hur bakgrunden skapar sammanhang för arbetets syfte.

För att kunna diskutera läromedel krävs en definition av vad ordet innebär och hur det

används i debatter och forskning i Sverige och utomlands. Inom internationell forskning

används det engelska uttrycket curriculum för att beskriva läroplaner och kursplaner men

även annat material som används för planering och genomförande av undervisningen

(Hoelgaard, 2015, s. 9, Remillard, 2005, s. 213). Genom denna definition av curriculum kan

läromedel (översatt från engelskans curriculum materials) beskrivas som material som finns

för att stötta lärare när de planerar och genomför sin undervisning, vilket innebär att det skulle

innefatta bl.a. elevböcker och lärarhandledningar. Forskning på läromedel inom matematik

har tidigare fokuserat mycket på elevböcker, men har på senare tid riktats in på

lärarhandledningar och deras påverkan på lärares arbete (Hoelgaard, 2015, s. 9). Genom detta

är det intressant att se hur forskning kring läromedel debatteras i en svensk kontext.

Som nämndes i inledningen ovan skiljer sig svenska läromedel mycket från finska vilket är

intressant då Finland alltid klarat sig mycket bättre än Sverige i internationella mätningar av

elevers matematikkunskaper som TIMSS och PISA (PISA Programme for International

Student Assessment) (Skolverket 2012, Skolverket 2016a, Skolverket 2016b). Detta är något

som uppmärksammats av professor Kirsti Hemmi och behandlas i en artikel i Skolvärlden

(Larsson, 2015). I artikeln fokuseras på skillnaden mellan svenska och finska läromedel.

Skillnaden består främst av de finska materialens betydligt större fokus på hur lektioner kan

utformas praktiskt. Med grund i forskning om lärarhandledningars potential pågår ett

forskningsprojekt på Mälardalens högskola där professorer tillsammans med verksamma

lärare arbetar med att framställa ett nytt svenskt läromedel i matematik som kan ge bättre

resurser till lärare (Mälardalens högskola, 2016). Lärarhandledningars potential att stödja

lärarens undervisningspraktik tar även Ahl, Hoelgaard och Koljonen (2013) upp i en artikel

från Nämnaren. Här diskuteras potentialen utifrån tidigare forskning om vad som bör ingå i en

lärarhandledning för matematikundervisning. För att sätta forskningen i en skolkontext har

författarna intervjuat lärare och lärarstudenter för att förhöra sig om deras inställning till

lärarhandledningar och vad de önskar kunde finnas i dem. Det som särskilt kom upp att de

intervjuade ville ha var beskrivningar på elevers missuppfattningar samt hur dessa kan

hanteras och en variation på olika undervisningsmetoder.

6

Som beskrivits i tidigare stycke så önskar lärare att de från lärarhandledningar kunde få stöd

för undervisningsmetoder av varierande karaktär. Belägg för att en varierad undervisning är

att föredra inom ämnet matematik finns i ett antal av Skolverkets publikationer. I samband

med Skolverkets nationella utvärdering av skolan 2003 beskrivs i en rapport hur lusten att lära

matematik är tudelad där ämnet ses som både viktigt för framtiden men samtidigt svårt och

ointressant (Skolverket, 2004, s. 73). För att kunna undervisa dessa elever behöver läraren

använda ett varierat arbetssätt (ibid, s.75). Detta diskuteras även i en rapport angående de

nationella kvalitetsgranskningar som genomfördes 2001–2002 med fokus på lusten att lära

matematik (Skolverket, 2003). Här beskrivs att de tillfällen då inspektörerna mött engagerade

och intresserade elever har kännetecknats av att undervisningen har varit varierande i innehåll

och arbetsformer (ibid, s. 10). Ändå visar de observationer och intervjuer inspektörerna gjort

att det i grundskolans senare år finns en dominerande modell i matematikundervisningen, en

modell där läraren har genomgång ibland men eleverna oftast har enskilt arbete i elevbok,

diagnos eller med prov. Undervisningsformen saknar därmed nämnvärd variation i både

innehåll och arbetssätt, trots att variation är något som behövs då olika elever behöver olika

innehåll och arbetsmetoder för att nå målen inom matematik (ibid, s. 17).

Ovan nämnda granskningar är alla genomförda innan den nuvarande läroplanen Lgr11

(Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011) implementerades och

kom i verkan. I Lgr11s inledande kapitel etableras att elevernas utveckling ska främjas genom

en varierad och balanserad sammansättning av innehåll och arbetsformer (Skolverket, 2018, s.

8). Detta har vidareutvecklats i allmänna råd från Skolverket kring hur lärarna ska planera sin

undervisning (Skolverket, 2011, s. 14–15). Där beskrivs även hur variation i undervisningen

kan komma att påverka återkopplingen till elevgruppen och den enskilda eleven. År 2012

utkom även en rapport från Skolverket angående utökad undervisningstid för matematik i

grundskolan. Där diskuteras bland annat att lärarens kunskap om innehållet i läroplanen och

en varierad undervisning båda är faktorer som främjar elevers kunskapsutveckling

(Skolverket, 2012, s. 16). Detta är en riktning i vilken den då nyligen utförda

läroplansreformen samt fortbildningssatsningen Matematiklyftet syftar till att utveckla

undervisningen (ibid, s. 20).

Kursplanen i matematik innefattar även två förmågor som särskilt kräver en mer varierad

undervisning än den dominerande undervisningsformen. Dessa två förmågor är

kommunikationsförmågan och resonemangsförmågan (Skolverket, 2018, s. 55). Ett sätt att

bedriva en undervisning som gynnar dessa förmågor är att använda muntlig kommunikation

och matematiska samtal i undervisningen (Skolforskningsinstitutet, 2017, s. XI). Forskning

om hur matematiska samtal gynnar elever har nyligen tagits upp av Skolforskningsinstitutet

(2017) i en sammanställning av forskning gjord inom detta område. Utifrån denna

7

sammanställning beskriver de sedan några slutsatser kring hur matematiska samtal engagerar

elever samt tar till vara på deras olikheter, samt hur läraren leder dessa samtal (ibid, s. 43). De

konstaterar att forskningen inte ger några enkla svar på vilka lärarhandlingar som leder till

mer engagerade elever, men den visar att det läraren gör kan ha stor påverkan på hur

klassrumsdialoger utvecklar elevernas resonemang. En sak som lärare då kan göra för att

skapa ett gott klimat för matematiska samtal är att omformulera, exemplifiera och förstärka

elever i deras resonemang (ibid, s. 43).

Denna studies inriktning på ämnet algebra motiveras av att algebra är ett av de områden inom

matematiken som svenska elever i senaste TIMSS-mätningen fick sämst resultat i

(Skolverket, 2016a, s. 33). Resultatet är oroväckande då elever med goda kunskaper inom

algebra har det lättare att senare klara matematikstudier på universitetsnivå (Bråting & Madej,

2017, s. 3; Brandell, Hemmi & Thunberg, 2008, s. 41-42). I vilken årskurs algebra bör

introduceras i skolan har därför debatterats mycket inom matematikdidaktisk forskning. Det

finns en hel del forskning som pekar på att en tidig introduktion har stora fördelar, under

förutsättning att algebran då är anpassad för barn (Bråting & Madej, 2017, s. 4).

Forskningsfokuset på detta har lett till att flera länder, däribland Sverige, har förändrat sina

läroplaner för att tidigarelägga införandet av algebra (Bråting, Madej & Hemmi, 2019, s. 28).

Betraktar vi den rådande läroplanen får vi en bild av hur Sverige valt att implementera algebra

för olika åldersgrupper. I årskurs 1–3 ligger fokus på förståelsen av likhetstecknet och

mönster (Skolverket, 2018, s. 55). Mönster är något som återkommer i årskurs 4–6, men här

fördjupas innehållet med obekanta tal, algebraiska uttryck och enkla ekvationer (ibid, s. 57). I

årskurs 7–9 tas variabelbegreppets betydelse upp, utöver ekvationer relevanta för eleven samt

hur de kan lösas (ibid, s. 58). Från 2018 års revidering av läroplanen tas även programmering

upp i alla årskurser inom algebra på olika sätt (ibid, s. 55–58).

Det går alltså att säga att det i dagens matematikdidaktiska skolforskning finns ett stort

intresse för hur läromedel påverkar och kan utveckla undervisningen och framförallt läraren

som undervisar. Detta syns genom diskussionen kring lärarhandledningar som stöd till lärare

på olika sätt, men även genom Skolverkets tryck på en varierad undervisning, där

lärarhandledningarna kan vara ett stöd. Sammanfattningsvis blir det intressant att studera hur

innehållet ser ut i lärarhandledningar i matematik med fokus på algebra.

8

3. Forskningsöversikt

I den här forskningsöversikten presenteras först en teoretisk modell för lärarhandledningars

innehåll som utvecklades 2005. Därefter redogörs för tre studier av innehållet i

lärarhandledningar i matematik och avslutningsvis presenteras forskning om algebrainnehåll i

svenska läromedel.

Som nämnts tidigare är forskningen på lärarhandledningar relativt ung (Hoelgaard 2015, s. 9).

Davis och Krajcik (2005) diskuterar hur det är lämpligt att utforma en lärarhandledning, vilka

delar som bör ingå, för att innehållet inte bara ska leda till ökad kunskap hos eleverna utan

även hos läraren. Detta gör de dels för att hjälpa de som skriver lärarhandledningar, dels för

att skapa en grund för vidare diskussioner om vad som främjar lärares lärande (ibid, s.4).

Deras modell innehåller fem riktlinjer som utmynnar i nio specifika utvecklingsområden för

lärarhandledningar inom naturvetenskaplig undervisning. Dessa fem riktlinjer har ändå

kommit att bli utgångspunkt för den forskning om lärarhandledningar i matematik som gjorts

efter det. Den första riktlinjen handlar om att ge förståelse för hur eleverna kan tänkas agera

eller tänka i olika situationer, den andra om att erbjuda läraren ämneskunskap. Den tredje

riktlinjen handlar om att hjälpa läraren relatera olika delmål, som en lektion, till något större

som hela läsårets läroplan. Den fjärde handlar om att inte bara ge läraren instruktioner utan

även förklara syftet och de bakomliggande tankarna med uppgifter. Slutligen den femte och

sista riktlinjen handlar om att utveckla lärarens förmåga att själv designa undervisningen och

göra kloka val mellan olika läromedel, aktiviteter och egna erfarenheter. Något annat som de

dessutom tar upp är svårigheten att skriva en lärarhandledning som har en bra balans i hur

normativ den är. En lärarhandledning ska ge tillräcklig vägledning samtidigt som den måste

ge läraren utrymme att använda egna idéer och anpassa undervisningen på olika sätt.

Några år därefter presenterar Hemmi, Koljonen, Hoelgaard, Ahl och Ryve (2013) en

pilotstudie där de analyserar fyra lärarhandledningar i matematik för årskurs 1, två svenska

och två finska. De undersöker innehållet utifrån Davis och Krajciks riktlinjer och utvecklar

därur ett analysverktyg med fem kategorier som i princip följer de fem presenterade

riktlinjerna ovan men med vissa anpassningar för lärarhandledningar i matematik istället för

naturvetenskap. De upptäcker många olikheter både mellan varje lärarhandledning för sig och

mellan Sverige och Finland. Endast en lärarhandledning, en av de finska, tar upp didaktisk

forskning och hur den kopplas ihop med teori och praktik i undervisningen. Den andra finska

lärarhandledningen är den enda som systematiskt erbjuder matematiska fakta och begrepp

riktade till läraren. Tre av fyra lärarhandledningar har sporadisk information om förväntade

framsteg för ett visst avsnitt, den fjärde som var svensk saknade detta helt. När det gäller att

hjälpa läraren med det praktiska utförandet av undervisningen, att sätta ihop en lektion,

noteras stora skillnader mellan de svenska och de finska lärarhandledningarna. De finska är

9

uppbyggda kring lektioner och vad som kan genomföras under en lektion medan de svenska

mer utgår från elevens framsteg i elevboken och inte alls tar upp några tidsaspekter. De finska

har till varje lektion förslag på olika typer av aktiviteter inklusive spel och andra

gruppaktiviteter, medan de två svenska huvudsakligen har ett avsnitt med aktiviteter samlat i

slutet eller i början av ett kapitel. När det gäller nivådifferentiering ger de finska möjlighet till

sådan under varje lektion medan de svenska antingen ger det sporadiskt eller först i slutet av

kapitlet där eleven kan välja olika spår efter att ha genomfört en diagnos. Avslutningsvis

nämner författarna att de anser den femte och sista kategorin som handlar om att designa

undervisningen, utföra lektioner, vara så bred att den borde fokuseras mer på i vidare

forskning.

Lena Hoelgaard gör senare en mer omfattande studie av lärarhandledningar i matematik som

hon presenterar i sin licentiatavhandling (Hoelgaard, 2015). I svenska lärarhandledningar från

fyra olika läromedelsserier i matematik för årskurs 1-3 undersöker hon inledningsvis genom

innehållsanalys handledningarnas uppbyggnad av innehållet för att notera vilka mönster som

finns när det gäller upplägg i de olika serierna. Var eventuellt stödmaterial finns, om det finns

med överhuvudtaget, var alternativa aktiviteter återfinns, hur nivådifferentiering behandlas

med mera. Därefter görs en kvalitativ innehållsanalys av själva texten i tre utvalda avsnitt

(kopplade till tre olika lärandemål), ett för varje årskurs. Där använder hon samma

analysverktyg som i ovan beskrivna studie av Hemmi m.fl. från 2013. En tredje

innehållsanalys görs av samma utvalda avsnitt med avseende på vilken typ av aktiviteter som

förekommer i lärarhandledningen, alltså om det rör sig om individuellt räknande,

helklassdiskussioner, gruppaktiviteter och så vidare. Avslutningsvis görs en analys av hur

lärarhandledningen talar till läraren. Efter första analysen konstaterar Hoelgaard att de

analyserade lärarhandledningarna är väldigt olika när det gäller struktur och upplägg. Allmän

information till läraren varierar både i omfång och med avseende på var i lärarhandledningen

den är placerad. Var stödmaterial, ytterligare aktiviteter, kopieringsunderlag med mera finns,

om det finns, varierar också mycket. Hur nivådifferentiering tas upp varierar också. I vissa

serier finns de i elevboken, i andra i lärarhandledningen. En av lärarhandledningarna har

många förslag på aktiviteter men saknar ofta en förklaring till aktiviteternas pedagogiska

syfte. Hennes slutsats är att “samtliga lärarhandledningar i studien utgör en potentiell resurs

för läraren men i olika utsträckning och på olika vis vilket visar att varje läromedelsserie har

en egen karaktär som resurs för lärare att planera och genomföra matematikundervisning

utifrån Lgr11” (Hoelgaard, 2015, s. 74).

Hemmi, Krzywacki och Koljonen (2018) presenterar en studie där de analyserar

lärarhandledningar från fyra olika finska läromedelsserier i matematik för årskurs 1,3 och 5-6.

De analyserar både lärarhandledningarnas innehåll och hur de kommunicerar med läraren. I

10

innehållsanalysen börjar de först använda det analysverktyg som Hemmi m.fl. (2013)

utvecklat utifrån Davis och Krajciks (2005) riktlinjer men snart märker de att kategorier

överlappar varandra och att modellen dessutom inte täcker allt innehåll i de finska

lärarhandledningarna. De anpassar därför verktyget till ett eget, som senare ska komma att

ligga till grund för den analys som genomförs i det här arbetet. Studien av Hemmi m.fl.

(2018) är alltså den som är mest jämförbar med den studie som snart ska presenteras. Då det

gäller de finska lärarhandledningarnas struktur och uppbyggnad visar resultatet att alla är

väldigt lika. De är alla uppbyggda med utgångspunkt i lektioner och i alla lärarhandledningar

utom en är extramaterial så som exempelvis kopieringsunderlag listade i en tabell i

lärarhandledningen. Då det gäller centralt innehåll och förväntade framsteg hos eleverna

klargörs detta relativt detaljerat i alla lärarhandledningar, både vid introduktionen till ett nytt

kunskapsområde och vid varje lektion. Det finns förslag på hur man lägger undervisningen på

olika nivåer och hur man stöttar elever med svårigheter. Det finns mycket information om hur

man använder lärarhandledningen och hur den förhåller sig till övrigt material.

Klassrumsinstruktioner, bland annat med förslag på lektionsupplägg, är vanligt

förekommande i alla lärarhandledningar. Matematisk kommunikation som också är en av

kategorierna i analysverktyget är också välrepresenterat i de olika aktiviteter som föreslås på

lektionssidorna. Varje lektion har en tillhörande läxa men hänvisningen till den, och eventuell

övrig kommentar om läxan, finns i lärarhandledningarnas introducerande kapitel. Endast en

handledning innehåller något om samarbete med föräldrar. Olika typer av tester finns i

samtliga lärarhandledningar men bara två diskuterar bedömning i detalj på en generell nivå.

Pedagogiska diskussioner förs oftast på en generell nivå och inte i samband med specifika

aktiviteter. Hemmi m.fl. (2018) avslutar med att spekulera kring om finska

lärarhandledningars homogena uppbyggnad och struktur, med liknande återkommande

aktiviteter, kan vara en del av förklaringen till finska elevers goda matematikkunskaper i

förhållande till andra länder.

Som redan nämnts i inledningen är just algebra ett matematikområde där svenska elevers

kunskaper är bristfälliga. Det finns olika uppfattningar om vilket matematiskt innehåll

begreppet algebra inrymmer men en modell som ofta används i forskning är den enligt

Blanton, Stephens, Knuth, Murphy Gardiner, Isler och Kim (2015, s. 43) som kallas ”De fem

stora idéerna”. Dessa fem är översatta från engelska till svenska (Bråting och Madej, 2017, s.

83) som 1) ekvivalenser, uttryck, ekvationer och olikheter 2) funktionslära 3) variabler 4)

proportionalitet och 5) generaliserad aritmetik. Det senare, generaliserad aritmetik, innebär att

resonera kring mönster och strukturer hos aritmetiska uttryck. Det handlar om att förstå

egenskaperna hos olika tal och operationer i ett vidare perspektiv och inte bara lösa en

specifik uppgift med fokus på svaret utan att mer resonera sig fram till en lösning. Det är att

kunna generalisera aritmetiska samband och på så sätt genom egen insikt komma fram till

11

olika matematiska regler och liknande (ibid). I en studie av Bråting, Madej och Hemmi (2019)

undersöks det algebraiska innehållet dels i den svenska läroplanens centrala innehåll i

matematik för årskurs 1–3 respektive 4–6, dels i två olika läromedelsserier i matematik för

samma årskurser. De gör en kvalitativ innehållsanalys med kvantitativa inslag med

utgångspunkt i Blantons stora idéer. Resultatet visar att generaliserad aritmetik saknas i det

centrala innehållet i den svenska kursplanen i matematik för årskurs 1-6. I läromedlen som i

det här fallet utgörs av elevböckerna är andelen generaliserad aritmetik avsevärt mycket lägre

än övriga typer av algebra. I årskurs 1–3 är andelen i snitt 8% och i årskurs 4–6 i snitt 7,5%.

Det nämns i studien att generaliserad aritmetik av många forskare anses vara den allra

viktigaste delen av algebra och goda kunskaper i algebra generellt är viktigt för att klara

matematikstudier på universitetsnivå (Bråting & Madej, 2017, s. 3; Brandell, Hemmi &

Thunberg, 2008, s. 41-42).

12

4. Teoretiska utgångspunkter

Teoretiska utgångspunkter inleds med en presentation av hur detta självständiga arbetes

teoretiska utgångspunkter valts ut. Därefter ges en beskrivning av den didaktiska

transpositionsprocessen och teorin bakom den. Efter detta presenteras artefakter som ett

centralt begrepp för studien av lärarhandledningar.

Enligt Remillard (2012, s. 85) saknas en teoretisk och konceptuell grund för forskning på

kopplingen mellan lärare och läromedel. Hon upplever inte att det finns en explicit uttryckt

gemensam grund för denna typ av forskning, trots att det har genomförts forskning inom

området. Detta självständiga arbete är även det en del i denna typ av forskning, vilket gör att

den utan en explicit teori att utgå ifrån har förlitat sig på tidigare forskning och de teoretiska

utgångspunkter som använts där. Arbetets studier är grundade på det centrala begreppet

artefakter ur ett sociokulturellt perspektiv, vidare beskrivet och utvecklat av Wertsch (1998),

Wartofsky (1979) och Brown (2012). Under rubriken “Artefakter, och läromedel som

artefakter” beskrivs först artefakter rent allmänt utifrån dessa teoretiker och därefter hur just

läromedel kan förstås som artefakter. Innan detta sätts dock studien in i en didaktisk teori och

ett ramverk, där synen på hur kunskap förändras och bryts ner från den som används av

teoretiker till den som lärs ut i skolor står i fokus, så kallad didaktisk transposition.

4.1 Teorin om didaktisk transposition

Teorin om didaktisk transposition är skapad av Yves Chevallard (1988) och förklarar en

teoretisk position på didaktik som fenomen. Teorin utgår från att den didaktiska relationen

förenar tre olika aspekter. Dessa tre är läraren, eleven och kunskap som tillsammans definierar

kunskap som lärs ut (Chevallard, 1988, s. 4). Chevallard (1988, s. 4) introducerar kunskap

som en del av didaktiken för att läraren och eleven måste agera i en kontext av kunskap. Ett

av didaktikens stora problem är att kunskap måste processas inom utbildningssystemet (ibid).

Kunskap är skapad utanför skolan och förflyttas in till skolan samtidigt som den förändras och

anpassas till utbildning (Bosch & Gascón, 2006, s. 53). Detta har varit av stor betydelse inom

matematikdidaktisk forskning, då man inte längre enbart tittar på förmedlingen av matematisk

kunskap och hur man bäst ska undervisa. Istället lägger man vikt vid hur den matematiska

kunskapen förändras längs vägen i utbildningssystemet, vilket illustreras i Figur 1 nedan (ibid,

s. 55).

13

Figur 1. Den didaktiska transpositionsprocessen, anpassad och översatt från Bosch & Gascón, 2006, s. 56

Eftersom matematisk kunskap skapas, används, lärs ut och lärs in i olika sociala situationer är

det av vikt att ha kunskap om den matematik som motiverar och påverkar undervisning

likaväl som hur matematisk kunskap tolkas i olika undervisningssituationer (Bosch & Gascón,

2006, s. 55). I det här självständiga arbetet fokuseras på kunskapen som ska läras ut, genom

att arbetet undersöker lärarhandledningar som en del av läromedel. Det är alltså den inringade

rutan i Figur 1 ovan som är aktuell här.

4.2 Artefakter, och läromedel som artefakter

Artefakter är verktyg skapade av människan för att göra livet enklare (Wartofsky, 1979, s.

200). Även verktyg utvecklade för att kunna använda dessa artefakter är artefakter. Ett

exempel på detta är språket som ju är ett verktyg för att förmedla artefakter, men språket i sig

är också en artefakt. En viktig egenskap hos artefakter är att de kan överföras och förvaras i

en social grupp över tid, vilket blir möjligt exempelvis genom språket (ibid, s. 201). Därför är

det även svårt att skilja på människors och artefakters del i genomförandet av en prestation

(Brown, 2012, s. 19). Wertsch (1998, s. 24) talar här om mediated action, medierad handling,

vilket beskrivs som en handling där agenten (människan som genomför handlingen) och

artefakten (ett kulturellt eller medierande verktyg) samverkar med varandra. Wertsch (1998, s.

25) vidareutvecklar även detta resonemang genom att peka på att det finns ett oskiljbart

förhållande mellan agenten och det medierande verktyget när man analyserar en medierad

handling eftersom båda krävs för att handlingen ska genomföras. Det kan dock vara av vikt att

särskilja dessa delar från varandra för att kunna analysera dem och deras påverkan på

handlingen djupare. När fokus då läggs på de medierande verktygen och deras påverkan på

handlingen kommer två egenskaper hos artefakter upp, nämligen affordances och constraints

(Wertsch, 1998, s. 38–39). Affordances innebär att de medierande verktygen gynnar och

möjliggör en handling, constraints att de medierande verktygen begränsar en handling, något

som kan vara både positivt och negativt. Ett exempel på detta är hur stavhopp i början av dess

historia dominerades av stavar gjorda av trä. Trästavarna möjliggjorde högre och längre hopp

än utan stavar, men på senare tid har man börjat använda andra material som glasfiber, vilket

har möjliggjort hopp på betydligt högre höjder. Begränsningarna som fanns med de gamla

trästavarna har börjat visa sig först i efterhand (ibid, s. 41). Wertsch (1998, s. 39) menar på

detta sätt att man kan se på medierande verktyg ur två olika perspektiv vilket han förklarar

14

med hjälp av en metafor: Antingen ser man på glaset som halvfullt där fokus ligger på de

möjligheter som finns, eller så ser man på glaset som halvtomt där fokus ligger på de

begränsningar som finns.

Hur kan vi då förstå läromedel som artefakter? Brown (2012, s. 18–19) pekar på att lärande

genom undervisning är en designaktivitet. Han menar då att det går att se läromedel som en

resurs för lärare att designa sin undervisning med, vilket går att starkt binda samman med de

teorier om medierad handling som tagits upp tidigare här ovan. Brown (2012, s. 19) menar att

detta lyfter fram tre nyckelpunkter i förhållandet mellan lärare och läromedel, där den första,

och viktigaste för det här arbetets studie, är att läromedel spelar en viktig roll för att

möjliggöra och begränsa lärares handlingar. De övriga två nyckelpunkterna behandlar mer hur

lärares olika förutsättningar påverkar hur läromedel används och hur lärande som design är

något oundvikligt. Brown (2012, s. 20) utvecklar detta genom att peka på hur läromedel är

skapade just för att påverka hur lärare handlar utifrån den läroplan som finns, eftersom

läromedel liksom andra artefakter är skapade av människan för att nå mål som möjligen

annars inte skulle kunna uppnås. Läromedel ger på detta sätt en inriktning för hur lärare bör

genomföra sin undervisning, både med de möjligheter läromedlet ger genom olika uppgifter

och aktiviteter som kan användas, men även med de begränsningar som ges i beskrivningarna

av hur dessa aktiviteter bör genomföras (ibid, s. 21).

15

5. Syfte och frågeställningar

Syftet med denna studie är att undersöka hur svenska lärarhandledningar i matematik kan tänkas

stödja och utveckla undervisningen.

Våra frågeställningar är:

1. Vilken typ av stöd erbjuder innehållet i lärarhandledningar i matematik för årskurs 6

inom området algebra?

2. Vilken typ av stöd erbjuder innehållet i lärarhandledningar i matematik för årskurs 8

inom området algebra?

3. Vad finns det för skillnader och likheter mellan innehållet i lärarhandledningar i

matematik för årskurs 6 respektive 8?

16

6. Metod

I detta avsnitt ges till att börja med en beskrivning av den metod som valts, det analysverktyg

som använts och genomförandet av analysen. Därefter presenteras urvalet och avgränsningen

med en presentation av lärarhandledningarna. Sedan diskuteras reflektioner över metoden.

Slutligen diskuteras de etiska överväganden som gjorts för arbetet.

6.1 Val av metod

I denna studie genomförs en kvalitativ innehållsanalys med vissa kvantitativa inslag. Det är en

typ av analys vars syfte är att beskriva textinnehåll på ett systematiskt sätt (Bergström &

Boréus, 2012, s. 50). Analysen i denna studie har alltså en mer komplicerad tolkning av

kategorierna som ska användas, men innefattar samtidigt en viss del mätning av hur stor del

av texten som passar in på olika kategorier. På grund av dessa tolkningar genomförs

innehållsanalysen manuellt. Denna inriktning på textanalys är lämplig för att finna mönster i

större textmaterial, vilket kan sammankopplas väl med denna studies syfte och

frågeställningar då det handlar om att kunna kategorisera och finna mönster i

lärarhandledningar. Det är även en lämplig metod eftersom den använts i tidigare forskning på

lärarhandledningar (Hemmi m.fl., 2017, s. 914–915), forskning vars analysverktyg även

planerats att användas i denna studie och som kommer beskrivas härnäst.

Analysverktyg

Hemmi m.fl. (2017) presenterar en analys de gjort av finska lärarhandledningar inom

matematikundervisning. Analysen genomförs för att få en ökad förståelse för den

klassrumskultur som råder inom finsk matematikundervisning. De vill undersöka dels

lärarhandledningarnas innehåll, dels hur lärarhandledningarna kommunicerar med läraren. Att

undersöka det senare hinns dock inte med inom ramen för det här arbetet utan det är endast

innehållet som analyseras. Hemmi m.fl. (2017) utgår i sin analys inledningsvis från ett

analysverktyg utvecklat av Hemmi m.fl. (2013) men anpassar sedan detta genom att dela upp

vissa av kategorierna i underkategorier för att få en mer detaljerad uppdelning av innehållet. I

följande analys av svenska lärarhandledningar har i huvudsak analysverktyget från Hemmi

m.fl. (2017) använts (efter en av författarna fri översättning från engelska till svenska) men

med ytterligare anpassningar som specificeras och motiveras längre ned. Härnäst visas det

anpassade analysverktyget som används i den här studien.

17

Kategorier

A. Användandet av lärarhandledningen

Beskrivning av hur handledningen är tänkt att användas och hur den är

sammankopplad med tillhörande material som exempelvis elevboken.

B. Pedagogiskt stöd

a. Matematiskt innehåll, aktuellt tema, förväntade framsteg. Vilket centralt

innehåll som behandlas.

b. Klassrumsinstruktioner

Exempelvis förslag på lärarledda genomgångar, på lektionsupplägg, på hur

man kan använda olika fysiska hjälpmedel i undervisningen. Vad man bör

tänka på vid muntlig genomgång av ett särskilt begrepp. Specifika övningar

eller räkneuppgifter att använda när man planerar en lektion.

c. Att kommunicera matematik

Förslag på diskussioner i helklass, uppmuntran till att låta elever förklara,

påminnelser om vikten av att kombinera användandet av fysiska hjälpmedel

med berättande. Aktiv muntlig kommunikation om matematik.

d. Bedömning och att bemöta elevers olika behov och sätt att tänka.

Olika typer av test, diskussion kring hur man bör bedöma, stöd i att hjälpa

svaga eller särskilt begåvade elever individuellt etc.

e. Läxor och samarbete med föräldrar

C. Facit

Rena svar på elevuppgifter utan motivering eller redovisning av lösningsstrategi.

Hemmi m.fl. (2017) har ytterligare en huvudkategori i sitt verktyg som de kallar

Mathematical concepts and facts där de klassificerar text som är menad att ge läraren stöd i

att själv förstå matematiska fakta och begrepp, alltså fakta ämnad för att höja lärarens

kunskapsnivå. Då de knappt hittade något alls inom denna kategori i sin analys, och då inget

som skulle platsa inom den kategorin hittades i den här analysen heller vid en första grövre

genomgång av lärarhandledningarna, togs beslutet att ta bort den kategorin.

Utöver borttagande av kategorin Mathematical concepts and facts gjordes ytterligare en

ändring av Hemmis m.fl. (2017) verktyg. En ny huvudkategori som döptes till Facit lades till.

Detta för att flera av de svenska lärarhandledningarna innehöll rena facitlistor mitt bland övrig

handledningstext och det ansågs kunna ge ett missvisande analysresultat om facitlistorna

inkluderades i någon av de andra kategorierna.

18

Genomförande

Inför analysen testades analysverktyget gemensamt vilket ledde till en överenskommelse om

hur texten i lärarhandledningarna skulle delas upp i mindre analysenheter. Dessa följde

huvudsakligen den befintliga styckeindelningen på sidorna. I vissa böcker var texten på

sidorna mer utspritt placerad i olika informationsrutor, punktlistor eller liknande och då fick

en sådan ruta eller en punkt på listan utgöra en analysenhet. Varje analysenhet kategoriserades

sedan utifrån det analysverktyg som presenterats ovan. I de få fall en analysenhet hade

innehåll som tillhörde mer än en kategori klassificerades den i den kategori som majoriteten

av innehållet tillhörde. Rent praktiskt gick det till så att man arbetade med en tom matris med

kategorierna enligt ovan samtidigt som man läste igenom lärarhandledningen. En markering

för varje analysenhet fylldes i matrisen vid lämplig kategori.

Lärarhandledningarna har analyserats i två delstudier, en för varje årskurs. En person har

analyserat lärarhandledningar för årskurs 6 och en annan för årskurs 8. Delstudierna har även

diskuterats under analysens gång för att se till att analysverktyget har använts på samma sätt i

båda studier. En sak som kom upp i dessa diskussioner var att kategorin B.c Att kommunicera

matematik endast ska röra analysenheter där muntlig kommunikation om matematik

förekommer i lärarhandledningen. I de fall det exempelvis finns aktivitetssidor i elevboken

med syfte att främja muntlig kommunikation kommer dessa endast med i analysen om det i

lärarhandledningen finns innehåll som tillför något extra utöver det som redan står i

elevboken, och under förutsättning att detta extra också platsar inom kategori B.c. Rör det sig

exempelvis bara om en hänvisning till aktiviteten i elevboken så hamnar den i kategori A

Användandet av lärarhandledningen, rör det sig om hur man introducerar aktiviteten på ett bra

sätt så hamnar texten i kategori B.b Klassrumsinstruktioner.

6.2 Urval och avgränsning

För denna studie har ett målstyrt urval använts där urvalet är baserat på att vissa kriterier

uppfylls. Bryman (2018, s. 498) särskiljer i sin beskrivning av ett målstyrt urval sekventiella

och icke-sekventiella urval samt a priori-urval och villkorliga urvalsprocesser. Sekventiella

urval och villkorliga urvalsprocesser utvecklas under forskningens gång och kan göra att

kriterierna förändras för att bättre uppfylla forskningsfrågorna. I ett icke-sekventiellt urval

genomförs urvalet tidigt i studien och förändras väldigt lite under studiens gång. När

kriterierna för urvalet fastställts tidigt i forskningen och inte förändras under studiens gång

kallas det för ett a priori-urval. Denna studie har använt ett a priori-urval och ett icke-

sekventiellt urval.

19

De kriterier som fastställdes för urvalet på ett tidigt stadium var då följande:

• Tre lärarhandledningar var för årskurs 6 och 8.

• Lärarhandledningarna för respektive årskurs ska vara utgivna av olika förlag.

• Lärarhandledningarna ska i något kapitel behandla området algebra.

Valet av dessa kriterier är baserat på några olika faktorer. Valet av årskurs 6 är baserat på att

detta är den årskursen som de första betygskriterierna är riktade mot. Valet av årskurs 8 är

baserat på att det är i denna årskurs TIMSS genomförs i Sverige vilken har visat de stora

problemen med algebra. TIMSS genomförs också i årskurs 4, men där mäts inte kunskaper

om algebra separat. Att lärarhandledningarna behandlar området algebra är en förutsättning då

detta är det område studien fokuserar på att undersöka och det som utgör studiens

avgränsning. Valet av att ha tre lärarhandledningar från tre olika förlag för varje årskurs är för

att få en bra spridning på lärarhandledningarna då vi tycker det är troligt att samma förlag ger

ut liknande lärarhandledningar.

Urvalet för årskurs 6 består därför av lärarhandledningarna: Matte Direkt Borgen

Lärarhandledning 6A (Carlsson, Falck, Liljegren & Picetti, 2012), Matte Eldorado Lärarbok

6A (Olsson & Forsbäck, 2013) och Favorit Matematik Lärarhandledning 6A (Asikainen,

Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2016). Dessa lärarhandledningar innehåller alla kapitel eller

beskriver områden som behandlar det centrala innehållet algebra. Dessa läromedelsserier har

även rapporterats användas eller varit av intresse för att användas av lärare i en svensk

kommun (Hoelgaard, 2015, s. 29). Urvalet för årskurs 8 består av lärarhandledningarna:

Vektor Matematik Årskurs 8 Lärarhandledning (Amberntsson, Bjermo, Domert, Lundin

Jakobsson, Madej, Ristamäki, Söderberg & Öberg 2015), Matte Direkt 8 Lärarguide

(Carlsson, Hake & Lundkvist, 2018) och Matematik Y Lärarguide (Undvall, Johnson

&Welén, 2018). För att genomföra avgränsningen till det innehåll som behandlar området

algebra har vi använt lärarhandledningarnas egna kapitelindelningar eller indelningar genom

beskrivning av det centrala innehåll som tas upp i läromedlet. Vi har även valt att inte ta med

och analysera kopieringsunderlag och liknande eftersom det inte finns i alla

lärarhandledningar och därför skulle kunna ge en skev bild av analysen.

Presentation av lärarhandledningar

Matte Eldorado Lärarbok 6A (Olsson & Forsbäck, 2013) (Hädanefter Eldorado LH):

Algebrakapitlet omfattar 37 sidor av lärarhandledningens 178 sidor (då ej medräknat de

kopieringsunderlag som finns i slutet av lärarhandledningen). Lärarhandledningen har mycket

löptext och varje avsnitt i kapitlet inleds med en introduktion till innehållet i avsnittet. Sedan

följer ett antal sidor med bilder på elevbokssidor där innehållet beskrivs ytterligare samt hur

man kan arbeta med det. Det finns kopior på samtliga elevbokssidor i lärarhandledningen.

20

Matte Direkt Borgen Lärarhandledning 6A (Carlsson m.fl., 2012) (Hädanefter Matte Borgen

LH): Lärarhandledningen innehåller ett algebrakapitel om 18 sidor, varav 11 har analyserats

då övriga enbart är kopieringsunderlag. I kapitlet presenteras först innehållet i kapitlet och

sedan hur man kan arbeta med elevbokens sidor på grundnivån, där det även finns kopior på

elevbokssidorna. När lärarhandledningen sedan går över till att behandla de uppgifter som

finns efter grundnivån ges enbart sidhänvisningar till elevboken och inga bilder finns med.

Favorit Matematik Lärarhandledning 6A (Asikainen m.fl., 2016) (Hädanefter Favorit LH):

Denna lärarhandledning är något annorlunda uppbyggd än de andra, då den inte har ett

specifikt algebrakapitel. Läromedlet i stort är dock uppdelat efter “lektioner”, några sidor som

handlar om ett specifikt område. Här har varje “lektion” en hänvisning till det centrala

innehållet från läroplanen. Vi har då valt att analysera de lektioner som hänvisar till ett

centralt innehåll från området algebra. Detta innebär att 20 sidor ur lärarhandledningen har

analyserats. Även här finns varje elevbokssida med i lärarhandledningen som en bild för att

lätt koppla mellan innehållet i lärarhandledningen och elevboken.

Matematik Y Lärarguide (Undvall m.fl., 2018) (Hädanefter Matematik Y LH): Kapitlet som

berör algebra består av 62 sidor och motsvarar sidorna 158–219 i elevboken. Kopior på

samtliga elevbokssidor finns med i lärarhandledningen.

Matte Direkt 8 Lärarguide (Carlsson m.fl., 2018) (Hädanefter Matte Direkt LH): Lärarguidens

kapitel med namnet Algebra har analyserats och det utgörs av 30 sidor i guiden och behandlar

sidorna 98-135 i elevboken. En förminskad kopia av varje elevbokssida finns med i guiden för

att enkelt ge en snabb koppling till motsvarande avsnitt i elevboken. Guiden innehåller facit

till samtliga elevuppgifter men kommentarer och lösningsförslag finns bara till vissa av

uppgifterna. Diagnoser finns i elevboken och tillhörande facit i lärarguiden.

Vektor Matematik Årskurs 8 Lärarhandledning (Amberntsson m.fl., 2015) (Hädanefter

Vektor LH): Lärarhandledningens algebrakapitel består av 32 sidor men endast 12 av dessa

har analyserats. Det som exkluderats är kopieringsunderlag i form av extra arbetsblad och

provuppgifter med tillhörande facit. De 12 sidorna som analyserats behandlar sidorna 180-205

i elevboken. Både diagnoser och tillhörande facit finns med i lärarhandledningen och har

inkluderats i analysen. Koppling till elevboken sker endast med sidhänvisning då kopior på

elevbokssidor saknas.

21

6.3 Reflektioner över metoden

Som tidigare beskrivits i detta kapitel har innehållsanalys använts som metod i detta

självständiga arbete. Metoden har ansetts vara lämplig för att besvara arbetets frågeställningar

eftersom de berör just innehållet i lärarhandledningar. Nackdelen är att det inte går att se

något om hur innehållet används eller hur det påverkar lärare och elever, vilket hade kunnat

ge ett mer omfattande svar till vårt syfte. För att kunna göra detta hade det krävts intervjuer

och observationer. Vi valde dock att avgränsa oss och enbart studera innehållet på grund av

den korta tid vi har haft till förfogande.

En annan reflektion vi haft rör begränsningen vi har gjort i den data vi har analyserat.

Eftersom strukturen i lärarhandledningarna skiljer sig mycket åt så har inte analysunderlaget

varit helt konsekvent. I flera fall finns mycket information i ett inledande kapitel vilket vi har

gått miste om eftersom vi bara analyserat algebrakapitlet. Det bör även nämnas att valet av

läromedelsserier till viss del har styrts av tillgång, då det visade sig att det var svårt att få tag i

aktuella lärarhandledningar. Vi har ändå hållit oss till de kriterier som ställdes upp för urvalet.

Reliabilitet och validitet

Eftersom det här arbetet är av en kvalitativ karaktär med kvantitativa inslag så diskuteras

studiens reliabilitet och validitet i relation till hur begreppen används inom kvalitativ

forskning (Bryman, 2018, s. 465). Inom kvalitativ forskning diskuteras extern och intern

reliabilitet och även extern och intern validitet, vilket är varför dessa aspekter av reliabilitet

och validitet diskuteras här med start i reliabiliteten.

Studiens externa reliabilitet behandlar i vilken utsträckning studien kan göras om, vilket är

svårt att beskriva inom kvalitativ forskning (Bryman, 2018, s. 465). I denna studie är tolkning

en stor del i analysen varför det har givits en tydlig beskrivning av analysverktyget samt

flertalet exempel på hur analysverktyget har använts och tolkats för att stärka den externa

reliabiliteten. Att analysverktyget använts tidigare ger även det bättre reliabilitet, då vi gör om

en tidigare studie. Den interna reliabiliteten behandlar istället mer hur vi har kommit överens

om det vi tolkar och ser (ibid, s. 465). Detta har stärkts genom ett gemensamt arbete kring hur

texterna och analysverktyget ska tolkas, samt genom att testa analysverktyget tillsammans

innan genomförandet av delstudierna och även föra diskussioner under analysarbetets gång.

Studiens externa validitet, hur generaliserbar den är, är ett av de kriterier som ofta skapar

problem i kvalitativa studier, även i denna (Bryman, 2018, s. 466). Eftersom det är ett

specifikt, litet urval, som analyseras så går det inte riktigt att diskutera annat än de mönster

som visas i det analyserade materialet. Den interna validiteten fokuserar istället på att det ska

vara en bra koppling mellan studiens observationer/analys och de teoretiska idéer som dessa

22

utvecklar (ibid, s. 465). Detta går att tolka som att det ska finnas en bra koherens i arbetet,

från datan och frågeställningarna, genom metoden fram till de slutsatser som dras av

resultatet. I denna studie är den interna validiteten på en god nivå, då frågeställningarna ligger

väldigt nära datan och metoden, vilket leder till att slutsatserna som kan dras av resultatet har

en god förankring.

6.4 Etiska överväganden

Detta arbete innefattar inte forskning på människor, vilket gör att den typ av etiska

överväganden som då hade krävts inte har behövt göras. Här analyseras dock litteratur, som

regleras av upphovsrättslagen (Vetenskapsrådet, 2018). Vid återgivandet av exempel ur

lärarhandledningarna har upphovsrättslagen tagits i beaktande, då upphovsrättslagen §22 tar

upp att citat får återges med hänsyn till god sed och i den mängd som är lämplig för

ändamålet (SFS 1960:729). Vi har även valt att ta med bilder på lärarhandledningarnas sidor

för att kunna diskutera layout, vilket också tas upp i upphovsrättslagen §23 där det står att

offentliggjorda konstverk får återges i vetenskaplig framställning vars syfte inte är att tjäna

pengar, vari detta arbete ingår (SFS 1960:729).

I detta arbete har god sed tagits hänsyn till genom att tydlig referens till källan har givits vid

varje citat eller delgivande av exempel. Dessutom har förlagen till lärarhandledningarna blivit

kontaktade per e-post med frågan om vi fick delge exempel ur deras lärarhandledningar,

vilket de har gett sitt godkännande till. Förlaget Natur & Kultur som givit ut Eldorado LH och

Vektor LH ville dock inte att delar av sidor i lärarhandledningarna återges utan endast hela

sidor.

23

7. Resultat och analys

Kapitlet resultat och analys kommer inledas med att presentera resultatet och analysen av

lärarhandledningarna för årskurs 6. Detta avslutas med en sammanfattning. Därefter

presenteras resultatet och analysen av lärarhandledningarna för årskurs 8, vilket även detta

sammanfattas. Resultatet för analysen av lärarhandledningarna presenteras i Tabell 1 för

årskurs 6 respektive Tabell 2 för årskurs 8. Här presenteras antalet analysenheter som

analyserats i varje lärarhandledning, samt hur dessa har kategoriserats. Tabellerna presenterar

även hur stor andel i procent av analysenheterna i en lärarhandlednings algebrakapitel som har

placerats inom en viss kategori. Under respektive tabell redovisas analysen separat för aktuell

delstudie. Kapitlet avslutas med en jämförelse mellan de två analyserna.

24

7.1 Resultat och analys av lärarhandledningar för årskurs 6

Tabell 1: Resultat av analyserade lärarhandledningar årskurs 6

Matte Borgen

LH

Favorit LH Eldorado LH

Antal Andel Antal Andel Antal Andel

Totalt antal enheter 454 st. 82

78

294

A: Användandet av

lärarhandledningen

23 28% 14 18% 75 26%

B: Pedagogiskt stöd a: Matematiskt

innehåll

14 17% 13 17% 57 19%

b: Klassrums-

instruktioner

32 39% 38 49% 139 47%

c: Att kommunicera

matematik

4 5% 9 11% 7 3%

d: Bedömning,

olika behov och

nivåer

2 2% 4 5% 16 5%

e: Läxor och

samarbete med

föräldrar

4 5% - - - -

C: Facit 3 4% - - - -

Användandet av lärarhandledningen

Användandet av lärarhandledningen är en av de kategorier som är mest framträdande i alla tre

lärarhandledningar, även om Favorit LH har enbart 18% medan de andra två har 28% eller

26% (se Tabell 1). Många av de enheter som har lett till markeringar i denna kategori är

bilder på sidor ur elevboken, som då visar vad i elevboken det som står i lärarhandledningen

berör. Detta finns med i alla lärarhandledningar, men i lite olika utsträckning. Favorit LH och

Eldorado LH har alla sidor ur elevboken med som bilder i lärarhandledningen, medan Matte

Borgen LH enbart har sidorna som hör till basnivån som bilder i lärarhandledningen. Sidorna

25

på andra nivåer nämns enbart som sidnummer i lärarhandledningen. Ett annat innehåll av det

som finns i lärarhandledningarna är hänvisningar till kopieringsunderlag och arbetsblad. Detta

sker oftast genom korta markeringar genom att bara nämna material eller kopieringsunderlag

som lämpar sig att använda till elevbokens innehåll. I Matte Borgen LH och Eldorado LH

finns dessutom upplägg för elevbokens kapitel samt anvisningar till hur lång tid som kapitlet

bör behandlas som också har kategoriserats inom denna kategori.

Pedagogiskt stöd - Matematiskt innehåll

Kategorin Matematiskt innehåll, alltså beskrivning av det matematiska innehållet och mål

som behandlas i lärarhandledningarna, är även den en framträdande kategori i alla tre

lärarhandledningar. Här är det mer jämnt mellan lärarhandledningarna, då alla har mellan

17% och 19% (se Tabell 1). Det här ser lite olika ut i varje lärarhandledning. I Matte Borgen

LH och Eldorado LH finns det beskrivningar i början av kapitlet över dess mål och innehåll

(se Figur 2). I Favorit LH så nämns vid varje ”lektion” det centrala innehåll och även de

kunskapskrav som lektionen behandlar (se Figur 3). Det är endast här som Favorit LH nämner

centralt innehåll. Matte Borgen LH behandlar innehållet även de samtidigt som de nämner

vad som behandlas på olika uppslag i elevboken. Eldorado LH har en lite annan strategi, då

den har betydligt mer löptext där innehållet i elevboken förklaras mer utförligt. I de fall dessa

stycken text innehåller liknande meningsskapande har de analyserats som en eller i vissa fall

några få analysenheter. Dessa analysenheter är då betydligt större än i de andra

lärarhandledningarna (se Bilaga 1).

Figur 2. Introduktion av mål till

algebrakapitlet i Matte Borgen LH

(Carlsson m.fl., 2012, s. 101).

Figur 3. Exempel på hur innehållet i

”lektionerna” från Favorit LH

(Asikainen m.fl., 2016, s. 42) presenteras.

26

Pedagogiskt stöd - Klassrumsinstruktioner

Den kategori som flest analysenheter platsar i är Klassrumsinstruktioner. Här finns mellan

39% och 47% av alla analysenheter oavsett lärarhandledning (se Tabell 1). Denna kategori

behandlar som tidigare nämnts hur genomgångar kan genomföras, hur läraren kan arbeta med

olika specifika uppgifter och så vidare, men här behandlas också hur man kan anpassa

undervisning för att underlätta för alla elever i klassen. Genomgångar är mest framträdande i

Favorit LH (se Figur 4) och Matte Borgen LH (se Figur 5). Här finns till varje ”lektion” eller

uppslag på grundnivån en eller flera gemensamma introduktioner eller förslag på arbetsgång. I

alla tre lärarhandledningar finns många exempel på hur man kan arbeta i helklass med

uppgifter ur elevboken, eller liknande uppgifter från lärarhandledningen. Favorit LH har här

en tendens att oftare ge exempel på nya uppgifter, medan Matte Borgen LH och Eldorado LH

hellre använder sig av de uppgifter som finns i elevboken och beskriver hur dessa kan

användas på olika sätt. Eldorado LH är dock den som oftast beskriver tekniker hur man kan

förenkla innehållet för alla i klassen (se Bilaga 1, under rubrik “Förenkla”), oftast handlar

detta om olika sätt att arbeta med uppgifter från elevboken.

Pedagogiskt stöd - Att kommunicera matematik

Kategorin Att kommunicera matematik finns representerad i alla tre lärarhandledningar, men

inte i så stor utsträckning. Favorit LH sticker dock ut en del, med 11% av analysenheterna

inom denna kategori jämfört med Eldorado LHs 3% och Matte Borgen LHs 5% (se Tabell 1).

Detta är till stor del på grund av att de till varje ”lektion” har olika ”Tips!” som ibland tar upp

kommunikativa tips. Till flera av lektionerna finns även en rubrik som heter ”Resonemang

och kommunikation” (se Figur 6) där innehållet behandlar hur lärare kan arbeta

kommunikativt med eleverna. Matte Borgen LH har en sida med fyra olika aktiviteter som

Figur 4. Ett förslag på arbetsgång från Favorit LH

(Asikainen m.fl., 2016, s. 42) i lektionen olikhet.

Figur 5. Förslag på gemensam

introduktion i Matte Borgen LH

(Carlsson m.fl., 2012, s. 106).

27

alla är kommunikativa, vilket är de fyra analysenheter som kategoriserats här. Eldorado LH

har inte direkt någon sådan rubrik med aktiviteter eller kommunikation men har ändå 3% av

markeringarna inom denna kategori.

Pedagogiskt stöd – Bedömning och att bemöta elevers olika behov och sätt att tänka

Bedömning är en annan av de kategorier som i mindre utsträckning finns representerad, men

ändå i alla lärarhandledningar. I Favorit LH och Matte Borgen LH handlar det om några få

markeringar framförallt med fokus på hur elever kan gå vidare på olika sätt efter diagnoser

eller hur man kan stötta enskilda elever som behöver hjälp (se Figur 7). I Eldorado LH är de

flesta markeringar inom kategorin Bedömning uppmaningar till läraren att observera hur

eleverna klarar vissa mål. Detta framställs genom frågor läraren ska fråga sig själv i

observationen (Se Bilaga 1 under rubriken “Observera”).

Pedagogiskt stöd - Läxor och samarbete med föräldrar

Kategorin Läxor finns enbart i en av lärarhandledningarna, Matte Borgen LH. Dessa upptar

heller inte så stor plats, då analysenheterna i kategorin läxor i princip behandlar att det finns

en läxa som passar till sidorna i elevboken.

Figur 6. Exempel på hur kommunikation beskrivs

i Favorit LH (Asikainen m.fl., 2016, s. 43).

Figur 7. Exempel från Matte Borgen LH (Carlsson

m.fl., 2012, s. 106) om bedömning av hur eleverna

bör gå vidare efter diagnos.

28

Facit

Den sista kategorin, Facit, finns även den enbart i Matte Borgen LH. Analysenheterna i denna

kategori är helt enkelt svar på frågorna i en diagnos och några mer utmanande uppgifter som

inte har sitt facit där facit på övriga uppgifter i elevboken finns.

Sammanfattning av resultatet för årskurs 6.

Sammanfattningsvis visar analysresultatet för lärarhandledningar i matematik för årskurs 6,

att lärarhandledningarnas innehåll till stor del hör till kategorierna Klassrumsinstruktioner,

Matematiskt innehåll och Användandet av lärarhandledningen. Övriga kategorier finns med i

mindre utsträckning, även om Läxor och föräldrasamarbete samt Facit enbart finns i en av

lärarhandledningarna och i liten utsträckning. Att kommunicera matematik skiljer sig även

den mellan lärarhandledningarna, där en av lärarhandledningarna har en dubbelt så stor andel

markeringar även om kategorin finns representerad i alla lärarhandledningar. Den sista

kategorin, Bedömning, finns representerad i alla tre lärarhandledningar i liten utsträckning.

29

7.2 Resultat och analys av lärarhandledningar för årskurs 8

Tabell 2: Resultat av analyserade lärarhandledningar årskurs 8

Matematik Y

LH

Matte Direkt

LH

Vektor LH

Antal Andel Antal Andel Antal Andel

Totalt antal enheter 470 284

151

35

A: Användandet av

lärarhandledningen

70 26% 35 23% 15 43%

B: Pedagogiskt stöd a: Matematiskt

innehåll

3 1% 21 14% 2 6%

b: Klassrums-

instruktioner

99 34% 68 45% 12 34%

c: Att kommunicera

matematik

26 9% 5 3% 1 3%

d: Bedömning,

olika behov och

nivåer

39 14% 4 3% 3 8%

e: Läxor och

samarbete med

föräldrar

6 2% - - - -

C: Facit

41 14% 18 12% 2 6%

Som synes i Tabell 2 ovan var mängden material att analysera väldigt olika i de tre

lärarhandledningarna för årskurs 8. En av orsakerna till det är att algebrakapitlen i

motsvarande elevböcker varierar ganska stort i antalet sidor. I Matematik Y är kapitlet på 62

sidor (Undvall m.fl., 2018, s. 158–219), i Matte Direkt på 38 sidor (Carlsson m.fl., 2018, s.

98–135) och i Vektor på 26 sidor (Domert, Lundin Jakobsson, Madej och Öberg, 2014, s.

180–205). I Matematik Y LH och Matte Direkt LH finns det handledning till samtliga sidor

av elevboken men det gör det inte i Vektor LH.

30

Användandet av lärarhandledningen

Denna kategori är stor i alla tre lärarhandledningar, mellan 26% och 43% (se Tabell 2). Som

nämnts tidigare innehåller både Matematik Y LH och Matte Direkt LH förminskade kopior av

samtliga sidor i elevboken. Då dessa bilder finns där för att förklara kopplingen till elevboken

har de betraktats som enskilda analysenheter och klassificerats i den här kategorin. Vektor LH

har istället, vid varje avsnitt, en tydlig sidhänvisning till elevboken. Ibland förekommer det

handledning av flera elevbokssidor på en och samma sida i Vektors lärarhandledning, ibland

behandlas bara en elevbokssida. För att göra de tre separata analyserna så likvärdiga som

möjligt har sidhänvisningarna i Vektor LH klassificerats på samma sätt som kopiorna. Att

Vektor LH då fått högre resultat i den här kategorin, 43% jämfört med 26% och 23% (se

Tabell 2), beror således på att det på en sida i den lärarhandledningen finns upp till fyra

elevbokshänvisningar medan det i Matematik Y LH och Matte Direkt LH finns som mest en. I

den här kategorin har även hänvisning till övrigt material inom läromedelsserierna

klassificerats. Exempelvis finns i Matte Direkt LH avsnitt med rubriken ”Extramaterial” där

det hänvisas till arbetsblad med mera i det kompletterande lärarmaterialet ”Arbetsblad, prov

och aktiviteter”. Matematik Y LH hänvisar i tabellform till arbetsblad, tester och diagnoser på

deras hemsida. Vektor LH har sitt extramaterial längre bak i lärarhandledningen men några

specifika hänvisningar till det finns inte.

Pedagogiskt stöd - Matematiskt innehåll

I den här kategorin sticker Matte Direkt LH ut med sina 14% jämfört de övriga två på 1%

respektive 6% (se Tabell 2). Kapitlet inleds med att belysa hur viktigt det är att eleverna

behärskar algebra för att senare kunna lära sig mer avancerad matematik. Därefter följer en

presentation av kapitlets innehåll där det även framgår vilka nya saker eleverna kommer stöta

på. En ruta anger vilka delar av det centrala innehållet som berörs i det kommande kapitlet (se

Figur 8), och en annan anger motsvarande centralt innehåll från årskurs 4-6. Efter den

introduktionen inleds dessutom varje avsnitt i algebrakapitlet med en text som beskriver mer

detaljerat vilket matematiskt innehåll som följer på de närmaste sidorna och vad som kommer

vara nytt för eleverna. Under den texten finns en rubrik som heter ”Lärandemål” där det i

punktform anges vad eleven ska lära sig i aktuellt avsnitt (se Figur 9).

31

Varken Vektor LH eller Matematik Y LH har någon systematisk presentation av vilket

matematiskt innehåll som berörs i olika avsnitt, även om viss information om det ändå finns

på ett fåtal ställen.

Pedagogiskt stöd – Klassrumsinstruktioner

Den här kategorin är stor i alla tre lärarhandledningar (34%, 45% respektive 34%) vilket

delvis beror på att den är väldigt bred. Alla lärarhandledningar har förslag på hur man kan

introducera ett visst avsnitt för klassen, antingen med hjälp av exempel i elevboken eller med

exempel som bara finns i lärarhandledningen. Matte Direkt LH har rubrikerna Start,

Alternativ start, Slut och Alternativt slut i varje avsnitt där de ganska detaljerat ger olika

förslag på hur läraren kan inleda respektive avsluta i helklass (se Figur 10 och 11). Matematik

Y LH har vid varje nytt avsnitt en rubrik som heter “Genomgång” där de hänvisar till färdiga

genomgångar på SMART Board, Powerpoint och film som man hittar på deras hemsida.

Dessa hänvisningar har dock klassificerats i kategori A: Användandet av lärarhandledningen

eftersom det faktiskt enbart handlar om hänvisningar till övrigt material.

Figur 8. Visar hur algebrakapitlet i Matte

Direkt LH (Carlsson m.fl., 2018, s. 98) inleds

med att ange centralt innehåll.

Figur 9. Exempel på hur Matte Direkt LH

(Carlsson m.fl., 2018, s. 108) inleder varje

nytt avsnitt med lärandemål.

32

För övrigt har Matte Direkt LH en rubrik som heter “Tänk på” där de tar upp saker man som

lärare bör tänka på exempelvis vid förklaring av ett särskilt begrepp eller inför en ny typ av

lösningsstrategi, vanliga missförstånd hos eleverna med mera (se Figur 12). Även Matematik

Y LH (se Figur 13) och Vektor LH (se Bilaga 2 Distributiva lagen) har sådan här information

även om de inte rubricerar den lika tydligt.

Figur 10. Exempel på hur Matte Direkt LH

(Carlsson m.fl., 2018, s. 100) ger förslag

på hur man kan inleda aktuellt avsnitt.

Figur 11. Exempel på hur Matte Direkt LH

(Carlsson m.fl. 2018, s. 101) ger förslag

på hur man kan avsluta aktuellt avsnitt.

Figur 12. Exempel på hur den återkommande

rutan “Tänk på” i Matte Direkt LH

(Carlsson m.fl., 2018, s. 100) kan se ut.

Figur 13. Exempel på hur Matematik Y LH (Undvall

m.fl., 2018, s. 172) tar upp viktiga saker att tänka på,

här om vanliga missförstånd hos eleverna.

33

Något det finns mycket av i både Matematik Y LH, Matte Direkt LH och Vektor LH är

kommentarer till vissa specifika uppgifter i elevboken där läraren till exempel får information

om syftet med en viss uppgift eller vetskap om att en uppgift är extra svår och därför lämplig

att gå igenom i helklass (se Bilaga 2 för exempel i Vektor LH). Matematik Y har dessutom

separata rubriker som de kallar ”Ledtrådar” och ”Lösningsförslag”.

Pedagogiskt stöd - Att kommunicera matematik

I den här kategorin klassificeras analysenheter som uppmuntrar till muntlig kommunikation

om matematik. Varken Matte Direkt LH eller Vektor LH får mer än 3% av sina analysenheter

i den här kategorin. Matematik Y LH får något högre andel, 9%. På vart och vartannat

uppslag i den boken finns en så kallad EPA-uppgift som är en uppgift extra lämplig att först

fundera på Ensam, sedan diskutera i Par och till slut Alla tillsammans (Undvall m.fl., 2018)

och alla dessa har placerats i den här kategorin (se Figur 14). Nedan finns även ett exempel

från Matte Direkt LH på en uppgift som uppmuntrar muntlig kommunikation (se Figur 15).

Pedagogiskt stöd - Bedömning och att bemöta elevers olika behov och sätt att tänka

Ingen av de tre lärarhandledningarna har särskilt mycket i den här kategorin. Matematik Y LH

har högst med sina 14% (jämfört med 3% och 8%) men en stor del av de analysenheterna

utgörs av hänvisningar till extramaterial som heter Bas Y eller Utmaning Y. Det finns

nämligen i Matematik Y LH återkommande rutor som hänvisar till dessa extramaterial utifrån

om eleverna tycker vissa uppgifter i elevboken är för svåra eller lätta. Alla läromedelsserier

erbjuder diagnoser men det är bara i Vektor LH som diagnosen finns unikt i

lärarhandledningen. I Matte Direkt finns den i elevboken och i Matematik Y hänvisas läraren

till hemsidan. Det finns i den här kategorin ett fåtal exempel på handledning kring hur den

Figur 14. Exempel på en EPA-uppgift i

Matematik Y LH (Undvall m.fl. 2018, s.195) Figur 15. Exempel på kommentarer i Matte

Direkt LH (Carlsson m.fl. 2018, s.101) som

uppmuntrar muntlig kommunikation.

34

rent praktiska undervisningen kan anpassas för elever på olika nivåer, ett sådant ses i Figur

16.

Pedagogiskt stöd - Läxor och samarbete med föräldrar

Här klassificeras text som är förslag eller hänvisning till en läxa. Det är endast i Matematik Y

LH som sådana finns. Där hänvisas till färdiga läxor som återfinns på hemsidan samt längre

bak i lärarhandledningen.

Facit

Här handlar det om rutor eller listor med rena svar, alltså utan kommentarer eller

lösningsförslag. Sådana finns i Matematik Y och Matte Direkt till samtliga elevuppgifter. I

Vektor Y hör facit till en diagnos.

Sammanfattning av resultatet för årskurs 8

Om man ska sammanfatta resultatet för analysen av lärarhandledningar i årskurs 8 så har den

största delen av innehållet i algebrakapitlen antingen placerats i kategorin Användandet av

lärarhandledningen eller i underkategorin Klassrumsinstruktioner. Klassrumsinstruktioner är

den del inom huvudkategorin Pedagogiskt stöd som är klart störst i alla tre

lärarhandledningar. Kategorin Matematiskt innehåll utgör en väldigt liten del i två men mer i

Matte Direkt LH. När det gäller att kommunicera matematik är den delen relativt låg överallt.

Bedömning finns det inte heller mycket av i lärarhandledningarna med undantag för

Matematik Y som har markant fler analysenheter i den kategorin än de andra två. Läxor finns

bara i Matematik Y men facit finns i alla lärarhandledningar.

Figur 16. Exempel från Matematik Y Lärarguide

(Undvall m.fl. 2018, s. 162) på hur läraren kan närma

sig en elev som har problem med en särskild uppgift.

35

7.3 Jämförande av resultatet för årskurs 6 och 8

• Kategori A, Användandet av lärarhandledningen, är stor i båda årskurserna.

• Kategori B.a, Matematiskt innehåll är i årskurs 6 framträdande i alla tre

lärarhandledningar, medan den i årskurs 8 knappt finns med alls i två av

lärarhandledningarna.

• Kategori B.b, Klassrumsinstruktioner är stor i båda årskurserna men den är också

väldigt bred och inkluderar därför flera olika typer av text.

• Kategori B.c, Att kommunicera matematik skiljer sig mer inom årskurserna än mellan

dem. Årskurs 6 och 8 har en lärarhandledning var som har lite högre andel

markeringar i denna kategori. Överlag är det dock lågt, som mest 11% (se Tabell 1 och

2).

• Kategori B.d, Bedömning och att bemöta elevers olika behov och sätt att tänka, har en

något högre andel i årskurs 8 än 6, vilket till stor del beror på att Matte Y LH har 14%

jämfört med de andra som har mellan 2% och 8% (se Tabell 1 och 2).

• Kategori B.e, Läxor och föräldrasamarbete är lika då enbart en lärarhandledning för

varje årskurs har med läxor i den analyserade datan.

• Kategori C, Facit skiljer sig mellan årskurserna då årskurs 6 enbart har facit i en

lärarhandledning medan årskurs 8 har facit i alla tre och i rätt stor utsträckning.

36

8. Diskussion

Denna diskussion kommer att diskutera resultatet utifrån de kategoriseringar som gjorts av

innehållet och därmed visa på hur frågeställningarna har besvarats. Diskussioner kommer

även föras utifrån tidigare forskning och de teoretiska utgångspunkter som använts för arbetet.

I vår studie kommer vi fram till att de två största innehållskategorierna i lärarhandledningarna

i matematik inom området algebra för årskurs 6 och 8 är Användandet av lärarhandledningen

och Klassrumsinstruktioner. Detta stämmer väl överens med tidigare forskning då dessa

kategorier var störst även för Hemmi m.fl. (2018, s. 916–917). Även där uppmärksammas att

lärarhandledningarna ofta hänvisar till elevboken och extra kopieringsunderlag, vilket hör till

kategorin om användandet av lärarhandledningen. Jämför vi med Davis och Krajciks (2005, s.

5) fem riktlinjer så passar detta bäst in på den femte om stöd att designa undervisningen.

Analysenheterna som placerats i kategorin Klassrumsinstruktioner passar delvis in under den

första av deras riktlinjer, eftersom många handlar om att ge förståelse för hur elever tänker

genom att ge ledtrådar till uppgifter och ange tänkbara fel. Många andra analysenheter inom

den här kategorin passar in under den femte riktlinjen eftersom de exempelvis handlar om hur

lektioner kan inledas och avslutas. Lösningsförslag på uppgifter, hur dessa kan behandlas i

helklass och hur lektioner kan inledas och avslutas är exempel på det vi har sett i de allra

flesta lärarhandledningar inom denna kategori. Här sticker Favorit LH dock ut, genom att den

har förslag på hela arbetsgångar för lektioner. Detta är intressant, då Favorit LH är baserad på

det finska läromedlet Tuhattaituri. Hemmi m.fl. (2013) har ju studerat skillnader mellan några

svenska och finska lärarhandledningar och fann där att en av de stora skillnaderna låg just i

stödet till hur läraren skulle sätta ihop sin undervisning. De finska lärarhandledningarna

presenterade “lektioner” och vad som kunde genomföras under dem medan de svenska

fokuserade på elevernas framsteg i elevböckerna och lät det styra vad som kunde genomföras

och hur lång tid det skulle ta (Hemmi m.fl., 2013, s. 8). Detta liknar mycket det vi har sett. Att

svenska lärarhandledningar har ett så stort fokus på just olika form av lösningshjälp av

uppgifter i elevboken och inledningar på lektioner kan speglas av den dominerande

arbetsmodellen där tiden i klassrummet antingen spenderas på genomgångar eller enskilt

arbete (Skolverket, 2003, s. 17). Innehållet i en lärarhandledning ger omedvetet läraren en

fingervisning om hur undervisningen bör utformas och vad fokus bör ligga på. Som beskrivits

i kapitlet Teoretiska utgångspunkter kan artefakter dels ge möjligheter (affordances), vilket i

det här sammanhanget innebär att lärarhandledningen ger stöd och hjälp. Artefakter kan dock

även utgöra begränsningar (constraints) vilket här kan vara att undervisningens fokus styrs av

lärarhandledningen. Detta är något Brown (2012, s. 19) lyfter som en nyckelpunkt för

läromedel, att de både begränsar och möjliggör lärares handlingar.

37

En kategori som är intressant att ta upp är Matematiskt innehåll. Detta på grund av några olika

aspekter, men framförallt för att detta är den största konsekventa skillnaden mellan årskurs 6

och 8. Alla tre lärarhandledningar i årskurs 6 har omkring 17% av sina markeringar här (se

Tabell 1) jämfört med årskurs 8 som alla har mindre, även om de är väldigt utspridda mellan

1% och 14% (se Tabell 2). En annan aspekt som gör detta intressant är att det i den finska

studien finns matematiskt innehåll representerat i alla studerade lärarhandledningar (Hemmi

m.fl., 2018, s. 917). Dessutom blir det intressant då denna kategori är den enda som är

jämförbar med Davis och Krajciks (2005, s. 5) tredje och fjärde riktlinje som handlar om att

relatera lektioners delmål till ett vidare perspektiv och att förklara syftet och de

bakomliggande tankarna bakom olika uppgifter. Slutligen så blir detta även intressant i

aspekten av att Chevallard (1988) och Bosch och Gascón (2006) talar om hur kunskapen som

kommer in i skolan måste anpassas till den undervisning som ska ske. Om inte den kunskap

som kommer in i skolan presenteras i form av centralt innehåll, hur ska läraren då veta vad det

är för kunskap som ska undervisas? Kunskapsmålen finns självklart även i den läroplan som

används men det är intressant att lärare i årskurs 8, enligt lärarhandledningarna, förväntas

söka sig dit medan lärare i årskurs 6 får mer stöd direkt i lärarhandledningen.

Det vi presenterat här ovan är likheter och skillnader mellan lärarhandledningarna över

årskurserna. För återstående kategorier så är det ofta någon eller några lärarhandledningar,

oavsett årskurs, som sticker ut från de andra i andel markeringar. Vi vill därför ta upp en

möjlig orsak till detta resultat. Något vi märkt är att våra sex lärarhandledningar har väldigt

olika struktur vilket leder till att informationen till läraren finns på olika ställen i de olika

lärarhandledningarna och vissa typer av material såsom extra uppgifter eller diagnoser finns

inte ens i alla lärarhandledningar utan istället i elevboken eller exempelvis på en hemsida.

Detta har naturligtvis påverkat resultaten eftersom vi bara har analyserat ett kapitel i

lärarhandledningarna. Skillnaden i struktur är även något Hoelgaard (2015, s. 69)

uppmärksammar i sin studie. I studien av Hemmi m.fl. (2018, s. 926) däremot där endast

finska lärarhandledningar analyseras observeras dock det motsatta, alla lärarhandledningar har

väldigt lika struktur. Homogena lärarhandledningar diskuteras där vara en möjlig bidragande

orsak till finska elevers framgång i internationella mätningar. Att våra svenska

lärarhandledningar då är så olika i struktur skulle kanske kunna vara en möjlig bidragande

orsak till svenska elevers betydligt sämre resultat i samma mätningar.

En kategori vars resultat märkbart kan ha påverkats av skillnaden i struktur är Läxor och

samarbete med föräldrar. I både årskurs 6 och 8 finns läxor enbart nämnt i en av

lärarhandledningarna. Däremot samtliga finska lärarhandledningar innehåller läxor och då i

lärarhandledningarnas introduktionskapitel (Hemmi m.fl., 2018, s. 921). Avsaknaden av

struktur i de svenska handledningarna kan mycket väl ha påverkat vårt resultat här eftersom

38

läxor kanske nämns i andra delar av läromedlet. Det är en intressant iakttagelse att läxor inte

alltid nämns i de kapitel i boken de berör.

Bedömning är en annan av de kategorier där det finns skillnader inom årskurserna mellan de

olika lärarhandledningarna och som till viss del också skulle kunna förklaras av

lärarhandledningarnas strukturella olikheter. Det finns dock mer av bedömning i årskurs 8 än

6, vilket kan bero på en längre tradition av bedömning i årskurs 8. Ofta finns det diagnoser

och uppgifter som handlar om att ta reda på vilken nivå eleverna är på, även om dessa ibland

finns i slutet eller inledningen av kapitlet. Detta resultat går även att jämföra med Hemmi

m.fl. (2018, s. 921) som också kom fram till att det ofta finns tester i lärarhandledningarna. En

svensk lärarhandledning som kan ses sticka ut en del när det gäller bedömning är Eldorado

LH, då den konsekvent ställer frågor till läraren om elevers utveckling. Detta är något som

även har uppmärksammats av Hoelgaard (2015, s. 56).

Att kommunicera matematik är den sista kategori vi vill nämna här i diskussionen. Kategorin

har överlag en relativt låg andel av de totala analysenheterna. Favorit LH för årskurs 6 toppar

med försiktiga 11% vilket skulle kunna förstås utifrån att det är baserat på finska

lärarhandledningar, som Hemmi m.fl. (2018, s. 920) visat alla innehåller en hel del

kommunikation om matematik. Matematik Y LH för årskurs 8 är den som har mest innehåll

om kommunikation näst efter Favorit LH men anledningen till att den lärarhandledningen

hamnat i topp i sin årskurs kan varken förklaras av något finskt ursprung eller, som man

skulle kunna tänka sig, sin färska upplaga eftersom Matte Direkt LH kom ut samma år, 2018.

Oavsett är andelen markeringar inom kategorin Att kommunicera matematik låg om man

tänker på hur starkt Skolverket (2003, 2011, 2012, 2018) trycker på att en varierad

undervisning ska bedrivas inom matematik, och mer kommunikation i klassrummet är något

som definitivt skulle bidra till det. Två förmågor inom matematik är även till stor del

beroende av kommunikation: resonemangsförmågan och kommunikationsförmågan

(Skolverket, 2018, s. 55). Det finns också mycket forskning som visar på att god

klassrumsdialog främjar elevers utveckling i matematik (Skolforskningsinstitutet, 2017). En

del av matematiken där vi tror att detta kan ha stor påverkan är algebran. Som beskrivits i

forskningsöversikten ovan är den generaliserade aritmetiken väldigt viktig (Bråting m.fl.,

2019) och då den handlar om att kunna dra slutsatser, generalisera och se mönster tycker vi att

kommunikation borde vara ett viktigt verktyg för att uppnå det. Att lärarhandledningarna vi

analyserat har så pass lite stöd för att få in mer kommunikation i matematikundervisningen

kan därför ses som en brist. Det kan dock inte uteslutas att det finns mer stöd för detta i andra

delar av läromedlet som vi inte har undersökt.

39

Avslutningsvis anser vi härmed våra frågeställningar besvarade. Innehållet i

lärarhandledningar i matematik för årskurs 6 inom området algebra erbjuder till största del

stöd inom det matematiska innehåll som berörs, klassrumsinstruktioner rörande genomgångar

och elevlösningar samt hur lärarhandledningen kan användas. Innehållet i lärarhandledningar i

matematik för årskurs 8 inom området algebra erbjuder till största del stöd genom

klassrumsinstruktioner rörande genomgångar och elevlösningar samt hur lärarhandledningen

kan användas. Matematiskt innehåll finns det alltså mindre av i lärarhandledningar för årskurs

8 än årskurs 6. Beträffande stöd för att kommunicera matematik, läxor och föräldrasamarbete

samt bedömning och nivåanpassning finns det inte i särskilt stor utsträckning i någon av

årskurserna. I enlighet med syftet har vi undersökt hur svenska lärarhandledningar kan tänkas

stödja och utveckla undervisningen i matematik. Våra resultat visar att det finns innehåll i

lärarhandledningar som skulle kunna utgöra stöd för undervisningen. För att få ett mer

uttömmande svar om detta innehåll verkligen stödjer och utvecklar undervisningen föreslår vi

att ytterligare studier på lärarhandledningar görs där även lärares åsikter och uppfattningar tas

i beaktning. Användandet av lärarhandledningar är ett exempel på en medierad handling (se

kapitel 4.2 Artefakter, och läromedel som artefakter). Som Wertsch (1998, s. 24) beskriver

finns det ett oskiljbart förhållande mellan artefakten (här lärarhandledningen) och agenten

(här läraren) i en medierad handling. Vi har nu enbart studerat artefakten så lärares åsikter och

uppfattningar skulle således kunna ge en förståelse för agentens roll och därmed göra den här

uppsatsens syfte än mer uppfyllt.

40

Referenslista

Ahl, L., Hoelgaard, L. & Koljonen, T. (2013). Lärarhandledning för inspiration och

kompetensutveckling. Nämnaren, (4), 43-47. Hämtad 2019-04-29 från http://ncm.gu.se

Amberntsson, I., Bjermo, J., Domert, D., Lundin Jakobsson, J., Madej, L., Ristamäki, A.,

Söderberg, L. & Öberg, M. (2015). Vektor Matematik. Årskurs 8 Lärarhandledning. (1. uppl.)

Stockholm: Natur & kultur.

Asikainen, K., Nyrhinen, K., Rokka, P. & Vehmas, P. (2016). Favorit matematik. 6A,

Lärarhandledning. (Upplaga 1:1). Lund: Studentlitteratur.

Bergström, G. & Boréus, K. (2012). Textens mening och makt: Metodbok i

samhällsvetenskaplig text- och diskursanalys (3., [utök.] uppl.). Lund: Studentlitteratur.

Blanton, M., Stephens, A., Knuth, E., Murphy Gardiner, A., Isler, I. & Kim, J. (2015). The

Development of Children's Algebraic Thinking: The Impact of a Comprehensive Early

Algebra Intervention in Third Grade. Journal for Research in Mathematics Education, 46(1),

39-87.

Bosch, M. & Gascón, J. (2006). Twenty-five years of the didactic transposition. ICMI

Bulletin, 58, 51-65.

Brandell, G., Hemmi, K. & Thunberg, H. (2008). The widening gap - a Swedish perspective.

Mathematics Education Research Journal, 20(2), 38-56.

Bryman, A. (2018). Samhällsvetenskapliga metoder. (Upplaga 3). Stockholm: Liber.

Brown, M.W. (2012) The teacher - tool relationship. I Remillard, J., Herbel-Eisenmann, B.A.

& Lloyd, G.M. (red.), Mathematics teachers at work: connecting curriculum materials and

classroom instruction. (s. 17-36) London: Routledge.

Bråting, K. & Madej, L. (2017). Generaliserad aritmetik - en bro mellan aritmetik och

algebra. Nämnaren, (4), 3-8. Hämtad 2019-05-20 från http://ncm.gu.se

Bråting, K., Madej, L. & Hemmi, K. (2019). Development of algebraic thinking:

opportunities offered by the Swedish curriculum and elementary mathematics textbooks.

Nordic Studies in Mathematics Education, 24(1), 27–49.

Carlsson, S., Falck, P., Liljegren, G. & Picetti, M. (2012). Matte Direkt Borgen

Lärarhandledning 6A. Stockholm: Sanoma Utbildning.

Carlsson, S., Hake, K. & Lundkvist, E. (2018). Matte Direkt 8 Lärarguide. (Första upplagan).

Stockholm: Sanoma utbildning.

Chevallard, Y. (1988, August). On didactic transposition theory: Some introductory notes. In

International Symposium on Research and Development in Mathematics, Bratislava.

41

Davis, E. A., & Krajcik, J. S. (2005). Designing educative curriculum materials to promote

teacher learning. Educational Researcher, 34(3), 3-14.

Domert D., Lundin Jakobsson J., Madej L. & Öberg M. (2014). Vektor Matematik Årskurs 8.

(Första upplagan). Stockholm: Natur & Kultur

Hemmi, K., Koljonen, T., Hoelgaard, L., Ahl, L. & Ryve, A. (2013). Analyzing mathematics

curriculum materials in Sweden and Finland: Developing av analytical tool. Proceedings of

CERME8

Hemmi, K., Krzywacki, H. & Koljonen, T. (2018) Investigating Finnish Teacher Guides as a

Resource for Mathematics Teaching, Scandinavian Journal of Educational Research, 62(6),

911-928.

Hoelgaard, L. (2015). Lärarhandledningen som resurs: en studie av svenska

lärarhandledningar för matematikundervisning i grundskolans årskurs 1-3. Lic.-avh no. 209.

Västerås: Mälardalens högskola, 2015. Västerås.

Olsson, I. & Forsbäck, M. (2013). Eldorado: matte. 6A. Lärarbok. (1. utg.) Stockholm: Natur

& kultur.

Remillard, J. (2005). Examining key concepts in research on teachers' use of mathematics

curricula. Review of Educational Research, 75(2), 211- 246.

Remillard, J. (2012) Part II commentary. I Remillard, J., Herbel-Eisenmann, B.A. & Lloyd,

G.M. (red.), Mathematics teachers at work: connecting curriculum materials and classroom

instruction. (s. 85-92) London: Routledge.

Wartofsky, M.W. (1979). Models: representation and the scientific understanding. Dordrecht:

Reidel.

Wertsch, J.V. (1998). Mind as action. New York: Oxford University Press.

SFS 1960:729. Lag om upphovsrätt till litterära och konstnärliga verk. Stockholm:

Justitiedepartementet

Skolforskningsinstitutet (2017). Klassrumsdialog i matematikundervisningen: matematiska

samtal i helklass i grundskolan. Solna: Skolforskningsinstitutet.

Skolverket (2016a). TIMSS 2015: svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och

naturvetenskap i ett internationellt perspektiv (Skolverksrapport 488). Stockholm: Skolverket.

Skolverket (2016b). PISA 2015: 15-åringars kunskaper i naturvetenskap, läsförståelse och

matematik (Skolverksrapport 450). Stockholm: Skolverket.

42

Skolverket (2012). TIMSS 2011: svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och

naturvetenskap i ett internationellt perspektiv (Skolverksrapport 448). Stockholm: Skolverket.

Skolverket (2004). Nationella utvärderingen av grundskolan 2003: huvudrapport -

svenska/svenska som andra språk, engelska, matematik och undersökningen i årskurs 5

(Skolverksrapport 251). Stockholm: Skolverket.

Skolverket (2003). Lusten att lära med fokus på matematik : nationella kvalitetsgranskningar

2001-2002. Stockholm: Skolverket.

Skolverket (2018). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011:

reviderad 2018. (Femte upplagan). Stockholm: Skolverket.

Skolverket (2011). Planering och genomförande av undervisningen: för grundskolan,

grundsärskolan, specialskolan och sameskolan. Stockholm: Skolverket.

Undvall, L., Johnson, K. & Welén, C. (2018). Matematik Y Lärarguide - med bedömningsstöd

och extramaterial. (Femte upplagan). Stockholm: Liber.

Webb

Larsson, Å. (2015, mars). Finska läromedel stöttar läraren. Skolvärlden. Hämtad 2019-04-29

från https://skolvarlden.se

Mälardalens högskola. (2016). Forskning för nya läromedel för matematikundervisningen.

Hämtad 2019-04-03 från https://www.mdh.se

Vetenskapsrådet. (2018). Ägandet av forskningsresultat. Hämtad 2019-05-07 från

http://www.codex.vr.se

Zaccheus, U. (2015, 4/2). Matematik i grupp ska höja resultaten. Svt Nyheter Hämtad 2019-

04-03 från https://www.svt.se

43

Bilaga 1. Exempelsida från Eldorados lärarhandledning (Olsson

& Forsbäck, 2013, s. 55)

44

Bilaga 2. Exempelsida från Vektors lärarhandledning

(Amberntsson, 2015, s. 188)