Upload
phungthuy
View
237
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1. Luas dan Pengertian Intergal Tertentu Secara Intuitif a. Integral Tertentu Secara Intuisi
Dari dua skenario sebelumnya bisa disimpulkan (1) Makin banyak jumlah persegipanjang ∆𝑥 makin kecil (2) Makin kecil ∆𝑥 makin kecil kesalahan perkiraan luas area (3) Makin kecil ∆𝑥 jumlah luas persegi panjang dari bawah atau dari atas
mendekati luas sebenarnya (4) Luas sebenarnya berada diantara luas bawah dan luas atas 𝐿! ≤ 𝐿 ≤ 𝐿!
Secara umum bila kurva 𝑦 = 𝑓 𝑥 dibagi menjadi 𝑛 partisi 𝑃 dan kontinu pada selang 𝑎 = 𝑥! < 𝑥! < 𝑥! < ⋯ < 𝑥! = 𝑏 maka lebar ∆𝑥 = !!!
!=
𝑥!!! − 𝑥! Untuk tiap partisi 𝑃! pada selang partisi 𝑥! ≤ 𝑥 ≤ 𝑥!!! ada 𝑠! dan 𝑡! 𝑥! ≤ 𝑠! ≤ 𝑥!!! sehingga 𝑓 𝑠! adalah nilai minimum fungsi pada selang 𝑥! ≤ 𝑡! ≤ 𝑥!!! sehingga 𝑓 𝑡! adalah nilai maksimum fungsi pada selang Luas bawah disebut lower Darboux sum
𝐿! = 𝑓 𝑠! ∆𝑥 + 𝑓 𝑠! ∆𝑥 +⋯+ 𝑓 𝑠! ∆𝑥
𝐿! = 𝑓 𝑠! ∆𝑥!!!
!!!
Luas atas disebut upper Darboux sum
𝐿! = 𝑓 𝑡! ∆𝑥 + 𝑓 𝑡! ∆𝑥 +⋯+ 𝑓 𝑡! ∆𝑥
𝐿! = 𝑓 𝑡! ∆𝑥!!!
!!!
sehingga
𝐿! ≤ 𝐿 ≤ 𝐿!
𝑓 𝑠! ∆𝑥!!!
!!!
≤ 𝐿 ≤ 𝑓 𝑡! ∆𝑥!!!
!!!
Di atas adalah cara sederhana untuk menerangkan defenisi integral oleh Darboux Defenisi yang lebih umum dipakai adalah Riemann sum sebagai berikut
Jika 𝑓 kontinue pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 dan 𝐿! = 𝐿! dengan lebar partisi ∆𝑥 yang sangat kecil maka didefenisikan
𝑓 𝑥 𝑑𝑥!
!= 𝑓 𝑠! ∆𝑥
!!!
!!!
= 𝑓 𝑡! ∆𝑥!!!
!!!
Jika 𝑓 kontinue pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 dan 𝑟! ∈ 𝑥! , 𝑥!!! pada partisi 𝑃! dengan lebar ∆𝑥 = 𝑥!!! − 𝑥!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥!
!= lim
∆!→!𝑓 𝑟! 𝑥!!! − 𝑥!
!!!
!!!
Ingat pada pembahasan tentang turunan dan nilai tengah diketahui pada interval tertutup 𝑥! , 𝑥!!! terdapat 𝑧! ∈ 𝑥! , 𝑥!!! sehingga 𝐹′ 𝑥 = ! !!!! !! !!
!!!!!!!
𝐹′ 𝑥 =𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!
𝑥!!! − 𝑥!𝐹′ 𝑥 𝑥!!! − 𝑥! = 𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!
𝐹′ 𝑥 𝑥!!! − 𝑥!
!!!
!!!
= 𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!
!!!
!!!
𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥!
!= 𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!
!!!
!!!
Persamaan sebelah kanan
𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!
!!!
!!!
= 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! + 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! +⋯+ 𝐹 𝑥!!!!! − 𝐹 𝑥!!!
= 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! + 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! +⋯+ 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥!!!= 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! + 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! +⋯+ 𝐹 𝑥!!! + 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥!!!= 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! + 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! +⋯+ 𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!!! + 𝐹 𝑥!= −𝐹 𝑥! + 𝐹 𝑥!= 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥!
𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!
!!!
!!!
= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎
Substitusi
𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥!
!= 𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!
!!!
!!!
𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥!
!= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎
Jika 𝑓 𝑥 adalah fungsi kontinue pada selang 𝑎, 𝑏 dengan antiturunnya 𝐹 𝑥 artinya 𝐹! 𝑥 = 𝑓 𝑥 maka
𝑓 𝑥 𝑑𝑥!
!= 𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥
!
!= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎
b. Sifat Sifat Integral Tertentu
Perhatikan gambar dibawah
Jumlah partisi pada selang 𝑎, 𝑏 sama dengan jumlah partisi pada selang 𝑎, 𝑐 ditambah jumlah partisi pada selang 𝑐, 𝑏 sehingga berlaku Luas trapesium pada selang 𝑎, 𝑏 sama dengan luas trapesium pada selang 𝑎, 𝑐 ditambah luas trapesium pada selang 𝑐, 𝑏
Dengan menggunakan sifat distributif pada perkalian maka pada selang yang sama 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑓 𝑥 ∆𝑥 ± 𝑔 𝑥 ∆𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ∆𝑥
𝑓 𝑥 ∆𝑥!!!
!!!
± 𝑔 𝑥 ∆𝑥!!!
!!!
= 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ∆𝑥!!!
!!!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥!
!± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
!
!= 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
!
!
Pada sembarang fungsi 𝑓 yang kontinu pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 dimana 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 maka
𝑓 𝑥 𝑑𝑥!
!+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
!
!= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
!
!
Pada sembarang fungsi 𝑓 dan 𝑔 yang kontinu pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 maka
𝑓 𝑥 𝑑𝑥!
!± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
!
!= 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
!
!