Lucas Magalhães Pereira Castello Branco

Mapas Momento em Teoria de Calibre

CAMPINAS

2013

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Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaMaria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Branco, Lucas Magalhães Pereira Castello, 1988- B732m BraMapas momento em teoria de calibre / Lucas Magalhães Pereira Castello

Branco. – Campinas, SP : [s.n.], 2013.

BraOrientador: Marcos Benevenuto Jardim. BraDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Científica.

Bra1. Instantons. 2. Geometria simplética. 3. Fibrados vetoriais. 4. Conexões

(Matemática). 5. Yang-Mills, Teoria de. I. Jardim, Marcos Benevenuto,1973-. II.Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística eComputação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em inglês: Moment maps in gauge theoryPalavras-chave em inglês:InstantonsSymplectic geometryVector bundlesConnections (Mathematics)Yang-Mills theoryÁrea de concentração: MatemáticaTitulação: Mestre em MatemáticaBanca examinadora:Marcos Benevenuto Jardim [Orientador]Henrique BursztynRafael de Freitas LeãoData de defesa: 27-06-2013Programa de Pós-Graduação: Matemática

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Agradecimentos

Ao Prof. Dr. Marcos Jardim, pela orientação, apoio e por ter me aberto as portas para a

pesquisa em matemática.

Agradeço aos Profs. Drs. Rafael de Freitas Leão e Henrique Sá Earp, pelos seminários,

entusiasmo, discussões matemáticas e pela atenção.

Ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientíca como um todo, que foi

meu lar durante esses anos. Em especial, não poderia deixar de citar os Profs. Drs. Ary

Orozimbo, San Martin, Adriano de Moura e Dessislava Kochloukova, que tiveram inuência

direta na minha formação matemática e consequentemente na realização desse trabalho. Aos

funcionários do IMECC, agradeço pelo zelo e cuidado. Em particular, à equipe da biblioteca,

à Tânia e Lívia da secretaria, ao pessoal da limpeza e à Dona Zefa, pela simpatia e pelo

cafezinho. Agradeço de forma muito especial aos amigos Valter Camargo, Matheus Brito,

Marcelo de Martino, Deborah Rangel, Jordan Lambert e Rodrigo Barbosa, sempre presentes

nos dias bons e nos não tão bons, e à minha namorada e amiga Beatriz Guedes pelo cuidado,

companheirismo e incentivo.

Aos meus pais e avós, primeiros e eternos professores, um carinhoso obrigado. A vocês devo

tudo que sou.

Por m, ao CNPq por ter nanciado este trabalho.

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Resumo

Neste trabalho os aspectos básicos da teoria de calibre são abordados, incluindo as noções

de conexão e curvatura em brados principais e vetoriais, considerações sobre o grupo de

transformações de calibre e o espaço de moduli de soluções para a equação anti-auto-dual

em dimensão quatro (o espaço de moduli de instantons). Posteriormente, mapas momento

e redução são introduzidos. Primeiramente, no contexto clássico de geometria simplética e

depois no contexto de geometria hyperkähler. Por m, são apresentadas aplicações da teoria de

mapas momento e redução em teoria de calibre. As equações ADHM são introduzidas e mostra-

se que estas podem ser dadas como o conjunto de zeros de um mapa momento hyperkähler.

Além disso, considerações são feitas acerca da construção ADHM de instantons, que relaciona

soluções dessas equações com as soluções da equação de anti-auto-dualidade. O espaço de

moduli de conexões planas é também abordado. Neste caso, a curvatura é vista como um mapa

momento e os cálculos podem ser generalizados para o espaço de moduli de conexões planas

sobre variedades Kähler de dimensões mais altas e para o espaço de moduli de instantons sobre

variedades hyperkähler de dimensão quatro.

Palavras-chave: brado principal, brado vetorial, conexão, curvatura, instanton, espaço

de moduli, geometria Kähler, geometria hyperkähler, mapa momento, redução simplética, quo-

ciente hyperkähler, ADHM.

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x

Abstract

In this work it is developed the basic concepts of gauge theory, including the notions of

connections and curvature on principal bundles and vector bundles, considerations on the group

of gauge transformations and the moduli space of anti-self-dual connections in dimension four

(the instanton moduli space). After, moment maps and reduction are introduced. First in the

classical context of symplectic geometry, then in hyperkähler geometry. At last, applications

to the theory of moment maps and reduction in gauge theory are given. The ADHM equations

are introduced and it is shown that solutions to these equations can be given by the zeros of

a hyperkähler moment map. Furthermore, the ADHM construction, that relates the ADHM

equations to instanton solutions, is discussed. The moduli space of at connections over a

Riemann surface is also treated. In this case, the curvature is seen as a moment map and the

calculations can be generalized to at connections over higher-dimensional Kähler manifolds

and to the instanton moduli space over four dimensional hyperkähler manifolds.

Keywords: principal bundles, vector bundles, connection, curvature, instanton, moduli

space, Kähler geometry, hyperkähler geometry, moment map, symplectic reduction, hyperkähler

reduction, ADHM.

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Sumário

Resumo ix

Resumo ix

Abstract xi

Introdução xv

1 Teoria de Calibre 1

1.1 Fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Fibrados Associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Conexão e Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Conexão e Curvatura em Fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 Conexão e Curvatura em Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.3 Derivada Covariante no Fibrado Associado . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4 Grupo de Transformações de Calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4.1 Ação do Grupo de Transformações de Calibre . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5 Instantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6 Espaço de Moduli de Instantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Mapas Momento e Redução 43

2.1 Geometria Simplética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1 Mapa Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.2 Redução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2 Geometria Kähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

xiii

2.3 Geometria Hyperkähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.3.1 Mapa Momento e Redução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Aplicações 79

3.1 Equações ADHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.1.1 Considerações sobre a construção ADHM de instantons . . . . . . . . . . 84

3.2 Espaço de Moduli de Conexões Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A Formas Diferenciais 93

B Forma volume e Estrela de Hodge 99

C Geometria Riemanniana 103

D Sobre o brado vetorial gE 107

Referência Bibliográca 109

xiv

Introdução

A interação entre a física e a matemática ao longo do tempo é evidente. A mecânica

newtoniana e o cálculo, a teoria da relatividade geral de Einstein e a geometria riemanniana e,

mais recentemente, a teoria das cordas e a geometria algébrica são alguns exemplos onde esta

interação se mostrou vital para ambas as áreas. Outro personagem importante dessa estória é

a teoria de calibre. Formulada por físicos na década de 50 e 60, a teoria de calibre, cujas raízes

remontam ao estudo do electromagnetismo, despertou o interesse da comunidade matemática

apenas no nal da década de 70, quando percebeu-se que a teoria física podia ser entendida

a partir do conceito de brados e conexões. A teoria de calibre gerou espetaculares avanços

em topologia e na geometria, incluindo um melhor entendimento das variedades de dimensão

quatro através dos invariantes denidos no espaço de moduli de instantons, introduzidos pelo

medalhista Fields Simon Donaldson.

Outro assunto abordado é o de mapa momento. Historicamente, estes objetos aparecem de

maneira natural em mecânica clássica, como o momento linear e angular, antes mesmo de sua

formalização como objeto de estudo em geometria simplética. O conceito de mapa momento

e redução se mostrou extremamente frutífero em teoria de representações e geometria, sendo

generalizado no contexto de geometria Kähler e hyperkähler (por Nigel Hitchin, em [20]) e,

mais recentemente, para geometria complexa generalizada, por Marco Gualtieri, Gil Cavalcanti

e Henrique Bursztyn. Como observado por Atiyah e Bott em [5], a curvatura de um brado

pode ser vista como um mapa momento para a ação do grupo de transformações de calibre no

espaço de conexões e, desde então, a teoria ganhou aplicações no estudo de espaços de moduli

oriundos da teoria de calibre.

Esta dissertação é uma introdução à teoria de calibre e como mapas momento e redução

fornecem uma maneira elegante de entender alguns aspectos da mesma. O texto está organizada

da seguinte maneira. No capítulo 1 é dada uma introdução aos conceitos que permeiam a

teoria de calibre. Fibrados principais (seção 1.1) e vetoriais (seção 1.2) são abordados, assim

como a relação entre eles. As noções de conexão e curvatura são então discutidas (seção 1.3).

xv

Denições equivalentes desses objetos são dadas e mostra-se a relação existente entre elas. Em

particular, uma conexão num brado principal induz uma derivada exterior covariante nos

brados associados e uma expressão explícita para este mapa é fornecida em 1.3.3. O grupo de

transformações de calibre é introduzido, diferentes caracterizações são dadas e dene-se a ação

deste grupo no espaço de conexões. A noção de instantons (i.e., uma conexão cuja curvatura

é anti-auto-dual) é abordada na seção 1.5 e comentários são feitos acerca do seu espaço de

moduli. No segundo capítulo é feita uma introdução básica à geometria simplética, Kähler e

hyperkähler, incluindo caracterizações através da conexão de Levi-Civita para as duas últimas

geometrias. Mapas momento e o conceito de redução são introduzidos no contexto de geometria

simplética e posteriormente generalizados para geometria hyperkähler. Por m, aplicações da

teoria são elaboradas no capítulo 3. Mostra-se que as equações ADHM podem ser entendidas

como o conjunto de zeros de um mapa momento hyperkähler e são feitos comentários sobre a

relação entre o espaço de soluçoes dessas equações, que possui uma estrutura hyperkahler, e o

espaço de moduli de instantons. Por m, o espaço de moduli de conexões planas é abordado no

contexto de mapas momento e redução (Kähler) e é discutido como generalizar os resultados

(clássicos) obtidos para brados sobre variedades Kähler mais gerais.

xvi

Capítulo 1

Teoria de Calibre

1.1 Fibrados Principais

Seja M uma variedade e G um grupo de Lie.

Denição 1.1.1. Um G-brado principal (diferenciável) sobre M é uma tripla (P, π, ψ), ondeP é uma variedade diferenciável, π : P −→ M é uma aplicação diferenciável sobrejetora eψ : P ×G −→ P uma ação (à direita) diferenciável, ψ(p, g) = p · g, satisfazendo:

1. ψ é invariante por π, i.e.,

π(p · g) = π(p),

para todo p ∈ P e g ∈ G.

2. (trivialidade local equivariante) Existe uma cobertura aberta Uαα∈A de M e uma famíliade difeomorsmos ϕαα∈A, ϕα : π−1(Uα) −→ Uα ×G da forma

ϕα(p) = (π(p), gα(p)),

onde gα : π−1(Uα) −→ G satisfaz

gα(p · g) = gα(p)g,

para todo p ∈ π−1(Uα) e g ∈ G.

1

Denotaremos um G-brado principal sobre M por P(M,G) e chamaremos P de espaço total,M de espaço base, π de projeção, G de grupo estrutural, Pm

.= π−1(m) de bra de P sobre m, Uα

de aberto trivializante e ϕα de trivialização local (às vezes chamaremos também de trivialização

local o par (Uα, ϕα)).

Denição 1.1.2. Seja P(M,G) um G-brado principal. Uma seção local é um mapa s : U ⊆M −→ P diferenciável (onde U é um aberto de M), tal que π s = IdU . Denotaremos o espaçode tais seções locais por Γ(U, P ) (ou, simplesmente, Γ(U), se o brado estiver subentendido).Caso U = M , dizemos que s é uma seção global do brado.

Seguem das denições algumas observações imediatas:

1. dimP = dimM + dimG

Basta notar que uma trivialização local (Uα, ϕα) nos dá o isomorsmo dϕα(p) : TpP −→Tπ(p)M ×Tgα(p)G (onde identicamos da maneira natural T(π(p),gα(p))(M ×G) ∼= Tπ(p)M ×Tgα(p)G).

2. π é submersão (i.e., dπp é sobrejetora para todo p ∈ P )

Sabe-se que a projeção no primeiro fator p1 : M × G −→ M é uma submersão. Sendo

assim, dado m ∈ Uα ⊆ M (onde (Uα, ϕα) é uma trivialização local), p ∈ Pm e τ ∈ TmM ,

existe (ς, ν) ∈ TmM×Tgα(p) (p1 é submersão), tal que dp1(m, gα(p))(ς, ν) = τ . Além disso,

existe único υ ∈ TpP tal que dϕα(p)(υ) = (ς, ν). Segue que τ = dp1(m, gα(p))(ς, ν) =

dp1(m, gα(p))dϕα(p)(υ) = d(p1 ϕα)(p)(υ) = dπ(p)(υ).

3. π−1(π(p)) = p · g | g ∈ G = p ·G, para todo p ∈ P :

De fato, dado q ∈ π−1(π(p)), seja Uα um aberto trivializante contendo π(q) = π(p) = m

e ϕα = (π, gα) a trivialização local associada. Então, colocando h = gα(p)−1gα(q) ∈ G

(produto em G), ϕα(p · h) = (m, gα(p)h) = (m, gα(q)) = ϕα(q) e temos q = p · h ∈ p · G(ϕα é, em particular, injetora). A outra inclusão segue diretamente do item 1 da denição

de brado principal.

Segue diretamente que Pm ∼= G. Além disso, como π é submersão, as bras Pm par-

ticionam P em subvariedades de dimensão dim G.

2

4. A ação de G em P é livre (i.e., se p · g = p ⇒ g = e, onde e ∈ G é o elemento neutro de

G)

Seja p ∈ P , com π(p) = m ∈ Uα, e g ∈ G. Se p · g = p, ϕα(p · g) = (m, gα(p)g).

Mas, ϕα(p) = (m, gα(p)), logo gα(p)g = gα(p) e g = e.

5. Note que, dada uma trivialização local (Uα, ϕα), temos um difeomorsmo entre a bra

sobre um ponto do aberto trivializante e G, a saber, gα|Pm : Pm −→ G. A estrutura natu-

ral de grupo em Pm herdada pelo difeomorsmo é simplesmente p ∗ q .= g−1

α (gα(p)gα(q)).

Como q = p · g, para um único g ∈ G, e gα é G-equivariante, chegamos na expressão

p ∗ q = p · gα(q) e g−1α (e) é claramente o elemento neutro. No entanto, como não existe

um elemento neutro preferencial (ele depende da trivialização tomada), as bras não são

grupos de Lie.

Observação 1.1.1. Nossa denição de brados principais está de acordo com [35]. Encontra-setambém na literatura uma denição alternativa de brado principal. Pede-se, além da triviali-dade local equivariante, que a ação de G seja livre e P/G seja uma variedade difeomorfa a M,de modo que a projeção seja uma submersão. Se o grupo de Lie G é compacto, por exemplo, asdenições são equivalentes.

Exemplo 1.1.1. (brado trivial) Um G-brado principal trivial sobre uma variedade M é sim-plesmente P = M ×G (G age naturalmente em P por multiplicação à direita, i.e., (m,h) · g =

(m,hg), onde m ∈ M e g, h ∈ G), com π = projeção no primeiro fator. Dessa forma, temosuma trivialização global dada pela identidade.

Note que pela proposição 1.1.1, mais adiante, um brado principal é trivial se, e somentese, admite uma seção global.

Exemplo 1.1.2. (brado de referenciais) Dada uma variedade M (com dim M = n), podemosassociar um GL(n, R)-brado principal, chamado brado de referenciais de M. Denimos oespaço total como o conjunto

B(M) = (m, v1, . . . , vn) | m ∈M e (v1, . . . , vn) é uma base de TmM

Considere a seguinte ação de GL(n, R) em B(M)

(m, v1, . . . , vn) · g = (m, v′1, . . . , v′n)

3

onde g = (gij) ∈ GL(n,R) e v′j =n∑i=1

gijvi.

A expressão acima é, de fato, uma ação à direita, pois (m, v1, . . . , vn) · 1n = (m, v1, . . . , vn)

(onde 1n = (δij) ∈ GL(n,R) é a matriz identidade) e dado h = (hij) ∈ GL(n,R), temos que

((m, v1, . . . , vn) · g) · h = (m, v′′1 , . . . , v′′n), onde v′′j =

n∑k=1

hkjv′k =

n∑k,i=1

hkj gikvi =

n∑i=1

(gh)ijvi. Essa

é exatamente a expressão do j-ésimo vetor da base de (m, v1, . . . , vn) · (gh).

Além disso, denindo π : B(M) −→ M como a projeção natural em M, temos que a açãoé claramente invariante por π.

Vamos dar agora estrutura de variedade para B(M) e descrever as trivializações equivariantesdo brado. Para isso, considere um sistema de coordenadas locais de M, (U, φ = (x1, . . . , xn)).Assim, dado (m, v1, . . . , vn) ∈ B(M), m ∈ U , podemos escrever

vj =n∑i=1

aij∂

∂xi

∣∣∣∣m

, onde aij = dxi(m)(vj) ∈ R

Dena então o seguinte mapa

ϕU : π−1(U) −→ U ×GL(n,R)

(m, v1, . . . , vn) 7−→ (m,A),

onde A = (aij) ∈ GL(n,R)(pois é uma mudança de base)

Este mapa é uma bijeção, com inversa ϕ−1U : (m, g) 7−→ (m, ∂

∂x1

∣∣m, . . . , ∂

∂xn

∣∣m

) · g. De fato,

(m, ∂∂x1

∣∣m, . . . , ∂

∂xn

∣∣m

) · g = (m, v1, . . . , vn), onde vj =n∑i=1

gij∂

∂xi

∣∣∣∣m

e como dxi(m)(vj) =

gij, temos que ϕ ϕ−1U = IdU×GL(n,R). Temos também ϕ−1

U ϕ = Idπ−1(U), pois ϕ−1U ϕ :

(m, v1, . . . , vn) 7−→ (m,A) 7−→ (m, ∂∂x1

∣∣m, . . . , ∂

∂xn

∣∣m

) · A = (m, v1, . . . , vn).

Note ainda que ϕ é equivariante: (m, v1, . . . , vn) · g = (m, v′1, . . . , v′n), com v′j =

n∑i=1

gijvi (como

anteriormente). Seja, A = (aij), onde aij = dxi(m)(vj), e gA = (cij). Assim, ϕU(m, v′1, . . . , v

′n) =

(m,B), B = (bij), onde bij = dxi(m)(v′j) =

n∑k=1

gkj dxi(m)(vk) =

n∑k=1

gkj aik = cij.

Denimos, enm, um sistema de coordenadas locais de B(M) (a partir do sistema de coordenada

4

de M (U, φ)) por (π−1(U), (φ IdGL(n,R)) ϕU) (onde pensamos em GL(n,R) como um abertode Rn2

). Vericando a compatibilidade de tais sistemas de coordenadas, e assim mostrando quede fato isso fornece uma estrutura diferenciável em B(M), tem-se que π é diferenciável e ϕU édifeomorsmo (trivialização do brado).

Exemplo 1.1.3. (brado de Hopf quaterniônico) A construção do espaço projetivo quaterni-ônico é análoga à construção de Pn (exemplo 2.2.10), tomando cuidado apenas com o fatoda multiplicação dos quatérnios não ser comutativa. Em particular, podemos identicá-lo comS4n−1/S3 e considerar a projeção π : S4n−1 −→ HPn−1. Temos que G = Sp(1) (quatérnios denorma 1) age à direita livremente em S4n−1 ⊆ Hn por multiplicação (à direita) em cada en-trada. Os detalhes da construção do brado principal S4n−1(HPn−1, Sp(1)) pode ser encontradaem [35]. Em particular, para n=2, HP1 ' S4 e temos o brado principal S7(S4, Sp(1)), quedesempenha papel importante na teoria de calibre.

Proposição 1.1.1. Existe uma bijeção entre trivializações locais e seções locais do bradoprincipal P(M, G).

Prova. Dada uma trivialização local (Uα, ϕα), temos uma seção local, sα : Uα ⊆ M −→ P ,

associada; basta colocar sα(m).= ϕ−1

α (m, e). De fato, ∃! p ∈ π−1(Uα) tal que ϕα(p) = (m, e),

mas ϕα(p) = (π(p), gα(p)). Logo, π(p) = m e π sα(m) = π(p) = m. Além disso, sα é diferen-

ciável, pois é composição de aplicações diferenciáveis m 7→ (m, e) 7→ ϕ−1α (m, e).

Para a recíproca, considere s ∈ Γ(U) e p ∈ π−1(U). Como Pπ(p) = s(π(p)) · G, existe um

único g(p) ∈ G tal que p = s(π(p)) · g(p) (i.e., temos um mapa g : π−1(U) −→ G). Dena

ϕ : π−1(U) −→ U × G por ϕ(p) = (m, g(p)). Se ϕ(p) = ϕ(q), π(p) = π(q) e g(p) = g(q).

Assim, p = s(π(p)) · g(p) = s(π(q)) · g(q) = q e ϕ é injetiva. Para a sobrejetividade, dado

(m,h) ∈ U ×G, ϕ(s(m) · h) = (m,h), pois g(s(m) · h) é denido como o único elemento de G

satisfazendo s(m) · h = s(π(s(m) · h)) · g(s(m) · h) = s(m) · g(s(m) · h) e como a ação é livre,

obtemos g(s(m) · h) = h. Note também que ϕ é equivariante. De fato, dados p ∈ π−1(U) e

h ∈ G, p · h = s(π(p · h)) · g(p · h) = (s(π(p)) · g(p)) · g(p)−1g(p · h) = p · g(p)−1g(p · h). Logo,

pela ação ser livre, temos g(p · h) = g(p)h.

Considere agora duas trivializações locais (Uα, ϕα = (π, gα)) e (Uβ, ϕβ = (π, gβ)), com

Uαβ.= Uα ∩ Uβ 6= ∅. Podemos denir a aplicação diferenciável gαβ : π−1(Uαβ) −→ G, p 7−→

gα(p)gβ(p)−1 (gαβ é diferenciável, pois é uma composição de aplicações diferenciáveis, p 7−→(gα(p), gβ(p)) 7−→ gα(p)gβ(p)−1). Note que gαβ é constante nas bras

gαβ(p · g) = gα(p · g)gβ(p · g)−1 = gα(p)g(gβ(p)g)−1 = gα(p)gg−1gβ(p)−1 = gαβ(p)

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Dessa forma, temos a aplicação gαβ : Uαβ −→ G, denida por

gαβ(m) = gαβ(p),

onde p ∈ Pm é qualquer elemento da bra de m ∈ Uαβ. A diferenciabilidade de gαβ segue do

seguinte lema (tomando F = gαβ, X = G e notando que gαβ π = gαβ, com gαβ diferenciável).

Lema 1.1.1. Seja P(M, G) um brado principal, Y uma variedade diferenciável e F : M −→ Y

uma aplicação. Então, F é diferenciável se, e somente se, F π é diferenciável.

Prova. Se F é diferenciável, F π também será por ser composição de aplicações diferen-

ciáveis.

Suponha agora F π diferenciável. Localmente, em um aberto trivializante Uα do brado,

temos

F |Uα = F IdUα = F (π sα) = (F π) sα

onde sα é a seção local associada à trivialização com aberto trivializante Uα. Como diferen-

ciabilidade é um conceito local, temos que F é diferenciável por ser composição de aplicações

diferenciáveis.

Note que as função de transição gαβ aparecem naturalmente quando consideramos as trivi-

alizações locais (Uα, ϕα) e (Uβ, ϕβ) (com Uαβ 6= ∅). De fato,

ϕα ϕ−1β : Uαβ ×G −→ Uαβ ×G

(m,h) 7−→ (m, gαβ(m)h)

Basta observar que se ϕ−1β (m,h) = p, temos π(p) = m e gβ(p) = h. Assim, ϕα(p) = (m, gα(p)) =

(m, gα(p)gβ(p)−1gβ(p)) = (m, gαβ(m)h).

Além disso, tomando as seções locais, sα e sβ, associadas as trivializações locais (Uα, ϕα) e

(Uβ, ϕβ), respectivamente, vale a seguinte relação:

sβ(m) = sα(m) · gαβ(m), m ∈ Uαβ

De fato, suponha sα(m) = ϕ−1α (m, e) = p. Assim, π(p) = m, gα(p) = e e temos que

ϕβ(p · gαβ)(m) = (m, gβ(p)gα(p)gβ(p)−1) = (m, e). Logo, segue o resultado.

As aplicações gαβ são chamadas funções de transição do brado principal P(M, G) associa-

das às trivializações locais (Uα, ϕα). Elas satisfazem a chamada condição de cociclo:

Se Uαβγ.= Uα ∩ Uβ ∩ Uγ 6= ∅,

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gαβgβγ = gαγ, em Uαβγ (condição de cociclo)

De fato, dado m ∈ Uαβγ e p ∈ Pm,

gαβ(m)gβγ(m) = gαβ(p)gβγ(p) = gα(p)gβ(p)−1gβ(p)gγ(p)−1 = gαγ(p) = gαγ(m)

Em particular, temos que:

gαα(m) = e (fazendo Uβ = Uγ = Uα)

gαβ(m) = (gβα(m))−1 (fazendo Uγ = Uα e usando o item acima)

Vamos introduzir a noção de morsmos entre G-brados principais.

Denição 1.1.3. Sejam P1(M1, G) e P2(M2, G) G-brados principais. Um morsmo de G-brados principais é um mapa diferenciável f : P1 −→ P2, satisfazendo

f(p · g) = f(p) · g,

onde p ∈ P1, g ∈ G (e estamos denotando as duas projeções por π).

Observações

1. A aplicação f induz uma aplicação diferenciável f entre os espaços base que faz o diagrama

abaixo comutar

P1

π

f // P2

π

M1

f //M2

De fato, dado m ∈ Uα ⊆ M1 (onde Uα é aberto trivializante de M1, com sα ∈ Γ(Uα))

dena

f(m) = π(f(sα(m)))

Note que tal mapa é bem denido, pois se m ∈ Uαβ (Uα e Uβ abertos trivializantes),

sβ(m) = sα(m) · gαβ(m) e π(f(sα(m) · gαβ(m))) = π(f(sα(m)) · gαβ(m)) = π(f(sα(m))).

Segue imediatamente que f é diferenciável, pois composição de aplicações diferenciáveis,

e f faz o diagrama comutar.

7

2. A restrição de f à (P1)m nos dá um difeomorsmo entre esta bra e a bra (P2)f(m).

Dado p ∈ (P1)m, como o diagrama comuta devemos ter π(f(p)) = f(π(p)) = f(m), de

modo que a imagem da bra (P1)m por f está contida na bra (P2)f(m). Além disso, como

(P1)m = p ·G, (P2)f(m) = f(p) ·G e f(p · g) = f(p) · g, temos uma bijeção entre as bras

pela f.

3. Claramente, a denição acima pode ser generalizada para brados principais com grupos

estruturais diferentes (basta tomarmos, além da aplicação entre os espaços totais, um

homomorsmo de Lie entre os grupos estruturais, de modo que nossa denição seria

o caso particular de tal homomorsmo ser a identidade). A denição apresentada, no

entanto, será suciente para os propósitos do texto.

Desempenhará no texto um papel de destaque o conceito de morsmos de G-brados prin-

cipais com mesma base (ou seja, M1 = M2 = M e f = IdM). Em particular, o conjunto dos

isomorsmos do brado P(M,G) será denotado por Aut(P) e este será discutido de forma mais

detalhada na seção 1.4.

Dadas funções satisfazendo as condições de cociclo é possível reconstruir o brado. Nos

referimos à proposição 5.2 do [26] para a demonstração desse resultado.

Teorema 1.1.1. Seja G um grupo de Lie, M uma variedade diferenciável e Uα uma coberturaaberta de M. Dadas funções gαβ : Uαβ −→ G, satisfazendo as condições de cociclo, existe umbrado principal sobre M, P(M, G), cujas funções de transição são exatamente gαβ. Alémdisso, esse brado é única (a menos de equivalência).

1.2 Fibrados Vetoriais

1.2.1 Considerações Gerais

Seja F = R ou C.

Denição 1.2.1. Um F-brado vetorial (diferenciável), de posto r, sobre uma variedade M éum par (π,E), onde E é uma variedade e π : E −→M uma aplicação diferenciável sobrejetora,satisfazendo:

1. Para cada m ∈M , a bra Em.= π−1(m) é um F-espaço vetorial.

8

2. (trivialidade local) Existe uma cobertura aberta Uαα∈A de M e uma família de difeo-morsmos ϕαα∈A, ϕα : π−1(Uα) −→ Uα × V da forma ϕα(p) = (π(p), φα(p)), de modoque

φα|Em : Em −→ V é um isomorsmo F-linear,

onde V é um F-espaço vetorial de dimensão dimFV = r.

Chamamos E de espaço total (ou, por abuso de notação, de F-brado vetorial, ou simples-

mente de brado vetorial, caso F não seja importante ou esteja subentendido), M de espaçobase, π de projeção, Em

.= π−1(m) de bra de E sobre m, Uα de aberto trivializante e ϕα de

trivialização local (às vezes chamaremos também de trivialização local o par (Uα, ϕα)). É inte-

ressante permitir que V seja um F-espaço vetorial qualquer, mas não há perda de generalidade

em supor que V = Fr e GL(r,F) é dito o grupo de estrutura do brado. Chamaremos E de

brado vetorial complexo (real) se E é um C-brado vetorial (R-). Além disso, brados de posto

r = 1, serão chamados de brados de linha.

Seja m ∈ Uαβ. Então, temos dois isomorsmos F-lineares:

φα|Em : Em −→ V

φβ|Em : Em −→ V

Dena então,

φαβ : Uαβ −→ GL(V )

m 7−→ φα|Em φβ|−1Em

As aplicações diferenciáveis φαβ são chamadas de funções de transição do brado vetorial E e

φαβ é chamado de cociclo, com respeito a (Uα, ϕα), e claramente vale a seguinte relação:

Se Uαβγ.= Uα ∩ Uβ ∩ Uγ 6= ∅,

φαβφβγ = φαγ, em Uαβγ (condição de cociclo)

Observação 1.2.1. O termo cociclo é motivado por φαβ ser, de fato, um cociclo em umateoria de cohomologia (a cohomologia de ech de feixes [43], [8]).

9

Denição 1.2.2. Seja E −→M um brado vetorial de posto r e U ⊆M um aberto.a) Uma aplicação suave s : U −→ E satisfazendo π s = IdU é chamada seção local de E, eseu conjunto denotado por Γ(U). Se U = M , dizemos que s é uma seção global.b) Um referencial local de E é um conjunto de seções locais si ∈ Γ(U), i = 1, . . . , r, tal que(s1)m, . . . , (sr)m, é uma base de Em, para todo m ∈ U .

Claramente, se E −→M é um brado vetorial real e U ⊆M é um aberto, temos que Γ(U)

é um módulo sobre o anel de funções em U, C∞(U). De fato, se f : UC∞−→ R e s ∈ Γ(U),

(fs)(m).= f(m)s(m) é outra seção em Γ(U). No caso em que E é um brado vetorial complexo,

Γ(U) é um módulo também sobre funções suaves com valores em C, C∞(U ;C) (que claramente

é o mesmo que C∞(U)⊗ C).

Proposição 1.2.1. A escolha de uma trivialização local sobre um aberto U ⊆M é equivalenteà escolha de um referencial local.

Prova. Dada uma trivialização ϕ : π−1(U) −→ U×V , tome v1, . . . , vr uma base de V e de-

na, para m ∈ U , si(m) = ϕ−1(m, vi), i = 1, . . . , r. Este é claramente um referencial local, pois

(m, vi) = ϕ(si(m)) = (π(si(m)), φ(si(m))). Logo, π(si(m)) = m e φ(si(m)) = vi. Como, φ|Emé isomorsmo, φ(si(m)) = vi nos diz que (s1)m, . . . , (sr)m é base de Em. Se um referencial

s1, . . . , sr é dado, a trivialização ϕ correspondente é dada por ϕ−1(m, v) =r∑i=1

vi(m)si(m),

onde vi(m) são as componentes de v na base (s1)m, . . . , (sr)m.

Observação 1.2.2. Seja v1, . . . , vr uma base de V, ϕα e ϕβ trivializações do brado, esα1 , . . . , sαr e s

β1 , . . . , s

βr seus respectivos referenciais locais. A função de transição φαβ(m) ∈

GL(V ) pode ser vista como a matriz (hij(m)), dada por φαβ(m)vi =r∑j=1

hji (m)vj. No entanto,

sαi (m) = ϕ−1α (m, vi), e assim, φα(sαi (m)) = vi. Aplicando o isomorsmo linear φα|−1

Emna

expressão que dene (hij(m)), obtemos sβi (m) =r∑j=1

hji (m)sαj (m). Ou seja, xada uma base de

V, as funções de transição φαβ nos dão as matrizes de mudança de base do referencial β parao α.

Exemplo 1.2.3. a) M × Fr −→M é claramente um brado vetorial de posto r,com π = projeção em M (a trivialização é global e dada pela identidade). Tal brado é chamadotrivial. Mais geralmente, dizemos que um brado de posto r é trivial se isomorfo a este. A

10

denição de morsmos entre brados será dada a seguir.

b) TM =⋃m∈M

TmM e Λk(T ∗M) =⋃m∈M

Λk(TmM)∗, com as projeções naturais em M são

brados vetoriais. Suas seções globais são exatamente Γ(TM) = X(M) (campos de vetores deM) e Γ(Λk(T ∗M)) = Ωk(M) (k-formas diferenciais de M). As trivializações do brado tangente,por exemplo, são dadas a partir de um sistema de coordenadas locais de Mn (U, (x1, . . . , xn)).Basta projetar um vetor de TmM em m, em U, e nas componentes desse vetor, com respeitoà base ∂

∂xi

∣∣m

; i = 1, . . . , n, em Rn. No caso em que a variedade M é complexa, os espaçostangentes são naturalmente espaços vetoriais complexos e o brado tangente será um bradovetorial complexo (teremos mais a dizer sobre variedades complexas e brados complexos aolongo do texto).

Denição 1.2.3. Seja E −→ M um brado vetorial real. Uma métrica em E consiste numaescolha de produto interno hm : Em × Em −→ R em cada bra para cada m ∈ M . Essaescolha deve ser suave no sentido de que dadas seções locais s e t, contendo m ∈ M em seusdomínios, a função m 7−→ hm(s(m), t(m)) é suave. Se o brado é complexo, pedimos que oproduto interno seja hermitiano (com a mesma condição de suavidade) e chamamos tal bradode brado vetorial hermitiano.

Observação 1.2.4. a) A métrica riemanniana é um exemplo de métrica no brado tangente.b) A presença de uma métrica num brado vetorial real de posto r nos permite ortonormalizarreferenciais locais, de modo que as funções de transição associadas tomam valores em O(r) ⊆GL(r,R), dizemos nesse caso que o grupo de estrutura de E foi reduzido a O(r) (no caso debrados hermitianos, o grupo de estrutura do brado pode ser reduzido a U(r)). Além disso,dizemos que um brado vetorial real de posto r é orientável se seu grupo de estrutura pode serreduzido a GL+(r,R). Essa noção generaliza a orientabilidade de uma variedade, que, nessecaso, corresponde à orientabilidade de seu brado tangente. Assim, por exemplo, o grupo deestrutura de uma variedade riemanniana orientável de dimensão n pode ser reduzido a SO(n).

Denição 1.2.4. Dados dois brados vetoriais sobre M, πE : E −→ M e πF : F −→ M . Ummapa diferenciável ψ : E −→ F é dito um morsmo entre os brados E e F, se

1. πE = πF ψ

2. Para todo m ∈M , ψm.= ψ|Em : Em −→ Fm é uma aplicação F-linear

Além disso, se ψ é um morsmo bijetor, dizemos que E e F são brados vetoriais isomorfos, eψ é um isomorsmo de brados. Denotaremos por Hom(E, F) o conjunto de morsmos entreE e F e, em particular, denotaremos por End(E) = Hom(E,E).

11

Note que a condição 1 garante ψm(Em) ⊆ Fm. De fato, se p ∈ Em, πF ψ(p) = πE(p) = m.

Isomorsmos entre brados podem ser caracterizados a partir das funções de transição.

Proposição 1.2.2. Dois brados vetoriais, de posto r, E −→M e F −→M são isomorfos se,e somente se, existe uma cobertura de M Uα por abertos trivializantes e funções diferenciáveisλα : Uα −→ GL(r,F), satisfazendo:

φαβ = λαταβλ−1β , em Uαβ,

onde φαβ e ταβ são os cociclos dos brados E e F, respectivamente (com respeito a Uα).

Prova. Primeiramente, note que não há perda de generalidade em supor que o espaço

vetorial V da denição de brado vetorial de posto r é Fr para ambos os brados E e F. Além

disso, dados dois cociclos podemos supor sem perda de generalidade que estes são subordinados

à mesma cobertura por abertos trivializantes (basta tomar interseções entre os abertos).

(⇒) Seja ψ : E −→ F um isomorsmo entre os brados, então ψm : Em −→ Fm é um

isomorsmo linear. Dena para m ∈ Uα:

λα(m) = φα|Em ψ−1m (τα|Fm)−1 ∈ GL(r,F)

Dena λβ da mesma forma, trocando α por β. Então, se m ∈ Uαβ:

λα(m)ταβ(m)(λβ(m))−1 =

φα|Em ψ−1m (τα|Fm)−1 τα|Fm τβ|−1

Fm τβ|Fm ψm φα|−1

Em=

φαβ(m)

(⇐) Se m ∈ Uα, dena ψm = (τα|Fm)−1 (λα(m))−1 φα|Em : Em −→ Fm que é, por denição,

linear. A relação entre as funções de transição nos dá que

(τα|Fm)−1 (λα(m))−1 φα|Em = (τβ|Fm)−1 (λβ(m))−1 φβ|Em

e assim ψm está bem denida e denimos ψ por ψ|Em = ψm. Basta vericar a diferenci-

abilidade de ψ. Dado p ∈ P , m.= π(p) ∈ Uα, para algum α. Tome a vizinhança P |Uα

de p, onde Uα é também um aberto de um sistema de coordenadas locais da variedade M

(basta restringir, se necessário, o aberto trivializante Uα). Podemos pensar, por abuso de

notação, que o difeomorsmo (πE, φα) : E|Uα −→ Uα × Fr é um sistema de coordenadas

locais para p ∈ E. Pelo mesmo raciocínio, (πF , τα) : F |Uα −→ Uα × Fr é um sistema

de coordenadas locais para ψ(p) ∈ Fm ⊆ F . Queremos entender a diferenciabilidade da

12

aplicação ψ.= (πF , τα) ψ (πE, φα)−1. Seja (m′, v) ∈ Uα × Fr e (πE, φα)(q) = (m′, v)

(i.e., πE(q) = m′ e φα(q) = v). Agora, q′.= ψ(q) = ψm′(q) = τ−1

α (λα(m′))−1φα(q)). Daí,

ψ(m′, v) = (πF , τα)(q′) = (m′, λα(m′)−1v) e a aplicação ψ é um difeomorsmo (e assim, ψ é

difeomorsmo).

Assim como no caso de brados principais, as funções de transição determinam o brado

vetorial.

Proposição 1.2.3. Seja M uma variedade, Uα uma cobertura aberta de M e gαβ : Uαβ −→GL(r,F) aplicações suaves satisfazendo as condições de cociclo. Então, existe um bradovetorial que admite trivializações para as quais as funções de transição são gαβ. Além disso,se gαβ e g′αβ satisfazem as condições de cociclo e estão relacionadas por aplicaçõesλα : Uα −→ GL(r,F), como na Prop. 1.2.1, então os brados vetoriais determinados pelasduas famílias são isomorfos.

Prova. Vamos dar um esboço da prova sem se importar com os detalhes mais técnicos. Seja

gαβ satisfazendo a condição de cociclo. Dena o seguinte quociente:

E =⋃α

(Uα × Fr)

/∼

onde, (m, v, α) ∼ (m′, v′, β) ⇔ m = m′ e gβα(m)v = v′ (aqui, (m, v, α) é apenas uma notação

para dizer que m ∈ Uα).Note que [m, v, α] = [m, gβα(m)v, β] e π([m, v, α])

.= m claramente está bem denida e é

sobrejetora. Fixado α ca claro que a aplicação:

ϕα : π−1(Uα) −→ Uα × Fr

[m, v, α] 7−→ (m, v)

será uma trivialização para o brado E (onde a estrutura diferenciável de E é dada para que

isso seja um difeomorsmo).

Dessa forma, seguindo a notação do início da seção, ϕα = (π, φα), onde φα([m, v, α]) = v.

Vamos calcular as funções de transição para essas trivializações:

φαβ(m)v = φα|Em φβ|−1Emv

Seja q = φβ|−1Emv ∈ Em (i.e. q = [m, v, β]). Daí, φα(q) = φα([m, gαβ(m)v, α]) = gαβ(m)v.

Para a segunda parte, sejam E e E' os brados vetoriais determinados por gαβ e g′αβ,respectivamente. Dena, para cada α, ψα em E|Uα por [m, v, α] 7−→ [m,λα(m)v, α]. Primeiro,

a aplicação está bem denida, pois para m ∈ Uαβ:

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ψα[m, v, α] = [m,λα(m)v, α] = [m, g′βα(m)λα(m)v, β]

Por outro lado,

ψβ[m, v, α] = ψβ[m, gβα(m)v, β] = [m,λβ(m)gβα(m)v, β]

Mas, a relação entre os cociclos dá que gβα(m) = g′βα(m)λα(m) e assim temos um difeomorsmo

ψ : E −→ E ′ que é um isomorsmo entre brados.

Observação 1.2.5. Dados os brados vetoriais E −→M , com cociclo φαβ, e F −→M , comcociclo ταβ, podemos construir novos brados vetoriais, baseados nas construções da álgebralinear, a partir das funções de transição. Ao considerarmos as funções (φtαβ)−1, que certamentesatisfazem a condição de cociclo, obtemos o chamado brado dual a E (denotado por E∗), cujasbras são identicadas com E∗m. Isso está de acordo com a intuição, pois trivializações dobrado correspondem a referenciais locais e uma função de transição φαβ, visto como matriz,nada mais é que a mudança entre referenciais distintos (correspondentes a ϕα e ϕβ). Agora,ao tomarmos os espaços vetoriais duais E∗m, e considerarmos as bases duais, por álgebra linear,a matriz correspondente será a matriz inversa transposta da original. Outros exemplos são obrado produto tensorial (E ⊗ F ), cujas funções de transição são φαβ ⊗ ταβ e o brado soma

direta (E ⊕ F ), cujas funções de transição são φαβ ⊕ ταβ =

(φαβ 0

0 ταβ

).

Vimos no exemplo 1.1.2 que dada uma variedade M de dimensão n, podemos associar um

GL(n,R)-brado principal a partir do brado tangente T(M), que é um brado vetorial. Mais

geralmente, essa construção pode ser feita para brados vetoriais quaisquer E −→ M , onde

denimos B(E) como o conjunto de (m, s1(m), . . . , sn(m)), onde s1, . . . , sn é um referencial

local que contém m em seu domínio. Se o posto de E é r, B(E) é um GL(r,R)-brado principal.

A seguir, veremos como, a partir de um brado principal, podemos associar um brado vetorial.

1.2.2 Fibrados Associados

Seja π : P −→ M um G-brado principal, V um espaço vetorial e ρ : G −→ GL(V ) uma

representação (ou, equivalentemente uma ação à esquerda de G em V, g · v = ρ(g)v). Dessa

forma, existe uma ação à direita natural de G em P × V dada por:

(p, v) · g = (p · g, ρ(g−1)v)

De fato, (p, v) · e = (p, v) e (p, v) · gh = (p · gh, ρ(h−1g−1)v) = ((p · g) · h, ρ(h−1)ρ(g−1)v) =

((p, v)·g)·h. Como a ação de G em P é livre, G age livremente em P×V . Seja E = (P×V )

/G

14

(também denotado P ×ρ V ) e dena πE : E −→M , por πE([p, v]) = π(p). Essa aplicação está

bem denida, pois π(p · g) = π(p).

Se ϕα = (π, gα) : π−1(Uα) −→ Uα×G é uma trivialização de P, vale que p = sα(π(p)) ·gα(p),

para todo p ∈ π−1(Uα). De fato, p e sα(π(p)) estão na mesma bra, então existe uma aplicação

h : π−1(Uα) −→ G tal que p · h(p) = sα(π(p)). Aplicando ϕα, obtemos (π(p), gα(p)h(p)) =

(π(p), e), logo segue o resultado. Assim, [p, v] = [sα(π(p)) · gα(p), v] = [sα(π(p)), ρ(gα(p))v].

Então, dena:

ϕα : π−1E (Uα) −→ Uα × V

[p, v] 7−→ (π(p), ρ(gα(p))v)

Como p = sα(π(p)) · gα(p) e gα(sα(m)) = e, a aplicação ϕα−1 : (m, v) 7−→ [sα(m), v] é inversa

de ϕα, e assim ϕα é uma bijeção.

Dado [p, v] ∈ π−1E (Uα) é sempre possível encontrar U ′α ⊆ Uα ⊆ M que é um aberto de um

sistema de coordenadas locais centrados em π(p) ∈ M . Assim, pedindo que π−1E (U ′α) seja um

aberto de E, podemos pensar na restrição de ϕα a π−1E (U ′α) como um sistema de coordenadas

para E. Dessa forma, ϕα é difeomorsmo, sua restrição à uma bra induz um isomorsmo linear

entre esta e V e πE é suave, de modo que E = P ×ρ V −→ M é um brado vetorial com bra

V; o chamado brado vetorial associado a P(M,G) e ρ.

Vamos agora entender as funções de transição do brado associado a partir das funções

de transição gαβ : Uαβ −→ G do brado principal. Lembre que gαβ(m) = gα(p)gβ(p)−1 para

qualquer p ∈ Pm. Em particular, podemos colocar p = sβ(m) (onde, sβ(m) era a seção

associada à trivialização ϕβ = (π, gβ)) e obtemos gαβ(m) = gα(sβ(m)). Tome m ∈ Uαβ e

v ∈ V . Queremos calcular φαβ(m)v = φα|Em φβ|−1Emv, onde ϕα = (π, φα) e ϕβ = (π, φβ)

são as trivializações de E correspondentes às trivializações do brado principal ϕα = (π, gα)

e ϕβ = (π, gβ), respectivamente. Como, φβ([p, v]) = ρ(gβ(p))v, φβ|−1Emv = [p, ρ(gβ(p)−1)v].

Colocando p = sβ(m), φβ|−1Emv = [sβ(m), v] e assim, φαβ(m)v = ρ(gα(sβ(m))v) = ρ(gαβ(m))v.

Resumindo:

Proposição 1.2.4. Seja P(M,G) um brado principal com funções de transição gαβ : Uαβ −→G e ρ : G −→ GL(V ) uma representação, onde V é um espaço vetorial. Então o brado vetorialassociado E = P ×ρ V −→ M é o brado dado pelas funções de transição ρ(gαβ) : Uαβ −→GL(V ).

Observação 1.2.6. Seja v1, . . . , vm uma base de V. Dada a trivialização ϕα, obtemos o re-ferencial local sα1 , . . . , sαm, denido por sαi (m) = ϕα

−1(m, vi) = [sα(m), vi], para i = 1, . . . ,m.

15

Exemplo 1.2.7. Seja P(M,G) um brado principal.a)Se G ⊆ GL(V ), temos a representação canônica G → GL(V ) e assim o brado vetorialassociado tem as mesmas funções de transição do brado principal original. Em particular, ogrupo de estrutura do brado associado foi reduzido ao grupo estrutural do brado principal.b) Tomando V = g, o grupo age na álgebra de Lie através da representação adjunta Ad : G −→GL(g). Chamamos o brado vetorial P ×Ad g de brado de álgebras de Lie, e denotamos essebrado por gP .

Observação 1.2.8. Seja E −→M um brado vetorial real de posto r, com funções de transiçãoφαβ : Uαβ −→ GL(r,R). Vimos que era possível associar um GL(r,R)-brado principal, obrado de referenciais B(E). Cada referencial S em m ∈M pode ser visto como um isomorsmolinear S : Rr −→ Em (que leva a base canônica de Rr no referencial em m). Daí, se (π, φα) éuma trivialização de E, denimos uma trivialização de B(E), ϕα = (πB(E), gα) : B(E)|Uα −→GL(r,R), por ϕα(m, p) 7→ (m,φα|Em p). Portanto, as funções de transição de B(E) sãogαβ(m) = gα(m, p)gβ(m, p)−1 = φα|Em pp−1 φβ|−1

Em= φαβ(m). Logo, as funções de transição

de E e B(E) são as mesmas. Agora, GL(r,R) age em Rr por multiplicação de matrizes (i.e.a representação é a identidade). Daí o brado associado a B(E) por essa ação canônica temfunções de transição iguais ao do brado E e, portanto, tal brado associado deve ser isomorfoao brado vetorial original.

1.3 Conexão e Curvatura

1.3.1 Conexão e Curvatura em Fibrados Principais

Conexão

Seja π : P −→ M um G-brado principal e ψ(p, g) = p · g a ação à direita de G em P.

Dados p ∈ P e g ∈ G, denotaremos por ψg : P −→ P (ψp : G −→ P ) a aplicação diferenciável

p 7−→ p · g (g 7−→ p · g).

Denição 1.3.1. Dado p ∈ P , dπp : TpP −→ Tπ(p)M é uma aplicação linear e podemos deniro subespaço vetorial Vp = kerdπp ⊆ TpP , chamado subespaço vertical de TpP . Se um campode vetores X ∈ X(P ) satisfaz Xp ∈ Vp, para todo p ∈ P , este será chamado de vertical, e oconjunto de tais campos denotado por XV (P ).

16

Seja g a álgebra de Lie do grupo G. Dado ξ ∈ g, a partir da ação de G em P, é possível

associar um campo de vetores Xξ ∈ X(P ), chamado campo de vetores fundamental associado

a ξ, dado por

(Xξ)p = ddt

∣∣t=0

(p · exp(tξ)) = ddt

∣∣t=0

ψp exp(tξ) = dψp(e)ξ

Denotemos por σ : g −→ X(P ) a aplicação ξ 7−→ Xξ.

Proposição 1.3.1. A aplicação σ : g −→ X(P ) é um homomorsmo de álgebras de Lie. Alémdisso, se σ(ξ) = Xξ se anula em algum ponto de P, então ξ = 0.

Prova. Veja página 310, capítulo 8, de [41]

Campos fundamentais são verticais, pois dado ξ ∈ g, temos que dπpdψp(e)ξ = d(π ψp)(e)ξ,mas π ψp : g ∈ G 7−→ π(p · g) = π(p) ∈ M , ou seja, é uma aplicação constante e assim,

dπpdψp(e)ξ = 0. Portanto, dψp(e) : g −→ Vp e Xξ ∈ XV (P ). Mas, como π é uma submersão,

pelo teorema do núcleo e imagem, devemos ter que dimVp = dimM − dimP = dimG = dimg e

pela proposição acima, dψp(e) é injetiva (pois, se dψp(e)ξ = σ(ξ)p = 0 ⇒ ξ = 0). Concluímos

assim que dψp(e) : g −→ Vp é um isomorsmo linear.

Observação 1.3.1. Como π é uma submersão, as bras são subvariedades (difeomorfas a G),e o espaço vertical Vp nada mais é que Tpπ−1(π(p)). De fato, dado v ∈ Tpπ−1(π(p)), existe umacurva diferenciável c : (−ε, ε) −→ π−1(π(p)), com c(0) = p e c′(0) = v. Logo, π c(t) = π(p)

e derivando em t = 0 obtemos dπ(p)v = 0 (i.e., v ∈ Vp). Por outro lado, se v ∈ Vp, ∃! ξ ∈ g,tal que v = dψp(e)ξ = d

dt

∣∣t=0

(p · exp(tξ)). Como a curva γ(t) = p · exp(tξ) é tal que γ(0) = p,γ′(0) = v e π γ(t) é constante igual a π(p), segue que v ∈ Tpπ−1(π(p)).

O subespaço vertical associado a um ponto p ∈ P determina todos os outros espaços verticais

associados a pontos da mesma bra de p, através da ação à direita de G em P.

Lema 1.3.1. dψg(p)Vp = Vp·g

Prova. Seja v ∈ Vp (i.e., dπpv = 0). Então, dπ(p · g)dψg(p)v = d(π ψg)(p)v = dπ(p)v = 0,

onde usamos que πψg(p) = π(p ·g) = π(p), e assim obtemos que dψg(p)Vp ⊆ Vp·g. Para a outra

inclusão, tome v ∈ Vp·g. Como dψp·g(e) : g −→ Vp·g é um isomorsmo linear, ∃!ξ ∈ g, tal que

v = dψp·g(e)ξ = d(ψgψg−1 ψp·g)(e)ξ = dψg(p)d(ψg−1 ψp·g)(e)ξ. Mas, dπ(p)d(ψg−1 ψp·g)(e)ξ =

d(π ψg−1 ψp·g)(e)ξ. Como π ψg−1 ψp·g : h ∈ G 7−→ π(p · ghg−1) = π(p), ou seja, é uma

aplicação constante, devemos ter d(ψg−1 ψp·g)(e)ξ ∈ Vp.

Além disso, vale a seguinte relação.

17

Lema 1.3.2. dψgXξ = XAd(g−1)ξ

Prova. Isso segue do seguinte cálculo

(XAd(g−1)ξ)p·g = dψp·g(e)Ad(g−1)ξ = dψp·g(e)dCg−1(e)ξ = d(ψg ψg−1 ψp·g Cg−1)(e)ξ

= dψg(p)d(ψg−1 ψp·g Cg−1)(e)ξ

Como ψg−1ψp·gCg−1 : h ∈ G 7−→ ((p·g)·(g−1hg))·g−1 = p·h, temos que ψg−1ψp·gCg−1 = ψp.

Logo, (XAd(g−1ξ))p·g = dψg(p)(Xξ)p.

Denição 1.3.2. Seja P uma variedade de dimensão d e k um inteiro, com 1 ≤ k ≤ d.Uma distribuição D, k-dimensional, é uma aplicação que associa a cada p ∈ P um subespaçoDp ⊆ TpP de dimensão k. Dizemos que a distribuição D é suave se, para cada p ∈ P , existiruma vizinhança U de p e campos de vetores X1, . . . , Xk ∈ X(U), tais que (X1)q, . . . , (Xk)q éuma base de Dq, para todo q ∈ U .

Até aqui associamos a cada ponto p ∈ P um subespaço de TpP isomorfo à álgebra de Lie g

de maneira G-invariante. Esta é uma distribuição suave, visto que uma base de g fornece (via

σ) a condição de suavidade. Não existe, no entanto, um complemento natural para Vp em TpP .

Esse problema será sanado a partir da introdução do conceito de conexão no brado principal

P(M,G).

Denição 1.3.3. Uma conexão (de Ehresmann) no brado principal P(M,G) é uma distribui-ção suave H (chamada de horizontal), satisfazendo:

1. TpP = Vp ⊕Hp, para todo p ∈ P

2. dψg(p)Hp = Hp·g, para todo p ∈ P e g ∈ G (i.e. H é G-invariante).

Observação 1.3.2. Segue do primeiro item da denição que a distribuição horizontal deveter dimensão igual a dimP − dimG = dimM . Além disso, como Vp = kerdπp, obtemos quedπp : Hp−→Tπ(p)M é um isomorsmo linear.

Exemplo 1.3.3. Seja g uma métrica Riemanniana G-invariante de P. Então, Hp.= V ⊥p =

v ∈ TpP | gp(v, u) = 0 para todo u ∈ Vp nos fornece uma conexão em P(M,G).O primeiro item da denição é claramente satisfeito.Vamos mostrar a G-invariância, ou seja, dψg(p)V ⊥p = V ⊥p·g.i) Dado v ∈ V ⊥p , queremos mostrar que gp·g(dψg(p)v, u) = 0, para todo u ∈ Vp·g. Como

18

dψg(p)Vp = Vp·g, seja v1 ∈ Vp tal que dψg(p)v1 = v. Pela G-invariância da métrica,gp·g(dψg(p)v, dψg(p)v1) = gp(v, v1) = 0. A última igualdade vem do fato de v ∈ V ⊥p e v1 ∈ Vp.ii) Dado v ∈ V ⊥p·g. Então, podemos escrever v = dψg(p)dψg−1(p · g)v. Vamos mostrar quedψg−1(p · g)v ∈ V ⊥p . Seja u ∈ Vp, então gp(dψg−1(p · g)v, u) = gp·g(v, dψg(p)u) = 0, poisu ∈ Vp ⇒ dψg(p)u ∈ Vp·g.

Conexões aparecem de maneira intuitiva, quando denidas a partir de distribuições suaves.

No entanto, distribuições não necessariamente fornecem a maneira mais fácil de lidar com

tais objetos. Alternativamente, podemos tentar caracterizar as conexões como projeções em

subespaços verticais (que, como vimos, podem ser pensados como a álgebra de Lie de G),

satisfazendo algum tipo de invariância pela ação de G em P. Isso será obtido através do conceito

de uma 1-forma de conexão.

Denição 1.3.4. Uma 1-forma de conexão é uma 1-forma diferencial de P com valores naálgebra de Lie g, ω ∈ Ω1(P ; g), satisfazendo:

1. ω(σ(ξ)) = ξ, para todo ξ ∈ g

2. ψ∗gω = Adg−1ω, para todo g ∈ G

Observação 1.3.4. Abrindo os itens da denição, temos que:1. ω(p)(dψp(e)ξ) = ξ, onde p ∈ P , ξ ∈ g

2. ω(p · g)(dψg(p)v) = Adg−1(ω(p)v), onde g ∈ G, v ∈ TpP .

Denotaremos o espaço das 1-formas de conexão por A.

Proposição 1.3.2. A 6= ∅

Prova. Seja θ a forma de Maurer-Cartan (ver apêndice A). Então, ωα.= g∗αθ é uma 1-forma

de conexão para o brado trivial P |Uα (onde (Uα, ϕα = (π, gα)) é uma trivialização do brado

P(M,G)). De fato,

i) Dado p ∈ P |α e ξ ∈ g, ωα(p)(dψp(e)ξ) = θ(gα(p))(dgα(p)dψp(e)ξ) = d(Lgα(p)−1 gα ψp)(e)ξ.Como, Lgα(p)−1 gα ψp : h ∈ G 7→ gα(p)−1gα(p · h) = h, temos ωα(p)(dψp(e)ξ) = dIdG(e)ξ = ξ.

ii) ψ∗gg∗αθ = (gα ψg)∗θ, Mas, pela equivariância de gα, gα ψg = Rg gα e assim, ψ∗gg

∗αθ =

g∗αR∗gθ = g∗α(Ad−1

g θ) = Ad−1g g∗αθ

Agora, basta tomar uma partição da unidade λα subordinada à cobertura aberta de M,

Uα, por abertos trivializantes do brado. Assim, denimos ω =∑α

λαωα. Sendo esta uma

combinação am de 1-formas, temos uma 1-forma de conexão em todo P (a combinação deve

ser am para que a primeira condição da denição de 1-forma de conexão seja satisfeita).

19

Lema 1.3.3. O espaço das 1-formas de conexão A é um espaço am modelado no espaçovetorial Ω1(M ; gP ).

Prova. Isso segue diretamente da Prop. A.0.3 do apêndice. Dadas duas conexões ω1, ω2 ∈Ω1(P, g), temos que ω1 − ω2 é uma forma básica e assim corresponde a um elemento de

Ω1(M ; gP ). Além disso, xado ω ∈ A, dado ζ ∈ Ω1(M ; gP ), ω + ζ ∈ A (onde usamos no-

vamente a bijeção entre Ω1(M ; gP ) e Ω1G(P ; g)).

Proposição 1.3.3. Existe uma bijeção entre conexões (de Ehresmann) e 1-formas de conexão.

Prova. i) Seja H uma conexão. Dado v ∈ TpP , sejam vH ∈ Hp e vV ∈ Vp, tais que

v = vH + vV . Em particular, ∃! ξ ∈ g com vV = dψp(e)ξ. Dena então, ω(p)v = ξ e note

que ωp : TpP −→ g é linear, pois dψp(e) é linear. Se ζ ∈ g, σ(ζ) ∈ XV (P ) e a primeira con-

dição para ω ser uma 1-forma de conexão é automaticamente satisfeita. A segunda condição

é consequência do lema 1.3.2. De fato, tomando v = vV + vH como anteriormente, pela G-

invariância das distribuições (vertical e horizontal) ω(p·g)(dψg(p)v) = ω(p·g)(dψg(p)dψp(e)ξ) =

ω(p · g)(d(ψg ψp)(e)ξ). Mas, ψg ψp : h ∈ G 7−→ (p · h) · g = (p · g) · g−1hg = ψp·g Cg−1(h).

Agora, d(ψp·g Cg−1)(e)ξ = dψp·g(e)(Adg−1ξ), logo ω(p · g)(dψg(p)v) = Adg−1ξ = Adg−1(ω(p)v).

Ainda precisamos vericar a diferenciabilidade de ω. Suponha dimG = k e dimM = n (e

assim, dimP = n+ k). Numa vizinhança de P é possível, pela suavidade da distribuição hori-

zontal, achar campos de vetores Y1, . . . , Yn que formam uma base para os espaços horizontais

nessa vizinhança. Se ξ1, . . . , ξk é uma base de g, temos uma base para os espaços tangen-

tes nessa vizinhança dada pelos campos Y1, . . . , Yn, . . . , σ(ξ1), . . . , σ(ξk). Podemos escrever,

ω =k∑j=1

ωjξj, onde ωj são 1-formas de P. A 1-forma ω é diferenciável se cada ωj o for. Uma

1-forma em P pode ser vista como uma aplicação C∞(P )-linear de X(P ) a C∞(P ). Como

ωj(σ(ξi)) = δij ∈ C∞(P ) e ωj(Yi) = 0 ∈ C∞(P ), ω é diferenciável.

ii) Seja agora ω ∈ Ω1(P ; g) uma 1-forma de conexão. Como, dado ξ ∈ g, ω(p)(dψp(e)ξ) = ξ,

i.e., ωp é sobrejetiva para todo p ∈ P , o subespaço Hp.= ker(ωp) ⊆ TpP tem dimensão cons-

tante para todo p ∈ P (igual a dimM). Primeiramente, Vp ∩ Hp = 0, pois se v ∈ Vp ∩ Hp,

v = dψp(e)ξ, para algum ξ ∈ g, com ω(p)v = 0, mas ω(p)v = ξ. Além disso, dado v ∈ TpP ,v = (v−dψp(e)(ω(p)v))+dψp(e)(ω(p)v), claramente v−dψp(e)(ω(p)v) ∈ Hp e dψp(e)(ω(p)v) ∈Vp, de modo que, TpP = Vp ⊕ Hp. Vamos mostrar que essa distribuição, denida pelo núcleo

da 1-forma de conexão, é G-invariante. Se v ∈ Hp, ω(p · g)(dψg(p)v) = Adg−1(ω(p)v) = 0, logo

dψg(p)Hp ⊆ Hp·g. Agora, dado u ∈ Hp·g, u = d(ψg ψg−1)(p · g)u = dψg(p)dψg−1(p · g)u, e

20

ω(p)((dψg−1)(p ·g)u) = ω((p ·g) ·g−1)((dψg−1)(p ·g)u) = Adg(ω(p ·g)u) = 0, logo temos também

Hp·g ⊆ dψg(p)Hp (mais diretamente, poderíamos notar que dψg é injetivo, pois ψg é difeomor-

smo, e se dψg(p)Hp ⊆ Hp·g, como dimHp = dimHp·g, vale dψg(p)Hp = Hp·g ). Falta mostrar

que a distribuição assim denida é suave. Para cada ponto, considere um aberto de um sistema

de coordenadas locais de P e campos de vetores nessa vizinhança Y1, . . . , Yn+k que fornecemuma base para o espaço tangente em cada ponto da vizinhança. Seja também ξ1, . . . , ξk uma

uma base de g e ω =k∑j=1

ωjξj, onde ωj são 1-formas de P. Para i = 1, . . . , n+ k, dena

Yi = Yi −k∑j=1

ωj(Yi)σ(ξj)

Claramente, tais campos são horizontais. Além disso, dado um vetor horizontal, ele pode ser

escrito como uma combinação linearn+k∑r=1

brYr =n+k∑r=1

brYr, pois todos outros termos são verticais.

Sendo assim, os Yi′s geram os espaços horizontais nessa vizinhança e é possível escolher n deles

linearmente independentes (numa vizinhança possivelmente menor).

É possível dar uma terceira caracterização para conexões num brado principal P(M,G),

em termos de objetos da base M. Sejam (Uα, ϕα = (π, gα)) as trivializações do brado, sαas seções corespondentes e gαβ : Uαβ −→ G as funções de transição do brado (lembre que

sβ = sα · gαβ). Considere também a forma de Maurer-Cartan θ ∈ Ω1(G, g), denida por θg =

dLg−1 . Dada uma 1-forma de conexão ω ∈ Ω1(P ; g), denotemos por Aα = s∗α(ω) ∈ Ω1(Uα; g)

(chamados potenciais de calibre) e θαβ = g∗αβω ∈ Ω1(Uαβ; g). Apesar de Aα não formar uma

1-forma global em M (i.e. os pull-backs não coincidem), vale o seguinte

Proposição 1.3.4. Dada uma 1-forma de conexão ω ∈ Ω1(P ; g), temos que

Aβ = Ad(g−1αβ )Aα + θαβ, em Uαβ

Antes de demonstrar a proposição precisamos do seguinte lema:

Lema 1.3.4. Seja ψ : P × G −→ P , uma aplicação diferenciável. Então, podemos identicarnaturalmente T(p,g)(P ×G) ' TpP × TgG e vale

dψ(p,g)(u, v) = dψg(p)u+ dψp(g)v

para todo p ∈ P , g ∈ G, u ∈ TpP e v ∈ TgG.

21

Prova. (Prop 1.3.3) Seja m ∈ Uαβ e v ∈ TmM . Temos que sβ = ψ (sα, gαβ) e pela regra

da cadeia, aplicando o lema anterior para a ação ψ, obtemos

dsβ(m)v = dψ(sα(m), gαβ(m))(dsα(m)v, dgαβ(m)v) =

dψsα(m)(gαβ(m))(dgαβ(m)v) + dψgαβ(m)(sα(m))(dsα(m)v)

Vamos chamar o primeiro termo dessa soma de x e o segundo de y. Pelo segundo item da

denição da 1-forma de conexão ω,

ωsα(m)·gαβ(m)(y) = Adgαβ(m)−1(ωsα(m)(dsα(m)v)) =

Adgαβ(m)−1((s∗αω)mv) = Adgαβ(m)−1(Aα(m)v)

Agora, x = d(ψsα(m) gαβ)(m)v. Mas, ψsα(m) gαβ = ψsα(m)·gαβ(m) Lg−1 gαβ. Logo, x =

dψsα(m)·gαβ(m)(e)ξ, onde ξ = dLgαβ(m)−1(gαβ(m))dgαβ(m)v ∈ g. Temos então que ωsα(m)·gαβ(m)(x) =

ξ. Por outro lado, θαβ(m)v = (g∗αβω)mv = θgαβ(m)(dgαβ(m)v) = dLgαβ(m)−1(gαβ(m))dgαβ(m)v =

ξ.

Dada uma 1-forma de conexão ω, denote por ωα sua restrição a π−1(Uα). Essas ωα ∈Ω1(P |Uα ; g) podem ser descritas a partir das Aα. Antes de explicitar a relação, precisamos da

seguinte observação. Seja m ∈ Uα e denote por p = sα(m).

P |Uαπ−→ Uα

sα−→ P |Uα

Chamemos, provisoriamente, de T a aplicação linear d(sα π)p : TpP −→ TpP . Como π sα =

IdUα , vale dπ(p)dsα(m) = IdTpP e T 2 = T T = dsα(m)(dπ(p)dsα(m))dπ(p) = T (i.e., T é um

operador de projeção). Sendo assim, por álgebra linear, TpP = kerT ⊕ imT (cada elemento

v ∈ TpP é da forma Tv + (v − Tv)). No entanto, de dπ(p)dsα(m) = IdTpP , concluímos que

dsα(m) é injetivo e assim, kerT = ker(dsα(m)dπ(p)) = kerd(πp) = Vp. Portanto, provamos o

seguinte lema:

Lema 1.3.5. Seja s : U −→ P |U um seção do brado P(M, ão, se p = s(m), onde m ∈ U ,então TpP = im(d(sα π)p)⊕ Vp

Proposição 1.3.5. Seja ω ∈ Ω1(P ; g) uma 1-forma de conexão do brado P(M,G). Então,

ωα = Adg−1α π∗Aα + g∗αθ

22

Prova. i) Vamos mostrar que a proposição é válida para p = sα(m), onde m ∈ Uα e v ∈ TpP .Pelo lema anterior, v = dsα(m)dπ(p)v + dψp(e)ξ, para um único ξ ∈ g. Como gα(p) = e (pois,

sα(m) = ϕ−1α (m, e) e ϕα = (π, gα)):

Adgα(p)−1(π∗Aα)pv + (g∗αθ)pv =

Aα(m)(dπ(p)v) + θ(e)(dgα(p)v) = ωp(dsα(m)dπ(p)v) + dgα(p)v

Vamos usar a decomposição de v = dsα(m)dπ(p)v + dψp(e)ξ para calcular dgα(p)v. Como

gα sα π é a aplicação constante igual ao elemento neutro de G e gα ψp : h ∈ G 7−→gα(p · h) = gα(p)h = h, i.e., é a aplicação identidade de G, obtemos, pela regra da cadeia, que

dgα(p)v = ξ = ωp(dψp(e)ξ). Portanto, obtemos ωp(dsα(m)dπ(p)v + dψp(e)ξ) = ωpv.

ii) Agora, como P |Uα =⋃m∈Uα

(sα(m) · G), basta vericar a relação nos pontos p · g, onde

p = sα(m). Note ainda que qualquer vetor de T(p·g)P pode ser escrito como dψg(p)v, onde

v ∈ TpP (pois, dψg(p) é isomorsmo linear) e gα(p · g) = gα(p)g = g. Assim, devemos mostrar

que

ω(p · g)(dψg(p)v) = Adgα(p·g)−1((π∗Aα)(p · g)dψg(p)v) + (g∗αθ)p·gdψg(p)v

O lado direito da equação a ser mostrada pode ser escrito como:

Adg−1(Aα(m)dπ(p · g)dψg(p)v) + θg(dgα(p · g)dψg(p)v) =

Ag−1Aα(m)dπ(p)v + d(Lg−1 gα ψg)(p)v = (pois, π ψg = π)

Adg−1(π∗Aα)pv + Adg−1dgα(p)v = (pois, Lg−1 gα ψg = Cg−1 gα )

Adg−1(ωpv)

Mas, pela denição de uma 1-forma, Adg−1(ωpv) = ω(p · g)(dψg(p)v) como queríamos.

Dada uma coleção de 1-formas Aα ∈ Ω1(Uα; g), onde (Uα, ϕα) são as trivializações do

brado P(M,G), satisfazendo, nas interseções, a relação descrita na Prop. 1.3.3, existe uma

única 1-forma de conexão ω, tal que Aα = s∗α(ω) ∈ Ω1(Uα; g). Esta 1-forma de conexão é

denida localmente (em P |Uα) pelo lado direito da equação da Prop. 1.3.4. Fazendo cálculos

muito similares aos realizados até aqui, verica-se que, de fato, essas 1-formas locais de P

coincidem nas interseções Uαβ (ou seja, representam uma 1-forma global ω ∈ Ω1(P ; g)) e ω

satisfaz as condições da denição de uma 1-forma de conexão.

23

Curvatura

Seja ω ∈ Ω1(P, g) uma 1-forma de conexão no brado principal P(M,G), e H ⊆ TP a

distribuição horizontal associada (como vimos, Hp = ker(ωp)). Denimos, através da aplicação

Dω : Ω1(P, g) −→ Ω2(P, g), a 2-forma de curvatura Ω ∈ Ω2(P, g) por:

Ωp(u, v) = (Dωω)p(u, v) = dωp(uH , vH)

onde p ∈ P , u, v ∈ TpP e uH (vH) é a projeção de u (v) em Hp.

Ao contrário da distribuição vertical, a distribuição horizontal H nem sempre é integrável.

A 2-forma de curvatura mede o quanto H deixa de ser integrável. De fato, dados X, Y ∈ X(P ):

Ω(X, Y ) = dω(XH , Y H) = XH(ω(Y H))− Y H(ω(XH))− ω([XH , Y H ]) = −ω([XH , Y H ])

pois vetores horizontais se anulam, por denição, na 1-forma de conexão. Portanto, H é inte-

grável se, e somente se, Ω = 0. Chamamos ω de conexão plana se sua 2-forma de curvatura é

nula.

Se η1, η2 ∈ Ω1(P, g), podemos generalizar o produto exterior para formas com valores em g

por meio do colchete de Lie. Assim, denimos [η1, η2] ∈ Ω2(P, g) por:

[η1, η2](X, Y ) = [η1(X), η2(Y )]− [η1(Y ), η2(X)]

No caso η1 = η2 = η, temos [η, η](X, Y ) = 2[η(X), η(Y )].

Com essa notação mostraremos a equação estrutural de Cartan:

Proposição 1.3.6. A 2-forma de curvatura satisfaz:

Ω = dω +1

2[ω, ω]

Prova. Dados X, Y ∈ X(P ), devemos mostrar que dω(XH , Y H) = dω(X, Y )+[ω(X), ω(Y )].

Vamos dividir em casos:

i) X, Y ∈ XH(P ): como a projeção horizontal de um vetor horizontal é ele mesmo e estes se

anulam em ω segue o resultado.

ii) X, Y ∈ XV (P ): X = σ(ξ1), Y = σ(ξ2), ξ1, ξ2 ∈ g. O lado esquerdo da equação se anula, pois

XH = Y H = 0. Agora,

dω(X, Y ) = X(ω(Y ))− Y (ω(X)− ω([X, Y ])

24

Mas, X(ω(Y )) = X(ω(σ(ξ2)) = X(ξ2), onde ξ2 é visto como a aplicação constante igual a ξ2,

de P em g. Logo, X(ω(Y )) = 0 (o mesmo para Y (ω(X))). Como [σ(ξ1), σ(ξ2)] = σ([ξ1, ξ2]),

ω([X, Y ]) = ω(σ([ξ1, ξ2]) = [ξ1, ξ2] = [ω(X], ω(Y )] e a equação vale nesse caso.

iii) X = σ(ξ) ∈ XV (P ) e Y ∈ XH(P ): o lado esquerdo da equação e novamente zero, assim como

o termo [ω(X), ω(Y )]. Mas, dω(X, Y ) = X(ω(Y ))−Y (ω(X)−ω([X, Y ]) = −ω([X, Y ]). Mas, o

comutador de dois vetores é a derivada de Lie de um com respeito ao outro, [X, Y ]p = (LXY )p =

limt→0

1

t(dφ−tX (φtX(p))YφtX(p)−Yp), onde φtX é o uxo de X. ComoX = σ(ξ), temos que φtX = ψexp(tξ)

e ωp([X, Y ]p) = limt→0

1

t(ωp(dψexp(−tξ)(ψexp(tξ)(p))Yψexp(tξ)(p))− ωp(Yp)). Pela denição, ωp(Yp) = 0

e temos que ωp(dψexp(−tξ)(ψexp(tξ)(p))Yψexp(tξ)(p)) = Adexp(−tξ)−1(ωp·exp(tξ)Yp·exp(tξ)) = 0 .

Lema 1.3.6. A 2-forma de curvatura é básica, i.e., Ω ∈ Ω2G(P ; g).

Prova. Pela denição, Ω se anula em vetores verticais. Agora, dado g ∈ G, utilizando a

Prop. 1.3.5,

ψ∗gΩ = ψ∗gdω +1

2ψ∗g [ω, ω] = dψ∗gω +

1

2[ψ∗gω, ψ

∗gω] =

dAdg−1ω +1

2[Adg−1ω,Adg−1ω] = Adg−1(dω +

1

2[ω, ω]) = Adg−1Ω

onde foi usado que ψ∗g [ω, ω] = [ψ∗gω, ψ∗gω] (de fato, avaliando num ponto p ∈ P e em vetores

u, v ∈ TpP , obtemos 2[ωψg(p)(dψg(p)u), ωψg(p)(dψg(p)v)]) e que Adg−1 é um automorsmo de

álgebras de Lie.

Como no caso da 1-forma de conexão, denimos os campos de calibre por Fα.= s∗αΩ ∈

Ω2(Uα; g). Como consequência da Prop. 1.3.5, podemos expressar os campos de calibre a partir

dos potenciais de calibre:

Fα = dAα +1

2[Aα,Aα]

De fato, Fα = s∗αΩ = s∗α(dω +1

2[ω, ω]) = ds∗αω +

1

2[s∗αω, s

∗αω]. Além disso:

Proposição 1.3.7. Os campos de calibre satisfazem a seguinte relação

Fα = AdgαβFβ

Prova.

Fα = dAα +1

2[Aα,Aα]

pela Prop. 1.3.4, Aα = Adg−1βαAβ + g∗βαθ. Portanto,

25

Fα = d(Adg−1βαAβ + g∗βαθ) +

1

2[Adg−1

βαAβ + g∗βαθ, Adg−1

βαAβ + g∗βαθ] =

d(Adg−1βαAβ) + g∗βαdθ + Adg−1

βα

1

2[Aβ,Aβ] + g∗βα

1

2[θ, θ] + [g∗βαθ, Adg−1

βαAβ]

Pelo Lema A.0.7 e a fórmula estrutural da forma de Maurer-Cartan obtemos o resultado.

Portanto, segue que o campos de calibre denem uma 2-forma global de M com valores no

brado de álgebras de Lie (ver apêndice), a qual denotaremos Fω ∈ Ω2(M ; gP ).

Note ainda que Fω é exatamente a 2-forma dada pela correspondência entre Ω2G(P ; g) e

Ω2(M ; gP ). De fato, suponha que Ω 7→ Ω ∈ Ω2(M ; gP ), então no aberto trivializante Uα, temos

Ω(m)(u, v) = [sα(m),Ω(sα(m))(dsα(m)u, dsα(m)v] = [sα(m), (s∗αΩ)(m)(u, v)]

pois dπ(sα(m)dsα(m) = d(π sα)(m) = Id.

1.3.2 Conexão e Curvatura em Fibrados Vetoriais

Conexão

Uma conexão no brado principal induz uma conexão nos brados associados. Antes de

mostrar como se dá essa relação, vamos introduzir o conceito de conexão num brado vetorial.

Denição 1.3.5. Seja E −→ M um brado vetorial real. Uma conexão em E é uma mapa∇ : Γ(E) −→ Ω1(M ;E) R-linear, satisfazendo a regra de Leibniz

∇(fs) = df ⊗ s+ f∇s

para todo f ∈ C∞(M) e s ∈ Γ(E).

Observação 1.3.5. a) Uma conexão em um brado vetorial complexo se dá de forma análoga,pedindo que ∇ seja um mapa C-linear e a regra de Leibniz valha para f ∈ C∞(M ;C).b) Como descrito no apêndice A, Ω1(M ;E)

.= Γ(T ∗M ⊗ E) ' Ω1(M)⊗ Γ(E), onde o segundo

produto tensorial é tomado sobre o anel de funções suaves de M (produto tensorial de módulos)([43], pg 68).

Considere o brado vetorial E, de posto r, dotado de uma conexão ∇. Tal brado é lo-

calmente descrito pelas trivializações ϕα (ou equivalentemente, pelos referenciais locais corres-

pondentes sα1 , . . . , sαr ). Vamos entender o comportamento local de ∇ em um referencial local

s1, . . . , sr, si ∈ Γ(U) (por comodidade, suprimimos o índice α). Se

26

∇si =r∑j=1

Aji ⊗ sj, onde Aji ∈ Ω1(U)

então, dado σ ∈ Γ(U), σ =r∑j=1

σisi, onde σi ∈ C∞(U), temos

∇σ = ∇(r∑i=1

σisi) =r∑i=1

∇(σisi) =r∑i=1

dσi ⊗ si + σi∇si =

r∑i=1

(dσi ⊗ si + σi(r∑j=1

Aji ⊗ sj)) =r∑

k=1

(dσk +r∑i=1

Aki σi)⊗ sk

Podemos representar formas com valores no brado E (localmente) por vetores coluna, com

respeito ao referencial s1, . . . , sr. Por exemplo, representamos σ ∈ Γ(E) = Ω0(M,E), dado

por σ =r∑j=1

σisi, por (σ) =

σ1

...

σr

. Assim, o cálculo anterior pode ser escrito como:

∇σ = (d+ A)

σ

onde A = (Aij) é uma matriz com entradas em Ω1(U), chamada matriz de conexão em U.

As matrizes de conexão Aα e Aβ denem a conexão para seções em Γ(E|Uα) e Γ(E|Uβ),

respectivamente. Pela observação 1.2.2, xada uma base de V, a função de transição φαβ era

representada por uma matriz, a qual, por abuso de notação, nos referiremos também por φαβ,

que era a matriz de mudança de base do referencial de β para o referencial de α. Assim, se

σ ∈ Γ(E|Uαβ), em notação matricial, (σ)α = φαβ(σ)β. A proposição a seguir nos diz como essas

matrizes se relacionam em Uαβ.

Proposição 1.3.8. Seja E um brado vetorial munido de uma conexão ∇. As matrizes deconexão associadas aos abertos trivializantes Uα, Aα, e Uβ, Aβ, se relacionam em Uαβ por:

Aβ = φ−1αβdφαβ + φ−1

αβAαφαβ

Prova. Temos que

(∇σ)β = φ−1αβ(∇σ)α = φ−1

αβ(d+ Aα)φαβ(σ)β

27

Por outro lado, (∇σ)β = (d+ Aβ)(σ)β. Portanto,

d(σ)β + Aβ(σ)β = φ−1αβdφαβ(σ)β + φ−1

αβφαβd(σ)β + φ−1αβA

αφαβ(σ)β

e segue o resultado.

Claramente vale a recíproca. Ou seja, se temos matrizes de 1-formas satisfazendo as relações

da proposição acima, é possível denir uma conexão localmente por d+A e a relação entre as

matrizes garante que a conexão está, de fato, denida globalmente.

Seja agora P(M,G) um brado principal, com funções de transição gαβ : Uαβ −→ G, e

ρ : G −→ GL(V ) uma representação de G num espaço vetorial V, de dimensão r. Vimos então

que o brado vetorial associado E = P ×ρ V tem funções de transição φαβ = ρ(gαβ).

Proposição 1.3.9. Seja ω ∈ Ω1(P, g) uma 1-forma de conexão de P(M,G) (e Aα = s∗αω ∈Ω1(Uα; g). Assim, dρ(e)(Aα) dene uma conexão ∇ no brado vetorial associadoE = P ×ρ V .

Prova. Pela Prop. 1.3.3, vale Aβ = Ad(g−1αβ )Aα + θαβ. Agora, dρ(e)Ad(g−1

αβ )Aα = d(ρ Cg−1

αβ)(e)Aα. Mas ρ ser representação implica que ρCg−1

αβ= Cρ(g−1

αβ ) ρ, logo dρ(e)Ad(g−1αβ )Aα =

Adρ(g−1αβ )(dρ(e)Aα). Como ρ(g−1

αβ ) toma valores em GL(V), temos que Adρ(g−1αβ ) = Cρ(g−1

αβ ) e as-

sim, dρ(e)Ad(g−1αβ )Aα = ρ(g−1

αβ )Aαρ(gαβ). Vamos calcular agora dρ(e)θαβ = dρ(e)g∗αβθ, onde θ

é a forma de Maurer-Cartan. Seja m ∈ Uαβ e v ∈ TmM . Então, dρ(e)(θgαβ(m)(dgαβ(m)v)) =

dρ(e)dLgαβ(m)−1(gαβ(m))dgαβ(m)v = d(ρ Lgαβ(m)−1 gαβ)(m)v. Mas, ρ Lgαβ(m)−1 gαβ =

Lρ(gαβ(m)−1) ρ(gαβ). Logo, dρ(e)(θgαβ(m)(dgαβ(m)v)) = ρ(gαβ(m)−1)d(ρ(gαβ))mv. Onde foi

usado que dLB(C) = LB, se B,C ∈ GL(V ). Portanto, como dρ(e)(Aα) satisfaz a relação da

Prop. 1.3.5, obtém-se uma conexão ∇ em E, dada em Uα, em notação matricial subentendendo-

se o referencial, por d + dρ(e)(Aα) (note que, uma vez xado o referencial, dρ(e)(Aα) é repre-

sentada por uma matriz com entrada em formas).

Curvatura

Seja E −→ M um brado vetorial munido de uma conexão ∇ : Γ(E) −→ Ω1(M ;E)

R. Como explicado no apêndice, Ω(M ;E) é um módulo graduado sobre a álgebra graduada

Ω(M). Podemos então generalizar a derivada exterior comum para formas com valores no

brado vetorial E estendendo a conexão ∇

Ω0(M ;E)d∇−→ Ω1(M ;E) −→ . . . −→ Ωk(M ;E)

d∇−→ Ωk+1(M ;E) −→ . . .

28

de modo que d∇ = ∇ em Γ(E) = Ω0(M ;E) e vale a regra de Leibniz:

d∇(η ∧ α) = dη ∧ α + (−1)rη ∧ d∇α

onde η ∈ Ωr(M) e α ∈ Ωs(M ;E).

Denição 1.3.6. Dada uma conexão ∇ em E, chamamos de curvatura dessa conexão F∇ =

d2∇ = d∇ d∇.

Note que a curvatura F∇ : Γ(E) −→ Ω2(M ;E) induz a seguinte aplicação:

F∇ : X(M)× X(M) −→ Γ(EndE)

dada por F∇(X, Y )(s) = (F∇s)(X, Y ) ∈ Γ(E), onde s ∈ Γ(E). Para termos F∇(X, Y ) ∈Γ(EndE), precisamos mostrar que, se f ∈ C∞(M), F∇(X, Y )(fs) = fF∇(X, Y )(s) (ou seja,

F∇(fs) = fF∇(s)).

F∇(fs) = d∇(df ∧ s+ fd∇s) = −df ∧ d∇s+ df ∧ d∇s+ fd2∇s = fd2

∇s

Claramente, F∇ é C∞(M)-linear também nas entradas de campos de vetores e a aplicação

é alternada. Concluímos assim, pelos comentários feitos no apêndice, que F∇ ∈ Ω2(M ;EndE).

Abandonaremos esta última notação e pensaremos na curvatura também como essa 2-forma de

M com valores no brado vetorial de endomorsmos de E.

Investiguemos o comportamento local da curvatura. Considere o referencial local sα1 , . . . , sαr ,como anteriormente (por hora omitiremos por comodidade α). Então,

F∇(sj) =r∑i=1

F ijsi

e chamamos Fα = (F ij ) de matriz de curvatura com respeito ao referencial local sα1 , . . . , sαr .

Lema 1.3.7. Seja E −→ M um brado vetorial munido de uma conexão ∇, com matriz deconexão Aα e matriz de curvatura Fα (com respeito ao referencial local sα1 , . . . , sαr ). Então,

Fα = dAα + Aα ∧ Aα

Prova. Para a demonstração omitiremos novamente α.

F∇(sj) = d∇(d∇(sj)) = d∇(r∑i=1

Aijsi) =r∑i=1

d∇(Aijsi) =

r∑i=1

dAij ∧ si − Aij ∧ d∇(si) =r∑i=1

dAij ∧ si − Aij ∧ (r∑

k=1

Aki ∧ sk) =r∑i=1

(dAij +r∑i=1

Aik ∧ Akj ) ∧ si

onde usamos que −Akj ∧ Aik = Aik ∧ Akj .

29

1.3.3 Derivada Covariante no Fibrado Associado

Seja ω ∈ A uma 1-forma de conexão em no brado principal P(M,G) e Dω : Ω1(P, g) −→Ω2(P, g), como denido anteriormente. Considere também uma representação ρ : G −→GL(V ), onde V é um espaço vetorial, e E = P ×ρ V o brado associado. Por comodi-

dade, denotaremos por H o operador denido por (Hα)(X1, . . . , Xk) = α(XH1 , . . . , X

Hk ), onde

α ∈ Ωk(P ;V ). Dessa forma, Dω = Hdα. Veremos que ω dene uma derivada covariante

dω : Ωk(M ;E) −→ Ωk+1(M ;E) no brado associado.

Primeiramente, note que Dω|ΩkG(P,V ) : ΩkG(P, V ) −→ Ωk+1

G (P, V ) (ver denição A.0.1 para o

conceito de formas básicas). Claramente, se α ∈ ΩkG(P, V ), Dωα se anula em vetores verticais.

Agora,

ψ∗gDωα = ψ∗gHdα = Hψ∗gdα (distrib.horizontal G− invariante)= Hdψ∗gα = Hd(ρ(g−1α)) = ρ(g−1)Hdα (pois d age apenas nas formas)

= ρ(g−1)Dωα

Proposição 1.3.10. Seja α ∈ ΩkG(P ;V ).

a) Dωα = dα + (dρ(e)ω) ∧ αb) D2

ωα = (dρ(e)Ω) ∧ α

Prova. Antes de demonstrarmos a proposição, note que dρ(e)ω ∈ Ω1(P ;End(V )) e utiliza-

mos a ação de End(V) em V para denir o produto exterior (cuja descrição está presente no

Apêndice A).

a) Considere agora X1, . . . , Xk+1 ∈ X(P ). Então

Dωα(X1, . . . , Xk+1) = dα(XH1 , . . . , X

Hk+1) =

k+1∑i=1

(−1)i+1XHi (α(XH

1 , . . . , XHi , . . . , X

Hk+1))

+∑i<j

(−1)i+jα([XHi , X

Hj ], XH

1 , . . . , XHi , . . . , X

Hj , . . . , X

Hk+1)

Como estamos interessados no valor de cada um desses campos de vetores num ponto p ∈ P ,podemos supor, sem perda de generalidade, que os campos horizontais XH

i são dados pelo

levantamento horizontal de campos em M e ainda que os campos de vetores verticais são dados

por XVi = σ(ω(Xi)), i = 1, . . . , k + 1. Dessa forma, vale que [XH

i , XVj ] = [XV

i , XHj ] = 0, pois

ωp([XVi , X

Hj ]p) = lim

t→0

1

t(dψexp(−tω(Xi))(X

Hj )p·exp(tω(Xi))−(XH

j )p) e dψexp(−tω(Xi))(XHj )p·exp(tω(Xi)) =

dψexp(−tω(Xi))dψexp(tω(Xi))(XHj )p = (XH

j )p. Além disso, como a distribuição vertical é integrável

e α se anua em vetores verticais, temos

30

Dωα(X1, . . . , Xk+1) =k+1∑i=1

(−1)i+1(Xi −XVi )(α(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1))

+∑i<j

(−1)i+jα([Xi, Xj], X1, . . . , Xi, . . . , Xj, . . . , Xk+1) =

dα(X1, . . . , Xk+1)−k+1∑i=1

(−1)i+1XVi (α(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1))

Chamemos função α(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1) = α(XH1 , . . . , X

Hi , . . . , X

Hk+1) de fi e gi(t) = tω(Xi).

Assim,XVi (fi) = LXV

ifi = d

dt

∣∣t=0

ψ∗exp(gi(t))fi = ddt

∣∣t=0

fiψexp(gi(t)). No entanto, (XHj )p·exp(gi(t)) =

dψexp(gi(t))(XHj )p. Então,

XVi (fi) = d

dt

∣∣t=0

(ψ∗exp(gi(t))α)(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1) =ddt

∣∣t=0

ρ(gi(t)−1)fi = −dρ(e)(ω(Xi))fi

concluímos então que

Dωα(X1, . . . , Xk+1) = dα(X1, . . . , Xk+1) +k+1∑i=1

(−1)i+1ρ(ω(Xi))(α(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1))

Note que

1

k!

∑θ∈Sk+1

(−1)θρ(ω(X∴(1)))(α(Xθ2 , . . . , Xθ1 , . . . , Xθk+1)) =

k+1∑i=1

(−1)i+1ρ(ω(Xi))(α(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1))

De fato, #θ ∈ Sk+1; θ(1) = i = #Sk = k!. Além disso, reordenamos os θ(i) em or-

dem crescente multiplicando por (−1)θ e colocamos o i-ésimo campo na primeira entrada com

(−1)i−1 = (−1)i+1. Ou seja,

ρ(ω(Xi))(α(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1)) = (−1)θ(−1)i+1ρ(ω(Xθ(1)))(α(Xθ(2), . . . , Xθ(1), . . . , Xθ(k+1)))

e segue o resultado.

b) D2ωα = Dω(dα + (dρ(e)ω) ∧ α) = Hd(dα + (dρ(e)ω) ∧ α). Agora d2 = 0 e pelo item 3 do

Lema A.0.1, temos que d((dρ(e)ω)∧ α) = (dρ(e)dω)∧ α− (dρ(e)ω)∧ dα. Como α se anula em

vetores verticais, H((dρ(e)dω) ∧ α) = (dρ(e)Hdω) ∧ α. Além disso, como vetores horizontais

são aqueles que se anulam em ω, H((dρ(e)ω) ∧ dα) = 0. Dessa forma,

D2ωα = (dρ(e)Hdω) ∧ α = (dρ(e)Ω) ∧ α

31

Note que, para E = gP , temos que Dωα = dα + [ω, α], onde α ∈ ΩKG (P ; g). Em particular,

vale:

Proposição 1.3.11. (Identidade de Bianchi) Seja ω uma 1-forma de conexão e Ω a 2-formade curvatura associada. Então

DωΩ = 0

ou, equivalentemente,dΩ = [Ω, ω]

Prova. Claramente a armações são equivalentes, pois

DωΩ = dΩ + [ω,Ω] = dΩ− [Ω, ω]

Para provar a armação, lembre que Ω = dω +1

2[ω, ω] (Prop. 1.3.5). Assim, utilizando

novamente o Lema A.0.1

dΩ =1

2d[ω, ω] =

1

2([dω, ω]− [ω, dω]) = [dω, ω]

Mas, pelo item 3 do Lema A.0.1, [ω, [ω, ω]] = 0, de modo que

[Ω, ω] = [dω +1

2[ω, ω], ω] = [dω, ω]

Nosso objetivo era denir, a partir de ω ∈ A, uma derivada covariante exterior no brado

associado E = P ×ρ V . Pela correspondência ΩkG(P, V ) ↔ Ωk(M,E) (Prop. A.0.3), podemos

considerar o mapa

dω : Ωk(M,E) −→ Ωk+1(M,E)

Ou seja, α ∈ Ωk(M,E) 7→ α ∈ ΩkG(P, V ) 7→ Dωα ∈ Ωk+1

G (P, V ) 7→ dωα = Dωα ∈ Ωk+1(M,E).

Vamos entender melhor esse mapa. Como discutido no apêndice, uma forma ζ ∈ Ωk(M ;E)

pode ser dada por uma coleção ζα ∈ Ωk(Uα;V ), satisfazendo ζα = ρ(gαβ)ζβ (em particular,

ζα = s∗αζ), onde ζ é a forma básica que corresponde a ζ). Como vimos, Dω ζ ∈ Ωk+1G (P ;V ) e

assim, dωζ é dado por (dωζ)α ∈ ΩK+1(Uα;V ).

Proposição 1.3.12. Temos quea) (dωζ)α = dζα + dρ(e)(Aα) ∧ ζαb) (d2

ωζ)α = dρ(e)(Fα) ∧ ζα

32

Prova.a)

s∗α(Dω ζ) = s∗α(dζ + dρ(e)(ω) ∧ ζ) = ds∗αζ + dρ(e)(s∗αω) ∧ s∗αζ = dζα + dρ(e)(Aα) ∧ ζα

b)

(d2ωζ)α = d(dωζ)α + dρ(e)(Aα ∧ (dωζ)α) =

dρ(e)(dAα) ∧ ζα − dρ(e)(Aα) ∧ dζα + dρ(e)(Aα) ∧ dζα + dρ(e)(Aα) ∧ dρ(e)(Aα) ∧ ζα =

dρ(e)(dAα +1

2[Aα,Aα]) ∧ ζα

Note que essa é exatamente a conexão ∇ (em k = 0) encontrada na Prop. 1.3.8. Além

disso, a curvatura Fω nos dá o quanto dω deixa de ser um complexo.

Em particular, o brado de álgebras de Lie desempenha um papel importante na teoria de

calibre. Nesse caso, a proposição acima nos dá que

(dωζ)α = dζα + [Aα, ζα] e

(d2ωζ)α = [Fα, ζα]

Observação 1.3.6. Claramente, pelo que foi discutido, vale que dωFω = 0 (ou, localmente,(dωFω)α = dFα + [Aα,Fα] = 0, para todo α).

1.4 Grupo de Transformações de Calibre

Em geometria diferencial temos a noção de mudança local de coordenadas, oriunda de car-

tas locais da variedade que se intersectam, e de mudança global de coordenadas, resultante

de difeomorsmos. Em teoria de calibre, temos uma analogia entre transformações de cali-

bre locais (escolha de seção local, ou, equivalentemente, trivialização do brado principal) e

transformações de calibre globais dadas pelo grupo de transformações de calibre.

Denição 1.4.1. Seja π : P −→ M um G-brado principal. Uma transformação de calibrede P é um automorsmo do brado, φ ∈ Aut(P ). Ou seja, φ : P −→ P é um difeomorsmo,satisfazendo:

1. π φ = π

33

2. φ(p · g) = φ(p) · g

Claramente, Aut(P) é um grupo com a composição de mapas. Existem outras caracteriza-

ções para o grupo de transformações de calibre. Antes de exibi-las, uma observação. O grupo

de Lie G age nele mesmo (à esquerda) por conjugação. Podemos então imitar a construção do

brado associado para a conjugação. O brado construído, P ×C G, não é em geral um brado

vetorial, ou um brado principal, porém possui a propriedade de trivialidade local e suas bras

são cópias de G.

Proposição 1.4.1. Os grupos abaixo são isomorfos:

1. Aut(P)

2. C∞C (P ;G) = f : PC∞−→ G; f(p · g) = g−1f(p)g

3. Γ(P ×C G)

Prova. (1 ↔ 2) Seja φ ∈ Aut(P ). Como p, φ(p) ∈ π−1(π(p)), segue que φ(p) = p · f(p).

Como φ é um difeomorsmo, f deve é suave e φ(p · g) = φ(p)g = p · f(p)g. Por outro lado,

φ(p ·g) = (p ·g) ·f(p ·g) = p ·gf(p ·g) e, como a ação de G em P é livre, concluímos que f(p ·g) =

g−1f(p)g. Agora, dado f ∈ C∞C (P ;G), dena φ(p) = p ·f(p). Claramente φ ∈ Aut(P ), uma vez

que φ(p·g) = (p·g)·f(p·g) = (p·g)·g−1f(p)g = (p·f(p))·g = φ(p)·g. Seja φ = φ1φ2 ∈ Aut(P )

e suponha que φ 7→ f , φ1 7→ f1 e φ2 7→ f2, f, f1, f2 ∈ C∞C (P ;G). O produto em C∞C (P ;G) é

dado pelo produto em G, i.e., (f1f2)(p) = f1(p)f2(p), então f = f1f2 e temos um isomorsmo

de grupos. De fato, p · f(p) = φ(p) = φ1(φ2(p)) = φ1(p · f2(p)) = φ1(p) · f2(p) = p · f1(p)f2(p).

Logo, f = f1f2.

(2 ↔ 3) Seja f ∈ C∞C (P ;G). Dado m ∈ Uα, dena s(m) = [sα(m), f(sα(m))]. Esta se-

ção de P ×C G está bem denida uma vez que, se m ∈ Uαβ, sβ(m) = sα(m) · gαβ(m) e

[sβ(m), f(sβ(m))] = [sα(m) · gαβ(m), gαβ(m)−1f(sα(m))gαβ(m)] = [sα(m), f(sα(m))]. Dada

uma seção s ∈ Γ(P ×C G), temos que s(π(p)) = [p, f(p)], para alguma f : P −→ G suave. Daí,

s(π(p · g)) = [p · g, f(p · g)] = [p, gf(p · g)g−1]. Como s(π(p · g)) = s(π(p)), segue que f(p · g) =

g−1f(p)g. Novamente temos um isomorsmo de grupos, pois, se f = f1f2 (com f 7→ s, f1 7→ s1

e f2 7→ s2), temos que s(m) = [sα(m), f(sα(m))] = [sα(m), f1(sα(m))f2(sα(m))] = (s1s2)(m).

O grupo de transformações de calibre será denotado por G sempre que não especicarmos

qual das 3 versões estamos utilizando.

34

Note que existe uma aplicação exponencial bra a bra natural:

exp : Γ(gP ) −→ Γ(P ×C G)

dada por exp(σ)(m) = exp(σ(m)), onde σ ∈ Γ(gP ). Ou seja, se σ(m) = [p, x] (x ∈ g e π(p) =

m), então exp(σ)(m) = [p, exp(x)]. Essa aplicação está bem denida, pois [p, x] = [p ·g, Adg−1x]

e o diagrama abaixo comuta

g

exp

Adg−1// g

exp

GCg−1

// G

Ou seja, [p · g, exp(Adg−1x)] = [p · g, Cg−1(exp(x))] = [p, exp(x)].

As seções de P ×C G podem ser dotadas de uma estrutura de variedade diferenciável (de

dimensão innita) modeladas em espaços de Hilbert. Nesse contexto, G pode ser visto como

um grupo de Lie de dimensão innita e mostra-se [33] que o mapa exponencial denido acima

identica Γ(gP ) com o espaço tangente na seção identidade (e(m) = [p, e], onde π(p) = m) de

Γ(P ×C G). Desse modo, podemos pensar em Γ(gP ) como a álgebra de Lie de Γ(P ×C G).

1.4.1 Ação do Grupo de Transformações de Calibre

Seja ω ∈ Ω1(P, g) uma 1-forma de conexão do brado principal P(M,G).

• Dado φ ∈ Aut(P ), φ∗ω ∈ Ω1(P, g) é uma 1-forma de conexão:

i) (φ∗ω)p(dψp(e)ξ) = ωφ(p(dφ(p)dψp(e)ξ = ωφ(pd(φ ψg)(e)ξ. Como φ ψg = ψφ(p),

(φ∗ω)p(dψp(e)ξ) = ξ, para todo p ∈ P e ξ ∈ g.

ii) ψ∗gφ∗ω = (φ ψg)∗ω. Mas φ ψg = ψg φ, logo, ψ∗gφ∗ω = (ψg φ)∗ω = φ∗ψ∗gω =

φ∗(Adg−1ω) = Adg−1(φ∗ω).

Temos então o seguinte mapa:

Aut(P )×A −→ A(φ, ω) 7−→ φ · ω .

= φ∗ω

como (IdP )∗ω = ω e (ω · φ1) · φ2 = φ∗2φ∗1ω = (φ1 φ2)∗ω = ω · φ1φ2, temos que o grupo

de transformações de calibre age à direita no espaço de conexões via pull-back. Denotaremos

também por ωφ.= φ∗ω ∈ A e a curvatura associada por Ωφ.

35

Lema 1.4.1. Seja ω ∈ A, com 2-forma de curvatura Ω, então a 2-forma de curvatura Ωφ

associada a ωφ = φ∗ω, onde φ ∈ Aut(P ), é φ∗Ω.

Prova. Denote por H e H as distribuições horizontais associadas a ω e ωφ, respectivamente.

Então, Ωφ(p)(u, v) = dωφ(p)(uH , vH), onde u = uV + uH , v = vV + vH ∈ Vp ⊕ Hp = TpP

(i.e., uH , vH ∈ Ker(φ∗ω)p e uV = dψp(e)ξ, vV = dψp(e)η, para algum ξ, η ∈ g). Daí,

ω(φ(p))(dφ(p)uH) = 0 e dφ(p)uH ∈ Hφ(p) (o mesmo vale para vH). Além disso, dφ(p)uV =

d(φ ψp)(e)ξ, e como φ ψp = ψφ(p), temos que dφ(p)uV ∈ Vφ(p). Concluímos então que

(dφ(p)u)H = dφ(p)uH . Agora, como a derivada exterior comuta com o pull-back, obtemos que

Ωφ(p)(u, v) = dω(φ(p))(dφ(p)uH , dφ(p)vH) = dω(φ(p))((dφ(p)u)H , (dφ(p)v)H) = (φ∗Ω)(p)(u, v)

É útil caracterizar a ação de Aut(P) em A a partir da função em C∞C (P ;G) correspondente.

Proposição 1.4.2. Seja ω ∈ A, φ ∈ Aut(P ) e f ∈ C∞C (P ;G) correspondente (i.e., φ(p) =

p · f(p). Então,

1. φ∗ω = Adf−1ω + f ∗θ

2. φ∗Ω = Adf−1Ω

Prova. i) φ é dado pela composição dos mapas p(id,f)7−→ (p, f(p))

σ7−→ p·f(p), i.e., φ = σ(id, f)

e podemos calcular sua derivada utilizando a regra da cadeia e o Lema 1.3.4:

dφ(p)v = dσ(p, f(p))d(id, f)(p)v = dσ(p, f(p))(v, df(p)v) = dψp(f(p))df(p)v + dψf(p)(p)v

Assim,

(φ∗ω)(p)v = ωp·f(p)(dψp(f(p))df(p)v + dψf(p)(p)v) = ωp·f(p)(dψp(f(p))df(p)v) +Adf(p)−1(ω(p)v)

Agora, note que ψp : h ∈ G 7→ p · h = (p · f(p)) · (f(p)−1h). Ou seja, ψp = ψp·f(p) Lf(p)−1 .

Daí,

ωp·f(p)(dψp(f(p))df(p)v) = ωp·f(p)(dψp·f(p)(e)dLf(p)−1(f(p))df(p)v) =

ωp·f(p)(dψp·f(p)(e)(f∗θ)(p)v) = (f ∗θ)(p)v

ii) Visto que φ∗Ω = dωφ +1

2[ωφ, ωφ] e temos que ωφ = Adf−1ω + f ∗θ, a demonstração (usando

o Lema A.0.7) é completamente análoga à demonstração da Prop. 1.3.7.

36

Vimos que uma 1-forma de conexão ω pode ser caracterizada por Aα = s∗αω ∈ Ω1(Uα; g),pois em P |Uα , ω é dada por Aα (Prop. 1.3.4). Reciprocamente, um conjunto Aα ∈ Ω1(Uα; g)satisfazendo a relação da Prop. 1.3.3, nos possibilita denir uma forma global ω ∈ Ω1(P ; g), tal

que s∗αω = Aα. Vamos entender como o grupo de transformações de calibre age nessas 1-formas

locais Aα.

Proposição 1.4.3. Seja ω ∈ A e Aα = s∗αω ∈ Ω1(Uα; g). Considere também φ ∈ Aut(P )

com f ∈ C∞C (P ;G) correspondente e dena φα = f sα : Uα −→ G. Então, se Aφα = s∗αωφ e

Fφα = s∗αΩφ, temos

1. Aφα = Adφ−1αAα + φ∗αθ

2. Fφα = Adφ−1α

(Fα)

Prova.1. Da Prop. 1,4,2, temos que ωφ = Adf−1ω + f ∗θ. Denote, temporariamente, por η = Adf−1ω.

Então, (s∗αη)(m)u = η(sα(m))(dsα(m)u) = Adf(sα(m))−1(ω(sα(m))dsα(m)u) = Adφα(m)−1((s∗αω)(m)u),

ou seja, s∗α(Adf−1ω) = Adφ−1αAα. Claramente, s∗αf

∗θ = (f sα)∗θ = φ∗αθ e segue o resultado.

2. Como φ∗Ω = Adf−1Ω, aplicando s∗α o resultado é imediato.

Observação 1.4.1. Note que φα, denido na proposição acima, nada mais é que o corres-pondente local de φ ∈ Aut(P ) ↔ f ∈ C∞C (P ;G) em Γ(P ×C G). De fato, se σ ∈ Γ(P ×CG) é este elemento correspondente, pela proposição 1.4.1, temos que, se m ∈ Uα, σ(m) =

[sα(m), f(sα(m))] = [sα(m), φα(m)].

1.5 Instantons

Como descrito no apêndice B, a estrela de Hodge de uma variedade riemanniana orientada

(M, g), é uma aplicação C∞(M)-linear ∗ : Ωk(M) −→ Ωn−k(M), que satisfaz ∗2 = (−1)k(n−k).

Podemos estender a estrela de Hodge para formas com valores em um brado vetorial E de

maneira natural

∗ : Ωk(M ;E) −→ Ωn−k(M ;E)

denindo ∗(α⊗ s) = ∗α⊗ s, onde α ∈ Ωk(M) e s ∈ Γ(E) (e estendendo por linearidade).

Em particular, se M tem dimensão igual a n = 4, em k = 2, ∗ : Ω2(M) −→ Ω2(M) e ∗2 = 1.

Portanto, o espaço de 2-formas se decompõe como Ω2(M) = Ω2+(M) ⊕ Ω2

−(M), onde Ω2±(M)

representa o autoespaço cujo autovalor é ±1. Em particular, se α ∈ Ω2(M),

α = α+ + α−

37

onde, α+ =1

2(α + ∗α) e α− =

1

2(α− ∗α).

Dada uma 1-forma de conexão ω ∈ A do brado principal P(M,G), vimos que a 2-forma

de curvatura corresponde a Fω ∈ Ω2(M ; gP ). Estendendo, portanto, a estrela de Hodge para

formas com valores no brado vetorial de álgebras de Lie, temos a seguinte denição.

Denição 1.5.1. Seja P(M,G) um brado principal, onde M é uma 4-variedade riemannianaorientada. Uma 1-forma de conexão ω em P é dita anti-auto-dual, ou instanton, se ∗Fω = −Fω.No caso em que ∗Fω = Fω, a conexão é dita auto-dual.

Observação 1.5.1. Trocando a orientação de M, conexões anti-auto-duais viram duais, e vice-versa, de modo que as teorias obtidas através da escolha entre auto-dual e anti-auto-dual sãoequivalentes. Como observado em [33], superfícies complexas têm uma orientação natural econexões anti-auto-duais estão relacionadas com estabilidade de brados vetoriais holomorfos(enquanto conexões auto-duais se relacionam com brados anti-holomorfos). Por esse motivo,escolheremos o sinal negativo e trabalharemos com instantons.

Comentários sobre o funcional de Yang-Mills

Seja P(M,G) um brado principal sobre uma variedade riemanniana 4-dimensional compacta

e orientada (M,g). Vamos denir uma norma em Ω2(M ; gP ), onde moram as curvaturas Fω,associadas às conexões ω ∈ A de P(M,G).

Seja ζ ∈ Ω2(M ; gP ). Como observado no apêndice A, ζ é dado localmente por ζα ∈Ω2(Uα; g), satisfazendo ζα = Ad(gαβ)(ζβ) em Uαβ. Portanto, se a álgebra de Lie de G admite

um produto interno Ad-invariante < ·, · >, podemos considerar o pareamento entre esse produto

interno em g com ζα 7→ ζα ∧ ∗ζα. Como o produto interno em g é Ad-invariante o pareamento

citado concorda nas interseções Uαβ e está globalmente denido. Este será denotado por

< ζ ∧ ∗ζ >g.

Denição 1.5.2. O funcional de Yand-Mills é denido por

YM : A −→ Rω 7→ ‖ω‖2

L2 =∫M< Fω ∧ ∗Fω >g

Observação 1.5.2. 1. Se M não é compacta, ainda podemos denir o funcional de Yang-Mills para as conexões com

∫M< Fω ∧ ∗Fω >g<∞.

38

2. A Prop. 1.4.3 nos dá que a ação de um elemento do grupo de transformações de calibreem Fα é dada por Fφα = Adφ−1

α(Fα). Portanto, pela Ad-invariância do produto interno

em g, temos que o funcional de Yang-Mills é invariante pela ação de G e assim ca bemdenido

YM :AG−→ R

3. Geralmente, em teoria de calibre, considera-se grupos de Lie de matrizes conexos, com-pactos e semi-simples (SU(n), SO(n), Sp(n)). Neste caso, a forma de Killing k(x, y) =

tr(ad(x) ad(y)), x, y ∈ g, é negativa denida e < x, y >= −tr(ad(x) ad(y)) deneum produto interno Ad-invariante. Por isso, muitas vezes, encontra-se na literatura aseguinte notação para o funcional de Yang-Mills −

∫Mtr(Fω ∧ ∗Fω) (ou alguma norma-

lização do mesmo).

4. Mostra-se que, se a segunda classe de Chern do brado vetorial complexo associado aoprincipal pela representação natural (supõe-se G um grupo de Lie de matrizes, em ge-ral compacto, conexo e semi-simples) for positiva, instantons são mínimos globais dessefuncional (similarmente, mínimos globais quando a segunda classe de Chern é negativasão as conexões auto-duais). Do funcional de Yang-Mills, obtemos as equações de Yang-Mills (dω ∗ Fω = 0) e soluções desta são os mínimos locais do funcional. Note que, pelaidentidade de Bianchi, instantons e formas auto-duais são imediatamente soluções para aequação. Existem, no entanto, soluções da equação de Yang-Mills que não são instantonsnem conexões auto-duais (ver, por exemplo, [39]).

1.6 Espaço de Moduli de Instantons

Comentários

Esta seção foi incluída apenas à título de completude. Os resultados não serão demonstrados

(e muitos deles dependem de ferramentas de análise e considerações técnicas sobre teoria de

variedades de dimensão innita). Boas referências para a teoria de calibre são [3], [11], [14] e

[33].

Seja (M4, g) uma variedade riemanniana compacta e orientável, G um grupo de Lie de

matrizes compacto, conexo e semi-simples (SU(r), por exemplo) e P(M,G) um brado principal.

39

Dado um instanton ω ∈ A− (i.e. Fω = − ∗ Fω), temos o seguinte complexo

0 −→ Ω0(M ; gP )dω−→ Ω1(M ; gP )

d+ω−→ Ω2+(M ; gP ) −→ 0

onde d+ω denota a composição de dω com a projeção no espaço das formas auto-duais (e, de fato

temos um complexo, pois F+ω = 0).

Já vimos que Ω0(M ; gP ) = Γ(gP ) = Lie(G) e também que Ω1(M ; gP ) ' TωA, pois o

espaço das conexões é um espaço am modelado em Ω1(M ; gP ). Utilizando as ferramentas

desenvolvidas no texto é possível mostrar que Imdω = Tω(ω · G) e que Kerd+ω = TωA−.

É importante (e natural) excluir conexões cujos grupos de isotropia são "grandes". Para

isso, vamos denir informalmente a holonomia de uma conexão.

Denição 1.6.1. Seja ω ∈ A

1. Uma curva suave γ : [0, 1] −→ P é dita horizontal, se ω(γ(t)(γ′(t)) = 0 para todo t ∈ [0, 1]

(ou seja, os vetores tangentes à curva estão na distribuição horizontal determinada pela1-forma de conexão ω)

2. Dados p, q ∈ P . Denimos uma relação de equivalência em P pedindo que p ∼ q se existiruma curva horizontal (suave por caminhos).

3. Holp(ω).= g ∈ G ; p · g ∼ p

Mostra-se que ∼ é de fato uma relação de equivalência, e que Holp(ω) forma um grupo,

chamado grupo de holonomia de ω em p. Para pontos que podem ser ligados por um caminho,

esses grupos são conjugados (e portanto isomorfos). Assim, como P é uma variedade conexa,

podemos falar no grupo de holonomia Hol(ω).

Denição 1.6.2. Uma conexão é dita irredutível, se Hol(ω) = G e redutível caso contrário.

Considerar apenas conexões irredutíveis é natural, pois se a holonomia H = Hol(ω) é

um subgrupo próprio de G é possível reduzir o grupo de estrutura do brado para H. Além

disso, é possível provar (para os grupos de Lie considerados no início da seção) que o grupo

de isotropia de conexões irredutíveis corresponde ao centro do grupo. Daí, mostra-se que

H0ω(M ; gP ) = Kerdω = Lie(Γω) = Lie(Z(G)) = Z(g) que, por sua vez, é um ideal abeliano de

g e deve ser zero se a álgebra é semi-simples.

Sejam H i(M ; gP ), i = 0, 1, 2, os grupos de cohomologia do complexo e denote por hi suas

dimensões. Se nos restringirmos aos instantons com h0 = h2 = 0, é possível usar um teorema

40

de Atiyah, Hitchin e Singer, que garante que o quocienteM .=ω ∈ A− ; h0 = h2 = 0

Gé uma

variedade diferenciável, cuja dimensão pode ser calculada através de invariantes topológicos.

O teorema do índice é utilizado quando se demonstra que o operador de deformação δω :

Ω1(M ; gP ) −→ Ω0(M ; gP ) ⊕ Ω2(M ; gP ), dado por δω = d∗ω ⊕ dω é elíptico e assim Freedhom

(i.e., tem núcleo e conúcleo de dimensão nita). Daí, identica-se o espaço tangente de uma

classe de conexão no espaço de moduli de instantons com o núcleo desse operador, de modo

que a dimensão deM é o índice do operador δ (calculado pelo teorema do índice). Chamamos

esse espaço de espaço de moduli de instantons. Em particular, xada a classe de Chern do

brado vetorial complexo associado c2(E) = n e seu posto, rank(E) = r, denota-se tal espaço

de moduli porM(r, n).

Cabe ressaltar que problemas (da análise) surgem rapidamente quando se se considera es-

paços de moduli de instantons, uma vez que tanto o grupo de transformações de calibre quanto

o espaço de conexões têm dimensão innita. Se faz necessário, portanto, introduzir ferramentas

pesadas para se obter informações sobre esses quocientes.

41

42

Capítulo 2

Mapas Momento e Redução

2.1 Geometria Simplética

Denição 2.1.1. Seja M uma variedade diferenciável e ω ∈ Ω2(M). Dizemos que o par (M,ω)

é uma variedade simplética, se

1. dω = 0 (i.e., ω é uma dois forma fechada)

2. ω é não-degenerada (i.e., dado p ∈ M e v1 ∈ TpM , v1 6= 0, existe v2 ∈ TpM comωp(v1, v2) 6= 0)

Segue da denição algumas consequências imediatas

1. Como ωp : TpM×TpM −→ R é bilinear e anti-simétrico, p ∈M , temos, pela álgebra linear,

que existe uma base de TpM , o1, . . . , ok, u1, . . . , un, v1, . . . , vn, tal que, com relação à

essa base, ωp é representada pela seguinte matriz quadrada anti-simétrica 0k 0 0

0 0 1n

0 −1n 0

onde 0k é a matriz nula k×k, 1n a matriz identidade n×n, k = dimu ∈ TpM | ωp(u, v) =

0 para todo v ∈ TpM e k + 2n = dimTpM . Como ω é não-degenerada, k = 0 e

variedades simplética têm obrigatoriamente dimensão par. Em particular, chama-se tal

base, u1, . . . , un, v1, . . . , vn, de base simplética.

43

2. A não-degenerescência de ω dá um isomorsmo natural entre os brados tangente e co-

tangente de M. Denotaremos também por ω o seguinte mapa

ω : TM −→ T ∗M

v ∈ TpM 7−→ ωp(v, ·) ∈ T ∗pM

Este é claramente um mapa (diferenciável) entre os brados vetoriais. Como dimTpM =

dimT ∗pM , pelo teorema do núcleo e imagem, basta mostrar que ω|TpM é injetivo. Mas, se

ω(v1) = 0, v1 ∈ TpM , devemos ter v1 = 0 (caso contrário, pela não-degenerescência de ω,

∃ v2 ∈ TpM com ωp(v1, v2) 6= 0).

Em particular ω dá uma correspondência entre as seções dos brados tangente e co-

tangente, a saber, campos de vetores e 1-formas de M, respectivamente (X ∈ X(M).=

Γ(TM) 7−→ iXω ∈ Ω1(M), onde iX é a contração de ω pelo campo X).

3. Se (M2n, ω) é uma variedade simplética, M é orientável e, em particular, ωn.= ω∧ . . .∧ω

(n vezes) é uma forma volume. De fato, dado p ∈M , tome uma base simplética de TpM

como descrita anteriormente. Segue que ωn(u1, . . . , un, v1, . . . , vn) 6= 0. Em particular,1

n!ωn é chamada forma de Liouville.

A noção de equivalência em geometria simplética se dá através dos simplectomorsmos,

denidos abaixo.

Denição 2.1.2. Sejam (M2n1 , ω1) e (M2n

2 , ω2) variedades simpléticas. Um simplectomorsmoentre tais variedades é um difeomorsmo ϕ : M1 −→ M2, tal que ϕ∗ω2 = ω1. Em particular,denotamos por Sympl(M, ω) o conjunto de simplectomorsmos de (M, ω).

Observação 2.1.1. Sympl(M,ω) ⊆ Diff(M) é claramente um grupo com composição, poisse ϕ1, ϕ2 ∈ Symp(M,ω), (ϕ1ϕ2)∗ω = ϕ∗2ϕ∗1ω = ω e, se ϕ ∈ Sympl(M,ω), ω = (ϕϕ−1)∗ω =

(ϕ−1)∗(ϕ∗ω) = (ϕ−1)∗ω, logo ϕ−1 ∈ Sympl(M,ω). Este grupo é um objeto muito interessanteem geometria simplética. Apesar de não serem utilizadas nesta dissertação, cabem algumasobservações a título de curiosidade acerca deste grupo. Podemos dotá-lo, por exemplo, com atopologia Ck, 0 ≤ k ≤ ∞, e foi provado por Gromov e Eliashberg que Symp(M,ω) é C0-fechadoem Di(M) (i.e. todo difeomorsmo de M que é limite de simplectomorsmos na topologia C0,é um simplectomorsmo). Além disso, simplectomorsmos são difeomorsmos que preservamvolume (ϕ∗(ωn) = (ϕ∗ω)n). Uma pergunta natural é a relação entre os espaços dos simplecto-morsmos e dos difeomorsmos que preservam volume. Dacorogna e Moser mostraram que é

44

sempre possível comprimir uma bola de raio grande num cilindro arbitrariamente pequeno atra-vés de um difeomorsmo que preserva volume. Tal resultado, como demonstrado por MikhailGromov, em seu trabalho com curvas holomorfas, não vale na categoria simplética, de modoque simplectomorsmos são mais restritivos que difeomorsmos que preservam volume.

Exemplo 2.1.2. Seja M = R2n com coordenadas (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) e considere

ω0 =n∑i=1

dxi ∧ dyi

ω0 é claramente fechada. Além disso, se ωp(v, ) = 0, para algum

v =n∑i=1

ai∂

∂xi

∣∣∣∣p

+ bi∂

∂yi

∣∣∣∣p

∈ TpM , ωp(v, ∂∂xi

∣∣p) = −bi = 0 e ωp(v, ∂

∂yi

∣∣∣p) = ai = 0 e v = 0.

Logo, ω0 é não-degenerada e (R2n, ω0) uma variedade simplética.

Observação 2.1.3. Podemos identicar R2n ≡ Cn através de zj = xj + iyj, j = 1, . . . , n.Dessa forma, podemos escrever ω0 a partir das coordenadas de Cn

ω0 =i

2

n∑j=1

dzj ∧ dzj

pois dzj ∧dzj = (dxj + idyj)∧ (dxj− idyj) = −2idxj ∧dyj. Assim, (Cn, ω0) é também variedadesimplética.

Diferente de variedades Riemannianas, por exemplo, que possuem estrutura local rica, va-

riedades simpléticas de mesma dimesão são modeladas localmente pelo exemplo anterior, i.e.

toda variedade simplética (M2n, ω) é localmente simplectomorfa a (R2n, ω0). Este é o enunciado

do teorema de Darboux, cuja demonstração pode ser encontrada em [9].

Teorema 2.1.1. (Darboux) Seja (M2n, ω) uma variedade simplética. Então, dado p ∈M existeum sistema de coordenadas locais (U, (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)), centrado em p, tal que

ω =n∑i=1

dxi ∧ dyi, em U

Antes de desenvolver um pouco mais a teoria, é instrutivo nos familiarizarmos com mais

exemplos.

Exemplo 2.1.4. Seja Mn uma variedade e π : T ∗M −→M seu brado cotangente. Dado umsistema de coordenadas locais (U, φ = (x1, . . . , xn)) de M, considere

45

π−1(U) −→ φ(U)× Rn ⊆ R2n

ξ 7−→ (x1(π(ξ)), . . . , xn(π(ξ)), ξ( ∂∂x1

∣∣π(ξ)

), . . . , ξ( ∂∂xn

∣∣π(ξ)

))

(U.= π−1(U), φ = (x1, . . . , xn, a1, . . . , an)) é um sistema de coordenadas locais de T ∗M , onde

ai ∈ C∞(U), ai(ξ) = ξ( ∂∂xn

∣∣π(ξ)

) (ou seja, ξ =n∑i=1

ai(ξ)dxi|π(ξ)) e, por abuso de notação,

denotamos xi π ∈ C∞(U) por xi ∈ C∞(U). Considere, então, a seguinte 2-forma em U

ω =n∑i=1

dxi ∧ dai

Para mostrar que essa 2-forma independe do sistema de coordenadas locais escolhido, observa-mos que

ω = −dα, onde α =n∑i=1

aidxi é uma 1-forma de U

e verica-se que α esta intrinsecamente denida. Para isso, sejam (U , x1, . . . , xn, a1, . . . , an)

e (V , y1, . . . , yn, b1, . . . , bn) sistemas de coordenadas locais de T ∗M (como anteriormente), comξ ∈ T ∗pM em U ∩ V .

ξ =n∑i=1

ai(ξ)dxi|p =n∑i=1

bi(ξ)dyi|p, onde bj =n∑i=1

ai(ξ)dxi|p(∂

∂yj

∣∣∣∣p

) =n∑i=1

ai(ξ)(∂xi∂yj

∣∣∣∣p

)

Calculando α no segundo sistema de coordenadas obtemos

α =n∑j=1

bjdyj =n∑

i,j=1

ai(∂xi∂yj

∣∣∣∣π(·)

)dyj =n∑i=1

ai(n∑j=1

(∂xi∂yj

∣∣∣∣π(·)

)dyj) =n∑i=1

aidxi

Dessa forma, (T ∗M,ω) é uma variedade simplética (em particular, demos os sistemas de coor-denadas locais do teorema de Darboux).

Exemplo 2.1.5. Sejam (M1, ω1) e (M2, ω2) variedades simpléticas, então o produto M1 ×M2

é naturalmente uma variedade simplética. Sejam π1 e π2 as projeções de M1 ×M2 em M1 eM2, respectivamente, e considere a 2-forma em M1 ×M2 dada por

ω = π∗1ω1 + π∗2ω2

Note que ω é fechada, pois dω = dπ∗1ω1 + dπ∗2ω2 = π∗1dω1 + π∗2dω2 = 0. Além disso, assu-mindo o isomorsmo T(p1,p2)(M1 × M2) ∼= Tp1M1 × Tp2M2, seja (u1, v1) ∈ Tp1M1 × Tp2M2

46

tal que ω(p1,p2)((u1, v1), (u2, v2)) = 0, para todo (u2, v2) ∈ Tp1M1 × Tp2M2. Então, comodπ1(p1, p2)(u, v) = u (v, para π2), temos que

ω(p1,p2)((u1, v1), (u2, v2)) = ω1(p1)(u1, u2) + ω2(p2)(v1, v2)

Fazendo v2 = 0, obtemos que ω1(p1)(u1, u2) = 0, para todo u2 ∈ Tp1M1, logo, pela não-degenerescência de ω1, devemos ter u1 = 0 (analogamente, concluímos que v1 = 0). Assim, ωé não-degenerada, portanto uma forma simplética.

Observação 2.1.6. Superfícies (i.e. variedades diferenciáveis de dimensão 2) orientáveis sãotrivialmente variedades simpléticas (tome uma forma volume). Então, produtos de n superfíciesde Riemann (que são variedades complexas, logo orientáveis), por exemplo, dão exemplos devariedades simpléticas de dimensão 2n.

Exemplo 2.1.7. Seja M = S2 = p = (a, b, c) ∈ R3|a2 + b2 + c2 = 1 e dena

ωp(u, v) = 〈p, u× v〉

onde u, v ∈ TpS2 = q ∈ R3| 〈p, q〉 = 0 (× e 〈·, ·〉 são o produto exterior e o produto internousual de R3, respectivamente). Temos que ωp é bilinear e alternado, pois o produto exterioro é (e o produto interno é bilinear), logo ω ∈ Ω2(S2). Como dimensão de S2 é 2, segue queω é fechada. Além disso, ela também é não-degenerada. De fato, se u 6= 0, u ∈ TpS

2, tomev = u× p. Como, 〈p, u× (u× p)〉 = 〈u× p, u× p〉 6= 0, segue que ω é não degenerada e temosque (S2, ω) é uma variedade simplética.

Existe uma obstrução, a nível de cohomologia, que impede que esferas S2n, com n > 2,

possuam estrutura simplética. Vejamos como se dá essa obstrução. Seja (M2n, ω) uma variedade

simplética e assuma M fechada (i.e. variedade compacta e sem bordo). Como dω = 0, [ω] ∈H2dR(M,R). Além disso, 0 6= [ω]n = [ωn] ∈ H2n

dR(M,R) (onde [ω]n é o produto de [ω] n vezes

na cohomologia de de Rham), pois, caso contrário, ωn seria uma forma exata e, como M é sem

bordo, pelo teorema de Stokes obteríamos que a integral de ωn sobre M é zero, o que contradiz

o fato de ωn ser forma volume. Portanto, devemos ter H2jdR(M,R) 6= 0, j = 1, . . . , n. Como

HkdR(Sn,R) é não trivial apenas para k = 0, n [8], nenhuma esfera de dimensão maior que dois

pode ser dotada de estrutura simplética.

47

2.1.1 Mapa Momento

Seja (M,ω) uma variedade simplética. Dado, H ∈ C∞(M), dH ∈ Ω1(M), e considere o

campo XH dado pelo isomorsmo entre X(M) e Ω1(M), i.e.

iXHω = dH

tal campo é chamado campo hamiltoniano.

Note que XH deixa a forma simplética invariante (i.e. LXHω = 0, onde L é a derivada de

Lie). De fato, pela fórmula de Cartan temos que:

LXHω = diXHω + iXhdω = 0

pois iXHω = dH (e d2 = 0) e dω = 0 (forma simplética).

Comecemos agora com um campo de vetores X ∈ X(M) que deixa a forma simplética in-

variante. Então, novamente pela fórmula de Cartan:

0 = LXω = diXω + iXdω = diXω

Ou seja, iXω é fechada. Se pedirmos H1dR(M) = 0, iXω é também exata e existe H ∈ C∞(M)

satisfazendo iXω = dH (claramente não há unicidade, pois H + constante também satisfaz

a condição). Assim, se H1dR(M) = 0 (M simplesmente conexa, por exemplo), todo campo de

vetores que deixa ω invariante é campo hamiltoniano.

Observação 2.1.8. Campos hamiltonianos nos permitem denir um colchete de Poisson emC∞(M), a saber

f, g = Xf (g) = ω(Xg, Xf )

onde a última igualdade vem de Xf (g) = dg(Xf ) = iXgω(Xf ) = ω(Xg, Xf ) (aqui, como ante-riormente, df = iXfω e dg = iXgω). Em particular, o colchete de Poisson torna C∞(M) umaálgebra de Lie (de dimensão innita).

Campos que deixam a forma simplética invariante podem ser obtidos, como veremos a

seguir, a partir de uma ação simplética de um grupo de Lie G em (M,ω), onde (M,ω) é

variedade simplética. G age simpleticamente em (M,ω) se existe um homomorsmo de grupos

ψ : G −→ Diff(M), tal que ψ∗gω = ω, para todo g ∈ G. Ou seja,

ψ : G −→ Sympl(M,ω)

48

Dado, ξ ∈ g, temos o seguinte campo de vetores associado, Xξ ∈ X(M), dado por

(Xξ)p =d

dt

∣∣∣∣t=0

(exp(tξ) · p)

Sobre a notação: Em geral , confundiremos ações (à esquerda) de um grupo de Lie G numa

variedade M, G×M −→ M , com homomorsmos de grupos ψ : G −→ Diff(M). De fato, as

noções são equivalentes e a ação (que denotaremos por ·) está relacionada com o homomorsmo

ψ por ψg(p) = g · p. Por abuso de notação, xado um p ∈M , a aplicação G −→M , g 7−→ g · p,será denotada por ψp.

Dito isso, podemos escrever (Xξ)p = ddt

∣∣t=0

(exp(tξ) · p) = ddt

∣∣t=0

ψp(exp(tξ)) = dψp(e)ξ, onde

fazemos a identicação usual de g com TeG.

Antes de mostrar que os campos de vetores denidos acima, Xξ ∈ X(M), deixam a forma

simplética invariante, vamos relembrar informal e brevemente a noção de uxo de um campo.

Dado X ∈ X(M), dizemos que uma curva diferenciável γ : I ⊆ R −→ M é uma curva integral

de X, se γ′(t) = Xγ(t), para todo t ∈ I. Tomando coordenadas locais, obtemos um sistema de

equações diferenciais ordinárias e conclui-se, pelos teoremas padrões de existência e unicidade de

EDOs, que dado p ∈M existe uma única curva integral γp : (ap, bp) −→M , ap, bp ∈ R∪±∞,com 0 ∈ (ap, bp) (i), γp(0) = p (ii) e tal que, se η : (c, d) −→ M é outra curva integral satisfa-

zendo (i) e (ii), então (c, d) ⊆ (ap, bp) e (γp)|(c,d) = η. Chamamos tal curva de curva integralmaximal de X por p. Dado p ∈ M , mostra-se que existe ε > 0, e um aberto U contendo p, tal

que o mapa (−ε, ε)×U −→M , dado por (t, q) 7−→ φtX(q).= γq(t), é bem denido e diferenciável.

Chamamos φtX deuxo do campo X (ver, por exemplo, [27] para uma discussão mais detalhada).

Voltando ao nosso caso, dado ξ ∈ g, considere a curva γ(t) = exp(tξ) · p, que está denida

num aberto contendo 0, γ(0) = p e segue diretamente da denição que γ′(0) = (Xξ)p. Mais

ainda, γ é curva integral de Xξ por p. De fato, (Xξ)γ(s) = ddt

∣∣t=0

exp(tξ) · (exp(sξ) · p) =ddt

∣∣t=0

(exp(tξ)exp(sξ)) · p = ddt

∣∣t=0

exp(t+ s)ξ · p = γ′(s).

Dado um campo X ∈ X(M), (LXω)p = ddt

∣∣t=0

((φtX)∗ω)p, onde φtX denota o uxo do campo

X. Portanto, como para o campo X = Xξ, φtX = ψexp(tξ) e a ação é simplética (ψ∗gω = ω, para

todo g ∈ G), temos que LXξω = 0.

Assim, se H1dR(M) = 0, Xξ é campo hamiltoniano. Escolhendo, Hξ ∈ C∞(M), para cada

49

ξ ∈ g, com dHξ = iXξω, temos o seguinte mapa

g −→ C∞(M)

ξ 7−→ Hξ

Esse mapa pode ser tomado linear. Para isso, xe uma base ξ1, . . . , ξk de g, escolha Hξj ∈C∞(M) satisfazendo dHξj = iXξjω, j = 1, . . . , k, e estenda por linearidade. Dado ξ ∈ g,

ξ =k∑j=1

ajξj e (Xξ)p = dψp(e)ξ =k∑j=1

ajdψp(e)ξj =k∑j=1

aj(Xξj)p, logo Xξ =k∑j=1

ajXξj .

Agora, como estendemos o mapa g −→ C∞(M) por linearidade, Hξ =k∑j=1

ajHξj ⇒ dHξ =

k∑j=1

ajdHξj =k∑j=1

ajiXξjω = ω(k∑j=1

ajXξj , ·) = iXξω, como gostaríamos.

Note que, mesmo pedindo que o mapa g −→ C∞(M) seja linear, ainda há uma escolha de

constantes. Para tentar remediar essa situação vamos pensar nesse mapa como:

µ : M −→ g∗

µ(p)(ξ) = Hξ(p)

onde p ∈ M e ξ ∈ g. Observe que, ao pedirmos linearidade de g −→ C∞(M), garantimos que

o mapa está bem denido (i.e. µ(p) ∈ g∗).

Agora, G age no domínio e no contra-domínio do mapa µ. A ação em g∗ é dada pela re-

presentação coadjunta, que relembraremos abaixo. Primeiramente, associado ao grupo de Lie

G, temos, para cada g ∈ G, os difeomorsmos Lg, Rg : G −→ G (multiplicação por g à esquerda

e à direita, respectivamente). Denotamos por Cg = Lg Rg−1 (conjugação). Denimos então a

representação adjunta por

Ad : G −→ Aut(g)

Ad(g) = dCg(e)

A ação coadjunta dene-se como

Ad∗ : G −→ Aut(g∗)

Ad∗g(δ)(ξ) = δ(Adg−1ξ)

50

Observação 2.1.9. A presença de g−1 na denição da representação coadjunta é necessáriapara termos de fato uma representação. Primeiramente, Cgh(x) = ghxh−1g−1 = Cg Ch(x),logo, tomando a derivada no elemento neutro e ∈ G, obtemos Adgh = AdgAdh. Agora,Ad∗gh(δ)(ξ) = δ(Adh−1g−1(ξ)) = δ(Adh−1(Adg−1) = Ad∗h(δ)(Adg−1ξ) = Ad∗g(Ad

∗h(δ))(ξ) = Ad∗gAd

∗h(δ)(ξ).

Logo, vale Ad∗gh = Ad∗gAd∗h.

Podemos pedir, então, que o mapa µ seja compatível com as ações de G em M e em g∗. Ou

seja,

Ad∗g µ = µ ψg

para todo g ∈ G.

Vamos resumir essa discussão na seguinte denição.

Denição 2.1.3. Seja (M,ω) uma variedade simplética, G um grupo de Lie e ψ : G −→Sympl(M,ω) uma ação simplética. Dizemos que ψ é uma ação hamiltoniana se existe ummapa

µ : M −→ g∗

satisfazendo,

1. dµξ = iXξω, para todo ξ ∈ g (onde µξ ∈ C∞(M), µξ(p) .= µ(p)(ξ))

2. Ad∗g µ = µ ψg, para todo g ∈ G

O mapa µ é chamado mapa momento.

Lema 2.1.1. Seja (M,ω) uma variedade simplética e G um grupo de Lie agindo de formasimplética em (M,ω). Se a 2-forma é exata, ω = dθ, e a ação preserva também a 1-forma θ(i.e. ψ∗gθ = θ, para todo g ∈ G), então a aplicação µ : M −→ g∗, denida por µ(m)(ξ) =

−θ(m)(Xξ)m é um mapa momento para a ação de G em M.

Prova. Como a ação preserva θ, LXξθ = 0 e pela fórmula de Cartan, obtemos iXξdθ =

−diXξθ. Equivalentemente, iXξω = −dµξ. Além disso, para mostrar a G-equivariância, precisa-

mos mostrar que θp(XAdg−1ξ)p = θg·p(Xξ)g·p. Mas, dψg(p)(XAdg−1ξ)p = dψg(p)dψp(e)dCg−1(e)ξ =

d(ψg ψp Cg−1)(e)ξ e como ψg ψp Cg−1 = ψg·p, temos dψg(p)(XAdg−1ξ)p = (Xξ)g·p. Sendo

assim, θg·p(Xξ)g·p = θg·p(dψg(p)(XAdg−1ξ)p) = (ψ∗gθ)p(XAdg−1ξ)p = θp(XAdg−1ξ)p

51

Nem todo ação simplética é hamiltoniana (ou seja, mapas momento não necessariamente

existem). Além disso, caso a ação seja hamiltoniana, podem existir mais de um mapa mo-

mento. Mais à frente teremos mais a dizer sobre a existência e unicidade desses mapas. No

momento, nos contentaremos com a seguinte observação. Sejam µ1 e µ2 mapas momento

para a ação simplética ψ : G −→ Sympl(M,ω), onde M é conexa. Então, dado ξ ∈ g,

d(µξ1 − µξ2) = iXξω − iXξω = 0, logo, como M é conexa, µξ1 − µ

ξ2 = c(ξ) ∈ R. Como a aplicação

ξ ∈ g 7−→ µξ ∈ C∞(M) é linear, obtemos (µ1 − µ2)(p) = c ∈ g∗, para todo p ∈ M . Tam-

bém temos que (µ1 − µ2) ψg = Ad∗g(µ1 − µ2), logo Ad∗g(c) = c, para todo g ∈ G. Concluímos

que dados dois mapas momento, eles diferem por um elemento de g∗ xado pela ação coadjunta.

Reciprocamente, dado um mapa momento µ para a ação ψ, considere δ ∈ g∗ xado pela ação

coadjunta. Assim, µ : M −→ g∗, dado por p 7−→ µ(p) + δ é claramente mapa momento para

ψ e podemos concluir que o conjunto dos mapas momento para a ação dada é parametrizado

pelos elementos de g∗ xados pela ação coadjunta.

Exemplo 2.1.10. Seja M = R6 com coordenadas x1, x2, x3, y1, y2, y3 e forma simplética canô-nica ω = dx1 ∧ dy1 + dx2 ∧ dy2 + dx3 ∧ dy3. Considere a seguinte ação de G = R3

ψ : g ×M −→M

g · (a1, a2) = (g + a1, a2)

onde a1, a2, g ∈ R3.A ação é claramente simplética, uma vez que dψg(p) = Id. Além disso, dado ξ ∈ g = R3 e

a = (a1, a2) ∈M(Xξ)a = dψa(0)ξ = (ξ, 0)

Dena então a função µξ : (a1, a2) ∈ M 7→ ξ · a2 (onde · é o produto escalar de R3). Como µξ

é linear, dado v = (v1, v2) ∈ TaM = R6,

dµξ(a)v = µξ · v2

Como (Xξ)a = (ξ, 0), ω((ξ, 0), (v1, v2) = µξ · v2 = dµξ(a)v

Como Ad∗g = Idg∗, temos que µ : R6 −→ (R3)∗, dado por (µ(a))ξ = µξ(a), é um mapamomento para a ação descrita (µ(g + a1, a2) = µ(a1, a2)).

Em geral, identica-se (R3)∗ ' R3 através do produto escalar de R3 e assim o mapa momentoé a projeção (a1, a2) 7→ a2. Se pensarmos em R6 como o brado cotangente de R3, temos que omapa momento é o momento linear da física.

52

Exemplo 2.1.11. Seja M = Cn e G = U(n) agindo por multiplicação de matriz em M (logo,a ação é simplética, pois linear). Denotemos por (·, ·) o produto interno hermitiano usual deCn. Dados z ∈ Cn (visto como vetor coluna) e ξ ∈ u(n) (i.e., ξ + ξ† = 0), dena

µξ(z) = − i2

(ξz, z)

Note que, (ξz1, z2) = (ξz1)tz2 = zt1ξtz2 = −zt1ξz2 = −(z1, ξz2) = −(ξz2, z1). Em particular,

− i2

(ξz, z) ∈ R. Agora, para ζ ∈ TzCn = Cn

dµξ(z)ζ = − i2

((ξζ, z) + (ξz, ζ)) = − i2

(2iIm(ξz, ζ)) = Im(ξz, ζ)

onde Im denota a parte imaginária.Temos que (Xξ)z = d

dt

∣∣t=0

etξz = ξz. Note ainda que a parte imaginária do produto internohermitiano nos dá uma forma bilinear alternada (real) e esta pode ser estendida a uma formasimplética em Cn (se zα = xα+ iyα são as coordenadas de Cn, pensando as coordenadas de R2n

como x1, . . . , xn, y1, . . . , yn, a forma achada Im(·, ·) equivale a dy1 ∧ dx1 + . . .+ dyn ∧ dxn).Portanto, vale que dµξ(z)ζ = ω((Xξ)z, ζ). Dado g ∈ U(n), a equivariância equivale a

mostrar que µg−1ξg(z) = µξ(gz), mas isso é imediato pois (g−1ξgz, z) = (ξgz, gz).

Observação. (ξz, z) = tr(zz†ξ). De fato, se ξ = (ξij) e z = (z1, . . . , zn), temos que a entrada

(i,j) de zz† é zizj. Portanto, tr(zz†ξ) =∑i,j

zizjξji =∑j

(∑i

ξjizi)zj = (ξz, z). Daí, usa-se o

produto interno invariante de u(n), (ξ1, ξ2) = −tr(ξ1ξ2) e podemos pensar no mapa momentocomo

µ : Cn −→ u(n)

z 7→ i

2zz†

Note que a forma simplética tomada é menos a forma simplética canônica de Cn. Se quisermostrabalhar com ω = x1 ∧ y1 + . . .+ xn ∧ yn, devemos tomar o mapa momento com sinal trocado,

i.e., µ(z) =1

2izz†.

Lema 2.1.2. Suponha que um grupo de Lie G age hamiltoniamente nas variedades simpléticas(M1, ω1) e (M2, ω2) (com mapas momento µ1 e µ2). Tome a forma simplética em M1×M2 dadapor ω = π∗1ω1+π∗2ω2 (ver exemplo 2.1.5) e considere a ação natural de G emM1×M2. Para estaação, temos um mapa momento µ : M1×M2 −→ g∗, denido por µ(m1,m2) = µ1(m1)+µ2(m2).

Prova. A demonstração é óbvia uma vez que, dado ξ ∈ g, (Xξ)(m1,m2) = ((Xξ)m1 , (Xξ)m2) e

dµξ(m1,m2)(a1, a2) = dµξ1(m1)(a1) + dµξ2(m2)(a2).

53

Exemplo 2.1.12. Temos que U(1) = S1 age por multiplicação de um número complexo emcada entrada de (Ck, ω0). Esta, nada mais é que a ação diagonal, como no lema acima, doexemplo anterior, no caso em que n = 1. Pelo lema, o mapa momento correspondendo a esta

ação é dado por µ : Ck −→ iR, µ(z) =1

2i(z1z1 + . . . zkzk) =

1

2i|z|2, onde z = (z1, . . . , zk).

Como foi comentado, nem toda ação simplética é hamiltoniana e dada uma ação hamilto-

niana, o mapa momento não é necessariamente único. Questões de existência e unicidade do

mapa momento podem ser respondida através da introdução de uma teoria de cohomologia de

álgebras de Lie. Para maiores informações, consulte [9] (capítulo X, seção 26). Em particular,

temos que, se G é um grupo de Lie compacto, conexo e semi-simples, toda ação simplética é

hamiltoniana e admite único mapa momento.

2.1.2 Redução

Seja G um grupo de Lie compacto, (M,ω) uma variedade simplética e ψ : M −→ Sympl(M,ω)

uma ação hamiltoniana com mapa momento µ : M −→ g∗.

Se δ ∈ g∗ é valor regular, µ−1(δ) é uma subvariedade mergulhada de M, cuja dimensão é

dimM − dimG (pois dimg∗ = dimg = dimG). Se denotarmos por Gδ = g ∈ G ; Ad∗gδ = δ(ou seja, o grupo de isotropia de δ com respeito à ação co-adjunta), ca bem denida a ação

quando nos restringimos a

Gδ × µ−1(δ) −→ µ−1(δ)

De fato, se p ∈ µ−1(δ) e g ∈ Gδ, µ(g · p) = Ad∗gµ(p) = Ad∗gδ = δ. Então, se assumirmos que

Gδ age livremente em µ−1(δ), como G é compacto Mδ.= µ−1(0)/Gδ é variedade diferenciável e

πδ : µ−1(δ) −→Mδ é uma submersão.

Teorema 2.1.13. (Marsden-Weinstein) Nas condições dadas acima, existe uma única formasimplética ωred em Mδ tal que i∗ω = π∗δωred, onde

µ−1(δ)

πδ

i //M

Mδ

Prova. A demonstração pode ser encontrada em [1](páginas 299-300).

Observação 2.1.14. O teorema da redução simplética (Marsden-Weinstein) pode ser enunci-ado de forma mais geral (sempre que Mδ tem estrutura de variedade e ωred está bem denido).

54

A compacidade do grupo de Lie, por exemplo, pode ser substituída pela hipótese da ação serprópria, de modo que Mδ ainda possui estrutura de variedade (tal que a projeção é uma sub-mersão). Mais geralmente, pode-se também considerar a redução simplética no contexto dedimensão innita (ver detalhes em [25], página 269, e [1], páginas 299-300).

Exemplo 2.1.15. Considere a ação de U(1) = S1 em Ck, como no exemplo 2.1.12. Assim,

µ−1(1

2i) = S2k−1

Como G é compacto, a ação é livre e1

2ié valor regular segue que Pk−1 ' S2k−1/S1 tem uma

forma simplética satisfazendo a condição do teorema de Marsden-Weinstein. O espaço projetivocomplexo será abordado mais à frente. Este espaço é, na verdade, Kähler e é possível vericarque a forma simplética que satisfaz o teorema 2.1.13 é exatamente a forma de Fubini-Study(denida no exemplo 2.2.10).

2.2 Geometria Kähler

Considerações iniciais - Álgebra Linear

Seja V um espaço vetorial real, com dimRV = n, e considere VC.= V ⊗R C. Dessa forma,

VC tem uma estrutura natural de espaço vetorial complexo, dada por λ1 · v ⊗ λ2.= v ⊗ (λ1λ2),

onde λ1, λ2 ∈ C e v ∈ V (e a conjugação em VC é denida por v ⊗ λ = v ⊗ λ). Claramente,

se v1, . . . , vn é uma base de V, v1 ⊗ 1, . . . , vn ⊗ 1 é uma base complexa de VC e temos

dimRV = dimCVC.

Se W é outro espaço vetorial de dimensão nita e T ∈ HomR(V,W ), pedindo linearidade

em C obtemos um mapa TC ∈ HomC(VC,WC), denido por TC(v⊗λ) = Tv⊗λ. Em particular,

temos um isomorsmo (V ∗)C ' (VC)∗, dado por φ⊗ λ 7→ λφC (este mapa é linear, injetivo e as

dimensões coincidem).

Geralmente, pensaremos em VC como duas cópias de V, através do isomorsmo

VC −→ V ⊕ iVv ⊗ (a+ ib) 7→ av + ibv

com a, b ∈ R.

Denição 2.2.1. Chamamos J ∈ End(V ) de estrutura quase-complexa de V se J2 = −IdV .

55

Observação 2.2.1. Se J é uma estrutura quase-complexa em V, devemos ter que dimRV = m

é par. De fato, J ∈ End(V ) pode ser representado por uma matriz real de modo que (detJ)2 =

det(J2) = det(−IdV ) = (−1)m. Portanto, m deve ser par.

Cabe observar que na literatura, muitas vezes, uma estrutura quase-complexa J num espaçoespaço vetorial é chamada de estrutura complexa. Isso se deve ao fato de, no caso de espaçosvetoriais, não temos problemas de integrabilidade.

Se J é uma estrutura quase-complexa de V, considere JC : VC −→ VC.

Daí, J2C = −IdVC , pois J2

C(v1 + iv2) = JC(Jv1 + iJv2) = −v1 − iv2. Dena então

V 1,0 = x ∈ VC ; JCx = ix (autoespaço de autovalor i)

V 0,1 = x ∈ VC ; JCx = −ix (autoespaço de autovalor -i)

Assim, VC = V 1,0 ⊕ V 0,1, onde a decomposição é dada por

x =1

2(x− iJCx) +

1

2(x+ iJCx)

e a conjugação em VC nos dá o isomorsmo V 1,0 ' V 0,1. Em particular, se 2n = dimRV =

dimCVC, então dimCV1,0 = dimCV

0,1 = n.

Observação 2.2.2. Cabe ressaltar que uma estrutura quase-complexa dene naturalmente umaestrutura complexa em V, por (a+ bi) ·v = av+ bJv. Denotaremos V com a estrutura complexadada por J por VJ . Em particular, se v1, . . . , vn é uma base de VJ , v1, Jv1, . . . , vn, Jvn é umabase de V. De fato, se temos a1v1+b1Jv1+. . .+anvn+bnJvn = 0, onde os coecientes são reais,então essa combinação linear, em VJ , é (a1+b1i)v1+. . .+(an+bni)vn = 0, de modo que cada umdos coecientes é zero e, consequentemente, v1, Jv1, . . . , vn, Jvn é LI (em V). Como qualquerelemento de V é dado por (a1 + b1i)v1 + . . .+ (an + bni)vn = a1v1 + b1Jv1 + . . .+ anvn + bnJvn,temos de fato uma base em V. Note ainda que

ϕ : VJ −→ V 1,0

v 7→ 1

2(v − iJv)

é um isomorsmo linear. Primeiramente, JC(1

2(v − iJv)) =

1

2(Jv + iv) =

i

2(v − iJv), logo

ϕ(v) ∈ V 1,0. O mapa é linear, pois ϕ(Jv) =1

2(Jv + iv) =

i

2(v − iJv). Como ϕ é claramente

injetor e as dimensões são iguais, temos o isomorsmo.

56

Sabe-se da álgebra linear que uma decomposição de um espaço vetorial em soma direta induz

uma decomposição em soma direta nas potências exteriores [16]. Em particular, VC = V 1,0⊕V 0,1

⇒ ΛkVC =⊕r+s=k

(ΛrV 1,0 ⊗C ΛsV 0,1). Denimos então,

Λr,sVC.= ΛrV 1,0 ⊗C ΛsV 0,1

De modo que, mais sucintamente, ΛkVC =⊕r+s=k

Λr,sVC.

Variedades Complexas e Quase-Complexas

Seja M uma variedade diferenciável.

Denição 2.2.2. Se M admite um automorsmo do brado tangente J : TM −→ TM , talque J2 = −Id, dizemos que M é uma variedade quase-complexa e chamamos J de estruturaquase-complexa.

Observação 2.2.3. Uma estrutura quase-complexa J pode ser vista como um (1,1) campotensorial. Dessa forma, tomando um sistema de coordenadas (U, (x1, . . . , xm)) de M, J =∑i,j

J ij∂

∂xi⊗ dxj em U (onde J ij ∈ C∞(U)). Daí, J( ∂

∂xk) =

∑i

J ik∂

∂xie − ∂

∂xk= J2( ∂

∂xk) =

∑i

J ik(∑r

Jri∂

∂xr) =

∑r

(∑i

J ikJri )

∂

∂xk. De modo que, localmente, a condição J2 = −Id, nos

dá que∑i

J ik(p)Jri (p) = −δrk, para todo p ∈ U .

Lema 2.2.1. Toda variedade quase-complexa tem dimensão par

Prova. De fato, seja (Mm, J) tal variedade e p ∈ M . Então, Jp ∈ End(TpM) pode ser

representado por uma matriz real de modo que (detJp)2 = det(J2

p ) = det(−IdTpM) = (−1)m.

Portanto, m deve ser par.

Variedades complexas são o análogo complexo das variedades diferenciáveis. Ou seja, espa-

ços topológicos modelados localmente por abertos em Cn (por homeomorsmos) de modo que

as transições são biholomorsmos.

Proposição 2.2.1. Toda variedade complexa é quase-complexa.

57

Prova. Seja M uma variedade complexa e (U, (z1, . . . , zn)) um sistema de coordenadas locais,

onde zα = xα+iyα. Claramente, M é também uma variedade diferenciável, de dimensão 2n, com

sistema de coordenadas locais (U, (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)) (denotemos esta, provisoriamente por

MR). Em particular, dado p ∈ U

TpMR = spanR∂

∂xα

∣∣∣∣p

,∂

∂yα

∣∣∣∣p

; α = 1, . . . , n

Dena então para p ∈ U

Jp : TpMR −→ TpMR∂∂xα

∣∣p7→ ∂

∂yα

∣∣∣p

∂∂yα

∣∣∣p7→ − ∂

∂xα

∣∣p

e estenda por linearidade. Claramente, Jp é uma estrutura quase-complexa em R, uma vez

mostrado que nossa denição independe da carta tomada.

Seja p ∈ U ∩ V , onde (V, (u1 + iv1, . . . , un + ivn)) é outro sistema de coordenadas locais de

M. Então,

∂∂uβ

=∑α

∂xα∂uβ

∂

∂xα+∂yα∂uβ

∂

∂yαe ∂

∂vβ=∑α

∂xα∂vβ

∂

∂xα+∂yα∂vβ

∂

∂yα

Logo,

Jp(∂

∂uβ) =

∑α

∂xα∂uβ

∂

∂yα− ∂yα∂uβ

∂

∂xα

Como a transição é biholomorfa, segue que∂xα∂uβ

= ∂yα∂vβ

∂xα∂vβ

= − ∂yα∂uβ

e assim, Jp( ∂∂uβ

) = ∂∂vβ

.

Analogamente, Jp( ∂∂vβ

) = − ∂∂uβ

e J está bem denido.

Apesar de não nos aprofundarmos no assunto, existem variedades quase-complexas que não

admitem estrutura de variedade complexa. A questão de quando uma estrutura quase-complexa

vem de uma variedade complexa (como na proposição acima), pode respondida através do

anulamento de um tensor NJ , chamado tensor de Nijenhuis. Este é o teorema de Newlander-

Niremberg, que arma que uma estrutura quase-complexa vem de uma estrutura complexa se,

58

e somente se, NJ(X, Y ).= [X, Y ] + J [JX, Y ] + J [X, JY ] − [JX, JY ] ≡ 0. A esfera S6, por

exemplo, possui uma estrutura quase-complexa, cuja formulação se dá através dos octônios [42],

mas seu tensor de Nijenhuis não é nulo. É, na verdade, um problema em aberto saber se a

esfera 6-dimensional pode ser munida de uma estrutura de variedade complexa.

Seja agora M2n uma variedade complexa (com a estrutura quase-complexa denida anteri-

ormente). Fixada coordenadas locais (U, (z1, . . . , zn)), com zα = xα + iyα, temos que o espaço

tangente (real) da variedade subjacente, para p ∈ U , é dado por

TpM = spanR∂

∂xα

∣∣∣∣p

,∂

∂yα

∣∣∣∣p

; α = 1, . . . , n

Complexicando o espaço tangente, obtemos (como explicado anteriormente) a decomposição

(TpM)C = T 1,0p M ⊕ T 0,1

p M

e denotemos por TMC, T 1,0M , T 0,1M os brados complexos cujas bras são (TpM)C, T 1,0p M

e T 0,1p M , respectivamente (os chamados brado tangente complexicado, holomorfo e anti-

holomorfo). Temos que ∂∂xα

∣∣p

; α = 1, . . . , n é uma base de (TpM)J , i.e., TpM com es-

trutura de espaço vetorial complexo dada por J e, se denotarmos por TMJ esse brado vetorial

complexo, temos que este é isomorfo ao brado tangente holomorfo. Considerando o isomor-

smo ϕp : (TpM)J −→ T 1,0p M e lembrando que, via conjugação, T 0,1

p M ' T 1,0p M , temos que

ϕp( ∂∂xα

∣∣p), ϕp(

∂∂xα

∣∣p) ; α = 1, . . . , n é uma base de (TpM)C. Dena

∂∂zα

.= ϕ( ∂

∂xα) =

1

2( ∂∂xα− i ∂

∂yα)

∂∂zα

.= ϕ( ∂

∂xα) =

1

2( ∂∂xα

+ i ∂∂yα

)

Nessa notação,

T 1,0p M = spanC ∂

∂zα

∣∣p, α = 1, . . . , n

T 0,1p M = spanC ∂

∂zα

∣∣p, α = 1, . . . , n

Como observado anteriormente, (T ∗pM)C = ((TpM)C)∗ e é uma conta simples vericar que

dzα(p), dzα(p) , α = 1, . . . , n forma uma base de ((TpM)C)∗ dual à base ∂∂zα

∣∣p, ∂∂zα

∣∣p, α =

1, . . . , n de (TpM)C, onde

59

dzα

.= dxα + idyα

dzα.= dxα − idyα

Denimos o brado Λr,s(TMC)∗.= Λr(T 1,0M)∗ ⊗ Λr(T 0,1M)∗ e chamamos de (r,s)-formas

diferenciais as seções deste brado. Denotaremos o espaço dessas seções por Ωr,s(M).=

Γ(Λr,s(TMC)∗).

Observação 2.2.4. Localmente (em U), como vimos, a estrutura quase-complexa J consideradaleva ∂

∂xα7→ ∂

∂yαe ∂

∂yα7→ − ∂

∂xα. Temos então uma estrutura quase-complexa J em cada T ∗pM ,

para p ∈ U , dada por (Jδ)v.= δ(Jv), onde δ ∈ T ∗pM e v ∈ TpM . Portanto, (Jdxα)( ∂

∂xα) =

dxα( ∂∂yα

) = 0 e (Jdxα)( ∂∂yα

) = dxα(− ∂∂xα

) = −1, de modo que Jdxα = −dyα. Analogamente,achamos que Jdyα = dxα. Segue então que JCdzα = idzα e JCdzα = −idzα e assim, obtemos(T ∗pM)1,0 ' (T 1,0

p M)∗ e (T ∗pM)0,1 ' (T 0,1p M)∗.

Pelos comentários da seção anterior e pela observação acima, vale que Ωk(M)C =⊕r+s=k

Ωr,s(M).

Temos então uma projeção natural

πr,s : Ωr+s(M) −→ Ωr,s(M)

Considere a derivada exterior d : Ωk(M)C −→ Ωk+1(M)C e denote por

∂ = πr+1,s d : Ωr,s(M) −→ Ωr+1,s(M)

∂ = πr,s+1 d : Ωr,s(M) −→ Ωr,s+1(M)

Estes são os chamados operadores de Dolbeaut.

Dada θ ∈ Ωr,s(M), podemos expressá-la localmente como

θ =∑

1≤α1<...<αr≤n1≤β1<...<βs≤n

θα1...αrβ1...βsdzα1 ∧ . . . ∧ dzαr ∧ dzβ1 ∧ . . . ∧ dzβs

onde, θα1...αrβ1...βs.= θ( ∂

∂zα1, . . . , ∂

∂zαr, ∂∂zβ1

, . . . , ∂∂zβs

). Por comodidade, denotaremos por A =

1 ≤ α1 < . . . < αr ≤ n e B = 1 ≤ β1 < . . . < βs ≤ n, de modo que a expressão acima será

simplicada pela seguinte notação:

θ =∑A,B

θABdzA ∧ dzB

60

Daí,

dθ =∑A,B

dθAB ∧ dzA ∧ dzB

mas, dθAB =r∑i=1

∂θAB∂zαi

dzαi +s∑i=1

∂θAB∂zβi

dzβi Portanto, d = ∂ + ∂ e o fato de d2 = 0, nos diz

que

0 = ∂2 + (∂∂ + ∂∂) + ∂2

Como essas três parcelas da soma moram em brados distintos, obtemos

∂2 = ∂∂ + ∂∂ = ∂2

= 0

O fato de ∂2

= 0 nos permite introduzir uma teoria de cohomologia, a cohomologia deDolbeaut. Para cada r ≥ 0, temos um complexo

Ωr,0(M)∂−→ . . .

∂−→ Ωr,s−1(M)∂−→ Ωr,s(M)

∂−→ Ωr,s+1(M)∂−→ . . .

e podemos denir o seguinte espaço vetorial complexo

Hr,s

∂(M) =

ker∂ : Ωr,s(M) −→ Ωr,s+1(M)Im∂ : Ωr,s−1(M) −→ Ωr,s(M)

Existe um resultado análogo ao lema de Poincaré para a cohomologia de Dolbeaut, que arma

que localmente toda forma ∂-fechada é ∂-exata.

Proposição 2.2.2. (∂-Lema de Poincaré) Seja U uma vizinhança aberta do fecho do polidiscoB ⊆ B ⊆ U ⊆ Cn. Então, se s > 0, dado α ∈ Ωr,s(U), existe β ∈ Ωr,s−1(B), tal que, ∂β = α

em B.

A demonsração dessa proposição pode ser encontrada em [22] (prop 1.3.8).

Observação 2.2.5. No contexto de variedades quase-complexas, (r,s)-formas diferenciais eos operadores ∂ e ∂ podem ser denidos. No entanto, quando a variedade não é complexa,

d =∑

l+m=r+s+1

πl,m d = ∂+∂+ . . . Na verdade, uma estrutura quase-complexa é dita integrável

quando d = ∂+∂. Mostra-se em [22], que ser integrável é equivalente a, por exemplo, π0,2d = 0

em Ω1,0(M), ou [T 0,1M,T 0,1M ] ⊆ T 0,1M (onde, [·, ·] é o colchete de Lie de campos), ou ainda∂

2= 0. Como citado anteriormente, vale também que o anulamento do tensor de Nijenhuis

equivale à integrabilidade da estrutura quase-complexa.

61

Variedades Hermitianas e Kähler

Seja (M,J) uma variedade quase-complexa.

Denição 2.2.3. Uma métrica riemanniana g é dita métrica hermitiana de (M,J) se compatívelcom a estrutura quase-complexa, i.e.,

gp(Jpu, Jpv) = gp(u, v)

para todo p ∈ M e u, v ∈ TpM . Neste caso, chamaremos a tripla (M,J, g) de variedadehermitiana.

Claramente, toda variedade quase-complexa admite uma métrica hermitiana. De fato, toda

variedade admite métrica riemanniana g e, a partir desta, podemos denir g(u, v).=

1

2(g(u, v)+

g(Ju, Jv)), onde o termo1

2poderia ser substituído por qualquer outra constante positiva (mas,

nesse caso, se g já é hermitiana, g = g).

Lema 2.2.2. Seja (M,J,g) uma variedade hermitiana. Então, se u ∈ TM , u e Ju são ortogonaiscom relação a g.

Prova. De fato, g(u, Ju) = g(Ju,−u) = −g(u, Ju) ⇒ g(u, Ju) = 0

Denição 2.2.4. Se (M,J,g) é uma variedade hermitiana, denimos a forma fundamental ωpor

ω(·, ·) = g(J ·, ·)

Note que a forma fundamental ω ∈ Ω2(M). Primeiramente, dados u, v ∈ TpM , ωp(u, v) =

gp(Jpu, v) é claramente bilinear para cada p ∈ M (em geral, omitiremos o ponto por comodi-

dade). Agora ω é anti-simétrica

ω(u, v) = g(Ju, v) = −g(u, Jv) = −g(Jv, u) = ω(v, u)

Dada uma métrica hermitiana g podemos denir um produto interno hermitiano em TMJ

(i.e. cada TpM tem estrutura de C-espaço vetorial dada por Jp)

h : TpM × TpM −→ C

Dado por h(u, v).= g(u, v) + ig(u, Jv) (ou seja, h = g − iω).

De fato, h é claramente bilinear e h(u, u) = g(u, u)+ ig(u, Ju) = g(u, u) (assim, h(u, u) ≥ 0,

com a igualdade ocorrendo se, e só se, u = 0). Além disso,

62

h(Ju, v) = g(Ju, v) + ig(Ju, Jv) = i(g(u, v) + ig(u, Jv)) = ih(u, v)

h(u, Jv) = g(u, Jv)− ig(u, v) = −i(g(u, v) + ig(u, Jv)) = −ih(u, v)

Considere agora uma variedade hermitiana (M, g), onde M é uma variedade complexa (e

assim, a estrutura quase-complexa é a denida anteriormente). Vamos expressar a forma

fundamental em termos de um sistema de coordenadas locais de M (U, (z1, . . . , zn)), onde

zα = xα + iyα.

Primeiramente estenda J por C-linearidade (JC) e g por C-bilinearidade (gC). Suprimiremos,

por comodidade, o índice C da extensão. Em particular,

g(u+ iv, u′ + iv′) = g(u, u′)−g(v, v′)−i(g(u, v′)+g(v, u′)) = g(u−iv, u′−iv′) = g(u+ iv, u′ + iv′)

Como dzα, dzα , α = 1, . . . , n fornece uma base local para o brado cotangente complexi-

cado, podemos escrever

g =∑

gαβdzα ⊗ dzβ + gαβdz

α ⊗ dzβ + gαβdzα ⊗ dzβ + gαβdz

α ⊗ dzβ

onde gαβ = g( ∂∂zα

, ∂∂zβ

) ∈ C∞(U,C), etc.

Lema 2.2.3. Temos que

1. gαβ = gαβ = 0

2. gαβ = gαβ

3. hαβ = hαβ = hαβ = 0

4. hαβ = 2gαβ

Prova.1.

gαβ = g( ∂∂zα

, ∂∂zβ

) = g( ∂∂zα

, ∂∂zβ

) = gαβ

Mas,

gαβ = g(∂

∂zα,∂

∂zβ) = g(J

∂

∂zα, J

∂

∂zβ) = g(i

∂

∂zα, i

∂

∂zβ) = −g(

∂

∂zα,∂

∂zβ)− gαβ

Portanto, gαβ = gαβ = 0.

2.

gαβ = g(∂

∂zα,∂

∂zβ) = g(

∂

∂zα,∂

∂zβ) = gαβ

3.

63

hαβ = gαβ + ig( ∂∂zα

, J ∂∂zβ

) = gαβ − gαβ = 0

hαβ = gαβ + ig( ∂∂zα

, J ∂∂zβ

) = 2gαβ = 0

hαβ = gαβ + ig( ∂∂zα

, J ∂∂zβ

) = gαβ − gαβ = 0

4.

hαβ = gαβ + ig(∂

∂zα, J

∂

∂zβ) = 2gαβ

Assim,

g =∑α,β

gαβdzα ⊗ dzβ + gαβdz

α ⊗ dzβ

h =∑α,β

hαβdzα ⊗ dzβ = 2

∑α,β

gαβdzα ⊗ dzβ

Dessa forma, ωC.= gC(JC·, ·) ∈ Ω2(M)C (denotaremos esta também por ω) e podemos

vericar a sua expressão local. Como ω = i(h− g), temos que

ω = i∑α,β

gαβdzα ⊗ dzβ − gαβdzα ⊗ dzβ

= i∑α,β

gαβdzα ⊗ dzβ − gβαdzβ ⊗ dzα

= i∑α,β

gαβ(dzα ⊗ dzβ − dzα ⊗ dzβ)

= i∑α,β

gαβdzα ∧ dzβ

Além disso,

ω = −i∑α,β

gαβdzα ∧ dzβ

= −i∑α,β

gαβdzα ∧ dzβ

= i∑α,β

gβαdzβ ∧ dzα

= ω

Concluímos assim que ω ∈ Ω1,1(M) ∩ Ω2(M) (i.e., uma (1,1)-forma real de M).

64

Denição 2.2.5. Seja M uma variedade complexa. Uma variedade Kähler é uma variedadehermitiana (M,g) cuja forma fundamental é fechada (i.e., dω = 0). Nesse caso, chamamos gde métrica Kähler e ω de forma de Kähler.

Observação 2.2.6. Note que uma variedade Kähler é, em particular, uma variedade simplética,pois a forma fundamental é não-degenerada. De fato, se u ∈ TpM é tal que ω(u, v) = 0 paratodo v ∈ TpM , colocando v = Ju, obtemos que g(Ju, Ju) = g(u, u) = 0 e assim, u = 0.

Exemplo 2.2.7. Considere Cn com a métrica hermitiana canônica h =∑

dzα ⊗ dzα. Ou

seja, hαβ = 2gαβ = δαβ e assim a forma Kahler é a forma simplética canônica em Cn ' R2n

ω0 =i

2

∑dzα ∧ dzα

Exemplo 2.2.8. Seja Σ uma superfícies de Riemann, i.e., uma variedade complexa de dimen-são (complexa) igual a 1. Portanto, dada uma métrica Riemanniana em Σ é sempre possívelencontrar uma métrica hermitiana. A forma fundamental, nesse caso, será fechada, por seruma 2-forma numa variedade diferenciável de dimensão 2. Portanto, uma variedade Kahler.

Observação 2.2.9. Vimos que, se M é uma variedade complexa e g uma métrica hermitiana,então a forma fundamental ω ∈ Ω1,1(M) ∩ Ω2(M) é dada por uma matriz positiva denida ehermitiana, cuja entrada (α, β) é gαβ. Reciprocamente, dada uma forma ω ∈ Ω1,1(M)∩Ω2(M),

localmente da forma ω = i∑α,β

aαβdzα ∧ dzβ, com (aαβ) uma matriz positiva denida, podemos

denir uma métrica hermitiana g = ω(·, J ·), cuja forma fundamental associada é claramenteω.

Exemplo 2.2.10. (Espaço Projetivo Complexa) Considere a ação natural de C−0 em Cn+1−0. O quociente é o chamado espaço projetivo complexo, e denotado CPn (ou, simplesmentePn, caso não haja dúvida que estamos trabalhando sobre os complexos). É comum denotar ospontos de Pn por [z0 : . . . : zn]

.= π(z0, . . . , zn), onde π : Cn+1−0 −→ Pn é a projeção natural.

Claramente, [z0 : . . . : zn] = [λz0 : . . . : λzn], para todo λ ∈ C − 0 e podemos considerar osabertos (topologia quociente) Uj ⊆ Pn, j = 0, . . . , n, correspondentes aos pontos cuja j-ésima

entrada é não-nula. Temos então as cartas ϕUj : [z0 : . . . : zn] ∈ Uj 7→1

zj(z0, . . . , zj, . . . , zn) ∈

Cn, que dão uma estrutura de variedade complexa em Pn (pois, as transições são holomorfas).Para cada aberto Uj denimos a seguinte (1,1)-forma

ωj.=

i

2π∂∂log(

n∑r=0

|zrz−1j |2)

65

Em Uj ∩ Uk, temos

log(n∑r=0

|zrz−1j |2) = log(|zkz−1

j |2n∑r=0

|zrz−1k |

2) = log(|zkz−1j |2) + log(

n∑r=0

|zrz−1k |

2)

Como zkz−1j é a k-ésima coordenada de ϕj, chamando de wk = zkz

−1j ,

∂∂log(|wk|2) = ∂(1

wkwk∂(wkwk)) = ∂(

wkdwkwkwk

) = ∂(dwkwk

) = 0

e ωj = ωk em Uj ∩Uk. Note que esta forma é fechada, pois d∂∂ = ∂2∂ − ∂∂2= 0 e é real, uma

vez que ∂∂ = ∂∂ = −∂∂. Denotamos essa forma (global) por ωFS. Essa é a chamada formade Fubiny-Study e prova-se que esta é dada por uma matriz hermitiana positiva denida [22](exemplo 3.1.9), que pela observação anterior corresponde a uma métrica hermitiana, que, emparticular é Kahler, já que ωFS é fechada. Chamamos tal métrica de métrica de Fubini-Study.

Observação 2.2.11. Se M é Kahler, qualquer subvariedade complexa é também Kahler, quandorestringimos a forma de Kahler de M à subvariedade. Em particular, pelo exemplo acima,qualquer variedade projetiva será também Kahler.

Proposição 2.2.3. Seja M uma variedade complexa e ω ∈ Ω1,1(M) ∩ Ω2(M). Então, dω = 0

se, e somente se, para cada p ∈M existe uma vizinhança aberta U (p ∈ U), tal que ω|U = i∂∂u,para alguma função real u ∈ C∞(U).

Prova. Uma das implicações segue do fato de d∂∂ = (∂ + ∂)(∂∂) = ∂2∂ + ∂∂∂ = −∂(∂∂) =

−∂2∂ = 0.

Agora suponha dω = 0. Dado p ∈M , pelo lema de Poincaré, existe uma 1-forma diferenciável

de M, τ , denida numa vizinhança de p, tal que ω = dτ nesse aberto. Como Ω1(M) ⊆Ω1(M)C = Ω1,0(M) ⊕ Ω0,1(M), τ = τ 1,0 + τ 0,1, onde τ 1,0 ∈ Ω1,0(M) e τ 0,1 ∈ Ω0,1(M). Além

disso, devemos ter τ = τ ⇒ τ 1,0 = τ 0,1. Mas,

dτ = (∂ + ∂)(τ 1,0 + τ 0,1) = ∂τ 1,0︸︷︷︸∈Ω2,0(M)

+ ∂τ 0,1 + ∂τ 1,0︸ ︷︷ ︸∈Ω1,1(M)

+ ∂τ 0,1︸︷︷︸∈Ω0,2(M)

= ω ∈ Ω1,1(M)

Em particular, ∂τ 0,1 = 0 e pelo ∂-lema de Poincaré, existe uma função diferenciável com valores

em C (denida numa vizinhança aberta de p possivelmente ainda menor), com τ 0,1 = ∂f .

Assim, τ 1,0 = τ 0,1 = ∂f = ∂f .

Vamos mostrar que, de fato, ∂f = ∂f . Se s é uma função diferenciável real, ∂s =∑α

∂s

∂zαdzα

66

e assim, ∂s =∑α

∂s

∂zαdzα =

∑α

∂s

∂zαdzα = ∂s. Sendo f = s1 + is2, com s1, s2 funções

diferenciáveis reais, temos que ∂f = ∂s1 − i∂s2 = ∂s1 − i∂s2 = ∂f .

Portanto,

ω = dτ = ∂τ 0,1 + ∂τ 1,0 = ∂∂f + ∂∂f = ∂∂(f − f) = ∂∂(2iIm(f)) = i∂∂(2s2)

e denimos u.= 2Im(f) = 2s2

Observação 2.2.12. Chamamos tais funções reais, referentes a uma forma de Kähler, depotenciais de Kähler.

Variedades Kähler - Caracterizações

Lembre que, dada uma métrica riemanniana g em M, a conexão de Levi-Civita é a única

conexão no brado tangente sem torção (i.e., [X, Y ] = ∇XY − ∇YX, onde X, Y ∈ X(M))

e compatível com a métrica (i.e., X(g(Y, Z)) = g(∇XY, Z) + g(Y,∇XZ), X, Y, Z ∈ X(M), o

que equivale a dizer que a métrica é paralela com respeito à conexão). Mais detalhes sobre

a conexão de Levi-Civita podem ser encontradas no apêndice C. Usaremos nesta seção esta

conexão para demonstrar a seguinte proposição.

Proposição 2.2.4. Seja (M,J,g) uma variedade hermitiana, ω a 2-forma fundamental e ∇ aconexão de Levi-Civita. São equivalentes:

1. g é métrica de Kähler (i.e., NJ = 0 e dω = 0)

2. ∇ω = 0

3. ∇J = 0

Lema 2.2.4. Se X, Y, Z ∈ X(M ,

∇Xω(Y, Z) = g((∇XJ)Y, Z)

Prova.

∇Xω(Y, Z) = X(ω(Y, Z))− ω(∇XY, Z)− ω(Y,∇XZ) =

X(g(JY, Z))− g(J∇XY, Z)− g(JY,∇XZ)

mas, pela compatibilidade com a métrica, X(g(JY, Z)) = g(∇X(JY ), Z) + g(JY,∇XZ).

Além disso, g(∇X(JY ), Z) = g((∇XJ)Y, Z) + g(J∇XY, Z) e segue o resultado.

67

Como consequência do lema acima, segue que ∇ω = 0 ⇔ ∇J = 0. De fato, ∇ω = 0 ⇒(∇Xω)(Y, Z) = 0, para todo X, Y, Z ∈ X(M). Em particular, tomando Z = (∇XJ)Y , obtemos

que (∇XJ)Y = 0, para todo X, Y ∈ X(M), ou seja, ∇J = 0. Se ∇J = 0, temos imediatamente

que ∇ω = 0.

Provaremos agora 1⇔ 3. Para isso, precisaremos dos seguintes lemas.

Lema 2.2.5. Seja X ∈ X(M), então

∇XJ J = −J ∇XJ

Prova. Sejam Y, Z ∈ X(M)

i) Pela compatibilidade da conexão de Levi-Civita com g, temos que g(Y, Z) = g(JY, JZ) nos

dá que:

g(∇XY, Z)+g(Y,∇XZ) = g(∇X(JY ), JZ)+g(JY,∇X(JZ)) = g((∇XJ)Y, JZ)+g(J(∇XY ), JZ)+

g(JY, (∇XJ)Z) + g(JY, J(∇XZ)). Como g é métrica hermitiana, obtemos

g((∇XJ)Y, JZ) = −g(JY, J(∇XZ)) (*)

ii) Façamos o mesmo para g(Y, JZ) = −g(JY, Z):

g(∇XY, JZ) + g(Y,∇X(JZ)) = −g(∇X(JY ), Z)− g(JY,∇X(Z))

Logo,

g(∇XY, JZ)+g(Y, (∇XJ)Z)+g(Y, J(∇XZ)) = −g((∇XJ)Y, Z)−g(J(∇XY ), Z)−g(JY,∇XZ)

novamente pela métrica ser hermitiana, e substituindo Y por Z (e vice-versa) obtemos:

g((∇XJ)Y, Z) = −g(Y, (∇XJ)Z) (**)

Assim, substituindo Z por JZ em (**), temos:

g(Y, ((∇XJ) J)Z) = −g((∇XJ)Y, JZ)(∗)= g(JY, (∇XJ)Z) = −g(Y, (J ∇XJ)Z)

Portanto, ]

g(Y, (∇XJ J + J ∇XJ)Z) = 0

para todo Y, Z ∈ X(M). Daí, colocando Y = (∇XJ J + J ∇XJ)Z, concluímos que ∇XJ J + J ∇XJ = 0.

Lema 2.2.6. Seja X ∈ X(M), então

NJ = 0 ⇔ ∇JXJ = J∇XJ

68

Prova. Seja Y ∈ X(M)

NJ(X, Y ) = [X, Y ] + J [JX, Y ] + J [X, JY ]− [JX, JY ]

= ∇XY −∇YX + J(∇JXY −∇Y (JX)) + J(∇X(JY )−∇JYX)

−∇JX(JY ) +∇JY (JX)

= ∇XY −∇YX + J(∇JXY − (∇Y J)X − J(∇YX))

+J((∇XJ)Y + J∇XY −∇JYX)− (∇JXJ)Y − J(∇JXY ) + (∇JY J)X + J(∇JYX)

= J(∇XJ)Y − (∇JXJ)Y − (J(∇Y J)X − (∇JY J)X)

(⇐) Pela expressão acima, temos NJ = 0

(⇒) Dena o tensor

A(X, Y, Z).= g(J(∇XJ)Y − (∇JXJ)Y, Z)

Temos então que NJ = 0 ⇔ A(X, Y, Z) = A(Y,X,Z).

Aplicando J em (*) e substituindo X por JX em (**) (do lema anterior), valeA(X, Y, Z) = g(JY, (∇XJ)Z) + g(Y, (∇JXJ)Z)

= g((∇JXJ)Z − J(∇XJ)Z, Y )

= −A(X,Z, Y )Assim,

A(X, Y, Z) = A(Y,X,Z) = −A(Y, Z,X) = −A(Z, Y,X) =

A(Z,X, Y ) = A(X,Z, Y ) = −A(X, Y, Z) ⇒ A(X, Y, Z) = 0

para todo X, Y, Z ∈ X(M).

Como g é produto interno, J(∇XJ) = ∇JXJ , para todo X ∈ X(M).

Vamos mostrar agora que

g é Kähler ⇔ ∇J = 0

Prova.(⇐) Se ∇J = 0, ∇JXJ = J∇XJ e, pelo lema anterior, NJ = 0. Além disso, pelo Lema 1.2.3,

temos que ∇ω = 0 e como:

dω(X0, X1, X2) = (∇X0ω)(X1, X2)− (∇X1ω)(X0, X2) + (∇X2ω)(X0, X1)

obtemos que dω = 0.

(⇒) Dena, para X, Y, Z ∈ X(M), o seguinte tensor

B(X, Y, Z).= g((∇XJ)Y, Z)

69

Note que

B(X, Y, JZ) = g((∇XJ)Y, JZ)

= −g(J(∇XJ)Y, Z)

= −g((∇JXJ)Y, Z) (pois,NJ = 0)

= −B(JX, Y, Z)

Por outro lado, vale

B(X, Y, JZ) = g((∇XJ)Y, JZ)

= −g(J(∇XJ)Y, Z)

= g((∇XJ)JY, Z) (pois,∇XJ J = −J ∇XJ)

= B(X, JY, Z)

Dessa forma, B(X, JY, Z) +B(JX, Y, Z) = 0.

Agora, pelo Lema 1.2.3,

0 = dω(X, Y, Z)

= ∇Xω(Y, Z)−∇Y ω(X,Z) +∇Zω(X, Y )

= g((∇XJ)Y, Z)− g((∇Y J)X,Z) + g((∇ZJ)X, Y )

ColocandoX, Y, JZ na equação anterior, como g((∇JZJ)X, Y ) = B(JZ,X, Y ) = −B(Z,X, JY ),

obtemos

B(X, Y, JZ)−B(Y,X, JZ)−B(Z,X, JY ) = 0 (†)

Colocando X, JY, Z, temos

g((∇XJ)JY, Z) = −B(JX, Y, Z) = B(X, Y, JZ),

g((∇JY J)X,Z) = B(JY,X, Z) = −B(Y,X, JZ)

obtemos,

B(X, Y, JZ) +B(Y,X, JZ) +B(Z,X, JY ) = 0 (††)

Fazendo (†) + (††), achamos B(X, Y, JZ) = 0, para todo X, Y, Z ∈ X(M). Fazendo Z =

−J(∇XJ)Y , obtemos (∇XJ)Y = 0, para todo X, Y ∈ X(M) e assim ∇J = 0

70

2.3 Geometria Hyperkähler

Denição 2.3.1. Seja Mm uma variedade diferenciável. Uma estrutura quase-hyperkähler éuma quádrupla (g, J1, J2, J3), onde Jk são estruturas quase-complexas, k = 1, 2, 3, satisfazendoJ1J2J3 = −Id e g uma métrica riemanniana em M, hermitiana com respeito a cada Jk.

Observação 2.3.1. Se (g, J1, J2, J3) é uma estrutura quase-complexa emMm, então dimRM =

m = 4n, para algum n. De fato, tome v ∈ TpM , p ∈ M . Se v 6= 0, v, J1v, J2v, J3v é umconjunto linearmente independente, pois é ortogonal entre si. De fato, dada uma combinaçãolinear

a0v + a1J1v + a2J2v + a3J3v = 0

para k = 0, 1, 2, 3, 0 = akg(Jkv, Jkv) = akg(v, v), logo ak = 0 (onde, por comodidade, colocamosJ0

.= Id). Prosseguindo, (ou seja, considerando um elemento no complemento ortogonal do

subespaço de TpM gerado por v, J1v, J2v, J3v), como temos dimensão nita, a dimensão deTpM (e por consequência, de M) deve ser múltipla de 4.

Observação 2.3.2. Note que, J1, J2, J3 serem estruturas quase-complexas com J1J2J3 = −Idequivale a pedir que essas aplicações satisfaçam as relações da álgebra dos quatérnios. Noteainda que, dadas (J1, J2, J3) satisfazendo essas condições, é sempre possível encontrar umamétrica hermitiana com respeito a todas as estruturas. De fato, dada uma métrica riemannianag em M, coloque

g(u, v).=

1

4(g(u, v) + g(J1u, J2v) + g(J2u, J2v) + g(J3u, J3v))

esta métrica claramente satisfaz o que queremos.

Denição 2.3.2. Uma estrutura quase-hyperkähler (g, J1, J2, J3) em M é dita uma estruturahyperkähler, se as estruturas quase-complexas forem paralelas com respeito à conexão de Levi-Civita, i.e.,

∇Jk = 0 (k = 1, 2, 3)

Neste caso, chamamos (M, g, J1, J2, J3) de variedade hyperkähler e g de métrica hyperkähler.

Note que, numa variedade hyperkähler (M, g, J1, J2, J3), cada Jk, k = 1, 2, 3, é integrável

e g é Kahler com respeito a cada Jk. Esse fato segue da Proposição 1.2.4. Mais que isso,

podemos dizer que g é Kahler com respeito à uma 2-esfera de estruturas complexas. Ou seja,

71

se a = (a1, a2, a3) ∈ S2, denimos Ja.= a1J1 + a2J2 + a3J3. Claramente Ja é uma estrutura

quase-complexa, pois

J2a = a2

1J21 + a1a2J1J2 + a1a3J1J3 + a2a1J2J1 + a2

2J22 + a2a3J2J3 + a3a1J3J1 + a3a2J3J2 + a2

3J23

= −(a21 + a2

2 + a23)

= −1

A métrica g é claramente hermitiana com respeito a Ja e ∇Ja = 0, uma vez que ∇Jk = 0,

k = 1, 2, 3. Portanto, g é de fato Kahler com respeito a Ja, com forma de Kahler

ωa = a1ω1 + a2ω2 + a3ω3, onde ωk são as formas de Kahler de Jk, k = 1, 2, 3.

Observação 2.3.3. O espaço Hn é trivialmente uma variedade hyperkähler. Estruturas hy-perkähler, diferentemente de estruturas Kahler, são difíceis de construir. Em dimensão 4, porexemplo, as únicas variedades compactas que admitem estrutura hyperkähler são toros e as K3(superfícies complexas, compactas, simplesmente conexas, com brado trivial canônico)

Fixe uma das estruturas complexas, digamos J1, e dena ωC.= ω2 + iω3 ∈ Ω2(M)C. Clara-

mente, ωC é não-degenerada (pois ω2 e ω3 o são) e fechada (pois, dωC = dω2 + idω3 = 0). Além

disso,ωC(J1u, v) = ω2(J1u, v) + iω3(J1u, v)

= g(J2J1u, v) + ig(J3J1u, v)

= −g(J3u, v) + ig(J2u, v)

= i(g(J2u, v) + ig(g(J3u, v)

= iωC(u, v)

Ou seja, J1 nos dá uma decomposição de TMC = T (1,0)J1M ⊕ T (0,1)J1M . Daí, se estendermos

por C linearidade J1, ω2 e ω3, tomando u ∈ T (0,1)J1M (i.e. J1u = −iu), obtemos que

iωC(u, v) = ωC(J1u, v) = −iωC(u, v)

Portanto, ωC é uma (2,0)-forma com respeito a J1. Tal forma é comumente chamada de formaholomorfo-simplética.

Proposição 2.3.1. Seja (g, J1, J2, J3) uma estrutura quase-hyperkähler em M4n, ωk as formasfundamentais de Jk, k = 1, 2, 3, e ∇ a conexão de Levi-Civita de (M,g). São equivalentes:

1. (g, J1, J2, J3) é uma estrutura hyperkähler

2. ∇ωk = 0, k = 1, 2, 3

72

3. dωk = 0, k = 1, 2, 3

Prova.(1⇔ 2) Segue da Proposição 1.2.4

(1⇒ 3) Trivial, pois dωk(X, Y, Z) = ∇Xωk(Y, Z)−∇Y ωk(X,Z) +∇Zωk(X, Y )

(3⇒ 1) Basta mostrar a integrabilidade de cada Jk, k = 1, 2, 3, pois podemos utilizar novamente

a Proposição 1.2.4 para concluir que ∇Jk = 0. Dados u, v ∈ X(M)C e estendendo as formas

fundamentais

ω2(u, v) = g(J2u, v) = g(J3J1u, v) = ω3(J1u, v) (*)

Colocando ωC = ω2 + iω3, vale que

J1u = iu ⇔ iuωC

Ou seja,

u é um (1,0)-campo com respeito a J1 ⇔ ω2(u, ·) = iω3(u, ·)

De fato, se J1u = iu, pela observação (*),

ω2(u, v) = ω3(J1u, v) = ω3(iu, v) ⇒ ω2(u, v)− iω3(u, v) = 0,

para todo v ∈ X(M)C, i.e., ωC(u, ·) = 0.

Por outro lado, se iuωC = 0,

0 = ω2(u, v)− iω3(u, v) = ω3(J1u, v)− ω3(iu, v) = ω3(J1u− iu, v), para todo v ∈ X(M)C.

Suponha agora u, v ∈ X(M)1,0J1

(ou seja, J1u = iu e J1v = iv)

i[u,v]ωC = [Lu, iv]ωC

= Lu(ivωC)− ivLuωC

= −iv(d(iuωC) + iu(dωC))

= 0

Portanto, [u, v] ∈ X(M)1,0J1

e J1 é integrável (ver observação 2.2.5).

2.3.1 Mapa Momento e Redução

Variedades hyperkähler são bastante inexíveis e difíceis de construir. Uma das formas mais

bem sucedidas de dar exemplos de variedades hyperkähler é através do quociente hyperkähler,

que generaliza o teorema de Marsden-Weinstein (de redução simplética). Vamos estudar nessa

73

seção essa construção.

Seja (M4n, g, J1, J2, J3) uma variedade hyperkähler e ω1 = g(J1·, ·), ω2 = g(J2·, ·), ω3 =

g(J3·, ·) as formas Kahler associadas.

Suponha que um grupo de Lie G compacto age em M preservando a métrica e as estruturas

complexas. Ou seja, se denotarmos a ação por ψ : G −→ Diff(M), para todo h ∈ G vale:

ψ∗hg = g

Iψh(p)(dψh(p)v) = dψh(p)(Ipv)

onde, I ∈ J1, J2, J3, p ∈M e v ∈ TpM .

Note que, nesse caso, G também preserva as formas Kahler associadas. Façamos para ω1

(para ω2 e ω3 é totalmente análogo):

(ψ∗hω1)p(u, v) = ω1(ψh(p))(dψh(p)u, dψh(p)v) = gψh(p)(J1(ψh(p))dψh(p)u, dψh(p)v) =

gψh(p)(dψh(p)(J1(p)u), dψh(p)v) = gp(J1(p)u, v) = ω1(p)(u, v)

Dado ξ ∈ g, obtemos o campo Xξ ∈ X(M), cujo uxo é dado por ψexp(tξ). Uma vez que

a derivada de Lie de um tensor qualquer T com respeito ao campo Xξ é dado por (LXξ)p =ddt

∣∣t=0

(ψ∗exp(tξ)T )p, o fato da ação preservar a métrica e as estruturas complexas nos dá que:

LXξg = 0, LXξJ1 = LXξJ2 = LXξJ3 = 0 e LXξω1 = LXξω2 = LXξω3 = 0

Dena ω = ω1i+ω2j+ω3k ∈ Ω2(M ; ImH). Assim, LXξω.= LXξω1i+LXξω2j+LXξω3k = 0

e dω.= dω1i+ dω2j + dω3k = 0. Se µα : M −→ g∗ é um mapa momento para a ação simplética

de G na variedade simplética (M,ωα), α ∈ 1, 2, 3, podemos condensá-los num único mapa.

Este é o chamado mapa momento hyperkähler.

Denição 2.3.3. Um mapa

µ = µ1i+ µ2j + µ3k : M −→ g∗ ⊗ ImH

é dito mapa momento hyperkähler, se:

1. dµξ = iXξω, onde µξ : p ∈M −→ µ(p)(ξ)

2. µ ψh = Ad∗h µ, para todo h ∈ G

Observação 2.3.4. Note que ImH é simplesmente R3 e implicitamente fazemos a identicaçãog∗ ⊗ ImH ' Hom(g, Im(H)).

74

Considere um mapa momento hypekahler µ e tome ζ ∈ g∗ ⊗ ImH invariante pela ação

coadjunta (i.e., ζ = ζ1i+ ζ2j + ζ3k, com Ad∗hζα = ζα, α = 1, 2, 3, para todo h ∈ G).Se ζ é valor regular, µ−1(ζ) é variedade diferenciável de dimensão dimµ−1(ζ) = 4n − 3k,

onde k = dimG = dim(g) = dim(g∗). Além disso µ−1(ζ) é invariante por G: se p ∈ µ−1(ζ),

µ ψh(p) = Ad∗h µ(p) = Ad∗h(ζ) = ζ. Logo,

G× µ−1(ζ) −→ µ−1(ζ)

Supondo que G age livremente em µ−1(ζ), temos que Mζ.= µ−1(ζ)/G é uma variedade diferen-

ciável de dimensão dimMζ = 4n− 4k.

Teorema 2.3.5. Seja G um grupo de Lie compacto que age em uma variedade hyperkähler(M4n, g, J1, J2, J3). Tome ζ ∈ g∗ ⊗ ImH invariante pela ação coadjunta e suponha que G agelivremente em µ−1(ζ). Então, Mζ = µ−1(ζ)/G é uma variedade diferenciável e herda umaestrutura hyperkähler de M. Este é o quociente hyperkähler. Mais precisamente,

µ−1(ζ)

π

i //M

Mζ

As formas Kahler ω′α de Mζ, são tais que φ∗ω′α = i∗ωα, α ∈ 1, 2, 3.

Antes de demostrarmos o teorema, vamos entender a métrica induzida em Mζ . Note que

π : µ−1(ζ) −→ Mζ é um G-brado principal e a métrica Riemanniana induzida em µ−1(ζ),

g0.= i∗g é G-invariante, logo dene uma conexão Hp

.= V ⊥p . Como vimos, dφp : Hp −→ Tπ(p)Mζ

é um isomorsmo linear e assim, dados v1, v2 ∈ Tπ(p)Mζ , existem únicos v1, v2 ∈ Hp com

dπp(vα) = vα, α = 1, 2. Dena então,

g(v1, v2) = g0(v1, v2)

Esta métrica está bem denida, pois se q ∈ π−1(π(p)), q = ψa(p), para algum a ∈ G. Daí, se

vα ∈ Hq, tal que dπq(vα) = vα, como Hq = dψa(p)Hp, devemos ter vα = dψa(p)(vα), α = 1, 2.

De fato, se vα = dψa(p)( ˜vα), ˜vα ∈ Hp, vα = dπq(vα) = dπqdψa(p)( ˜vα) = dπp( ˜vα). Logo, ˜vα = vα.

Agora,

g(v1, v2) = g0(dψg(p)v1, dψg(p)v2) = g0(v1, v2)

75

Observação 2.3.6. A construção dessa métrica permite generalizar naturalmente a reduçãode Marsden-Weinstein para variedades Kähler. É preciso supor adicionalmente que a açãopreserva a métrica Kähler da variedade.

Prova. (Teorema 2.3.2) Tome ζ como no enunciado e seja p ∈ µ−1(ζ).

1. Vp, J1Vp, J2Vp, J3Vp são ortogonais entre si:

Dados ξ, η ∈ g,

g(J1(Xξ)p, (Xη)p)i+ g(J2(Xξ)p, (Xη)p)j + g(J3(Xξ)p, (Xη)p) =

ωp((Xξ)p, (Xη)p) = (dµξ)p(Xη)p

Mas, vale µ ψh = Ad∗h µ e, em particular, µ(ψp(exp(tη))) = ζ, para todo t. Daí,

dµp(Xη)p = 0. Como, dµξp(Xη)p = (dµp(Xη)p)(ξ), obtemos que

g(J1(Xξ)p, (Xη)p)i+ g(J2(Xξ)p, (Xη)p)j + g(J3(Xξ)p, (Xη)p) = 0

Ou seja, J1Vp ⊥ Vp, J2Vp ⊥ Vp e J3Vp ⊥ Vp. O restante segue das relações dos quatérnios

e do fato da métrica ser compatível com as estruturas complexas, e.g., J3Vp ⊥ J1Vp, pois

g(J3·, J1·) = g(J2·, ·).

2. µ−1(ζ) é subvariedade de M:

Vamos mostrar que ζ é valor regular. Seja p ∈ µ−1(ζ), então dµp : TpM −→ g∗ ⊗Im(H) e (dµp(J1(Xξ)p))(η) = dµη(p)(J1(Xξ)p) = ωp((Xη)p, J1(Xξ)p) e pelo item anterior,

isso vale g(J1(Xη)p, J1(Xξ)p))i = g((Xη)p, (Xξ)p)))i. Analogamente, (dµp(J2(Xξ)p))(η) =

g((Xη)p, (Xξ)p)j e (dµp(J3(Xξ)p))(η) = g((Xη)p, (Xξ)p)k. Dessa forma, dµp é sobrejetora.

3. Como (dµpv)(ξ) = g(J1(Xξ)p, v)i+ g(J2(Xξ)p, v)j + g(J3(Xξ)p, v)k, obtemos que

Ker(dµp) = (J1Vp)⊥ ∩ (J2Vp)

⊥ ∩ (J3Vp)⊥ = (J1Vp ⊕ J2Vp ⊕ J3Vp)

⊥

4. Como µ−1(ζ) é invariante pela ação de G, devemos ter que ψh : µ−1(ζ) −→ µ−1(ζ) é

um difeomorsmo, para todo h ∈ G. Agora, dados h ∈ G e p ∈ µ−1(ζ), µ(ψh(p)) = ζ

⇒ dµ|µ−1(ζ)(ψh(p))d(ψh|µ−1(ζ))(p) = 0 ⇒ dµ|µ−1(ζ)(ψh(p)) = 0. Logo, dµ(p)|Tpµ−1(ζ) ≡ 0.

Sendo assim:

i) Jα(Tpµ−1(ζ)) ⊥ Vp, α = 1, 2, 3:

Façamos para α = 1 (os outros casos são análogos).

76

g(J1v, (Xξ)p) = ω1(v, (Xξ)p) = −ω1((Xξ)p, v) = −dµξ1(p)v = −(dµ1(p)v)(ξ) = 0.

Em particular, obtemos J1Vp ⊕ J2Vp ⊕ J3Vp ⊆ (Tpµ−1(ζ))⊥ ⊆ TpM .

ii) JαHp ⊆ ker(dµp), α = 1, 2, 3:

Tome v ∈ Hp. Façamos o caso α = 1 (os outros são análogos).

(dµ1(p)J1v, ξ) = dµξ1(p)(J1v) = ω1((Xξ)p, J1v) = g(J1(Xξ)p, J1v) = g((Xξ)p, v) = 0

(dµ2(p)J1v, ξ) = dµξ2(p)(J1v) = ω2((Xξ)p, J1v) = g(J2(Xξ)p, J1v) = g((Xξ)p, J3v) = 0

(dµ3(p)J1v, ξ) = dµξ3(p)(J1v) = ω3((Xξ)p, J1v) = g(J3(Xξ)p, J1v) = −g((Xξ)p, J2v) = 0

5. Temos que TpM = Tpµ−1(ζ)⊕ (Tpµ

−1(ζ))⊥ = Vp ⊕Hp ⊕ (Tpµ−1(ζ))⊥

mas, J1Vp ⊕ J2Vp ⊕ J3Vp ⊆ (Tpµ−1(ζ))⊥ e como dimVp + dimHp + dimJ1Vp + dimJ2Vp +

dimJ3Vp = k + (4n− 4k) + k + k + k = 4n = dimTpM , vale a decomposição ortogonal:

TpM = Vp ⊕Hp ⊕ J1Vp ⊕ J2Vp ⊕ J3Vp

Note que, de fato, dimHp = 4n− 4k pelo isomorsmo linear dπ : Hp −→ Tπ(p)Mζ .

6. Por i) e ii) do item 4, para α = 1, 2, 3, JαHp ⊥ Vp e JαHp ⊆ kerdµp. Então, pelo item 3,

concluímos que JαHp ⊆ Hp.

7. Vamos usar o isomorsmo dπ : Hp −→ Tπ(p)Mζ e o fato de que JαHp ⊆ Hp e que Jα é

invariante por G para denir as estruturas quase-complexas em Mζ :

Jαπ(p)(v).= dπp(Jαv)

para α = 1, 2, 3, onde v = dπpv, com v ∈ Hp.

Bem denido: Se considerarmos o isomorsmo dπψh(p) : Hψh(p) −→ Tπ(p)Mζ , como

Hψh(p) = dψh(p)Hp, obtemos que Jαπ(p(v) = dπψh(p)(Jαdψh(p)v) = dπψh(p)dψh(p)Jαv =

d(π ψh)p(Jαv) = dπp(Jαv).

Claramente, Jα, para α = 1, 2, 3, satisfazem as condições dos quatérnios (pois Jα sa-

tisfazem tais condições) e são estruturas quase-complexas. Além disso, dena ωα(·, ·) .=

g(Jα·, ·). Ou seja, se p ∈ µ−1(ζ) e vl = dπpvl ∈ Tπ(p)Mζ , com vl ∈ Hp, l = 1, 2, temos:

ωα(π(p))(v1, v2) = gπ(p)(Jαv1, v2) = (i∗g)p(Jαv1, v2) = gp(Jαv1, v2)

Vale i∗ωα = π∗ωα. De fato, se µ−1(ζ) e v1, v2 ∈ Tpµ−1(ζ) (decomponha cada um na parte

vertical e horizontal, v = vV + vH):

77

(i∗ωα)p(v1, v2) = ωα(p)(v1, v2) = g(Jαv1, v2) =

g(JαvH1 , v

H2 ) + g(Jαv

H1 , v

V2 ) + g(Jαv

V1 , v

H2 ) + g(Jαv

V1 , v

V2 ) = g(Jαv

H1 , v

H2 ) =

ωα(p)(vH1 , vH2 ) = ωα(π(p))(dπpv

H1 , dπpv

H2 ) = ωα(π(p))(dπpv1, dπpv2) = (π∗ωα)p(v1, v2)

onde, na quarta igualdade, foi usado i) do item 4 e a invariância da métrica pelas estruturas

complexas.

Por m, vamos mostrar que essas 2-formas denidas em Mζ são fechadas.

π∗(dωα) = dπ∗ωα = d(i∗ωα) = i∗dωα = 0

Mas, π∗(dωα) = 0 ⇒ dωαπ(p)(dπpv1, dπpv2, dπpv3) = 0. Como π : µ−1(ζ) −→ Mζ é

submersão sobrejetiva, segue que dωα = 0.

Observação 2.3.7. Assim como na redução simplética, o quociente hyperkähler pode ser for-mulado mais geralmente quando o quociente possui estrutura de variedade (inclusive quando ogrupo não é compacto e no contexto de dimensão innita, como observado em [37], página 68).

78

Capítulo 3

Aplicações

3.1 Equações ADHM

Sejam V e W espaços vetoriais complexos com métrica (produto interno) hermitiana e

suponha dimCV = n e dimCW = r.

Considere o seguinte espaço vetorial:

M = End(V )⊕ End(V )⊕Hom(W,V )⊕Hom(V,W )

Uma vez escolhidas bases ortonormais para V e W, podemos pensar em V = Cn e W = Cr

com as métricas hermitianas canônicas. Daí, M = Mn(C)⊕Mn(C)⊕Mn×r(C)⊕Mr×n(C).

Dado x = (B1, B2, I, J) ∈M, as equações ADHM são:[B1, B

†1] + [B2, B

†2] + II† − J†J = 0

[B1, B2] + IJ = 0

Vamos mostrar que M é uma variedade (no caso, espaço vetorial) hyperkähler:

1. Lembremos dois fatos básicos da álgebra linear:

i) Se U é um espaço vetorial complexo e h uma métrica hermitiana, a parte real de h é

uma métrica (produto interno) no espaço vetorial real subjacente.

ii) Sejam (U1, h1) e (U2, h2) espaços vetoriais hermitianos. Então, U1⊕U2 é naturalmente

um espaço vetorial complexo e h((u1, u2), (u′1, u′2)) = h1(u1, u

′1)+h2(u2, u

′2) é uma métrica

79

hermitiana em U1 ⊕ U2.

Como Re(z) =1

2(z+z) e h(α, β) = tr(αβ†) é uma métrica hermitiana emMs×t(C), dados

x = (B1, B2, I, J), y = (B1, B2, I , J) ∈M, temos a seguinte métrica em M:

g(x, y) =1

2tr(B1B1

†+ B1B

†1 +B2B2

†+ B2B

†2 + II† + II† + JJ† + JJ†)

Ou, como o traço é um operador comutativo, podemos escrever os últimos dois termos

como J†J + J†J , de modo que as somas dentro do traço se fazem por matrizes n por n

(usaremos esta forma para a métrica daqui para frente).

2. Temos 3 estruturas complexas em M, i, j, k:i(B1, B2, I, J) = (iB1, iB2, iI, iJ)

j(B1, B2, I, J) = (−B†2, B†1,−J†, I†)

k = ij

Note que i, j, k satisfazem as condições dos quatérnios (i2 = j2 = k2 = ijk = −1).

Como k = ij, basta mostrar que i2 = j2 = −1 e que ij = −j i. É claro que i2 = −1,

j2(B1, B2, I, J) = j(−B†2, B†1,−J†, I†) = −(B1, B2, I, J) e ij(B1, B2, I, J) = (−iB†2, iB

†1,−iJ†, iI†),

enquanto j i(B1, B2, I, J) = (iB†2,−iB†1, iJ

†,−iI†).

3. A métrica g é compatível com as estruturas complexas acima denidas:

g(x, y) = g(ix, iy) = g(jx, jy) = g(kx, ky)

A compatibilidade de i é clara, enquanto a de j é uma conta simples levando em con-

sideração a comutatividade do traço. A compatibilidade de k é consequência direta das

outras duas.

4. Considere as formas ω1(x, y) = g(ix, y), ω2(x, y) = g(jx, y) e ω3(x, y) = g(kx, y). Visto

que g é métrica, segue que as formas são não-degeneradas. Além disso, como i, j, k são

estruturas complexas e temos a compatibilidade com a métrica, tais formas são anti-

simétricas (por exemplo, ω1(x, y) = g(ix, y) = g(−x, iy) = −g(iy, x) = −ω1(y, x)).

Considere agora a ação de U(n) em M:

h · (B1, B2, I, J) = (hB1h−1, hB2h

−1, hI, Jh−1)

Esta ação preserva as estruturas complexas:

80

i(h · x) = h · (ix)

j(h · x) = h · (jx)

k(h · x) = h · (kx)

A primeira relação é óbvia. Para a segunda, precisamos usar que h ∈ U(n)⇒ h−1 = h†:

j(h · (B1, B2, I, J)) = j(hB1h−1, hB2h

−1, hI, Jh−1) = j(hB1h†, hB2h

†, hI, Jh†) =

(−hB†2h†, hB†1h†,−hJ†, I†h†) = (h(−B2)†h−1, hB†1h

−1, h(−J†), I†h−1) =

h · (−B†2, B†1,−J†, I†) = h · (j(B1, B2, I, J))

A terceira relação segue diretamente das duas anteriores.

Note que a ação também preserva a métrica pela comutatividade do traço (e usando o fato

que h−1 = h†, para h ∈ U(n)):

g(h · x, h · y) = g((hB1h−1, hB2h

−1, hI, Jh−1), (hB1h−1, hB2h

−1, hI, Jh−1)) =1

2tr(hB1B1

†h−1 + hB1B

†1h−1 + hB2B2

†h−1 + hB2B

†2h−1 + hII†h−1 + hII†h−1 + hJdagJh−1 +

hJ†Jh−1) = g(x, y)

Dado ξ ∈ u(n) (i.e. ξ ∈ Mn(C), tal que ξ + ξ† = 0), vamos calcular o campo de vetores

fundamental Xξ:

Seja x ∈M, (Xξ)x = dψx(1n)ξ, onde ψx : h ∈ U(n) 7→ h · x ∈M.

Considere γ : (−ε, ε) −→ U(n) diferenciável, com γ(0) = 1n e γ′(0) = ξ. Então,

(Xξ)x = (ψx γ)′(0). Como γ(t)† = γ(t)−1, ψx γ(t) = (γ(t)B1γ(t)†, γ(t)B2γ(t)†, γ(t)I, Jγ(t)†).

Portanto, derivando em t=0 e usando que γ′(t) ∈ u(n), obtemos:

(Xξ)x = ([ξ, B1], [ξ, B2], ξI,−Jξ)

onde x = (B1, B2, I, J) ∈M e [·, ·] é o colchete de Lie de matrizes (comutador).

Calculando ω1 obtemos:

ω1(x, y) = g(ix, y) =i

2tr(B1B1

† − B1B†1 +B2B2

† − B2B†2 + II† − II† − J†J + J†J)

Podemos pensar em B1 como a função que projeta M em seu primeiro fator (i.e., Mn(C)) e se-

guindo essa linha, podemos introduzir a seguinte 2-forma dB1∧dB†1((B1, B2, I, J), (B1, B2, I , J)) =

B1B1† − B1B

†1. Seguindo esse raciocínio, a forma ω1 se escreve como:

ω1 =i

2tr(dB1 ∧ dB†1 + dB2 ∧ dB†2 + dI ∧ dI† − dJ† ∧ dJ) = dθ1

81

onde θ1 =i

2tr(B1dB

†1 +B2dB

†2 + IdI† − J† ∧ dJ).

Vamos calcular (Xξ)x = ([ξ, B1], [ξ, B2], ξI,−Jξ) em θ1:

θ1(Xξ)x =i

2tr(B1[ξ, B1]† +B2[ξ, B2]† + II†ξ† + J†Jξ)

Mas, ξ† = −ξ e [ξ, B1]† = (ξB1)† − (B1ξ)† = −B†1ξ + ξB†1 = [ξ, B†1], logo:

θ1(Xξ)x =i

2tr(−B1B

†1ξ +B1ξB

†1 −B2B

†2ξ +B2ξB

†2 − II†ξ + J†Jξ) =

i

2tr(−B1B

†1ξ +B†1B1ξ −B2B

†2ξ +B†2B2ξ − II†ξ + J†Jξ) =

i

2tr(([B1, B

†1] + [B2, B

†2] + II† − J†J)ξ†)

Note que, se denotarmos por ψh : x ∈M 7→ h · x, temos que ψ∗hθ = θ (uma vez que dψh = ψh)

e assim, aplicando o Lema 2.1.1, temos um mapa momento µ1 : M −→ g∗ para a ação de U(n)

na variedade simplética (M, ω1), dado por:

µ1(x)(ξ) = −θ1(Xξ)x =i

2tr(([B1, B

†1] + [B2, B

†2] + II† − J†J)ξ)

Vamos identicar u(n) ' u(n)∗ via o produto interno (A,B) = tr(AB†). Obtemos assim,

µ1(x) =1

2i([B1, B

†1] + [B2, B

†2] + II† − J†J)

Calculemos agora ω2:

ω2(x, y) = g(jx, y) =−1

2tr(B1B2 +B†2B1

† − B2B1 −B†1B2†

+ IJ + J†II† − IJ − J†I†)

E assim,

ω2 =−1

2tr(dB2 ∧ dB1 + dB†2 ∧ dB

†1 + dJ ∧ dI + dJ† ∧ dI†) = dθ2

onde θ2 =1

2tr(B1dB2 +B†1dB

†2 + IdJ − J†dI†).

Temos que:

θ2(Xξ)x =1

2tr(B1dB2 +B†1dB

†2 + IdJ − J†dI†)([ξ, B1], [ξ, B2], ξI,−Jξ) =

1

2tr(B1[ξ, B2] +B†2[ξ, B2]† − IJξ + J†I†ξ) =

1

2tr(B1ξB2 −B1B2ξ −B†1B2†ξ +B†1B

†1ξB

†2 −

IJξ + J†I†ξ +B2B1ξ −B2B1ξ +B†2B†1ξ −B

†2B†1ξ) =

−1

2tr(([B1, B2] + [B†1, B

†2] + IJ − J†I†)ξ)

82

Utilizando o mesmo raciocínio anterior, o mapa momento associado à ação de U(n) na variedade

simplética (M, ω2) é:

µ2(x) =−1

2([B1, B2] + [B†1, B

†2] + IJ − J†I†)

Para ω3:

ω3(x, y) = g(kx, y) = g((−iB†2, iB†1,−iJ†, iI†), (B1, B2, I , J)) =

1

2tr(−iB†2B1

†+ iB1B2 + iB†1B2

† − iB2B1 − iJ†I† + iIJ + iJ†I† − iIJ) =

1

2itr(B1

†B†2 − B1B2 −B†1B2

†+B1B2 + J†I† − IJ − J†I† + IJ)

Daí, ω3 = dθ3, onde θ3 =1

2itr(B1dB2 −B†1dB

†2 + IdJ + J†dI†).

Além disso:

θ3(Xξ)x =1

2itr(B1dB2 −B†1dB

†2 + IdJ + J†dI†)([ξ, B1], [ξ, B2], ξI,−Jξ) =

1

2itr(B1[ξ, B2]−B†1[ξ, B2]† − IJξ − J†I†ξ) =

1

2itr(B1ξB2 −B1B2ξ +B†1B

†2ξ −B

†1ξB

†2 − IJξ − J†I†ξ) =

1

2itr(B2B1ξ −B1B2ξ +B†1B

†2ξ −B

†2B†1ξ − IJξ − J†I†ξ) =

−1

2itr(([B1, B2]− [B†1, B

†2] + IJ + J†I†)ξ)

O mapa momento associado à ação de U(n) na variedade simplética (M, ω3) é:

µ3(x) =−1

2i([B1, B2]− [B†1, B

†2] + IJ + J†I†)

É conveniente introduzir a seguinte forma complexa:

ωC = ω2 + iω3 = dtr(B1dB2 + IdJ) = dθC

onde θC = θ2 + iθ3. Assim, temos o seguinte mapa momento complexo:

µC(x) = (µ2 + iµ3)(x) = −([B1, B2] + IJ)

Esses 3 mapas momento constituem um mapa momento hyperkähler (µ = (µ1, µ2, µ3)) e

podemos considerar o seguinte quociente

M(r, n).=µ−1

1 (0) ∩ µ−1C (0)

U(n)

83

Como este espaço possui singularidades, podemos considerar o subconjunto no qual ele é uma

variedade diferenciável (que, como vimos, corresponde aos pontos onde a ação é livre). Dena

então

Mreg(r, n) = [(B1, B2, I, J)] ∈M(r, n) ; (B1, B2, I, J) tem estabilizador trivial em U(n)

Note que dimRMreg(r, n) = 4(n2 + nr) − 4n2 = 4nr (pois dimRG = dimRU(n) = n2) e este

espaço é hyperkähler. Certos subespaços deM(r, n) desempenham um papel muito importante

na teoria de calibre, como será explicado na próxima seção.

3.1.1 Considerações sobre a construção ADHM de instantons

A equação de anti-auto-dualidade (Fω = −∗Fω) é uma equação diferencial parcial não-linear

de primeira ordem, que, pelo menos localmente, pode ser considerada elíptica. Apesar de, em

geral, soluções serem bastante difíceis de encontrar, no caso em que a variedade base é R4, todas

soluções podem ser dadas a partir de métodos de álgebra linear. Esta é a chamada construção

ADHM de instantons e sua formulação é devida a M. Atiyah, V. Drinfeld, N. Hitchin e Y.

Manin [2].

Vamos esboçar a idéia de como, a partir de matrizes satisfazendo as equações ADHM, é

possível se obter um instanton. Um tratamento preciso da correspondência pode ser encontrado

em [11], [2], [10].

Seja (B1, B2, I, J) ∈ µ−1(0) ⊆ M (i.e., satisfazendo as equações ADHM). Identiquemos

R4 ' C2, por (x1, x2, x3, x4) 7→ (z1, z2), onde z1 = x1 + ix2 e z2 = x3 + ix4. Dena para cada

z = (z1, z2) ∈ C2

αz : V −→ V ⊕ V ⊕W

αz =

B1 + z11

B2 + z21

J

βz : V ⊕ V ⊕W −→ V

βz =(−B2 − z21 B1 + z11 I

)onde 1 representa a matriz identidade nxn (IdV ). Se pedirmos que essa associação varie de

maneira suave, ou seja, se temos mapas suaves α : C2 −→ Hom(V, V ⊕ V ⊕W ) e

84

β : C2 −→ Hom(V ⊕ V ⊕W,V ), obtemos o seguinte mapa entre brados triviais sobre R4

Vα−→ V ⊕ V ⊕W β−→ V

Temos que [B1, B2] + IJ = 0 ⇒ β α = 0. De fato,

βz αz = (−B2 − z21)(B1 + z11) + (B1 + z11)(B2 + z21) + IJ =

−B2B1 − z1B2 − z2B1 − z1z21 +B1B2 + z2B1 + z1B2 + z1z21 + IJ = B1B2 −B2B1 + IJ = 0

Portanto, Imαz ⊆ Kerβz, para todo z ∈ R4. Dena então, Ez.=KerβzImαz

.

Observação 3.1.1. Como os espaços vetoriais tem produto interno hermitiano,Imαz ⊕ (Imαz)

⊥ = V ⊕ V ⊕W e assim, kerβz = Imαz ⊕ ((Kerβz ⊕ (Imαz)⊥)).

Portanto, Ez ' (Kerβz ⊕ (Imαz)⊥) → (V ⊕ V ⊕W )× z.

Se αz é injetora e βz é sobrejetora, para todo z ∈ R4 (condição de regularidade), os espaços

vetoriais Ez formam um brado sobre R4, o qual denotaremos por E (quando as aplicações α

e β são holomorfas, o brado E é um brado holomorfo, geralmente denominado cohomologia

da mônada dada por α e β). Este tem posto igual a rank(E) = dimKerβz − dimImαz =

n+ r − n = r.

Note ainda que, se introduzirmos o mapa R : V ⊕ V ⊕W −→ V ⊕ V

Rz =

(βz

α†z

)

temos que KerRz = Kerβz ∩Kerα†z. Mas, α†z = (Imαz)⊥ e assim, KerRz = Ez.

A idéia agora é achar a projeção ortogonal P : V ⊕ V ⊕W −→ E. Com isso, podemos

denir uma conexão em E projetando por P a conexão trivial do brado V ⊕ V ⊕W e verica-

se que esta é um instanton. O mapa R é usado para mostrar que as bras de E satisfazem a

propriedade E(z1,z2) = E(z1q,z2q), onde q ∈ H, visto através da identicação q =

(q2 −q1

q1 q2

),

com q1, q2 ∈ C. Portanto, pode-se considerar E como um brado sobre a variedade HP1 ' S4

e calcula-se a carga topológica (que é simplesmente a segunda classe de Chern do brado, para

G = SU(r), por exemplo). A correspondência precisa é:

Teorema 3.1.2. Existe uma correspondência 1-1 entre o espaço de moduli de SU(r)-instantonsframed com segunda classe de Chern igual a n e soluções regulares da equação ADHM móduloU(V), onde dimV = n e dimW = r.

85

Observação 3.1.3. Considerando um SU(r)-brado principal P sobre S4 e xando um pontom0 ∈ S4, um instanton framed é um par (ω, φ), onde φ ∈ Pm0 é um ponto na bra de m0 eω um instanton. Quocienta-se o espaço dos instantons framed pelo grupo das transformaçõesde calibre que xam m0. Este é o espaço de moduli do enunciado do teorema. Neste caso,costuma-se pensar em S4 = C2 ∪ ∞ (i.e., a compacticação a um ponto de C2).

3.2 Espaço de Moduli de Conexões Planas

Seja Σ uma superfície de Riemann conexa e fechada (i.e., uma variedade complexa de di-

mensão 1, compacta e sem bordo), G um grupo de Lie compacto e conexo, e π : P −→ Σ um

G-brado principal.

Vimos que o grupo de transformações de calibre G, que pode ser visto como C∞C (P ;G),

age à direita no espaço de conexões A do brado principal P (Σ, G). Dada A ∈ A ⊆ Ω1(P ; g)

(reservamos a letra ω para a forma simplética denida mais à frente), considere a 2-forma de

curvatura associada ΩA ∈ Ω2G(P ; g) (dada, pela Proposição 1.3.5, por ΩA = dA +

1

2[A,A]).

Temos então que f ∈ C∞C (P ;G) age em A e ΩA (Proposição 1.4.2) por

A · f = Adf−1(A) + f ∗θ

ΩA·f = ΩA · f = Adf−1(ΩA)

Sendo G um grupo de Lie compacto, existe produto interno Ad-invariante na álgebra de Lie

g e podemos considerar o pareamento induzido

< · ∧ · >g : Ωr(Σ; gP )× Ωs(Σ; gP ) −→ Ωr+s(Σ)

Além disso, dada uma 1-forma de conexão A ∈ A ⊆ Ω1(P ; g) e α, β ∈ TAA ' Ω1(Σ; gP ), a

compacidade da superfície nos permite denir

ωA(α, β) =

∫Σ

< α ∧ β >g

Observação 3.2.1. Denotemos por < ·, · > o produto interno Ad-invariante de g. Então,dados x, y, z ∈ g, temos que < Ad(exp(tx))y, Ad(exp(tx)z >=< y, z >, para todo t ∈ R. Umavez que Ad(exp(tx)) = exp(ad(tx)), derivando em t = 0, temos que

< [x, y], z > + < y, [x, z] >= 0

86

Vimos que, dada A ∈ A, temos uma derivada covariante dA : Ωq(M ; gP ) −→ Ωq+1(M ; gP ).

Vamos mostrar o seguinte lema técnico, que será utilizado mais à frente na demonstração da

Proposição 3.4.1.

Lema 3.2.1. Seja A ∈ A e considere φ ∈ Ωr(Σ; gP ), η ∈ Ωs(Σ; gP ), então

d < φ ∧ η >g = < dAφ ∧ η >g + (−1)r < φ ∧ dAη >g

Prova. As formas φ e η são descritas localmente (em Uα) por formas φα ∈ Ωr(Uα; g) e

ηα ∈ Ωs(Uα; g). Vamos suprimir o índice α para não deixar a notação tão carregada, de modo

que, se ξ1, . . . , ξk é uma base de g, escrevemos

φ = φi ⊗ ξiη = ηi ⊗ ξi

onde, φi ∈ Ωr(Uα) e ηi ∈ Ωs(Uα). Note que estamos usando a notação de Einstein, ou seja,

subentendemos o somatório sempre que tivermos índices iguais em posições diferente (i.e., um

em cima outro embaixo). Dessa forma, < φ ∧ η >g∈ Ωr+s(M) é dado em Uα por

φi ∧ ηj < ξi, ξj >

e assim, d < φ ∧ η >g é dado por

d(φi ∧ ηj) < ξi, ξj >= (dφi ∧ ηj + (−1)rφi ∧ dηj) < ξi, ξj >

Agora, pela Proposição 1.3.11, (dωζ)α = dζα + [s∗αA, ζα], onde ζ ∈ Ωq(M ; gP ). Coloquemos

então s∗αA = ai ⊗ ξi, onde ai ∈ Ω1(Uα). Portanto,

(< dAφ ∧ η >g)α = dφi ∧ ηs < ξi, ξs > +ai ∧ φr ∧ ηs < [ξj, ξr], ξs >

e

(< φ ∧ dAη >g)α = φi ∧ dηs < ξi, ξs > +φr ∧ ai ∧ ηs < ξr, [ξi, ξs] >

Mas, φr ∧ ai ∧ ηs = (−1)rai ∧ φr ∧ ηs e, pela Observação 3.4.1,

temos que < ξr, [ξi, ξs] >= − < [ξj, ξr], ξs >. Portanto,os termos com ai's cancelam e obtemos

(< dAφ ∧ η >g +(−1)r < φ ∧ dAη >g)α = (dφi ∧ ηs + (−1)rφi ∧ dηs) < ξi, ξs >

Lema 3.2.2. ω é uma forma simplética em A.

87

Prova. Claramente ωA é bilinear, pela linearidade da integral e bilinearidade do produto

exterior de formas e produto interno. Como o produto exterior de formas é anti-simétrico, o

pareamento considerado também será e temos ω ∈ Ω2(A).

Como o espaço das 1-formas de conexão A é um espaço am, modelado em Ω1(Σ; gP ),

podemos identicar cada TAA ' Ω1(Σ; gP ) e, como ωA independe de A, concluímos que dω = 0.

Além disso, ω é não-degenerada. De fato, dada A ∈ A e α ∈ TAA, temos que

ωA(α, ∗α) =

∫Σ

< α ∧ ∗α >g= ‖α‖2L2(Λ2(T ∗Σ)⊗gP )

Assim, ωA(α, ∗α) ≥ 0, com igualdade se, e somente se, α = 0.

Observação 3.2.2. Dado ξ ∈ Lie(G) ' Γ(gP ), ξ(m) = [p, ϕ(p)], para algum mapa diferenciávelϕ : Pm −→ g, satisfazendo ϕ(p · g) = Adg−1(ϕ(p)). Denimos, em 1.4, exp(ξ) ∈ Γ(P ×C G)

por exp(ξ)(m) = [p, exp(ϕ(p))], que corresponde à função fξ(p) = exp(ϕ(p)), uma vez quefξ(p · g) = exp(Adg−1(ϕ(p))) = Cg−1exp(ϕ(p)) = g−1fξ(p)g. No que segue, confundiremosexp(ξ) e fξ, sempre que estiver claro qual dos dois estamos considerando.

Lema 3.2.3. Seja ξ ∈ Lie(G) ' Γ(gP ). O campo de vetores fundamental Xξ ∈ X(A), induzidopela ação de G em A é dado por

(Xξ)A = dAξ

para cada A ∈ A.

Prova. Temos que Pela denição,

(Xξ)A = ddt

∣∣t=0

A · exp(tξ)= d

dt

∣∣t=0

(Adexp(−tξ)A+ exp(tξ)∗θ

= ad−ξ(A) + ddt

∣∣t=0

dLexp(−tξ)dexp(tξ)

= −[ξ, A] + dξ

= dξ + [A, ξ]

= dAξ

onde foi usado que dLexp(0) = Id e dexp(0) = 0 (além da proposição 1.3.11 para E = gP ).

Dado f ∈ C∞C (P ;G), denote

ψf : A −→ AA 7→ A · f

88

Vamos mostrar que essa ação é simplética (i.e., ψ∗fω = ω). Para isso precisamos do seguinte

lema.

Lema 3.2.4. Seja α ∈ TAA, então

dψf (A)α = Adf−1(α)

Prova. Seja γ(t) = A + tα. Como A é espaço am modelado em Ω1(Σ; gP ), a curva γ é

uma curva diferenciável em A, com γ(0) = A e γ′(0) = α, de modo que dψf (A)α = (ψf γ)′(0).

Lembrando que o produto interno em g é Ad-invariante, o resultado segue do seguinte cálculo

diretodψf (A)α = d

dt

∣∣t=0

(A+ tα) · f= d

dt

∣∣t=0

Adf−1(A) + tAdf−1(α) + f ∗θ)

= Adf−1(α)

Lema 3.2.5. G age simpleticamente em (A, ω).

Prova. Dados A ∈ A, α, β ∈ TAA e f ∈ C∞C (P ;G),

(ψ∗fω)A(α, β) = ωA·f (dψf (A)α, dψf (A)β)

= ωA·f (Adf−1(A), Adf−1(B))

=∫

Σ< Adf−1α ∧ Adf−1β >g

=∫

Σ< α ∧ β >g

= ωA(α, β)

Vimos que, dada A ∈ A, a 2-forma de curvatura ΩA correspondia à uma 2-forma FA ∈Ω2(M ; gP ). Podemos considerar então o mapa

F : A −→ Ω2(Σ; gP ) ' (Ω0(Σ; gP ))∗ ' (Lie(G))∗

onde o isomorsmo Ω2(Σ; gP ) ' (Ω0(Σ; gP ))∗ é dado pelo pareamneto denido anteriormente,

ou seja, η ∈ Ω2(Σ; gP ) corresponde a∫σ< η ∧ · >g∈ (Ω0(Σ; gP ))∗.

Observação 3.2.3. Dado A ∈ A, FA é dada localmente (em Uα) por (FA)α = s∗αΩA ∈Ω2(Uα; g), e vale (FA)α = d(s∗αA) +

1

2[s∗αA, s

∗αA]. Tomando ν ∈ TAA,

(FA+tν)α = d(s∗αA) +1

2[s∗αA, s

∗αA] + t(d(s∗αν) +

1

2([s∗αν, s

∗αA] + [s∗αA, s

∗αν])) +

t2

2[s∗αν, s

∗αν]

89

Como [s∗αA, s∗αν] = (−1)1.1+1[s∗αν, s

∗αA] e (dAν)α = d(s∗αν) + [s∗αA, s

∗αν], obtemos que

(FA+tν)α = (FA)α + t(dAν)α +t2

2[s∗αν, s

∗αν]

e, em particular,d

dt

∣∣∣∣t=0

(FA+tν)α = (dAν)α

Proposição 3.2.1. A aplicação

µ = −F : A −→ (Lie(G))∗

é um mapa momento para a ação do grupo de transformações de calibre no espaço de conexõesde P (Σ, G).

Prova. Vamos mostrar que

i) Dados f ∈ C∞C (P ;G), A ∈ A e σ ∈ Lie(G)

(µ(ψf (A)))(σ) = −∫

Σ< FA·f ∧ σ >g

mas, FA·f = Adf−1(FA). Aqui há um pouco de abuso de notação. Como vimos FA é dada

por (FA)α = s∗αFA ∈ Ω2(Uα, g). Daí, se m ∈ Uα, FA(m)(u, v) = [sα(m), Fα(m)(u, v)]. Mas,

ΩA·f = ΩA · f = Adf−1(ΩA) e aplicando o pullback de sα, obtemos que (FA·f )α = Adf−1((FA)α)

e assim, pela Ad-invariância do produto interno em g, obtemos

(µ(ψf (A)))(σ) = −∫

Σ< Adf−1(FA) ∧ σ >g=

−∫

Σ< (FA) ∧ Adf−1(σ) >g= µ(A)(Adf−1σ) = ((Ad∗f µ)(A))(σ)

ii) Dado σ ∈ Lie(G), µσ(A).= (µ(A))(σ) =

∫Σ< −FA ∧ σ >, temos assim que, dado ν ∈ TAA,

dµσ(A)ν = d(∫

Σ< −F ∧ σ >g>)(A)ν

= ddt

∣∣t=0

∫Σ< −FA+tν ∧ σ >g

Obs3.4.3= −

∫Σ< dAν ∧ σ >g

Lema3.4.1=

∫Σ−∫

Σd < ν ∧ σ >g −

∫Σ< ν ∧ dAσ >g

Stokes= −

∫Σ< ν ∧ dAσ >g

= −∫

Σ< ν ∧ (Xσ)A >g

=∫

Σ< (Xσ)A ∧ ν >g

= ωA((Xσ)A, ν)

90

Note que, a estrela de Hodge (estendida para formas com valores no brado gP ) em 1-

formas ∗Ω1(M ; gP ) −→ Ω1(M ; gP ) satisfaz ∗2 = −Id. Logo, podemos denir uma estrutura

quase-complexa em AJA(α)

.= ∗α

onde α ∈ TAA, a ∈ A. A estrela de Hodge também nos dá uma métrica no espaço de conexões

gA(α, β).=

∫Σ

< α ∧ ∗β >g

α, β ∈ TAA. Claramente esta métrica é hermitiana, pois

g(Jα, Jβ) = −∫

Σ

< ∗α ∧ β >g=

∫Σ

< α ∧ ∗β >g

onde usamos que ∗α ∧ β = ∗2α ∧ ∗β = −α ∧ ∗β.Note ainda que nossa forma simplética ω(α, β) = g(Jα, β)

ω(α, β) =

∫Σ

< α ∧ β >g=

∫Σ

< ∗α ∧ ∗β >g= g(Jα, β)

Portanto, temos uma estrutura Kahler em A.

Essa discussão pode ser facilmente generalizada para o caso em que a base do brado é uma

variedade simplética compacta X2n (ou Kähler). Como a forma simplética é fechada, temos

uma forma simplética no espaço de conexões

ω(α, β) =

∫X

< α ∧ β >g ∧ ωn−1

E de maneira análoga, a ação do grupo de transformações de calibre G em A nos fornece o

mapa momento

µ(A) = −FA ∧ ωn−1

Este assunto é tratado com detalhes em [11] (capítulo 6).

Note ainda que, se X é uma variedade hyperkähler de dimensão quatro, temos para cada

forma Kähler ωj, j = 1, 2, 3, de X, uma forma simplética (Kähler, uma vez xada a métrica

g(α, β) =∫X< α ∧ ∗β >g em A) no espaço de conexões. Em particular, as estruturas

complexas de X induzem estruturas complexas no espaço de conexões, que herda uma estrutura

hyperkähler. Além disso, temos mapas momento dados por µj(A) = −FA ∧ ωj e podemos

condensá-los num mapa momento hyperkähler µ = (µ1, µ2, µ3).

91

Como observado em [37] (seção 3.2), as formas ω1, ω2, ω3 geram o espaço das 2-formas

auto-duais, de modo queµ−1(0)

G' A ∈ A ; F+

A = 0G

Ou seja, o espaço de moduli de instantons (com singularidades). Em particular, eliminando

pontos ruins, têm-se uma estrutura hyperkähler nesse espaço.

Apesar de estarmos trabalhando em espaços compactos, é possível entender essa constru-

ção em espaços não-compactos, como R4 (que é hyperkähler). Com as ferramentas de análise

apropriadas obtém-se uma estrutura de variedade hyperkähler no espaço de moduli de SU(r)-

instantons framed (com segunda classe de Chern xada).

Para nalizar, cabe comentar que a correspondência dada pela construção ADHM de ins-

tantons (teorema 3.1.2) é, na verdade, uma isometria hyperkähler. Tal fato está provado em

[30].

92

Apêndice A

Formas Diferenciais

Com o intuito de estabelecer notação e enunciar alguns resultados clássicos usados no texto,

vamos discutir alguns aspectos da teoria de formas diferenciais usuais e com valores em brados

vetoriais. Esta seção é baseada em [28], [34].

Se M é uma variedade diferenciável, uma k-forma diferencial α ∈ Ωk(M) é uma seção do

brado vetorial ΛkT ∗M −→M , e dado p ∈M ,

αp : TpM × . . .× TpM −→ R

é uma aplicação k-linear alternada. Alternativamente, é possível pensar em α como uma apli-

cação C∞(M)-linear em cada uma das k entradas e alternada

α : X(M)× . . .× X(M) −→ C∞(M)

denida da maneira natural (i.e., α(X1, . . . , Xk)(p) = αp((X1)p, . . . , (Xk)p), onde X1, . . . , Xk ∈X(M) e, por abuso de notação, denotamos as duas aplicações por α).

Com essa identicação, a derivada exterior se dá por:

dα(X1, . . . , Xk+1) =k+1∑i=1

(−1)i+1Xi(α(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1))

+∑i<j

(−1)i+jα([Xi, Xj], X1, . . . , Xi, . . . , Xj, . . . , Xk+1)

onde Xi signica que o campo Xi foi omitido e, dada f ∈ C∞(M) e X ∈ X(M), X(f) ∈ C∞(M)

é denida por X(f)(p) = Xp(f) = dfp(Xp). Além disso, [Xi, Xj] ∈ X(M) é o colchete de Lie de

dois campos (i.e., [Xi, Xj](f) = X1(X2(f))−X2(X1(f)), onde f ∈ C∞(M)).

93

Em particular, se α é uma 1-forma, vale que:

dα(X1, X2) = X1(α(X2))−X2(α(X1))− α([X1, X2])

De uma forma mais geral, podemos denir uma k-forma de M com valores num brado

vetorial E −→ M como uma seção do produto tensorial dos brados em questão, i.e., α ∈Γ(ΛkT ∗M ⊗ E) e denotaremos esse espaço por Ωk(M ;E). Assim, dado p ∈M :

αp : TpM × . . .× TpM −→ Ep

é uma aplicação k-linear alternada. Em particular, se V é um espaço vetorial e V = M×V −→M é o brado trivial, denotamos por Ωk(M ;V )

.= Ωk(M ;V ).

Além disso, a nossa identicação para formas usuais se traduz, nesse contexto, em uma

aplicação C∞(M)-linear em cada uma das k entradas e alternada

α : X(M)× . . .× X(M) −→ Γ(E)

Denotemos por

Ω(M ;E) =⊕

Ωk(M ;E)

Este é naturalmente um módulo graduado sobre a álgebra graduada Ω(M), onde a ação (à

esquerda)

∧ : Ωk(M)× Ωl(M ;E) −→ Ωl+k(M ;E)

é denida estendo por linearidade

α ∧ (β ⊗ s) .= (α ∧ β)⊗ s

onde α ∈ Ωk(M), Ωl(M) e s ∈ Γ(E). De maneira análoga, temos uma ação à esquerda e vale

α ∧ γ = (−1)klγ ∧ α, onde α ∈ Ωk(M) e γ ∈ Ωl(M ;E).

Vamos voltar nossa atenção para Ωk(M ;V ). Seja α ∈ Ωk(M ;V ). Fixada uma base de V

v1, . . . , vr, temos que

α =r∑i=1

αivi

onde vi ∈ Ωk(M). Podemos então denir

dα =r∑i=1

dαivi

94

e claramente essa denição independe da base de V tomada. O produto exterior, no entanto,

não se generaliza tão facilmente. Temos um mapa natural

∧ : Ωp(M ;V )× Ωq(M ;V ) −→ Ωp+q(M ;V ⊗ V )

que associa (α, β) ∈ Ωp(M ;V ) × Ωq(M ;V ), onde α =r∑i=1

αivi e β =r∑i=1

βivi, ao elemento

α ∧ β .=

r∑i,j=1

(αi ∧ βj)vi ⊗ vj. Se V é dotado de multiplicação (i.e. uma aplicação linear

V ⊗ V −→ V ), obtemos, por composição, um mapa Ωp(M ;V ) × Ωq(M ;V ) −→ Ωp+q(M ;V ).

Note que, se W é outro espaço vetorial e temos uma ação W × V −→ V , podemos denir de

maneira análoga Ωp(M ;W )×Ωq(M ;V ) −→ Ωp+q(M ;V ) (em particular, W = End(V ) fornece

um exemplo dessa situação).

Um caso de extrema importância ocorre quando V é a álgebra de Lie de um grupo de Lie

G. Neste caso, a multiplicação é o colchete de Lie e denotamos também por colchetes o mapa

[·, ·] : Ωp(M ; g)× Ωq(M ; g) −→ Ωp+q(M ; g).

Em particular, se α ∈ Ω1(M ; g),

[α, α](X, Y ) = [α(X), α(Y )]− [α(Y ), α(X)] = 2[α(X), α(Y )]

Lema A.0.6. Sejam α, β, γ ∈ Ω(M ; g) formas cujos graus são p, q e r, respectivamente. Então

1. [β, α] = (−1)pq+1[α, β]

2. (−1)rq[γ, [α, β]] + (−1)qp[β, [γ, α]] + (−1)pr[α, [β, γ]] = 0

3. d[α, β] = [dα, β] + (−1)p[α, dβ]

O lema acima segue diretamente das propriedades das formas diferenciais usuais e do fato

do colchete de Lie ser anti-simétrico e satisfazer a identidade de Jacobi.

Note que, todo grupo de Lie G vem equipado com uma 1-forma com valores na álgebra de

Lie, a forma de Maurer-Cartan θ. Dado g ∈ G, esta forma é denida por θ(g) = dLg−1(g) :

TgG −→ g.

Proposição A.0.2. A forma de Maurer-Cartan satisfaz:

1. L∗gθ = θ

2. R∗gθ = Adg−1θ

95

3. dθ +1

2[θ, θ] = 0 (equação estrutural)

Lema A.0.7. Seja P uma variedade e G um grupo de Lie. Se α ∈ Ω1(P ; g) e f : P −→ G,então Adf−1α ∈ Ω1(P ; g) e temos

d(Adf−1α) = Adf−1dα− [f ∗θ, Adf−1α]

Prova. Podemos ver Adf−1 ∈ Ω0(P ;GL(g)) e temos o pareamento natural com formas com

valores na álgebra de Lie. Assim,

d(Adf−1α) = d(Adf−1) ∧ α + Adf−1dα

Vamos calcular d(Adf−1) ∈ Ω1(P ;GL(g). Seja então γ uma curva suave em P com γ(0) = p e

γ′(0) = v. Assim, d(Adf−1)pv = ddt

∣∣t=0

Adf−1(γ(t)).

Escreva, f−1(γ(t)) = f−1(p)h(t), onde h(t) = Lf(p)f−1(γ(t)). Ou seja, h(0) = e ∈ G e

h′(0) = ((f−1)∗θ)pv.

Temos então que Adf−1(γ(t)) = Adf−1(p)Adh(t). Portanto,

d(Adf−1)pv = Adf−1(p)adh′(0) = Adf−1(p)[((f−1)∗θ)pv, ·]

Dessa forma,

(d(Adf−1) ∧ α)p = Adf−1(p)[(f−1)∗θ, α]p = [Adf−1(p)(f

−1)∗θ, Adf−1(p)αp] = −[(f ∗θ)p, Adf−1(p)αp]

Na última igualdade foi usado implicitamente que se a : P −→ G, aa−1 : P −→ e ⊆ G e

assim (da)a−1 + a(da−1) = 0.

Mostraremos a seguir que dado um brado principal P(M,G) e uma representação ρ :

G −→ GL(V ), onde V é um espaço vetorial, as formas de M com valores no brado associado

E = P ×ρ V correspondem a certas formas em P com valores em V.

Denição A.0.1. Dizemos que uma forma α ∈ Ωk(P, V ) é básica, se

1. ψ∗gα = ρ(g−1)α, para todo g ∈ G

2. A forma se anula quando aplicada em vetores verticais (em qualquer uma de suas entra-das)

Denotaremos o espaço das k-formas básicas por ΩkG(P, V ).

Proposição A.0.3. Existe uma isomorsmo entre ΩkG(P, V ) e Ωk(M,E), onde E = P ×ρ V .

96

Prova. Seja α ∈ ΩkG(P, V ). Vamos denir α ∈ Ωk(M,E). Dados m ∈ M , τj ∈ TmM ,

j = 1, . . . , k, e p ∈ π−1(m) ⊆ P , como π é submersão, existem τj ∈ TpP tais que dπ(p)τj = τj.

Denimos então

α(m)(τ1, . . . , τk) = [p, α(p)(τ1, . . . , τk)]

Primeiramente, observe que se dπ(p) ˜τj = τj, ˜τj − τj ∈ Vp = ker(dπp) e como α é uma forma

básica, α(p)(τ1, . . . , ˜τj, . . . , τk) = α(p)(τ1, . . . , τj, . . . , τk). Portanto, não há problemas na escolha

dos vetores τj. Para mostrar que α está bem denida ainda precisamos mostrar que não importa

o elemento de Pm tomado. Como qualquer outro elemento da bra é da forma p · g, para algumg ∈ G, e dπ(p · g)dψg(p)τj = dπ(p)τj = τj, camos com a seguinte expressão

[p · g, α(p · g)(dψg(p)τ1, . . . , dψg(p)τk)] = [p · g, (ψ∗gα)(p)(τ1, . . . , τk)] =

[p · g, ρ(g−1)(α(p)(τ1, . . . , τk))] = [p, α(p)(τ1, . . . , τk)]

Essa associação é claramente linear. Por outro lado, dado β ∈ Ωk(M,E), denimos β(p)(τ1, . . . , τk) =

v, onde o elemento de V é dado por β(π(p))(dπ(p)τ1, . . . , dπ(p)τk) = [p, v]. Claramente, β ∈Ωk

(P, V ) e esta se anula em vetores verticais. Agora, β(π(p·g))(dπ(p)dψg(p)τ1, . . . , dπ(p)dψg(p)τk) =

β(π(p))(dπ(p)τ1, . . . , dπ(p)τk) = [p, v] = [p · g, ρ(g−1)v]. Portanto,

(ψ∗g β)(p)(τ1, . . . , τk) = β(p · g)(dψg(p)τ1, . . . , dψg(p)τk) = ρ(g−1)v = ρ(g−1)(β(p)(τ1, . . . , τk))

e assim, β ∈ ΩkG(P, V ).

Esta é uma bijeção. De fato, considere α ∈ ΩkG(P, V ) 7→ α ∈ Ωk(M,E) 7→ ˜α ∈ Ωk

G(P, V ).

Assim, α(π(p))(dπ(p)τ1, . . . , dπ(p)τk) = [p, α(p)(τ1, . . . , τk)] e assim, α = ˜α. Considere agora

β ∈ Ωk(M,E) 7→ β ∈ ΩkG(P, V ) 7→ ˜β ∈ Ωk(M,E). Se dπ(p)τj = τj, j = 1, . . . , k, com

π(p) = m, temos que ˜β(m)(τ1, . . . , τk) = [p, β(p)(τ1, . . . , τk))] = β(m)(dπ(p)τ1, . . . , dπ(p)τk) =

β(m)(τ1, . . . , τk).

Para nalizar essa seção vamos fazer um comentário sobre formas com valores no brado

associado E = P ×ρ V , onde sα : Uα −→ P |Uα são as seções que correspondem às trivializações

do brado P(M,G). Dada ζ ∈ Ωk(M,E), em Uα, podemos denir ζα ∈ Ωk(Uα, V ) por ζ =

[sα, ζα]. Note que em Uαβ as denições devem coincidir, de modo que, como sβ = sα · gαβ,devemos ter que, nos pontos da interseção, [sα, ζα] = [sβ, ζβ] = [sα, ρ(gαβ)ζβ]. Ou seja, ζα =

ρ(gαβ)ζβ. Reciprocamente, dadas k-formas ζα ∈ Ωk(Uα, V ) satisfazendo ζα = ρ(gαβ)ζβ em Uαβ,

obtemos uma forma global ζ ∈ Ωk(M,E) dada localmente (em Uα) por [sα, ζα].

Seja ζ ∈ ΩkG(P, V ) a forma que corresponde a ζ. Temos então que ζα = s∗αζ. De fato,

(s∗αζ)m(τ1, . . . , τk) = ζ(sα(m))(dsα(m)τ1, . . . , dsα(m)τk). Como πsα = IdUα , vale dπ(p)dsα(m)τj =

τj, para cada j, e assim ζ(m)(τ1, . . . , τk) = [sα(m), ζ(sα(m))(dsα(m)τ1, . . . , dsα(m)τk)].

97

Formas Diferenciais Complexas

Seja M uma variedade diferenciável. Como vimos anteriormente podemos considerar formas

diferenciais em espaços vetoriais V. Se V = C, chamamos α ∈ Ωk(M ;C) de k-forma diferencial

complexa. Em particular, como C é um corpo, o produto exterior se generaliza naturalmente.

Geralmente, denotaremos Ωk(M ;C) por Ωk(M)C e pensaremos num elemento α ∈ Ωk(M)C,

como α = α1 + iα2, onde α1, α2 ∈ Ωk(M); o que condiz com o fato de tal forma poder ser vista

como uma seção diferenciável do brado vetorial complexo cujas bras são Λk((TpM)C)∗.

Sejam α = α1 + iα2 ∈ Ωr(M)C e β = β1 + iβ2 ∈ Ωs(M)C. Então,

α ∧ β = α1 ∧ β1 − α2 ∧ β2 + i(α1 ∧ β2 + α2 ∧ β1)

dα = dα1 + idα2

e assim temos,α ∧ β = (−1)rsβ ∧ α

d2 = 0

α ∧ β = α ∧ β

A última armação segue do seguinte cálculo α ∧ β = α1 ∧β1−α2 ∧β2− i(α1 ∧β2 +α2 ∧β1) =

(α1 − iα2) ∧ (β1 − iβ2).

98

Apêndice B

Forma volume e Estrela de Hodge

Seja V um espaço vetorial. Considere o seguinte espaço vetorial

T rs (V ) = V ⊗ . . .⊗ V︸ ︷︷ ︸r

⊗V ∗ ⊗ . . . V ∗︸ ︷︷ ︸s

Temos da álgebra linear os seguintes isomorsmos:

Proposição B.0.4. Se V é um espaço vetorial real, então

Ts(V ).= T 0

s (V ) ' f : V × . . .× V︸ ︷︷ ︸s

−→ R s− lineares

T r(V ).= T r0 (V ) ' f : V ∗ × . . .× V ∗︸ ︷︷ ︸

r

−→ R r − lineares

Denição B.0.2. Seja M uma variedade. T rs (M).=⋃p∈M

T rs (TpM) é naturalmente um brado

vetorial sobre M. Chamamos de campo tensorial de grau (r, s) uma seção deste brado.

Denição B.0.3. Uma métrica riemanniana numa variedade diferenciável M é um campotensorial g simétrico de grau (0,2) positivo denido.

Dessa forma, gp : TpM × TpM −→ R é um produto interno, para cada p ∈ M . Além disso,

dada uma carta local U, (x1, . . . , xn) de M, podemos escrever amétrica como

g|U =n∑

i,j=1

gijdxi ⊗ dxj

onde gij(p) = gp(∂∂xi

∣∣p, ∂∂xj

∣∣p), gij ∈ C∞(U), e (gij(p)) é uma matriz simétrica e positiva de-

nida.

99

O fato de gp : TpM × TpM −→ R ser positivo denido, nos dá, em particular, que esta

forma bilinear é não-degenerada. De fato, se gp(u, v) = 0, para todo v ∈ TpM , tomando v = u,

obtemos que u = 0. Assim, a métrica nos dá um isomorsmo entre TpM e T ∗pM , que se estende

a um isomorsmo entre campos de vetores e 1-formas de M.

Podemos então, através desse isomorsmo, produzir um produto interno em cada T ∗pM e

assim uma métrica (como na denição 1.2.3) no brado cotangente.

O isomorsmo gp : TpM −→ T ∗pM , u 7→ gp(·, u), nos dá que g(·, ∂∂xj

∣∣p) é uma base de

TpM , para cada p ∈ U . Assim,

dxi =n∑j=1

ajig(·, ∂

∂xj)

Portanto,n∑j=1

gkjaji = δki . Ou seja, (aij) é a matriz inversa de (gij) e denotaremos aij por gij.

Dessa forma, a 1-forma local dxi corresponde ao campo localn∑j=1

gji∂

∂xj. Dena assim

gij = g(dxi, dxj) = g(n∑r=1

gri∂

∂xr,

n∑s=1

gsj∂

∂xs)

n∑r,s=1

grigrsgsj =

n∑r,s=1

grigsrgsj =

n∑s=1

δsi gsj = gij

em U, e estenda por bilinearidade.

Podemos generalizar essa métrica para o brado vetorial das k-formas através do determi-

nante. Se αi, βi ∈ Ω1(M), i = 1, . . . , k

(α1 ∧ . . . ∧ αn, β1 ∧ . . . βn).= det((g(αi, βj)))

e novamente estenda por bilinearidade.

Note que, dada uma variedade riemanniana (M,g) existe uma forma volume privilegiada, a

qual denotaremos dvol. Esta tem a propriedade de que, se u1, . . . , un é uma base ortonormal

orientada de TpM , então dvol(u1, . . . , un) = 1. De fato, seja (U, (x1, . . . , xn)) uma carta local

de M. Então, aplicando o processo de Gram-Schmidt para os campos locais ∂∂xi

, i = 1, . . . , n,

obtemos um referencial local ortonormal cujo dual ω1, . . . , ωn, como vimos, fornece uma base

ortonormal para T ∗U . Se ω′1, . . . , ω′n é outra base ortonormal, com respeito ao aberto U ′, temos

que Aωi = ω′i em U ∩ U ′, para alguma A ∈ O(n) e

Aω1 ∧ . . . ∧ Aωn = det(A)ω1 ∧ . . . ∧ ωn = ±ω1 ∧ . . . ∧ ωn

100

daí, no caso em que ω1, . . . , ωn e ω′1, . . . , ω′n pertencem à mesma orientação, det(A) = 1 e

estas formas denem uma n-forma global em M. Em particular, se (U, (x1, . . . , xn)) é uma carta

local que dene a orientação,

(dx1 ∧ . . . ∧ dxn, dx1 ∧ . . . ∧ dxn) = det(gij) =1

det(gij)

e assim,

dvol|U =√detgijdx1 ∧ . . . ∧ dxn

Se M é compacto, denimos o volume de M por

vol(M) =

∫M

dvol

Em uma variedade riemanniana orientada (Mn, g), temos um isomorsmo natural entre

ΛkT ∗pM ' Λn−kT ∗pM , para cada p ∈ M . De fato, se ω1, . . . , ωn é uma base ortonormal de

T ∗pM , então denimos ∗ : ΛkT ∗pM −→ Λn−kT ∗pM por

∗(ω1 ∧ . . . ∧ ωk) = ±ωk+1 ∧ . . . ωn

onde o sinal positivo é tomado se a base ordenada ω1, . . . , ωn está na mesma classe da orie-

tação, i.e., da forma de volume (caso contrário, toma-se o sinal negativo).

Note que, em particular, se ω1, . . . , ωn é orientado positivamente,

∗1 = ω1 ∧ . . . ∧ ωn e ∗(ω1 ∧ . . . ∧ ωn) = 1

A estrela de Hodge será o operador denido globalmente ∗ : Ωk(M) −→ Ωn−k(M). Concluí-

mos que a imagem de uma k-forma diferenciável por * é, de fato, uma (n-k)-forma diferenciável

considerando sua expressão local por um referencial ortonormal positivo. Vamos resumir as

propriedades da estrela de Hodge abaixo.

Proposição B.0.5. Sejam f, g ∈ C∞(M) e α, β ∈ Ωk(M). Então,

1. ∗(fα + gβ) = f ∗ α + g ∗ β

2. ∗ ∗ α = (−1)k(n−k)α

3. α ∧ ∗β = (α, β)dvol

4. ∗(α ∧ ∗β) = (α, β)

5. (∗α, ∗β) = (α, β)

101

A demostração da proposição (ver [34] , página 152, por exemplo) é simples, uma vez que

é suciente provar cada identidade no caso de espaços vetoriais tomando uma base ortonormal

positiva e analisando os sinais.

Sejam α, β ∈ Ωkc (M) k-formas com suporte compacto (ou, simplesmente, k-formas, supondo

M compacto). Denimos então o produto interno L2 por

< α, β > =∫M

(α, β)dvol

=∫Mα ∧ ∗β

Em particlar, a norma L2 será denotada por ‖α‖2L2 =

∫Mα ∧ ∗α.

102

Apêndice C

Geometria Riemanniana

Seja M uma variedade e E −→ M um brado vetorial. Como vimos, uma conexão em E é

uma aplicação linear

∇ : Γ(E) −→ Ω1(M ;E)

satisfazendo a regra de Leibniz. Como vimos no apêndice A, Ω1(M ;E) corresponde às apli-

cações C∞(M)-lineraes X(M) −→ Γ(E) (a condição da aplicação ser alternada é vácua nesse

caso). Então, dados s ∈ Γ(E) e X ∈ X(M), temos que ∇Xs.= (∇s)X ∈ Γ(E) e ∇fXs = f∇Xs,

onde f ∈ C∞(M). Além disso, a regra de Leibniz nos dá que

(∇fs)X = df(X)s+ f(∇s)X

Ou seja, como X(f) = df(X) ∈ C∞(M), obtemos

∇Xfs = X(f)s+ f∇Xs

Na literatura, muitas vezes, uma conexão no brado vetorial é apresentada como um mapa

∇ : X(M) × Γ(E) −→ Γ(E) bilinear que é C∞(M)-linear na primeira entrada e satisfaz

∇Xfs = X(f)s + f∇Xs (como ∇ denida acima). Em particular. Claramente essas no-

ções são equivalentes através de ∇Xs = (∇s)X. Denotaremos ambas pelo mesmo símbolo ∇ e

o contexto deixará claro qual dos mapas estamos tomando.

Considere agora o brado tangente E = TM . Uma conexão em M (i.e., em TM) é um mapa

∇ : X(M)× X(M) −→ X(M)

Em particular, é comum chamar ∇XY de derivada covariante de Y na direção de X.

103

Uma conexão ∇ em M induz uma conexão em cada brado vetorial T rs (M) −→ M , que,

por abuso de notação, denotaremos também por ∇. Esta conexão é única e pode ser obtida

pedindo que

1. Em TM, a conexão concorda com a conexão dada

2. Para funções f ∈ C∞(M) (i.e., T 00 (M)), ∇Xf = X(f)

3. Para campos tensoriais quaisquer, F e G, vale a regra do produto com respeito ao produto

tensorial desses campos

∇X(F ⊗G) = ∇XF ⊗G+ F ⊗∇XG

4. ∇ comuta com a contração entre campos de tensores.

Pelo item 4, se ω ∈ Ω1(M) e X, Y ∈ X(M), devemos ter ∇X(ω(Y )) = (∇Xω)Y + ω(∇XY )

e como ω(Y ) ∈ C∞(M), (∇Xω)Y = X(ω(Y )) − ω(∇XY ). Aplicando as propriedades acima,

chegamos que para um (r,s)-campo tensorial F, e X ∈ X(M), temos que

(∇XF )(ω1, . . . , ωr, Y1, . . . , Ys) = X(F (ω1, . . . , ωr, Y1, . . . , Ys))

−r∑i=1

F (ω1, . . . ,∇Xωi, . . . , ωr, Y1, . . . , Ys)

−s∑i=1

F (ω1, . . . , ωr, Y1, . . . ,∇XYi, . . . , Ys)

onde, os ωi ∈ Ω1(M), Yi ∈ X(M).

Aqui, vemos F : Ω1(M)× . . .× Ω1(M)︸ ︷︷ ︸r

×X(M)× . . .× X(M)︸ ︷︷ ︸s

−→ C∞(M), C∞(M)-linear

em cada uma das entradas. Note que ∇ em 1-formas ((0,1) campos tensoriais) é C∞(M)-

linear na primeira entrada e assim ∇ é C∞(M)-linear na primeira entrada para campos de

tensores gerais, pela fórmula anterior. Além disso, se f, g ∈ C∞(M) e X ∈ X(M), (fX)(g) =

dg(fX) = fdgX = fX(g) e X(fg) = d(fg)X = df(gX) + fdgX = gX(f) + fX(g). Portanto,

∇XfF = X(f)F + f∇XF e ∇, pela fórmula deduzida, é de fato uma conexão em T rs (M).

Como ∇XF foi unicamente deduzido pelas condições pedidas, temos que, esta é a única cone-

xão satisfazendo essas propriedades.

Observação C.0.4. Se F é um (r,s) campo tensorial, ∇F ∈ Ω1(M ;T rs (M)). Ou seja, ∇F :

X(M) −→ Γ(T rs (M)), C∞(M)-linear. Mas, Γ(T rs (M)) = X(M)⊗r ⊗ Ω1(M)⊗s e o fato da

104

aplicação ser C∞(M)-linear, nos permite pensar em ∇F ∈ Γ(T rs+1(M)), i.e., um (r, s+1)campo tensorial. Mais explicitamente,

∇F (ω1, . . . , ωr, Y1, . . . , Ys, X) = ∇XF (ω1, . . . , ωr, Y1, . . . , Ys)

onde os ωi ∈ Ω1(M) e X, Yi ∈ X(M).

Considere agora uma métrica riemanniana g em M. Um célebre teorema devido a John

Nash [38] diz que, dada uma variedade riemanianna (M,g), existe um mergulho isométrico

i : (M, g) −→ (RN , g) (i.e., i é mergulho e g = i∗g) para algum N. Aqui, se (x1, . . . , xN) são as

coordenadas de RN , g = dx1⊗dx1 + . . .+dxN ⊗dxN . No espaço euclidiano temos uma conexão

canônica dada por ∇XY =N∑i=1

X(Y i)∂

∂xi, onde Y =

N∑i=1

Y i ∂

∂xi. Isso induz uma conexão em

M tomando as projeções ortogonais de ∇XY em TM, onde X, Y ∈ X(M) foram estendidos de

maneira arbitrária a RN . Essa conexão em M, ∇, é compatível com a métrica, ou seja,

X(g(Y, Z)) = g(∇XY, Z) + g(Y,∇XZ)

e é sem torção, no sentido que

∇XY −∇YX = [X, Y ]

É um resultado célebre de geometria riemanniana que, dada uma variedade riemanniana

(M,g), existe uma única conexão em M compatível com a métrica e sem torção. Esta é a

chamada conexão de Levi-Civita.

Observação C.0.5. Como vimos anteriormente, (∇Xg)(Y, Z) = X(g(Y, Z)) − g(∇XY, Z) −g(Y,∇XZ). Portanto, a compatibilidade de uma conexão ∇ com a métrica equivale a ∇g = 0

(i.e., que o tensor métrica seja paralelo à conexão).

Considere então (M,g) munida da conexão de Levi-Civita ∇. Assim como feito para brados

tensoriais, uma conexão em M também induz, de maneira natural, conexões nos brados das

potências exteriores. Em particular, se α ∈ Ωk(M) e X ∈ X(M)

∇Xα(Y1, . . . , Yk) = X(α(Y1, . . . , Yk))−k∑i=1

α(Y1, . . . ,∇XYi, . . . , Yk)

Mas, como vimos no apêndice A,

dα(Y0, . . . , Yk) =k∑i=0

Yi(α(Y0, . . . , Yi, . . . , Yk)) +∑i<j

(−1)i+jα([Yi, Yj], Y0, . . . , Yi, . . . , Yj, . . . , Yk)

105

Se ∇ é a conexão de Levi-Civita, temos, em particular, que [Yi, Yj] = ∇YiYj − ∇YjYi. Daí,

notando que se i < j, vale

∇Yiα(Y0, . . . , Yi, . . . , Yk) = Yi(α(Y0, . . . , Yi, . . . , Yk))−k∑j=1

α(Y0, . . . , Yi, . . . ,∇YiYj, . . . , Yk)

e podemos concluir que

dα(Y0, . . . , Yk) =k∑i=1

(−1)i∇Yiα(Y0, . . . , Yi, . . . , Yk)

106

Apêndice D

Sobre o brado vetorial gE

Seja P(M,G) um brado principal e E = P×ρV o brado vetorial associado à representação

ρ : G −→ GL(V ). Temos um mapa natural de brados (vetoriais)

Ξ : gP −→ End(E)

Este deve ser dado, para cada m ∈M , por uma aplicação linear

Ξm : (gP )m −→ End(Em)

Seja então, [p, ϕ(p)] ∈ (gP )m (i.e., π(p) = m e ϕ(p · g) = Adg−1(ϕ(p))). Dena

Ξm([p, ϕ(p)]) : Em −→ Em

[p, v] 7→ [p, dρ(e)(ϕ(p))v]

Note que, se este mapa estiver bem denido, temos imediatamente que Ξm([p, ϕ(p)]) ∈ End(Em)

e Ξm ∈ Hom((gP )m, End(Em)) e assim Ξ é, de fato, um mapa entre brados. Vamos ver que

tal aplicação está bem denido.

Considere [p · g, ϕ(p · g)] = [p, ϕ(p)]. Então,

Ξm([p · g, ϕ(p · g)])([p, v]) = Ξm([p · g, ϕ(p · g)])([p · g, ρ(g−1)v])

[p · g, dρ(e)(Adg−1ϕ(p))ρ(g−1)v]

[p, ρ(e)dρ(e)(Adg−1ϕ(p))ρ(g−1)v]

Mas, ρ(e)dρ(e)(Adg−1ϕ(p))ρ(g−1) = Cρ(g)dρ(e)(Adg−1ϕ(p)). Como ρ(g) ∈ GL(V ), temos que

Cρ(g) = dCρ(g)(e) e assim, pela regra da cadeia, ρ(e)dρ(e)(Adg−1ϕ(p))ρ(g−1)v = d(Cρ(g) ρ Cg−1)(e)(ϕ(p))v. Agora, Cρ(g) ρ Cg−1 : h ∈ G 7→ ρ(g)ρ(g−1hg)ρ(g−1) = ρ(h). Portanto,

Ξm([p · g, ϕ(p · g)]) = Ξm([p, ϕ(p)]).

107

Nesse trabalho, optamos por trabalhar no âmbito mais geral dos brados principais. Muitas

vezes na literatura, no entanto, a teoria de calibre é desenvolvida em brados vetoriais, cujos

grupos de estrutura foram reduzidos a um grupo de Lie de matrizes G. Nessa formulação, o

brado vetorial é o associado ao principal, via a representação natural de inclusão. Nesse caso,

a imagem do brado de álgebras de Lie (inclusão) pelo mapa acima é usualmente denotada por

gE (i.e., Ξ(gP ).= gE).

Em particular, a curvatura Fω ∈ Ω2(M ; gP ) pode ser vista como Fω ∈ Ω2(M ; gE). Isso

condiz com o fato da curvatura em brados vetoriais poder ser vista localmente como uma

matriz de 2-formas locais, uma vez que gE ⊆ End(E).

108

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