Lösungshandbuch - uni-goettingen.de · Lösungshandbuch Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Hammond „Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler“, 3., akt. Auﬂ., Pearson Studium,

LösungshandbuchKnut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Hammond„Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler“,3., akt. Aufl., Pearson Studium, München 2009

Kapitel 1 Einführung, I: Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Kapitel 3 Einführung, III: Verschiedenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Kapitel 4 Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Kapitel 6 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung . . . . . . . . . 19

Kapitel 8 Univariate Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Kapitel 9 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . 32

Kapitel 11 Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Kapitel 12 Handwerkszeug für komparativ statische Analysen 36

Kapitel 13 Multivariate Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Kapitel 14 Optimierung unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . 45

Kapitel 15 Matrizen und Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Kapitel 16 Determinanten und inverse Matrizen . . . . . . . . . . . . 57

Kapitel 17 Lineare Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ÜB

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CWS Lösungshandbuch für das Buch „Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler“

Vorwort

Diese ausführlichen Lösungen begleiten das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (3., akt. Auflage,Pearson Studium, 2009). Der Schwerpunkt liegt dabei darin, detailliertere Lösungen zu den mit markiertenAufgaben aus dem Buch zu geben. Dabei sollte dieses Handbuch in Verbindung mit den Lösungen aus demBuch verwendet werden. In einigen Fällen sind nur Teilaufgaben detailliert dargestellt, da der Rest auf gleicheWeise gelöst werden kannn. Für die Mitarbeit bedanken wir uns bei Carren Pindiriri für ihre Unterstützung alsKorrekturleserin. Wir sind dankbar für Verbesserungsvorschläge der Leser sowie für Hinweise zur Beseitigungvon Ungenauigkeiten und Fehlern.

Oslo und Coventry

Knut SydsæterArne StrømPeter Hammond

Für die deutsche Ausgabe bitte ich nachdrücklich darum, mir die Fehler mitzuteilen. Tun Sie das bitte wirklich.

Fred Böker ([email protected])

2

Kapitel 1 Einführung, I: Algebra

Kapitel 1 Einführung, I: Algebra

1.1

1. (a) Wahr. (b) Falsch. −5 ist kleiner als −3, so dass −5 auf der Zahlengeraden links von −3 liegt.(Siehe Abb. 1.1.1 im Buch.) (c) Falsch.−13 ist eine ganze, aber keine natürliche Zahl. (d) Wahr. Jedenatürliche Zahl ist eine rationale Zahl. Zum Beispiel: 5 = 5/1. (e) Falsch, da 3.1415 = 31415/10000ein Quotient aus zwei ganzen Zahlen ist. (f) Falsch. Gegenbeispiel:

√2 + (−√2) = 0. (g) Wahr.

(h) Wahr.

1.3

9. (a) (2t − 1)(t2 − 2t + 1) = 2t(t2 − 2t + 1)− (t2 − 2t + 1) = 2t3 − 4t2 + 2t − t2 + 2t − 1 = 2t3 − 5t2 + 4t − 1(b) (a + 1)2 + (a− 1)2 − 2(a + 1)(a − 1) = a2 + 2a + 1 + a2 − 2a + 1− 2a2 + 2 = 4(c) (x+y+z)2 = (x+y+z)(x+y+z) = x(x+y+z)+y(x+y+z)+z(x+y+z) = x2+xy+xz+yx+y2+yz+zx+zy+z2 =x2 +y2+z2+2xy +2xz+2yz (d) (x−y−z)2 = (x−y−z)(x−y−z) = x2−xy−xz−xy +y2−yz−xz−yz+z2,so dass (x + y + z)2 − (x − y − z)2 = 4xy + 4xz.

13. (a) a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2 nach der ersten binomischen Formel (1.3.1).(d) 9z2 − 16w2 = (3z − 4w)(3z + 4w) nach der Formel für die Differenz von Quadraten (1.3.3).(e) − 15 x2 + 2xy−5y2 = − 15 (x2−10xy + 25y2) = − 15 (x −5y)2 (f) a4−b4 = (a2−b2)(a2 + b2). Es wird dieFormel für die Differenz von Quadraten (1.3.3) verwendet. Da a2− b2 = (a−b)(a + b), folgt die Antwortim Buch.

1.4

5. (a)1

x − 2 −1

x + 2=

x + 2(x − 2)(x + 2) −

x − 2(x + 2)(x − 2) =

x + 2− x + 2(x − 2)(x + 2) =

4x2 − 4

(b) Da 4x + 2 = 2(2x + 1) und 4x2 − 1 = (2x + 1)(2x − 1), lautet der kleinste gemeinsame Nenner2(2x + 1)(2x − 1). Hieraus folgt:6x + 254x + 2

− 6x2 + x − 2

4x2 − 1 =(6x + 25)(2x − 1)− 2(6x2 + x − 2)

2(2x + 1)(2x − 1) =21(2x − 1)

2(2x + 1)(2x − 1) =21

2(2x + 1)

(c)18b2

a2 − 9b2 −a

a + 3b+ 2 =

18b2 − a(a − 3b) + 2(a2 − 9b2)(a + 3b)(a− 3b) =

a(a + 3b)(a + 3b)(a− 3b) =

aa− 3b

(d)1

8ab− 1

8b(a + 2)+

1b(a2 − 4) =

a2 − 4− a(a− 2) + 8a8ab(a2 − 4) =

2(5a− 2)8ab(a2 − 4) =

5a− 24ab(a2 − 4)

(e)2t − t2t + 2

·(

5tt − 2 −

2tt − 2

)=

t(2 − t)t + 2

· 3tt − 2 =

−t(t − 2)t + 2

· 3tt − 2 =

−3t2t + 2

(f)a(1− 12a

)0.25

=a− 12

14

= 4a− 2, so dass 2− a(1− 12a

)0.25

= 2− (4a − 2) = 4− 4a = 4(1 − a)

6. (a)2x

+1

x + 1− 3 = 2(x + 1) + x − 3x(x + 1)

x(x + 1)=

2− 3x2x(x + 1)

(b)t

2t + 1− t

2t − 1 =t(2t − 1)− t(2t + 1)

(2t + 1)(2t − 1) =−2t

4t2 − 1(c)

3xx + 2

− 4x2− x −

2x − 1(x − 2)(x + 2) =

3x(x − 2) + 4x(x + 2)− (2x − 1)(x − 2)(x + 2) =

7x2 + 1x2 − 4

(d)

1x

+1y

1xy

=

(1x

+1y

)xy

1xy· xy

=y + x

1= x + y (e)

1x2− 1

y2

1x2

+1y2

=

(1x2− 1

y2

)· x2y2

(1x2

+1y2

)· x2y2

=y2 − x2x2 + y2

(f) Indem man Zähler und Nenner mit xy multipliziert, erhält mana(y − x)a(y + x)

=y − xy + x

.

3


8. (a)14− 1

5=

520− 4

20=

120

, so dass(

14 − 15

)−2 = ( 120)−2 = 202 = 400.(b) n− n

1− 1n

= n− n · n(1− 1

n

)· n

= n− n2

n− 1 =n(n− 1)− n2

n− 1 =−n

n− 1

(c) Wenn u = xp−q , folgt1

1 + xp−q+

11 + xq−p

=1

1 + u+

11 + 1/u

=1

1 + u+

u1 + u

= 1.

(d)

(1

x − 1 +1

x2 − 1)

(x2 − 1)(

x − 2x + 1

)(x2 − 1)

=x + 1 + 1

x3 − x − 2x + 2 =x + 2

(x + 2)(x2 − 2x + 1) =1

(x − 1)2

(e)1

(x + h)2− 1

x2=

x2 − (x + h)2x2(x + h)2

=−2xh− h2x2(x + h)2

, so dass

1(x + h)2

− 1x2

h=−2x − h

x2(x + h)2.

(f) Multiplikation des Zählers und Nenners mit x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) ergibt 10x2

5x(x − 1) =2x

x − 1 .

1.5

5. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit: (a)√

7−√5. (b) √5−√3. (c) √3 + 2. (d) x√y − y√x.(e)√

x + h +√

x . (f) 1 −√x + 1.7. Die Antwort ist vom genutzten Taschenrechner abhängig.

12. (a) Für x = 1 ergibt sich für die linke Seite 4 und für die rechte Seite 2. (Tatsächlich ist (2x )2 = 22x .)(b) Gültig, da ap−q = ap/aq. (c) Gültig, da a−p = 1/ap. (d) Für x = 1 wäre 5 = 1/5, welches einWiderspruch ist. (e) Für x = y = 1 wäre a2 = 2a, welches generell falsch ist. (Tatsächlich ist ax+y =axay .) (f) 2

√x · 2√y = 2√x+√y , nicht 2√xy .

1.6

4. (a) 2 <3x + 12x + 4

hat die gleichen Lösungen wie3x + 12x + 4

− 2 > 0 oder 3x + 1− 2(2x + 4)2x + 4

> 0 oder

−x − 72x + 4

> 0. Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass die Ungleichung für −7 < x < −2 erfüllt ist.Ein gravierender Fehler ist es, die Ungleichung mit 2x + 4 zu multiplizieren, ohne dass 2x + 4 > 0unterstellt wurde. Bei Multiplikation mit 2x + 4 muss im Falle der Negativität die Richtung der Un-gleichung umgekehrt werden. (Es wäre vorteilhaft, die Ungleichungen für verschiedene Werte von xzu prüfen. Zum Beispiel ist sie bei x = 0 nicht erfüllt. Wie sieht es mit x = −5 aus?)(b) Die Ungleichung ist äquivalent zu

120n− 3

4≤ 0, d. h. 3(160− n)

4n≤ 0. Ein Vorzeichen-Diagramm

zeigt, dass die Ungleichung für n < 0 und für n ≥ 160 erfüllt ist. (Beachten Sie: Für n = 0 macht dieUngleichung keinen Sinn. Bei n = 160 besteht Gleichheit.) (c) Einfach: g(g − 2) ≤ 0, usw.(d) Beachten Sie, dass p2 − 4p + 4 = (p − 2)2. Dann lässt sich die Ungleichung auf p + 1

(p − 2)2 ≥ 0 redu-zieren. Der Bruch macht für p = 2 keinen Sinn. Das Ergebnis im Buch folgt.

(e) Die Ungleichung ist äquivalent zu−n− 2n + 4

− 2 ≥ 0, d. h. −n− 2 − 2n− 8n + 4

≥ 0 oder −3n− 10n + 4

≥ 0,usw. (f) Siehe Buch und verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (Dividieren Sie nicht durch x2, dasich dann x = 0 als falsche Lösung ergibt.)

5. (a) Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (b) Die Ungleichung ist für x = 1 nicht erfüllt. Wennx �= 1, ist sie offensichtlich für x + 4 > 0 erfüllt, d. h. x > −4 (da (x − 1)2 für x �= 1 positiv ist).(c) Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (d) Die Ungleichung ist für x = 1/5 nicht erfüllt.Wenn x �= 1/5, ist sie offensichtlich für x < 1 gültig. (e) Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm.((5x − 1)11 < 0, wenn x < 1/5 und > 0, wenn x > 1/5.)

4

Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen

(f)3x − 1

x> x + 3 oder

3x − 1x− (x + 3) > 0 oder −(1 + x

2)x

> 0, so dass x < 0. (1 + x2 ist immer positiv.)

(g)x − 3x + 3

> 2x−1 oder x − 3x + 3

− (2x−1) < 0 oder −2x(x + 2)x + 3

< 0. Verwenden Sie jetzt ein Vorzeichen-

Diagramm.

(h) Nutzen Sie den Hinweis sowie ein Vorzeichen-Diagramm. (Genau genommen könnte diese und diefolgende Aufgabe in Kapitel 2.3 verschoben werden, falls das Schulalgebra-Wissen nicht vorhandenist.) (i) Nutzen Sie den Hinweis sowie ein Vorzeichen-Diagramm.

Aufgaben zur Wiederholung für Kapitel 1

4. (a) (2x)4 = 24x4 = 16x4 (b) 2−1 − 4−1 = 1/2− 1/4 = 1/4, so dass (2−1 − 4−1)−1 = 4.(c) Kürzen Sie den gemeinsamen Faktor 4x2yz2. (d) −(−ab3)−3 = −(−1)−3a−3b−9 = a−3b−9, so dass

[−(−ab3)−3(a6b6)2]3 = [a−3b−9a12b12]3 = [a9b3]3 = a27b9. (e) a5 · a3 · a−2a−3 · a6 =

a6

a3= a3

(f)[(x

2

)3 · 8x−2

]−3=[ x3 · 8

8 · x−2]−3

= (x5)−3 = x−15

8. Alle sind einfach zu lösen bis auf (c), (g) und (h): (c) −√3 (√3−√6 ) = −3 +√3√6 = −3 +√3√3√2 =−3 + 3√2. (g) (1 + x + x2 + x3)(1 − x) = (1 + x + x2 + x3)− (1 + x + x2 + x3)x = 1− x4.(h) (1 + x)4 = (1 + x)2(1 + x)2 = (1 + 2x + x2)(1 + 2x + x2).

11. (a) und (b) sind einfach zu lösen. (c) ax +ay +2x +2y = ax +2x +ay +2y = (a+2)x +(a+2)y = (a+2)(x +y)(d) 2x2 − 5yz + 10xz − xy = 2x2 + 10xz − (xy + 5yz) = 2x(x + 5z)− y(x + 5z) = (2x − y)(x + 5z)(e) p2 − q2 + p − q = (p − q)(p + q) + (p − q) = (p − q)(p + q + 1) (f) Siehe Lösung im Buch.

15. (a)s

2s− 1 −s

2s + 1=

s(2s + 1)− s(2s − 1)(2s − 1)(2s + 1) =

2s4s2 − 1

(b)x

3− x −1− xx + 3

− 24x2 − 9 =

−x(x + 3)− (1 − x)(x − 3)− 24(x − 3)(x + 3) =

−7(x + 3)(x − 3)(x + 3) =

−7x − 3

(c) Multiplikation des Zählers und Nenners mit x2y2 ergibty − x

y2 − x2 =y − x

(y − x)(y + x) =1

x + y.

16. (a) Kürzen Sie den Faktor 25ab. (b) x2 − y2 = (x + y)(x − y). Kürzen Sie x + y . (c) Der Bruch kann zu(2a − 3b)2

(2a − 3b)(2a + 3b) =2a− 3b2a + 3b

umgeschrieben werden. (d)4x − x3

4− 4x + x2 =x(2− x)(2 + x)

(2 − x)2 =x(2 + x)

2− x

Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen

2.1

3. (a) Beachten Sie, dass die Gleichung für x = −3 und x = −4 nicht definiert ist. Multipliziert man dieGleichung mit dem Hauptnenner (x + 3)(x + 4), erhält man (x−3)(x + 4) = (x + 3)(x −4). Somit ist x = 0.(b) Multiplikation mit dem Hauptnenner (x − 3)(x + 3) ergibt 3(x + 3) − 2(x − 3) = 9. Wir erhaltendaraus x = −6. (c) Aus der Multiplikation mit dem Hauptnenner 15x (wobei x �= 0), folgt 18x2−75 =10x2 − 15x + 8x2. Es ergibt sich x = 5.

5. (a) Multiplikation mit dem Hauptnenner 12 ergibt 9y − 3− 4 + 4y + 24 = 36y . Somit ist y = 17/23.(b) Aus der Multiplikation mit 2x(x +2) folgt 8(x +2)+6x = 2(2x +2)+7x, d. h. x = −4. (c) Multiplika-tion des Zählers und Nenners im ersten Bruch mit 1−z führt zu 2− 2z − z

(1− z)(1 + z) =6

2z + 1. Multiplikation

mit (1 − z2)(2z + 1) ergibt (2 − 3z)(2z + 1) = 6 − 6z2. Somit ist z = 4. (d) Indem wir die Klammernauflösen, erhalten wir

p4− 3

8− 1

4+

p12− 1

3+

p3

= −13

. Die Multiplikation mit dem Hauptnenner 24

führt zu einer Gleichung mit der Lösung p = 15/16.

5


2.2

2. (a) Multiplizieren Sie beide Seiten mit abx, um b + a = 2abx zu erhalten. Somit ist x =a + b2ab

=

a2ab

+b

2ab=

12

(1a

+1b

). (b) Multipliziert man die Gleichung mit cx +d, folgt daraus ax +b = cAx +dA

bzw. (a−cA)x = dA−b. Somit ist x = (dA−b)/(a−cA). (c) Multiplizieren Sie die Gleichung mit x1/2,um 12 p = wx

1/2 zu erhalten. Somit ist x1/2 = p/2w , so dass durch Quadrieren jeder Seite x = p2/4w2

folgt. (d) Multiplizieren Sie jede Seite mit√

1 + x , um 1+x +ax = 0 zu erhalten, so dass x = −1/(1+a).(e) x2 = b2/a2, so dass x = ±b/a. (f) Wir sehen sofort, dass x = 0.

4. (a) ˛x − a = ˇx − b ⇐⇒ (˛ − ˇ)x = a − b, so dass x = (a − b)/(˛ − ˇ). (b) Quadrieren jeder Seitevon√

pq = 3q + 5 ergibt pq = (3q + 5)2, so dass p = (3q + 5)2/q. (c) Y = 94 + 0.2(Y − (20 + 0.5Y )) =94 + 0.2Y − 4 − 0.1Y , so dass 0.9Y = 90 und somit Y = 100. (d) Potenzieren Sie jede Seite mit demExponenten 4: K 2 12

rw

K = Q4, so dass K 3 = 2wQ4/r und somit K =(2wQ4/r

)1/3. (e) Multiplikation desZählers und Nenners im linken Bruch mit 4K 1/2L3/4 ergibt 2L/K = r/w . Somit erhalten wir L = rK/2w .

(f) Potenzieren jeder Seite mit dem Exponenten 4 ergibt: 116 p4K−1

(12

rw

)= r4. Es folgt K−1 = 32r3w/p4,

so dass K = 132 p4r−3w−1.

5. (a)1s

=1t− 1

T=

T − ttT

, so dass s =tT

T − t . (b)√

KLM = B + ˛L, so dass KLM = (B + ˛L)2 und

somit M = (B + ˛L)2/KL. (c) Multiplikation jeder Seite mit x − z ergibt x − 2y + xz = 4xy − 4yz oder(x +4y)z = 4xy−x +2y und somit z = (4xy−x +2y)/(x +4y). (d) V = C−CT/N , so dass CT/N = C−Vund somit T = N (1 −V/C ).

2.3

5. (a) Siehe Lösung im Buch. (b) Wenn die erste der beiden natürlichen Zahlen n ist, dann ist die darauffolgende n + 1, so dass die Forderung n2 + (n + 1)2 = 13 ist, was sich zu 2n2 + 2n− 12 = 0 vereinfachenlässt, d. h. n2 + n − 6 = 0. Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen n = −3 und n = 2, d. h. diezwei gesuchten Zahlen lauten 2 und 3. (Wenn wir nach ganzzahligen Lösungen gesucht hätten, wäre−3 und −2 eine weitere Lösung.) (c) Wenn die kürzere Seite x ist und die andere x + 14, so ist nachdem Satz des Pythagoras (siehe Anhang A.1. Fertigen Sie eine Zeichnung an.) x2 + (x + 14)2 = (34)2

oder x2 + 14x − 480 = 0. Die Lösungen lauten x = 16 und x = −30, so dass die kürzere Seite 16 cmlang und die längere 16 cm + 14 cm = 30 cm lang ist. Beachten Sie: Die negative Lösung x = −30 ergibtkeinen Sinn. (d) Sei die übliche Geschwindigkeit x km/h und die übliche Fahrzeit t Stunden. Dannist xt = 80. Nun sind 16 Minuten 16/60 = 4/15 Stunden, so dass das Fahren mit der Geschwindigkeitx + 10 für t − 4/15 Stunden (x + 10)(t − 4/15) = 80 entspricht. Aus der ersten Gleichung erhalten wirt = 80/x. Dies wird in die zweite Gleichung eingesetzt, so dass (x + 10)(80/x − 4/15) = 80. Nach einerUmstellung ergibt sich x2 + 10x − 3000 = 0 mit der positive Lösung x = 50. Demnach beträgt seineübliche Geschwindigkeit 50 km/h.

2.4

4. (a) Wenn die zwei Zahlen x und y sind, dann gilt x + y = 52 und x − y = 26. Addiert man beideGleichungen, ergibt dies 2x = 78, so dass x = 39 sowie y = 52 − 39 = 13. (b) Die Kosten für einenStuhl seien x Euro und die eines Tisch y Euro. Dann ist 5x + 20y = 1800 und 2x + 3y = 420. Lösendes Systems ergibt x = 120 und y = 60. (c) Sei x die Anzahl der von B produzierten Einheiten. Dannwerden x + 12 x =

32 x Einheiten von A produziert und es ergibt sich 300 · 32 x + 200x = 13 000 oder

650x = 13 000, d. h. x = 20. Demnach sollten 30 Einheiten in der Qualität A und 20 in der QualitätB produziert werden. (d) Wenn x zu 5 % investiert wird und y zu 7.2 %, folgt x + y = 10 000 und0.05x + 0.072y = 676. Die Lösung beträgt x = 2000 und y = 8000.

2.5

2. (a) Der Zähler 5 + x2 wird niemals 0, d. h. es gibt keine Lösungen. (b) Die Gleichung ist offensichtlich

äqivalent zux2 + 1 + 2x

x2 + 1= 0 oder

(x + 1)2

x2 + 1= 0, so dass x = −1. (c) Für x = −1 ist der Ausdruck auf

6

Kapitel 3 Einführung, III: Verschiedenes

der linken Seite nicht definiert. Multiplizieren Sie die Gleichungen mit (x + 1)2/3. Dann verändert sichder Zähler zu x + 1− 13x. Dies ist 0 für x = −3/2. (d) Multiplikation mit x − 1 und Umstellung ergibtx(2x − 1) = 0. Somit ist x = 0 oder x = 1/2.

3. (a) z = 0 erfüllt die Gleichung. Wenn z �= 0, kürzen wir z2 und erhalten: z−a = za+zb oder z(1−(a+b)) =a. Wenn a + b = 1 ist, haben wir einen Widerspruch, da a �= 0. Wenn a + b �= 1, folgt z = a/(1− (a + b)).(b) Die Gleichung ist äquivalent zu (1 + �)�(x − y) = 0, so dass � = −1, � = 0 oder x = y . (c) � = ±1macht die Gleichung bedeutungslos. Multiplikation der Gleichung mit 1−�2 ergibt �(1−�) = −� oder�(2 − �) = 0, so dass � = 0 oder � = 2. (d) Die Gleichung ist äquivalent zu b(1 + �)(a− 2) = 0, so dassb = 0, � = −1 oder a = 2.


2. Durch elementare Umformungen sieht man, dass die hier gegebenen Gleichungen zu denen in Aufgabe2.1.3 äquivalent sind.

3. (a) x = 23 (y − 3) + y = 23 y − 2 + y = 53 y − 2 oder 53y = x + 2, so dass y = 35(x + 2).(b) ax − cx = b + d oder (a − c)x = b + d, so dass x = (b + d)/(a− c).(c) Quadrieren beider Seiten von

√L = Y0/AK ergibt L = (Y0/AK )2.

(d) qy = m − px, so dass y = (m − px)/q. (e) und (f): Siehe Lösung im Buch.5. (a) Man multipliziert die Gleichungen mit 5K 1/2, um K 1/2 = 15L1/3 zu erhalten. Quadrieren beider

Seiten ergibt K = 225L2/3. (b) Man potenziert jede Seite mit dem Exponenten 1/t, um 1 + r/100 = 21/t

zu erhalten. Somit ist r = 100(21/t − 1). (c) abxb−10 = p, d. h. xb−10 = p/ab. Potenzieren Sie nun jedeSeite mit dem Exponenten 1/(b − 1). (d) Potenzieren Sie jede Seite mit dem Exponenten −�, um(1− �)a−� + �b−� = c−� oder b−� = �−1(c−� − (1− �)a−�) zu erhalten. Potenzieren Sie jetzt jede Seite mitdem Exponenten−1/�.

9. (a) Siehe Lösung im Buch. (b) Sei u = 1/x und v = 1/y . Dann reduziertsich das System auf 3u+2v = 2und 2u− 3v = 1/4 mit der Lösung u = 1/2 und v = 1/4. Daraus folgt, dass x = 1/u = 2 und y = 1/v = 4.(c) Siehe Lösung im Buch.


3.1

3. (a) bis (d): Betrachten Sie den letzten Term und ersetzen Sie n durch k . Summieren Sie über k von 1bis n. (e) Die Koeffizienten sind die Potenzen 3n für n = 1,2, 3,4,5, so dass der allgemeine Term 3nxn

ist. (f) und (g): Siehe Lösung im Buch. (h) Dies ist sehr trickreich. Man sollte sehen, dass jeder Termum 198 größer ist als der vorangegangene. (Diese Aufgabe steht in Beziehung zu der Geschichte überGauß in Kap. 3.2 unter Nützliche Formeln.)

7. (a)∑n

k=1 ck2 = c · 12 + c · 22 + · · · + c · n2 = c(12 + 22 + · · · + n2) = c∑nk=1 k2 (b) Falsch, selbst für n = 2:

Die linke Seite ist (a1 + a2)2 = a21 + 2a1a2 + a22, die rechte Seite ist aber a

21 + a

22. (c) Beide Seiten sind

gleich b1 + b2 + · · · + bN . (d) Beide Seiten sind gleich 51 + 52 + 53 + 54 + 55. (e) Beide Seiten sindgleich a20,j + · · ·+ a2n−1,j. (f) Falsch, selbst für n = 2: Die linke Seite ist a1 + a2/2, die rechte Seite ist aber(1/k)(a1 + a2).

3.2

5. Man braucht hier nicht unbedingt das Summationszeichen zu verwenden.Die Summe ist a+(a+d)+(a+2d)+ · · ·+(a+(n−1)d). Das sind n Terme. Die Summe aller a‘s beträgt na. Der Rest ist d(1+2+ · · ·+n−1).Dann verwendet man Formel (3.2.4).

7


3.3

1. (a) Siehe Buch. (b)∑2

s=0

∑4r=2

(rs

r+s

)2=∑2

s=0

[(2s

2+s

)2+(

3s3+s

)2+(

4s4+s

)2]=(

23

)2+(

34

)2+(

45

)2+(

44

)2+(

65

)2+(

86

)2=

5 + 31133600 (c)∑m

i=1

∑nj=1 i · j2 =

∑mi=1 i ·

∑nj=1 j

2 = 12 m(m + 1) · 16 n(n + 1)(2n + 1) = 112m(m + 1)n(n + 1)(2n + 1),wobei wir (3.2.4) und (3.2.5) verwendet haben.

4. a ist der Mittelwert von as’s, da a =1n

n∑s=1

(1m

m∑r=1

ars

)=

1n

n∑s=1

as.

Um (∗) zu beweisen, muss beachtet werden, dass arj −a unabhängig vom Summationsindex s ist. Es istein gemeinsamer Faktor, wenn wir über s summieren, so dass

∑ms=1(arj−a)(asj−a) = (arj−a)

∑ms=1(asj−a)

für jedes r gilt. Als nächstes ergibt die Summation über r

m∑r=1

m∑s=1

(arj − a)(asj − a) =[ m∑

r=1

(arj − a)][ m∑

s=1

(asj − a)]. (∗∗)

Indem wir die Eigenschaften von Summen und die Definition von aj verwenden, erhalten wir

m∑r=1

(arj − a) =m∑

r=1

arj −m∑

r=1

a = maj −ma = m(aj − a).

Auf gleiche Weise, indem wir r durch s als Summationsindex ersetzen, erhalten wir∑m

s=1(asj − a) =m(aj − a). Dann setzt man diese Werte in (∗∗) ein und es folgt (∗).

3.4

6. (a) Wenn (i)√

x − 4 = √x + 5− 9, dann ist auch (ii) x − 4 = (√x + 5− 9)2, was wir durch Quadrierenbeider Seiten von (i) erhalten. Berechnet man das Quadrat auf der rechten Seite von (ii), ergibt sich√

x + 5 = 5 und somit x + 5 = 25, d. h. x = 20. Das zeigt: Wenn x eine Lösung von (i) ist, so ist x = 20.Kein anderer Wert für x kann die Gleichung (i) erfüllen. Sobald wir aber die Lösung überprüfen,finden wir heraus, dass mit x = 20 die linke Seite von (i)

√16 = 4 ergibt, während die rechte Seite√

25− 9 = 5 − 9 = −4 ist. Somit sind linke und rechte Seite verschieden, d. h. die Gleichung (i) hat inWirklichkeit überhaupt keine Lösung. (Aber beachten Sie, dass 42 = (−4)2, d. h. das Quadrat der linkenSeite ist gleich dem Quadrat der rechten Seite. Das ist der Grund, warum sich die falsche Lösung x = 20einschleichen konnte.)(b) Wenn x eine Lösung von (iii)

√x − 4 = 9 − √x + 5 ist, dann finden wir wie in (a) heraus, dass x

eine Lösung von (iv) x − 4 = (9−√x + 5 )2 sein muss. Nun ist (9−√x + 5 )2 = (√x + 5−9)2, so dass dieGleichung (iv) äquivalent zu der Gleichung (ii) aus (a) ist. Das bedeutet, dass (iv) genau eine Lösunghat, nämlich x = 20. Indem wir diesen Wert für x in die Gleichung (iii) einsetzen, ergibt sich, dassx = 20 eine Lösung von (iii) ist.Eine geometrische Erklärung der Resultate kann in Verbindung mit der folgenden Abbildung gegebenwerden.

y

-5

5

x5 10 15 20 25

y = 9 − √x + 5

y =√

x − 4

y =√

x + 5 − 9

Abbildung CWS3.4.6

8


Man kann sehen, dass die zwei durchgezogenen Kurven in der Abbildung keinen gemeinsamen Punkthaben, d. h. die Ausdrücke

√x − 4 und√x + 5−9 sind für keinem Wert von x gleich. (Tatsächlich erhöht

sich die Differenz√

x − 4−(√x + 5−9) mit zunehmenden x, so dass es auch keinen Schnittpunkt weiterrechts geben kann.) Dies erklärt, warum die Gleichung in (a) keine Lösung hat. Andererseits schneidetdie gestrichelte Kurve y = 9−√x + 5 die Kurve y = √x + 5 bei x = 20 (und nur da). Dies entspricht derLösung aus (b).Anmerkung: In (a) war es notwendig die Lösung zu überprüfen, da der Übergang von (i) zu (ii) lediglicheine Implikation und keine Äquivalenz ist. In gleicher Weise war es notwendig das Ergebnis in (b) zuüberprüfen, da der Übergang von (iii) zu (iv) ebenso nur eine Implikation ist – zumindest ist eineÄquivalenz nicht klar erkennbar. (Es stellte sich zwar eine Äquivalenz heraus. Das konnten wir abernicht wissen, bevor wir die Gleichung gelöst hatten.)

7. (a) Hier haben wir „dann und nur dann“, da√

4 = 2. (b) Unter Zuhilfenahme eines Vorzeichen-Diagramms kann man sehen, dass x(x + 3) < 0 ist, wenn x in dem offenen Intervall (−3, 0) liegt.Demnach haben wir eine Implikation von links nach rechts (d. h. „nur wenn“), jedoch nicht in dieandere Richtung. (Zum Beispiel, wenn x = 10, dann ist x(x + 3) = 130.) (c) x2 < 9 ⇐⇒ −3 < x < 3,so dass x2 < 9 nur wenn x < 3. Wenn z. B. x = −5 ist, haben wir x < 3, aber x2 > 9. Deshalb kann„wenn“ nicht gelten. (d) x2 + 1 ist niemals 0, so dass „dann und nur dann“ gilt. (e) Wenn x > 0,dann ist x2 > 0, aber x2 > 0 kann auch gelten, wenn x < 0. (f) x4 + y4 = 0 ⇐⇒ x = 0 und y = 0.Wenn x = 0 und z. B. y = 1, folgt x4 + y4 = 1, so dass „wenn“ nicht gelten kann.

9. (a) Wenn x und y nicht beide nichtnegativ sind, so muss wenigstens einer von ihnen negativ sein,d. h. x < 0 oder y < 0. (b) Wenn nicht alle x größer oder gleich a sind, dann muss wenigstens einx kleiner als a sein. (c) Mindestens eine der Variablen x und y ist kleiner als 5. (Wäre es einfacher,wenn die zu negierende Aussage folgender wäre: „Weder John noch Diana ist jünger als 5 Jahre“?)(d) bis (f): Siehe Lösung im Buch.

3.7

3. Für n = 1 sind beide Seiten 1/2. Nehmen Sie an, dass (∗) für n = k wahr ist. Dann ist die Summe derersten k + 1 Terme:

11 · 2 +

12 · 3 +

13 · 4 + · · · +

1k(k + 1)

+1

(k + 1)(k + 2)=

kk + 1

+1

(k + 1)(k + 2).

Aberk

k + 1+

1(k + 1)(k + 2)

=(k + 1)2

(k + 1)(k + 2)=

k + 1k + 2

, was (∗) für n = k + 1 ist. Deshalb ist nach demPrinzip der mathematischen Induktion (∗) für alle n wahr.

4. Die Behauptung ist für n = 1 wahr. Nehmen Sie als Induktionshypothese an, dass k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3

durch 9 teilbar ist. Beachten Sie, dass (k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + k3 + 9k2 + 27k + 27 =k3 +(k +1)3 +(k +2)3 +9(k2 +3k +3). Dies ist durch 9 teillbar, da die Induktionshypothese impliziert, dassdie Summe der ersten drei Terme durch 9 teilbar ist, während der letzte Term offensichtlich ebensodurch 9 teilbar ist.

Aufgaben zur Wiederholung zu Kapitel 3

6. (b) ⇒ falsch, da x2 = 16 auch die Lösung x = −4 hat, ⇐ wahr, denn aus x = 4 folgt x2 = 16. (c) ⇒wahr,⇐ falsch, denn für y > −2 und x = 3 gilt (x − 3)2(y + 2) = 0. (d) ⇒ und ⇐ sind beide wahr,da die Gleichung x3 = 8 nur die einzige Lösung x = 2 hat. (Nach der Terminologie in Kapitel 6.3 istf (x) = x3 streng monoton wachsend. Siehe Aufgabe 6.3.3 und den Graphen in Abb. 4.3.7.)

9. BetrachtenSie Abb. A3.6.8 im Buch. Sei nk die Zahl der Studierenden in der Menge Sk für k = 1,2, . . . , 8.Es seien A, B und C die Mengen der Studierenden, die Englisch, Französisch bzw. Spanisch studieren.Da 10 Studenten alle drei Sprachen studieren, ist n7 = 10. Es gibt 15, die Französisch und Spanischstudieren, so dass 15 = n2 + n7, d. h. n2 = 5. Weiterhin ist 32 = n3 + n7, so dass n3 = 22. Ferner ist110 = n1 + n7, d. h. n1 = 100. Die restlichen Informationen implizieren, dass 52 = n2 + n3 + n6 + n7 ist, so

9


dass n6 = 52− 5−22−10 = 15. Ferner ist 220 = n1 + n2 + n5 + n7, so dass n5 = 220− 100− 5−10 = 105.Schließlich ist 780 = n1 + n3 + n4 + n7, so dass n4 = 780− 100− 22− 10 = 648. Die Antworten zu denFragen sind: (a): n1 = 100. (b): n3 + n4 = 648 + 22 = 670. (c) 1000−∑8i=1 ni = 1000− 905 = 95.

Kapitel 4 Funktionen einer Variablen

4.2

1. (a) f (0) = 02+1 = 1, f (−1) = (−1)2 +1 = 2, f (1/2) = (1/2)2+1 = 1/4+1 = 5/4 und f (√2) = (√2)2+1 = 2+1 =3. (b) (i) Da (−x)2 = x2, folgt f (x) = f (−x) für alle x. (ii) f (x+1) = (x+1)2+1 = x2+2x+1+1 = x2+2x+2und f (x) + f (1) = x2 + 1 + 2 = x2 + 3. Demnach gilt dies genau dann, wenn x2 + 2x + 2 = x2 + 3,d. h. genau dann, wenn x = 1/2. (iii) f (2x) = (2x)2 + 1 = 4x2 + 1 und 2f (x) = 2x2 + 2. Nun ist4x2 + 1 = 2x2 + 2 ⇔ x2 = 1/2 ⇔ x = ±√1/2 = ± 12

√2.

10. (a) Nein: f (2 + 1) = f (3) = 18, während f (2) + f (1) = 10. (b) Ja: f (2 + 1) = f (2) + f (1) = −9. (c) Nein:f (2 + 1) = f (3) =

√3 ≈ 1.73, während f (2) + f (1) = √2 + 1 ≈ 2.41.

13. (a) Wir müssen 5 − x ≥ 0, d.h. x ≤ 5 voraussetzen. (b) Der Nenner x2 − x = x(x − 1) muss von 0verschieden sein, d.h. x �= 0 und x �= 1. (c) Zunächst muss der Nenner von 0 verschieden sein, sodass wir x �= 2 und x �= −3 verlangen. Da wir die Quadratwurzel nur aus einer nichtnegativen Zahlziehen können, muss der Bruch (x − 1)/(x − 2)(x + 3) ≥ 0 sein. Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dassDf = (−3, 1]∪ (2,∞). Beachten Sie insbesondere, dass die Funktion an der Stelle x = 1 definiert ist undden Wert 0 hat.

15. g ist offensichtlich für x ≥ −2 definiert, d. h. Dg = [−2,∞). Beachten Sie, dass g(−2) = 1 und g(x) ≤ 1für alle x ∈ Df . Wenn x von −2 bis∞ wächst, fällt g(x) von 1 bis −∞, so dass Rg = (−∞, 1].

4.4

3. Wenn D = a + bP , dann ist 200 = a + 10b und 150 = a + 15b. Auflösen nach a und b ergibt a = 300 undb = −10, so dass D = 300− 10P .

4. L1: Die Steigung ist offensichtlich 1. Mithilfe der Punkt-Steigungs-Formel mit (x1,y1) = (0, 2) und a = 1ergibt sich y = x + 2. L2: Nutzt man die Zwei-Punkte-Formel mit (x1, y1) = (0, 3) und (x2, y2) = (5, 0)

ergibt sich: y −3 = 0− 35− 0 x bzw. y = −

35 x + 3. L3: Die Steigung ist 0. Somit lautet die Gleichung y = 1.

Für L4 und L5: siehe Buch.

10. Die Punkte, die die Ungleichung 3x + 4y ≤ 12 erfüllen, liegen auf oder unterhalb der Geraden 3x + 4y =12, wie es im Beispiel 6 für eine ähnliche Ungleichung erklärt wurde. Die Punkte, die die Ungleichungx − y ≤ 1 oder (äquivalent) y ≥ x − 1 erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden x − y = 1.Schließlich liegen die Punkte, die die Ungleichung 3x + y ≥ 3 oder (äquivalent) y ≥ 3−3x erfüllen, aufoder oberhalb der Geraden 3x + y = 3. Die Menge der Punkte, die alle drei Ungleichungen gleichzeitigerfüllen, ist in Abb. A.4.4.10 im Buch dargestellt.

4.5

3. Aus der Zwei-Punkte-Formel folgt C − 200 = 275− 200150− 100(x − 100) oder C =

32

x + 50.

4.6

2. Ergänzungen zu den Lösungen aus dem Buch: (c) Formel (4.6.4) mit a = − 12 und b = −1 ergibtx = −1 als den Maximumpunkt. (Alternativ kann quadratisch ergänzt werden: f (x) = − 12 (x2 + 2x− 3) =− 12 (x2 + 2x + 1−4) = − 12 (x + 1)2 + 2, woraus wir sofort sehen, dass f (x) den Maximalwert 2 an der Stellex = −1 hat.) (e) Verwenden Sie (2.3.5) oder multiplizieren Sie die Klammern aus, um die Formel fürf (x) zu verifizieren. Benutzen Sie ein Vorzeichen-Diagramm, um die Vorzeichen für f (x) zu bestimmen.

10

Kapitel 4 Funktionen einer Variablen

6. Auflösen ergibt U (x) = −(1 + r2)x2 + 8(r−1)x. Verwenden Sie dann Formel (4.6.4) mit a = −(1 + r2) undb = 8(r − 1).

9. (b) Wenn B2 − 4AC > 0, dann hat nach Formel (2.3.4) die Gleichung f (x) = Ax2 + Bx + C = 0 zweiverschiedene Lösungen. Dies ist nicht möglich, wenn f (x) ≥ 0 für alle x. Hieraus folgt: A = a21 + a22 +· · · + a2n, B = 2(a1b1 + a2b2 + · · · + anbn) und C = b21 + b22 + · · · + b2n, so dass die Behauptung folgt.

4.7

1. (a) Die ganzzahligen Lösungen müssen Teiler von 6 sein, d. h. ±1, ±2, ±3 und ±6 sind die einzigenmöglichen ganzzahligen Lösungen. Dabei sind −2, −1, 1 und 3 Lösungen. Da es nicht mehr als vierLösungen für ein Polynom vom Grad 4 geben kann, sind alle Lösungen gefunden.(b) Dieselben möglichen ganzzahligen Lösungen wie in (a). Dabei sind −6 und 1 die ganzzahligenLösungen. (Die dritte Lösung lautet −1/2.)(c) Weder 1 noch −1 erfüllt die Gleichung, so dass es keine ganzzahligen Lösungen gibt.(d) Zuerst multipliziert man die Gleichung mit 4, um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten. Dann sind±1, ±2 und ±4 die einzig möglichen ganzzahligen Lösungen. Dabei sind 1, 2 und −2 die Lösungen.

3. (a) Die Antwort ist 2x2 + 2x + 4 + 3/(x − 1), da

(2x3 + 2x − 1)÷ (x − 1) = 2x2 + 2x + 42x3 − 2x2

2x2 + 2x − 12x2 − 2x

4x − 14x − 4

3 Rest

(b) Die Antwort ist x2 + 1, da

(x4 + x3 + x2 + x)÷ (x2 + x) = x2 + 1x4 + x3

x2 + xx2 + x

0 kein Rest

(c) Die Antwort ist x3 − 4x2 + 3x + 1− 4x/(x2 + x + 1), da

(x5 − 3x4 + 1)÷ (x2 + x + 1) = x3 − 4x2 + 3x + 1x5 + x4 + x3

− 4x4 − x3 + 1− 4x4 − 4x3 − 4x2

3x3 + 4x2 + 13x3 + 3x2 + 3x

x2 − 3x + 1x2 + x + 1

− 4x Rest

11


(d) Die Antwort ist 3x5 + 6x3 − 3x2 + 12x − 12 + (28x2 − 36x + 13)/(x3 − 2x + 1), da

(3x8 x2 + 1)÷ (x3 − 2x + 1) = 3x5 + 6x3 − 3x2 + 12x − 123x8 − 6x6 + 3x5

6x6 − 3x5 + x2 + 16x6 − 12x4 + 6x3

− 3x5 + 12x4 − 6x3 + x2 + 1− 3x5 + 6x3 − 3x2

12x4 − 12x3 + 4x2 + 112x4 − 24x2 + 12x

− 12x3 + 28x2 − 12x + 1− 12x3 + 24x − 12

28x2 − 36x + 13 Rest

4. (a) y = 12(x + 1)(x − 3). (Da der Graph die x-Achse in den beiden Punkten x = −1 und x = 3schneidet, probieren wir es mit der quadratischen Funktion: f (x) = a(x + 1)(x − 3). Dann istf (1) = −4a und der Graph verläuft durch den Punkt (1,−2), d. h. f (1) = −2 = −4a. Des-halb muss a = 1/2 sein.) (b) Da die Gleichung f (x) = 0 die Lösungen x = −3, 1,2 hat, pro-bieren wir die kubische Funktion f (x) = b(x + 3)(x − 1)(x − 2). Dann ist f (0) = 6b. Am Gra-phen sehen wir: f (0) = −12. Somit ist b = −2 und demnach y = −2(x + 3)(x − 1)(x − 2).(c) y = 12 (x + 3)(x − 2)2. (Wir versuchen ein Polynom in der Form f (x) = c(x − 2)2(x + 3) mit x = 2 alsdoppelte Nullstelle. Dann ist f (0) = 12c. Am Graphen sehen wir, dass f (0) = 6 und somit c = 1/2.)

8. Mit Polynomdivision erhält man

(x2 − �x )÷ (x + ˇ) = x − (ˇ + �)x2 + ˇx

− (ˇ + �)x− (ˇ + �)x − ˇ(ˇ + �)

ˇ(ˇ + �) Rest

und somit

E = ˛(x − (ˇ + �) + ˇ(ˇ + �)

x + �

)= ˛x − ˛(ˇ + �) + ˛ˇ(ˇ + �)

x + �

4.8

4. (a) C. Der Graph ist eine Parabel. Da der Koeffizient von x2 positiv ist, hat sie einen Minimumpunkt.(b) D. Die Funktion ist definiert für x ≤ 2 und schneidet die y-Achse an der Stelle y = 2√2 ≈ 2.8.(c) E. Der Graph ist eine Parabel. Da der Koeffizient von x2 negativ ist, hat sie einen Maximumpunkt.(d) B. Wenn x steigt, fällt y und y geht gegen −2, wenn x groß wird.(e) A. Die Funktion ist definiert für x ≥ 2 und steigt, wenn x steigt.(f) F. Sei y = 2− ( 12 )x . Dann steigt y , wenn x steigt. Für große Werte von x nähert sich y der Zahl 2 an.

5. (a) Siehe Lösung im Buch. (b) 9t = (32)t = 32t und (27)1/5/3 = (33)1/5/3 = 33/5/3 = 3−2/5. Dann ist2t = −2/5 und somit t = −1/5.

4.9

10. Setzen Sie y = Abx mit b > 0. In (a) erhalten wir dann, da der Graph durch die Punkte (x, y) = (0, 2)und (x, y) = (2, 8) verläuft: 2 = Ab0, d.h. A = 2 und 8 = 2b2, so dass b = 2. Daher ist y = 2 · 2x .In (b) haben wir: 23 = Ab

−1 und 6 = Ab. Es folgt: A = 2 und b = 3 und somit y = 2 · 3x .In (c) haben wir: 4 = Ab0 und 1/4 = Ab4. Es folgt: A = 4, b4 = 1/16 und somit b = 1/2. Demnach isty = 4( 12 )

x .

12

Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen

4.10

3. (a) und (c): siehe Buch. (b) Da ln x2 = 2 ln x, ist 7 ln x = 6, so dass ln x = 6/7 und somit x = e6/7.

4. (a) ln(Aert) = ln(Best), so dass ln A + rt = ln B + st oder (r − s)t = ln(B/A) und somit t = 1r − s ln

BA

.

(b) t =1

0.09− 0.02 ln5.6 · 10121.2 · 1012 =

10.07

ln143≈ 22.

Bezogen auf die Aufgabenstellung hätten die zwei Länder in ungefähr 22 Jahren (d.h. im Jahr 2012) einidentisches BSP.


4. (a) Wir müssen x2 ≥ 1 haben, d. h. x ≥ 1 oder x ≤ −1. (Siehe Abb. 4.3.6.)(b) Die Quadratwurzel ist für x ≥ 4 definiert, jedoch wird bei x = 4 der Nenner 0, so dass x > 4gelten muss. (c) Wir müssen (x − 3)(5 − x) ≥ 0 haben, d. h. 3 ≤ x ≤ 5 (unter Verwendung einesVorzeichen-Diagramms).

7. (a) Die Punkt-Steigungs-Formel ergibt: y − 3 = −3(x + 2) oder y = −3x − 3.(b) Die Zwei-Punkte-Formel ergibt: y − 5 = 7− 5

2− (−3) (x − (−3)) oder y = 2x/5 + 31/5.

(c) y − b = 3b− b2a− a (x − a) oder y = (2b/a)x − b.

10. (1,−3) liegt auf dem Graphen, wenn −3 = a + b + c; (0,−6) liegt auf dem Graphen, wenn −6 = c und(3, 15) liegt auf dem Graphen, wenn 15 = 9a + 3b + c. Es folgt: a = 2, b = 1 und c = −6.

14. (a) p(x) = x(x2 + x − 12) = x(x − 3)(x + 4), da x2 + x − 12 = 0 für x = 3 und x = −4.(b) ±1, ±2,±4 und ±8 sind die einzig möglichen Nullstellen. Durch Ausprobieren erhalten wir q(2) =q(−4) = 0, so dass 2(x − 2)(x + 4) = 2x2 + 4x − 16 ein Faktor von q(x) ist. Polynomdivision ergibt:q(x) ÷ (2x2 + 4x − 16) = x − 1/2, so dass q(x) = 2(x − 2)(x + 4)(x − 1/2).

16. Wir verwenden (4.7.5) und bezeichnen die Polynome jeweils mit p(x). (a) p(2) = 8−2k = 0 für k = 4.(b) p(−2) = 4k2 + 2k − 6 = 0 für k = −3/2 und k = 1. (c) p(−2) = −26 + k = 0 für k = 26.(d) p(1) = k2 − 3k − 4 = 0 für k = −1 und k = 4.

17. Da p(2) = 0, ist x−2 ein Faktor von p(x). Wir erhalten: p(x)÷ (x −2) = 14 (x2−2x−15) = 14 (x + 3)(x−5),so dass x = −3 und x = 5 weitere Nullstellen sind. (Alternativ: q(x) hat die gleichen Nullstellen wie4p(x) = x3−4x2−11x +30. Dieses Polynom kann nur±1,±2,±3,±5,±10,±15 und±30 als ganzzahligeNullstellen haben. Es ist sehr aufwendig, die Nullstellen auf diese Weise zu bestimmen.)

21. (a) ln(x/e2) = ln x − ln e2 = ln x − 2 (b) ln(xz/y) = ln(xz) − ln y = ln x + ln z − ln y (c) ln(e3x2) =ln e3 + ln x2 = 3 + 2 ln x für x > 0. (Im Allgemeinen ist ln x2 = 2 ln |x|.) (d) Siehe Buch.

Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen

5.1

3. Die Gleichgewichtsbedingung lautet 106− P = 10 + 2P und somit ist P = 32. Die dazugehörige Mengeist Q = 106− 32 = 74. Siehe Abb. A5.1.3 im Lösungskapitel des Buches.

6. f (y∗ −d) = f (y∗)−c ergibt A(y∗ −d)+B(y∗−d)2 = Ay∗+B(y∗)2−c oder Ay∗−Ad +B(y∗)2−2Bdy∗+Bd2 =Ay∗ + B(y∗ )2 − c. Hieraus folgt: y∗ = [Bd2 −Ad + c]/2Bd.

5.2

4. Wenn f (x) = 3x + 7, dann ist f (f (x)) = f (3x + 7) = 3(3x + 7) + 7 = 9x + 28. f (f (x∗)) = 100 verlangt9x∗ + 28 = 100. Somit ist x∗ = 8.

13


5.3

4. (a) f hat eine Inverse, da sie Eins-zu-Eins ist. Dies wird in der Tabelle deutlich: alle Zahlen aus derzweiten Zeile, dem Definitionsbereich von f −1, sind verschieden. Die Inverse ordnet jeder Zahl derzweiten Zeile die dazugehörige Zahl der ersten Zeile zu.(b) Da f (0) = 4 und f (x) immer um 2 steigt, wenn x um eine Einheit steigt, lautet die Funktion f (x) =2x + 4. Auflösen von y = 2x + 4 nach x ergibt x = 12y − 2. Demnach ist f −1(x) = 12 x − 2.

9. (a) (x3 − 1)1/3 = y ⇐⇒ x3 − 1 = y3 ⇐⇒ x = (y3 + 1)1/3. Wenn wir x als unabhängige Variableverwenden, ist f −1(x) = (x3 + 1)1/3. R ist der Definitionsbereich sowie der Wertebereich für f und f −1.

(b) Der Definitionsbereich von f ist die Menge aller x �= 2. Für x �= 2 gilt: x + 1x − 2 = y ⇐⇒ x + 1 =

y(x − 2) ⇐⇒ (1 − y)x = −2y − 1 ⇐⇒ x = −2y − 11− y =

2y + 1y − 1 . Wenn wir x als unabhängige Variable

verwenden, gilt: f−1(x) = (2x + 1)/(x−1). Der Definitionsbereich der Inversen ist die Menge aller x �= 1.(c) Hier gilt: y = (1−x3)1/5 +2 ⇐⇒ y−2 = (1−x3)1/5 ⇐⇒ (y−2)5 = 1−x3 ⇐⇒ x3 = 1− (y −2)5 ⇐⇒x = (1 − (y − 2)5)1/3. Mit x als unabhängiger Variable erhalten wir f −1(x) = (1 − (x − 2)5)1/3. R ist derDefinitionsbereich und Wertebereich für f und f −1.

10. (a) Der Definitionsbereich ist R und der Wertebereich ist (0,∞), so dass die Inverse in (0,∞) definiertist. Aus y = ex+4 erhalten wir ln y = x + 4, so dass x = ln y − 4 für y > 0. (b) Der Wertebereich ist R,welches damit Definitionsbereich der Inversen ist. Aus y = ln x−4 erhalten wir ln x = y + 4 und darausx = ey+4. (c) Der Definitionsbereich ist R. y steigt und wenn x → −∞, folgt: y → ln 2. Ferner gilt:y →∞, wenn x→∞. Somit ist der Wertebereich der Funktion (ln 2,∞). Aus y = ln(2 + ex−3) erhaltenwir 2 + ex−3 = ey , so dass ex−3 = ey − 3 und demnach x = 3 + ln(ey − 3) für y > ln 2.

11. Wir müssen x = 12 (ey − e−y ) nach y auflösen. Wir multiplizieren die Gleichung mit ey und erhalten:

12 e

2y − 12 = xey oder e2y − 2xey − 1 = 0. Die Substitution von ey = z ergibt z2 − 2xz − 1 = 0 mit denLösungen z = x±√x2 + 1. Das Minus-Zeichen würde z = ex negativ machen, was unmöglich ist. Somitgilt z = ey = x +

√x2 + 1. Daraus ergibt sich y = ln

(x +√

x2 + 1)

als inverse Funktion.

5.4

1. (a) Es ist angebracht, zu untersuchen, ob die Kurve die Achsen schneidet, indem man zuerst x = 0und dann y = 0 setzt. Hieraus ergeben sich vier Punkte. Wählen Sie dann einige Werte von x mit−√6 < x < √6 und berechnen Sie die dazugehörigen Werte von y . Argumentieren Sie, warum derGraph symmetrisch zur x- und y-Achse ist. (Die Kurve wird als Ellipse bezeichnet. Siehe Kap. 5.5.)(b) Dieser Graph ist symmetrisch zur x- und y-Achse. (Wenn (a, b) auf dem Graphen liegt, so gilt diesauch für (a,−b), (−a, b) und (−a,−b).) (Der Graph ist eine Hyperbel. Siehe Kap. 5.5.)

2. Wir sehen, dass x ≥ 0 und y ≥ 0 gelten muss. Wenn (a, b) auf dem Graphen liegt, so gilt dies auch für(b, a), so dass der Graph symmetrisch zur Geraden y = x ist. Siehe Lösung im Buch.

5.5

4. (a) Siehe Buch. (b) Da der Kreis denMittelpunkt (2, 5) hat, lautet seine Gleichung (x−2)2+(x−5)2 = r2.Da (−1, 3) auf dem Kreis liegt, gilt: (−1 − 2)2 + (3− 5)2 = r2, so dass r2 = 13.

8. x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ⇐⇒ x2 + Ax + y2 + By + C = 0 ⇐⇒ x2 + Ax + ( 12 A)2 + y2 + By + ( 12 B)2 =14 (A

2 + B2 − 4C ) ⇐⇒ (x + 12 A)2 + (y + 12 B)2 = 14 (A2 + B2 − 4C ). Der letzte Ausdruck ist die Gleichungeines Kreises mit Mittelpunkt

(− 12 A,− 12 B) und Radius 12√A2 + B2 − 4C. Wenn A2 + B2 = 4C , bestehtder Graph nur aus dem Punkt

(− 12A,− 12 B). Für A2 + B2 < 4C ist die Lösungsmenge leer.

5.6

1. In jedem Fall (außer in (c)) definiert die Regel eine Funktion, da sie allen Elementen der Ausgangsmengeein eindeutiges Element der Zielmenge zuordnet. Zum Beispiel in (d): Wenn das Volumen V gegeben

14

Kapitel 6 Differentialrechnung

ist, ist die Oberfläche S einer Kugel eindeutig bestimmt: V = 43 �r3 = 43 �(S/4�)

3/2 ergibt r =(

3V4�

)1/3

und somit S = 4�r2 = 4�(

3V4�

)2/3= (36�)1/3V 2/3 (Die Formeln für die Oberfläche bzw. das Volumen

einer Kugel mit Radius r sind im Anhang A.1 des Buches zu finden.)


3. (a) Gleichgewichtsbedingung: 150− 12 P∗ = 20 + 2P∗. Dies ergibt P∗ = 52 und Q∗ = 20 + 2P∗ = 124. Für(b) und (c): siehe Lösungen im Buch.

7. (a) f ist definiert und streng monoton wachsend für ex > 2, d. h. x > ln 2. Der Wertebereich ist R.(f (x) → −∞, wenn x → ln 2+ und f (x) → ∞, wenn x → ∞.) Aus y = 3 + ln(ex − 2) erhalten wirln(ex − 2) = y − 3 und somit ex − 2 = ey−3 oder ex = 2 + ey−3, so dass x = ln(2 + ey−3). Daher giltf −1(x) = ln(2 + ex−3) für x ∈ R.(b) Beachten Sie, dass f streng monoton wachsend ist. Ferner gilt e−�x → ∞, wenn x → −∞ unde−�x → 0, wenn x →∞. Deswegen gilt: f (x)→ 0, wenn x → −∞ und f (x) → 1, wenn x → ∞. Somitist der Wertebereich von f und damit der Definitionsbereich von f −1 gleich (0, 1). Aus y =

ae−�x + a

erhalten wir e−�x + a = a/y , so dass e−�x = a(1/y − 1) oder −�x = ln a + ln(1/y − 1). Daraus ergibt sichx = −(1/�) ln a − (1/�) ln(1/y − 1). Demnach ist die Inverse f −1(x) = −(1/�) ln a − (1/�) ln(1/x − 1) fürx ∈ (0, 1).


6.2

5. Um die Steigung der Tangente zu bestimmen, verwenden wir das Rezept (6.2.3).(a) (A): f (x0 + �x) = f (0 + �x) = 3 · �x + 2 (B): f (x0 + �x) − f (x0) = f (�x) − f (0) = 3�x + 2− 2 = 3 · �x(C) bis(D): [f (�x) − f (0)]/�x = 3 (E): [f (�x) − f (0)]/�x = 3 → 3, wenn �x → 0, so dass f ′(0) = 3. DieSteigung der Tangente im Punkt (0, 2) ist 3.(b) (A): f (x0 + �x) = f (1 + �x) = (1 + �x)2 −1 = 1 + 2 ·�x + (�x)2 −1 = 2�x + (�x)2 (B): f (1 + �x)− f (1) =2 · �x + (�x)2 (C) bis (D): [f (1 + �x)− f (1)]/�x = 2 + �x (E): [f (1 + �x)− f (1)]/�x = 2 + �x → 2, wenn�x → 0, so dass f ′(1) = 2.(c) (A): f (3 + �x) = 2 + 3/(3 + �x) (B): f (3 + �x)− f (3) = 2 + 3/(3 + �x)− 3 = −�x/(3 + �x) (C) bis (D):[f (3 + �x)− f (3)]/�x = −1/(3 + �x) (E): [f (3 + �x)− f (3)]/�x = −1/(3 + �x)→−1/3, wenn �x → 0, sodass f ′(3) = −1/3.(d) [f (�x) − f (0)]/�x = ((�x)3 − 2 · �x)/�x = (�x)2 − 2→−2, wenn �x → 0, so dass f ′(0) = −2.(e)

f (−1 + �x)− f (−1)�x

= −1 + �x + 1/(−1 + �x) + 2�x

=�x

−1 + �x → 0, wenn �x → 0, so dass f′(0) = 0.

(f)f (1 + �x)− f (1)

�x=

(1 + �x)4 − 1�x

=(�x)4 + 4 · (�x)3 + 6 · (�x)2 + 4 · �x + 1− 1

�x= (�x)3 + 4 · (�x)2 +

6 · �x + 4→ 4, wenn �x → 0, so dass f ′(1) = 4.

8. (a)(√

x + �x−√x )(√x + �x +√x ) = (√x + �x )2 +√x + �x√x−√x√x + �x− (√x)2 = x + �x−x = �x.(b)

f (x + �x)− f (x)�x

=(√

x + �x −√x)(√x + �x +√x)�x(√

x + �x +√

x)=

�x

�x(√

x + �x +√

x)=

1√x + �x +

√x

(c) Folgt aus (b).

6.5

5. (a)1/3− 2/3h

h − 2 =3h(1/3− 2/3h)3h(h− 2) =

h− 23h(h− 2) =

13h→ 1

6, wenn h→ 2.

(b) Für x → 0 gilt: x2 − 1 → −1 und 1/x2 → ∞, so dass der Bruch keinen endlichen Grenzwert hat,sondern gegen −∞ strebt.

15


(c)32t − 96

t2 − 2t − 3 =32(t − 3)

(t − 3)(t + 1) =32

t + 1→ 8, wenn t → 3, so dass 3

√32t − 96

t2 − 2t − 3 →3√8 = 2, wenn t → 3.

(d)

√h + 3−√3

h=

(√

h + 3−√3)(√h + 3 +√3)h(√

h + 3 +√

3)=

h + 3− 3h(√

h + 3 +√

3)=

1√h + 3 +

√3→ 1

2√

3, wenn

h→ 0.

(e)t2 − 4

t2 + 10t + 16=

(t + 2)(t − 2)(t + 2)(t + 8)

=t − 2t + 8

→ −23

, wenn t → −2.

(f) Beachten Sie, dass 4− x = (2 +√x)(2 −√x), so dass limx→4

2−√x4− x = limx→4

12 +√

x=

14

.

6. (a)f (x)− f (1)

x − 1 =x2 + 2x − 3

x − 1 =(x − 1)(x + 3)

x − 1 = x + 3→ 4, wenn x → 1.

(b)f (x)− f (1)

x − 1 = x + 3→ 5, wenn x→ 2.

(c)f (2 + �x)− f (2)

�x=

(2 + �x)2 + 2(2 + �x) − 8�x

=(�x)2 + 6�x

�x= �x + 6→ 6, wenn �x → 0.

(d) Gleiche Lösung wie in (e): Setzen Sie dort: �x = x−x0. (Im 2. Druck dieser Auflage werden (d) und(e) vertauscht.) .

(e)f (x0 + �x)− f (x0)

�x=

(x0 + �x)2 + 2(x0 + �x)− x20 − 2x0�x

= 2x0 + 2 + �x → 2x0 + 2, wenn �x → 0.

(f)f (x0 + �x)− f (x0 − �x)

�x=

(x0 + �x)2 + 2x0 + 2 · �x − (x0 − �x)2 − 2x0 + 2 · �x�x

= 4x0 + 4 → 4x0 + 4,wenn �x → 0.

7. (a) x3 − 8 = 0 hat die Lösung x = 2. Polynomdivision ergibt: x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4).(b) und (c): siehe Buch.

6.6

7. (a) Mit f (x) = x2 gilt: lim�x→0

f (x0 + �x)− f (x0)�x

= lim�x→0

(5 + �x)2 − 52�x

= f ′(5). Andererseits gilt f ′(x) = 2x,

so dass f ′(5) = 10. Demnach ist der Grenzwert 10. (b) und (c): siehe Buch.

6.7

3. (a) y =1x6

= x−6 ⇒ y ′ = −6x−7 unter Verwendung der Potenzregel (6.6.4).(b) y = x−1(x2 + 1)

√x = x−1x2x1/2 + x−1x1/2 = x3/2 + x−1/2 ⇒ y ′ = 32 x1/2 − 12 x−3/2

(c) y = x−3/2 ⇒ y ′ = − 32 x−5/2 (d) y =x + 1x − 1 ⇒ y

′ =1 · (x − 1)− (x + 1) · 1

(x − 1)2 =−2

(x − 1)2(e) y =

xx5

+1x5

= x−4 + x−5 ⇒ y ′ = − 4x5− 5

x6(f) y =

3x − 52x + 8

⇒ 3(2x + 8)− 2(3x − 5)(2x + 8)2

=34

(2x + 8)2

(g) y = 3x−11 ⇒ y ′ = −33x−12

(h) y =3x − 1

x2 + x + 1⇒ y ′ = 3(x

2 + x + 1)− (3x − 1)(2x + 1)(x2 + x + 1)2

=−3x2 + 2x + 4(x2 + x + 1)2

6. (a) f ′(x) = 6x − 12 = 6(x − 2) ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 2, so dass f monoton wachsend in [2,∞) ist.(b) f ′(x) = x3 − 3x = x(x2 − 3) = x(x − √3)(x + √3), so dass (unter Verwendung einesVorzeichen-Diagramms) f monoton wachsend in

[−√3,0] und [√3,∞) ist. (c) f ′(x) = 2(2− x2)(x2 + 2)2

=

2(2 −√2)(2 +√2)(x2 + 2)2

, so dass f monoton wachsend in [−√2,√2] ist. (d) Siehe Buch.7. (a) y ′ = −1− 2x = −3 für x = 1, so dass die Steigung der Tangente−3 beträgt. Da y = 1 für x = 1, ergibt

die Punkt-Steigungs-Formel y − 1 = −3(x − 1) oder y = −3x + 4. (b) y ′ = 4x/(x2 + 1)2 = 1 und y = 0für x = 1, so dass y = x − 1.

16


(c) y = x2 − x−2, so dass y ′ = 2x + 2x−3 = 17/4 und y = 15/4 für x = 2. Demnach ist y = (17/4)x − 19/4.(d) y ′ =

4x3(x3 + 3x2 + x + 3)− (x4 + 1)(3x2 + 6x + 1)[(x2 + 1)(x + 3)]2

= − 119

und y = 1/3 für x = 0, so dass

y = −(x − 3)/9.

9. (a) Wir verwenden die Quotientenregel: y =at + bct + d

⇒ y ′ = a(ct + d)− (at + b)c(ct + d)2

=ad − bc(ct + d)2

.

(b) y = tn(a√

t + b)

= atn+1/2 + btn ⇒ y ′ = (n + 1/2)atn−1/2 + nbtn−1

(c) y =1

at2 + bt + c⇒ y ′ = 0 · (at

2 + bt + c)− 1 · (2at + b)(at2 + bt + c)2

=−2at − b

(at2 + bt + c)2

12. Dies ist ziemlich schwierig, da der Nenner 0 ist für x1,2 = 2 ±√

2 ist. Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt,dass f (x) > 0 nur in (−∞, 0) und (x1,x2) gilt.

6.8

3. (a) y = (x2 + x + 1)−5 = u−5, wobei u = x2 + x + 1. Indem man die Kettenregel verwendet, erhält many ′ = (−5)u−6u′ = −5(2x + 1)(x2 + x + 1)−6. (b) Mit u = x + √x +√x ergibt sich y = √u = u1/2, so dassy ′ = 12 u

−1/2u′. Nun ist u = x + v1/2 mit v = x + x1/2. Dann gilt u′ = 1 + 12 v−1/2v ′, wobei v ′ = 1 + 12 x

−1/2.Alles in allem ist y ′ = 12u

−1/2u′ = 12[x + (x + x1/2)1/2

]−1/2(1 + 12 (x + x

1/2)−1/2(1 + 12 x−1/2)). (c) Siehe Buch.

6. x = b −√ap− c = b −√u mit u = ap− c. Dann folgt dxdp

= − 12√

uu′ = − a

2√

ap − c .

12. (a), (e) und (g) sind leicht. Für die restlichen Aufgaben benötigt man die Kettenregel. In (d) benötigenSie die Summen-, Produkt- und Kettenregel. Siehe Buch.

6.9

4. g ′(t) =2t(t − 1)− t2

(t − 1)2 =t2 − 2t(t − 1)2 , g

′′(t) =(2t − 2)(t − 1)2 − (t2 − 2t)2(t − 1)

(t − 1)4 =2(t − 1)(t − 1)4 =

2(t − 1)3 , so dass

g ′′(2) = 2.

5. In vereinfachter Notation ausgedrückt: y ′ = f ′g + fg ′, y ′′ = f ′′g + f ′g ′ + f ′g ′ + fg ′′ = f ′′g + 2f ′g ′ + fg ′′,y ′′′ = f ′′′g + f ′′g ′ + 2f ′′g ′ + 2f ′g ′′ + f ′g ′′ + fg ′′′ = f ′′′g + 3f ′′g ′ + 3f ′g ′′ + fg ′′′.

6.10

2. (a) dx/dt = (b + 2ct)et + (a + bt + ct2)et = (a + b + (b + 2c)t + ct2)et

(b)dxdt

=3qt2tet − (p + qt3)(et + tet)

t2e2t=

(−qt4 + 2qt3 − pt − p)ett2e2t

(c) Siehe Buch.

4. (a) y ′ = 3x2 + 2e2x ist offensichtlich überall positiv, so dass y monoton wachsend in (−∞,∞) ist.(b) y ′ = 10xe−4x + 5x2(−4)e−4x = 10x(1 − 2x)e−4x . Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass y monotonwachsend im Intervall [0, 1/2] ist. (c) y ′ = 2xe−x2 +x2(−2x)e−x2 = 2x(1−x)(1+x)e−x2 . Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass y monoton wachsend in (−∞,−1] sowie in [0,1] ist.

6.11

3. Für diese Aufgaben benötigen wir die Kettenregel. Dies ist eine wichtige Regel! Insbesondere benötigen

wir die Tatsache, dassddx

ln f (x) =1

f (x)f ′(x) =

f ′(x)f (x)

, wenn f eine differenzierbare Funktion ist (mit

f (x) > 0).

(a) y = ln(ln x) = ln u =⇒ y ′ = 1u

u′ =1

ln x· 1

x=

1x ln x

.

(b) y = ln√

1− x2 = ln u =⇒ y ′ = 1u

u′ =1√

1− x2 ·−2x

2√

1− x2 =−x

1− x2 .

(Alternativ:√

1− x2 = (1− x2)1/2 =⇒ y = 12 ln(1− x2) usw.)

17


(c) y = ex ln x =⇒ y ′ = ex ln x + ex 1x

= ex(

ln x +1x

)

(d) y = ex3ln x2 =⇒ y ′ = 3x2ex3 ln x2 + ex3 1

x22x = ex

3(3x2 ln x2 +

2x

)

(e) y = ln(ex + 1) =⇒ y ′ = ex

ex + 1(f) y = ln(x2 + 3x − 1) =⇒ y ′ = 2x + 3

x2 + 3x − 14. (a) ln u ist definiert für u > 0, so dass wir voraussetzen müssen, dass x + 1 > 0, d. h. x > −1.

(b) Es muss 1 − x �= 0 gelten, damit der Bruch definiert ist. Weiter muss 3x − 11− x > 0 sein, damit

der Logarithmus definiert ist. Ein Vorzeichen-Diagramm (siehe unten) zeigt, dass3x − 11− x genau dann

definiert und positiv ist, wenn 1/3 < x < 1. (c) ln |x| ist definiert ⇐⇒ |x| > 0 ⇐⇒ x �= 0.

x1/ 3 10

3x − 1

1 − x

3x − 1

1 − x

5. (a) Man muss x2 > 1 haben, d. h. x > 1 oder x < −1. (Siehe Abb. 4.3.6 im Buch.) (b) ln(ln x) istdefiniert, wenn ln x definiert und positiv ist, d. h. für alle Werte von x > 1. (c) Der Bruch

1ln(ln x)− 1

ist definiert, wenn ln(ln x) definiert und verschieden von 1 ist. Nach (b) ist ln(ln x) definiert, wenn

x > 1 ist. Ferner gilt: ln(ln x) = 1 ⇐⇒ ln x = e ⇐⇒ x = ee. Folgerung: 1ln(ln x)− 1 ist definiert ⇐⇒

x > 1 und x �= ee.9. In diesen Aufgaben können wir Logarithmisches Differenzieren verwenden. Alternativ können wir die

Funktionen in der Gestalt f (x) = eg(x) schreiben und die Regel f ′(x) = eg(x)g ′(x) = f (x)g ′(x) verwenden.

(a) Sei f (x) = (2x)x . Dann ist ln f (x) = x ln(2x), so dassf ′(x)f (x)

= 1 · ln(2x) + x · 12x· 2 = ln(2x) + 1. Daraus

folgt: f ′(x) = f (x)(ln(2x) + 1) = (2x)x (ln x + ln 2 + 1).

(b) f (x) = x√

x =(eln x

)√x = e√x ln x , so dass f ′(x) = e√x ln x · ddx

(√

x ln x) = x√

x

(ln x2√

x+√

xx

).

(c) ln f (x) = x ln√

x = 12 x ln x, so dass f′(x)/f (x) = 12 (ln x + 1). Daraus folgt: f

′(x) = 12 (√

x )x (ln x + 1).

10. ln y = v ln u, so dass y ′/y = v ′ ln u + (v/u)u′ und somit y ′ = uv(v ′ ln u + vu

′u

).

11. (a) Siehe Lösung im Buch. (b) Sei f (x) = ln(1 + x)− 12 x. Dann ist f (0) = 0 und f ′(x) = 1/(x + 1)− 12 =(1 − x)/2(x + 1), welches positiv in (0,1) ist, so dass f (x) > 0 in (0, 1) und die linke Ungleichungnachgewiesen ist. Um die andere Ungleichung zu beweisen, setzt man g(x) = x − ln(1 + x) ein. Dannist g(0) = 0 und g ′(x) = 1 − 1/(x + 1) = x/(x + 1) > 0 in (0, 1), so dass die Behauptung gilt. (c) Seif (x) = 2(

√x − 1) − ln x. Dann ist f (1) = 0 und f ′(x) = (1/√x) − 1/x = (x − √x)/x√x = (√x − 1)/x,

welches positiv ist für x > 1. Daraus folgt die Behauptung.


5. (a) y = −3 und y ′ = −6x = −6 für x = 1, so dass y − (−3) = (−6)(x − 1) oder y = −6x + 3.(b) y = −14 und y ′ = 1/2√x − 2x = −31/4 für x = 4, so dass y = −(31/4)x + 17.(c) y = 0 und y ′ = (−2x3 − 8x2 + 6x)/(x + 3)2 = −1/4 für x = 1, so dass y = (−1/4)(x − 1).

18

Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung

7. (a) f (x) = x3 +x, usw. (b) Einfach zu lösen. (c) h(y) = y(y2−1) = y3−y , usw. (d) bis (f): VerwendenSie die Quotientenregel.

15. (a) y ′ =2x

ln x ≥ 0, wenn x ≥ 1. (b) y ′ = ex − e−x

ex + e−x≥ 0 ⇐⇒ ex ≥ e−x ⇐⇒ e2x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 0

(c) y ′ = 1 − 3xx2 + 2

=(x − 1)(x − 2)

x2 + 2≥ 0 ⇐⇒ x ≤ 1 oder x ≥ 2. (Verwenden Sie ein Vorzeichen-

Diagramm.)


7.1

2. Man erhält durch implizites Differenzieren (∗) 2xy + x2(dy/dx) = 0 und somit dy/dx = −2y/x. Implizi-tes Differenzieren von (∗) nach x ergibt 2y + 2x(dy/dx)+ 2x(dy/dx)+ x2 (d2y/dx2) = 0. Durch Einsetzendes Resultats für dy/dx sowie Vereinfachenerhält man d2y/dx2 = 6y/x2. (Alternativ können wir−2y/xals Bruch differenzieren.) Diese Resultate kann man einfacher erhalten, indem man y = x−2 zweimalnach x differenziert.

3. (a) Implizites Differenzieren nach x ergibt (∗) 1 − y ′ + 3y + 3xy ′ = 0. Auflösen nach y ′ ergibt: y ′ =(1 + 3y)/(1 − 3x) = −5/(1 − 3x)2. Ableiten von (∗) nach x ergibt −y ′′ + 3y ′ + 3y ′ + 3xy ′′ = 0. Einsetzenvon y ′ = (1 + 3y)/(1 − 3x) und Auflösen nach y ′′ ergibt: y ′′ = 6y ′/(1− 3x) = −30/(1− 3x)3.(c) Implizites Differenzieren nach x ergibt: (∗) 5y4y ′ = 6x5, so dass y ′ = 6x5/5y4 = (6/5)x1/5. DurchAbleiten von (∗) nach x erhält man: 20y3(y ′)2 + 5y4y ′′ = 30x4. Einsetzen von y ′ = 6x5/5y4 und Auflösennach y ′′ ergibt: y ′′ = 6x4y−4 − (144/25)x10y−9 = (6/25)x−4/5.

6. (a) 2x + 2yy ′ = 0; lösen Sie dies nach y ′ auf. (b) 1/2√

x + y ′/2√y = 0; lösen Sie dies nach y ′ auf.(c) 4x3 − 4y3y ′ = 2xy3 + x23y2y ′; lösen Sie dies nach y ′ auf.

8. (a) y + xy ′ = g ′(x) + 3y2y ′; lösen Sie dies nach y ′ auf. (b) g ′(x + y)(1 + y ′) = 2x + 2yy ′; lösen Sie diesnach y ′ auf. (c) 2(xy + 1)(y + xy ′) = f ′(x2y)(2xy + x2y ′); lösen Sie dies nach y ′ auf. (Wie haben wirf (x2y) nach x differenziert? Nun, wenn z = f (u) und u = x2y , dann ist z′ = f ′(u)u′, wobei u ein Produktaus zwei Funktionen ist, die beide von x abhängig sind. Somit ist u′ = 2xy + x2y ′.)

10. (a) 2(x2 +y2)(2x +2yy ′) = a2(2x−2yy ′); lösen Sie dies nach y ′ auf. (b) Beachten Sie, dass y ′ = 0, wennx2 + y2 = a2/2, d.h. y2 = 12 a

2−x2. Setzt man dies in die gegebene Gleichung ein, erhält man x = ± 14 a√

6.Hieraus ergeben sich vier Punkte auf dem Graphen, in denen die Tangente horizontal ist.

7.2

1. Implizites Differenzieren nach P , mit Q als Funktion von P , ergibtdQdP· P1/2 + Q 12P−1/2 = 0. Daher gilt:

dQdP

= − 12 QP−1 = −19

P3/2.

5. Differenzieren von (∗) nach P ergibt f ′′(P + t)(dP

dt+ 1)2

+ f ′(P + t)d2Pdt2

= g ′′(P)(dP

dt

)2+ g ′(P)

d2Pdt2

. Mit

vereinfachter Notation erhält man f ′′(P ′ + 1)2 + f ′P ′′ = g ′′(P ′)2 + g ′P ′′. Einsetzen von P ′ = f ′/(g ′ − f ′) undAuflösen nach P ′′ ergibt P ′′ = [f ′′(g ′)2 − g ′′(f ′)2]/(g ′ − f ′)3.

7.3

2. (a) f ′(x) = x2√

4− x2 + 13

x3−2x

2√

4− x2 =4x2(3 − x2)3√

4− x2 . Lösungen für die restlichen Aufgaben: siehe Buch.

5. (a) Siehe Buch. (b) dy/dx = −e−x/(e−x + 3), so dass dx/dy = −(e−x + 3)/e−x = −1− 3ex .(c) Implizites Differenzieren nach x ergibt y3 + x3y2(dy/dx)− 3x2y − x3(dy/dx) = 2. Lösen Sie nachdy/dx auf und verwenden Sie dann (7.3.5).

19


7.4

3. (a) f (0) = 1 und f ′(x) = −(1 + x)−2, so dass f ′(0) = −1. Dann ist f (x) ≈ f (0) + f ′(0)x = 1− x.(b) f (0) = 1 und f ′(x) = 5(1 + x)4, so dass f ′(0) = 5. Dann ist f (x) ≈ f (0) + f ′(0)x = 1 + 5x.(c) f (0) = 1 und f ′(x) = − 14 (1− x)−3/4, so dass f ′(0) = − 14 . Dann ist f (x) ≈ f (0) + f ′(0)x = 1 − 14 x.

4. F (1) = A und F ′(K ) = ˛AK ˛−1, so dass F ′(1) = ˛A. Dann ist F (K ) ≈ F (1) + F ′(1)(K − 1) = A + ˛A(K − 1) =A(1 + ˛A(K − 1)).

9. 3exy2 + 3xexy2(y2 + x2yy ′)− 2y ′ = 6x + 2yy ′ . Für x = 1 und y = 0 reduziert sich dies auf 3− 2y ′ = 6, sodass y ′ = −3/2. (b) y(x) ≈ y(1) + y ′(1)(x − 1) = − 32 (x − 1)

7.5

2. f ′(x) = (1 + x)−1, f ′′(x) = −(1 + x)−2, f ′′′(x) = 2(1 + x)−3, f (iv )(x) = −6(1 + x)−4, f (v )(x) = 24(1 + x)−5.Dann gilt f (0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = −1, f ′′′(0) = 2, f (iv )(0) = −6, f (v )(0) = 24 und somit ist f (x) ≈f (0) + 11! f

′(0)x + 12! f′′(0)x + 13! f

′′′(0)x3 + 14! f(iv )(0)x4 + 15! f

(v )(0)x5 = x − 12 x2 + 13 x3 − 14 x4 + 15 x5.

3. Aus f (x) = 5(ln(1 + x)−√1 + x ) = 5 ln(1 + x)− 5(1 + x)1/2 erhalten wir f ′(x) = 5(1 + x)−1 − 52

(1 + x)−1/2,

f ′′(x) = −5(1 + x)−2 + 54

(1 + x)−3/2 und somit ist f (0) = −5, f ′(0) = 52 , f ′′(0) = − 154 . Das Taylor-Polynomzweiter Ordnung um x = 0 lautet: f (0) + f ′(0)x + 12 f

′′(0)x2 = −5 + 52 x − 158 x2.

9. h′(x) =(pxp−1 − qxq−1)(xp + xq)− (xp − xq)(pxp−1 + qxq−1)

(xp + xq)2=

2(p− q)xp+q−1(xp + xq)2

, so dass h′(1) = 12 (p − q).Da h(1) = 0, erhalten wir h(x) ≈ h(1) + h′(1)(x − 1) = 12 (p− q)(x − 1).

7.6

1. Aus Aufgabe 7.5.2 wissen wir, dass f (0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = −1 und f ′′′(c) = 2(1 + c)−3. Dann ergibt(7.6.3): f (x) = f (0) + 11! f

′(0)x + 12! f′′(0)x + 13! f

′′′(c)x3 = x − 12x2 + 13 (1 + c)−3x3.4. (a) Aus g(x) = (1 + x)1/3 erhalten wir g ′(x) = 13 (1 + x)

−2/3, g ′′(x) = − 29 (1 + x)−5/3 und g ′′′(x) = 1027 (1 + x)−8/3,so dass g(0) = 1, g ′(0) = 13 , g

′′(0) = − 29 , g ′′′(c) = 1027 (1 + c)−8/3 und somit g(x) = 1 + 13 x− 19 x2 + R3(x), wobeiR3(x) = 16!

1027 (1 + c)

−8/3x3 = 581 (1 + c)−8/3x3

(b) c ∈ (0, x) und x ≥ 0, so dass (1 + c)−8/3 ≤ 1. Damit folgt die Ungleichung.(c) 3√

1003 = 10(1 + 3 · 10−3)1/3 ≈ 10.0099900 unter Verwendung von (a) zur Approximation von(1 + 3 · 10−3)1/3. Der Fehler in (b) lautet |R3(x)| ≤ 581 (3 · 10−3)3 = 5310−9. Der Fehler in 3

√1003 ist al-

so ≤ 10|R3(x)| = 503 10−9 < 2 · 10−8 und die Antwort ist auf sieben Dezimalstellen korrekt.

7.7

4. (a) Elxeax = (x/eax)aeax = ax (b) Elx ln x = (x/ ln x)(1/x) = 1/ ln x

(c) Elx (xpeax) =x

xpeax(pxp−1eax + xpaeax) = p + ax

(d) Elx (xp ln x) =x

xp ln x(pxp−1 ln x + xp(1/x)) = p + 1/ ln x

9. (a) ElxA =xA

dAdx

= 0 (b) Elx(fg) =xfg

(fg)′ =xfg

(f ′g + fg ′) =xf ′

f+

xg ′

g= Elx f + Elxg

(c) Elxfg

=x

(f /g)

(fg

)′=

xgf

(gf ′ − fg ′

g2

)=

xf ′

f− xg

′

g= Elxf − Elxg

(d) Siehe Lösung im Buch. (e) Ähnlich zu (d), jedoch wird +g durch −g und +g ′ durch −g ′ ausge-tauscht. (f) z = f (g(u)), u = g(x)⇒ Elxz = xz

dzdx

=xu

uz

dzdu

dudx

= Eluf (u) Elxu

7.8

3. Nach (7.8.4) sind die Funktionen überall dort stetig sind, wo sie definiert sind. Somit sind die Funk-tionen in (a) und (d) überall definiert. In (b) muss x = 1 ausgeschlossen werden, in (c) ist die Funktion

20


definiert für x < 2, in (e) müssen wir x = ±√3− 1 ausschließen, da der Nenner für solche Werte von xden Wert 0 annimmt. Schließlich verlangt der erste Bruch in (f), dass x > 0. Dann ist auch der andereBruch definiert.

7.9

1. (b) |x| = −x für x < 0. Daraus folgt: limx→0−

x + |x|x

= limx→0−

x − xx

= limx→0−

0 = 0.

(c) |x| = x für x > 0. Daraus folgt: limx→0+

x + |x|x

= limx→0+

x + xx

= limx→0+

2 = 2.

(d) Wenn x → 0+, folgt √x → 0, so dass −1/√x → −∞. (e) Wenn x → 3+, folgt x − 3 → 0+ undsomit x/(x − 3)→∞. (f) Wenn x → 3−, folgt x − 3→ 0− und somit x/(x − 3)→ −∞.

4. (a) Vertikale Asymptote: x = −1. Ferner ist x2 ÷ (x + 1) = x − 1 + 1/(x + 1), so dass y = x − 1 eineAsymptote ist für x→ ±∞. (b) Keine vertikale Asymptote. Ferner ist (2x3− 3x2 + 3x− 6)÷ (x2 + 1) =2x − 3 + (x − 3)/(x2 + 1), so dass y = 2x − 3 eine Asymptote ist für x → ±∞. (c) Vertikale Asymptote:x = 1. Ferner ist (3x2 +2x)÷(x−1) = 3x +5+5/(x−1), so dass y = 3x +5 eine Asymptote ist für x →±∞.(d) Vertikale Asymptote: x = 1. Ferner ist (5x4 − 3x2 + 1)÷ (x3 − 1) = 5x + (−3x2 + 5x + 1)/(x3 − 1), sodass y = 5x eine Asymptote ist für x→ ±∞.

7.10

4. Anmerkung 4.7.2 besagt, dass jede ganzzahlige Lösung für die Gleichung f (x) = x4+3x3−3x2−8x+3 = 0ein Teiler vom konstanten Term 3 sein muss. Um dies direkt sehen zu können, muss beachtet werden,dass

3 = −x4 − 3x3 + 3x2 + 8x = x(−x3 − 3x2 + 3x + 8)gelten muss. Wenn x eine ganze Zahl ist, so muss auch der eingeklammerte Ausdruck eine ganze Zahlsein. Demnach sind die einzig möglichen ganzzahligen Lösungen ±1 und ±3. Nach dem Einsetzenjeder Möglichkeit erhalten wir nur −3 als ganzzahlige Lösung.In der Aufgabe wird gesagt, dass es drei weitere reelle Lösungen gibt mit approximativen Werten vonx0 = −1.9, y0 = 0.4 und z0 = 1.5. Wenn wir das Newton-Verfahren einmal für jede Lösung anwenden,erhalten wir neue Approximationen:

x1 = −1.9− f (−1.9)f ′(−1.9) = −1.9−−0.1749

8.454≈ −1.9 + 0.021 = −1.879.

y1 = 0.4 − f (0.4)f ′(0.4) = 0.4−−0.4624−8.704 ≈ 0.4− 0.053 = 0.347.

z1 = 1.5 − f (1.5)f ′(1.5) = 1.5−−0.5625

16.75≈ 1.5 + 0.034 = 1.534.

Durch präzisere Berechnungen kann gezeigt werden, dass die tatsächlichen Lösungen (gerundet aufsechs Dezimalstellen) −1.879385, 0.347296, und 1.532089 sind.

7.11

2. (a) Wenn n→∞, folgt 2/n→ 0 und somit 5−2/n→ 5. (b) Wenn n→∞, folgt n2 − 1n

= n−1/n→∞.

(c) Wenn n→∞, folgt 3n√2n2 − 1 =

3n

n√

2− 1/n2 =3√

2− 1/n2 →3√2

=3√

23

.

7.12

2. Anwenden der Regel von L’Hôspital ergibt limx→a

x2 − a2x − a =

„0“0

= limx→a

2x1

= 2a. Aber beachten Sie, dass

die Regel von L’Hôspital hier nicht unbedingt notwendig ist, da x2 − a2 = (x + a)(x − a) und somitlimx→a

x2 − a2x − a = limx→a(x + a) = 2a.

21


(b) limx→0

2(1 + x)1/2 − 2− x2(1 + x + x2)1/2 − 2− x =

„0“0

= limx→0

(1 + x)−1/2 − 1(1 + 2x)(1 + x + x2)−1/2 − 1 =

„0“0

=

limx→0

− 12 (1 + x)−3/22(1 + x + x2)−1/2 + (1 + 2x)2(− 12 )(1 + x + x2)−3/2

= −13

7. L = limx→a

f (x)g(x)

= limx→a

1/g(x)1/f (x)

=„0“0

= limx→a−1/(g(x))2−1/(f (x))2 ·

g ′(x)f ′(x)

= limx→a

(f (x))2

(g(x))2· g′(x)

f ′(x)= L2 lim

x→ag ′(x)f ′(x)

=

L2 limx→a

1f ′(x)/g ′(x)

. Die Behauptung folgt. (Hierbei haben wir Probleme mit „Division durch 0“ igno-

riert, wenn entweder f ′(x) oder g ′(x) gegen 0 konvergieren, wenn x gegen a.)


2. 5y4y ′ − y2 − 2xyy ′ = 0, so dass y ′ = y2

5y4 − 2xy =y

5y3 − 2x . Da y = 0 die gegebene Gleichung(y5 − xy2 = 24) bedeutungslos macht, ist y ′ niemals 0.

6. y ′ = 0, wenn 1 + 15 ln x = 0, d. h. ln x = −5 und damit x = e−5.

7. (a) Wir müssen1 + x1− x > 0 haben, d. h. −1 < x < 1. Wenn x → 1

−, folgt f (x) → ∞. Wenn x → −1−,folgt f (x) → −∞. Da f ′(x) = 1/(1 − x2) > 0, wenn −1 < x < 1, bedeutet dies, dass f streng monotonwachsend ist und der Wertebereich von f ist R. (b) Aus y =

12

ln1 + x1 − x erhalten wir ln

1 + x1− x = 2y , so

dass1 + x1 − x = e

2y . Dann löst man nach x auf.

9. (a) f (0) = ln 4 und f ′(x) = 2/(2x + 4), so dass f ′(0) = 1/2. Dann ist f (x) ≈ f (0) + f ′(0)x = ln 4 + x/2.(b) g(0) = 1 und g ′(x) = −(1/2)(1 + x)−3/2, so dass g ′(0) = −1/2. Dann ist g(x) ≈ g(0) + g ′(0)x = 1 − x/2.(c) h(0) = 0 und h′(x) = e2x + 2xe2x, so dass h′(0) = 1. Dann ist h(x) ≈ h(0) + h′(0)x = x.

12. Mit x = 12 und n = 5 erhalten wir aus Formel (7.6.6) e12 = 1+

12

1!+

(12

)22!

+

(12

)33!

+

(12

)44!

+

(12

)55!

+

(12

)66!

ec, wobei

c eine Zahlen zwischen 0 und 12 ist. Nun ist R6(1

2

)=

(12

)66!

ec <

(12

)66!

2 =1

23040≈ 0.0004340, wobei wir

verwendet haben, dass aus c < 12 folgt: ec < e

12 < 2. Daraus folgt: e

12 ≈ 1+

12

1!+

(12

)22!

+

(12

)33!

+

(12

)44!

+

(12

)55!

=

1 +12

+18

+148

+1

384+

13840

≈ 1.6486979. Der Fehler ist kleiner als 0.000043 und e 12 ≈ 1.649 ist auf 3Dezimalstellen korrekt.

14. y ′ + (1/y)y ′ = 1 oder (∗) yy ′ + y ′ = y . Wenn y = 1, folgt y ′ = 1/2. Ableiten von (∗) nach x ergibt(y ′)2 + yy ′′ + y ′′ = y ′. Mit y = 1 und y ′ = 1/2 erhalten wir y ′′ = 1/8, so dass y(x) ≈ 1 + 12 x + 116 x2.

21. (a) limx→0

(2 − x)ex − x − 2x3

=„0“0

= limx→0−ex + (2− x)ex − 1

3x2=

„0“0

= limx→0−ex − ex + (2 − x)ex

6x=

limx→0−xex

6x= lim

x→0−ex

6= −1

6. (Um x zu eliminieren, mussten wir zweimal die Regel von L’Hôspital

anwenden.)

(b) limx→3

(1

x − 3 −5

x2 − x − 6)

= limx→3

x2 − 6x + 9x3 − 4x2 − 3x + 18 =

„0“0

= limx→3

2x − 63x2 − 8x − 3 =

„0“0

=

limx→3

26x − 8 =

15

(c) limx→4

x − 42x2 − 32 =

„0“0

= limx→4

14x

=1

16. (Sehen Sie eine andere Möglichkeit?)

23. (a) limx→1

ln x − x + 1(x − 1)2 =

„0“0

= limx→1

(1/x)− 12(x − 1) =

„0“0

= limx→1

(−1/x2)2

= −12

(b) limx→1

1x − 1 ln

(7x + 14x + 4

)= lim

x→1ln(7x + 1)− ln(4x + 4)

x − 1 =„0“0

= limx→1

77x + 1

− 44x + 4

1=

38

22

Kapitel 8 Univariate Optimierung

(c) limx→1

xx − x1− x + ln x =

„0“0

= limx→1

xx(ln x + 1)− 1−1 + 1/x =

„0“0

= limx→1

xx (ln x + 1)2 + xx (1/x)−1/x2 = −2 (Dabei haben

wir Beispiel 6.11.4 verwendet, um xx zu differenzieren).

24. Wenn x → 0, strebt der Nenner gegen √b −√d und der Zähler gegen 0, so dass es keinen Grenzwertgibt, wenn b �= d. Wenn b = d: siehe Buch.


8.1

1. (a) f (0) = 2 und f (x) ≤ 2 für alle x (wir dividieren 8 durch eine Zahl, die ≥ 4 ist), so dass f (x) an derStelle x = 0 maximal ist. f (x) → 0, wenn x → ±∞, d.h. es existiert kein Minimum. (b) g(−2) = −3und g(x) ≥ −3 für alle x, so dass g(x) an der Stelle x = −2 minimal wird. g(x) → ∞, wenn x → ∞,d. h. es existiert kein Maximum. (c) h(x) hat seinen größten Wert 1, wenn 1 + x4 am kleinsten ist. Diesist bei x = 0 der Fall. h(x) hat seinen kleinsten Wert 1/2, wenn 1 + x4 am größten ist, d. h. für x = ±1.

8.2

2. Siehe Buch. Beachten Sie, dass ein Vorzeichenwechsel allein nicht ausreichend dafür ist, dass diebeiden stationären Punkte auch Extrempunkte sind. Es ist wichtig zu zeigen, dass h(x) → 0 für x →±∞. Skizzieren Sie den Graphen. (Zum Beispiel ist f (x) = 3x − x3 in (−∞,−1] monoton fallend, in[−1, 1] monoton steigend und in [1,∞) wieder monoton fallend, hat aber weder ein Maximum nochein Minimum, da f (x)→∞ für x→ −∞ und f (x)→−∞ für x→∞. Tatsächlich ist x = −1 ein lokalerMinimum- und x = 1 ein lokaler Maximumpunkt.)

3. h′(t) = 1/(2√

t) − 12 = (1 −√

t)/(2√

t). Es gilt h′(t) ≥ 0 in [0,1] und h′(t) ≤ 0 in [1,∞). Nach Theorem8.2.1 hat h(t) an der Stelle t = 1 einen Maximumpunkt.

5. f ′(x) = 3x2 ln x + x3/x = 3x2(ln x + 13 ). f′(x) = 0, wenn ln x = − 13 , d. h. x = e−1/3. Wir sehen, dass f ′(x) ≤ 0

in (0, e−1/3] und f ′(x) ≥ 0 in [e−1/3,∞), so dass f (x) an der Stelle x = e−1/3 minimiert wird. Da f (x)→∞für x→∞, gibt es keinen Maximumpunkt.

8. (a) y ′ = ex −2e−2x , y ′′ = ex + 4e−2x . Wir sehen, dass y ′ = 0, wenn ex = 2e−2x oder e3x = 2, d. h. x = 13 ln 2.Da überall y ′′ > 0 gilt, ist dies ein Minimumpunkt. (b) y ′ = −2(x−a)−4(x−b) = 0, wenn x = 13 (a+2b).Dies ist ein Maximumpunkt, da y ′′ = −6 für alle x. (c) y ′ = 1/x − 5 = 0, wenn x = 15 . Dies ist einMaximumpunkt, da y ′′ = −1/x2 < 0 für alle x > 0.

10. (a) f ′(x) = k − A˛e−˛x = 0, wenn x0 = (1/˛) ln(A˛/k). Beachten Sie, dass x0 > 0 genau dann, wennA˛ > k . Ferner ist f ′(x) < 0 für x < x0 und f ′(x) > 0 für x > x0, so dass x0 das Minimierungsproblemlöst. (b) Einsetzen von A in die Lösung von (a) ergibt einen Ausdruck für die optimale Höhe x0.Sein Wert steigt, wenn p0 (Wahrscheinlichkeit einer Überflutung) oder V (Kosten einer Überflutung)steigen, fällt aber, wenn ı (Zinssatz) oder k (Grenzkonstruktionskosten) steigen. Die Vorzeichen dieserReaktionen sind offensichtlich das, was Ökonomen erwarten würden. (Nicht nur Ökonomen.)

8.3

2. (a) �(Q) = Q(a−Q)−kQ = −Q2 +(a−k)Q, so dass �′(Q) = −2Q +(a−k) = 0, wenn Q∗ = 12 (a−k). Diesermaximiert �, da �′′(Q) < 0. Der Gewinn des Monopolisten beträgt �(Q∗) = −( 12 (a−k))2 +(a−k) 12 (a−k) =14 (a − k)2. (b) d�(Q∗)/dk = − 12 (a − k) = −Q∗ wie in Beispiel 3. (c) Die neue Gewinnfunktion ist�̂(Q) = �(Q) + sQ = −Q2 + (a − k)Q + sQ. �̂′(Q) = −2Q + a − k + s = 0, wenn Q̂ = 12 (a − k + s). Nun istQ̂ = 12 (a−k + s) = a−k , wenn s = a−k , welches die Subvention ist, die den Monopolisten veranlassensoll, a − k Einheiten zu produzieren.

5. T′(W ) = a

pb(bW + c)p−1W − (bW + c)pW 2

= a(bW + c)p−1pbW − bW − c

W 2, usw.

23


8.4

2. In allen Fällen existieren nach dem Extremwertsatz Maximum- und Minimumpunkte. Gehen Sie nachdem Rezept (8.4.1) vor.(a) f (x) ist streng monoton fallend, so dass das Maximum an der Stelle x = 0 und das Minimum an derStelle x = 3 angenommen wird. (b) f (−1) = f (2) = 10 und f ′(x) = 3x2 − 3 = 0 für x = ±1. f (1) = 6.(c) f (x) = x + 1/x, f (1/2) = f (2) = 5/2 und f ′(x) = 1− 1/x2 = 0, wenn x = ±1. f (1) = 2.(d) f (−1) = 4, f (√5) = 0 und f ′(x) = 5x2(x2 − 3) = 0, wenn x = 0 und x = √3. f (0) = 0, f (√3) = −6√3.(e) f (0) = 0, f (3000) = 4.5 ·109, f ′(x) = 3(x2−3000x + 2 ·106) = 3(x−500)(x −2000). f (1000) = 2.5 ·109,f (2000) = 2 · 109.

4. (a) Wenn es 60 + x Passagiere gibt, verdient die Chartergesellschaft von jedem 800 − 10x, d. h. sieerwirtschaftet (60 + x)(800− 10x). Der Sportverein erhält 1/10 des Betrags. (b) Siehe Buch.

6. (a) (f (2)− f (1))/(2 − 1) = (4 − 1)/1 = 3 und f ′(x) = 2x, so dass 2x∗ = 3 und damit x∗ = 3/2.(b) (f (1)−f (0))/1 = −1 und f ′(x) = −2x/√1− x2, so dass 2x∗/√1− (x∗)2 = 1 und damit x∗ = √5/5. (Aus2x∗/

√1− (x∗)2 = 1 ergibt sich √1− (x∗)2 = 2x∗ und damit 1 − (x∗)2 = 4(x∗)2. Die positive Lösung ist

x∗ =√

5/5. (c) (f (6)− f (2))/4 = −1/6 und f ′(x) = −2/x2, so dass−2/(x∗)2 = −1/6 und damit x∗ = √12.(d) (f (4)− f (0))/4 = 1/4 und f ′(x) = x/√9 + x2, so dass x∗/√9 + (x∗)2 = 1/4 und damit x∗ = √3.

8.5

1. �(Q) = 10Q − 11000 Q2 − (5000 + 2Q) = 8Q − 11000Q2 − 5000. Da �′(Q) = 8 − 1500Q = 0 für Q = 4000 und�′′(Q) = − 1500 < 0, wird der Gewinn für Q = 4000 maximal.

4. (i) �(Q) = 1840Q − (2Q2 + 40Q + 5000) = 1800Q − 2Q2 − 5000. Da �′(Q) = 1800− 4Q = 0 für Q = 450und �′′(Q) = −4 < 0, wird der Gewinn für Q = 450 maximal.(ii) �(Q) = 2200Q − 2Q2 − 5000. Da �′(Q) = 2200− 4Q = 0 für Q = 550 und �′′(Q) = −4 < 0, wird derGewinn für Q = 550 maximal.(iii) �(Q) = −2Q2−100Q−5000 ist für alle Q ≥ 0 negativ, so dass der Gewinn offensichtlich für Q = 0maximal wird.

6. �′(Q) = P−abQb−1 = 0, wenn Qb−1 = P/ab, d. h. Q = (P/ab)1/(b−1). Ferner ist �′′(Q) = −ab(b−1)Qb−2 < 0für alle Q > 0, so dass dies der Maximumpunkt ist.

8.6

2. (a) Streng monoton fallend, d. h. es existieren keine Extrempunkte. (b) f ′(x) = 3x2−3 = 0 für x = ±1.Mit f ′′(x) = 6x folgt: f ′′(−1) = −6 und f ′′(1) = 6, so dass x = −1 ein lokaler Maximumpunkt und x = 1ein lokaler Minimumpunkt ist. (c) f ′(x) = 1− 1/x2 = 0 für x = ±1. Mit f ′′(x) = 2/x3 folgt: f ′′(−1) = −2und f ′′(1) = 2, so dass x = −1 ein lokaler Maximumpunkt und x = 1 ein lokaler Minimumpunkt ist.(d) bis (f): siehe Buch.

3. (a) f (x) ist genau dann definiert, wenn x �= 0 und x ≥ −6. f (x) = 0 für x = −6 und für x = −2. Für jedenanderen Punkt x im Definitionsbereich hat f (x) dasselbe Vorzeichen wie (x + 2)/x, so dass f (x) > 0,falls x ∈ (−6,−2) oder x ∈ (0,∞). (b) Zuerst bestimmen wir die Ableitungen von f :

f ′(x) = − 2x2√

x + 6 +x + 2

x1

2√

x + 6=−4x − 24 + x2 + 2x

2x2√

x + 6

=x2 − 2x − 24

2x2√

x + 6=

(x + 4)(x − 6)2x2√

x + 6.

Mithilfe eines Vorzeichen-Diagramms sehen wir, dass f ′(x) > 0 für −6 < x < −4, f ′(x) < 0 für −4 <x < 0, f ′(x) < 0 für 0 < x < 6 und f ′(x) > 0 für 6 < x. Es folgt, dass f streng monoton wachsend in[−6,−4] ist, fallend in [−4, 0), fallend in (0,6] und steigend in [6,∞). Aus der Untersuchung der erstenAbleitung (Theorem 8.6.1) folgt, dass f zwei lokale Minima an den Stellen x1 = −6 und x2 = 6 hat undein lokales Maximum an der Stelle x3 = −4 mit f (−6) = 0, f (6) = 43

√8 = 8

√2/3 und f (−4) = 12

√2.

24


(c) Da limx→0√

x + 6 = 6 > 0, während limx→0− (1 + 2/x) = −∞ und limx→0+ (1 + 2/x) = ∞, sehen wir,dass limx→0− f (x) = −∞ und limx→0+ f (x) =∞. Ferner ist

limx→∞ f

′(x) = limx→∞

(x2 − 2x − 242x2

· 1√x + 6

)=

12· 0 = 0.

4. In der Abbildung CWS8.6.3 wird f ′(x) dargestellt. Zuerst betrachten wir Punkt a. Da f ′(x) < 0 linksvon a, f ′(a) = 0 und f ′(x) > 0 rechts von a, ist a ein lokaler Minimumpunkt. In den Punkten b und e istf ′(x) > 0 auf jeweils beiden Seiten der Punkte, so dass sie keine Extrempunkte sein können.

y

− 4

− 2

2

4

6

8

x− 6 − 4 − 2 2 4 6 8 10

Abbildung CWS8.6.3

6. (a) f ′(x) = x2ex(3 + x). Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm. (x = 0 ist kein Extrempunkt, sondernein Wendepunkt.) (b) Siehe Buch. Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagrammfür g ′(x) oder überprüfenSie das Vorzeichen von g ′′(x) = 2x (2 + 4x ln x + x2(ln 2)2) in den stationären Punkten.

7. f (x) = x3 + ax + b→∞, wenn x →∞ und f (x)→−∞, wenn x →−∞. Demnach hat f (x) mindestenseine reellwertige Nullstelle. Wir haben f ′(x) = 3x2 + a. Für a ≥ 0 ist f ′(x) > 0 für alle x �= 0, so dass fstreng monoton wachsend ist, und es gibt nur eine Nullstelle. Beachten Sie: Für a ≥ 0 ist 4a3 +27b2 ≥ 0.Nun sei a < 0. Dann ist f ′(x) = 0 für x = ±√−a/3 = ±√p, wobei p = −a/3 > 0. Dann hat f ein lokalesMaximum in (−√p,b + 2p√p) und ein lokales Minimum in (√p,b − 2p√p). Falls einer der lokalenExtremwerte 0 ist, hat die Gleichung eine doppelte Nullstelle. Dies ist genau dann der Fall, wenn4p3 = b2, d. h. genau dann, wenn 4a3 + 27b2 = 0. Die Gleichung hat genau dann drei reellwertigeNullstellen, wenn der lokale Maximumwert positiv und der lokale Minimumwert negativ ist. Dies trittgenau dann ein, wenn |b| < 2p√p ⇐⇒ b2 < 4p3 ⇐⇒ 4a3 + 27b2 < 0.

8.7

1. (a) f ′(x) = 3x2 + 3x − 6 = 3(x − 1)(x + 2). Verwenden Sie ein Vorzeichen-Diagramm und die Lösung imBuch. (b) f ′′(x) = 6x + 3 = 0 für x = −1/2. f ′′(x) wechselt das Vorzeichen an der Stelle x = −1/2, d. h.es liegt ein Wendepunkt vor.

3. Einfach zu lösen mit diesen Ableitungen: (a) y ′ = −e−x(1 + x), y ′′ = xe−x . (b) y ′ = x − 1x2

, y ′′ =2− x

x3.

(c) y ′ = x2e−x (3− x), y ′′ = xe−x (x2 − 6x + 6).(d) y ′ =

1− 2 ln xx3

, y ′′ =6 ln x − 5

x4. (e) y ′ = 2ex(ex − 1), y ′′ = ex(2ex − 1).

(f) y ′ = 2e−x(2 − x2), y ′′ = e−x(x2 − 2x − 2).


2. (a) Q′(L) = 24L − 320 L2 = 3L(8 − 120L) = 0 für L∗ = 160. Da Q(L) in [0,160] monoton steigend undin [160,200] monoton fallend, wird Q(L) für L∗ = 160 maximiert. Der Output pro Arbeitskraft istQ(L)/L = 12L − 120 L2. Diese quadratische Funktion hat ihr Maximum für L∗∗ = 120. (b) Siehe Buch.

3. (a) � = −0.0016Q2 + 44Q−0.0004Q2−8Q− 64 000 = −0.002Q2 + 36Q− 64 000, wobei Q = 9000 diesequadratische Funktion maximiert.

(b) ElQC (Q) =Q

C (Q)C ′(Q) =

0.0008Q2 + 8Q0.0004Q2 + 8Q + 64 000

≈ 0.12 für Q = 1000.

25


4. (a) Siehe Aufgabe 8.7.3(c). (b) limx→∞ f (x) = 0 nach Formel (7.12.3). limx→−∞ f (x) = −∞, da x

3 → −∞ unde−x →∞. (Siehe Abb. A8.W.4.)

5. (a) Siehe Buch. (b) Ein Vorzeichen-Diagramm zeigt, dass f ′(x) ≥ 0 in (−1, 1] und f ′(x) ≤ 0 in [1,∞).Demnach ist x = 1 ein Maximumpunkt. f ′′(x) =

−x(x2 + x − 1)(x + 1)2

= 0 für x = 0 und x = 12 (√

5 − 1).(x = 12 (−

√5 − 1) befindet sich außerhalb des Definitionsbereichs.) Da das Vorzeichen von f ′′(x) an

diesen Stellen wechselt, sind beide Punkte Wendepunkte.

6. (a) h′(x) =ex(2 + e2x)− ex2e2x

(2 + e2x)2=

ex(2− e2x)(2 + e2x)2

. Siehe Buch.

(b) h ist streng monoton wachsend in (−∞, 0], limx→−∞h(x) = 0 und h(0) = 1/3. Demnach hat h, definiert

in (−∞, 0], eine Inverse, die in (0,1/3] definiert ist mit Werten in (−∞, 0]. Um die Inverse zu finden,beachten Sie:

ex

2 + e2x= y ⇐⇒ y(ex )2 − ex + 2y = 0. Diese quadratische Funktion in ex hat die

Nullstellen: ex = [1±√1− 8y2]/2y . Da y = 1/3 für x = 0, zeigt dies, dass ex = [1−√1− 8y2]/2y seinmuss und demnach x = ln(1−√1− 8x2 )−ln(2x). Verwendet man x als die unabhängige Variable, so isth−1(x) = ln(1−√1 − 8x2 )− ln(2x). Die Funktion und ihre Inverse sind in Abb. CWS8.W.6 dargestellt.

y

− 1.5

− 1.0

− 0.5

0.5

x− 1.5 − 1.0 − 0.5 0.5

h

h− 1

Abbildung CWS8.W.6

8. f ′(x) =−6x2(x2 − 3)(x2 + 2)

(x4 + x2 + 2)2, so dass f stationäre Punkte hat, wenn x = 0 und x = ±√3. x = √3 ist ein

lokaler (und globaler) Maximumpunkt, x = −√3 ein lokaler (und globaler) Minimumpunkt und beix = 0 ist keines von beiden. (Es ist ein Wendepunkt.) Der Graph von f wird in Abb. A8.W.8 im Buchdargestellt.

Kapitel 9 Integralrechnung

9.1

1. Dies sollte einfach zu lösen sein, da alle Integranden Potenzen von x sind. Beachten Sie, dass x√

x =

x · x1/2 = x3/2, 1/√x = x−1/2 und√

x√

x√

x =√

x√

x3/2 =√

x · x3/4 = √x7/4 = x7/8.

4. (a)∫

(t3 + 2t − 3) dt =∫

t3 dt +∫

2t dt −∫

3 dt = 14 t4 + t2 − 3t + C

(b)∫

(x − 1)2 dx =∫

(x2 − 2x + 1) dx = 13 x3 − x2 + x + C . Alternativ: Daddx

(x − 1)3 = 3(x − 1)2, haben

wir∫

(x − 1)2 dx = 13 (x − 1)3 + C1. Dies stimmt mit der ersten Antwort mit C1 = C + 1/3 überein.

(c)∫

(x − 1)(x + 2) dx =∫

(x2 + x − 2) dx = 13x3 + 12 x2 − 2x + C

26

Kapitel 9 Integralrechnung

(d) Entweder multipliziert man (x +2)3 = x3 +6x2 +12x +8 aus, um∫

(x +2)3 dx = 14 x4 +2x3 +6x2 +8x +C

zu erhalten oder:∫

(x + 2)3 = 14 (x + 2)4 + C1. (e)

∫(e3x − e2x + ex) dx = 13 e3x − 12 e2x + ex + C

(f)∫

x3 − 3x + 4x

dx =∫ (

x2 − 3 + 4x

)dx = 13 x

3 − 3x + 4 ln |x| + C

5. (a) Vereinfachen Sie zunächst den Integranden:(y − 2)2√

y=

y2 − 4y + 4√y

= y3/2 − 4y1/2 + 4y−1/2. Damit

erhalten Sie∫

(y − 2)2√y

dy =∫

(y3/2 − 4y1/2 + 4y−1/2) dy = 25 y5/2 − 83 y3/2 + 8y1/2 + C .

(b) Polynomdivision ergibt:x3

x + 1= x2−x +1− 1

x + 1, so dass

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Lösungshandbuch - uni-goettingen.de · Lösungshandbuch Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Hammond „Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler“, 3., akt. Auﬂ., Pearson Studium,