bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ViÖn khoa häc vµ c«ng nghÖ viÖt nam

ViÖn c¬ häc

nguyÔn duy chinh

nghiªn cøu gi¶m dao ®éng cho c«ng tr×nh

theo m« h×nh con l¾c ng−îc

chÞu t¸c dông cña ngo¹i lùc

luËn ¸n tiÕn sÜ c¬ häc

Hµ Néi – 2010

bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ViÖn khoa häc vµ c«ng nghÖ viÖt nam

ViÖn c¬ häc

nguyÔn duy chinh

nghiªn cøu gi¶m dao ®éng cho c«ng tr×nh

theo m« h×nh con l¾c ng−îc

chÞu t¸c dông cña ngo¹i lùc

chuyªn ngµnh: c¬ häc vËt r¾n m· sè: 62.44.21.01

luËn ¸n tiÕn sÜ c¬ häc

ng−êi h−íng dÉn khoa häc

pgs. Ts. Khæng do·n ®iÒn - ĐẠI HỌC THỦY LỢI ts. KiÒu thÕ ®øc – ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

Hµ Néi – 2010

1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số

liệu, kết quả nghiên cứu trong luận án là trung thực và chưa từng

được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Duy Chinh

2

MỤC LỤC

Lời cam đoan.....................................................................................................1

Mục lục..............................................................................................................2

Danh mục các ký hiệu.......................................................................................5

Mở đầu...............................................................................................................8

Chương 1: Tổng quan về bộ hấp thụ dao động thụ động…………….……13

1.1 Giới thiệu chung…………………………………………………….…13

1.2 Nguyên lý cơ bản của bộ hấp thụ dao động thụ động………….……...15

1.3 Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ không có cản nhớt…....….17

1.3.1 Hệ chịu kích động điều hoà…………………………………………. 17

1.3.2 Hệ chịu kích động ồn trắng……………………………………….…..22

1.4 Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ có cản nhớt………….…...23

1.5 Một số tiêu chuẩn để xác định bộ hấp thụ dao động thụ động…….......24

1.6 Bộ hấp thụ dao động cho hệ con lắc ngược……………….……...…...26

1.7 Kết luận chương 1…………………………………………….……….30

Chương 2: Phương trình chuyển động của hệ con lắc ngược có lắp đặt hệ

thống giảm dao động TMD………..…………………………………..…....31

2.1 Mô hình tính toán của cơ cấu con lắc ngược, có gắn bộ hấp thụ dao động

được nghiên cứu trong luận án….………………………………….…...31

2.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ con lắc ngược.……….32

2.2.1 Động năng của cơ hệ……………………………………….………….33

2.2.2 Lực suy rộng của cơ hệ……………………………………….………..38

2.2.2.1 Thế năng của cơ hệ …………………………………………….……39

2.2.2.2 Hàm hao tán của cơ hệ …………………………………………...…41

2.2.2.3 Lực hoạt suy rộng của cơ hệ ………………………………….……..41

2.2.3 Phương trình vi phân chuyển động của hệ…………………………….43

2.3 Kết luận chương 2…………………….…………………….…………46

3

Chương 3. Nghiên cứu, phân tích, tính toán, giảm dao động cho các công

trình có dạng hệ con lắc ngược…..…………….…………………..…….....47

3.1 Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao động TMD-D.…………..……..........49

3.1.1 Phương trình vi phân chuyển động của hệ………………...………….49

3.1.2 Nghiên cứu ổn định chuyển động của hệ con lắc ngược theo tiêu chuẩn

kĩ thuật trường hợp chỉ lắp bộ TMD-D………………………….……50

3.1.3 Tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD-D để giảm dao

động cho cơ cấu con lắc ngược………………………………….……55

3.2 Trường hợp chỉ lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N………...…….......65

3.2.1 Phương trình vi phân chuyển động của hệ khi lắp đặt bộ hấp thụ dao

động TMD-N. ……………………………….…………….………….66

3.2.2 Nghiên cứu ổn định chuyển động của hệ con lắc ngược theo tiêu chuẩn

kĩ thuật khi lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N……………………..….67

3.2.3 Tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD-N để giảm dao

động cho cơ cấu con lắc ngược……………………………….………69

3.3 Trường hợp con lắc ngược có lắp đặt đồng thời cả hai bộ hấp thụ dao

động TMD-N và TMD-D……………………………………………….81

3.3.1 Nghiên cứu ổn định chuyển động của hệ con lắc ngược theo tiêu chuẩn

kĩ thuật trường hợp có lắp đặt cả hai bộ TMD…………………….….82

3.3.2 Tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động cho

cơ cấu con lắc ngược………………………………….………………86

3.4 Kết luận chương 3…………………………………………….…..……103

Chương 4: Mở rộng kết quả nghiên cứu trường hợp có lắp đồng thời hai bộ

TMD-D và DVA. Tính toán mô phỏng số các các kết quả nghiên cứu giảm

dao động cho một số kết cấu công trình………….………...……………..106

4.1 Mở rộng kết quả nghiên cứu trường hợp có lắp đồng thời hai bộ

TMD-D và DVA………………………………………………………...…106

4

4.1.1 Mô hình của con lắc ngược có lắp hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và

DVA……………………………………. ……………………...……….…106

4. 1.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ con lắc ngược có lắp đặt

bộ DVA và TMD……………………………..……………………………107

4.1.3 Nghiên cứu xác định các thông số của bộ hấp thụ dao động DVA và bộ

TMD-D để công trình làm việc ổn định và giảm dao động cho hệ con lắc

ngược một cách tối ưu………………………………………….…….….118

4.2 Tính toán mô phỏng số các kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động vào

một số kết cấu công trình.………………………..…..……………….……123

4.2.1 Áp dụng kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động, tính toán giảm dao

động cho tháp nước…………………………………….………………..123

4.2.2 Áp dụng kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động, tính toán giảm dao

động theo phương thẳng đứng của ô tô..………………………...….…...129

4.2.3 Áp dụng kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động, tính toán giảm dao

động cho tháp ngoài biển………..……………………………………….132

4.3 Kết luận chương 4………………………...…………………..……….137

Kết luận và kiến nghị …………………….………...………………......…138

Danh mục các công trình đã công bố của tác giả.…………………….……142

Danh mục tài liệu tham khảo……………………………………………….143

Lời cảm ơn……………………………………………………………...…..151

Phụ lục chương trình máy tính : Lập trình vẽ đồ thị trên phần mềm MAPLE

để mô phỏng dao động cho hệ ………………...……………………..….…152

5

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

TMD Bộ hấp thụ thụ động dạng khối lượng (Tuned mass damper)

TMD-D Bộ hấp thụ thụ động dạng khối lượng để giảm dao động theo

phương thẳng đứng của con lắc ngược

TMD-N Bộ hấp thụ thụ động dạng khối lượng để giảm dao động theo

phương lắc ngang của con lắc ngược

DVA Bộ tắt chấn động lực loại con lắc ( Dynamic vibration absorber)

TLD Bộ giảm chấn chất lỏng

m Khối lượng của bộ TMD

M Khối lượng của hệ chính

ωa Tần số riêng của bộ TMD

ωopt Giá trị tối ưu của tần số của bộ TMD

ζ Tỉ số cản nhớt của bộ TMD

ζopt Giá trị tối ưu tỷ số cản nhớt của bộ TMD

... Ký hiệu kì vọng toán học

ω Tần số của lực kích động điều hoà

f Tỷ số của tần số của bộ TMD thụ động và tần số của hệ chính

fopt Tỷ số tối ưu của tần số của bộ TMD thụ động và tần số của hệ

chính

µ Tỷ số khối lượng của bộ TMD và hệ chính

h Tỷ số giữa tần số lực tác động và tần số riêng của hệ chính

hopt Tỷ số tối ưu giữa tần số lực tác động và tần số riêng của hệ chính

B Ma trận chứa các hệ số của lực điều khiển trong phương trình trạng

thái

C Ma trận cản

Q* Lực hoạt suy rộng của cơ hệ

6

∏ Thế năng của hệ

T Động năng của hệ

Φ Hàm hao tán của hệ

E Tỷ số đánh giá hiệu quả của bộ TMD

F Véc tơ lực kích động

g Gia tốc trọng trường

k2 Hệ số cứng lò xo của hệ chính

k1 Hệ số cứng lò xo của bộ TMD

kopt Hệ số cứng tối ưu của bộ TMD

K Ma trận độ cứng

M* Ma trận khối lượng

Ω Tần số dao động riêng của hệ chính

Eopt Tỷ số đánh giá hiệu quả tối ưu của bộ TMD

copt Hệ số cản nhớt tối ưu của bộ TMD

P(λ) Đa thức đặc trưng

λ Nghiệm của đa thức đặc trưng

( )Re λ Phần thực của nghiệm đa thức đặc trưng

( )Im λ Phần ảo của nghiệm đa thức đặc trưng

µu1 Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-N và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động thẳng.

µϕ1 Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-N và con lắc ngược

đặc trưng cho chuyển động quay.

γ1 Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N.

ωd1 Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động TMD-N.

ξ1 Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-N.

µu2 Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động thẳng.

7

µϕ2 Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động quay.

γ2 Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D.

ωd2 Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động TMD-D.

ξ2 Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-D.

ωϕ Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương ngang.

ωu Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương thẳng đứng.

1dα Tỉ số của tần số của bộ TMD-N và tần số lắc ngang của con lắc ngược

2dα Tỉ số của tần số của bộ TMD-D và tần số lắc ngang của con lắc ngược.

uα Tỉ số giữa tần số dao động thẳng đứng và tần số lắc ngang của con lắc ngược

γ1opt Hệ số tối ưu biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N.

γ2opt Hệ số tối ưu biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D.

ξ1opt Tỉ số tối ưu cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-N.

ξ2opt Tỉ số tối ưu cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-D.

1d optα Tỉ số tối ưu giữa tần số của bộ TMD-N và tần số lắc ngang của con lắc

ngược

2d optα Tỉ số tối ưu giữa tần số của bộ TMD-D và tần số lắc ngang của con lắc ngược

µu1A Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động DVA và con lắc ngược đặc

trưng cho chuyển động thẳng.

ωd1A : Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động DVA.

ξ1A : Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động DVA.

µ: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động DVA và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động quay.

γ: Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động DVA.

1d optAα : Tỉ số tối ưu giữa tần số của bộ DVA và tần số lắc ngang của con lắc ngược.

1optAξ : Tỉ số tối ưu cản nhớt của bộ hấp thụ dao động DVA.

8

MỞ ĐẦU

1. Cơ sở khoa học và thực tiễn của đề tài

Trong thực tế có nhiều công trình có mô hình ở dạng con lắc ngược như

nhà cao tầng, tháp vô tuyến, giàn khoan, công trình biển … cùng với sự phát

triển của khoa học kỹ thuật các công trình này ngày càng lớn về chiều dài và

chiều cao. Sự gia tăng về quy mô kết cấu sẽ dẫn đến các đáp ứng động lực

phức tạp của kết cấu và sẽ sinh ra các dao động có hại. Vì vậy, nghiên cứu

giảm dao động có hại cho cơ cấu con lắc ngược là bài toán đang được rất nhiều

các nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu.

Một hướng nghiên cứu mang tích thời sự, cấp thiết và quan trọng ở Việt

Nam hiện nay là nghiên cứu để giảm dao động cho các công trình biển có

dạng con lắc ngược DKI. Bắt đầu từ năm 1989, theo Chương trình Biển Đông

- Hải Đảo của Nhà nước đã tiến hành xây dựng các công trình biển dạng DKI.

Các công trình này đã và đang góp phần vào xây dựng, bảo vệ đất nước và

khai thác tiềm năng vô cùng to lớn của biển. Qua nghiên cứu trong [8], [17],

[18] cho thấy đáp ứng gây ra dao động có hại cho công trình DKI bao gồm

hai loại chính là đáp ứng ngang và thẳng đứng liên quan đến hiện tượng lắc

ngang và nhổ cọc. Dao động của công trình DKI bao gồm hai loại dao động:

Dao động rung lắc có tần số là các tần số riêng của công trình và dao động

cưỡng bức gây ra bởi tải trọng sóng, trong đó dao động rung lắc đặc biệt có

hại với độ bền và tuổi thọ của công trình. Các dao động rung lắc có tần số cao

hơn nhiều lần tần số của sóng biển là một trong các dao động có hại không

mong muốn cần được hạn chế. Để giảm dao động rung lắc cho công trình

DKI theo đề xuất của các nhà khoa học Nguyễn Đông Anh và cộng sự (vcs)

[8], Nguyễn Hoa Thịnh vcs [17, 18] có thể lắp vào công trình DKI hai bộ

TMD để tiêu tán năng lượng cho hệ. Một bộ TMD được đặt theo hướng tác

9

động của sóng biển để giảm dao động lắc ngang. Một bộ TMD khác được đặt

theo hướng thẳng đứng để giảm dao động thẳng đứng và chống nhổ cọc.

Các công trình dạng con lắc ngược DKI có vị trí chiến lược quan trọng

trong sự phát triển, khai thác tiềm năng biển, tăng cường khả năng quốc

phòng, góp phần vào ổn định chính trị của đất nước. Việc tiếp tục nghiên cứu

áp dụng các bộ hấp thụ dao động để giảm dao động cho các công trình DKI

nhằm nâng cao chất lượng và tuổi thọ của các công trình DKI là vấn đề đã và

đang được Bộ Quốc phòng và các nhà khoa học trong nước đang quan tâm

nghiên cứu.

2. Mục đích nghiên cứu của luận án

Như đã phân tích ở trên: Dao động rung lắc đặc biệt có hại với độ bền và

tuổi thọ của công trình có dạng con lắc ngược. Các dao động rung lắc có tần

số cao hơn nhiều lần tần số của sóng biển là một trong các dao động có hại

không mong muốn cần được hạn chế. Bởi vậy mục đích của luận án là nghiên

cứu giảm dao động rung lắc cho các công trình có dạng con lắc ngược.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án

* Đối tượng nghiên cứu của luận án

Trong [2], [3], [5],[12], [51] đã nghiên cứu dao động của con lắc ngược có

lắp bộ hấp thụ dao động. Tuy nhiên các nghiên cứu đó mới chỉ xét đến dao

động lắc ngang của con lắc ngược. Nhưng trong thực tế nhiều công trình có

dạng con lắc ngược, ngoài thành phần dao động lắc ngang nó còn dao động

theo phương thẳng đứng. Vì vậy đối tượng nghiên cứu của luận án là các bộ

hấp thụ dao động thụ động TMD cho các công trình dạng con lắc ngược có

xét đến cả dao động thẳng đứng và lắc ngang.

10

* Phạm vi nghiên cứu của luận án

Để xác định các thông số tối ưu của hệ thống giảm dao động TMD, ta có

nhiều phương pháp khác nhau như: Phương pháp điểm cố định, phương pháp

cực tiểu mô men bậc hai, phương pháp cực tiểu sai số bình phương, … và

ứng với mỗi phương pháp khác nhau ta lại tìm được các thông số tối ưu khác

nhau của các bộ hấp thụ dao động. Việc áp dụng phương pháp nào để tìm

các thông số tối ưu, hoàn toàn phụ thuộc vào đáp ứng dao động của kết cấu

mà yêu cầu của thực tiễn kỹ thuật cần giảm dao động. Trong luận án này, tác

giả tìm các thông số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động TMD với mục đích

là giảm dao động rung lắc của các công trình có dạng con lắc ngược nên

phạm vi nghiên cứu của luận án là tính toán các thông số tối ưu của các bộ

hấp thụ dao động TMD để tăng các đặc trưng cản lớn nhất của hệ từ đó giảm

được thành phần dao động rung lắc của hệ con lắc ngược một cách tốt nhất.

4. Phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở các công trình có dạng con lắc ngược có trong thực tế, tác giả

chuyển về mô hình lí thuyết của cơ cấu con lắc ngược có lắp đặt hệ thống

giảm dao động TMD. Từ mô hình tính toán của hệ con lắc ngược có lắp đặt

hệ thống giảm dao động, tác giả sử dụng phương trình Lagrăng loại II để

thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ. Trên cơ sở phương trình

chuyển động của con lắc ngược thu được, tác giả tiến hành nghiên cứu, phân

tích, tính toán để giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược theo lí thuyết điều

khiển chuyển động, tìm nghiệm giải tích của hệ. Với mục tiêu là nghiên cứu,

tính toán bộ hấp thụ dao động tối ưu để giảm thành phần dao động rung lắc

cho cơ hệ, tác giả đã áp dụng phương pháp cân bằng cực theo các tài liệu

[20], [47], [49], [51], [71] đây là phương pháp tìm các thông số tối ưu của các

bộ TMD để tăng các đặc trưng cản lớn nhất cho cơ hệ, từ đó giảm được thành

11

phần dao động rung lắc cho hệ một cách tốt nhất. Để kiểm chứng tính đúng

đắn của các kết quả nghiên cứu, tác giả đã so sánh các kết quả thu được trong

trường hợp đơn giản hơn của luận án với kết quả đã được công bố của các nhà

khoa học đã nghiên cứu và đưa ra kết quả trước đây. Để đánh giá hiệu quả giảm

dao động của các kết quả nghiên cứu của luận án, do điều kiện về thời gian và

kinh phí, không thể nghiên cứu thực nghiệm vào các công trình có trong thực tế,

nên luận án xây dựng chương trình máy tính trên phần mềm MAPLE để mô

phỏng dao động của cả hệ để người đọc có cái nhìn trực quan về hiệu quả của

bộ hấp thụ dao động. Đây là phần mềm được các nhà khoa học trên thế giới

chuyên dùng và cho kết quả tin cậy.

5. Những đóng góp mới của luận án

a. Thiết lập được phương trình vi phân chuyển động của hệ con lắc ngược

có lắp đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N để giảm dao

động theo phương thẳng đứng và ngang của hệ con lắc ngược.

b. Tính toán tìm được các thông số của các bộ hấp thụ dao động TMD-D

và TMD-N để công trình có dạng con lắc ngược làm việc ổn định theo tiêu

chuẩn của kỹ thuật.

c. Nghiên cứu phân tích, tính toán tìm được các tham số tối ưu của các bộ

hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N để giảm dao động rung lắc theo phương

thẳng đứng và ngang của hệ con lắc ngược.

d. Mở rộng các kết quả nghiên cứu trường hợp có lắp đồng thời hai bộ hấp

thụ dao động TMD-D và TMD-N cho trường hợp có lắp đặt hệ thống giảm

dao động TMD-D và DVA. Đã tìm được các tham số tối ưu của hệ thống

giảm dao động TMD-D và DVA để giảm dao động rung lắc cho hệ con lắc

ngược.

12

e. Đã áp dụng các kết quả nghiên cứu, tính toán các thông số tối ưu của bộ

hấp thụ dao động để giảm dao động cho tháp nước, dao động thẳng đứng của

ô tô, tháp ngoài biển, thì thấy biên độ dao động của các cơ cấu này giảm rất

nhiều theo thời gian so với trường hợp không lắp đặt bộ hấp thụ dao động.

Điều này đáp ứng được yêu cầu giảm dao động của kỹ thuật đặt ra. Các

nghiên cứu lý thuyết này đã được tác giả kiểm chứng trên những ví dụ cụ thể

bằng phần mềm chuyên dụng MAPLE và cho kết quả tin cậy. Sự đúng đắn

của kết quả nghiên cứu còn được kiểm chứng khi so sánh các kết quả thu

được trong trường hợp đơn giản hơn với kết quả đã được công bố của các nhà

khoa học đã nghiên cứu và đưa ra kết quả trước đây.

6. Bố cục của luận án

Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương và phần kết luận với 150 trang, 33

hình vẽ và đồ thị. Chương 1 trình bày tổng quan các nghiên cứu về bộ hấp thụ

dao động thụ động. Chương 2, 3 giải quyết bài toán tính giảm dao động cho

cơ cấu có dạng con lắc ngược có lắp các bộ hấp thụ dao động TMD-D và

TMD-N. Chương 4 mở rộng kết quả nghiên cứu trường hợp có lắp đồng thời

hai bộ TMD-D và DVA. Tính toán mô phỏng số các các kết quả nghiên cứu

giảm dao động cho một số kết cấu công trình. Các kết quả chính của luận án

được tóm tắt trong phần kết luận. Phần phụ lục là chương trình máy tính, xây

dựng trong phần mềm MAPLE để phục vụ cho việc nghiên cứu của luận án.

13

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VÒ BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG THỤ ĐỘNG

1.1 Giới thiệu chung

Trong phương pháp hấp thụ thụ động, bộ hấp thụ dao động thụ động được

gắn thêm vào hệ máy hay kết cấu. Mục đích của việc sử dụng bộ hấp thụ dao

động thụ động là để hấp thụ một phần năng lượng của hệ chính. Ưu điểm của

phương pháp là không cần năng lượng sinh ra bởi bộ tạo nguồn lực nên đơn

giản cho công tác duy tu, bảo dưỡng. Sự hấp thụ được thực hiện bằng cách

truyền một phần năng lượng dao động có hại từ hệ chính tới bộ hấp thụ dao

động thụ động. Bộ hấp thụ dao động thụ động dạng khối lượng gọi tắt là TMD

(tuned mass damper) có thể mô tả như là một khối lượng được gắn với hệ chính

thông qua lò xo và giảm chấn dạng cản nhớt. Sơ đồ kết nối giữa bộ hấp thụ dao

động thụ động và hệ dao động chính được biểu diễn trên hình 1.1.

k1

m

k2

(TMD)

F1

F2 c1

c2

M

x1

x2

Hình 1.1. Bộ hấp thụ dao động và hệ chính

Việc ứng dụng bộ hấp thụ dao động thụ động được nghiên cứu lần đầu

tiên bởi Frahm vào năm 1909 [32]. Trong đó bộ hấp thụ dao động thụ động có

khối lượng m và lò so với độ cứng k1. Hệ chính là vật M được gắn với nền

14

bằng lò so có độ cứng k2. Khi cả hai hệ đều không chứa lực cản, dưới tác

dụng của kích động điều hòa, hệ dao động chính M có thể đứng yên không

chuyển động nếu tần số riêng của bộ hấp thụ dao động thụ động, m

ka

1=ω ,

được chọn bằng tần số của lực kích động.

Lý thuyết về bộ hấp thụ dao động thụ động có cản nhớt được Den Hartog

(1947), [28] phát triển cho các trường hợp hệ chính có cản nhớt. Ông đã đưa

ra phương pháp tính toán thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động.

Sau đó, việc nghiên cứu bộ hấp thụ dao động thụ động cho các hệ chính có

cản nhớt được tiếp tục bởi Bishop và Welbourn [23].

Trong nhiều trường hợp, việc xác định các thông số tối ưu dưới dạng giải

tích cho bộ hấp thụ dao động thụ động đối với các hệ có cản nhớt là không thể

thực hiện được. Do vậy phương pháp số đã được nhiều tác giả nghiên cứu để

giải quyết các bài toán này:

- Jennige và Frohrib (1977), [42] đã dùng phương pháp số để đánh giá bộ

hấp thụ dao động thụ động dạng quay cho những cơ hệ chịu uốn và xoắn.

- Ioi và Ikeda (1978), [40] đưa ra các công thức kinh nghiệm để tính toán

các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động cho những hệ chính có

hệ số cản nhớt nhỏ.

- Randall et al. (1981), [59] đã đưa ra các đồ thị phụ thuộc theo tham số

cho các thông số tối ưu khi hệ chính có cản nhớt.

- Warbuton và Ayorinde (1981), [69] cũng đưa ra phương pháp tính các

thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động để giảm biên độ dao động

cho hệ chính với một số thông số cho trước.

15

1.2 Nguyên lý cơ bản của bộ hấp thụ dao động thụ động

Hình 1.1 mô tả hệ dao động một bậc tự do có khối lượng M chịu kích động

bởi lực F2(t). Để giảm đáp ứng dao động của hệ chính ta gắn vào hệ dao động

một bộ hấp thụ dao động thụ động khối lượng m. Phương trình chuyển động

của cơ hệ được mô tả bởi:

* ( ) ( ) ( ) ( )t t t+ + =M X CX KX F&& & t (1.1)

Ở đây X(t) là véctơ dịch chuyển tương đối của các vật so với nền. M*, C, K

tương ứng là các ma trận khối lượng, cản nhớt và độ cứng:

2 1( ) ( ( ), ( ))Tt x t x t=X , 2 1( ) ( ( ), ( ))Tt F t F t=F

* 00M

m⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

M , 1 2 1

1 1

c c cc c+ −⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦C , 1 2 1

1 1

k k kk k+ −⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦K (1.2)

Nhân vào hai vế của phương trình (1.1) và lấy trung bình, ta có: 2x&

( ) ( )22 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2

21 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2

F ( )

( )

M x x c c x k k x x t x c x x k x x

m x x c x c x x k x x k x x F t x

⎧ + + + + = + +⎪⎨

− + − + =⎪⎩

&& & & & & & & &

&& & & & & & & & (1.3)

ở đây <…> là kỳ vọng toán học cho trường hợp hệ chịu kích động ngẫu nhiên

hay giá trị trung bình cho trường hợp kích động điều hoà.

Từ , và cộng 2 phương trình trên lại, ta có

phương trình cân bằng năng lượng đơn giản:

022 >=< )t(x)t(x & 022 >=< )t(x)t(x &&&

[ ]22 2 2 1 2 1 2( ) ( )c x F t F t x m x x< >=< + > −& & && &

]

(1.4)

trong đó,

- là năng lượng tiêu hao do tác dụng của lực cản. >< 222 xc &

- là năng lượng do kích động từ bên ngoài [ >+< 212 x)t(F)t(F &

16

- Phần năng lượng bằng [ >< 21xxm &&& ] được truyền từ hệ chính sang

khối lượng lắp thêm m.

Đó chính là nguyên lý hoạt động của bộ hấp thụ dao động thụ động. Trong

trường hợp dấu của [ ] dương, bộ hấp thụ dao động thụ động đã hấp

thụ một phần năng lượng của dao động. Nếu năng lượng truyền từ hệ chính

sang bộ hấp thụ dao động thụ động càng lớn thì dao động của hệ chính sẽ

càng nhỏ. Trường hợp dấu của [

>< 21xxm &&&

>< 21xxm &&& ] âm, lúc này hệ phụ sẽ truyền

năng lượng cho hệ chính, hệ chính sẽ dao động mạnh thêm. Như vậy trong

quá trình dao động luôn có sự trao đổi năng lượng giữa hệ chính và hệ phụ.

Bộ hấp thụ dao động thụ động sẽ đạt hiệu quả tốt khi dao động của bộ hấp thụ

lệch pha 90o so với dao động của hệ chính. Lúc này, gia tốc của bộ hấp thụ

dao động thụ động cùng chiều với vận tốc của hệ chính. Khi bộ hấp thụ dao

động làm việc có hiệu quả, nó làm tăng hệ số cản của hệ chính theo công thức

(1.5)

><><

+= 22

2122 x

xxmcc eq &

&&& (1.5)

Tương tù nhân 2x vào hai vế của phương trình (1.1) và lấy trung bình, ta có:

( ) ( ) 22 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2

21 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2

F ( )

( )

⎧ + + + + = + +⎪⎨

− + − + =⎪⎩

&& & &

&& & &

M x x c c x x k k x t x c x x k x x

m x x c x x c x x k x k x x F t x (1.6)

Từ , và cộng 2 phương trình trên lại, ta có

phương trình :

022 >=< )t(x)t(x & 022 >=< )t(x)t(x &&&

[ ]21 2 2 2 2 1 2 2 2F ( ) ( )m x x k x t F t x M x x+ = + −&& && (1.7)

Vậy độ cứng tương đương của hệ chính được xác định theo công thức:

17

1 22 2 2

2eq

x xk k m

x= +

&& (1.8)

Ta có thể sử dụng hình 1.2 thay cho hình 1.1 với k2eq và c2eq là độ cứng và hệ

số cản của hệ chính tương đương.

k2eq

F1+ F2

c2eq

M+m

x2

Hình 1.2: Sơ đồ của hệ chính tương đương

1.3 Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ không có cản nhớt

1.3.1 Hệ chịu kích động điều hoà

Việc sử dụng bộ hấp thụ dao động thụ động có cản đã được Den Hartog

[28] nghiên cứu cho trường hợp đơn giản khi hệ chính không có cản nhớt và

chịu kích động của lực điều hòa tsinP)t(F o ω=2 . Trong ví dụ này, hiệu quả

của bộ hấp thụ dao động thụ động được tính thông qua hệ số E là tỷ số giữa

biên độ dao động và chuyển vị tĩnh 2

02 k

Px st =

2 2 2 22max

22 2 2 2 2 2 2 22st

x (f h ) (2 fh)Ex ( f h )(1 h ) f h (2 fh) (1 h h )

− + ζ= =

− − − µ + ζ − − µ⎡ ⎤⎣ ⎦2

(1.9)

ë đây

Ωωf a= : TØ sè gi÷a tÇn sè riªng cña bé hÊp thô dao ®éng vµ hÖ chÝnh.

Ωωh = : TØ sè gi÷a tÇn sè lùc kÝch ®éng vµ tÇn sè riªng cña hÖ chÝnh.

18

m

ka

1=ω , 2kM

Ω = , Mmµ = ,

a

cζ2m

=ω là tû số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động thụ động.

Hệ số biên độ E là một hàm của 4 tham số h,f, , ζµ , đồ thị của E theo

biến h trong trường hợp 01.f = , 0,05=µ và các giá trị khác nhau của ζ

được biểu thị trên hình 1.3. Chúng ta hãy quan sát sự thay đổi của E khi tăng

dần cản nhớt của bộ hấp thụ dao động thụ động.

h

Hình 1.3: HÖ sè E theo biÕn h víi 0,05=µ , 01.f =

Từ đồ thị trên hình 1.3 chúng ta có thể thấy rằng nếu bộ hấp thụ dao động

thụ động không có cản nhớt, hệ số E tăng đến vô hạn tại tần số cộng hưởng

của hệ chính và tần số cộng hưởng của bộ hấp thụ dao động thụ động. Khi cản

nhớt của bộ hấp thụ dao động thụ động đạt tới vô hạn, hệ chính và bộ hấp thụ

dao động thụ động coi như gắn cứng với nhau và trở thành hệ một bậc tự do

với khối lượng bằng tổng của hai khối lượng và vì vậy, hệ lại dao động ở chế

19

độ cộng hưởng tại ( )

* 1km M

Ω =+

. Như vậy ở giữa những điểm cộng hưởng

này phải có giá trị nào đó của ζ mà đỉnh của cộng hưởng là nhỏ nhất. Như

chúng ta đã nói ở trên, mục đích của việc gắn thêm bộ hấp thụ dao động thụ

động là giảm đỉnh cộng hưởng của biên độ dao động tới giá trị nhỏ nhất có

thể. Từ đồ thị chúng ta có thể nhận thấy có hai điểm (S và T) tại đó hÖ sè E

không phụ thuộc vào hệ số cản nhớt ζ và như vậy đỉnh của biên độ dao động

nhỏ nhất có thể đạt được bằng cách chọn hệ số f để hai điểm S, T có tung độ

bằng nhau và đồ thị biểu diễn giá trị của E đạt giá trị cực đại.

Tại điểm S do có ζ = 0, hệ số E bằng

2 2

2 2 2 2 2

(f h )E(f h )(1 h ) f h

−=

− − − µ

Tại điểm T do có ζ = ∞, hệ số E bằng

( )2

1E1 h 1

=− µ +

Đỉnh của biên độ dao động có thể đạt được gi¸ trÞ nhỏ nhất bằng cách cho

tung độ hai điểm S và T bằng nhau và có giá trị cực đại. Để tung độ của hai

điểm S và T bằng nhau ta có :

=µ−−−

−22222

22

1 hf)h)(hf(

)hf(

( )111

2 +µ− h

Giải phương trình trên ta nhận được:

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−µ+µ++

µ+= 12111

21 24222

21 fffh , m

Trong đó h1 (lấy dấu -) là hoành độ của điểm S, h2 (lấy dấu +) là hoành độ

của điểm T. Biểu thức xác định tung độ của S và T có dạng :

20

2111

1h)(

ES µ+−= , 2

2111

h)(ET µ+−

−=

Do h1 và h2 là hàm của các tham số µ và f nên các tung độ của các điểm S

và T phụ thuộc vào µ và f và do vậy phụ thuộc vào các khối lượng m, M và

các hệ số độ cứng k2 và k1 . Vì ta đã biết trước M và k2 nên nếu ta chọn m thì chỉ còn lại hệ số f là cần phải xác định để thoả mãn điều kiện tung độ S và T bằng nhau. Giá trị tối ưu của f tìm được bằng cách giải phương trình ES= ET. Sau khi giải ta tìm được:

µ+=

11

optf (1.10)

Với giá trị tìm được của fopt , hÖ sè E, h1 và h2 t¹i hai điểm S và T b»ng

µ+=

21E (1.11)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

µ+µ

µ+=

21

112

21 m,h

Tiếp theo ta tìm hệ số cản ζ để đường cong biên độ tần số đạt cực đại tại

các điểm S và T. Ta thay các giá trị tìm được của fopt , h1 và h2 vào phương

trình 0=∂∂

h

E và thực hiện một vài phép biến đổi ta nhận được hệ thức giữa

tham số ζ và µ :

Tại S : ( )32

18

23

µ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ+

µ−µ

=ζ

Tại T : ( )32

18

23

ζµ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ+

µ+µ

=

21

Theo Brock [24] giá trị tốt nhất của ζ opt có thể chọn bằng trung bình cộng

của hai giá trị c¶n tèi −u tìm được tại hai điểm S và T trên và bằng

3183ζ

)(opt µ+µ

= (1.12)

Nhìn vào biểu thức (1.12) ta thấy rằng khi chọn được bộ hấp thụ dao động tối ưu hiệu quả của bộ hấp thụ dao động tỷ lệ nghịch với hệ số µ hay nói

cách khác việc tăng khối lượng của bộ hấp thụ dao động làm giảm biên độ dao động lớn nhất của hệ chính.

Cũng theo phương pháp này Warburton [69] đã tính toán được các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động cho một số dạng của kích động điều hòa. Kết quả tính toán được trình bày trong bảng 1.1. Ở trường hợp thứ nhất, lực kích động tuần hoàn tác động vào hệ chính, tiêu chuẩn tối ưu là cùc

tiÓu biên độ dao động của hệ chính. Ở trường hợp thứ hai, lực kích động tuần hoàn tác động vào hệ chính, nhưng tiêu chuẩn tối ưu là cùc tiÓu biên độ gia tốc của hệ chính. Trong trường hợp cuối cùng, hệ chịu kích động của gia tốc nền, tiêu chuẩn tối ưu là cùc tiÓu biên độ gia tốc của hệ chính.

Thông số tối ưu Dạng

Kích động

Tiêu chuẩn

tối ưu (E) Eopt fopt optζ

ti0 eP ω

0

2

P

kx

2/121 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ

+ µ+11

)1(8

3µ+

µ

ti0 eP ω

0

22

P

xm &&

( )

2/1

12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ+µ

2/1

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ+

)2/1(83µ+µ

tigeX ω&&

g

g

X

xX&&

&&&&2+

2/1

21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ

+ µ+11

)1(8

3µ+

µ

Bảng 1.1: Các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động

cho cơ hệ một bậc tự do không có cản ( là gia tốc nền) gX&&

22

1.3.2 Hệ chịu kích động ồn trắng

Trường hợp hệ dao động mô tả ở trên chịu lực kích động ồn trắng cũng đã

được xét trong nghiên cứu của Warburton [69] với giả thiết hệ chịu kích động

ồn trắng với mật độ phổ So. Tiêu chuẩn để chọn thông số tối ưu của bộ hấp

thụ dao động thụ động là cực tiểu trung bình bình phương của chuyển vị của

hệ chính )t(x22 . Để tìm được các thông số tối ưu, giá trị của )t(x2

2 được tìm

như một hàm phụ thuộc vào các tham số f, ζ. Sau đó cho 022 =∂∂ h/x và

022 =ζ∂/x và giải hệ hai phương trình hai ẩn số này để tìm giá trị của f, ζ.

Bằng phương pháp này, Warburton đã xác định được các thông số tối ưu của

bộ TMD cho hệ dao động một bậc tự do không có cản nhớt.

Thông số tối ưu Dạng

Kích động

Tiêu chuẩn

tối ưu (E) Eopt optf optζ

Lực

(ồn trắng) Ωπ oS

Px

2

222

2

1

)1(434

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+µµµ

µ+µ+

12/1 ( )

( )( )µµµµ

+++

12/144/31

Gia tốc nền

(ồn trắng) oS

x

π

Ω

2

221

( )2

1

23

4111 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

µµ

µ+µ−

12/1

( )

( )( )µµµµ

+−−

12/144/1

Bảng 1.2. Một số bộ thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động cho

hệ một bậc tự do không cản chịu kích động ồn trắng.

Kết quả này được đưa ra trong bảng 1.2 cho hai trường hợp: tr−êng hîp

một, hệ chịu lực kích động tác động vào hệ chính, tiêu chuẩn tối ưu là cùc tiÓu

trung b×nh b×nh ph−¬ng cña chuyÓn vÞ cña hÖ chính, trường hợp hai, hệ chịu

23

lực kích động của gia tốc nền và tiêu chuẩn tối ưu là cùc tiÓu trung b×nh b×nh

ph−¬ng cña chuyÓn vÞ của hệ chính.

1.4 Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ có cản nhớt

Xét cơ hệ có lực cản nhớt được mô tả trên hình 1.1 chịu kích động

điều hoà, biểu thức tương tự (1.6) mô tả E cũng có thể được xác lập, tuy nhiên

các điểm không thay đổi S, T đã nói ở trên không tồn tại. Vì vậy để giải bài

toán trên người ta phải sử dụng phương pháp số để xác định cặp giá trị tối ưu

của

22xc &

ζ,f . Một hướng nghiên cứu được thực hiện bởi Randall et al [59] (1981)

là chọn giá trị tối ưu của ζ,f bằng cách làm nhỏ nhất hai đỉnh của đường cong

biên độ mô tả trên hình 1.3 bằng phương pháp số. Những giá trị tối ưu của

ζ,f cho những trường hợp 2ζ nhỏ cũng được tổng kết bởi Ioi và Ikeda [40]

theo công thức sau:

22

22

2 910162712410 ζµ+µ−−ζµ−µ+−= )..()...(ff optopt (1.13)

22

22

2 3900104021130 ζµ+µ+−ζµ+µ++ζ=ζ )..()...(optopt

ở đây 2ζ là tỷ số cản nhớt của hệ chính. Độ chính xác và khoảng sai số cho các

công thức trên nhỏ hơn 1% trong khoảng 4.003.0 <µ< và 150010 2 .. <ζ< ,

đây cũng là khoảng tỉ số khối lượng và cản nhớt thường gặp trong thực tế.

Phương pháp xác định tần số được đưa ra bởi Thompson [67] cũng để xác

định f, ζ cho hệ chính có cản nhớt. Theo cách tính này f được xác định theo

phương pháp số và ζ có thể được xác định bằng giải tích khi đã biết f.

Warburton (1982) [70] xác định các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động

thụ động dạng khối lượng cho hÖ một bËc tù do cho các trường hợp kích động

là điều hoà và ngẫu nhiên tác động vào hệ chính ở dạng ngoại lực hoặc gia tốc

nền. Warburton đã tính đạo hàm của đáp ứng hệ chính theo các tham số của

24

bộ TMD và cho các đạo hàm này bằng không dẫn tới việc giải các phương

trình phi tuyến. Việc giải được thực hiện trên máy tính và cho kết quả số.

1.5 Một số tiêu chuẩn để xác định bộ hấp thụ dao động thụ động

Phương pháp của Den Hartog [28] như trình bày ở phần trên được thiết lập

trên cơ sở làm giảm thiểu chuyển dịch của hệ chính. Điều này cho phép bảo

đảm tính an toàn và nguyên vẹn của hệ máy cũng như kết cấu dưới tác động

của ngoại lực. Tuy nhiên dưới tác động của kích động làm cho cơ hệ có gia

tốc lớn cũng gây ra tác động bất lợi như các phần tử của cơ hệ không thực

hiện được các chức năng của chúng, g©y vỡ hỏng nền hay gây khó chịu cho

người sử dụng; vì vậy giảm thiểu gia tốc của cơ hệ cũng là một tiêu chuẩn để

lựa chọn các thông số của bộ hấp thụ dao động thụ động.

Cũng phân tích tương tự như vậy, rất nhiều các tiêu chuẩn khác cũng được

dùng để xem xét bởi rất nhiều tác giả. Các tiêu chuẩn để tính toán bộ hấp thụ

được điểm lại như sau:

a) Làm giảm chuyển vị của hệ chính, Den Hartog [28], Thompson [67],

Jacquot và Hoppe [41], Fujino và Abe [33].

b) Tăng độ cứng động của hệ chính, Falcon et al. [30].

c) Tăng hiệu quả giảm chấn của bộ hấp thụ năng lượng, Luft [48].

d) Tiêu chuẩn hỗn hợp: giảm chuyển vị của hệ chính và nâng cao hiệu quả

giảm chấn của bộ hấp thụ dao động, Luft [48].

e) Làm giảm thiểu chuyển vị tương đối của bộ hấp thụ dao động so với hệ

chính, Luft [48].

f) Làm giảm thiểu vận tốc của hệ chính, Warburton [70].

g) Làm giảm thiểu gia tốc của hệ chính, Ioi và Ikeda [40], Warbuton [70].

h) Làm giảm thiểu lực tác động lên hệ chính, Warburton [69].

25

i) Làm giảm thành phần dao động tần số riêng, Nguyễn Đông Anh,

Nguyễn Bá Nghị [6].

j) Làm giảm dao động tự do, Nguyễn Đông Anh, Phạm Minh Vương [9].

Các nghiên cứu ở trên là đối với cơ hệ một bậc tự do. Vì hệ kết cấu thường

có nhiều bậc tự do nên lời giải giải tích cho hệ một bậc tự do chỉ là lời giải gần

đúng khi áp dụng cho hệ nhiều bậc tự do. Các nghiên cứu về TMD cho hệ

nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên đã được Nguyễn Đông Anh và các

cộng sự nghiên cứu trong [7], [52], [53], [54], [55], [56] có mô hình như sau

( hình 1.4 )

k1 c1

m1

x1

k2

m2

. . . . . . . .F2

F1 c2

x2

kn

mn

Fn

cn

xn

k0

m0 (TMD)

F0

c0

x0

Hình 1.4 Bộ hấp thụ dao động và hệ chính nhiều bậc tự do

Trong các nghiên cứu này việc tính toán tìm nghiệm giải tích cho các

thông số tối ưu gặp khó khăn, bởi vậy các tác giả đã sử dụng phương pháp số.

26

Mặc dù các nghiên cứu về hệ dao động chịu kích động của ngoại lực đã

được nghiên cứu nhiều và có một số lời giải, nhưng các chuyển động trong

thực tế là rất đa dạng và phức tạp, mỗi loại chuyển động lại có những đặc thù

riêng, để các bộ hấp thụ dao động làm việc có hiệu quả và có thể áp dụng vào

các cơ cấu trong thực tế, ta cần nghiên cứu thiết kế các bộ hấp thụ dao động đối

với cơ cấu có chuyển động đặc thù để đáp ứng yêu cầu của thực tiễn kỹ thuật.

Một trong các cơ cấu có chuyển động đặc thù đó là mô hình có dạng con lắc

ngược.

1.6 Bộ hấp thụ dao động cho hệ con lắc ngược

Hệ con lắc ngược, trong nhiều trường hợp có thể được sử dụng để mô

tả kết cấu công trình. Một trong các mô hình con lắc ngược có lắp bộ hấp

thụ dao động được thể hiện như hình 1.5. Trong sơ đồ này, con lắc ngược

có khối lượng M, có trọng tâm G cách nền ngang một khoảng L. Liên kết

giữa nền ngang và con lắc ngược được thay bằng một lò xo có độ cứng k2,

con lắc ngược liên kết với công trình B bởi lò xo có độ cứng k3 cách nền

1l2l

l

M

k2

k m c1

GB

A

L

3k

1c

Hình 1.5 Mô hình tính toán cơ cấu có dạng hệ con lắc ngược

có lắp bộ TMD

27

ngang một khoảng l 1 và liên kết với công trình A bởi bộ cản nhớt tuyến tính

có hệ số cản c1 cách nền ngang l 2. Bộ hấp thụ dao động TMD được lắp tại vị

trí cách nền ngang một khoảng gồm một vật có khối lượng m, liên kết với

con lắc ngược bởi một lò xo có độ cứng k

l

1 và một bộ cản nhớt tuyến tính có

hệ số cản c. Các kết quả nghiên cứu tìm các thông số tối ưu cho mô hình này

đã được các nhà khoa học Nguyễn Đông Anh và các cộng sự nghiên cứu

trong [2], [3], [5], [12]. Trong đó các tác giả đã sử dụng phương pháp điểm cố

định để xác định các tham số tối ưu.

Một hướng nghiên cứu khác để giảm dao động cho hệ con lắc ngược là sử

dụng bộ tắt chấn động lực dạng con lắc như hình 1.6 y

x

θ

θd

ld

l

d

Hình 1.6. Cơ cấu con lắc ngược có lắp bộ tắt chấn động lực

dạng con lắc

Trong mô hình 1.6 các tác giả đã thay bộ TMD bằng một con lắc có khối

lượng m, chiều dài ld, và liên kết với con lắc ngược bởi một lò xo có độ cứng

kd và một bộ cản nhớt có hệ số cản cd. Các kết quả tìm các thông số tối ưu cho

mô hình này đã được các nhà khoa học Nguyễn Đông Anh và các cộng sự

28

nghiên cứu trong [51]. Trong đó các tác giả đã sử dụng phương pháp cân

bằng cực để xác định các tham số tối ưu.

Các cơ cấu con lắc ngược mà các tác giả đã nghiên cứu ở trên mới chỉ

tính đến dao động lắc ngang của con lắc ngược. Tuy nhiên, trong thực tế các

công trình có dạng con lắc ngược ngoài thành phần dao động lắc ngang nó

còn dao động thẳng đứng. Một trong các công trình có cả dao động lắc ngang

và dao động thẳng đứng đó là công trình biển. Các nghiên cứu để giảm dao

động cho công trình biển đã được nghiên cứu trong [17], [18], [22], [62],

[66], [72].

Ở Việt Nam, công nghệ giảm dao động cho kết cấu công trình còn là một

lĩnh vực khá mới. Trong những năm gần đây đã có những ứng dụng để giảm

dao động cho cầu giao thông. Công trình giao thông đầu tiên được lắp thiết bị

giảm dao động là cầu dây văng một mặt phẳng dây Bãi cháy [19], trong đó

các nhà nghiên cứu đã sử dụng các bộ giảm chấn TLD. Nguyên lý hoạt động

và khả năng ứng dụng của các thiết bị TLD dựa trên cơ sở sự chuyển động

văng té của chất lỏng mà kết quả làm cho dao động của kết cấu phân tán một

phần năng lượng do tác động của tải trọng động và do vậy tăng tính cản tương

đương cho kết cấu. Những năm tiếp theo cũng đã có những thử nghiệm để

giảm dao động cho cầu: như cầu Ngòi Lằn và cầu dây văng Bến Cốc [8]. Tuy

nhiên các phương pháp giảm dao động ở trên không phải là sử dụng bộ hấp

thụ dao động dạng khối lượng TMD. Một hướng nghiên cứu mang tích cấp

thiết và quan trọng ở Việt Nam hiện nay là nghiên cứu để giảm dao động cho

các công trình DKI. Bắt đầu từ năm 1989, theo Chương trình Biển Đông -

Hải Đảo của Nhà nước đã tiến hành xây dựng các công trình biển dạng DKI.

Các công trình này đã và đang góp phần vào xây dựng, bảo vệ đất nước và

khai thác tiềm năng vô cùng to lớn của biển. Qua nghiên cứu cho thấy đáp

29

ứng gây ra dao động có hại cho công trình DKI bao gồm hai loại chính là đáp

ứng ngang và thẳng đứng liên quan đến hiện tượng lắc ngang và nhổ cọc. Dao

động của công trình DKI bao gồm hai loại dao động: Dao động rung lắc có

tần số là các tần số riêng của công trình và dao động cưỡng bức gây ra bởi tải

trọng sóng, trong đó dao động rung lắc đặc biệt có hại với độ bền và tuổi thọ

của công trình. Các dao động rung lắc có tần số cao hơn nhiều lần tần số của

sóng biển là một trong các dao động có hại không mong muốn cần được hạn

chế. Để giảm dao động rung lắc cho công trình DKI theo đề xuất của các nhà

khoa học Nguyễn Đông Anh [8], Nguyễn Hoa Thịnh và các cộng sự [17],

[18] có thể lắp vào công trình DKI hai bộ TMD để tiêu tán năng lượng cho

hệ. Một bộ TMD được đặt theo hướng tác động của sóng biển để giảm dao

động lắc ngang. Một bộ TMD khác được đặt theo hướng thẳng đứng để giảm

dao động thẳng đứng và chống nhổ cọc.

Các công trình DKI có vị trí chiến lược quan trọng trong sự phát triển,

khai thác tiềm năng biển, tăng cường khả năng quốc phòng, góp phần vào ổn

định chính trị của đất nước. Việc tiếp tục nghiên cứu áp dụng các bộ hấp thụ

dao động để giảm dao động cho các công trình DKI nhằm nâng cao chất

lượng và tuổi thọ của các công trình DKI là vấn đề đã và đang được Bộ Quốc

phòng và các nhà khoa học trong nước đang quan tâm nghiên cứu.

30

1.7 Kết luận chương 1

Chương 1 trình bầy tổng quan các nghiên cứu về bộ hấp thụ dao động.

Phần đầu của chương giới thiệu lý thuyết về hấp thụ dao động thụ động.

Trong chương này, đã trình bày những nghiên cứu về bộ hấp thụ dao động

thụ động của các tác giả trong và ngoài nước khi chịu tác dụng của lực kích

động. Trong đó có trình bày nghiên cứu bộ hấp thụ dao động cho hệ con lắc

ngược, tuy nhiên trong các kết quả nghiên cứu về cơ cấu con lắc ngược mới chỉ

tìm các thông số tối ưu để giảm dao động lắc ngang. Nhưng trong thực tế nhiều

cơ cấu con lắc ngược có cả dao động thẳng đứng và lắc ngang, mặt khác qua

các kết quả khảo sát, nghiên cứu về công trình DKI cho thấy bao gồm hai loại

dao động: Dao động rung lắc có tần số là các tần số riêng của công trình và

dao động cưỡng bức gây ra bởi tải trọng sóng, trong đó dao động rung lắc

đặc biệt có hại với độ bền và tuổi thọ của công trình. Các dao động rung

lắc có tần số cao hơn nhiều lần tần số của sóng biển là một trong các dao

động có hại không mong muốn cần được hạn chế. Bởi vậy luận án nghiên cứu

tính toán dao động cho cơ cấu cơ học có lắp đồng thời hai bộ hấp thụ dao

động TMD để giảm dao động rung lắc theo phương thẳng đứng và ngang của

hệ con lắc ngược theo lý thuyết điều khiển tối ưu.

31

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ CON LẮC NGƯỢC

2.1 Mô hình tính toán của cơ cấu con lắc ngược, có gắn bộ hấp thụ dao động

được nghiên cứu trong luận án

Hình (2.1) biểu diễn sơ đồ của

con lắc ngược có khối lượng M,

cách nền ngang một khoảng L4,

thanh đỡ con lắc ngược có khối

lượng m, chiều dài L3 , trọng tâm

đặt tại G cách nền ngang một

khoảng L3/2, liên kết giữa con lắc

ngược và nền ngang cố định được

thay bằng hai lò xo - lò xo xoắn

có độ cứng ks, và lò xo có độ cứng

k3.

Để giảm dao động cho cơ cấu,

ta lắp vào hệ hai bộ hấp thụ dao

động TMD [TMD - Tuned mass

damper]. Bộ hấp thụ dao động

TMD-N để giảm dao động lắc

ngang, bộ hấp thụ dao động

TMD-D để giảm dao động theo

phương thẳng đứng của con lắc

ngược.

K3

L5

L3/2

G

Ks

L2

M

L4

U2

K2

C2

M2

K1

M1

U1

ϕ1

Hinh 2.1 Mô hình cơ cấu con lắc ngược

32

Bộ hấp thụ dao động TMD-N được lắp tại vị trí cách nền ngang một khoảng

L2, có khối lượng M1, liên kết với con lắc ngược bởi một lò xo có độ cứng k1 và

một bộ cản nhớt tuyến tính có hệ số cản c1.

Bộ hấp thụ dao động TMD-D được lắp tại vị trí cách nền ngang một khoảng

L5 gồm một vật có khối lượng M2, liên kết với con lắc ngược bởi một lò xo có độ

cứng k2 và một bộ cản nhớt tuyến tính có hệ số cản c2.

2.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ con lắc ngược

Cơ hệ có 4 bậc tự do ta chọn ϕ1, U0, U1 , U2 là toạ độ suy rộng của cơ hệ

trong đó:

ϕ1 : Là dịch chuyển góc quay của con lắc ngược

U0: dịch chuyển của bộ TMD-N

U1: Dịch chuyển của con lắc ngược theo phương thẳng đứng.

U2: dịch chuyển của bộ TMD-D

Ta có phương trình Lagrăng II cho cơ hệ:

1

0

1

11

u0

0

u1

1

u22

2

d T T( ) Qdt

d T T( ) Qdt uud T T( ) Qdt uud T T( ) Qdt uu

•

•

•

•

ϕ∂ ∂

− =∂ϕ∂ϕ

∂ ∂− =∂∂

∂ ∂− =∂∂

∂ ∂− =∂∂

(2.1)

trong đó

1Qϕ : Lực suy rộng theo toạ độ ϕ1

33

U0Q : Lực suy rộng theo toạ độ U0

1UQ : Lực suy rộng theo toạ độ U1

U2Q : Lực suy rộng theo toạ độ U2

T: Động năng của cơ hệ.

Trong quá trình tính toán động năng, thế năng và hàm hao tán của hệ ta phải

xác định tọa độ của các khối lượng và vận tốc của nó. Bởi vậy để đơn giản cho

việc tính toán, ta chuyển mô hình cơ cấu con lắc ngược có lắp bộ hấp thụ dao

động như hình 2.1 về sơ đồ tính toán như hình 2.2

2.2.1 Động năng của cơ hệ

T = Tm+TM + TTMD-D+TTMD-N (2.2)

trong đó:

Tm: Động năng của thanh đỡ

TM: Động năng khối lượng tập trung đầu thanh của con lắc ngược

TTMD-D: Động năng của bộ hấp thụ dao động TMD-D

TTMD-N: Động năng của bộ hấp thụ dao động TMD-N

2.2.1.1 Động năng khối lượng tập trung của con lắc ngược

Động năng khối lượng tập trung của con lắc ngược được xác định theo công

thức

TM = 2

MMv

21 (2.3)

trong đó:

M: Khối lượng tập trung của con lắc ngược

VM: Vận tốc của của khối lượng tập trung

Vận tốc được tính theo công thức:

34

2 2

2M MMv x y

• •

= + (2.4)

u1

L2

Ks

K1

u0

L4

M1

C1

M1

ϕ1

K3

K2

u2

C2

M2

L5

Hình 2.2. Sơ đồ tính toán bộ hấp thụ dao động TMD

Từ sơ đồ hình (2.2) ta có:

M 1 11 1 4 1M 1 4 1

M 1 4 11 11 1 4 1M

x U sin (U +L )cosx (U +L )siny (U +L )cos y U cos (U +L )sin

• •

• •

⎧ •

•

= ϕ + ϕ ϕ= ϕ⎧ ⎪→⎨ ⎨= ϕ⎩ ⎪ = ϕ − ϕ ϕ⎩

(2.5)

Thay (2.5) vào (2.4) ta có

( )2

221M 1 4v U U L

• •

⇒ = + + ϕ2

1 (2.6)

35

Thay (2.6) vào (2.3) ta có:

TM = ( )2

2 21 1 4 1

1 M U U L2

••⎡ ⎤+ + ϕ⎢

⎣ ⎦⎥ (2.7)

2.2.1.2 Động năng của thanh đỡ con lắc ngược

Thanh đỡ chuyển động song phẳng vậy động năng của thanh đỡ là:

2

2tdm czm

1 1T = mv J22ϕ•

+ (2.8)

trong đó:

m: Khối lượng của thanh đỡ

Vm: Vận tốc khối tâm của thanh đỡ

Jcz: Mô men quán tính của thanh đỡ đối với trục Cz đi qua khối tâm và vuông

góc với mặt phẳng hình vẽ

td

•

ϕ : Vận tốc góc của thanh đỡ

Vận tốc khối tâm thanh đỡ được xác định theo công thức: 2 2

2m mmv x y

• •

= + (2.9)

Từ hình (2.2) ta có:

3 3m 1 1m 1 1 1 1 1

3 31 1m 1 1 1 1 1m

L Lx (U + )sin x U sin (U + )cos2 2

L Ly (U + )cos y U cos (U + )sin2 2

• •

• •

⎧ ⎧= ϕ = ϕ +⎪ ⎪⎪ ⎪→⎨ ⎨⎪ ⎪= ϕ = ϕ −⎪ ⎪⎩ ⎩

•

•

ϕ ϕ

ϕ ϕ (2.10)

Thay (2.10) vào (2.9) ta có 2

22 3

1m 1

Lv U U2

• •⎛ ⎞= + + ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1 (2.11)

36

Với 23cz mL

121J = ; (2.12)

1td

••

=ϕϕ

Thay (2.11; 2.12) vào (2.8) ta có:

22 223

1 1m 11 L 1T = m U U L2 2 12

• •⎡ ⎤

⎛ ⎞⎢ ⎥+ + ϕ + ϕ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2

13

•

(2.13)

2.2.1.3 Động năng của bộ hấp thụ dao động TMD-N

Động năng bộ hấp thụ dao động TMD-N được xác định theo công thức

2

1 M1M11T = M v2

(2.14)

trong đó:

VM1: Vận tốc của bộ hấp thụ dao động TMD-N

M1: Khối lượng của bộ TMD-N

Vận tốc của bộ hấp thụ dao động TMD-N được xác định theo công thức sau: 2 2

2M1 M1M1v x y

• •

= + (2.15)

Từ hình (2.2) ta có:

M1 1 2 1 0 1

M1 1 2 1 0 1

M1 1 11 1 2 1 0 1 1 0

1 1 11 1 2 1 0 1 0 1M1

x (U +L )sin U cosy (U +L )cos U sin

x U sin (U +L )cos U sin cos U

y U cos (U +L )sin U sin U cos

• • • • •

• • • •

= ϕ + ϕ⎧⎨ = ϕ − ϕ⎩⎧ = ϕ + ϕ ϕ − ϕ ϕ+ ϕ⎪→ ⎨⎪ = ϕ − ϕ ϕ − ϕ − ϕ⎩

•

ϕ

0⎤⎥⎦

(2.16)

Thay (2.16) vào (2.15) ta có 2 2

21 1 1M1 0 1 2v U U (U +L ) U

• • • •⎡ ⎤ ⎡= − ϕ + ϕ +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ (2.17)

Thay (2.17) vào (2.14) ta có:

37

2 2

1 1 1M1 1 0 1 2

1T M U U (U +L ) U2

• • • •

0⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛= − ϕ + ϕ +⎜ ⎟ ⎜ ⎞⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.18)

2.2.1.4 Động năng của bộ hấp thụ dao động TMD-D

Động năng bộ hấp thụ dao động TMD-D được xác định theo công thức:

2

2 M2M21T = M v2

(2.19)

trong đó:

VM2: Vận tốc của bộ hấp thụ dao động TMD-D

M2: Khối lượng của bộ TMD-D

Vận tốc của bộ hấp thụ dao động TMD-D được xác định theo công thức sau: 2 2

2M2 M2M2v x y

• •

= + (2.20)

Từ hình (2.2) ta có:

M2 1 5 2 1

M2 1 5 2 1

M2 1 2 11 1 5 2 1

1 2 1M2 1 1 5 2 1

x (U +L +U )siny (U +L +U )cos

x (U + U )sin (U +L +U )cos

y (U + U )cos (U +L +U )sin

• • • •

• • • •

= ϕ⎧⎨ = ϕ⎩⎧ = ϕ +⎪→ ⎨⎪ = ϕ −⎩

ϕ ϕ

ϕ ϕ

(2.21)

Thay (2.21) vào (2.20) ta có 2 2

2 21 2 1M2 5 12v (U + U ) (U +L +U )

•• •⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ϕ (2.22)

Thay (2.22) vào (2.19) ta có: 2 2

21 2 1 2M 2 2 5 1

1T M U + U U +L + U2

•• •⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ϕ (2.23)

Thay (2.7; 2.13; 2.18; 2.23) vào (2.2) ta có:

Động năng của cơ hệ là:

38

( )22 2 2

2 2 231 1 1 11 4 1 1 3

2 2

1 1 11 0 1 2 0

2 22

1 2 12 5 12

1 1 LT M U U L m U U L2 2 2

1 M U U (U +L ) U2

1 M U + U U +L +U2

•• • •

• • • •

•• •

2112

•⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + + ϕ + + + ϕ + ϕ⎜ ⎟⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ϕ + ϕ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.24)

2.2.2 Lực suy rộng của cơ hệ

Lực suy rộng của cơ hệ được xác định theo công thức sau:

*1 1

1 1

*u 0 u 0

0 0

*u1 u1

1 1

*u 2 u 2

2 2

Π ΦQ Q

Π ΦQ Qu uΠ ΦQ Qu uΠ ΦQ Qu u

•

•

•

•

ϕ ϕ

∂ ∂= − − +

∂ϕ ∂ϕ∂ ∂

= − − +∂ ∂∂ ∂

= − − +∂ ∂∂ ∂

= − − +∂ ∂

(2.25)

trong đó:

∏: Thế năng của hệ.

Φ: Hàm hao tán của hệ.

QU0*: Lực hoạt suy rộng theo toạ độ U0

QU1*: Lực hoạt suy rộng theo toạ độ U1

QU2*: Lực hoạt suy rộng theo toạ độ U2

Qϕ1*: Lực hoạt suy rộng theo toạ độ U1

39

2.2.2.1 Thế năng của cơ hệ

Thế năng của cơ hệ bằng tổng thế năng của trọng lực và thế năng của lò xo

Π =ΠTL + ΠLX (2.26)

trong đó:

ΠTL : Thế năng của trọng lực

ΠLX : Thế năng của các lò xo

2.2.2.1.1 Thế năng của trọng lực

Thế năng của trọng lực bằng tổng thế năng các phần tử của hệ:

ΠTL =ΠM + Πm+ΠTMD-D + ΠTMD-N (2.27)

ΠM: Thế năng khối lượng tập trung của con lắc ngược:

M M M 1 4=P y Mg(U +L )cosΠ = 1ϕ (2.28)

Πm: Thế năng của thanh đỡ con lắc ngược:

3m m m 1

L=P y mg(U + )cos2

Π = 1ϕ (2.29)

ΠTMD-D: Thế năng của bộ hấp thụ dao động TMD-D:

( )TMD-D TMD-D TMD-D 2 1 5 2 1=P y M g (U +L +U )cosΠ = ϕ (2.30)

ΠTMD-N: Thế năng của bộ hấp thụ dao động TMD-N:

[ ]TMD-N TMD-N TMD-N 1 1 2 1 0 1=P y M g (U +L )cos u sinΠ = ϕ − ϕ (2.31)

Thay (2.28; 2.29; 2.30; 2.31) vào (2.27) ta có thế năng của trọng lực là:

+TL 1 4 1=Mg(U +L )cosΠ ϕ 31 1

Lmg(U + )cos2

ϕ +

+ +[ ]1 1 2 1 0 1M g (U +L )cos u sinϕ − ϕ ( )2 1 5 2 1M g (U +L +U )cosϕ (2.32)

40

2.2.2.1.2 Thế năng của lò xo

ΠLX =Π1 + Π2+Π3 + ΠS (2.33)

Π1: Thế năng lò xo K1:

[ 21 1 0 00

1= K U U2

Π − ] (2.34)

trong đó: U00: Độ giãn tĩnh ban đầu của lò xo K1

Π2: Thế năng lò xo K2:

( 22 2 2 20

1= K U U2

Π − ) (2.35)

trong đó U20: Độ giãn tĩnh ban đầu của lò xo K2 ở vị trí cân bằng

Π3: Thế năng lò xo K3:

( 23 3 1 10

1= K U U2

Π − ) (2.36)

trong đó U10: Độ giãn tĩnh ban đầu của lò xo K3 ở vị trí cân bằng

ΠS: Thế năng lò xo soắn KS:

( 2S S 1 10

1= K2

Π ϕ − ϕ ) (2.37)

trong đó: ϕ10: Độ giãn tĩnh ban đầu của lò xo KS

Thay (2.34; 2.35; 2.36; 2.37) vào (2.33) ta có thế năng của lò xo là:

[ ]2LX 1 0 001= K U U2

Π − + ( )22 2 20

1 K U U2

− +

+ ( )23 1 10

1 K U U2

− + ( 2S 1 10

1 K2

ϕ − ϕ ) (2.38)

Thay (2.32; 2.38) vào (2.26) ta có thế năng của cơ hệ như sau:

( )31 4 1 2 1 5 2 1 1 2

LMg(U L ) mg(U ) M g U L U M g(U +L ) cos2

⎛ ⎞Π + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1ϕ

1

+ 1 0M gu sin− ϕ [ ]21 0 001 K U U2

− + ( )22 2 20

1 K U U2

− +

+ ( )23 1 10

1 K U U2

− + ( 2S 1 10

1 K2

ϕ − ϕ ) (2.39)

41

2.2.2.2 Hàm hao tán

Năng lượng dao động có hại của con lắc ngược bị tiêu tán bởi các bộ cản nhớt được lắp vào hai bộ hấp thụ dao động:

1Φ Φ +Φ= 2 (2.40)

1Φ : Hàm hao tán của bộ cản nhớt C1

21 1

1Φ C U2

•

= 0 (2.41)

2Φ : Hàm hao tán của bộ cản nhớt C2

22 2

1Φ C U2

•

= 2 (2.42)

Thay (2.41; 2.42) vào (2.40) ta có:

21 0 2 2

1 1Φ C U C U2 2

• •

= + 2

P = P(t)

(2.43)

2.2.2.3 Lực hoạt suy rộng

Lực hoạt suy rộng đặc trưng cho lực bên ngoài tác dụng lên hệ con lắc ngược, một cách tổng quát giả sử có hai ngoại lực quy đổi tác dụng lên con lắc ngược là (hình 2.3):

Lực tác dụng lên con lắc ngược gây ra dao động thẳng đứng phụ thuộc vào thời gian:

Pr

r r

Q = Q(t)

(2.44)

Lực tác dụng lên con lắc ngược tại vị

trí cách trục quay một khoảng L gây ra dao động lắc ngang của con lắc ngược phụ thuộc vào thời gian:

Qr

k3

L

Q(t)r

P(t)r

ksr r (2.45) Hinh 2.3

42

Để tính lực hoạt suy rộng ta cho cơ hệ một di chuyển

khả dĩ ứng với các đại lượng biến đổi U0 U1 U2

* * * *1Q ; Q ; Q ; Qϕ

1 0 1 20; U 0; U 0; U 0δϕ ≠ δ ≠ δ ≠ δ ≠ . Khi

đó tổng công khả dĩ các lực hoạt suy rộng trong di chuyển khả dĩ trên bằng:

U1 U2U0* * * *

1 1 0 1A Q +Q U +Q U Q Uϕδ = δϕ δ δ + δ 2 (2.46)

và công của lực P, Qrr

trong di chuyển khả dĩ trên là:

1A Q(t)L +P(t) Uδ = δϕ δ 1 ( 2.47)

Từ (2.46, 2.47) ta suy ra: - Lực hoạt suy rộng ứng với tạo độ suy rộng 1ϕ

*

1Q LQ(tϕ

)= (2.48)

- Lực hoạt suy rộng ứng với tạo độ suy rộng 0U

U0*Q 0= (2.49)

- Lực hoạt suy rộng ứng với tạo độ suy rộng 1U

U1

*Q P(t) = (2.50)

- Lực hoạt suy rộng ứng với tạo độ suy rộng 2U

U2

*Q 0= (2.51)

Thay (2.39), (2.43) và (2.48 – 2.51) vào (2.25) ta có lực suy rộng của cơ hệ như sau:

[ ( )

( ) ] ( )

[ ]

( ) ( )

( )

31 1 4 1 1 1 2

2 1 5 2 1 1 0 1 S 1 10

U0 1 0 00 1 1 1 0

U1 1 2 1 3 1 10

2U2 2 1 2 2 20 2

LQ Mg(U L ) mg(U ) M g U L2

M g U L U sin M gu cos K LQ(t)

Q K u u M gsin C U

Q Mg mg M g M g cos K U U P(t)

Q M gcos K U U C U

•

•

ϕ =

+ ϕ + ϕ − ϕ −ϕ

= − − + ϕ −

= − + + + ϕ − − +

= − ϕ − − −

+ + + + +

+ + +

(2.52)

43

2.2.3 Phương trình vi phân chuyển động của hệ

Thay (2.24) và (2.52) vào (2.1) ta có phương trình vi phân chuyển động của cơ

hệ như sau:

( ) [ ( )

( ) ]

( ) ( )

1 2 01 11 2 2 1 0 1 1 4

23

11 1 1 2 2 1 5 2 1 1 2

1 2 1 3 1 10

M M M m U M U M u 2M u M U L

Lm U M U L M (U L +U ) M (U +L )2

Mg mg M g M g cos K U U P(t);

•• •• •• • •

•

+ + + + − ϕ − ϕ − +

⎛ ⎞+ + + + + + + ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + + + ϕ + − =

−

;

(2.53)

( )2

1 2 212 2 1 5 2 2 1 2 2 20 2M U U M (U L +U ) M gcos K U U C U 0•• •• • •⎛ ⎞+ − + ϕ + ϕ + − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.54)

( ) ( )

( )

( )

[

2 22 23 3

1 4 1 2 1 5 2

2 2 31 111 1 2 1 4 10

1 2 1 0 12 1 5 2 1 1 2 0

0 11 1 2 0 1 4 1

L mLM U L m U M U L +U2 12

LM (U +L ) u 2M U L U 2m U U (2.55)2

2M U L +U U U 2M (U +L )U u u

M (U +L )u u U Mg(U L ) mg(U

•• • •

• • • • •

•• ••

⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤+ + ϕ + + + + +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + + + ϕ +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥⎣ ⎦+ + + ( )

( ) ] ( )

31 1 2

2 1 5 2 1 1 0 1 S 1 10

L ) M g U L2

M g U L U sin M gu cos K LQ(t)

+

+ ϕ − ϕ + ϕ − ϕ =

+ +

+ +

[ ]2

011 1 2 1 1 0 1 0 00 1 1 1 01M (U +L ) M u M u K u u M gsin C U 0

•• •• • •

ϕ + + ϕ + − − ϕ + = (2.56)

Hệ phương trình vi phân chuyển động đầy đủ ( 2.53 ÷2.56) là hệ phi tuyến.

Theo [20] hầu hết các chuyển động lớn thì phương trình vi phân của hệ là phi

tuyến và đối với dao động nhỏ của cơ hệ, người ta thường tuyến tính hóa các

phương trình vi phân dao động. Để tuyến tính hóa, ta giả thiết các góc lệch nhỏ

và bỏ qua các đại lượng bậc cao thì từ phương trình vi phân phi tuyến ta nhận

được phương trình tuyến tính. Còn đối với các công trình trong thực tế, ta cần

phải giả thiết thêm là hệ biến dạng bé, khi đó có thể xem lực gây uốn không ảnh

hưởng tới lực dọc và ngược lại, điều này dẫn đến hệ phương trình tuyến tính.

44

Xét hệ tại vị trí cân bằng tĩnh ta có:

1 10 1 10 2 20 0 000; U U ; U U ; U U 0;ϕ = ϕ = = = = =

PM

N4

N3

PM2

Flx2

PM1

Pm

PM2

Flx3

N1

N2

M

Hình 2.4 Sơ đồ cân bằng tĩnh của hệ con lắc ngược

Xét cân bằng cả hệ: Các lực tác dụng lên cơ hệ:

- Trọng lực khối lượng tập trung đầu thanh: gMPM

rr=

- Trọng lực khối lượng thanh đỡ: gmPm

rr=

- Trọng lực bộ hấp thụ dao động TMD-N: gMP 1M1

rr= (2.57)

- Trọng lực bộ hấp thụ dao động TMD-D: gMP 2M2

rr=

- Phản lực liên kết của lò xo: lò xo soắn SMr

; và lò xo K3 103LX3 UKF =

- Hệ lực cân bằng đặt lên cơ hệ: ( )S M m M1 M2 LX3M ,P ,P P ,P ,Fr r r r r r

0

- Phương trình cân bằng:

45

M m M1 M2 LX3P P P P F 0+ + + + =r r r r r

(2.58)

Chiếu phương trình (2.58) lên phương thẳng đứng ta có: M m M1 M2 LX3P P P P F 0+ + + − = (2.59)

Thay (2.57) vào (2.59) ta có: 0FgMgMmggM LX321 =−+++

gMgMmggMF 21LX3 +++=⇒

gMgMmggMUK 21103 +++=⇒ ( 2.60)

Xét cân bằng bộ TMD-D: Các lực tác dụng

- Phản lực liên kết lên bốn bánh xe: 4321 N,N,N,Nrrrr

- Trọng lực bộ hấp thụ dao động TMD-D: gMP 2M2

rr= (2.61)

- Phản lực liên kết của lò xo: 202LX2 UKF =

- Hệ lực cân bằng đặt lên cơ hệ: ( )1 2 3 4 M2 LX2N ,N ,N ,N ,P ,Fr r r r r r

0

- Phương trình cân bằng:

1 2 3 4 M2 LX2N +N +N ,N +P +F 0=r r r r r r

(2.62)

Chiếu phương trình (2.62) lên phương thẳng đứng ta có: (2.63) M2 LX2P F− = 0

Thay (2.61) vào (2.63) ta có: 0FgM LX22 =− gMUK 2202 =⇒ ( 2.64)

Hầu hết các công trình có dạng con lắc ngược đều dao động bé, theo [20] để

đơn giản, ta tiến hành tuyến tính hóa phương trình vi phân phi tuyến

( 2.53 ÷2.56) như sau:

Vì dao động nhỏ, ta có: 1 1 1;sin cos 1;ϕ ϕ ϕ≈ ≈ (2.65)

Thay (2.60, 2.64, 2.65) vào (2.53÷2.56) và bỏ qua các đại lượng bậc cao, ta có

phương trình vi phân chuyển động của hệ dao động quanh vị trí cân bằng tĩnh

dạng tuyến tính sau:

46

H H H H (t)•• •

+ + =M X C X K X F (2.66)

trong đó:

( )

2 1 2

1 2

22 2 23

4 2 5 1

1H

1 2 2

2 2

mLL +M L + +M L M L 0 03

M L 0 0=

0 0 +M

0 0 M

M

MM +M +m

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MM

M

(2.67)

3S 4 1 2 2 5 1

1 1H

3

2

mgLK - MgL - - M gL - M gL - M g 0 02- M g K 0 0=

0 00 0

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

KK 00 K

(2.68)

1

H

2

0 0 0 0

0 C 0 0=

0 0 0 0

0 0 0 C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C ;

1

0

1

2

U

U

U

ϕ••

••

••

••

••

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ;

1

0

1

2

U

U

U

ϕ•

•

•

•

•

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ;

1

0

1

2

U

U

U

ϕ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ; (2.69) T

LQ(t)

0=

P(t)

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F ⎥⎥

2.3 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Chương 2 đã thiết lập mô hình cơ học và mô hình toán học để xác định dao

động của cơ cấu con lắc ngược có sử dụng đồng thời hai bộ hấp thụ dao động

TMD-D và TMD-N. Để tìm dao động của hệ, tác giả sử dụng phương trình

Lagrang II. Hệ phương trình vi phân tìm được là hệ tuyến tính. Từ quy luật

chuyển động của hệ con lắc ngược, nhận thấy có chứa các đại lượng của bộ hấp

thụ dao động, đây chính là cơ sở để các nhà khoa học nghiên cứu, phân tích, tính

toán tìm các thông số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động theo các tiêu chuẩn tối

ưu khác nhau.

47

CHƯƠNG 3

NGHIÊN CỨU, PHÂN TÍCH, TÍNH TOÁN GIẢM DAO ĐỘNG CHO

CÁC CÔNG TRÌNH CÓ DẠNG HỆ CON LẮC NGƯỢC

Để xác định các thông số tối ưu của hệ thống giảm dao động TMD, ta có

nhiều phương pháp khác nhau như: Phương pháp điểm cố định, phương pháp

cực tiểu mô men bậc hai, phương pháp cực tiểu sai số bình phương, … và ứng

với mỗi phương pháp khác nhau ta lại tìm được các thông số tối ưu khác nhau

của các bộ hấp thụ dao động. Việc áp dụng phương pháp nào để tìm các thông

số tối ưu, hoàn toàn phụ thuộc vào đáp ứng dao động của kết cấu mà yêu cầu

của thực tiễn kỹ thuật cần giảm dao động. Trong giới hạn của luận án này, tác

giả tìm các thông số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động TMD với mục đích là

giảm dao động rung lắc của các công trình có dạng con lắc ngược.

Với mục tiêu là nghiên cứu, tính toán bộ hấp thụ dao động tối ưu để giảm

thành phần dao động rung lắc cho cơ hệ. Phương pháp tối ưu được sử dụng là

phương pháp cân bằng cực theo các tài liệu [20], [47], [49], [51] , [71] đây là

phương pháp tìm các thông số tối ưu của các bộ TMD để tăng các đặc trưng cản

lớn nhất cho cơ hệ, từ đó giảm được thành phần dao động rung lắc cho hệ một

cách tốt nhất. Phương pháp này không phải xét đến hàm mục tiêu rồi cực tiểu

( hoặc cực đại) hóa hàm mục tiêu rồi suy ra các tham số tối ưu. Mà cơ sở khoa

học của phương pháp này là từ phương trình dao động tuyến tính của hệ tiến

hành tìm đa thức đặc trưng cho hệ. Sau khi tìm được đa thức đặc trưng của hệ

tác giả tiến hành nghiên cứu phân tích, tính toán tìm các thông số của các bộ

TMD sao cho các cực (các nghiệm) của đa thức đặc trưng có độ lớn của các

phần thực càng lớn càng tốt, độ lớn của các phần ảo càng nhỏ càng tốt từ đó suy

ra được các thông số tối ưu như hệ số lò xo, hệ số cản nhớt của các bộ TMD. Do

cơ cấu con lắc ngược thường có độ cao lớn nên việc phân tích, tính toán các

48

thông số như khối lượng, vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động sao cho giảm dao

động cho hệ con lắc ngược một cách tốt nhất và thỏa mãn điều kiện ổn định

cũng là mục tiêu nghiên cứu của luận án. Để tìm hai thông số này tác giả tiến

hành phân tích bậc của sự tắt dần sao cho đạt giá trị lớn nhất và thỏa mãn điều

kiện ổn định từ đó suy ra được hai thông số là khối lượng và vị trí lắp đặt bộ

TMD tối ưu.

Để tìm tham số tối ưu cho hệ, tác giả lần lượt nghiên cứu từ trường hợp đơn

giản cho đến trường hợp tổng quát nhất. Đầu tiên, tác giả nghiên cứu dao động

của cơ cấu con lắc ngược chỉ lắp một bộ hấp thụ dao động TMD-D hoặc

TMD-N và phân tích xem các thông số của một bộ TMD có đủ để giảm dao

động theo hai phương thẳng đứng và lắc ngang của con lắc ngược không. Nếu

các thông số của một bộ TMD đủ để giảm dao động theo hai phương thì ta chỉ

cần lắp một bộ TMD. Nếu một bộ TMD không thể giảm dao động được theo hai

phương, khi đó ta mới khảo sát cơ cấu con lắc ngược có lắp đồng thời hai bộ hấp

thụ dao động TMD-D và TMD-N và tìm các thông số tối ưu để giảm dao động

theo hai phương thẳng đứng và lắc ngang của hệ con lắc ngược.

49

3.1 Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao động TMD-D

Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao động TMD-D được biểu diễn như trên hình

3.1. Sau đây ta đi khảo sát ảnh hưởng của bộ hấp thụ dao động đến dao động

thẳng đứng và lắc ngang của cơ cấu con lắc ngược và nghiên cứu để giảm dao

động cho cơ cấu con lắc ngược.

3.1.1 Phương trình vi phân chuyển động của hệ

x

u1

L4

Ks

K3

ϕ1

M

L5

L3 K2

u2

C2

M2

y

Hình 3.1.Sơ đồ tính toán bộ hấp thụ dao động trường hợp chỉ có

Bộ hấp thụ dao động TMD-D

Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao động TMD-D khi đó cơ hệ có ba bậc tự

do - ϕ1: Là góc quay của con lắc ngược, U1 Dịch chuyển của con lắc ngược theo

50

phương thẳng đứng, U2 dịch chuyển của bộ TMD-D

Ta có: 0K0;C0,M 111 === (3.1)

Thay (3.1) vào (2.66÷2.69) ta có phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ

như sau: •• •

( )P P P P t+ + =M X C X K X F (3.2)

trong đó

( )

22 2 3

4 2 5

P 2

2 2

mLL +M L + 0 03

= 0 +M

0 M

M

M +m

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M 2M

M

(3.3)

3S 4 2 5

3P

2

mgLK - MgL - - M gL 0 02

0 K=

0 0

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K 0

K

(3.4)

;P

2

0 0 0

= 0 0 0

0 0 C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C1

1

2

U

U

ϕ••

••••

••

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ;

1

1

2

U

U

ϕ•

••

•

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ;

1

1

2

U

U

ϕ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ; (3.5) ( )P

Q

t

4L (t)

= P(t)

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F ⎥

3.1.2 Nghiên cứu ổn định chuyển động của hệ con lắc ngược theo tiêu chuẩn

kĩ thuật trường hợp chỉ lắp bộ TMD-D

Có rất nhiều tiêu chuẩn để đánh giá độ ổn định. Trong trường hợp này, ta sử

dụng tiêu chuẩn ổn định ở vị trí cân bằng của Lyapunov [20].

Theo tiêu chuẩn này, hệ phải thoả mãn các điều kiện sau:

Ma trận hệ số cản là ma trận vuông và bán xác định dương.

51

Ma trận độ cứng phải là ma trận vuông và xác định dương.

Biến đổi phương trình (3.2 ÷ 3.5) ta có:

P* P* P* P* (t)•• •

+ + =M X C X K X F (3.6)

trong đó

( )

*

2252 2

4

2 2P

2 2

3

M1+ L 0 0ML +mL / 3

M M0 1+= M +m M +m

M M0M +m M +m

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M (3.7)

( )

* (3.8)

3

3

2 2

2

s 522 2

4 4 4 4 4

P

6M +3m gK LM g- - 0 0mML +mL / 3 6ML +2mL L LM +3

= K0 0M +m

M K0 0M +m M

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟

⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

*P

2 2

2

0 0 0

= 0 0 0

M C0 0M +m M

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C ;

4

1

2

UL

U

U

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ; * ( )P

Q

3

t

42 2

4

L (t)ML + mL / 3

= P(t)M + m

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F (3.9)

52

Ta đưa vào các tham số sau:

5 32 24 1 3

4, , , , ,

3D D D Du u

L KM Mu L L Lm M m L M mMϕϕ µ µ γ ω= = = = =+ ++

4=

( ) (( )

)42 2 2

4 43 4 4

6 3 6 6 36 2/3 2 3D

ss M m g K gL M mKML mLML mL L M mϕω

+ −= − =

++ +

+ (3.10)

22 2

2 2 4, , , ,

2D D

D D D DD D D D

d ud dD u

d

k c gM M Lϕϕ ϕ

ω ωω ξ α α ηω ω ω ω

= = = = =

trong biểu thức (3.10):

µuD: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược

đặc trưng cho chuyển động thẳng;

µϕD: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược

đặc trưng cho chuyển động quay;

γD : Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D;

ωdD : Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động TMD-D;

ωϕD : Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương lắc ngang;

ωuD : Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương thẳng đứng;

ξD : Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-D

Thay các tham số từ (3.10) vào các ma trận (3.6 ÷ 3.9) ta có:

2

* *

0 0 01 0 0; 0 0 00 1

0 0 20

D D

D D

D D D DD D

P Pu ud uu u

ϕ

ϕ

µ γ

µ µξ α µ ωµ µ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

M C (3.11)

( ) 2

2 2* *

2 2

3 ( )1 0 0

3; ( ) ( )0 0

0 0 0

D D D D

D D

D D D

P Pu

u d

Q tM m

t P tM m

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

µ γ η ω

α ω

µ α ω

⎡ ⎤⎡ ⎤− ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢⎢ ⎥ ⎢ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

K F ⎥⎥

(3.12)

53

Thay các hệ thức từ (3.11, 3.12) vào phương trình (3.6) ta có:

( )

2

1 1

2 2

2

2 21

2 22

0 0 01 0 00 0 00 10 0 20

3 ( )1 0 0 3

0 0 ( )

0 00

D D

D D

D D D DD D

D D D D

D D

D D D

u u

d uu u

u

u d

u uu uu u

Q tu M mu P t

M mu

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

µ γµ µ

ξ α µ ωµ µ

µ γ η ω

α ω

µ α ω

•• •⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ + ++ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤− ⎢⎡ ⎤ +⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥+ =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢

⎣ ⎦

&& &

&& &

⎥⎥⎥⎥⎥

(3.13)

Kết hợp điều kiện ổn định của Liapunop và (3.13) ta có :

0 0 00 0 00 0 2 D D D Dd u ϕξ α µ ω

⎡ ⎤⎢ ⎥

≥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 ;

( ) 2

2 2

2 2

1 0

00 0

0 0

D D D D

D D

D D D

u

u d

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

µ γ η ω

α ω

µ α ω

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥ >⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

Suy ra:

( )( )

( )

21

2

2 2 2

2

2 23

2 2

1 0

1 00

0

1 0

00 0

0 0

D D D D

D D D D

D D

D D D D

D D

D D D

u

u

u d

A

A

A

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

µ γ η ω

µ γ η ω

α ω

µ γ η ω

α ω

µ α ω

= − >

⎡ ⎤−⎢ ⎥= >⎢⎣⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= >⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

⎥⎦ (3.14)

Từ (3. 14) ta suy ra:

( )( )( )

21

2 42

2 2 63

1 0

1

1 0

D D D D

D D D D D

D D D D D D D

u

u u d

A

A

A

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

µ γ η ω

µ γ η α ω

µ γ η µ α α ω

= − >

= − >

= − >

0 (3.15)

54

Vì 0uDµ > , vậy ta có điều kiện ổn định của hệ con

lắc ngược như sau:

2 2 60, 0, 0D D Dd u ϕα α ω> > >

1 D D Dϕ 0µ γ η− > (3.16)

Khi thiết kế các bộ hấp thụ dao động TMD-D ta phải chọn các thông số thoả

mãn hệ thức (3. 16) để công trình làm việc ổn định theo tiêu chuẩn của kỹ thuật.

Giả sử khi ưu tiên chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động trước là L5 = Lopt vấn

đề còn lại phải chọn khối lượng của bộ hấp thụ dao động, nếu ta chọn khối

lượng nhỏ quá thì khả năng giảm dao động nhỏ, nhưng nếu chọn khối lượng lớn

quá sẽ gây mất ổn định cho công trình có thể gây sập, đổ, đứt, gẫy … sẽ rất nguy

hiểm, nên ta chọn khối lượng thoả mãn điều kiện sau:

Từ (3. 10) và (3. 16) ta có :

( )42

6 66

s

opt

3K gL M mM

gL− +

< (3.17)

Tương tự như vậy, giả sử khi khối lượng của bộ hấp thụ ưu tiên chọn trước

M2 = Mopt vấn đề còn lại là chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D, nếu

ta chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động lớn quá sẽ gây mất ổn định cho công

trình. Nên ta chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D thoả mãn điều kiện

sau:

Kết hợp (3. 10) và (3. 16) ta thu được :

( )45

54

6 6 31 16D

D D D D

s

opt

K gL M mL LL gϕ ϕ

γµ η µ η

− +

M⎡ ⎤⎣ ⎦< ⇒ < ⇒ < (3.18)

55

3.1.3 Tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD-D để giảm dao

động cho cơ cấu con lắc ngược

Từ hệ phương trình (3.2) ta thu được hệ phương trình sau:

TMD-D TMD-D TMD-D TMD-D (t)•• •

+ + =M φ C φ K φ F (3.19)

trong đó:

2 0 0 01 0 0; 0 0 00 1

0 0 20

D

D D

D D D DD D

TMD D TMD Du u

d uu u

ϕ

ϕ

µ γµ µ

ξ α µ ωµ µ− −

⎡ ⎤⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥= =+ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M C (3.20)

( ) 2

2 2

2 2

1 0 0

0 1

2

u

u

u

;0

0 0

D D D D

D D

D D D

TMD D u

u d

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

µ γ η ω

α ω

µ α ω−

⎡ ⎤−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

φ (3.21)

Ta chuyển hệ phương trình vi phân cấp 2 (3.19) về phương trình vi phân cấp 1

bằng cách đặt như sau:

1 1 2 2 3

4 1 5 2 6

u x ,u x ,u x

u x ,u x ,u x• • •

= = =⎧⎪⎨

= = =⎪⎩ (3.22)

Khi đó ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc sáu:

(3.23) (t) (t)•

=x Ax

Hệ (3.23) luôn luôn tồn tại một hệ cơ bản sáu véc tơ nghiệm độc lập tuyến tính

)(tiϕ , i=1÷6. Nó trùng với 6 véc tơ đơn vị ei khi t=0, (0) , 1,6.ie iϕ = =

Và thoả mãn điều kiện (3.23)

(t) (t)•

=φ Aφ (3.24)

56

Các véc tơ nghiệm sẽ tạo thành các cột của ma trận không suy biến 6×6

[ ]1 2 3 4 5 6(t) (t) | (t) | (t) | (t) | (t) | (t)= ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕΦ (3.25)

Ma trận (3.25) được gọi là ma trận cơ bản, nó có một số tính chất đặc trưng,

đây là véc tơ nghiệm đặc biệt được chuẩn hoá tại thời điểm ban đầu t=0, thì vấn

đề trị riêng đặc trưng cho dáng điệu của hệ động lực của con lắc ngược (3.23)

theo các nghiệm riêng với tính chất là véc tơ trạng thái x(t) và đạo hàm của nó

có cùng hướng trong không gian trạng thái (t)•

x

(t) (t)•

= λx x (3.26)

Nếu các nghiệm riêng này tồn tại, khi đó chúng phải thoả mãn không chỉ

phương trình (3.23) mà còn cả điều kiện (3.26). Điều này nói lên rằng các quỹ

đạo mà giữ nguyên hướng không đổi trong không gian trạng thái phải thoả mãn

t(t) eλ=x %x

tλ %

(3.27)

Điều này phù hợp với điều kiện (3.26). Thay (3.27) vào (3.26) ta có te eλλ =x A x% (3.28)

Ta được phương trình thuần nhất

( ) 0λ − =E A x% (3.29)

Mà được gọi là bài toán trị riêng liên quan với ma trận A

Bài toán trị riêng (3.29) có nghiệm véc tơ không tầm thường nếu và chỉ nếu x%

( )λ −E A là ma trận suy biến. Một cách chính xác, đó là trường hợp khi λ là

nghiệm của đa thức 6 5 4 3 2

1 2 3 4 5( ) det( )p g g g gλ λ λ λ λ λ λ λ≡ − ≡ + + + + + +E A 6g g (3. 30)

đa thức )(λp được gọi là đa thức đặc trưng của hệ (3.19)

57

Ta nhận thấy rằng toàn bộ hệ cũng như các giá trị riêng đều phụ thuộc vào đa

thức đặc trưng này, ứng với phương trình đặc trưng (3.30), các giá trị riêng có

dạng λi = ρi±iσi, i=1÷6. Các giá trị riêng này có chứa các thông số của bộ hấp

thụ dao động. Nếu hệ dao động ổn định với một số tổ hợp tham số chấp nhận

được, Re 0, 1 6i iλ < = ÷ . Giá trị riêng của đa thức đặc trưng đầu tiên sẽ được xem

xét là bậc của sự ổn định [20] (dự trữ ổn định tuyệt đối), được xác định là

khoảng cách đo từ trục ảo tới trị riêng gần nhất.

01,6

max Re ii

d λ=

= − (3.31)

Bậc của sự ổn định đặc trưng cho tốc độ tắt dần của quá trình chuyển tiếp.

Nếu bậc của sự ổn định lớn khi đó các dao động riêng sẽ tắt nhanh. Giá trị riêng

phức liên hợp λi = ρi±iσi, ρi <0, có thể xác định bậc của sự tắt dần (dự trữ ổn

định tương đối ).

01,6

Remax ii i

D λλ=

⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.32)

Bậc của sự tắt dần là chỉ số tắt dần nhỏ nhất

2 2, 1 6i

ii i

D iρ

ρ σ= = ÷

+

của các dao động riêng khác nhau, và nó biểu thị sự giảm của độ lệch ban đầu

theo số chu kỳ, nếu bậc của sự tắt dần là lớn thì dao động sẽ tắt sau vài chu kỳ.

Như vậy, nếu bậc của sự tắt dần là lớn thì dao động sẽ tắt nhanh. Bậc của sự tắt

dần lớn cũng bảo đảm biên độ dao động nhỏ và do đó sẽ có dáng điệu ít nhiễu

hơn.

Các nghiệm của đa thức đặc trưng (3.30) gọi là các cực của hệ thống. Từ

(3.31, 3.32) ta có nhận xét: Nếu như hệ làm việc theo điều kiện ổn định (3.16)

thì các cực của hệ phải có phần thực âm, nghĩa là chúng nằm trên nửa trái của

58

mặt phẳng phức, phần thực của các cực sẽ thể hiện độ tắt dần của đáp ứng, còn

phần ảo thể hiện số chu kỳ dao động thực hiện. Mà mục đích của việc thiết kế bộ

hấp thụ dao động TMD-D cho cơ cấu con lắc ngược là làm dao động của con lắc

ngược tắt càng nhanh càng tốt. Vì thế quá trình tính toán tìm các thông số của bộ

hấp thụ dao động là tìm các hệ số để độ lớn của các phần thực của các cực càng

lớn càng tốt và độ lớn của phần ảo của các cực càng bé càng tốt và bậc của sự tắt

dần đạt giá trị lớn nhất.

Trong )(λp chứa tất cả các tham số của bộ TMD-D. Theo lý thuyết điều

khiển tối ưu [20], [47], [49], [51] , [71]các tham số tối ưu của hệ là hệ số lò xo,

hệ số cản nhớt của bộ TMD-D được xác định trực tiếp từ hàm )(λp bằng cách

cho cực đại hóa mô dun phần thực của các cực và cho cực tiểu hóa mô dun phần

ảo của các cực của )(λp . Theo [20] )(λp được xác định như sau:

[ ]) 2

TMD D TMD D TMD DTMD D

1p(λ det λ λdet − −

−−⎡ ⎤≡ + +⎣ ⎦M C K

M (3.33)

Thay (3.20 – 3.21) vào (3.33) ta có )(λp là:

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 24 3 2

1 2 32

1 2

1 1

1

( ). ( )

D D D D D D

D D

4P a a a a

p p

ϕ ϕ ϕ

ϕ

µ γ λ µ γ η ωλ λ

µ γ

λ λ

⎧ ⎫+ + −⎪ ⎪= +⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭

=

λ λ λ+ + + (3.34)

trong đó

( ) ( )( )

( )( ) ( )

2 2 2

1 2

4 3 22 1 2 3 4

2 2 21 2

2 3 2 2 43

4

1 1( )

1

( ) (3.35)

2 1 , 1 ,

2 ,

D D D D D D

D D

D D D D D D D D

D D D D D D D

d u u d u

d u u d

p

p a a a a

a a

a a

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

µ γ λ µ γ η ωλ

µ γ

λ λ λ λ λ

ξ α ω µ µ α α ω

ξ α α ω α α ω

⎧ ⎫+ + −⎪ ⎪= ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭

= + + + +

⎡ ⎤= + = + +⎣ ⎦= =

59

Mục tiêu của việc nghiên cứu là tìm các thông số tối ưu ,D Ddα ξ của bộ TMD-D

sao cho cực của ( )P λ có

( )Re max , 1,..6dD

i iα

λ ⇒ = (3.36)

( )Im min, 1,..6D

i iξ

λ ⇒ = (3.37)

Sau khi tìm được ,D Ddα ξ tối ưu, các thông số khác của bộ hấp thụ dao động

,D Duµ γ được chọn để bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là

,

Re max , 1 6D Du

ii

iD

µ γ

λλ

⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⇒ = ÷⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

i (3.38)

( )p λ có cực là tổ hợp cực của hai đa thức 1( )p λ và 2 ( )p λ . Từ (3.10) và (3.35)

ta nhận thấy đa thức 1( )p λ phụ thuộc duy nhất vào khối lượng và vị trí lắp đặt

bộ hấp thụ dao động và không chứa các thông số đặc trưng cho chuyển động

thẳng mà chỉ chứa các thông số của dao động lắc ngang, vậy 1( )p λ đặc trưng

cho chuyển động lắc ngang của con lắc ngược. Kết hợp điều kiện ổn định (3.16),

nếu hệ làm việc ổn định thì cực của đa thức này là:

( )( )

2

1,2 2

1

1D D D D

D D

i ϕ ϕ

ϕ

µ γ η ωλ

µ γ

−= ±

+ (3.39)

Cực của đa thức 1( )p λ trong (3.39) chỉ có phần ảo, không có phần thực, mà

phần ảo thể hiện số chu kỳ dao động thực hiện. Vậy để số chu kỳ dao động quay

thực hiện là nhỏ, từ (3.39) ta nên chọn khối lượng và vị trí lắp đặt bộ hấp dao

động càng lớn càng tốt thoả mãn điều kiện ổn định (3.16): 1 0D D Dϕµ γ η− >

60

Đa thức 2 ( )p λ trong (3.35) phụ thuộc vào tất cả các tham số của bộ hấp thụ

dao động và các thông số đặc trưng cho chuyển động thẳng đứng của con lắc

ngược. Vậy đa thức 2 ( )p λ đặc trưng cho dao động thẳng đứng. Việc xác định

các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động thẳng đứng hoàn

toàn phụ thuộc vào đa thức này. Xét đa thức 2 ( )p λ , theo vào định lý Vieta, ta

có:

( ) (6

13

Re 2 1D D D Di di

a ϕ )uλ ξ α ω µ=

− = = +∑ (3.40)

Biểu thức này dẫn tới hai bất đẳng thức

( )( ) ( )3,..6

1min Re (3.41)

2D D Dd u

ii

ϕξα ω µλ

=

+≤

( ) ( )6

13

Re( ) min (Re( ) 4min (Re( ) (3.42)i i ii

aλ λ λ=

− − = −∑

Từ (3.10) ta có thể thấy rằng vế phải của (3.41) không phụ thuộc vào độ cứng

lò xo k2. Do vế trái của (3.41) lại phụ thuộc vào độ cứng của lò xo k2, để bậc của

sự ổn định lớn và dao động tắt nhanh thì độ lớn của các phần thực là lớn nhất có

thể nên trong bước đầu tiên hệ số lò xo của bộ hấp thụ dao động TMD-D được

chọn để (3.41) trở thành đẳng thức. Khi (3.41) trở thành đẳng thức thì vế phải

của (3.42) triệt tiêu, dẫn tới tất cả các phần thực bằng nhau. Ta ký hiệu giá trị

chung đó là ρ0. Khi đó các trị riêng của hệ là hai cặp phức liên hợp được ký hiệu

là λ3,4 = ρ0±iσ1 và λ5,6 =ρ0±iσ2, trong đó σ1 và σ2 tương ứng là các phần ảo. Vậy

đa thức 2 ( )p λ là:

( )( ) ( )( )2 222 0 1 0( )p 2

2λ λ ρ σ λ ρ σ= − + − +

61

( )( ) ( )(

4 3 2 2 2 22 0 0 1 2

3 2 2 2 2 20 0 1 2 0 1 0 2

( ) 4 6

4 2

p λ λ ρ λ ρ σ σ λ

ρ ρ σ σ λ ρ σ ρ σ

⇒ = − + + + −

⎡ ⎤− + + + + +⎣ ⎦ )2 (3.43)

Từ biểu thức (3.35) và (3.43) ta thu được hệ phương trình sau:

( )0 2 1D D D Dd4 ϕ uρ ξ α ω µ− = + (3.44)

( )2 2 2 2 20 1 26 1 D D Du d u

2Dϕρ σ σ µ α α ω⎡+ + = + +⎣ ⎤⎦

3

(3.45)

( )3 2 2 20 0 1 24 2 2 D D D Dd u ϕρ ρ σ σ ξ α α ω− − + = (3.46)

( )( )2 2 2 2 2 20 1 0 2 D Du d

4Dϕρ σ ρ σ α α ω+ + = (3.47)

Từ (3.46) suy ra:

( )0

2 1DD D Dd u

4

ϕ

ρξα ω µ

−=

+ (3.48)

Thay ξD từ (3.48) vào (3.46) ta có:

( )( )2 22 2

1 220 1

D D

D

u

u

ϕ

2

σ σα ωρ

µ

+= −

+ (3.49)

Từ (3.47) suy ra:

( )( )2 2 2 20 1 0 22

2 4dDuD Dϕ

ρ σ ρ σα

α ω

+ += (3.50)

Thay (3.49, 3.50) vào (3.45) ta có:

( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 22 2

1 2 0 1 0 22 2 2 21 2 2 46 1

1 2D D

D DD D D

uu u

u u

ϕDϕ

ϕ

σ σ ρ σ ρ σα ωσ σ µ α ω

µ α

⎛ ⎞ ⎡+ + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥− + + = + +⎜ ⎟+ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ω

⎤

⎦

(3.51)

62

Biến đổi biểu thức (3.51), chúng ta thu được biểu thức quan hệ giữa các phần ảo

σ1 và σ2.

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )22 2 2 2 2 21 2

2 2 2 22 2 2 21 2 1 2 2 2

16 2 1 1

1 2 1 2

DD D D D D D

D D D DD D

D D

uu u u u

u uu

u u

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

µα ω µ σ σ µ α ω

σ σ σ σα ω α ωα ω

µ µ

+− + + − +=

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.52)

Ta sử dụng bất đẳng thức sau:

( )( )

( )( )

( )

22 2 2 22 2 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1D D D D D D

D D

u u

u u

ϕ ϕσ σ σ σα ω α ω α ωµ µ

⎛ ⎞⎛ ⎞− −

D

u

u

ϕ

µ⎡ ⎤

⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ≤ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.53)

Từ biểu thức (3.52) và (3.53) ta thu được bất đẳng thức sau:

( ) ( )( )

2 22 21 2

42 1

D D

D

u u

u

Dϕµ α ωσ σ

µ−

+ ≥+ (3.54)

( ) ( )( )

2

1,2

4max

4 1D

DD

uii

u

2 2Du ϕ

µσ α ω

µ=

−⇒ ≥

+ (3.55)

Vế phải của biểu thức (3.55) không phụ thuộc vào hệ số cản nhớt c2 của bộ

hấp thụ dao động TMD-D, bởi vì chúng ta muốn độ lớn của phần ảo là nhỏ nên

trong bước thứ hai hệ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động c2 được chọn để biểu

thức (3.55) trở thành đẳng thức, nghĩa là σ1=σ2, Giá trị của chúng là:

( )( )1 2

44 1

DD D

D

uu

uϕ

µσ σ α ω

µ−

= =+ (3.56)

Thay (3.56) vào (3.49) ta có:

( )0 2 1D D D

D

u u

u

ϕα ω µρµ

= −+ (3.57)

63

Thay (3.56, 3.57) vào (3.50) ta có:

( )1D

DD

uopt

u

αα

µ=

+ (3.58)

Thay (3.57, 3.58) vào (3.48) ta có:

( )1D

DD

uopt

u

µξ

µ=

+ (3.59)

Bước cuối cùng ta tìm các thông số khác của bộ hấp thụ dao động được tìm để

bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất, trong trường hợp này chỉ có dao động

thẳng đứng là chứa phần thực nên tỉ số tắt dần chỉ tính cho trường hợp này:

Theo (3.32) ta có

00 2 2 21,4

0 1 0

Remax i

ii

D λ ρ ρλ

022ρ σ ρ=

⎧ ⎫ − −⎪ ⎪= − = =⎨ ⎬⎪ ⎪ +⎩ ⎭ σ+

(3.60)

Thay (3.56, 3.57) vào (3.60) ta thu được:

012 DuD µ= (3.61)

Từ (3.61) ta có thể thấy rằng vế phải của nó phụ thuộc duy nhất vào khối

lượng của bộ hấp thụ dao động uDµ không phụ thuộc vị trí lắp đặt bộ hấp thụ

dao động Dγ . Vì ta muốn độ lớn của D0 là lớn nên trong bước cuối cùng này ta

chọn uDµ để cho D0 đạt giá trị lớn nhất.

ax ax0 max uD m optD mD = D khiµ µ µ µ= ⇒ = (3.62)

Kết hợp các hệ thức (3.10) và điều kiện ổn định (3.16) ta có

2 2 1,3

D D D D

D D

u uM M

m M mMϕ ϕµ µ µ µγ η

= = ⇒ <++

< (3.63)

64

Từ (3.62) và (3.63) ta có:

ax1

DD D

opt mµ µγ η

= < (3.64)

Các bước thiết kế bộ TMD: Khi thiết kế các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao

động, ta xác định như sau:

Để tăng đặc tính tắt dần của dao động thẳng đứng và giảm số chu kỳ dao

động lắc ngang ta nên chọn khối lượng bộ TMD-D càng lớn càng tốt thoả mãn

điều kiện (3.64).

Để giảm số chu kỳ dao động lắc ngang ta nên chọn vị trí lắp bộ TMD-D

càng cao càng tốt, điều này khẳng định rằng khi lắp bộ hấp thụ dao động ta nên

lắp ở vị trí cao nhất của cơ cấu con lắc ngược, tuy nhiên cần đảm bảo điều kiện

ổn định (3.16).

Bước cuối cùng là các thông số khác của bộ hấp thụ dao động TMD-D là

hệ số lò xo, tỉ số cản của bộ hấp thụ dao động được chọn để dao động thẳng

đứng tắt nhanh, biên độ dao động nhỏ và dáng điệu ít nhiễu, các thông số này

được tính thông qua các hệ thức (3.10), (3.58) và (3.59).

65

3.2 Trường hợp chỉ lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N

Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao động TMD-N được biểu diễn như trên hình

3.2. Sau đây ta đi khảo sát ảnh hưởng của bộ hấp thụ dao động đến dao động

thẳng đứng và lắc ngang của cơ cấu con lắc ngược và nghiên cứu để giảm dao

động cho cơ cấu con lắc ngược một cách tối ưu.

K1

ϕ1

M1

c1

M

K3

Ks

L2

L4

u1

u0

Hình 3.2.Sơ đồ tính toán bộ hấp thụ dao động trường hợp chỉ có

Bộ hấp thụ dao động TMD-N

66

3.2.1 Phương trình vi phân chuyển động của hệ khi lắp đặt bộ hấp thụ dao

động TMD-N

Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao động TMD-N khi đó cơ hệ có ba bậc tự do

- ϕ1 : Là góc quay của con lắc ngược, U0 : dịch chuyển của bộ hấp thụ dao động

TMD-N, U1 Dịch chuyển của con lắc ngược theo phương thẳng đứng, còn U2=0

(dịch chuyển của bộ TMD-D)

Ta có: 2 2 2M = 0, C = 0; K = 0 (3.65)

Thay (3.65) vào (2.66÷2.69) ta có phương trình vi phân chuyển động của cơ

hệ như sau:

T T T T (t)•• •

+ + =M X C X K X F (3.66)

trong đó:

( )

2 1 2

1 2

22 23

4 1

T1

1

mLML + +M L M L 03

=M L M 0

0 0 M +M

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

+m

(3.67)

3S 4 1 2 1

T 1 1

3

mgLK - MgL - - M gL - M g 02

= - M g K0 0

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K 0K

0

0

(3.68)

0 0= 0 0

0 0T 1C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C ; 1

0

1

U

U

ϕ••

••••

••

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ;

1

0

1

U

U

ϕ•

••

•

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ; 1

0

1

U

U

ϕ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ; (3.69) ( )T t

LQ(t)

= 0

P(t)

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F ⎥

67

3.2.2 Nghiên cứu ổn định chuyển động của hệ con lắc ngược theo tiêu

chuẩn kĩ thuật khi lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N

Ta đưa vào các tham số sau:

31

4 1 4, , NuMu L L L

M mϕ µ= = =

+

31 2

4, ,

3N N Nu

KM Lm L M mMϕµ γ ω= = =

++ (3.70)

( ) ( )( )

42 2 2

4 43 4 4

6 3 6 6 36 2/3 2 3N

ss M m g K gL M mKML mLML mL L M mϕω

+ −= − =

++ +

+

21 1

1 1 4, , , ,

2N N

N N N N NN N N

d ud d u

dN

k c gM M Lϕϕ ϕ

ω ωω ξ α α ηω ω ω ω

= = = = =

trong biểu thức (3.70):

µuN: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-N và con lắc ngược

đặc trưng cho chuyển động thẳng;

µϕN: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-N và con lắc ngược

đặc trưng cho chuyển động quay;

γN : Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động;

ωdN : Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động;

ωϕN : Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương ngang;

ωuN : Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương thẳng đứng;

ξN : Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động

Thay các tham số từ (3.70) vào phương trình (3.67, 3.68, 3.69) ta có:

21 0 0 0 0; 0 20

0 0 00 0 1

N N N N

N N N NN N N

N

T T

u

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

µ γ µ γξ α µ ωµ γ µ

µ

⎡ ⎤

0d

⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

M C (3.71)

68

( ) 2 2

2 2 2

2 2

3 ( )1 0

3; 00

( )0 0

N N N N N N N

N N N N N

N N

dNT T

u

Q tM m

P tM m

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

µ γ η ω µ η ω

µ η ω µ ω α

α ω

⎡ ⎤⎡ ⎤− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎢ ⎥= =− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦

K F (3.72)

Thay các tham số từ (3.71, 3.72) vào phương trình (3.66) ta có:

2

0 0

1 1

220

2 1

1 0 0 0 00 2 000 0 00 0 1

3 ( )1 03

0 0( )0 0

N N N N

N N NN N N

N

N N N N N

N N N

N

dN

d

u

u

u uu uu u

Q tu M mu

P tuM m

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

µ γ µ γω ξ α µµ γ µ

µ

µ γ η µ η

µ η µ αω

α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣+ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎡− −⎡ ⎤ ⎢⎡ ⎤ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥+ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

+⎣

&& &

&& &

&& &

⎤⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦

⎦

(3.73)

Kết hợp điều kiện ổn định của Liapunop [20] và (3.73) ta có :

0 0 00 2 0 0

0 0 0N N N Ndϕ ϕω ξ α µ ≥ ;

22

2

1 0

0 0

0 0

N N N N N

N N NN

N

dN

u

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

µ γ η µ η

µ η µ αω

α

− −

− >

Suy ra:

1

2 2

23

2

1 0

10

1 0

0 0

0 0

N N N

N N N N N

N N N

N N N N N

N N N

N

dN

dN

u

A

A

A

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

µ γ η

µ γ η µ η

µ η µ α

µ γ η µ η

µ η µ α

α

= − >

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= >

−⎢ ⎥⎣ ⎦− −⎡ ⎤

⎢ ⎥−⎢ ⎥= >

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.74)

Từ (3.74) ta thu được:

69

12 2 2

2

2 2 2 23

1 0

(1 ) 0

(1 ) 0

N N N

N N N N N N

N N N N N N N

dN

dN u

A

A

A

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

µ γ η

µ γ η µ α µ η

µ γ η µ α µ η α

⎧ = − >⎪⎪ = − − >⎨⎪

⎡ ⎤⎪ = − − >⎣ ⎦⎩

(3.75)

Vì 0Nϕµ > , vậy ta có điều kiện ổn định của hệ con lắc ngược như

sau:

2 0Nuα >

21 NN N N

dNϕ

ηη µ γα

⎛ ⎞⎜− +⎜⎝ ⎠

0⎟ >⎟ (3.76)

Khi thiết kế các bộ hấp thụ dao động ta phải chọn các thông số thoả mãn hệ

thức (3.76) để công trình làm việc ổn định theo tiêu chuẩn của kỹ thuật. Giả sử

khi phải chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động, nếu ta chọn vị trí lắp đặt bộ hấp

thụ dao động lớn quá sẽ gây mất ổn định cho công trình có thể gây sập, đổ, đứt,

gẫy … sẽ rất nguy hiểm, nên ta chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động thoả mãn

điều kiện sau:

244

2N

N N dN

LLLϕ

ηη µ α

⎛ ⎞⎜< −⎜⎝ ⎠

⎟⎟

(t)

0

(3.77)

3.2.3 Tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD-N để giảm dao

động cho cơ cấu con lắc ngược

Từ hệ phương trình (3.66) và (3.70) ta thu được hệ phương trình sau: •• •

TMD-N TMD-N TMD-N TMD-N + + =M ψ C ψ K ψ F (3.78)

trong đó:

-N -N

2

1 0 0 0 0; 0 20

0 0 00 0 1

N N N N

N N N NN N N

N

TMD TMD d

u

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

µ γ µ γξ α µ ωµ γ µ

µ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

M C (3.79)

70

( )-N

2 2

2 2 2

2 2

1 0

;0

0 0

N N N N N N N

N N N N N

N N

TMD dN

u

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

µ γ η ω µ η ω

µ η ω µ ω α

α ω

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K0

1

u

u

u

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ψ ⎥ (3.80)

Ta chuyển hệ phương trình vi phân cấp 2 (3.78) về phương trình vi phân cấp 1

bằng cách đặt như sau:

1 0 2 1 3

4 0 5 1 6

u y ,u y ,u y

u y ,u y ,u y• • •

= = =⎧⎪⎨

= = =⎪⎩ (3.81)

Khi đó ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc sáu:

(t) (t)•

=y Ay (3.82)

Hệ (3.82) luôn luôn tồn tại một hệ cơ bản sáu véc tơ nghiệm độc lập tuyến

tính , i=1÷6. Nó trùng với 6 véc tơ đơn vị e( )i tψ i khi t=0, và thoả mãn điều

kiện (3.82)

(t) (t)•

=ψ Aψ (3.83)

Các véc tơ nghiệm sẽ tạo thành các cột của ma trận không suy biến 6×6

[ ]1 2 3 4 5 6(t) (t) | (t) | (t) | (t) | (t) | (t)= ψ ψ ψ ψ ψ ψΦ (3.84)

Ma trận (3.84) được gọi là ma trận cơ bản, nó có một số tính chất đặc trưng,

đây là véc tơ nghiệm đặc biệt được chuẩn hoá tại thời điểm ban đầu t=0, thì vấn

đề trị riêng đặc trưng cho dáng điệu của hệ động lực của con lắc ngược (3.82)

theo các nghiệm riêng với tính chất là véc tơ trạng thái y(t) và đạo hàm của nó

(t)•

y có cùng hướng trong không gian trạng thái

(t) (t)•

= λy y (3.85)

71

Nếu các nghiệm riêng này tồn tại, khi đó chúng phải thoả mãn không chỉ

phương trình (3.82) mà còn cả điều kiện (3.84). Điều này nói lên rằng các quỹ

đạo mà giữ nguyên hướng không đổi trong không gian trạng thái phải thoả mãn t(t) eλ=y y% (3.86)

Điều này phù hợp với điều kiện (3.85). Thay (3.86) vào (3.85) ta có te Aeλλ = tλy y% % (3.87)

Ta được phương trình thuần nhất

( ) 0λ − =E A y% (3.88)

Mà được gọi là bài toán trị riêng liên quan với ma trận A

Bài toán trị riêng (3.88) có nghiệm véc tơ không tầm thường y% nếu và chỉ nếu

( )λ −E A là ma trận suy biến. Một cách chính xác, đó là trường hợp khi λ là

nghiệm của đa thức 6 5 4 3 2

1 2 3 4 5( ) det( ) 6p s s s s sλ λ λ λ λ λ λ λ≡ − ≡ + + + + +E A s+ (3.89)

đa thức )(λp được gọi là đa thức đặc trưng của hệ (3.78). Ta nhận thấy rằng

toàn bộ hệ cũng như các giá trị riêng đều phụ thuộc vào đa thức đặc trưng này,

ứng với phương trình đặc trưng (3.89), các giá trị riêng có dạng λi = ςi±iβi ,

i=1-6. Như vậy sẽ có nghĩa khi nghiên cứu các hệ dao động bằng các trị riêng

của đa thức đặc trưng.

Các nghiệm của đa thức đặc trưng (3.89) gọi là các cực của hệ thống. Theo lý

thuyết điều khiển tối ưu: Nếu như hệ làm việc theo điều kiện ổn định (3.77) thì

các cực của hệ phải có phần thực âm, nghĩa là chúng nằm trên nửa trái của mặt

phẳng phức, phần thực của các cực sẽ thể hiện độ tắt dần của đáp ứng, còn phần

ảo thể hiện số chu kỳ dao động thực hiện. Mà mục đích của việc thiết kế bộ hấp

thụ dao động TMD-N cho cơ cấu con lắc ngược là làm dao động của con lắc

72

ngược tắt càng nhanh càng tốt. Vì thế quá trình tính toán tìm các thông số của bộ

hấp thụ dao động là tìm các hệ số để độ lớn của các phần thực của các cực càng

lớn càng tốt và độ lớn của phần ảo của các cực càng bé càng tốt và bậc của sự tắt

dần đạt giá trị lớn nhất.

Trong )(λp chứa tất cả các tham số của bộ TMD-N. Theo lý thuyết điều

khiển tối ưu [20], [47], [49], [51] , [71] các tham số tối ưu của hệ là hệ số lò xo,

hệ số cản nhớt của bộ TMD-N được xác định trực tiếp từ hàm )(λp bằng cách

cho cực đại hóa mô dun phần thực của các cực và cho cực tiểu hóa mô dun phần

ảo của các cực của )(λp . Theo [20] )(λp được xác định như sau:

[ ]2

-N -N -N-N

1( ) detdet TMD TMD TMD

TMD

p λ λ λ⎡ ⎤≡ + +⎣ ⎦M C KM (3.90)

Thay (3.79, 3.80) vào (3.90) ta suy ra )(λp như sau

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 24 3 2 2

1 2 3 4 1 2

1.

1N N N

NN

u u

u

P a a a aϕϕ

µ λ α ωP Pλ λ λ ω λ λ λ

µ⎧ ⎫+ +⎪ ⎪= + + + + =⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭

λ

(3.91)

trong đó

( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )

2 2 2

1

4 3 22 1 2 3 4

2 21 1 2 1

3 4 2 23 2 4 2

21 2 3

11

(3.92)

2 , 1

2 ,

1 , 1 ,

N N N

N

N N N N N N N N

N N N N N N N

N N N N N N N

u u

u

d d

d d

P

P a a a a

a b a b

a b a b

b b b

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

µ λ α ωλ

µ

λ λ λ λ λ

α ξ ω α γ η µ ω

α ξ ω ω α η µ

γ µ γ η µ η γ

+ +=

+

= + + + +

= = + +

= = −

= + = − = +

73

Mục tiêu của việc nghiên cứu là tìm các thông số tối ưu ,dN Nα ξ của bộ TMD-N

sao cho cực của ( )P λ có

( )Re max , 1,..6dN

i iα

λ ⇒ = (3.93)

( )Im min, 1,..6N

i iξ

λ ⇒ =

Sau khi tìm được ,dN Nα ξ tối ưu, các thông số khác của bộ hấp thụ dao động

,N Nϕγ µ được chọn để bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là

,

Re max , 1 6N N

ii

iD i

ϕγ µ

λλ

⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⇒ = ÷⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.94)

Cực của đa thức đặc trưng ( )P λ là tổ hợp cực của hai đa thức ( )1P λ và

( )2P λ . Ta nhận thấy đa thức 1( )p λ trong (3.92) phụ thuộc vào thông số đặc

trưng cho chuyển động thẳng đứng của con lắc ngược, cực của đa thức 1( )p λ là:

1,21

1N NN

uu

iϕλ α ωµ

= ±+ (3.95)

Cực của đa thức 1( )p λ trong (3.95) chỉ có phần ảo, không có phần thực mà

phần ảo thể hiện số chu kỳ dao động thực hiện. Vậy để số chu kỳ dao động

thẳng đứng thực hiện là nhỏ thì từ (3.95) ta nên chọn khối lượng của bộ hấp thụ

dao động càng lớn càng tốt thoả mãn điều kiện ổn định (3.76).

Đa thức 2 ( )p λ trong (3.92) phụ thuộc vào tất cả các tham số của bộ hấp thụ

dao động và các thông số đặc trưng cho dao động lắc ngang. Vậy việc xác định

các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động lắc ngang hoàn

toàn phụ thuộc vào đa thức 2 ( )p λ .

74

Xét đa thức 2 ( )p λ . Theo định lý Vieta, ta có:

( )6

1 13

Re 2 N Ni di

a b Nϕλ α ξ ω=

− = =∑ (3.96)

( )( ) 1

3,..6min Re

2N N Nd

ii

b ϕα ξ ωλ

=⇒ ≤ (3.97)

Các biểu thức không thứ nguyên (3.70) cho thấy vế phải của (3.97) chỉ phụ

thuộc vào độ cản của bộ TMD-N, không phụ thuộc vào hệ số lò xo k1. Vì ta

muốn độ lớn của các phần thực là lớn nên trong bước đầu tiên hệ số lò xo của bộ

hấp thụ dao động TMD-N được chọn để (3.97) trở thành đẳng thức, nghĩa là tất

cả các phần thực bằng nhau. Ta ký hiệu giá trị chung đó là ς0 . Khi đó các trị

riêng của hệ là hai cặp phức liên hợp được ký hiệu là λ3,4 = ς0±iβ1 và

λ5,6 = ς0±iβ2, trong đó β1 và β2 tương ứng là các phần ảo. Khi đó đa thức 2 ( )p λ

là:

( )( ) ( )( )2 22 0 1 0( )p 2 2

2λ λ ς β λ ς β= − + − + (3.98)

Biến đổi biểu thức (3.98) ta có:

( )( )2 2 2 2 22 0 0 1 0 0( ) 2 2p 2

2λ λ λς ς β λ λς ς β= − + + − + +

( ) ( )( )( )

4 3 2 2 2 2 3 2 22 0 0 1 2 0 0 1 2

2 2 2 20 1 0 2

( ) 4 6 4 2p λ λ ς λ ς β β λ ς ς β β λ

ς β ς β

⎡ ⎤⇒ = − + + + − + +⎣ ⎦

+ + +

+

N

(3.99)

Từ biểu thức (3.91) và (3.99) ta thu được hệ phương trình sau:

0 14 2 N Nd b ϕς α ξ ω− = (3.100)

( )2 2 2 20 1 2 16 1 N N N Ndb 2

Nϕ ϕς β β α γ η µ ω+ + = + + (3.101)

75

( )3 2 20 0 1 2 24 2 2 N N Ndb 3

ϕς ς β β α ξ ω− − + = (3.102)

( )( ) ( )2 2 2 2 4 2 20 1 0 2 2N NdNbϕ Nϕς β ς β ω α η µ+ + = − (3.103)

Từ (3.100) suy ra tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-N:

0

1

2N

N Nd b ϕ

ςξα ω

= − (3.104)

Thay (3.104) vào (3.102) ta có:

( )2 2 21 2 22

012Nb

bϕβ β ω

ς+

= − + (3.105)

Thay 20ς từ (3.105) vào (3.103) ta có:

( ) ( )2 2 2 2 21 2 1 22

4 2 4 21 1

1 12 2

N N

N N N NdN b b 2b

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

β β β β η µα

ω ω ω ω

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟= + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.106)

Thay (3.105, 3.106) vào (3.101), chúng ta thu được biểu thức quan hệ giữa

các phần ảo β1 và β2.

( ) ( )2

2 2 2 2 21 2 2

1 12 22 2 2 2

22 2 2 41 2 2 1

1 1

6 2 2

2 2

NN N

N NN N N

bb

b bbb b

b b

ϕϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

ωβ β ω ω

ω ωβ β β β η µ ω

⎡ ⎤− + − −⎢ ⎥

⎣ ⎦ =⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎪ ⎪+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭

(3.107)

Ta sử dụng bất đẳng thức hiển nhiên:

22 22 2 2 22 21 2 2 1

1 12 2N Nb b

b bϕ ϕω ωβ β β β⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡− −

+ + ≤⎜ ⎟⎜ ⎟2

2

1

Nbbϕω ⎤

⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3.108)

Từ biểu thức (3.107) và (3.108) ta thu được bất đẳng thức sau:

76

2 2

2 32 21 2

1 2

4 NN

b b2b b

ϕ 2ϕ

µβ β

−+ ≥ ω (3.109)

( )2 2

2 32

1,21 2

4max N

Nii

b b2b b

ϕ 2ϕ

µβ ω

=

−⇒ ≥ (3.110)

Vế phải của biểu thức (3.110) không phụ thuộc vào hệ số cản nhớt c1 của bộ hấp thụ dao động, bởi vì chúng ta muốn độ lớn của phần ảo là nhỏ nên trong bước thứ hai hệ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động c1 được chọn để biểu thức (3.100) trở thành đẳng thức, nghĩa là β1=β2, Giá trị của chúng là:

2 22

1 21 2

NN

4b b4b b

ϕϕ

µβ β ω

−= = 3

(3.111)

Thay (3.111) vào (3.105) ta có: 2

30

1 22N Nb

b bϕ ϕω µ

ς = − (3.112)

Từ (3.101) suy ra:

( )2 2 222 0 1 2

21

26N

Nd

bbϕ

ς β βαω

−+ += − (3.113)

Thay (3.111, 3.112) vào (3.113) ta có:

2 22 1

1 2

N N

Nopt

b b

b bϕµ η

α+

=2

(3.114)

Thay (3.112, 3.114) vào (3.110) ta có:

23

2 21 2 1

N

N

N N

opt

b

b b b

ϕ

ϕ

µξ

µ η=

⎡ +⎣ ⎦2 ⎤ (3.115)

Bước cuối cùng ta tìm các thông số khác của bộ hấp thụ dao động TMD-N để bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất: Bậc của sự tắt dần được xác định theo công thức:

77

00 2 2 23,6

0 1 0 2

Remax i

ii

D λ ς ςλ

02ς β ς=

⎧ ⎫ − −⎪ ⎪= − = =⎨ ⎬⎪ ⎪ +⎩ ⎭ β+ (3.116)

Thay (3.111, 3.112) vào (3.116) ta thu được

( )

( )

2

0 22 1

N N N

N N N

D ϕ

ϕ

µ γ η

µ γ η

+=

− (3.117)

Từ (3.70) ta có thể thấy rằng vế phải của (3.117) phụ thuộc vào khối

lượng của bộ hấp thụ dao động Nϕµ , và vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động Nγ .

Vì ta muốn độ lớn của D0 là lớn nên trong bước cuối cùng này ta chọn Nϕµ và

Nγ để cho D0 đạt giá trị lớn nhất. Như vậy một tiêu chuẩn cần phải đạt được mà

có hai thông số được chọn bởi vậy khi thiết kế bộ hấp thụ dao động TMD-N có một thông số được chọn theo ưu tiên về thực hành kỹ thuật, tức là thuận tiện cho sinh hoạt của con người, làm việc của máy móc, khi đó thông số này là ưu tiên chọn trước, còn thông số còn lại được chọn để tăng độ tắt dần lớn nhất cho công trình.

Giả sử khi thiết kế bộ hấp thụ dao động, để thuận tiện cho sinh hoạt của con người ta hay lắp đặt bộ TMD-N tại vị trí cao nhất của công trình, tức là tại

đỉnh của nó, khi đó Nγ sẽ là thông số chọn trước còn Nϕµ được chọn để tăng độ

tắt dần cho hệ. Để xác định giá trị lớn nhất của D0 theo Nϕµ , ta khảo sát phương

trình nhận được 0 ( ND f ϕ )µ= là hàm của D0 theo biến Nϕµ như sau:

Từ điều kiện ổn định (3.76) ta có:

21 0NN N N

optNϕ

ηη µ γα

⎛ ⎞⎜ ⎟− + >⎜ ⎟⎝ ⎠

Suy ra

78

( )

( ) ( )

2

2opt

2opt

2 2opt

2

1 0

1 1

N NN N N

N

NN

N N N N

N N N N N N

ϕϕ

ϕ

ϕ ϕ

µ ηµ γ η

α

αµ

η γ η α

µ γ η µ γ η

⎧− > >⎪

⎪⎪⎪ <⎨ +⎪⎪⎪ − = −⎪⎩

(3.118)

Từ (3.117) và (3.118) suy ra:

( )

( ) ( )

2

0 2 2 12 1

N N N N N N

N N NN N N

D ϕ ϕ

ϕϕ

µ γ η γ η µ

µ γ ηµ γ η

+ += =

−− (3.119)

Từ (3.119) ta có:

( )

( )

( )0

2

1 122

2 1 2 1

N N N N N

NN N N

N N N N N N N N

Dϕ

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

γ η γ η µµγ η µ

µ µ µ γ η µ γ η

⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞+∂ ∂ ⎝ ⎠⎜ ⎟= =

⎜ ⎟∂ ∂ − −⎝ ⎠ (3.120)

Từ (3.118, 3.119, 3.120) ta lập được bảng biến thiên 3.1 sau:

Bảng 3.1. Bảng biến thiên của hàm 0 ( )ND f ϕµ=

Nϕµ 0 ( )2 2 2optN Nopt N Nα η γ η α+

0 ND ϕµ∂ ∂

+

0D

0

Từ bảng 3.1 ta thấy 0

N

D

ϕµ∂∂ >0 với

2

2 2opt

0 optN

NN N N N

ϕ

αµ

η γ η α< <

+ vậy D0 theo hệ

thức (3.117) là đồng biến theo Nϕµ trong khoảng

2

2 20 optN

NN N N Nopt

ϕ

αµ

η γ η α< <

+ ,

nghĩa là:

79

2

ax ax 2 2N

N N N

opt0 max m opt m

opt

D = D khi ϕ

αµ µ µ µ

η γ η α= ⇒ = <

+ N (3.121)

Trong trường hợp Nϕµ là thông số ưu tiên được chọn trước khi đó Nγ là

thông số được chọn để tăng độ tắt dần cho hệ. Để xác định giá trị lớn nhất của

D0 theo Nγ , ta khảo sát phương trình nhận được 0 ( ND f )γ= là hàm của D0

theo biến Nγ mhư sau:

Từ (3.70) và điều kiện ổn định (3.76) ta có

2

2 2opt2

24 4

, ; N N

N N N

N N N optN

L gL Lϕ

ϕ

ϕ

Nα µ ηγ η γ

ω µ η α−

= = < (3.122)

Trong thực tế ta có: ( )2

22

40, 0N N N

N

gLLϕ

N Nη γ η γ ηω

> = > ⇒ + = + (3.123)

Từ (3.117), (3.122) và (3.123) ta có:

( )

( )( )( )

2

0 2 2 12 1

N N N N N N

N N NN N N

D ϕ ϕ

ϕϕ

µ γ η γ η µ

µ γ ηµ γ η

+ +⇒ = =

−− (3.124)

Từ (3.124) ta suy ra

( )( )

( )( )

20

2

1

2 1 2 1N NN N N

N N N N N N N

D ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

µ η µγ η µγ γ µ γ η µ γ η

⎛ ⎞ ++∂ ∂ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟∂ ∂ − −⎝ ⎠

N

(3.125)

Từ (3.122, 3.124, 3.125) ta lập được bảng biến thiên 3.2 sau:

Bảng 3.2. Bảng biến thiên của hàm 0 ( )ND f γ=

Nγ 0 ( ) ( )2 2optN N N N NoptN ϕ ϕα µ η µ η α− 2

0 ND γ∂ ∂ +

0D

80

Từ bảng 3.2 ta thấy 0

N

Dγ∂∂ > 0 với mọi

2 2

20 N NN

N N N

opt

opt

ϕ

ϕ

Nα µ ηγ

µ η α−

< < vậy D0 theo hệ

thức (3.124) là đồng biến theo Nγ trong khoảng

2 2

20 N NN

N N N

opt

opt

ϕ

ϕ

Nα µ ηγ

µ η α−

< < , nghĩa

là: 2 2

ax ax 2N N

NN N N

opt0 max m opt m

opt

D = D khi ϕ

ϕ

Nα µ ηγ γ γ γ

µ η α−

= ⇒ = < (3.126)

Các bước thiết kế bộ hấp thụ dao động TMD-N: Quá trình thiết kế tìm các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD-N thường được thực hiện theo các bước sau:

Bước đầu tiên chọn khối lượng của bộ hấp thụ dao động: Từ biểu thức (3.70), (3.121) ta thấy rằng hiệu quả giảm dao động của bộ hấp thụ dao động TMD-N phụ thuộc vào khối lượng của bộ hấp thụ dao động, khối lượng của bộ hấp thụ dao động càng lớn thì hiệu quả giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược càng tăng. Trong thực tế thông số này thường được chọn theo kinh nghiệm và tiêu chuẩn kỹ thuật thực hành.

Bước thứ hai ta chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động: Khi thiết kế bộ hấp thụ dao động TMD-N, nếu các thông số L4, Nϕω là những thông số chọn

trước, còn L2 biến đổi thì từ (3.70), (3.126) ta thấy rằng L2 càng lớn thì hiệu quả giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược càng tăng. Điều này khẳng định rằng: Khi lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N cho các toà nhà cao tầng ta nên lắp tại tầng cao nhất của toà nhà, đối với các công trình như tháp vô tuyến, giàn khoan ta nên lắp bộ hấp thụ dao động tại đỉnh của nó. Vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động thường được lắp ở vị trí thuận tiện cho hoạt động của công trình.

Bước cuối cùng: Từ các thông số ta đã chọn ở bước một, hai và các biểu thức (3.70, 3.114, 3.115) ta suy ra độ cứng của lò xo k1 và tỉ số cản nhớt c1.

81

3.3 Trường hợp con lắc ngược có lắp đặt đồng thời cả hai bộ hấp thụ dao động TMD-N và TMD-D

Từ các kết quả nghiên cứu ở trên ta thấy rằng khi lắp các bộ hấp thụ dao động

TMD cho cơ cấu con lắc ngược, nếu ta lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D thì

bộ hấp thụ dao động này chỉ có tác dụng giảm dao động theo phương thẳng

đứng của con lắc ngược và làm giảm số chu kỳ dao động theo phương lắc ngang

mà không có tác dụng tắt dần dao động lắc ngang của con lắc ngược theo thời

gian, như vậy đối với công trình có lực tác dụng theo phương thẳng đứng, công

trình xuất hiện dao động theo phương thẳng đứng thì ta nên lắp bộ hấp thụ dao

động TMD-D. Ngược lai, nếu ta lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N thì bộ hấp

thụ dao động này chỉ có tác dụng giảm dao động theo phương lắc ngang và giảm

số chu kỳ dao động theo phương thẳng đứng của con lắc ngược mà không có tác

dụng giảm dao động theo phương thẳng đứng của con lắc ngược theo thời gian.

Như vậy đối với công trình có lực tác dụng theo phương ngang, công trình xuất

hiện dao động lắc ngang, thì ta nên lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N. Còn

đối với những công trình xuất hiện cả dao động thẳng đứng và dao động lắc

ngang thì ta phải lắp đồng thời cả hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N

để giảm dao động theo phương thẳng đứng và lắc ngang của hệ con lắc ngược.

82

3.3.1 Nghiên cứu ổn định chuyển động của hệ con lắc ngược theo tiêu chuẩn kĩ thuật trường hợp có lắp đặt cả hai bộ TMD

Theo (2.66 ÷2.69) ta có phương trình vi phân chuyển động của hệ dao động trường hợp có cả hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N như sau:

H H H H (t)•• •

+ + =M X C X K X F (3.127)

trong đó:

( )

2 1 2

1 2 (3.128)

22 2 23

4 2 5 1

1H

1 2 2

2 2

mLL +M L + +M L M L 0 03

M L 0 00 0 +M M

0 0 M M

M

MM +M +m

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

(3.129)

3S 4 1 2 2 5 1

1 1H

3

2

mgLK - MgL - - M gL - M gL - M g 0 02- M g K 0 0=

0 0 K 00 0 0 K

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

1

H

2

0 0 0 0

0 C 0 0=

0 0 0 0

0 0 0 C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C ;

1

0

1

2

U

U

U

ϕ••

••

••

••

••

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ;

1

0

1

2

U

U

U

ϕ•

•

•

•

•

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ;

1

0

1

2

U

U

U

ϕ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ; T

LQ(t)

0=

P(t)

0

(3.130)

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F

Ta đưa vào các tham số sau:

14 1 4 13, , u

Mu L L LM m

ϕ µ= = =+

83

31 21 1

4, ,

3u

KM Lm L M mMϕµ γ ω= = =

++

( ) ( )( )

42 2 2

4 4 4 43

6 3 6 6 3/3 6 2 2 3

ss M m g K gL M mKML mL ML mL L M mϕω

+ −= − =

+ + ++

52 22 2

4, ,

3u 2

LM Mm M m LMϕµ µ γ= =

++= (3.131)

22 22 2 2

2 2 2, ,

2d

d dd

k cM M ϕ

ωω ξ αω ω

= = =

211 1

1 1 11 1 1 4

, , , ,2

d ud d u

d

k c gM M Lϕϕ ϕ

ω ωω ξ α α ηω ω ω ω

= = = = =

Trong biểu thức (3.131):

µu1: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-N và con lắc ngược

đặc trưng cho chuyển động thẳng;

µϕ1: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-N và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động quay;

γ1: Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N;

ωd1 : Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động TMD-N;

ξ1 : Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-N

µu2: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động thẳng;

µϕ2: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược

đặc trưng cho chuyển động quay;

γ2: Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D;

ωd2: Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động TMD-D;

ξ2 : Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-D

ωϕ : Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương ngang;

84

ωu : Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương thẳng đứng;

1dα : Tỉ số của tần số của bộ TMD-N và tần số góc quay của con lắc ngược.

2dα : Tỉ số của tần số của bộ TMD-D và tần số góc quay của con lắc ngược.

uα : Tỉ số giữa tần số dao động thẳng đứng và tần số góc quay của con lắc ngược. Thay các tham số từ (3.131) vào phương trình (3.127 ÷ 3.130) ta có:

(3.132) * * *TMD TMD TMD TMD(t)•• •

+ + =M X C X K X F

trong đó:

( ) ( )( ) ( )

( ) (

( ) ( )

2 21 1 2 2 1 1

1 1 1

1 2 2

2 2

1

1TMD u u u

u u

0 0

0 0= 0 0

0 0

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

µ γ µ γ µ γ

µ γ µ

µ µ µ

µ µ

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M )

0

(3.133)

( ) 2 21 1 2 2 1

2 2 21 1

2 2

2 22 2

1

1

TMD

u

u d

d

0 0

0 0=

0 0

0 0 0

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

µ γ η µ γ η ω µ ηω

µ ηω µ ω α

α ω

µ α ω

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K (3.134)

1 1 1

2 2 2

2

2

d

TMD

d u

0 0 0 0

0 0 0=

0 0 0 0

0 0 0

ϕ ϕ

ϕ

ξ α µ ω

ξ α µ ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C (3.135)

85

0

1

2

*

U

U

U

U

••

••

••

••

••

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ; ; 0

1

2

*

U

U

U

U

•

•

•

•

•

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X 0

1

2

*

U

U

U

U

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ; TMD

3Q(t)3M +m

0=

P(t)M +m

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F (3.136)

Áp dụng điều kiện ổn định của Liapunop từ (3.134 – 3.135) ta có:

1 1 1

2 2 2

20

2

d

d u

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

ϕ ϕ

ϕ

ξ α µ ω

ξ α µ ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ≥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.137)

( ) 2 21 1 2 2 1

2 2 21 1

2 2

2 22 2

1

1

0u

u d

d

0 0

0 0

0 0

0 0 0

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

µ γ η µ γ η ω µ ηω

µ ηω µ ω α

α ω

µ α ω

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ >⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

Suy ra:

( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

21 1 2 2

22 4 21 1 1 2 2 1

22 2 2 4 21 1 1 2 2 1

22 2 4 2 4 22 2 1 1 1 2 2 1

1

1

1

1 0

1 0

1 0

1 0

u

u d u

d

d

d

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

µ γ η µ γ η ω

µ α µ γ η µ γ η ω µ ηω

α ω µ α µ γ η µ γ η ω µ ηω

µ α α ω µ α µ γ η µ γ η ω µ ηω

⎧ − − >⎪⎪ − − − >⎪⎪⎨

− − − >⎪⎪⎪ − − −⎪⎩

>

(3.138)

86

Vì 1 0ϕµ > , 2 0uµ > , vậy

ta có điều kiện ổn định của hệ con lắc ngược trong trường hợp lắp cả hai bộ hấp

thụ dao động như sau:

2 2 2 4 6 82 0, 0, 0, 0, 0, 0d u ϕ ϕ ϕ ϕα α ω ω ω ω> > > > > >

(3.139) ( ) 2 21 1 2 2 111 0dϕ ϕ ϕµ γ η µ γ η α µ η− − − >

Từ điều kiện ổn định này ta thấy rằng khi thiết kế các bộ hấp thụ dao động,

khối lượng của các bộ hấp thụ dao động càng lớn và vị trí lắp đặt các bộ hấp thụ

dao động càng cao thì công trình càng mất ổn định. Khi thiết kế các bộ hấp thụ

dao động ta phải chọn các thông số thoả mãn hệ thức (3.139) để công trình làm

việc ổn định theo tiêu chuẩn của kỹ thuật.

3.3.2 Tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động

cho cơ cấu con lắc ngược

Trong trường hợp chỉ lắp một bộ hấp thụ dao động, các thông số của một bộ

hấp thụ dao động được chọn không đủ để các nhà nghiên cứu xác định đòi hỏi

các đặc tính dao động con lắc ngược phải đạt được theo yêu cầu của kỹ thuật.

Việc lắp đồng thời hai bộ hấp thụ dao động khi tính toán các thông số giảm dao

động cho cơ cấu con lắc ngược ta sẽ có nhiều tham số được chọn để giảm dao

động cho hệ, đây là tổ hợp các tham số của cả hai bộ hấp thụ dao động TMD-D

và TMD-N.

Ta chuyển hệ phương trình vi phân cấp 2 (3.132) về phương trình vi phân cấp 1

bằng cách đặt như sau:

1 0 2 1 3 2 4

5 0 6 1 7 2 8

u z ,u z ,u z ,u z

u z ,u z ,u z ,u z• • • •

= = = =⎧⎪⎨

= = = =⎪⎩ (3.140)

Khi đó ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc tám sau:

(3.141) (t) (t)•

=z Az

87

Hệ (3.141) luôn luôn tồn tại một hệ cơ bản tám véc tơ nghiệm độc lập tuyến

tính , i=1÷8. Nó trùng với 8 véc tơ đơn vị e* ( )i tX i khi t=0,

. Và thoả mãn điều kiện (3.141) * (0) ,i=X e 1,8i =

*(t) * (t)•

=X AX (3.142)

Các véc tơ nghiệm sẽ tạo thành các cột của ma trận không suy biến 8 × 8

[ ]1 2 3 4 5 6 7 8(t) x * (t) | x * (t) | x * (t) | x * (t) | x * (t) | x * (t) | x * (t) | x * (t)=Φ (3.143)

Ma trận (3.143) được gọi là ma trận cơ bản, nó có một số tính chất đặc trưng,

đây là véc tơ nghiệm đặc biệt được chuẩn hoá tại thời điểm ban đầu t=0, thì vấn

đề trị riêng đặc trưng cho dáng điệu của hệ động lực của con lắc ngược (3.132)

theo các nghiệm riêng với tính chất là véc tơ trạng thái z(t) và đạo hàm của nó

có cùng hướng trong không gian trạng thái (t)•

z

(t) (t)•

= λz z (3.144)

Nếu các nghiệm riêng này tồn tại, khi đó chúng phải thoả mãn không chỉ

phương trình (3.141) mà còn cả điều kiện (3.144). Điều này nói lên rằng các quỹ

đạo mà giữ nguyên hướng không đổi trong không gian trạng thái phải thoả mãn t(t) eλ=z %z

tλ %

(3.145)

Điều này phù hợp với điều kiện (3.144). Thay (3.145) vào (3.144) ta có te eλλ =z A z% (3.146)

Ta được phương trình thuần nhất

( ) 0λ − =E A z% (3.147)

Mà được gọi là bài toán trị riêng liên quan với ma trận A

Bài toán trị riêng (3.147) có nghiệm véc tơ không tầm thường nếu và chỉ

nếu

z%

( )λ −E A là ma trận suy biến. Một cách chính xác, đó là trường hợp khi λ

là nghiệm của đa thức

88

8 7 6 5 4 3 21 2 3 4 5 6 7( ) 8p h h h h h h hλ λ λ λ λ λ λ λ λ≡ + + + + + + + + h (3.148)

Đa thức )(λp được gọi là đa thức đặc trưng của hệ (3.132). Mục đích của bài

toán điều khiển tối ưu là tìm ra các thông số của các bộ TMD-D và TMD-N sao

cho giảm dao động cho hệ con lắc ngược một cách tốt nhất.

Các nghiệm của đa thức đặc trưng (3.148) gọi là các cực của hệ thống. Theo

lý thuyết điều khiển tối ưu: Nếu như hệ làm việc theo điều kiện ổn định (3.139)

thì các cực của hệ phải có phần thực âm, nghĩa là chúng nằm trên nửa trái của

mặt phẳng phức, phần thực của các cực sẽ thể hiện độ tắt dần của đáp ứng, còn

phần ảo thể hiện số chu kỳ dao động thực hiện. Mà mục đích của việc thiết kế

các bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N cho cơ cấu con lắc ngược là làm

dao động của con lắc ngược tắt càng nhanh càng tốt. Vì thế quá trình tính toán

tìm các thông số của các bộ hấp thụ dao động là tìm các hệ số để độ lớn của các

phần thực của các cực càng lớn càng tốt và độ lớn của phần ảo của các cực càng

bé càng tốt và bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất.

Trong )(λp chứa tất cả các tham số của các bộ TMD-D và TMD-N. Theo lý

thuyết điều khiển tối ưu [20], [47], [49], [51] , [71] các tham số tối ưu của hệ là

các hệ số lò xo, hệ số cản nhớt của bộ TMD-D và TMD-N được xác định trực

tiếp từ hàm )(λp bằng cách cho cực đại hóa mô dun phần thực của các cực và

cho cực tiểu hóa mô dun phần ảo của các cực của )(λp . Theo [20] )(λp được

xác định như sau:

[ ]21( ) det

det TM D TM D TM DTM D

p λ λ λ⎡ ⎤≡ + +⎣ ⎦M C KM (3.149)

Thay (3.133 – 3.135) vào (3.149) ta suy ra )(λp như sau:

89

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 21 2 24 32

2 21 1

2 22 3 2 2 41 1 2 22 2 2 4 3

1 1 21 1 2 2

2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 2 2

22 2

1

12 1

1 1

122

1 1 1

1 1

1

u u d uud

u u

d u d ud

u u

d

P ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕϕ

µ µ α αµλ λ ξ α ω λ ω λµ µ

µ γ µ γξ α α ω α α ωλ λ ξ α ω λ

µ µ µ γ

α µ γ µ γ µ γ η µ γ ηω λ

µ γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + += + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ ++ + +

+ + +

⎡ ⎤+ + + + −⎢ ⎥+⎢ ⎥+⎣ ⎦

( )( )

2 2 +

+

( )( )

( ) ( )

2 231 1 2 2 11 1 1 1 2 2 4

2 22 2 2 2

1 2

1 12 1

1 1

.

d d

P P

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

α µ γ η µ γ η µ ηξα µ γ η µ γ η ωλ ω

µ γ µ γ

λ λ

+

⎡ ⎤− − −− −⎢ ⎥+ +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

=

(3.150)

trong đó

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

4 3 2 21 1 2 3 4

2 32 22

1 2 2 31 1

2 2 42 221 2 2 2

2 41 1

22 1 ,

1 1

1,

1 1

d uud

u u

d uu u d u

u u

P a a a a

a a

a a

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

λ λ λ ω λ λ

ξ α α ωµξ α ω

µ µ

α α ωµ µ α αω

µ µ

= + + + +

⎡ ⎤= + =⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + +

= =⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.151)

( ) 4 3 2 22 1 2 3P b b bϕλ λ λ ω λ λ= + + + + 4b

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

1

1

2 21 1 2 2

1 1 1 22 2

2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 2

2 22 2

31 1 1 1 2 2

3 22 2

2 21 1 2 2 1 4

4 22 2

12 ,

1

1 1,

1

2 1,

1

1.

1

d

d

d

d

b

b

b

b

ϕ ϕϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕϕ

ϕ

µ γ µ γξ α ω

µ γ

α µ γ µ γ µ γ η µ γ ηω

µ γ

ξ α µ γ η µ γ η ω

µ γ

α µ γ η µ γ η µ ηω

µ γ

+ +=

+

⎡ ⎤+ + + + −⎢ ⎥= ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

− −=

+

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥= ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.152)

90

Mục tiêu của việc nghiên cứu là tìm các thông số tối ưu 1 2 1, , ,d d 2ξ ξ α α của

bộ TMD-D và TMD-N sao cho cực của ( )P λ có

( )1, 2

Re max , 1,..8d d

i iα α

λ ⇒ =

( )1 2,

Im min, 1,..8i iξ ξ

λ ⇒ =

(3.153)

Sau khi tìm được 1 2 1, , ,d d 2ξ ξ α α tối ưu, các thông số khác của các bộ hấp thụ

dao động ,11 2, ,u u 2µ γ µ γ được chọn để bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất,

nghĩa là

Re max , 1 8i

ii

D λλ

⎧ ⎫⎪ ⎪ i= − ⇒ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

÷ (3.154)

Cực của đa thức đặc trưng ( )p λ là tổ hợp cực của hai đa thức 1( )p λ và 2 ( )p λ .

Ta nhận thấy đa thức 1( )p λ trong (3.151) phụ thuộc vào tất cả các thông số của

bộ hấp thụ dao động TMD-D, không phụ thuộc vào hệ số lò xo và hệ số cản

nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-N và các thông số đặc trưng cho chuyển

động lắc ngang của con lắc ngược mà chỉ phụ thuộc vào các thông số đặc trưng

cho chuyển động thẳng đứng, vậy 1( )p λ đặc trưng cho chuyển động thẳng đứng

của con lắc ngược và các yếu tố để dập tắt dao động theo phương thẳng đứng

của con lắc ngược chính là các tham số của bộ hấp thụ dao động TMD-D.

Đa thức 2 ( )p λ trong (3.152) phụ thuộc vào tất cả các tham số của bộ hấp thụ

dao động TMD-N và các thông số đặc trưng cho dao động lắc ngang, không phụ

thuộc vào các thông số đặc trưng cho chuyển động thẳng đứng. Vậy việc xác

định các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động lắc ngang

hoàn toàn phụ thuộc vào đa thức 2 ( )p λ . Quá trình tính toán chọn các tham số

91

tối ưu để giảm dao động lắc ngang cho hệ chính là các hệ số của bộ hấp thụ dao

động TMD-N.

Các đa thức 1( )p λ , 2 ( )p λ là đa thức bậc bốn, mỗi đa thức này có bốn cực.

Trong mọi trường hợp ta đều có:

( ) ( )

( ) (( )

)

42

1 2 21 1

281 1 2 2

1 1 1 25 2 2

Re 2 11

1Re 2

1

ui d

i u

i di

a

b

ϕ

ϕ ϕϕ

ϕ

µλ ξ α ωµ

2µ γ µ γλ ξ α ω

µ γ

=

=

⎡ ⎤− = = +⎢ ⎥+⎣ ⎦

+ +− = =

+

∑

∑ (3.155)

Suy ra:

( )( ) ( )

( )( ) (( )

)

2 2 2

1,..41

21 1 2 21 1

25,..82 2

min Re 12 1

1min Re

2 1

d uii

u

dii

ϕ

ϕ ϕϕ

ϕ

ξ α ω µλµ

2µ γ µ γξ α ωλ

µ γ

=

=

⎡ ⎤≤ +⎢ ⎥+⎣ ⎦

+ +≤

+

(3.156)

Từ (3.131) ta có thể thấy rằng vế phải của (3.156) không phụ thuộc vào hệ số

lò xo của hệ thống giảm dao động TMD là [k1; k2]. Để bậc của sự ổn định lớn và

dao động tắt nhanh thì độ lớn của các phần thực là lớn nên trong bước đầu tiên

hệ số lò xo của các bộ hấp thụ dao động được chọn để (3.156) trở thành đẳng

thức, nghĩa là tất cả các phần thực bằng nhau. Ta ký hiệu giá trị chung đó là

[ε0;ψ0]. Khi đó các trị riêng của đa thức 1( )p λ là hai cặp phức liên hợp được ký

hiệu là [ε0±iτ1 và ε0±iτ21] và các trị riêng của đa thức 2 ( )p λ là hai cặp phức liên

hợp được ký hiệu là [ψ0±iφ1 và ψ0±iφ2] trong đó τ1 và τ2 tương ứng là các phần

ảo của đa thức 1( )p λ còn φ1 và φ2 tương ứng là các phần ảo của đa thức 2 ( )p λ .

Vậy đa thức ( )P λ lúc này trở thành

92

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 22 2 2 20 1 0 2 0 1 0P 2

2λ λ ε τ λ ε τ λ ψ φ λ ψ φ= − + − + − + − +

(3.157)

Biến đổi biểu thức (3.157) ta có:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( )

4 3 2 2 2 2 3 2 20 0 1 2 0 0 1 2

2 2 2 2 4 3 2 2 2 20 1 0 2 0 0 1 2

3 2 2 2 2 2 20 0 1 2 0 1 0 2

4 6 4 2

4 6

4 2

P λ λ ε λ ε τ τ λ ε ε τ τ λ

ε τ ε τ λ ψ λ ψ φ φ λ

ψ ψ φ φ λ ψ φ ψ φ

⎡ ⎤= − + + + − + +⎣ ⎦

+ + + − + + + −

⎡ ⎤− + + + + +⎣ ⎦

+

)

(3.158)

Từ biểu thức (3.150) và (3.158) ta thu được hệ 8 phương trình sau:

(2

0 2 21

2 11

ud

u

4 ϕµε ξ α ωµ

⎡ ⎤− = +⎢ +⎢⎣ ⎦

⎥⎥

(3.159)

( )( )

2 21 2 22 2 2

0 1 21

16

1u u d u

u

2ϕ

µ µ α αε τ τ ω

µ⎡ ⎤+ + +

+ + = ⎢ +⎢⎣ ⎦⎥⎥

)

(3.160)

( ) (

2 32 23 2 2

0 0 1 21

24 2

1d u

u

ϕξ α α ωε ε τ τ

µ− − + =

+ (3.161)

( )( ) ( )

2 2 422 2 2 2

0 1 0 211

d u

u

ϕα α ωε τ ε τ

µ+ + =

+ (3.162)

( )( )

2 21 1 2 2

0 1 1 22 2

12

1d4 ϕ ϕϕ

ϕ

µ γ µ γψ ξ α ω

µ γ

+ +− =

+ (3.163)

( ) ( )( )

2 2 21 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2

0 1 2 22 2

1 1 16

1d ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕϕ

α µ γ µ γ µ γ η µ γ ηψ φ φ ω

µ γ

⎡ ⎤+ + + + −⎢ ⎥+ + =

+⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.164)

93

( ) ( )( )

31 1 1 1 2 23 2 2

0 0 1 2 22 2

2 14 2

1d ϕ ϕ ϕ

ϕ

ξ α µ γ η µ γ ηψ ψ φ φ

µ γ

− −− − + =

+

ω (3.165)

( )( )( )

( )2 2

1 1 2 2 12 2 2 20 1 0 2 2

2 2

1 1

1d ϕ ϕ ϕ 4

ϕϕ

α µ γ η µ γ η µ ηψ φ ψ φ ω

µ γ

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥+ + =⎢ ⎥+⎣ ⎦

(3.166)

Từ (3.159) suy ra:

( )

( )0 1

22 1

2 11

u

d uϕ

ε µξ

α ω µ µ− +

=+ + 2u

(3.167)

Thay (3.167) vào (3.162) ta có:

( )( )2 22 2

1 220

1 21u

u u

ϕ τ τα ωε

µ µ

⎧ ⎫+⎡ ⎤⎪ ⎪= −⎢ ⎥⎨ + +⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭2 ⎬ (3.168)

Thay (3.168) vào (3.162) ta có:

( )( )

( )( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

1 2 1 2 122 2 4

1 2 1 2

11 2 1 2

u u ud

u u u u u

ϕ ϕ

ϕ

τ τ τ τα ω α ω µα

µ µ µ µ α ω

⎧ ⎫⎧− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +⎪ ⎪⎪= + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎨+ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎩

⎫⎪⎬⎪⎭

(3.169)

Thay (3.169) vào (3.160) chúng ta thu được biểu thức quan hệ giữa các phần ảo

τ1 và τ2.

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )22 2 2 2 2 2

1 21 2 1 2 1 2

2 2 2 22 2 2 22 21 2 1 2

1 2 1 2

16 2 1 1

1 2 1 2

u uu u u u u u

u uu

u u u u

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

µ µα ω µ µ δ δ µ µ α ω

δ δ δ δα ω α ω α ωµ µ µ µ

+ +− + + + − + +=

⎛ ⎞⎛ ⎞− −+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.170)

Ta sử dụng bất đẳng thức sau:

94

( )( )

( )( )

( )

22 2 2 22 2 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2 1 2 1u u

u u u u u u

ϕ ϕδ δ δ δα ω α ω α ωµ µ µ µ µ µ

⎛ ⎞⎛ ⎞− − ⎡ ⎤+ − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + +⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠

u ϕ

)

(3.171)

Từ biểu thức (3.170) và (3.171) ta thu được bất đẳng thức sau:

( ) ( )(

2 21 22 2

1 21 2

42 1

u u u

u u

ϕµ µ α ωτ τ

µ µ− −

+ ≥+ + (3.172)

( ) ( )( )

2 21 22

1,21 2

4max

4 1u u u

iiu u

ϕµ µ α ωτ

µ µ=

− −⇒ ≥

+ + (3.173)

Vế phải của biểu thức (3.173) không phụ thuộc vào hệ số cản nhớt c2 của bộ

hấp thụ dao động TMD-D, bởi vì chúng ta muốn độ lớn của phần ảo là nhỏ nên

trong bước thứ hai hệ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-D được chọn

để biểu thức (3.173) trở thành đẳng thức, nghĩa là τ1=τ2, Giá trị của chúng là:

( )( )

1 21 2

1 2

44 1

u uu

u uϕ

µ µτ τ α ω

µ µ− −

= =+ + (3.174)

Thay (3.174) vào (3.168) ta có:

( )

( )1 2

01 22 1

u u u

u u

ϕα ω µ µε

µ µ+

= −+ + (3.175)

Thay (3.174, 3.175) vào (3.162) ta có:

( )1

21 2

11

u ud opt

u u

α µα

µ µ+

=+ + (3.176)

Thay (3.175, 3.176) vào (3.167) ta có:

( )((

))

1 1 22

1 2

11

u u uopt

u u

µ µ µξ

µ µ+ +

=+ + (3.177)

95

Để đơn giản trong tính toán, ta đặt như sau:

( )( )( )

2 21 1 2 2

1 1 2 2

22 2

1

1

1

A

B

C

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

µ γ µ γ

µ γ η µ γ η

µ γ

= + +

= − −

= + (3.178)

Thay (3.178) vào (3.163 ÷ 3.166) ta có:

0 1 12 dA4Cϕψ ξ α ω− = (3.179)

( )21 12 2 2

0 1 21 2

6 d A B

Cϕ 2

ϕ

α µ γ ηψ φ φ ω

⎡ ⎤+ +⎢+ + =⎢⎣ ⎦

⎥⎥ (3.180)

( )3

1 13 2 20 0 1 2

24 2 d B

Cϕξ α ω

ψ ψ φ φ− − + = (3.181)

( )( )2 2

12 2 2 20 1 0 2

1d B

Cϕ 4

ϕ

α µ ηψ φ ψ φ ω

⎡ ⎤−⎢ ⎥+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.182)

Từ (3.179) suy ra:

01

1

2

d

CAϕ

ψξα ω−

= (3.183)

Thay (3.183) vào (3.181) ta có:

( )2 22

1 220 2

BAϕ φ φω

ψ+⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.184)

Thay (3.184) vào (3.182) ta có:

96

( ) ( )2 2 2 22 21 2 1 2 12

41 2 2dB B C 2

A A Bϕ ϕ

ϕ

φ φ φ φ

Bϕω ω µ

αω

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

η (3.185)

Thay (3.184, 3.185) vào (3.180), chúng ta thu được biểu thức quan hệ giữa các

phần ảo φ1 và φ2.

( ) ( )

( ) ( )

221 12 2

1 2

22 2 2 22 2 21 2 1 2 1

262

2 2

BB

4

AA CBB B

A A C

ϕ ϕϕ

ϕϕ ϕ ϕ

µ γ η ωωφ φ

ϕωφ φ φ φω ω µ η ω

+− + −

=⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.186)

Ta sử dụng bất đẳng thức sau:

( ) ( ) 22 2 2 22 21 2 1 2

2 2B B

A Aϕ ϕφ φ φ φω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − ≤ ⎜⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2BAϕω ⎟⎟ (3.187)

Từ biểu thức (3.186) và (3.187) ta thu được bất đẳng thức sau:

( ) ( )2 2 21 12 2

1 2

5 22

B C A AB BABC

ϕ ϕ 1 2ϕ

µ η µ γ ηφ φ ω

⎡ ⎤− − ++ ≥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.188)

( ) ( )2 2 21 12 2

1,2

5 2max

4ii

B C A AB BABC

ϕ ϕ 1ϕ

µ η µ γ ηφ ω

=

⎡ ⎤− − +⇒ ≥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.189)

Từ (3.131, 3.178) ta thấy vế phải của biểu thức (3.189) không phụ thuộc vào

hệ số cản nhớt c1 của bộ hấp thụ dao động TMD-N, bởi vì chúng ta muốn độ lớn

của phần ảo là nhỏ nên trong bước thứ ba hệ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao

động TMD-N được chọn để biểu thức (3.189) trở thành đẳng thức, nghĩa là

φ1=φ2, Giá trị của chúng là:

97

( )2 2 21 1

1 2

5 24

B C A AB BABC

ϕ ϕϕ

1µ η µφ φ ω

− − += =

γ η (3.190)

Thay (3.190) vào (3.185) ta có:

2

12d1opt

BCA B

ϕµ ηα = + (3.191)

Thay (3.191) vào (3.184) ta có:

( )2 2 2

1 1 10

22

A AB B B CABC

ϕ ϕϕ µ η µ γ ηωψ

+ + −= − (3.192)

Thay (3.191, 3.192) vào (3.183) ta thu được:

( )

( )2 2 2 2

1 1 1

2 2 21

21opt

CA ABC B B C

A B C Aϕ ϕ

ϕ

µ η µ γ ηξ

µ η

+ + −=

+ (3.193)

Bước cuối cùng ta tìm các thông số khác của bộ hấp thụ dao động TMD-D và

TMD-N để bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất. Ta có bậc của sự tắt dần được

xác định theo công thức

0 02 2 2 21,40 1 0 2

0 02 2 2 25,80 1 0 2

Remax

Remax

iTMD D i

i

iTMD N i

i

D

D

λ ε ελ ε τ ε τ

λ ψ ψλ ψ φ ψ

− =

− =

⎧ ⎫ − −⎪ ⎪= − = =⎨ ⎬⎪ ⎪ + +⎩ ⎭

⎧ ⎫ − −⎪ ⎪= − = =⎨ ⎬⎪ ⎪ + +⎩ ⎭ φ

(3.194)

Thay (3.174, 3.175, 3.190, 3.192) vào (3.194) ta thu được

( )1 212TMD D u uD µ µ− = + (3.195)

( )2 2 21 1 1

2

212TMD N

A AB B B CD

B Cϕ ϕµ η µ γ η

−

+ + −= (3.196)

98

Từ (3.195) ta có thể thấy rằng vế phải của nó phụ thuộc vào tỉ số khối lượng của

bộ hấp thụ dao động TMD-N là 1uµ và tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động

TMD-D là 2uµ , như ta đã trình bầy ở trên để giảm dao động theo phương thẳng

đứng của con lắc ngược ta lắp bộ TMD-D, còn bộ TMD-N để giảm dao động lắc

ngang của con lắc ngược, như vậy khi khảo sát hàm DTMD-D theo (3.194) ta coi

1uµ là tham số biết trước không biến đổi, còn 2uµ là thông số biến đổi cần tìm để

tăng đặc tính tắt dần cho hệ. Vì ta muốn độ lớn của DTMD-D là lớn nên trong bước

cuối cùng này ta chọn 2uµ để cho DTMD-D đạt giá trị lớn nhất.

2 2 ax 2TMD D max u u m opt u mD = D khi axµ µ µ µ− = ⇒ = (3.197)

Kết hợp các hệ thức (3.131) và điều kiện ổn định (3.139) ta có

11

2 2 1 22 2 2 1

1u

d

ϕϕ ϕ

µ ηγµ µ µγ η γ γ α

⎛ ⎞⎜⇒ < < − −⎜⎝ ⎠

⎟⎟

(3.198)

Từ (3.197) và (3.198) ta có:

1

112 2 ax 1 2

2 2 2

1d

u opt u mϕ

ϕ

µ ηγµ µ µγ η γ γ α⎛ ⎞

= < − −⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟ (3.199)

Nhận xét: So sánh các kết quả tối ưu đối với bậc của sự ổn định (3.176, 3.177)

và bậc của sự tắt dần (3.199), ta sẽ nhận thấy rằng: Các cách tối ưu hoá theo các

phiếm hàm trị giá khác nhau sẽ cho các thông số tối ưu tương ứng. Trong trường

hợp này khối lượng tối ưu của bộ hấp thụ dao động TMD-D được chọn theo các

yêu cầu của kỹ thuật thoả mãn (3.199), còn các thông số tối ưu khác c2, k2 được

chọn theo (3.176, 3.177).

Từ (3.131, 3.178) ta có thể thấy rằng vế phải của (3.196) phụ thuộc vào tỉ số

khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-N là ( )1 1u ϕµ µ , tỉ số khối lượng của bộ

99

hấp thụ dao động TMD-D là 2uµ , vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N 1γ

và vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D là 2γ , như ta đã trình bầy ở trên để

giảm dao động theo phương thẳng đứng của con lắc ngược ta lắp bộ TMD-D, còn bộ TMD-N để giảm dao động lắc ngang của con lắc ngược, như vậy khi

khảo sát hàm DTMD-N theo (3,196) ta coi 2uµ , 2γ là tham số biết trước không

biến đổi, còn ( )1 1u ϕµ µ , 1γ là thông số biến đổi cần tìm để tăng đặc tính tắt dần

lắc ngang cho hệ. Vì ta muốn độ lớn của DTMD-N là lớn nên trong bước cuối cùng

này ta chọn ( )1 1u ϕµ µ , 1γ để cho DTMD-N đạt giá trị lớn nhất.

* Ta khảo sát hàm 1( )TMD ND f ϕµ− = :

Vì 2uµ , 2γ là tham số chọn trước không thay đổi, để đơn giản khi khảo sát

hàm 1(TMD ND f ϕ )µ− = ta chọn 2 onstu cµ = , 2 onstcγ = , từ (3.196) ta có:

2 21

2

21 12TMD N

A AADB C C BCϕµ η µ γ η

− = + + 1 1ϕ − (3.200)

Từ điều kiện ổn định (3.139) ta có

( ) 22 2

1 2 21

1

1

1,d

d

ϕ

ϕ

µ γ η αµ

η γ ηα

−<

⎡ +⎣ ⎦⎤ (3.201)

Từ (3.200) suy ra:

( )

( )

2 21 1 1 1

2

2 2 2 2 2 21 1

4 2

1 1 1 1 1

2 2

'2

4 1

2 ' 2 ''

2 2 ' 2'

TMD ND TA AA

B C C BC

'

A AA B C A BB CT

B CA A BC A CA

C B C

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

µ µ η µ γ η

η µ η µ η

γ η µ γ η µ γ η

−∂=

∂+ + −

+ −=

+ −+ +

B (3.202)

100

trong đó ', ', 'A B C là đạo hàm riêng của , ,A B C theo 1ϕµ được xác định theo

biểu thức sau:

( )

( )

( )

2 2 21 1 2 2 1

1

1 1 2 2 11

22 2

1

1 '

1 '

1 ' 0

AA A

BB B

CC C

ϕ ϕϕ

ϕ ϕϕ

ϕϕ

µ γ µ γ γµ

,

,µ γ η µ γ η γ ηµ

µ γµ

∂= + + ⇒ = =

∂

∂= − − ⇒ = = −

∂

∂= + ⇒ = =

∂

(3.203)

Từ (3.200, 3.201, 3.202, 3.203) ta lập được bảng biến thiên:

Bảng 3.3. Bảng biến thiên của hàm 1( )TMD ND f ϕµ− =

1ϕµ 0 ( ) 2

2 2

2 21

1d10pt

d1opt

ϕµ γ η α

η γ ηα

−

⎡ ⎤+⎣ ⎦

1TMD ND ϕµ−∂ ∂ +

0

TMD ND −

Từ bảng 3.3 ta thấy 1

TMD ND

ϕµ−∂

∂>0 với

( ) 22 2

1 2 21

10

d10pt

d1opt

ϕϕ

µ γ η αµ

η γ ηα

−< <

⎡ ⎤+⎣ ⎦

Vậy DTMD-N theo hệ thức (3.200) là đồng biến theo 1ϕµ trong khoảng

( ) 1

1

22 2

1 2 21

10

d

d

ϕϕ

µ γ η αµ

η γ ηα

−< <

⎡ +⎣ ⎦⎤nghĩa là:

( ) 1

1

22 2

1 1 ax 1 1 ax 2 21

1 d opt

d opt

TMD N max m opt mD = D khi ϕϕ ϕ ϕ ϕ

µ γ η αµ µ µ µ

η γ ηα−

−= ⇒ = <

⎡ ⎤+⎣ ⎦ (3.204)

101

Trong trường hợp 1ϕµ là thông số ưu tiên được chọn trước khi đó 1γ là

thông số được chọn để tăng độ tắt dần cho hệ. Để xác định giá trị lớn nhất của

DTMD-N theo 1γ , 1( )TMD ND f γ− = ta khảo sát phương trình nhận được bởi đạo

hàm của DTMD-N theo 1γ sau:

( )

( )

2 21 1 1 1

2

2 2 2 2 2 21 1

4 2

1 1 1 1 12 2 2

'2

4 1

2 ' 2 ''

2 2 ' 2' '

TMD ND TA AA

B C C BCA AA B C A BB C

TB C

'A A BC AA C C AC B C

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

γ µ η µ γ η

η µ η µ η

γ η µ γ η µ γ η

−∂=

∂+ + −

+ −=

+ −−+ +

CB (3.205)

trong đó ', ', 'A B C là đạo hàm riêng của , ,A B C theo 1γ được xác định theo

biểu thức sau:

( )2 21 1 2 2 1 1

1

1 , ' AA Aϕ ϕ ϕ2µ γ µ γ µγ

γ∂= + + = =

∂

( )1 1 2 2 11

1 , ' BB Bϕ ϕ ϕµ γ η µ γ η µ ηγ∂

= − − = = −∂ (3.206)

( )22 2

1

1 , ' CC Cϕµ γγ

0∂= + = =

∂

Từ điều kiện ổn định (3.139) ta có:

( )

1

1

2 22 2 1

11

1d opt

d opt

ϕ ϕ

ϕ

µ γ η α µ ηγ

µ ηα

− −< (3.207)

Từ (3.200, 3.205, 3.206, 3.207) ta lập được bảng biến thiên sau:

102

Bảng 3.4. Bảng biến thiên của hàm 1( )TMD ND f γ− =

1γ 0 ( )

1

1

2 22 2 1

1

1d opt

d opt

ϕ ϕ

ϕ

µ γ η α µ η

µ ηα

− −

1TMD ND γ−∂ ∂

+

TMD ND −

Từ bảng 3.4 ta thấy 1

TMD NDγ

−∂∂ > 0 với mọi ( ) 1

1

2 22 2 1

11

10

d opt

d opt

ϕ ϕ

ϕ

µ γ η α µ ηγ

µ ηα− −

< < vậy

DTMD-N theo hệ thức (3.200) là đồng biến theo 1γ trong khoảng

( ) 1

1

2 22 2 1

11

10

d opt

d opt

ϕ

ϕ

ϕµ γ η α µ ηγ

µ ηα− −

< < , nghĩa là: 1 1 aTMD N max mD = D khi xγ γ− =

( ) 1

1

2 22 2 1

1 1 ax1

1 d opt

d optopt m

ϕ ϕ

ϕ

µ γ η α µ ηγ γ

µ ηα− −

⇒ = < (3.208)

Nhận xét: Từ (3.199) ta thấy đặc tính tắt dần theo phương thẳng đứng của con

lắc ngược phụ thuộc duy nhất vào tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động, so

sánh với kết quả (3.204, 3.208) ta thấy đặc tính tắt dần của chuyển động quay

không những phụ thuộc vào tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động mà còn

phụ thuộc vào vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động, đây cũng là điểm khác biệt

giữa đặc điểm của hai loại chuyển động. Đối với dao động lắc ngang, theo

(3.204, 3.208) để tăng đặc tính tắt dần của dao động lắc ngang, ta có thể tăng

khối lượng của bộ hấp thụ dao động hoặc tăng vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động,

còn đối với dao động thẳng đứng, theo (3.199) để tăng độ tắt dần ta chỉ có thể

tăng duy nhất khối lượng của bộ hấp thụ dao động.

103

Các bước thiết kế các bộ hấp thụ dao động: Quá trình thiết kế tìm các thông

số của bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N thường được thực hiện theo các

bước sau:

Bước đầu tiên chọn khối lượng cuả bộ hấp thụ dao động, theo (3.131,

3.199, 3.204) để tăng đặc tính tắt dần cho cơ cấu con lắc ngược theo phương

thẳng đứng và dao động lắc ngang ta nên chọn khối lượng của các bộ hấp thụ

dao động càng lớn càng tốt và cần đảm bảo điều kiện ổn định.

Bước thứ hai ta chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động, vị trí lắp đặt bộ

hấp thụ dao động thường được lắp ở vị trí thuận tiện cho hoạt động của công

trình và theo (3.208) để tăng đặc tính tắt dần cho hệ ta lắp bộ hấp thụ dao động ở

vị trí cao nhất của công trình và cần đảm bảo điều kiện ổn định (3.139).

Bước thứ ba: Hệ số lò xo k2 và tỉ số cản nhớt c2 của bộ hấp thụ dao động

dao động TMD-D được chọn theo (3.131), (3.176) và (3.177).

Bước cuối cùng, từ các thông số ta đã chọn ở bước một, hai và các biểu

thức (3.131, 3.191, 3.193) ta suy ra độ cứng của lò xo k1 và tỉ số cản nhớt c1 của

bộ hấp thụ dao động TMD-N.

3.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3

Chương 3 đã nghiên cứu lý thuyết, tính toán các thông số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N để giảm dao động cho các cơ cấu có dạng con lắc ngược. Các kết quả nghiên cứu thu được như sau. I. Với mục tiêu là tìm các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để tăng các đặc trưng cản lớn nhất của hệ, tác giả đã nghiên cứu, phân tích, tính toán và đưa ra kết luận:

1. Để tăng đặc tính tắt dần và giảm số chu kỳ dao động thẳng đứng khối lượng của các bộ hấp thụ dao động được chọn càng lớn càng tốt, tuy nhiên cần đảm bảo để công trình làm việc ổn định theo tiêu chuẩn của kỹ thuật.

2. Để tăng đặc tính tắt dần và giảm số chu kỳ dao động lắc ngang ngoài chọn khối lượng của các bộ hấp thụ dao động càng lớn càng tốt ta còn nên chọn vị trí

104

lắp đặt bộ hấp thụ dao động càng cao càng tốt và đảm bảo điều kiện ổn đinh, đây cũng là điểm khác biệt giữa dao động thẳng đứng và dao động lắc ngang. Điều này khẳng định rằng: Khi lắp bộ hấp thụ dao động cho các toà nhà cao tầng ta nên lắp tại tầng cao nhất của toà nhà, đối với các công trình như tháp vô tuyến, giàn khoan… ta nên lắp bộ hấp thụ dao động tại đỉnh của nó.

3. Tác giả đã xác định được các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động trong từng trường hợp cụ thể của mô hình con lắc ngược như sau:

Trường hợp 1. Cơ cấu con lắc ngược chỉ lắp bộ hấp thụ dao động TMD-D

( )1D

DD

uopt

u

αα

µ=

+

( )1D

DD

uopt

u

µξ

µ=

+

ax1

DD D

opt mµ µγ η

= <

Trường hợp 2. Cơ cấu con lắc ngược chỉ lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N

2 22 1

1 2

N N

Nopt

b b

b bϕµ η

α+

=2

23

2 21 2 1

N

N

N N

opt

b

b b b

ϕ

ϕ

µξ

µ η=

2⎡ ⎤+⎣ ⎦

( ) ( )1 2 321 , 1 ,N N N N Nb b bϕ ϕ N Nγ µ γ η µ η= + = − = + γ

2

ax 2 2N

N N N

optopt m

opt

αµ µ

η γ η α= <

+ N

2 2

ax 2N N

NN N N

optopt m

opt

ϕ

ϕ

Nα µ ηγ γ

µ η α−

= <

105

Trường hợp 3. Cơ cấu con lắc ngược có lắp đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N

( )1

21 2

11

u ud opt

u u

α µα

µ µ+

=+ +

( )((

))

1 1 22

1 2

11

u u uopt

u u

µ µ µξ

µ µ+ +

=+ +

21

2d1optBCA B

ϕµ ηα = +

( )

( )2 2 2 2

1 1 1

2 2 21

21opt

CA ABC B B C

A B C Aϕ ϕ

ϕ

µ η µ γ ηξ

µ η

+ + −=

+

( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 1 1 2 2 2 21 ; 1 ; 1A B Cϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

2µ γ µ γ µ γ η µ γ η µ γ= + + = − − = +

( ) 1

1

22 2

1 1 ax 2 21

1 d opt

d opt

opt mϕ

ϕ ϕ

µ γ η αµ µ

η γ ηα

−= <

⎡ ⎤+⎣ ⎦

1

112 2 ax 1 2

2 2 2

1d

u opt u mϕ

ϕ

µ ηγµ µ µγ η γ γ α⎛ ⎞

= < − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1

1

2 22 2 1

1 1 ax1

1 d opt

d optopt m

ϕ ϕ

ϕ

µ γ η α µ ηγ γ

µ ηα− −

= <

II. Trong thực tế khi lắp đặt bộ hấp thụ dao động, tuy vẫn giảm dao động cho công trình, nhưng công trình vẫn bị phá hoại. Sự phá hoại này do một nguyên nhân khác, đó là công trình bị mất ổn định. Bởi vậy trong chương này ngoài xác định các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược, tác giả còn xác định các thông số của bộ hấp thụ dao động để công trình làm việc ổn định theo tiêu chuẩn của kỹ thuật.

106

CHƯƠNG 4

MỞ RỘNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU TRƯỜNG HỢP CÓ LẮP ĐỒNG

THỜI HAI BỘ TMD-D VÀ DVA VÀ TÍNH TOÁN MÔ PHỎNG SỐ CÁC

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GIẢM DAO ĐỘNG VÀO MỘT SỐ

KẾT CẤU CÔNG TRÌNH

4.1 Mở rộng kết quả nghiên cứu trường hợp có lắp hai bộ TMD-D và DVA

K3

L5

L3/2

G

Ks

L1

L2

M

L4

U2

U1

C2

K2

K1

C1

M1

M2

ϕ1

ϕ2

4.1.1 Mô hình của hệ con lắc

ngược có lắp đồng thời hai bộ

TMD-D và DVA

Trong một số trường hợp việc

lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N

là rất phức tạp, không thích hợp

với hoạt động, sinh hoạt của con

người, hoặc do về mặt kỹ thuật ta

không thể sử dụng được bộ TMD-

N, trong trường hợp này ta sử

dụng bộ tắt chấn động lực loại con

lắc DVA (DVA - Dynamic

vibration absorber) được thể hiện

trong hình 4.1. Bộ DVA được lắp

tại vị trí cách nền ngang một

khoảng L2, chiều dài của con lắc

DVA là L1, có khối lượng M1,

liên kết với con lắc ngược bởi một

lò xo có độ cứng k1 và một bộ cản

nhớt tuyến tính có hệ số cản c1.

Hinh 4.1 Mô hình của hệ con lắc ngược có

lắp đồng thời hai bộ TMD-D và DVA

107

4.1.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ con lắc ngược có lắp đặt

bộ DVA và TMD-D

Cơ hệ có 4 bậc tự do ta chọn ϕ1, ϕ2, U1, U2 là toạ độ suy rộng của cơ hệ

trong đó ϕ1 : Là góc quay của con lắc ngược

ϕ2 :Góc quay của bộ hấp thụ dao động loại con lắc DVA

U1: Dịch chuyển của con lắc ngược

U2: dịch chuyển của bộ TMD-D

Ta có phương trình Lagrăng II cho cơ hệ:

1

1

u1

1

u22

2

11

22

2

d T T( ) Qdt uud T T( ) Qdt uud T T( ) Qdt

d T T( ) Qdt

•

•

ϕ•

ϕ•

∂ ∂− =∂∂

∂ ∂− =∂∂

∂ ∂− =∂ϕ∂ϕ

∂ ∂− =∂ϕ∂ϕ

(4.1)

trong đó:

1UQ : Lực suy rộng theo toạ độ u1

U2Q : Lực suy rộng theo toạ độ u2

1Qϕ : Lực suy rộng theo toạ độ ϕ1

2Qϕ : Lực suy rộng theo toạ độ ϕ2

T: Động năng của cơ hệ.

Trong quá trình tính toán động năng, thế năng và hàm hao tán của hệ ta phải

xác định tọa độ của các khối lượng và vận tốc của nó. Bởi vậy để đơn giản cho

108

việc tính toán, ta chuyển mô hình cơ cấu con lắc ngược có lắp bộ hấp thụ dao

động như hình 4.1 về sơ đồ tính toán như hình 4.2

M

k1

ϕ1

M1

c1

K3

Ks

L2

L4

u1

k2

M2

c2

L5

u2

ϕ2 L1

Hình 4.2. Sơ đồ tính toán bộ hấp thụ dao động có lắp bộ DVA và TMD-D

4.1.2.1 Động năng của cơ hệ

Động năng của cơ hệ bằng tổng động năng của các phần tử của hệ

T = Tm+TM + TDVA+TTMD-D (4.2)

Trong trường hợp này ta chỉ cần tính động năng của bộ DVA là TDVA, còn

động năng của các thành phần khác đã được tính ở chương 2.

Động năng bộ hấp thụ dao động DVA được xác định theo công thức

109

TDVA = 2

M11vM

21 (4.3)

trong đó:

VM1: Vận tốc của khối lượng M1 của bộ DVA

M1: Khối lượng của bộ DVA

Vận tốc của bộ hấp thụ dao động DVA được xác định theo công thức sau: 2 2

2M1 M1M1v x y

• •

= + (4.4)

Từ hình (4.2) ta có:

( )( )

( )

( )

M1 1 2 1 1 2 1

M1 1 2 1 1 2 1

M1 1 1 21 1 2 1 1 2 1

1 1 21 1 2 1 1 2 1M1

x (U +L )sin L sin

y (U +L )cos L cos

x U sin (U +L )cos L cos

y U cos (U +L )sin L sin

• • • • •

• • • • •

= ϕ + ϕ − ϕ⎧⎪⎨

= ϕ − ϕ − ϕ⎪⎩⎧ ⎛= ϕ + ϕ ϕ + ϕ − ϕ ϕ − ϕ⎜⎪⎪ ⎝→ ⎨

⎛ ⎞⎪ = ϕ − ϕ ϕ + ϕ − ϕ ϕ − ϕ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

1

1

⎞⎟⎠

2

(4.5)

Thay (4.5) vào (4.4) ta có

( )22

22 2 21 2 1M1 1 2 1 1

1 2 1 1 2 11 2 1 1 2

v U U L L

2 U L sin 2L (U +L ) cos

•• • •

• • • • • •

⎛ ⎞= + + ϕ + ϕ − ϕ +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ϕ − ϕ ϕ + ϕ ϕ − ϕ ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.6)

Thay (4.6) vào (4.3) ta có:

( )22

2 2 21 2 1DVA 1 1 2 1 1

1 2 1 1 2 11 2 1 1 2

1T M U U L L2

2U L sin 2L (U +L ) cos

•• • •

• • • • • •

⎡ ⎛ ⎞= + + ϕ + ϕ − ϕ +⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢⎣

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ϕ − ϕ ϕ + ϕ ϕ −ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2ϕ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

(4.7)

Thay (2.7; 2.13; 2.23; 4.7) vào (4.2) ta có:

Động năng của cơ hệ là:

110

( )

( )

22 2 22 2 23

1 1 1 11 4 1 1 3

222 2 2

1 12 1 2 11 1 2 1 1 1 2

2

1 2 11 2 11 1 2 2 2

1 1 L 1T M U U L m U U L2 2 2 12

1 M U U L L 2U L sin2

12L (U +L ) cos M U +U U +L2

•• • •

•• • • • • •

• • • • •

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + + ϕ + + + ϕ + ϕ +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ϕ + ϕ −ϕ + ϕ −ϕ ϕ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎣

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ϕ ϕ −ϕ ϕ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

22

5 12+U•

2•

⎡ ⎤⎛ ⎞ ϕ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.8)

4.1.2.2 Lực suy rộng của cơ hệ

Lực suy rộng của cơ hệ được xác định theo công thức sau:

u1

1

2

*u1

1 1

*u2 u2

2 2

*1

11

*2

22

Π ΦQ Qu uΠ ΦQ Qu uΠ ΦQ Q

Π ΦQ Q

•

•

•

•

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∂ ∂= − − +

∂ ∂∂ ∂

= − − +∂ ∂∂ ∂

= − − +∂ϕ ∂ϕ∂ ∂

= − − +∂ϕ ∂ϕ

(4.9)

trong đó:

∏: Thế năng của hệ.

Φ: Hàm hao tán của hệ.

Qu1*: Lực hoạt suy rộng theo toạ độ u1

Qu2*: Lực hoạt suy rộng theo toạ độ u2

Qϕ1*: Lực hoạt suy rộng theo toạ độ ϕ1

Qϕ2*: Lực hoạt suy rộng theo toạ độ ϕ2

111

4.1.2.3 Thế năng của cơ hệ

Thế năng của cơ hệ bằng tổng thế năng của trọng lực và thế năng của lò xo

Π =ΠTL + ΠLX (4.10)

trong đó:

ΠTL : Thế năng của trọng lực

ΠLX : Thế năng của các lò xo

Thế năng của trọng lực

Thế năng của trọng lực bằng tổng thế năng các phần tử của hệ:

ΠTL =ΠM + Πm+ΠDVA + ΠTMD-D (4.11)

ΠM: Thế năng khối lượng tập trung của con lắc ngược

Πm: Thế năng của thanh đỡ con lắc ngược

ΠDVA: Thế năng của bộ hấp thụ dao động DVA

ΠTMD-D: Thế năng của bộ hấp thụ dao động TMD-D

ΠDVA: Thế năng của bộ hấp thụ dao động DVA được xác định như sau:

( )( )DVA DVA DVA 1 1 2 1 1 2 1=P y M g (U +L )cos L cosΠ = ϕ − ϕ − ϕ (4.12)

Thay (2.28; 2.29; 2.30; 4.12) vào (4.11) ta có thế năng của trọng lực là:

+TL 1 4 1=Mg(U +L )cosΠ ϕ 31 1

Lmg(U + )cos2

ϕ +

+ ( )( )1 1 2 1 1 2 1M g (U +L )cos L cosϕ − ϕ − ϕ + ( )2 1 5 2 1M g (U +L +U )cosϕ (4.13)

Thế năng của lò xo

ΠLX =Π1 + Π2+Π3 + ΠS (4.14)

Trong biểu thức (4.14)

Π1: Thế năng lò xo K1 của bộ hấp thụ dao động DVA

112

Π2: Thế năng lò xo K2 của bộ hấp thụ dao động TMD-D

Π3: Thế năng lò xo K3

ΠS: Thế năng lò xo soắn KS

Thế năng lò xo K1 của bộ DVA được xác định như sau:

( 21 1 1 2 20

1= K L sin2

)⎡ ⎤Π ϕ − ϕ⎣ ⎦ (4.15)

trong đó: ϕ20: Độ giãn tĩnh ban đầu của lò xo K1

Thay (2.35; 2.36; 2.37; 4.15) vào (4.14) ta có thế năng của lò xo là:

( ) 2LX 1 1 2 20

1= K L sin2

⎡ ⎤Π ϕ − ϕ⎣ ⎦ + ( )22 2 20

1 K U U2

− +

+ ( )23 1 10

1 K U U2

− + ( 2S 1 10

1 K2

ϕ − ϕ ) (4.16)

Thay (4.13; 4.16) vào (4.10) ta có thế năng của cơ hệ như sau:

( ) ( )31 4 1 1 1 2 2 1 5 2

L= Mg(U +L )+mg(U + )+M g U +L M g U +L +U cos2

⎛ ⎞Π +⎜ ⎟⎝ ⎠

1ϕ -

( )1 1 2 1M L gcos− ϕ − ϕ + ( ) 21 1 2 20

1 K L sin2

⎡ ⎤ϕ − ϕ⎣ ⎦ + ( )22 2 20

1 K U U2

− +

+ ( )23 1 10

1 K U U2

− + ( 2S 1 10

1 K2

ϕ − ϕ ) (4.17)

4.1.2.4 Hàm hao tán

Năng lượng dao động có hại của con lắc ngược bị tiêu tán bởi các bộ cản nhớt

được lắp vào hai bộ hấp thụ dao động:

DVA 2Φ Φ +Φ= (4.18)

DVAΦ : Hàm hao tán của bộ cản nhớt C1 của bộ DVA.

2Φ : Hàm hao tán của bộ cản nhớt C2

Hàm hao tán của bộ cản nhớt C1 được xác định như sau:

113

2

DVA 11Φ c S2

•⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

trong đó: 21 2 1S=L sin S=L cos• •

ϕ ⇒ ϕ ϕ2

Vậy: 2

2DVA 1 1 21Φ c L cos2

•⎛= ϕ ϕ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (4.19)

Thay (2.42; 4.19) vào (4.18) ta có: 2

221 1 2 2

1Φ c L cos C U2 2

••⎛ ⎞= ϕ ϕ +⎜ ⎟⎝ ⎠ 2

1

2

t)

(4.20)

4.1.2.5 Lực hoạt suy rộng

Từ (2.47) ta có:

U1 U22* * * *

1 1 1 1 2 1A Q(t)L +P(t) U Q +Q +Q U Q Uϕϕδ = δϕ δ = δϕ δϕ δ + δ (4.21)

Từ (4.21) ta suy ra: *

1Q LQ(ϕ = ; 2

*Q 0ϕ= ; ; (4.22)

U1*Q P(t) =

U2*Q = 0

Thay (4.17), (4.20) và (4.22) vào (4.9) ta có lực suy rộng của cơ hệ như sau:

( ) ( )U1 1 2 1 3 1 10Q Mg mg M g M g cos K U U P(t)= − + + + ϕ − − +

( ) 2U2 2 1 2 2 20 2Q M gcos K U U C•

= − ϕ − − −

[

U

( )

( ) ] ( ) ( )

31 1 4 1 1 1 2

2 1 5 2 1 1 1 2 1 S 1 10

LQ Mg(U +L )+mg(U + )+M g U +L2

M g U +L +U sin M L gsin K LQ(t)

ϕ =

+ ϕ + ϕ −ϕ − ϕ −ϕ + (4.23)

( ) ( ) ( )1

22 22 1 1 2 1 1 1 2 20 1 2Q M L gsin K L sin 2 C L cos

•

ϕ ⎡ ⎤= − ϕ − ϕ − ϕ − ϕ − ϕ ϕ⎣ ⎦ 2

114

4.1.2.6 Phương trình vi phân chuyển động của hệ

Thay (4.8) và (4.23) vào (4.1) ta có phương trình vi phân chuyển động của cơ

hệ như sau:

( )

[ ( )

( ) ]

( ) ( )

1 2 2 11 2 2 1 1 2

32 1 21 1 2 1 4 1

2

1 1 2 11 1 2 2 1 5 2 1 1 2

1 2 1 3 1 10

M M M m U M U M L sin

LM L cos M U L m U2

M U L M (U L +U ) M L cos

Mg mg M g M g cos K U U P (t);

•• •• •• ••

• • •

• • • •

⎛ ⎞+ + + + + ϕ −ϕ ϕ +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ ϕ ϕ + ϕ ϕ − + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + + + ϕ − ϕ ϕ − ϕ ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + + + ϕ + − =

+

(4.24)

( )2

1 2 212 2 1 5 2 2 1 2 2 20 2M U U M (U L +U ) M gcos K U U C U 0•• •• • •⎛ ⎞+ − + ϕ + ϕ + − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.25)

[ ( ) ( )

( ) ] ( )

[ ( ) ( )

( ) ]

[ ]

31 4 1 2 1 5 2

1 21 1 2 2 1 5 21 12 2

22 3 31 4 1 2 1 5 2

2 211 1 2 1 1 1 1 21 2 1

2

1 1 1 2 2 22 2

1 1

L2 M U L m U M U L +U2

M U L U 2M U L +U U

L mLM U L m U M U L +U2 12

M U L M L M L U sin

M L (U +L ) cos sin (4.26)

2M L

• • • •

•• •• •• ••

•• •

⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + ϕ + + ϕ +

⎛ ⎞+ + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + ϕ − ϕ − ϕ − ϕ⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ ϕ ϕ − ϕ ϕ

− [ ]

[ ( )

( ) ] ( ) ( )

1 2 1 1 1 2 2 21 1 1 2

31 4 1 1 1 2

2 1 5 2 1 1 1 2 1 S 1 10

U cos 2M L (U +L ) cos sinLMg(U +L )+mg(U + )+M g U +L2

M g U +L +U sin M L gsin K =LQ(t)

• • •• • •

ϕ ϕ − ϕ ϕ − ϕ ϕ ϕ +

−

+ ϕ − ϕ − ϕ + ϕ − ϕ

115

[ ]

( ) ( )

21 11 1 1 2 1 22 1 2

11 1 2 1 1 1 2 2 21 1 1 2

11 1 2 1 1 2 22 1 1 2 1

21 1 2 1 1 1 2 20 1

M L ( ) L U sin L U cos

M L U cos M L (U +L ) cos sin

M U L cos L (U +L ) sin

1M L gsin K L sin 2 C L2

•• •• •• • •

• • •• • •

• • • • • •

⎛ ⎞ϕ −ϕ + ϕ + ϕ ϕ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ ϕ ϕ + ϕ ϕ −ϕ ϕ ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ϕ −ϕ ϕ − ϕ ϕ −ϕ ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤+ ϕ −ϕ + ϕ −ϕ +⎣ ⎦ ( )1

222 2cos 0

•

ϕ ϕ =

(4.27)

----------------------------------------------------------------------------------------------

Xét hệ tại vị trí cân bằng tĩnh ta có:

1 10 2 20 1 10 2 20; 0; U U ; U Uϕ = ϕ = ϕ = ϕ = = = 0

PM

Hình 4.3. Sơ đồ cân bằng tĩnh có lắp bộ DVA và TMD-D

PM2

N4

Flx2

N1PM1

PmN2

PM2

M

Flx3

N3

116

Xét cân bằng cả hệ: Các lực tác dụng lên cơ hệ

- Trọng lực khối lượng tập trung đầu thanh: gMPM

rr=

- Trọng lực khối lượng thanh đỡ: gmPm

rr=

- Trọng lực bộ hấp thụ dao động DVA: gMP 1M1

rr= (4.28)

- Trọng lực bộ hấp thụ dao động TMD-D: gMP 2M2

rr=

- Phản lực liên kết của lò xo: lò xo soắn SMr

; và lò xo K3: 103LX3 UKF =

- Hệ lực cân bằng đặt lên cơ hệ: ( )S M m M1 M2 LX3M ,P ,P P ,P ,Fr r r r r r

0

- Phương trình cân bằng:

M m M1 M2 LX3P P P P F+ + + + =r r r r r

0

P P F 0+ + + − =

(4.29)

Chiếu phương trình (4.29) lên phương thẳng đứng ta có:

P P (4.30) M m M1 M2 LX3

Thay (4.28) vào (4.30) ta có:

0FgMgMmggM LX321 =−+++

gMgMmggMF 21LX3 +++=⇒

gMgMmggMUK 21103 +++=⇒ ( 4.31)

Hệ phương trình vi phân chuyển động đầy đủ (4.24 ÷ 4.27) là hệ phi tuyến.

Theo [20] hầu hết các chuyển động lớn thì phương trình vi phân của cơ hệ là phi

tuyến và đối với dao động bé, người ta thường tuyến tính hóa các phương trình

dao động. Để tuyến tính hóa, ta giả thiết các góc lệch nhỏ và bỏ qua các đại

lượng bậc cao thì từ phương trình vi phân phi tuyến ta nhận được phương trình

tuyến tính. Còn đối với các công trình có trong thực tế, ta cần phải giả thiết thêm

là hệ biến dạng bé, khi đó có thể xem lực gây uốn không ảnh hưởng tới lực dọc

và ngược lại, điều này dẫn đến hệ phương trình tuyến tính.

117

Vì các công trình có dạng con lắc ngược là dao động nhỏ nên ta có:

( ) ( )1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

; 1; ;;

sin cos sin cos 1sin cos 1

ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ≈ ≈ ≈⎧⎪

⎨+ ≈ + + ≈⎪⎩

≈ (4.32)

Thay ( 2.64, 4.31, 4.32) vào (4.24÷4.27) ta có phương trình vi phân chuyển

động của hệ dao động quanh vị trí cân bằng tĩnh dạng tuyến tính như sau:

(4.33) H H H H (t)•• •

+ + =M X C X K X F

trong đó:

( ) ( )

( )( )

222 2 23

4 2 5 1 2 1 1 1 2 1 1

2 21 1 2 1 1 1 1

H

1 2 2

2 2

mLL +M L + +M L - L M L L - M L 0 03

L L - L L 0 0=

0 0 +M

0 0 M

M

M M MM +M +m

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MM

M (4.34)

( )

3S 4 1 2 1 1 2 5 1 1

21 1 1 1 1 1H

3

2

mgLK - MgL - - M gL - M gL - M gL - M L g 0 02

- M L g K L + M gL 0 0=

0 00 0

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

K 00 K

(4.35)

21

H

2

1

0 0 0 0

0 C L 0 0=

0 0 0 0

0 0 0 C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C ;

1

2

1

2

U

U

ϕ

ϕ

••

••

••

••

••

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ;

1

2

1

2

U

U

ϕ

ϕ

•

•

•

•

•

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ;

1

2

1

2

U

U

ϕ

ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ; T

LQ(t)

0=

P(t)

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F

(4.36)

118

4.1.3 Nghiên cứu xác định các thông số của bộ hấp thụ dao động DVA và bộ TMD-D để công trình làm việc ổn định và giảm dao động cho hệ con lắc ngược

Ta đưa vào các tham số sau:

14 1 1 2 4 13, , ,d u A

Mu L u L L LM m

ϕ ϕ µ= = = =+

31 2 1

4, ,

3uA

KM L Lm L M mM

µ γ ω−= = =

++

( ) ( )( )

42 2 2

4 4 4 43

6 3 6 6 3/ 3 6 2 2 3

sss

M m g K gL M mKML mL ML mL L M m

ω+ −

= − =+ + +

+

52 22 2 2

4, ,

3A u A A

LM Mm M m LMϕµ µ γ= =

++= (4.37)

22 22 2 2

2 2 2, ,

2d A

d A A d Ad A A

k cM M ϕ

ωω ξ αω ω

= = =

2

1 11 1

1 1 1 1

11

4

, ,2

, ,A

d A Ad A

d A uAd A uA

A A

k cgM L M

gLϕϕ ϕ

ω ξω

ω ωα α ηω ω ω

= + =

= = =

Trong biểu thức (4.37):

µu1A: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động DVA và con lắc ngược

đặc trưng cho chuyển động thẳng;

µ: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động DVA và con lắc ngược đặc

trưng cho chuyển động quay;

γ: Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động DVA;

ωd1A : Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động DVA;

119

ωϕ : Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương ngang;

ωuA : Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương thẳng đứng;

ξ1A : Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động DVA

µu2A: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược

đặc trưng cho chuyển động thẳng;

µϕ2A: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược

đặc trưng cho chuyển động quay;

γ2A: Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D;

ωd2A : Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động TMD-D;

ξ2A : Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-D.

Thay các tham số từ (4.37) vào phương trình (4.33 ÷ 4.36) ta có:

(4.38) * * ** * *H H H H (t)•• •

+ + =M X C X K X F *

trong đó:

( ) ( )( ) ( )

( ) (

( ) ( )

2 22 2

* 1 2 2

2 2

1

1

A A

H u A u A u A

u A u A

0 0

0 0= 0 0

0 0

ϕµ γ µ γ µ γ

µ γ µ

µ µ µ

µ µ

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M )

0

(4.39)

( ) 2 22 2

2 2 2

*2 2

2 22 2

1

1 A A s s

s sH

uA s

u A d A s

d A

0 0

0 0=

0 0

0 0 0

ϕµ γη µ γ η ω µ η ω

µ η ω µ ω α

α ω

µ α ω

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K (4.40)

120

1 1

*

2 2 2

2

2

A d A s

H

A d A u A s

0 0 0 0

0 0 0=

0 0 0 0

0 0 0

ξ α µ ω

ξ α µ ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C (4.41)

1

2

* d

U

U

U

U

••

••

••

••

••

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ; ; 1

2

* d

U

U

U

U

•

•

•

•

•

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X

1

2

* d

U

U

U

U

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ; T *

3Q(t)3M +m

0=

P(t)M +m

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F (4.42)

Nhận xét: Nếu ta thay các hệ số:

1 1 1 1 2, , , , ,u A u uA u s A 2,ϕ ϕ ϕ ϕµ µ µ µ γ γ ω ω ω ω µ µ= = = = = =

2 2 2 2 2 2 2 2 2, , , ,u A u A d A d A d A d2µ µ γ γ ω ω ξ ξ α α= = = = = (4.43)

1 1 1 1 1 1, , ,d A d A d A d uA uω ω ξ ξ α α α= = = α=

từ (4.43)) vào các phương trình (4.38 ÷ 4.42) thì các phương trình vi phân

chuyển động (4.38 ÷ 4.42) hoàn toàn trùng với các phương trình vi phân chuyển

động (3.132 ÷ 3.136). Như vậy các kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động trong trường hợp lắp đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N hoàn toàn có thể áp dụng cho trường hợp lắp đồng thời hai bộ hấp thụ dao động là DVA và TMD-D.

* Giả sử phải xác định các thông số tối ưu trong trường hợp lắp đồng thời bộ

hấp thụ dao động DVA và TMD-D theo (3.175 ÷ 3.177, 3.178, 3.191÷3.193) và

(4.43) ta có:

121

( )1

21 2

11

uA u Ad optA

u A u A

α µα

µ µ+

=+ + (4.44)

( )((

))

1 1 22

1 2

11

u A u A u AoptA

u A u A

µ µ µξ

µ µ+ +

=+ + (4.45)

( )( )

1 20

1 22 1u A u AuA s

Au A u A

µ µα ωεµ µ

+= −

+ + (4.46)

2

2d1optAA

AA A

BCA B

µ ηα = + (4.47)

( )( )

2 2 2 2

2 2 2

2A A A A A A A1optA

A A A A

C A A B C B B CA B C A

µ η µγηξ

µ η+ + −

=+

A (4.48)

( )2 2 2

02

2A A A A A As

AA A A

A A B B B CA B C

µ η µγηωψ+ + −

= − (4.49)

( )( ) (

2 22 2

22 2 2 2

1

1 ; 1

A A A

)A A A A A A

A

B C

ϕ

ϕ ϕ

µ γ µ γ

µ γ η µ γ η µ γ

= + +

= − − = + (4.50)

Ta xét trường hợp riêng

Ta xét trường hợp các thông số tối ưu chỉ lắp một bộ hấp thụ dao động DVA

của con lắc ngược và chỉ tính đến dao động lắc ngang mà không tính đến dao

động thẳng đứng đã được các nhà khoa học N. D. Anh, H. Matsuhisa, L. D. Viet,

M. Yasuda nghiên cứu, tính toán và đưa ra kết quả trước đây [51]. Phần này sẽ so

sánh các kết quả nghiên cứu của luận án trong trường hợp đơn giản với kết quả đã

được công bố.

122

y

x

ϕ1

ϕ2

L1

L4

L2

Trường hợp này con lắc ngược chỉ

lắp bộ hấp thụ dao động DVA có khối

lượng M1, có chiều dài L1, gắn tại cơ

cấu con lắc ngược cách nền ngang

một khoảng L2. Sơ đồ dao động của cơ

hệ được thể hiện trong hình 4.4. Khi

đó ta có: M2 = 0, K2 = 0, C2=0, K3 =

+∞, L5 = 0. Thay các giá trị này vào

(4.37) và (4.44 – 4.50) ta có các thông

số tối ưu trong thường hợp này như

sau: Hình 4.4 Sơ đồ tính toán bộ DVA

( ) ( )( )

22 2 2

1 2

1 1

1 1d optA

γηµ µη γ µα

γ µ γ ηµ

− + +=

+ − (4.51)

( )

( ) ( ) ( )

2

1 222 21 1 1optA

µ γ ηξ

γ µ γηµ µ η γ µ

+=

2⎡ ⎤+ − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.52)

( )( )( )

2

0 22 1 1s

A

µ γ ηωψγηµ γ µ

+= −

− + (4.53)

Các kết quả (4.51 ÷ 4.53) hoàn toàn trùng với các kết quả mà các nhà khoa học

N. D. Anh, H. Matsuhisa, L. D. Viet, M. Yasuda đã nghiên cứu và đưa ra kết quả

trước đây vào năm 2007 [51 ].

123

4.2. TÍNH TOÁN MÔ PHỎNG SỐ CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU BỘ

HẤP THỤ DAO ĐỘNG VÀO MỘT SỐ KẾT CẤU CÔNG TRÌNH

4.2.1MÁp dụng kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động, tính toán giảm

dao động cho tháp nước

A A

d

D

L2

Mặt cắt A - A của thanh đỡ

Hình 4.5. Sơ đồ tính toán độ lệch S, coi tháp nước như một dầm đàn

hồi chịu liên kết ngàm với nền

Thực tế các tháp nước được làm bằng vật liệu là bê tông cốt thép và có độ cao

lớn, đối với kết cấu dạng này dao động theo phương thẳng đứng là nhỏ nên ta có

thể bỏ qua dao động thẳng đứng mà chỉ tính đến dao động lắc ngang. Như vậy

đối với các tháp nước ta chỉ cần lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N để giảm dao

động lắc ngang.

124

Xác định hệ số lò xo soắn thông qua đặc tính của kết cấu vật liệu tháp nước

Ks Ks

S

L2

L2

Hình 4.6. Sơ đồ tính toán độ lệch S các tháp nước

thông qua hệ số lò xo soắn Ks

Do tháp nước là dầm đàn hồi. Nên bước đầu tiên ta phải xác định độ cứng

tương đương Ks thông qua độ cứng của kết cấu tháp như sau:

Đối với các tháp nước ta coi như một dầm chịu uốn, chịu liên kết ngàm với

nền. Khi đó độ lệch s tại điểm lắp bộ hấp thụ dao động như sau [1], ta có: 32( )

3P t LS

EJ= (4.54)

trong đó:

P(t): Lực tác dụng tại vị trí lắp bộ hấp thụ dao động.

EJ: Độ cứng chống uốn của mặt cắt vật liệu tháp nước.

Nếu xác định độ lệch s thông qua hệ số lò xo soắn KS (hình 4. 6), ta có:

125

22( )

S

P t LSK

= (4.55)

Từ (4.54) và (4.55) ta suy ra: 3 22 2

2

( ) ( ) 33 S

S

P t L P t L EJKEJ K L

= ⇒ = (4.56)

Từ (4.56) ta thấy độ cứng tương đương Ks sẽ thay đổi theo vị trí của thanh đỡ,

mà theo các kết quả nghiên cứu các thông số tối ưu của bộ TMD-N lại xác định

theo Ks, dẫn đến các thông số của bộ hấp thụ dao động sẽ thay đổi khi ta đặt bộ

TMD-N tại các vị trí khác nhau của thanh đỡ. Vì vậy nếu ta tính độ cứng Ks tại

vị trí nào của thanh đỡ thì phải đặt bộ hấp thụ TMD-N tại vị trí đó thì bộ

TMD-N mới giảm dao động cho tháp nước một cách tối ưu. Như vậy từ (4.56)

và (3.70) ta có thể áp dụng các kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động đối với

cơ cấu con lắc ngược cho các tháp nước khi biết được kích thước, đặc trưng vật

liệu cấu tạo nên các tháp đó.

Ta xét tháp nước có các thông số sau:

- Chiều dài tháp L4 = 250 m

- Đường kính thanh đỡ của tháp: Đường kính ngoài D = 15 m, đường kính

trong d = 14 m.

- Khối lượng nước chứa ở đỉnh tháp kg 510 10M = ×

- Tháp được làm là vật liệu bê tông cốt thép M 300 có các thông số:

E =3,1.1010 N/m2, ρ = 2400kg/m3. (4.57)

Mô men quán tính của tháp được xác định theo công thức:

(4

4164DJ π )η= − (4.58)

trong đó:

126

dD

η = (4.59)

Thay các số liệu từ (4.57) vào (4.58, 4.59) ta có: 4599( )J m= (4.60)

Khối lượng thanh đỡ được xác định theo công thức: 2 2

64- 13,7.10

4 4D dm Lπρ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠kg

Nm

(4.61)

Ta thiết kế bộ TMD-N như sau: Khối lượng của TMD-N là 11,1×104 kg, đặt

dưới đáy của bể nước L2 ≈ L4 = 250m. (4.62)

Thay (4.57, 4.60) vào (4.56) ta xác định được hệ số lò xo soắn như sau: 112, 23.10SK = (4.63)

Tần số tự nhiên lắc ngang của tháp được tính từ công thức (3.70):

( )( )

424

6 6 30,765( / )

2 3NsK gL M m

rad sL M mϕω− +

= =+

(4.64)

Từ (3.114, 3.115) ta suy ra các thông số tối ưu của bộ TMD-N:

0.98; 0.15N Nopt optα ξ= = (4.65)

Các tham số này phải thỏa mãn điều kiện ổn định trong công thức (3.76) ta

được:

21 0.999> 0NN N N

dNϕ

ηη µ γα

⎛ ⎞⎜ ⎟− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.66)

Các tham số của bộ TMD-N thu được từ (3.70)

(4.67) 2 2 4

1 1 6,2.10 ( / )optN N

k M N mϕ

α ω= =

1 142 2,49.10 ( / )N optNoptNc M Nsϕξ ω α= = m

127

Sử dụng phần mềm Maple. Mô phỏng dao động của tháp nước được biểu diễn

như sau:

Trường hợp 1: Dưới tác dụng của ngoại lực tháp nước có độ lệch ban đầu một

góc ϕ1 = 0.005 (rad)

Dic

h ch

uyen

(m

) Thoi gian (giay)

Hình 4. 7 Đồ thị biên độ dao động của bộ TMD-N được lắp đặt vào

tháp nước với điều kiện đầu ϕ1 = 0.005 (rad)

Thoi gian (giay)

Dic

h c

hu

yen

(ra

d)

Hình 4. 8 Đồ thị biên độ dao động độ góc quay ϕ1 của tháp nước

với điều kiện đầu ϕ1 = 0.005 (rad)

128

Trường hợp 2: Dưới tác dụng của ngoại lực tháp nước lệch một góc ϕ1 = 0.005

(rad) và có vận tốc góc ban đầu 1 (rad/s) 0.01ϕ =&

Dic

h c

hu

yen

(m

)

Thoi gian (giay)

Hình 4. 9 Đồ thị biên độ dao động của bộ TMD-N được lắp đặt vào

tháp nước với điều kiện đầu ϕ 1= 0.005 (rad) 1 0.01ϕ =& (rad/s)

Thoi gian (giay)

Dic

h c

hu

yen

(ra

d)

Hình 4. 10 Đồ thị biên độ dao động góc quay ϕ1 của tháp nước

với điều kiện đầu ϕ 1= 0.005 (rad) 1 0.01ϕ =& (rad/s)

129

4.2.2BÁp dụng kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động, tính toán giảm dao

động theo phương thẳng đứng của ô tô

Hình 4.11 mô tả một mô hình đơn giản của một ô tô [8]. Ta sử sụng số liệu sau:

Ô tô có khối lượng M=1200kg (4.68)

Hệ thống nhíp tương đương với lò xo có độ cứng k3 =200.103 N/m (4.69)

Vấn đề đặt ra của kỹ thuật là lắp đặt một bộ TMD để giảm dao động theo

phương thẳng đứng của ô tô.

k2

M2

K3/2

c2

M

K3/2

Hình 4.11. Sơ đồ tính toán bộ hấp thụ dao động TMD-D để giảm dao

động theo phương thẳng đứng của ô tô

Ta thiết kế bộ TMD-D như sau: Khối lượng của TMD-D là

M2 = 12 kg (4.70)

Tần số dao động tự nhiên của ô tô và tỉ số khối lượng được tính từ công thức

(3.10):

3 12,9( / )DuK rad s

M mω = =

+ (4.71)

2 0,01DuM

M mµ = =

+ (4.72)

130

Từ (3.10, 3.58, 3.59, 4.71, 4.72 ) ta suy ra hệ số lò xo k2 và hệ số cản c2 của

TMD–D như sau:

Hình 4. 14 Đồ thị biên độ dao động của độ lệch U1 của ô tô với điều kiện đầu U1 = 0.05 (m)

Thoi gian (giay)

Dic

h ch

uyen

(m)

m

m

(4.73) 2 1960.6( / )k N=

(4.74) 2 30,5( / )c Ns=

Sử dụng phần mềm Maple mô phỏng dao động của ô tô theo phương thẳng đứng

như sau:

Trường hợp 1: Dưới tác dụng của ngoại lực ô tô có độ lệch ban đầu

U1 = 0.05(m)

Thoi gian (giay)

Dic

h ch

uyen

(m)

Hình 4. 13 Đồ thị biên độ dao động của bộ TMD-D được lắp đặt

vào ô tô với điều kiện đầu U1 = 0.05 (m)

131

Trường hợp 2: Dưới tác dụng của ngoại lực ô tô có độ lệch U1 = 0.05 (m) và có

vận tốc ban đầu (m/s) 1 1.0U =•

Hình 4. 15 Đồ thị biên độ dao động của bộ TMD-D được lắp đặt vào ô

tô với điều kiện đầu U1 = 0.05 (m), U (m/s) 1 1.0•

=

Thoi gian (giay)

Dic

h ch

uyen

(m)

Hình 4. 16 Đồ thị biên độ dao động của độ lệch U1 của ô tô với điều

kiện đầu U1 = 0.05 (m), U (m/s) 1 1.0•

=

Thoi gian (giay)

Dic

h ch

uyen

(m)

132

4.2.3 Áp dụng kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động, tính toán giảm dao

động cho tháp ngoài biển

Mg

Mực nước

hθ

mg

Lực Acximet

y

L4

x

Hình 4.17 Sơ đồ tính toán cho tháp ngoài biển

Một trong những ví dụ của con lắc ngược là tháp ngoài biển. Cơ cấu tháp này

không những phải chịu các lực do gió mà còn chịu lực đẩy theo phương thẳng

đứng xuất hiện do lực đẩy Acximet, hơn nữa lực do sóng tác dụng lên tháp

thường có phương nghiêng lập với mặt phẳng thẳng đứng một góc xác định, khi

đó lực này có thể được phân tích thành hai lực thành phần – một lực thẳng đứng

và một lực nằm ngang, bởi vậy tháp xuất hiện cả dao động lắc ngang và dao

động theo phương thẳng đứng. Công trình có thể hư hỏng do lắc ngang hoặc bị

bồng bềnh hay bị nhổ cọc do dao động thẳng đứng. Do vậy ta phải lắp cả hai bộ

hấp thụ dao động vào tháp để tăng đặc tính tắt dần cho tháp. Quan sát tháp như

hình 4.17. Nó bao gồm một khối lượng tập trung có khối tâm M tại đỉnh và

thanh đỡ khối lượng m. Giả sử rằng độ cứng chống uấn của thanh đỡ là EJ, và

độ cứng kéo nén của thanh đỡ là EF, chiều dài và đường kính . Đường kính

tháp rất nhỏ so với chiều dài (

4L D

4D L<< ).

133

Như trong hình 4.17, mômen phục hồi Mb sinh ra do lực đẩy Acximet được

xác định như sau 22

w sin ,4 2

sb

lDM g πρ θ= (4.75)

trong đó wρ khối lượng riêng của nước, sl là chiều dài phần ngập nước của tháp.

Giả sử dao động là nhỏ, chiều dài sl xấp xỉ bằng chiều cao và sinh θ θ≈ . Từ

công thức (4.85) dễ dàng tìm hằng số lò xo của mômen xoắn tương ứng.

2 2w

1 .8SK ghπρ= D (4.76)

Sử dụng số liệu số:

- Chiều dài tháp 400 m, 4L =

- Đường kính tháp: Đường kính ngoài D = 15 m, đường kính trong d = 14 m.

- Tháp được làm là vật liệu bê tông cốt thép M 300 có các thông số:

E =3,1.1010 N/m2, ρ = 2400kg/m3. (4.77)

- Khối lượng đầu mút kg, 52.5 10M = ×

- Mực nước trung bình 350h = m,

- Tỷ trọng của nước w 1025ρ = kg/m3.

Khối lượng của thanh đỡ được xác định theo công thức: 2 2

74- 2,2.10

4 4D dm Lπρ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠kg (4.78)

Hệ số mômen xoắn tương ứng được tính từ công thức (4.86): 111,1.10 ( )sK m= Ν (4.79)

Gọi Z là biến dạng theo phương thẳng đứng tại vị trí lắp bộ hấp thụ dao

động TMD-D ta có:

*Tính Z thông qua lò xo K3:

134

3

( )Q tZK

= (4.80)

* Tính Z thông qua đặc tính kéo nén của vật liệu đàn hồi cấu tạo nên tháp

5( )Q t LZEF

= (4.81)

trong đó: Q(t): Lực tác dụng tại vị trí lắp bộ hấp thụ dao động EF: Độ cứng kéo nén của vật liệu cấu tạo nên tháp Từ (4.80) và (4.81) ta suy ra:

53

3 5

( )( ) Q t LQ t EFZ KK EF L

= = ⇒ = (4.82)

Ta lắp bộ TMD-D tại vị trí cách đáy một khoảng 400m. 2 2

93

5

-4 4

1,7.10 ( / )

D dEK N m

L

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = = (4.83)

Thay (4.77, 4.78, 4.79, 4.83) vào (3.131) tần số tự nhiên của tháp được xác định:

( )( )

424

6 6 30,23

2 3sK gL M m

rad sL M mϕω− +

=+

= (4.84)

3 8,9( )uK rad s

M mω = =

+ (4.85)

Ta thiết kế khối lượng của TMD-N là M1= 15×104 kg, đặt cách đáy biển một khoảng 350m. Bộ TMD–D là M2L = 2 =4,42×105. Từ công thức (3.176, 3.177,

3.191, 3.193) suy ra 4 tham số không thứ nguyên của bộ TMD:

( )

( )2 2 2 2

1 1 1

2 2 21

2 0.1881opt

CA ABC B B C

A B C Aϕ ϕ

ϕ

µ η µ γ ηξ

µ η

+ + −= =

+ (4.86)

135

( )( )( )

1 1 22

1 2

11.00

1u u u

optu u

µ µ µξ

µ µ+ +

=+ +

= (4.87)

21

2 0.94d1opt

BCA B

ϕµ ηα = + = (4.88)

( )1

21 2

137.26

1u u

d optu u

α µα

µ µ+

= =+ + (4.89)

Các tham số này phải thỏa mãn điều kiện ổn định trong công thức (3.139) ta được:

( ) 2 21 1 2 2 111 0.855 0d optϕ ϕ ϕµ γ η µ γ η α µ η− − − = > (4.90)

Tham số của TMD-D và TMD-N thu được từ (3.131) và (4.86 – 4.89)

1 14

1 12 1,25.10 ( / )op d opttc M Ns mϕξ ω α= = (4.91) 2 2

13

1 1 7,36.10 ( / )d opt

k M N mϕ

ω α= = (4.92)

2 2 26

2 2 7,75.10 ( / )opt d optc M Ns mϕξ ω α= = (4.93) 2 2

2 27

2 3,37.10 ( / )d opt

k M N mϕ

α ω= = (4.94)

Sử dụng phần mềm Maple. Mô phỏng dao động của tháp ngoài biển với điều kiện đầu: ϕ1 = 0.005 (rad), 1 0.001ϕ =& (rad/s), U1 = 0.003 (m), (m/s) 1 0.002U =&

Dic

h ch

uyen

(m)

Thoi gian (giay)

Hình 4. 18 Đồ thị biên độ dao động của bộ TMD-D được lắp đặt

vào tháp ngoài biển

136

Thoi gian (giay)

Dic

h ch

uyen

(m)

Hình 4. 19 Đồ thị biên độ dao động của bộ TMD-N được lắp đặt

vào tháp ngoài biển

Dic

h ch

uyen

(m)

Thoi gian (giay)

Dic

h c

huye

n (r

ad)

Thoi gian (giay)

Hình 4. 20 Đồ thị biên độ dao động theo phương thẳng đứng U1 của

tháp ngoài biển

Hình 4. 21 Đồ thị biên độ dao động lắc ngang ϕ1 của

tháp ngoài biển

137

4.3 KẾT LUẬN CHƯƠNG 4

Trong một số trường hợp việc lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N là rất phức

tạp, không thích hợp với hoạt động, sinh hoạt của con người, hoặc do về mặt kỹ

thuật ta không thể lắp đặt được bộ TMD-N, trong trường hợp này ta đã sử dụng

bộ giảm dao động loại con lắc DVA để thay cho cho bộ TMD-N. Vì vậy trong

chương này tác giả mở rộng các kết quả nghiên cứu trường hợp lắp đặt hai bộ

hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N cho trường hợp lắp đặt hai bộ TMD-D và

DVA. Đồng thời tác giả áp dụng các kết quả nghiên cứu để giảm dao động cho

một số cơ cấu công trình và kiểm chứng sự đúng đắn của các kết của nghiên

cứu.

Các kết quả nghiên cứu trong chương 4 thu được như sau:

1. Tác giả đã xác định được phương trình vi phân chuyển động của hệ con lắc ngược có lắp đặt đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và DVA. Từ phương trình vi phân nhận được, tác giả đã tìm được các thông số tối ưu để giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược trong trường hợp lắp hai bộ TMD-D và DVA.

2. Tác giả đã áp dụng các kết quả nghiên cứu ở trên, tính toán các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động cho tháp nước, ô tô, tháp ngoài biển, thì thấy biên độ dao động của các cơ cấu này giảm rất nhiều theo thời gian so với trường hợp không lắp đặt bộ hấp thụ dao động. Điều này đáp ứng được yêu cầu giảm dao động của kỹ thuật đặt ra. Các nghiên cứu lý thuyết này đã được tác giả kiểm chứng trên những ví dụ cụ thể bằng phần mềm chuyên dụng MAPLE và cho kết quả đáng tin cậy.

3. Để kiểm chứng sự đúng đắn của kết quả nghiên cứu, tác giả đã tiến hành so sánh các kết quả thu được trong trường hợp đơn giản hơn với kết quả đã được công bố của các nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa ra kết quả trước đây.

138

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trong thực tế nhiều công trình có dạng con lắc ngược. Qua nghiên cứu cho

thấy dao động của công trình có dạng con lắc ngược bao gồm hai loại dao động:

Dao động rung lắc có tần số là các tần số riêng của công trình và dao động

cưỡng bức gây ra bởi ngoại lực, trong đó dao động rung lắc đặc biệt có hại với

độ bền và tuổi thọ của công trình vì các dao động rung lắc thường có tần số cao,

là một trong các dao động có hại không mong muốn cần được hạn chế. Đáp ứng

gây ra dao động có hại cho công trình có dạng con lắc ngược bao gồm hai loại

chính là đáp ứng ngang và thẳng đứng liên quan đến hiện tượng lắc ngang và

nhổ cọc. Hơn nữa, trong các kết quả nghiên cứu trước đây của các tác giả trong

và ngoài nước, mới chỉ nghiên cứu dao động lắc ngang, chưa tính đến dao động

thẳng đứng của con lắc ngược. Bởi vậy luận án nghiên cứu tính toán dao động

cho cơ cấu cơ học có lắp đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD để giảm dao

động rung lắc theo phương thẳng đứng và ngang của hệ con lắc ngược theo

phương pháp cân bằng cực. Các kết quả nghiên cứu thu được như sau:

I. Tác giả đã thiết lập mô hình cơ học và mô hình toán học để xác định

dao động của cơ cấu con lắc ngược có sử dụng đồng thời hai bộ hấp thụ dao

động. Để tìm dao động của hệ, tác giả sử dụng phương trình Lagrang II. Hệ

phương trình vi phân tìm được là hệ tuyến tính. Từ quy luật chuyển động của hệ

con lắc ngược, nhận thấy có chứa các đại lượng của bộ hấp thụ dao động, đây

chính là cơ sở để các nhà khoa học nghiên cứu, phân tích, tính toán tìm các

thông số của các bộ hấp thụ dao động theo các tiêu chuẩn tối ưu khác nhau.

II. Với mục tiêu là tìm các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để tăng

các đặc trưng cản lớn nhất của hệ, tác giả đã nghiên cứu, tính toán và đưa ra kết

luận:

139

1. Để tăng đặc tính tắt dần và giảm số chu kỳ dao động thẳng đứng khối lượng của các bộ hấp thụ dao động được chọn càng lớn càng tốt, tuy nhiên cần đảm bảo để công trình làm việc ổn định theo tiêu chuẩn của kỹ thuật.

2. Để tăng đặc tính tắt dần và giảm số chu kỳ dao động lắc ngang ngoài chọn khối lượng của các bộ hấp thụ dao động càng lớn càng tốt ta còn nên chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động càng cao càng tốt và đảm bảo điều kiện ổn định, đây cũng là điểm khác biệt giữa dao động thẳng đứng và dao động lắc ngang. Điều này khẳng định rằng: Khi lắp bộ hấp thụ dao động cho các toà nhà cao tầng ta nên lắp tại tầng cao nhất của toà nhà, đối với các công trình như tháp vô tuyến, giàn khoan… ta nên lắp bộ hấp thụ dao động tại đỉnh của nó.

3. Tác giả đã tính toán xác định được các thông số tối ưu cho bộ hấp thụ dao động trong từng trường hợp cụ thể của mô hình con lắc ngược như sau:

Trường hợp 1. Cơ cấu con lắc ngược chỉ lắp bộ hấp thụ dao động TMD-D

( )1D

DD

uopt

u

αα

µ=

+

( )1D

DD

uopt

u

µξ

µ=

+

ax1

DD D

opt mµ µγ η

= <

Trường hợp 2. Cơ cấu con lắc ngược chỉ lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N

2 22 1

1 2

N N

Nopt

b b

b bϕµ η

α+

=2

23

2 21 2 1

N

N

N N

opt

b

b b b

ϕ

ϕ

µξ

µ η=

2⎡ ⎤+⎣ ⎦

140

( ) ( )1 2 321 , 1 ,N N N N Nb b bϕ ϕ N Nγ µ γ η µ η γ= + = − = +

2

ax 2 2N

N N N

optopt m

opt

αµ µ

η γ η α= <

+ N

2 2

ax 2N N

NN N N

optopt m

opt

ϕ

ϕ

Nα µ ηγ γ

µ η α−

= <

Trường hợp 3. Cơ cấu con lắc ngược có lắp đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N

( )1

21 2

11

u ud opt

u u

α µα

µ µ+

=+ +

( )((

))

1 1 22

1 2

11

u u uopt

u u

µ µ µξ

µ µ+ +

=+ +

21

2d1optBCA B

ϕµ ηα = +

( )

( )2 2 2 2

1 1 1

2 2 21

21opt

CA ABC B B C

A B C Aϕ ϕ

ϕ

µ η µ γ ηξ

µ η

+ + −=

+

( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 1 1 2 2 2 21 ; 1 ; 1A B Cϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

2µ γ µ γ µ γ η µ γ η µ γ= + + = − − = +

( ) 1

1

22 2

1 1 ax 2 21

1 d opt

d opt

opt mϕ

ϕ ϕ

µ γ η αµ µ

η γ ηα

−= <

⎡ ⎤+⎣ ⎦

1

112 2 ax 1 2

2 2 2

1d

u opt u mϕ

ϕ

µ ηγµ µ µγ η γ γ α⎛ ⎞

= < − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1

1

2 22 2 1

1 1 ax1

1 d opt

d optopt m

ϕ ϕ

ϕ

µ γ η α µ ηγ γ

µ ηα− −

= <

141

III. Trong thực tế khi lắp đặt bộ hấp thụ dao động, tuy vẫn giảm dao động cho công trình, nhưng công trình vẫn bị phá hoại. Sự phá hoại này do một nguyên nhân khác, đó là công trình bị mất ổn định. Bởi vậy ngoài xác định các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược, tác giả còn xác định các thông số của bộ hấp thụ dao động để công trình làm việc ổn định theo tiêu chuẩn của kỹ thuật.

IV. Mục đích của việc thiết kế các bộ hấp thụ dao động là làm giảm dao động của hệ hệ con lắc ngược một cách tối ưu, để đáp ứng yêu cầu của các nhà kỹ thuật. Các nghiên cứu cho thấy rằng: Khi áp dụng các kết quả nghiên cứu ở trên, tính toán các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động cho tháp nước, dao động thẳng đứng của ô tô, tháp ngoài biển, thì thấy biên độ dao động của các cơ cấu này giảm rất nhiều theo thời gian so với trường hợp không lắp đặt bộ hấp thụ dao động. Điều này đáp ứng được yêu cầu giảm dao động của kỹ thuật đặt ra.

V. Các nghiên cứu lý thuyết đã được kiểm chứng trên những ví dụ cụ thể bằng phần mềm MAPLE, đây là phần mềm được các nhà khoa học trên thế giới chuyên dùng và cho kết quả tin cậy.

VI. Sự đúng đắn của kết quả nghiên cứu còn được kiểm chứng khi so sánh các kết quả thu được trong trường hợp đơn giản hơn với kết quả đã được công bố của các nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa ra kết quả trước đây.

Các vấn đề cần nghiên cứu tiếp

1. Tiếp tục tìm các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động dựa trên các tiêu chí khác mà thực tiễn khoa học và kỹ thuật đặt ra.

2. Cơ cấu con lắc ngược mới chỉ áp dụng cho mô hình phẳng, cần tiếp tục mở rộng cho bài toán có mô hình không gian.

3. Để đưa các kết quả nghiên cứu vào ứng dụng thực tế cần nghiên cứu thực nghiệm.

142

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ

( Tên các bài báo đã được nêu trong mục tài liệu tham khảo)

[1] Nguyễn Đông Anh, Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu dao động của hệ con lắc ngược có lắp đặt hệ thống giảm dao động TMD và DVA, Tuyển tập công trình khoa học, Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 8, Hà Nội ngày 6-7/12/2007. Tập 1: Động lực học và Điều khiển, tr 53- 62.

[2] Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu dao động của hệ con lắc ngược có lắp đặt hệ thống giảm dao động TMD, Tạp chí Khoa học công nghệ xây dựng số 4/2007, tr 17- 23.

[3] Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu và áp dụng các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động TMD-N đối với hệ con lắc ngược vào việc giảm dao động cho tháp nước, Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng số 2/2008, tr12- 20.

[4] Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu tìm các thông số tối ưu của hệ thống giảm dao động TMD đối với hệ con lắc ngược và áp dụng kết quả nghiên cứu, giảm dao động cho tháp khớp nối đại dương, Tuyển tập công trình khoa học, Hội nghị Cơ học toàn quốc Kỷ niệm 30 năm Viện Cơ học và 30 năm Tạp chí Cơ học, Hà nội ngày 8-9/4/2009. Tập 2: Cơ học máy; Động lực học và điều khiển, tr 249 – 261.

[5] Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Tính toán xác định các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động TMD-D đối với hệ con lắc ngược và áp dụng kết quả nghiên cứu giảm dao động cho cầu giao thông, Tuyển tập công trình khoa học, Hội nghị Cơ học toàn quốc Kỷ niệm 30 năm Viện Cơ học và 30 năm Tạp chí Cơ học, Hà nội ngày 8-9/4/2009. Tập 2: Cơ học máy; Động lực học và điều khiển, tr 262 – 271.

[6] Khong Doan Dien, Nguyen Duy Chinh, Optimal parameters of vibration reduction system TMD-D and DVA for an inverted pendulum type structure, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 32, No 1 (2010), pp. 59-69

143

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu tiếng Việt

[1]. Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Chiều, Khổng Doãn Điền, Lý thuyết

dao động, Nhà xuất bản nông nghiệp, (2004).

[2]. Nguyễn Đông Anh, Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên

cứu bộ hấp thụ dao động [TMD] đối với hệ con lắc ngược, Tạp chí KHKT

Thuỷ lợi và môi trường số 7/11/2004, tr 61-69.

[3]. Nguyễn Đông Anh, Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Mở rộng các

kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động đối với hệ con lắc ngược cho trường hợp

con lắc thuận, Tạp chí KHKT Thuỷ lợi và môi trường số 10/09/2005, tr 71-75. [4]. Nguyễn Đông Anh, Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu dao

động của hệ con lắc ngược có lắp đặt hệ thống giảm dao động TMD và DVA,

Tuyển tập công trình khoa học, Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 8, Hà Nội ngày

6-7/12/2007. Tập 1: Động lực học và Điều khiển, tr 53- 62.

[5]. Nguyễn Đông Anh, Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu ổn

định vị trí cân bằng của hệ con lắc ngược, Tạp chí KHKT Thuỷ lợi và môi trường số

8/02/2005, tr 19-23. [6]. Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Bá Nghị (2006), Tính toán hệ TMD cho cơ

hệ một bậc tự do nhằm giảm thành phần dao động tần số riêng, Luận văn thạc

sĩ, Đại học bách khoa Hà Nội.

[7]. Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Chỉ Sáng, Nghiên cứu bài toán hấp thụ

dao động cho hệ nhiều bậc tự do. Luận án tiến sĩ Cơ học, Viện Cơ học,(2004)

[8]. Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt, Giảm dao động bằng thiết bị tiêu tán

năng lượng, Nhà xuất bản khoa học tự nhiên và công nghệ, Hà nội (2007).

144

[9]. Nguyễn Đông Anh, Phạm Minh Vương (2006), Nghiên cứu giảm dao

động tự do của một số cơ hệ bằng TMD, Luận văn thạc sĩ, Đại học khoa học

tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

[10]. Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu và áp dụng các thông số tối ưu của bộ

hấp thụ dao động TMD-N đối với hệ con lắc ngược vào việc giảm dao động cho

tháp nước, Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng số 2/2008, tr 12- 20.

[11]. Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Văn Mệnh, Trần Doãn

Tiến, Dao động cơ học và ứng dụng trong kỹ thuật, Hội cơ học Việt Nam,

(1998). [12]. Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu bộ hấp thụ dao

động đối với hệ con lắc ngược, Luận văn thạc sĩ Cơ học, Viện Cơ học Việt

Nam, Hà Nội 2005.

[13]. Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu dao động của hệ

con lắc ngược có lắp đặt hệ thống giảm dao động TMD, Tạp chí Khoa học

công nghệ xây dựng số 4/2007, tr 17- 23.

[14]. Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu giảm dao động

cho cơ cấu có dạng con lắc ngang bằng bộ hấp thụ dao động, Tạp chí KHKT

Thuỷ lợi và môi trường số 15-11/2006, kỷ niệm 30 năm thành lập các đoàn

ĐH, tr 223- 231.

[15]. Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu tìm các thông số

tối ưu của hệ thống giảm dao động TMD đối với hệ con lắc ngược và áp

dụng kết quả nghiên cứu, giảm dao động cho tháp khớp nối đại dương, Tuyển

tập công trình khoa học, Hội nghị Cơ học toàn quốc Kỷ niệm 30 năm Viện Cơ

học và 30 năm Tạp chí Cơ học, Hà nội ngày 8-9/4/2009. Tập 2: Cơ học máy;

Động lực học và điều khiển, tr 249 – 261.

[16]. Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Tính toán xác định các thông

số tối ưu của bộ hấp thụ dao động TMD-D đối với hệ con lắc ngược và áp

145

dụng kết quả nghiên cứu giảm dao động cho cầu giao thông, Tuyển tập công

trình khoa học, Hội nghị Cơ học toàn quốc Kỷ niệm 30 năm Viện Cơ học và

30 năm Tạp chí Cơ học, Hà nội ngày 8-9/4/2009. Tập 2: Cơ học máy; Động

lực học và điều khiển, tr 262 – 271.

[17]. Nguyễn Hoa Thịnh, Nguyễn Đông Anh, Phạm Ngọc Nam, Hoàng

Xuân Lượng (2004), Nghiên cứu xây dựng công nghệ điều khiển kết cấu để

giảm dao động cho các công trình DKI, Tuyển tập các công trình Hội nghị

khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ VII, Đồ Sơn – Hải

Phòng.

[18]. Nguyễn Hoa Thịnh, Nguyễn Đông Anh, Phạm Ngọc Nam, Hoàng

Xuân Lượng, Đỗ Sơn, Nguyễn Xuân Kiều (2005), Nghiên cứu xây dựng công

nghệ giảm dao động cho công trình DKI bằng hệ tiêu tán năng lượng con

lắc – lò xo, Hội nghị CTB – DKI.

[19]. Nguyễn Viết Trung, Nguyễn Đức Thị Thu Định, Phân tích hiệu quả

giảm chấn chất lỏng áp dụng tại cầu dây văng một mặt phẳng dây bãi cháy -

Việt Nam, Tạp chí Kết cấu và công nghệ xây dựng số 1-2009 Hội kết cấu và

công nghệ xây dựng Việt Nam.

[20]. P.C Muller & W. O. Schiehlen (1997), Dao động tuyến tính, Nhà xuất

bản xây dựng, người dịch Nguyễn Đông Anh.

Tài liệu tiếng Anh

[21]. A. Bradshaw, J. Shao, Swing - up control of inverted pendulum system,

Robotica 14 (1996), 397–405.

[22]. Abdel – Ghaffar A. M, (1996), Structural control of a steel jacket

plaform, Structural Engineering and Mechanics, 4(2): 125 – 138.

[23]. Bishop, R.E.D and Welbourn, D.B (1952), The Problem of the

Dynamic Vibration Absorber, Engineering, London

146

[24]. Brock J.E., Note on the Vibration Absober, J. Appl. Mech., (1964),

13(4). A-284.

[25]. C. Anderson, Learning to control an inverted pendulum using neural

network, IEEE Control Systems Mag. (1989) 31–36.

[26]. Casciati F., K.T. Duc, N.C Sang, A Selection of Optimum Parametert

For Tuned Mass Dampers, Proceedings of Third World Conference on

Structural Control, Como Italy, (2002), Vol 3, p. 753-758.

[27]. Chang J. C. H., Soong T. T., Structural control using active tuned mass

dampers, journal of the Engineering Mechannics Division, ASCE, (1980),

106; p. 1091-1098.

[28]. Den Hartog J.P.(1947), Mechanical Vibrations(3rdedn), McGraw–

Hill: Newyor.

[29]. E. Koyanagi, S. Iida, K. Kimoto, S. Yuta, A wheeled inverse

pendulum type self-contained mobile robot and its two-dimensional trajectory

control. In: Proc. of ISMCR'92 (1992), 891–898.

[30]. Falcon, K. C., Stone, B. J., Simcock, W. D and Andrew, C.,

Optimization of Vibration Absorbers: A Graphical Method for Use on Idealized

Systems with Restricted Damping, J. Mech. Eng. Science, (1976), 9, 374-381.

[31]. Faravelli L., Venini P., Active structural control by neural Networks,

Journal of Structural control, (1994), Vol. 1N. 1-2, p79-102.

[32]. Frahm H. (1909), Device for damped vibration of bodies, U.S. Patent

No 989958, Oct. 30.

[33]. Fujino Y. and Abe M. Design Formulas for Tuned Mass Dampers

Based on a Perturbation Technique, Earthquake Eng. Struct. Dyn., (1993),

22, 833-854.

147

[34]. Gobbi M., Mastinu G., Analytical description and optimization of the

dynamic behaviour of passive suspended road vehicles, Joural of Sound and

Vibration, (2001), 245(3), p. 457-481.

[35]. Gordon T. J., March C. and Milsted M. G., A comparison of adaptive

LQG and nonlinear controllers for vehicle active suspension systems, Vehicle

System Dynamics, (1991), 20, p. 321-340.

[36]. H. Matsuhisa, R. Gu, Y. Wang, O. Nishihara, S. Sato, Vibration

control of a ropeway carrier by passive dynamic vibration absorbers, JSME

International Journal (Series C), 38-4, 657-662, (1995).

[37]. H. Niemann, J. K. Poulsen, Analysis and design of controllers for a

double inverted pendulum. In Proceedings of the American control

conference, Denver, CO, (2003), USA, 2903–2808.

[38]. H. Su, C. A. Woodham, On the uncontrollable damped triple inverted

pendulum. Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 151,

Issue 2, 425-443 2003.

[39]. Hiroshi Matsuhisa và Masashi Yasuda, Dynamic absorbers for rolling

structures, Kyoto University, Japan.(1993).

[40]. Ioi T., Ideka K., On the dynamic vibration damped absorber of the

vibration system, Bulletin of Japanese Society of Mechanical Engineering,

(1978), 21(151), p. 64-71.

[41]. Jacquot R. G and Hoppe, D. L., Optimal Random Vibration Absorbers,

J. Eng. Mech., ASCE, (1973), 99, p. 612-616

[42]. Jennige R. L and Frohrib D. A., Alternative Tuned Absorbers for

Steady State Vibration Control of Tall Structures, J. Mech. Des., ASME,

(1977), Paper No. 77-DET-84,1-7.

148

[43]. Karnopp D. C. and Behery E. M. El., Optimal Control of Vehical

Random Vibration with Constrained suspension Deflection. Journal of sound

and Vibration, (1996), 189(5), p. 547-564.

[44]. Karnopp D. C., Active damping in road vehicle suspension systems,

Vehicle System Dynamics, (1983), 12, p. 291-319.

[45]. Khong Doan Dien, Nguyen Duy Chinh, Optimal parameters of vibration

reduction system TMD-D and DVA for an inverted pendulum type structure,

Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 32, No 1 (2010), pp. 59-69.

[46]. Kobori T. and Minai R., Analytical study on active seismic reponse control.

Transactions of the Architetural institute of Japan, (1960), No. 66, p. 37- 46.

[47]. Korenev B. G., Reznikov L. M (1993), Dynamic Vibration Absorbers:

Theory and Technical Applications, John Wiley & Sons, New York.

[48]. Luft, R. W., Optimal Tuned Mass Damper for building, J. Struct. Div.,

ASCE, (1979), 105(12), 2766-2772.

[49]. Matsuhisa H, Park J. G (2001), Differential – Pulley – type Dynamic

Vibration Absorber, Proc. Of Asia – Pacific Vibration Conference, 451 – 455.

[50]. N. C. Sang, N. C. Thang, Design of Active Tuned Mass Dampers using

Linear Quadratic Regulation Control, Proceedings of the Third Asian Conference

on Industrial Automation and Robotics, Bangkok, (2003), p. 263-267.

[51]. N. D. Anh, H. Matsuhisa, L. D. Viet, M. Yasuda, Vibration control of an

inverted pendulum type structure by passive mass-spring-pendulum dynamic

vibration absorber, Journal of Sound and Vibration 307 (2007) 187–201.

[52]. N. D. Anh, K. T. Duc, N. C. Sang, A Procedure for Selection of

parameters of Tuned Mass Damper for Milti-Degree-of-Freedom Systems

Subjected to Coloured Noise Excitation, Journal of Science and Technique -

N.97 Military Technical Academy, (2001),p. 58-65.

149

[53]. N. D. Anh, N. C. Sang, A procedure for Profer Sellection of Absober

parrameters for Multi Degree of Freedom Systems subjected to Harmonic

Excitation, Proceeding of the National conference "Vibration Engineering",

Nhà xuất bản quốc gia Hà Nội, (2000),p. 25-34.

[54]. N. D. Anh, N. C. Sang, A selection of parameters of tuned mass

damper for multi-Degree-Of Freedom-Systems, Subjected to second order

coloured noise excitation, Vietnam Journal of M echanics, NCST of Vietnam,

(2003) Vol .25, No 2 (65-76).

[55]. N. D. Anh, N. C. Sang, Design of an Optimal Tuned Mass Dampers

For Muliti-Dgree-Of-Freedom-Systems, advances in Natural Sciences,

(2003), Volume 4, No 1, p. 1-14.

[56]. N. D. Anh, N. C. Sang, On the Optimal Control Force Applied to

Tuned Mass Dampers for Muliti-Degree-Of-Freedom System. Vietnam

Jourmal of Mechanics., NCST of Vietnam, (2004), Vol .26, No. 1(1-14).

[57]. Nguyen Dong Anh, Ninh Quang Hai, An approach to design smart

civil structures, in proceedings of Intenational Conference on Construction,

19-21 June 2001, Hong Kong, China.

[58]. O. Matsumoto, S. Kajita and K. Tani, Attitude estimation of the

wheeled inverted pendulum using adaptive observer. In: Proc. of 9th

Academic Conf. of the Robotics Society of Japan (1991), 909–910 (in

Japanese).

[59]. Randll et al (1981), The Boundary Element Methods in Engineering,

McGrawHill, London, UK

[60]. Roberson (1952), Viscoelastic Properties of Polymers, John Wiley,

New York.

[61]. S.R. Bishop, D.J. Sudor, The ‘not quite’ inverted pendulum, Int. J.

Bifurcat. Chaos 19 (1999) (1), 273–285.

150

[62]. Sirlin S., Paliou C., Long R. W., Shinozuka M. and Samaras E.,

(1986), Active control of floating structures, Earthquake Engineering and

Structural Dynamics, 3: 287 – 296.

[63]. Snowdon (1960), Passive isolation of Random vibration, Pergamon

Press, Oxfod.

[64]. Soong T.T (1989), Active Structural Control: Theory and Practice,

John Willey & Son, Inc, NewYork.

[65]. Srinivasan (1969), On the Dynamic Behavior of Damper Under

Seismic Excitation, Pergamon Press, Oxford.

[66]. Suhardjo J., Kareem A., (1997), Structural control of offshore

platforms, Proc. of 7th ISOPE, USA Honolulu 416 -424.

[67]. Thomson W. T. (1995), Theory of Vibration with Applications, George

Allen and Unwin, London and Sydney, Second edition.

[68]. V. Williams, K. Matsuoka, Learning to balance the inverted pendulum

using neural networks, Proceedings of the International Joint Conference on

Neural Networks, Singapore (1993), 214–219.

[69]. Warbuton G. B. and Ayorinde S. H., Seismic Response of Structures

with Supplemental Damping, Struc. Design Tall Bldgs., (1981), 2, p. 77-92.

[70]. Warbuton G. B. Optimum absorber parameters for various

combinations of response and excitation parameters, Earthquake Engineering

and Structural Dynamics, (1982), 10:381-401.

[71]. X. Chen, A.Kareem, Efficacy of tuned mass dampers for bridge flutter

control, Journal of. Structural Engineering, ASCE, 0733-9445, 1291-1300 (2003).

[72]. Yoshida K., Suzuki H. and Oka N., (1990), Control of dynamic

responses of towerlike offshore structures in waves, Transactions of the

ASME, 112, 14 – 20.

151

LỜI CẢM ƠN!

Tác giả xin chân thành cảm ơn GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh,

Viện trưởng Viện Cơ học - Chủ tịch hội đồng khoa học của Viện đã

đóng góp nhiều ý kiến có giá trị cao, tạo mọi điều kiện thuận lợi và

động viên trong suốt quá trình nghiên cứu sinh và hoàn thành luận

án. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo đã tham

gia giảng dạy và đào tạo trong quá trình tác giả học nghiên cứu

sinh. Đặc biệt, Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.

TS Khổng Doãn Điền và TS. Kiều Thế Đức những người đã tận

tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận án.

Đồng thời tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Viện Cơ học,

Khoa Cơ học kỹ thuật và Tự động hoá của Viện, Trường Đại học

thuỷ lợi, Khoa Cơ khí trường ĐH Thuỷ lợi, Bộ môn Cơ học kỹ

thuật trường ĐH Thuỷ lợi đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác

giả làm việc trong suốt thời gian nghiên cứu sinh. Cuối cùng tác

giả ghi lòng sự hỗ trợ về vật chất và động viên về tinh thần của bạn

bè, đồng nghiệp và những người thân trong gia đình trong suốt quá

trình nghiên cứu sinh hoàn thành luận án này.