Luyện giải bài tập vật lý 12 – Dao động cơ học ương Văn Thanh

Luyện giải bài tập vật lý 12 – Dao động cơ học Trương Văn Thanh

Trường THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Yên – Quảng Ninh. ĐT: 0974.810.957 Trang 1

PHẦN MỘT: DAO ĐỘNG CƠ

A: TÓM TẮT LÍ THUYẾT Bài 1. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

I. Dao động cơ : 1. Thế nào là dao động cơ : Chuyển động qua lại quanh một vị trí đặc biệt, gọi là vị trí cân bằng. 2. Dao động tuần hoàn : Sau những khoảng thời gian bằng nhau gọi là chu kỳ, vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ. II. Phương trình của dao động điều hòa : 1. Định nghĩa : Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cosin ( hay

sin) của thời gian 2. Phương trình : x = Acos( ωt + ϕ ) + A là biên độ dao động ( A>0), A phụ thuộc năng lượng cung cấp cho hệ ban dầu, cách

kích thích + ( ωt + ϕ ) là pha của dao động tại thời điểm t + ϕ là pha ban đầu, phụ tuộc cách chọn gốc thời gian,gốc tọa độ, chiều dương III. Chu kỳ, tần số và tần số góc của dao động điều hòa : 1. Chu kỳ, tần số : - Chu kỳ T : Khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần – đơn vị giây (s) - Tần số f : Số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây – đơn vị Héc (Hz) 2. Tần số góc :

f2T

2π=

π=ω ;

Tf

1= (ω, T, f chỉ phụ tuộc đặc tính của hệ)

VI. Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa : 1. Vận tốc : v = x’ = -ωAsin(ωt + ϕ ) = ω.Acos(ω.t + ϕ + π/2)

Ở vị trí biên : x = ± A ⇒ v = 0 Ở vị trí cân bằng : x = 0 ⇒ vmax = Aω

Liên hệ v và x : 22

22 A

vx =

ω+

2. Gia tốc : a = v’ = x”= -ω2Acos(ωt + ϕ ) = )cos(2 πϕωω ++tA

Ở vị trí biên : Aa 2

maxω=

Ở vị trí cân bằng a = 0 Liên hệ a và x : a = - ω2x V. Đồ thị của dao động điều hòa : Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của x vào t là một đường hình sin. VI. Liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều: Một điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng có thể coi là hình chiếu của một điểm

tương ứng chuển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó. VII: Độ lệch pha của x,v,a:

x

a

v



Các dạng bài tập: 1. Dao động có phương trình đặc biệt: * x = a ± Acos(ωt + ϕ) với a = const Biên độ là A, tần số góc là ω, pha ban đầu ϕ x là toạ độ, x0 = Acos(ωt + ϕ) là li độ. Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a ± A Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a = v’ = x” = x0” Hệ thức độc lập: a = -ω2x0

2 2 20 ( )

vA x

ω= +

* x = a ± Acos2(ωt + ϕ) (ta hạ bậc) Biên độ A/2; tần số góc 2ω, pha ban đầu 2ϕ. * Chuyển đổi công thức: -cosα = cos(α- π)= cos(α +π) sin α = cos(α-π/2) - sin α = cos(α+π/2) 2. Chiều dài quỹ đạo: 2A 3.Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại *Thời gian vật đi được những quãng đường đặc biệt:

4. Các bước lập phương trình dao động dao động điều hoà: * Tính ω * Tính A *Tính ϕ dựa vào điều kiện đầu:lúc t = t0

(thường t0 = 0) 0

0

Acos( )

sin( )

x t

v A t

ω ϕϕ

ω ω ϕ

= +⇒

= − +

Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0 (ϕ<0), ngược lại v < 0 (ϕ>0) + Trước khi tính ϕ cần xác định rõ ϕ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng

giác (thường lấy -π < ϕ ≤ π) 5.Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2 : Viết phương trình chuyển động chọn gốc thời gian lúc x= x1, v > 0 , thay x= x2, v > 0 tìm t

A -A O A/2

T/6

T/12

2

3A

2

2A

T/8

T/12 T/8 T/6



6.Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2. Phân tích: t2 – t1 = nT + ∆t (n ∈N; 0 ≤ ∆t < T) Quãng đường đi được trong thời gian nT là S1 = 4nA, trong thời gian ∆t là S2. Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2 + Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox

Xác định: 1 1 2 2

1 1 2 2

Acos( ) Acos( )à

sin( ) sin( )

x t x tv

v A t v A t

ω ϕ ω ϕ

ω ω ϕ ω ω ϕ

= + = +

= − + = − + (v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)

Lưu ý: + Nếu ∆t = T/2 thì S2 = 2A

+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2: 2 1

tb

Sv

t t=

− với S là quãng đường tính như

trên. 7. Tính thời gian đi được quãng đường S và thời gian vật đi từ li độ x1 đến x2 cũng tương

tự: Phân tích :S = n4A + ∆S -Thời gian đi được quãng đường n.4A là t=n.T -Nếu ∆S= 2A thì t’=T/2 -Nếu ∆S lẻ thì tìm thời gian vật đi từ li độ x1 đến x2 là t’ *Toàn bộ thời gian là:t+t’ 8. Các bước giải bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F)

lần thứ n * Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t (Với t > 0 ⇒ phạm vi giá trị của k ) * Liệt kê n nghiệm đầu tiên (thường n nhỏ) * Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n Lưu ý:+ Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ n + Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động

tròn đều 9. Các bước giải bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F) từ

thời điểm t1 đến t2. * Giải phương trình lượng giác được các nghiệm * Từ t1 < t ≤ t2 ⇒ Phạm vi giá trị của (Với k ∈ Z) * Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó. Lưu ý: + Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển

động tròn đều. + Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần. 10. Các bước giải bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng

thời gian ∆t. Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0. + Viết lại phương trình chuyển động, chọn gốc thời gian là x = x0. v>o (hoặc v<0 tùy theo đề) Thế t=∆t tìm được đại lượng cần 11.Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < ∆t < T/2. Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều.



Góc quét ∆ϕ = ω∆t. Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 1)

ax 2A sin2MSϕ∆

=

Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)

2 (1 os )2MinS A cϕ∆

= −

Lưu ý: + Trong trường hợp ∆t > T/2

Tách '2

Tt n t∆ = + ∆

trong đó *;0 '2

Tn N t∈ < ∆ <

Trong thời gian 2

Tn quãng đường

luôn là 2nA Trong thời gian ∆t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.

+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian ∆t: ax

axM

tbM

Sv

t=

∆ và Min

tbMin

Sv

t=

∆ với SMax; SMin tính như trên.

Bài 2. CON LẮC LÒ XO I. Con lắc lò xo : Gồm một vật nhỏ khối lượng m gắn vào đầu lò xo độ cứng k, khối lượng lò xo không đáng

kể II. Khảo sát dao động con lắc lò xo về mặt động lực học : 1. Lực tác dụng : F = - kx

2. Định luật II Niutơn : xm

ka −= = - ω2x

3. Tần số góc và chu kỳ : m

k=ω ⇒

k

m2T π=

* Đối với con lắc lò xo thẳng đứng: g

lT

l

g ∆=⇒

∆= πω 2

4. Lực kéo về(lực phục hồi) : Tỉ lệ với li độ F = - kx + Hướng về vị trí cân bằng + Biến thiên điều hoà theo thời gian với cùng chu kỳ của li độ + Ngươc pha với li độ III. Khảo sát dao động con lắc lò xo về mặt năng lượng

1. Động năng : 2đ mv

2

1W =

2. Thế năng : 2đ kx

2

1W =

3. Cơ năng : ConstAm2

1kA

2

1WWW 222

tđ =ω==+=

A-A

MM 12

O

P

x xO

2

1

M

M

-A

A

P2 1P

P

2

ϕ∆

2

ϕ∆



- Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương biên độ dao động - Cơ năng của con lắc được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát - Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kỳ T/2 - Thời gian liên tiếp giữa 2 lần động năng bằng thế năng là T/4

- Khi 12 +

±=→=

n

AxnWW tđ

- Khi12 +

±=→=

n

AvnWW đt

ω

Các dạng bài tâp: 1. * Độ biến dạng của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB:

mg

lk

∆ = ⇒ 2l

Tg

π∆

=

* Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB với con lắc lò xo nằm trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α:

sinmg

lk

α∆ = ⇒ 2

sin

lT

gπ

α∆

=

+ Chiều dài lò xo tại VTCB: lCB = l0 + ∆l (l0 là chiều dài tự nhiên) + Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất): lMin = l0 + ∆l – A + Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất): lMax = l0 + ∆l + A ⇒ lCB = (lMin + lMax)/2 + Khi A >∆l (Với Ox hướng xuống): - Thời gian lò xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để

vật đi từ vị trí x1 = -∆l đến x2 = -A. - Thời gian lò xo giãn 1 lần là thời gian ngắn nhất để

vật đi từ vị trí x1 = -∆l đến x2 = A, Lưu ý: Trong một dao động (một chu kỳ) lò xo nén 2

lần và giãn 2 lần 2. Lực kéo về hay lực hồi phục F = -kx = -mω2x Đặc điểm: * Là lực gây dao động cho vật. * Luôn hướng về VTCB * Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ 3. Lực đàn hồi là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng. Có độ lớn Fđh = kx* (x* là độ biến dạng của lò xo) * Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn hồi là một (vì tại VTCB lò xo

không biến dạng) * Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng + Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức: * Fđh = k|∆l + x| với chiều dương hướng xuống * Fđh = k|∆l - x| với chiều dương hướng lên + Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): FMax = k(∆l + A) = FKmax (lúc vật ở vị trí thấp nhất) + Lực đàn hồi cực tiểu: * Nếu A < ∆l ⇒ FMin = k(∆l - A) = FKMin

* Nếu A ≥ ∆l ⇒ FMin = 0 (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng) Lực đẩy (lực nén) đàn hồi cực đại: FNmax = k(A - ∆l) (lúc vật ở vị trí cao nhất) Chú ý: Khi hệ dao động theo phương nằm ngang thì lực đàn hồi và lực hồi phục là như nhau

xA-

A −∆ l

Nén 0Giãn

Hình vẽ thể hiện thời gian lò xo nén và giãn trong 1 chu kỳ (Ox hướng xuống)

∆l

giãn O

x

A

-A nén

∆l giãn O

x

A

-A

Hình a (A < ∆l) Hình b (A > ∆l)



4. Một lò xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các lò xo có độ cứng k1, k2, … và chiều dài tương ứng là l1, l2, … thì có: kl = k1l1 = k2l2 = …

5. Ghép lò xo:

* Nối tiếp 1 2

1 1 1...

k k k= + + ⇒ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì: T2 = T1

2 + T22

* Song song: k = k1 + k2 + … ⇒ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:2 2 2

1 2

1 1 1...

T T T= + +

6. Gắn lò xo k vào vật khối lượng m1 được chu kỳ T1, vào vật khối lượng m2 được T2, vào vật khối lượng m1+m2 được chu kỳ T3, vào vật khối lượng m1 – m2 (m1 > m2) được chu kỳ T4. Thì ta có: 2 2 2

3 1 2T T T= + và 2 2 24 1 2T T T= −

Bài 3. CON LẮC ĐƠN I. Thế nào là con lắc đơn : Gồm một vật nhỏ khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây không dãn, khối lượng không đáng

kể. II. Khảo sát dao động con lắc đơn về mặt động lực học :

- Lực thành phần Pt là lực kéo về : Pt = - mgsinα

- Nếu góc α nhỏ ( α < 100 ) thì : l

smgmgPt −=α−=

Khi dao động nhỏ, con lắc đơn dao động điều hòa. với chu kỳ : g

l2T π= ,

l

gπω 2=

3. Phương trình dao động: s = S0cos(ωt + ϕ) hoặc α = α0cos(ωt + ϕ) với s = αl, S0 = α0l ⇒ v = s’ = -ωS0sin(ωt + ϕ) = -ωlα0sin(ωt + ϕ) ⇒ a = v’ = -ω2S0cos(ωt + ϕ) = -ω2lα0cos(ωt + ϕ) = -ω2s = -ω2αl Lưu ý: S0 đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x

+ Nếu F��

hướng lên thì 'F

g gm

= −

III. Khảo sát dao động con lắc đơn về mặt năng lượng :( dùng cho con lắn ban đầu được

thả v=0)


2

1W =

2. Thế năng : Wt = mgl(1 – cosα )

3. Cơ năng : )cos1(mglmv2

1W 2 α−+= = mgl(1 - cosα0)

4. Vận tốc : )cos(cos2 0αα −= glv

5. Lực căng dây : )cos2cos3( 0αα −= mgT IV. Ứng dụng : Đo gia tốc rơi tự do Các dạng toán: 1. Hệ thức độc lập(v0 có thể khác 0 hoặc bằng 0) * a = -ω2s = -ω2αl

* 2 2 20 ( )

vS s

ω= +



* 2

2 20

v

glα α= +

2. Cơ năng: 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

1 1 1 1W

2 2 2 2ω α ω α= = = =

mgm S S mgl m l

l

3. Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l1 có chu kỳ T1, con lắc đơn chiều dài l2 có chu kỳ T2, con lắc đơn chiều dài l1 + l2 có chu kỳ T2,con lắc đơn chiều dài l1 - l2 (l1>l2) có chu kỳ T4. Thì ta có: 2 2 2

3 1 2T T T= + và 2 2 24 1 2T T T= −

4. Khi con lắc đơn dao động với α0 bất kỳ. Cơ năng, vận tốc và lực căng của sợi dây con lắc đơn

W = mgl(1-cosα0); v2 = 2gl(cosα – cosα0) và TC = mg(3cosα – 2cosα0)

Lưu ý: - Các công thức này áp dụng đúng cho cả khi α0 có giá trị lớn - Khi con lắc đơn dao động điều hoà (α0 << 1rad) thì:

2 2 2 20 0

1W= ; ( )

2mgl v glα α α= − (đã có ở trên)

2 20(1 1,5 )CT mg α α= − +

5. Con lắc đơn có chu kỳ đúng T ở độ cao h1, nhiệt độ t1. Khi đưa tới độ cao h2, nhiệt độ t2 thì ta có:

2

T h t

T R

λ∆ ∆ ∆= +

Với R = 6400km là bán kính Trái Đât, còn λ là hệ số nở dài của thanh con lắc. 6. Con lắc đơn có chu kỳ đúng T ở độ sâu d1, nhiệt độ t1. Khi đưa tới độ sâu d2, nhiệt độ t2

thì ta có:

2 2

T d t

T R

λ∆ ∆ ∆= +

Lưu ý: * Nếu ∆T > 0 thì đồng hồ chạy chậm (đồng hồ đếm giây sử dụng con lắc đơn) * Nếu ∆T < 0 thì đồng hồ chạy nhanh * Nếu ∆T = 0 thì đồng hồ chạy đúng

* Thời gian chạy sai mỗi ngày (24h = 86400s): 86400( )T

sT

∆θ =

8. Khi con lắc đơn chịu thêm tác dụng của lực phụ không đổi: Lực phụ không đổi thường là: * Lực quán tính: F ma= −

�� , độ lớn F = ma ( F a↑↓

�� )

Lưu ý: + Chuyển động nhanh dần đều a v↑↑� �

( v�

có hướng chuyển động) + Chuyển động chậm dần đều a v↑↓

� �

* Lực điện trường: F qE=��

, độ lớn F = |q|E (Nếu q > 0 ⇒ F E↑↑��

; còn nếu q < 0 ⇒ F E↑↓��

)

* Lực đẩy Ácsimét: F = DgV ( F��

luông thẳng đứng hướng lên) Trong đó: D là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất khí. g là gia tốc rơi tự do. V là thể tích của phần vật chìm trong chất lỏng hay chất khí đó. Khi đó: 'P P F= +

�� gọi là trọng lực hiệu dụng hay trong lực biểu kiến (có vai trò như trọng

lực P��

)

'F

g gm

= +

��

gọi là gia tốc trọng trường hiệu dụng hay gia tốc trọng trường biểu kiến.

Chu kỳ dao động của con lắc đơn khi đó: ' 2'

lT

gπ=



Các trường hợp đặc biệt: * F��

có phương ngang:

+ Tại VTCB dây treo lệch với phương thẳng đứng một góc có: tanF

Pα =

+ 2 2' ( )F

g gm

= +

* F��

có phương thẳng đứng hướng lên thì m

Fgg −='

* Nếu F��

hướng xuống thì 'F

g gm

= +

( chú ý :g tăng khi thang máy lên nhanh , xuống chậm) 9.(Dành cho chương trình nâng cao) Con l¾c vËt lÝ. a. M« t¶ con l¾c vËt lÝ: Lµ mét vËt r¾n ®−îc quay quanh mét trôc n»m ngang cè ®Þnh. b. Ph−¬ng tr×nh dao ®éng cña con l¾c: 0. ( . )cos tα α ω ϕ= + ;

- TÇn sè gãc: .mg d

Iω = Trong ®ã m lµ khèi

l−îng vËt r¾n, d lµ kho¶ng çch tõ träng t©m vËt r¾n ®Õn trôc quay ( d = OG ), I lµ m«men qu¸n tÝnh cña vËt r¾n ®èi víi trôc quay( ®¬n vÞ kg.m2).

- Chu k× dao ®éng: 2 1

2.

IT

mg d f

ππ

ω= = =

- øng dông cña con l¾c vËt lÝ lµ dïng ®o gia tèc träng tr−êng g

Bài 4. DAO ĐỘNG TẮT DẦN – DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC I. Dao động tắt dần : 1. Thế nào là dao động tắt dần : Biên độ dao động giảm dần 2. Giải thích : Do lực cản của không khí, lực ma sát và lực cản càng lớn thì sự tắt dần càng

nhanh. 3. Ứng dụng : Thiết bị đóng cửa tự động hay giảm xóc. II. Dao động duy trì : Giữ biên độ dao động của con lắc không đổi mà không làm thay đổi chu kỳ dao động riêng

bằng cách cung cấp cho hệ một phần năng lượng đúng bằng phần năng lượng tiêu hao do ma sát sau mỗi chu kỳ.

III. Dao động cưỡng bức : 1. Thế nào là dao động cưỡng bức : Giữ biên độ dao động của con lắc không đổi bằng cách

tác dụng vào hệ một ngoại lực cưỡng bức tuần hoàn 2. Đặc điểm : - Tần số dao động của hệ bằng tần số của lực cưỡng bức. - Biên độ của dao động cưỡng bức phụ thuộc biên độ lực cưỡng bức và độ chênh lệch giữa

tần số của lực cưỡng bức và tần số riêng của hệ dao động. * Chú ý: Bài toán xe , xô nước lắc mạnh nhất: HÖ dao ®éng cã tÇn sè dao ®éng riªng lµ f0, nÕu hÖ chÞu t¸c dông cña lùc c−ìng bøc biÕn thiªn tuÇn hoµn víi tÇn sè f th× biªn ®é dao ®éng cña hÖ lín nhÊt khi: f0 = f

O G P��

R��

O

G

P��

R��

α

d



Vd: Mét chiÕc xe g¾n m¸y ch¹y trªn mét con ®−êng l¸t g¹ch, cø çch kho¶ng 9m trªn ®−êng l¹i cã mét r·nh nhá. Chu k× dao ®éng riªng cña khung xe m¸y trªn lß xo gi¶m xãc lµ 1,5s. Hái víi vËn tèc b»ng bao nhiªu th× xe bÞ xãc m¹nh nhÊt. Lêi Gi¶i Xe m¸y bÞ xãc m¹nh nhÊt khi f0 = f 0T T⇔ = mµ T = s/v suy ra v = s/T = 9/1,5 = 6(m/s) =

21,6(km/h). IV. Hiện tượng cộng hưởng : 1. Định nghĩa : Hiện tượng biên độ của dao động cưỡng bức tăng đến giá trị cực khi tần số f

của lực cưỡng bức tiến đến bằng tần số riêng f0 của hệ dao động gọi là hiện tượng cộng hưởng.

2. Tầm quan trọng của hiện tượng cộng hưởng : Hiện tượng cộng hưởng không chỉ có hại mà còn có lợi

+ Nâng cao: Một con lắc lò xo dao động tắt dần với biên độ A, hệ số ma sát µ. * Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là:

2 2 2

2 2

kA AS

mg g

ωµ µ

= =

* Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là: 2

4 4mg gA

k

µ µω

∆ = =

* Số dao động thực hiện được: 2

4 4

A Ak AN

A mg g

ωµ µ

= = =∆

* Thời gian vật dao động đến lúc dừng lại:

.4 2

AkT At N T

mg g

πωµ µ

∆ = = = (Nếu coi dao động tắt dần có tính tuần hoàn với chu kỳ 2

Tπ

ω= )

Bài 5. TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ -

PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE – NEN I. Véctơ quay : Một dao động điều hòa có phương trình x = Acos(ωt + ϕ ) được biểu diễn bằng véctơ quay

có các đặc điểm sau : - Có gốc tại gốc tọa độ của trục Ox - Có độ dài bằng biên độ dao động, OM = A - Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu. II. Phương pháp giản đồ Fre – nen : Dao động tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với 2 dao động đó. Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp được xác định : )cos(AA2AAA 1221

22

21

2 ϕ−ϕ++=

2211

2211

cosAcosA

sinAsinAtan

ϕ+ϕ

ϕ+ϕ=ϕ (dựa vào dấu của sinϕ và cosϕ để tìm ϕ)

VD:tanϕ =6

.6

7

3

3 ππϕ phaikhong=→

−−

*Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hoà cùng phương cùng tần số



x1 = A1cos(ωt + ϕ1;

x2 = A2cos(ωt + ϕ2) …

thì dao động tổng hợp cũng là dao động điều hoà cùng phương cùng tần số

x = Acos(ωt + ϕ).

Chiếu lên trục Ox và trục Oy ⊥ Ox .

Ta được: 1 1 2 2os os os ...xA Ac A c A cϕ ϕ ϕ= = + +

1 1 2 2sin sin sin ...yA A A Aϕ ϕ ϕ= = + +

2 2x yA A A⇒ = + và tan y

x

A

Aϕ = với ϕ ∈[ϕMin;ϕMax]

*Ảnh hưởng của độ lệch pha : - Nếu 2 dao động thành phần cùng pha : ∆ϕ = 2kπ ⇒ Biên độ dao động tổng hợp cực đại : A =

A1 + A2 - Nếu 2 dao động thành phần ngược pha : ∆ϕ = (2k + 1)π ⇒ Biên độ dao động tổng hợp cực

tiểu : 21 AAA −=

- Nếu hai dao động thành phần vuông pha : 22

212

)12( AAAn +=⇒+=∆π

ϕ

- Biên độ dao động tổng hợp : 2121 AAAAA +≤≤−

- Nếu A1 = A2 thì 2

21 ϕϕϕ

+=

B: CÁC DẠNG VÀ KIỂU BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Chương I: DAO ĐỘNG CƠ Bài 1: Dao động điều hòa

Dạng 1 – XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 1 – Kiến thức cần nhớ : – Phương trình chuẩn :

x = Acos(ωt + φ) ; v = –ωAsin(ωt + φ) ; a = – ω2Acos(ωt + φ)

– Công thức liên hệ giữa chu kỳ và tần số : ω = 2

T

π = 2πf

– Một số công thức lượng giác :

sinα = cos(α – π/2); – cosα = cos(α + π); cos2α = 1 cos2

2

+ α

cosa + cosb = 2cos a b

2

+ cos a b

2

− . sin2α = 1 cos2

2

− α

2 – Phương pháp : a – Xác định A, φ, ω… -Tìm ω : Đề cho : T, f, k, m, g, ∆l0

ω = 2πf = 2

T

π , với T = t

N

∆ , N – Tổng số dao động trong thời gian ∆t

Nếu là con lắc lò xo : Nằm ngang Treo thẳng đứng

ω = k

m, (k : N/m ; m : kg) ω =

0

g

l∆, khi cho ∆l0 =

mg

k =

2

g

ω.



Đề cho x, v, a, A : ω =2 2

v

A x−= a

x = maxa

A= maxv

A

- Tìm A :*Đề cho : cho x ứng với v ⇒ A = 2 2vx ( ) .+

ω

- Nếu v = 0 (buông nhẹ) ⇒ A = x

- Nếu v = vmax ⇒ x = 0 ⇒ A = maxv

ω

* Đề cho : amax ⇒ A = max2

a

ω

* Đề cho : chiều dài quĩ đạo CD ⇒ A = CD

2.

* Đề cho : lực Fmax = kA. ⇒ A = maxF

k.

* Đề cho : lmax và lmin của lò xo ⇒A = max minl l

2

− .

* Đề cho : W hoặc dmaxW hoặc tmax

W

⇒A = 2W

k.Với W = Wđmax = Wtmax =

21kA

2.

* Đề cho : lCB,lmax hoặc lCB, lmim ⇒A = lmax – lCB hoặc A = lCB – lmin. - Tìm ϕ (thường lấy – π < φ ≤ π) : Dựa vào điều kiện ban đầu : Nếu t = 0 :

- x = x0 , v = v0 ⇒ 0

0

x Acos

v A sin

= ϕ

= − ω ϕ ⇒

0

0

xcos

Av

sinA

ϕ =

ϕ = − ω

⇒ φ = ?

- v = v0 ; a = a0 ⇒ 2

0

0

a A cos

v A sin

= − ω ϕ

= − ω ϕ ⇒tanφ = ω 0

0

v

a ⇒ φ = ?

* Nếu t = t1 : 1 1

1 1

x A cos( t )

v A sin( t )

= ω + ϕ

= − ω ω + ϕ ⇒ φ = ? hoặc

21 1

1 1

a A cos( t )

v A sin( t )

= − ω ω + ϕ

= − ω ω + ϕ ⇒ φ = ?

(Cách giải tổng quát: x0 ≠ 0; x0 ≠ A ; v0 ≠ 0 thì :tan ϕ = 0

0

v

.x−

ω)

– Đưa các phương trình về dạng chuẩn nhờ các công thức lượng giác. – so sánh với phương trình chuẩn để suy ra : A, φ, ω……….. b – Suy ra cách kích thích dao động :

– Thay t = 0 vào các phương trình x A cos( t )

v A sin( t )

= ω + ϕ

= − ω ω + ϕ ⇒ 0

0

x

v

⇒ Cách kích thích dao động.

*Lưu ý : – Vật theo chiều dương thì v > 0 → sinφ < 0; đi theo chiều âm thì v < 0→ sinϕ > 0.



*Các trường hợp đặc biệt : Chọn gốc thời gian t = 0: x0 = ? v0 = ? Vị trí vật lúc t = 0 : x0 =?

CĐ theo chiều trục tọa độ; dấu của v0?

Pha ban đầu φ?

Vị trí vật lúc t = 0 : x0 =?

CĐ theo chiều trục tọa độ; dấu của v0?

Pha ban đầu φ?

VTCB x0 = 0 Chiều dương: v0 > 0

φ =– π/2. x0 = A 2

2

Chiều dương: v0 > 0

φ = –4

π

VTCB x0 = 0 Chiều âm :v0 < 0 φ = π/2. x0 = – A 2

2

Chiều dương:v0 > 0

φ = – 3

4

π

biên dương x0 =A

v0 = 0 φ = 0 x0 =

A 2

2

Chiều âm : v0 < 0 φ = 4

π

biên âm x0 = -A

v0 = 0 φ = π. x0 = – A 2

2

Chiều âm :v0 > 0 φ = 3

4

π

x0 = A

2 Chiều dương:v0 >

0 φ = –

3

π x0 = A 3

2

Chiều dương: v0 > 0

φ = – 6

π

x0 = – A

2 Chiều dương:v0 >

0 φ = – 2

3

π x0 = –A 3

2

Chiều dương:v0 > 0

φ = – 5

6

π

x0 = A

2 Chiều âm : v0 < 0 φ =

3

π x0 = A 3

2

Chiều âm : v0 < 0 φ = 6

π

x0 = – A

2 Chiều âm :v0 > 0 φ = 2

3

π x0 = –A 3

2

Chiều âm :v0 > 0 φ = 5

6

π

3– Phương trình đặc biệt.

– x = a ± Acos(ωt + φ) với a = const ⇒

– x = a ± Acos2(ωt + φ) với a = const ⇒ Biên độ : A

2 ; ω’ = 2ω ; φ’ = 2φ.

4 – Các ví dụ : Câu 1. Chọn phương trình biểu thị cho dao động điều hòa :

A. x = A(t)cos(ωt + b)cm B. x = Acos(ωt + φ(t)).cm

C. x = Acos(ωt + φ) + b.(cm) D. x = Acos(ωt + bt)cm.

Trong đó A, ω, b là những hằng số.Các lượng A(t), φ(t) thay đổi theo thời gian.

Hướng dẫn : So sánh với phương trình chuẩn và phương trình dạng đặc biệt ta có x =

Acos(ωt + φ) + b.(cm). Chọn C.

Câu 2. Phương trình dao động của vật có dạng : x = Asin(ωt). Pha ban đầu của dao động dạng

chuẩn x = Acos(ωt + φ) bằng bao nhiêu ?

A. 0. B. π/2. C. π. D. 2 π.

Hướng dẫn : Đưa phương pháp x về dạng chuẩn : x = Acos(ωt − π/2) suy ra φ = π/2.

Chọn B.

Câu 3. Phương trình dao động có dạng : x = Acosωt. Gốc thời gian là lúc vật :

Biên độ : A Tọa độ VTCB : x = a Tọa độ vị trí biên : x = a ± A



A. có li độ x = +A. B. có li độ x = −A.

C. đi qua VTCB theo chiều dương. D. đi qua VTCB theo chiều âm.

Hướng dẫn : Thay t = 0 vào x ta được : x = +A Chọn : A

Câu 4 : Toạ độ của một vật biến thiên theo thời gian theo định luật : 4. (4. . )x cos tπ= (cm). Tính tần số dao động , li độ và vận tốc của vật sau khi nó bắt đầu dao động được 5 (s). Hướng dẫn: Từ phương trình 4. (4. . )x cos tπ= (cm) Ta có :

4 ; 4. ( / ) 2( )2.

A cm Rad s f Hzω

ω ππ

= = ⇒ = = .

- Li độ của vật sau khi dao động được 5(s) là : 4. (4. .5) 4x cos π= = (cm).

- Vận tốc của vật sau khi dao động được 5(s) là : ' 4. .4.sin(4. .5) 0v x π π= = − = Câu 5: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 4 )2/.2cos( ππ +t a, Xác định biên độ, chu kỳ, pha ban đầu của dao động. b, Lập biểu thức của vận tốc và gia tốc.

c, Tính vận tốc và gia tốc tại thời điểm t = 1

6s và xác định tính chất chuyển động.

Hướng dẫn: a, A = 4cm; T = 1s; 2/πϕ = . b, v = x' =-8 )2/.2sin( πππ +t cm/s; a = - 2xω = - 16 2π )2/.2cos( ππ +t (cm/s2).

c, v=-4π ; a=8 3.2π . Vì av < 0 nên chuyển động chậm dần. Câu 6. Cho các phương trình dao động điều hoà như sau :

a. 5. s(4. . )6

x co tπ

π= + (cm). b. 5. s(2. . )( )4

x co t cmπ

π= − +

c. 5. s( . )x co tπ= − (cm). d. 10. (5. . )3

x cos tπ

π= + (cm).

Xác định biên độ, tần số góc, pha ban đầu, chu kỳ, tần số, của các dao động điều hoà đó? Hướng dẫn :

a) 5. s(4. . )6

x co tπ

π= + (cm). 5( ); 4. ( / ); ( );6

A cm Rad s Radπ

ω π ϕ⇒ = = =

2. 2. 1 1

0,5( ); 2( )4. 0,5

T s f HzT

π πω π

= = = = = =

b)5.

5. s(2. . ) 5. s(2. . ) 5. s(2. . ).4 4 4

x co t co t co tπ π π

π π π π= − + = + + = + (cm).

5.5( ); 2. ( / ); ( )

4A cm rad s Rad

πω π ϕ⇒ = = =

2. 11( ); 1( ).T s f Hz

T

πω

⇒ = = = =

c) 5. s( . )( ) 5. s( . )( )x co t cm co t cmπ π π= − = + 2.

5( ); ( / ); ( ); 2( ); 0,5( ).A cm Rad s Rad T s f Hzπ

ω π ϕ ππ

⇒ = = = = = =

d) 5.

10. (5. . ) 10.sin(5. . ) 10.sin(5. . )3 3 2 6

x cos t cm t cm t cmπ π π π

π π π= + = + + = + .

5. 2. 110( ); 5. ( / ); ( ); 0.4( ); 2,5( )

6 5. 0, 4A cm Rad s Rad T s f Hz

π πω π ϕ

π⇒ = = = = = = = .

Câu 7. Cho các chuyển động được mô tả bởi các phương trình sau: a) 5. ( . ) 1x cos tπ= + (cm)



b) 22.sin (2. . )6

x tπ

π= + (cm)

c) 3.sin(4. . ) 3. (4. . )x t cos tπ π= + (cm) Chứng minh rằng những chuyển động trên đều là những dao động điều hoà. Xác định biên độ, tần số, pha ban đầu, và vị trí cân bằng của các dao động đó. Hướng dẫn:

a) 5. ( . ) 1x cos tπ= + (cm) 1 5. ( . ) 5.sin( . )2

x cos t tπ

π π⇒ − = = + . (cm)

Đặt x-1 = X. ta có: 5.sin( . )2

X tπ

π= + (cm)⇒ Đó là một dao động điều hoà

Với 5( ); 0,5( ); ( )2. 2. 2

A cm f Hz Radω π π

ϕπ π

= = = = =

VTCB của dao động là : 0 1 0 1( ).X x x cm= ⇔ − = ⇒ =

b) 22.sin (2. . ) 1 (4. . ) 1 sin(4. . ) 1 sin(4. . )6 3 3 2 6

x t cos t t tπ π π π π

π π π π= + = − + = + + − = + −

Đặt X = x-1 sin(4. . )6

X tπ

π⇒ = − ⇒ Đó là một dao động điều hoà.

Với 4.

1( ); 2( ); ( )2. 2. 6

A cm f s Radω π π

ϕπ π

= = = = = −

c) 3.sin(4. . ) 3. (4. . ) 3.2sin(4. ). ( ) 3. 2.sin(4. . )( )4 4 4

x t cos t t cos x t cmπ π π

π π π π= + = + − ⇒ = +

⇒ Đó là một dao động điều hoà. Với 4.

3. 2( ); 2( ); ( )2. 4

A cm f s Radπ π

ϕπ

= = = =

Câu 8: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm t1 vật có li độ x1 = 1cm, và có vận tốc v1=

20cm/s. Đến thời điểm t2 vật có li độ x2 = 2cm và có vận tốc v2 = 10cm/s. Hãy xác định biên

độ, chu kỳ, tần số, vận tốc cực đại của vật?

Hướng dẫn:

Tại thời điểm t ta có : os( )x Ac tω ϕ= + và ' sin ( t+ )v x Aω ω ϕ= = − ; Suy ra: 2

2 22

vA x

ω= +

- Khi t = t1 thì: 2

2 2 11 2

vA x

ω= + (1); - Khi t = t2 thì :

22 2 2

2 2

vA x

ω= + (2)

- Từ (1) và (2) 2 2

2 21 21 22 2

v vx x

ω ω⇒ + = +

2 22 2 1

2 21 2

100 10( / )v v

Rad sx x

ω ω−

⇒ = = ⇒ =−

Chu kỳ: T = 2

0,628π

ω= (s); Tần số: 1,59

2f

ωπ

= = Hz; Biên độ:2

201 5

10A

= + =

(cm)

Vận tốc cực đại: Vmax = 10 5Aω = (cm/s)



Dạng 2: DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG 00

'0

cos( ) cos( .0 )

Asin( .0 )Asin( )t

x A t x A

vv x t

ω ϕ ω ϕ

ω ω ϕω ω ϕ=

= + = + → ⇒

= − += = − + v0 >0: vật đi theo chiều dương( x

đang tăng); v0<0: vật đi theo chiều âm ( x đang giảm).

Câu 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: 3cos(2 )3

x tπ

π= − , trong đó x tính bằng

cm, t tính bằng giây. Gốc thời gian đã được chọn lúc vật có trạng thái chuyển động như thế nào?

A. Đi qua Vị trí có li độ x = - 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox B. Đi qua vị trí có li độ x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox C. Đi qua vị trí có li độ x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox D. Đi qua vị trí có li độ x = - 1,5cm và đang chuyển động theo chiều âm trục Ox

HD:

0

'0

3cos 2 .0 1,53

6 sin 2 .0 3 3 / 03

x cm

v x cm s

ππ

ππ π π

= − =

⇒ = = − − = >

Đáp án C

Câu 2: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình:

4cos 173

x t cmπ = +

,( t đo bằng giây). Người ta đã chọn mốc thời gian là lúc vật có:

A. Tọa độ -2 cm và đang đi theo chiều âm B. B. tọa độ -2cm và đang đi theo chiều dương

C.tọa độ +2cm và đang đi theo chiều dương D. tọa độ +2cm và đang đi theo chiều âm

HD:

0

'0

4cos 17.0 23

17.4sin 17.0 34 3 03

x cm

v x

π

π

= + =

⇒ = = − + = − <

Đáp án D

Câu 3: Một vật dao động điều hòa phải mất 0,025s để đi từ điểm có vận tốc bằng không tới điểm tiếp theo cũng có vận tốc bằng không, hai điểm ấy cách nhau 10cm. Chon đáp án Đúng A.chu kì dao động là 0,025s B.tần số dao động là 10Hz C.biên độ dao động là 10cm D.vận tốc cực đại của vật là 2 /cm sπ HD:

ax

2.0,025 0,05( )0,02522 . . 2 /10

5 0,052

2

m

TT s

v A A m sl TA cm m

A

πω π

= == ⇒ ⇒ = = =

= = = =

Câu 4: Một vât dao động điều hòa với phương trình x 4cos 10 t ( cm )3

ππ = +

. Vào thời

điểm t= 0,5s vật có li độ và vận tốc là

A. x= 2cm; v 20 3cm / s= − B. x= - 2cm; v 20 3cm / sπ= ±



C. x= - 2cm; v 20 3cm / sπ= − D. x= -2cm; v 20 3cm / sπ=

HD: Từ x 4cos 10 t ( cm )3

ππ = +

suy ra vận tốc v 40 sin 10 t

3

ππ π = − +

. Thay t =

0,5s vào 2 phương trình x và v ta được:

1x 4 cos 10 .0,5 4. 2cm

3 2

v 40 sin 10 .0,5 20 3cm / s3

ππ

ππ π π

= + = − = −

= − + =

Đáp án D

Câu 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình x 4cos 10 t ( cm )3

ππ = +

. Hỏi gốc

thời gian đã được chọn lúc vật có trạng thái chuyển động như thế nào? A. Đi qua tọa độ x = 2cm và chuyển động theo chiều dương trục Ox B. Đi qua tọa độ x = -2cm và chuyển động theo chiều dương trục Ox C. Đi qua tọa độ x = 2cm và chuyển động ngược chiều dương trục Ox D. Đi qua tọa độ x = -2cm và chuyển động theo chiều dương trục Ox

HD: Từ x 4 cos 10 t ( cm ) v 40 sin 10 t ( cm / s )3 3

π ππ π π = + ⇒ = − +

.

Tại t = 0, ta có: 0

0

x 4cos 2cm3

v 40 sin 03

π

ππ

= = = − <

Đáp án C

Câu 6 : Chọn phát biểu ĐÚNG khi vật dao động điều hòa A. Vecto vận tốc v

�, vecto gia tốc a

� của vật là các vector không đổi.

B. Vector vận tốc v�

, vecto gia tốc a�

đổi chiều khi vật qua VTCB. C. Vector vận tốc v

�, vecto gia tốc a

� cùng chiều chuyển động của vật.

D. Vector vận tốc v�

hướng cùng chiều chuyển động, vecto gia tốc a�

hướng về VTCB.

Dạng 3: KHOẢNG THỜI GIAN + Các điểm đặc biệt: Tư công thức độc lập với thời gian:

Ta có công thức độc lập thời gian:

2 22

2 22

2 2

v A xv

A x vx A

ω

ωω

= ± −

= + ⇒ = ± −

Câu 4: Vật dao động điều hòa có phương trình x 5cos 2 t ( cm ).3

ππ = +

Vận tốc của vật

khi qua li độ x = 3cm là A. 25,1 cm/s B. 25,1cm / s± C. 12,6 cm/s D. 12,6cm / s±



HD: Bài toán cho x và phương trình chuyển động tức là cho cả A và ω . Yêu cầu ta tìm vận tốc v, nên từ phương trình

22 2 2 2 2 2

2

vA x v A x 2 5 3 2 .4 25,1cm / sω π π

ω= + ⇒ = ± − = ± − = ± = ±

Câu 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ 4cm. Khi nó có li độ 2cm thì vận tốc là 1m/s. Tần số dao động bằng A. 1 Hz B. 1,2 Hz C. 3 Hz D. 4,6 Hz

HD: Thay A = 4cm, v = 100cm/s vào công thức 2

2 22

vA x

ω= + ta thu được

50rad / s f 4,6 Hz

23

ωω

π= ⇒ = =

Câu 6: Một vật dao động điều hòa có các đặc điểm sau: - Khi đi qua vị trí có tọa độ x1 = 8cm thì vật có vận tốc v1 = 12cm/s - Khi có tọa độ x2 = -6cm thì vật có vận tốc v2 = 16cm/s

Tần số dao động điều hòa của vật là

A. 1

Hzπ

B. Hzπ C. 2 Hzπ D. 1

Hz2π

HD: Từ phương trình 2

2 22

vA x

ω= + , viết cho 2 vị trí ta có:

2 22 2 21

1 2 2

2 22 2 22

2 2 2

v 12A x 8

v 16A x ( 6 )

ω ω

ω ω

= + = +

= + = − +

. Giải hệ phương trình ta được:

12rad / s f Hzω

π= ⇒ =

Câu 7: Một vật dao động tuần hoàn. Biết rằng mỗi phút vật đó thực hiện được 360 dao động. Tần số dao động của con lắc là

A. 1

Hz6

B. 6 Hz C. 60 Hz D. 120 Hz

HD: Áp dụng công thức: sô dao dông 360

f 6 Hzkhoang khoang thoi gian(s) 60

= = =

* Một hướng biến đổi khác cho công thức độc lập thời gian cho các loại bài tập kiểu khác các dạng nêu trên:

2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2ax ax

. . . 1m m

v v v vA x A x A A x A x A

A v vω ω= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = −

Câu 8: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là vmax. Khi li độ

2

Ax = ± thì tốc độ của vật bằng:

A. vmax B. vmax/2 C. ax3. / 2mv D. ax / 2mv



HD: 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2ax2 2 2 2

ax

3. .

2

Ax

mm

v v vA x A x A A x A v v

A vω ω

=±= + ⇒ = + ⇒ = + → =

Câu 9: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là vmax. Khi tốc độ của vật bằng 0,5. 2 vmax thì vật có li độ là:

A . 2A B. 2

A C.

2

A D.

3

A

HD:

ax

2 2 2 20,5 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2ax ax

. . 12

mv v

m m

v v v v AA x A x A A x A x A x

A v vω ω== + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = − → =

+ Khoảng thời gian ngắn nhất đi từ X1 đến X2

- Nếu chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương thì phương trình

dao động có dạng: T

tAx

π2sin=

Khi 122

12sin

2

Ttt

T

Ax =⇒=⇒=

π

Khi 82

12sin

2

Ttt

T

Ax =⇒=⇒=

π

Khi 2

32sin

2

3=⇒= t

T

Ax

π

Để tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm có li độ X1 đến điểm có li độ X2 ta giải hệ:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

11 1 1 1 1 1

22 2 2 2 2 2

2 12 1 2 1

xAcos t x cos t cos t

A

xAcos t x cos t cos t

A

t t t ; 0 ;

ω φ ω φ φ ω φ φ

ω φ ω φ φ ω φ φ

φ φ∆ φ φ π

ω

+ = ⇒ + = = ⇒ + = + = ⇒ + = = ⇒ + =

−⇒ = − = ≤ ≤

- Thông thường trong các đề thi tuyển sinh đại học thì: 35,0;2

;2

;;0 AAA

Ax ±±±±= nên chỉ

nhớ các điểm đặc biệt trên là đủ!

Câu 10: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T. Vị trí cân bằng của chất điểm trùng với gốc tọa độ, khoảng thời gian ngắn nhất để nó đi từ vị trí có li độ x = A đến vị trí có li độ x= A/2 là: A. T/8 B. T/3 C. T/4 D. T/6

HD: Ta có 6124

TTTt =−=∆

O

O

O

A/2

2

A

2

3A

+A -A

T/12

T/8

T/6

T/4



Câu 11 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T trên trục Ox với O là vị trí cân bằng.

Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có tọa độ 2

Ax = đến điểm có tọa độ

2

Ax = là :

A. T/24 B. T/16 C. T/6 D. T/12

HD : Ta có 24128

TTTt =−=∆

Câu 12 : Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A. Khoảng thời gian ngắn nhất

để vật đi từ vị trí có li độ 1A

x2

−= đến 2

Ax

2= là

A. T

4 B.

T

6 C.

T

3 D.

T

8

HD : Cách 1 : Thời gian ngắn nhất cần tìm để vật đi từ li độ

1A

x2

−= đến 2

Ax

2= chỉ có thể là thời gian vật đi theo chiều

dương như hình vẽ. Bằng kiến thức hình học ta suy ra góc chắn tâm

3

πα = . Vậy

Tt T

2 6

α αω π

= = =

Cách 2 : Ta có A A A A0 0

2 2 2 2

T T Tt t t

12 12 6− −→ → →

= + = + =

Câu 13 : Một vật dao động trên trục Ox với phương trình x 5cos 4 t cm3

ππ = −

. Tìm

khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 =

-2,5cm đến li độ x2 = 2,5 3cm ?

HD : Thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 = - 2,5cm đến li độ 2x 2,5 3cm= chỉ có thể

là thời gian để vật đi trực tiếp ( không lặp lại hay quay vòng) từ 2,5 2,5 3− → như hình vẽ Để tìm được khoảng thời gian này ta xét 3 cách giải sau : Cách 1 : Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều Vẽ vòng tròn tâm O bán kính R = A = 5cm, kẻ trục Ox nằm ngang và đánh dấu vị trí các điểm x1 = -

2,5cm, 2x 2,5 3cm= . Xác định cung M1M2 tương

ứng như hình vẽ. Ta cần tìm góc α ở tâm do cung M1M2 chắn. Trong trường hợp này, góc α có thể tính 1 2α α α= +

Với 1 12,5

sin5 6

πα α= ⇒ =

α

O -A/2 A/2

M1

M2

-2,5 2,5 3

-5

5 -2,5 2,5 3

α 1α 2α

M1 M2



Và 2 22,5 3

sin5 3

πα α= ⇒ = ,

nên 1 2 6 3 2

π π πα α α= + = + =

Vậy : 12t s 0,125s

4 8

παω π

= = = =

Cách giải trên đã quá quen thuộc với các em, nhưng trong một số trường hợp nếu ta dùng cách này để làm bài thi trắc nghiệm thì sẽ lâu vì phải mất thời gian vẽ hình để tính các góc. Vì vậy, ta phải biết thêm những cách khác đơn giản, ngắn gọn và mất ít thời gian hơn. Sau đây ta xét cách giải thứ 2 Cách 2 : Ta dùng công thức sau :

Nếu từ VTCB

đến li độ x hoặc ngược lại thì x1

t arcsinAω

=

Nếu từ biên đến li độ x hoặc ngược lại thì x1

t arccosAω

=

Ở bài toán trên, do x1 = - 2,5cm và 2x 2,5 3cm= nằm ở hai bên so với VTCB nên thời gian cần tìm gồm tổng của 2 phần : Thời gian t1 để đi từ x1 = - 2,5cm đến VTCB và thời gian t2 để

đi từ VTCB đến 2x 2,5 3cm=

Do đó ta có : 1 21 2

x x1 1t t t arcsin arcsin

A Aω ω= + = +

Hay 1 2x x1 1 2,5 2,5 3 1t arcsin arcsin arcsin arcsin s

A A 4 5 5 8ω π

= + = + =

Cách 3 : Sử dụng sơ đồ phân bố thời gian như đã trình bày ở phần trên ta thấy

-A A O x

x1t arcsin

Aω= x1

t arccosAω

=

-5 5 -2,5

2,5 3 VTCB

t1 t2



Với giả thiết của bài toán này thì 5 A

2,52 2

= = và 5 3 A 3

2,5 32 2

= = và chúng nằm ở

hai bên so với VTCB nên ta có thể thu được kết quả nhanh như

sau : A2,5 2,5 3 A A 3 A 30 022 2 2

2 2T T T 14t t t t s12 6 4 4 4 8

π πω π

−− → − →→ →= = + = + = = = = .

+ Khoảng thời gian ngắn nhất liên quan đến tốc độ 2/.3;2/;2/ maxmaxmax VVV Câu 14 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T với tốc độ cực đại Vmax. Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm mà tốc độ của vật bằng 0 đến điểm mà tốc độ của vật bằng 35,0 maxV là :

A. T/8 B. T/ 16 C. T/6 D. T/12

HD :( ) 6124

2

.35,01

2

3:

010:

2

2max

2

max2max2

max

2

11

21 TTTt

A

v

vAxvvKhi

Av

AxvKhiA

xAx=−=∆ →

=−=⇒=

=−=⇒==→=

Câu 15 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T với tốc độ cực đại vmax. Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm mà tốc độ của vật bằng 0 đến điểm mà tốc độ của vật bằng 2.5,0 maxv là :

A. T/8 B. T/16 C. T/6 D. T/12

HD : 884

22

2:

0:2

2max2

1121 TTT

tAxvvKhi

AxvKhi AxAx

=−=∆ →

=⇒=

=⇒==→=

Câu 16 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T với tốc độ cực đại là vmax. Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm mà tốc độ của vật bằng 0,5.vmax đến điểm mà tốc độ của vật bằng

max25,0 v là : A. T/24 B. T/16 C. T/6 D. T/12

HD : ( ) 24862

3

5,015,0:

225.0:

21

2max

2max

1max1

2max2

TTTt

A

v

vAxvvKhi

AxvvKhi

xx =−=∆ →=

−=⇒=

=⇒=→

+ Khoảng thời gian chuyển động đi lại Câu 17 : Một vật dao động điều hòa với chu kì T trên đoạn thẳng PQ. Gọi O ; E lần lượt là trung điểm của PQ và OQ. Thời gian để vật đi từ O đến Q rồi đến E là :

A. 5T/6 B. 5T/12 C. T/12 D. 7T/12 HD :

Ta có : 12

5

1244

TTTTttt QEOQ =

−+=+=∆

Câu 18 : Một vật dao động điều hòa với chu kì T trên đoạn thẳng PQ. Gọi O ; E lần lượt là trung điểm của PQ và OQ. Thời gian để vật đi từ O đến P rồi đến E là :

P O E Q



A. 5T/6 B. 5T/8 C. T/12 D. 7T/12

HD : ta có 12

7

124.2.2

TTTtttttt OEOPOEPOOP =+=+=++=∆

Câu 19 : Một vật dao động điều hòa với phương trình ( )x Acos tω ϕ= + . Trong khoảng

thời gian 1/15(s) đầu tiên vật chuyển động theo chiều âm từ vị trí có li độ 0A 3

x2

= đến vị

trí cân bằng. Khi vật qua vị trí có li độ x 2 3cm= thì vật có vận tốc v 10 cm / sπ= . Biên độ dao động của vật là :

A. 2 6cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm

HD : Vì bài toán cho x và v, yêu cầu tìm A nên ta sẽ nghĩ ngay đến công thức 2

2 22

vA x

ω= + .

Tuy nhiên ta phải tìm thêm ω , và ở đây ta tìm ω thông qua chu kì T. Hầu hết các bài toán trước đều cho chu kì T, tọa độ x1 và x2 cần tìm khoảng thời gian t để vật dịch chuyển giữa hai tọa độ. Còn đây là bài toán ngược lại, cho khoảng thời gian t để vật dịch chuyển giữa hai tọa độ x1 và x2 thì chắc chắn ta sẽ tính được chu kì T. Ta có :

Như ta đã biết, thời gian để vật đi từ vị trí A 3

2 đến vị trí cân bằng là

T

6, vì vậy ta có :

1 T 6 2 15T 2 . 5

15 6 15 T 6

πω π π= ⇒ = ⇒ = = =

Ta có ( ) ( )( )

22 22 22 2

10vA x 2 3 16 A 4cm

5

π

ω π= + = + = ⇒ =

+ Khoảng thời gian trong một chu kì vật cách VTCB một khoảng lớn hơn, nhỏ hơn :

2

3;

2;

2

AAA

Câu 20 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật cách VTCB một khoảng nhỏ hơn một nửa biên độ là

A. T/3 B, 2T/3 C. T/6 D. T/2 HD : Ta có :

3.4

122

02

0

2

121 T

tT

tAx

x Axx

=∆⇒=∆ →

=

==→=

( trong một chu kì có 4 lần vật cách VTCB)

-A/2 A/2

T/12 T/12

T/12 T/12



Câu 21 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật cách VTCB một khoảng nhỏ hơn 25,0 biên độ là

A. T/3 B. 2T/3 C. T/6 D. T/2 HD :

Tacó :

2.4

82

2

02

20

2

121 T

tT

tAx

x Axx

=∆⇒=∆ →

=

==→=

Câu 22 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật cách VTCB một khoảng nhỏ hơn 35,0 biên độ là A. T/6 B. T/3 C. 4T/6 D. T/2 HD :

1 2A 31 x 0 x

2

2

x 0

A 3x

2T 4T

t 4. t6 6

∆ ∆

= → ==

→

=

= ⇒ =

+ Khoảng thời gian trong một chu kì tốc độ nhỏ hơn, lớn hơn : 2

.3;

2;

2maxmaxmax vvv

Câu 23 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật có tốc độ nhỏ hơn một nửa tốc độ cực đại là : A. T/3 B. 2T/3 C. T/6 D. T/12 HD :

Ta có : ( )

364.4

1264

2

35,011

2

0

21

2max

2max

2max

2

2max

2

11

TTt

Tt

TT

A

v

vA

v

vAx

vv

Axv

xx ==∆⇒=∆=− →

=−=−=⇒=

=⇒=

→

Câu 24 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để

vật có tốc độ nhỏ hơn 2

1tốc độ cực đại là

A. T/8 B. T/16 C. T/6 D. T/2 HD

2

A− 2

A+

T/8 T/8

T/8 T/8

35,0 A− 35,0 A+ T/6 T/6

T/6 T/6

-A +A O 35,0 A− 35,0 A+

T/12 T/12

T/12 T/12



1 2

1 1

max2 2

x x

v 0 x A

v Av x

2 2

T T Tt

4 8 8T T

4. t 48 2

∆

∆

→

= ⇒ =

= ⇒ =

→ − = =

⇒ = =

Câu 25 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật có tốc độ nhỏ hơn 35.0 tốc độ cực đại là A. T/6 B. T/3 C. 2T/3 D. T/12

∆ ∆→

= ⇒ =

→ − = = ⇒ = == ⇒ =

1 2

1 1x x

max2 2

v 0 x AT T T T 2T

t 4. t 4v 3 A 4 12 6 6 3v x2 2

+ Khoảng thời gian trong một chu kì độ lớn gia tốc nhỏ hơn, lớn hơn 2

3;

2;

2maxmaxmax aaa

Câu 26 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật có độ lớn gia tốc lớn hơn một nửa gia tốc cực đại là A. T/3 B. 2T/3 C. T/6 D. T/12 HD : Ta có :

3

2

644

624

22

1

2

21

22max

2

1max1

TTt

TTTt

AxA

aa

Axaa

xx ==∆⇒=−=∆ →

=⇒==

=⇒=

→

ω


vật có độ lớn gia tốc lớn hơn 2

1gia tốc cực đại là

A. T/3 B. 2T/3 C. T/6 D. T/2

+A -A O

2

A−

2

A+

T/8 T/8

T/8 T/8

-A +A O A5,0−

A5,0+

T/6 T/6

T/6 T/6

-A O

+A -A/2

+A/2

T/6

T/6 T/6

T/6



HD :Ta có : 28

44884

22

1

2

21

22max

2

1max1TT

tTTT

tAxA

aa

Axaaxx ==∆⇒=−=∆ →

=⇒==

=⇒=→

ω


vật có độ lớn gia tốc lớn hơn 2

3gia tốc cực đại là

A. T/3 B. 2T/3 C. T/6 D. T/12 HD :

1 2

1 max 1

2max2 2

4 43 3 3 4 6 12 12 32 2 2

x x

a a x AT T T T T

t ta Aa A xω

→= ⇒ =

→∆ = − = ⇒ ∆ = =

= = ⇒ =

Câu 29: Một vật dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình x 4cos 2t cm6

π = −

.

Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x = 2cm đến vị trí có gia tốc 2a 8 2cm / s= − là

A. s24

π B. s

2,4

π C. 2,4 sπ D. 24 sπ

HD : Theo biểu thức a = - 2xω ⇒ khi vật có gia tốc 2a 8 2cm / s= − thì vật qua li độ

2 2

a 8 2x 2 2cm

2ω− −

= = − = . Do đó bài toán lúc này chuyển thành bài toán cơ bản là tìm

khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1 = 2cm đến vị trí 2x 2 2cm= . Ta có 2 cách giải cơ bản cho bài toán này :

- Cách 1 Dùng vòng tròn, đánh dấu các vị trí và vẽ cung M1M2 tương ứng. Dễ dàng ta thấy cung

M1M2 chắn góc ở tâm 12

πα = . Vậy

/ 12t s

2 24

α π πω

= = =

- Cách 2 : Nhận thấy 4 A

22 2

= = và

4 2 A 22 2

2 2= = nên

-A O

+A

35,0 A− 35,0 A+

T/12

T/12 T/12

T/12

O 2 2 2 -4 4

M2 M1

α



AA A 2 A 2 0022 2 2

T T T 2 / 2 / 2t t t s

8 12 24 24 24 24

π ω π π→→ →

= − = − = = = =

Câu 30 : Một vật dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình x 5cos 4 t cm3

ππ = −

.

Tính từ lúc khảo sát dao động, vật đạt gia tốc cực đại vào thời điểm

A. 1

s3

B. 2

s3

C. 2s D. 1s

HD :

Tại t0 = 0 thì :0

0

x 2,5

v 10 3 0π

=

= >

Vì gia tốc 2a xω= − ⇒ gia tốc cực đại khi x A 5cm= ± = ± . Theo chiều chuyển động ban đầu thì vị trí biên x = + 5 gia tốc sẽ đạt cực đại lần thứ nhất, chờ đến biên x = -5cm gia tốc sẽ cực đại lần thứ 2. Vậy thời điểm cần tìm là :

2,5 5 5 5T T 2T 2.0,5 1

t t t s6 2 3 3 3→ →−= + = + = = =

+ Cho khoảng thời gian, tìm chu kì Câu 31: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa với biên độ A, thời gian ngắn nhất để con lắc di chuyển từ vị trí có li độ x1= -A đến vị trí có li độ x2 = A/2 là 1 giây. Chu kì dao động của con lắc là A. 6s B. 1/3s C. 2s D. 3s

HD: sTsTTT

t 313124

=⇒==+=∆

Câu 32: Vật dao động điều hòa theo phương trình tAx ωsin= cm, ( t tính bằng giây). Sau khi dao động được 1/8 chu kì dao động vật có li độ cm22 . Biên độ dao động của vật là A. cm24 B. 2cm C. cm22 D. 4cm

HD: cmAAAT

TAx

TtKhi 42.2222

228

2sin

8: ==⇒=⇒==⇒=

π

+ Biết khoảng thời gian, độ lớn vận tốc hoặc độ lớn gia tốc không vượt quá một giá trị nhất định

- Để gia tốc không vượt quá giá trị a1 thì vật phải nằm trong khoảng từ x = - x1 đến x = x1

- Cho

=⇒=

=

⇒=∆⇒=∆

1

11

21

1 ?

?4

x

axa

AxT

tbtωω

-A +A O -A/2 +A/2

T/4 T/12

5 -5 O 2,5

Lần 1 Lần 2



Câu 33: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt qua 100 cm/s2 là T/3. Lấy 102 =π . Tần số dao động của vật là A. 4Hz B. 3Hz C. 2Hz D. 1Hz HD: Cách 1: Để gia tốc không vượt quá giá trị a1 thì vật phải nằm trong khoảng từ x = - x1 đến x = x1

Ta có:

Hzfx

axacm

Ax

Tt

Tt 1

225,2

21234

1

11

211 ==⇒==⇒=⇒==⇒=∆⇒=∆

πω

πωω

Cách 2: Sử dụng mối liên hệ dao động điều hòa và chuyển động tròn đều ta vẽ hình . Theo hình vẽ thì khoảng thời gian này chiếm góc ở tâm là 2α nên 2 T 2 T

23 3 3T

α α πα

πω= ⇒ = ⇒ =

Dễ dàng suy ra 3

πβ = .

Mà

22

100 100 100cos 2 10 2 f 1Hz

cos .A 2A cos .55

ωβ ω ω π

πβ πω= ⇒ = ⇒ = = = ⇒ = =

Câu 34: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 6cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt qua 230 cm/s2 là T/2. Lấy 102 =π . Giá trị của T là A. 4s B. 3s C. 2s D. 5s HD: Để gia tốc không vượt quá giá trị cm/s2 thì vật phải nằm trong khoảng từ x = - x1 đến x = x1

sTfx

a

xacmA

xT

tT

t

22

1

2

2

6

2824

1

1

12

11

=⇒==⇒==⇒

=⇒==⇒=∆⇒=∆

πω

πω

ω

+ Cho vị trí và thời gian sau. Tìm trạng thái ban đầu Câu 35: Vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox( O là VTCB) với chu kì 2s và biên độ A. Sau khi dao động được 2,5s vật ở li độ cực đại. Tại thời điểm ban đầu vật đi theo chiều

A. Dương qua vị trí cân bằng B. Âm qua vị trí cân bằng

-A +A -x1 x1

t∆

t∆

t∆

t∆

-A +A -x1 x1

t∆

t∆

t∆

t∆

2 Aω 2 Aω−

α

α

β 100 -100



C.dương qua vị trí có li độ -A/2 D.âm qua vị trí có li độ -A/2 HD:

Ta có: t = 2,5 s = 2 s + 0,5 s = T + T/4 0

0

x 0

v 0

=⇒

> Đáp án A

Câu 36: Vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox( O là VTCB) với chu kì 1,5s và biên độ A. Sau khi dao động được 3,25s vật ở li độ cực đại. Tại thời điểm ban đầu vật đi theo chiều

A. Dương qua vị trí cân bằng B. Âm qua vị trí cân bằng

C.dương qua vị trí có li độ A/2 D.âm qua vị trí có li độ A/2

HD: Ta có T 13T

3,5 3 0,25 2T6 6

= + = + =

2 13T 13 13x Acos . A Acos A cos 1

T 6 3 3

13 130

3 3

π π πϕ ϕ ϕ

π πϕ ϕ

= + = ⇔ + = ⇒ + =

−⇒ + = ⇒ =

Khi t = 0:

0

0

13 13 Ax Acos A.cos A.cos

3 3 2

13 13v Asin Asin Asin 0

A 3

π πϕ

π πω ϕ ω ω

− = = = =

− = − = − = >

Vật đi theo chiều dương qua vị trí có li độ A/2. Đáp án C\ Dạng 4: TÍNH CÁC ĐẠI LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA + Tính biên độ A

2 2 2 2 2 22

2 4 2 2

v a v m a mvA x

kkω ω ω= + = + = +

Câu 1: Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 20N/m và viên bi có khối lượng 0,2kg dao động điều hòa. Tại thời điểm t vận tốc và gia tốc của viên bi lần lượt là 20cm/s và 22 3 /m s . Biên độ dao động của viên bi là

A. 16cm B. 4cm C. 4 3cm D. 10 3cm

HD: Ta có

2 2 2 2 2 22

2 4 2 2

v a v m a mv 0,04.12 0,2.0,04A x 4cm

k 400 20kω ω ω= + = + = + = + =

Câu 2: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có độ cứng 100N/m và vật nặng khối lượng 100g. Giữ vật nặng theo phương thẳng đứng làm lò xo dãn ra 3cm rồi truyền cho nó vận tốc 20 3 /cm sπ hướng lên thì vật dao động điều hòa. Lấy 2 10π = , gia tốc trọng trường g=10m/s2. Biên độ dao động là

A. 5,46cm B. 4,00cm C. 4,58cm D. 2,54cm



HD: Ta có 0k 100 mg

10 rad / s; 1cmm 0,1 k

ω π ∆= = = = =ℓ

Mặt khác

220 0 2 20

0 20

x 3 1 2cm v 20 3A x 2 4cm

10v 20 3cm / s

ππωπ

= ∆ − ∆ = − = ⇒ = + = + =

=

ℓ ℓ

Câu 3: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo độ cứng 40N/m và vật nặng khối lượng 100g. Giữ vật nặng theo phương thẳng đứng làm lò xo dãn 3,5cm rồi truyền cho nó vận tốc 20cm/s hướng lên trên thì vật dao động điều hòa. Lấy 2 10π = , gia tốc trọng trường g=10m/s2. Biên độ dao động là

A. 2cm B. 3,6cm C. 2 2cm D. 2cm

HD: Ta có 0k 40 mg 0,1.10

20rad / s; 0,025m 2,5cmm 0,1 k 40

ω ∆= = = = = = =ℓ

Mặt khác

20 0 2 20

0 20

x 3,5 2,5 1cm v 20A x 1 2cm

20v 20cm / s ω

= ∆ − ∆ = − = ⇒ = + = + =

=

ℓ ℓ

+ Tính tốc độ, vận tốc, gia tốc.

Câu 4: Một vật dao động điều hòa với tần số góc 10rad/s, biên độ 5cm. Khi vật ở li độ 3cm thì tốc độ của vật là

A. 10cm/s B. 20cm/s C. 30cm/s D. 40cm/s

HD: 2

2 2 2 2 2 22

vA x v A x 10 5 3 40cm / sω

ω= + ⇒ = − = − =

Câu 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ 5cm, chu kì 0,4s. Tính vận tốc của quả cầu tại thời điểm vật có li độ 3cm và đang chuyển động theo chiều dương

A. 62,8cm/s B. 62,8cm± C. -62,8cm/s D. 62,8m/s

HD: 2

2 2 2 2 2 22

vA x v A x v A xω ω

ω= + ⇒ = − ⇒ = ± −

Vì vật đang đi theo chiều dương nên 2 2v A xω= −

2 22 25 rad / s v 5 5 3 20 cm / s 62,8cm / s

T 0,4

π πω π π π= = = ⇒ = − = =



Câu 6: Một vật dao động điều hòa có độ lớn vận tốc cực đại là 31,4cm/s. Lấy 3,14π = . Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì dao động là

A. 20cm/s B. 10cm/s C. 0 D. 15cm/s

HD: axmtb

2.v4A 4 A 2.31,4 2.10.v . 20cm / s

T 2

πω

π π π π= = = = = =

+ Tính Tần Số Câu 7: Một vật dao động điều hòa với biên độ 4cm. Khi vật có li độ 2cm thì vận tốc là 1m/s. Tần số dao động của vật là

A. 3Hz B. 1Hz C. 4,6Hz D. 1,2Hz

HD: ( )

2 22 2 2 2

2 2

v 100A x 4 2 f 4,6 Hz

2 fω π= + ⇒ = + ⇒ =

Câu 9: Một vật dao động điều hòa trong nửa chu kì đi được quãng đường 10cm. Khi vật có li độ 3cm thì có vận tốc 16 /cm sπ . Chu kì dao động của vật là

A. 0,5s B. 1,6s C. 1s D. 2s

HD: Ta có 2A = 10cm => A = 5 cm

( )( )

222 2 2 2

2 2

16v 1A x 5 3 f 2Hz T 0,5s

f2 f

π

ω π= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = =

+ Dựa vào công thức liên hệ độc lập với thời gian 2

2 2 112 2

2 22 2

2 2 22 2

vA x

A ?vA x

?vA x

ωωω

ω

= + =

= + ⇒ ⇒ = = +

Câu 10: Xác định tần số góc và biên độ của một dao động điều hòa biết khi vật có li độ 3cm thì vận tốc của nó là 15 3 /cm s và khi vật có li độ 3 2cm thì vận tốc là 15 2 /cm s

A. 5rad/s;6cm B. 5rad/s;5cm C. 10rad/s;5cm D. 10rad/s;6cm

HD:

( )

( ) ( )

2

2 22 2

2 22 2

222

15 3A 3

A 6cmvA x

5rad / s15 2A 3 3

ωωω

ω

= + =

= + ⇒ ⇒ =

= +



Câu 11: Một vật dao động điều hòa, khi vật có li độ x1=4cm thì vận tốc 1 40 3 /v cm sπ= và

khi vật có li độ 2 4 2x cm= thì vận tốc là 2 40 2 /v cm sπ= − . Động năng biến thiên với chu kì A. 0,1s B. 0,8s C. 0,2s D. 0,4s

HD:

( )

( ) ( )

2

2 22

2

222

40 3A 4 A 8cm

2 110 rad / s T s40 2 5

A 4 2

π

ωπ

ω ππ ωω

− = + =

⇒ = ⇒ = = −

= +

Động năng biến thiên với chu kì T 1

T 0,1s2 5.2

′ = = =

Câu 12: Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 10cm và thực hiện 50 dao động trong 78,5s. Tìm vận tốc và gia tốc của vật khi nó có tọa độ x = -3cm theo chiều hướng về vị trí cân bằng ?

HD: Biên độ 10

A 5cm2 2

= = =ℓ

, chu kì t 78,5 2

T 1,57s 4rad / sN 50 T

πω= = = ⇒ = =

Vận tốc 2 2 2 2v A x 4 5 3 16cm / s 0,16m / sω= ± − = ± − = ± = ± . Vì vật đang chuyển

động theo chiều dương nên ta chỉ lấy giá trị v = 0,16 m/s.

Gia tốc ( )2 2 2 2a x 4 . 3 48cm / s 0,48m / sω= − = − − = =

Dạng 5– XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI DAO ĐỘNG CỦA VẬT Ở THỜI ĐIỂM t

HOẶC t’ = t + ∆t 1 – Kiến thức cần nhớ :

– Trạng thái dao động của vật ở thời điểm t : 2

x Acos( t )

v Asin( t )

a Acos( t )

= ω + ϕ

= −ω ω + ϕ = −ω ω + ϕ

− Hệ thức độc lập :A2 = 21x +

212

v

ω

− Công thức : a = −ω2x

– Chuyển động nhanh dần nếu v.a > 0 – Chuyển động chậm dần nếu v.a < 0 2 – Phương pháp : * Các bước giải bài toán tìm li độ, vận tốc dao động ở thời điểm t



– Cách 1 : Thay t vào các phương trình : 2

x Acos( t )

v Asin( t )

a Acos( t )

= ω + ϕ

= −ω ω + ϕ = −ω ω + ϕ

⇒ x, v, a tại t.

– Cách 2 : Sử dụng công thức : A2 = 21x +

212

v

ω ⇒ x1 = ±

22 1

2

vA −

ω

A2 = 21x +

212

v

ω ⇒ v1 = ± ω 2 2

1A x−

*Các bước giải bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian ∆t.

– Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0.

– Từ phương trình dao động điều hoà : x = Acos(ωt + φ) cho x = x0 – Lấy nghiệm : ωt + φ = α với 0 ≤ α ≤ π ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc ωt + φ = – α ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương) – Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó ∆t giây là :

x Acos( t )

v A sin( t )

= ±ω∆ + α

= −ω ±ω∆ + α hoặc

x Acos( t )

v A sin( t )

= ±ω∆ − α

= −ω ±ω∆ − α

3 – Các ví dụ :

Câu 1. Một vật dao động điều hòa có phương trình : x = 2cos(2πt – π/6) (cm, s) Li độ và vận

tốc của vật lúc t = 0,25s là :

A. 1cm ; ±2 3π.(cm/s). B. 1,5cm ; ±π 3(cm/s).

C. 0,5cm ; ± 3cm/s. D. 1cm ; ± π cm/s.

HD 1: Từ phương trình x = 2cos(2πt – π/6) (cm, s) ⇒ v = − 4πsin(2πt – π/6) cm/s.

Thay t = 0,25s vào phương trình x và v, ta được : x = 1cm, v = ±2 3(cm/s) Chọn : A.

HD 2: Dùng độ lệch pha: Sau t= 0,25s =T/4 thì pha biến đổi là π/2 nghĩa là x0 vuông pha với xt; v0 vuông pha với vt. Dùng công thức vuông pha để tính.

Câu 2. Một vật dao động điều hòa có phương trình : x = 5cos(20t – π/2) (cm, s). Vận tốc cực

đại và gia tốc cực đại của vật là : A. 10m/s ; 200m/s2. B. 10m/s ; 2m/s2. C. 100m/s ; 200m/s2. D. 1m/s ; 20m/s2.

HD : Áp dụng : maxv = ωA và maxa = ω2A Chọn : D

Câu 3. Vật dao động điều hòa theo phương trình : x = 10cos(4πt +8

π )cm. Biết li độ của vật

tại thời điểm t là 4cm. Li độ của vật tại thời điểm sau đó 0,25s là :

HD : −Tại thời điểm t :

4 = 10cos(4πt + π/8)cm. Đặt : (4πt + π/8) = α ⇒ 4 = 10cosα

−Tại thời điểm t + 0,25: x = 10cos[4π(t + 0,25) + π/8] = 10cos(4πt + π/8 + π) =

−10cos(4πt + π/8) =−4cm.

− Vậy : x = − 4cm



Câu 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: 3cos(2 )3

x tπ

π= − , trong đó x tính bằng

cm, t tính bằng giây. Gốc thời gian đã được chọn lúc vật có trạng thái chuyển động như thế nào?

E. Đi qua Vị trí có li độ x = - 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox F. Đi qua vị trí có li độ x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox G. Đi qua vị trí có li độ x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox H. Đi qua vị trí có li độ x = - 1,5cm và đang chuyển động theo chiều âm trục Ox

HD:0

'0

3cos 2 .0 1,53

6 sin 2 .0 3 3 / 03

x cm

v x cm s

ππ

ππ π π

= − =

⇒ = = − − = >

Đáp án G

Câu 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm, chu kì T. Vào một thời điểm t, vật

đi qua li độ x = 5 cm theo chiều âm. Vào thời điểm t + T/6, li độ của vật là

A. 5 3 cm B. 5 cm C. –5 3 cm D. –5 cm

HD: Ở thời điểm t: x1 = 5cm, v < 0

t + T/6 : 2 53

x cmπ

α = ⇒ = −

Câu 6: Một chất điểm dao động dọc theo trục Ox. Phương trình dao động là x = 10 cos (2πt +

π /3) (cm). Tại thời điểm t vật có li độ x = 6cm và đang chuyển động theo chiều dương sau đó

0,25s thì vật có li độ là :

A. 6cm B. 8cm C. -6cm D. -8cm

HD: Ở thời điểm t1 : x1 = 6cm, v > 0

T = 1s ⇒ 0,25s = T/4

⇒ ở thời điểm t2 = t1 + 0,25s : α = α1 + α2 = π /2

⇒ sinα1 = cosα2 ⇒ x2 = 8cm

Câu 7: Một chất điểm M chuyển động với tốc độ 0,75 m/s trên đường tròn có đường kính bằng 0,5m. Hình chiếu M’ của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động điều hoà. Tại t = 0s, M’ đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Khi t = 8s hình chiếu M’ qua li độ

A. - 10,17 cm theo chiều dương B. - 10,17 cm theo chiều âm C. 22,64 cm theo chiều dương D. 22.64 cm theo chiều âm

HD: * Với chất điểm M : v = ωR = ωA => ω = 3 rad/s (A = 25cm) * Với M’ : x = 25cos( 3t + π/2). + t = 8s => x = 22,64cm và v < 0 => Đáp án D

O x

-5 10 -10 • •

α

• 5

O x 6 10 α1

-10 8

α2



Câu 8: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình: x = 20cos(πt1 - 6

5π) (cm) Tại thời

điểm t1 gia tốc của chất điểm có giá trị cực tiểu. Tại thời điểm t2 = t1 + ∆t (trong đó t2 < 2013T) thì tốc độ của chất điểm là 10π 2 cm/s. Giá trị lớn nhất của ∆t là A. 4024,75s. B. 4024,25s. C. 4025,25s. D. 4025,75s.

HD: Chu kì dao động T = ωπ2

= 2s

Gia tốc có giá trị cực tiểu : a = 0 khi vật qua VTCB => x = 0

x = 20cos(πt1 - 6

5π) = 0 => (πt1 -

6

5π) = ±

2

π + k

2

π=> t1 =

6

5 ±

2

1 +

2

k t1min =

3

1s

v = - 20πsin(πt2 - 6

5π) = 10π 2 => sin(πt2 -

6

5π) = -

2

2 =>

t2 = 12

7+ 2k và t’2 =

12

19+ 2k. từ t2 < 2013T = 4026 (s)

t2 = 12

7+ 2k < 4026 => k ≤ 2012; t’2 =

12

19+ 2k < 4026 => k ≤ 2012

t2max = 12

19+ 4024 =

12

48307(s)

Do đó giá trị lớn nhất của ∆t là ∆tmax = t2max – t1min =12

48307 -

3

1= 4025,25 (s). Đáp án C

Câu 9: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình: )(2

20cos6 cmtx

−=π

.Ở thời

điểm st15

π= vật có:

A. Vận tốc scm /360 , gia tốc 2/12 sm và đang chuyển động theo chiều dương quĩ đạo.

B. Vận tốc scm /360− , gia tốc 2/12 sm− và đang chuyển động theo chiều âm quĩ đạo.

C. Vận tốc scm /60 , gia tốc 2/312 sm và đang chuyển động theo chiều dương quĩ đạo.

D. Vận tốc scm /60− , gia tốc 2/312 sm− và đang chuyển động theo chiều âm quĩ đạo.

HD: Biểu thức vận tốc: )/(2

20sin120' scmtxv

−−==π

Khi st15

π= : )/(60

6

5sin120

215.20sin120 scmv −=−=

−−=πππ

⇒< 0v chuyển động theo chiều âm quĩ đạo

Biểu thức gia tốc: )/(2

20cos2400' 2scmtva

−−==π

)/2

20cos24 2smt

−−=π

Khi st15

π= : 2/312

6

5cos24

215.20cos24 sma =−=

−−=πππ

.Đáp án: D

Câu 10: Một vật nhỏ dao động điều hòa với chu kỳ T=1s. Tại thời điểm t1 nào đó, li độ của vật là -2cm. Tại thời điểm t2 = t1+0.25s,vận tốc của vật có giá trị :



A: 4π cm/s B:-2π m/s C:2πcm/s D:- 4πm/s

HD: Giả sử phương trình dao động của vật có dạng x = AcosT

π2t (cm)

x1 = AcosT

π2t1 (cm)

x2 = AcosT

π2t2 = Acos

T

π2(t1+

4

T) = Acos(

T

π2t1 +

2

π) (cm) = - Asin

T

π2t1

v2 = x’2 = -T

π2Asin(

T

π2t1 +

2

π) = -

T

π2Acos

T

π2t1 = 4π (cm/s). Đáp án: A

Dạng 6: BIẾT LI ĐỘ Ở THỜI ĐIỂM NÀY, TÌM LI ĐỘ Ở THỜI ĐIỂM KHÁC

+ Sau khoảng thời gian kT hoặc (n+0,5)T:( )

( )( )

tt kT

tt n 0,5 T

x x

x x

+

+ +

= = −

Câu 1: Một vật dao động điều hòa có phương trình: cos3

tx A cm

π= . Biết tại thời điểm t1 giây

vật có li độ 2cm. Tại thời điểm (t1 + 6) giây vật có li độ là A. +4cm B. -4,8cm C. -4cm D. +2cm

HD: Ta có 2

T 6sπ

ω= =

( )

( )

tt kTT 6 s

t 6 t T ttTt 2n 1

2

x x

x x x 2cmx x

+=

+ + + +

=

→ = = = = −

Câu 2: Một vật dao động điều hòa có phương trình: 5cos3

tx cm

π= . Biết tại thời điểm t1 giây

vật có li độ 4cm. Tại thời điểm ( t1+3) giây vật có li độ là A. +4cm B. -4,8cm C. -4cm D. +3,2cm

HD: Ta có 2

T 6sπ

ω= =

( )

( )

tt kTT 6 s

t 3 T ttT tt 2n 1 2

2

x x

x x x 4cmx x

+=

++ + +

=

→ = = − = − = −



+ Sau khoảng thời gian ( )2 14

Tn + :

os

sin u cosu2

c u sinu2

π

π

+ =

+ = −

t 1 T 1t

4

1t 1 T

t4

cho : x x v x

vcho : v v x

ω

ω

+

+

+ = ⇒ = ±

+ = ⇒ = ±

Câu 3: Một vật dao động điều hòa chu kì 2s. Tại thời điểm t0 vật có li độ 2cm thì vận tốc của vật ở thời điểm (t0 + 0,5) giây là

A. 3 /cm sπ B. 2 /cm sπ C. 2 3 /cm s D. 2 /cm sπ−

HD:

( )

os

A At 0 ,5

x c t 22rad / s

v Asin tT

v sin t 0,5 sin t Acos t 2 cm / s2

ππω π

π π

ππ π π π π π π+

= = = = ⇒ = −

= − + = − + = − = −

Câu 4: Một vật dao động điều hòa theo trục Ox ( O là VTCB) với tần số góc 4 /rad sπ . Tại thời điểm t0 vật có vận tốc 4 3 /cm sπ . Li độ của vật ở thời điểm ( t0 + 0,875) giây là

A. 3cm B. 3cm− C. 2cm D. -2cm

HD: ( )

A

os

A

t 0 ,875

x Acos 4 t24 rad / s T 0,5s

v 4 sin4 t 4 3cm / s

7Tx Acos 4 t 0,875 Acos 4 t Ac 4 t 7

4 2

4 3x sin4 t 3cm

4

ππω π

ω π π π

ππ π π

ππ

π

+

= = ⇒ = = ⇒

= − = = + = + = +

⇒ = − = =

+ Sau khoảng thời gian bất kì Biết tại thời điểm t1 vật có li độ x1, tìm li độ dao động sau thời điểm t1 một khoảng thời gian

t∆ .



- Từ phương trình dao động điều hòa ( )x Acos tω ϕ= + cho x = x1 suy ra

( )os os1xc t c

Aω ϕ α+ = = . Lấy nghiệm tω ϕ α+ = ( ứng với x đang giảm, vì x’ < 0 )

hoặc tω ϕ α+ = − ( ứng với x đang tăng vì x’ >0), với 0 α π≤ ≤

- Li độ sau thời điểm đó t∆ giây là: ( )x Acos tω α= ∆ + hoặc ( )x Acos tω α= ∆ −

Câu 5: Một vật dao động điều hòa theo phương trình 4cos6

tx cm

π= , t đo bằng giây. Tại thời

điểm t1 li độ của vật là 2 3cm và đang giảm. Tính li độ sau thời điểm t1 một khoảng 3 giây A. -2,5cm B. -2cm C. 2cm D. 3cm

HD: t 3

tx 4cos 2 3

t t6 x 4cos 2cmt 6 6 6 2

v x 4 sin 06 6

ππ π π π

π π +

= = ⇒ = ⇒ = + = −

′= = − <

Câu 6: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình 20cos 2 ( )x t cmπ= , t

đo bằng giây. Vào một thời điểm nào đó vật có li độ là 10 3cm thì li độ vào thời điểm ngay sau đó 1/12 giây là A.10cm; 5cm B. 20cm;15cm C. 10cm; 15cm D. 10cm; 20cm

HD:

os

os

1t

12

1

2

/ 63x 20 cos 2 t 10 3 c 2 t 2 t

/ 62

1x 20cos 2 t 20 cos 2 t

12 6

1x 20cos 20 cos 20. 10cm

6 6 3 2

x 20cos 20.c 0 20.1 20cm6 6

ππ π π

π

ππ π

π π π

π π

+

= = ⇒ = ⇒ =

−

⇒ = + = +

= + = = =

⇒ − = + = = =

Câu 7: Một vật dao động điều hòa có tần số 2Hz, biên độ 4cm. Ở một thời điểm nào đó vật chuyển động theo chiều âm qua vị trí có li độ 2cm thì sau thời điểm đó 1/12 giây vật chuyển động theo

A. Chiều âm qua vị trí có li độ 2 3cm− B. Chiều âm qua VTCB

C.chiều dương qua vị trí có li độ 2cm− D. chiều âm qua vị trí có li độ 2cm−



HD:

os

1t

12

x 4 cos 2 ft 4 cos 4 t 2 1c 4 t 4 t

v 4.4 sin4 t 0 2 3

1x 4cos 4 t 4 cos 4 t 4cos 2cm

12 3 3 3

v 4.4 sin 4 t 16 sin 03 3 3

π π ππ π

π π

π π ππ π

π π ππ π π

+

= = =⇒ = ⇒ =

= − <

= + = + = + = −

⇒ = − + = − + <

Dạng 7–Xác định thời điểm, số lần vật đi qua li độ x0 – vận tốc vật đạt giá trị v0

1 – Kiến thức cần nhớ :

− Phương trình dao động có dạng : x = Acos(ωt + φ) cm

− Phương trình vận tốc có dạng : v = -ωAsin(ωt + φ) cm/s.

2 – Phương pháp :

a − Khi vật qua li độ x0 thì :

+Phương pháp đại số :Xác định thời điểm vật qua vị trí và chiều đã biết.

-Viết các phương trình x và v theo t :

+−=

+=

)sin(

)cos(

ϕωϕω

tv

tAx

- Nếu vật qua x0 và đi theo chiều dương thì

>+−=

+=

0)sin(

)cos(0

ϕωϕω

tv

tAx(1)

- Nếu vật đi qua x0 và đi theo chiều âm thì

<+−=

+=

0)sin(

)cos(0

ϕωϕω

tv

tAx(2)

-Giải (1) hoặc (2) ta tìm được t theo k( với 2...1,0,k ±±= )

-Kết hợp với điều kiện của t ta sẽ tìm được giá trị k thích hợp và tìm được t.

Cụ thể: x0 = Acos(ωt + φ) ⇒ cos(ωt + φ) = 0x

A= cosb ⇒ ωt + φ = ±b + k2π

* t1 = b−ϕ

ω + k2π

ω (s) với k ∈ N khi b – φ > 0 (v < 0) vật qua x0 theo chiều âm

* t2 = b− −ϕω

+ k2πω

(s) với k ∈ N* khi –b – φ < 0 (v > 0) vật qua x0 theo chiều dương

kết hợp với điều kiện của bai toán ta loại bớt đi một nghiệm +Phương pháp đường tròn lượng giác: Lưu ý : Ta có thể dựa vào “ mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ ”. Thông qua các bước sau

* Bước 1 : Vẽ đường tròn có bán kính R = A (biên độ) và

trục Ox nằm ngang

* Bước 2 : – Xác định vị trí vật lúc t = 0 thì 0

0

x ?

v ?

=

=

– Xác định vị trí vật lúc t (xt đã biết)

* Bước 3 : Xác định góc quét ∆φ = �MOM'= ?

M, t = 0

M’ , t v < 0

x0 x

v < 0

v > 0

x0 O



Vị trí x = 2

2A± : Wt = Wđ Vị trí x =

2

A± : Wđ= 3 Wt

Biên trái

Biên phải

x

T/12

T/4

T/8 T/12

T/8

T/4

A O A/2 2

3A

2

A -A -A/2 2

A− 3

2A−

T/6 T/6

T/12 T/12

* Bước 4 : 0T 360

t ?

→

= → ∆ϕ ⇒ t = T

∆ϕω

=0360

∆ϕ T

Chú ý: Để tính thời gian vật đi qua vị trí x đã biết lần thứ n ta có thể tính theo công thức sau:

+Nếu n là số lẻ thì 1

1

2n

nt T t

−= + với t1 là thời gian vật đi từ vị trí x0(lúc t=0) đến vị trí x

lần thứ nhất.

+Nếu n là số chẵn thì 2

2

2n

nt T t

−= + với t2 là thời gian vật đi từ vị trí x0(lúc t=0) đến vị trí x

lần thứ hai.

b − Khi vật đạt vận tốc v0 thì :

v0 = -ωAsin(ωt + φ) ⇒ sin(ωt + φ) = − 0v

Aω= sinb ⇒ t b k2

t ( b) k2

ω + ϕ = + π

ω + ϕ = π − + π

⇒ 1

2

b k2t

d k2t

−ϕ π = + ω ω

π− −ϕ π = + ω ω

với k ∈ N khi b 0

b 0

−ϕ >π − −ϕ >

và k ∈ N* khi b 0

b 0

−ϕ<π − −ϕ <

c.Sự phân bố thời gian chuyển động của vật trên quỹ đạo dao động(cho kết quả nhanh hơn)

- Dùng sơ đồ này có thể giải nhanh về thời gian chuyển động, quãng đường đi được trong thời gian ∆t, quãng đường đi tối đa, tối thiểu….

- Có thể áp dụng được cho dao động điện, dao động điện từ. - Khi áp dụng cần có kỹ năng biến đổi thời gian đề cho ∆t liên hệ với chu kỳ T. và chú ý

chúng đối xứng nhau qua gốc tọa độ.



3– Các ví dụ:

Câu 1. Một vật dao động điều hoà có phương trình x =8cos(2πt) cm. Thời điểm thứ nhất vật

đi qua vị trí cân bằng là :

A. 1

4s. B. 1

2s C. 1

6s D. 1

3s

HD:

Cách 1 : Vật qua VTCB: x = 0 ⇒ 2πt = π/2 + k2π ⇒ t = 1

4 + k

với k ∈ N

Thời điểm thứ nhất ứng với k = 0 ⇒ t = 1/4 (s)

Cách 2 : Sử dụng mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ.

B1 − Vẽ đường tròn (hình vẽ)

B2 − Lúc t = 0 : x0 = 8cm ; v0 = 0 (Vật đi ngược chiều + từ vị trí biên dương)

B3 − Vật đi qua VTCB x = 0, v < 0

B4 − Vật đi qua VTCB, ứng với vật chuyển động tròn đều qua M0 và M1. Vì φ = 0, vật xuất

phát từ M0 nên thời điểm thứ nhất vật qua VTCB ứng với vật qua M1.Khi đó bán kính quét 1

góc ∆φ = 2

π ⇒ t = ∆ϕω

=0360

∆ϕ T = 1

4s.

Câu 2: Cho một vật dao động điều hòa có phương trình chuyển

động

π−π=

6t210cosx (cm). Vật đi qua vị trí cân bằng lần

đầu tiên vào thời điểm:

A. 1/3 (s) B. 1/6(s) C. 2/3(s) D. 1/12(s)

HD : t = 0 : 5 3 , 0x cm v= ≻ ; 2 1

23 3

t t sπ

α π= = ⇒ =

A− A

M1

x

M0

M2

O

∆ϕ

Hình 1

O x 5 3

10 -10 • •

α

Sơ đồ thời gian: x

T/4

T/8

T/4

A O A/2 2

3A

2

A -A -A/2 2

A− 3

2A−

T/6 T/6

T/12 T/12 T/12 T/12 T/12 T/12 T/24 T/24

T/2

T/8



Câu 3. Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 8cos10πt(cm). Thời điểm vật đi qua vị

trí x = 4cm lần thứ 2013 kể từ thời điểm bắt đầu dao động là :

A. 6037

30(s). B. 6370

30(s) C. 6730

30(s) D. 603,7

30(s)

HD :

Cách 1 : *

1 k10 t k 2 t k N

3 30 5x 4 1 k

10 t k 2 t k N3 30 5

π π = + π = + ∈ = ⇒ ⇒

π π = − + π = − + ∈

Vật qua lần thứ 2013 (lẻ) ứng với vị trí M1: v < 0 ⇒ sin > 0, ta chọn nghiệm trên

với 2013 1k 1006

2

−= = ⇒ t = 1

30+ 1006

5= 6037

30s . Chọn : A

Cách 2 :− Lúc t = 0 : x0 = 8cm, v0 = 0

− Vật qua x = 4cm là qua M1 và M2. Vật quay 1 vòng (1chu kỳ) qua x = 4cm là 2 lần. Qua

lần thứ 2013 thì phải quay 1006 vòng rồi đi từ M0 đến M1.Góc

quét 1 60371006.2 t (1006 ).0,2 s

3 6 30

π ∆ϕ∆ϕ = π + ⇒ = = + =

ω. Chọn : A

Câu 4: (ĐH – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình 2

4cos3

x tπ

= (x

tính bằng cm ; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -2 cm lần thứ 2011

tại thời điểm

A. 3015 s. B. 6030 s. C. 3016 s. D. 6031 s.

Giải : t = 0 : x = 4cm , v < 0 ; Vị trí x = -2 cm thứ

1 :2 2

13 3

t t sπ π

α = = ⇒ =

23T s

πω

= = . Một chu kì qua x =-2cm : 2 lần. Lần thứ 2011 ứng với

t = 1+1005x3 = 3016s

Câu 5. Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4πt +6

π)cm. Thời điểm thứ

2011 vật qua vị trí x=2cm.

A. 12061

24s B.

12049

24s C.

12025

24s D. Đáp án khác

HD: Cách 1:*

14 2 k N

6 3 24 221

k N4 28 26 3

kt k t

xk

tt k

π ππ π

π ππ π

+ = + = + ∈ = ⇒ ⇒

= − + ∈+ = − +

A−A

M1

x

M0

M2

O

∆ϕ

Hình 3

O x

-2 4 -4 • •

α



Vật qua lần thứ 2011(lẻ) ứng với nghiệm trên 2011 1

10052

−= =k

⇒ 1 12061

502,5 = s24 24

= +t -> Chọn : A

Cách 2: Vật qua x =2 là qua M1 và M2. Vật quay 1 vòng (1 chu kỳ) qua x = 2 là 2 lần. Qua lần thứ 2011 thì phải quay 1005 vòng rồi đi từ M0 đến M1.(Hình 5)

Góc quét 1 12061

1005.2 502,56 24 24

∆∆ = + ⇒ = = + =t s

π ϕϕ π

ω

Chọn : A Câu 6: Một vật dao động điều hoà với phương trình x =

4cos(4πt +6

π)cm. Thời điểm thứ 2013 vật qua vị trí x=2cm là(

không xét theo chiều):

A. 12073

24s B.

12061

24s C.

24157

24s D. Đáp án khác

HD:

Cách 1:*

14 2 k N

6 3 24 221

k N4 28 26 3

kt k t

xk

tt k

π ππ π

π ππ π

+ = + = + ∈ = ⇒ ⇒

= − + ∈+ = − +

Vật qua lần thứ 2013(lẻ) ứng với nghiệm trên 2013 1

10062

k−

= = ⇒ 1 12073

503 = s24 24

t = +

-> Đáp án A Cách 2: Vật qua x =2 là qua M1 và M2. Vật quay 1 vòng (1 chu kỳ) qua x = 2 là 2 lần. Qua lần thứ 2013 thì phải quay 1006 vòng rồi đi từ M0 đến M1.(Hình 6 : góc M0OM1 =π/6)

Góc quét : 1 12073

1006.2 5036 24 24

t sπ ϕ

ϕ πω∆

∆ = + ⇒ = = + = Đáp án A

Câu 7: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4πt +6

π)cm. Thời điểm thứ

2014 vật qua vị trí x=2cm là( không xét theo chiều):

A. 4027

8s B.

1007

4s C.

1007

2s D.

12085

24s

HD: Cách 1:*

14 2 k N

6 3 24 221

k N4 28 26 3

kt k t

xk

tt k

π ππ π

π ππ π

+ = + = + ∈ = ⇒ ⇒

= − + ∈+ = − +

Vật qua lần thứ 2014(CHẴN) ứng với nghiệm DƯỚI 2014

10072

k = = ⇒ 1 4027

503,5 = s8 8

t = − + -> Đáp án A

Cách 2: Vật qua x =2 là qua M1 và M2. Vật quay 1 vòng (1 chu kỳ) qua x = 2 là 2 lần. Qua lần thứ 2014 thì phải quay 1006 vòng rồi đi từ M0 đến M2.(Hình 2 : góc M0OM2 =3π/2)

O x

M1

M2

A -A

M0

Hình 5

O x

M1

M2

A -A

M0

Hình 6

O x

M1

M2

A -A

M0

Hình 3



Góc quét : 3 3 4027

1006.2 5032 8 8

t sπ ϕ

ϕ πω∆

∆ = + ⇒ = = + = Đáp án A

Câu 8: Một dao động điều hoà với x=8cos(2πt-6

π) cm. Thời điểm thứ 2014 vật qua vị trí có

vận tốc v= - 8π cm/s. A. 1006,5s B.1005,5s C. 2014 s D. 1007s HD:

Cách 1: Ta có v = -16πsin(2πt-6

π) = -8πcm/s

12 2

6 6 6 5 1

2 26 6 2

t k t kk N

t k t k

π ππ π

π ππ π

− = + = + ⇒ ⇒ ∈ − = + = +

Thời điểm thứ 2014 ứng với nghiệm 2014

1 10062

k = − =1

1006 1006,5 2

t s⇒ = + =

Cách 2: Ta có 2 2( ) 4 3v

x A cmω

= − = ± .Vì v < 0 nên vật qua M1 và M2; Qua lần thứ 2014 thì

phải quay 1006 vòng rồi đi từ M0 đến M2. Góc quét ∆ϕ = 1006.2π + π ⇒ t = 1006,5 s . (Hình 7) Câu 9. Một chất điểm dao động điều hoà trên trục Ox có vận tốc bằng 0 tại hai thời điểm liên tiếp

1 1,75t s= và 2 2,5t s= , tốc độ trung bình trong khoảng thời gian đó là 16 /cm s . Toạ độ chất điểm tại thời điểm 0t = là A. -8 cm B. -4 cm C. 0 cm D. -3 cm HD: Giả sử tại thời điểm t0 = 0;, t1 và t2 chất điểm ở các vị tríM0; M1 và M2; từ thời điểm t1 đến t2 chất điểm CĐ theo chiều dương. Chất điểm có vận tốc bằng 0 tại các vị trí biên Chu kì T = 2(t2 – t1 ) = 1,5 (s) vtb = 16cm/s. Suy ra M1M2 = 2A = vtb (t2 – t1) = 12cm Do đó A = 6 cm. Từ t0 = 0 đến t1: t1 = 1,5s + 0,25s

= T + T6

1

Vì vậy khi chất điểm ở M0, chất điểm CĐ theo chiều âm, đến vị trí biên âm , trong t=T/6 đi được quãng đường A/2. Do vậy tọa độ chất điểm ơt thời điểm t = 0 là x0 = -A/2 = - 3 cm. Chọn D

Câu 10: Một vật dao động có phương trình là 2

3cos(5 ) 1( )3

x t cmπ

π= − + . Trong giây đầu tiên

vật đi qua vị trí có tọa độ là x=1cm mấy lần? A. 2 lần B.3 lần C.4 lần D.5 lần

HD: Vật dao động điều hòa quanh vị trí x=1cm.Ta có: 2

25,22

55

2

1 TTTt

T

t+==∆→==

∆π

π;

4 3− 4 3

Hình 7

M0 M2 M1



Ở thời điểm t=0 )1(0

2

1

>

−=→

v

cmx

Trong 2 chu kì vật qua vị trí x=1cm được 4 lần( mỗi chu kì qua 2 lần) Trong nửa chu kì tiếp theo vật qua x=1cm thêm 1 lần nữa.

Câu 11: Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(2πt + π/2)cm. Thời gian

từ lúc bắt đầu dao động đến lúc đi qua vị trí x = 2cm theo chiều dương của trục toạ độ lần thứ 1

là

A. 0,917s. B. 0,583s. C. 0,833s. D. 0,672s.

HD : t = 0 : x = 0 , v < 0

x = 2cm , v > 0 7 7

2 6 12

t t sπ

α π⇒ = = ⇒ =

Câu 12: Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hòa theo phương trình 5cos(4 )( )3

x t cmπ

π= − .

Tìm thời điểm: a.Vật qua tọa độ * 2,5 2x cm= − lần thứ 2013.

b.Vật qua tọa độ * 2,5 2x cm= − theo chiều dương lần thứ 2014. HD

a: vật qua tọa độ * 2,5 2x cm= − cm lần thứ 2013.

Vì 2013 là số lẻ nên ta có: 2013 1

2013 1

2t t T

−= + . Với t1 là khoảng thời gian từ vị trí ban đầu

đến tọa độ * 2,5 2x = − cm lần thứ nhất.

Theo hình vẽ ta có

1

7

6 4 6 12

T T T Tt = + + = ; Vậy 2013

7 12079 120791006 503, 29

12 12 24

T Tt T s= + = = =

b: vật qua * 2,5 2x cm= − theo chiều dương lần thứ 2014

Ta có: 2014 1 (2014 1)t t T= + − với 1t là khoảng thời gian từ vị trí ban đầu đến tọa độ

* 2,5 2x cm= − vật đang chuyển động theo chiều dương lần thứ nhất.

O x 2 4

α -4

• •

x

5− O 52,52,5 2−

( lần 1)



Theo hình vẽ ta có

1

3

6 2 12 4

T T T Tt = + + =

Vậy

2014

3 80552013 1006,875

4 8

T Tt T s= + = =

Câu 13: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(2πt-3

π) cm.

Thời điểm thứ nhất vật qua vị trí có động năng bằng thế năng.

A. 1

8s B.

1

24s C.

5

8s D. 1,5s

Giải Cách 1:Wđ = Wt ⇒ 2 2 2 2 2 21 1sin (2 ) s (2 )

2 3 2 3m A t m A co t

π πω π ω π− = −

2 2 cos(4 ) 0 4

3 3 2t t k

π π ππ π π⇒ − = ⇒ − = +

7 k [-1; )

24 4

kt⇒ = + ∈ ∞

Thời điểm thứ nhất ứng với k = -1 ⇒ t = 1/24 s

Giải Cách 2: Wđ = Wt ⇒ 1

W W x=2 2

t

A= ⇒ ± ⇒ có 4 vị trí

M1, M2, M3, M4 trên đường tròn. Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí Wđ = Wt ứng với vật đi từ M0 đến M4 .(Hình 13)

Góc quét:1

3 4 12 24t s

π π π ϕϕ

ω∆

∆ = − = ⇒ = =

Câu 14: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(πt-4

π) cm.

Thời điểm thứ 2010 vật qua vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng.? HD: Cách 1:Wđ = 3Wt ⇒

2 2 1sin ( ) 3 s ( ) os(2 )

4 4 2 2t co t c t

π π ππ π π− = − ⇒ − =−

*

2 72 2 k N

2 3 122 1

2 2 k N2 3 12

t k t k

t k t k

π ππ π

π ππ π

− = + = + ∈ ⇒

− = − + = − + ∈

Qua lần thứ 2010 ứng với nghiệm dưới

k = 1005 ⇒ 12059

12t = s

Cách 2: Wđ = 3Wt ⇒ 1

W W4 2t

Ax= ⇒ = ± ⇒ có 4 vị trí

trên đường tròn M1, M2, M3, M4.

Hình 14

Hình 13

( lần 1)

5− O 5

x

2,52,5 2−



Qua lần thứ 2010 thì phải quay 502 vòng (mỗi vòng qua 4 lần) rồi đi từ M0 đến M2. .(Hình 14)

Góc quét 11

502.2 ( ) 10043 4 12

π π πϕ π π π∆ = + − − = + . =>

11 120591004

12 12t s

ϕω∆

= = + =

Câu 15: Một vật dao động điều hòa với chu kì T, trên một đoạn thẳng, giữa hai điểm biên M

và N. Chọn chiều dương từ M đến N, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng O, mốc thời gian t = 0 là lúc

vật đi qua trung điểm I của đoạn MO theo chiều dương. Gia tốc của vật bằng không lần thứ

nhất vào thời điểm

A. t = T/6. B. t = T/3. C. t = T/12. D. t = T/4 .

Giải: 2

6 12

Tt t

T

π πα = = ⇒ =

Câu 16: Một vật dao động điều hoà với phương trình dao động ( )x Acos t+ω ϕ= . Cho biết

trong khoảng thời gian 1/60 giây đầu tiên vật đi từ vị trí cân bằng x0 = 0 đến x = A 3

2 theo

chiều dương và tại điểm cách vị trí cân bằng 2cm vật có vận tốc là 40 3cm / sπ . Tần số góc ω

và biên độ A của dao động là

A. 2 rad / s;A 4cmω π= = . B. 20rad / s;A 40cmω = = .

C. 20 rad / s;A 16cmω π= = D. 20 rad / s;A 4cmω π= = .

HD : 2 1

6 20 ( / )3 10

t T t s rad sT

π πα ω π= = ⇒ = = ⇒ =

22

24

vA x cm

ω= + =

Câu 17(ĐH- 2009): Một con lắc lò xo vật nhỏ có khối lượng 50g. Con lắc dao động điều hòa trên trục nằm ngang với phương trình x = Acosωt. cứ sau những khoảng thời gian 0,05s thì động năng và thế năng của vật lại bằng nhau. Lấy π2 = 10m/s2. Lò xo của con lắc có độ cứng bằng

HD: Theo sơ đồ trên thì cứ sau những khoảng thời gian 8 8 4

T T Tt∆ = + = vật sẽ đi đến vị trí mà

có động năng bằng thế năng. Vậy ¼T = 0,05s ⇒ T = 0,2s từ đây suy ra k = 50N/m

Câu 18: Một vật dao động điều hoà, nếu tại một thời điểm t nào đó vật có động năng bằng 1/3 thế năng và động năng đang giảm dần thì 0,5 s ngay sau đó động năng lại gấp 3 lần thế năng. Hỏi bao lâu sau thời điểm t thì vật có động năng cực đại? A. 1 s. B. 2 s. C. 2/3 s. D. 3/4 s. Giải : dùng công thức ĐLBT cơ năng W = Wd + Wt = 4Wt / 3 => kA2/2 = (4/3) kx2/2

O x I N

α M

O A -A

• •

α

3

2

A x



=> x = ± A 3 /2 => đề cho động năng đang giảm => vật đang đi về biên và thế năng tăng => x 1= A 3 /2 = A cosα1 => α1 = – π/6 => ở thời điểm ngay sau đó Wd = 3Wt => 4Wt = W => x2 = A/2 = Acosα2 => α2 = π/3 => Góc quay ∆α = α2 - α1 = π/2 => khi vật có động năng cực đại trong thời gian ngắn nhất => khi vật đi qua vị trí cân bằng => góc quay α = π/6 + π/2 = 2π/3

= > s3

2

2

5,0.3

2t.

ttt

==∆∆

==>=∆∆

=π

π

α

αααω

Câu 19: Chọn phương án đúng.Một chất điểm có khối lượng m = 100g dao động điều hòa theo phương trình:x = 5cos 10 tπ (cm).Thời điểm chất điểm qua điểm M1 có li độ x1 = - 2,5 cm lần thứ nhất là:

sA60

1. sB

15

1. sC

6

1. sD

60

11.

HD 1: Thế li độ x1 = - 2,5 cm vào phương trình dao động ta

có:2

110cos10cos55,2 −=⇒=− nn tt ππ

1

*2

210 2 ;

32

10 2 ;3

t k k N

t k k N

ππ π

ππ π

= + ∈ = − + ∈

1min 2min min 1min

1 2 1;

15 15 15t s t s t t s⇒ = = ⇒ = =

Thời điểm mà chất điểm qua điểm M1 có li độ x1 = -2,5 cm lần đầu là: 1

15s . Đáp án B

HD 2:Dùng giản đồ thời gian: Góc quay là 2π/3 => thời gian quay: T/3 =0,2/3 =1/15 s Câu 20: Hai chất điểm dao động điều hoà cùng trên trục Ox với cùng gốc tọa độ và cùng mốc

thời gian với phương trình lần lượt là x1 = 4cos( 4 tπ - 3π

) cm và x2 = 4cos(2 π t +6π

) cm. Thời

điểm lần thứ 2013 hai chất điểm gặp nhau là:

A. 18019

36(s). B. 12073

36(s) C. 4025

4(s) D. 8653

4(s)

HD: Hai chất điểm gặp nhau: x1 = x2 Có hai nghiệm: t1 = 1/4 + k (k = 0; 1; 2...) t2 = 1/36 + k/3 (k = 0; 1; 2 ...) Gặp nhau lần thứ 2013: t2 = 1/36 + k/3 với k = 1006. Tính được t = 12073/36 s.Chọn B. Câu 21. Vật dao động điều hòa có vận tốc cực đại bằng 3m/s và gia tốc cực đại bằng 30π (m/s2). Thời điểm ban đầu vật có vận tốc 1,5m/s và thế năng đang tăng. Hỏi vào thời điểm nào sau đây vật có gia tốc bằng 15π (m/s2): A. 0,10s; B. 0,15s; C. 0,20s D. 0,05s; HD: vmax = ωA= 3(m/s) amax = ω2A= 30π (m/s2 ) => ω = 10π --� T = 0,2s

- π/6

π/3 π/2



Khi t = 0 v = 1,5 m/s = vmax/2� Wđ = W/4. Tức là tế năng Wt =3W/4

2 20

0

3 3

2 4 2 2

kx kA Ax= ⇒ = ± .

Do thế năng đang tăng, vật chuyển động theo chiều dương nên vị trí ban đầu

x0 = 3

2

A Vật ở M0 góc φ = -π/6

Thời điểm a = 15π (m/s2):= amax/2 => x = ± A/2 =. Do a>0 vật chuyển động nhanh dầnvề VTCB nên vật ở điểm M ứng với thời điểm t = 3T/4 = 0,15s ( Góc M0OM = π/2). Chọn B. 0,15s Dạng 8: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA I – Phương pháp 1:(Phương pháp truyền thống) * Chọn hệ quy chiếu : - Trục Ox ……… - Gốc tọa độ tại VTCB - Chiều dương ……….- Gốc thời gian ………

* Phương trình dao động có dạng : x = Acos(ωt + φ) cm

* Phương trình vận tốc : v = -ωAsin(ωt + φ) cm/s

* Phương trình gia tốc : a = -ω2Acos(ωt + φ) cm/s2

1 – Tìm ω * Đề cho : T, f, k, m, g, ∆l0

- ω = 2πf = 2

T

π , với T = t

N

∆ , N : Tổng số dao động trong thời gian ∆t

Nếu là con lắc lò xo : nằm ngang treo thẳng đứng

ω = k

m, (k : N/m ; m : kg) ω =

0

g

l∆, khi cho ∆l0 =

mg

k =

2

g

ω.

* Đề cho x, v, a, A : ω = 2 2

v

A x−= a

x =

maxa

A= maxv

A

2 – Tìm A

* Đề cho : cho x ứng với v ⇒ A = 2 2vx ( ) .+

ω

- Nếu v = 0 (buông nhẹ) ⇒ A = x

- Nếu v = vmax ⇒ x = 0 ⇒ A = maxv

ω

* Đề cho : amax ⇒ A = max2

a

ω

* Đề cho : chiều dài quĩ đạo CD ⇒ A = CD

2.

* Đề cho : lực Fmax = kA. ⇒ A = maxF

k.

* Đề cho : lmax và lmin của lò xo ⇒A = max minl l

2

− .

O

M M0

-A



* Đề cho : W hoặc dmaxW hoặc tmax

W ⇒A = 2W

k.Với W = Wđmax = Wtmax =

21kA

2.

* Đề cho : lCB,lmax hoặc lCB, lmim ⇒A = lmax – lCB hoặc A = lCB – lmin. 3 - Tìm ϕ (thường lấy – π < φ ≤ π) : Dựa vào điều kiện ban đầu

* Nếu t = 0 : - x = x0 , v = v0 ⇒ 0

0

x Acos

v A sin

= ϕ

= − ω ϕ ⇒

0

0

xcos

Av

sinA

ϕ =

ϕ = ω

⇒ φ = ?

- v = v0 ; a = a0 ⇒ 2

0

0

a A cos

v A sin

= − ω ϕ

= − ω ϕ ⇒tanφ = ω 0

0

v

a ⇒ φ = ?

- x0 = 0, v = v0 (vật qua VTCB)⇒0

0 Acos

v A sin

= ϕ

= − ω ϕ⇒

0

cos 0

vA 0

sin

ϕ = = − > ω ϕ

⇒ 0

2v

A / /

πϕ = ± = ω

- x = x0, v = 0 (vật qua VT biên )⇒ 0x Acos

0 A sin

= ϕ

= − ω ϕ⇒

0xA 0

cos

sin 0

= >

ϕ ϕ =

⇒ o

0;

A /x /

ϕ = π

=

* Nếu t = t1 : 1 1

1 1

x A cos( t )

v A sin( t )

= ω + ϕ

= − ω ω + ϕ ⇒ φ = ? hoặc

21 1

1 1

a A cos( t )

v A sin( t )

= − ω ω + ϕ

= − ω ω + ϕ ⇒ φ = ?

Lưu ý : – Vật đi theo chiều dương thì v > 0 → sinφ < 0; đi theo chiều âm thì

v < 0→ sinϕ > 0. – Trước khi tính φ cần xác định rõ φ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác

Câu 1 : Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm và T = 2s. Chọn gốc thời gian là lúc

vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là :

A. x = 4cos(2πt − π/2)cm. B. x = 4cos(πt − π/2)cm.

C. x = 4cos(2πt + π/2)cm. D. x = 4cos(πt + π/2)cm.

HD : − ω = 2πf = π. và A = 4cm ⇒ loại B và D.

− t = 0 : x0 = 0, v0 > 0 : 0

0 cos

v A sin 0

= ϕ

= − ω ϕ > ⇒ 2

sin 0

πϕ = ± ϕ <

chọn φ = −π/2

⇒ x = 4cos(2πt − π/2)cm. Chọn : A

Câu 2 : Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 4cm với f = 10Hz. Lúc t = 0 vật qua

VTCB theo chiều dương của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là :

A. x = 2cos(20πt + π/2)cm. B. x = 2cos(20πt − π/2)cm.

C. x = 4cos(20t − π/2)cm. D. x = 4cos(20πt + π/2)cm.

HD : − ω = 2πf = π. và A = MN /2 = 2cm ⇒ loại C và D.



− t = 0 : x0 = 0, v0 > 0 : 0

0 cos

v A sin 0

= ϕ

= − ω ϕ > ⇒ 2

sin 0

πϕ = ± ϕ <

chọn φ =−π/2

⇒ x =2cos(20πt − π/2)cm. Chọn : B

Câu 3: Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m. Vật dao động theo phương thẳng đứng

với tần số góc ω = 10π(rad/s). Trong quá trình dao động độ dài lò xo thay đổi từ 18cm đến

22cm. Chọn gố tọa độ tại VTCB. chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo có độ dài nhỏ nhất. Phương trình dao động của vật là :

A. x = 2cos(10πt + π)cm. B. x = 2cos(0,4πt)cm.

C. x = 4cos(10πt − π)cm. D. x = 4cos(10πt + π)cm.

HD :− ω = 10π(rad/s) và A = max minl l

2

−= 2cm. ⇒ loại B

− t = 0 : x0 = −2cm, v0 = 0 : 2 2cos

0 sin

− = ϕ

= ϕ ⇒

cos 0

0 ;

ϕ <

ϕ = πchọn φ = π

⇒ x = 2cos(10πt + π)cm. Chọn : A

Câu 4. Một chất điểm dđ đh dọc theo trục ox quanh VTCB với biên độ 2cm chu kỳ 2s. Hãy lập phương trình dao động nếu chọn mốc thời gian t0=0 lúc a. Vật ở biên dương b. Vật ở biên âm c. Vật đi qua VTCB theo chiều dương d.Vật đi qua VTCB theo chiều âm

Giải: ππ

ω ==T

.2 rad/s

a . t0=0 thì 0

0

cos

. .sin 0

x A A

v A

φ

ω φ

= =

= − = suy ra

cos 10

sin 0

φφ

φ

= ⇒ =

= ta có x=2.cos( ).tπ cm

b. t0=0 thì 0

0

cos

. .sin 0

x A A

v A

φ

ω φ

= − =

= − = suy ra

cos 1

sin 0

φφ π

φ

= − ⇒ =

= ta có phương trình

x=2cos( ). ππ +t cm

c. t0=0 0

0

0 cos

. .sin 0 2

x A

v A

φ πφ

ω φ

= = ⇒ = −

= − > ;

cos2

2sin 0

πφ π

φφ

= ± ⇒ = −

<

=> x=2cos( . )2

tπ

π − cm

c. t0=0 0

0

0 cos

. .sin 0 2

x A

v A

φ πφ

ω φ

= = ⇒ =

= − < ;

cos2

2sin 0

πφ π

φφ

= ± ⇒ =

>

=> x=2cos( . )2

tπ

π + cm

Câu 5. Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox quanh VTCB O với biên độ 4 cm, tần số f=2 Hz .Hãy lập phương trình dao động nếu chọn mốc thời gian t0=0 lúc a. chất điểm đi qua li độ x0=2 cm theo chiều dương b. chất điểm đi qua li độ x0= -2 cm theo chiều âm HD :



a. t0=0 thì 30sin.4.4

cos42

0

0 πϕ

ϕπ

ϕ−=⇒

>−=

==

v

x => x=4cos(4 )

3.

ππ −t cm

b. . t0=0 thì 3

.2

0sin.4.4

cos42

0

0 πϕ

ϕπ

ϕ=⇒

<−=

=−=

v

x

Câu 6. Một chất điểm d đ đ hdọc theo trục Ox quanh vị trí cân bằng O với srad /10=ω a. Lập phương trình dao động nếu chọn mốc thời gian t0=0 lúc chất điểm đi qua li độ x0=-4 cm theo chiều âm với vận tốc 40cm/s b. Tìm vận tốc cực đại của vật HD :

a. t0=0 thì

−=

−=

⇒

<−=−=

=−=

A

AAv

Ax

4sin

4cos

0sin..1040

cos4

0

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ suy ra 24,4

=−= Aπ

ϕ cm

b. vmax= 2.402.4.10. ==Aω II– Phương pháp 2: Dùng số phức biểu diễn hàm điều hòa (NHỜ MÁY TÍNH fX 570MS; 570ES; 570ES Plus)

1- Cơ sở lý thuyết: (0)

(0)0

(0)(0)

coscoscos( . )

sin( . ) sin sin

t

x A ax Ax A t

vv A t v A A b

ϕϕω ϕω ω ϕ ω ϕ ϕ

ω

=

= === + → ⇔

= − + = − − = =

Vậy ( 0 )0

( 0 )c o s ( ) ,ω ϕ

ω

=

=

= + ← → = + = −

t

a x

x A t x a b i vb

2- Phương pháp giải SỐ PHỨC: t = 0 có: (0)

(0 )(0 )(0)

cos( )

a x

Av

x x i x tvb

A ϕωω

ω

ϕ=

⇒ = − → ∠ ⇒ = +

= −

3.- Thao tác máy tính (fx 570MS;570ES): Mode 2, R (radian),

Bấm nhập : ( 0 )( 0 )

vx i

ω− =

- Với máy fx 570ES : bấm tiếp SHIFT, 2 , 3, = máy sẽ hiện A ϕ∠ , đó là biên độ A và pha ban đầu ϕ. -Với máy fx 570MS : bấm tiếp SHIFT, + ( ( )r Aθ θ∠ ∠⊳ ), = (Re-Im) máy hiện A, sau đó bấm SHIFT, = (Re-Im) máy sẽ hiện ϕ. 4. Chú ý các vị trí đặc biệt: (Hình vòng tròn lượng giác)

Vị trí của vật lúc đầu t=0

Phần thực: a

Phần ảo: bi

Kết quả: a+bi = A∠ϕ

Phương trình: x=Acos(ωt+ϕ)

Hình Vòng Tròn

II

III I

IV

-A

M

O x X0

ϕ

A



5. Chọn chế độ thực hiện phép tính về số phức của máy tính: CASIO fx–570ES, 570ES Plus Các bước Chọn chế độ Nút lệnh Ý nghĩa- Kết quả Chỉ định dạng nhập / xuất toán Bấm: SHIFT MODE 1 Màn hình xuất hiện

Math. Thực hiện phép tính về số phức

Bấm: MODE 2 Màn hình xuất hiện CMPLX

Hiển thị dạng toạ độ cực: r∠θ Bấm: SHIFT MODE � 3 2 Hiển thị số phức dạng r ∠θ

Hiển thị dạng đề các: a + ib. Bấm: SHIFT MODE � 3 1 Hiển thị số phức dạng a+bi

Chọn đơn vị đo góc là độ (D) Bấm: SHIFT MODE 3 Màn hình hiển thị chữ D Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) Bấm: SHIFT MODE 4 Màn hình hiển thị chữ R Nhập ký hiệu góc ∠ Bấm SHIFT (-). Màn hình hiển thị ∠ -Thao tác trên máy tính (fx 570MS;570ES): Mode 2, và dùng đơn vị R (radian),

Bấm nhập : ( 0 )( 0 )

vx i

ω−

- Với máy fx 570ES : Muốn xuất hiện biên độ A và pha ban đầu ϕ:

Làm như sau:

-Với máy fx 570MS : bấm tiếp SHIFT + ( ( )r Aθ θ∠ ∠⊳ ), = (Re-Im): hiện A, SHIFT = (Re-Im) : hiện ϕ.

Biên dương(I): x0 = A; v0 = 0

a = A 0 A∠0 x=Acos(ωt)

Theo chiều âm (II): x0 = 0 ; v0 < 0

a = 0 bi = Ai A∠ π/2 x=Acos(ωt+π/2)

Biên âm(III): x0 = - A; v0 = 0

a = -A 0 A∠ π x=Acos(ωt+π)

Theo chiều dương (IV): x0 = 0 ;v0 > 0

a = 0 bi= -Ai A∠- π/2 x=Acos(ωt-π/2)

Vị trí bất kỳ: a= x0 0vbi i

ω=−

A∠ ϕ x=Acos(ωt+ϕ)

Bấm SHIFT 2 màn hình xuất hiện như hình bên Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quả dạng cực (r ∠ θ ) Nếu bấm tiếp phím 4 = kết quả dạng phức (a+bi ) ( đang thực hiện phép tính )



Câu 7: Vật m dao động điều hòa với tần số 0,5Hz, tại gốc thời gian nó có li độ x(0) = 4cm, vận tốc v(0) = 12,56cm/s, lấy 3,14π = . Hãy viết phương trình dao động.

Giải: Tính ω= 2πf =2π.0,5= π (rad/s)

(0)

(0)

4

0 : 4 44

a x

t x ivb

ω

= =

= ⇒ = −= − = −

. bấm 4 - 4i, =

4 2 44 4

23 cos( )x t cSHI mFTπ π

π→ ∠ ⇒ −=−=

Câu 8: Vật m gắn vào đầu một lò xo nhẹ, dao động điều hòa với chu kỳ 1s. người ta kích thích dao động bằng cách kéo m khỏi vị trí cân bằng ngược chiều dương một đoạn 3cm rồi buông. Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc buông vật, hãy viết phương trình dao động.

Giải: Tính ω= 2π/T=2π/1= 2π (rad/s)

(0)

(0)

3

0 : 3;0

a x

t xvb

ω

= = −

= ⇒ = −= − =

; bấm -3,=

cos(2 )3 323 x t cmSHIFT π ππ→ ∠ ⇒ = += Câu 9: Vật nhỏ m =250g được treo vào đầu dưới một lò xo nhẹ, thẳng đứng k = 25N/m. Từ VTCB người ta kích thích dao động bằng cách truyền cho m một vận tốc 40cm/s theo phương của trục lò xo. Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc m qua VTCB ngược chiều dương, hãy viết phương trình dao động.

Giải:

(0)

(0)

0

10 / ; 44

a xk

rad s x ivm b

ω

ω

= =

= = ⇒ == − =

;

bấm 4i,= cos(10 )4 42 32 2

x t cmSHIFTπ π

→ ∠ ⇒ = +=

Câu 10: Một vật dao động điều hòa có biên độ A = 24 cm ,chu kỳ T= 4 s Tại thời điểm t = 0 vật có li độ cực đại âm (x = -A) a) Viết phương trình dao động điều hòa x ? b) Tình x ? v ? a ? ở thời điểm t = 0 ,5s Hướng dẫn giải:

a) 2

2T

π πω = = (rad/s) Tại t = 0 0

0

cos cos 1

0 sin sin 0

x A A

v A

ϕ ϕ

ω ϕ ϕ

= − = ⇒ = −

= = − ⇒ = ϕ π⇒ = =>

x = 24cos ( )2

t cmπ

π +

Cách 2: dùng máy tính :(0)

(0)

24

240

a x A

xvb

ω

= =− =−

⇒ =−=− =

; Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode

4 (R:radian),



Nhập: -24, = 24 cos( )2

3 42 2x t cSHI mFT ππ

π→ ⇒ =∠ +=

b) 24 cos .0,5 16,9( )2

x cmπ

π = + = −

; 5 224 sin ( 12 )( ) 26, 64 /

2 4 2v cm s

π ππ= − = − − =

Câu 11: Một lò xo khối lượng không đáng kể có k = 200 N/m.Đầu trên giữ cố định đầu dưới treo vật nặng có m = 200g, vật dao động thẳng đứng có vận tốc cực đại 62,8 cm/s. viết PT dao động của vật. Hướng dẫn giải: Từ PT dđđh x = Acos ( )ϕω +t . Xác định A, ω , ϕ ?

* m

K=ω = ππ 10101010

2,0

200 2 === rad/s (trong đó m = 200g = 0,2 kg)

* vmax= Aω => A = 210

8,62max ==πω

v (cm)

* Điều kiện ban đầu t = 0, x = 0, v > 0 0 = Acosϕ Suy ra ϕ = ± π/2 v = -ωAsin ϕ > 0 Suy ra ϕ < 0 => ϕ = - π/2 => x = 2cos( tπ10 -π/2) (cm) Dùng Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian),

Nhập: 2 22

2 , 2 3 cos( )2 2

x t ci SHIFT mπ π π

→ ⇒ = −− = ∠ −=

Câu 12: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm và T = 2s. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là :

A. x = 4cos(2πt - π/2)cm. B. x = 4cos(πt - π/2)cm. C. x = 4cos(2πt -π/2)cm. D. x = 4cos(πt + π/2)cm.

Hướng dẫn giải: ω = 2πf = π. Và A = 4cm ⇒ loại A và C.

t = 0 : x0 = 0, v0 > 0 : 0

0 cos

v A sin 0

= ϕ

= − ω ϕ > ⇒ 2

sin 0

πϕ = ± ϕ <

chọn φ = - π/2 Chọn : B

Dùng Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian),

Nhập: 2

4 4cos( )2

, 2 32

4i SHIF x t cmTππ π

− ⇒ = −∠ −→= =

Câu 13 : Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 4cm với f = 10Hz. Lúc t = 0 vật qua VTCB theo chiều âm của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là :

A. x = 2cos(20πt - π/2)cm. B. x = 2cos(20πt + π/2)cm. C. x = 4cos(20t -π/2)cm. D. x = 4cos(20πt + π/2)cm.

Hướng dẫn giải: ω = 2πf = 20π. Và A = MN /2 = 2cm ⇒ loại C và D.

t = 0 : x0 = 0, v0 < 0 : 0

0 cos

v A sin 0

= ϕ

= − ω ϕ < ⇒ 2

sin 0

πϕ = ± ϕ >

chọn φ =- π/2 Chọn : B

Dùng Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian),

Nhập: 2 4cos( )22

2 32

,2

xi S t cmHIFTπ ππ

→ ⇒ = +∠= =

Câu 14: Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m. Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số góc ω = 10π(rad/s). Trong quá trình dao động độ dài lò xo thay đổi từ 18cm



đến 22cm. Chọn gốc tọa độ O tại VTCB. Chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo có độ dài nhỏ nhất. Phương trình dao động của vật là : A. x = 2cos(10πt + π)cm. B. x = 2cos(0,4πt)cm C. x = 4cos(10πt + π)cm. D. x = 4cos(10πt + π)cm.

Hướng dẫn giải: ω = 10π(rad/s) và A = max minl l

2

− = 2cm. ⇒ loại B

t = 0 : x0 = -2cm, v0 = 0 : 2 2cos

0 sin

− = ϕ

= ϕ ⇒

cos 0

0 ;

ϕ <

ϕ = πchọn φ = π

⇒ x = 2cos(10πt + π)cm. Chọn :A Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian),

Nhập: -2 = 220

cos(3 )22

: 2x t cSHIFT ketqu maπ

π π⇒ +=∠=

Câu 15 : Một con lắc lò xo dao động với biên độ A = 5cm, chu kỳ T = 0,5s. Viết phương trình dao động của con lắc trong các trường hợp: a) t = 0 , vật qua VTCB theo chiều dương. b) t = 0 , vật cách VTCB 5cm, theo chiều dương. c) t = 0 , vật cách VTCB 2,5cm, đang chuyển động theo chiều dương.

HD : Phương trình dao động có dạng : . s( . )x A co tω ϕ= + .

Phương trình vận tốc có dạng : ' . .sin( . )v x A tω ω ϕ= = − + .

Vận tốc góc : 2. 2.

4 ( / )0,5

Rad sT

π πω π= = = .

a) t = 0; 0

0

. s

. .sin

x A co

v A

ϕ

ω ϕ

=

= − ⇔

0

0 5. s

5.4. .sin 0

co

v

ϕ

π ϕ

=

= − ≻ / 2ϕ π⇒ = − .

Vậy 5. s(4. . )2

x co tπ

π= − (cm).

b) t = 0 ; 0

0

. s

. .sin

x A co

v A

ϕ

ω ϕ

=

= − ⇔

0

5 5. s

5.4. .sin 0

co

v

ϕ

π ϕ

=

= − ≻ 0ϕ⇒ = .

Vậy: 5. s(4. . )x co tπ= (cm).

c) t = 0 ; 0

0

. s

. .sin

x A co

v A

ϕ

ω ϕ

=

= − ⇔

0

2,5 5. s

5.4. .s 0

co

v in

ϕ

π ϕ

=

= − ≻ ( )

3rad

πϕ⇒ = − .

Vậy: 5. s(4. . )3

x co tπ

π= − (cm).

Câu 16 Một con lắc lò xo dao động với chu kỳ T = 1(s). Lúc t = 0, vật qua vị trí có li độ 5. 2x = − (cm) với vận tốc 10. . 2v π= − (cm/s). Viết phương trình dao động của con lắc.

HD Phương trình dao động có dạng : . s( . )x A co tω ϕ= + .

Phương trình vận tốc có dạng : ' . .sin( . )v x A tω ω ϕ= = − + .

Vận tốc góc : 2. 2.

2 ( / )1

Rad sT

π πω π= = = .

ADCT : 2

2 22

vA x

ω= +

2 22 2

2 2

( 10. . 2)( 5. 2)

(2. )

vA x

πω π

−⇒ = + = − + = 10 (cm).



Điều kiện ban đầu : t = 0 ; . s

. .sin

x A co

v A

ϕ

ω ϕ

=

= − ⇔

5. 2 . s

10. . 2 .2. .s

A co

A in

ϕ

π π ϕ

− =

− = −

tan 1ϕ⇒ = − 3.

( )4

radπ

ϕ⇒ = . Vậy 3

10. s(2. . )4

x co tπ

π= + (cm).

Câu 17 : Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Lúc vật qua vị trí có li độ 2x = − (cm) thì có vận tốc . 2v π= − (cm/s) và gia tốc 22.a π= (cm/s2). Chọn gốc toạ độ ở vị trí trên. Viết phương trình dao động của vật dưới dạng hàm số cosin. HDGiải: Phương trình có dạng : x = A.cos( .tω ϕ+ ). Phương trình vận tốc : v = - A. .sin( . )tω ω ϕ+ .

Phương trình gia tốc : a= - A. 2. ( . )cos tω ω ϕ+ . Khi t = 0 ; thay các giá trị x, v, a vào 3 phương trình đó ta có :

2 22 . ; . 2 . .sin ; . 2 .x A cos v A a Acosϕ π ω ϕ π ω ϕ= − = = − = − = = − . Lấy a chia cho x ta được : ( / )rad sω π= .

Lấy v chia cho a ta được : 3.

tan 1 ( )4

radπ

ϕ ϕ= − ⇒ = (vì cosϕ < 0 )

2A cm⇒ = . Vậy : 3.

2. s( . )4

x co tπ

π= + (cm).

Câu 18: Vật dao động điều hòa với tốc độ cực đại 40 cm/s. Tại vị trí có li độ 0 2 2( )x cm= vật có động năng bằng thế năng. Nếu chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí này theo chiều dương thì phương trình dao động của vật là HD Giải:

404

4cos 102 10 42 22

AA

x tA

ωπ

ω

==

⇒ ⇒ = − = =

404

4cos 102 10 42 22

AA

x tA

ωπ

ω

==

⇒ ⇒ = − = =

Câu 19: Một vật có khối lượng m = 100g được treo vào đầu dưới của một lò xo có độ cứng k = 100(N/m). Đầu trên của lò xo gắn vào một điểm cố định. Ban đầu vật được giữ sao cho lò xo không bị biến dạng. Buông tay không vận tốc ban đầu cho vật dao động. Viết phương trình dao động của vật (dạng sin) . Lấy g = 10 (m/s2); 2 10π ≈ .

HD : Ta có tần số góc : 100

10.0,1

k

mω π= = = (Rad/s).

Tại VTCB lò xo dãn ra một đoạn là : 2. 0,1.1010 ( ) 1 1

100

m gl m cm A l cm

k−∆ = = = = ⇒ = ∆ = .

Phương trình dao động có dạng : .sin( . )x A tω ϕ= + Điều kiện ban đầu t = 0 , giữ lò xo sao cho nó không biến dạng tức x0 = - l∆ .

Ta có :t = 0 ; 0

0

1 .sin

. . 0

x l A

v A cos

ϕ

ω ϕ

= −∆ = − =

= ≻ ( )

2rad

πϕ⇒ = − . Vậy : sin(10. . )

2x t

ππ= − (cm).

Câu 20: Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình ( )cosx A tω ϕ= + , tại thời điểm ban

đầu vật đi qua vị trí có li độ x = 0,5A và đang chuyển động về gốc tọa độ thì pha ban đầu ϕ bằng

A. 6

π− B.

6

π C.

3

π D.

3

π−



HD: ( )

( )os

AA

0t 0

0

1x Acos t x Acos 0,5A c2

v sin 0 3v sin t sin 0

ω ϕ ϕ ϕ πϕ

ω ϕω ω ϕ ϕ

== + = = = +

→ ⇒ ⇒ = = − <= − + >

Câu 21: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang trên đoạn thẳng dài 2a với chu kì 2s. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí x = a/2 theo chiều âm của quĩ đạo. Khi t = 1/6 giây li độ dao động của vật là

A. 0 B. –a C. a/2 D. –a/2

HD:

( )( )

os

AA

t 0 0

0

1

6

A 1x Acos t x Acos c2 2

3v sin t v sin 0 sin 0

2 2rad / s pt : x Acos t

T 2 3

x Acos Acos 06 3 2

ω ϕ ϕ ϕ πϕ

ω ω ϕ ω ϕ ϕ

π π πω π π

π π π

= = + = = =

→ ⇒ ⇒ = = − + = − < >

= = = ⇒ = +

⇒ = + = =

Dạng 9: BÀI TẬP VỀ HAI CHẤT ĐIỂM DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA THỜI ĐIỂM VÀ SỐ LẦN HAI VẬT GẶP NHAU, HAI VẬT CÁCH NHAU d

1 . HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG TẦN SỐ 1.Cách nhớ nhanh số lần hai vật gặp nhau của 2 dao động điều hòa có cùng tân số khác biên độ a.Cơ sở lí thuyết:

Hai vật phải cùng vị trí cân bằng O, biểu diễn bằng hai đường tròn đồng tâm(hình vẽ). Khi gặp nhau thì hình chiếu của chúng trên trục hoành trùng nhau.

Phần chứng minh dưới đây sẽ cho thấy: Chúng gặp nhau hai lần liên tiếp cách nhau T/2

Giả sử lần gặp nhau ban đầu hai chất điểm ở vị trí M, N . Do chúng chuyển động ngược chiều nhau, nên giả sử M chuyển động ngược chiều kim đồng hồ còn N chuyển động thuận chiều kim đồng hồ. b.Nhận xét: -Lúc đầu MN ở bên phải và vuông góc với trục hoành ( hình chiếu của chúng trên trục hoành trùng nhau) -Do M,N chuyển động ngược chiều nhau nên chúng gặp nhau ở bên trái đường tròn -Khi gặp nhau tại vị trí mới M’ và N’ thì M’N’ vẫn phải vuông góc với trục hoành -Nhận thấy tam giác OMN và OM’N bằng nhau, và chúng hoàn toàn đối xứng qua trục tung

M

N

N’

M’

x x’



-Vậy thời gian để chúng gặp nhau lần 1 là T/2, c.Công thức tính số lần hai vật gặp nhau: Gọi thời gian đề bài cho là t, T/2= i. Số lần chúng gặp nhau sau thời gian t:

t

ni =

bằng phần nguyên của t chia nửa chu kì.

Chú ý: Xem lúc t=0 chúng có cùng vị trí hay không, nếu cùng vị trí và tính cả lần đó thì số lần sẽ là n+1 d.Phương pháp Cách 1 : B1 : + Xác định vị trí, thời điểm gặp nhau lần đầu t1. + Trong cùng khoảng thời gian t, hai dao động quét được một góc như nhau = π

⟹ t=T/2 (sau khoảng thời gian này 2 vật lại gặp nhau)

B2 : + Thời điểm gặp nhau lần thứ n : t=(n-1) T/2 + t1 . Với n = 1, 2, 3 … Cách 2 : Giải bằng phương pháp đại số. Cách 3 : Hai dao động phải có cùng tần số. Phương trình khoảng cách : D = /x1-x2/ Hai vật gặp nhau : x1 =x2 : D = 0 => wt+φ = ± π/2 + k2π Xét D (t=0) từ đó suy ra t Ví dụ 1 : Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 400 g, độ cứng lò xo 10π2 N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền nhau (vị trí cân bằng hai vật đều ở gốc tọa độ). Biên độ của con lắc thứ nhất lớn gấp đôi con lắc thứ hai. Biết rằng hai vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược chiều nhau. Khoảng thời gian giữa ba lần hai vật gặp nhau liên tiếp là A. 0,3 s. B. 0,2 s. C. 0,4s. D. 0,1 s. Giải: Giả sử hai vật gặp nhau tại vị trí li độ x, ở thời điểm t1 = 0. Sau khoảng thời gian t= T/2 hai chất điểm quét được một góc π như nhau và gặp nhau tại x’. Khoảng thời gian giữa ba lần gặp nhau n = 3 : t= (n-1)T/2 + t1= (3-1)T/2 =T

=> 2

0, 42 2 0, 4

10

mt T s

kπ π

π= = = =

Ví dụ 2 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao động của các vật lần lượt là : x1= 3cos( 5πt-π/3) và x2= 3 cos(5πt-π/6) (x tính bằng cm; t tính bằng s). Trong khoảng thời gian 1s đầu tiên thì hai vật gặp nhau mấy lần? Giải :

Hình vẽ

M

N

N’

M’

x x’



Ta thấy hai vật gặp nhau tại thời điểm ban đầu t1 = 0 :

1

1 2

2

33cos( )

33 23 2

3 cos( )6 2

xx x

x

π

π

= − ==> = =

= − =

Chu kì : T= 2π/ω = 2π/5π = 0,4s. Trong 1s có :t= (n-1)T/2 +t1=(n-1)0,4/2 =1 => n= 6 (lần) gặp nhau. Ví dụ 3 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao động của các vật lần lượt là x1= 3cos( 5πt-π/3) và x2= 2 3 cos(5πt-π/2) (x tính bằng cm; t tính bằng s). Xác định thời điểm gặp nhau của hai vật. Giải : Tại thời điểm t = 0, hai vật không gặp nhau. Ta không thể giải bằng cách trên được. Ta có : Khi gặp nhau có x1= x2 � 3cos( 5πt-π/3)= = 2 3 cos(5πt-π/2) �3cos( 5πt-π/3)= = 2 3 cos(5πt-π/3 –π/6)

Đặt y=5πt-π/3. Ta có phương trình: 3cosy = 2 3 cos(y –π/6) � 3cosy = 2 3 [cosy.cosπ/6 –siny.sin π/6]�3cosy = 2 3 [cosy 3 /2 –siny.1/2] �3cosy = 3cosy– 3 siny => sin y =0 => y = kπ

Hay: 5πt-π/3=kπ => t= 1

: 0;1;2..15 5

kt voi k= + =

Ví dụ 4: Cho 2 vËt dao ®éng theo 2 ph−¬ng tr×nh

1 23 2 cos( )( ); 6cos( )( )12

x t cm x t cmπ

ω ω= = +

. Kể từ lúc t= 0, chóng gÆp nhau lÇn 3 vµo lóc nµo? Giải: Nhìn trên hình vẽ; với ON biểu diễn x1: góc π /4 ứng T/8:Lúc t= 0 đến t= T/8 thì 2 điểm M và N cùng tọa độ x. Dễ thấy khi 2 vật quay 1 vòng ( thời gian T) thì chúng có cùng tọa x 2 lần đối xứng nhau qua O. Vậy khi găp nhau lần 3 thì ứng với thời gian là: t =T + T/8 =9T/8 .

Ví dụ 5: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox theo các phương trình

lần lượt là 1 4cos(4 )x t cmπ= và 2 4 3 cos(4 )2

x t cmπ

π= + . Thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm

gặp nhau là

A. 1

16s

B. 1

4s

C. 1

12s

D. 5

24s

Giải : ∆x = x2 – x1 = 8cos ( 4πt + 2π/3) cm

Khoảng thời gian ngắn nhất để hai chất điểm gặp nhau là

Hình vẽ

M

N

N’

M’

x x’

/12π /4π

o

∆x 2π/3



∆x = 0 => 8cos ( 4πt + 2π/3) = 0 => t = 5/24 s

Vẽ vòng lượng giác , thấy ngay ∆x = 0 khi góc (4πt + 2π/3) = 3π/2 => t = 5/24 s.

Chọn D

Ví dụ 6: Hai chất điểm M, N dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Phương trình dao động của chúng lần lượt là x1 =

10cos2πt cm và x2 = 10 3 cos(2πt +2

π) cm . Hai chất điểm gặp nhau khi chúng đi qua nhau

trên đường thẳng vuông góc với trục Ox. Thời điểm lần thứ 2013 hai chất điểm gặp nhau là: A. 16 phút 46,42s B. 16 phút 46,92s C. 16 phút 47,42s D. 16 phút 45,92s

Giải: ta có x2 = 10 3 cos(2πt +2

π) cm = - 10 3 sin(2πt )

x1 = x2 => 10cos(2πt = - 10 3 sin(2πt ) => tan(2πt ) = -3

1=> 2πt = -

6

π+ kπ

=> t = - 12

1+

2

k (s) với k = 1; 2; 3.... hay t =

12

5 +

2

k với k = 0, 1,2 ...

Thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm gặp nhau ứng với k = 0: t1 = 12

5s.

Lần thứ 2013 chúng gặp nhau ứng với k = 2012 =>

t2013 = 100612

5= 16phút 46,4166s = 16 phút 46,42s Đáp án A

Ví dụ 7: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là vị trí cần bằng của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao động của hai chất điểm là: x = 2cos(5πt +π/2)cm và y =4cos(5πt – π/6)cm. Khi chất điểm thứ nhất có li độ x = 3− cm và đang đi theo chiều âm thì khoảng cách giữa hai chất điểm là

A. 3 3 cm. B. 7 cm. C. 2 3 cm. D. 15 cm.

Giải t = 0: x = 0, vx< 0 chất điểm qua VTCB theo chiều âm y = 2 3 , vy >0, chất điểm y đi từ 2 3 ra biên. * Khi chất điểm x đi từ VTCB đến vị trí 3x = − hết thời gian T/6 * Trong thời gian T/6 đó, chất điểm y đi từ 2 3y = ra biên dương rồi về lại đúng 2 3y = * Vị trí của 2 vật như hình vẽ

Khoảng cách giữa 2 vật là ( ) ( )2 23 2 3 15d = + =



Ví dụ 8: Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng tần số f = 0,5Hz dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Tại thời điểm t1 hai vật đi ngang nhau, hỏi sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu kể từ thời điểm t1 khoảng cách giữa chúng bằng 5cm.

A. 1/3s. B. 1/2s. C. 1/6s. D. 1/4s.

Giải Khi ∆x = 10 cm cực đại => tương đương vec tơ ∆x có biên độ A = 10 cm và song song với trục Ox

Đề ra thời điểm ban dầu hai vật gặp nhau => Vécto ∆x vuông góc với trục Ox

=> pha ban đầu π/2 => thời gian ngắn nhất để hai vật cách nhau 5 cm = A/2 => góc quay π/6

. t = (π / 6) / 2πf = 1/6 s => chọn C

2 . HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA KHÁC TẦN SỐ

Lưu ý : + Hai vật gặp nhau ⟹ x1= x2

+ Hai vật gặp nhau tại li độ x, chuyển động ngược chiều ⟹ ngược pha.

Ví dụ 9 : Hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ A, với tần số góc 3 Hz và 6 Hz. Lúc

đầu hai vật đồng thời xuất phát từ vị trí có li độ 2

2

A . Khoảng thời gian ngắn nhất để hai vật

gặp nhau là :

A. s18

1. B. s

27

1. C. s

36

1. D. s

72

1.

Giải 1: Để có khoảng thời gian ngắn nhất ⟹ hai vật chuyển động cùng chiều và theo chiều

dương.

Xuất phát tại 2

2

Avới t =0 =>

1

1 2

2

2cos

242

cos2

AA

AA

ϕπ

ϕ ϕ

ϕ

=

=> = = −

=



Phương trình dao động : 1 1

2 2

cos( )4

cos( )4

x A

x A

πω

πω

= − = −

Khi gặp nhau : x1= x2 => 1 2( ) ( )4 4

π πω ω− = ± −

Hai đao động gặp nhau lần đầu nên ngược

pha: 1 2( ) ( )4 4

π πω ω− = − − =>

1 2

2 2 1

4( ) 4(6 12 ) 36t s

π πω ω π π

= = =+ +

.Chọn C.

Giải 2 : Vì cùng xuất phát từ x= 2

A và chuyển động theo chiều dương nên pha ban đầu của

chúng -4

π.

Do đó phương trình của chúng lần lượt là )4

cos( 11

πω −= tAx và )

4cos( 22

πω −= tAx

Khi gặp nhau: 1x = 2x => )4

cos( 1

πω −tA = )

4cos( 2

πω −tA

⇒ )4

( 1

πω −t = - )

4( 2

πω −t ⇒ stt

36

1

4

2)( 21 =⇒=+

πωω .

Ví dụ 10: Hai chất điểm dđđh dọc theo trục nằm ngang Ox, cùng biên độ 5cm, chu kỳ của chúng lần lượt là T=0,2s và T'. Lúc đầu cả hai chất điểm cùng xuất phát từ vị trí có ly độ 2,5cm theo chiều dương và sau khoảng thời gian ngắn nhất là 1/39s chúng có cùng ly độ. Khi đó giá trị của T' là: A. 0,125s B. 0,1s C. 0,5s D. 0,25s Giải 1: Vì cùng xuất phát từ x= A/2 và chuyển động theo chiều dương nên pha ban đầu của chúng -π/3.

Do đó phương trình của chúng lần lượt là 11

2cos( )

3x A t

T

π π= − và 2

2

2cos( )

3x A t

T

π π= −

Khi gặp nhau: 1x = 2x =>1 2

2 2cos( ) cos( )

3 3A t A t

T T

π π π π− = − =>

1 2

2 2( ) ( )

3 3t t

T T

π π π π− = − −

=>1 2

2 2 2( )

3t

T T

π π π+ = =>

1 2

2 2 2 2 .39( ) 2 .13

3 3.1T T t

π π π ππ+ = = =

=>1 2 2 1

1 1 1 1 113 13 13 8

0,2T T T T+ = => = − = − = => T2 =0,125s. Chọn A

Ví dụ 11: Hai chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox (O là vị trí cân bằng), có cùng biên độ A nhưng tần số lần lượt là f1 = 3Hz và f2 = 6Hz. Lúc đầu cả hai chất điểm đều qua li độ A/2 theo chiều dương. Thời điểm đầu tiên các chất điểm đó gặp nhau là

A. s4

1 B. s

18

1 C. s

26

1 D. s

27

1

Giải 1: Ta có T1 = 1

1

f =

3

1 (s); T2 =

2

1

f =

6

1 (s); f2= 2 f1=> ω2= 2ω1.



α

α

M1trungM2

M2

M1

A

B

Giả sử lúc đầu hai chất điểm ở M0 :∠ M0OX = 3

π. Hai chất điểm gặp nhau lần đầu ở tọa độ

ứng với M1 và M2 đố xứng nhau qua OX. ∠ M0OM1 = ϕ1 = ω1t; ∠ M0OM2 = ϕ2 = ω2t ω2= 2ω1 => ϕ2= 2ϕ1=> ∠ M1OM2 = ϕ1

∠ M0OX =∠ M0OM1 +∠ M1XM2 /2 =1,5ϕ1=3

π

=> ϕ1=9

2π ϕ1= ω1t= > t =

1

1

ωϕ

=

1

29

2

T

π

π

= 91T

=27

1 (s).

Đáp án D

Cách 2: 0602/

cos =→= ααA

A.Muốn hai vật gặp

nhau tổng góc quay

hai vật bằng α2 .

Vậy 3

221

πωω =+ tt

st

tt

27

13

2)126(

3

2)( 21

=↔

=+↔=+↔π

πππ

ωω

Cách 3: Chọn pha ban đầu là 3

π− .trong cùng

khoảng thời gian như nhau

thì dao động có 1 22T T= sẽ quét 1 góc 1 22

αϕ ϕ∆ = ∆ .

Khi đó vật có 2T sẽ quét được 1 góc 4

9

π vật có 1T

quét góc 2

9

π.Khi đó 2 vật sẽ cùng li độ đối chiều trên vòng tròn là 2

góc9

π±.Vậy

2 1 19 .2 3 27

Tπ

π∆ = =

Giải 4: Vẽ như hình dưới ta thấy lần gặp nhau đầu tiên khi hai chất điểm M1 và M2 có cùng li độ, do tần số vật M2 gấp đôi M1 nên độ dài cung mà M2 chuyển động được sẽ gấp 2 lần M1 nên ta có: 0 0 02(60 ) 60 20α α α− = + ⇒ = . Như vậy từ khi bắt đầu chuyển động đến khi gặp nhau chất điểm M1 chuyển động được góc 40 độ .

Khi đó thời gian chất điểm M1 chuyển động đến khi gặp nhau là: 1

140.( )40 . 13

360 360 27

Tt = = = s Đáp

án D

(2)

A/2

(1)

α

Vị trí gặp



Ví dụ 11b: Hai chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox (O là vị trí cân bằng), có cùng biên độ A nhưng tần số lần lượt là f1 = 3Hz và f2 = 6Hz. Lúc đầu cả hai chất điểm đều qua li độ A/2 theo chiều âm. Thời điểm đầu tiên các chất điểm đó gặp nhau là A. t =2/27s B. t = 1/3 s C. t =1/9s D. t = 1/27s Giải:

Ta có T1 = 1

1

f =

3

1 (s); T2 =

2

1

f =

6

1 (s);

f2= 2 f1 => ω2= 2ω1 Giả sử lúc đầu hai chất điểm ở M0

∠ M0OX’= 3

2π. Hai chất điểm gặp nhau lần đầu ở

tọa độ ứng với M1 và M2 đối xứng nhau qua OX’ ∠ M0OM1 = ϕ1 = ω1t ∠ M0OM2 = ϕ2 = ω2t ω2= 2ω1 => ϕ2= 2ϕ1=> ∠ M1OM2 = ϕ1

∠ M0OX’ = ∠ M0OM1 + ∠M1OM2/2 = 1,5ϕ1 = 3

2π=> ϕ1 =

9

4π

ϕ1= ω1t=> t = 1

1

ωϕ

=

1

29

4

T

π

π=

9

2 1T=

27

2 (s) Chọn D

TRẮC NGHIỆM LUYỆN TẬP: Câu 1: Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Phương trình dao động của M và N lần lượt là 3 2cos t (cm)Mx ω= và 6cos( t+ /12) (cm)Nx ω π= . Kể từ t = 0, thời điểm M và N có vị trí ngang nhau lần thứ 3 là

A. T B. 9T/8 C. T/2 D. 5T/8

GIẢI:

* Khoảng cách giữa M và N : x = xN – xM = Acos(wt + ϕ)

Với : tanϕ = 0cos2312cos6

0sin2312sin6

−

−

ππ

=1 => ϕ = π/4 => x = Acos(wt + π/4)

* Khi M,N có VT ngang nhau : x = 0 => (wt + π/4) = π/2 + k π

=> t = 4

(2

ππ

T+k π) =

8

T+ k

2

T.M và N có vị trí ngang nhau lần thứ 3 khi k = 2 => t = 9T/8

Câu 2: Hai con lắc có cùng biên độ, có chu kỳ T1, T2 = 4T1 tại thời điểm ban đầu chúng đi qua VTCB theo cùng một chiều. Khoảng thời gian ngắn nhất hai con lắc ngược pha nhau là:

A. 6

2T B.

42T

C. 32T

D. 2

2T

O

X’

M2

M1

A/2

M0



Giải : Thời gian ngắn nhất để hai con lắc ngược pha nhau là bằng 1/2 chu kì trùng phùng

t = tmin/2

tmin = n1T1 = n2T2 với T1 / T2 = n2/n1 = 1/4 = phân số tối giản

=> n2 = 1 => tmin = T2 => t = T2/2 => chọn D

Câu 3: Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng tần số f = 0,5Hz dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Tại thời điểm t1 hai vật đi ngang nhau, hỏi sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu kể từ thời điểm t1 khoảng cách giữa chúng bằng 5cm.

A. 1/3s. B. 1/2s. C. 1/6s. D. 1/4s.

Giải Khi ∆x = 10 cm cực đại => tương đương vec tơ ∆x có biên độ A = 10 cm và song song

với trục Ox => pha đầu bằng 0.Phương trình dao động của ∆x = A cos (ωt) = 10 cos (2πft ) =>

khi ∆x = 5 cm => t = 1/3 s => Chọn A

Câu 4. Cho hai vật dao động điều hoà trên cùng một trục toạ độ Ox, có cùng vị trí cân bằng là gốc O và có cùng biên độ và với chu kì lần lượt là T1=1s và T2=2s. Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều ở miền có gia tốc âm, cùng đi qua vị trí có động năng gấp 3 lần thế năng và cùng đi theo chiều âm của trục Ox. Thời điểm gần nhất ngay sau đó mà hai vật lại gặp nhau là

A. 2

9s B.

4

9s C.

2

3s D.

1

3s

Giải : Tại thời điểm đầu, hai vật đều ở miền có gia tốc âm nên x>0, cùng đi qua vị trí có động

năng gấp 3 lần thế năng 2

Ax = và cùng đi theo chiều âm của trục Ox

Phương trình dao động vật 1 là )3

2cos(1

ππ += tAx ; Phương trình dao động vật 2 là

)3

cos(2

ππ += tAx . Gặp nhau nên )

3cos()

32cos(21

ππ

ππ +=+↔= tAtAxx

+−−=+

++=+↔+=+

ππ

ππ

π

ππ

ππ

ππ

ππ

π2

332

233

2)

3cos()

32cos(

ktt

ktttt

+−=

=↔

ππ

π

ππ

23

23

2

kt

kt

+−=

=↔

3

2

9

2

2

kt

kt Khi k=1 thì t=2 và st

9

4= (chọn B)

Câu 5: Hai chất điểm dao động điều hoà trên trục Ox với các phương trình lần lượt là



x1 = 2Acos tT1

2π(cm), x2 = Acos( t

T2

2π+

2

π) (cm) . Biết

2

1

T

T =

4

3 Vị trí mà hai chất điểm gặp

nhau lần đầu tiên là

A. x = - A. B. x = - 3

2A. C. x = -

2

A. D. x = -1,5A.

Giải: Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ.

Ở thời điểm ban đầu hai chất điểm ở M01 và M02

Sau thời gian t = 31T

= 42T

hai chất điểm ở M1 và M2:

x1 = 2Acos(1

2

T

π31T

) = 2Acos(3

2π) = -A;

x2 = Acos(2

2

T

π42T

+ 2

π) = Acos(π) = - A

Như vậy vị trí hai chất điểm gặp nhau lần đầu tiên có tọa độ x = - A. Chọn đáp án A

Câu 6( ĐH 2013): Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 81 cm và 64 cm được treo ở trần một căn phòng. Khi các vật nhỏ của hai con lắc đang ở vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng các vận tốc cùng hướng sao cho hai con lắc dao động điều hòa với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng song song với nhau. Gọi ∆t là khoảng thời gian ngắn nhất kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song nhau. Giá trị ∆t gần giá trị nào nhất sau đây? A. 8,12s. B. 2,36s. C. 7,20s. D. 0,45s. Giải 1: + Dạng này tốt nhất là viết PT dao động x1, x2 :

X1 = A cos ( )29,0

ππ+t ; X2 = A cos ( )

28,0

ππ+t

+ Hai dây song song nhau khi x1 = x2 giải Pt thì có: tmin = 0,423s. Chọn D Giải 2:

( )

( )min

2 1 mint

1 2

2 1 min

t t 2 t 1,27 s2 210 10

;0,81 0,9 0,64 0,8

t t 2 t 0,42 s2 2

π πω − = − ω − + π → =

π π ω = = ω = = → π π ω + = − ω + + π → =

Giải 3: 1 21 22 1,8 , 2 1,2 ,

l lT s T s

g gπ π= = = =

Con lắc 1 chuyển động từ vị trí cân bằng đến vị trí biên lần đầu mất thời gian 11 0, 45

4

Tt s∆ = = ,

còn con lắc thứ 2 mất thời gian 22 0,3

4

Tt s∆ = = => Con lắc 2 đến vị trí biên trước và quay lại

M2 •

M1 • M02

•

M01 •



gặp con lắc 1 ( hai sợi dây song song) khí con lắc 1 chưa đến vị trí biên lần thứ nhất=> thời gian cần tìm 0, 45t s∆ < . So sánh các đáp án trên chọn . Chọn D

Giải 4: Ta có ω1 = 1l

g; ω2 =

2l

g=>

1

2

ωω

= 2

1

l

l=

8

9 => ω2 =

8

9ω1

Chọn gốc thời gian lúc hai vật qua VTCB theo chiều dương thì phương trình dao động của hai vât:

α1 = α0cos(ω1t -2

π ) ; α2 = α0cos(ω2t -

2

π )

Lúc hai dây treo song song nhau hai vật có cùng li độ nhưng ngược pha nhau:

ω1t -2

π = - (ω2t -

2

π )

=> (ω1 +ω2) t = π => (ω1+ 8

9ω1)t = π => t =

117

8

ωπ

= 17

8πg

l1

=> ∆t = 17

8

10

.81,0 2π = 0,4235 s. Chọn D

Câu 7. Hai vật dao động điều hoà cùng biên độ, cùng pha ban đầu, cùng phương và cùng thời

điểm với các tần số góc lần lượt là: ω1 = 6

π(rad/s); ω2 =

3

π(rad/s). Chọn gốc thời gian lúc hai

vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Thời gian ngắn nhất mà hai vật gặp nhau là:

A. 1s. B. 2s. C. 2s D. 8s

Giải: Phương trình dao động của hai vât: x1 = Acos(ω1t - 2

π). x2 = Acos(ω2t -

2

π).

Hai vật gặp nhau lần đầu khi pha của chúng đối nhau: (ω1t - 2

π). = - (ω2t -

2

π)

(ω1 + ω2 ).t = π => t = π/( ω1 + ω2 ). = 2s. Chọn đáp án C

Câu 9: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox theo các phương trình

lần lượt là 1 4cos(4 )x t cmπ= và 2 4 3 cos(4 )2

x t cmπ

π= + . Thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm

gặp nhau là

A. 1

16s B.

1

4s C.

1

12s D.

5

24s

Giải: Cách 1: Dùng phương trình lượng giác. Cách 2: Biểu diễn các dao động x1, x2 bằng các véc tơ 1A

�� và 2A��

tương ứng! Chú ý: Ban đầu hai véc tơ này lần lượt trùng với trục ox và oy và chúng cùng quay theo chiều dương của đường tròn lượng giác! Hai dao động này vuông pha nhau và cùng tần số góc nên góc hợp bởi hai véc tơ này không đổi theo thời gian. Để hai chất điểm gặp nhau ( chúng có cùng li độ) Khi đó đoạn thẳng nối hai đầu mút của hai véc tơ ( cạnh huyền của tam giác vuông) phải song song với trục thẳng đứng( 0y) Ta có: tan α = A2/A1 = 3 Suy ra α = π/ 3 Suy ra β = π/ 6 Do đó góc quét ϕ của hai véc tơ là: ϕ = π - π/ 6 = 5π/ 6 Thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm gặp nhau là:



t = ϕ/ω hay t = 5π/ (6. 4 π) = 5/24 s. Chọn D

Dạng 10: VẬN TỐC TRUNG BÌNH – TỐC ĐỘ TRUNG BÌNH + Kiểu 1: Vận tốc trung bình - Tốc độ trung bình

- Vận tốc trung bình: 2 1tb

x xxv

t t

−∆= =

∆ ∆, với 2 1x x x∆ = − là độ dời

- Tốc độ trung bình: tbS

vt

∆=

∆, với S∆ là quãng đường

VẬN TỐC TRUNG BÌNH

Câu 1: Một chất điểm đang dao động điều hòa với phương trình 3,8cos 203

x t cmπ = −

, t tính

bằng giây. Vận tốc trung bình của chất điểm sau 1,9

6s

π tính từ khi bắt đầu dao động là

A. 500

/m sπ

B. 150

/m sπ

C. 6

/m sπ

D. 6

/cm sπ

HD:

1 t 0

2 1,9t

6

1x x 3,8 cos .3,8 1,9cm

3 2

1,9x x 3,8 cos 20. 3,8 cos6 3,8cm

6 3π

π

π ππ

=

=

− = = = =

= = − = =

Vận tốc trung bình: 2 1tb

x xx 3,8 1,9 6v cm / s

1,9t t6

π π−∆ −

= = = =∆ ∆

A1

A2

β ϕ

x

α

O

A2

y

A1



Câu 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình 0,05cos 202

x t cmπ = +

, t đo bằng giây.

Vận tốc trung bình trong ¼ chu kì kể từ lúc t = 0 là

A. /m sπ− B. 2

/m sπ

C. 2

/m sπ−

D. /m sπ

HD:

1 t 0

2T

102 T 2

t4

x x 0,05cos 0m2

x x x 0,05cos 20. 0,05m4 2

π πω

π

π π

=

= =

=

= = =

= = → = + = −

Vận tốc trung bình: 2 1tb

x xx 0,05 0 0,05 2v m / s

Tt t4 40

π π−∆ − − − −

= = = = =∆ ∆

TỐC ĐỘ TRUNG BÌNH Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x= -A/2, chất điểm có tốc độ trung bình là

A. 6A/ T B. 4,5A/T C. 1,5A/T D. 4A/T

HD :

Ta có : tbS 1,5A 9A 4,5A

vT Tt 2T T4 12

∆= = = =

∆ +

Câu 4: Một con lắc lò xo gồm một lò xo có khối lượng không đáng kể và có độ cứng 50N/m, vật M có khối lượng 200g có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo M ra khỏi VTCB một đoạn 4cm rồi buông nhẹ thì vật dao động điều hòa. Tính tốc độ trung bình của M sau khi nó đi được quãng đường là 2cm kể từ khi bắt đầu chuyển động. Lấy 2 10π = .

A. 60cm/s B. 50cm/s C. 40cm/s D. 30cm/s

HD: Ta có

-A +A -A/2

T/12

T/4

S 1,5A∆ =

O

O A/2 A S∆ T/12

T/4



π πω π

ω π= = = ⇒ = = =

∆∆ = − = = ∆ = ⇒ = = = =

∆tb

k 50 2 25 rad / s T 0,4s

m 0,2 5

T T T 0,4 S 2 12t s; S 2cm v 30cm / s

0,44 12 6 6 t 0,46

+ Liên quan đến pha dao động Tìm vị trí đầu và vị trí cuối trên đường tròn.

S∆ = chiều dài hình chiếu dịch chuyển

2 1 t

S S S.v

t

ϕϕ ϕ ϕ

ωω

ϕ ϕω

∆∆ = − ⇒ ∆ =

∆ ∆ ∆⇒ = = =

∆∆ ∆

Câu 5: Một chất điểm dao động điều hòa ( dạng hàm cos) có chu kì T, biên độ A. Tốc độ trung

bình của chất điểm khi pha của dao động biến thiên từ 2

π− đến 0 bằng

A. 3A/T B. 4A/T C. 3,6A/T D. 2A/T

HD : Quãng đường đi được là S A∆ = .

/ 2 T S 4 At v

2 / T 4 t T

ϕ πω π

∆ ∆∆ = = = ⇒ = =

∆

Câu 6: Một chất điểm dao động điều hòa hòa ( dạng hàm cos) có chu kì T, biên độ A. Tốc độ

trung bình của chất điểm khi pha của dao động biến thiên từ 2

π− đến

3

π− bằng

A. 3A/T B. 4A/T C. 3,6A/T D. 6A/T

HD : Ta có 2 3 6

π π πϕ∆ = − =

Quãng đường đi được : S A.sin ϕ∆ = ∆

0

/ 2π

π

/ 2π−

ϕ∆

S∆



AS A.sin

6 2

T S A / 2 6 A6t v2 12 t T / 12 TT

π

πϕ

πω

∆ = =

∆ ∆∆ = = = ⇒ = = =

∆

BIẾT VẬN TỐC TRUNG BÌNH, TÌM CÁC ĐẠI LƯỢNG KHÁC

- Hai điểm liên tiếp có v = 0 => x1,2 = A±

- Hai điểm liên tiếp có axm1,2

v A 3v x

2 2= ⇒ = ±

- Với

2 1

2 1

x xv

tt t t A ?s

vt

− = ∆∆ = − ⇒ ⇒ =∆ =

∆

Câu 7: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có vận tốc bằng 0 tại hai thời điểm t1 = 2,8s và t2 = 3,6s; vận tốc trung bình trong khoảng thời gian đó là 10cm/s. Biên độ dao động là

A. 4cm B. 5cm C. 2cm D. 3cm

HD :

tb 2 1

tb1

2tb

2 1

v 0 x x x A ( A ) 2Av

x A t t 0,8v 0 x A

x A 2Av 10cm / s A 4cm

0,8Tt t t 0,8s T 1,6s

2

> ⇒ > ∆ − − = = == − ∆ ∆

= ⇒ = ± ⇒ ⇒ = = = ⇒ =

∆ = = − = ⇒ =

Câu 8: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox( với O là VTCB) có vận tốc bằng nửa giá trị cực đại tại hai thời điểm liên tiếp t1 = 2,8s và t2 = 3,6s; tốc độ trung bình trong khoảng thời gian đó là 10 3 /cm s . Biên độ dao động của vật là


HD :

0

/ 2π

π

/ 2π−

ϕ∆

S∆

3

π−



ax

tb 2 1

tb1

m

2tb

2 1

v 0 x xx 2.A 3 A 3

vA 3 2x t 0,8v A 3 2 0,8v x

2 2 A 3A 3x

v 10 3 A 8cm20,8

T Tt 2. t t 0,8s T 2,4s

6 3

> ⇒ > ∆

= = =− = ∆ = ⇒ = ± ⇒ ⇒

= = = ⇒ =

∆ = = − = = ⇒ =

Câu 9: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox( với O là VTCB) có vận tốc bằng nửa giá trị cực đại tại hai thời điểm liên tiếp t1 = 2,8s và t2 = 3,6s; tốc độ trung bình trong khoảng

thời gian đó là 30 3

/cm sπ

. Tốc độ dao động cực đại của chất điểm là

A. 15cm/s 10 /πcm s C. 8cm/s D. 20cm/s

HD:

ax

ax

tbtb 2 1

1m

2

m

2 1

x 2.A 3 A 3v 30 3 /v 0 x x 2t 0,8

0,8A 3x

v A 3 242v x A cm2 2 A 3

x 2 2 242 v .A . 20cm / sT 2,4T T

t 2. t t 0,8s T 2,4s6 3

π

ππ π

π

∆= = = = > ⇒ > ∆

− =

= ⇒ = ± ⇒ ⇒ ⇒ = = ⇒ = = = ∆ = = − = = ⇒ =

+ Kiểu 2: Cho biết khoảng thời gian, xác định vị trí Câu 10: Một dao động điều hòa có chu kì dao động là T và biên độ A. Tại thời điểm ban đầu vật có li độ x0 >0. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí ban đầu về vị trí cân bằng gấp đôi thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí ban đầu về vị trí có li độ x= +A. Chọn phương án ĐÚNG A.x0 = 0,25A B. 0 0,5 3x A= C. 0 0,5 2x A= D.x0 = 0,5ª

HD:

0

T Tt 0,5 t t

4 6

A 3x

2

= ∆ + ∆ ⇒ ∆ =

⇒ =

Câu 11 : Một dao động điều hòa có chu kì dao động là T và biên độ A. Tại thời điểm ban đầu vật có li độ x0 >0. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí ban đầu về vị trí cân chỉ bằng một

-A O

X0

t∆ t

2

∆

A



nửa thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí ban đầu về vị trí có li độ x= +A. Chọn phương án ĐÚNG A.x0 = 0,25A B. 0 0,5 3x A= C. 0 0,5 2x A= D.x0 = 0,5A

HD:

0

T Tt 2 t t

4 12A

x2

= ∆ + ∆ ⇒ ∆ =

=

+ Kiểu 3: Tìm khoảng thời gian để vécto vận tốc và gia tốc cùng chiều, ngược chiều

+ a 0

v 0

<⇔

< vật đi từ x = A đến x = 0 0

2

πϕ ′⇒ < <

+ a 0

v 0

>⇔

<vật đi từ x = 0 đến x = - A

2

πϕ π′⇒ < <

a 0

v 0

>⇔

>vật đi từ x = -A đến x = 0

3

2

ππ ϕ ′⇒ < <

a 0

v 0

<⇔

>vật đi từ x = 0 đến x = A

32

2

πϕ π′⇒ < <

Với

( )( ) ( )A A

2 2

x Acos t Acos

v sin t sin ; t

a x Acos

ω ϕ ϕ

ω ω ϕ ω ϕ ϕ ω ϕ

ω ω ϕ

′ = + =

′ ′= − + = − = +

′= − = −

Câu 12: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình

cos 52

x A t cmπ

π = +

. Vécto vận tốc và véc to gia tốc sẽ có cùng chiều dương của trục Ox

trong khoảng thời gian nào( kể từ thời điểm ban đầu) sau đây? A.0,2s <t <0,3s B.0,01s < t < 0,1s C.0,3s < t < 0,4s D.0,1s< t < 0,2s HD

2T 0,4s

πω

= =

-A O

X0

t∆ 2 t∆

A

0 2π

2

π

π

3

2

π

I II

III IV



a 0;v 0

a v

> >⇔

� �րր

vật đi từ x = -A đến x=0

35 t

2 20,1s t 0,2s

π ππ π < + <

⇒ ⇔ < <

Câu 13: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình

cos 52

x A t cmπ

π = +

. Vécto vận tốc và véc to gia tốc sẽ có cùng chiều âm của trục Ox trong

khoảng thời gian nào( kể từ thời điểm ban đầu) sau đây? A.0,2s <t <0,3s B. 0,01s < t < 0,1s C.0,3s < t < 0,4s D. 0,1s< t < 0,2s HD

2T 0,4s

πω

= =

a 0;v 0

a v

< <⇔

� �րր

vật đi từ x = +A đến x=0

52 5 t

2 20,3s t 0,4s

π ππ π < + <

⇒ ⇔ < <

Câu 14: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox theo phương trình tAx π5cos= cm. Vecstor vận tốc hướng theo chiều âm và vecto gia tốc hướng theo chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian nào ( kể từ thời điểm ban đầu) sau đây? A. 0,2s <t <0,3s B. 0,01s < t < 0,1s C. 0,3s < t < 0,4s D. 0,1s< t < 0,2s

2T 0,4s

πω

= =

a 0;v 0

a v

> <⇔

� �րւ

vật đi từ x = 0 đến x= -A 5 t

2 20,1s t 0,2s

π ππ π < + <

⇒ ⇔ < <

* Chú ý: CÔNG THỨC VUÔNG PHA DẠNG: X2 + Y2 = 1 Trong các đề thi đại học vừa qua có sử dụng dạng công thức có vế phải bằng 1 dạng X2 +Y2 =1 Xin giới thiệu cùng bạn đọc một số dạng sau đây.

1 - Từ 22

2 Av

x =

+ω

với vmax = ωA => 1v

v

A

x2

max

2

=

+

2 – Từ a = - ω2x và amax = ω2A => 1v

v

a

a2

max

2

max

=

+

3 – Từ lực kéo về F = - kx và lực kéo về cực đại Fmax = kA => 1v

v

F

F2

max

2

MAX

=

+

4 – Từ động năng wd = 2mv2

1 và động năng cực đại



Wdmax = 2maxmv

2

1=> 1

W

w

F

F

maxd

d

2

MAX

=+

5 – Từ động năng wd = 2mv2

1 và thế năng wt = 2kx

2

1

Và định luật bảo toàn cơ năng wd + wt = W0 => 1

W

w

W

w

0

d

0

t =+

=>2

dWx1

A W + =

và 2

t

max

Wv1

v W

+ =

6 – Từ amax = ω2A = ωvmax và (1) => 21

22

22

21

max

max

vv

aa

v

a

−

−==ω

7 – Từ vmax =ωA và (1) => 21

22

22

21max

xx

vv

A

v

−

−==ω

8 – Tổng hợp hai dao động x1 = A1cos (ωt + ϕ1 ) và x2 = A2cos (ωt + ϕ2 ) vuông pha với nhau => ∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 = (2k +1)π/2

1A

x

A

x2

2

2

2

1

1 =

+

và A12 = 2

221 AA +

9 – Tổng hợp 3 dao động điều hòa x1 = A1cos (ωt + ϕ1 ) và x2 = A2cos (ωt + ϕ2 ) là hai động cùng pha hoặc ngược pha và x1; x2 cùng vuông pha với x3 thì

1A

x

A

xx2

3

3

2

12

21 =

+

+ và A 123 = 2

3212 AA +

Dạng 11– Xác định quãng đường- Số lần vật đi qua ly độ x0 từ thời điểm t1 đến t2 1 – Kiến thức cần nhớ :

Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + φ) cm

Phương trình vận tốc: v = –Aωsin(ωt + φ) cm/s

Tính số chu kỳ dao động từ thời điểm t1 đến t2 : N = 2 1t t

T

−= n +m

T với T =

2πω

Trong một chu kỳ : + vật đi được quãng đường 4A + Vật đi qua ly độ bất kỳ 2 lần

* Nếu m = 0 thì: + Quãng đường đi được: ST = n.4A

+ Số lần vật đi qua x0 là MT = 2n

* Nếu m ≠ 0 thì : + Khi t = t1 ta tính x1 = Acos(ωt1 + φ)cm và v1 dương hay âm

(không tính v1)



+ Khi t = t2 ta tính x2 = Acos(ωt2 + φ)cm và v2 dương hay âm

(không tính v2)

Sau đó vẽ hình của vật trong phần lẻ m

T chu kỳ rồi dựa vào hình vẽ để tính Slẽ và số lần Mlẽ vật

đi qua x0 tương ứng.

Khi đó:+ Quãng đường vật đi được là: S = ST +Slẽ

+ Số lần vật đi qua x0 là: M= MT + Mlẽ

2 – Phương pháp chung:

Bước 1 : Xác định : 1 1 2 2

1 1 2 2

x Acos( t ) x Acos( t )và

v Asin( t ) v Asin( t )

= ω + ϕ = ω + ϕ

= −ω ω + ϕ = −ω ω + ϕ (v1 và v2 chỉ cần xác

định dấu)

Bước 2 : Phân tích : t = t2 – t1 = nT + ∆t (n ∈N; 0 ≤ ∆t < T)

Quãng đường đi được trong thời gian nT là S1 = 4nA, trong thời gian ∆t là S2.

Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2 : * Nếu v1v2 ≥ 0 ⇒

2 2 1

2

2 2 1

Tt S x x

2T

2At S2T

t S 4A x x2

∆ < ⇒ = − =∆ ⇒ =∆ > ⇒ = − −

* Nếu v1v2 < 0 ⇒ 1 2 1 2

1 2 1 2

v 0 S 2A x x

v 0 S 2A x x

> ⇒ = − − < ⇒ = + +

Lưu ý : + Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox + Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn.

+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2: tb2 1

Sv

t t=

− với S là quãng đường

tính như trên.

x A O A/2 2

3A

2

2A

-A A/2 2

2A

2

3A

S=2

3A

S=A/2

S=A

S= 2

2

A

S=A/2

S= 2

2

A

S=2

3A

S=A

Quãng đường đi:



- Dùng sơ đồ này có thể giải nhanh về thời gian chuyển động, quãng đường đi được trong thời gian ∆t, quãng đường đi tối đa, tối thiểu….

- Có thể áp dụng được cho dao động điện, dao động điện từ. - Khi áp dụng cần có kỹ năng biến đổi thời gian đề cho ∆t liên hệ với chu kỳ T. và chú ý

chúng đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Các Phương pháp : 2.1.Phương pháp 1: Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2 :t2 – t1 = nT + ∆t

Bước 1: Xác định : 1 1 2 2

1 1 2 2

x Acos( t ) x Acos( t )và

v Asin( t ) v Asin( t )

= ω + ϕ = ω + ϕ

= −ω ω + ϕ = −ω ω + ϕ (v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)

Bước 2: Phân tích : t2 – t1 = nT + ∆t (n ∈N; 0 ≤ ∆t < T) . (Nếu 2

T2At S

2=∆ ⇒ = )

Quãng đường đi được trong thời gian nT là: S1 = 4nA, trong thời gian ∆t là S2. Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2 : Cách tính S2: (Xem hình 6)

* Nếu v1v2 ≥ 0 ⇒ 2 2 1

2 2 1

Tt S x x

2T

t S 4A x x2

∆ < ⇒ = −∆ > ⇒ = − −

* Nếu v1v2 < 0 ⇒ 1 2 1 2

1 2 1 2

v 0 S 2A x x

v 0 S 2A x x

> ⇒ = − − < ⇒ = + +

Lưu ý: + Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox + Có thể dùng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và Chuyển động tròn đều giải bài toán sẽ đơn giản hơn. + Trong nhiều bài tập có thể người ta dùng kí hiệu: ∆t = t2 – t1 = nT + ∆t’ 2.2.Phương pháp 2: Xác định Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2: t2 – t1 = nT + T/2 + t0 Bước 1: - Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật tại thời điểm t1 và t2:



(v1 và v2 chỉ cần xác định dấu) Bước 2: - Phân tích: ∆t = t2 – t1 = nT + T/2 + t0 (n ЄN; 0 ≤ t0 < T/2) -Quãng đường đi được trong khoảng thời gian ∆t là: S = S1 + S2 -Quãng đường S1 là quãng đường đi được trong thời gian: nT + T/2 là: S1 = n.4A+ 2A -Quãng đường S2 là quãng đường đi được trong thời gian t0 (0 ≤ t0 < T/2)

+ Xác định li độ '1x và dấu của vận tốc

'1v tại thời điểm: t1 + nT + T/2

+ Xác định li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2

+ Nếu 02'1 ≥vv (

'1v và v2 cùng dấu – vật không đổi chiều chuyển động) thì :

S2 = |x2 - '1x |

+ Nếu 02'1 <vv (

'1v và v2 trái dấu – vật đổi chiều chuyển động) thì :

� '1v > 0, v2 < 0 : S2 = 2A - '

1x - x2

� '1v < 0, v2 > 0 : S2 = 2A + '

1x + x2

(Nếu cần nhớ ta có thể nhớ quãng đường S2 đi trong thời gian t'<T/2 như sau.)

t1 => x1 và dấu v1; (t1+t') => x2 và dấu v2

v1.v2>0 (cùng dấu) => S=|x1-x2|

v1.v2<0 (trái dấu) => S=2A-||x1|+|x2|| (x1 cùng dấu x2)

=> S=2A-||x1|-|x2|| (x1 trái dấu x2)

2.3.Phương pháp 3: DÙNG TÍCH PHÂN TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

a.Xét bài toán tổng quát :

Một vật dao động đều hoà theo quy luật: s( )x Aco tω ϕ= + (1) Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm 1t đến 2t : t = t2- t1 -Ta chia khoảng thời gian rất nhỏ thành những phần diện tích thể hiện quãng đường rất nhỏ, trong khoảng thời gian dt đó có thể coi vận tốc của vật là không đổi :

, sin( t+ )v x Aω ω ϕ= = − (2) -Trong khoảng thời gian dt này, quãng đường ds mà vật đi được là:

sin( t+ )ds v dt A dtω ω ϕ= = −

-Do đó, quãng đường S của vật từ thời điểm 1t đến thời điểm 2t là:

2 2

1 1

sin( t+ )t t

t t

S ds A dtω ω ϕ= =∫ ∫ (3)

-Tuy nhiên,việc tính (3) nhờ máy tính Fx570ES hoặc Fx570ES Plus thường rất chậm, tùy thuộc vào hàm số vận tốc và pha ban đầu. Do vậy ta có thể chia khoảng thời gian như sau: t2- t1 = nT + ∆t; Hoặc: t2- t1 = mT/2 + ∆t’ -Ta đã biết: Quãng đường vật đi được trong 1 chu kỳ là 4A.



Quãng đường vật đi được trong 1/2 chu kỳ là 2A. -Nếu ∆t ≠ 0 hoặc ∆t’ ≠ 0 thì việc tính quãng đường là khó khăn..Ta dùng máy tính hỗ trợ! b.Ví dụ: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục 0x với phương trình x = 6.cos(20t - π/3) cm (t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = 0,7π/6 (s) là A. 9cm B. 15cm C. 6cm D. 27cm

Giải 1: Chu kỳ T = 2

20 10T s

π π= = ; Thời gian đi :

t = t2- t1 = t2- 0 0,7 7

6 60s

π π= =

70 7 160 1 à

6 610

n v T

π

π

− = = =

.

T/6 ứng với góc quay π/3 từ M đến A dễ thấy đoạn X0A= 3cm( Hình bên) Quãng đường vật đi được 1chu kỳ là 4A và từ x0 đến A ứng với góc quay π/3 là x0A. Quãng đường vật đi được : 4A + X0A= 4.6 +3= 24+3 =27cm. Chọn D Giải 2: Dùng tích phân xác định nhờ máy tính Fx570ES hoặc Fx570ES Plus:

Vận tốc: 120 in(20t- )(cm/s)3

v sπ

= − .

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đã cho

là:2

1

7 / 60

0

120sin(20x- )3

t

t

S ds dxπ π

= =∫ ∫

Nhập máy tính: Bấm ∫□

□▭ , bấm: SHIFT hyp (Dùng trị tuyệt đối (Abs) ) .

Chọn đơn vị góc là Rad bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị R Với biểu thức trong dấu tích phân là vận tốc, cận trên là thời gian cuối, cận dưới là thời gian đầu,.biến t là x, ta được biểu thức như sau:

7 / 60

0

120sin(20x- )3

dxπ π∫ Bấm = chờ khoảng trên 5 phút màn hình hiển thị: 27. Chọn

D Quá Lâu!!! Sau đây là cách khắc phục thời gian chờ đợi !!! c. Các trường hợp có thể xảy ra: t2- t1 = nT + ∆t; hoặc: t2- t1 = mT/2 + ∆t’ Trường hợp 1: Nếu đề cho t2- t1 = nT ( nghĩa là ∆t = 0 ) thì quãng đường là: S = n.4A Trường hợp 2: Nếu đề cho t2- t1 = mT/2 ( nghĩa là ∆t’ = 0) thì quãng đường là: S = m.2A Trường hợp 3: Nếu ∆t ≠ 0 hoặc:: ∆t’ ≠ 0 Dùng tích phân xác định để tính quãng đường vật đi được trong thời gian ∆t hoặc ∆t’:

O

A−A x0x

6

π

Hình

M



=>Tổng quãng đường: S=S1+S2 = 4nA + S2 với 2 2

1 1

2 sin( t+ )nT

t t

t nT t

S ds A dtω ω ϕ++

= =∫ ∫ =

Hoặc: S=S’1+ S’2 = 2mA + S’2 với 2 2

1 1 /2

2

/2

' sin( t+ )mT

t t

t mT t

S ds A dtω ω ϕ++

= =∫ ∫ =

Tính quãng đường S2 hoặc S2’ dùng máy tính Fx 570ES ; Fx570ES Plus d. Chọn chế độ thực hiện phép tính tích phân của MT CASIO fx–570ES, 570ES Plus

Các bước Chọn chế độ Nút lệnh Ý nghĩa- Kết quả Chỉ định dạng nhập / xuất toán Bấm: SHIFT MODE 1 Màn hình xuất hiện Math. Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) Bấm: SHIFT MODE 4 Màn hình hiển thị chữ R Thực hiện phép tính tich phân

Bấm: Phím ∫□

□▭ Màn hình hiển thị ∫

□

□▭ dx

Dùng hàm trị tuyệt đối ( Abs) Bấm: SHIFT hyp Màn hình hiển thị dx∫

□

□□

Chú ý biến t thay bằng x Bấm: ALPHA ) Màn hình hiển thị X

Nhập hàm sin( + )v A xω ω ϕ= −

Bấm: sin( + )v A xω ω ϕ= − Hiển thị sin( + )A x dxω ω ϕ∫□

□

Nhập các cận tích phân Bấm:

2

1

t

t nT+∫ ▭ Hiển thị

2

1

sin( + )t

t nTA x dxω ω ϕ

+∫

Bấm dấu bằng (=) Bấm: = chờ hơi lâu Hiển thị kết quả:.....

3.CÁC BÀI TẬP : BÀI TẬP 1: Cho phương trình dao động điều hoà 4 s(4 / 3)( )x co t cmπ π= + . Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng 0,25s kể từ lúc đầu.

Giải 1: Ta có Chu kỳ 2 2 1

0,54 2

T s sπ π

ω π= = = = .Do đó thời gian đi được là 0,25s bằng 1 nửa

chu kỳ nên quãng đường tương ứng là 2A. => Quãng đường S = 2A = 2.4 = 8cm ( một nửa chu kỳ: m = 1 ) Giải 2: Từ phương trình li độ, ta có phương trình vận tốc : 16 sin(4 / 3)( / )v t cm sπ π π= − + , Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đã cho là:

2

1

t

t

S d s= =∫0 ,25

0

16 sin(4 )3

x dxπ

π π +∫

Với máy tính Fx570ES : Bấm: SHIFT MODE 1 Bấm: SHIFT MODE 4

Bấm ∫□

□▭ , bấm: SHIFT hyp Dùng hàm trị tuyệt đối (Abs).Với biểu thức trong dấu tích phân

là phương trình vận tốc, cận trên là thời gian cuối, cận dưới là thời gian đầu,.biến t là x, ta được :



0 ,25

0

16 sin(4 )3

x dxπ

π π +∫ Bấm = chờ khá lâu... màn hình hiển thị: 8 => Quãng đường S

= 8cm BÀI TẬP 2: Một vật chuyển động theo quy luật: 2 s(2 / 2)( )= −x co t cmπ π . Tính quãng đường của nó sau thời gian t=2,875s kể từ lúc bắt đầu chuyển động . GIẢI: Vận tốc 4 sin(2 / 2)( / )v t cm sπ π π= − −

*Chu kì dao động 2

1T sπ

ω= = ; *Số bán chu kì: [ ]2,875

5,75 51

2

m

= = =

(chỉ lấy phần nguyên

*Quãng đường trong 5 bán chu kỳ: '1 2 2.5.2 20S mA cm= = =

*Quãng đường vật đi được trong ∆t’ : 2 21

2

' ( )mTS t t+

→ Với 1

50 2, 5

2 2

mTt s+ = + =

Ta có:

2

1

2,875

2

/ 2 2,5

' 4 sin(2 - )2

t

t mT

S ds t dtπ

π π+

= =∫ ∫


Nhập máy:

2,875

2,5

4 sin(2 - )2

x dxπ

π π∫ = Chờ vài phút ...màn hình hiển thị: 2,585786438=2,6

=> Quãng đường S = 2mA + S’2 = 20 + 2,6 = 22,6cm BÀI TẬP 3:Một vật dao động đều hoà có phương trình: 2 s(4 / 3)( )= −x co t cmπ π Tính quãng đường vật đi được từ lúc t1=1/12 s đến lúc t2=2 s.

GIẢI: *Vận tốc 8 sin(4 / 3)( / )v t cm sπ π π= − − *Chu kì dao động :2 1

2T s

πω

= =

*Số bán chu kì vật thực hiện được:

12 2312 7

1 34

m

− = = =

(lấy phần nguyên) => m =7

*Quãng đường vật đi được trong m nửa chu kỳ: 1 /21 1' ( ) 2 . 2.7.2 28

mTS t t mA cm

+→ = = =

*Quãng đường vật đi được trong ∆t’ : 2 1 /2 2' ( )mTS t t+ → Với 1

1 7 22/ 2)

12 4 12t mT s+ = + = =11/6s

Ta có:

2

1

2

2

/2 11/6

' 8 sin(4 t- )3

t

t mT

S ds dtπ

π π+

= =∫ ∫


Nhập máy tinh Fx570ES:

2

11/ 6

8 sin(4 - )3

x dxπ

π π∫ = Chờ vài giây ...màn hình hiển thị : 3

=> Quãng đường S= S’1+ S’2 = 2mA + S’2 = 28+3 =31cm



PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Qua các bài tập trên, chúng ta có thể đưa ra phương pháp chung để giải các bài toán tìm quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t2-t1 : 1.Căn cứ vào phương trình dao động , xác định các đại lượng A, ω và T. 2. Chia khoảng thời gian: t2- t1 = nT + ∆t hoặc: t2- t1 = mT/2 + ∆t’. 3.Sau đó tính quãng đường vật đi được trong số nguyên chu kì hoặc số nguyên bán chu kỳ, tương ứng với quãng đường trong khoảng thời gian NT là S1 = 4nA hoặc mT/2 là S’1 = 2mA . 4.+Dùng các Phương pháp 1 ; Phương pháp 2 ở trên. +Hoặc dùng tích phân xác định nhờ máy tinh Fx570Es; Fx570ES Plus; VINACAL Fx570ES Plus để tìm quãng đường đi trong th ời gian ∆t < T là S2 hoặc ∆t’< T/2 là S’2 5.Tính tổng quãng đường trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 : S=S1+S2 hoặc: S=S’1+S’2 4.Các Ví dụ:

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình 2cos(10 )( )3

= −x t cmπ

π . Tính quãng

đường vật đi được trong thời gian 1,1s đầu tiên.

Giải : Ta có chu kỳ: 2 2

0, 2( )10

= = =T sπ π

ω π => T/2 = 0,1s

Phân tích:0,2

1,1 ' 5.0,2 5.2 2

∆ = = + ∆ = + = +T

t s nT t T . -> Quãng đường đi được trong thời gian: nT +

T/2 là: S1 = n.4A+ 2A => Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2A = 22A = 44cm. Lưu ý: Vì :

2

T 11T5T 11.2A 22At S

2 2= + = =∆ ⇒ =

nên ta không cần xét lúc t= 0 để tìm x0 và dấu của v0 :

2cos(10 )( )3

= −x t cmπ

π => 20 sin(10 )( / )3

= − −v t cm sπ

π π -> Tại t = 0 :0

0

2cos( )3

20 sin( )3

x

v

π

ππ

= −

= − −

=> 0

0

1

0

x cm

v

=

>

=> Vật bắt đầu đi từ vị trí x0 = 1cm theo chiều dương.

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình 4 cos( )( )2

= −x t cmπ

π . Tính quãng đường

vật đi được trong 2,25s đầu tiên.

Giải cách 1: Ta có : 2 2

2( )= = =T sπ π

ω π ; ∆t = 2,25s = T + 0,25(s)

Quãng đường vật đi được trong 2s đầu tiên là S1 = 4A = 16cm.

- Tại thời điểm t = 2s : 0

0

4cos(2. )2

4 sin(2. )2

x

v

ππ

ππ π

= −

= − − => 0

0

0

0

x

v

=

>



- Tại thời điểm t = 2,25s : 4 cos(2, 25. )

2

4 sin(2, 25. )2

x

v

ππ

ππ π

= −

= − − =>

2 2

0

x cm

v

=

>

Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật đi được

trong 0,25s cuối là 2 2 2 0 2 2( )= − =S cm .Vậy quãng đường vật đi được trong 2,25s là: S

= S1 +S2 (16 2 2)( )= + cm Giải cách 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều). Tương tự như trên ta phân tích được ∆t = 2,25s = T + 0,25(s). Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S1 = 4A = 16cm Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối. Trong 0,25s cuối thì góc mà vật quét được trên

đường tròn (bán kính A = 4cm) là: . .0,254

= = =t radπ

α ω π =>Độ dài hình chiếu là quãng đường đi

được: 2

2cos 4 2 2( )

2= = =S A cmα

Từ đó ta tìm được quãng đường mà vật đi được là: S = S1 +S2 (16 2 2)( )= + cm Ví dụ 3: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình: x = 12cos(50t - π/2)cm.

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t = π/12(s), kể từ thời điểm gốc là (t = 0):

A. 6cm. B. 90cm. C. 102cm. D. 54cm.

Giải Cách 1: Chu kì dao động : T = 2π

ω = 2

50

π = 25

π s

tại t = 0 : 0

0

x 0

v 0

=

> ⇒ Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dương

tại thời điểm t = π/12(s) : x 6cm

v 0

=

> Vật đi qua vị trí có x = 6cm theo chiều dương.

Số chu kì dao động : N = 0t t

T

−= t

T= .25

12.

π

π= 2 + 1

12 ⇒Thời gian vật dao động là:

t = 2T + T

12= 2T +

300

π s.

− Quãng đường tổng cộng vật đi được là : St = SnT + S∆t

Với : S2T = 4A.2 = 4.12.2 = 96m.

Vì 1 2v v 0

Tt <

2

≥

∆

⇒ S∆t = 0x x− = 6 − 0 = 6cm

− Vậy : St = SnT + S∆t = 96 + 6 = 102cm. Chọn : C.

Giải Cách 2: Ứng dụng mối liên hệ giữa CĐTĐ và DĐĐH

tại t = 0 : 0

0

x 0

v 0

=

> ⇒ Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều

dương

Số chu kì dao động : N = 0t t

T

−= t

T= .25

12.

π

π= 2 + 1

12

⇒ t = 2T + T

12 = 2T +

300

π s. Với : T = 2π

ω = 2

50

π= 25

π s

O

B′B xx0x

O

B′B xx0x

6

π

Hình ví dụ 3



Góc quay được trong khoảng thời gian t :

α = ωt = ω(2T + T

12) = 2π.2 +

6

π (hình vẽ)

Vậy vật quay được 2 vòng +góc π/6 ⇒ quãng đường vật đi được là : St = 4A.2 + A/2 =

102cm. Ví dụ 4: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 6cos (2πt – π/3)cm. Tính độ dài quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian t1 = 1,5 s đến t2 =13/3 s A. (50 + 5 3 )cm B.53cm C.46cm D. 66cm Giải : T= 1s - Phân tích: ∆t = t2 – t1 =13/3s -1,5s = 8.5/3 s = 2T + T/2 + 1/3 s Quãng đường đi được trong khoảng thời gian ∆t là: S = S1 + S2 - Quãng đường S1 : S1 = 2.4A +2A = 60cm - Quãng đường S2 là quãng đường đi được trong thời gian t0 = 1/3 s

+ Xác định li độ '1x và dấu của vận tốc

'1v tại thời điểm: t1 + 2T +T/2 = 4s

Tại t = 4s

>

=

0

3'1

'1

v

x

+ Xác định li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2 =13/3s

Tại t2 = 13/3s:

<

=

0

3

2

2

v

x

Vì 02'1 <vv (

'1v và v2 trái dấu – vật đổi chiều chuyển động) thì :

và '1v > 0, v2 < 0 : S2 = 2A - '

1x - x2 =2.6 -3-3=6cm -Vậy Quãng đường đi được trong khoảng thời gian 8,5/3s: S = S1+ S2= 60+6=66(cm) Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20cm. Sau 1/12s kể từ thời điểm ban đầu vật đi được 10cm mà chưa đổi chiều chuyển động vật đến vị trí có li độ 5cm theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là: Giải: Biên dộ A = 10cm. Như bài 4 ở trên ta suy ra: Vật đi từ -A/2 đến A/ 2 ( hình vẽ 9B) Ứng với thời gian vật từ N đến M với góc quay ∆ϕ= π/3 Hay thời gian đi là T/6 = 1/12 Suy ra T=1/2( s ) , f= 2Hz Suy ra ω=2πf =4π ( rad/s). Vật theo chiều dương nên: góc pha ban đầu dễ thấy là ϕ= - (NO3 + 3Ox) = - (π/6 +π/2)= -2π/3 Vậy phương trình dao động: x = 10 cos(4πt -2π/3) (cm) Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa với phương trình .)4/35cos(24 cmtx ππ −=

M N

X O

A

X2 x1

-A

Hình 5

A/2 -A/2

3



Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 1/10(s) đến t2 = 6(s) là: A. 84,4cm B. 333,8cm C. 331,4 cm D. 337,5cm

Giải cách 1: chu kỳ: 2 2

0, 45

T sπ π

ω π= = =

Thời gian đi: t2 -t1 = 6- 1/10= 5,9(s)

Ta có: 2 1 5,914,75

0, 4

t t

T

−= = Hay : 2 1 14,75 14 0,75t t T T T− = = +

Quãng đường đi trong 14T là : S1 =14.4A =56.4 2 =224 2 cm Lúc t1 = 0,1s vật ở tại M1 , Lúc t2 = 6s vật ở tại M0 trùng lúc đầu. Quãng đường đi trong 0,75T( Từ M1 đến M0 là ¾ vòng tròn) là :

S2 =2(A -2

2

A) +2A = 2( 4 2 -4) + 8 2 =(16 2 -8) cm

Quãng đường đi trong 14T+ 0,75T là : S =S1 +S2 =224 2 + 16 2 -8= 240 2 -8 = cm Vậy: S =S1 +S2 =240 2 -8 =331,411255cm ≈ 331,4cm . Chọn C

Giải cách 2: Ta có chu kì T = ωπ2

= ππ

5

2= 0, 4s

Khoảng thời gian từ t1 = 0,1s đến t2 = 6s là t = t2 – t1 = 5,9 s = 15T –4

T

Quãng đường vật đi từ thời điểm t1 1/10(s) đến t2 = 6s là

S = 15.4A – S1 với S1 là quãng đường vật đi được trong thời gian 4

T đầu tiên

Từ: x = 4 2 cos(5πt - 4

3π) cm. Biên độ A = 4 2 (cm)

Khi t = 0 x0 = - 2

2A. Khi t =

4

T thì x =

2

2A. Do đó S1 =

2

2A +

2

2A = A 2

Do đó S = 60A - A 2 = (60 - 2 )A = 331.41 cm . Chọn C Giải cách 3: Dùng tích phân: Máy tinh Fx570ES….( tự làm ) Ví dụ 7: Chọn gốc toạ độ taị VTCB của vật dao động điều hoà theo phương trình: x =

20cos(πt - 4

3π) (cm; s). Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 0,5 s đến thời điểm t2 = 6 s

là A. 211,72 cm. B. 201,2 cm. C. 101,2 cm. D. 202,2cm.

. Giải: Ta có chu kì T = ωπ2

= ππ2

= 2s

Khoảng thời gian từ t1 = 0,5s đến t2 = 6s là t = t2 – t1 = 5,5 s = 3T –4

T

Quãng đường vật đi từ thời điểm t1 0,5(s) đến t2 = 6s là

S = 12A – S1 với S1 là quãng đường vật đi được trong thời gian 4

T đầu tiên

Từ: x = 20cos(5πt - 4

3π) cm. Biên độ A = 20(cm)

M0

X OA

X2 x1

-A

Hình 6

-

2

2

A−

M1

2

2

A−



Khi t = 0 x0 = - 2

2A. Khi t =

4

T thì x =

2

2A. Suy ra S1 =

2

2A +

2

2A = A 2 = 20 2

Do đó S = 240 – 20 2 = 211,7157 cm = 211,72 cm . Chọn A

Ví dụ 8: Vật dao động điều hoà theo phương trình x = 5cos(10πt - 2

π )(cm). Thời gian vật đi

được quãng đường 7,5cm, kể từ lúc t =0 là: A. 1

15s B. 2

15s C. 1

30s D. 1

12s

Giải: Vì 2

πϕ = − nên t = 0, vật qua VTCB theo chiều dương, và A = 5cm nên khi vật đi được

quãng đường 7,5cm thì lúc đó vật qua li độ x = 2,5cm theo chiều âm tức v < 0, suy ra: 2,5 =

5cos(10πt - 2

π ) →

cos(10πt - 2

π ) = 1

2→ 10πt -

2

π =3

π 5 1t

60 12⇒ = = s

Dạng 12: Quãng đường đi được tối đa, tối thiểu

+ Trường hợp: 2

0T

t <∆<

Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < ∆t < T/2. Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều. Góc quét ∆ϕ = ω∆t. Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 1)

ax 2A sin2MSϕ∆

=

Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)

2 (1 os )2MinS A cϕ∆

= −

Lưu ý: + Trong trường hợp ∆t > T/2

Tách '2

Tt n t∆ = + ∆

trong đó *;0 '2

Tn N t∈ < ∆ <

Trong thời gian 2

Tn quãng đường luôn

là 2nA Trong thời gian ∆t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên. + Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian ∆t:

axax

MtbM

Sv

t=

∆ và Min

tbMin

Sv

t=

∆ với SMax; SMin tính như trên.

A-A

MM 12

O

P

x xO

2

1

M

M

-A

A

P2 1P

P

2

ϕ∆

2

ϕ∆



Câu 1: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quanh VTCB O với biên độ A và chu kì T. Trong khoảng thời gian T/4, quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được là A. A B. 1,5.A C. 3A D. 2A

HD: axm2 T

. t . S 2Asin 2Asin A 2T 4 2 2 4

π π ϕ πϕ ω

∆∆ = ∆ = = ⇒ = = =

Câu 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quanh VTCB O với biên độ A và chu kì T. Trong khoảng thời gian T/3, quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được là A. A B. 1,5.A C. 3A D. 2A

HD: axm2 T 2 3

. t . S 2A.sin 2A.sin 2A. A 3T 3 3 2 3 2

π π ϕ πϕ ω

∆∆ = ∆ = = ⇒ = = = =

Câu 3: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quanh VTCB O với biên độ A và chu kì T. Trong khoảng thời gian T/3, quãng đường nhỏ nhất mà vật có thể đi được là A. ( )A13 − B. A C. 3.A D. ( )22 −A

HD:

os osmin

2 T 2. t .

T 3 31

S 2A 1 c 2A 1 c 2A 1 A2 3 2

π πϕ ω

ϕ π

∆ = ∆ = =

∆ ⇒ = − = − = − =

Tính thời gian

ax

os

m

min

S 2Asin2

. t t ?S 2A 1 c

2

ϕ

ϕ ωϕ

∆ =⇒ ∆ = ∆ ⇒ ∆ = ∆ = −

Câu 4: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T. Thời gian ngắn nhất để vật đi được quãng đường có độ dài tối đa 2A là A. T/8 B. T/4 C. T/6 D. T/12

HD:axmS 2A.sin A 2 2A.sin

2 2 2

2 T. t . t t

2 T 4

ϕ ϕ πϕ

π πϕ ω

∆ ∆ = ⇒ = ⇒ ∆ =

∆ = ∆ ⇒ = ∆ ⇒ ∆ =

Câu 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T. Thời gian ngắn nhất để vật đi được quãng đường có độ dài tối đa 2A là A. T/8 B. T/4 C. T/6 D. T/3

HD : axm

1S 2A.sin A 2A.sin sin

2 2 2 2 32 T

. t . t t3 T 6

ϕ ϕ ϕ πϕ

π πϕ ω

∆ ∆ ∆= ⇒ = ⇒ = ⇒ ∆ =

∆ = ∆ ⇒ = ∆ ⇒ ∆ =

+ Trường hợp: )2

0(;2

.' Ttt

Tnt <∆<∆+=∆



ax axm m

min min

S n.2A S

S n.2A S

′ = + ′ = +

Câu 6: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A. Quãng đường vật đi được tối đa trong khoảng thời gian 2T/3 là A. 3A B. A C. 3A D. 35,1 A

HD: ax ax

ax

m m

m

2T T Tt 1. S n.2A S

3 2 6. t 2 T

S 2A 2A.sin 2A 2A.sin 2A 2A.sin . 3A2 2 T 12

ϕ ω π

′ ′∆ = = + ⇒ = +

∆ ∆′⇒ = + = + = + =

Câu 7: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A. Quãng đường vật đi được tối đa trong khoảng thời gian 7T/6 là A. 5A B. A C. 3A D. 35,1 A

HD: ax ax ax

ax

m m m

m

7T T Tt 2. S n.2A S 2.2A S

6 2 62 T

S 2.2A 2A.sin 4 A 2A.sin . 4 A A 5A2 T 12

ϕ π

′ ′∆ = = + ⇒ = + = +

∆′⇒ = + = + = + =

Câu 8: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A. Quãng đường vật đi được tối thiểu trong khoảng thời gian 5T/3 là A. 5A B. ( )A38 − C. ( )A36 − D. ( )A38 + HD: Ta có

( )

os

os

min min min

min

5T T T3. S n.2A S 3.2A S

3 2 6. t

S 6 A 2A 1 c 6 A 2A 12 2

6 A 2A 1 c A 8 36

ϕ ω

π

′= + ⇒ = + = +

∆ ∆ ′ = + − = + −

= + − = −

+ Tốc độ trung bình lớn nhất, nhỏ nhất

ax axax

min minmin

m mm

S Sv

t tS S

vt t

′ = = ′∆ ∆ ′ = = ′∆ ∆

Câu 9 :Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quanh VTCB O với biên độ A và chu kì T. Tốc độ trung bình nhỏ nhất của vật thực hiện được trong khoảng thời gian T/3 là A. ( ) TA /133 − B. 3A/T C. TA /33 D. TA /3



HD:

os osmin

minmin

2 T 2. t . S 2A 1 c 2A 1 c A

T 3 3 2 3

S A 3Av

Tt T3

π π ϕ πϕ ω

∆ ∆ = ∆ = = ⇒ = − = − =

⇒ = = =∆

Câu 10: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quanh VTCB O với biên độ A và chu kì T. Tốc độ trung bình lớn nhất của vật thực hiện được trong khoảng thời gian T/6 là A. 4,5A/T B. 6A /T C. TA /3 D. TA /35,1 HD:

ax

axax

m

mm

2 T. t . S 2A.sin 2A.sin A

T 6 3 2 6S A 6 A

vTt T6

π π ϕ πϕ ω

∆∆ = ∆ = = ⇒ = = =

= = =∆

Bài 2: CON LẮC LÒ XO I. Con lắc lò xo : Gồm một vật nhỏ khối lượng m gắn vào đầu lò xo độ cứng k, khối lượng lò xo không đáng

kể II. Khảo sát dao động con lắc lò xo về mặt động lực học : 1. Lực tác dụng : F = - kx

2. Định luật II Niutơn : xm

ka −= = - ω2x

3. Tần số góc và chu kỳ : m

k=ω ⇒

k

m2T π=

* Đối với con lắc lò xo thẳng đứng: g

lT

l

g ∆=⇒

∆= πω 2

4. Lực kéo về(lực phục hồi) : Tỉ lệ với li độ F = - kx + Hướng về vị trí cân bằng + Biến thiên điều hoà theo thời gian với cùng chu kỳ của li độ + Ngươc pha với li độ III. Khảo sát dao động con lắc lò xo về mặt năng lượng :


2

1W =

2. Thế năng : 2đ kx

2

1W =

3. Cơ năng : ConstAm2

1kA

2

1WWW 222

tđ =ω==+=

- Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương biên độ dao động - Cơ năng của con lắc được bảo toàn nếu bỏ qua masát - Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kỳ T/2 - Thời gian liên tiếp giữa 2 lần động năng bằng thế năng là

x

A-A −∆λ

l

Nén 0Giãn

Hình vẽ thể hiện thời gian lò xo nén và giãn trong 1 chu kỳ (Ox hướng xuống)



T/4

- Khi 12 +

±=→=

n

AxnWW tđ

- Khi12 +

±=→=

n

AvnWW đt

ω

Các dạng bài tâp: 1. * Độ biến dạng của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB:

mg

lk

∆ = ⇒ 2l

Tg

π∆

=

* Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB với con lắc lò xo nằm trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α:

sinmg

lk

α∆ = ⇒ 2

sin

lT

gπ

α∆

=

+ Chiều dài lò xo tại VTCB: lCB = l0 + ∆l (l0 là chiều dài tự nhiên) + Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất): lMin = l0 + ∆l – A + Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất): lMax = l0 + ∆l + A ⇒ lCB = (lMin + lMax)/2 + Khi A >∆l (Với Ox hướng xuống): - Thời gian lò xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để

vật đi từ vị trí x1 = -∆l đến x2 = -A. - Thời gian lò xo giãn 1 lần là thời gian ngắn nhất để

vật đi từ vị trí x1 = -∆l đến x2 = A, Lưu ý: Trong một dao động (một chu kỳ) lò xo nén 2

lần và giãn 2 lần 2. Lực kéo về hay lực hồi phục F = -kx = -mω2x Đặc điểm: * Là lực gây dao động cho vật. * Luôn hướng về VTCB * Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ 3. Lực đàn hồi là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng. Có độ lớn Fđh = kx* (x* là độ biến dạng của lò xo) * Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn hồi là một (vì tại VTCB lò xo

không biến dạng) * Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng + Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức: * Fđh = k|∆l + x| với chiều dương hướng xuống * Fđh = k|∆l - x| với chiều dương hướng lên + Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): FMax = k(∆l + A) = FKmax (lúc vật ở vị trí thấp nhất) + Lực đàn hồi cực tiểu: * Nếu A < ∆l ⇒ FMin = k(∆l - A) = FKMin

* Nếu A ≥ ∆l ⇒ FMin = 0 (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng) Lực đẩy (lực nén) đàn hồi cực đại: FNmax = k(A - ∆l) (lúc vật ở vị trí cao nhất) Chú ý: Khi hệ dao động theo phương nằm ngang thì lực đàn hồi và lực hồi phục là như nhau 4. Một lò xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các lò xo có độ cứng k1, k2, … và chiều

dài tương ứng là l1, l2, … thì có: kl = k1l1 = k2l2 = …

∆l

giãn O

x

A

-A nén

∆l giãn O

x

A

-A

Hình a (A < ∆l) Hình b (A > ∆l)



5. Ghép lò xo:

* Nối tiếp 1 2

1 1 1...

k k k= + + ⇒ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì: T2 = T1

2 + T22

* Song song: k = k1 + k2 + … ⇒ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:2 2 2

1 2

1 1 1...

T T T= + +

6. Gắn lò xo k vào vật khối lượng m1 được chu kỳ T1, vào vật khối lượng m2 được T2, vào vật khối lượng m1+m2 được chu kỳ T3, vào vật khối lượng m1 – m2 (m1 > m2) được chu kỳ T4.

Thì ta có: 2 2 23 1 2T T T= + và 2 2 2

4 1 2T T T= −

Dạng 1 – Chu kỳ và tần số dao động con lắc lò xo 1 – Kiến thức cần nhớ : – Liên quan tới số lần dao động trong thời gian t :

T = t

N ; f = N

t ; ω = 2 N

t

π N:

t :

tæng sè dao ®éng

khoangt hêi gian thùc hiÖn N dao ®éng

∆

– Liên quan tới độ dãn ∆l của lò xo : T = 2π m

k

hay

lT 2

g

lT 2

g sin

con l¾c th¼ng ®øng

con l¾c n»m nghiªng

∆= π

∆ = π α

:

:.

với : ∆l = cb 0l l− (l0 − Chiều dài tự nhiên của lò xo)

– Liên quan tới sự thay đổi khối lượng m :

11

22

mT 2

k

mT 2

k

= π

= π

⇒

2 2 11

2 2 22

mT 4

km

T 4k

= π

= π

⇒

2 2 233 1 2 3 3 1 2

2 2 244 1 2 4 4 1 2

mm m m T 2 T T T

k

mm m m T 2 T T T

k

= + ⇒ = π ⇒ = +

= − ⇒ = π ⇒ = −

– Liên quan tới sự thay đổi khối lượng k : Ghép lò xo:

+ Nối tiếp 1 2

1 1 1

k k k= + ⇒ T2 = T1

2 + T22

+ Song song: k = k1 + k2 ⇒ 2 2 2

1 2

1 1 1

T T T= +

2 – Bài tập : Câu 1. Con lắc lò xo gồm vật m và lò xo k dao động điều hòa, khi mắc thêm vào vật m một vật khác có khối lượng gấp 3 lần vật m thì chu kì dao động của chúng A. tăng lên 3 lần B. giảm đi 3 lần C. tăng lên 2 lần D. giảm đi 2 lần

HD : Chọn C. Chu kì dao động của hai con lắc : 'm m 3m 4mT 2 ; T 2 2

k k k

+= π = π = π

'

T 1

T 2⇒ =

Câu 2. Khi treo vật m vào lò xo k thì lò xo giãn ra 2,5cm, kích thích cho m dao động. Chu kì dao động tự do của vật là : A. 1s. B. 0,5s. C. 0,32s. D. 0,28s.



HD : Chọn C. Tại vị trí cân bằng trọng lực tác dụng vào vật cân bằng với lực đàn hồi của là xo

00

lmmg k l

k g

∆= ∆ ⇒ = ( )0l2 m 0,025

T 2 2 2 0,32 sk g 10

∆π⇒ = = π = π = π =

ω

Câu 3. Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Vật có khối lượng m=0,2kg. Trong 20s con lắc thực hiện được 50 dao động. Tính độ cứng của lò xo. A. 60(N/m) B. 40(N/m) C. 50(N/m) D. 55(N/m) HD : Chọn C. Trong 20s con lắc thực hiện được 50 dao động , ta phải có :

T = t

N = 0,4s

Mặt khác: mT 2

k= π

2 2

2 2

4 m 4. .0,2 k 50(N / m)

T 0,4

π π⇒ = = = .

Câu 4. Hai lò xo có chiều dài bằng nhau độ cứng tương ứng là k1, k2. Khi mắc vật m vào một lò

xo k1, thì vật m dao động với chu kì T1 = 0,6s. Khi mắc vật m vào lò xo k2, thì vật m dao động

với chu kì T2 = 0,8s. Khi mắc vật m vào hệ hai lò xo k1 song song với k2 thì chu kì dao động

của m là. A. 0,48s B. 0,7s C. 1,00s D. 1,4s HD : Chọn A

Chu kì T1, T2 xác định từ phương trình:1

1

22

mT 2

k

mT 2

k

= π

= π

2

1 21

2

2 22

4 mk

T

4 mk

T

π=

⇒

π =

2 22 1 2

1 2 2 21 2

T T k k 4 m

T T

+⇒ + = π

k1, k2 ghép song song, độ cứng của hệ ghép xác định từ công thức : k = k1 + k2. Chu kì dao động

của con lắc lò xo ghép

( ) ( )

( )2 2 2 2 2 2

1 2 1 22 22 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

T T T Tm m 0,6 .0,8T 2 2 2 m. 0,48 s

k k k 0,6 0,84 m T T T T= π = π = π = = =

+ +π + +

* m t

T 2k n

π∆

= = , với t∆ là thời gian dao động, n là số dao động trong thời gian t∆ .

Câu 5: Một lò xo độ cứng 96N/m, lần lượt treo hai quả cầu khối lượng m1, m2 vào lò xo và kích thích cho chúng dao động thì thấy: trong cùng một khoảng thời gian m1 thực hiện được 10 dao động, m2 thực hiện được 5 dao động. Nếu treo cả hai quả cầu vào lò xo thì chu kì dao động

của hệ là ( )2

sπ

. Giá trị của m1 là

A. 1kg B. 4,8kg C. 1,2kg D. 3kg

HD:

1 21 2

2 11

1 21 2

m mt tT 2 ;T 2

m 4mk 10 k 5m 1,2kg

m m 6m mT 2

k 2

π π

ππ

∆ ∆= = = = =

⇒ ⇒ = + =+ = =



Câu 6: Một vật khối lượng m được gắn lần lượt vào hai lò xo có độ cứng k1, k2 thì chu kì lần lượt là T1, T2. Biết T2 = 2T1 và k1 + k2 = 5N/m. Giá trị của k1 và k2 là

A. 4N/m; 1N/m B. 3N/m; 2N/m

B. C. 2N/m;3N/m D. 1N/m; 4N/m

HD:

2 1 12 12 1

21 21 2

1 4m mT 2T 2 4 k 4N / m

k kk kk 1N / m

k k 5k k 5

π π == ⇔ = =

⇒ ⇒ = + =+ =

Dạng 2: Kích thích dao động bằng va chạm Vật m chuyển động với vận tốc v0 đến va chạm vào vật M đang đứng yên. - Va chạm mềm: mv0 = ( m+M).V

0m k

V .v .Am M m M

⇒ = =+ +

, với

axmV v .Aω= =

- Va chạm đàn hồi:

0 00

2 2 2 2 2 20 0

0

2m kmv mv M.V V v .Amv m.v M.V m M m M1 1 1

mv mv mV mv m.v M.V m Mv .v2 2 2

m M

= + = == + + +⇒ ⇒

= + = + − = +

Câu 1: Một con lắc lò xo có độ cứng 30N/m, vật nặng khối lượng M= 200g có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng ngang( khối lượng lò xo không đáng kể). Hệ đang ở trạng thái cân bằng, dùng một vật m= 100g bắn vào M ttheo phương ngang với tốc độ 3m/s. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao động điều hòa theo phương ngang trùng với trục của lò xo. Biên độ dao động điều hòa là


HD: Va chạm mềm: ( )0 01

mv m M .V V .v 1m / s .AM

1m

ω= + ⇒ = = =+

k.A 10.A 1 A 0,1( m ) 10( cm )

m M⇒ = = ⇒ = =

+

Câu 2: Một con lắc lò xo có độ cứng 30N/m, vật nặng khối lượng M= 400g có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng ngang( khối lượng lò xo không đáng kể). Hệ đang ở trạng thái cân bằng, dùng một vật m= 100g bắn vào M ttheo phương ngang với tốc độ 1m/s. Va chạm lầ hoàn toàn đàn hồi.Sau khi va chạm vật M dao động điều hòa theo phương nằm ngang. Biên độ dao động điều hòa là


M m v

O x



HD:

0

20

0

0

mv m.v M.V

m.v m.v M.V

2m k 2.0,1 40V .v .A .A A 0,04( m) 4(cm)

m M m M 0,1 0,4 0,1 0,4

m Mv .v

m M

= +

= +

= = ⇔ = ⇒ = =+ + + +⇒−

=+

Dạng 3: Cắt ghép lò xo

+ Cắt lò xo:

00

0 00

0

lk k

lk l kl k ll

k kl

=′ ′= = ⇒ ′ = ′

Câu 1: Một lò xo dài 1,2m độ cứng 120N/m. Khi cắt lò xo thành hai lò xo có chiều dài 100cm và 20cm thì độ cứng tương ứng lần lượt là

A. 144N/m; 720N/m B. 100N/m; 20N/m

C. 720N/m; 144N/m D. 20N/m; 100N/m

HD: Ta có

00

0 00

0

l 1,2k k 120. 144N / m

l 0,1k l kl k l

l 1,2k k 120. 720N / m

l 0,2

= = =′ ′= = ⇒ ′ = = = ′

Câu 2: Một co lắc lò xo gồm vật có khối lượng m và lò xo có độ cứng k dao động điều hòa. Nếu cắt bỏ một nửa chiều dài của lò xo và giảm khối lượng m đi 8 lần thì chu kì dao động của vật sẽ A.tăng 2 lần B.giảm 2 lần C. Giảm 4 lần D.tăng 4 lần HD:

mm

m m T8 T 2 2l l k 16k 4

k k. k. 2kl l / 2

π π

′ = ′ ′⇒ = = = ′ ′ = = = ′

+ Ghép lò xo: 1 2nt / / 1 2

1 2

k kk ;k k k

k k= = +

+

Câu 3: Khi treo một vật có khối lượng m lần lượt vào các lò xo 1 và 2 thì tần số dao động của các con lắc lò xo tương ứng là 3Hz và 4Hz. Nối hai lò xo với nhau thành một lò xo rồi treo vật nặng m thì tần số dao động là

A. 5,0Hz B. 2,2Hz C. 2,3Hz D. 2,4Hz



2 21

1 2 2 2 2 21 2

2 2 n t 1 22

2

2 2 2 22 1 2

2 2 2 21 2

mT 4

k m 1 1T 4 4 m T T

m k k kT 4

k

f f 3 . 4f f 2 , 4 ( H z )

f f 3 4

π

π ππ

= ⇒ = = + = +

=

⇒ = = ⇒ =+ +

Dạng 4: Biên độ dao động sau khi cắt lò xo

Cơ năng dao động không thay đổi nên: 2 2

1 1k A k.A

2 2=

Câu 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật đi qua VTCB thì người ta giữ chính giữa(cố định) của lò xo lại. Bắt đầu từ thời điểm đó vật sẽ dao động điều hòa với biên độ là

A. 2

A B. 2A C. A/2 D. 2A

HD: Độ cứng của lò xo còn lại: 1 1 11

k.l k.lk l kl k 2k

l l / 2= ⇒ = = =


1 11

k A k.A AA

2 2 2= ⇒ =

Câu 2: Con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật nặng chuyển động qua VTCB thì giữ cố định điểm cách điểm cố định một đoạn bằng 1/4 chiều dài tự nhiên của lò xo. Vật tiếp tục dao động với biên độ bằng

A. 2

A B. 0,5 3A C. A/2 D. 2A

HD: Độ cứng của lò xo còn lại: 0 0 0 00 0 1 1 1 0

10

k .l k .l 4k l k l k k

3l 3.l4

= ⇒ = = =


2 2 2 201 11 0 1 1

4kk A k.A 4 A. 3A k A A A A

2 2 3 3 2= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Dạng 5: Cơ Năng

2 2 2 2 2m A k.A kx mv

W2 2 2 2

ω= = = +

Câu 1: Một con lắc lò xo có độ cứng 9N/m, khối lượng của vật nặng là 1kg dao động điều hòa. Tại thời điểm vật có tọa độ 2 3cm thì có vận tốc 6cm/s. Tính cơ năng dao động

A. 10mJ B. 20mJ C. 7,2mJ D. 72mJ



( )222 2 2 2 2 23

9. 2 3.10m A k.A kx mv 1.0,06W 7,2.10 ( J ) 7,2mJ

2 2 2 2 2 2

ω−

−= = = + = + = =

Câu 2: Một vật nhỏ khối lượng 1kg thực hiện dao động điều hòa theo phương trình

cos 42

x A t cmπ = +

, với t tính bằng giây. Biết quãng đường đi tối đa của vật trong một phần

sáu chu kì là 10cm. Cơ năng của vật bằng A. 0,09J B. 0,72J C. 0,045J D. 0,08J

HD:

ax ax

W

m m

2 2 2

2 TS 2A.sin ; . t . S 2A.sin 2A.0,5 A 10cm 0,1m

2 T 6 3 6

m A 1.4 .0,10,08J

2 2

ϕ π π πϕ ω

ω

∆= ∆ = ∆ = = ⇒ = = = = =

⇒ = = =

Dạng 6: Thế năng. Động năng

d W W W W2 2 2

t tmv k.x m.v

W ;2 2 2

= = − = = −

Câu 1: Một con lắc lò xo gồm viên bi nhỏ và lò xo nhẹ có độ cứng 100N/m, dao động điều hòa với biên độ 0,1m. Mốc thế năng ở VTCB. Khi viên bi cách VTCB 6cm thì động năng của con lắc bằng

A. 0,032J B. 3,2J C. 6,4mJ D. 0,32J

HD: ( )W W2 2

2 2d t

k.A k.x 100W 0,1 0,06 0,32( J )

2 2 2= − = − = − =

Câu 2: Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 40N/m gắn với quả cầu có khối lượng m. Cho quả cầu dao động với biên độ 5cm. Động năng của quả cầu ở vị trí ứng với li độ 3cm là

A. 0,032J B. 320J C. 0,018J D. 0,5J

HD: ( ) ( )W W W2 2

2 2 2 2d t

k.A kx k 40A x 0,05 0,03 0,032( J )

2 2 2 2= − = − = − = − =

Dạng 7: Tỉ số thế năng và động năng

WW W W W

WW W W W

tt t d

dd t d

xn

v

⇒−= = = ⇒

⇒−

+ Tính tỉ số Câu 1: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 2cm. Tỉ số động năng và thế năng của vật tại li độ 1,5cm là

A. 7/9 B. 9/7 C. 7/16 D. 9/16



W W W W

W W W

2 2d t

2 2t t t

k.A A 71 1 1 1,78 1

9k.x x

−= = − = − = − = − =

Câu 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Mốc thế năng ở VTCB. Ở thời điểm độ lớn vận của vật bằng 50% vận tốc cực đại thì tỉ số giữa động năng và cơ năng của vật là

A. 3/4 B. 1/4 C. 4/3 D. 1/2

HD:

ax

axW

W

22m2

22 2 2 2d m

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

v1mv 2 vmv v A 12

1 4m A A A 4 A 4 AkA2

ωω ω ω ω ω

= = = = = = =

+ Cho tỉ số Wđ = n.Wt

W W W W WW

W Wd t t t

d td d

n x ?W n.

n v ?+ = = ⇒ =

= →= ⇒ =

Câu 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ 6cm. Mốc thế năng ở VTCB. Khi vật có động năng bằng 3/4 lần cơ năng thì vật cách VTCB một đoạn

A. 6cm B. 4,5cm C. 4cm D. 3cm

HD: W W W W2 2

d t3 1 kx 1 kA A

x 34 4 2 4 2 2

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± = ±

Câu 4: Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ dao động điều hòa theo phương ngang với tần số góc 10 rad/s. Biết rằng khi động năng và thế năng(mốc ở VTCB) bằng nhau thì vận tốc của vật có độ lớn bằng 0,6m/s. Biên độ dao động của con lắc là

A. 6cm B. 6 2cm C. 12cm D. 12 2cm

HD:

W WW W d t

22 2 2 2 2 2

d t d 2

2

2

1 1 vW 2W kA mv m A mv A

2 2

v v 0,6A 0,06(m) 6(cm)

10

ωω

ωω

== + = → ⇔ = ⇒ = ⇒ = ⇒

= = = = =

Dạng 8: Cho biết cơ năng dao động + Tính biên độ, độ cứng



W

W W2

2

2 2

a k2 2 2 2 2xm

4

kx mv

2 2k ?

k a mv m a mv.

2 2 2k 2

ωω

ω

−= =

= +

⇒ =

→ = + → = +

Câu 1: Một con lắc lò xo mà quả cầu nhỏ có khối lượng 500g dao động điều hòa với cơ năng 10mJ. Khi quả cầu có vận tốc 0,1m/s thì nó có li độ là 3cm . Độ cứng của lò xo là

A. 30N/m B. 40N/m C. 50N/m D. 60N/m

HD: ( )

W

222 2 23

k. 3.10kx mv 0,5.0,110.10 k 50N / m

2 2 2 2

−−= + ⇒ = + ⇒ =

Câu 2: Một con lắc lò xo khối lượng của vật 1kg dao động điều hòa với cơ năng 0,125J. Tại thời điểm vật có tốc độ 0,25m/s thì có gia tốc 26, 25 3 /cm s− . Độ cứng của lò xo là

A. 100N/m B. 200N/m C. 625N/m D. 400N/m

HD: ( )

W

22 2 21. 0,625 3ma mv 1.0,25

0,125 k 625N / m2k 2 2k 2

−= + ⇒ = + ⇒ =

+ Tính pha ban đầu

( )( )

W

A A

2 2

0t 0

0

m A 2WA ?

2 m

v x sin t v sin?

a . Acosa v . Acos t

ωω

ω ω ϕ ω ϕϕ

ω ω ϕω ω ω ϕ=

= ⇒ = =

′= = − + = − → ⇒ = = −′= = − +

Câu 3: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình ( )cosx A t cmω ϕ= + , t đo bằng

giây. Vật có khối lượng 500g, cơ năng của con lắc bằng 0,01J. Lấy mốc thời gian khi vật có vận tốc 0,1m/s và gia tốc là – 1m/s2. Pha ban đầu của dao động là

A. 7

6

π B.

3

π− C.

6

π D.

6

π−

HD:

( )( )

W

A A

2 2

0t 0

0

m A 2WA 0,2m/ s

2 m

v x sin t v sin 0,2sin 0,1

a . Acos .0,2cos 1 6a v . Acos t

ωω

ω ω ϕ ω ϕ ϕ πϕ

ωω ϕ ω ϕωω ω ϕ=

= ⇒ = =

′= = − + = − − = − → ⇒ ⇒ = = − − = −′= = − +



Câu 4: Con lắc lò xo có khối lượng 1kg, dao động điều hòa với cơ năng 125mJ theo phương

trình ( )cosx A t cmω ϕ= + . Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc 25cm/s và giâ tốc 26, 25 3 /m s− . Pha ban đầu của dao động là

A. 6

π− B.

6

π C.

3

π− D.

3

π

HD: ( )

( )

W

A A

2 2 32

0t 0

0

m A 2W 2.125.10A 25.10 0,5

2 m 1

0,5sin 0,25v x sin t v sin

a . Acos 6a v . Acos t .0,5cos 6,25 3

ωω

ϕω ω ϕ ω ϕ πϕ

ωω ϕωω ω ϕ ω ϕ

−−

=

= ⇒ = = = =

′ − == =− + =− − → ⇒ ⇒ = =−′= =− + − =−

Dạng 9: Khoảng thời gian ngắn nhất + Cho khoảng thời gian tìm cơ năng

Cho W2 22 m A

t ? T ?T 2

π ωω∆ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Câu 1: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ 10cm, vật có khối lượng 1kg. Thời

gian ngắn nhất vật đi từ điểm có tọa độ -10cm đến điểm có tọa độ +10cm là 10

sπ

. Cơ năng

dao động của vật là A. 0,5J B. 0,16J C. 0,3J D. 0,36J

HD:

W2 2

T 210rad / s

2 10 T

m A0,5J

2

π πω

ω

= ⇒ = = = =

Câu 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ A dọc theo trục Ox( O là VTCB). Thời gian

ngắn nhất vật đi từ vị trí x = 0 đến vị trí 0,5 3x A= là 6

sπ

. Tại điểm cách VTCB 2cm thì nó

có vận tốc là 4 3 /cm s . Khối lượng của quả cầu là 100g. Năng lượng dao động của nó là A. 0,32mJ B. 0,16mJ C. 0,26mJ D. 0,36mJ

HD: Ta có 1

2

x 0T 2

t T 2rad / sA 3 6 6 Tx2

π ππ ω

=

⇒ ∆ = = ⇒ = ⇒ = ==

( ) ( )W

2222 2 2

2 2 42 2

4 3 0,1.2 0,04v m AA x 2 4cm 3,2.10 J 0,32mJ

2 22

ωω

−= + = + = ⇒ = = = =



Câu 3: Một vật nhỏ khối lượng 1kg dao động điều hòa theo phương ngang. Lúc đầu từ VTCB

người ta kéo vật theo phương ngang 4cm rồi buông nhẹ. Sau thời gian 30

t sπ

= kể từ lúc buông,

vật đi được quãng đường dài 6cm. Cơ năng của vật là

A. 0,16J B. 0,32J C. 0,48J D. 0,54J

HD: A = 4 cm

( )W

222 2

T T T 2T 20rad / s

4 12 30 3 30 10 T

1.20 . 0,04m A0,32J

2 2

π π π πω

ω

+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

⇒ = = =

+ Tìm các thời điểm

- Cách 1: Giải phương trình lượng giác ứng với t 0≥

- Cách 2:+

T×m ®iÓm xuÊt ph¸t vµ ®iÓm ®Õn

+ Nhí thêi gian ®i qua çc ®iÓm ®Æc biÖt

+ =

+ =

+ =

= → =

= → =

= → =

d t

d t

d t

W W Wd t

W W Wd t

W W Wt d

AW W x

2

AW 3W x

2

A 3W 3W x

2

( )( )

=

= ϕ = ω +ϕ

→ > −ω ϕ= −ω ω +ϕ <

0t 0

0

x Acosx Acos t

v 0: vËt ®i theo chiÒu + ( x ®ang t¨ng)v Asinv Asin t

v 0: vËt ®i theo chiÒu ©m( x ®ang gi¶m)

Câu 4: Một vật dao động điều hòa với tần số 2,5Hz. Tại một thời điểm vật có đông năng bằng một nửa cơ năng thì sau thời điểm đó 0,05s động năng của vật A.có thể bằng 0 hoặc bằng cơ năng B.bằng hai lần thế năng C.bằng thế năng D.bằng một nửa thế năng

HD:

= = ⇒ ∆ = = = ⇒ = = = ⇒ = ± → = ± ⇒ =

dsau T/8d t

d

1 TT 0,4s t 0,05s

f 8

x 0 W W1 AW W W x

2 x A W 02

A/2

A / 2

A 3

2

T/12

T/8

T/6

A VTCB



Câu 5: Con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình cosx A tω= . Thời điểm lần thứ 2 thế năng bằng 3 lần động năng là

A. 12

πω

B. 5

6

πω

C. 0, 25π

ω D.

6

πω

HD:

=

= = ⇒ = ⇒ = ±

1

2 2

t d 2

x A

3 kx 3 kA A 3W 3W W x

4 2 4 2 2

=

π π⇒ = = =

ω ω

−− =

π π⇒ = + = = =

ω ω

t d

1

t d

2

A 3- LÇn ®Çu tiªn W 3W lµ lÇn ®i tõ x = A ®Õn x =

21 1 2

t T .12 12 6

A 3 LÇn thø 2 W 3W lµ lÇn ®i tõ x = A ®Õn x =

2T T 5T 5 2 5

t .4 6 12 12 6

Câu 6: Con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình cos6

x A t cmπ

ω = +

, t đo bằng

giây. Thời điểm lần thứ 3 thế năng bằng động năng là

A. 13

12

πω

B. 12

πω

C. 37

12

πω

D. 25

12

πω

HD:

( )

π π = = ⇒ = ⇒ ω + = ⇒ + ω + =

π π π π π π ω + = ⇒ ω + = + π⇒ = + = ⇒ ω ω

2 22

t d

W kx kA 1 1 1W W cos t 1 cos 2 t

2 2 4 6 2 2 3 2

25cos 2 t 0 2 t n.2 t n. ; n 0,1,2,... , lÇn 3 øng víi n = 2 t=

3 3 2 12 3 12

Câu 7: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với tần số 1Hz, biên độ 2cm. Chon gốc thời gian là lúc vật có li độ -1cm và đang chuyển động về VTCB. Thời điểm đầu tiên vật có động năng cực đại ở trong chu kì thứ 2 là

O A 3

2

−A 3

2

T/6 T/6

T/4



A. 7/12s B. 13/12s C. 15/12s D. 10/12s

+ Tìm khoảng thời gian lặp Câu 8: Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50g. Con lắc dao động điều hòa theo một trục cố định nằm ngang với phương trình cosx A tω= . Cứ sau những khoảng thời gian 0,05s thì động năng và thế năng của vật lại bằng nhau. Lấy 2 10π = . Lò xo có độ cứng là

A. 50N/m B. 100N/m C. 25N/m D. 200N/m

HD:

( )

π= ⇒ω= = π

⇒ = ω = π =22

T 2Kho¶ng thêi gian mµ ®éng n¨ng b»ng thÕ n¨ng lµ 0,05(s) 10 (rad / s)

4 T

k m. 0,05. 10 50(N / m)

Câu 9: Một chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục Ox với chu kì T, biên độ A, với O là VTCB. Nếu lúc đầu vật có li độ 0x x A= = ± thì cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu vật lại cách VTCB một khoảng như cũ? Chọn Phương án ĐÚNG

A. T/2 B. T C. T/4 D. T/3

Câu 10: Một chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục Ox, với chu kì T biên độ A, với O là VTCB. Nếu lúc đầu vật có li độ x = x0 (với 0 </ x0 / < A) thì cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu vật lại cách VTCB một khoảng như cũ? Chọn phương án ĐÚNG

A. T/2 B. T C. T/4 D. T/3

Câu 11: Một con lắc lò xo có độ cứng 50N/m dao động điều hòa theo phương ngang. Cứ sau 0,05s thì vật nặng của con lắc lại cách VTCB một khoảng như cũ. Lấy 2 10π = . Khối lượng vật nặng của con lắc bằng

A. 250g B. 100g C. 25g D. 50g

Câu 12: Một vật dao động điều hòa với biên độ 4cm. Cứ sau một khoảng thời gian 1/4 giây thì động năng lại bằng thế năng. Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian 1/6 giây là


HD:

T0,25(s) T 1(s). §Ó ®i ®−îc qu·ng ®−êng lín nhÊt trong thêi gian

4

1 T A A(s) th× vËt ph¶i ®i xung quanh VTCB S= A 4(cm)

6 6 2 2

= ⇒ =

= ⇒ + = =

O -0,5A 0,5A

T/12 T/12

S



Dạng 10: Lực căng dây treo

( )

0 0

max 0

mgmg k.

k

R k A mg kA

= ∆ ⇒ ∆ = = ∆ + = +

ℓ ℓ

ℓ

Để sợi dây luôn căng mà không đứt thì:

Câu 1: Một lò xo có độ cứng k, treo vào một điểm cố định, đầu dưới buộc với một sợi dây và đầu còn lại của sợi dây buộc với vật nhỏ khối lượng m. Kích thích vật m để cho nó dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A tại nơi có gia tốc trọng trường g. Sợi dây chỉ chịu được lực kéo tối đa bằng 1,2 lần trọng lượng của vật m. Chọn hệ thức ĐÚNG

A. 0mg

Ak

< ≤ B. 0 0, 2mg

Ak

< ≤ C. 0,2mg mg

Ak k

≤ ≤ D. 1, 2

0mg

Ak

< ≤

HD:

( )

0 0 day lu«n c ng kh«ng ®øt 0

max 0 max

mg mgmg k. A mg

k 0 A 0,2kk

R k A mg kA R mg kA 1,2mg

= ∆ ⇒∆ = ≤∆ = → ⇒ < ≤

= ∆ + = + = + ≤

ℓ ℓ ℓ

ℓ

Câu 2: Một lò xo có độ cứng k, treo vào một điểm cố định, đầu dưới buộc với một sợi dây và đầu còn lại của sợi dây buộc với vật nhỏ khối lượng m. Kích thích vật m để cho nó dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A tại nơi có gia tốc trọng trường g. Trong quá trình dao động lực căng lớn nhất của sợi dây là

A. Mg + kA B. Mg – kA C. Mg + 2kA D. kA – mg

HD:

( )

0 0

max 0

mgmg k.

k

R k A mg kA

= ∆ ⇒ ∆ = = ∆ + = +

ℓ ℓ

ℓ

Câu 3: Một vật nhỏ khối lượng m = 200g treo vào sợi dây AB không giãn và treo vào một lò xo. Chọn gốc tọa độ ở VTCB, chiều dương hướng xuống. Vật m dao động điều hòa với trình

cos10 ( )x A t cm= . Lấy g = 10m/s2. Biết dây AB chỉ chịu được lực kéo tối đa là 3N thì biên độ A phải thỏa mãn điều kiện nào để dây AB luôn căng mà không đứt?

A. 0 5A cm< ≤ B. 0 10A cm< ≤ C. 5 10cm A cm≤ ≤ D. 0 8A cm< ≤

x

O m

k

P�

R�

0

max 0

A

R F

≤ ∆

≤

ℓ



( )

0 0 day lu«n c¨ng kh«ng ®øt 0

max 0 max

2 2

mg mgmg k. A

k kR k A mg kA R mg kA 3

3 mg 3 2 1mµ k= m 10 .0,2 20N / m A 0,05(m)

k k 20 20 20

= ∆ ⇒ ∆ = ≤ ∆ = →

= ∆ + = + = + ≤

ω = = ⇒ ≤ − = − = =

ℓ ℓ ℓ

ℓ

Dạng 11: Con lắc lò xo trong điện trường

B1: Tóm tắt đề: Đề cho gì?, hỏi gì? Và đổi các đơn vị sang các đơn vị hợp pháp

B2 : Xác lập mối quan hệ giữa các đại lượng cho và đại lượng tìm thông qua các công thức:

a) Lực điện trường: F=qE .Nếu q>0 thì F cùng chiều với E.

Nếu q<0 thì F ngược chiều với E.

b) Chú ý: Ta phải biết chiều của Lực điện trường liên hệ với trục của lò xo.

B3 :Suy ra biểu thức xác định đại lượng tìm theo các đại lượng cho và các dữ kiện.

B4: Thực hiện tính toán để xác định giá trị đại lượng tìm và lựa chọn câu trả lời đúng

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA:

Câu 1: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nặng tích điện q = 20 µC và lò xo có độ cứng k = 10 N/m. Khi vật đang nằm cân bằng, cách điện, trên mặt bàn nhẵn thì xuất hiện tức thời một điện trường đều trong không gian bao quanh có hướng dọc theo trục lò xo. Sau đó con lắc dao động trên một đoạn thẳng dài 4 cm. Độ lớn cường độ điện trường E là A. 2.104 V/m. B. 2,5.104 V/m. C. 1,5.104 V/m. D.104 V/m. Hướng dẫn giải: Cách 1:Vì chiều dài đoạn thẳng dao động là 4cm. suy ra biên độ A = 2cm. Khi vật m dao động hợp của lực điện trường và lực đàn hồi gây gia tốc a cho vật. Tại vị trí biên, vật có gia tốc max. Khi đó ta có: Fđh - Fđ = m.amax . Tại M lò xo không biến dạng, tại N lò xo dãn 2A nên:

⇔ k.2A - qE = m. 2ω .A = m.m

k.A

⇔ qE = kA. Suy ra E = 104 V/m. Chọn D Cách 2: Vì chiều dài đoạn thẳng dao động là 4cm. suy ra biên độ A = 2cm.

Tại VTCB: q

lkEqElkFF đđh

∆=⇒=∆⇒=

Mà )/(1010.20

10.2.10 46

2

mVElA ==⇒∆= −

−

.Chọn D

Câu 2: Con lắc lò xo dao động theo phương ngang không ma sát có k=100N/m, m=1kg. Khi đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương với tốc độ v0=40 3 cm/s thì xuất hiện điện trường đều



có độ lớn cường độ điện trường là 2.104V/m và E�

cùng chiều dương Ox. Biết điện tích của quả cầu là q=200µC. Tính cơ năng của con lắc sau khi có điện trường. A. 0,32(J) B. 0,032(J) C. 3,2(J) D. 32(J) Hướng dẫn giải: Vị trí cân bằng mới O’ có lực đàn hồi '

dhF�

cân bằng với lực điện trường EF�

.

' | |' | | ' 0,04 4dh E

q EF F k l q E l m cm

k= ⇔ ∆ = ⇒ ∆ = = =

Cách 1: Trong hệ quy chiếu mới có gốc tọa độ O’ là vị trí cân bằng mới, theo dữ kiện lúc đầu:

x’=4cm, v’=v0=40 3 cm/s với 10(r d / )k

a sm

ω = =

Biên độ dao động mới là A’: 2

22

'' ' 8

vA x cm

ω= + =

Cơ năng lúc sau khi có điện trường là: 2 2' 100.0,08

' 0,32( )2 2

kAW J= = = . Chọn A

Cách 2: Theo năng lượng: Năng lượng ban đầu là W0. Khi đi từ O đến O’ thì lực điện trường thực hiện công dương (AE>0) có lực đàn hồi của lò xo thực hiện công âm (Ađh<0) Năng lượng lúc sau là:

2 20

0

. '| | . . '

2 2E dh

mv k lW W A A q E l

∆= + − = + ∆ − =0,32(J). Chọn A

Bài tập tự luyện dạng :

Câu 3: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nặng tích điện q=20µC và lò xo có độ cứng k=10N.m-1. Khi vật đang nằm cân bằng, cách điện, trên mặt bàn ngang nhẵn, thì xuất hiện tức thời một điện trường đều E trong không gian bao quanh có hướng dọc theo trục lò xo. Sau đó con lắc dao động trên một đoạn thẳng dài 8,0cm. Độ lớn cường độ điện trường E là. A. 2,5.104 V.m-1 B. 4,0.104 V.m-1 C. 3,0.104 V.m-1 D. 2,0.104 V.m-1 Câu 4: Con lắc gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m ; vật nặng có khối lượng m = 200g và điện tích q = 100µC. Ban đầu vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm theo phương thẳng đứng . Khi vật đi qua vị trí cân bằng người ta thiết lập một điện trường đều thẳng đứng, hướng lên có cường độ E = 0,12MV/m. Tìm biên dao động lúc sau của vật trong điện trường. A. 7cm B. 18cm C. 12,5cm D. 13cm Câu 5: Một con lắc lò xo được đặt nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 50 N/m và vật nặng khối lượng m = 200 g. Khi vật đang ở vị trí cân bằng thì tác dụng một lực F

�� không đổi dọc

theo trục của lò xo và có độ lớn là 2 N trong khoảng thời gian 0,1 s. Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s2; π 2 = 10. Xác định tốc độ cực đại của vật sau khi lực F

�� ngừng tác dụng?

A. 20π cm/s. B. 20 2π cm/s. C. 25π cm/s. D. 40π cm/s. Hướng dẫn giải: Câu 3. Gọi O và O’ là vị trí cân bằng cũ và mới của con lắc lò xo

O 'O 'x'v�

4−



k.OO’ = qE => OO’ = k

qE

Con lắc dao động quanh O’ với biên độ A = OO’= 4cm

k

qE= A => E =

q

kA =

510.2

04,0.20−

= 4.104 V/m. Chọn B

Câu 4: + Vận tốc ngay trước khi có điện trường là: v0 = ωA = 50 5 (cm/s). + Khi có điện trường hướng lên thì lực điện làm lệch vị trí cân bằng một đoạn cũng là li độ ứng với vân tốc v0.

x = dF qE

k k= = 0,12m = 12cm.

+ Biên độ sau đó là: 2 20A' x v= + = 13cm

Câu 5: Gọi O là vị trí lò xo không bị biến dạng , O1 là vị trí cân băng khi có lực F tác dụng Biên độ dao động khi có lực tác dụng F là A=OO1

Biên độ A được tính: ĐK cân bằng kA=F cmmk

FA 404,0

50

2====→

Chu kì con lắc sk

mT 4,02 == π

Sau 0,1s tương ứng là T/4 vì vật m từ vị trí biên trái O chuyển động sau T/4 sẽ về tới vị trí biên phải O1, vân tốc lức này là v= Aω , tới vị trí này ngừng lực tác dụng thì vị trí cân bằng mới của con lắc là vị trí O. Biên độ dao động mới là:

242)(

'2

22

2

22 ==+=+= A

AA

vxA

ωω

ωcm

Tốc độ cực đại: scmAm

kAv /220''max πω ===

Câu 6: Một vật nặng có khối lượng m, điện tích q = +5.10-5C được gắn vào lò có độ cứng k = 10N/m tạo thành con lắc lò xo nằm ngang. Điện tích của con lắc trong quá trình dao động không thay đổi, bỏ qua mọi ma sát. Kích thích cho con lắc dao động với biên độ 5cm. Tại thời điểm vật nặng qua vị trí cân bằng và có vân tốc hướng ra xa điểm treo lò xo, người ta bật điện trường đều có cường độ E = 104V/m cùng hướng với vận tốc của vật. Khi đó biên độ mới của con lắc lò xo là: A. 10 2 cm. B. 5 2 cm C. 5 cm. D 8,66 cm Giải: Gọi O và O’ là vị trí cân bằng cũ và mới của con lắc lò xo k.OO’ = qE => OO’ = qE/k = 0,05m = 5 cm = A Con lắc mới dao động quanh O’ Năng lượng của con lắc tại O’

W = qEAkA

+2

2

Với qEA là công của lực điện sinh ra khi làm vật m chuyển động từ O đến O’

E

• • O’ A’ O

E

• • O’ A O

O2 O O1



W = 2

'2kA-->

2

'2kA = qEA

kA+

2

2

--> A’2 = A2 + 2qEA/k = 50 => A’ = 5 2 cm .

Chọn đáp án B Câu 7. Con lắc lò xo nằm ngang, gồm lò xo có độ cứng k=100N/m, vật nặng khối lượng 100g, được tích điện q = 2.10-5C (cách điện với lò xo, lò xo không tích điện). Hệ được đặt trong điện trường đều có E

� nằm ngang (E =105V/m) (hv). Bỏ qua mọi ma sát, lấy 2π =10. Ban đầu kéo lò

xo đến vị trí dãn 6cm rồi buông cho nó dao động điều hòa (t = 0). Xác định thời điểm vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng lần thứ 2013?

A. 201,30s. B. 402,46 s. C. 201,27s. D. 402,50s

Giải: Chu kỳ T = 0,2s. Vật m tích điện q>0 dao động ngang trong điện trường chịu thêm dF

��

không đổi giống trường hợp treo thẳng đứng. P/t ĐL II niu tơn cho vật m khi cân

bằng ở VTCB mới O’: dhF��

+ dF��

= 0�

.

Chiếu lên chiều + ta có: -Fđh +Fd = 0

⇔ Fd = Fđh ⇔ qE = kOO’ ⇔ OO’= qE/k = 2.10-5.105/100 = 0,02m = 2cm

Theo g/t ta có OA = 6cm → O’A = 6 – 2 = 4cm

→ Biên độ dao động của vật trên trục O’x là A’ = O’A = 4cm(vì buông v = 0)

Thời điểm vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần thứ nhất là vị trí O(có li độ -2cm) so với O’

là t1 = T/4 + T/12 = T/3 = 2/30s. Thời điểm vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần thứ 2013 là

t2013 = 1006T + T/3 = 1006.0,2 + 2/30 ≈ 201,27s. Chọn C

Câu 8. Một con lắc lò xo gồm quả cầu nhỏ m mang điện tích q = + 5. 10-5 (C) và lò xo có độ cứng k=10N/m, dao động điều hòa với biên độ 5cm trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát. Tại thời điểm quả cầu đi qua vị trí cân bằng và có vận tốc hướng ra xa điểm gắn lò xo với giá nằm ngang, người ta bật một điện trường đều có cường độ E = 104 V/m, cùng hướng với vận tốc của vật. Tỉ số tốc độ dao động cực đại của quả cầu sau khi có điện trường và tốc độ dao động cực đại của quả cầu trước khi có điện trường bằng

A. 2. B. 3 . C. 2. D. 3 Giải: Tốc độ tại vị trí cân bằng cũ là: Av ω= Vị trí cân bằng mới cách VTCB cũ một đoạn:x=qE/k=5.10-5.104/10=5cm

Biên độ mới: 25' 2

22 =+=

ωv

xA cm; Tỉ số cần tính: 2''==

A

A

v

v

Câu 9. Một con lắc lò xo nằm ngang trên mặt bàn nhẵn cách điện gồm vật nặng tích điện q=100µC, lò xo có độ cứng k=100N/m. trong một điện trường đều E có hướng dọc theo trục lò xo theo chiều lò xo giãn Từ VTCB kéo vật một đoạn 6cm rồi thả nhẹ, vật dao động điều hòa,

E�

E�

O O’

A

dhF��

dF��



Tốc độ khi qua VTCN là 1,2 m/s. Độ lớn cường độ điện trường E là 2,5.104 V/m. Thời điểm vật qua vị trí có Fđh = 0,5N lần thứ 2 là.

A. π/10 (s) B. π/30 (s) C.π/20 (s) D. π/5 (s)

Giải: Tại VTCB lò xo giãn 22,5.10 2,5o

qEl m cm

k−∆ = = =

Vậy khi 20,5 0,5.10 0,5dhF N l m cm−= => ∆ = = khi đó vật có li độ là x = -3cm và x = -2cm

Thời điểm ban đầu của vât là t = 0 khi ở VTCB x = A = 6cm nên vật qua VT lò xo giãn lần 2

tại VT x = -3cm. khi đó góc quét là 2π/3 và thời điểm là ( )2

3.20 30t s

ϕ π πω

= = = .

Chọn B Câu 10: Con lắc gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m ; vật nặng có khối lượng m = 200g và điện tích q = 100µC. Ban đầu vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm theo phương thẳng đứng . Khi vật đi qua vị trí cân bằng người ta thiết lập một điện trường đều thẳng đứng , hướng lên có cường độ E = 0,12MV/m. Tìm biên dao động lúc sau của vật trong điện trường. A. 7cm B. 18cm C. 12,5cm D. 13cm Giải: * vận tốc của vat ở VT cân bằng O khi chưa có điện trường :

v0 = wA = 2,0

100.0,05 = 0,5 5 (m/s)

* Khi có điện trường đều thẳng đứng, hướng lên => có thêm lực điện F hướng lên tác dụng vào vật làm VTCB mới của vật dời đến vị trí O’. Taị O’ ta có : Fđh + F = P => k.∆l2 + qE = mg => ∆l2 = mg/k – qE/k = ∆l1 – x0 => x0 = qE/k = 0,12m

* Như vậy khi vật đang ở O vật có vận tốc v0 và li độ x0 nên :

A’2 = x02 +

2

20

ωv

=> A’ = 0,13m ĐÁP ÁN D

Câu 11 : Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật m=100g nối với lò xo có độ cứng k=100N/m,

đầu kia lò xo gắn vào điểm cố định. Từ vị trí cân bằng đẩy vật sao cho lò xo nén 2 3 cm rồi

buông nhẹ. Khi vật đi qua vị trí cân bằng lần đầu tiên thì tác dụng lên vật lực F��

không đổi cùng chiều vận tốc có độ lớn F = 2N. Khi đó vật dao động điều hòa với biên độ A1. Sau thời

gian 1/30s kể từ khi tác dụng lực F��

, ngừng tác dụng lực F��

. Khi đó vật dao động điều hòa với biên độ A2. Biết trong quá trình sau đó lò xo luôn nằm trong giới hạn đàn hồi. Bỏ qua ma sát

giữa vật và sàn. Tỉ số 2

1

A

A bằng

A.7

2 B.2

C. 14 . D. 2 7

Giải:

O’

O

E F Fđh

P

x

∆l1

∆l2

x’ 2 -2 A1 0’

T/6

x -2 3 0 4

0’

Fđh F



* ω = =m

k10π ; T =

5

1s

* Sau khi buông vật, vật qua VTCB với vận tốc

V0 = ωA = 10π.2 3 = 20π 3 cm/s

* tác dụng lên vật lực F��

, VTCB mới của vật là 0’ (là nơi F và Fđh cân bằng) : kx0 = F => x0 = 0,02m = 2cm = 00’

* Với trục toa độ 0x’, gốc tọa độ 0’, vật ở VT 0 có :

=

−=

scmv

cmx

/320

2

0

0

π

+ biên độ A1 : A12 = x0

2 + v02/ω2 = 16 => A1 = 4cm

+ Sau thời gian 1/30s = T/6 => vật tới li độ x’ = A1/2 = 2 cm

và có vận tốc : v12 = ω2(A1

2 - x’2) => v1 = 20π 3 cm/s

* ngừng tác dụng lực F��

, vật lại có VTCB: 0

+ Ngay tại thời điểm 1/30s = T/6 vật có

=

=+=

)/(320

)(422

1

1

scmv

cmx

π

+ biên độ A2 : A22 = x1

2 + v12/ω2 = 28 => A1 = 2 7 cm

Dạng 5: ĐỘ CỨNG LÒ XO THAY ĐỔI Câu 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật dao động điều hòa với biên độ .A Khi vật đi qua vị trí cân bằng người ta giữ chặt lò xo ở vị trí cách điểm treo của lò xo một đoạn bằng

4/3 chiều dài của lò xo lúc đó. Biên độ dao động của vật sau đó bằng A. .2A B. .2A C. .2/A D. .A GIẢI : * Ban đầu : ∆l = mg/k Khi vật ở VTCB chiều dài lò xo là : l0 + ∆l * Khi 1 điểm trên lò xo bị giữ lại : + chiều dài lò xo còn lại khi đó : l’ = l0/4 + ∆l/4 + chiều dài tự nhiên của lò xo còn gắn với vật là : l0’ = l0/4 => k’ = 4k => w’ = 2w + ∆l’ = mg/k’ = ∆l/4 => chiều dài lò xo ở VTCB : lcb = l0’ + ∆l’ = l0/4 + ∆l/4 = l’ => VTCB của con lắc không thay đổi + vận tốc vật khi đó : vmax = wA = w’A’ => A’ = A/2 Câu 2. Một con lắc lò xo có độ cứng k , chiều dài l , một đầu gắn cố định, một đầu gắn vào

vật có khối lượng m.Kích thích cho lò xo dao động điều hòa với biên độ 2

A =ℓ

trên mặt

phẳng ngang không ma sát . Khi lò xo dao động và bị dãn cực đại , tiến hành giữ chặt lò xo tại vị trí cách vật một đoạn l, khi đó tốc độ dao đông cực đại của vật là:

A.k

mℓ . B.

6

k

mℓ . C.

2.

k

mℓ . D.

3.

k

mℓ .

Giải 1: Độ dài tự nhiên của phần lò xo sau khi bị giữ

l’ = 3

2l.

∆l l0/4 + ∆l/4

O

x

l0 Điểm giữ



Độ cứng của phần lò xo sau khi giữ là k’:

k

k ' =

'l

l =

2

3=> k’ =

2

3k

Vị trí cân bằng mới cách điểm giữ lò xo l’, khi đó vật

cách VTCB mới chính là biên độ dao động mới: A’ = l -3

2l =

3

1l

Tốc độ cực đại của vật tính theo công thức: 2

2maxmv

= 2

'' 2Ak

=> vmax = A’m

k '=

3

1l

m

k

2

3 = l

m

k

6. Chọn B

Giải 2: Khi vật ở M lò xo bị giữ tai N,Chiều dài tự nhiên của con lắc mới l’ = 3

2l

Độ cứng của con lắc mới k’ =2

3k

Vị trí cân bằng mới O’ cách N: NO’ = 3

2l

Biên độ của dao động mới A’ = O’M .vì lúc này vận tốc của vật bằng 0

A’ = O’M = MN – O’N = l – 3

2l =

3

l

Gọi v là tốc độ dao động cực đại của vật: 2

92

3

2

''

2

2

22lk

Akmv== => v = l

m

k

6. Chọn B

Câu 3: Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với biên độ A.Khi vật nặng chuyển động qua VTCB thì giữ cố định điểm I trên lò xo cách điểm cố định của lò xo một đoạn b thì sau đó vật tiếp tục dao động điều hòa với biên độ 0,5A 3 .Chiều dài tự nhiên của lò xo lúc đầu là: A..4b/3 B.4b C.2b D.3b Giải: Sau khi giữ cố định điểm M: Con lác mới vẫn dao động

điều hòa quanh O với biên độ A’, độ cứng của lò xo k’

với độ dài tự nhiên l’ = l – b=> k’ = kbl

l

−

2

'' 2Ak =

2

2kA=>

2

'.

2Ak

bl

l

− =

2

2kA=>

2.4

3.

2Ak

bl

l

− =

2

2kA=>

3

4=

− bl

l => l = 4b.

Chọn B

Câu 4: Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với biên độ A.Khi vật nặng chuyển động qua VTCB thì giữ cố định điểm cách điểm cố định một đoạn ¼ chiều dài tự nhiên của lò xo.Vật sẽ tiếp tục dao động với biên độ bằng: A. A/ 2 B. 0,5A 3 C. A/2 D. A 2 Giải: Khi vật ở VTCB

cơ năng của con lắc W = 2

2kA

N

• O

• • • O O’ M

M • O

• O

• • O’ M

• O



Sau khi giữ cố định điểm M: Con lác mới vẫn dao động điều hòa quanh O với biên độ A’, độ cứng của lò xo k’ với độ dài tự nhiên l’ = 3l/4=> k’ = 4k/3

Theo ĐL bảo toàn năng lượng 2

'' 2Ak =

2

2kA=> =

2.3

'4 2kA

2

2kA. => A’ =

2

3A = 0,5 3 . Chọn

B Câu 5. Con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với biên độ A. Đúng lúc lò xo giãn nhiều nhất thì người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo khi đó con lắc dao động với biên độ A’. Tỉ số A’/A bằng: A. 2/2 B. ½ C. 2/3 D. 1 Giải 1. Tại biên dương A vận tốc vận bằng 0. Khi đó giữ cố định điểm chính giữa thì k’=2k. Vật dao động xung quang vị trí cân bằng mới O’ cách biên dương A một đoạn x.

Ta có: x=22

1)(

2

100

AlAl =−+

Khi đó 2'

'2

2 Ax

vxA ==

+=ω

. Phương án B.

bạn có thể hiểu đơn giản như sau : Khi vật ở vị trí biên thì Cơ năng là thế năng của lò xo (cực đại) như vậy khi cố định thì ½ năng lượng đã biến mất.Khi đó Biên độ thay đổi và độ cứng cũng thay đổi

2 21 1 12 . ' .

2 2 2k A kA= Do đó: A’/A = ½

Giải 2. Vật ở M, cách VTCB mới O’ Gọi l0 là độ dài tự nhiên của lò xo. Vị trí cân bằng mới của con lắc lò xo sau khi bị giữ cách điểm giữ

một đoạn 20l . Do đó O’M = A’ =

20 Al +

- 20l =

2

A => A’ =

2

A

Khi lò xo dãn nhiều nhất thì vật ở biên, động năng bằng 0. Nếu giữ chính giữa lò xo thì cơ năng của hệ giảm đi một nửa, đồng thời độ cứng của lò xo tăng gấp đôi nên ta có:

2 21 1 12 . ' .

2 2 2k A kA= Do đó: A’/A = ½

Câu 6. Một con lắc lò xo bố trí nằm ngang. Vật đang dao động điều hoà với chu kì T, biên độ 8cm, khi vật qua vị trí x = 2cm thì người ta giữ cố định một điểm trên lò xo sao cho phần lò xo không tham gia vào sự dao động của vật bằng 2/3 chiều dài lò xo ban đầu. Kể từ thời điểm đó vật sẽ dao động điều hoà với biên độ bằng bao nhiêu ? Giải: Khi vật qua vị trí x = 2 cm vật có động năng

Wđ = 2

2kA-

2

2kx=

2

)( 22 xAk −

Khi đó chiều dài của lò xo l = l0 + 2 =>. VTCB mới của con lắc lò xo là O’cách M

x0 = O’M = 3

1(l0 + 2) -

30l =

3

2(cm) ( l0 độ dài tự nhiên của

lò xo ban đầu) Độ cứng phần lò xo tham gia dao động điều hòa k’ = 3k

• O

• • O’ M

• O

• • O’ M

• O

• • O’ M



Thế năng của con lắc lò xo mới ở M Wt = 2

' 20xk

;

Theo ĐL bảo toàn năng lượng ta có: W = Wđ + Wt hay 2

'' 2Ak=

2

)( 22 xAk − +

2

' 20xk

2

'3 2kA=

2

)( 22 xAk − +

2

3 20kx

=> A’2 = 2.3

)( 22

k

xAk − + 2

0x => A’2 = 6

)( 22 xA − + 2

0x

=> A’2 = 10 + 9

4=

9

94=> A’ =

3

94 = 3,23 (cm)

Câu 7: Con lắc loxo chuyển động nằm ngang. K =40N/m và m=0.4kg. kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 8cm rồi thả nhẹ cho vật dao động diều hòa. Sau khi thả vật thời gian 7π/30s thì đột ngôt giữ điểm chính giữa của loxo lại. Biên độ dao dộng của vật sau khi giữ điểm chính giữa của loxo đó là?

Giải: 10 /5

krad s T s

m

πω = = ⇒ =

Sau 7

30 6

Tt s T

π= = + thì vật có li độ là

2

Ax = tức là lò xo lúc này giãn 4cm và vận tốc của vật là

ax

320 3 /

2mv v cm s= = .Vì lò xo bị giữ ở chính giữa nên độ cứng k’ = 2k = 80N/m

Năng lượng của vật : 2 21 1W ' 0,088

2 2k x mv J= + = .Vậy biên độ mới của

vật:2 22

' 22100

WA m cm

k= = =

Câu 8. Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Đúng lúc con lắc qua vị trí có động năng bằng thế năng và đang giãn thì người ta cố định một điểm chính giữa của lò xo, kết quả làm con lắc dao động điều hòa với biên độ A’. Hãy lập tỉ lệ giữa biên độ A và biên độ A’. Giải 1: Khi Wđ = Wt => Wt = W/2

Ta có: 22

1

2

22 kAkx= => x =

2

2A Khi đó vật ở M, cách VTCB OM =

2

2A

Khi đó vật có vận tốc v0 : m

kAv

kAW

mvđ 222

1

2

220

220 =⇒==

Sau khi bị giữ độ cứng của lò xo k’ = 2k. Vật dao động quanh VTCB mới O’

MO’ = x0 = 4

2

2

1)

2

2(

2

100

Al

Al =−+ với l0 là chiều dài tự nhiên của lò xo

Tần số góc của dao động mới ω’ = m

k

m

k 2'= Biên độ dao động mới A’

A’2 = 2

202

0'ω

vx + =

8

3

4822

8

222

2

2 AAA

m

km

kAA

=+=+ => A’ = 4

6A

Giải 2: Làm tương tự trên: cơ năng chỉ mất đi ¼,còn lại ¾ nên: 2 21 3 12 . ' .

2 4 2k A kA= Do đó A’ =

A 6

4



Giải 3: Vị trí Wđ = Wt 2

2kx=

2

1

2

2kA => x =

2

2A

Khi đó độ dài của lò xo ( vật ở M)

l = l0 + 2

2A l0 là độ dài tự nhiên của lò xo.

Vị trí cân bằng mới O’ cách điểm giữ một đoạn 20l

Tọa độ của điểm M (so với VTCB mới O’) x0 = 2

1( l0 +

2

2A) -

20l =

4

2A

Tại M vật có động năng Wđ = 2

1

2

2kA

Con lắc lò xo mới có độ cứng k’ = 2k.

Ta có 2

'' 2Ak=

2

' 20xk

+ 2

1

2

2kA => A’2 = 2

0x + '2

2

k

kA =

8

2A+

4

2A= 3

8

2AVậy A’ =

4

6A

Câu 9: Một con lắc lò xo có m= 400g ,K = 25 N/m,nằm ngang. Ban đầu kéo vật khỏi vị trí cân bằng 1 đoạn 8cm rồi thả nhẹ.khi vật cách vị trí cân bằng 1 đoạn 4cm thì giữ cố định điểm chính giữa lò xo. Xác định biên độ dao động mới của vật.

Giải: -Nên nhớ Độ cứng tỷ lệ nghịch với chiều dài! Khi giữ cố định điểm chính giữa lò xo thì chiều dài của lò xo giảm một nửa -> độ cứng lò xo tăng lên gấp đôi! K’ =50N/m.

-Tốc độ của vật khi cách vị trí cân bằng 4cm là: ADCT: v2 = ω2( A2 – x2)

-Ban đầu A = 8cm: ω2 = 25/0,4 = 62,5; x = 4cm. Ta có v2 = 3000

Coi rằng lò xo bị giãn đều khi lò xo ban đầu bị giãn 4cm thì một nửa lò xo bị giãn 2cm

( Vì chiều dài lò xo giảm đi một nửa) độ lớn li độ mới của vật là 2cm và tốc độ của vật có giá trị thỏa mãn v2 = 3000.

ω’2 = 50/0,4 = 125: Lại có: A’2 = x’2 + (v2/ ω’2) thay số ta được:

A’2 = 22 + (3000/125) = 4 + 24 = 28 => A’ = 2 7 cm ≈ 5,3cm

Câu 10: Một con lắc lò xo được đặt nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k=40 N/m và vật nặng khối lượng m=400g. Từ vị trí cân bằng kéo vật ra một đoạn 8 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động

điều hoà. Sau khi thả vật s30

7π thì giữ đột ngột điểm chính giữa của lò xo khi đó. Biên độ dao

động của vật sau khi giữ lò xo là A. 2 6 cm B. 2 5 cm C. 2 7 cm D. 4 2 cm Giải 1: Chu kỳ dao động của con lắc:

T = 2πk

m= 0,2π=

5

π (s).

Biên độ ban đầu A=8cm

Khi t = 30

7π= 0,2π +

30

π= T +

6

T vật ở điểm M

• O

• • O’ M



Lúc t=0 vật đang ở vị trí biên (giả sử biên dương, hình vẽ)

Sau st30

7π= vật ở vị trí

2

Ax =

Khi đó chiều dài của lò xo 20

All += với l0 là chiều dài tự nhiên,

lúc này vận tốc vật nặng là

scmxAvAxv

/3404,0

40)48()( 2222222

2

2

=−=−=↔=+ ωω

Năng lượng vật nặng gồm động năng vật năng 2

2

1mvEđ = và thế

năng đàn hồi lò xo 2

2

1kxEt =

Khi giữ điểm chính giữa lò xo lại thì thế năng đàn hồi mất 1 nửa còn lại 2

4

1kxEt =

Vậy cmAAAkmvkx 72''.40.2.2

1)34,0.(4,0.

2

104,0.40.

4

1''

2

1

2

1

4

1 222222 =→=+↔=+

(với k’=2k) Giải 2.

-Chu kì dao động của con lắc:m π

T = 2π = sk 5

-Cơ năng ban đầu của con lắc: 2 21

W = kA = 0,5.40.0,08 = 0,128 J2

Sau thời gian 7

30s

π= 7T/6 thì A

�� quét được

1 góc 0420ϕ∆ = =2π+π/3 , lúc đó vật có li độ x = 4 cm. Giữ điểm chính giữa của lò xo, phần cố định của lò xo có

độ cứng k’ = 2k = 80 N/m, dãn 2 cm và thế năng 2 21W = k'∆l = 0,5.80.0,02 = 0,016J

2∆

-Cơ năng còn lại của hệ là:21

W ' = W - ∆ W = 0 ,0 1 2 J = k 'A '2

A ' = 0 ,0 2 7 m = 2 7 cm⇒

Câu 10b: Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang. Từ vị trí cân bằng người ta kéo vật ra 8cm rồi thả nhẹ khi vật cách vị trí cân bằng 4cm thì người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo Tính biên độ dao động mới của vật:

A .4 cm B 4cm

C 6,3 cm D 2 cm

Giải 1:

* Tại VT x = 4cm : A2 = x2 + v2/ω2

• M

O’

O 8 x

4 B A

l0



=> v2 = ω2(82 – 42) = 48 k/m * Điểm chính giữa của lò xo bị giữ lại là B : AB = (l0 + 4)/2 = l0/2 + 2

* VTCB mới của con lắc là 0’ : 00’ = AB + B0’ – A0 = AB + l0/2 – l0 = 2 cm ; ω’2 = k’/m = 2k/m * khi đó con lắc có : x’ = 2cm và v2 = 48 k/m => A’2 = x’2

+ v2/ω’2 = 4 + m

km

k

2

48 => A’ = 2 cm Chọn D

Giải 2 : Vận tốc của vật lúc giữ cố định điểm chính giữa của lò xo

2

2mv=

2

2kA -

4

1

2

2kA=

4

3

2

2kA

Khi đó độ dài của lò xo ( vật ở M): l = l0 + 2

A= l0 + 4 (cm) l0 là độ dài tự nhiên của lò xo. Vị trí

cân bằng mới O’ cách điểm giữ một đoạn 20l ; Độ cứng của phần lò còn lại

k’ = 2k

Tọa độ của vật khi đó cách vị trí cân bằng mới: x0 = MO’ = 2

40 +l-

20l = 2cm

Biên độ dao động mới của vật: A’2 = x02 +

2

2

'ωv

= x02 +

'

2

k

mv = x0

2 + k

mv

2

2

x02 +

4

3

2

2A

A’2 = 22 + 8

382 = 28 => A’ = 2 7 (cm). Đáp án D

Câu 11: Cho một con lắc lò xo gồm lò xo có chiều dài tự nhiên l0, và vật nặng dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Khi chiều dài của lo xo là l0 + A/2, người ta giữ chặt lò xo tại trung điểm của lò xo. Biên độ A’ của một con lắc lò xo bây giờ là:

A. A/3. B. 7

2

A. C.

7

4

A. D.

7

8

A.

Giải: Tại vị trí x = A/2 ta có: Wt = W/4; Wđ = 3W/4. Khi một nửa lò xo bị giữ chặt, thế năng của hệ là Wt’ = W/8. Cơ năng lúc sau: W’ = 3W/4 + W/8 = 7W/8.

21

k’A’2 = 87

.21

kA2. vì: k’ = 2k nên: A’ = 7

4

A. Chọn C.

Bài 3: CON LẮC ĐƠN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phương trình dao động : (khi α ≤ 100): s = S0cos(ωt + ϕ) hoặc α = α0cos(ωt + ϕ) với s = αl, S0 = α0l

⇒ v = s’ = -ωS0sin(ωt + ϕ) = -ωlα0sin(ωt + ϕ) ⇒ a = v’ = -ω2S0cos(ωt + ϕ) = -ω2lα0cos(ωt + ϕ) = -ω2s = -ω2αl Lưu ý: S0 đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x 2. Chu kỳ và tần số của con lắc đơn

• O

• • O’ M



g

lω = ; chu kỳ:

22

lT

g

ππ

ω= = ; tần số:

1 1

2 2

gf

T l

ωπ π

= = =

Trong đó: s= ℓα : là hệ thức liên hệ giữa độ dài cung và bán kính cung. 3. Hệ thức độc lập: * a = -ω2s = -ω2αl Trong đó: là hệ thức liên hệ giữa độ dài cung và bán kính cung.

* 2 2 20 ( )

vS s

ω= + Với S0 là biên độ cung như là biên độ A

* 2 2

2 2 20 2 2

v v

l glα α α

ω= + = +

4. Năng lượng của con lắc đơn: 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

1 1 1 1W

2 2 2 2ω α ω α= = = =

mgm S S mgl m l

l

+ Động năng : Wđ = 2

1mv2. + Thế năng: Wt = mgl(1 - cosα) =

2

1mglα2 (α ≤ 100, α (rad)).

+ Cơ năng: W = Wt + Wđ = mgl(1 - cosα0) = 2

1mglα 2

0 .

Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát. 5. Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l1 có chu kỳ T1, con lắc đơn chiều dài l2 có chu kỳ T2, thì:

+Con lắc đơn chiều dài l1 + l2 có chu kỳ là: 2 2 21 2T T T= +

+Con lắc đơn chiều dài l1 - l2 (l1>l2) có chu kỳ là: 2 2 21 2T T T= −

6. Khi con lắc đơn dao động với α0 bất kỳ. a/ Cơ năng: W = mgl(1-cosα0).

b/Vận tốc : 02 ( os os )v gl c cα α= −

c/Lực căng của sợi dây: T = mg(3cosα – 2cosα0) Lưu ý: - Các công thức này áp dụng đúng cho cả khi α0 có giá trị lớn - Khi con lắc đơn dao động điều hoà (α0 << 1rad) thì:

2 2 2 20 0

1W= ; ( )

2mgl v glα α α= − (đã có ở trên)

2 20

3(1 )

2CT m g α α= + −

* Nhận xét: -Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng (α = 0) thì khi đó cả tốc độ và lực căng dây đều đạt giá trị lớn nhất:

max 02 (1 os )v gl c α= −

Tmax = mg(3 – 2cosα0) -Khi con lắc đi qua vị trí biên (α = α0) thì khi đó cả tốc độ và lực căng dây đều đạt giá trị nhỏ nhất:

min 0 02 ( os os ) 0v gl c cα α= − =

Tmin = mg(3cosα0 – 2cosα0) = mgcosα0



7. Con lắc đơn có chu kỳ đúng T ở độ cao h1, nhiệt độ t1. Khi đưa tới độ cao h2, nhiệt độ t2 thì ta có:

2

T h t

T R

α∆ ∆ ∆= +

Với R = 6400km là bán kính Trái Đât, còn α là hệ số nở dài của thanh con lắc. 8. Con lắc đơn có chu kỳ đúng T ở độ sâu d1, nhiệt độ t1. Khi đưa tới độ sâu d2, nhiệt độ t2 thì ta có:

2 2

T d t

T R

α∆ ∆ ∆= +

Lưu ý: * Nếu ∆T > 0 thì đồng hồ chạy chậm (đồng hồ đếm giây sử dụng con lắc đơn) * Nếu ∆T < 0 thì đồng hồ chạy nhanh * Nếu ∆T = 0 thì đồng hồ chạy đúng

* Thời gian chạy sai mỗi ngày (24h = 86400s): 86400( )T

sT

∆θ =

II.CÁC DẠNG BÀI TẬP CON LẮC ĐƠN Dạng 1:Chu kì con lắc đơn

11 1 2

11 2 1 2

22

2

tT 2 t ; t : thêi gian dao ®éng

g n víi: n ;n : sè lÇn dao ®éng trong thêi gian t ; t

t: ®é biÕn thiªn chiÒu dµi T 2

g n

∆= π = ∆ ∆

∆ ∆

∆+ ∆ ∆= π =

ℓ

ℓ ℓℓ

Câu 1: Khi chiều dài dây treo tăng thêm 20% thì chu kì con lăc đơn thay đổi A. giảm 9,54% B. tăng 20% C. tăng 9,54% D. giảm 20%

HD: 2

1

0,22

gT1,2 1,0954 1 0,0954 100% 9,54%

T2

g

+π

= = = = + = +

π

ℓ ℓ

ℓ

Câu 2: Một con lắc đơn trong khoảng thời gian t∆ nó thực hiện 40 dao động. Khi tăng độ dài của nó 7,9cm thì trong cùng một khoảng thời gian như trên con lắc thực hiện 39 dao động. Độ dài ban đầu của con lắc là A. 1,521m B. 1,523 m C. 1,583 m D. 1,424 m

HD:

1

2

tT 2

g 40 0,079 391,521(m)

400,097 tT 2

g 39

∆= π =

+⇒ = ⇒ =

+ ∆ = π =

ℓ

ℓℓ

ℓℓ



Câu 3: Một con lắc đơn, trong khoảng thời gian t∆ = 10 phút nó thực hiện được 299 dao động. Khi giảm độ dài của nó bớt 40cm, trong cùng khoảng thời gian t∆ như trên con lắc thực hiện 386 dao động. Gia tốc rơi tự do tại nơi thí nghiệm là A. 9,80m/s2 B. 9,81m/s2 C. 9,82m/s2 D. 9,83m/s2

HD:

( )

1

2

2 2 2 2 22

2 2 21

tT 2

g 299 0, 4 2991(m )

3860, 4 tT 2

g 386

4 4 .299 4 .1.299g 9,80(m / s )

T t 10.60

∆= π =

−⇒ = ⇒ =

− ∆ = π =

π π π⇒ = = = =

∆

ℓ

ℓℓ

ℓℓ

ℓ ℓ

+ Công thức độc lập với thời gian

max22 2

2

2

A .v

A x ; x s .

g

= α

= + = = αω

ω =

ℓ

ℓ

ℓ

Câu 4: Một con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài 20cm treo tại một điểm cố định. Kéo con lắc khỏi phương thẳng đứng một góc bằng 0,1 rad về phía bên phải rồi truyền cho con lắc một tốc độ scm /314 theo phương vuông góc với dây. Coi con lắc dao động điều hòa. Cho gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2. Biên độ dài của con lắc là A. 3,2cm B. 2,8cm C. 4cm D. 6cm

HD:

( )

( )( )

( )( )

2 2 222 2 2 2

2 2 2

2 2

2 22 2 20 0

v v v g 9,8A x s . víi 49rad/ s

0,2

14 3 14 3A . 20.0,1 A S 4 12 16 A S 4(cm)

49 49

= + = + = α + ω = = =ω ω ω

⇒ = α + = + ⇒ = = + = ⇒ = =

ℓℓ

ℓ

Câu 5: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 0,1rad ở một nơi có gia tốc trọng trường 9,8m/s2. Khi vật đi qua li độ dài cm34 nó có tốc độ 14cm/s. Chiều dài của con lắc đơn là A. 0,8 m B. 0,2 m C. 0,4 m D. 1 m

HD: ( ) ( ) ( )2 2 222 22 2 2

max2

v .v .0,14A s . s .0,1 0,04 3 0,8(m)

g 9,8= + ⇔ α = + ⇔ = + ⇒ =

ω

ℓ ℓℓ ℓ ℓ

Câu 6: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 0,1rad ở một nơi có gia tốc trọng trường 10m/s2. Vào thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có li độ dài 8cm và có vận tốc bằng

scm /320 . Tốc độ cực đại của vật dao động là A. 0,8m/s B. 0,2m/s C. 0,4m/s D. 1m/s



HD:

( ) ( )( )

( )

222 2

22 2 22 2max

2

22 2 2 2max max max max max max

vA s . 0,2 3.v

. s .0,1 0,08 1,6(m)g 10g

gv .A v A . . g. . v g 10.1,6.0,1 0,4(m/s)

= + ω ⇒ α = + ⇒ = + ⇒ =

ω =

=ω ⇒ = ω = α = α ⇒ = α = =

ℓℓℓ ℓ ℓ

ℓ

ℓ ℓ ℓℓ

+ Lực kéo về

2ph 2

x s .

F m. .x; g

= = α

= ω ω =

ℓ

ℓ

Câu 7: Một con lắc đơn gồm quả cầu có khối lượng 100g, tại nơi có gia tốc trọng trường 10m/s2. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 0,1rad rồi thả nhẹ. Khi vật ở li độ bằng ¼ biên độ thì lực kéo về có độ lớn là A. 1 N B. 0,1 N C. 0,025N D. 0,05 N

HD: ( )2

x s2ph phg

g 0,1F m. .x F m. . . mg 0,1.10. 0,025 N

4= = α

ω == ω → = α = α = =ℓ

ℓ

ℓℓ

Câu 8: Một con lắc đơn gồm quả cầu có khối lượng 100g, tại nơi có gia tốc trọng trường 10m/s2. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 0,1rad rồi thả nhẹ. Khi vật ở li độ bằng ½ biên độ thì lực kéo về có độ lớn là A. 1 N B. 0,1 N C. 0,5N D. 0,05 N

HD: ( )2

x s2ph phg

g 0,1F m. .x F m. . . mg 0,1.10. 0,05 N

2= = α

ω == ω → = α = α = =ℓ

ℓ

ℓℓ

Dạng 2: Biên độ dao động của con lắc đơn sau khi thay đổi chiều dài Nếu thay đổi chiều dài ở VTCB thì W’ = W

2 2 22max

2 2 22

max

m A mgA mgW

2 2 2

m .A mg.A mgW .

2 2 2

ω= = = α

′ ′ ′ ′ω ′ ′= = = α

′

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

Câu 1: Một con lăc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc maxα . Khi nó đi qua VTCB thì điểm chính giữa của sợi dây được giữ lại và sau đó nó tiếp tục dao động điều hòa. Biên độ góc dao động sau đó là

A. max5,0 α B. 2maxα C. 2

maxα D. 3maxα

Hướng dẫn

22 2 2max

max max maxmax max2 2 2

2 max max maxmax

mg.W / 2 12 . 1 . 1 1 2

mgW 2.2

′′α′ ′ ′ ′ ′α α α

′= = = ⇒ = ⇒ = ⇒ α = αα α αα

ℓℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ



Câu 2: Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ dài A. Khi nó đi qua VTCB thì điểm I của sợi dây được giữ lại và sau đó nó tiếp tục dao động điều hòa với chiều dài sợi dây chỉ bằng ¼ lúc đầu. Biên độ dài dao động sau đó là

A. 0,5A B. 2A C. 2

A D. 0,25A

Hướng dẫn 2

2 2 2maxmax max max

max max2 2 22 max max maxmax

mg.W / 4 12 . 1 . 1 1 2

mgW 4.2

A A A A 4A A2. 2. 2. 4A 2A A 0,5A

/ 4

′′α′ ′ ′ ′ ′α α α ′= = = ⇒ = ⇒ = ⇒ α = α

α α αα

′ ′ ′′ ′⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇒ = ⇒ =

′

ℓℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ

Dạng 3: Cơ năng dao động con lắc đơn 2 2 2 2 2

2 2maxmax

m A mgA mg mv mg mvW .

2 2 2 2 2 2

ω= = = α = = α +

ℓ ℓ

ℓ

Câu 1: Một con lắc đơn gồm quả cầu có khối lượng 400g và sợi dây treo không giãn có trọng lượng không đáng kể, chiều dài 0,1m được treo thẳng đứng ở điểm A. Biết con lắc đơn dao động điều hòa, tại vị trí có li độ góc 0,075rad thì có vận tốc sm /3075,0 . Cho gia tốc trọng trường 10m/s2. Cơ năng dao động là A. 4,7 mJ B. 4,4mJ C. 4,5 mJ D. 4,8 mJ Hướng dẫn

( )22

2 2 30,4 0,075 3mg mv 0,4.10.0,1

W .0,075 4,5.10 (J)2 2 2 2

−= α + = + =ℓ

Câu 2: Một con lắc đơn có khối lượng 5kg và độ dài 1m, dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng trường 10m/s2, với li độ góc cực đại 0,175rad. Cơ năng của con lắc là A. 3,00J B. 2,14 J C. 1,16 J D. 0,765 J Hướng dẫn

2 2 22 2max

m A mgA mg 5.10.1W .0,175 0,765(J)

2 2 2 2

ω= = = α = =

ℓ

ℓ

Cho năng tìm biên độ góc Câu 3: Một con lắc đơn có khối lượng 2kg và có độ dài 4m, dao động điều hòa ở nơi có gia tốc trọng trường 9,8m/s2. Cơ năng dao động của con lắc là 0,2205 J. Biên độ góc của con lắc bằng A. 0,75rad B. 4,30 C. 0,3rad D. 0,0750 Hướng dẫn

2 0max max

mg 2W 2.0,2205W 0,075rad 4,3

2 mg 2.9,8.4= α ⇒ α = = = =

ℓ

ℓ

Câu 4: Một con lắc đơn có khối lượng 2,5kg và có độ dài 1,6m, dao động điều hòa ở nơi có gia tốc trọng trường 9,8m/s2. Cơ năng dao động của con lắc là 196mJ. Li độ góc cực đại của dao động có giá trị bằng A. 0,01 rad B. 5,70 C. 0,57 rad D. 7,50 Hướng dẫn



32 0max max

mg 2W 2.196.10W 0,1rad 5,7

2 mg 2,5.9,8.1,6

−

= α ⇒ α = = = =ℓ

ℓ

Động năng và thế năng

( )

2

d2

d nhá 2t

t 2 2 22 max

d t max

2

d

t d

2t

d t

mvW

2mv

W mgW2

2W mgh mg 1 cos

m A mg mvW W W

2 2 2

mvW

Cho v 2W W W

mgW

Cho 2W W W

α

=

=

→ = α = = − α ω

+ = = = α =

= ⇒

= − ⇒

= α α ⇒ = −

ℓ

ℓℓ

ℓ

Câu 5: Một con lắc đơn gồm một viên bi nhỏ khối lượng 100g được treo ở đầu một sợi dây dài 1,57m tại địa điểm có gia tốc trọng trường 9,81m/s2. Kéo con lắc lệch khỏi VTCB một góc 0,1 rad rồi thả cho nó dao động điều hòa không vận tốc đầu. Tính động năng của viên bi khi góc lệch của nó là 0,05rad A. 0,00195 J B. 0,00585 J C. 0,00591 J D. 0,00577 J Hướng dẫn

( )

2 2 3max

2 2 3t

3 3d t

mg 0,1.9,81.1,57W .0,1 7,7.10 (J)

2 2mg 0,1.9,81.1,57

W .0,05 1,92.10 (J)2 2

W W W 7,7 1,92 .10 5,77.10 (J) 0,00577(J)

−

−

− −

= α = = = α = =

⇒ = − = − = =

ℓ

ℓ

Câu 6: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc là 60. Với góc lệch bằng bao nhiêu thì động năng của con lắc gấp 2 lần thề năng? A. 045,3± B. 048,3± C. 046,3± D. 025,3± Hướng dẫn

2 20max max

d t t

2W W mg 1 mgW 2W W . 3,46

3 3 2 3 2 3

α α α= = ⇒ = ⇒ = ⇒ α = ± ⇒ α = ±

Chuyển động nhanh dần hoặc chậm dần theo chiều âm (dương) Câu 7: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc

maxα nhỏ. Lấy mốc thế năng ở VTCB. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có động năng bằng thế năng thì li độ góc của con lắc lúc này là A. 3/maxα− B. 2/maxα C. 2/maxα− D. 3/maxα

Hướng dẫn



max maxt d

ChuyÓn ®éng nhanh dÇn theo chiÒu d−¬ng(®i theo chiÒu d−¬ng vÒ VTCB) <0

1W W W

2 2 2

⇒ α

α −α= = ⇒ α = ± ⇒ α =

Câu 8: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc

maxα nhỏ. Lấy mốc thế năng ở VTCB. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng thì li độ góc của con lắc lúc này là

A. 2

maxα− B.

2maxα

C. 2maxα−

D. 2maxα

Hướng dẫn

2 2 22max max max max

d t t

§i theo chiÒu d−¬ng vÒ vÞ trÝ c©n b»ng: <0

W mg 1 mgW 3W W

4 2 4 2 4 2 2

α α α α α −α

= ⇒ = ⇒ = ⇒ α = ⇒ α = ± ⇒ α =

C

âu 9: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc

maxα nhỏ. Lấy mốc thế năng ở VTCB. Khi con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương đến vị trí có động năng bằng 1/3 thế năng thì li độ góc của con lắc lúc này là

A. 2

maxα− B. 35,0 maxα C. 35,0 maxα− D.

2maxα

Hướng dẫn

d t t max max

ChuyÓn ®éng chËm dÇn theo chiÒu d−¬ng(®i theo chiÒu d−¬ng xa VTCB) >0

1 3W W W W 0,5 3 0,5 3

3 4

⇒ α

= ⇒ = ⇒ α = ± α ⇒ α = α

Dạng 4: Vận tốc của vật và lực căng sợi dây

( )( )

( )

( )( )max

22m

m

2

A M max

max max

2max , nhá 2 2

mcos 1 ;cos 1

2 2max

2

ht

h 1 cos mv. Tõ §LBT c¬ n¨ng: W W mgh mgh

2h 1 cos

v 2g cos cosv g

v 2g cos cos

mv mLùc c ng R: R-mgcos F 2g cos

α α

ααα≈ − α ≈ −

= − α= ⇔ = +

= − α

= α− α⇒ → = α −α

= α− α

α= = =

ℓ

ℓ

ℓℓ

ℓ

ℓℓ ℓ

( ) ( )max maxcos R mg 3cos 2cosα− α ⇒ = α− α

+ Vận tốc: ( )max

2 coscos2 αα −= glv Câu 1: Một con lắc đơn có dây treo dài 20cm dao động điều hòa với biên độ góc 0,1rad, tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8m/s2. Khi góc lệch của dây treo là 0,05rad thì vận tốc của quả cầu là A. sm /12,0± B. 0,2 m/s C. sm /38,0± D. 0,12m/s



Hướng dẫn

( )

( )

max

2 2

v 2g cos cos

1 2.9,8.0,2 0,05 0,1 . 0,12(m / s)

2

= ± α − α

= ± − + ±

ℓ

≃

Câu 2: Kéo con lắc đơn ra khỏi VTCB góc 600 so với phương thẳng đứng tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8m/s2 rồi thả nhẹ thì tốc độ của vật nặng khi qua VTCB là 2,8m/s. Độ dài dây treo con lắc là A. 80cm B. 100cm C. 1,2m D. 0,5m Hướng dẫn

( ) ( )( )

0max max maxVTCB

2

v 2g cos cos v 2g 1 cos 2,8

2.9,8. 1 cos60 2,8 0,8(m) 80(cm)

α== ± α − α → = − α =

⇒ − = ⇒ = =

ℓ ℓ

ℓ ℓ

+ Lực căng dây: ( )maxcos2cos3 αα −= mgR Câu 3: Một con lắc đơn gồm quả cầu có khối lượng 300g và sợi dây treo dài 0,8m tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8m/s2. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ góc 90. Xác định lực căng dây treo khi vật có li độ góc 50 A. 2,96 N B. 2,97 N C. 2,98 N D. 2,99N Hướng dẫn

( ) 0max max

2

2 2max max2

maxmax

0

2 2

0

R mg 3cos 2cos ; Khi ; 10 th×

cos 132 R mg 1 víi ; : rad2

cos 12

5 5. rad 0,087rad3180 R 0,3.9,8 1 0,157 .0,087 2,982

9 9. rad 0,157rad180

= α − α α α ≤

αα ≈ −

⇒ = + α − α α α α α ≈ −

π = = ⇒ ⇒ = + − = π = =

(N)

Câu 4: Một con lắc đơn gồm quả cầu có khối lượng 300g và sợi dây treo dài 0,8m tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8m/s2. Kéo con lắc ra khỏi VTCB một góc 600 rồi thả nhẹ. Lực căng dây khi vật qua VTCB là A. 5,88 N B. 2 N C. 2000 N D. 1000N Hướng dẫn

( ) ( )

( )

0max max maxVTCB

max

R mg 3cos 2cos R mg 3 2cos

1R 0,3.9,8 3 2.cos60 0,3.9,8 3 2. 5,88(N)

2

α== α − α → = − α

= − = − =

A

O

M

maxα α

ℓ R

hmax

h

P�

nP�

tP�

C



+ Tỉ số lực căng và trọng lực: ( )maxcos2cos3 αα −=mg

R

Câu 5: Một con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình ts 7cos22= cm, t đo bằng giây, tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8m/s2. Tỉ số giữa lực căng dây treo và trọng lực tác dụng lên quả cầu ở vị trí thấp nhất là A. 1,05 B. 0,95 C. 0,99 D. 1,02 Hướng dẫn

( )

2

20 0 0

0VTCB

max

A A 0,02 2.490,14 R

g 9,8 3cos0 2cos 3 2 1 1,02mg 2

R mg 3cos 2cos

α=

ωα = = = = α

→ = − α = − − = = α − α

ℓ

Câu 6: Một con lắc đơn dao động không ma sát tại nơi nhất định. Tỉ số giữa lực căng dây cực đại và cực tiểu là 1,05. Li độ góc cực đại là A. 10,40 B. 9,80 C. 300 D. 5,20 Hướng dẫn

( )( )

max

0max maxVTCB

max

min maxvÞ trÝ biªn

0max maxmax max max

min max

R mg 3 2cosR mg 3cos 2cos

R mg.cos

R 3 2cos1,05 3 2cos 1,05.cos 10,4

R cos

α=

α=α

→ = − α= α − α ⇒

→ = α

− α= = ⇒ − α = α ⇒ α =

α

+ Cho lực căng, tìm vận tốc

( )

( )

2 2max 0 m

max max

max

R mg 3cos 2cos cos ?; Khi ; 10 cos 1 ,cos 1

2 2v 2g cos cos ?

= α − α ⇒ α = α αα α ≤ ⇒ α ≈ − α ≈ −

= α − α = ℓ

Câu 7: Một con lắc đơn có dây treo dài 0,4m và khối lượng vật nặng là 200g. Lấy g = 10m/s2, bỏ qua ma sát. Kéo con lắc để dây treo lệch góc 600 so với phương thẳng đứng rồi buông nhẹ. Lực căng dây treo bằng 4N thì tốc độ của vật là A. sm /2 B. sm /22 C. 5m/s D. 2m/s Hướng dẫn

( ) ( )( )

0max

0max

R mg 3cos 2cos 0,2.10. 3cos 2cos60 4

cos 1 v v 2g 1 cos60 2m / s

= α − α = α − =

⇒ α = ⇒ = = − =ℓ

Câu 8: Con lắc đơn dao động điều hòa không ma sát, vật dao động nặng 100g. Cho gia tốc trọng trường bằng 10m/s2. Khi vật dao động qua VTCB thì lực tổng hợp tác dụng lên vật có độ lớn 1,4N. Li độ góc cực đại của con lắc là A. 0,64rad B. 36,86 rad C. 1,27 rad D. 72,54 rad Hướng dẫn

( )( )

( )max max

hl cb max

maxcb max

R mg 3cos 2cos cos 0,3F R mg 2mg 1 cos 1,4(N)

1,27(rad)R mg 3 2cos

= α− α α =⇒ = − = − α = ⇒

⇒α == − α

Câu 9: Con lắc đơn dao động không ma sát, sợi dây dài 30m, vật dao động nặng 100g. Cho gia tốc trọng trường bằng 10m/s2. Khi vật dao động qua VTCB thì lực tổng hợp tác dụng lên vật có độ lớn 1N. Tính tốc độ của vật dao động khi lực căng dây có độ lớn gấp đôi độ lớn cực tiểu của nó?



A. 0,5m/s B. 1m/s C. 1,4m/s D. 2m/s Hướng dẫn

( )( )

( )

( )

( )

max

hl cb max max

cb max

min max max

min max max

max

R mg 3cos 2cos 1F R mg 2mg 1 cos 1(N) cos

2R mg 3 2cos

R mgcos khi = (vÞ trÝ biªn).

2R=2R mg 3cos 2cos 2mgcos cos

3

2 1v 2g cos cos 2.10.0,3

3 2

= α− α⇒ = − = − α = ⇒ α =

= − α

= α α α

⇔ α− α = α ⇒ α =

= α − α = −

ℓ 1(m / s)=

Dạng 5: Va chạm con lắc đơn Tốc độ dao động cực đại: W = Wđmax = Wtmax

( ) ( )2max

max max max

mvmg 1 cos v 2g 1 cos

2⇒ = − α ⇒ = − αℓ ℓ

Bài toán va chạm: Vật m chuyển động với vận tốc 0v�

đến va chạm với vật M đang đứng yên.

1. VA CHẠM MỀM: sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng chuyển động với vận tốc V:

( ) 00

mvmv m M V V

m M= + ⇒ =

+

a. Con lắc li độ góc lớn va chạm mềm với vật Ta có: mv0 = ( m + M )V

( )

( )0 max

0 max

0 maxmax

v 2g 1 cosmv V m 1 cosV ;

m M v m M 1 cosV 2g 1 cos

= − α ′− α⇒ = ⇒ = =

+ + − α′= − α

ℓ

ℓ

Câu 1: Con lắc đơn gồm một vật nhỏ dao động có khối lượng m, dao động với biên độ góc

maxα . Khi vật dao động đi qua VTCB nó va chạm với vật nhỏ có khối lượng 3kg đang nằm yên

ở đó. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao động với biên độ góc ,maxα . Nếu

2,0cos max =α và 8,0cos ,max =α thì giá trị của m là

A. 0,3kg B. 9kg C. 1kg D. 3kg Hướng dẫn mv0 = ( m + M )V

( )

( )0 max0 max

0 maxmax



m 1 0,8m 3(kg)

m M 1 0,2

= − α ′− α⇒ = ⇒ = =

+ + − α′= − α

−⇒ = ⇒ =

+ −

ℓ

ℓ

m M 0v�

Đứng yên

m M

maxα



Câu 2: Một con lắc đơn gồm vật nhỏ dao động có khối lượng 1kg, dao động với biên độ góc 600. Khi vật dao động đi qua VTCB nó va chạm với vật nhỏ có khối lượng M đang nằm yên ở đó. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao động với biên độ góc 450. Giá trị của M là A. 0,3kg B. 1,5kg C. 1kg D.1,2kg Hướng dẫn mv0 = ( m + M )V

( )

( )

( ) ( )

0 max0 max

0 maxmax

20

0

2



21m 1 cos45 m2 2 2 2 2

1m M 1 cos60 m M12

1 1 M 2 2 M 0,3(kg)

= − α ′− α⇒ = ⇒ = =

+ + − α′= − α

−− ⇒ = = = − ⇔ = − + − + −

⇔ = + − ⇔ =

ℓ

ℓ

+ Con lắc dao động điều hòa va chạm mềm với vật

( )

( )

000

0

20 2

20

v Amv A V mmv m M V V

m M A v m MV A

mv c¬ n¨ng tr−íc va ch¹m: W =

W m M V m2

W m v m Mm M V c¬ n¨ng sau va ch¹m: W =

2

= ω ′= + ⇒ = ⇒ = =

′+ += ω

′ +⇒ = = ++ ′

Câu 3: Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật dao động đi qua VTCB nó va chạm với vật nhỏ có khối lượng bằng nó đang nằm yên ở đó. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao động điều hòa với biên độ dài A’. Chọn kết quả ĐÚNG

A. 2' AA = B. 2

'AA = C. A’ = 2A D. A’ = 0,5.A

Hướng dẫn

( ) 000

0

v .Amv A V mmv m M V V ;

m M A v m MV .A

A m m 1mµ: m = M nªn: 2A A A 0,5A

A m m 2m 2

= ω ′= + ⇒ = ⇒ = =

′+ += ω

′′ ′= = = ⇒ = ⇒ =

+

Câu 4: Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ dài 10cm, vật dao động có khối lượng 20g. Khi vật dao động đi qua VTCB nó va chạm với vật nhỏ có khối lượng M đang nằm yên ở đó. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao động điều hòa với biên độ dài 6,25cm. Khối lượng M là A. 8g B. 12g C. 16g D. 20g Hướng dẫn



( ) 000

0


m M A v m MV .A

6,25 20M 12(g)

10 20 M

= ω ′= + ⇒ = ⇒ = =

′+ += ω

⇒ = ⇒ =+

Câu 5: Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ dài 10cm, vật dao động có khối lượng 20g. Khi vật dao động đi qua VTCB nó va chạm với vật nhỏ có khối lượng M đang nằm yên ở đó. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao động điều hòa với biên độ dài 4cm. Khối lượng M là A. 30g B. 12g C. 16g D. 20g Hướng dẫn

( ) 000

0


m M A v m MV .A

4 20M 30(g)

10 20 M

= ω ′= + ⇒ = ⇒ = =

′+ += ω

⇒ = ⇒ =+

b. Vật va chạm mềm với con lắc đơn

( )

( )

( ) ( )

00

2

d max t max

max

mvmv m M V V

m Mc¬ n¨ng sau va ch¹m:

m M VW W W

2

= m M g 1 cos

= + ⇒ =+

+′ = = =

+ − αℓ

M m

m axα

0v�

Đứng yên



Câu 6: Một viên đạn khối lượng 1kg bay theo phương ngang với tốc độ 10m/s đến găm vào một quả cầu bằng gỗ khối lượng 1kg được treo bằng một sợi dây nhẹ, mềm và không dãn. Kết quả là làm cho sợi dây bị lệch đi một góc tối đa 600 so với phương thẳng đứng. Lấy g = 10m/s2. Chiều dài của dây treo là A. 1,94m B. 10m C. 2,5m D. 6,24m Hướng dẫn

( )

( ) ( ) ( )

( )

00

2

d max t max max

20

mvM m V mv V 5(m / s)

m M

M m VW W M m g 1 cos

2

510 1 cos60 2,5(m)

2

+ = ⇒ = = +

+ = ⇒ = + − α

= − ⇒ =

ℓ

ℓ ℓ

Câu 7: Một viên đạn khối lượng 1kg bay theo phương ngang với tốc độ 100cm/s đến găm vào một quả cầu bằng gỗ khối lượng 1kg được treo bằng một sợi dây nhẹ, mềm và không dãn. Kết quả là làm cho sợi dây bị lệch đi một góc tối đa 90 so với phương thẳng đứng. Lấy g = 10m/s2. Chiều dài của dây treo là A.0,94m B. 1,71m C. 1,015m D. 0,624m Hướng dẫn

( )

( ) ( ) ( )

( )

00

2

d max t max max

2 2 2max

max

mvM m V mv V 50(cm / s) 0,5(m / s)

m M

M m VW W M m g 1 cos

2

0,5 0,510 1 cos 10 1 1 1,015(m)

2 2 2

+ = ⇒ = = = +

+ = ⇒ = + − α

α= − α ⇒ = − − ⇒ =

ℓ

ℓ ℓ ℓ

+ Vật va chạm mềm với con lắc sau đó dao động điều hòa

( ) 00

mvmv m M V V

m MV còng lµ tèc ®é cùc ®¹i cña dao ®éng ®iÒu hßa: V = .A

= + ⇒ =+

ω

Câu 8: Một con lắc đơn gồm vật nhỏ dao động có khối lượng 50g đang đứng yên ở VTCB thì một vật nhỏ có khối lượng bằng nó chuyển động theo phương ngang với tốc độ v0 = 50cm/s đến va chạm mềm với nó. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng chuyển động dao động điều hòa với biên độ dài A và chu kì π s. Giá trị của A là A. 5cm B. 10cm C. 12,5cm D. 7,5cm Hướng dẫn

( ) 0 00

mv vmv m M V V 25(cm / s)

m M 2V còng lµ tèc ®é cùc ®¹i cña dao ®éng ®iÒu hßa:

2 V.TV = .A = A A 12,5(cm)

T 2

= + ⇒ = = = + π ω ⇒ = =

π

Câu 9: Một con lắc đơn gồm vật nhỏ dao động có khối lượng 50g đang đứng yên ở VTCB thì một vật nhỏ có khối lượng gấp đôi nó chuyển động theo phương ngang với tốc độ v0 đến va



chạm mềm với nó. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng chuyển động dao động điều hòa với biên độ dài 2,5cm và chu kì π s. Giá trị của v0 là A. 5cm/s B. 10cm/s C. 12cm/s D. 15cm/s Hướng dẫn

( ) 0 00

00

mv vmv m M V V

m M 3V còng lµ tèc ®é cùc ®¹i cña dao ®éng ®iÒu hßa:

2 2 vV = .A = A .2,5 5(cm / s) V v V.3 5.3 15cm / s

T 3

= + ⇒ = = + π π ω = = ⇒ = ⇒ = = =

π

2. Va chạm đàn hồi xuyên tâm a. Con lắc va chạm đàn hồi xuyên tâm với vật

( )

( )

20

m ax 0

0

2 2 20 cb

0

cb 0

c¬ n¨ng cña con l¾c tr−íc va ch¹m:

mvW m g 1 cos v ?

2§ inh luËt b¶o toµn ®éng l−îng vµ c¬ n¨ng:

mv m M V

0, 5m v 0, 5mv 0, 5M V

mV v

m Mm M

v vm M

tèc ®é cùc ®¹i cña vËt dao ®éng sa

= − α = ⇒ =

= +

= +

= +⇒

− = +

⇒

ℓ

cbu va ch¹m : v

Câu 10: Một con lắc đơn gồm sợi dây dài 90cm, vật nhỏ dao động có khối lượng 200g, dao động với biên độ góc 600. Khi vật dao động đi qua VTCB nó va chạm đàn hồi xuyên tâm với vật nhỏ có khối lượng 100g đang nằm yên ở đó. Lấy gia tốc trọng trường 10m/s2. Tốc độ vật dao động của con lắc ngay sau va chạm là A. 300cm/s B. 125cm/s C. 100cm/s D. 7,5cm/s Hướng dẫn Cơ năng của con lắc trước va chạm

( ) ( )

( )

2 200 0

max 0

00

2 2 20 cb

cb 0

cb 0

mv vW mg 1 cos 10.0,9 1 cos60 v 3(m / s)

2 2

2mV .vmv m M V m M

m M0,5mv 0,5mv 0,5MV v .vm M

m M 0,2 0,1v .v .3 1(m / s) 100(cm / s)

m M 0,2 0,1

= − α = ⇒ − = ⇒ =

= = + +⇒ −= + =

+

− −= = = =

+ +

ℓ

Câu 11: Một con lắc đơn gồm sợi dây dài 90cm, vật nhỏ dao động có khối lượng 200g, dao động với biên độ góc 600. Khi vật dao động đi qua VTCB nó va chạm đàn hồi xuyên tâm với

m M

maxα

0v�

Đứng yên



vật nhỏ có khối lượng 300g đang nằm yên ở đó. Lấy gia tốc trọng trường 10m/s2. Tốc độ vật dao động của con lắc ngay sau va chạm là A. 300cm/s B. 60cm/s C. 100cm/s D. 75cm/s Hướng dẫn Cơ năng của con lắc trước va chạm

( ) ( )

( )

2 200 0

max 0

00

2 2 20 cb

cb 0

cb 0

mv vW mg 1 cos 10.0,9 1 cos60 v 3(m / s)

2 2

2mV .vmv m M V m M


m M 0,2 0,3v .v .3 0,6(m / s) 60(cm / s)

m M 0,2 0,3

= − α = ⇒ − = ⇒ =

= = + +⇒ −= + =

+

− −= = = =

+ +

ℓ

Câu 12: Một con lắc đơn gồm vật nhỏ dao động có khối lượng m, dao động với biên độ góc

maxα . Khi vật dao động đi qua VTCB nó va chạm đàn hồi xuyên tâm với vật nhỏ có khối lượng

3kg đang nằm yên ở đó. Sau va chạm m tiếp tục dao động với biên độ góc 'maxα . Nếu

2,0cos max =α và maxcosα ′ =0,8 thì giá trị m là A. 0,3kg B. 9kg C. 1kg D. 3kg Hướng dẫn

( )( )

( )0 max0

0

max

max

0 max

v 2g 1 cosmvmv m M V V ;

m M V 2g 1 cos

V m 1 cos m 1 0,8m 3(kg)

v m M 1 cos m M 1 0,2

= − α = + ⇒ = + ′ = − α ′− α −

= = ⇒ = ⇒ =+ − α + −

ℓ

ℓ

+ Trước và sau va chạm đều dao động điều hòa

( )

0

00

2 2 20 cb

cb 0

- Tèc ®é dao ®éng cùc ®¹i tr−íc va ch¹m: v .A

- §Þnh luËt b¶o toµn ®éng l−îng vµ c¬ n¨ng:

2mV vmv m M .V m M


- Tèc ®é cùc ®¹i cña vËt dao ®éng sau va ch

= ω

= = + +⇒ −= + =

+

cb

cb

0

¹m: v .A

vA m M

A v m M

′= ω

′ −⇒ = =

+

Câu 13: Một con lắc đơn gồm vật dao động có khối lượng 400g, dao động điều hòa với biên độ dài 8cm. Khi vật qua VTCB nó va chạm đàn hồi xuyên tâm với vật nhỏ có khối lượng 100g đang nằm yên ở đó. Nếu sau va chạm con lắc vẫn dao động điều hòa thì biên độ dài bây giờ là A. 3,6cm B. 2,4cm C. 4,8cm D.7,5cm



Hướng dẫn

( )

0

00

2 2 20 cb

cb 0



2mV vmv m M .V m M



= ω

= = + +⇒ −= + =

+

cb

cb

0

¹m: v .A

vA m M0,6 A 4,8(cm)

A v m M

′= ω

′ − ′⇒ = = = ⇒ =+

Câu 14: Một con lắc đơn gồm vật dao động có khối lượng 400g, dao động điều hòa với biên độ dài 8cm. Khi vật qua VTCB nó va chạm đàn hồi xuyên tâm với vật nhỏ có khối lượng 200g đang nằm yên ở đó. Nếu sau va chạm con lắc vẫn dao động điều hòa thì biên độ dài bây giờ là A. 3cm B. 2,4cm C. 4,8cm D. 7,5cm Hướng dẫn

( )

0

00

2 2 20 cb

cb 0



2mV vmv m M .V m M



= ω

= = + +⇒ −= + =

+

cb

cb

0

¹m: v .A

vA m M 400 200 1 A 9A 3(cm)

A v m M 400 200 3 3 3

′= ω

′ − − ′⇒ = = = = ⇒ = = =+ +

+ Va chạm đàn hồi với con lắc để con lắc dao động điều hòa

( )0

2 2 20 cb

0

cb 0

max max

mv m M .V

0,5mV 0,5mv 0,5MV

2mV .V

m Mm M

v .Vm M

Tèc ®é cùc ®¹i cña vËt dao ®éng ngay sau khi va ch¹m

gV= .A= . . g .

= +

= +

= +⇒ − =

+

ω α = αℓ ℓℓ

Câu 15: Một con lắc đơn gồm sợi dây dài 1m, vật nhỏ dao động có khối lượng M đang đứng yên ở VTCB thì một vật nhỏ có khối lượng bằng nó chuyển động theo phương ngang với tốc

M m 0v�

maxα



độ π20 cm/s đến va chạm đàn hồi với nó. Sau va chạm con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc maxα . Lấy gia tốc trọng trường bằng 2π m/s2. Giá trị maxα là A. 0,05rad B. 0,4rad C. 0,2rad D. 0,12rad Hướng dẫn

( ) 0 00

2 2 20 cb

cb 0

max max max 2

2mV .V V 0,2 (m / s)mv m M .V m M

m M0,5mV 0,5mv 0,5MV v .Vm M


g V 0,2V= .A= . . g . 0,2(rad)

g .1

= = = π = + +⇒ −= + =

+

πω α = α ⇒ α = = =

πℓ ℓℓ ℓ

Câu 16: Một con lắc đơn gồm vật nhỏ dao động có khối lượng M đang đứng yên ở VTCB thì một vật nhỏ có khối lượng bằng nó chuyển động theo phương ngang với tốc độ π20 cm/s đến va chạm đàn hồi với nó. Sau va chạm con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc là maxα

và chu kì 1s. Lấy gia tốc trọng trường bằng 2π m/s2. Giá trị maxα là A. 0,05rad B. 0,4rad C. 0,1rad D. 0,12rad Hướng dẫn

( ) 0 00

2 2 20 cb

cb 0

max max

2 2

2 2

ma

2mV .V V 0,2 (m / s)mv m M .V m M

m M0,5mV 0,5mv 0,5MV v .Vm M


gV= .A= . . g .

T .g T g g.TT 2 g g

g 4 4 2

gTV .

2

= = = π = + +⇒ −= + =

+

ω α = α

= π ⇒ = ⇒ = =π π π

⇒ = απ

ℓ ℓℓ

ℓℓ ℓ

x max 2

V.2 0,2 .20,4(rad)

g.T .1

π π π⇒ α = = =

π

Dạng 6: Quan hệ chu kì con lắc đơn và gia tốc 1. Đưa lên cao

( )

2

2

GM2gT g T hR. . . 1

GMT g T R2

R hg

′π

′′ ′ ′ ′ ′ = = = ⇒ = + ′ π+

ℓ

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓℓ

Câu 1: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì 1s ở trên mặt đất. Bán kính của Trái Đất là 6400km. Nếu đưa nó lên độ cao h = 20km thì chu kì dao động của nó sẽ như thế nào?( Chiều dài dây treo không đổi )



A. tăng 0,156% B. giảm 0,156% C. tăng 0,312 % D. giảm 0,312% Hướng dẫn

3T h h. 1 1 1 3,125.10 100% 0,312% T¨ng 0,312%

T R R−′ ′ = + = + = + = + ⇒

ℓ

ℓ

Câu 2: Người ta đưa một con lắc lên độ cao h = 0,1R ( R là bán kính Trái Đất ). Để chu kì không thay đổi phải thay đổi chiều dài của con lắc như thế nào? A. giảm 17% B. tăng 21% C. giảm 21% D. tăng 17% Hướng dẫn

T h. 1 1 0,83 1 0,17 100% 17% gi¶m 17%

T R

′ ′ ′ = + = ⇒ = = − = − ⇒

ℓ ℓ

ℓ ℓ

2. Đưa lên Mặt Trăng

2

2

GM2gT g M RR. . . .

GMT g M R2

Rg

′π

′′ ′ ′ ′ ′= = = =

′′ ′π ′

ℓ

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓℓ

Câu 3: Một con lắc đơn khi dao động trên mặt đất, chu kì dao động 2s. Đem con lắc lên Mặt Trăng mà không làm thay đổi chiều dài thì chu kì dao động của nó là bao nhiêu? Biết rằng khối lượng Trái Đất gấp 8,1 lần khối lượng Mặt Trăng, bán kính Trái Đất bằng 3,7 lần bán kính Mặt Trăng. A. 4,865s B. 4,566s C. 4,857s D. 5,864s Hướng dẫn

2

2

GM2gT g M R 1 9R . 9. T T. 4,865(s)

GMT g M R 3,7 3,72

Rg

′π

′′ ′′= = = = = ⇒ =

′′ ′π ′

ℓ

≃ℓ

Câu 4: Một con lắc đơn khi dao động trên mặt đất, chu kì dao động 2,4s. Đem con lắc lên Mặt Trăng mà không làm thay đổi chiều dài thì chu kì dao động của nó là bao nhiêu? Biết rằng khối lượng Trái Đất gấp 8,1 lần khối lượng Mặt Trăng, bán kính Trái Đất bằng 3,7 lần bán kính Mặt Trăng. A. 5,8s B. 4,8s C. 3,8s D. 2,8s Hướng dẫn

2

2

GM2gT g M R 1 9 9R . 9. T T. 2,4. 5,8(s)

GMT g M R 3,7 3,7 3,72

Rg

′π

′′ ′′= = = = = ⇒ = = =

′′ ′π ′

ℓ

ℓ



3. Di chuyển trên Trái Đất:

2gT g

.T g

2g

′π

′′ ′= =

′π

ℓ

ℓ

ℓℓ

Câu 5: Một con lắc đơn khi dao động trên mặt đất tại nơi có gia tốc trọng trường 9,819m/s2 chu kì dao động 2s. Đưa con lắc đơn đến nơi khác có gia tốc trọng trường 9,793m/s2, muốn chu kì không đổi phải thay đổi chiều dài của con lắc như thế nào? A. giảm 0,3% B. tăng 0,5% C. giảm 0,5% D. tăng 0,3% Hướng dẫn

2gT g g 9,793

1 . 0,997T g g 9,819

2g

′π

′′ ′ ′ ′= = = ⇒ = = ≈

′π

ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓℓ

Câu 6: Một con lắc đơn dao động điều hòa tại địa điểm A với chu kì 2s. Đưa con lắc tới địa điểm B mà không thay đổi chiều dài thì nó thực hiện 100 dao động điều hòa hết 201s. Gia tốc trọng trường tại B so với tại A là A. tăng 0,1% B. giảm 0,1% C. tăng 1% D. giảm 1% Hướng dẫn Chu kì con lắc tại B:

( )

( )

2

2

2

201 T 2,01 T g g 2,01 2 .gT 2,01(s) . g

100 T 2 T g g 2 2,01

g 40,99 1 0,01 100% 1%

g 2,01

′ ′ ′′ ′= = ⇒ = ⇒ = = = ⇒ =

′ ′

′⇒ = = = − = −

ℓ

ℓ

Dạng 7: Lập phương trình dao động của con lắc đơn. * Chú ý : Khi lập phương trình dao động của con lắc đơn có hai dạng phương trình: - Viết theo li độ dài: ( )0S S Cos t+ω ϕ= cm

- Viết theo li độ góc: ( )0Cos t+α α ω ϕ= rad với S α= ℓ

Bước 1: Xác định ω : g 2

2 fT

πω π= = =

ℓ

Bước 2: Xác định 0S và 0α , sử dụng công thức độc lập với thời gian.

22 20 2

vS S

ω= +

22 20 2 2

vα α

ω= +

ℓ hoặc

22 20

v

gα α= +

ℓ

Bước 3: Xác định ϕ dựa vào các điều kiện ban đầu

Khi t = 0, ta có: { 0

0

S S Cosv=- S Sin

ϕω ϕ

=

Ví dụ 1 : Một con lắc đơn dao động điều hòa có chu kỳ dao động T = 2s. Lấy g = 10m/s2, π2 = 10. Viết phương trình dao động của con lắc biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 (rad) và vận tốc v = -15,7 (cm/s).

Giải : Gọi phương trình dao động theo li độ dài của con lắc là:



Trong đó: Áp dụng hệ thức liên hệ ta tính được biên độ dài của con lắc đơn:

Khi đó tại t = 0 ta có:

Vậy phương trình dao động của con lắc là: . Ví dụ 2 : Một con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài . Tại t = 0, từ vị trí cân bằng truyền cho con lắc một vận tốc ban đầu 14cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8m/s2, viết phương trình dao động của con lắc.

Giải : Gọi phương trình dao động theo li độ dài của con lắc là:

Tần số góc dao động:

Vận tốc tại vị trí cân bằng là vận tốc cực đại nên ta có:

Khi đó tại t = 0 ta có:

Vậy phương trình dao động của con lắc là .

Ví dụ 3: Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ khối lượng m treo vào sợi dây có chiều dài l = 40 cm. Bỏ qua sức cản không khí. Đưa con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng góc α0 = 0,15 rad rồi thả nhẹ, quả cầu dao động điều hòa. Quãng đường cực đại mà quả cầu đi được trong khoảng thời gian 2T/3 là A.18 cm. B. 16 cm. C. 20 cm. D. 8 cm. HD Ta có: s0 = l.α0 =40.0,15= 6cm Quãng đường cực đại mà quả cầu đi được là khi vật qua vùng có tốc độ cực đại qua VTCB. Coi vật dao động theo hàm cos. Ta lấy đối xứng qua trục Oy

Ta có: Góc quét: 2 2 4

. .3 3 3

Tt

T

π π πϕ ω π∆ = ∆ = = = +

Trong góc quét: ∆φ1 = π thì quãng đường lớn nhất vật đi được là: Smax1 = 2A =12cm Trong góc quét: ∆φ1 = π/3 từ M đến N:thì Smax2 = 2.3 = 6cm

M N

-6 0 6 3

π

3



Vậy Smax = Smax1 + Smax2 = 18cm

Ví dụ 4: Một con lắc đơn dao động điều hoà với biên độ góc α0 = 0,1(rad) tại nơi có g = 10m/s2. Tại thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có li độ dài s = 8 3 (cm) với vận tốc v = 20 cm/s. Độ lớn gia tốc của vật khi nó đi qua vị trí có li độ 8 cm là

A. 0,075m/s2. B. 0,506 m/s2. C. 0,5 m/s2. D. 0,07 m/s2. Giải:

+ Biên độ dài s0 = l. α0 = 02

g.α

ω

Lại có 2

2 20 2

vs s= +

ω ⇒ ω = 2,5(rad/s)

+ Khi s = 8cm ⇒ |a| = ω2.s = 0,5m/s2. ⇒ Đáp án C. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài toán về quãng đường đi được từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 - Chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục Ox với li độ có dạng x = Acos(ωt + ϕ). Tìm quãng đường mà vật đi được từ thời điểm t = t1 đến thời điểm t = t2.

- Bất kể vật xuất phát từ đâu, quãng đường vật đi sau nửa chu kì luôn luôn là 2A . Nếu vật xuất phát từ vị trí cân bằng (x(t1) = 0) hoặc từ vị trí biên (x(t1) = ± A) thì quãng đường vật đi sau một phần tư chu kì là A.

- Căn cứ vào:

2 1

2 1

2 1t1

t t sè nguyªn S= .2A

0,5Tt tq

0,5T t t sè b¸n nguyªn vµ x 0 A S .2A

0,5T

−= ⇒− =

−= = ∪ ± ⇒ =

1.Dấu hiệu 1: Tính theo công thức AT

ttS 2.

5,012 −

=

+ Cứ sau nửa chu kì vật đi được quãng đường 2A Câu 1: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox( O là VTCB ) có phương trình dao

động cmtx

−=12

2cos.2π

π ( t tính bằng giây ) thì quãng đường mà vật đi từ thời điểm t1 =

13/6s đến thời điểm t2 = 11/3s là bao nhiêu? A. 9cm B. 27cm C. 6cm D. 12cm Hướng dẫn

sè nguyªn2 1

2 2T 1

211 13

t t 3 6q 3 S q.2A 3.2A 12(cm)0,5T 0,5.1

π π = = = ω π

− −= = = → = = =

Câu 2: Nếu phương trình dao động cmtx

+=3

3cos.4π

π ( t tính bằng giây) thì quãng đường

mà vật đi từ thời điểm ban đầu đến thời điểm 11/3s là bao nhiêu? A. 36cm B. 44cm C. 40cm D. 88cm



Hướng dẫn

sè nguyªn2 1

2 2 2T (s)

3 311

0t t 3q 11 S q.2A 11.2A 88(cm)20,5T 0,5.3

π π = = = ω π −− = = = → = = =

Câu 3: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình cmtx

−=3

2cos.5π

π (t

đo bằng giây). Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 13,25s đến thời điểm t2 = 16,75s là A. 125cm B. 45cm C. 70cm D. 35cm Hướng dẫn

sè nguyªn2 1

2 2T 1(s)

2t t 16,75 13,25

q 7 S q.2A 7.2.5 70(cm)0,5T 0,5.1

π π = = = ω π − − = = = → = = =

+ Khi xuất phát từ vị trí x = 0; Ax ±= , cứ sau 0,25T vật đi được quãng đường bằng A

Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình cmtx

−=2

4cos.4π

π ( t

đo bằng giây). Trong 1,125s đầu tiên vật đã đi được một quãng đường là A. 32cm B. 36cm C. 48cm D. 24cm

t1

sè b¸n nguyªn2 1

nh− ng x 4cos 4 .0 02

2 2T 0,5(s)

4t t 1,125 0

q 4,5 S q.2A 4,5.2.A 9.A 36(cm)0,5T 0,5.0,5 π = π − =

π π = = = ω π − − = = = → = = = =

Câu 5: Một con lắc lò xo dao động với phương trình tx π4cos.4= cm( t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được trong thời gian 2,875s kể từ thời điểm ban đầu là A. 16cm B. 32cm C. 64cm D. 92cm Hướng dẫn

( )t1

sè b¸n nguyªn2 1nh− ng x 4 cos 4 .0 4 A

2 2T 0,5(s)

4t t 2,875 0

q 11,5 S q.2A 4,5.2.4 92(cm)0,5T 0,5.0,5 = π = =

π π = = = ω π − − = = = → = = =

Câu 6: Một vật dao động điều hòa với phương trình ( )cmtx πcos.5= ( t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = 3,5s là A. 35cm B. 2,5cm C. 1cm D. 0cm Hướng dẫn



( )t1

sè b¸n nguyªn2 1nh− ng x 5cos .0 5 A

2 2T 2(s)

t t 3,5 0q 3,5 S q.2A 3,5.2.5 35(cm)

0,5T 0,5.2 = π = =

π π = = = ω π − − = = = → = = =

2. Dấu hiệu 2: Phương pháp loại trừ + Quãng đường đi được “ trung bình ’’ vào cỡ:

2 1 2 1t t t tS .2A .4A

0,5T T

− −= =

+ Độ chênh lệch lệch với giá trị vào cỡ:

( )max min

t t2A sin 2A 1 cos

S S t t2 2S A sin cos 1 A 2 1 0,4A

2 2 2 2

ω∆ ω∆ − − − ω∆ ω∆ ∆ = = = + − < −

≃

+ Quãng đường đi được nằm trong khoảng: S 0,4A S S 0,4A− < < + + Dựa vào 4 phương án để loại trừ. Câu 7: Một con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng 100N/m và vật có khối lượng 250g, dao động điều hòa với biên độ 6cm. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB. Quãng đường vật đi

được trong s12

7,0 π đầu tiên là

A. 9cm B. 27cm C. 6cm D. 15cm Hướng dẫn

2 1

max

0,70m t t 712T 2 (s);S .4A .4A A 14(cm)

k 10 T 310

A 0,4A 2,4(cm) 14 2,4 S 14 2,4 S 15(cm)

π−π −

= π = = = = =π

∆ = = ⇒ − < < + ⇒ =

Câu 8: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox( O là VTCB) theo phương trình ( )cmtx πsin.10= (t đo bằng giây). Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời

điểm 2,4 s là A. 49,51cm B. 56.92cm C. 56,93cm D. 33,51cm Hướng dẫn

2 1

max

2 2 t t 2,4 0T 2(s);S .4A .4A 4,8A 48(cm)

T 2A 0,4A 0,4.10 4(cm) 48 4 S 48 4 S 49,51(cm)

π π − −= = = = = = =

ω π∆ = = = ⇒ − < < + ⇒ =

Câu 9: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox( O là VTCB) có phương trình

cmtx

+=6

2sin.5π

π (t đo bằng giây). Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm 1s đến

thời điểm 13/6s là A. 32,5cm B. 5cm C. 22,5cm D. 17,5cm Hướng dẫn

2 1

max

2 2 t t 13 / 6 1T 1(s);S .4A .4A 4,67A 23,3(cm)

2 T 1A 0,4A 0,4.5 2(cm) 23,3 2 S 23,3 2 S 22,5(cm)

π π − −= = = = = = =

ω π∆ = = = ⇒ − < < + ⇒ =

3. Dấu hiệu 3: Không thể dùng phương pháp loại trừ



+ Viết lại phương trình:

( )

( )

1 t1 1

2 t2 2

t2 t1 thªm

thªm

vÞ trÝ b¾t ®Çu quÐt: tx Acos t

vÞ trÝ quÐt ®Õn: t

Gãc quÐt: = n.2 S n.4A S 0 2

S qu·ng ®−êng h×nh chiÕu dÞch chuyÓn øng víi gãc quÐt

φ = φ = ω + ϕ= ω + ϕ ⇒

φ = φ = ω + ϕ

∆ϕ φ − φ = π + ∆ϕ⇒ = + < ∆ϕ < π

= ∆ϕ

Câu 10: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình ( )cmtx π4cos.7= (t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 1/12s đến thời điểm t2 = 0,125s là A. 3,5cm B. 7cm C. 4,5cm D. 2,3cm Hướng dẫn:

1 t1

2 t2

2 1

0

14 .

12 3

4 .0,1252

0.26

S 0 OB 7cos60 3,5(cm)

πφ = φ = π =

πφ = φ = π =

π∆ϕ = φ − φ = π +

= + = =

Câu 11: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình ( )cmtx π4cos.7= ( t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 1/12s đến thời điểm t2 = 0,625s là A. 31,5cm B. 3,5cm C. 29,5 cm D. 30,3cm Hướng dẫn

1 t1

2 t2

2 1

0

1- vÞ trÝ b¾t ®Çu quÐt: 4 .

12 3

- vÞ trÝ quÐt ®Õn: 4 .0,625 22

- gãc quÐt: = 2 S 4A OB6

S 28 7cos60 31,5(cm)

πφ = φ = π =

πφ = φ = π = π +

π∆ϕ φ − φ = π + ⇒ = +

= + =

Câu 12: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x 9cos 10 t cm3

π = π −

( t đo bằng

giây). Trong khoảng thời gian 4/15(s) kể từ lúc bắt đầu dao động vật đi được quãng đường là

Sthêm

1φ 2φ

∆ϕ

B O

600

∆ϕ 1 / 3φ =π 2 /2φ =π

BO

600

∆ϕ 1 / 3φ = π 2 2 / 2φ = π + π



A. 36 cm B. 50 cm C. 48 cm D. 45 cm Hướng dẫn

- Vị trí bắt đầu quét:

1 t1 10 .03 3

π πφ = φ = π − = −

- Vị trí quét đến:

2 t2

410 . 2

5 3 3

π πφ = φ = π − = π +

Góc quét:

2 1

21.2

3

π∆ϕ = φ − φ = π +

0S 1.4A BC CB 4A 2A(1 cos60 ) 5A 45(cm)⇒ = + + = + − = = Câu 13: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình:

x 3cos 4 t cm3

π = π −

( t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 13/6(s)

đến thời điểm t2 = 17/6(s) là: A. 72 cm B. 17,5 cm C. 16,5 cm D. 16 cm Hướng dẫn

- Vị trí bắt đầu quét:

1 t1

134 . 8 4.2

6 3 3 3

π π πφ = φ = π − = π + = π +

- Vị trí quét đến:

2 t2

174 . 11 5.2

6 3

πφ = φ = π − = π = π + π

Góc quét

2 1

22

3

π∆ϕ = φ − φ = π +

0 11AS 4.A AB 4A OA OB 4A A sin30 16,5 cm

2⇒ = + = + + = + + = =

+ Thời gian và quãng đường đi được Câu 14: Một con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng 100N/m và vật có khối lượng 250(g), dao động điều hòa. Quãng đường vật đi được trong 0,05(s) là 12 cm. Biên độ dao động của vật là A. 4 cm B. 6 cm C. 16 cm D. 2 cm Hướng dẫn

Chu kì: m 0,25

T 2 2 (s)k 100 10

π= π = π =

600

C BO

1 / 3φ = −π

2 7 / 3φ = π

300

∆ϕ

O A B

1 83

πφ = π +

2φ



Ta có:

t 0,05 1 Tt Qu·ng ®−êng vËt ®i ®−îc trong thêi gian t lµ

T 2 210

2A = 12 cm A =6 cm

∆ π= = ⇒ ∆ = ⇒ ∆

π

⇒

Câu 15: Con lắc lò xo dao động với phương trình x Acos 2 t cm2

π = π −

( t đo bằng giây).

Trong khoảng thời gian 5/12(s) đầu tiên kể từ thời điểm ban đầu con lắc đi được quãng đường 6 cm. Biên độ dao động của vật là A. 6 cm B. 2 cm C. 5 cm D. 4cm Hướng dẫn

Vị trí bắt đầu quét: 1 t1 2 .02 2

π πφ = φ = π − = −

Vị trí quét đến: 2 t2

52 .

12 2 3

π πφ = φ = π − =

Góc quét:

( )2 1

0

5

6

S OB BC A A 1 cos60 1,5A 6 cm

A = 4 cm

π∆ϕ = φ − φ =

⇒ = + = + − = =

⇒

Câu 16: Một vật dao động điều hòa xung quanh VTCB O. Ban đầu vật đi qua O theo chiều dương. Đến thời điểm t = π/15(s) vật chưa đổi chiều chuyển động và tốc độ còn lại một nửa so với ban đầu. Đến thời điểm t= 0,3π(s) vật đã đi được quãng đường 12 cm. Tốc độ cực đại của vật là A. 20 cm/s B. 25 cm/s C. 30 cm/s D. 40 cm/s Hướng dẫn

1 222 2

2

1 A 3x 0 x

2vx A

2 2

max

x 0T

t1 A 3 6 15v A x2 2

2 3TT 0,4 (s) 5 rad/s, mµ: t =0,3 = S 3A 12 cm A= 4cm

T 4v A 20 cm/s

= → =

+ =ω

=π

→∆ = == ω → =

π′⇒ = π ⇒ ω = = ∆ π ⇒ = = ⇒

⇒ = ω =

Câu 17: Một vật dao động điều hòa với phương trình x Acos t cm3

π = ω +

(t đo bằng giây).

Kể từ thời điểm t = 0, quãng đường vật đi được trong thời gian 1 giây là 2A và trong 2/3 giây là 9 cm. Giá trị của A là

600

O B C

∆ϕ

1 / 2φ = −π

2 / 3φ = π

-A O +A 0,5A 3+

T/6



A. 7,2 cm B. 6 cm C. 12 cm D. 6,4 cm Hướng dẫn

Quãng đường S = 2A T

t 1 (s) T=2 (s)2

⇒ ∆ = = ⇒

0

0

Ax Acos 0

3 2Khi t =0

v Asin 0 vËt chuyÓn ®éng theo chiÒu ©m3

2 T A 3A T T TTa cã: t = S A 9 A 6 cm , t

3 3 2 2 3 12 4

π = = >⇒

π = −ω < ⇒

′ ′∆ = ⇒ = + = = ⇒ = ∆ = = +

+ Tính thời gian để đi được quãng đường S

( )( )

0

0

x 0 x A/2

x 0 x A/ 2

x Acos t- ViÕt ph−¬ng tr×nh d¹ng

v Asin t

x Acos X¸c ®Þnh vÞ trÝ vµ chiÒu xuÊt ph¸t(khi t = 0):

v Asin

Tt

12

- Dùa vµo çc ®iÓm ®Æc biÖt ®Ó t×m thêi gian:

= → =

= → =

= ω + ϕ

= −ω ω + ϕ

= ϕ−

= −ω ϕ

→∆ =

→

x 0 x A 3/2

Tt

8T

t6

= → =

∆ =

→∆ =

Câu 18 : Vật dao động điều hòa theo phương trình 2

x 10cos t cm3

π = π −

(t đo bằng giây).

Thời gian vật đi quãng đường 5 cm kể từ lúc bắt đầu chuyển động là A. 1/4s B. 1/2s C. 1/6s D. 1/12s Hướng dẫn

-A +A O 0v�

T/4 T/12

A/2

+A -A

-0,5A O

T/12

5 cm



0

0

2x Acos 10cos 5 cm

3XuÊt ph¸t2

v Asin Asin 03

T 1 2 1Thêi gian ng¾n nhÊt ®i tõ x= -0,5A ®Õn x = 0 lµ: t= . (s)

12 12 6

− π = ϕ = = −

− π = −ω ϕ = −ω >

π∆ = =

ω

Câu 19 : Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox( O là VTCB) có phương trình 2

x 5cos t cm3 3

π π = −

. Hỏi sau thời gian bao lâu thì vật đi được quãng đường 7,5 cm kể từ

thời điểm ban đầu t = 0 ? A. 1,25s B. 1,5s C. 0,5s D. 0,25s Hướng dẫn

0

0

x Acos 5cos 2,5 cm3- XuÊt ph¸t

v Asin Asin 03

T- Thêi gian ng¾n nhÊt ®i tõ x = 0,5A ®Õn x =0 lµ nªn:

122T T 5T 5 2 5 2

t= . . 1,25(s)212 4 12 12 123

−π = ϕ = =

−π = −ω ϕ = −ω >

π π∆ + = = = =

πω

Câu 20 : Vật dao động điều hòa với phương trình x 6cos t cm= ω . Sau khoảng thời gian 1/30(s) kể từ thời điểm ban đầu vật đi được quãng đường 9cm. Tần số góc của vật là A. 20π rad/s B. 15π rad/s C. 25π rad/s D. 10π rad/s Hướng dẫn - Xuất phát:

-A +A

T/12 T/6

O +0,5A



0

0

x 6cos .0 6 cmvËt xuÊt ph t ë vÞ trÝ biªn d−¬ng

v Asin .0 0

= ω =⇒

=−ω ω = Ta có: S= 9cm = 6 + 3 = A + A/2 => thời gian tương ứng là:

T T T 1 2 1 2 1t . 20 rad/s

4 12 3 3 30 10

π π∆ = + = = = ⇒ = ⇒ω = π

ω ω

+ Xác định các thời điểm Cách 1: Giải hệ phương trình:

( )( )

1 01

01 02

021

x Acos t x t t k.T (t , t 0; k, = 0, 1, 2....)

t t .Tv Asin t v

= ω + ϕ = = +⇒ ≥

= += −ω ω + ϕ = ℓ

ℓ

Cách 2:

( )( )

0

0

çc thêi ®iÓm1 01 01

1 0

x Acos .0 AcosT¹i xuÊt ph¸t:

v Asin .0 Asin

Thêi ®iÓm ®Çu tiªn vËt ®Õn x theo chiÒu d−¬ng t t t k.T ;(k = 0, 1, 2...)

Thêi ®iÓm ®Çu tiªn vËt ®Õn x theo chiÒu ©m t

= ω + ϕ = ϕ

= −ω ω + ϕ = −ω ϕ

→ = +çc thêi ®iÓm

2 02t t k.T ;(k=0, 1, 2...)→ = +

Câu 21: Một vật dao động điều hòa theo phương trình 2

x Acos tT 3

π π = −

. Thời điểm đầu

tiên vật có tọa độ -A là A. 5T/6 B. 5T/8 C. 2T/3 D. 7T/12 Hướng dẫn

A -A O A/2

T/6

T/12

2

3A

2

2A

T/8

T/12 T/8

-A -0,5A O +A

T/12 T/4

S=9 cm

T/6

-A

+0,5A

O +A T/6

T/2



0

0

1 01

Ax Acos Acos

3 2T¹i xuÊt ph¸t

v Asin Asin 03

T T 2TThêi ®iÓm ®Çu tiªn vËt ®Õn x A lµ: t

6 2 3

−π = ϕ = =

−π = −ω ϕ = −ω >

= − = + =

Câu 22: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x 6cos 2 t4

π = π +

,trong đó x

tính bằng cm và t tính bằng giây. Chỉ xét các thời điểm chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -3cm theo chiều âm. Thời điểm lần thứ 10 là: A. t=245/24(s) B. t=221/24(s) C. t=229/24(s) D. t=253/24(s) Hướng dẫn

0

0

01

2T 1(s)

Ax A cos A cos

4 2T¹i xuÊt ph¸t

v A sin A sin A sin 04

T T 5T 5Thêi ®iÓm ®Çu tiªn vËt ®Õn x = -3cm theo chiÒu ©m lµ: t (s)

8 12 24 24

Thêi ®iÓm lÇn thø 10 vËt ®Õn x =-3 cm theo chi

π= =

ωπ = ϕ = =

π = −ω ϕ = −ω ϕ = −ω <

= + = =

01

5 221Òu ©m lµ: t = t 9T 9.1 (s)

24 24+ = + =

Câu 23 : Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x 6 cos 2 t4

π = π +

, trong đó x

tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm lần thứ 10 chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -3cm là A. t=109/24(s) B. t=221/24(s) C. t=229/24(s) D. 101/24(s) Hướng dẫn

+A -A -0,5A=-3cm

O A

2

T/8 T/12



0

0

01

2T 1(s)

Ax Acos Acos

4 2T¹i xuÊt ph¸t

v Asin Asin 04

Thêi ®iÓm ®Çu tiªn vËt ®Õn x =-3cm theo chiÒu ©m lµ:

T T 5T 5t (s)

8 12 24 24

π= =

ωπ = ϕ = =

π = −ω ϕ = −ω <

= + = =

02

Thêi ®iÓm ®Çu tiªn vËt ®Õn x =-3cm theo chiÒu d−¬ng lµ:

T T T T 13T 13t (s)

8 12 6 6 24 24Thêi ®iÓm lÇn thø 5 vËt ®Õn x =-3cm theo chiÒu d−¬ng( ®Õn lóc nµy vËt ®· qua vÞ trÝ

nµy theo chiÒu ©m còng 5 lÇn vµ

= + + + = =

02

tæng sè lÇn ®i qua x =-3cm c¶ 2 chiÒu lµ 10 lÇn)lµ:

13 109t= t 4T 4.1

24 24+ = + =

Câu 24: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x 6 cos 2 t4

π = π +

, trong đó x

tính bằng cm, t tính bằng giây. Thời điểm lần thứ 9 chất điểm đi qua vị trí có li độ x =- 3cm là A. 109/24(s) B. 221/24(s) C. 229/24(s) D. 101/24(s) Hướng dẫn

+A -A -0,5A=-3cm

O A

2

T/8 T/12

T/6

T/6



0

0

01

2 2T 1(s)

2

Ax Acos Acos

4 2T¹i xuÊt ph¸t:

v Asin Asin 04

Thêi ®iÓm ®Çu tiªn vËt ®Õn x = -3cm theo chiÒu ©m lµ:

T T 5T 5t (s)

8 12 24 24Thêi ®iÓm ®Çu tiªn vËt ®Õn x =-3cm theo chiÒu d−

π π= = =

ω ππ = ϕ = =

π = −ω ϕ = −ω <

= + = =

02

¬ng lµ:

T T T T 13T 13t (s)

8 12 6 6 24 24Thêi ®iÓm lÇn thø 4 vËt ®Õn x =-3cm theo chiÒu d−¬ng( ®Õn lóc nµy vËt ®· qua vÞ trÝ

nµy theo chiÒu ©m còng 4 lÇn vµ tæng sè lÇn ®i qua x =-3cm theo c¶ hai chiÒu lµ

= + + + = =

02

8 lÇn)lµ:

13t = t 3T 3.1

24

LÇn thø 9 vËt ®i qua x =-3cm vµo thêi ®iÓm:

T T 2 13 2 101t = t + 2 t T 3 (s)

12 4 3 24 3 24

+ = +

′ + = + = + + =

Câu 25: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x 2cos 2 t6

π = π +

, trong đó x tính

bằng cm và t tính bằng giây. Chỉ xét các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = -1cm theo chiều âm. Thời điểm lần thứ 20 là A. 19,5 s B. 20,5 s C. 231/12 s D. 247/12s Hướng dẫn

0

0

0 1

2 2T 1(s )

2

2 . 3 A 3x A c o s 2 c o s 3

6 2 2T ¹ i x u Ê t p h ¸ t :

v A s in A s in 06

T h ê i ® iÓ m ® Ç u t iª n v Ë t ® Õ n x = -1 c m th e o c h iÒ u © m :

T T T 1t ( s )

6 1 2 4 4T h ê i ® iÓ m lÇ n th ø 2 0 v Ë t ® i q u a x = -1 c m th e o c h

π π= = =

ω π

π= ϕ = = = =

π = − ω ϕ = − ω <

= + = =

0 1

iÒ u © m lµ :

1 2 3 1t = t 1 9 T 1 9 .1 1 9 , 2 5(s ) = ( s )

4 1 2+ = + =



+ Liên quan đến vận tốc: 2

2 2 2 2

2

vx A v A x+ = ⇒ = ω −

ω

Câu 26: Một vật dao động điều hòa được mô tả bởi phương trình x 6cos 5 t cm4

π = π −

, t

đo bằng giây. Thời điểm lần thứ hai có vận tốc -15π cm/s là: A. 1/60 s B. 11/60 s C. 5/ 12 s D. 13/60 s Hướng dẫn

5 t 2k4 6x v 30 sin 5 t 15

4 55 t 2n

4 6

5 2 5t k 0 k 0,1,2,... k 0 t (s) lÇn 1

60 5 6013 2 13

t n. 0 n 0,1,2,... n = 0 t = (s) lÇn 260 5 60

π π π − = + ππ ′ = = − π π − = − π⇒ π π π − = + π

= + ≥ ⇒ = = ⇒ = ⇒ ⇒

= + ≥ ⇒ = ⇒ ⇒

Câu 27: Một vật dao động điều hòa với phương trình x 4cos10 t cm= π , t đo bằng giây. Thời điểm lần đầu tiên vật có vận tốc + 20π√2 cm/s là A. 1/40 s B. 1/8 s C. 3/40 s D. 1/20 s Hướng dẫn

2x v 40 sin10 t 20 2 sin10 t

2

1 k10 t 2k t 0 k 1,2,3...

4 40 55 5 n

10 t 2n t 0 n 0,1,2...4 40 5

5 1LÇn ®Çu tiªn n=0 t = (s)

40 8

−′ = = − π π = π ⇒ π =

π − π = − + π = + ≥ ⇒ = ⇒

π π = + π = + ≥ ⇒ =

⇒ ⇒ =

+ Xác định số lần đi qua Các bước giải bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x ( hoặc v; a; Wt; Wđ ; F) từ thời điểm t1 đến t2:

- Giải phương trình lượng giác được các nghiệm - Từ t1 < t < t2 => phạm vi giá trị của k ( k ϵ Z) - Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó. • Lưu ý: - Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển

động tròn đều - Trong mỗi chu kì ( mỗi dao động ) vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần.

Câu 28: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x 4cos2 t cm= π . Trong 2 giây đầu tiên có mấy lần vật đi qua điểm có li độ 2cm? A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Hướng dẫn



2 2T 1(s). Ta cã: 2(s) 2T mét chu k× qua 2 lÇn, 2 chu k× qua 4 lÇn

2

π π= = = = ⇒

ω π


π = π −

, t đo bằng

giây. Trong giây đầu tiên vật đi qua vị trí x = 0 cm được mấy lần? A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 Hướng dẫn

0 t 1s1x 2cos 5 t 0 5 t n t n.0,2 n 0,1,2,3,4

3 3 2 6≤ ≤π π π = π − = ⇒ π − = + π⇒ = + → =


π = π −

. Trong giây

đầu tiên kể từ lúc bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có li độ x = -1cm theo chiều dương được mấy lần? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Hướng dẫn

0 t 1s

1x 2cos 5 t 1 cos 5 t

3 3 2 25 t 2k

3 3v 10 sin 5 t 0 sin 5 t 0

3 3

1 2kt k 1;2

15 5≤ ≤

π π = π − = − π − = − π π ⇒ ⇒ π − = − + π

π π = − π π − > π − <

−= + → =

Câu 31: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x 10cos 5 t cm3

π = π −

, t đo

bằng giây. Sau khoảng thời gian 4,2s kể từ lúc t =0 chất điểm qua vị trí có li độ - 5cm theo chiều dương bao nhiêu lần? A. 20 B. 10 C. 21 D. 11 Hướng dẫn

0 t 4,2s

1x 10cos 5 t 5 cos 5 t

3 3 2 25 t 2k

3 3v 50 sin 5 t 0 sin 5 t 0

3 3

1 2kt k 1,2,...,9,10

15 5≤ ≤

π π = π − = − π − = − π − π ⇒ π − = + π

π π = − π π − > π − <

−= + → =

Câu 32: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x 3sin 5 t cm6

π = π +

, t đo

bằng giây. Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = +1 cm A. 7 lần B. 6 lần C. 4 lần D. 5 lần Hướng dẫn



5 t 2kx 3sin 5 t 1 2k 5 k 1;26 106 6 10 6

992 5 0;1;25 t 25 t 5

6 10 66 106 6 6

π π π π π π π + ≈ + π= π + = ≤ + π ≤ π + ⇒ = ⇒ ⇒ π π ππ ππ π π ≤ + π ≤ π + ⇒ =π + + π≤ π + ≤ π +

ℓ ℓ≃ ℓ

Dạng 8: So sánh 2 con lắc đơn

1. Chu kì, Tần số dao động của con lắc đơn thay đổi khi thay đổi chiều dài của dây treo:

Tần số: g

ω =ℓ

rad; Chu kì: T 2g

π=ℓ

s ; Tần số: 1 g

f2π

=ℓ

Hz

Từ: 2 2T 2 T 4g g

π π= ⇒ =ℓ ℓ

và 2

2

1 g 1 4f

2 f g

ππ

= ⇒ = ℓℓ

Nhận xét: T2 tỉ lệ với ℓ : ⇒ Nếu 1 2= + +ℓ ℓ ℓ ⋯ Thì 2 2 21 2T T T= + +⋯

2

1

f tỉ lệ với ℓ : ⇒ Nếu 1 2= + +ℓ ℓ ℓ ⋯ Thì

2 2 21 2

1 1 1

f f f= + ⋯

Ví dụ 1. Các con lắc đơn có chiều dài lần lượt ℓ1, ℓ2, ℓ3 = ℓ1 + ℓ2, ℓ4 = ℓ1 – ℓ2 dao động với chu kỳ T1, T2, T3 = 2,4s, T4 = 0,8s. Chiều dài ℓ1 và ℓ2 nhận giá trị

A. 1 20,64m, 0,8m = =ℓ ℓ B. 1 21,15m, 1,07m = =ℓ ℓ

C. 1 21,07m, 1,15m = =ℓ ℓ D. 1 20,8m, 0,64m = =ℓ ℓ 2 2 2 2 2 23 1 2 2 3 4

1 1 22 2 24 1 2

T T T T T T gT 3,2 l 0,8(m)

2 4T T T

= + +⇒ = = ⇒ = =

π= − ⇒ ĐA: D

Ví dụ 2. Hai con lắc đơn chiều dài l1, l2 (l1>l2) và có chu kì dao động tương ứng là T1; T2, tại

nơi có gia tốc trọng trường g = π2 m/s2. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con lắc có chiều dài l1 + l2 ,

chu kì dao động 2s và con lắc đơn có chiều dài l1 - l2 có chu kì dao động 0,4 7 (s) =1,058(s).

Tính T1, T2, l1, l2

Lời giải

+ Con lắc chiều dài l1 có chu kì T1= g

l.2 1π → l1= g.4

T2

21

π (1)

+ Co lắc chiều dài l2có chu kì T2= g

l.2 2π → l1= g.4

T2

22

π (2)

+ Con lắc chiều dài l1 + l2 có chu kì T3= 2Π.g

ll 21 +

→ l1 + l2 = 14

.)2(

4

.)(2

22

2

2'

==π

ππ

gT (m) = 100 cm (3)

+ Con lắc có chiều dài l1 - l2có chu kì T' = 2Π.g

ll 21 −

→ l1 - l2 = 28,04

.)7.4,0(

4

.)(2

22

2

2'

==π

ππ

gT (m) = 28 cm (4)



Từ (3) (4) l1 = 64cm l2 = 36cm

Thay vào (1) (2) T1= 2Π 6,164,02

=π

(s) Suy ra T2= 2Π 2,110

36,0= (s)

Ví dụ 3. Trong khoảng thời gian ∆t, con lắc đơn có chiều dài l1 thực hiện 40 dao động. Vẫn

cho con lắc dao động ở vị trí đó nhưng tăng chiều dài sợi dây thêm một đoạn bằng 7,9 (cm) thì

trong khoảng thời gian ∆t nó thực hiện được 39 dao động. Chiều dài của con lắc đơn sau khi

tăng thêm là

A. 152,1cm. B. 160cm. C. 144,2cm. D. 167,9cm.

Lời giải 1: Chọn B HD: Ta có: = = =ℓ

ℓ1 1 2

2 2 1

39

40

T f

T f ⇒

= = =

⇒ =

ℓ ℓ

ℓ

1 22 2

2

7,90,1

39 40 79160 .cm

Lời giải 2: Chiều dài của con lắc đơn sau khi tăng thêm là l2:

Ta có:

−= = =

ℓ

ℓ2 1 2

2 2 1

7,9 39

40

T f

T f => − = => = = ⇒ =ℓ ℓ ℓ ℓ2

2 22 2 2 2

40 .7,91600 40 .7,9 39 160 160 .

79cm cm

Ví dụ 4. Có hai con lắc đơn mà độ dài của chúng khác nhau 22 cm, dao động ở cùng một nơi.

Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc thứ nhất thực hiện được 30 dao động toàn phần, con lắc

thứ hai thực hiện được 36 dao động toàn phần. Độ dài của các con lắc nhận giá trị nào sau đây :

A. l1= 88 cm ; l2 = 110 cm. B. l1= 78 cm ; l2 = 110 cm.

C. l1= 72 cm ; l2 = 50 cm. D. l1=50 cm ; l2 = 72 cm.

Lêi gi¶i: Ta cã: 1

1

30 1

2

gt

t π= =

ℓ,

2

2

36 1

2

gt

t π= =

ℓ ⇒

2 1

1 1

1 2

30 22

36

72( ) 50( )cm cm

−= =

= ⇒ =

ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ

Ví dụ 5. Trong cùng 1 khoảng thời gian,con lắc đơn có chiều dài l1 thực hiện đc 10 dao động bộ.con lắc đơn có chiều dài l2 thực hiện đc 6 dao động bs. Hiệu chiều dài của 2 con lắc là 48 cm.tìm l1.l2. Ta có l2 >l1

HD: Ta cã: = = =ℓ

ℓ1 1 2

2 2 1

6

10

T f

T f ⇒ = = = ⇒ = =

ℓ ℓℓ ℓ1 2

2 12 2

48 375 ; 27 .

6 10 64 4cm cm

Ví dụ 6. Một con lắc đơn thực hiện dao động trong khoảng thời gian t con lắc thực hiện đc 120 dđ toàn phần, con lắc đơn thứ 2 thực hiện được 100 dao động toàn phần.Tổng chiều dài của 2 con lắc là 122cm.Tìm l1,l2

HD: Tượng tự câu trên: Ta cã: = = =ℓ

ℓ1 1 2

2 2 1

100

120

T f

T f ⇒ = = =

ℓ ℓ1 22 2

122 61

10 12 244 122

= => = − => = => = =ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ1 2 1 1 1 1 2:144 100 144 100(122 ) 244 12200 50 ; 72hay cm cm



Ví dụ 7. Một con lắc đơn thực hiện dao động trong khoảng thời gian t con lắc thực hiện đc 120 dđ toàn phần. Thay đổi độ dài con lắc 1 đoạn 22cm thì cùng trong khoảng thời gian t đó thì con lắc thực hiện đc 100 dđ toàn phần.Tìm chiều dài ban đầu của con lắc?

Tượng tự câu trên: Ta cã: = = =ℓ

ℓ1 1 2

2 2 1

100

120

T f

T f ....

Ví dụ 8. Hai con lắc đơn dao động cùng một nơi,trong cùng một đơn vị thời gian,con lắc đơn thực hiện 30 dao động,con lắc 2 thực hiện 40 dao động.Hiệu số chiều dài của 2 con lắc là 28cm.Tìm chiều dài mỗi con lắc. A:l1=64cm,l2=36cm; B: l1=36cm,l2=64cm; C: l1=34cm,l2=16cm; D: l1=16cm,l2=34cm.

Ví dụ 9. Hai con lắc đơn có cùng khối lượng vật nặng, dao động trong hai mặt phẳng song song cạnh nhau và cùng vị trí cân bằng. Chu kì dao động của con lắc thứ nhất bằng hai lần chu kì dao động của con lắc thứ hai và biên độ dao động của con lắc thứ hai bằng ba lần con lắc thứ nhất. Khi hai con lắc gặp nhau thì con lắc thứ nhất có động năng bằng ba lần thế năng. Tỉ số độ lớn vân tốc của con lắc thứ hai và con lắc thứ nhất khi chúng gặp nhau bằng

A. 4. B. 14.

3. C. 140

.3

. D. 8.

Giải: Biên độ xét ở đây là biên độ cung. Do T1=2T2 21 4ll =→ và 12 2ωω = ; S02=3S01

Cơ năng cuả con lắc 20

2

2

1SmE ω= 122

012

1

202

22

1

2 3636.

EES

S

E

E=→==→

ωω

Tại vị trí 2 con lắc gặp nhau túc là cùng li độ cung s nên: tìm mối liên hệ thế năng của 2 con

lắc: 1221

22

1

222 442

1tt

t

tt EE

E

EsmE =→==→=

ωω

ω (*)

Tại vị trí gặp nhau: xét con lắc 1 có thế năng băng 1/3 lần động năng: Cơ năng là:

E1= Ed+Et1 dEE3

41 =→ (1)

Cơ năng con lắc 2: E2= Ed’+Et’ ddtd EEEEEE3

436436 '

11'

1 +=→+=→ ( từ * suy ra)

Chia 2 vế cho Ed và chú ý (1): 3

140'

3

4'

3

4.362

2

=→+=v

v

v

v

Dạng 9: Con lắc đơn chịu thêm lực phụ nhỏ không đổi + Khi đó: P P F′ = +

� � � gọi là trọng lực hiệu dụng hay trọng lực biểu kiến( có vai trò như trọng

lực P�

)

VD: - Lực điện trường: F q.E, ®é lín F = q .E

NÕu q > 0 F E ; cßn nÕu q < 0 F E

=

⇒ ↑↑ ⇒ ↑↓

� �

� � � �

+ Gia tốc trọng trường hiệu dụng hay gia tốc trọng trường biểu kiến:

F

g g ; (chØ xÐt F < mg )m

′ = +

��

- Tại VTCB phương của dây treo song song với phương của g′�

- Chu kì dao động: T 2g

′ = π′ℓ



• Ngoại lực cùng phương với trọng lực:

F mg

F mg

Fg g

F mg mg ;m F

g gm

↑↑

↑↓

′→ = ++ ′ = ′→ = −

� �

� �

� ��

Câu 1: Một con lắc đơn có vật nhỏ bằng sắt nặng m = 10g đang dao động điều hòa. Đặt trên con lắc một nam châm thì VTCB không thay đổi. Biết lực hút của nam châm tác dụng lên vật dao động của con lắc là 0,02N. Lấy g = 10 m/s2. Chu kì dao động bé tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với lúc đầu? A. tăng 11,8% B. giảm 11,8% C. tăng 8,7% D. giảm 8,7% Hướng dẫn

F mg 2F mg Fg g g 8 m/s

m m

2gT g 10

1 0,118 100% 11,8%T g 8

2g

+′ ′= → = − =

π′′

⇒ = = = = + = +′

π

� �րւ

� ��

ℓ

ℓ

Câu 2: Một con lắc đơn có vật nhỏ bằng sắt nặng m = 10g đang dao động điều hòa. Đặt dưới con lắc một nam châm thì vị trí cân bằng không thay đổi nhưng chu kì dao động bé của nó thay đổi 0,1% so với khi không có nam châm. Lấy g = 10 m/s2. Lực hút của nam châm tác dụng lên vật dao động của con lắc là A. 2.10-3N B. 2.10-4N C. 0,2N D. 0,02N Hướng dẫn

F mg

4

F mg Fg g g g T T chu k× gi¶m

m m

T g100% 0,1% 1 0,001 0,999 g 10,02

T g

Fg g 10,02 10 0,02 F 0,02.m 0,02.0,01 2.10 N

m−

+′ ′ ′= → = + > ⇒ < ⇒

′′= = − = − = ⇒ =

′

′= − = − = ⇒ = = =

� �րր

� �

Câu 3: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 50 cm và vật nhỏ có khối lượng 0,01kg mang điện tích q = +5.10-6C được coi là điện tích điểm. Con lắc dao động điều hòa trong điện trường đều mà vecto cường độ điện trường có độ lớn E = 104 V/m và hướng thẳng đứng xuống dưới. Lấy g = 10 m/s2; π = 3,14. Chu kì dao động điều hòa của con lắc là A.0,58s B. 1,40 s C. 1,15 s D. 1,99s Hướng dẫn

6 4qE mg 2F mg qE qE 5.10 .10

g g g g 10 15 m / sm m m 0,01

T 2 1,15 (s)g

−+′ ′= = + → = + = + =

′⇒ = π′

� �րր

� ��

ℓ≃

* Lực đẩy ÁC-SI-MÉT: AF�

luôn thẳng đứng hướng lên và có độ lớn F Vg= ρ . Trong đó ρ là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất khí; g là gia tốc rơi tự do và V là thể tích của phần vật chìm trong chất lỏng hay chất khí đó.



A

T 2g

F V g T 1g g g g g

m V.D D TT 2 1Dg g

D

= π

′ρ ρ ′ = − = − = − ⇒ ⇒ = ρ′ = π −ρ −

ℓ

ℓ

Câu 4: Một đồng hồ quả lắc đếm giây ( có chu kì 2 s), quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có khối lượng riêng là 8900 kg/m3. Giả sử đồng hồ treo trong chân không. Đưa đồng hồ ra không khí thì chu kì dao động của nó bằng bao nhiêu? Biết khối lượng riêng của không khí trong khí quyển là 1,3kg / m3. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cản không khí đến chu kì dao động của con lắc. A. 2,00024 s B. 2,00015 s C. 2,00012 s D. 2,00013 s Hướng dẫn

2gT g

1 T 2,00015 (s)T 2Dg g2

Dg

π′′ ρ

′= = + ⇒ =ρ

−π

ℓ

≃ℓ

* Ngoại lực vuông góc với trọng lực

2 2

22

2

P P gP P F g

cos m cos

F Fg g , tan =

m mg

′′ ′= = + ⇒ = =

α α

′ = + α

Câu 5: Một con lắc đơn gồm quả cầu tích điện buộc vào một sợi dây mảnh cách điện dài 1,4 (m). Con lắc được treo trong điện trường đều của một tụ điện phẳng có các bản đặt thẳng đứng tại nơi có g = 9,8 m/s2. Khi vật ở VTCB sợi dây lệch 300 so với phương thẳng đứng. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản. Chu kì dao động của con lắc đơn là A. 2,24 s B. 2,35 s C. 2,21 s D. 4,32 s Hướng dẫn

0

P P g cosP g T 2 2

cos m cos g g

1,4.cos30T 2 2,21 (s)

9,8

′ α′ ′ ′= ⇒ = = ⇒ = π = π′α α

′ = π =

ℓ ℓ

Câu 6: Một con lắc đơn gồm quả cầu tích điện buộc vào một sợi dây mảnh cách điện. Con lắc được treo trong điện trường đều của một tụ điện phẳng có các bản đặt thẳng đứng. Khi vật ở VTCB sợi dây lệch 450 so với phương thẳng đứng. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản.Xác định chu kì dao động của con lắc đơn. Biết rằng, chu kì dao động của nó khi không có điện trường là T A. T√2 B. T/√2 C. T.2-0, D. T.2-0,5 Hướng dẫn

P′�

F�

P�

α E�

R�



0 0,25

1/4

P P g cosP g T 2 2

cos m cos g g

2 1 1T 2 . cos T. cos45 T. T. T. T.2

g 2 22−

′ α′ ′ ′= ⇒ = = ⇒ = π = π′α α

′ = π α = = = = =

ℓ ℓ

ℓ

Câu 7: Một con lắc đơn gồm một quả cầu tích điện dương khối lượng √3g buộc vào một sợi dây mảnh cách điện. Con lắc được treo trong điện trường đều của một tụ điện phẳng có các bản đặt thẳng đứng với cường độ điện trường 10000 V/m, tại nơi có g = 9,8 m/s2. Khi vật ở VTCB sợi dây lệch 300 so với phương thẳng đứng. Xác định điện tích của quả cầu A. 0,98µC B. 0,97µC C. 0,89µC D. 0,72µC Hướng dẫn

( )

( ) ( ) ( )( )

3 22 2 2 2 3 2

0

2 2 23 3 2 2 3 3

37 6

4

P mg 3.10 .9,8P P F (mg) F 3.10 .9,8 F

cos cos30 3

2

2.9,8.10 3. 9,8.10 F F 4 3 9,8.10 F 9,8.10 q.E

F 9,8.10q 9,8.10 C = 0,98.10 C = 0,98 C

E 10

−−

− − − −

−− −

′ = = + ⇒ = + ⇒ = +α

⇒ = + ⇒ = − ⇒ = =

⇒ = = = µ

+

Con lắc treo trên vật chuyển động có gia tốc

- Lực quán tính: F ma= −� �

, độ lớn F = ma; ( )F a� �րւ

- Chuyển động nhanh dần đều: a v� �րր

- Chuyển động chậm dần đều: a v↑↓� �

* Chuyển động lên xuống: Xét a < g

a g g g a T 2g a

a g g g a T 2g a

′ ′↑↑ ⇒ = − ⇒ = π

−⇒

′ ′↑↓ ⇒ = + ⇒ = π +

ℓ� �

ℓ� �

Câu 8: Một con lắc đơn được treo ở trần một thang máy. Khi thang máy đứng yên, con lắc dao động điều hòa với chu kì T. Khi thang máy đi lên thẳng đứng, chậm dần đều với gia tốc có độ lớn bằng một nửa gia tốc trọng trường tại nơi đặt thang máy thì con lắc đơn dao động với chu kì T’ bằng: A. 2T B. T/2 C. T√2 D. T/√2 Hướng dẫn

qt

ChuyÓn ®éng chËm dÇn ®Òu nªn a v ; v h−íng lªn a h−íng xuèng

F h−íng lªn P =P-F g =g-a

2T =2 2 2 2 T 2

g g a g 0,5g g

↑↓ ⇒

′ ′⇒ ⇒ ⇒

′⇒ π = π = π = π =′ − −

� � � �

�

ℓ ℓ ℓ ℓ

Câu 9: Một con lắc đơn treo ở trần một thang máy. Khi thang máy đứng yên, con lắc dao động điều hòa với chu kì T. Khi thang máy đi lên thẳng đứng, nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn bằng một nửa gia tốc trọng trường tại nơi đặt thang máy thì con lắc đơn dao động với chu kì T’

bằng:



A. 2T B. T/2 C. T√6/3 D. T√2 Hướng dẫn

qt qt

ChuyÓn ®éng chËm dÇn ®Òu nªn a v ; v h−íng lªn

a h−íng lªn

F h−íng xuèng P =P+F g =g+a

2T =2 2 2 2 T 6 / 3

g g a g 0,5g g

↑↑

⇒

′ ′⇒ ⇒ ⇒

′⇒ π = π = π = π =′ + +

� � �

�

�

ℓ ℓ ℓ ℓ

* Chuyển động ngang:

2 2 gg g a

cosa

tang

′ = + = α α =

Câu 10: Một con lắc đơn có chiều dài 1m treo trên một toa xe, lấy g = 10 m/s2. Khi toa xe chuyển động trên đường ngang với gia tốc 2 m/s2 thì chu kì dao động nhỏ của con lắc đơn là A. 2,24 s B. 1,97 s C. 1,83 s D. 0,62 s Hướng dẫn

2 2 2 2

1T 2 2 2 1,97 (s)

g g a 10 2′ = π = π = π =

′ + +

ℓ ℓ

Câu 11: Treo một con lắc đơn vào trần một ô tô tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s2. Khi ô tô đứng yên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 2s. Nếu ô tô chuyển động thẳng nhanh dần đều trên đường nằm ngang với gia tốc 2 m/s2 thì chu kì dao động điều hòa của con lắc xấp xỉ bằng A. 2,02 s B. 1,82 s C. 1,98 s D. 2,00 s Hướng dẫn

2 2

2 2

2gT g g

g g a T 1,98 (s)T g g a2

g

π′′

′ = + ⇒ = = = ⇒ =′ +π

ℓ

ℓ

Dạng 9-1: Biến thiên chu kì của con lắc đơn chịu tác dụng của lực điện trường; Lực hút Nam châm. Các ví dụ: Ví dụ 1: Một con lắc đơn treo hòn bi kim loại khối lượng m = 0,01kg mang điện tích q =

2.10-7 C. Đặt con lắc trong điện trường đều có phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Chu

kỳ con lắc khi E = 0 là T = 2s. Tìm chu kỳ dao động khi E = 104 V/m. Cho g = 10m/s2.

A. 1,98s B. 0,99s C. 2,02s D. 1,01s

HD: Do q > 0 → ↑↑��

®E F hay ®F��

hướng xuống dưới → ®E P↑↑��

α

Q

a�

g�

g′�

R�

O



Gia tốc: 'qE

g gm

= + → '' .

'

gEg

T g gm T TqET g g gm

+= = ⇒ +

+

Thay số ta có: T = 1,98 (s)

Ví dụ 2: Một con lắc đơn dao động bé có chu kỳ T. Đặt con lắc trong điện trường đều có phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Khi quả cầu của con lắc tích điện q1 thì chu kỳ của con lắc là T1=5T. Khi quả cầu của con lắc tích điện q2 thì chu kỳ là T2=5/7 T. Tỉ số giữa hai điện tích là A. q1/q2 = -7. B. q1/q2 = -1 . C. q1/q2 = -1/7 . D. q1/q2 = 1. Nhận xét: Lực điện trường hướng xuống, T2<T<T1 => Hai điện tích q1, q2 trái dấu nhau

Ta có : Fđiện = ma => qE= ma => 1 1

2 2

q a

q a=

* T1 =5T ( điện tích q1 âm )

11

2

51

2

l

gT g

T gl

g

π

π= = = =

1

g

g a− => 1 11

125

g a a

g g

−= = − => 1 24

25

a

g= (1)

* T2=5/7T (điện tích q2 dương)=> 22

2 2

25

72

l

gT g g

T g g al

g

π

π= = = =

+=> 2 249

125

g a a

g g

+= = +

=> 2 24

25

a

g= (2) từ (1),(2) => 1 1

2 2

1q a

q a= =

Do hai điện tích q1, q2 trái dấu nên tỉ số điện tích của chúng là -1 Chọn B Ví dụ 3: Một con lắc đơn mang điện tích dương khi không có điện trường nó dao động điều hòa với chu kỳ T. Khi có điện trường hướng thẳng đứng xuống thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là T1. Khi có điện trường hướng thẳng đứng lên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là T2. Chu kỳ T dao động điều hòa của con lắc khi không có điện trường liên hệ với T1. và T2 là:

A. 1 2

2 21 2

T TT

T T=

+ B. 1 2

2 21 2

2.T TT

T T=

+ C. 1 2

2 21 22

T TT

T T=

+. D. 1 2

2 21 2

2T TT

T T=

+

HD: 2 2

1

1 1

4

g a

T lπ+

= ; 2 2

2

1 1

4

g a

T lπ−

= =>2 2 2 2

1 2

1 1 1 12. 2

4

g

T T l Tπ+ = = => 1 2

2 21 2

2T TT

T T=

+

Ví dụ 4: Một con lắc đơn mang điện tích dương khi không có điện trường nó dao động điều hòa với chu kỳ T. Khi có điện trường hướng thẳng đứng xuống thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là T1=3s. Khi có điện trường hướng thẳng đứng lên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là T2=4s . Chu kỳ T dao động điều hòa của con lắc khi không có điện trường là: A. 5s B. 2,4s C.7s. D.2,4 2 s

HD: 2 2

1

1 1

4

g a

T lπ+

= ; 2 2

2

1 1

4

g a

T lπ−

= =>2 2 2 2

1 2

1 1 1 12. 2

4

g

T T l Tπ+ = =



g�

g '��

a�

=> 1 2

2 21 2

2T TT

T T=

+ =

2 2

3.4 22, 4 2

3 4s=

+

Ví dụ 5. Cho một con lắc đơn có dây treo cách điện, quả cầu m tích điện q. Khi đặt con lắc trong không khí thì nó dao động với chu kì T. Khi đặt nó vào trong một điện trường đều nằm ngang thì chu kì dao động sẽ A. tăng lên B. không đổi C. tăng hoặc giảm tuỳ thuộc vào chiều của điện trường D. giảm xống

HD: Khi đặt con lắc trong điện trường đều nằm ngang thì con lắc có gia tốc hiệu dụng

:2

2 2 2 qEg' g a g g

m

= + = + >

Ta cã: T g'

1 T T 'T ' g

= > ⇒ > ⇒ T giảm. Câu 4: Chọn D

Ví dụ 6. Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn, cách điện gồm vật nặng khối lượng 50g, tích điện q = 20 µC và lò xo có độ cứng k = 20 N/m. Khi vật đang nằm cân bằng thì người ta tạo một điện trường đều E = 105 V/m trong không gian bao quanh con lắc có hướng dọc theo trục lò xo trong khoảng thời gian nhỏ ∆t = 0,01 s và coi rằng trong thời gian này vật chưa kịp dịch chuyển. Sau đó con lắc dao động với biên độ là A. 10 cm. B. 1 cm. C. 2 cm. D. 20 cm. Giải: Khi có điện trường vật chịu tác dụng của lực điện trường : F = Eq. Lực F gây ra xung của lực trong thời gian ∆t: F.∆t = ∆P = mv là độ biến thiên động lượng của vật (vì coi rằng

trong thời gian này vật chưa kịp dịch chuyển.) => v = m

tF ∆. =

m

tEq ∆.

Sau đó con lắc dao động với biên độ A; 2

2kA=

2

2mv=>

A = vk

m=

m

tEq ∆.k

m =

2

265

10.5

10.10.2010−

−−

20

10.5 2−

= 2.10-2 m = 2 cm. Chọn C

Ví dụ 7. Có ba con lắc đơn cùng chiều dài cùng khối lượng cùng được treo trong điện trường đều có E

�� thẳng đứng. Con lắc thứ nhất và thứ hai tích điện q1 và q2, con lắc thứ ba không tích điện. Chu kỳ dao động nhỏ của chúng lần lượt là T1, T2, T3 có T1 = 1/3T3 ; T2 = 5/3T3. Tỉ số q1/q2?

1 11 1

1

q E q ElT 2 ; g g g(1 )

g m mg= π = + = + ; 2 2

2 22

q E q ElT 2 ; g g g(1 )

g m mg= π = + = + ; 3

lT 2

g= π

( chú ý: q1 và q2 kể luôn cả dấu )

1 1

13 1

T q Eg 1 18 (1)

q ET g 3 mg1mg

= = = => =+

2 2

23 2

T q Eg 1 5 16(2)

q ET g 3 mg 251mg

−= = = => =

+ Lấy (1) chia (2): 1

2

q12,5

q= −



Ví dụ 8. Một con lắc đơn gồm hòn bi nhỏ bằng kim loại được tích điện q > 0. Khi đặt con lắc vào trong điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường nằm ngang thì tại vị trí cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc α, có tanα = 3/4; lúc này con lắc dao động nhỏ với chu kỳ T1. Nếu đổi chiều điện trường này sao cho véctơ cường độ diện trường có phương thẳng đứng hướng lên và cường độ không đổi thì chu kỳ dao động nhỏ của con lắc lúc này là:

A. 1T

5. B. T1

7

5. C. T1

5

7. D. T1 5 .

HD Khi lực điện trường nằm ngang thì ta có tanα = F/P = 3/4 � qE/mg = ¾ � qE/m = 3/4g (hay g1 = g/cosα)

(F là lực điện trường, E cường độ điện trường, q điện tích êlectron) Lúc này chu kì của con lắc là

T1 = 2π( )22

21

2 2 25g 25g qE / m gg 416

π π π= = =+

ℓ ℓ ℓ ℓ(1)

Khi thay đổi sao cho vecto cường độ điện trường hướng lên g2= g – qE/m ( do q > 0 , E và F cùng phương cùng chiều)

Ta có g2 = g - 3

g4

=1

g4

; chu kì lúc sau là

T2 = 21

g4

πℓ

(2) Lấy (1) chia cho (2) suy ra đáp án (D)

Ví dụ 9: Một con lắc đơn gồm hòn bi nhỏ bằng kim loại được tích điện q > 0. Khi đặt con lắc vào trong điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường nằm ngang thì tại vị trí cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc α, có tanα = 3/4; lúc này con lắc dao động nhỏ với chu kỳ T1. Nếu đổi chiều điện trường này sao cho véctơ cường độ diện trường có phương thẳng đứng hướng lên và cường độ không đổi thì chu kỳ dao động nhỏ của con lắc lúc này là:

A. 1T

5. B. T1

7

5. C. T1

5

7. D. T1 5 .

Giải 1: Khi điện trường E có phương ngang thì lực điện trường có phương ngang

F qE 3 4

tan cosP mg 4 5

α = = = => α =

Con lắc dao động với gia tốc hiệu dụng: hd 1hd

g 5g 4g T 2 2 .

cos 4 g g 5= = => = π = π

α

ℓ ℓ (1)

Khi điện trường hướng lên thì lực điện trường hướng lên, con lắc dao động với ;

hdqE qE 3 g

g g g(1 ) g(1 )m mg 4 4

= − = − = − = hd

.4T 2 2 (2)

g g=> = π = π

ℓ ℓ

Lấy (1) chia (2) 1T T 5= Chọn D

Giải 2: Gia tốc do lực điện trường gây ra cho vật a = m

F=

m

Eq ( E là độ lớn cường độ điện

trường). Khi điện trường nằm ngang:



T1 = 2π1g

l Với g1 = 22 ag + . tanα =

P

F=

g

a=

4

3=> a =

4

3g

g1 = 4

5g

Khi điện trường hướng thẳng đứng lên trên:T2 = 2π2g

l

Với g2 = g –a = g - 4

3g =

4

1g=>

1

2

T

T=

2

1

g

g=

g

g

4

14

5

= 5

----> T2 = T1 5 . Chọn D Ví dụ 10: một con lắc đơn có chiều dài dây treo l, vật nhỏ có trọng lượng P và có chu kì riêng khi nó dao động với biên độ nhỏ là T. tích điện cho vật nhỏ điện tích q rồi đặt con lắc trong điện trường đều có phương thẳng đứng thì chu kì d động điều hòa của con lắc là T’=1.25T độ lớn lực tác dụng lên vật nhỏ bằng

Giải: Chu kỳ dao động của con lắc đơn khi đó: ' 2'

lT

gπ=

F��

có phương thẳng đứng thì 'F

g gm

= ± ; Do T’>T => F��

↑↓ P�

=> 'F

g gm

= −

Ta có:2

22

'1, 25

T gFT gm

= =−

hay: 21 25 16 91,25 1

16 25 251

F FF mg mg

mg

= = => − = => =−

=>

Lực điện trường:9

0,36 0,3625

F mg mg P= = =

Ví dụ 11: Con lắc đơn có vật nhỏ tích điện âm dao động điều hòa trong điện trường đều có véctơ cường độ điện trường thẳng đứng. Độ lớn lực điện tác dụng lên vật nhỏ bằng một phần tư trọng lượng của nó. Khi điện trường hướng xuống chu kỳ dao động bé của con lắc là T1. Khi điện trường hướng lên thì chu kỳ dao động bé của con lắc là T2. Liên hệ đúng là A. 1 22 3T T= . B. 1 23 5T T= . C. 2 13 5T T= . D. 1 22 5T T= .

Giải Ta có lực điện F = P/4 = mg/4 Gia tốc biểu kiến: + khi điện trường hướng xuống: g1 = g – F/m = g – g/4 = 3g/4 + khi điện trường hướng lên: g2 = g + F/m = 5g/4

Ta có 1 21 2

2 1

53 5

3

T gT T

T g= = ⇒ = Đáp án B

Dạng9-2: Biến thiên chu kì của con lắc khi có thêm lực quán tính Bài 1. Một con lắc đơn có chu kỳ T=2s khi treo vào thang máy đứng yên. Khi thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc 0,1m.s-2 thì chu kỳ dao động của con lắc làA. 2,00s B. 2,10s C. 1,99s D.1,87s

HD: Thang máy đi lên nhanh dần đều ⇒ a�

hướng lên mà qt qtF a F p↑↓ ⇒��

Gia tốc hiệu dụng: g’ = g + a = 10,0 (m/s2)

O’ F α

A

O

α



→ ( )T g ' g 10T ' T. 2. 1,99 s

T ' g g ' 10,1= ⇒ = = = Chọn C

Bài 2. Một con lắc đơn được treo vào trần của một xe ô tô đang chuyển động theo phương

ngang. Chu kỳ dao động của con lắc đơn trong trường hợp xe chuyển thẳng đều là T1, khi xe

chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a là T2 và khi xe chuyển động chậm dần đều với gia

tốc a là T3. Biểu thức nào sau đây đúng?

A. T2 = T3 < T1. B. T2 = T1 = T3. C. T2 < T1 < T3. D. T2 > T1 > T3.

HD: TH: Xe CĐ nhanh dần đều TH: Xe CĐ chậm dần đều

⇒ 2 22 3' ''g g g a g T T= = + > ⇒ = → 2

2 3 12 22

1T g

T T TT g a

= < ⇒ = <+

Chọn A

Bài 3. Một con lắc đơn có chiều dài l=1m treo ở trần một thang máy, khi thang máy đi xuống

nhanh dần đều với gia tốc 2/ga = (g = π2m/s2 ) thì chu kỳ dao động bé của con lắc là

A. 4 (s). B. 2,83 (s). C. 1,64 (s). D. 2 (s).

HD: Khi thang máy chuyển động nhanh dần đều thì a�

cùng chiều chuyển động (hướng xuống)

mà ��

®hF ngược chiều a�

→ ®hF��

hướng lên → ®hF P↓↑��

Gia tốc hiệudụng 2

'2 2

gg g a

π= − = = ⇒

2

2' 2 2 2,83( )

'T s

gπ π

π= = =

ℓ : Chọn B

Bài 4. Một thang máy có thể chuyển động theo phương thẳng đứng với gia tốc có độ lớn luôn nhỏ hơn gia tốc trọng trường g tại nơi đặt thang máy. Trong thang máy nầy có treo một con lắc đơn dao động với biên độ nhỏ. Chu kì dao động của con lắc khi thang máy đứng yên bằng 1,1 lần khi thang máy chuyển động. Điều đó chứng tỏ vectơ gia tốc của thang máy A. hướng lên trên và có độ lớn là 0,11g B. hướng lên trên và có độ lớn là 0,21g C. hướng xuống dưới và có độ lớn là 0,11g D. hướng xuống dưới và có độ lớn là 0,21g Giải: Theo đề thì chu kỳ giảm khi thang máy có thể chuyển động hướng lên trên nhanh dần đều, để gia tốc -a hướng xuống làm T giảm. Ta có ' ( ) 'g g a g g a= + − ⇒ = +

� � �

Vậy chu kì dao động của con lắc là: T’ = 2π 2'

l l

g g aπ=

+ � chu kì giảm

Với a = 0,21g thì T’= T/1,1 Hay T =1,1T’ . Chọn B Bài 5. Một con lắc đơn dao động điều hòa trong thang máy đứng yên tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2 với năng lượng dao động là 150mJ, gốc thế năng là vị trí cân bằng của quả nặng. Đúng lúc vận tốc của con lắc bằng không thì thang máy chuyển động nhanh dần đều đi

a�

'g��

g��

a�

g��

''g��



lên với gia tốc 2,5m/s2. Con lắc sẽ tiếp tục dao động điều hòa trong thang máy với năng lượng dao động : A. 150 mJ. B. 129,5 mJ. C. 111,7 mJ. D. 188,3 mJ

HD : Khi chưa chuyển động 21 0

1

2W mglα= ; Khi chuyển động 2

2 0

1'

2W mg lα=

Vì thang máy chuyển động nhanh dần nên g’ = g + a

Ta có

20

12

220

12 188,31 ''2

mglW gW mJ

W gmg l

α

α= = ⇒ = . đáp an D

Bài 6. Một con lắc đơn được treo ở trần một toa xe. Khi toa xe chuyển động thẳng đều trên đường nằm ngang, con lắc dao động điều hòa với chu kì T0 = 2 s. Khi toa xe trượt không ma sát từ trên xuống trên một mặt phẳng nghiêng góc 300 so với mặt nằm ngang thì con lắc dao động điều hòa với chu kì T bằng (Lấy g = 10 m/s2) A. 2,019 s. B. 1,807 s. C. 1,739 s. D. 2,149 s. Giải: Vì xe chuyển động không ma sát nên khi trượt trên mặt phẳng nghiêng toa xe chuyển động nhanh dần với gia tốc a = gsin30 = 5 m/s2

Khi đó gia tốc biểu kiến lúc này 2 2 0' 2 .cos 60 75g g a ga= + − =

Theo bài ra '

2 ; ' 2 ' 2,149' '

l l T gT T T s

g g T gπ π= = ⇒ = ⇒ = Đáp án D

Dạng 9-3: Biến thiên chu kì của con lắc khi có thêm lực đẩy Ác - Si – Mét. Bài 1: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là l và vật nặng có khối lượng m, khối lượng riêng D. Đặt con lắc trong chân không thì chu kỳ dao động của nó là T. Nếu đặt nó trong

không khí có khối lượng riêng Do thì chu kỳ dao động của con lắc là: T’ =0

.DD

DT

−=

01

T

D

D−

Chứng minh: Con lắc chịu tác dụng của lực phụ là lực đẩy Acsimet hướng lên:

'F

g gm

= − = 0. .

.

D V gg

DV− = 0 0.

(1 )D g D

g gD D

− = − do m =D.V (V là thể tích của vật)

Ta có: ' 2'

lT

gπ= và 2

lT

gπ= Lập tỉ số giữa T’ và T :

'

'

g

g

T

T= =>

0

'D

T TD D

=−

Bài 2: Một con lắc đơn có chu kỳ T = 2s khi đặt trong chân không. Quả lắc làm bằng một hợp kim khối lượng riêng D = 8,67g/cm3. Tính chu kỳ T' của con lắc khi đặt con lắc trong không khí; sức cản của không khí xem như không đáng kể, quả lắc chịu tác dụng của sức đẩy Archimède, khối lượng riêng của không khí là d = 1,3g/lít. A. 2,00024s. B.2,00015s. C.1,99993s. D. 1,99985s.

Giải : Lực đẩy Acsimet : gVFP ρ−= ρ( = D0 là khối lượng riêng của chất lỏng hoặc chất khí ( ở đây là không khí), V là thể tích bị vật chiếm chỗ ) , lực đẩy Acsimet luôn có phương thẳng

đứng , hướng lên trên =>m

gVgg

ρ−+=' => g’ = g -

D

gρ= g( 1-

D

D0 )



Ta có: '

'

g

g

T

T= =>

D

D

T

T 01'

−= => T’ =0

.DD

DT

−=2

310.3,167,8

67,8.

−−= 2,000149959s

Hay T= 2,00015s. Bài 3: Một con lắc đơn có chu kì T = 2s khi đặt trong chân không. Quả lắc làm bằng một hợp kim có khối lượng m = 50g và khối lượng riêng D = 0,67kg/dm3. Khi đặt trong không khí, có khối lượng riêng là D0 = 1,3g/lít. Chu kì T' của con lắc trong không khí là A. 1,9080s. B. 1,9850s. C. 2,1050s. D. 2,0019s

Giải : Tương tự trên: T’ =0

.DD

DT

−=2

3

0,67.

0,67 1,3.10−−= 2,001943127s = 2,0019s Đáp án

D Dạng 9-4: Con lắc trùng phùng: Hiện tượng trùng phùng: Hai con lắc gặp nhau - Gọi To chu kỳ của con lắc 1 và T là chu kỳ cần xác định của con lắc 2, θ là khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp.

Nếu To > T Nếu To < T

θ111

+=oTT

θ111

−=oTT

-Phương pháp: Khoảng thời gian giữa 2 lần trùng phùng liên tiếp: 0 0

0 0

.T T TT

T T T

θθ

θ= ⇒ =

− −

Bài 1: Dùng các chớp sáng tuần hoàn chu kỳ 2s để chiếu sáng một con lắc đơn đang dao động. Ta thấy, con lắc dao động biểu kiến với chu kỳ 30 phút với chiều dao động biểu kiến cùng chiều dao động thật. Chu kỳ dao động thật của con lắc là:

A. 2,005s B. 1,978s C. 2,001s D. 1,998s Giải: Chu kì dao đông biểu kiến chính là thời gian “trùng phùng” của hai dao động t = nT = (n+1) Tthật Với n = 30.60/2 = 900 � Tthật = 1800/901 = 1,99778 ≈ 1,998(s) Bài 2: Một con lắc đơn có chu kì dao động T chưa biết dao động trước mặt một con lắc đồng hồ có chu kì T0 = 2s. Con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc đồng hồ một chút nên có những lần hai con lắc chuyển động cùng chiều và trùng nhau tại vị trí cân bằng của chúng ( gọi là những lần trùng phùng). Quan sát cho thấy khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp bằng 7 phút 30 giây. Hãy tính chu kì T của con lắc đơn và độ dài con lắc đơn.lấy g = 9.8 m/s2. A. 1,98s và 1m B. 2,009s và 1m C. 2,009s và 2m D. 1,98s và 2m Gỉai: Đối với bài toán con lắc trùng phùng ta có khoảng thời gian giữa 2 lần trùng phùng liên tiếp:

0 0

0 0

.T T TT

T T T

θθ

θ= ⇒ =

− −=2,009 s từ đó tinh chiều dài l= 1m

Bài 3: Con lắc đơn chu kì T hơi lớn hơn 2s dao động song song trước 1 con lắc đơn gõ giây chu kỳ T0 = 2s. Thời gian giữa 2 lần trùng phùng thứ nhất và thứ 5 là 28 phút 40 giây. Chu kì T là: A.2,015 s. B.2,009 s. C.1,995 s. D.1,002 s. Giải: Thời gian trùng phùng của hai con lắc t = 28 phút 40s /4 = 1720s/4 = 430s



0 0

0 0

.T T TT

T T T

θθ

θ= ⇒ =

− − Thế số: 0

0

430.2 2152,009345794

430 2 107

TT s

T

θθ

= = = =− −

.

Hay: (n + 1)T0 = nT = 430 => n = 2

430- 1 = 214 => T =

430

n=

214

430 = 2,009s.

Dạng 10: Các nguyên nhân làm thay đổi (nhỏ) chu kì a. Con lắc đơn thay đổi l và g

′ ′ + ∆ ∆ ∆= = + −

′ + ∆

∆ ∆ =⇒ ′∆ ∆ = −

ℓ ℓ ℓ ℓ≃

ℓ ℓ ℓ

ℓ

ℓ

1 1. . 1

2 2

1Thay ®æi m×nh ®é dµi:

21

Thay ®æi m×nh vÜ ®é: 2

T g g g

T g g g g

T

T

T g

T g

Câu 1: Một con lắc đơn dao động nhỏ với chu kì 2,015 (s). Nếu tăng chiều dài 0,2% và giảm gia tốc trọng trường 0,2% thì chu kì dao động bằng bao nhiêu? A. 2,016 s B. 2,019 s C. 2,020 s D. 2,018 s Hướng dẫn

′ ′ + ∆ ∆ ∆= = + −

′ + ∆

′= + − − ⇒ =

ℓ ℓ ℓ ℓ≃

ℓ ℓ ℓ

1 1. . 1

2 2

1 11 .0,002 ( 0,002) 2,019( )

2 2

T g g g

T g g g g

T s

Câu 2: Một con lắc đơn dao động nhỏ với chu kì 2,032 (s). Nếu giảm chiều dài 0,3% và giảm gia tốc trọng trường 0,3% thì chu kì dao động bằng bao nhiêu? A. 2,016 s B. 2,019 s C. 2,023 s D. 2,032 s Hướng dẫn

′ ′ + ∆ ∆ ∆= = + −

′ + ∆

′= + − − − ⇒ = =

ℓ ℓ ℓ ℓ≃

ℓ ℓ ℓ

1 1. . 1

2 2

1 11 .( 0,003) ( 0,003) 2,032( )

2 2

T g g g

T g g g g

T T s

b. Chỉ thay đổi nhiệt độ

( ) ( )α αα

α′= + =′ ′ ′ ′+

′= → = + −′ +

ℓ ℓℓ≃

ℓ0 1 ; 1 1

. 11 2

t g gT g T tt t

T g T t

Câu 3: Một con lắc đơn đếm giây ( tức chu kì dao động bằng 2 s) ở nhiệt độ 00C và ở nơi có gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2. Tính chu kì của con lắc đơn ở cùng vị trí, nhưng ở nhiệt độ 250C. Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là 1,2.10-5 độ-1 A. 2,3,2 s B. 2.003 s C. 2,0003 s D. 2,032 s Hướng dẫn

( )−′′= + − = ⇒ = =51

1 .1,2.10 25 0 1,00015 2.1,00015 2,0003( )2

TT s

T



Câu 4: Một con lắc đơn dao động nhỏ với chu kì 2,032 s khi nhiệt độ môi trường 200C. Nếu nhiệt độ môi trường 300C thì chu kì dao động bằng bao nhiêu? Biết hệ số nở dài của thanh treo con lắc là 0,00002 K-1 A. 2,0167 s B. 2,0194 s C. 2,0232 s D. 2, 0322 s Hướng dẫn

( )′′= + − = ⇒ = =

11 .0,0002 30 20 1,0001 .1,0001 2,0322( )

2

TT T s

T

c. Cả nhiệt độ và vị trí địa lý thay đổi

( )αα

α′ ′ ′ ′+ ∆

′= = + − −+ + ∆

ℓ≃

ℓ

1 1 1. . 1

1 2 2

T g t g gt t

T g t g g g

Câu 5: Một con lắc đơn đếm giây (có chu kì bằng 2 s) ở nhiệt độ 200C và tại một nơi có gia tốc trọng trường 9, 813 m/s2, thanh treo có hệ số nở dài 17.10-6 độ-1. Đưa con lắc lên đến một nơi có gia tốc trọng trường là 9,809 m/s2 và nhiệt độ 300C thì chu kì dao động bằng bao nhiêu? A. 2,0007 s B. 2,0006 s C. 2,0232 s D. 2,0322 s Hướng dẫn

( ) ( )−

−−′

′= + − − = ⇒ = =3

64.101 1

1 .17.10 30 20 1,0003 1,0003. 2,0006( )2 2 9,813

TT T s

T

Câu 6: Một con lắc đơn có chu kì bằng 2,2 s ở nhiệt độ 250C và tại một nơi có gia tốc trọng trường 9,811 m/s2, thanh treo có hệ số nở dài 2.10-5 độ-1. Đưa con lắc đến một nơi có gia tốc trọng trường là 9,809 m/s2 và nhiệt độ 350C thì chu kì dao động bằng bao nhiêu? A. 2,0007 s B. 2,0006 s C. 2,2004 s D. 2,2005 s Hướng dẫn

( ) ( )−

−−′

′= + − − = ⇒ = =3

52.101 1

1 .2.10 35 25 1,0002 1,0002. 2,004( )2 2 9,811

TT T s

T

d. Đưa lên độ cao h và nhiệt độ cũng thay đổi

( )αα

α′ ′ ′+

′= = + − +′ + +

ℓ≃

ℓ

2

2

1 / 1. . 1

1 / ( ) 2

T g t GM R ht t

T g t GM R h R

Câu 7: Một con lắc đơn khi đặt trên mặt đất với nhiệt độ 200C thì chu kì dao động 2,25s. Thanh treo con lắc có hệ số nở dài 2.10-5 K-1. Tại đó nếu đưa con lắc lên đến độ cao so với mặt đất bằng 0,0001 lần bán kính Trái Đất và trên đó nhiệt độ 300C thì chu kì dao động là bao nhiêu? A. 2,25046 s B. 2,25045 s C. 2,2004 s D. 2,2005 s Hướng dẫn

( )−′′= + − + = ⇒ = =51 0,0001

1 .2.10 30 20 1,0002 .1,0002 2,25045( )2

T RT T s

T R

Câu 8: Ở 230C tại mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T. Khi đưa con lắc lên cao 960 m thì chu kì vẫn là T. Cho biết hệ số nở dài của thanh treo con lắc là 2.10-5 độ-1; bán kính Trái Đất là 6400 km. Nhiệt độ ở độ cao này là bao nhiêu? A. 60C B. 00C C. 80C D. 40C Hướng dẫn



( ) ( )− − −′′ ′= + − + = ⇔ − + =

′ ′⇒ − = − ⇒ = − =

5 5 4

0

1 0,961 .2.10 23 1 10 23 1,5.10 0

2 6400

23 15 23 15 8

Tt t

T

t t C

Câu 9: Người ta nâng một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao 0,64 km. Biết bán kính Trái Đất là 6400 km, hệ số nở dài của thanh treo con lắc là 0,00002 K-1. Hỏi nhiệt độ phải thay đổi thế nào để chu kì dao động không thay đổi? A. tăng 100C B. tăng 50C C. giảm 50C D. giảm 100C Hướng dẫn

( ) − −′ = + + ∆ − + = ⇒ ∆ + =

⇒ ∆ = − ⇒

5 4

0 0

1 0,641 .0,00002. 1 1.10 . 1.10 0

2 6400

10 giam 10

Tt t t t

T

t C C

e. Thay đổi chu kì do lực đẩy Ác-si-mét Quả nặng có thể tích V khi đặt trong chất lỏng hoặc chất khí có khối lượng riêng ρ luôn chịu tác dụng của lực đẩy Ác – si – mét FA = ρVg (giá trị nhỏ). Lực đó gây ra cho vật gia tốc

�a , có

hướng ngược với hướng của �g và có độ lớn

ρ ρ ρ= = =

.

Vg Vg ga

m D V D ( với D là khối lượng

riêng của chất làm quả nặng). Lúc này vai trò của gia tốc trọng trường tác dụng lên vật được thay bằng gia tốc trọng trường

hiệu dụng ′�g có hướng cùng hướng với �g và có độ lớn:

ρ′ = − = − <

gg g a g g

D . Nếu coi chu

kì trong chân không làm chuẩn thì trong chất khí (lỏng) chu kì thay đổi: ρ ρ′ ∆

= + ⇒ =1 1

12 2

T T

T D T D

Câu 10: Một con lắc đơn có chu kì dao động nhỏ 2,6 s khi đặt trong chân không. Quả lắc làm bằng hợp kim khối lượng riêng 4675 g/dm3. Tính chu kì dao động nhỏ của con lắc khi dao động trong không khí; khi quả lắc chịu tác dụng của sức đẩy Ác-si-mét, khối lượng riêng của không khí là 1,3 g/dm3. Bỏ qua ma sát A. 2,6024 s B. 2,6004 s C. 2,6008 s D. 2,6002 s Hướng dẫn

ρ ρρ

′ ′= = + ⇒ = + ′ −

′⇒ = +

≃

≃

1 12 2

1,32,6 1 2,6004( )

2.4675

T g gT T

T g D Dg gD

T s

Câu 11: Cho một con lắc đơn treo ở đầu một sợi dây mảnh dài bằng kim loại, vật nặng làm bằng chất có khối lượng riêng 8 g/dm3. Khi dao động nhỏ trong bình chân không thì chu kì dao động là 2(s). Cho con lắc đơn dao động trong bình chứa một chất khí thì thấy chu kì tăng một lượng 250µs. Khối lượng riêng của chất khí đó là: A. 0.004 g/cm3 B. 0.002 g/cm3 C. 0.04 g/cm3 D. 0.02 g/cm3 Hướng dẫn



( )ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ

−

− − −

− −

′ = + ⇒ + = +

⇒ = ⇒ = ⇒ =

⇒ = = =

6

6 6 6

6 5 3 3

1 250.10 12 2

. .2250.10 250.10 250.10

2 2

250.10 .0.008 2.10 / 0.002 /

T T T TD D

T

D D D

g dm g cm

- Nếu ngoại lực F gây ra một gia tốc nhỏ =F

am

thì cũng được coi là một nguyên nhân dẫn đến

sự thay đổi nhỏ của chu kì, và gọi chung là sự thay đổi chu kì nhỏ theo gia tốc và có:

∆= ±

1.

2

T a

T g ( lấy dấu “ –“ khi ngoại lực cùng hướng với trọng lực và ngược lại thì dấu “

+” ) Câu 12: Một con lắc đơn tạo bởi một quả cầu kim loại khối lượng 10g buộc vào một sợi dây mảnh cách điện, sợi dây có hệ số nở dài 2.10-5 K-1, dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, trong điện trường đều hướng thẳng đứng từ trên xuống có độ lớn 9800 V/m. Nếu tăng nhiệt độ 100C và truyền điện tích q cho quả cầu thì chu kì dao động của con lắc vẫn không đổi. Điện lượng của quả cầu là: A. 20nC B. 2nC C. -20 nC D. -2 nC Hướng dẫn

( )

( )

αα

α

α −

− −−

′ ′ ′+ ∆′= = = − − +′ + + ∆

′⇒ ∆ = − = > ⇒ >

∆⇒ = = ∆ ⇒ = = =

ℓ≃

ℓ4

2 49

3

1 1 11 . . 1

1 2 2

. 2.9,8.10 0 : gia tèc t¨ng 0

. . 10 .2.9,8.102.10

9,8.10

T g t g gt t

T g t g g g

g g t t q

q E m ga g q C

m E

Dạng 11: Đồng hồ quả lắc a. Số chỉ của đồng hồ chạy đúng và đồng hồ chạy sai + Khi đồng hồ chạy sai chỉ A (s) thì đồng hồ chạy đúng chỉ

. . . .A T g

B T A AT T g

′ ′′= = =

′ℓ

ℓ

+ Khi đồng hồ chạy đúng chỉ A (s) thì đồng hồ chạy sai chỉ

. . . .A T g

B T A AT T g

′= = =

′ ′ ′ℓ

ℓ

Câu 1: Hai đồng hồ quả lắc, đồng hồ chạy đúng có chu kì T = 2s và đồng hồ chạy sai có chu kì T’ = 2,002 s. Nếu đồng hồ chạy sai chỉ 24h thì đồng hồ chạy đúng chỉ A. 24 giờ 1 phút 26,4 giây B. 24 giờ 2 phút 26,4 giây C. 23 giờ 47 phút 19,4 giây D. 23 giờ 44 phút 5 giây Hướng dẫn

2,002

. . 24. 24 1 26,42

A TB T A h

T T

′′ ′ ′′= = = =

Câu 2: Hai đồng hồ quả lắc, đồng hồ chạy đúng có chu kì T = 2s và đồng hồ chạy sai có chu kì T’ = 2,002 s. Nếu đồng hồ đúng sai chỉ 24h thì đồng hồ chạy sai chỉ A. 23 giờ 48 phút 26,4 giây B. 23 giờ 49 phút 26,4 giây



C. 23 giờ 47 phút 19,4 giây D. 23 giờ 58 phút 33,7 giây Hướng dẫn

2

. . 24. 23 58 33,72,002

A TB T A h

T T′ ′′= = = =

′ ′

Câu 3: Một đồng hồ quả lắc được điều khiển bởi con lắc đơn chạy đúng giờ khi chiều dài thanh treo 0,234 m và gia tốc trọng trường 9,832 m/s2. Nếu chiều dài thanh treo 0,232 m và gia tốc trọng trường 9,831 m/s2 thì sau khi Trái Đất quay được 1 vòng (24h) số chỉ của đồng hồ là bao nhiêu? A. 24 giờ 6 phút 7,2 giây B. 24 giờ 6 phút 2,4 giây C. 24 giờ 6 phút 9,4 giây D. 24 giờ 8 phút 3,7 giây Hướng dẫn

0,234 9,831

. . . . 24. . 24 6 7,20,232 9,832

A T gB T A A h

T T g

′′ ′′= = = = =

′ ′ ′ℓ

ℓ

Câu 4: Người ta đưa một đồng hồ quả lắc từ Trái Đất lên Mặt Trăng mà không điều chỉnh lại. Cho biết gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng nhỏ hơn trên Trái Đất 6 lần. Treo đồng hồ này trên Mặt Trăng thì thời gian Trái Đất tự quay 1 vòng là A. 12 giờ B. 4 giờ C. 18 giờ 47 phút 1 giây D. 9 giờ 47 phút 3,7 giây Hướng dẫn

/ 6 1 1

. . . . . . 24. 9 47 3,76 6

A T g gB T A A A h

T T g g

′′ ′′= = = = = = =

′ ′ ′ℓ ℓ

ℓ ℓ

Câu 5: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên Mặt Trăng. Đưa đồng hồ về Trái Đất mà không điều chỉnh lại thì theo đồng hồ, thời gian Trái Đất tự quay một vòng là bao nhiêu? Cho biết gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng nhỏ hơn trên Trái Đất 6 lần A. 144 giờ B. 24 giờ C. 9 giờ 47 phút 53 giây D. 58 giờ 47 phút 16 giây Hướng dẫn

. . . . . 24. 6 58 47 16/ 6

A T g gB T A A h

T T g g

′ ′′ ′ ′′= = = = = =

′ℓ ℓ

ℓ ℓ

b. Sự nhanh chậm của đồng hồ chạy sai Chu kì dao động đúng là T và chu kì dao động sai là T’ + Số dao động con lắc dao động đúng thực hiện khi đồng hồ sai chỉ thời gian t là:

t

NT

=

+ Số dao động con lắc dao động sai thực hiện: t

NT

′ =′

+ Số dao động sai: 1 1

. .. .

T T TN N N t t t

T T T T T T

′ − ∆ ′∆ = − = − = = ′ ′ ′

+ Thời gian chạy sai: 0 : ChËm

. . < 0: Nhanh

Tt T N t

T

>∆′∆ = ∆ =

Các nguyên nhân làm cho đồng hồ quả lắc chạy sai: do điều chỉnh chiều dài, do thay đổi vị trí địa lí, do nhiệt độ thay đổi, đưa lên độ cao h:



0

0 0 0

0 : ch¹y ®óng

1 1 1. 0 : Ch¹y chËm

2 2 2

0 : Ch¹y nhanh

lµ hÖ sè në dµi ; R lµ b¸n kÝnh Tr¸i §Êt

g = g -g

t

T

T

T g h Tt

T g R T

T

T

t t

α

α

∆ =

∆ ∆ ∆ ∆= − + ∆ + >

∆

<

′∆ ′∆ = −

ℓ

ℓ

+ Nếu đồng hồ chạy sai chỉ thời gian 24 h thì so với đồng chạy đúng nó bị sai một lượng là:

24.3600. (s)T

T

∆

+ Nếu đồng hồ đặt trong chân không chạy đúng thì đồng hồ đó khi đặt ngoài không khí sẽ chạy sai:

01 1 1. . ( víi lµ khèi l−îng riªng cña kh«ng khÝ,

2 2 2 2

D lµ khèi l−îng riªng cña vËt dao ®éng)

T g ht

T g R D

ρα ρ

∆ ∆ ∆= − + ∆ + +

ℓ

ℓ

Câu 6: Một đồng hồ quả lắc được điều khiển bởi con lắc đơn chạy đúng giờ. Nếu chiều dài giảm 0,02% và gia tốc trọng trường tăng 0,01% thì số chỉ của nó tăng thêm 1 tuần, so với đồng hồ chạy chuẩn nó chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? A. chạy chậm 80,7 giây B. chạy nhanh 80,7 giây C. chạy chậm 90,72 giây D. chạy nhanh 90,72 giây Hướng dẫn

1 1. 1 . 1

2 2

1 0,02 1 0,01. 7.86400. 90,72 (s)

2 100 2 100

T T T g g T g

T T g g g T g

T Tt

T T

′ ′∆ − + ∆ ∆ ∆ ∆= = − = − ⇒ −

′ + ∆

∆ ∆ = − − ⇒ ∆ = = −

ℓ ℓ ℓ ℓ≃

ℓ ℓ ℓ

Câu 7: Một đồng hồ quả lắc được điều khiển bởi con lắc đơn chạy đúng giờ khi đặt ở địa cực Bắc có gia tốc trọng trường 9,832 m/s2. Đưa đồng hồ về xích đạo có gia tốc trọng trường 9,78 m/s2. Nếu số chỉ của nó tăng 24 h thì so với đồng hồ chuẩn nó chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Coi nhiệt độ không đổi. A. chậm 2,8 phút B. nhanh 2,8 phút C. chậm 3,8 phút D. nhanh 3,8 phút Hướng dẫn

( ) 39,78 9,8321 12,64.10

2 2 9,832

86400. 228,096 (s) = 3,8 phót >0

T g

T g

Tt

T

−−∆ ∆= − = − =

∆⇒ ∆ = =

Câu 8: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng khi đặt trên mặt Đất. Đưa con lắc lên cao 4 km so với mặt đất mà nhiệt độ không thay đổi thì đồng hồ sẽ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu trong một ngày đêm? Biết bán kính Trái Đất là R = 6400 km



A. chậm 5,4 s B. nhanh 5,4 s C. chậm 54 s D. nhanh 54 s Hướng dẫn

446,25.10 86400. 54 (s) >0: chËm 54 s

6400

T h Tt

T R T−∆ ∆

= = = ⇒ ∆ = =

Câu 9: Ở 230C tại mặt đất, một con lắc đồng hồ chạy đúng. Khi đưa con lắc lên cao 960 m, ở độ cao này con lắc vẫn chạy đúng. Biết hệ số nở dài 0,00002 K-1, bán kính Trái Đất là 6400 km. Nhiệt độ ở độ cao này là A. 60C B. 00C C. 80C D. 40C Hướng dẫn

0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 1 2 2.0,96. 0 . 15

2 2 . 0,00002.6400

15 15 15 23 8

T h h ht t t C

T R R R

t t t t C

α αα

∆ − −= ∆ + = ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = = = −

′ ′⇒ − = − ⇒ = − + = − + =

Câu 10: Một con lắc đơn đếm giây ở nhiệt độ 00C, biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là 1,2.10-5 K-1. Đồng hồ quả lắc ( dùng con lắc đếm giây) chạy đúng ở 00C. Khi ở nhiệt độ là 250C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm trong một ngày đêm là bao nhiêu? A. chậm 12,96 s B. chậm 129,6 s C. nhanh 12,96 s D. Chậm 12,97 s Hướng dẫn

0 5 41 1. .1,2.10 .25 1,5.10 86400. 12,96 (s)>0

2 2

T Tt t

T Tα − −∆ ∆

= ∆ = = ⇒ ∆ = =

Câu 11: Một đồng hồ quả lắc được điều khiển bởi con lắc đơn chạy đúng giờ khi đặt lên trên mặt đất tại nơi có gia tốc trọng trường 9,818 m/s2 có nhiệt độ 100C. Thanh treo có hệ số nở dài 2.10-5 K-1. Khi đưa đồng hồ đến nơi khác có gia tốc trọng trường 9,794 m/s2 có nhiệt độ 300C thì đồng hồ chạy sai. Nếu đồng hồ chạy sai chỉ 24 h thì so với đồng hồ chuẩn nó chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? A. chậm 123,9 s B. chậm 122,9 s C. nhanh 122,9 s D. nhanh 123,9 s Hướng dẫn

( ) ( )0 5 39,794 9,8181 1 1 1. .2.10 30 10 1,4.10

2 2 2 9,818 2

86400. 122,90 (s)>0 chËm 122,9 s

T gt

T g

Tt

T

α − −−∆ ∆= − + ∆ = − + − =

∆⇒ ∆ = = ⇒

Câu 12: Một đồng hồ quả lắc được điều khiển bởi con lắc đơn chạy đúng giờ khi đặt trên mặt đất với nhiệt độ 200C. Thanh treo con lắc có hệ số nở dài 2.10-5 K-1. Tại đó nếu đưa đồng hồ lên đến độ cao so với mặt đất bằng 0,0001 lần bán kính Trái Đất và trên đó nhiệt độ 150C thì nếu đồng hồ chạy sai chỉ 24 h thì so với đồng hồ chạy chuẩn nó chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? A. chậm 3,9 s B. chậm 4,32 s C. nhanh 2,9 s D. nhanh 3,9 s Hướng dẫn

( )0 5 51 1 0,0001.. .2.10 15 20 5.10

2 2

86400. 4,32 (s) >0: chËm 4,32 s

T h Rt

T R R

Tt

T

α − −∆= ∆ + = − + =

∆⇒ ∆ = =



Câu 13: Một đồng hồ quả lắc coi như con lăc đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có khối lượng riêng là 8900 kg/m3. Giả sử đồng hồ chạy đúng trong chân không thì trong khí quyển đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu sau 12h ? Cho biết khối lượng riêng của không khí là 1,3 kg/m3. A. nhanh 3,2 s B. chậm 3,2 s C. chậm 2,8 s D. nhanh 2,8 s Hướng dẫn

51,3 864007,303.10 . 3,2 s>0: chËm 3,2 s

2 2.8900 2

T Tt

T D T

ρ −∆ ∆= = = ⇒ ∆ = =

c. Điều chỉnh lại chiều dài sao cho chu kì không thay đổi Khi đồng hồ đang chạy sai muốn cho nó chạy đúng thì phải thay đổi chiều dài sao cho:

0

0 t¨ng1 1 1

. 02 2 2 2

0 gi¶m

T g ht

T g R D

ρα

∆ > ⇒∆ ∆ ∆ = − + ∆ + + = ⇒

∆ < ⇒

ℓℓ ℓℓ ℓ

ℓ

Nếu cứ sau mỗi ngày đêm đồng hồ chạy nhanh b(s) thì cần phải tăng chiều dài sao cho:

1 ( )

0 ?2 24.3600( )

b s

s

∆ ∆ + − = ⇒ =

ℓ ℓ

ℓ ℓ

Nếu cứ sau mỗi ngày đêm đồng hồ chạy chậm b(s) thì cần phải giảm chiều dài sao cho:

1 ( )

0 ?2 24.3600( )

b s

s

∆ ∆ + = ⇒ =

ℓ ℓ

ℓ ℓ

Câu 14: Dùng con lắc đơn để điều khiển đồng hồ quả lắc, gia tốc rơi tự do là 9,819 m/s2. Nhiệt độ là 200C thì đồng hồ chạy đúng giờ. Cho hệ số nở dài của dây treo là 0,00002 K-1. Nếu đưa về nơi có gia tốc rơi tự do là 9,793 m/s2 và nhiệt độ 300C. Để đồng hồ chạy đúng thì phải tăng hay giảm chiều dài bao nhiêu phần trăm? A. giảm 0,2848% B. tăng 0,2848% C. giảm 0,2847% D. tăng 0,2846% Hướng dẫn

( ) ( )

0 01 1 1. 0 .

2 2 2

9,793 9,8190,00002 30 20 0,2847% 0 : giam

9,819

T g gt t

T g gα α

∆ ∆ ∆ ∆ ∆= − + ∆ = ⇒ = − ∆

−∆ ∆⇒ = − − ⇒ = − <

ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ

Câu 15: Một con lắc đơn có chiều dài 1 m, tại một nơi có gia tốc trọng trường là 9,81 m/s2. Dùng con lắc nói trên để điều khiển đồng hồ quả lắc, ở 00C đồng hồ chạy đúng giờ. Hệ số nở dài của dây treo là 0,0000232 K-1. Đưa về nơi có gia tốc rơi tự do là 9,793 m/s2 và nhiệt độ 300C. Để đồng hồ chạy đúng thì phải tăng hay giảm chiều dài bao nhiêu? A. giảm 3,344 mm B. tăng 3,344 mm C. giảm 3,345 mm D. tăng 3,345 mm Hướng dẫn

( ) ( )

0 01 1 1. 0 .

2 2 2

9,793 9,8190,0000232 30 0 3,344 0 : giam

9,819

T g gt t

T g gα α

∆ ∆ ∆ ∆ ∆= − + ∆ = ⇒ = − ∆

−∆ ∆⇒ = − − ⇒ = − <

ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ



Câu 16: Tại một nơi trên mặt đất, một đồng hồ quả lắc trong một ngày đêm chạy nhanh trung bình là 6, 485 (s). Coi đồng hồ được điều khiển bởi con lắc đơn. Để đồng hồ chạy đúng giờ thì phải tăng hay giảm chiều dài bao nhiêu phần trăm? A. tăng 0,01% B. giảm 0,01% C. tăng 0,015% D. giảm 0,015% Hướng dẫn

Đồng hồ chạy nhanh nên: 1 6,485

0 0,015%2 24.3600

∆ ∆ + − = ⇒ = +

ℓ ℓ

ℓ ℓ

Câu 17: Một đồng hồ quả lắc xem như một con lắc đơn mỗi ngày chạy nhanh 86.4 s. Phải điều chỉnh chiều dài của dây treo như thế nào để đồng hồ chạy đúng A. tăng 0,2% B. giảm 0,2% C. tăng 0,4% D. giảm 0,4% Hướng dẫn

Đồng hồ chạy nhanh nên: 1 86,4

2. 0 0,2%2 24.3600

∆ ∆ + − = ⇒ = +

ℓ ℓ

ℓ ℓ

Câu 18: Một đồng hồ quả lắc đếm giây bị sai, mỗi ngày chạy nhanh 1 phút. Coi quả lắc đồng hồ như con lắc đơn. Cần điều chỉnh độ dài của con lắc thế nào để đồng hồ chạy đúng, biết g = 9,8 m/s2. A. giảm 2 cm B. tăng 1 cm C. giảm 1 cm D. tăng 2 cm Hướng dẫn Đồng hồ chạy nhanh nên:

( )

3 3

2 2

2 2 2

3 3

601,39.10 1,39.10 0 : t¨ng chiÒu dµi

12.3600

9,8.2 9,8Ta cã: T = 2 0,99 (m)

4 4

.1,39.10 1 1,39.10 0,99

0,98 0,01 m = 1 cm

gT

gπ

π π π

− −

− −

∆= = ⇒ ∆ = >

′′⇒ = = = =

′⇒ ∆ = ⇒ = + ∆ = + =

′⇒ = ⇒ ∆ = − =

ℓℓ ℓ

ℓ

ℓℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

Bài 4: CÁC LOẠI DAO ĐỘNG A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Dao động tự do: Là dao động mà chu kỳ dao động của vật chỉ phụ thuộc vào các đặc tính của hệ. 2. Dao động tắt dần: a. Khái niệm: Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian b. Đặc điểm: - Dao động tắt dần xảy ra khi có ma sát hoặc lực cản của môi trường. Ma sát càng lớn thì dao động tắt dần càng nhanh - Biên độ dao động giảm nên năng lượng của dao động cũng giảm theo 3. Dao động duy trì Nếu cung cấp thêm năng lượng cho vật dao động tắt dần (bằng cách tác dụng ngoại lực cùng chiều với chiều chuyển động của vật dao động trong từng phần của chu kì) để bù lại phần năng lượng tiêu hao do ma sát mà không làm thay đổi chu kì dao động riêng của nó, khi đó vật dao động mải mải với chu kì bằng chu kì dao động riêng của nó, dao động này gọi là dao động duy trì. Ngoại lực tác dụng lên vật dao động thường được điều khiển bởi chính dao động đó.



4. Dao động cưỡng bức: a. Khái niệm: Dao động cưỡng bức là dao động mà hệ chịu thêm tác dụng của một ngoại lực biến thiên tuần hoàn có biểu thức F=F0sin(ωt). b. Đặc điểm - Ban đầu khi tác dụng ngoại lực thì hệ dao động với tần số dao động riêng f0 của vật. - Sau khi dao động của hệ được ổn định (thời gian từ lúc tác dụng lực đến khi hệ có dao động ổn định gọi là giai đoạn chuyển tiếp) thì dao động của hệ là dao động điều hoà có tần số bằng tần số ngoại lực. - Biên độ dao động của hệ phụ thuộc vào biên độ dao động của ngoại lực (tỉ lệ với biên độ của ngoại lực) và mối quan hệ giữa tần số dao động riêng của vật f0 và tần số f dao động của ngoại lực (hay |f - f0|). Đồ thị dao động như hình vẽ: 5. Hiện tượng cộng hưởng: Nếu tần số ngoại lực (f) bằng với tần số riêng (f0) của vật thì biên độ dao động cưỡng bức đạt giá trị cực đại, hiện tượng này gọi là hiện tượng cộng hưởng. 6. Phân biệt Dao động cưỡng bức và dao động duy trì a. Dao động cưỡng bức với dao động duy trì: • Giống nhau: - Đều xảy ra dưới tác dụng của ngoại lực. - Dao động cưỡng bức khi cộng hưởng cũng có tần số bằng tần số riêng của vật. • Khác nhau: * Dao động cưỡng bức - Ngoại lực là bất kỳ, độc lập với vật - Sau giai đoạn chuyển tiếp thì dao động cưỡng bức có tần số bằng tần số f của ngoại lực - Biên độ của hệ phụ thuộc vào F0 và |f – f0| * Dao động duy trì - Lực được điều khiển bởi chính dao động ấy qua một cơ cấu nào đó - Dao động với tần số đúng bằng tần số dao động riêng f0 của vật - Biên độ không thay đổi b. Cộng hưởng với dao động duy trì: • Giống nhau: Cả hai đều được điều chỉnh để tần số ngoại lực bằng với tần số dao động tự do của hệ. • Khác nhau: * Cộng hưởng - Ngoại lực độc lập bên ngoài. - Năng lượng hệ nhận được trong mỗi chu kì dao động do công ngoại lực truyền cho lớn hơn năng lượng mà hệ tiêu hao do ma sát trong chu kì đó. * Dao động duy trì - Ngoại lực được điều khiển bởi chính dao động ấy qua một cơ cấu nào đó. - Năng lượng hệ nhận được trong mỗi chu kì dao động do công ngoại lực truyền cho đúng bằng năng lượng mà hệ tiêu hao do ma sát trong chu kì đó. 7. Nâng cao: Các công thức tính toán trong dao động tắt dần

x

tO

Giai đoạn ổn



a.Định lý động năng : Độ biến thiên năng lượng của vật trong quá trình chuyển động từ (1) đến (2) bằng công của quá trình đó. W2 - W1 = A, với A là công. W2 > W1 thì A > 0, (quá trình chuyển động sinh công) W2 < W1 thì A < 0, (A là công cản) b. Một con lắc lò xo dao động tắt dần với biên độ A, hệ số ma sát µ.

* Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là:2 2 2

2 2

kA AS

mg g

ωµ µ

= =

* Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là: 2

4 4mg gA

k

µ µω

∆ = =

* Số dao động thực hiện được: 2

4 4

A Ak AN

A mg g

ωµ µ

= = =∆

* Thời gian vật dao động đến lúc dừng

lại: .4 2

AkT At N T

mg g

πωµ µ

∆ = = = (Nếu coi dao động tắt dần có tính

tuần hoàn với chu kỳ 2

Tπ

ω= )

c. Đặc điểm:

-Cơ năng của vật giảm dần chuyển hóa thành nhiệt.

-Tùy theo lực cản của môi trường lớn hay nhỏ mà dao động tắt dần xảy ra nhanh hay chậm.

d.Tác dụng

- Dao động tắt dần có lợi: Bộ phận giảm sóc trên xe ôtô, xe máy… kiểm tra, thay dầu nhớt.

- Dao động tắt dần có hại: Dao động ở quả lắc đồng hồ, phải lên dây cót hoặc thay pin.

Trong không khí Trong nước Trong dầu nhớt

T

∆

x

tO



B.CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Cộng hưởng

c−ìng bøc

dao ®éng m¹nh nhÊt khi x¶y ra céng h−ëngc−ìng bøc

ST

vT T

1 2 mT 2 2

f k g

∆ =

→ =π = = = π = π

ω

ℓ

Câu 1: Một xe ô tô chạy trên đường, cứ cách 8m lại có một cái mô nhỏ. Chu kì dao động tự do của khung xe trên các lò xo là 1,5s. Xe chạy với tốc độ nào thì bị rung mạnh nhất? A. 13 m/s B. 14 m/s C. 16/3 m/s D. 16 m/s Hướng dẫn Dao động mạnh nhất khi xảy ra cộng hưởng:

c−ìng bøc

S S 8 16T T T v (m/s)

v T 1,5 3

∆ ∆= ⇒ = ⇒ = = =

Câu 2: Một con lắc lò xo gồm viên bi nhỏ khối lượng m và lò xo khối lượng không đáng kể có độ cứng 10 N/m. Con lắc dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn có tần số góc ωF. Biết biên độ của ngoại lực tuần hoàn không thay đổi. Khi thay đổi ωF thì biên độ dao động của viên bi thay đổi và khi ωF = 10 rad/s thì biên độ dao động của viên bi đạt giá trị cực đại. Khối lượng m của viên bi là A. 40 g B. 10 g C. 120 g D. 100 g Hướng dẫn

F 2F

k km 0,1 (kg) = 100 (g)

m= ω = ω ⇒ = =

ω

Câu 3: Một hành khách dùng dây cao su treo một chiếc ba lô trên trần toa tầu, ngay phía trên một trục bánh xe của toa tầu. Khối lượng của ba lô là 16kg, hệ số cứng của dây cao su 900 N/m, chiều dài mỗi thanh ray là 12,5 m, ở chỗ nối hai thanh ray có một khe nhỏ. Hỏi tầu chạy với vận tốc bao nhiêu thì ba lô dao động mạnh nhất? A. 13 m/s B. 14 m/s C. 15 m/s D. 16 m/s Hướng dẫn Dao động mạnh nhất khi xảy ra cộng hưởng:

c−ìng bøc

S m 16 4T T T 2 2 (s)

v k 900 15

S S 12,5.15v= 15 (m/s)

4T 415

∆ π= ⇒ = = π = π =

∆ ∆⇒ = =

π π≃

Dạng 2: Dao động tắt dần của con lắc lò xo 1. Tổng quãng đường đi được Cơ năng ban đầu bằng tổng công của lực ma sát:

2 2

ms

kA kAA mg.S S

2 2 mg= = µ ⇒ =

µ

Câu 1: Một vật khối lượng 100g gắn với một lò xo có độ cứng 100 N/m, dao động trên mặt phẳng nằm ngang với biên độ ban đầu 10 cm. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Biết hệ số ma



sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1. Tổng chiều dài quãng đường mà vật đi được cho tới lúc dừng lại là A. 5m B. 4m C. 6m D. 3m Hướng dẫn

2 2 2

ms

kA kA 100.0,1A mg.S S 5 (m)

2 2 mg 2.0,1.0,1.10= = µ ⇒ = = =

µ

Câu 2: Một con lắc lò xo có độ cứng 200 N/m, vật nặng có khối lượng m = 200g dao động trên mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,02. Lấy g = 10 m/s2. Kéo vật khỏi VTCB một đoạn 10cm rồi thả nhẹ. Quãng đường mà vật đã đi được cho đến khi dừng hẳn là A. 0,25 m B. 25 m C. 2,5 m D. 5 m Hướng dẫn

2 2 2

ms

kA kA 200.0,1A mg.S S 25 (m)

2 2 mg 2.0,02.0,2.10= = µ ⇒ = = =

µ

Câu 3: Một vật có khối lượng 250g được mắc với lò xo có độ cứng 100 N/m. Hệ dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang với biên độ 2√2 cm. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Khi hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,1 thì tổng chiều dài quãng đường mà vật đi được từ lúc dao động cho đến lúc dừng lại là A. 15 cm B. 16 cm C. 18 cm D. 24 cm Hướng dẫn

( )22 2

ms

100. 0,02 2kA kAA mg.S S 0,16 (m) = 16 (cm)

2 2 mg 2.0,1.0,25.10= = µ ⇒ = = =

µ

2. Phần trăm cơ năng bị mất sau một chu kì Câu 4: Một con lắc dao động tắt dần trong môi trường với lực ma sát rất nhỏ. Cứ sau mỗi chu kì, biên độ giảm 3%. Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao nhiêu phần trăm? A. 3% B. 6% C. 4,5% D. 9% Hướng dẫn

( )( )2 2

2 2 2

kA kAA A A AW W W 2A. A 2. A 2.3%.A2 2 6%

kAW W A A A A

2

′− ′ ′+ −′∆ − ∆ ∆

= = = = = =≃

Câu 5: Một con lắc dao động tắt dần trong môi trường với lực ma sát rất nhỏ. Cứ sau mỗi chu kì, phần năng lượng của con lắc bị mất đi 8%. Trong một dao động toàn phần biên độ dao động của con lắc bị giảm đi bao nhiêu phần trăm? A. 2√2% B. 4% C. 6% D. 1,6% Hướng dẫn



( )( )2 2

2 2 2

kA kAA A A AW W W 2A. A 2. A2 2 8%

kAW W A A A

2A 8%

4%A 2

′− ′ ′+ −′∆ − ∆ ∆

= = = = =

∆⇒ = =

≃

3. Phần trăm cơ năng bị mất sau N chu kì Câu 6: Một con lắc lò xo đang dao động tắt dần, sau ba chu kì đầu tiên biên độ của nó giảm đi 10%. Phần trăm cơ năng chuyển thành nhiệt sau khoảng thời gian đó là A. 6,3% B. 81% C. 19% D. 27% Hướng dẫn

3 3

2

23 3 3

A A A10% 90%

A A

W A W W W0,9 0,81 81% 19%

W A W W

− = ⇒ =

∆ − = = = = ⇒ = =

Câu 7: Một con lắc lò xo đang dao động tắt dần với cơ năng ban đầu 8J. Sau ba chu kì đầu tiên biên độ của nó giảm đi 10%. Phần cơ năng chuyển thành nhiệt sau khoảng thời gian đó là A. 6,3%.8 B. 81%.8 C. 19%.8 D. 27%.8 Hướng dẫn

3 3

2

23 3 3

A A A10% 90%

A A

W A W W W0,9 0,81 81% 19% W 19%.8

W A W W

− = ⇒ =

∆ − = = = = ⇒ = = ⇒ ∆ =

4. Số dao động thực hiện được + Ta chỉ xét dao động tắt dần chậm nên độ giảm biên độ sau một chu kì rất nhỏ:

A A A A A 2A′ ′∆ = − ⇒ + ≃ + Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát thực hiện trong chu kì đó:

( )( )2 2

msms ms

kA kA k 4F 4 mgF .4A A A A A F .4A A

2 2 2 k k

′ µ′ ′− = ⇔ + − = ⇒ ∆ =≃

+ Tổng số dao động thực hiện được: A

NA

=∆

Câu 8: Một con lắc lò xo, vật nặng có khối lượng 100g, lò xo có độ cứng 100 N/m dao động trên mặt phẳng ngang với biên độ ban đầu 10 cm. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1. Số dao động thực hiện được kể từ lúc dao động cho đến lúc dừng lại là A. 25 B. 50 C. 30 D. 20 Hướng dẫn Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát thực hiện trong chu kì đó:

( )( )2 2

msms ms


2 2 2 k k

′ µ′ ′− = ⇔ + − = ⇒ ∆ =≃

Tổng số dao động thực hiện được: A k.A 100.0,1

N 25A 4 mg 4.0,1.0,1.10

= = = =∆ µ



Câu 9: Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng 200g, lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng 80 N/m; đặt trên mặt sàn nằm ngang. Người ta kéo vật ra khỏi VTCB đoạn 3 cm và truyền cho nó vận tốc 80 cm/s. Cho g = 10 m/s2. Do có lực ma sát nên vật dao động tắt dần, sau khi thực hiện được 10 dao động vật dừng lại hẳn. Hệ số ma sát giữa vật và sàn là A. 0,5 B. 0,2 C. 0,05 D. 0,1 Hướng dẫn

( )( )

2 2 22 2 200 02

2 2

A 2A

v mv 0,2.0,8A x x 0,03 0,05 (m)

k 80

kA kA kmg.4A A A A A mg.4A

2 2 2

4 mg A kA kA 80.0,05A N 0,05

k A 4 mg 4Nmg 4.10.0,2.10

∆

= + = + = + =ω

′′ ′− = µ ⇒ − + = µ

µ⇒ ∆ = ⇒ = = ⇒ µ = = =

∆ µ

��

Câu 10: Một vật khối lượng 100g nối với một lò xo có độ cứng 80 N/m. Đầu còn lại của lò xo gắn cố định sao cho vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Người ta kéo vật ra khỏi VTCB đoạn 3 cm và truyền cho nó vận tốc 80√2 cm/s. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Tính hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, vật chỉ dao động được 10 chu kì thì dừng hẳn. A. 0,5 B. 0,2 C. 0,05 D. 0,1 Hướng dẫn

( )

( )( )

22 2

2 2 200 02

2 2

A 2A

0,1. 0,8 2v mvA x x 0,03 0,05 (m)

k 80

kA kA kmg.4A A A A A mg.4A

2 2 2

4 mg A kA kA 80.0,05A N 0,1

k A 4 mg 4Nmg 4.10.0,1.10

∆

= + = + = + =ω

′′ ′− = µ ⇒ − + = µ

µ⇒ ∆ = ⇒ = = ⇒ µ = = =

∆ µ

��

Câu 11: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/m, một đầu cố định, một đầu gắn với vật nặng khối lượng = 0,5kg. Ban đầu kéo vật theo phương thẳng đứng khỏi VTCB 5cm rồi buông nhẹ cho vật dao động. Trong quá trình dao động vật luôn chịu tác dụng của lực cản có độ lớn bằng 1/ 100 trọng lực tác dụng lên vật. Coi biên độ của vật giảm đều trong từng chu kì, lấy g = 10 m/s2. Số lần vật qua vị trí cân bằng kể từ khi thả vật đến khi nó dừng hẳn là bao nhiêu? A. 25 B. 50 C. 30 D. 20 Hướng dẫn Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát thực hiện trong chu kì đó:

( )( )2 2

msms ms

2A A

kA kA k 4F 4.0,01.0,5.10F .4A A A A A F .4A A

2 2 2 k 100

A 0,002 (m) = 0,2 (cm)∆

′′ ′− = ⇔ + − = ⇒ ∆ =

∆ =

≃ ��

Tổng số dao động thực hiện được:

A 5 cm

N 25A 0,2 cm

= = =∆



Tổng số lần đi qua VTCB là: 25. 2 = 50 lần 5. Thời gian dao động

ms

kA m kA m A k At N.T .2 .2

4F k 4 mg k 2 g m 2 g

π π ω∆ = = π = π = =

µ µ µ

Câu 12: Một con lắc lò xo, vật nặng có khối lượng 100g, lò xo có độ cứng 100 N/m dao động trên mặt phẳng nằm ngang với biên độ ban đầu 10 cm. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1. Thời gian từ lúc dao động cho đến lúc dừng lại là A. 5s B. 3s C. 6s D. 4s Hướng dẫn Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát thực hiện trong chu kì đó:

( )( )2 2

msms ms


2 2 2 k k

′ µ′ ′− = ⇔ + − = ⇒ ∆ =≃

Tổng số dao động thực hiện được: A k.A

NA 4 mg

= =∆ µ

Thời gian dao động:

ms

kA m kA m A k .0,1 100t N.T .2 .2 5 (s)

4F k 4 mg k 2 g m 2.0,1.10 0,1

π π∆ = = π = π = = =

µ µ

Câu 13: Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 60 N/m và quả cầu có khối lượng 60g, dao động trong một chất lỏng với biên độ ban đầu bằng 12cm. Trong quá trình dao động con lắc luôn chịu tác dụng của một lực cản có độ lớn không đổi. Khoảng thời gian từ lúc dao động cho đến khi dừng lại hẳn là 120s. Độ lớn của lực cản là A. 0,002N B. 0,003N C. 0 004N D. 0,005N Hướng dẫn

ms

ms ms

ms

kA m A A mkt N.T .2 . mk F

4F k 2F 2 t

0,12.3,14. 0,06.60F 0,003 (N)

2.120

π π∆ = = π = ⇒ =

∆

= ≃

Câu 14: Một vật khối lượng 200g nối với một lò xo có độ cứng 80 N/m. Đầu còn lại của lò xo gắn cố định, sao cho vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật ra khỏi VTCB một đoạn 10cm rồi thả nhẹ. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,1. Thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động đến lúc dừng lại là A. 2 s B. 1 s C. 2π s D. π s Hướng dẫn

ms

kA m kA m A k .0,1 80t N.T .2 .2 (s)

4F k 4 mg k 2 g m 2.0,1.10 0,2

π π∆ = = π = π = = = π

µ µ

6. Biên độ dao động sau n dao động: An = A – n.∆A Câu 15: Một vật có khối lượng 100g nối với một lò xo có độ cứng 100 N/m. Đầu còn lại của lò xo gắn cố định, sao cho vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật ra khỏi VTCB một đoạn 8cm rồi buông nhẹ. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,2. Biên độ dao động của vật sau 5 chu kì là A. 2 cm B. 6 cm C. 5 cm D. 4cm Hướng dẫn



( )( )2 2

A 2A

5

kA kA kmg4A A A A A mg4A

2 2 2

4 mg 4.0,2.0,1.10A 0,008 (m) = 0,8 (cm) A A 5 A 4 (cm)

k 100

∆

′′ ′− = µ ⇒ − + = µ

µ⇒ ∆ = = = ⇒ = − ∆ =

��

Câu 16 : Một vật có khối lượng 100g nối với một lò xo có độ cứng 80 N/m. Đầu còn lại của lò xo gắn cố định, sao cho vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật ra khỏi VTCB một đoạn 3cm và truyền cho nó vận tốc 80√2 cm/s. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,05. Biên độ dao động của vật sau 5 chu kì là A. 2 cm B. 2,75 cm C. 4,5 cm D. 3,75cm Hướng dẫn

( )

( )( )

22 2

2 2 20 00 02

2 2

A 2A

5

0,1 0,8 2v mvA x x 0,03 0,05 (m)

k 80

kA kA kmg4A A A A A mg4A

2 2 2

4 mg 4.0,05.0,1.10A 0,25 (m) A A 5 A 5 5.0,25 3,75 (cm)

k 80

∆

= + = + = + =ω

′′ ′− = µ ⇒ − + = µ

µ⇒ ∆ = = = ⇒ = − ∆ = − =

��

Câu 17: Một vật có khối lượng 100g nối với một lò xo có độ cứng 100 N/m. Đầu còn lại của lò xo gắn cố định, sao cho vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật ra khỏi VTCB một đoạn 8cm rồi buông nhẹ. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,2. Biên độ dao động của vật sau 3 chu kì là A. 2,4 cm B. 6 cm C. 5,6 cm D. 4cm Hướng dẫn

( )( )2 2

A 2 A

3

k A k A km g 4 A A A A A m g 4 A

2 2 2

4 m g 4 .0 , 2 .0 ,1 .1 0A 0, 0 0 8 (m ) = 0 ,8 (c m )

k 1 0 0A A 3 A 8 c m 3 .0 , 8 c m 5, 6 (c m )

∆

′′ ′− = µ ⇒ − + = µ

µ⇒ ∆ = = =

⇒ = − ∆ = − =

��

7. Tốc độ cực đại + Dao động theo phương ngang

- Lúc đầu lực phục hồi cực đại là kA sau đó nó giảm dần đồng thời tốc độ của vật tăng dần. Đến khi lực phục hồi cân bằng với lực ma sát thì tốc độ của vật cực đại, tiếp đó tốc độ giảm dần vì lực ma sát lớn hơn lực phục hồi.

- Khi: hp ms

mgF F k.x mg x ?

k

µ= ⇒ = µ ⇒ = =

- Tại vị trí này cơ năng còn lại: ( ) ( )2 2 2kx mv kA k

mg A x v A x2 2 2 m

+ = − µ − ⇒ = −

Câu 18: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02kg và lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục của lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc lò xo



dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là A. 10√30 cm/s B. 20√6 cm/s C. 40√2 cm/s D. 40√3 cm/s Hướng dẫn - Lúc đầu lực phục hồi cực đại là kA sau đó nó giảm dần đồng thời tốc độ của vật tăng dần. Đến khi lực phục hồi cân bằng với lực ma sát thì tốc độ của vật cực đại, tiếp đó tốc độ giảm dần vì lực ma sát lớn hơn lực phục hồi.

- Khi: hp ms

mg 0,1.0,02.10F F k.x mg x 0,02 (m)

k 1

µ= ⇒ = µ ⇒ = = =

- Tại vị trí này cơ năng còn lại:

( ) ( ) ( )2 2 2kx mv kA k 1

mg A x v A x 0,1 0,02 0,4 2 (m/s)2 2 2 m 0,02

+ = − µ − ⇒ = − = − =

Câu 19: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2kg và lò xo có độ cứng 80 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục của lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị giãn 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc lò xo dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là A. 10√30 cm/s B. 195 cm/s C. 40√2 cm/s D. 40√3 cm/s Hướng dẫn - Lúc đầu lực phục hồi cực đại là kA sau đó nó giảm dần đồng thời tốc độ của vật tăng dần. Đến khi lực phục hồi cân bằng với lực ma sát thì tốc độ của vật cực đại, tiếp đó tốc độ giảm dần vì lực ma sát lớn hơn lực phục hồi.

- Khi: hp ms

mg 0,1.0,2.10F F k.x mg x 0,0025 (m)

k 80

µ= ⇒ = µ ⇒ = = =

- Tại vị trí này cơ năng còn lại:

( ) ( ) ( )2 2 2kx mv kA k 80

mg A x v A x 0,1 0,0025 195 (cm/s)2 2 2 m 0,2

+ = − µ − ⇒ = − = − =

+ Li độ cực đại của vật sau khi đi qua vị trí cân bằng - Tại vị trí có li độ cực đại tiếp theo thì tốc độ triệt tiêu

- Tại vị trí này cơ năng còn lại: ( )2 2kA kA

mg A A A ?2 2

′′ ′= − µ + ⇒ =

Câu 20: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02kg và lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục của lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị giãn 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc lò xo dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Li độ cực đại cảu vật sau khi đi qua vị trí cân bằng là A. 2 cm B. 6 cm C. 4√2 cm D. 4√3 cm Hướng dẫn - Tại vị trí có li độ cực đại tiếp theo thì tốc độ triệt tiêu - Tại vị trí này cơ năng còn lại:

( ) ( )2 2 2 2

2

kA kA 1.A 1.0,1mg A A 0,1.0,02.10 0,1 A

2 2 2 2

A 0,04A 0,006 0 A 0,06 (m)

′ ′′ ′= − µ + ⇒ = − +

′ ′ ′⇒ + − = ⇒ =

Câu 21: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2kg và lò xo có độ cứng 80 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục của lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa



giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị giãn 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc lò xo dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Li độ cực đại cảu vật sau khi đi qua vị trí cân bằng là A. 9 cm B. 6 cm C. 4√2 cm D. 9,5 cm Hướng dẫn - Tại vị trí có li độ cực đại tiếp theo thì tốc độ triệt tiêu - Tại vị trí này cơ năng còn lại:

( ) ( )2 2 2 2

2

kA kA 80.A 80.0,1mg A A 0,1.0,2.10 0,1 A

2 2 2 2

40A 0,2A 0,38 0 A 0,095 (m) = 9,5 (cm)

′ ′′ ′= − µ + ⇒ = − +

′ ′ ′⇒ + − = ⇒ =

Câu 22: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,1kg và lò xo có độ cứng 100 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục của lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,2. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị giãn 8 cm rồi buông nhẹ để con lắc lò xo dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Li độ cực đại cảu vật sau khi đi qua vị trí cân bằng là A. 7,2 cm B. 6 cm C. 7,6 cm D. 6,5 cm Hướng dẫn - Tại vị trí có li độ cực đại tiếp theo thì tốc độ triệt tiêu - Tại vị trí này cơ năng còn lại:

( ) ( )2 2 2 2

2

kA kA 100.A 100.0,08mg A A 0,2.0,1.10 0,08 A

2 2 2 2

50A 0,2A 0,304 0 A 0,076 (m) = 7,6 (cm)

′ ′′ ′= − µ + ⇒ = − +

′ ′ ′⇒ + − = ⇒ =

+ Dao động thẳng đứng Câu 23: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, lò xo có độ cứng k = 100 N/m, đầu dưới gắn với vật nhỏ có khối lượng 100g. Gọi O là VTCB của vật. Đưa vật tới vị trí lò xo không bị biến dạng rồi truyền cho nó vận tốc có độ lớn 20 cm/s hướng lên. Vì có lực cản của không khí lên con lắc nên nó sẽ dao động tắt dần chậm. Lực cản đó có độ lớn không đổi và bằng Fc = 0,005 N. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Vật có vận tốc lớn nhất ở vị trí A. trên O là 0,05 mm B. dưới O là 0,05mm C. tại O D. trên O là 0,1 mm Hướng dẫn

Tại VTCB lúc đầu lò xo giãn: 30

mg 110.10 (m)

k 100−∆ = = =ℓ

Vật chuyển động chậm dần lên trên đến vị trí cao nhất. Sau đó, vật chuyển động nhanh dần xuống dưới và tốc độ đạt giá trị cực đại khi:

3cc 0

F 0,005F k.x x 5.10 (m) <

k 100−= ⇒ = = = ∆ℓ

Câu 24: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, lò xo có độ cứng k = 100 N/m, đầu dưới gắn với vật nhỏ có khối lượng 100g. Gọi O là VTCB của vật. Đưa vật tới vị trí lò xo không bị biến dạng rồi truyền cho nó vận tốc có độ lớn 20 cm/s hướng lên. Vì có lực cản của không khí lên con lắc nên nó sẽ dao động tắt dần chậm. Lực cản đó có độ lớn không đổi và bằng Fc = 0,005 N. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Vật có vận tốc lớn nhất là A. 0,45 m/s B. 0,37 m/s C. 0,33 m/s D. 0,25 m/s Hướng dẫn


mg 110.10 (m)

k 100−∆ = = =ℓ



Chọn mốc thế năng là VTCB lúc đầu. Lực kéo về ( hợp lực của lực đàn hồi và trọng lực): F = - k.x

Cơ năng ban đầu: 2 2 2 2 60 0

0

mv kx 0,1.0,2 100.10 .10W 0,007 (J)

2 2 2 2

−

= + = + =

Vật chuyển động chậm dần lên đến vị trí cao nhất. Tại vị trí cao nhất cơ năng:

( )2

2 30 c 0

kAW F A 50A 0,005A 7,05.10 0 A 0,011824447(m)

2−= − − ∆ ⇔ + − = ⇒ =ℓ Sau

đó, vật chuyển động nhanh dần xuống dưới và tốc độ đạt giá trị cực đại khi:

( )

( )

5cc

2 2

0 c 0

2 2 103 5

F 0,005k.x F x 5.10 (m). C¬ n¨ng ë vÞ trÝ nµy lµ:

k 100

mv kxW F A x A x

2 2

0,1.v 100.5 .100,007 0,005 2.0,011824447 10.10 5.10

2 2

v 0,37 (m/s)

−

−− −

= ⇒ = = =

+ = − − + −

⇔ + = − − −

⇒ =

Câu 25: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, lò xo có độ cứng k = 100 N/m, đầu dưới gắn với vật nhỏ có khối lượng 100g. Gọi O là VTCB của vật. Đưa vật tới vị trí lò xo không bị biến dạng rồi truyền cho nó vận tốc có độ lớn 10√3 cm/s hướng lên. Vì có lực cản của không khí lên con lắc nên nó sẽ dao động tắt dần chậm. Lực cản đó có độ lớn không đổi và bằng Fc = 0,1 N. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Vật có vận tốc lớn nhất là A. 0,45 m/s B. 0,37 m/s C. 0,586 m/s D. 0,25 m/s Hướng dẫn


mg 110.10 (m)

k 100−∆ = = =ℓ

Chọn mốc thế năng là VTCB lúc đầu. Lực kéo về ( hợp lực của lực đàn hồi và trọng lực): F = - k.x

Cơ năng ban đầu: 2 2 40 0

0

mv kx 0,1.0,01.30 100.10W 0,02 (J)

2 2 2 2

−

= + = + =

Vật chuyển động chậm dần lên đến vị trí cao nhất. Tại vị trí cao nhất cơ năng:

( )2

20 c 0

kAW F A 50A 0,1A 0,021 0 A 0,0195 (m)

2= − − ∆ ⇔ + − = ⇒ =ℓ

Sau đó, vật chuyển động nhanh dần xuống dưới và tốc độ đạt giá trị cực đại khi:

( )

( )

cc

2 2

0 c 0

2 62

F 0,1k.x F x 0,001 (m). C¬ n¨ng ë vÞ trÝ nµy lµ:

k 100

mv kxW F A x A x

2 2

0,1.v 100.100,02 0,1 2.0,0195 10 0,001 v 0,586 (m/s)

2 2

−−

= ⇒ = = =

+ = − − + −

⇔ + = − − − ⇒ =

Dạng 3: Dao động tắt dần của con lắc đơn

Tương tự như đối với con lắc lò xo, trong đó thay 2 mgk m= ω =

ℓ



1. Tổng quãng đường đi được Cơ năng ban đầu bằng công của lực ma sát:

2 22 2max ms ms max

ms ms

mgA mg mgA mgA F S S

2 2 2 .F 2F= α = = ⇒ = = α

ℓ ℓ

ℓ ℓ

Câu 1: Một con lắc đơn có chiều dài 0,5m, quả cầu nhỏ có khối lượng 200g, dao động tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, với biên độ góc 0,12 rad/s. Trong quá trình dao động con lắc luôn chịu tác dụng của lực ma sát nhỏ có độ lớn không đổi 0,002 N thì nó sẽ dao động tắt dần. Tổng quãng đường quả cầu đi được từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn là A. 3,528 m B. 3,828 m C. 2,528 m D. 2,828 m Hướng dẫn Cơ năng ban đầu bằng công của lực ma sát:

22 2 2max ms ms max

ms

mgA mg mg 0,2.9,8.0,5A F S S .0,12 3,528 (m)

2 2 2F 2.0,002= α = = ⇒ = α = =

ℓ ℓ

ℓ

Câu 2: Một con lắc đơn có chiều dài 0,25m, quả cầu nhỏ có khối lượng 100g, dao động tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, với biên độ cong 0,05 m. Trong quá trình dao động con lắc luôn chịu tác dụng của lực ma sát nhỏ có độ lớn không đổi 0,001N thì nó sẽ dao động tắt dần. Tổng quãng đường quả cầu đi được từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn là A. 3,5 m B. 3,8 m C. 4,9 m D. 2,8 m Hướng dẫn Cơ năng ban đầu bằng công của lực ma sát:

( )22 22max ms ms

ms

0,1.9,8. 0,05mgA mg mgAA F S S 4,9 (m)

2 2 2 .F 2.0,25.0,001= α = = ⇒ = = =

ℓ

ℓ ℓ

2. Thời gian dao động

- Độ giảm biên độ sau một chu kì: ms ms msmax

4F 4F A 4FA

k mg mg

∆∆ = = ⇒ ∆α = =

ℓ

ℓ

- Tổng số dao động thực hiện được: max max

ms ms

A . mgN

4FA 4Fmg

α α= = =

∆ℓℓ

- Thời gian dao động: max

ms

mg.t N.T .2

4F g

α∆ = = π

ℓ

Câu 3: Một con lắc đơn có chiều dài 0,5m, quả cầu nhỏ có khối lượng 100g. Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, với biên độ góc 0,14 rad. Trong quá trình dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của lực ma sát nhỏ có độ lớn không đổi 0,002N thì nó sẽ dao động tắt dần. Dao động tắt dần có cùng chu kì như khi không có lực cản. Khoảng thời gian từ lúc con lắc dao động cho đến khi dừng hẳn là A. 23 s B. 24 s C. 34 s D. 15 s Hướng dẫn

max

ms

mg. 0,1.9,8.0,14 0,5t N.T .2 .2 24 (s)

4F g 4.0,002 9,8

α∆ = = π = π =

ℓ

Câu 4: Một con lắc đồng hồ được coi như một con lắc đơn có chu kì dao động 2s, vật nặng có khối lượng 1kg, tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2. Biên độ góc dao động lúc đầu là 50. Nếu có một lực cản không đổi 0,011N thì nó chỉ dao động được một thời gian bao nhiêu?



A. 34,2 s B. 38,9 s C. 33,4 s D. 25,6 s Hướng dẫn Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát thực hiện trong chu kì đó:

( ) ( )max

2 2max max

ms max

msmax max max max ms max

2

max max

ms

mg mgF .4

2 2mg 4F

. F .42 mg

mgTæng sè dao ®éng thùc hiÖn ®−îc: N =

4F

51.9,8.

180Thêi gian dao ®éng: t = N.T = 4.0,01

∆α α

′α α− = α

′ ′⇒ α − α α + α = α ⇒ ∆α =

α α=

∆α

π

∆

≃

ℓ ℓℓ

��

.2 38,9 (s)1

=

3. Độ hao hụt cơ năng trung bình sau 1 chu kì

2max

mgW

2 t WN W

T NT 2

g

= α ∆⇒ = ⇒ ∆ =

= π

ℓ

ℓ

Câu 5: Một con lắc đơn có chiều dài 0,992 m, quả cầu nhỏ có khối lượng 25g. Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2 với biên độ góc 40, trong môi trường có lực cản tác dụng. Biết con lắc đơn chỉ dao động được 50s thì ngừng hẳn. Xác định độ hao hụt cơ năng trung bình sau một chu kì A. 20µJ B. 22 µJ C. 23 µJ D. 24 µJ Hướng dẫn

2

2 4max

6

mg 0,025.9,8.0,992 4W 6.10 (J)

2 2 180 WW 24.10 (J)

N0,992 tT 2 2 2 (s) N 25

g 9,8 T

−

−

π = α =

⇒ ∆ = =∆ = π = π = ⇒ = =

ℓ≃

ℓ

Câu 6: Một con lắc đơn có dao động nhỏ tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2 với chu kì 2s. Quả cầu nhỏ của con lắc có khối lượng 50g. Cho nó dao động với biên độ góc 0,15 rad trong môi trường có lực cản tác dụng thì nó chỉ dao động được 200s thì dừng hẳn. Độ giảm cơ năng trung bình sau mỗi chu kì là A. 54 µJ B. 55 µJ C. 56 µJ D. 57 µJ Hướng dẫn



22 2 2 3max

2 2

2 2 2

36

9,80,05.9,8.mg 0,05.9,8.

W .0,15 .0,15 5,4.102 2 2

T .g 2 .9,8 9,8T 2

g 4 4

t 200 W 5,4.10N 100 W 54.10 (J)

T 2 N 100

−

−−

π= α = = =

= π ⇒ = = =π π π

∆⇒ = = = ⇒ ∆ = = =

ℓ ℓ

ℓℓ

4. Công cần thiết cung cấp 2max

mgW .

2W

§é gi¶m c¬ n¨ng sau mét gi©y: e = t

N¨ng l−îng cÇn bæ sung sau t(s): t.e

t.eV× chØ cã H% cã Ých nªn c«ng toµn phÇn:

H%

= α

∆

ℓ

Câu 7: Một con lắc đơn có dao động nhỏ tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2 với dây dài 1m, quả cầu nhỏ có khối lượng 80g. Cho nó dao động với biên độ góc 0,15rad trong môi trường có lực cản tác dụng thì nó chỉ dao động được 200s thì ngừng hẳn. Duy trì dao động bằng cách dùng một hệ thống lên dây cót sao cho nó chạy được trong một tuần lễ với biên độ góc 0,15rad. Biết 80% năng lượng được dùng để thắng lực ma sát do hệ thống các bánh răng cưa. Công cần thiết để lên dây cót là A. 183 J B. 133 J C. 33 J D. 193J Hướng dẫn

2 2 3max

35

5

mg 0,08.9,8.1W . .0,15 8,82.10 J

2 2

W 8,82.10§é gi¶m c¬ n¨ng sau mét gi©y: e = 4,41.10 J/s

t 200

N¨ng l−îng cÇn bæ sung sau mét tuÇn: 4,41.10 .7.24.3600 26,67168 J

V× chØ cã 20% cã Ých nªn c«

−

−−

−

= α = =

= =∆

=

ℓ

100ng toµn phÇn: .26,67168 133,3584 J

20=

Câu 8: Một con lắc đồng hồ được coi như một con lắc đơn dao động tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, vật nặng có khối lượng 1kg, sợi dây dài 1m và biên độ góc lúc đầu là 0,08rad. Do chịu tác dụng của một lực cản không đổi nên nó chỉ dao động được 100s. Người ta dùng nguồn điện một chiều có suất điện động 3V điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng lượng cho con lắc với hiệu suất 25%. Pin có điện lượng ban đầu 10000C. Hỏi đồng hồ chạy được thời gian bao lâu thì lại phải thay pin? A. 291,5 ngày B. 292,8 ngày C. 393,3 ngày D. 276,8 ngày Hướng dẫn



2 2max

4

4

mg 1.9,8.1W .0,08 0,03136 J

2 2W

§é gi¶m c¬ n¨ng trong 1 gi©y: 3,136.10 J100

25Tæng n¨ng l−îng cung cÊp cã Ých: .3(V).10000(C) 7500 J

1007500

Thêi gian ho¹t ®éng sau mçi lÇn thay pin: (s3,136.10

−

−

= α = =

=

=

ℓ

1 ngµy) 276,8 ngµy

86400(s)× =

Câu 9: Một con lắc đơn có vật nặng 0,5kg, chiều dài dây treo 0,5m dao động với biên độ góc 50 tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2. Do có ma sát nên sau 5 chu kì biên độ dao động chỉ còn 40. Phải dùng một máy nhỏ có công suất bao nhiêu để duy trì dao động với biên độ 50 A. 0,06 W B. 48µW C. 48mW D. 0,473mW Hướng dẫn

2 2

2 2max max

3

4

0,5t 5T 5.2 10 7,096 (s)

g 9,8

mg mg 0,5.9,8.0,5 5 4W W W

2 2 2 180 180

W 3,358.10 J

WP = phÇn c¬ n¨ng gi¶m trung b×nh sau mçi gi©y: 4,73.10 W

t

−

−

∆ = = π = π

π π ′ ′∆ = − = α − α = −

⇒ ∆ =

∆=

∆

ℓ≃

ℓ ℓ

LỰC ĐÀN HỒI – LỰC PHỤC HỒI Dạng 1: Lực đàn hồi, lực phục hồi khi con lắc lò xo dao động theo phương ngang + Lực hồi phục hay lực kéo về VTCB có độ lớn 2

hpF k. x m x= = ω

+ Lực đàn hồi là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng, có độ lớn dhF k.= ∆ℓ ( ∆ℓ là độ biến dạng của lò xo) + Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực phục hồi và lực đàn hồi là một ( vì tại VTCB lò xo không biến dạng ) Câu 1: Một con lắc lò xo gồm quả cầu 100g dao động điều hòa theo phương ngang với

phương trình x 2cos 0,2t cm6

π = +

( t đo bằng ms). Độ lớn lực đàn hồi cực đại là

A. 0,016 N B. 1,6.10-6 N C. 0,0008 N D. 80 N Hướng dẫn

( )22 3maxF k.A m A 0,1 0,2.10 .0,02 80 N= = ω = =

Câu 2: Một con lắc lò xo, gồm lò xo nhẹ có độ cứng 50 N/m, vật có khối lượng 2kg, dao động điều hòa dọc theo trục Ox theo phương ngang ( O là VTCB) theo phương trình

x 6cos t cm3

π = ω +

. Tính lực đàn hồi của lò xo tại thời điểm 0,4π s

A. 3,1 N B. 1,5 N C. 2,9 N D. 3,2 N Hướng dẫn



dh

k 505 rad/s

m 2

Khi t = 0,4 (s): x = 6cos 5t 6cos 5.0,4 3 cm3 3

V× lß xo n»m ngang nªn = x F k. k.x 50.0,03 1,5 N

ω = = =

π π π + = π + =

∆ ⇒ = ∆ = = =ℓ ℓ

Câu 3: Một quả cầu nhỏ có khối lượng 1kg gắn vào đầu lò xo được kích thích dao động điều hòa theo phương ngang với tần số góc 10 rad/s. Khi tốc độ của vật là 60 cm/s thì lực đàn hồi tác dụng lên vật bằng 8 N. Biên độ dao động của vật là A. 5 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm Hướng dẫn

2 dhdh hp 2 2

22

2

F 8F F k x m x x 0,08 (m) = 8 ( cm)

m 1.10

vA= x 10 cm

= = = ω ⇒ = = =ω

⇒ + =ω

Dạng 2: Lực đàn hồi – lực hồi phục khi dao động theo phương xiên, thẳng đứng + Lực hồi phục hay lực kéo về VTCB có độ lớn 2

hpF k. x m x= = ω

+ Lực đàn hồi là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng, có độ lớn dhF k.= ∆ℓ ( ∆ℓ là độ biến dạng của lò xo) + Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực phục hồi và lực đàn hồi là một ( vì tại VTCB lò xo không biến dạng ) + Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng, gọi 0∆ℓ là độ biến dạng của lò xo ở VTCB - Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:

dh 0

dh 0

F k x khi chiÒu d−¬ng h−íng xuèng

F k x khi chiÒu d−¬ng h−íng lªn

= ∆ +

= ∆ −

ℓ

ℓ

1. Trường hợp vật ở dưới + Độ giãn của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB:

0 0

20 2

0

0

mgk. mg

k

k g g

m

T 2g

∆ = ⇒ ∆ =

ω = = ⇒ ∆ = ∆ ω⇒

∆ = π

ℓ ℓ

ℓℓ

ℓ

+ Độ giãn của lò xo nằm trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α khi vật ở VTCB:

+ x

O m

k

α

0∆ℓ

m k

0∆ℓ

Vật ở dưới



20 2

0

0 0

0

k g.sin g.sin

mmg.sink. mg.sin

kT 2

g.sin

α αω = = ⇒ ∆ = ∆ ωα ∆ = α⇒ ∆ = ⇒

∆ = π α

ℓℓ

ℓ ℓℓ

+ Chiều dài lò xo tại VTCB: CB 0 0 0 ( lµ chiÒu dµi tù nhiªn )= + ∆ℓ ℓ ℓ ℓ

+ Chiều dài cực tiểu ( khi vật ở vị trí cao nhất ): min 0 0 A= + ∆ −ℓ ℓ ℓ + Chiều dài cực đại ( Khi vật ở vị trí thấp nhất):

max min max minmax 0 0 CBA A ;

2 2

− += + ∆ + ⇒ = =

ℓ ℓ ℓ ℓℓ ℓ ℓ ℓ

( )( )

0

0

0

d·n Ýt nhÊt (khi vËt cao nhÊt): AA khi dao ®éng lß xo lu«n bÞ d·n

d·n nhiÒu nhÊt (khi vËt thÊp nhÊt): A

∆ −≤ ∆ ⇒

∆ +

ℓℓ

ℓ

0

0

0

0

A khi dao ®éng lß xo võa gi·n võa nÐn:

NÐn nhiÒu nhÊt (khi vËt ë vÞ trÝ cao nhÊt): A-

Kh«ng biÕn d¹ng khi x = -

D·n nhiÒu nhÊt ( khi vËt thÊp nhÊt): A

> ∆ ⇒

∆

∆ ∆ +

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

+ Lực đàn hồi cực đại ( là lực kéo): ( )max 0 K maxF k A F= ∆ + =ℓ

+ Lực đàn hồi cực tiểu

( )

( )

0 min 0 Kmin

0 min

max 0

NÕu A< F k A F ( lµ lùc kÐo)

- NÕu A F 0 (lóc vËt ®i qua vÞ trÝ lß xo kh«ng biÕn d¹ng). Lùc ®Èy (lùc nÐn)

®µn håi cùc ®¹i: F k A (lóc vËt ë vÞ trÝ cao nhÊt)

− ∆ ⇒ = ∆ − =

≥ ∆ ⇒ =

= −∆

ℓ ℓ

ℓ

ℓ

+ Khi 0A > ∆ℓ thì thời gian lò xo nén trong một nửa chu kì là t∆ϕ

∆ =ω

, với 0cosA

∆∆ϕ =

ℓ và

thời gian lò xo dãn trong một nửa chu kì là T

t2

− ∆

* Độ giãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng

0 0 2

0 0 2

mg gk. mg

kmg.sin g.sin

k. mg.sink

∆ = ⇒ ∆ = = ω

α α ∆ = α ⇒ ∆ = =

ω

ℓ ℓ

ℓ ℓ

Câu 4: Một con lắc lò xo có độ cứng là k treo thẳng đứng, đầu trên cố định đầu dưới gắn vật. Cho con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số góc 14 rad/s, tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2. Độ giãn cảu lò xo khi vật ở vị trí cân bằng là A. 1 cm B. 5 cm C. 10 cm D. 2,5 cm Hướng dẫn

20 0 0 0 2 2

k g 9,8mg k. g g 0,05 m

m 14= ∆ ⇒ = ∆ ⇒ = ω ∆ ⇒ ∆ = = =

ωℓ ℓ ℓ ℓ



Câu 5: Một vật nặng gắn vào lò xo và đặt trên mặt phẳng nghiêng 300 so với mặt phẳng nằm ngang thì lò xo dãn ra một đoạn 0,4 cm. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Chu kì dao động của con lắc là A. 0,178s B. 1,78s C. 0,562s D. 222s Hướng dẫn

0 0,004T 2 2 0,178 s

g.sin 10.0,5

∆= π = π =

αℓ

Câu 6: Một con lắc lò xo có độ cứng k treo trên mặt phẳng nghiêng, đầu trên cố định, đầu dưới gắn vật có khối lượng m. Độ giãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng là 4,9√2 cm. Cho con lắc

dao động điều hòa theo mặt phẳng nghiêng theo phương trình 5

x 6cos 6t cm6

π = +

, ( t đo

bằng giây) tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2. Góc giữa mặt phẳng nghiêng và mặt phẳng ngang là A. 300 B. 450 C. 600 D. 150 Hướng dẫn

2 200

0 0 2

mg.sin g.sin 10 .0,049 2 2k. mg.sin sin 45

k g 9,8 2

ω ∆α α∆ = α ⇒ ∆ = = ⇒ α = = = ⇒ α =

ωℓ

ℓ ℓ

* Biên độ bằng 0∆ℓ

22 2

2

cb 0 00 20

v 2 2 2 2 2x A2

4 2 4 2

gmg g v A . g.Ak

a a v g g axv

+ =ω

= ω = ∆ = ∆= ∆ = = ∆ ω ⇒ − −= → + = ⇒ ω = ω ω ω ω

ℓ ℓℓ ℓ

Câu 7: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng ( trừng với trục của lò xo), khi vật ở cách vị trí cân bằng 5 cm thì có tốc độ bằng không và lò xo không biến dạng. Lấy gia tốc trọng trường 9,8 m/s2. Tốc độ của vật khi đi qua vị trí cân bằng là A. 0,7 m/s B. 7 m/s C. 7√2 m/s D. 0,7√2 m/s Hướng dẫn

0

cb 0 0

0 0

0

A 5 cm = 0,05 mg

v A . g. 9,8.0,05 0,7 m/sk gmg = k.

m

= ∆ =

⇒ = ω = ∆ = ∆ = =∆ ⇒ ω = = ∆ ∆

ℓ

ℓ ℓℓ ℓ

ℓ

Câu 8: Con lắc lò xo treo thẳng đứng. Nâng vật lên đến vị trí lò xo không biến dạng và thả không vận tốc ban đầu thì vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo, khi vận tốc của vật là 1 m/s thì gia tốc của vật là 5 m/s2. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Tần số góc có giá trị là A. 2 rad/s B. 3 rad/s C. 4 rad/s D. 5√3 rad/s Hướng dẫn

22 2

2

v 2 2 2 2 2 2 50 2 x A

4 2 4 2 2

2

mg gA

a v g g a 10 5k 5 3 rad/sv 1a

x

+ =ω

= ∆ = = − − ω ⇒→ + = ⇒ω = = =ω ω ω− =

ω

ℓ

Câu 9: Con lắc lò xo treo thẳng đứng. Nâng vật lên đến vị trí lò xo không biến dạng và thả không vận tốc ban đầu thì vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò



xo, khi vận tốc của vật là √3 m/s thì gia tốc của vật là 5 m/s2. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Tần số góc có giá trị là A. 5 rad/s B. 3 rad/s C. 4 rad/s D. 5√3 rad/s Hướng dẫn

22 2

2

v 2 2 2 2 2 2 50 2 x A

4 2 4 2

2

mg gA

a v g g a 10 5k 5 rad/sv 3a

x

+ =ω

= ∆ = = − − ω ⇒→ + = ⇒ω = = =ω ω ω− =

ω

ℓ

* Lực đàn hồi khi vật có li độ x

( )dh 0

dh

dh

F k. k x

F 0 : lß xo gi·n lùc ®µn håi lµ lùc kÐo

F 0 : lß xo nÐn lùc ®µn håi lµ lùc ®Èy

= ∆ = ∆ +

> ⇒

< ⇒

ℓ ℓ

Câu 10: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, đầu dưới có vật khối lượng 0,5kg, độ cứng của lò xo 100 N/m. Chọn tọa độ O tại vị trí cân bằng, trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống. Lấy g = 10 m/s2. Lực tác dụng vào điểm treo khi vật có li độ +2 cm là A. 1N B. 3N C. 5,5N D. 7N Hướng dẫn

0 0 0

dh

mgmg k. 0,05 m = x + 0,02 0,05 0,07 m

k

F k 7 N

= ∆ ⇒ ∆ = = ⇒ ∆ ∆ = + =

⇒ = ∆ =

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ

Câu 11: Gắn một vật có khối lượng 400g vào đầu còn lại của một lò xo treo thẳng đứng thì khi vật cân bằng lò xo giãn một đoạn 10 cm. Từ VTCB kéo vật xuống dưới một đoạn 5 cm theo phương thẳng đứng rồi thả nhẹ cho vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Kể từ lúc thả vật đến lúc vật đi được một đoạn 7 cm. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Lực đàn hồi tác dụng lên vật là A. 2,8 N B. 2 N C. 4,8 N D. 3,2 N Hướng dẫn

0

dh

0

A 5 cm x = 7-5 = 2 cm:vËt ë trªn vÞ trÝ c©n b»ng 2 cm ®é biÕn d¹ng

cña lß xo: = x 10 2 8 cm = 0,08 m

mg 0,4.10F k. . .0,08 3,2 N

0,1

= ⇒ ⇒

∆ ∆ − = − =

= ∆ = ∆ = =∆

ℓ ℓ

ℓ ℓℓ

Câu 12: Gắn một vật có khối lượng 400g vào đầu còn lại của một lò xo treo thẳng đứng thì khi vật cân bằng lò xo giãn một đoạn 5 cm. Từ VTCB kéo vật xuống dưới một đoạn 8 cm theo phương thẳng đứng rồi thả nhẹ cho vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Kể từ lúc thả vật đến lúc vật đi được một đoạn 15 cm, thì lúc đó lực lò xo tác dụng lên điểm treo là lực kéo hay lực đẩy? Độ lớn bao nhiêu? Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2.

x

O

m

k

0∆ℓ



A. đẩy 3,2 N B. đẩy 1,6 N C. kéo 1,6 N kéo 3,2 N Hướng dẫn

0

0 nÐn nÐn 0

dh nÐn nÐn

0

2A 16 15 vËt çch vÞ trÝ cao nhÊt ®o¹n 16 - 15 = 1 cm

A = 8 cm > 5 cm lß xo bÞ nÐn lùc ®µn håi lµ lùc ®Èy

Ta cã: A = 1 A 1 8 5 1 2 cm

mg 0,4.10F k. .0,02 1,6 N

0,05

= > ⇒

∆ = ⇒ ⇒

∆ + ∆ + ⇒ ∆ = − ∆ − = − − =

= ∆ = ∆ = =∆

ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓℓ

* Tính lực đàn hồi cực đại, cực tiểu ( )

( )( )

( )

m a x 0

m in 0

0 ® i Ó m c a o n h Ê t m in

n Ð n m a x 0

F k A

0 F k A

F k A F 00

F k A−

= ∆ +

> ⇒ = ∆ −

= ∆ − = = ≤ ⇒ = − ∆

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

Câu 13: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Lò xo có khối lượng không đáng kể và có độ cứng 40 N/m, vật nặng có khối lượng 200g. Ta kéo vật nặng từ VTCB hướng xuống dưới một đoạn 5cm rồi buông nhẹ cho vật dao động. Lấy g = 10 m/s2. Giá trị cực đại và cực tiểu của lực đàn hồi là A. Fmax = 2 N; Fmin = 1,2 N B. Fmax = 4 N; Fmin = 2 N C. Fmax = 2 N; Fmin = 0 N D. Fmax = 4 N; Fmin = 0 N Hướng dẫn

( )( )

max 00 0

0 min 0

F k A 4Nk. mg 0,05 m

A= 0,05 m = F k A 0N

= ∆ + =∆ = ⇒ ∆ = ⇒

∆ = ∆ − =

ℓℓ ℓ

ℓ ℓ

Câu 14: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động theo phương thẳng đứng với phương trình là x 6cos10t= ( x tính bằng cm, t tính bằng giây ). Khối lượng của vật nặng m = 100g. Lấy g = 10 m/s2. Độ lớn và chiều của lực mà lò xo tác dụng vào điểm treo con lắc khi vật ở vị trí cao nhất là: A. F = 16 N và hướng lên B. F = 0,4 N và hướng lên C. F = 0 N D. F= 0,4 N và hướng xuống Hướng dẫn

( ) ( ) ( )

0 2 2 2

0

2 20 0 ®iÓm cao nhÊt

mg mg g 100,1 m = 10 cm

k m 10A = 6 cm < = 10 cm lß xo gi·n lùc ®µn håi lµ lùc kÐo h−íng lªn

F k A m A 10 .0,1 0,1 0,06 0,4 N

∆ = = = = =ω ω

∆ ⇒ ⇒

⇒ = ∆ − = ω ∆ − = − =

ℓ

ℓ

ℓ ℓ

Câu 15: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động theo phương thẳng đứng với phương

trình x 6 2cos 5 t4

π = π +

( x tính bằng cm, t tính bằng giây). Khối lượng của vật nặng m =

100g, lấy g = 10 m/s2 và π2 = 10. Độ lớn và chiều của lực mà lò xo tác dụng vào điểm treo con lắc khi vật ở vị trí cao nhất là A. F = 3,12 N và hướng lên B. F = 1,12 N và hướng lên C. F = 0 N D. F= 1,12 N và hướng xuống Hướng dẫn



( )( )

2

0 22 2 2

0 0 min ®iÓm cao nhÊt

mg mg g 10 10,04 m = 4 cm

k m 25 255

A = 6 2 cm > = 4 cm F k A 0 F 0

π∆ = = = = = = = ω ω ππ

∆ ⇒⇒ = ∆ − < ⇒ =

ℓ

ℓ ℓ

* Biết lực đàn hồi cực đại, cực tiểu

( )( )

TN 0

0

CN 0

vÞ trÝ thÊp nhÊt: F = k AA

vÞ trÝ cao nhÊt: F = A 0

∆ +> ∆ ⇒

∆ − <

ℓℓ

ℓ

( )( )

kÐo max 0

nÐn max 0

lùc kÐo cùc ®¹i: F k A

lùc nÐn cùc ®¹i: F k A

−

−

= ∆ +

= − ∆

ℓ

ℓ

Câu 16: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng vào điểm J tại nơi có gia tốc trọng trường 10 m/s2. Khi vật dao động điều hòa thì lực nén cực đại lên điểm treo J là 2 N còn lực kéo cực đại lên điểm treo J là 4 N. Gia tốc cực đại của vật dao động là A. 10√2 m/s2 B. 30√2 m/s2 C. 40√2 m/s2 30 m/s2 Hướng dẫn

( )( )

kÐo max 0

0nÐn max 00

2 2max

0

3Alùc kÐo cùc ®¹i: F k A 4N Ak 3

1lùc nÐn cùc ®¹i: F k A 2N

k

k ga A .A .A 3.10 30 m/s

m

−

−

= = ∆ + = ⇒ ⇒ =

∆= − ∆ = ∆ =

= ω = = = =∆

ℓ

ℓℓℓ

ℓ

Câu 17: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có m = 400g dao động điều hòa tại nơi có gia tốc rơi tự do 10 m/s2. Lực đàn hồi cực đại của lò xo là 6 N; khi vật qua VTCB lực đàn hồi cảu lò xo là 4 N. Gia tốc cực đại của vật dao động là A. 5 cm/s2 B. 10 m/s2 C. 5 m/s2 10 cm/s2 Hướng dẫn

( )( )

max 0

0VTCB 00

2 2max

0

2Alùc kÐo cùc ®¹i: F k A 6N A 1k

24lùc nÐn cùc ®¹i: F k 0 4N

k

k g 1a A .A .A 10. 5 m/s

m 2

= = ∆ + = ⇒ ⇒ =

∆= ∆ + = ∆ =

= ω = = = =∆

ℓ

ℓℓℓ

ℓ

Câu 18: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng tại một nơi có gia tốc rơi tự do 10 m/s2, có độ cứng của lò xo 100 N/m. Khi vật dao động thì lực kéo cực đại và lực nén cực đại của lò xo lên giá treo lần lượt là: 6 N và 2 N. Vận tốc cực đại của vật là A. 30√5 cm/s B. 40√5 cm/s C. 30√3 cm/s D. 60√5 cm/s Hướng dẫn



( )( )

kÐo max 0

0nÐn max 00

max

0

4Alùc kÐo cùc ®¹i: F k A 6N Ak 2

2lùc nÐn cùc ®¹i: F k A 2N

k

gv .A .A 0,4 5 m/s = 40 5 cm/s

−

−

= = ∆ + = ⇒ ⇒ =

∆= − ∆ = ∆ =

= ω = =∆

ℓ

ℓℓℓ

ℓ

Câu 19: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng tại một nơi có gia tốc trọng trường 10 m/s2, có độ cứng lò xo 50 N/m. Khi vật dao động thì lực kéo cực đại và lực nén cực đại của lò xo lên giá treo lần lượt là 4 N và 2 N. Vận tốc cực đại của vật là A. 30√5 cm/s B. 40√5 cm/s C. 30√3 cm/s D. 60√5 cm/s Hướng dẫn

( )( )

kÐo max 0

0nÐn max 00

max

0

3 3Alùc kÐo cùc ®¹i: F k A 4N Ak 50 3

1 1lùc nÐn cùc ®¹i: F k A 2N

k 50

k g 10 3 3 300v .A .A .A . = m/s = cm/s = 60 5 cm/s

1m 50 5 550

−

−

= = = ∆ + = ⇒ ⇒ =

∆= − ∆ = ∆ = =

= ω = = =∆

ℓ

ℓℓℓ

ℓ

* Biết tỉ số lực đàn hồi cực đại và cực tiểu ( )( )

0max0

min 0

k AF? ?

F k A

∆ += ⇒ ∆ = ⇒ ω =

∆ −

ℓℓ

ℓ

Câu 20: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, đầu dưới có vật m dao động với biên độ 10 cm. Tỉ số giữa lực cực đại và lực cực tiểu tác dụng vào điểm treo trong quá trình dao động là 7/3. Lấy gia tốc trọng trường g = π2 m/s2. Tần số dao động của vật là A. 1 Hz B. 0,5 Hz C. 0,25 Hz D. 2,5 Hz Hướng dẫn

( )( )

0max 00

min 0 0

0

k AF 0,1 70,25 m

F k A 0,1 3

1 k 1 gf = 1 Hz

2 m 2

∆ + ∆ += = = ⇒ ∆ =

∆ − ∆ −

⇒ = =π π ∆

ℓ ℓℓ

ℓ ℓ

ℓ

Câu 21: : Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, đầu dưới có vật m dao động với biên độ 10 cm. Tỉ số giữa lực cực đại và lực cực tiểu tác dụng vào điểm treo trong quá trình dao động là 13/3. Lấy gia tốc trọng trường g = π2 m/s2. Chu kì dao động của vật là A. 0,8 s B. 0,5 s C. 0,25 s D. 2,5 s Hướng dẫn

( )( )

0max 00

min 0 0

02

k AF 0,1 130,16 m

F k A 0,1 3

m 0,16T 2 2 2 0,8 s

k g

∆ + ∆ += = = ⇒ ∆ =

∆ − ∆ −

∆⇒ = π = π = π =

π

ℓ ℓℓ

ℓ ℓ

ℓ



Câu 22: Một con lắc lò xo được kích thích dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Thời gian vật đi từ vị trí cao nhất đến vị trí thấp nhất là 1,5s; tỉ số giữa lực đàn hồi của lò xo và trọng lượng của vật khi nó ở vị trí thấp nhất là 76/75. Lấy g = 10 m/s2 ; π2 = 10. Biên độ dao động của vật là A. 2 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6,123 cm Hướng dẫn

( )( )0

00max0

0

0

0

0 0

00

Ag 76A 76.k AF 76

g 7575P mg 75

2 2TT T 2g1,5 s T = 3 s

g2

A 76 A1 0,013

75 A0,013 A 6,123 cm

1,52 T. 3T

2 2

∆ +∆ += ∆ + == = ∆ ∆

⇒ ⇒ π π∆= = = π= ⇒ ω ∆

+ = = ∆ ∆ ⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ =

π∆ π = ∆ = = π π

ℓℓℓ

ℓℓ

ℓ

ℓ

ℓ ℓ

ℓℓ

* Biết lực đàn hồi, viết biểu thức. Câu 23: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng 250g gắn vào một lò xo có độ cứng 100 N/m. Từ VTCB của vật người ta kéo vật xuống để lực đàn hồi tác dụng lên điểm treo lò xo là 4,5 N rồi truyền cho nó vận tốc 40√3 cm/s hướng về VTCB. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Chọn Ox thẳng đứng hướng lên, gốc O trùng với VTCB, gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Phương trình dao động của vật là

A. x 4sin 20t cm6

π = +

B. x 2sin 20t cm2

π = −

C. x 4sin 20t cm6

π = −

D. x 4sin 20t cm3

π = −

Hướng dẫn

( )( )

0 00

0

t 0

mg x 2 cm0,025 m x Asin tk v 40 3 cm/s

F v Acos t0,045 m kk = 20 rad/s

m

2 Asinx 4sin 20t cm6

640 3 20Acos A 4 cm

=

= − ∆ − ∆ = −∆ = = = ω + ϕ

= ⇒ = ω ω + ϕ ∆ = =

ω =

−π− = ϕ ϕ = π → ⇒ ⇒ = − = ϕ =

ℓ ℓℓ

ℓ

* Thời gian lò xo bị nén, dãn: 0cosA

∆∆ϕ = ⇒

ℓTrong nửa chu kì thời gian lò xo nén là

t∆ϕ

∆ =ω

, thời gian lò xo giãn là T

t2

− ∆



Câu 24: Một lò xo có độ cứng là k treo thẳng đứng, đầu trên cố định, đầu dưới gắn vật. Độ giãn của lò xo khi vật ở VTCB là 0∆ℓ . Cho con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng

đứng với biên độ là A = 2. 0∆ℓ và chu kì 3s. Thời gian ngắn nhất kể từ khi vật ở vị trí cao nhất đến khi lò xo không biến dạng là A. 1s B. 1,5s C. 0,75s D. 0,5s Hướng dẫn Thời gian ngắn nhất kể từ khi vật ở vị trí cao nhất đến khi lò xo không biến dạng = thời gian lò xo nén trong nửa chu kì

0

.Tt

2 .T2 13t 0,5 sT2 2

1cos

A 2 3

∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ ∆ = = = ππω π⇒ ∆ = = =

π∆ π∆ϕ = = ⇒ ∆ϕ =

ℓ

Câu 25: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng lò xo có độ cứng 100 N/m, vật dao động có khối lượng 100g, lấy gia tốc trọng trường g = π2 = 10 m/s2. Từ VTCB kéo vật xuống một đoạn 1 cm rồi truyền cho vật vận tốc đầu 10π√3 cm/s hướng thẳng đứng thì vật dao động điều hòa. Thời gian lò xo bị nén trong một chu kì là A. π/50 s B. π/60 s C. π/150 s D. π/130 s Hướng dẫn

( )

0

22 2

2 2 20 2

1víi cos =

A 2 3

0,1. 0,1 3mg 0,1.10 v mv0,01 m = 1 cm; A= x x 0,01 0,02 m

k 100 k 100

2 . mTrong nöa chu k× thêi gian lß xo bÞ nÐn lµ: t = .

T k

0,1.0,1. 3t t10100

∆ π∆ϕ = ⇒∆ϕ=

π∆ = = = + = + = + =

ω

∆ϕ π ∆ϕ∆ = = ∆ϕ

ωπ

∆ϕ π⇒ ∆ = → ∆ = =

ℓ

ℓ

s100

2Thêi gian lß xo bÞ nÐn trong mét chu k×: t = 2. t = s

100 50

π π′∆ ∆ =

Câu 26: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,45s và 8 cm. Chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại VTCB, gốc thời gian t = 0 khi vật qua VTCB theo chiều dương. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2 và π2 = 10. Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là A. 4/15 s B. 7/30 s C. 3/10 s D. 1/30 s Hướng dẫn

2

0 2

mg T g0,04 m = 4 cm

k 4A T T T 7T 7

Thêi gian ®i tõ x = 0 x = +A x = 0 x = lµ: s2 4 4 12 12 30

∆ = = = π

− → → → + + = =

ℓ

Câu 27: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, độ cứng 80 N/m, vật nặng khối lượng 200g dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ 5 cm. Lấy g = 10 m/s2. Trong một chu kì, thời gian lò xo giãn là A. π/15 s B. π/30 s C. π/12 s D. π/24 s



Hướng dẫn

0

0

mg 0,2.100,025 m = 2,5 cm

k 80

T 2,5 1Trong nöa chu k× thêi gian lß xo gi·n lµ t ; t , víi: cos

2 A 5 2

.T T T T T T 1 m3t t .2 s23 6 6 2 2 6 3 3 k 30T

∆ = = =

∆ϕ ∆ − ∆ ∆ = ∆ϕ = = = ω

ππ π π

⇒ ∆ϕ = ⇒ ∆ = = = ⇒ − ∆ = − = = π = π π

ℓ

ℓ

2. Trường hợp vật ở trên

CB 0 0

min 0 0

max 0 0

max min

max minCB

A

A

A2

2

= − ∆

= − ∆ − = − ∆ +

− =⇒

+ =

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓℓ

0

0

0

0

N Ðn Ýt n h Ê t ( k h i v Ë t cao n h Ê t) lµ :

AA K h i d ao ® é n g lß x o lu « n b Þ n Ðn

N Ðn n h iÒu n h Ê t (k h i v Ë t th Êp n h Ê t) lµ

A

A K h i d ao ® é n g lß x o v õ a g i·n võ a n Ðn :

D · n n h iÒu n h Ê t (k h i v Ë t cao n h Ê

∆ −

≤ ∆ ⇒ ∆ +

> ∆ ⇒

ℓℓ

ℓ

ℓ

0

0

0

t): A -

K h « n g b iÕn d ¹n g k h i x = -

N Ðn n h iÒu n h Ê t (k h i v Ë t th Êp n h Ê t): A

∆

∆ ∆ +

ℓ

ℓ

ℓ

( )

( )( )

max 0 N max

0 nÐn min min 0

0 min kÐo max 0

Lùc ®µn håi cùc ®¹i ( lµ lùc ®Èy, lùc nÐn): F k A F

Lùc ®µn håi cùc tiÓu (lùc nÐn):

- NÕu A < F F k A

- NÕu A F 0, lùc kÐo ®µn håi cùc ®¹i: F k A

(lóc vËt ë

−

−

+ = ∆ + =

+

∆ ⇒ = = ∆ −

≥ ∆ ⇒ = = − ∆

ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ

0

0

vÞ trÝ cao nhÊt)

+ Khi A > th× thêi gian lß xo d·n trong mét nöa chu k× lµ t = ,

Tvíi cos vµ thêi gian lß xo nÐn trong mét nöa chu k× lµ t

A 2

∆ϕ∆ ∆

ω∆ ∆ϕ = − ∆

ℓ

ℓ

m k

α

0∆ℓ

M

k

0∆ℓ

Vật ở trên



Câu 28: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nghiêng (nghiêng so với mặt phẳng ngang một góc 300), đầu dưới cố định, đầu trên gắn vật, sao cho vật dao động điều hòa theo phương song song với mặt phẳng nghiêng và trùng với trục của lò xo với tần số góc 10 rad/s, với biên độ 3 cm. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Độ nén cực đại của lò xo khi vật dao động là A. 3 cm B. 10 cm C. 7 cm D. 8 cm Hướng dẫn

α αω

∆ = = = = =

⇒ < ∆ ⇒ ∆ + = + =

ℓ

ℓ ℓ

0

0 2 2

0 0

.sin .sin 10.sin30 10,05 (m)

10 20 §é nÐn cùc ®¹i cña lß xo khi vËt thÊp nhÊt lµ: 5 3 8 cm

mg g

k

A A

Câu 29: Một lò xo thẳng đứng, đầu dưới cố định, đầu trên gắn vật, sao cho vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ A, chu kì 3 (s). Độ nén của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng là A/2. Thời gian ngắn nhất kể từ khi vật ở vị trí thấp nhất đến khi lò xo không biến dạng là A. 1s B. 1,5s C. 0,75s D. 0,5s Hướng dẫn Thời gian ngắn nhất kể từ khi vật ở vị trí thấp nhất đến khi lò xo không biến dạng bằng thời

gian lò xo nén trong một nửa chu kì: ϕ ϕ ϕ

πω π∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ = = =

.;

22 2

T Tt t

T

ππ

ϕ ϕπ

∆∆ = = = ⇒ ∆ = ⇒ ∆ = =

⇒ − ∆ = − = = =

ℓ0

./ 2 1 3cos2 3 2 6

31( )

2 2 6 3 3

TA Tt

A A

T T T Tt s

Câu 30: Một lò xo thẳng đứng, đầu dưới cố định, đầu trên gắn vật sao cho vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ 5 cm. Lò xo có độ cứng 80 N/m, vật nặng có khối lượng 200g. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Trong một chu kì, thời gian lò xo nén là A. π/15 (s) B. π/12 (s) C. π/30(s) D. π/24 (s) Hướng dẫn

πϕ ϕ π

ϕ ϕω π π

∆ = = =

− ∆

∆ ∆ ∆∆ = = ∆ = = ⇒ ∆ = ⇒ ∆ = = ⇒ − ∆ = − =

⇒ =

ℓ

ℓ

0

0

0,2.100,025 m = 2,5 cm

80

Thêi gian lß xo bÞ nÐn trong nöa chu k× lµ: 2

.. 1 3;cos2 2 3 2 6 2 2 6 3

2 2Thêi gian lß xo bÞ nÐn trong 1 chu k× lµ: .2

3 3

mg

k

Tt

TT T T T T Tt t t

A

T ππ = ( )

15

ms

k

Câu 31: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ 5 cm dọc theo thanh thẳng đứng trùng với trục của lò xo gồm vật có khối lượng 250g và một lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m



(khi vật ở VTCB lò xo bị nén). Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Thời gian lò xo bị giãn trong một chu kì là A. π/30 (s) B. π/15 (s) C. π/10 (s) D. π/5 (s) Hướng dẫn:

π π π

= ∆ =∆ = = ⇒

=

∆ = = ⇒ ∆

ℓℓ 1 0

0

2

1 2

lß xo kh«ng biÕn d¹ng2,5 cm 2

lß xo gi·n nhiÒu nhÊt

Thêi gian ng¾n nhÊt ®i tõ x ®Õn x lµ:

t = ( ) trong 1 chu k× sÏ lµ 2. t = ( )6 3 60 30

Axmg

kx A

T ms s

k

Bài 5: TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA Dạng 1: Bài toán thuận a. Tìm biên độ và pha ban đầu Áp dụng các công thức :

( ) ( )2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

1 1 2 21 2

1 1 2 2

2 cos 2 cos

sin sintan ;

cos cos

A A A A A A A A A A

A A

A A

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

= + + − ⇒ = + + − +

= ≤ ≤+

Câu 1: Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là

1 25cos 2 cm ; x 5cos 2 cm

6 2x t t

π π = − = −

. Dao động tổng hợp của hai dao động này

có biên độ A. 5 cm B. 5√3 cm C. 10 cm D. 5√2 cm Hướng dẫn

( ) ( )2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

2 5

2 cos 2 cos

5 5 2.5.5cos 5 3 cm2 6

A A A A A A A A A A

A

ϕ ϕ ϕ ϕ

π π

= + + − ⇒ = + + −

− = + + + =

Câu 2: Hai dao động điều hòa cùng phương có biên độ đều bằng 4 cm nhưng pha ban đầu lần lượt là –π/6 và –π/2. Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ là A. 4√3 cm B. 4 cm C. 2√2 cm D. 2√3 cm Hướng dẫn

( ) ( )2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

2 5

2 cos 2 cos

4 4 2.4.4cos 4 3 cm2 6

A A A A A A A A A A

A

ϕ ϕ ϕ ϕ

π π

= + + − ⇒ = + + −

− = + + + =



Câu 3: Cho hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao động lần lượt là

1 23 3cos 5 cm ; x 3 3sin 5 cm

2 2x t t

π ππ π = + = −

. Biên độ dao động tổng hợp của

hai dao động bằng A. 0 cm B. √3 cm C. 6√3 cm D. 3√6 cm Hướng dẫn

( )

( ) ( ) ( )

2

2 22 2

1 2 1 2 2 1

3 3cos 5 3 3cos 5 cm2 2

A = A 2 cos 3 3 3 3 2.3 3.3 3cos2

3 6 cm

x t t

A A A

π ππ π π

πϕ ϕ π

= − − = −

+ + − = + + − −

=

Câu 4: Cho hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao động lần lượt là

1 23 3sin 5 cm ; x 3 3sin 5 cm

2 2x t t

π ππ π = + = −

. Biên độ dao động tổng hợp của

hai dao động bằng A. 0 cm B. √3 cm C. 6√3 cm D. 3√3 cm Hướng dẫn Hai dao động ngược pha nhau nên biên độ dao động tổng hợp:

1 20A A A= − =

Câu 5: Phương trình dao động điều hòa của một vật có dạng x = 6sin5t + 8cos5t (cm). Biên độ dao động đó là A. 5 cm B. 9 cm C. 10 cm D. 11 cm Hướng dẫn Viết phương trình đã cho về dạng:

( )2 2 2 2

1 2 1 2 2 1

6cos 5 8cos52

2 cos 6 8 2.6.8cos 10 cm2

x t t

A A A A A

π

πϕ ϕ

= − +

⇒ = + + − = + + =

Câu 6: Tọa độ của một chất điểm chuyển động trên trục Ox phụ thuộc vào thời gian theo phương trình: x1 = A1cosωt + A2sinωt , trong đó A1, A2, ω là các hằng số đã biết. Chất điểm: A. dao động điều hòa với tần số góc ω, biên độ 2 2 2

1 2A A A= + , pha ban đầu φ với tanφ =

A1/A2. B. dao động điều hòa với tần số góc ω, biên độ 2 2 2

1 2A A A= + , pha ban đầu φ với tanφ = -

A2/A1.

C. không dao động điều hòa, chỉ chuyển động tuần hoàn với chu kì 2

Tπ

ω=

D. dao động điều hòa nhưng không xác định được tần số, biên độ và pha ban đầu Hướng dẫn



2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 1 2 2 2

1 1 2 2 11 2

cos cos 2 cos2 2

sin0 sinsin sin 2

tancos cos

cos0 cos2

x A t A t A A A A A A A

A AA A A

A A AA A

π πω ω

πϕ ϕ

ϕπϕ ϕ

= + − ⇒ = + + − = +

− + + − = = =−+ +

Câu 7: Cho hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số cùng biên độ và có các pha ban đầu là π/3 và –π/6 (phương trình dạng cos ). Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng A. –π/2 B. π/4 C. π/6 D. π/12 Hướng dẫn

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sinsin sin 3 6

tancos cos 12

cos cos3 6

A AA A

A AA A

π πϕ ϕ π

ϕ ϕπ πϕ ϕ

− + + = = ⇒ =−+ +

Câu 8: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, biên độ bằng nhau và pha ban đầu lần lượt là φ1 = π/6; φ2 = 5π/6. Pha ban đầu của dao động tổng hợp là A. π/2 B. π/3 C. -π/2 D. 2 π/3 Hướng dẫn

1 1 2 2

1 1 2 2

5sin sin

sin sin 6 6tan

5cos cos 2cos cos

6 6

A AA A

A AA A

π πϕ ϕ π

ϕ ϕπ πϕ ϕ

+ + = = = +∞⇒ =+ +

* Nhận xét: Qua hai ví dụ 7 và 8 ta nhận thấy: khi 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng

tần số, cùng biên độ thì dao động tổng hợp có pha ban đầu là 1 2

2

ϕ ϕϕ

+=

Câu 9: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, biên độ lần lượt là a và a√3; pha ban đầu tương ứng là φ1 = 2π/3; φ2 = π/6. Pha ban đầu của dao động tổng hợp là A. π/2 B. π/3 C. – π/2 D. 2 π/3 Hướng dẫn

1 1 2 2

1 1 2 2

2.sin 3.sin

sin sin 3 6 3tan 32cos cos 2

.cos 3 cos3 6 3

a aA A

A Aa a

π π πϕ

ϕ ϕϕ

π πϕ ϕ πϕ

+ = + = = = ⇒ + −+ =

Câu 10: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, biên độ lần lượt là a√3và a; pha ban đầu tương ứng là φ1 = π/2; φ2 = π. Pha ban đầu của dao động tổng hợp là A. 5π/6 B.- π/3 C. – π/6 D. 2 π/3 Hướng dẫn



1 1 2 2

1 1 2 2

(loai)3.sin .sinsin sin 32tan 3cos cos 23.cos cos

2 3

a aA A

A A a a

ππ ϕπϕ ϕϕ

πϕ ϕ ππ ϕ

= −+ + = = = − ⇒

+ + =

“Biến tướng” của tổng hợp dao động Câu 11: Hai điểm M1 và M2 cùng dao động điều hòa trên một trục Ox quanh điểm O với cùng tần số f. Biên độ của M1 là A, của M2 là 2A. Dao động của M1 chậm pha hơn một góc φ = π/3 so với dao động của M2. Dao động tổng hợp của M1 và M2 (OM1 + OM2) có biên độ là A. A√7 B. A√3 C. A√5 D. 2A Hướng dẫn

( )22 2

1

2 cos2 2. .2 cos 0 73

3cos

th

x A tA A A A A A

x A t

πω π

ω

= + ⇒ = + + − = =

Câu 12: Hai điểm M1 và M2 cùng dao động điều hòa trên một trục Ox quanh điểm O với cùng tần số f. Biên độ của M1 là A, của M2 là 2A. Dao động của M1 chậm pha hơn một góc φ = π/3 so với dao động của M2. Nhận xét nào sau đây là ĐÚNG A. độ dài đại số M1M2 biến đổi điều hòa với tần số f, biên độ A√3 và vuông pha với dao động của M1 B. Khoảng cách M1M2 biến đổi điều hòa với tần số 2f, biên độ A√3 C. Khoảng cách M1M2 biến đổi tuần hoàn với tần số f, biên độ A√3 D. độ dài đại số M1M2 biến đổi điều hòa với tần số 2f, biên độ A√3 và vuông pha với dao động của M2 Hướng dẫn

2

1 2 2 1

1

1 2

2 cos2 cos cos3

3cos

2 cos .cos 2 sin .sin cos 3cos3 3 2

x A tM M x x A t A t

x A t

M M A t A t A t A t

πω π

ω ωω

π π πω ω ω ω

= + ⇒ = − = + − =

⇒ = − − = −

Câu 13: Hai điểm M, N dao động điều hòa trên truc Ox, quanh điểm O, cùng biên độ A, cùng tần số, lệch pha góc φ. Khoảng cách MN A. bằng 2Acosφ B. giảm từ 2A về 0 C. tăng dần từ 0 đến giá trị 2A D. biến thiên tuần hoàn theo thời gian Hướng dẫn

( )( )2

1 2 2 1

1

2 cos2 cos cos

cos

2 sin sin2 2

x A tM M x x A t A t

x A t

A t

ω ϕω ϕ ω

ω

ϕ ϕω

= +⇒ = − = + −

=

= − +

b. Tổng hợp bằng phương pháp lượng giác + Hai dao động cùng biên độ: dùng công thức cộng lượng giác

cos cos 2cos cos2 2

a b a ba b

+ −+ =



Câu 14: Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động thành phần cùng phương cùng tần số x1 = 4cos100t cm; x2 = 4cos( 100t + π/2) cm là A. x = 4cos( 100t + π/4) cm B. x = 4√2cos( 100t + π/8) cm C. x = 4√2cos( 100t + π/4) cm D. x = 4cos( 100t + 3π/4) cm Hướng dẫn

1 22.4cos cos 100 4 2 cos 100

4 4 4x x x t t

π π π = + = + = +

cm

Câu 15: Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động thành phần cùng phương cùng tần số x1 = 4cos(10t – π/6) cm; x2 = 4cos( 10t + π/2) cm là A. x = 4cos( 10t + π/4) cm B. x = 4√2cos( 10t + π/8) cm C. x = 4√2cos( 10t + π/4) cm D. x = 4cos( 10t + π/6) cm Hướng dẫn

1 22.4cos cos 10 4cos 100

3 6 6x x x t t

π π π− = + = + = +

cm

- Ba dao động trở lên: x = x1 + x2 + x3 +...= cosωt( A1cosφ1 + A2cosφ2 +...) – sinωt( A1sinφ1 +A1sinφ2 + ...) Câu 16: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có

phương trình: 1 2 3

50,5 3cos cm; x cos cm; x cos cm

2 6x t t t

π πω ω ω = = + = +

. Biên

độ dao động tổng hợp là A. 1,5 cm B. 2 cm C. 1 cm D. 0,5 cm Hướng dẫn

( ) ( )1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3cos cos cos cos sin sin sin sin

3 5 3 5cos cos0 1.cos 1.cos sin sin0 1.sin 1.sin

2 2 6 2 2 6

1,5sin 1,5 cm

x x x x t A A A t A A A

x t t

x t A

ω ϕ ϕ ϕ ω ϕ ϕ ϕ

π π π πω ω

ω

= + + = + + − + +

⇒ = + + − + +

⇒ = − ⇒ =

Câu 17: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có

phương trình: 1 2 3

51,5cos cm; x 0,5 3cos cm; x 3cos cm

2 6x t t t

π πω ω ω = = + = +

.

Biên độ dao động tổng hợp là A. √3 cm B. √3/3 cm C. √2 cm D. 2 cm Hướng dẫn

( ) ( )1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3cos cos cos cos sin sin sin sin

3 5 3 5cos 1,5cos0 .cos 3.cos sin 1,5sin 0 .sin 3.sin

2 2 6 2 2 6

3 sin 3 cm

x x x x t A A A t A A A

x t t

x t A

ω ϕ ϕ ϕ ω ϕ ϕ ϕ

π π π πω ω

ω

= + + = + + − + +

⇒ = + + − + +

⇒ = − ⇒ =

c. Tìm vận tốc, gia tốc và năng lượng dao động + Vận tốc cực đại: vmax = ω.A Câu 18: Vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương, cùng tần số, có phương trình lần lượt là: x1 = 8cos( 20t – π/3) cm và x2 = 3cos( 20t + π/3) cm, t đo bằng giây. Tốc độ cực đại của dao động là A. 0,5 m/s B. 1 m/s C. 1,4 m/s D. 2 m/s



Hướng dẫn

1 2

1 2

max

8cos 20 3cos 203 3

Hai dao ®éng ng−îc pha nhau A = 8 3 5 cm = 0,05 m

v . 20.0,05 1 m/s

x x x t t

A A

A

π π

ω

= + = − + +

⇒ − = − =

⇒ = = =

Câu 19: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là: x1 = 4cos( 0,1t – π/6) cm và x2 = 4cos( 0,1t - π/2) cm, t đo bằng mili giây. Tốc độ cực đại của dao động là A. 2√3 cm/s B. 0,4√3 cm/s C. 2√2 cm/s D. 4√3 m/s Hướng dẫn

( )

3

max

2 2

1 2 1 2 2 1

0,1100 rad/s

10 . 400 3 cm/s

A = 2 cos 4 3 cm

rad

s v A

A A A A

ωω

ϕ ϕ

−

= =⇒ = =

+ + − =

Câu 20: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là: x1 = 2sin( 10t – π/3) cm và x2 = cos( 10t + π/6) cm, t đo bằng giây. Tốc độ cực đại của vật dao động là A. 5 cm/s B. 20 cm/s C. 10√5 cm/s D. 10 cm/s Hướng dẫn

1

2 2

max

52cos 10 2cos 10 cm

3 2 6

5A = 2 1 2.2.1cos 4 1 4 1 cm

6 6

v . 10.1 10 cm/s

x t t

A

π π π

π π

ω

= − − = −

+ + + = + − =

⇒ = = =

- Vận tốc ở li độ x: 2 2v A xω= ± − Câu 21: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số 10 Hz có biên độ lần lượt là 7 cm và 8 cm. Độ lệch pha của hai dao động là π/3 rad. Vận tốc của dao động tổng hợp tại li độ x = 6,5 cm là A. ±13π√3 cm/s B. ±65π√3 cm/s C. ±130π√3 cm/s D. ±6,5π√3 cm/s Hướng dẫn

( )2 2

1 2 1 2 2 1

2 2 2 2

2 cos 13 cm

v = 2 130 3 cm/s

A A A A A

A x f A x

ϕ ϕ

ω π π

= + + − = ± − = ± − = ±

Câu 22: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng O dọc theo trục Ox có li độ thỏa mãn phương trình: x = 4cos( 10t + π/6) + 4cos(10t + π/2) cm, t đo bằng giây. Tính tốc độ của vật khi nó ở vị trí có li độ 6 cm. A. 10√3 cm/s B. 5√3 cm/s C. 20 cm/s D. 20√3 cm/s Hướng dẫn



( )2

2 2 2

32.4cos cos 10 8. cos 10 4 3cos 10

6 3 2 3 3

10 4 3 6 10 12 20 3 cm/s

x t t t

v A x

π π π π

ω

− = + = + = +

= ± − = ± − = ± = ±

Câu 23: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng O dọc theo trục Ox có li độ thỏa mãn phương trình: x = (4/√3).cos( 2πt + π/6) + (4/√3)cos(2πt + π/2) cm, t đo bằng giây. Tính tốc độ của vật khi nó ở vị trí có li độ 2√3 cm. A. 12,6 cm/s B. 13,6 cm/s C. 14,6 cm/s D. 15,6 cm/s Hướng dẫn

( ) ( )222 2

4 8 32. cos cos 2 . cos 2 4cos 10

6 3 2 3 33 3

2 4 2 3 12,6 cm/s

x t t t

v A x

π π π ππ π

ω π

− = + = + = +

= ± − = ± − = ±

- Gia tốc cực đại: amax = ω2.A Câu 24: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa, cùng phương cùng tần số, có phương trình lần lượt là: x1 = 3sin10t (cm); x2 = 4cos10t (cm), t đo bằng giây. Gia tốc cực đại của vật là A. 3 m/s2 B. 30 cm/s2 C. 4 m/s2 D. 500 cm/s2 Hướng dẫn

2 2 2 2

1 1 2 1 2

2 2 2

max

3cos 10 cm. x vµ x vu«ng pha nhau nªn: A = 3 4 5 cm2

a . 10 .5 500 cm/s

x t A A

A

π

ω

= − + = + =

⇒ = = =

Câu 25: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là: x1 = 3cos10t cm và x2 = 4sin( 10t + π/2) cm. Gia tốc của vật có độ lớn cực đại bằng A. 7 m/s2 B. 1 m/s2 C. 0,7 m/s2 D. 5 m/s2 Hướng dẫn

1 2

2 2

max

3cos10 4sin 10 3cos10 4cos10 7cos102

7 cm = 0,07 m a 7 m/s

x x x t t t t t

A A

π

ω

= + = + + = + =

= ⇒ = =

- Cơ năng: 2 2

W2

m Aω=

Câu 26: Một vật khối lượng 1 kg tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc 10 rad/s với các biên độ 3 cm và 4 cm; các pha ban đầu tương ứng là π/2 và π. Cơ năng dao động của vật là A. 0,15 J B. 0,25 J C. 125000 J D. 0,125 J Hướng dẫn

2 22 2

1 2 1 22 cos 5 cm W 0,125 J

2 2

m AA A A A A

π ωπ = + + − = ⇒ = =

Câu 27: Một vật khối lượng 1 kg tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc 10 rad/s. Biên độ của hai dao động là A1 = A2 = √3 cm. Các pha ban đầu tương ứng là π/6 và 5π/6. Cơ năng dao động của vật là



A. 0,03 J B. 0,015 J C. 150 J D. 0,02J Hướng dẫn

2 2 22 2

1 2 1 2

5 1.10 .32 cos 3 cm W 150 J

6 6 2 2

m AA A A A A

π π ω = + + − = ⇒ = = =

Câu 28: Chất điểm có khối lượng m1 = 50g dao động điều hòa quanh VTCB của nó với phương trình dao động x1 = sin( 5πt + π/6) cm, t đo bằng giây. Chất điểm có khối lượng m2 = 100g dao động điều hòa quanh VTCB của nó với phương trình x2 = 5sin( πt - π/6) cm, t đo bằng giây. Tỉ số cơ năng trong quá trình dao động điều hòa của chất điểm m1 so với chất điểm m2 bằng A. 1/2 B. 2 C. 1 D. 1/5 Hướng dẫn

( )2 22 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

50. 5 1W 0,5. 1

W 0,5. 100. .5 2

m A

m A

πωω π

= = =

Dạng 2: Bài toán ngược a. Tìm phương trình thành phần

2

2 1

2 1

1 2

1

2 1

1 2

cïng pha víi x

NÕu x ng−îc x cïng pha víi x

xA A

A A A

xA A

A A A

> ⇒

= −

< ⇒ = −

Câu 29: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ x = 3cos( πt - 5π/6) cm. Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x1 = 5cos( πt + π/6) cm. Dao động thứ hai có phương trình li độ A. x2 = 8cos(πt + π/6) cm B. x2 = 2cos(πt + π/6) cm C. x2 = 2cos(πt - 5π/6) cm D. x2 = 8cos(πt - 5π/6) cm Hướng dẫn

Vì x ngược pha với x1 và A < A1 nên

2 1

2 1 2

2 1 2

5 ng−îc pha víi x 8cos cm

68

A A

x x t

A A A A

ππ

>

⇒ = − = − ⇒ =

Câu 30: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ x = 3cos( πt - 5π/6) cm. Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x1 = cos( πt + π/6) cm. Dao động thứ hai có phương trình li độ A. x2 = 4cos(πt + π/6) cm B. x2 = 2cos(πt + π/6) cm C. x2 = 4cos(πt - 5π/6) cm D. x2 = 2cos(πt - 5π/6) cm Hướng dẫn

Vì x ngược pha với x1 và A > A1 nên

2 1

2 2

2 1 2

5 cïng pha víi x 4cos cm

64

A A

x x t

A A A A

ππ

>

⇒ = − = − ⇒ =

b. Trừ các hàm lượng giác



( ) ( )( ) ( )

1 2

2 1 0 0

0 0

cos cos

cos cos

th th

th th

X X

x x x A t A t

A t A t X

ω ϕ ω ϕ

ω ϕ ω ϕ π

= − = + − +

= + + + + = ��

Câu 31: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ x = 6cos( πt + π/3) cm. Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x1 = 6cosπt cm. Dao động thứ hai có phương trình li độ là A. x2 = 6cos( πt + π/6) cm B. x2 = 6cos( πt + 2π/3) cm C. x2 = 3√3cos( πt + π/6) cm D. x2 = 3√3cos( πt + 2π/3) cm Hướng dẫn

( )2 1

2

6cos 6cos 6cos 6cos3 3

2 22.6cos .cos 6cos

3 3 3

x x x t t t t

x t t

π ππ π π π π

π π ππ π

= − = + − = + + +

= + = +

c. Tổng hợp dao động điều hòa bằng máy tính Casio Fx – 570ES A.KIẾN THỨC: 1. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số như sau: x1 = A1cos (ωt + ϕ1) và x2 = A2cos (ωt + ϕ2) thì: x = x1 + x2 thì ta được x = Acos (ωt + ϕ) . Với:

A2=A12+ A2

2+2A1A2cos (ϕ2 - ϕ1); tan ϕ = 2211

2211

coscos

sinsin

ϕϕϕϕ

AA

AA

+

+

với ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 (nếu ϕ1 ≤ ϕ2 ) 2.Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hoà cùng phương cùng tần số: x1 = A1cos (ωt + ϕ1), x2 = A2cos (ωt + ϕ2) và x3 = A3cos (ωt + ϕ3) ... thì dao động tổng hợp cũng là dao động điều hoà cùng phương cùng tần số: x = Acos (ωt + ϕ) . Chiếu lên trục Ox và trục Oy trong hệ xOy. Ta được: Ax = Acos ϕ = A1cos ϕ1+ A2cos ϕ2+ A3cos ϕ3 + .. và Ay = A sin ϕ = A1sin ϕ1+ A2sin ϕ2+ A3sin ϕ3 + ..

Biên độ: : A = 2 2x yA A+ và Pha ban đầu ϕ : tan ϕ =

y

x

A

A

với ϕ ∈ [ϕ Min, ϕ Max] 3.Khi biết dao động thành phần x1=A1cos (ωt + ϕ1) và dao động tổng hợp x = Acos(ωt + ϕ) thì dao động thành phần còn lại là x2 =x - x1 . với x2 = A2cos (ωt + ϕ2) .

Biên độ: A22=A2+ A1

2-2A1Acos(ϕ -ϕ1); Pha tan ϕ2=1 1

1 1

sin sin

cos cos

A A

A A

ϕ ϕϕ ϕ

−

−

với ϕ1≤ ϕ ≤ ϕ2 (nếu ϕ1≤ ϕ2) 4.Nhược điểm của phương pháp trên khi làm trắc nghiệm: -Xác định A và ϕ của dao động tổng hợp theo phương pháp trên mất nhiều thời gian và dễ nhầm lẫn.Việc biểu diễn giản đồ véctơ, đôi khi khó biểu diễn được với những bài toán tổng hợp từ 3 dao động trở lên. -Xác định góc ϕ hay ϕ2 thật sự khó khăn đối với học sinh bởi vì cùng một giá trị tanϕ luôn tồn tại hai giá trị của ϕ (ví dụ: tanϕ =1 thì ϕ = π/4 hoặc -3π/4), vậy chọn giá trị nào cho phù hợp với bài toán!.



B. PHƯƠNG PHÁP: Dùng máy tính CASIO fx – 570ES, 570ES Plus hoặc CASIO fx – 570MS. 1. Cơ sở lý thuyết: +Dao động điều hoà x = Acos(ωt + ϕ) có thể được biểu diễn bằng vectơ quay

��A có độ dài tỉ

lệ với biên độ A và tạo với trục hoành một góc bằng góc pha ban đầu ϕ. Hoặc cũng có thể biểu diễn bằng số phức dưới dạng: z = a + bi

+Trong tọa độ cực: z =A(sinϕ +i cosϕ) (với môđun: A= 2 2a b+ ) hay Z = Aej(ωt + ϕ). +Vì các dao động có cùng tần số góc ω nên thường viết quy ước z = AeJϕ, trong máy tính CASIO fx- 570ES kí hiệu dưới dạng là: r ∠ θ (ta hiểu là: A ∠ ϕ). +Đặc biệt giác số ϕ trong phạm vi : -1800< ϕ < 1800 hay -π<ϕ < π rất phù hợp với bài toán tổng hợp dao động trên. Vậy tổng hợp các dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số bằng phương pháp Frexnen đồng nghĩa với việc cộng các số phức biểu diễn của các dao động đó. 2.Chọn chế độ thực hiện phép tính về số phức của máy tính: CASIO fx – 570ES, 570ES Plus Các bước Chọn chế độ Nút lệnh Ý nghĩa- Kết quả

Cài đặt ban đầu (Reset all): Bấm: SHIFT 9 3 = = Reset all

Chỉ định dạng nhập / xuất toán Bấm: SHIFT MODE 1 Màn hình xuất hiện Math.

Thực hiện phép tính về số phức Bấm: MODE 2 Màn hình xuất hiện CMPLX

Dạng toạ độ cực: r∠θ (ta hiêu:A∠ϕ)

Bấm: SHIFT MODE � 3 2

Hiển thị số phức kiểu

r ∠θ

Dạng toạ độ đề các: a + ib. Bấm: SHIFT MODE � 3 1

Hiển thị số phức kiểu a+bi

Chọn đơn vị đo góc là độ (D) Bấm: SHIFT MODE 3 Màn hình hiển thị chữ D

Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) Bấm: SHIFT MODE 4 Màn hình hiển thị chữ R

Để nhập ký hiệu góc ∠ Bấm SHIFT (-). Màn hình hiển thị ký hiệu ∠

Ví dụ: Cách nhập: Máy tính CASIO fx – 570ES Cho: x= 8cos(ωt+ π/3) sẽ được biểu diễn với số phức 8∠ 600 hay 8∠π/3 ta làm như sau: -Chọn mode: Bấm máy: MODE 2 màn hình xuất hiện chữ CMPLX -Chọn đơn vị đo góc là độ (D) ta bấm: SHIFT MODE 3 trên màn hình hiển thị chữ D -Nhập máy: 8 SHIFT (-) 60 sẽ hiển thị là: 8∠ 60 -Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) ta bấm: SHIFT MODE 4 trên màn hình hiển thị chữ R

-Nhập máy: 8 SHIFT (-) (π:3 sẽ hiển thị là: 8∠1

π3

Kinh nghiệm: Nhập với đơn vị độ nhanh hơn đơn vị rad nhưng kết quả sau cùng cần phải chuyển sang đơn vị rad cho những bài toán theo đơn vị rad. (Vì nhập theo đơn vị rad phải có dấu ngoặc đơn ‘(‘‘)’nên thao tác nhập lâu hơn, ví dụ: Nhập 90 độ thì nhanh hơn nhập (π/2)



Bảng chuyển đổi đơn vị góc: ϕ(Rad)=φ(D).π

180

Đơn vị (Độ)

15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 360

Đơn vị(Rad)

1π

12

1π

6

1π

4

1π

3

5π

12

1π

2

7π

12

2π

3

9π

12

5π

6

11π

12 π 2π

3.Lưu ý :Khi thực hiện phép tính kết quả được hiển thị dạng đại số: a +bi (hoặc dạng cực: A∠ ϕ ). -Chuyển từ dạng : a + bi sang dạng: A∠ ϕ , bấm SHIFT 2 3 = Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 ->Nếu hiển thị: 4+ 4 3 i .Ta bấm phím SHIFT 2 3 = kết

quả: 8∠1

π3

-Chuyển từ dạng A∠ ϕ sang dạng : a + bi : bấm SHIFT 2 4 =

Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 -> Nếu hiển thị: 8∠1

π3

, ta bấm phím SHIFT 2 4 = kết

quả :4+4 3 i

4. Tìm dao động tổng hợp xác định A và ϕ bằng cách dùng máy tính thực hiện phép cộng: a.Với máy FX570ES: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX. -Chọn đơn vị đo góc là độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D (hoặc Chọn đơn vị góc là Rad bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R ) -Nhập A1 SHIFT (-) φ1, + Nhập A2 SHIFT (-) φ2 nhấn = hiển thị kết quả...... (Nếu hiển thị số phức dạng: a+bi thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả: A∠ϕ) b.Với máy FX570MS : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX. Nhập A1 SHIFT (-) φ1 + Nhập A2 SHIFT (-) φ2 =

Bấm SHIFT 2 màn hình xuất hiện như hình bên Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quả dạng cực (r ∠ θ ) Nếu bấm tiếp phím 4 = kết quả dạng phức (a+bi ) ( đang thực hiện phép tính )



Sau đó bấm SHIFT + = hiển thị kết quả là: A. SHIFT = hiển thị kết quả là: φ c.Lưu ý Chế độ hiển thị màn hình kết quả: Sau khi nhập ta ấn dấu = có thể hiển thị kết quả dưới dạng số vô tỉ, muốn kết quả dưới dạng thập phân ta ấn SHIFT = (hoặc dùng phím S�D ) để chuyển đổi kết quả Hiển thị. Các ví dụ: Ví dụ 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 5cos(π t +π /3) (cm); x2 = 5cosπ t (cm). Dao động tổng hợp của vật có phương trình A. x = 5 3 cos(π t -π /4 ) (cm) B.x = 5 3 cos(π t + π /6) (cm) C. x = 5cos(π t + π /4) (cm) D.x = 5cos(π t - π /3) (cm) Đáp án B

Giải 2: Dùng đơn vị đo góc là Rad (R): SHIFT MODE 4 Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện: CMPLX. Tìm dao động tổng hợp:

Nhập: 5 SHIFT (-).∠ (π/3) + 5 SHIFT (-) ∠ 0 = Hiển thị: 5 3 ∠1

π6

Hay: x = 5 3 cos(π t + π /6) (cm) Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = √3cos(ωt + π/2) cm, x2 = cos(ωt + π) cm. Phương trình dao động tổng hợp: A. x = 2cos(ωt - π/3) cm B. x = 2cos(ωt + 2π/3)cm C. x = 2cos(ωt + 5π/6) cm D. x = 2cos(ωt - π/6) cm Cách 1:

Phương pháp truyền thống Phương pháp dùng số phức

Biên độ: 2 21 2 1 2 2 12. .cos( )= + + −A A A A A ϕ ϕ

Pha ban đầu ϕ: tan ϕ =

Thế số:(Bấm máy tính)

A= 2 25 5 2.5.5.cos( / 3) 5 3+ + =π (cm)

tan ϕ = 5.sin( / 3) 5.sin 0 5. 3 / 2 3

15cos( / 3) 5.cos 0 35. 12

+= =

+ +

ππ

=>

ϕ = π/6. Vậy :x = 5 3 cos(π t + π /6) (cm)

Giải 1: Với máy FX570ES: Bấm: MODE

2

-Đơn vị đo góc là độ (D)bấm: SHIFT

MODE 3

Nhập: 5 SHIFT (-)∠ (60) + 5 SHIFT (-

) ∠ 0 =

Hiển thị kết quả: 5 3 ∠30

Vậy :x = 5 3 cos(π t + π /6) (cm)

(Nếu Hiển thị dạng đề các:15 5 3

2 2+ i thì

Bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: 5 3 ∠30 )

Chọn B

2211

2211

coscos

sinsin

ϕϕϕϕ

AA

AA

++



( )2 21 2 1 2 2 1

1 1 2 2

1 1 2 2

2 cos 2

23 sin 1.sin: sin sin 232tan 3

cos cos 33 cos 1.cos2 3

A A A A A cm

HD A A

A A

ϕ ϕ

ππ ϕπϕ ϕ πϕ ϕ

π πϕ ϕ π ϕ

= + + − = =+ +

= = = − ⇒ ⇒ =−+ + =

Đáp án B

Cách 2: Dùng máy tính:Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Chọn chế độ máy tính theo độ: SHIFT MODE 3

Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy: 3 � SHIFT (-).∠ (90) + 1 SHIFT (-). ∠ 180 = Hiển thị:2∠120 Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = √3cos(ωt - π/2) cm, x2 = cos(ωt) cm. Phương trình dao động tổng hợp: A. x = 2cos(ωt - π/3) cm B.x = 2cos(ωt + 2π/3)cm C.x = 2cos(ωt + 5π/6) cm D.x = 2cos(ωt - π/6) cm Cách 1:

( )2 21 2 1 2 2 1

1 1 2 2

1 1 2 2

2 cos 2

23 sin 1.sin 0: sin sin 32tan 3

s s 33 cos 1.cos 02 3

A A A A A cm

HD A A

A co A co

ϕ ϕ

ππ ϕϕ ϕ π

ϕ ϕπ πϕ ϕ

ϕ

= + + − = − =+ +

= = = − ⇒ ⇒ = − − −+ + =

Cách 2: Dùng máy tính:Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Chọn chế độ máy tính theo radian(R): SHIFT MODE 4

Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy:: 3 � SHIFT (-).∠ (-π/2) + 1 SHIFT (-) ∠ 0 = Hiển thị:2∠-π/3 Ví dụ 4: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương có phương trình dao động: x1=

2 3 cos(2πt +3

π) cm, x2 = 4cos (2πt +

6

π) cm ;x3= 8cos (2πt -

2

π) cm. Giá trị vận tốc cực đại của

vật và pha ban đầu của dao động lần lượt là:

A. 12πcm/s và 6

π− rad . B. 12πcm/s và

3

π rad.

C. 16πcm/s và6

π rad. D. 16πcm/s và

6

π− rad.

HD: Cách 1: Tổng hợp x2 và x3 có:

π π + − π ϕ = = − → ϕ = −π π + −

23 23

4sin 8sin6 2

tan 33

4 cos 8cos6 2

π = + + ∆ϕ = ⇒ = π −

2 223 23A 4 8 2.4.8.cos 4 3 x 4 3 sin 2 t

3



Tổng hợp x23 và x1 có:

π π + − ϕ = = −

π π + −

2 3 sin 4 3 sin13 3

tan32 3 cos 4 3 cos

3 3

Đáp án A

( ) ( )= + + ∆ϕ =2 2

A 2 3 4 3 2.2 3.4 3 cos 6

( )π π ⇒ = π − ⇒ = ω = π ϕ = −

maxx 6cos 2 t cm v A 12 ; rad

6 6

Cách 2: Với máy FX570ES: Bấm: MODE 2 ;Đơn vị đo góc là độ (D)bấm: SHIFT MODE 3

Nhập: 2 3 � SHIFT (-)∠ 60 + 4 SHIFT (-) ∠ 30 + 8 SHIFT (-) ∠ -90 = Hiển thị kết

quả: 6∠-30

( Nếu hiển thị dạng : 3 3 -3i thì bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: 6 ∠-30 )

=> vmax = Aω =12π (cm/s) ; ϕ=π/6

Ví dụ 5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số x1= cos(2πt + π)(cm), x2 = 3 .cos(2πt - π/2)(cm). Phương trình của dao động tổng hợp A. x = 2.cos(2πt - 2π/3) (cm) B. x = 4.cos(2πt + π/3) (cm) C. x = 2.cos(2πt + π/3) (cm) D. x = 4.cos(2πt + 4π/3) (cm) Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4

-Nhập máy: 1 SHIFT(-) ∠ π + 3 � SHIFT(-) ∠ (-π/2 = Hiển thị 2∠-2

π3

. Đáp án

A Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng dọc theo trục x’Ox có li độ

)()2

2cos(3

4))(

62cos(

3

4cmtcmtx

ππ

ππ +++= . Biên độ và pha ban đầu của dao động là:

A. .3

;4 radcmπ

B. .6

;2 radcmπ

C. .6

;34 radcmπ

D. .3

;3

8radcm

π

Giải 1: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Chọn đơn vị đo góc là radian(R): SHIFT MODE 4

Nhập máy: 4

3⊳

⊳

SHIFT (-). ∠ (π/6) + 4

3⊳

⊳

SHIFT (-). ∠ (π/2 = Hiển thị: 4 ∠ 1

π3

Giải 2: Với máy FX570ES : Chọn đơn vị đo góc là độ Degre(D): SHIFT MODE 3

Nhập máy: 4

3⊳

⊳

SHIFT (-). ∠ 30 + 4

3⊳

⊳

SHIFT (-). ∠ 90 = Hiển thị: 4 ∠ 60

Ví dụ 7: Ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x1= 4 cos(πt - π/2) (cm) , x2= 6cos(πt +π/2) (cm) và x3=2cos(πt) (cm). Dao động tổng hợp của 3 dao động này có biên độ và pha ban đầu là A. 2 2 cm; π/4 rad B. 2 3 cm; - π/4 rad C.12cm; + π/2 rad D.8cm; - π/2 rad Giải: Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX



Chọn đơn vị góc tính rad (R). SHIFT MODE 4 Tìm dao động tổng hợp, nhập máy: 4 SHIFT(-)∠ (- π/2) + 6 SHIFT(-)∠ (π/2) + 2 SHIFT(-)∠ 0 = Hiển thị: 2 2 ∠ π/4. Chọn A Ví dụ 8: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số x1= a 2 cos(πt+π/4)(cm) và x2 = a.cos(πt + π) (cm) có phương trình dao động tổng hợp là A. x = a 2 cos(πt +2π /3)(cm) B. x = a.cos(π t +π/2)(cm) C. x = 3a/2.cos(πt +π/4)(cm) D. x = 2a/3.cos(πt +π/6)(cm) Giải: Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX chọn đơn vị góc tính theo độ (D) Bấm : SHIFT MODE 3 ( Lưu ý : Không nhập a)

Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy : 2 � SHIFT(-)∠45 + 1 SHIFT(-)∠180 = Hiển thị: 1∠ 90, 5. Tìm dao động thành phần ( xác định A2 và ϕ2 ) bằng cách dùng máy tính thực hiện phép trừ: Ví dụ tìm dao động thành phần x2: x2 =x - x1 với: x2 = A2cos(ωt + ϕ2) Xác định A2 và ϕ2? a.Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX -Chọn đơn vị đo góc là độ ta bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D (hoặc Chọn đơn vị đo góc là Radian ta bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R ) Nhập A , bấm SHIFT (-) nhập φ; bấm - (trừ), Nhập A1 , bấm SHIFT (-) nhập φ1 , nhấn = kết quả. (Nếu hiển thị số phức thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả trên màn hình là: A2 ∠ ϕ2 b.Với máy FX570MS : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Nhập A , bấm SHIFT (-) nhập φ ;bấm - (trừ), Nhập A1 , bấm SHIFT (-) nhập φ1 nhấn = Sau đó bấm SHIFT + = hiển thị kết quả là: A2. bấm SHIFT = hiển thị kết quả là: φ2 c.Các ví dụ : Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình dao động tổng hợp x=5 2 cos(πt+5π/12)(cm) với các dao động thành phần cùng phương, cùng tần số là x1=A1 cos(πt + ϕ1) và x2=5cos(πt+π/6)(cm), Biên độ và pha ban đầu của dao động 1 là: A. 5cm; ϕ1 = 2π/3 B.10cm; ϕ1= π/2 C.5 2 (cm) ϕ1 = π/4 D. 5cm; ϕ1= π/3 Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX -Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần:

Nhập máy : 5 2 � SHIFT(-) ∠ (5π/12) – 5 SHIFT(-) ∠ (π/6 = Hiển thị: 5 ∠ 2

π3

,

chọn A Ví dụ 2: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x1 = 2 3 cos(2πt + π/3) (cm), x2 = 4cos(2πt +π/6) (cm) và x2 = A3 cos(π t + ϕ3) (cm). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x = 6cos(2πt - π/6) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3: A. 8cm và - π/2 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2. Chọn A Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần thứ 3: x3 = x - x1 –x2



Nhập: 6 SHIFT(-) ∠ (-π/6) - 2 3 � SHIFT(-) ∠ (π/3) - 4 SHIFT(-) ∠ (π/6 =

Hiển thị: 8 ∠-1

π2

.

d. Tính dao động thành phần A1 hoặc A2

( )max

2 2 2 2

max 1 2 1 2 2 1

2 2

.

? mµ: A 2 cos

W 0,5

v A

a A A A A A A

m A

ω

ω ϕ ϕ

ω

=

= ⇒ = = + + − =

Câu 32: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình x1 = acos( 20t +π/6) cm, x2 = 3cos( 20t + 5π/6) cm. Biết rằng vận tốc cực đại của vật bằng 40 cm/s. Biên độ a có giá trị là A. 6 cm B. 8 cm C. 4 cm D. 10 cm Hướng dẫn

( )2 2 2 2max1 2 1 2 2 1

2 cos 49 9 2 8 cmv

A A A A A A a a aϕ ϕω

= ⇒ = + + − ⇒ = + − ⇒ =

Câu 33: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình x1 = 4cos( 10t +π/2) cm, x2 = acos( 10t - π/6) cm. Biết rằng gia tốc cực đại của vật bằng 4√3 m/s2. Biên độ a có giá trị là A. 6 cm B. 8 cm C. 4 cm D. 10 cm Hướng dẫn

( ) ( )

max

2 2

22 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1

2

4 30,04 3 m = 4 3 cm

10

1A 2 cos 4 3 4 2.4. .

2

48 16 4 8 cm

aA

A A A A a a

a a a

ω

ϕ ϕ

= = =

= + + − ⇒ = + + −

⇒ = + − ⇒ =

Câu 34: Một vật nặng 1kg tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và có phương trình là: x1 = 4cos( 5t – π/2) cm; x2 = a.cos( 5t + π) cm, t tính bằng giây. Biết cơ năng dao động của vật là 0,08 J. Giá trị của a là A. 4 cm B. 4√2 cm C. 4√3 cm D. 8 cm Hướng dẫn

( )

2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1

W 0,080,08 m = 8 cm

0,5 . 0,5.1.5

3A 2 cos 8 4 2.4. .cos 4 3 cm

2

Am

A A A A a a a

ωπ

ϕ ϕ

= = =

= + + − ⇒ = + + ⇒ =

Câu 35: Một vật nặng 1kg tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và có phương trình là: x1 = 6cos( 15t + π/3) cm; x2 = a.cos( 15t + π) cm, t tính bằng giây. Biết cơ năng dao động của vật là 0,06075 J. Giá trị của a là A. 4 cm B. 1 cm C.6 cm D. 3 cm Hướng dẫn



( ) ( )

2 2

2

2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

2

. 2W 0,03 3 m = 3 3 cm

2

2 cos 2 cos

9.3 36 2.6 cos3

3 cm

m A WA

m

A A A A A A A A A A

a a

a

ωω

ϕ ϕ ϕ ϕ

ππ

= = =

⇒ = + + − = + + −

= + + − ⇒ =

e. Độ lệch pha ( φ2 – φ1 ) hoặc ( φ – φ1 ) hoặc ( φ – φ2 )

( )( )( )

2 2 2

1 2 1 2 2 1

2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 2

2 2 2

2 1 2 1 1 1

2 cos

2 cos

2 cos

A A A A A

A A A A A A A A A AA

A A A A A A AA

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= + + −

= + ⇒ = − ⇒ = + − −

= − ⇒ = + − −

� � � � � �

� � �

- Độ lệch pha ( φ2 – φ1 ) Câu 36: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ a là một dao động có biên độ a√2 thì hai dao động thành phần có độ lệch pha là A. π/2 B. π/4 C. 0 D. π Hướng dẫn

( )2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 12 cos 2 2 . .cos

2A A A A A a a a a a

πϕ ϕ ϕ ϕ= + + − ⇒ = + + ∆ ⇒ ∆ =

Câu 37: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ a là một dao động có biên độ a thì hai dao động thành phần có độ lệch pha là A. π/2 B. π/4 C. π/3 D. 2π/3 Hướng dẫn

( )2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1

22 cos 2 . .cos

3A A A A A a a a a a

πϕ ϕ ϕ ϕ= + + − ⇒ = + + ∆ ⇒ ∆ =

Câu 38: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương, cùng tần số 4 Hz và cùng biên độ 2 cm. Khi qua VTCB vật đạt tốc độ 16π√3 cm/s. Độ lệch pha giữa hai dao động thành phần bằng A. π/6 B. π/2 C. π/3 D. 2π/3 Hướng dẫn

( )2 2 2max1 2 1 2 2 1

2 2

16 32 3 2 cos

2 .4

12 2 2 2.2.2cos3

vA A A A A A

πϕ ϕ

ω ππ

ϕ ϕ

= = = ⇒ = + + −

⇒ = + + ∆ ⇒ ∆ =

Độ lệch pha ( φ – φ1 ) hoặc ( φ – φ2 ) Câu 39: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên cùng trục Ox có phương trình lần lượt là x1 = 4cos( ωt + π/3) cm, x2 = 3cos( ωt + φ2) cm. Phương trình dao động tổng hợp là x = 5cos( ωt +φ ). Giá trị cos(φ - φ2 ) là A. 0,5√3 B. 0,6 C. 0,5 D. 0,8 Hướng dẫn

( )( )

2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 2

2 2

2 cos

16 25 9 2.5.3cos cos( ) 0,6

A A A A A A A A A AA ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

= + ⇒ = − ⇒ = + − −

= + − − ⇒ − =

� � � � � �



Câu 40: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Biên độ của dao động thứ nhất và dao động ttoongr hợp bằng nhau và bằng 10 cm, dao động tổng hợp lệch pha π/3 so với dao động thứ nhất. Biên độ của dao động thứ hai là A. 5 cm B. 10 cm C. 10√3 cm D. 10√2 cm Hướng dẫn

( )2 2 2

1 2 2 1 2 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2

2 cos

2 . cos 10 cm3


A a a a a A a A a

ϕ ϕ

π

= + ⇒ = − ⇒ = + − −

= + − ⇒ = ⇒ = =

� � � � � �

Câu 41: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có phương trình x1 = 4cos( ωt + π/3) cm; x2 = A2cos( ωt + φ2 ) cm. Phương trình dao động tổng hợp x = 2cos( ωt + φ) cm. Biết ( φ – φ2 ) = π/2. Cặp giá trị nào của A2 và φ sau đây là Đúng ? A. 3√3 cm, 0 B. 2√3 cm, π/4 C. 3√3 cm, π/2 D. 2√3, 0 Hướng dẫn

( )2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 2

2

2 2

2 2 2

1 2 2 1 2 1 1

2 cos

16 4 2 3 cm

2 cos3

112 4 16 16cos cos 0

3 3 2


A A


ϕ ϕ

πϕ

π πϕ ϕ ϕ

= + ⇒ = − ⇒ = + − −

⇒ = + ⇒ =

= + ⇒ = − ⇒ = + − −

⇒ = + − − ⇒ − = ⇒ =

� � � � � �

� � � � � �

- Xác định φ1 và φ2 Câu 42: Một vật đồng thời tham gia hai dao động điều hòa cùng phương với phương trình lần lượt là: x1 = 2cos( 4t +φ1 ) cm, x2 = 2cos( 4t + φ2) cm với 0 ≤ φ2 – φ1 ≤ π. Biết phương trình dao động tổng hợp x = 2√3cos( 4t + π/6) cm. Giá trị của φ1 là A. π/6 B. –π/6 C. π/2 D. 0 Hướng dẫn

2 1 2 1 2 11 2

1

2 1

2.2cos cos 42 2 2 6 0

2 3cos 42 66

x x x t

x t

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π

ϕϕ ϕ ππ

− + += + = + = ⇒ ⇒ =

− == +

Câu 43: Một vật đồng thời tham gia hai dao động điều hòa cùng phương với phương trình lần lượt là: x1 = 2cos( ωt +φ1 ) cm, x2 = 2cos( ωt + φ2) cm với 0 ≤ φ2 – φ1 ≤ π. Biết phương trình dao động tổng hợp x = 2√2cos( ωt + π/3) cm. Giá trị của φ1 là A. π/6 B. –π/6 C. π/2 D. 7π/2 Hướng dẫn

2 1 2 1 2 11 2

1

2 1

2.2cos cos2 2 72 3

122 2 cos

2 43

x x x t

x t

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ πωπ

ϕϕ ϕ ππ

ω

− + += + = + = ⇒ ⇒ =

− == +

f. Tìm điều kiện biên độ



( )( )

( )

22 2

2 1 1

0 12 2 2

1 2 1 2 2 1 22 221 2 2

0

. .max

2 cosmax. .

A A y A x AA

A A A A AAA A y A x A

ϕ ϕ

= − + =

= + + − ⇒ ⇒ == − +

��

��

Câu 44: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình x1 = A1cos( ωt – π/6) cm và x2 = A2cos( ωt + π/2) cm, t đo bằng giây. Dao động tổng hợp có biên độ √3 cm. Để biên độ A1 có giá trị cực đại thì A2 có giá trị A. √3 cm B. 1 cm C. 2 cm D. 2√3 cm Hướng dẫn

( )2 2

2 2 2 2 2 1 11 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2

1max

212

32 cos

2 4

2 cm

1 cmA 0

2

A AA A A A A A A A A A

A

AA

ϕ ϕ = + + − = + − = − +

= ⇒ = − =

Câu 45: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình x1 = A1cos( ωt – π/6) cm và x2 = A2cos( ωt - π) cm, t đo bằng giây. Dao động tổng hợp có biên độ 9 cm. Để biên độ A2 có giá trị cực đại thì A1 có giá trị A. 9√3 cm B. 18 cm C. 5√3 cm D. 6√3 cm Hướng dẫn

( )2

22 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1

2max

12

1

32 cos 3

2 4

2 cm3

.18 = 9 3 cm3 2A 02

A AA A A A A A A A A A

A

AA

ϕ ϕ = + + − = + − = − + =

⇒ =− =

Câu 46: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương x1 = acos(ωt + π/3) cm và x2 = bcos( ωt – π/2) cm, t đo bằng giây. Biết phương trình dao động tổng hợp là x = 5cos( ωt + φ) cm. Biên độ dao động b có giá trị cực đại khi a bằng A. 5√3 cm B. 10 cm C. 5√2 cm D. 2,5√2 cm Hướng dẫn

( )2

22 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1

max

5 32 cos 2 cos

6 2 4

10 cm3

.10 = 5 3 cm3 202

b bA A A A A a b ab a

b

aba

πϕ ϕ

− = + + − = + + = − +

=

⇒ =− =

Câu 47: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương x1 = acos(ωt + π/3) cm và x2 = bcos( ωt – π/2) cm, t đo bằng giây. Biết phương trình dao động tổng hợp là x = 8cos( ωt + φ) cm. Biên độ dao động b có giá trị cực đại khi φ bằng A. –π/3 B. –π/6 C. π/6 D. 5π/6 Hướng dẫn



( )2

22 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1

max

1 1 2 1

1 1 2 2

32 cos 8 3

4 2

16 cmsin sin 1

8 3 cm tan =3 cos cos 302

665

(lo¹i)6

bA A A A A a b ab b a

bA A

aA Ab a

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

πϕ

πϕ

πϕ

= + + − ⇒ = + − = + −

=+ −

⇒ ⇒ = ⇒ =+− =

− = −⇒ ⇒ =

=

g. Biết hướng lúc gặp nhau, tính độ lệch pha

( )( )

( )

( )( )

( )( ) ( )

1 1 1 0

1

1 1 1

2 1

1 2 2 0

2

1 2 2

cos?

sin 0

cos?

sin 0

x A t xt

v A tt t

x A t xt

v A t

ω ϕω ϕ

ω ω ϕϕ ω ϕ ω ϕ

ω ϕω ϕ

ω ω ϕ

= + =⇒ + =

= − + >⇒ ∆ = + − +

= + =⇒ + = = − + <

Câu 48: Hai chất điểm dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, cùng tần số và biên độ của chất điểm thứ nhất là A/√3 còn của chất điểm thứ hai là A. Vị trí cân bằng của chúng xem như trùng nhau ở gốc tọa độ. Khi hai chất điểm gặp nhau ở tọa độ +A/2, chúng chuyển động ngược chiều nhau. Hiệu số pha của hai dao động này có thể là giá trị nào sau đây? A. 2π/3 B. π/3 C. π D. π/2 Hướng dẫn

( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

1 1

1

1 1

2 1

1 2

2

1 2

cos23

6sin 0

32

cos2

3sin 0

A Ax t

tA

v tt t

Ax A t

t

v A t

ω ϕπ

ω ϕω ω ϕ π

ϕ ω ϕ ω ϕ

ω ϕ πω ϕ

ω ω ϕ

= + = − ⇒ + = = − + > ⇒ ∆ = + − + = = + =

⇒ + = = − + <

Các bài toán liên quan tới điều kiện cực trị của các biên độ A1 , A2 hay A: Lưu ý:

- Bước đầu tiên dựng được các véc tơ AAA��

,, 21

- Dựa vào yêu cầu của bài toán áp dụng định lý sin trong tam giác C

c

B

b

A

a

sinsinsin== để

suy ra điều kiện cần tìm. - Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tính toán kết quả.



Bài 1: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương , có các phương trình :

+=6

cos11

πωtAx và

−=2

cos62

πωtx . Để vật dao động với biên độ nhỏ nhất thì pha dao

động ban đầu của vật là bao nhiêu? Giải: Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có :

α

π

απ sin3

sin

sin3

sin

22

AA

AA=⇒= .

Amin khi sinα =1 ⇒α = π/2 3π

ϕ −=⇒ .

Bài 2: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa

( )11 cos10 ϕω += tx và

−=2

cos22

πωtAx , phương trình dao động tổng hợp của vật là

cos( )3

x A tπ

ω= − . Để vật dao động với cơ năng cực đại thì A2 bằng bao nhiêu?

Giải: Cơ năng cực đại => Amax

Mà ta có

6sin

sin

sin6

sin

11

πα

απA

AAA

=⇒= 21max 2AAA��

⊥⇔=⇔π

α =>A2 = A1tanπ/3 = 310 .

Các bài tập tự luyện: Bài 3: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa

( )11 cos10 ϕω += tx và

−=2

cos22

πωtAx , phương trình dao động tổng hợp của vật là

cos( )3

x A tπ

ω= − . Để vật dao động với biên độ bằng một nửa giá trị cực đại của biên độ thì A2

bằng bao nhiêu? A. 10 3 cm B. 20cm C. 20 / 3 cm D. 10/ 3 cm

Bài 4: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có phương trình: x1 = 2 3 sin tω (cm), x2 = A2cos( tω ϕ+ 2)cm. Phương trình dao động tổng hợp x = 2cos( tω ϕ+ )cm. Biết ϕ 2 ϕ− = / 3π . Cặp giá trị nào của A2 và ϕ 2 sau đây là ĐÚNG?

A. 4cm và / 3π B. 2 3 cm và / 4π C. 4 3 cm và / 2π D. 6 cm và / 6π

Bài 5: Hai phương trình dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình x1 = A1cos(ω t - π /6) cm và x2 = A2cos(ω t - π ) cm. Dao động tổng hợp có phương trình x = 9cos(ω t - ϕ ) cm. Để biên độ A2 có giá trị cực đại thì A1 có giá trị là:

A. 15 3 cm B. 9 3 cm C. 7 cm D. 18 3 cm

1A�

2A�

A�

α

3

π

ϕ

α



Bài 6: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ

và pha ban đầu lần lượt là A1 = 10 cm, ϕ1 = 6

π; A2 (thay đổi được), ϕ2 = -

2

π; . Biên độ dao

động tổng hợp A có giá trị nhỏ nhất là A. 10 cm. B.5 3 cm. C. 0. D. 5 cm Bài 7: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động 1 có biên độ A1= 10 cm, pha ban đầu π/6 và dao động 2 có biên độ A2, pha ban đầu -π/2. Biên độ A2 thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? A. A = 2 3 (cm) B. A= 5 3 (cm) C. A = 2,5 3 (cm) D. A= 3 (cm)

Bài 8: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông điều hoà cung phương: x1= A1cos(ωt+π/3)(cm) và x2= A2cos(ωt- π/2)(cm). Phương trình dao động tổng hợp là: x=5cos(ωt+ ϕ)(cm). Biên dộ dao động A2 có giá trị lớn nhất khi ϕ bằng bao nhiêu? Tính A2max? A.- π/3; 8cm B.-π /6;10cm C. π/6; 10cm D. B hoặc C Bài 9: Hai chất điểm dao động điều hoà trên cùng một trục tọa độ 0x, coi trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của hai chất điểm

lần lượt là: x1 = 4cos(4t +3

π) cm và x2 = 4 2 cos(4t +

12

π) cm. Trong quá trình dao động

khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là: A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. ( 4 2 - 4)cm Bài 10: Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động

1 1cos( t + )( )3

x A cmπ

ω= và 2 2 os( t - ) ( )

2x A c cm

πω= . Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động

này là: 6cos( t + )( )x cmω ϕ= . Biên độ A1 thay đổi được. Thay đổi A1 để A2 có giá trị lớn nhất. Tìm A2max? A. 16 cm. B. 14 cm. C. 18 cm. D. 12 cm Bài 11: Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động

1 1cos( t + )( )3

x A cmπ

ω= và 2 2 os( t - ) ( )

2x A c cm

πω= . Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động

này là: 6cos( t + )( )x cmω ϕ= . Biên độ A1 thay đổi được. Thay đổi A1 để A2 có giá trị lớn nhất. Tìm A2max? A. 16 cm. B. 14 cm. C. 18 cm. D. 12 cm.

Bài 12: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa. X1 = A1cos (ω t) cm và x2 = 2,5 2 cos (ωt + ϕ 2). Biên độ dao động tổng hợp là 2,5 cm. Biết A2 đạt giá trị cực đại. Tìm ϕ 2

A. - π/4 B. - 3π/4 C. -2 π/3 D. 3π/4 Bài 13. Cho hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có dạng:

cmtBxcmtAx )2

cos(.;)3

cos(. 21

πω

πω −=+= . Dao động tổng hợp có dạng cmtx )cos(.2 ϕω += .

Điều kiện để dao động thành phần 2 đạt cực đại thì A và ϕ bằng:



A. 4cm và 6/π B. 32 cm và - 6/π C. 3 cm và 3/π D. 2cm và 12/π Bài 14: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là : x1 = A1-

cos(ωt 3

2π+ ) cm và x2 = A2cos(ωt

6

π− ) cm . Phương trình dao động tổng hợp là x =

12cos(ωt+φ). Để biên độ A2 có giá trị cực đại thì ϕ có giá trị:

A. ϕ = rad4

π B. ϕ = radπ C. .

3rad

πϕ = − D. ϕ = rad

6

π

Bài 15: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động diều hòa trên cùng một trục Ox với các phương trình x1=2 3 sin(ωt)(cm) và x2 =A2cos(ωt+φ2 )cm. Phương trình dao động tổng hợp là x = 2cos( ωt +φ)cm. Biết φ2 - φ= π/3.Cặp giá trị nào của A2 và φ2 là đúng: A.4cm và π/3 B. 2 3 cm và π/4 . C. 4 3 cm và π/2 D. 6cm và π/6 Bài 16: Một vật khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương

trình lần lượt là 1x 10cos(2 t )cm= π + ϕ ; 2x cos(2 t )cm22Aπ

= π − thì dao động tổng hợp là

x cos(2 t )cm3

Aπ

= π − . Khi biên độ dao động của vật bằng nửa giá trị cực đại thì biên độ dao

động A2 có giá trị là:

A. 10 3cm B. 20cm C. 20

cm3

D. 10

cm3

Bài 17: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên

độ và pha ban đầu lần lượt là A1, A2, 1 rad3

πϕ = − , 2 rad

2

πϕ = . Dao động tổng hợp có biên độ

là 9cm. Khi A2 có giá trị cực đại thì A1 và A2 có giá trị là:

A. 9 3cm1A = ; A2=18cm B. A1=18cm; A2=9cm

C. 9 3cm1A = ; A2=9cm D. A1=9cm; 2 9 3cmA = Bài 18: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox, coi trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của hai chất điểm

lần lượt là 1x 6cos(4t )cm3

π= + và 2x 6cos(4t )cm

12

π= + . Trong quá trình dao động, khoảng

cách lớn nhất giữa hai vật là:

A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. ( 4 2 –4)cm Bài 19 : Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động trên trục Ox có phương trình x1 = A1cos10t; x2 = A2cos(10t +ϕ2). Phương trình dao động tổng hợp x = A1 3 cos(10t +ϕ), trong

đó có ϕ2 - ϕ = 6

π. Tỉ số

2ϕϕ

bằng

A. 2

1 hoặc

4

3 B.

3

1 hoặc

3

2 C.

4

3 hoặc

5

2 D.

3

2 hoặc

3

4

Hướng dẫn chi tiết:

Bài 3: Giải 1:



Mà ta có

6sin

sin

sin6

sin

11

πα

απA

AAA

=⇒= 21max 2AAA��

⊥⇔=⇔π

α

=>Amax = 20

3cos

1 =π

A.

Để A = Amax/2 = 10 thi 3106

sin2 12 ==π

AA .

Giải 2: Ta có: ( )( )

2 2 21 2 1 2 1 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2 2 2

A A A A A A A A A 2AA cos

10 A A AA 3 A AA 3 A 10 0 *

= + → = − → = + − ϕ − ϕ

→ = + − → − + − =

��

Phương trình trên luôn có nghiệm nên: ( )2 2 23A 4A 4.10 0 A 20 cm∆ = − − ≥ → ≤

Khi A=10(cm) từ (*) suy ra: ( )2A 10 3 cm=

Giải 3: * Định lý hàm số sin trong tam giác 1OA A∆

� 10

.sinsin

6

A απ

= � Amax = 20cm khi α = 900

* Khi A=Amax/2 =10 cm � Dùng định lý hàm số cos trong

1OA A∆ � ( )10 3A cm= . Đáp án A

Bài 4: Giải: x1 = 2 3 sinωt = 2 3 cos(ωt -2

π)

Vẽ giãn đồ véc tơ: A = A1 + A2

Góc giữa vect tơ A và A2 là 3

π A=2cm; 1 2 3A cm=

A12 = A2 + A2

2 – 2AA2cos3

π = A2 + A2

2 – AA2

<=>A22 – AA2 + A2 – A1

2 = 0

<=>A22 – 2.A2 + 22 – 4.3 = 0

<=>A22 – 2A2 – 8 = 0 => A2 = 4cm.

Ta thấy: A22 = A1

2 + A2 => A vuông góc với A1. Suy ra ϕ = 0 => ϕ2 = 3

π . Chọn A

Bài 5: Giải 1: Xem hình vẽ Khi A2 max , theo ĐL hàm số sin ta có:

2 12 1

2

sin / 2 sin / 3 3

A AA A

π π= => = (1)

Tam giác OAA2 vuông tại A nên ta có: 2 2 21 29A A+ = (2)

Thế (1) vào (2) Ta có:2 2 21 1

49

3A A+ = => A1 =9 3 cm.

Giải 2:

1A�

2A�

A�

3/π−

∆

1A��

A��

2A��

10cm

π/π

/ π/

φ

α

O

1A�

2A�

A�

O x

α

Trục dọc

Trục ngang x

π/6

A

O

Hình vẽ

A2 π/3

A1

π/6

A1

A2

A



HD: ⇔=απ sin

6sin

2AA Amax khi cmAAAcmA 3918

222

21 =−=⇔=⇔=π

α

Bài 6: Giải: Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ.

Theo ĐL hàm số sin ta có:

3sin

πA

= αsin1A

=> A = αsin1A

sin3

π

A = Amin khi sinα = 1 => Amin = A1sin3

π = 5 3 cm. Chọn B

Bài 7: Giải: Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ qauy như hình vẽ bên: Hình vẽ dễ dàng ta thấy: A min khi Biên độ dao động tổng hợp A trùng với OM. A= A1cos (π/6) =10 3 /2 = 5 3 (cm) .Chọn B Và A2 = A1sin (π/6) =10.1/2 = 5 (cm) Bài 8: Giải: Biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ quay như hình vẽ bên: A2 max khi góc đối diện với nó 9 β) trong tam giác tạo bởi A1,A2,A là góc vuông (tam giác vuông tại góc β mà A2 là cạnh huyền) Theo định lý hàm số sin ta có

A

Sin

A

Sin αβ=

2

=> α

βSin

ASinA .2 = .

Theo đề ta có A =5cm, α= π/6. Nên A2 phụ thuộc vào Sin β. Trên hình vẽ: A2 max khi góc đối diện β =π/2

=> cmSin

AA 10

215

6

.1max2 ===π

Hình vẽ dễ dàng ta thấy: ϕ = /β - ϕ1 /= / π/2 - π/3 / = π/6 Vì ϕ <0 => ϕ = - π/6 . Chọn B Bài 9: Giải: Cáh 1: (Xem hình vẽ 2 véctơ biểu diễn 2 dao động thảnh phần ) Vì 2 dao động thành phần cùng tần số góc nên trong quá trình các Véc tơ quay tròn đều thì tam giác OA1A2 có độ lớn không đổi. Độ lệch pha giữa 2 dao động thành phần :

x’ III I

A1

π/4 O

IV

x

II

A2

Hình

1A

β

α

A

2A ϕ

1A

π/6

A

2A

O M

O A

A2

A1

3

π

α



3

π-12

π=

4

π

Cạnh OA1 = 4cm ,OA2 = 4 2 cm , và góc A1OA2 =π/4 Dễ thấy góc OA1 A2 = π/2 và tam giác OA1A2 vuông cân tại A1. Suy ra đoạn OA1 =A1A2 = 4cm (không đổi trong quá trình dao động) A1A2 là khoảng cách giữa 2 vật . Khi đoạn A1A2 song song với x’0x thi lúc đó khoảng cách giữa hai vật chiếu xuống trục x’ox là lớn nhất và bằng 4cm .Chọn A. Cách 2: Gọi hai chất điểm là M1(toạ độ x1) và M2 (toạ độ x2). Độ dài đại số đoạn M2M1 là x = x1 - x2 = 4cos(4t +5π/6) ( cm) . Suy ra khoảng cách lớn nhất giữa M1 và M2 là xmax = 4cm( bằng biên độ của x). Bài 10:

Giải: Độ lệch pha giữa 2 dao động: 5

.6

radπ

ϕ∆ = không đổi.

Biên độ của dao động tổng hợp A = 6 cm cho trước. Biểu diễn bằng giản đồ vec tơ như hình vẽ

Ta có: 22

sin.

sin sin sin

A AA A

βα β α

= → =

Vì α , A không đổi nên A2 sẽ lớn nhất khi sin� lớn nhất tức là góc � = 900.

Khi đó 2 max

612( )

sin sin6

AA cm

πα= = = ĐÁP ÁN D.

Bài 11: Giải: Áp dụng ĐL hàm số sin:

220

2 sinsin s in30

A AA A α

α= => =

Ta có A2max khi sinα =1 => A2 = 2A = 12cm Bài 12: Giải: Xem hình vẽ Khi A2 max , theo ĐL hàm số sin ta có:

2

2

2,5 2sin

sin / 2 sin 22,5 2

A A A

Aβ

π β= => = = =

Trục ngang x

α A

O

ϕ2

A2

π/4

A1

1A�

A�

2A�

α

030

5

6

π

2A�

α

β

1A�

A�



Hay β = π/4 =>. Tam giác OAA2 vuông cân tại A nên ta có: ϕ2 = -( π/2 + π/4 ) = - 3π/4

Bài 13: Giải:

2 2

ax4 2 2 342 2

sin sin 30 sin sin 16

MABB

πα β β ϕ

= − == = = ⇒ ⇒

= = −

Bài 14: Giải: - giản đồ véc tơ như hình vẽ:

- Do pha ban đầu của hai véc tơ 1A��

và 2A��

là 2à -

3 6v

π π

nên 2

3 6 6

π π πα π= − − =

- Áp dụng định lí hàm số sin ta có: 2

2

12.sin sin 24.sin

sin sin sin 1/ 2

A A AA β β β

β α α= ⇒ = = =

. Vậy A2max khi sinβ =1⇒ 090β = mà

2

3

πβ ϕ+ = (bằng pha ban đầu của x1).

Nên 6

πϕ =

Bài 15: Giải 1: Ta có

x1=2 3 sin(ωt)(cm) = 2 3 cos(ωt -2

π )(cm)

Cần xác định định A2 và φ2

Giả sử ta có giãn đồ véc tơ như hình vẽ Theo giãn đồ ta có: A1

2 = A22 + A2

- 2AA2cos(φ2 – φ)

A12 = A2

2 + A2 - 2AA2cos(

3

π)

=> A22 - 4A2cos

3

π - 8 = 0

=> A22

- 2A2 – 8 = 0 => A2 = 4 cm A2

2 = A12 + A2

- 2AA1cosα với

α = góc A1OA = 2

π + φ

=> 16 = 12 + 4 - 16 3 cosα => cosα = 0

O ϕ2 =

3

π

A

A

A

O

ϕ2 - ϕ ϕ

A

A2

A1

A1

A2

ϕ

α A

x x’

β

O

A2

α

A

β

2

B



6

π

O

1A

2AA

α

3

π−

O

2A

1A

A3

π−

α6

π

=> 2

π + φ =

2

π+ kπ => φ = 0. => φ2 =

3

π. Đáp số : A2 = 4cm. φ2 =

3

π

Chọn A Giải 2: Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác

)(4082)cos(2 222222

222

21 cmAAAAAAAA =→=−−→−−+= ϕϕ

)(3

0

2;32;4

2

221

2212

rad

AAAcmAcmAcmA

πϕ

ϕ

=→

=→

+=→===

Bài 16: Giải:

- Áp dụng định lý hàm số sin: 1A

sin s6

A

in=

πα ⇒ A max khi sinα=1 ⇒ Amax=20cm

- Theo yêu cầu bài toán thì maxAA 10cm

2= =

- Áp dụng định lý hàm số cos tính được A2

Bài 17: Giải: Áp dụng định lý hàm số sin: A

ssin6

2Ain

=π α

⇒

A2 max khi sinα=1 ⇒ A2=18cm

Bài 18: Giải: 1 2

5d | x x | 6

6

π= − = ∠

Bài 19 : Giải: Vẽ giãn đồ véc tơ như hình vẽ: Xét tam giác OA1A

ϕsin2A

=

6sin

1

πA

=> sinϕ = 1

2

2A

A (1)

A22 = A1

2 + A2 – 2AA1cosϕ = 4A12 - 2 3 A1

2cosϕ (2)

sinϕ = 1

2

2A

A=

2

cos324 ϕ− =>4sin2ϕ = 4 - 2 3 cosϕ

2 3 cosϕ = 4(1- sin2ϕ) = 4cos2ϕ => 2cosϕ (2cosϕ - 3 ) = 0 (3)

=> cosϕ = 0 hoặc cosϕ =2

3

A2

A

A1

π/6 ϕ O

A

π/6

A2

A1



=> ϕ =2

π => ϕ2 =

2

π +

6

π =

3

2π=>

2ϕϕ

= 4

3

hoặc ϕ =6

π => ϕ2 =

6

π +

6

π =

3

π=>

2ϕϕ

= 2

1 Chọn A

* Một số bài toán liên quan đến cực trị của vận tốc, gia tốc và lực hồi phục…: Bài 1. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần

số có các phương trình: 1x 4cos(10t )4

π= + (cm)và x2 = 3cos(10t +

4

3π) (cm).Xác định vận tốc

cực đại và gia tốc cực đại của vật. A. 50cm/s; 10 m/s2. B. 7cm/s; 5 m/s2. C. 20cm/s; 10 m/s2. D. 50cm/s; 5 m/s2. Bài 2. Dao động của một chất điểm có khối lượng 10g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình li độ lần lượt là x1=5cos(10π t) cm, x2=10cos(10π t) cm (t tính bằng s). Chọn mốc thế năng ở VTCB. Lấy π2 = 10. Cơ năng của chất điểm bằng: A. 1125J B. 0,1125J C. 0,225J D. 1,125J Bài 3. Một vật nhỏ có chuyển động là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai

dao động này có phương trình là 1 1 cosx A tω= và 2 2 cos2

x A tπ

ω = +

. Gọi E là cơ năng của

vật. Khối lượng của vật bằng:

A. 2 2 2

1 2

2E

A Aω + B.

2 2 21 2

E

A Aω + C.

( )2 2 21 2

E

A Aω + D.

( )2 2 21 2

2E

A Aω +

Bài 4: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số f=10Hz. Có biên độ A1=7cm; A2=8cm độ lệch pha của hai dao động là π /3. Vận tốc của vật ứng với li độ tổng hợp x=12cm bằng A. 10π± m/s B. 10π± cm/s C. π± m/s D. π± cm/s Bài 5: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình là: x1=4cos(10t+π /4) cm; x2=3cos(10t-3π /4) cm. Độ lớn vận tốc khi nó qua vị trí cân bằng là A. 10cm/s B. 7cm/s C. 20cm/s D. 5cm/s Bài 6: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình là: x1=4cos(10t+π /4) cm; x2=3cos(10t-3π /4) cm. Gia tốc khi nó qua vị trí biên bằng A. 10cm/s2 B. 1cm/s2 C. 10m/s2 D. 1m/s2

Bài 7: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=2cos(5π t+π /2) cm, x2=2cos(5π t) cm. Vận tốc của vật lớn nhất bằng A. 10 2 π cm/s B. 10 2 cm/s C.10π cm/s D. 10cm/s Bài 8: (ĐH 2012): Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua góc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là

A. 4

3. B.

3

4. C.

9

16. D.

16

9.



Bài 9: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua góc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 3 cm, của N là 4 cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 5 cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng 1/3 cơ năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là bao nhiêu?

A. 4

3. B.

16

27. C.

27

16. D.

16

9.

Bài 10: Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt cm)t2cos(10x 11 ϕ+π= và cm)2/t2cos(Ax 22 π−π= , dao động tổng

hợp là cm)3/t2cos(Ax π−π= . Hỏi khi cơ năng dao động của vật cực đại thì biên độ dao động A2 có giá trị bao nhiêu?

A. 310 cm B. 3/10 cm C. 3/20 cm D. 20cm Bài 11: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương có phương trình dao

động lần lượt 1x 4,8cos 10 2t cm

2

π = + cm, ( )2 2x A cos 10 2t cm= − π

. Biết độ lớn vận tốc

của vật tại thời điểm động năng bằng 3 lẩn thế năng là 0,3 6 /m s . Tính biên độ A2. A.7,2 cm B. 6,4cm C.3,2cm D.3,6cm Bài 12: Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hoà trên mặt phẳng nằm ngang dọc theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox. Biên độ của con lắc một là A1 = 4cm, của con lắc hai là A2 = 4 3 cm, con lắc hai dao động sớm pha hơn con lắc một. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox là a = 4cm. Khi động năng của con lắc một cực đại là W thì động năng của con lắc hai là: A. 3W/4. B. 2W/3. C. 9W/4. D. 3W/2 Hướng dẫn chi tiết:

Bài 1. Cách 1: Ta có: A = 021

22

21 90cos2 AAAA ++ = 5 cm

� vmax = ωA = 50 cm/s = 0,5 m/s; amax = ωA = 500 cm/s2 = 5 m/s2. Chọn D Cách 2: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX chọn đơn vị góc tính theo độ (D) Bấm : SHIFT MODE 3 Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy : 4 SHIFT(-)∠45 + 3 SHIFT(-)∠135 = Hiển thị: 5∠ 81,869, Suy ra A = 5cm � vmax = ωA = 50 cm/s = 0,5 m/s; amax = ωA = 500 cm/s2 = 5 m/s2. Chọn D

Bài 2. Dễ thấy A= 5+10=15cm . Cơ năng: 2 2 2 21 1.0,01.(10 ) .(0,15) 0,1125

2 2W m A Jω π= = =

Giải 2: Cơ năng W= 2 2 21 1

2 2kA m Aω= . Do ϕ∆ =0 nên 2 dao động cùng pha suy ra

A=15cm=0,15m. Từ đó dễ dàng tính được W=0,1125J Bài 3.

HD: Hai dao động vuông pha :

22

21 AAA +=

suy ra :=⇒+= mAAmE )(

2

1 22

21

2ω( )2 2 2

1 2

2E

A Aω +

Chọn D

Bài 4. Giải: Áp dụng công thức: 2 2v A xω= ± − (1)với ω =2π f=20π



2 2 21 2 1 22 os

2A A A A A c

π= + + => A=13cm. Thay vào (1) Dễ dàng tính được v= π± m/s.

Chọn C

Bài 5. Qua VTCB thì V=Vmax= Aω± . Do độ lệch pha của hai dao động là:

ϕ∆ =-3π /4-π /4=-π nên 2 dao động ngược pha. Suy ra A=1cm. Dễ dàng tính được v=10cm/s. Chọn A Bài 6. Giải: Qua VTB thì a=amax= Aω± 2 . Do độ lệch pha của hai dao động là: ϕ∆ =-3π /4-π /4=-π nên 2 dao động ngược pha. Suy ra A=1cm. Dễ dàng tính được a=100cm/s2 =1m/s2.

Chọn B

Bài 7. V=Vmax= Aω± . Do độ lệch pha của hai dao động là: ϕ∆ =π /2 nên 2 dao động vuông

pha. Suy ra A= 2 21 2A A+ =2 2 cm. Dễ dàng tính được v=10 2 π cm/s. Chọn A

Bài 8 Giải 1:Vẽ giãn đồ véc tơ của hai dao động. khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox khi đoạn thẳng A1A2 song song với Ox. Do A1A2 = 10 cm A1 = 6 cm; A2 = 8 cm => hai dao đông vuông pha nhau. Giả sử phương trình dao động của M và N:

x1 = 6cos(ωt + 2π

); x2 = 8cosωt

Ở thời điểm WđM = WtM = 2

1W --> x1 =

2

2A1 = 3 2 (cm)

6cos(ωt + 2π

) = 3 2 ----> -6sinωt = 3 2 ----> sinωt = - 2

2

Khi đó x2 = 8cosωt = ± 4 2 cm = ± 2

22A=> Wt2 =

22W

=> Wđ2 = Wt2 = 2

2W

Cơ năng của dao động tỉ lệ với bình phương của biên độ. m1 = m2 và f1 = f2

=> 2

1

đ

đ

W

W=

2

1

W

W= 2

2

21

A

A=

169

Chọn C

Giải 2: Khoảng cách giữa hai chất điểm là 12 xx − bằng hình chiếu của MN xuống trục ox. Giá trị

12 xx − lớn nhất khi MN//ox. Mà ta có 22

21

2 AAMN += => hai dao động vuông pha nhau => khi

dao động thứ nhất có Wđ = Wt 2

211

Ax ±=⇔ thì

16

9

8

6

2

22

2

22

21

222

2 ====⇔=⇔±=A

A

W

W

W

WWW

Ax

N

M

đN

đMtđ .

Chọn C. Bài 9: Giải: Khoảng cách giữa hai chất điểm là 12 xx − bằng hình chiếu của MN xuống trục ox. Giá trị

12 xx − lớn nhất khi MN//ox. Mà ta có 22

21

2 AAMN += => hai dao động vuông pha nhau => khi

dao động thứ nhất có Wđ1 = W1/4 thì 2

311

Ax ±= .

22

2

Ax ∓=

O

MN

O

MN

A1 A2

O x



=> Wđ2 = 3W2/4 16

27

4

3.332

2

22

21

2

1 ===⇔A

A

W

W

đ

đ . Chọn C.

Bài 10: Dùng phương pháp biểu diễn véc tơ! Khi cơ năng dao động của vật cực đại thì A phải lớn nhất! Áp dụng định lý hàm số Sin trong tam giác ta có:

απ Sin

A

Sin

A=

)6/(1 Để A lớn nhất thì Sinα = 1 hay hai dao động

thành phần vuông pha nhau và A = 2A1 = 20cm Ta có A2

2 = A2 – A12 = 202 – 102 = 300

Hay A2 = 10 3 cm. Chọn A Bài 11: W= Wd + Wt = 3Wd + Wt = 4 Wt

Hay 2 21 1

42 2 2

AkA kx x= => = ±

Theo đề lúc đó : v= 0,3 0,3 6v = m/s= 30 6 /v cm s=

Ta có công thức :

22

2

vA x

ω= +

thế số :

2 2900.627

4 200 4

A AA = + = +

=> A = 6cm

Hai dao động vuông pha nên :

2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 1

2

6 4,8

3,6

A A A A A A

A cm

= + => = − = −

=> = Chọn D Bài 12: Giải: Giả sử phương trình dao động của hai con lắc lò xo: x1 = 4cosωt (cm); x2 = 4 3 cos(ωt + ϕ) (cm) Vẽ giãn đồ véc tơ A1 A2 và vecto A = A2 – A1 Vecto A biểu diễn khoảng cách giữa hai vật x = x2 – x1

x = Acos(ωt + ϕ’) biên độ của x: A2 = A1

2 + A22 – 2A1A2cosϕ = 64 - 32 3 cosϕ

Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox khi cos(ωt + ϕ’) = ± 1 => A = a = 4cm => A2 = 16

64 - 32 3 cosϕ = 16 =>cosϕ = 2

3=> ϕ =

6

π

Do đó x2 = 4 3 cos(ωt + ϕ) = x2 = 4 3 cos(ωt + 6

π)

Khi Wđ1 = Wđmax = 2

21kA

= W thi vật thứ nhất qua gốc tọa đô: x1 = 0 => cosωt = 0 ;sinωt = ± 1

Khi đó x2 = 4 3 cos(ωt + 6

π) = 4 3 cosωt cos

6

π - 4 3 sinωt sin

6

π = ± 2 3 cm = ±

22A

Wđ2 = 2

22kA

- 2

22kx

= 4

3

2

22kA

=>1

2

đ

đ

W

W =

W

Wđ 2 =

2

24

3

21

22

kA

kA

= 4

32

1

22

A

A=

4

9 => Wđ2 =

4

9W.

Đáp án C

π/3 π/6

A1

A

A2 α

O

ϕ’ x

O ϕ

A

A

A



* Một số bài toán liên quan đến giá trị của x tại một thời điểm . Bài 1: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có

phương trình li độ lần lượt là x1 = 3cos(3

2πt -

2

π ) và x2 =3 3 cos

3

2πt (x1 và x2 tính bằng cm,

t tính bằng s). Tại các thời điểm x1 = x2 li độ của dao động tổng hợp là: A. ± 5,79 cm. B. ± 5,19cm. C. ± 6 cm. D. ± 3 cm. Bài 2: Hai vật dao động điều hòa trên hai đoạn thẳng cạnh nhau, song song với nhau, cùng một vị trí cân bằng trùng với gốc tọa độ, cùng một trục tọa độ song song với hai đoạn thẳng đó,

với các phương trình li độ lần lượt là ( )1

5 53cos

3 6x t cm

π π = +

và ( )2

20 25cos

3 3x t cm

π π = −

.

Thời điểm đầu tiên (kể từ thời điểm t = 0) khoảng cách giữa hai vật lớn nhất là A. 0,1s. B. 0,05s. C. 0,5s. D. 2s. Bài 3: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương có các phương trình lần

lượt là x1=6cos(10πt + 3

π) (cm),x2=6 3 cos(10πt -

6

π) (cm).Khi dao động thứ nhất có ly độ

3(cm) và đang tăng thì dao động tổng hợp có: A,ly độ -6căn3 (cm) va đang tăng B. li độ -6(cm) và đang giảm C.ly độ bằng không và đang tăng D.ly độ -6(cm) và đang tăng Bài 4: Hai chất điểm M, N có cùng khối lượng dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của M, N đều trên cùng một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 6cm, của N là 6cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất của M và N theo phương Ox là 6cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm M có động năng gấp 3 lần thế năng tỉ số động năng của M và thế năng của N là:

A. 4 hoặc 3

4 B. 3 hoặc

4

3 C. 3 hoặc

3

4 D. 4 hoặc

4

3

Bài 5: Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là ( )1 6cos 10 3x t cmπ= + và ( )2 8cos 10 6x t cmπ= − . Lúc li độ dao động

của vật là 8x cm= − và đang tăng thì li độ của thành phần x1 lúc đó A. bằng 6 và đang tăng. B. bằng 6 và đang giảm. C. bằng 0 và đang giảm. D. bằng 0 và đang tăng. Hướng dẫn chi tiết:

Bài 1 Giải 1: Phương trình dao động tổng hợp

x = 6cos(3

2πt -

6

π ) (cm); 3cos(

3

2πt -

2

π ) =3sin(

3

2πt )

x1 = x2 => 3cos(3

2πt -

2

π ) = 3 3 cos

3

2πt

=> tan3

2πt = 3 = tan

3

π =>

3

2πt =

6

π + kπ => t =

4

1+

2

3k

x = 6cos(3

2πt -

6

π ) = x = 6cos[

3

2π(

4

1+

2

3k) -

3

π ]

π/6

A1

A2

A



= 6cos(kπ - 6

π) = ± 3 3 cm = ± 5,19 cm

Giải: Cách 2 Dùng giản đồ véctơ:

Với các số liệu đề bài ta vẽ được giản đồ véctơ như hình trên .Ta dễ dàng có:

xhiệu = 6cos( 2

3

π t π−

5

6) ;

xtổng = 6cos( 2

3

π t π−

6)

Nhận xét khi x1= x2 thi x1-x2 = 0 khi véc tơ biểu điễn xhiệu = x1-x2 vuông góc với trục ngang,

Lúc đó xtổng = x1+x2 lệch với trục ngang một góc π/6 hoặc 5π/6.

Nên ta có x = 6cos (π/6) = 3 3 = 5,19cm ; x = 6cos (5π/6)= -3 3 = -5,19cm . Chọn B

Giải: Cách 3 Dùng số phức với máy tính Fx570Es:

Bấm máy ta có xhiệu = x1-x2 = 6cos( 2

3

π t π−

5

6) ; xtổng = 6cos( 2

3

π t π−

6)

Khi xhiệu = 0 thì cos( 2

3

π t π−

5

6) = 0 => 2

3

π t π−

5

6= π

±2

=> t= 2s hoặc t= 0,5s

Thế t=2s vào xtổng:

xtổng = 6cos( 2

3

π 2. π−

6) = 6cos( π4

3

π−

6) =6cos( π7

6) = -3 3 = -5,19cm

Thế t=0,5s vào xtổng:

xtổng = 6cos( 2

3

π 0,5. π−

6) = 6cos( π

3

π−

6) =6cos( π

6) =3 3 = 5,19cm Chọn B

Giải 4: Ta có x1 = 3cos( 2

3

π t - 2

π ) 2

3sin3

tπ

=

x1 = x2

2 2 2 2 1 33sin 3 3 os tan 3 ;k Z

3 3 3 3 3 2 2

kt c t t t k t

π π π π ππ⇔ = ⇔ = ⇒ = + ⇒ = + ∈

phương trình dao động tổng hợp: x1 vuông pha với x2 nên ta có

A = 2 21 2 6A A cm+ = ; 1

2

1tan

63

A

A

πϕ ϕ= − = − ⇒ = −

Phương trình dao động tổng hợp: x =6cos(2

)3 6

t cmπ π

− thay t vào ta được x= ± 5,19cm.

Chọn B Bài 2:

Độ lệch pha : )(6

9

3

15radt

ππϕ −=∆ .

)(10

1

15

3)

6

91)1.(2(

15

3)

6

912()12( minmax stktkx =++−=→++=→+=∆→ πϕ

X1

x2 π/6

Xtổng =x1 + x2

0

Xhiệu =x1 - x2

-x2 π/6

π/6

A1

A2

A



Hoặc:(nhẩm) Sau: )(10

1

31221 s

TTt === Vật thứ nhất đến biên âm. Vật thứ hai đến biên dương

nên khoảng cách giữa hai vật lớn nhất

Bài 3 : x1 = 6cos(10πt + 3

π) (cm);

x2 = 6 3 cos(10πt - 6

π) (cm)

Phương trình dao động tổng hợp: x = x1 + x2 = 12cos10πt (cm) Vẽ giãn đồ ta có OA1AA2 là hình chữ nhật. Khi x1 = 3 cm và đang tăng cho hình chữ nhật quay ngược

chiều kim đồng hồ góc 3

2πvéc tơ A cũng quay

góc 3

2π. Khi đó x = 12cos

3

2π = - 6 cm sau đó li độ x tăng

. Chọn D Bài 4: - Phương trình dao động của M là 1 1 1x A cos( t )= ω + ϕ ; của N là 2 2 2x A cos( t )= ω + ϕ - Khoảng cách giữa hai chất điểm theo phương Ox là

1 2 2 2d | x x | | ) | | Acos( t ) |1 1A cos( t )+A cos( t )= − = ω + ϕ ω + ϕ + π = ω + ϕ 2 2

max 1 1 1 2 2 1d A A A 2A A cos( )⇒ = = + + ϕ + π − ϕ

- Theo giả thiết A=A1=A2=6cm ⇒ 2 1 3

2πϕ + π − ϕ = ⇒ x1 và x2 lệch nhau góc

3

π

- Ta thấy khi M có động năng bằng 3 lần thế năng thì x1=±3cm ⇒ dựa vào giản đồ N có 2 vị trí –3cm và –6cm

Bài 5: * dđ tổng hợp có A = 10cm

* tan α = A2/A1 => α = 53,130 _ α = ( A , 1A ) không đổi

* Khi 8x cm= − và đang tăng (như hình vẽ) : + cosβ = 8/10 => β = 36,870

+ β + α = 900 => 1A có VT như hình vẽ => x1 = 0 và đang tăng

A2

A1

A

A

2A

1A

π/3 α

-8

10 -10 x β α

0



* Một số bài tập tổng hợp :

Câu 1. Cho hai dao động điều hoà cùng phương x1=2cos (4t + 1ϕ )cm và x2=2cos( 4t + 2ϕ )cm.

Với 0 πϕϕ ≤−≤ 12 . Biết phương trình dao động tổng hợp x = 2 cos ( 4t +6

π)cm. Pha ban đầu

1ϕ là

A. 2

π B. -

3

π C.

6

π D. -

6

π

Câu 2. Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 100 (g), độ cứng lò xo 10π2 N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền nhau (vị trí cân bằng hai vật

đều ở gốc tọa độ) theo các phương trình x1 = 6cos(ω t- 2

π) cm, x2 = 6 cos(ω t-π )cm. Xác định

thời điểm đầu tiên khoảng cách giữa hai vật đạt giá trị cực đại? A. (3/40)s. B. (1/40)s. C. (1/60)s. D. (1/30) s. Câu 3: Cho 3 dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x1=2Acos(10π t+π /6), x2=2Acos(10π t+5π /6) và x3=A(10π t-π /2) (với x tính bằng m, t tính bằng s). Phương trình tổng hợp của ba dao động trên là. A. x=Acos(10π t+π /2) cm B. x=Acos(10π t-π /2) cm C. x=Acos(10π t+5π /2) cm D. x=Acos(10π t-5π /2) cm Câu 4: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là )2/cos(11 πω += tAx ; )cos(22 tAx ω= ; )2/cos(33 πω −= tAx . Tại thời điểm 1t

các giá trị li độ 3101 −=x cm , cmx 152 = , 3303 =x cm. Tại thời điểm 2t các giá trị li độ 1x =

−20cm, 2x = 0cm, 3x = 60cm. Biên độ dao động tổng hợp là

A. 50cm. B. 60cm. C. 340 cm. D. 40cm. Câu 5: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số x1 , x2 , x3. Biết x12 = 4 2 cos(5t – 3π/4) cm; x23 = 3cos(5t)cm; x13 = 5 sin(5t - π/2) cm. Phương trình của x2 là A. x2 = 2 2 cos(5t - π/4)cm. B. x2 = 2 2 cos(5t + π/4)cm. C. x2 = 4 2 cos(5t + π/4)cm. C. x2 = 4 2 cos(5t - π/4)cm. Câu 6: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương

trình là x1, x2, x3. Biết 12x 6cos( t )cm6

π= π + ; 23x 6cos( t )cm

3

2π= π + ;

13x 6 2 cos( t )cm4

π= π + . Khi li độ của dao động x1 đạt giá trị cực đại thì li độ của dao động x3

là:

A. 0cm B. 3cm C. 3 2 cm D. 3 6 cm Câu 7. Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hoà cùng pha, cùng tần số có phương

trình lần lượt là: x1 = A1cos(2π t +2

3

π) cm; x2 = A2cos(2π t)cm; x3 = A3cos(2π t -

2

3

π)cm.Tại

thời điểm t1 các giá trị ly độ x1 = - 20cm, x2 = 80cm, x3 = -40cm, thời điểm t2 = t1 + T/4 các giá trị ly độ x1 = - 20 3 cm, x2 = 0cm,x3 = 40 3 cm. Tìm phương trình của dao động tổng hợp.

A. x2 = 40cos(2πt - π/3)cm. B. x2 = 40 2 cos(2π t + π/4)cm. C. x2 = 4cos(2π t + π/3)cm. C. x2 = 4 2 cos(2π t - π/4)cm.



Câu 8: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số x1 , x2 , x3 . Với x12 = x1 + x 2 ; x23 = x2 + x 3 ; x13 = x1 + x 3; x=x1 + x2 + x3 . Biết: x12=6cos(πt+ π/6)cm ; x23=6cos(πt +2π/3)cm; x13=6 2 cos(πt + 5π/12) cm. Tìm x biết x2=x1

2+x32

A. 6 2 cm B. 6cm C. 24cm D. 6 3 cm Câu 9: Ba dao động điều hào cùng phương cùng tấn số x1; x2 và x3 , có dao động tổng hợp

từng đôi một là 12 2cos(2 / 3)x t cmπ π= + ; 23 2 3 cos(2 5 / 6)x t cmπ π= + và 31 2cos(2 )x t cmπ π= + . Phương trình dao động thành phần thứ 2 là

A 2 3 cos (ω t + 2

π ) cm B 3 cos (ω t - π ) cm

C 2 3 cos (ω t + π ) cm D 3 cos (ω t + 2

π ) cm

Hướng dẫn chi tiết:

Câu 1. Do A1=A2=2 nên 1

2 cos 2 2.2cos cos cos2 2 2 2 3thA Aφ φ φ π∆ ∆ ∆

= ↔ = ↔ = =

Vì 0 πϕϕ ≤−≤ 12 � 2 1

20

2 2 2 3 3

ϕ π ϕ π πϕ ϕ ϕ

∆ ∆≤ ≤ ⇒ = ⇒ ∆ = = − (1)

Do A1=A2 pha ban đầu tổng hợp 362 21

21 πϕϕ

πϕϕϕ =+↔=

+= (2)

Từ (1) và (2) φ1 = -6

π và φ2 =

2

π. Chọn D

Câu 2. GIẢI: * Khoảng cách : x = x1 – x2 = Acos(wt + ϕ) => x1 = x2 + x => vẽ giản đồ => A = 6 2 cm ; ϕ = - π/4 => x = 6 2 cos(wt – π/4) * Khoảng cách giữa 2 vật cực đại khi |x|max => cos(wt – π/4) = ± 1 => 10πt – π/4 = k π => t = 1/40 + k/10 Thời điểm đầu tiên : k = 0 => t = 1/40s . Chọn B Câu 3. Sử dụng phương pháp giản đồ vectơ ta có

1 1 2 2 3 3sin sin sinxA A A Aϕ ϕ ϕ= + + = A

1 1 2 2 3 3s s syA A co A co A coϕ ϕ ϕ= + + = 0

Từ đó suy ra ATT = 2 2x yA A+ =A; Pha ban đầu tanϕ = x

y

A

A nên ϕ =π /2 .Vậy chọn A.

Câu 4.

Giải 1: x1 và x2 vuông pha nên: 2 2

1 2

1 2

1

+ =

x x

A A

ϕ

A

A

A



X2 và x3 vuông pha nên: 22

32

2 3

1

+ =

xx

A A

Tại t2 2 2

11 2

20 01 20

−+ = => =

A cm

A A

Tại t1 22 2 2

1 22

1 2 2

10 3 151 1 30

20

−+ = => + = => =

x xA cm

A A A

222 2

323

2 3 3

15 30 31 1 60

30

+ = => + = => =

xxA cm

A A A

2 22 3 1( ) 50= + − =A A A A cm .Chọn A

Giải 2 :

* Tại thời điểm t2 : 2 21 22 2

1 2

1x x

A A+ = =>

212

1

1x

A= => A1 = 20cm. Tương tự =>

A3 = 60cm

* Tại thời điểm t1 : ( )2

2

2 22

10 3 151

20 A

−+ = => A2 = 30cm

( ) ( )2

2

2 23

30 3151

30 A+ = => A3 = 60cm

* Vẽ giản đồ => A = 50cm. Chọn A Câu 5. Giải 1: Theo bài ra ta có hệ:

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

12 1 2

23 2 3 2

13 1 3

3x x x 4 2 cos 5t cm

43

x x x 3cos 5t cm 2x 5cos 5t 3cos 5t 4 2 cos 5t4

x x x 5sin 5t 5cos 5t cm2

π = + = − π = + = → − = + −

π = + = − = −

( )2x 2 2cos 5t cm4

π = −

Câu 5. Giải 2: Ta có : 12 23 132 13 13 2 2 cos 5

2 4

x x xx x x x t cm

π+ + = − = − = −

. Chọn A

Câu 6: Giải : 12 13 231

x x xx 3 6

2 12

+ − π= = ∠ 13 23 12

3

x x xx 3 2

2 12

+ − 7π= = ∠

- Ta thấy x3 sớm pha hơn x1 góc 2

π ⇒ x1 max thì x3=0. Chọn A

Câu 7. Giải : Cách làm nhanh nhất dùng máy tính fx 570 ES Sau khoảng thì gian T/4 thì góc quét của mỗi dao động là π /2 nên x1 và x’1 vuông pha Do đó A1

2 = x12 + x’1

2 = (- 20)2 + (- 20 3 )2 suy ra A1 = 40cm Tương tự có : A2 = 80cm ; A3 = 80cm Dùng máy tính tính dao động tổng hợp ! x = x1 + x2 + x3 Thao tác bấm máy : 40 ∠ 120 + 80 ∠ 0 +80 ∠ -120 = 40 ∠ -60



Kết quả cho ta có : A = 40cm và φ = -π/3 .Vậy phương trình tổng hợp là : x = 40cos( 2 πt -π/3) cm. Chọn A Câu 8. Giải: * Phương trình của dao động tổng hợp là :

x=x1 + x2 + x3 = 12 23 13

2 56 6 6 2 5 56 3 12 6 2 6 2 os

2 2 12 12

x x xx c t cm

π π ππ π

π∠ + ∠ + ∠+ + = = ∠ ⇒ = +

* Tương tự ta có:

1 23

2 13

3 12

6cos6

0

26cos

3

x x x t cm

x x x

x x x t cm

ππ

ππ

= − = +

= − =

= − = +

* Theo bài x2=x12+x3

2 và x=x1 + x2 + x3 = x1 + x3 � x1x3=0 1

3

0 6 20 2

3 2

t kx

xt k

π ππ π

π ππ π

+ = +=⇒ ⇒ = + = +

5 3512 4 6 2 cos 6

5 12

12 4

t kx t cm

t k

π ππ π

ππ

π ππ π

+ = + ⇒ ⇒ = + = ±

+ = +

. Chọn B

Câu 9 : x12 = x1 + x2 x23 = x2 + x3 = > x12 + x23 = 2x2 + x1 +x2 = > x2 = ( x12 + x23 - x13 ) / 2 Thay số : x2 = (2∠ ( π/3) + 2 3 ∠ ( 5π/6) - 2∠ π )/2= 3 ∠ π/2 => chọn D Giải 2 : :x12 + x23 – x13 = 2x2

= 12 2cos(2 / 3)x t cmπ π= + + 23 2 3 cos(2 5 / 6)x t cmπ π= + - 31 2cos(2 )x t cmπ π= +

2x2 = cos( t )π

π +2 3 22

cm => x cos( t )cmπ

= π +2 3 22

Chọn D

BÀI TOÁN VỀ SỰ TRÙNG LẶP DAO ĐỘNG Dạng 1: Hai con lắc có chu kì khác nhau nhiều

1 111 1 2 2

2 2 min 1

. . ph©n sè tèi gi¶n =

. . khi n = 1

n a n t an Tn at n T n T

n b n b n t a T

= ∆ = ∆ = = ⇒ = ⇒ ⇒

= ∆ =

Câu 1: Hai con lắc đơn treo cạnh nhau có chu kì dao động nhỏ là 2,4(s) và 1,8(s). Kéo hai con lắc lệch một góc nhỏ như nhau rồi đồng thời buông nhẹ thì hai con lắc sẽ đồng thời trở lại vị trí này sau thời gian ngắn nhất là A. 4,8 s B. 12/11 s C. 7,2 s D. 18 s Hướng dẫn

111 2

min2 2

3 7,21,8 3.2,4 1,8

7,2 (s)2,4 4 4

n n t nnt n n

tn n n

= ∆ = ∆ = = ⇒ = = ⇒ ⇒

∆ ==



Câu 2: Hai con lắc đơn treo cạnh nhau có chu kì dao động nhỏ là 4(s) và 4,8(s). Kéo hai con lắc lệch một góc nhỏ như nhau rồi đồng thời buông nhẹ thì hai con lắc sẽ đồng thời trở lại vị trí này sau thời gian ngắn nhất là A. 8,8 s B. 12/11 s C. 6,248 s . D 24 s Hướng dẫn

111 2

min2 2

6 244,8 6.4 4,8

24 (s)4 5 5

n n t nnt n n

tn n n

= ∆ = ∆ = = ⇒ = = ⇒ ⇒

∆ ==

Câu 3: Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 64 cm và 81 cm dao động nhỏ trong hai mặt phẳng song song. Lấy gia tốc trọng trường g = π2 m/s2. Hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều lúc t = 0. Xác định thời điểm ngắn nhất mà hiện tượng trên tái diễn A. 14,4 s B. 16s C. 28,8 s D. 7,2 s Hướng dẫn

1 21 2

11 21 1 2 2

min2 1 2

2 1,6 (s); T 2 1,8 (s)

9 14,4.1,8 9t = n

14,4 s1,6 8 8

Tg g

n n t nn TT n T

tn T n n

π π= = = =

= ∆ = ⇒ ∆ = ⇒ = = = ⇒ ⇒

∆ ==

ℓ ℓ

- Lần đầu tiên hai con lắc gặp nhau

1 2

1 2

1

1 1 2

Gi¶ sö T

2

2 1 2

1 2

1 2

2 2 2=Asin . . . 2 ( k = 1,2,...)

2 2 2sin . . . 2 ( 0,1,2,...)

2 2LÇn 1: . . ( khi = 0)

2 2LÇn 2: . . 2 ( khi k = 1)

L

x x

T

x t t t kT T T

x A t t tT T T

t tT T

t tT T

π π ππ

π π ππ π

π ππ

π ππ

=<

= + →

= = − + =

+ =

⇒ − =

ℓ ℓ

ℓ

1 2

2 2Çn 3: . . 3 ( khi = 1) t t

T T

π ππ

+ =

ℓ

Câu 4: Tại thời điểm ban đầu, hai chất điểm cùng đi qua gốc O theo chiều dương, thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có cùng biên độ nhưng có chu kì lần lượt là T1 = 0,8 s và T2 = 2,4 s. Thời điểm đầu tiên hai chất điểm đó gặp nhau là A. 0,3 s B. 0,6 s C. 0,4 s D. 0,5 s Hướng dẫn



1 2

1

1 1 2

2

2 1 2

2min

1min

2 2 2 6=Asin . . . 2 . ( k = 1,2,...)

5

2 2 2 3 3sin . . . 2 + . ( 0,1,2,...)

10 5

6 s lÇn 2 øng víi k = 1

53

t s lÇn 1 øng víi = 010

x x

x t t t k t kT T T

x A t t t tT T T

t

π π ππ

π π ππ π

=

= + ⇒ = →

= = − + ⇒ = =

=⇒

=

ℓ ℓ ℓ

ℓ

Câu 5: Tại thời điểm ban đầu, hai chất điểm cùng đi qua gốc O theo chiều dương, thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có cùng biên độ nhưng có chu kì lần lượt là T1 = 0,8 s và T2 = 1,2 s. Thời điểm đầu tiên hai chất điểm đó gặp nhau là A. 0,24 s B. 0,72 s C. 0,48 s D. 0,96 s Hướng dẫn

1 2

1

1 1 2

2

2 1 2

2min

1min

2 2 2 12=Asin . . . 2 . ( k = 1,2,...)

5

2 2 2 6 12sin . . . 2 + . ( 0,1,2,...)

25 25

12 s lÇn 2 øng víi k = 1

56

t s lÇn 1 øng víi = 0 t25

x x

x t t t k t kT T T

x A t t t tT T T

t

π π ππ

π π ππ π

=

= + ⇒ = →

= = − + ⇒ = =

=⇒

= ⇒

ℓ ℓ ℓ

ℓ1min

0,24 s

=

- Hai lần liên tiếp gặp nhau của hai con lắc có chu kì bằng nhau Câu 6: Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 10g, độ cứng lò xo k = 100π2 N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau ( VTCB hai vật đều ở gốc tọa độ ). Biên độ của con lắc thứ nhất lớn gấp đôi biên độ của con lắc thứ hai. Biết rằng hai vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược chiều nhau. Khoảng thời gian giữa ba lần hai vật nặng gặp nhau liên tiếp là A. 0,03 s B. 0,02 s C. 0,04 s D. 0,01 s Hướng dẫn Giả sử chúng gặp nhau ở li độ x1, con lắc 1 đi về phía bên trái và con lắc 2 đi về phía bên phải. Sau một nửa chu kì thì chúng lại gặp nhau ở li độ - x1, tiếp theo nửa chu kì gặp nhau ở li độ + x1. Như vậy, khoảng thời gian 3 lần gặp nhau liên tiếp là

( )3 1 . ; T = 2 0,02 (s)2

T mT

kπ− = =

Câu 7: Hai con lắc đơn giống nhau dao động điều hòa với chu kì 2(s) trong hai mặt phẳng song song đối diện nhau ( VTCB hai vật đều ở gốc tọa độ ). Biên độ của con lắc thứ nhất lớn gấp đôi biên độ của con lắc thứ hai. Biết rằng ở thời điểm t = 1(s) hai vật gặp nhau và chúng chuyển động ngược chiều nhau. Thời điểm tiếp theo hai vật gặp nhau là A. 2 s B. 3 s C. 4 s D. 5 s Hướng dẫn



Khoảng thời gian giữa 2 lần gặp nhau liên tiếp của 2 con lắc là T/2 = 1 (s). Kể từ thời điểm gặp

nhau t = 1(s) thì thời điểm tiếp theo hai vật gặp nhau là 1 1 2( )2

Tt t s′ = + = + =

Dạng 2: Hai con lắc có chu kì xấp xỉ bằng nhau Hai con lắc có chu kì xấp xỉ nhau T và T’ ( giả sử T < T’ ) bắt đầu dao động từ một thời điểm t = 0, sau một khoảng thời gian ∆t nào đó con lắc có chu kì T thực hiện được đúng n dao động thì con lắc có chu kì T’ thực hiện được đúng ( n+1) dao động. Ta có

∆t = n.T = ( n+1 ).T’ Câu 8: Hai con lắc có chu kì xấp xỉ nhau T = 2,1 (s) và T’ = 2,0 (s) bắt đầu dao động từ một thời điểm t = 0. Hỏi sau một thời gian ngắn nhất ∆t bằng bao nhiêu thì con lắc có chu kì T thực hiện được đúng n dao động và con lắc có chu kì T’ thực hiện được đúng n + 1 dao động ? A. 4,2 s B. 42 s C. 35 s D. 40 s Hướng dẫn

( ) ( )20

. 1 .2,1 1 .2,042 s

nt n T n T t n n

t

=′∆ = = + ⇒ ∆ = = + ⇒

∆ =

Câu 9: Hai con lắc lò xo có chu kì lần lượt là T1 và T2 = 2,9 (s) cùng bắt đầu dao động vào thời điểm t = 0 đến thời điểm t = 87 (s) thì con lắc thứ nhất thực hiện được đúng n dao động và con lắc thứ hai thực hiện được đúng n + 1 dao động. Tính chu kì T1 Hướng dẫn

( ) 21 2

1

871 1 29

2,9. 1

873 s

29

tn

Tt n T n T

tT

n

= − = − == = + ⇒

= = =

Câu 10: Hai con lắc đơn giống nhau, sợi dây mảnh dài bằng kim loại, vật nặng có khối lượng riêng D. Con lắc thứ nhất dao động nhỏ trong bình chân không thì chu kì dao động là T0, con lắc thứ hai dao động trong một bình chứa khí có khối lượng riêng rất nhỏ là .Dρ ε= . Hai con lắc bắt đầu dao động cùng một thời điểm t = 0, đến thời điểm t0 thì con lắc thứ nhất thực hiện hơn con lắc thứ hai đúng 1 dao động. Chọn phương án ĐÚNG A.

0 04t Tε = B.

0 02 t Tε = C.

0 0t Tε = D.

0 02t Tε =

Hướng dẫn

( )

0

0

0 0

00

0

0

0

2

1 . 122

21

1

Tg

T T t n T n TT

gg

D

tn

T t t Tt

t T TnT

πε

πρ

ε

=

⇒ − ⇒ ∆ = = +

= −

∆ = ∆ ∆⇒ ⇒ − = ⇒ ∆ = ∆ + =

ℓ

≃ℓ



Dạng 3: Con lắc thay đổi - Con lắc vướng đinh 1. Cấu trúc

- Con lắc đơn chiều dài 1l dao động với góc nhò 1α , chu kì 1T . - Đóng đinh nhỏ trên đường thẳng qua điểm treo O và cách O

về phía dưới đoạn R. - Khi dao động, dây treo con lắc bị vướng ở O’ trong chuyển

động từ trái sang phải của vị trí cân bằng (VTCB) có độ dài

2l , hợp góc nhỏ 2α với đường thẳng đứng qua điểm treo O, chu kì 2T .

- Con lắc vướng đinh 2. Chu kì T của CLVĐ

- Biểu diễn T theo 1T , 2T : )(2

121 TTT +=

- Biểu diễn T theo 1l , 2l : )( 21 llg

T +=π

- Lấy 102 =π , 110 −= msg : 21 llT +=

3. Độ cao CLVĐ so với VTCB: 21 hh = 4. Tỉ số biên độ dao động 2 bên VTCB

- Góc lớn: 1

2

2

1

cos1

cos1

αα

−

−=

l

l

- Góc nhỏ: 2

1

2

2

1

=

αα

l

l

5. Tỉ số lực căng dây treo ở vị trí biên

- Góc lớn: 2

1

cos

cos

αα

=B

A

T

T

- Góc nhỏ: 2

12

12

2 αα −+=

B

A

T

T

6. Tỉ số lực căng dây treo trước và sau khi vướng chốt O’ (ở VTCB)

- Góc lớn: 2

1

cos3

cos3

αα

−

−=

S

T

T

T

A B

I

1α

2α 1l

2l

Ah Bh

o



- Góc nhỏ: 21

221 αα −+=

S

T

T

T

Câu 11: Một con lăc đơn có chiều dài 1 m dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g = π2 m/s2 = 10 m/s2. Biết rằng khi vật qua vị trí cân bằng dây treo vướng vào một cái đinh nằm cách điểm treo một khoảng 75 cm. Chu kì dao động nhỏ của hệ đó là A. ( 1 + 0,5√3) s B. 3 s C. (2 + √3) s D. 1,5 s Hướng dẫn

( ) 1 21 2

1 12 2 1,5 s

2 2T T T

g gπ π

= + = + =

ℓ ℓ

Câu 12: Một con lăc đơn có chiều dài 1 m dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g = π2 m/s2 = 10 m/s2. Biết rằng khi vật qua vị trí cân bằng dây treo vướng vào một cái đinh nằm cách điểm treo một khoảng 91 cm. Chu kì dao động nhỏ của hệ đó là A. 2 s B. 1,3 s C. 1,25 s D. 1,5 s Hướng dẫn

( ) 1 21 2

1 12 2 1,3 s

2 2T T T

g gπ π

= + = + =

ℓ ℓ

- Con lắc đơn va chạm con lắc lò xo Câu 13: Cho cơ hệ như hình vẽ. Lò xo có độ cứng k=100N/m, sợi dây dài l=25cm, hai vật m1và m2 giống nhau có khối lượng 100g. Kéo m1 sao cho sợi dây lệch một góc nhỏ rồi buông nhẹ, biết khi qua vị trí cân bằng m1 va chạm đàn hồi xuyên tâm với m2. Bỏ qua mọi ma sát, lấy g= π2=10m/s2. Chu kỳ dao động của cơ hệ là:

A. 1,02 s B. 0,60 s C. 1,20 s D. 0,81 s Hướng dẫn

( )1 2

1 12 2 0,6 s

2 2

mT T T

g kπ π

= + = + =

ℓ

- Con lắc đơn va chạm với mặt phẳng nghiêng Câu 14: Một con lắc đơn có chiều dài bằng 1m, khối lượng m ( hình vẽ). Kéo con lắc khỏi VTCB một góc 0,1 rad và thả cho dao động không vận tốc đầu. Khi chuyển động qua VTCB và sang phía bên kia con lắc va chạm đàn hồi với mặt phẳng cố định đi qua điểm treo, góc nghiêng của mặt phẳng và phương thẳng đứng là 0,05 rad/s. Lấy gia tốc trọng trường g = π2 = 9,85 m/s2, bỏ qua ma sát. Chu kì dao động của con lắc là A. 1,02 s B. 1,33 s C. 1,23 s D. 1,83 s

m 1

m 2k

l



Hướng dẫn

max max

1

1 1 rad/s = .sin .sin . sin

2 6

1 1 22 2 1,33 s

2 2

OB OB OB

OB OB

gt t t t

T T t t

ω π α α ω α π β π

πω

= = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

= + = + =

ℓ

-------------------------------------------------------------------------------------------------

BÀI TOÁN VỀ CÁC VẬT CÙNG DAO ĐỘNG Dạng 1: Dao động theo phương ngang – Đặt thêm vật - Đặt thêm vật lúc tốc độ bằng 0 Khi tốc độ của vật bằng 0 ( vật ở vị trí biên), nếu ta đặt thêm lên vật một gia trọng ∆m thì biên độ dao động vẫn không thay đổi. Ta có

max

max

kv A mm mA Av A m mk

m

ωω

′ ′ ′ + ∆′= ⇒ = = =+ ∆

Câu 1: Một lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng m = 100g dao động điều hòa theo phương ngang. Lúc t = 0 vật qua VTCB với tốc độ 5 m/s. Sau khi dao động được 1,25 chu kì, đặt nhẹ lên trên m một vật có khối lượng 300g để hai vật dính vào nhau cùng dao động điều hòa. Tốc độ dao động cực đại lúc này là A. 5 m/s B. 0,5 m/s C. 2,5 m/s D. 0,25 m/s Hướng dẫn Kể từ khi t = 0 vật qua VTCB, sau 1,25 chu kì vật đang ở vị trí biên ( v = 0), nên khi đặt thêm lên vật một gia trọng ∆m thì biên độ dao động vẫn không đổi. Ta có

maxmax

max

12,5 m/s

4

kv A mm mA A vv A m mk

m

ωω

′ ′ ′ + ∆′ ′= ⇒ = = = = ⇒ =+ ∆

Câu 2: Một lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng m = 100g dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Lúc t = 0 vật qua VTCB với tốc độ 3 m/s. Sau khi dao động được 1,25 chu kì, đặt nhẹ lên trên m một vật có khối lượng 800g để hai vật dính vào nhau cùng dao động điều hòa. Tốc độ dao động cực đại lúc này là A. 1 m/s B. 0,5 m/s C. 2,5 m/s D. 0,25 m/s Hướng dẫn Kể từ khi t = 0 vật qua VTCB, sau 1,25 chu kì vật đang ở vị trí biên ( v = 0), nên khi đặt thêm lên vật một gia trọng ∆m thì biên độ dao động vẫn không đổi. Ta có

A

O B

α β



maxmax

max

11 m/s

9

kv A mm mA A vv A m mk

m

ωω

′ ′ ′ + ∆′ ′= ⇒ = = = = ⇒ =+ ∆

- Đặt thêm vật lúc tốc độ cực đại Khi vật qua VTCB ( có tốc độ cực đại), nếu ta đặt thêm lên vật một gia trọng ∆m thì tốc độ cực đại của hệ khi đó vẫn có giá trị không đổi. Ta có:

max

max

..

1 ..

.

kA

v A m Am mv A m m Ak

Am

ωω

′′ ′ ′ ′+ ∆= = = =+ ∆

Câu 3: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m = 100g dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 5 cm. Lúc vật qua VTCB, đặt nhẹ lên trên m một vật có khối lượng 800g để hai vật dính vào nhau cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động lúc này là A. 15 cm B. 3 cm C. 2,5 cm D. 12 cm Hướng dẫn Vì tốc độ cực đại không đổi nên:

max max

max max

.. 1

1 . 1 .. 9 3

.

3 3.5 15 cm

kA

v A m A v A Am mv A m m A v A Ak

Am

A A

ωω

′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ ∆= = = = ⇒ = = =

+ ∆

′⇒ = = =

Câu 4: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m = 100g dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 6 cm. Lúc vật qua VTCB, đặt nhẹ lên trên m một vật có khối lượng 300g để hai vật dính vào nhau cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động lúc này là A. 15 cm B. 3 cm C. 2,5 cm D. 12 cm Hướng dẫn Vì tốc độ cực đại không đổi nên:

max max

max max

.. 1

1 . 1 .. 4 2

.

2 3.6 12 cm

kA

v A m A v A Am mv A m m A v A Ak

Am

A A

ωω

′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ ∆= = = = ⇒ = = =

+ ∆

′⇒ = = =

- Đặt thêm vật lúc li độ: 0 < / x1 / < A Tốc độ của hệ lúc tác động:

( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 2 211 1 1 12

v kA x v A x A x

mω

ω= + ⇒ = − = −

Biên độ dao động sau:

( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 211 1 1 1 12

. .v k m m m m

A x x A x x A xm k mω

+ ∆ + ∆′ = + = + − = + −′



Câu 5: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 5 cm. Lúc vật cách VTCB 1 cm, đặt nhẹ lên trên m một vật có khối lượng bằng nó để hai vật dính vào nhau cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động lúc này là A. 5 cm B. 7 cm C. 10 cm D. 12 cm Hướng dẫn Tốc độ của hệ lúc tác động:

( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 2 211 1 1 12

v kA x v A x A x

mω

ω= + ⇒ = − = −


( ) ( )

( )

22 2 2 2 2 2 211 1 1 1 12

2 2 2

. .

1 5 1 .2 7 cmm m

v k m m m mA x x A x x A x

m k m

A

ω=∆

+ ∆ + ∆′ = + = + − = + −′

′→ = + − =

Câu 6: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m = 100g dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 2√7 cm. Lúc vật cách VTCB 2 cm, đặt nhẹ lên trên m một vật có khối lượng 300g bằng nó để hai vật dính vào nhau cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động lúc này là A. 15 cm B. 3 cm C. 10 cm D. 12 cm Hướng dẫn Tốc độ của hệ lúc tác động:

( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 2 211 1 1 12

v kA x v A x A x

mω

ω= + ⇒ = − = −


( ) ( )

( )

22 2 2 2 2 2 211 1 1 1 12

2 2

. .

0,42 4.7 2 . 10 cm

0,1m m

v k m m m mA x x A x x A x

m k m

A

ω

=∆

+ ∆ + ∆′ = + = + − = + −′

′→ = + − =

- Điều kiện để hai vật cùng dao động Lực liên kết không nhỏ hơn lực quán tính

2

max. . .

lk qt

kF F m A m A

m mω≥ = ∆ = ∆

+ ∆

Câu 7: Một lò xo nhẹ, hệ số đàn hồi 100 N/m đặt nằm ngang, một đầu gắn cố định, đầu còn lại gắn với quả cầu nhỏ có khối lượng m = 0,5 kg. Gắn vật m với một nam châm nhỏ có khối lượng ∆m giống hệt nó. Hai vật cùng dao động điều hòa theo phương ngang trục Ox với biên độ 10 cm. Để ∆m luôn gắn với m thì lực hút ( theo phương Ox) giữa chúng không nhỏ hơn A. 5 N B. 4 N C. 10 N D. 7,5 N Hướng dẫn Lực từ không nhỏ hơn lực quán tính cực đại

2

max

0,5.100. . . .0,1 5 N

0,5 0,5lk qt

kF F m A m A

m mω≥ = ∆ = ∆ = =

+ ∆ +

Câu 8: Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, quả cầu nhỏ bằng sắt có khối lượng m = 100g có thể dao động điều hòa không ma sát theo phương ngang Ox trùng với trục

m ∆m



của lò xo. Gắn vật m với một nam châm nhỏ có khối lượng ∆m = 300g để hai vật dính vào nhau cùng dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Để ∆m luôn gắn với vật m thì lực hút ( theo phương Ox) giữa chúng không nhỏ hơn A. 2,5 N B. 4 N C. 10 N D. 7,5 N Hướng dẫn Lực từ không nhỏ hơn lực quán tính cực đại

2

max

0,3.100. . . .0,1 7,5 N

0,1 0,3lk qt

kF F m A m A

m mω≥ = ∆ = ∆ = =

+ ∆ +

- Vị trí hai vật tách rời nhau Là lần đầu tiên lực quán tính có xu hướng kéo rời ( lò xo giãn) và lớn hơn hoặc bằng lực liên

kết: 2

max. . .

qt lk

kF m x m x F

m mω= ∆ = ∆ ≥

+ ∆

* Lưu ý: vị trí tách chỉ có thể là vị trí ban đầu hoặc vị trí biên Câu 9: Một lò xo nhẹ, hệ số đàn hồi 100 N/m đặt nằm ngang, một đầu gắn cố định, đầu còn lại gắn với quả cầu nhỏ có khối lượng m = 0,5 kg và m được gắn với một quả cầu cùng kích thước nhưng có khối lượng ∆m = 1,5 kg. Hai vật cùng dao động điều hòa dọc theo trục Ox nằm ngang với biên độ 4 cm. Chỗ gắn hai vật sẽ bị bong nếu lực kéo tại đó ( hướng theo trục Ox) đạt đến giá trị 1 N. Vật ∆m có bị tách ra khỏi m không ?

A. vật ∆m không bị tách ra khỏi m B. vật ∆m bị tách ra khỏi m ở vị trí lò xo giãn 4 cm C. vật ∆m bị tách khỏi m ở vị trí lò xo bị nén 4 cm D. vật ∆m bị tách ra khỏi m ở vị trí lò xo dãn 2 cm

Hướng dẫn Lần đầu tiên lực quán tính có xu hướng kéo rời ( lò xo giãn 4 cm, giãn nhiều nhất) có độ lớn

là: 2

max

1,5.100. . . .0,04 3 N 1 N

0,5 1,5qt lk

kF m A m A F

m mω= ∆ = ∆ = = ≥ =

+ ∆ +

=> vật bị tách ở vị trí lò xo giãn 4 cm. Câu 10: Một lò xo nhẹ, hệ số đàn hồi 100 N/m đặt nằm ngang, một đầu gắn cố định, đầu còn lại gắn với quả cầu nhỏ có khối lượng m = 0,5 kg và m được gắn với một quả cầu giống hệt nó. Hai vật cùng dao động điều hòa dọc theo trục Ox nằm ngang với biên độ 4 cm. Chỗ gắn hai vật sẽ bị bong nếu lực kéo tại đó ( hướng theo trục Ox) đạt đến giá trị 1 N. Vật ∆m có bị tách ra khỏi m không ?

A. vật ∆m không bị tách ra khỏi m B. vật ∆m bị tách ra khỏi m ở vị trí lò xo giãn 4 cm C. vật ∆m bị tách khỏi m ở vị trí lò xo bị nén 4 cm D. vật ∆m bị tách ra khỏi m ở vị trí lò xo dãn 2 cm

Hướng dẫn Lần đầu tiên lực quán tính có xu hướng kéo rời ( lò xo giãn 4 cm, giãn nhiều nhất) có độ lớn

là: 2

max

100. . . .0,04 2 N 1 N

2qt lk

kF m A m A F

m mω= ∆ = ∆ = = ≥ =

+ ∆

=> vật bị tách ở vị trí lò xo giãn 4 cm. - Điều kiện hai vật không trượt trên nhau

Lực liên kết không nhỏ hơn lực quán tính: 2

max. . .

lk qt

kF F m A m A

m mω≥ = ∆ = ∆

+ ∆



Nếu lực liên kết là lực ma sát: ( )

. . . .lk

g m mkF m g m A A

m m k

µµ

+ ∆= ∆ ≥ ∆ ⇒ ≤

+ ∆

Câu 11: Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có độ cứng 50 N/m, vật nhỏ có khối lượng m = 1 kg đang dao động điều hòa theo phương ngang trùng với trục của lò xo. Đặt nhẹ lên vật m một vật nhỏ có khối lượng ∆m = 0,25 kg sao cho mặt tiếp xúc giữa chúng là mặt phẳng ngang với hệ số ma sát trượt 0,2µ = thì chúng không trượt trên nhau và cùng dao động điều hòa với biên độ A. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Giá trị A nhỏ hơn A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm Hướng dẫn Lực ma sát trượt không nhỏ hơn lực quán tính cực đại:

( ) ( )0,2 0,25 1 .10. . . . 5 cm

50lk

g m mkF m g m A A

m m k

µµ

+ ∆ += ∆ ≥ ∆ ⇒ ≤ = =

+ ∆

Câu 12: Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, vật nhỏ khối lượng m = 100g đang dao động điều hòa theo phương ngang trùng với trục lò xo. Đặt nhẹ lên vật m một vật nhỏ có khối lượng ∆m =300g sao cho mặt tiếp xúc giữa chúng là mặt phẳng nằm ngang với hệ số ma sát trượt µ = 0,1 thì chúng không trượt trên nhau và cùng dao động với biên độ A. Lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Tìm điều kiện của A A. 5 mm ≤ A B. 0 < A ≤ 4 mm C. 0 < A ≤ 5 mm D. A≥ 4 mm Hướng dẫn Lực ma sát trượt không nhỏ hơn lực quán tính cực đại:

maxms qtF F≥

( ) ( )0,1 0,1 0,3 .10. . . . 0,004 m

100

g m mkm g m A A

m m k

µµ

+ ∆ +⇔ ∆ ≥ ∆ ⇒ ≤ = =

+ ∆

Câu 13: Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng 40 N/m vật nhỏ khối lượng m = 400g đang dao động điều hòa theo phương ngang trùng với trục của lò xo. Đặt nhẹ lên vật m một vật nhỏ có khối lượng ∆m = 225g sao cho mặt tiếp xúc giữa chúng là mặt ngang với hệ số ma sát µ = 0,4 thì chúng không trượt trên nhau và cùng dao động điều hòa với tốc độ cực đại V. Giá trị V không lớn hơn A. 0,25 m/s B. 0,3 m/s C. 0,5 m/s D. 0,4 m/s Hướng dẫn Lực ma sát trượt không nhỏ hơn lực quán tính cực đại:

maxms qtF F≥

( ) ( )0,4 0,225 0,4 .10. . . . 0,0624 m

40

40.A 0,0625. 0,0625. =0,0625. =0,5 m/s V 0,5 m/s

0,4 0,225

g m mkm g m A A

m m k

k

m m

µµ

ω ω

+ ∆ +⇔ ∆ ≥ ∆ ⇒ ≤ = =

+ ∆

⇒ ≤ = ⇒ ≤+ ∆ +

Dạng 2: Dao động theo phương thẳng đứng – Đặt thêm vật Vị trí cân bằng mới thấp hơn vị trí cân bằng cũ một đoạn

0 02 01

( ). .m m g mg m gx

k k k

+ ∆ ∆= ∆ − ∆ = − =ℓ ℓ

- Đặt thêm vật lúc thấp nhất: Biên độ dao động: 0

.m gA A x A

k

∆′ = − = −

Câu 14: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ 4 cm. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m và lấy gia tốc trọng trường g = 10



m/s2. Khi vật đến vị trí thấp nhất ta đặt nhẹ nhàng lên nó một gia trọng ∆m = 300g thì cả hai cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động sau khi đặt là A. 2,5 cm B. 2 cm C. 1 cm D. 7 cm Hướng dẫn Vị trí cân bằng mới thấp hơn vị trí cân bằng cũ một đoạn

0 02 01

( ). .m m g mg m gx

k k k

+ ∆ ∆= ∆ − ∆ = − =ℓ ℓ

- Đặt thêm vật lúc thấp nhất thì biên độ dao động:

0

. 0,3.100,04 0,01 m

100

m gA A x A

k

∆′ = − = − = − =

Câu 15: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ 4 cm. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m và lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Khi vật đến vị trí thấp nhất ta đặt nhẹ nhàng lên nó một gia trọng ∆m = 150g thì cả hai cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động sau khi đặt là A. 2,5 cm B. 2 cm C. 1 cm D. 7 cm Hướng dẫn Vị trí cân bằng mới thấp hơn vị trí cân bằng cũ một đoạn

0 02 01

( ). .m m g mg m gx

k k k

+ ∆ ∆= ∆ − ∆ = − =ℓ ℓ


0

. 0,15.100,04 0,025 m

100

m gA A x A

k

∆′ = − = − = − =

- Đặt thêm vật lúc cao nhất

Biên độ dao động: 0

mA A x A

k

∆′ = + = +

Câu 16: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ 4 cm. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m và lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Khi vật đến vị trí cao nhất ta đặt nhẹ nhàng lên nó một gia trọng ∆m = 300g thì cả hai cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động sau khi đặt là A. 2,5 cm B. 2 cm C. 1 cm D. 7 cm Hướng dẫn Vị trí cân bằng mới thấp hơn vị trí cân bằng cũ một đoạn

0 02 01

( ). .m m g mg m gx

k k k

+ ∆ ∆= ∆ − ∆ = − =ℓ ℓ


0

0,3.100,04 0,07 m

100

mA A x A

k

∆′ = + = + = + =

Câu 17: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ 4 cm. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m và lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Khi vật đến vị trí cao nhất ta đặt nhẹ nhàng lên nó một gia trọng ∆m = 150g thì cả hai cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động sau khi đặt là A. 2,5 cm B. 2 cm C. 5,5 cm D. 7 cm Hướng dẫn Vị trí cân bằng mới thấp hơn vị trí cân bằng cũ một đoạn



0 02 01

( ). .m m g mg m gx

k k k

+ ∆ ∆= ∆ − ∆ = − =ℓ ℓ


0

0,15.100,04 0,055 m

100

mA A x A

k

∆′ = + = + = + =

- Đặt thêm vật lúc cách vị trí cân bằng cũ x1 ( 0 < x1 < A ) Vị trí cân bằng mới thấp hơn vị trí cân bằng cũ một đoạn

0 02 01

( ). .m m g mg m gx

k k k

+ ∆ ∆= ∆ − ∆ = − =ℓ ℓ

Tốc độ của hệ lúc tác động: ( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 2 211 1 1 12

v kA x v A x A x

mω

ω= + ⇒ = − = −

+ Vật ở trên vị trí cân bằng cũ


( ) ( )

( )

222 2 21

1 0 1 12

2

2 2

1 1

..

..

v m g k m mA x x x A x

k m k

m g m mx A x

k m

ω∆ + ∆ ′ = + + = + + − ′

∆ + ∆ = + + −

Câu 18: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ 5 cm. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, vật nhỏ dao động có khối lượng 0,1 kg và lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Khi vật ở trên vị trí cân bằng 3 cm, người ta đặt nhẹ nhàng lên nó một gia trọng ∆m = 0,1 kg thì cả hai đều cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động sau khi đặt thêm vật là A. 5 cm B. 2 cm C. 5√2 cm D. 4√3 cm Hướng dẫn Vị trí cân bằng mới thấp hơn vị trí cân bằng cũ một đoạn

0 02 01

( ). .m m g mg m gx

k k k

+ ∆ ∆= ∆ − ∆ = − =ℓ ℓ

Tốc độ của hệ lúc tác động: ( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 2 211 1 1 12

v kA x v A x A x

mω

ω= + ⇒ = − = −


( ) ( )

( )

( )

222 2 21

1 0 1 12

2

2 2

1 1

2

2 2

..

..

0,1.10 0,1 0,10,03 0,05 0,03 . 0,04 3 m

100 0,1

v m g k m mA x x x A x

k m k

m g m mx A x

k m

ω∆ + ∆ ′ = + + = + + − ′

∆ + ∆ = + + −

+ = + + − =

Câu 19: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ 4 cm. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, vật nhỏ dao động có khối lượng 0,3 kg và lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2. Khi vật ở trên vị trí cân bằng 2 cm, người ta đặt nhẹ nhàng lên nó một gia trọng ∆m = 0,1 kg thì cả hai đều cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động sau khi đặt thêm vật là A. 5 cm B. 2 cm C. 5√2 cm D. 5√3 cm



Hướng dẫn

( ) ( )2 2

2 2 2 21 1

. 0,1.10 0,3 0,1. 0,02 0,04 0,02 .

100 0,3

0,05 m = 5 cm

m g m mA x A x

k m

A

∆ + ∆ + ′ = + + − = + + −

′ =

+ Vật ở dưới vị trí cân bằng cũ Biên độ sau dao động:

( ) ( ) ( )

( )

22 2 2 21

1 0 1 0 12

2

2 2

1 1

.

..

v k m mA x x x x A x

m m

m g m mA x A x

k m

ω+ ∆′ = − + = − + −

′

∆ + ∆ ′⇒ = − + −

Câu 20: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ 5 cm. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, vật nhỏ dao động có khối lượng 0,1 kg và lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Khi vật ở dưới vị trí cân bằng 4 cm, ta đặt nhẹ nhàng lên nó một gia trọng ∆m = 0,1 kg thì cả hai cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động sau khi đặt gia trọng là A. 5 cm B. 6 cm C. 3√2 cm D. 3√3 cm Hướng dẫn

- Tốc độ của hệ khi tác động ( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 2 211 1 1 12

v kA x v A x A x

mω

ω= + ⇒ = − = −

-Vị trí cân bằng mới thấp hơn vị trí cân bằng cũ:

( )0 02 01

.m m g mg m gx

k k k

+ ∆ ∆= ∆ − ∆ = − =ℓ ℓ

- Biên độ dao động sau:

( )

( )

2

2 2

1 1

2

2 2

..

0,1.10 0,1 0,10,04 0,05 0,04 0,05 m = 5 cm

100 0,1

m g m mx A x

k m

∆ + ∆ ′Α = − + −

+ ′= − + − ⇒ Α =

Câu 21: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ 5 cm. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, vật nhỏ có khối lượng 0,1 kg và lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Khi vật ở dưới vị trí cân bằng 3 cm, ta đặt nhẹ nhàng lên nó một gia trọng 3m∆ = kg thì cả hai cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động sau khi đặt là A. 5 cm B. 8 cm C. 6√2 cm D. 3√3 cm Hướng dẫn

- Tốc độ của hệ lúc tác động : ( )2

2 2 2 2 2 211 1 12

vx v xω

ωΑ = + ⇒ = Α −

- Vị trí cân bằng mới thấp hơn vị trí cân bằng cũ:

( )0 02 01

.m m g mg m gx

k k k

+ ∆ ∆= ∆ − ∆ = − =ℓ ℓ

- Biên độ dao động sau:



( )2

2 2

1 1

.0,08

m g m mx x m

k m

∆ + ∆ ′Α = − + Α − =

- Điều kiện hai vật không rời nhau Tại vị trí cao nhất, gia tốc có độ lớn không lớn hơn g:

2 .k

gm m

ω≥ Α = Α+ ∆

Câu 22: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 50 N/m, vật nhỏ dao động có khối lượng m = 0,4 kg và lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Người ta đặt nhẹ nhàng lên m một gia trọng ∆m thì cả hai cùng dao động điều hòa với biên độ 12 cm. Giá trị ∆m không nhỏ hơn A. 0,9 kg B. 0,4 kg C. 0,2 kg D. 0,1 kg Hướng dẫn Tại vị trí cao nhất, gia tốc có độ lớn không lớn hơn g:

2 50.0,12. 0,4 0,2 kg

10

k kAg m m

m m gω≥ Α = Α⇒ ∆ ≥ − = − =

+ ∆

Câu 23: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 50 N/m, vật nhỏ dao động có khối lượng m = 0,4 kg và lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Người ta đặt nhẹ nhàng lên m một gia trọng ∆m = 0,05 kg thì cả hai cùng dao động điều hòa với biên độ A. Giá trị A không vượt quá A. 9 cm B. 8 cm C. 6√2 cm D. 3√3 cm Hướng dẫn Tại vị trí cao nhất, gia tốc có độ lớn không lớn hơn g:

( ) ( )2 10. 0,4 0,05. 0,09 m = 9 cm

50

g m mkg A

m m kω

+ ∆ +≥ Α = Α⇒ ≤ = =

+ ∆

- Tính áp lực, phản lực

Tại vị trí cao nhất, gia tốc có độ lớn không lớn hơn g: g ≥ ω2.A .k

g Am m

⇒ ≥+ ∆

Tại li độ x, áp lực ∆m lên m: ( )2 . .k

Q m g x m g xm m

ω = ∆ − = ∆ − + ∆

Câu 24: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 50 N/m, vật nhỏ dao động có khối lượng m = 0,4 kg và lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Người ta đặt nhẹ nhàng lên m một gia trọng ∆m = 0,2 kg thì cả hai cùng dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Khi vật ở dưới vị trí cân bằng 6 cm, áp lực của ∆m lên m là A. 0,4 N B. 0,5 N C. 0,25 N D. 1 N Hướng dẫn Tại vị trí cao nhất, gia tốc có độ lớn không lớn hơn g: g ≥ ω2.A

. 0,12 mk

g A Am m

⇒ ≥ ⇒ ≤+ ∆

m

∆m

m

∆m

x



Tại li độ x = 6 cm, áp lực ∆m lên m:

( ) ( )2 50. 0,06. . 0,2 10 1 N

0,4 0,2

kQ m g x m g x

m mω

= ∆ − = ∆ − = − = + ∆ +

Câu 25: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 50 N/m, vật nhỏ dao động có khối lượng m = 0,4 kg và lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Người ta đặt nhẹ nhàng lên m một gia trọng ∆m = 0,05 kg thì cả hai cùng dao động điều hòa với biên độ 5 cm. Khi vật ở dưới vị trí cân bằng 4,5 cm, áp lực của ∆m lên m là A. 0,4 N B. 0,5 N C. 0,25 N D. 0,8 N Hướng dẫn Tại vị trí cao nhất, gia tốc có độ lớn không lớn hơn g: g ≥ ω2.A

. 0,09 mk

g A Am m

⇒ ≥ ⇒ ≤+ ∆

Tại li độ x = 4,5 cm = 0,045 m, áp lực ∆m lên m:

( ) ( )2 50. 0,045. . 0,05. 10 0,25 N

0,4 0,05

kQ m g x m g x

m mω

= ∆ − = ∆ − = − = + ∆ +

Dạng 3: Vật thả rơi – Dao động theo phương thẳng đứng. Vật thả rơi – Va chạm đàn hồi.

Tốc độ của m ngay trước va chạm 0

2v gh= Định luật bảo toàn động lượng và động năng:

00

2 2 2

00

2. .

. .

mV vmv m v M V m M

m Mm v mv M Vv v

m M

== + +⇒ −= + =

+

Biên độ dao động: . . ?k

V A A AM

ω= = ⇒ =

Câu 26: Một quả cầu khối lượng M = 0,2 kg, gắn trên một lò xo nhẹ thẳng đứng có độ cứng 20 N/m, đầu dưới của lò xo gắn cố định. Một vật nhỏ có khối lượng m = 0,1 kg rơi tự do từ độ cao h = 0,45 m xuống va chạm đàn hồi với M. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Sau va chạm vật M dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Biên độ dao động là A. 15 cm B. 20 cm C. 10 cm D. 12 cm Hướng dẫn


2 2.10.0,45 3 m/sv gh= = = Định luật bảo toàn động lượng và động năng:

0

02 2 2

0

. . 2 2.0,1.3 2 m/s

0,1 0,2. .

mv m v M V mV v

m Mm v mv M V

= +⇒ = = =

+ += + , vận tốc của M ở vị trí cân

bằng.

k

h

x

O

m

M

Md



Biên độ dao động: 0,2

. . . 2. 0,2 m20

k MV A A A V

M kω= = ⇒ = = =

Câu 27: Một quả cầu khối lượng M = 2 kg, gắn trên một lò xo nhẹ thẳng đứng có độ cứng 800 N/m, đầu dưới của lò xo gắn cố định. Một vật nhỏ có khối lượng m = 0,4 kg rơi tự do từ độ cao h = 1,8 m xuống va chạm đàn hồi với M. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Sau va chạm vật M dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Biên độ dao động là A. 15 cm B. 3 cm C. 10 cm D. 12 cm Hướng dẫn



0

02 2 2

0

. . 2 2.0,4.6 2 m/s

0,4 0,2. .

mv m v M V mV v

m Mm v mv M V

= +⇒ = = =


bằng.


. . . 2. 0,1 m800

k MV A A A V

M kω= = ⇒ = = =

- Đầu dưới của lò xo gắn với đế Muốn đế không bị nhấc lên thì lực kéo cực đại của lò xo ( khi vật ở vị trí cao nhất lò xo bị dãn cực đại ( A – ∆l0 ) ) không lớn hơn trọng lượng của đế:

( )max 0

..

d d

M g kAF k A k A kA Mg M g M M

k g

= − ∆ = − = − ≤ ⇒ ≥ −

ℓ

Câu 28: Một quả cầu khối lượng M = 2kg gắn trên một lò xo nhẹ thẳng đứng có độ cứng 800 N/m, đầu dưới của lò xo gắn với đế có khối lượng Mđ. Một vật nhỏ có khối lượng m = 0,4 kg rơi tự do từ độ cao h = 1,8 m xuống va chạm đàn hồi với M. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Sau va chạm vật M dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Muốn đế không bị nhấc lên thì Mđ không nhỏ hơn A. 5 kg B. 2 kg C. 6 kg D. 10 kg Hướng dẫn



0

02 2 2

0

. . 2 2.0,4.6 2 m/s

0,4 0,2. .

mv m v M V mV v

m Mm v mv M V

= +⇒ = = =


bằng.


. . . 2. 0,1 m800

k MV A A A V

M kω= = ⇒ = = =

Muốn đế không bị nhấc lên thì lực kéo cực đại của lò xo ( khi vật ở vị trí cao nhất lò xo bị dãn cực đại ( A – ∆l0 ) ) không lớn hơn trọng lượng của đế:

( )max 0

. 800.0,1. 2 6 kg

10d d


k g

= − ∆ = − = − ≤ ⇒ ≥ − = − =

ℓ

Câu 29: Một quả cầu khối lượng M = 0,2 kg gắn trên một lò xo nhẹ thẳng đứng có độ cứng 20 N/m, đầu dưới của lò xo gắn với đế có khối lượng Mđ. Một vật nhỏ có khối lượng m = 0,1 kg rơi tự do từ độ cao h = 0,45 m xuống va chạm đàn hồi với M. Lấy gia tốc trọng trường g = 10



m/s2. Sau va chạm vật M dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Muốn đế không bị nhấc lên thì Mđ không nhỏ hơn A. 0,2 kg B. 0,3 kg C.0,6 kg D. 10 kg Hướng dẫn



0

02 2 2

0

. . 2 2.0,1.3 2 m/s

0,1 0,2. .

mv m v M V mV v

m Mm v mv M V

= +⇒ = = =


bằng.

Biên độ dao động: 0,2

. . . 2. 0,2 m20

k MV A A A V

M kω= = ⇒ = = =

Muốn đế không bị nhấc lên thì lực kéo cực đại của lò xo ( khi vật ở vị trí cao nhất lò xo bị dãn cực đại ( A – ∆l0 ) ) không lớn hơn trọng lượng của đế:

( )max 0

. 20.0,2. 0,2 0,2 kg

10d d


k g

= − ∆ = − = − ≤ ⇒ ≥ − = − =

ℓ

- Va chạm mềm

Tốc độ của m ngay trước va chạm là: 0

2v gh= Tốc độ của ( m + M) ngay sau va chạm là ( tại VTCB cũ):

0 0. . .

mmv m V M V V v

m M= + ⇒ =

+

Vị trí cân bằng mới thấp hơn vị trí cân bằng cũ một đoạn:

( )0 02 01

m M g Mg mgx

k k k

+= ∆ − ∆ = − =ℓ ℓ

Biên độ dao động sau va chạm là: ( )2

2 2 2

0 02.

m MvA x x v

kω+

= + = +

Câu 30: Một vật nhỏ khối lượng M = 0,6 kg, gắn trên một lò xo nhẹ thẳng đứng có độ cứng 200 N/m, đầu dưới của lò xo gắn cố định. Một vật nhỏ có khối lượng m = 0,2 kg rơi tự do từ

k

h

x

O

m

M

M

k

m

C



độ cao h = 0,06 m xuống va chạm mềm với M. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Biên độ dao động là A. 1,5 cm B. 2 cm C. 1 cm D. 1,2 cm Hướng dẫn


2 2.10.0,06 1,2 m/sv gh= = = Tốc độ của ( m + M) ngay sau va chạm là ( tại VTCB cũ):

0 0

0,2. 1,2 1,2. . . m/s

0,2 0,6 4

mmv m V M V V v

m M= + ⇒ = = =

+ +


( )0 02 01

0,2.100,01 m

200

m M g Mg mgx

k k k

+= ∆ − ∆ = − = = =ℓ ℓ

Biên độ dao động sau va chạm là: ( )2

2 2 2

0 02. 0,02 m

m MvA x x v

kω+

= + = + =

Câu 31: Một vật nhỏ khối lượng M = 0,9 kg, gắn trên một lò xo nhẹ thẳng đứng có độ cứng 25 N/m, đầu dưới của lò xo gắn cố định. Một vật nhỏ có khối lượng m = 0,1 kg rơi tự do từ độ cao h = 0,2 m xuống va chạm mềm với M. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Biên độ dao động là A. 4,5 cm B. 4 cm C. 4√2 cm D. 3,2 cm Hướng dẫn


2 2.10.0,2 2 m/sv gh= = = Tốc độ của ( m + M) ngay sau va chạm là ( tại VTCB cũ):

0 0

0,1. 4. . . 0,2 m/s

0,1 0,9

mmv m V M V V v

m M= + ⇒ = = =

+ +


( )0 02 01

0,1.10 1 m

25 25

m M g Mg mgx

k k k

+= ∆ − ∆ = − = = =ℓ ℓ

Biên độ dao động sau va chạm là:

( )22 2 2 2 2

0 02 2

1 0,1 0,9. 0,2 . 4 2.10 m = 4 2 cm

25 25

m MvA x x v

kω−+ +

= + = + = + =

Dạng 4: Biên độ dao động sau khi rời khỏi giá đỡ + Giả sử ban đầu giữ cho lò xo có độ biến dạng S0 sau đó giá bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a. Khi bắt đầu rời giá đỡ, vật đã đi được quãng đường S và gia tốc cũng là a

( ) ( )0 0.mg k S S m g a k Sa S

m k

− + − −= ⇒ =

+ Thời gian tính đến lúc rời giá đỡ là

21 2.

2

SS a t t

a= ⇒ =

+ Tốc độ và độ lớn li độ của vật lúc rời giá đỡ là

m

k

a�



1

1 0 0 0

. 2v a t aS

mgx S S S S

k

= =

= + − ∆ = + −

ℓ

+ Biên độ dao động: 2

2 2 211 1 12

.v m

A x x vkω

= + = +

Câu 32: Một lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, đầu trên gắn cố định đầu dưới treo quả cầu nhỏ có khối lượng m = 1 kg sao cho vật có thể dao động không ma sát theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Lúc đầu dùng tay đỡ m lên để lò xo không biến dạng. Sau đó cho bàn tay chuyển động thẳng đứng xuống dưới nhanh dần đều với gia tốc 2 m/s2. Bỏ qua mọi ma sát. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Quãng đường m đi được từ lúc bắt đầu chuyển động cho tới khi m bắt đầu rời khỏi tay là: A. 15 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm Hướng dẫn Khi bắt đầu rời giá đỡ, vật đã đi được quãng đường S và gia tốc cũng là a:

( ) ( )1. 10 20,08 m = 8 cm

100

m g amg kSa S

m k

− −−= ⇒ = = =

Câu 33: Một lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, đầu trên gắn cố định đầu dưới treo quả cầu nhỏ có khối lượng m = 1 kg sao cho vật có thể dao động không ma sát theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Lúc đầu dùng tay đỡ m lên để lò xo không biến dạng. Sau đó cho bàn tay chuyển động thẳng đứng xuống dưới nhanh dần đều với gia tốc 2 m/s2. Bỏ qua mọi ma sát. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Thời gian m đi từ lúc bắt đầu chuyển động cho tới khi m bắt đầu rời khỏi tay là: A. 0,18 s B. 0,8 s C. 0,28 s D. 0,25 s Hướng dẫn Khi bắt đầu rời giá đỡ, vật đã đi được quãng đường S và gia tốc cũng là a:

( ) ( )1. 10 20,08 m = 8 cm

100

m g amg kSa S

m k

− −−= ⇒ = = =

Thời gian tính đến lúc rời giá đỡ là 2 2

0,2 2 0,28 (s)2

at SS t

a= ⇒ = = ≃

Câu 34: Một lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, đầu trên gắn cố định đầu dưới treo quả cầu nhỏ có khối lượng m = 1 kg sao cho vật có thể dao động không ma sát theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Lúc đầu dùng tay đỡ m lên để lò xo không biến dạng. Sau đó cho bàn tay chuyển động thẳng đứng xuống dưới nhanh dần đều với gia tốc 2 m/s2. Bỏ qua mọi ma sát. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Tốc độ của m khi nó bắt đầu rời khỏi tay là A. 0,18 m/s B. 0,8 m/s C. 0,28 m/s D. 0,56 m/s Hướng dẫn Khi bắt đầu rời giá đỡ, vật đã đi được quãng đường S và gia tốc cũng là a:

( ) ( )1. 10 20,08 m = 8 cm

100

m g amg kSa S

m k

− −−= ⇒ = = =


0,2 2 0,28 (s)2

at SS t

a= ⇒ = = ≃

Tốc độ của vật lúc rời giá đỡ là: 1

. 0,4 2 0,56 m/sv a t= = =



Câu 35: Một lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, đầu trên gắn cố định đầu dưới treo quả cầu nhỏ có khối lượng m = 1 kg sao cho vật có thể dao động không ma sát theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Lúc đầu dùng tay đỡ m lên để lò xo không biến dạng. Sau đó cho bàn tay chuyển động thẳng đứng xuống dưới nhanh dần đều với gia tốc 2 m/s2. Bỏ qua mọi ma sát. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Độ lớn li độ của m khi nó bắt đầu rời khỏi tay là: A. 1,5 cm B. 2 cm C. 1 cm D. 1,2 cm Hướng dẫn Khi bắt đầu rời giá đỡ, vật đã đi được quãng đường S và gia tốc cũng là a:

( ) ( )1. 10 20,08 m = 8 cm

100

m g amg kSa S

m k

− −−= ⇒ = = =

Độ lớn li độ của vật lúc rời giá đỡ là:

1 0

1.100,08 0,02 m

100

mgx S S

k= − ∆ = − = − =ℓ

Câu 36: Một lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, đầu trên gắn cố định đầu dưới treo quả cầu nhỏ có khối lượng m = 1 kg sao cho vật có thể dao động không ma sát theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Lúc đầu dùng tay đỡ m lên để lò xo không biến dạng. Sau đó cho bàn tay chuyển động thẳng đứng xuống dưới nhanh dần đều với gia tốc 2 m/s2. Bỏ qua mọi ma sát. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Khi m rời khỏi tay nó dao động điều hòa. Biên độ dao động điều hòa là A. 1,5 cm B. 2 cm C. 6 cm D. 1,2 cm Hướng dẫn Khi bắt đầu rời giá đỡ, vật đã đi được quãng đường S và gia tốc cũng là a:

( ) ( )1. 10 20,08 m = 8 cm

100

m g amg kSa S

m k

− −−= ⇒ = = =


0,2 2 0,28 (s)2

at SS t

a= ⇒ = = ≃

Tốc độ và độ lớn của li độ của vật lúc rời giá đỡ là:

1

1 0

. 0,4 2 m/s

0,02 m

v a t

mgx S S

k

= =

= − ∆ = − =

ℓ


2 2 2 211 1 12

1. 0,02 0,16.2. 0,06 m

100

v mA x x v

kω= + = + = + =

* CÁC BÀI TOÁN TỔNG VỀ HỆ HAI VẬT GẮN VÀO LÒ XO (Hệ: k,m-m’) Câu 1. Cho hệ vật dao động như hình vẽ. Hai vật có khối lượng là M1 và M2. Lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể và luôn có phương thẳng đứng. ấn vật M1 thẳng đứng xuống dưới một đoạn x0 = a rồi thả nhẹ cho dao động. 1. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của lực mà lò xo ép xuống giá đỡ. 2. Để M2 không bị nâng lên khỏi mặt giá đỡ thì x0 phải thoả mãn điều kiện gì? Lời giải 1. Chọn HQC như hình vẽ. Các lực tác dụng vào M1 gồm: 1; dhP F

��



- Khi M1 ở VTCB ta có: 1 0dhP F+ =��

. Chiếu lên Ox ta được:

11 10 . 0dh

M gP F M g k l l

k− = ⇔ − ∆ = ⇒ ∆ = (1)

- Xét M1 ở vị trí có li độ x, ta có: 1 dhP F ma+ =��

. - Chiếu lên Ox ta được:

1 1 .( )dhP F ma M g k l x ma− = ⇔ − ∆ + = (2)

Thay (1) vào (2) ta có: " " . 0k

mx kx x xm

= − ⇒ + = . Đặt 2 k

mω = , vậy ta có

2" . 0x xω+ = Có nghiệm dạng . ( )x A cos tω ϕ= + . Vậy M1 dao động điều hoà. - Khi t = 0 ta có : x = x0 = a = A cosϕ ; v = v0 = - A.ω .sinϕ = 0. Suy ra

0; A aϕ = = ; 1

k

Mω = . Vậy phương trình là: . ( . )x a cos tω= .

- Dựa vào hình vẽ ta có lực ép xuống giá đỡ là: 'dhP F F+ =��

. Chiếu lên Ox ta có:

2 .( )F M g k l x= + ∆ + Lực đàn hồi Max khi x = +A = +a ⇒ 2 .( )MaxF M g k l a= + ∆ +

Lực đàn hồi Min khi x = -A = -a ⇒ 2 .( )MinF M g k l a= + ∆ − .

2. Điều kiện để M2 không bị nâng lên khỏi giá đỡ là Fmin 0≥

2min 2

. ..( ) 0

M g k lF M g k l a a

k

+ ∆= + ∆ − ≥ ⇒ ≤ .

Câu 2. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có k = 50N/m, vật nặng có khối lượng m1 = 300g, dưới nó treo thêm vật nặng m2 = 200g bằng dây không dãn. Nâng hệ vật để lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ để hệ vật chuyển động. Khi hệ vật qua vị trí cân bằng thì đốt dây nối giữa hai vật. Tỷ số giữa lực đàn hồi của lò xo và trọng lực khi vật m1 xuống thấp nhất có giá trị xấp xỉ bằng A. 2 B. 1,25 C. 2,67 D. 2,45 Giải: Độ giãn của lò xo khi hệ hai vật đang ở VTCB O

∆l0 = k

gmm )( 21 + = 0,1 m = 10cm

Sau khi đốt dây nối hai vật, Vật m1 dao đông điều hòa quanh VTCB mới O

khi đó độ giãn của lò xo ∆l = k

gmA = 0,06 m = 6 cm.

Suy ra vật m1 dao động điều hòa với biên độ A = O’M ( M là vị trí xuống thấp nhất của m1) được tính theo công thức

2

2kA =

2

2kx+

2

21vm

(1)

với: x là tọa độ của m1 khi dây đứt x = OO’= ∆l0 - ∆l = 0,04m = 4 cm v là tốc độ của m1 khi ở VTCB O được tính theo công thức:

2

)( 20lk ∆

= 2

)( 221 vmm +

(2)

Từ (1) và (2) 2

2kA=

2

2kx+

)(2

)(

21

201

mm

lkm

+

∆ <=> A2 = x2 +

)(

)(

21

201

mm

lm

+

∆ = 0,042 + 0,6. 0,12

M1 k

O

x (+)

1P��

dhF��

2P��

'

dhF��

x

O m1

k

m

m1 O

O’

M



-> A = 0,087 m = 8,7 cm => P

Fdh = gm

Alk

1

)( +∆ =

10.3.0

147,0.50 = 2,45. Chọn D

Câu 3. Con lắc lò xo có khối lượng m= 2 kg dao động điều hòa theo phương nằm ngang. Vận tốc vật có độ lớn cực đại là 0,6m/s. Chọn thời điểm t=0 lúc vật qua vị trí x0=3 2 cm và tại đó thế năng bằng động năng tính chu kì dao động của con lắc và độ lớn lực đàn hồi tại thời điểm t=π /20s A. T=0,628s và F=3N B. T=0,314s và F=3N C. T=0,314s và F=6N D. T=0,628s và F=6N Giải:

* Tại vị trí động năng bằng thế năng � Wt=1/2 W � x=2

A± mà trong bài x0=3 2 cm �

A=6cm

* ax 10 /mvRad s

Aω = = � T = 0,628 s

* t=0 lúc vật qua vị trí x0=3 2 cm (có thể chiều âm hoặc dương) � 4

πϕ = ±

Và phương trình dao động là 6cos(10 )4

x t cmπ

= ±

* Tại t=π /20s thay vào trên có 3 2x cm= ± � | | 6( )dhF k x N= = � Đáp án D Câu 4. Một lò xo có độ cứng k = 16N/m có một đầu được giữ cố định còn đầu kia gắn vào quả cầu khối lượng M =240 g đang đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang. Một viên bi khối lượng m = 10 g bay với vận tốc vo = 10m/s theo phương ngang đến gắn vào quả cầu và sau đó quả cầu cùng viên bi dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang. Bỏ qua ma sát và sức cản không khí. Biên độ dao động của hệ là A. 5cm B. 10cm C. 12,5cm D.2,5cm Giải: Va cham mềm nên động lượng của hệ 2 vật ( M và m) bảo toàn: mv0 = (m+M) V. Suy ra vận tốc của hệ 2 vật ngay lúc va chạm:

v = 0 0,01.10 0,10,4 / 40 /

( ) 0,01 0,240 0,25

mvm s cm s

m M= = = =

+ +

Hệ 2 vật dao động với tần số góc mới ω =16

8 /( ) (0,01 0, 24)

krad s

m M= =

+ +

Vì hệ nằm ngang nên biên độ dao động được tính theo công thức: 2 2 2

2 2 22 2

400 100

16

v vA x

ω ω= + = + = =

Vậy biên độ dao động: A = 10cm . Chọn B Câu 5. Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ 5 cm. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m ,vật nhỏ dao động có khối lượng m1 = 0,1kg và lây gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. khi m ở trên vị trí cân bằng 3cm, một vật có khối lượng m2= 0,1 kg có cùng vận tốc tức thời như m đến dính chặt và nó cùng dao đông điều hòa . Biên độ dao động là: A. 5 cm B. 2 cm C. 5 5 2 cm D 4 3 cm



Giải: Tần số góc đầu : 11

10010 /

0,1

krad s

mω π= = = ;Tần số góc

sau: 21 2

1005 2 /

0,1 0,1

krad s

m mω π= = =

+ +

Tốc độ ngay trước hai vật dính lại: 2

2 22

vA x

ω= + => 2 2 2 2

1 10 5 3 40 /v A x cm sω π π= ± − = − =

Tính VTCB mới bị dời xuống 1cm.

Dùng :2

2 2 2 22

2

40' 4 ( ) 16 32 48 4 3

5 2

vA x cm

πω π

= + = + = + = = Chọn D.

Câu 5b. Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm vật M có khối lượng 400g và lò xo có hệ số cứng 40N/m đang dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng với biên độ 5cm. Khi M qua vị trí cân bằng người ta thả nhẹ vật m có khối lượng 100g lên M (m dính chặt ngay vào M), sau đó hệ m và M dao động với biên độ A. 2 5cm B. 4,25cm C. 3 2cm D. 2 2cm

Giải: Vận tốc của M khi qua VTCB: v = ωA = k

mA = 10.5 = 50cm/s

Vận tốc của hai vật sau khi m dính vàoM: v’ = Mv 0,4.50

M m 0,5=

+= 40cm/s

Cơ năng của hệ khi m dính vào M:

W = 21kA'

2= 21

(M m)v '2

+ => A’ = v’ M m

k

+ =40 0,5

40= 2 5cm

Câu 6: Con lắc lò xo có độ cứng k = 200N/m treo vật nặng khối lượng m1 = 1kg đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A= 12,5cm . Khi m1 xuống đến vị trí thấp nhất thì một vật nhỏ khối lượng m2 = = 0,5kg bay theo phương thẳng đứng tới cắm vào m1 với vận tốc 6m/s . Xác định biên độ dao động của hệ hai vật sau va chạm. Giải: + Dùng định luật BTĐL tính được vận tốc của hệ ngay sau va chạm là 2m/s.

+ Tần số góc mới của hệ :1 2

20' /

3

krad s

m mω = =

+

+ Độ dãn của lò xo khi chỉ có m1 cân bằng : 1 5cm∆ =ℓ + Độ dãn của lò xo khi có m1 và m2 cân bằng : 2 7,5cm∆ =ℓ + Như vậy ngay sau va chạm hệ vật có tọa độ là : 1 2 1( ) 10x A cm= − ∆ − ∆ =ℓ ℓ

+ Biên độ dao động mới là: 2

21 2

'v

A xω

= + = 20cm

Câu 7. Trong thang máy treo 1 con lắc lò xo co độ cứng 25N/m,vật năng có khối lương 400 g khi thang máy đứng yên ta cho con lắc dao động điều hoà, chiều dài con lắc thay đổi từ 32cm đến 48 cm tại thời điểm mà vật ở vị trí thấp nhất thì cho thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a=g/10. biên độ dao động của con lắc trong trường hợp này là? A,17cm B,19,2cm C8,5cm D,9,6cm



Giai 1: Khi thang máy chuyển động nhanh dần đều xuống dưới thì con lác chịu t/d của lực quán tính hướng lên lực này làm cho vị trí cân bằng lên cao một đoạn Fqt/k=ma/k=0,016m=1,6cm � biên độ mới là (48-32)/2+1,6 = 8+1,6=9,6cm � D Giai 2: Tại vị trí thấp nhất x=A vậy a= 2ω .A= amax. Khi đó người ta cho thang máy đi xuống nhanh dần đều thì vật chịu thêm lực quán tính vậy gia tốc lúc này của vật là:

a1max= amax+ g/10 2 21 1 2

9,8. . 0,08 0,0956 9,6

2510 10 100.4

g gA A A A m cmω ω

ω⇔ = + ⇒ = + = + = ≈

Câu 8. Một con lắc lò xo nằm ngang, vật nhỏ có khối lượng m, dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật đang ở vị trí x=A/2, người ta thả nhẹ nhàng lên m một vật có cùng khối lượng và hai vật dính chặt vào nhau. Biên độ dao động mới của con lắc?

Giải: Tại vị trí x, ta có: 2 2 2

2 22 24

v A vA x

ω ω= + = + (1) với 2 k

mω =

Khi đặt thêm vật: '2

2 2

k

m

ωω = = ; tại vị trí x:

2 2 2'2 2

'2 22

4

v A vA x

ω ω= + = + (2)

Từ (1) suy ra2 2

2

3

4

v A

ω= thay vào (2), ta được

2 2 2'2 '3 7

2 74 4 4 2

A A A AA A= + = ⇒ =

Chú ý khi đặt nhẹ vật thì không làm thay đổi vận tốc.

Câu 9. Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm vật M có khối lượng 400g và lò xo có hệ số cứng 40N/m đang dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng với biên độ 5cm. Khi M qua vị trí cân bằng người ta thả nhẹ vật m có khối lượng 100g lên M (m dính chặt ngay vào M), sau đó hệ m và M dao động với biên độ

A. 2 5cm B. 4,25cm C. 3 2cm D. 2 2cm

Giải: Khi M về vị trí cân bằng thì vận tóc của M là: AM

kAv .== ω

Khi vật m nhỏ đặt lên M thì đây là va chạm mêm nên tốc đọ của vật là:mM

MvV

+= là tốc độ

cực đại của M+m

Nên: cm

mM

kmM

AM

kM

VAAV 52

100400

5.400

).(

.

''''. =

+=

++

==→=ω

ω

Câu 10 Một con lắc lò xo, gồm lò xo có độ cứng 50N/m và vật nặng có khối lượng M = 0,5 kg dao động điều hòa với biên độ A0 dọc theo trục Ox nằm ngang trùng với trục lò xo. Khi vật M có tốc độ bằng không thì một vật nhỏ có khối lượng m = 0,5/3 kg chuyển động theo phương Ox với tốc độ 1m/s va chạm đàn hồi với M. Sau va chạm vật M dao động điều hòa với biên độ 10cm. Giá trị của A0 là

A. 5 3 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 5 2 cm Giải: Gọi vận tốc của M và m nhỏ sau va chạm là V và v với v0 = - 1m/s MV + mv = mv0 => MV = mv0 – mv (1)

2

2MV +

2

2mv =

2

20mv

=> MV2 = mv02 – mv2

(2) => V = v0 + v ----> v = V – v0 (3)



Thay (3) vào (1) MV = mv0 – mv = mv0 – mV + mv0

=> V = mM

mv

+02

= -5,0

8,0 = - 0,5 m/s

v = V – v0 = - 0,5 + 1 = 0,5 m/s. sau va chạm vật m quay trở lại.

Biên độ dao động của vật : 2

2kA =

2

2MV+

2

20kA

=> A02 = A2 -

k

MV2 = 0,12 -

50

5,00,52 = 0,0075 => A0 = 5 3 .10-2 m = 5 3 cm.

Câu 11. Con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với biên độ A .Đầu B được giữ cố định vào điểm treo, đầu O gắn với vật nặng khối lượng m. Khi vật nặng chuyển động qua vị trí có động năng gấp 16/9 lần thế năng thì giữ cố định điểm C ở giữa lò xo với CO= 2CB. Vật sẽ tiếp tục dao động với biên độ dao động bằng:

A.2 11

5 3

A B

2 5

5

A C. 0,8A D.

22

5

A

Giải: Cách 1:Khi chưa giữ lò xo tại C thì lò xo có chiều dài tự nhiên là lo , có độ cứng K=ES/l0

Khi giữ lò xo tại C thì lò xo có chiều dài tự nhiên là lo’=2 lo/3 , có độ cứng K’=3ES/2l0

Suy ra: K/K’ =2/3.

Taị vị trí M có động năng gấp 16/9 lần thế năng ứng với li độ 3

5M

Ax = ±

=> thế năng tại M là: Wt=KxM2 /2 = 9KA2/50.

Khi giữ lò xo tại C thì thế năng Wt này bị giữ lại 1/3 do lò xo bị giữ lại 1/3 chiều dài, vì thế năng lượng cung cấp cho hệ lúc sau chỉ còn :W’ = KA2/2 - [(1/3). 9KA2/50] . Mặt khác : W’ = (1/2)K’A’2 � Đáp án A Cách 2: Tìm động năng tại vị trí có động năng bằng (16/9) thế năng của hệ lúc đầu (theo biên độ A) cũng là động năng của hệ lúc sau.Tìm vị trí cân bằng sau để tìm thế năng tại vị trí M theo vị trí cân bằng sau. Khi đó cơ năng của hệ lúc sau bằng tổng động năng và thế năng tại M lúc sau này. (sẽ tìm được vị trí cân bằng mới cách VTCB cũ là A/5. Vị trí M có li độ so với VTCB mới là 2A/5) Câu 12. Một vật có khối lượng 250M g= , đang cân bằng khi treo dưới một lò xo có độ cứng

50 /k N m= . Người ta đặt nhẹ nhàng lên vật treo một vật có khối lượng m thì cả hai bắt đầu dao động điều hòa trên phương thẳng đứng và khi cách vị trí ban đầu 2cm thì chúng có tốc độ 40 cm/s. Lấy 210 /g m s≈ . Khối lượng m bằng: A. 100g. B. 150g. C. 200g. D. 250g.

Giải: Tại VTCB O khi chỉ có M, lò xo dãn: 0

Mgl

k∆ = ;tại VTCB mới O' có (M+m), lò xo

dãn: 0

( )'

M m gl

k

+∆ =

C O B

x



O' nằm dưới O và cách O đoạn : 0 0 0'mg

l l lk

∆ = ∆ − ∆ =

Khi thả nhẹ vật m lên M thì biên độ dao động là : A = =mg/k và Tần số: k

M mω =

+

khi hệ vật cách vị trí O 2cm thì có li độ là A-2cm:2

2 22

vA x

ω= + hay

22 2 ( )

( ) ( 0, 02)mg mg v M m

k k k

+= − + .

Thay số giải ra: m = 0,25kg => Chọn D Câu 13. Hai vật A và B dán liền nhau mB=2mA=200g, treo vào một lò xo có độ cứng k =50 N/m. Nâng vật lên đến vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên L0=30 cm thì buông nhẹ. Vật dao động điều hoà đến vị trí lực đàn hồi của lò xo có độ lớn lớn nhất , vật B bị tách ra. Tính chiều dài ngắn nhất của lò xo. A. 26 cm B. 24 cm. C. 30 cm. D.22 cm

Giải: Khi treo 2 vật độ giãn của lò xo: ( )

0,06 6A Bm m gl m cm

k

+∆ = = = .

Biên độ dao động của hệ lúc này A = 6 cm Lực đàn hồi của lò xo lớn nhất khi độ dài của lò xo lmax = 36 cm. Khi vật B tách ra hệ dao động điều hoà với vị trí cân bằng mới

' 0,02 2Am gl m cm

k∆ = = =

Biên độ dao động của con lắc lò xo lấn sau A’ = 10cm. Suy ra chiều dài ngắn nhất của lò xo lmin = 30 –(10-2) = 22cm Câu 14: Hai vật A, B dán liền nhau mB=2mA=200g, treo vào 1 lò xo có độ cứng k=50N/m. Nâng vật lên đến vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên l0=30cm thì buông nhẹ. Lấy g=10m/s2. Vật dao động điều hòa đến vị trí lực đàn hồi lò xo có độ lớn lớn nhất, vật B tách ra. Tính chiều dài ngắn nhất của lò xo A. 26 B. 24 C. 30 D. 22 Giải: Độ biến dạng ban đầu khi hệ vật ở VTCB là

( )cmm

k

gmml BA 606,0

50

10)1,02,0(==

+=

+=∆

Nâng vật lên đến vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên l0=30cm thì buông nhẹ. Do đó A = 6cm

Độ biến dạng lúc sau của vật khi vật B tách ra là cmmk

gml A 202,0

50

10.1,0' ====∆

Chièu dài ngắn nhất của lò xo là cmAlll 266230'0 =−+=−∆+= . Đáp án A Câu 15. Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang với chu kì T = 2π (s), quả cầu nhỏ có khối lượng m1. Khi lò xo có độ dài cực đại và vật m1 có gia tốc -2(cm/s2) thì một vật có khối lượng m2 (m1 = 2m2) chuyển động dọc theo trục của lò xo đến va chạm đàn hồi xuyên tâm với m1 có hướng làm lo xo bị nén lại. Vận tốc của m2 trước khi va chạm là 3 3 cm/s. Quãng đường vật nặng đi được sau va chạm đến khi m1 đổi chiều chuyển động là:

∆l’ O’

-A’

A

x



A. 3,63cm B. 6 cm C. 9,63 cm D 2,37cm Giải: Gọi v là vận tốc của m1 ngay sau va chạm, v2 và v2’ là vận tốc của vật m2 trước và sau va chạm: v2 = 2cm/s; Theo định luật bảo toàn động lượng và động năng ta có: m2v2 = m1v + m2 v2’ (1’) => m1v = m2 (v2 – v2’) (1)

222

2'22

21

222 vmvmvm

+= (2’) => m1v2 = m2 (v2

2 – v2’2) (2)

Từ (1) và (2) ta có v = v2 + v’2 (3)

v2 – v’2 = m1v/m2 và v2 + v’2 = v => v = 323

22 2

21

22 ==+

v

mm

vm cm/s

Gia tốc vật nặng m1 trước khi va chạm a = - ω2A, với A là biên độ dao động ban đầu

Tần số góc ω = 12

=T

π (rad/s), Suy ra - 2cm/s2 = -A (cm/s2) => A = 2cm

Gọi A’ là biên độ dao động của con lắc sau va chạm với m2. Quãng đường vật nặng đi được sau va chạm đến khi đổi chiều s = A + A’

Theo hệ thức độc lâp: x0 =A, v0 = v => A’2 = A2 + 2

2

ω

v= 22 +

1

)32( 2

=16

=> A’ = 4 (cm) => S = A + A’ = 6cm. Chọn đáp án B Câu 16. Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang với chu kì T = 2π (s), quả cầu nhỏ có khối lượng m1. Khi lò xo có độ dài cực đại và vật m1 có gia tốc -2(cm/s2) thì một vật có khối lượng m2 (m1 = 2m2) chuyển động dọc theo trục của lò xo đến va chạm đàn hồi xuyên tâm với m1 có hướng làm lo xo bị nén lại. Vận tốc của m2 trước khi va chạm là 3 3 cm/s. Khoảng cách giữa hai vật kể từ lúc va chạm đến khi m1 đổi chiều chuyển động là: A. 3,63cm B. 6 cm C. 9,63 cm D. 2,37cm Giải: Gọi v là vận tốc của m1 ngay sau va chạm, v2 và v2’ là vận tốc của vật m2 trước và sau va chạm: v2 = 2cm/s; Theo định luật bảo toàn động lượng và động năng ta có: m2v2 = m1v + m2 v2’ (1’) => m1v = m2 (v2 – v2’) (1)

222

2'22

21

222 vmvmvm

+= (2’) => m1v2 = m2 (v2

2 – v2’2) (2)

Từ (1) và (2) ta có v = v2 + v’2 (3)

v2 – v’2 = m1v/m2 và v2 + v’2 = v --> v = 323

22 2

21

22 ==+

v

mm

vm cm/s; v’2 = - 3 cm/s(vật m2 bị

bật ngược lại) Gia tốc vật nặng m1 trước khi va chạm a = - ω2A, với A là biên độ dao động ban đầu

Tần số góc ω = 12

=T

π (rad/s), Suy ra - 2cm/s2 = -A (cm/s2) --> A = 2cm

Gọi A’ là biên độ dao động của con lắc sau va chạm với m2.



Theo hệ thức độc lâp: x0 =A, v0 = v => A’2 = A2 + 2

2

ω

v= 22 +

1

)32( 2

=16

--> A’ = 4 (cm) Thời gian chuyển động của vật m2 từ lúc va chạm với m1 (ở vị trí x0 =A = 2cm) trí đến khi m1

đổi chiều chuyển động lần đầu tiên (ở vị trí biên A’) là (T/12 + T/4) = T/3 = 2π/3(s) → Trong thời gian này vật m2 coi là chuyển động thẳng đều được s2 = v’2.2π/3 =2 3 π/3 ≈ 3,63cm Khoảng cách hai vật d = s2 + A + A’ = 9,63cm. Chọn C Câu 17: Một vật có khối lượng m1 = 1,25 kg mắc vào lò xo nhẹ có độ cứng k = 200 N/m, đầu kia của lò xo gắn chặt vào tường. Vật và lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang có ma sát không đáng kể. Đặt vật thứ hai có khối lượng m2 = 3,75 kg sát với vật thứ nhất rồi đẩy chậm cả hai vật cho lò xo nén lại 8 cm. Khi thả nhẹ chúng ra, lò xo đẩy hai vật chuyển động về một phía.

Lấy 2π =10, khi lò xo giãn cực đại lần đầu tiên thì hai vật cách xa nhau một đoạn là:

A. 84 −π (cm) B. 16 (cm) C. 42 −π (cm) D. 44 −π (cm) Giải: Khi thả nhẹ chúng ra, lúc hai vật đến vị trí cân bằng thì chúng có cùng vận tốc:

v = vmax = ωA = 1 2

k 200.A .8 40.8

m m 1,25 3,75= = =

+ +16π (cm/s)

Sau đó, vật m1 dao động với biên độ A1 , m2 chuyển động thảng đều (vì bỏ qua ma sát) ra xa vị trí cân bằng với vận tốc v = vmax. Khi lò xo dãn cực đại thì độ dãn bằng A1 và áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ hai vật:

W = W1 + W2 → 2 2 21 2 max

1 1 1kA kA m v

2 2 2= +

2 2 221 max

2 2 2 4 2 421 max

mA A v

km 3,75

A A v 64.10 .256 .10k 200

− −

= +

⇒ = − = − π

= 64.10-4 – 48-4 = 16.10-4 → A1 = 4.10-2m = 4cm Quãng đường vật m2 đi được kể từ khi rời vật 1 đến khi vật 1 ở biên ứng với thời gian bằng t =

1T

4là:

s = vmaxt = 2 2 3 2 11m1 1,25 2,516 . .2 8 8 6,25.10 8 .10

4 k 200− −π π = π = π = π

π= 2π (cm)

Khi lò xo giãn cực đại lần đầu tiên thì hai vật cách xa nhau một đoạn là: L = s – A1 = 2π – 4 (cm). Chọn C Câu 18: Hai vật A và B có cùng khối lượng 1 kg và có kích thước nhỏ được nối với nhau bởi sợi dây mảnh nhẹ dài 10cm, hai vật được treo vào lò xo có độ cứng k = 100N/m tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s2. Lấy π2 =10. Khi hệ vật và lò xo đang ở vị trí cân bằng đủ cao so với mặt đất, người ta đốt sợi dây nối hai vật và vật B sẽ rơi tự do còn vật A sẽ dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Lần đầu tiên vật A lên đến vị trí cao nhất thì khoảng cách giữa hai vật bằng: A. 80cm B. 20cm. C. 70cm D. 50cm Giải: Tại vị trí cân bằng trọng lực tác dụng lên vật A cân bằng với lực đàn hồi. PA + PB = Fđh ( ) 2A B dh dhm m g F F mg⇔ + = ⇔ = (coi mA = mB = m) Khi người ta đốt dây vật A chỉ còn chịu tác dụng của lực đàn hồi và trọng lực của vật A. Lực tác dụng lên vật A lúc này là: F = Fđh – PA = 2mg – mg = mg Lực này gây ra cho vật gia tốc a. Vật đang ở vị trí biên nên a chính là gia tốc cực đại



A

B

M

O

N

F = ma → a =F mg

g Am m

= = = ω2 →A = 2

0,1g

mω

=

Khi đốt dây vật A đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhât mất nửa chu kì

∆t = 2

T=

1

10 (s)

Cũng trong khoảng thời gian ấy vật B rơi tự do được quãng đường:

S = 21( ) 0,5

2g t m∆ =

Vậy khoảng cách giữa A và B lúc này là : D = 2 80A l s cm+ + = . Chọn A Câu 19. Hai vật m có khối lượng 400g và B có khối lượng 200g kích thước nhỏ được nối với nhau bởi sợi dây mảnh nhẹ dài 10cm, hai vật được treo vào lò xo có độ cứng là k=100N/m (vật A nối với lò xo) tại nơi có gia tốc trong trường g =10m/s2 .Lấy π2=10. Khi hệ vật và lò xo đang ở vtcb người ta đốt sợi dây nối hai vật và vật B sẽ rơi tự do còn vật A sẽ dao động điều hoà quanh vị trí cân băng của nó .Sau khi vật A đi được quãng đường là 10cm thấy rằng vật B đang rơi thì khoảng cách giữa hai vật khi đó bằng A.140cm B.125cm C.135cm D.137cm Giải: Cách 1: Độ giãn của lò xo khi hệ hai vật đang ở VTCB tại M

∆l0 = k

gmm BA )( + = 0,06 m = 6cm

Vật A dao đông điều hòa quanh VTCB mới O

khi đó độ giãn của lò xo ∆l = k

gmA = 0,04 m = 4 cm.

Suy ra vật mA dao động điều hoa với biên độ:

A = ∆l0 - ∆l = 2 cm, và với chu kì T = 2πk

mA = 2π210

4,0

π= 0,4 s

Chọn gốc tọa độ tại O chiều dương hướng xuống ,Tọa độ của vật A sau khi đi được quãng đường 10 cm tức là sau t = 1,25 chu kỳ dao động x1 = 0; Vật A ở gốc toa độ. t = 1,25T = 0,5 (s) Sau khi đôt dây nối hai vật vật B rơi tự do từ N cách O: ON = MN + MO = 12 cm.

Tọa độ của B x2 = ON + 2

2gt = 0,12 + 5.0,25 = 1,37m = 137 (cm)

Vậy khoảng cách giữa hai vật lúc này là x2 – x1 = 137 cm . Chọn D

Cách 2: Độ biến dạng lò xo tại VTCB ( do m1 kéo ) : cmmk

gml 404,0

1===∆

Độ biến dạng lò xo do m1 kéo Acmmk

gml ====∆ 202,0

22

(m2 có tác dụng như ta lấy tay kéo m1 một đoạn A rồi buông nhẹ)

Chu kỳ dao động k

mT

12π= = 0,4s

Vật m1 dao động đi được S=10cm=8cm+2cm= 4A+A. Khi này vật dời lên đoạn h1=2cm Khoảng thời gian đi quãng đường này là : 1T+ ¼ T = 0,5s Trong khoảng t.gian này m2 rơi tự do được : h2= gt2/2 =125cm Suy ra khoảng cách 2 vật là : h1+h2 + 10cm=2+125+10=137cm



Câu 20: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phảng nằm ngang gồm lò xo nhẹ có một đầu cố định, đầu kia gắn với vật nhỏ có khối lượng m. Ban đầu vật m được giữ ở vị trí để lò xo bị nén 9 cm. Vật M có khối lượng bằng một nửa khối lượng vật m nằm sát m. Thả nhẹ m để hai vật chuyển động theo phương của trục lò xo. Bỏ qua mọi ma sát. Ở thời điểm lò xo có chiều dài cực đại lần đầu tiên, khoảng cách giữa hai vật m và M là: A. 9 cm. B. 4,5 cm. C. 4,19 cm. ` D. 18 cm. Giải 1: Khi qua vị trí cân bằng, vận tốc 2 vật là v. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quá trình hai vật chuyển động từ vị trí lò xo bị nén l∆ đến khi hai vật qua vị trí cân bằng:

2 21 1( ) ( )

2 2k

k l m M v v lm M

∆ = + ⇒ = ∆+

(1) Đến vị trí cân bằng, vật m chuyển động chậm dần, M chuyển động thẳng đều, hai vật tách ra, hệ con lắc lò xo chỉ còn m gắn với lò xo. Khi lò xo có độ dài cực đại thì m đang ở vị trí biên, thời gian chuyển động từ vị trí cân bằng đến vị trí biên là T/4 Khoảng cách của hai vật lúc này:

2 1 .4T

x x x v A∆ = − = − (2), với 2m

Tk

π= ; m

A vk

= , 0,5M m=

Từ (1) và (2) ta được: 2 1 1

. . . . . 4,191,5 4 1,5 2 1,5 1,5k m m k

x l l l l cmm k k m

π π∆ = ∆ − ∆ = ∆ − ∆ =

Giải 2: * Khi hệ vật chuyển động từ VT biên ban đầu đến VTCB: CLLX (m + M = 1,5m):

vmax = 1,5

kA A

mω =

* Khi đến VTCB, hai vật tách khỏi nhau do m bắt đầu chuyển động chậm dần, lúc này M chuyển động thẳng đều với vận tốc vmax ở trên. + Xét CLLX có vật m (vận tốc cực đại không thay đổi):

vmax = m

kAA ''' =ω =

9'

1,5 1,5 1,5

k AA A cm

m⇒ = =

+ Từ khi tách nhau (qua VTCB) đến khi lò xo có chiều dài cực đại thì m đến vị trí biên A’,

thời gian dao động là '2'4

2

4

'

ωπ

ωπ

===∆T

t ; với ' 1,5.2 1,5

kt

m

πω ω

ω= = ⇒ ∆ = . Trong thời

gian này, M đi được:

s = vmax.∆t = 4,5

..2 1,5 1,5

A cmπ π

ωω

= ⇒ Khoảng cách hai vật: ∆d = s - A’ ≈ 4,19 cm

Cách 3: Ban đầu khi m và M còn dính nhau thì con lắc lò xo gồm (k, m và M) có biên độ A = 9 cm.

��v

l∆ O A

m M

m M

x x2 x1

x∆

m M



vận tốc của hệ tại VTCB là vm = Aω = AMm

k

+. từ VTCB trở đi m chuyển động chậm dần

còn M chuyển động đều với vmax. Khi đó M tách khỏi m.

Khi M tách khỏi m: Ta có con lắc lò xo (k, m): có biên độ A’ = ,ω

mv = A

Mm

m

+

thời gian m đi từ VTCB đến VT lò xo dãn cực đại lần đầu tiên:

t = T’/4=k

m

2

π. Suy ra quãng đường mà M đi được trong thời gian trên: s=vmt=

Mm

mA

+2

π

khoảng cách từ m đến M là d = s – A’ = Mm

mA

+− )1

2(π

với M = m/2 Thay số: d = 4,19 cm.

Đáp án C

Câu 21: Cho hệ con lắc lò xo lò xo có độ cứng 100N/m, vật nặng có khối lượng 1 1m kg= ,

người ta treo vật có khối lượng 2 2m kg= dưới m1 bằng sợi dây ( 2 210 /g m sπ= = ). Khi hệ đang cân bằng thì người ta đốt dây nối .Chọn chiều dương hướng lên, mốc thời gian là lúc hệ bắt đầu chuyển động. Số lần vật qua vị trí lò xo không biến dạng theo chiều dương kể từ lúc vật qua vị trí cân bằng lần thứ nhất đến thời điểm t = 10s là

A. 19 lần B. 16 lần C. 18 lần D. 17 lần

Giải: Độ giãn của lò xo khi treo cả 2 vật: 1 2( ). (1 2).100,3

100

m m gl m

k

+ +∆ = = = = 30cm

Độ giãn của lò xo khi treo vật m1: 11

. 1.100,1 10

100

m gl m cm

k∆ = = = =

Khi đốt dây nối : -Suy ra biên độ dao động của vật m1: A = 20cm

-Tần số góc dao động của vật m1 : 1

10010 /

1

krad s

mω = = = = 2 /rad sπ

-Chu kỳ dao động của vật m1 : T=2 2

10 5s

π π πω

= = =2

sπ

- Chọn chiều dương hướng lên, mốc thời gian lúc hệ bắt đầu chuyển động thì PT dao động của vật m1 : x=20cos(10t+ π) cm thời gian từ lúc đầu đến lúc vật qua vị trí cân bằng lần thứ nhất là T/4 Ta có thể viết lại PT dao động của vật m1 kể từ lúc vật qua vị trí cân bằng lần thứ nhất : x=20cos(10t- π/2) cm Sau thời gian t= 10s = 5π.T =15,7 T Dễ dàng thấy ;Số lần vật qua vị trí lò xo không biến dạng( x=10cm) theo chiều dương kể từ lúc vật qua vị trí cân bằng lần thứ nhất là 16 lần. Đáp án B

Câu 22: Một lò xo có khối lượng không đáng kể, hệ số đàn hồi k = 100N/m được đặt nằm ngang, một đầu được giữ cố định, đầu còn lại được gắn với chất điểm m1 = 0,5 kg. Chất điểm m1 được gắn với chất điểm thứ hai m2 = 0,5kg .Các chất điểm đó có thể dao động không ma sát trên trục Ox nằm ngang (gốc O ở vị trí cân bằng của hai vật) hướng từ điểm cố định giữ lò xo về phía các chất điểm m1, m2. Tại thời điểm ban đầu giữ hai vật ở vị trí lò xo nén 2cm rồi buông nhẹ. Bỏ qua sức cản của môi trường. Hệ dao động điều hòa. Gốc thời gian chọn khi buông vật. Chỗ gắn hai chất điểm bị bong ra nếu lực kéo tại đó đạt đến 1N. Thời điểm mà m2 bị tách khỏi m1 là



A. s2

π. B. s

6

π. C. s

10

1. D. s

10

π.

Hướng dẫn Giả sử tại thời điểm thời điểm vật m2 bắt đầu rời khỏi m1 thì ly độ của hai vật là x. Áp dụng định luật II Niu-tơn cho m1, ta có: ω− = ⇒ = + = − 2

21 ñh 1 1 21 ñh 1 1 1F F m a F F m a kx m x

Theo bài toán: ω

⇒ = = = = =− − −

+ +

21 212

11

1 2

10,02 2

100100 0,5.0,5 0,5

F Fx m cm

kk m k mm m

Vậy khi vật m2 bị bong ra khỏi m1 thì 2 vật đang ở vị trí biên dương.

Thời gian cần tìm: ∆ =2T

t , với π

π+

= =1 225

m mT

k(s) . Vậy ∆ =

2T

tπ

= ( )10s Chọn D

Câu 23. Một con lắc lò xo có độ cứng k , chiều dài l , một đầu gắn cố định, một đầu gắn vào

vật có khối lượng m.Kích thích cho lò xo dao động điều hòa với biên độ 2

A =ℓ

trên mặt phẳng

ngang không ma sát . Khi lò xo dao động và bị dãn cực đại , tiến hành giữ chặt lò xo tại vị trí cách vật một đoạn l, khi đó tốc độ dao đông cực đại của vật là:

A.k

mℓ . B.

6

k

mℓ . C.

2.

k

mℓ . D.

3.

k

mℓ .

Giải: Độ dài tự nhiên của phần lò xo sau khi bị giữ l’ = 3

2l.

Độ cứng của phần lò xo sau khi giữ là k’:

k

k ' =

'l

l =

2

3=> k’ =

2

3k

Vị trí cân bằng mới cách điểm giữ lò xo l’, khi đó vật cách VTCB mới chính là biên độ dao động mới:

A’ = l -3

2l =

3

1l

Tốc độ dao động cực đại của vật tính theo công thức: 2

2maxmv

= 2

'' 2Ak

=> vmax = A’m

k '=

3

1l

m

k

2

3 = l

m

k

6. Chọn B

k

• • O’ M

• O

�ñhF �12F �

21F

•

O • x

• -A

m2 m1



Câu 24. Hai vật A và B lần lượt có khối lượng là 2m và m được nối với nhau và treo vào lò xo thẳng đứng bằng các sợi dây mãnh, không dãn. g là gia tốc rơi tự do. Khi hệ đang đứng yên ở vị trí cân bằng người ta cắt đứt dây nối hai vật . Gia tốc của A và B ngay sau khi dây đứt lần lượt là; A g/2 và g/2 B g và g/2 C g/2 và g D g và g Giải: * Tại VTCB của 2 vật A,B thì Fđh=PAB=3mg * Cắt đứt dây nối A, B thì B rơi tự do nên gia tốc của B là g * Gia tốc của A tính theo ĐL II Niuton aA=Fhợp lực / mA = (Fđh-PA)/mA=(3mg-mg)/2mg = g/2 � Đáp án C Câu 25. Hai vật A và B lần lượt có khối lượng là 2m và m được nối với nhau và treo vào lò xo thẳng đứng bằng các sợi dây mãnh, không dãn. g là gia tốc rơi tự do. Khi hệ đang đứng yên ở vị trí cân bằng người ta cắt đứt dây nối hai vật . Gia tốc của A và B ngay sau khi dây đứt lần lượt là; A g/2 và g/2 B g và g/2 C g/2 và g D g và g Giải: + Độ biến dạng của lò xo khi hệ 2 vật ở VTCB:

( )1 20

3m m g mglk k

+∆ = =

+ Độ biến dạng của lò xo khi chỉ vật 1 (tại vị trí cân bằng):

101

2m g mglk k

∆ = =

+ Tại thời điểm cắt đứt dây nối hai vật thì vật 1 cách VTCB một đoạn là: 0 01

mgx l lk

= ∆ − ∆ =

Ngay sau khi cắt thì vật 1 sẽ dao động điều hòa với tần số góc là: 2km

ω = . Do đó gia tốc của

vật 1 sẽ là: 2 .2 2k mg ga xm k

ω= = = . Còn vật 2 sẽ rơi tự do với gia tốc g.

Câu 26. Hai vật A và B lần lượt có khối lượng là m và 2m được nối với nhau và treo vào lò xo thẳng đứng bằng các sợi dây mãnh, không dãn. g là gia tốc rơi tự do. Khi hệ đang đứng yên ở vị trí cân bằng người ta cắt đứt dây nối hai vật . Gia tốc của A và B ngay sau khi dây đứt lần lượt là; A.g/3 và g B3g và g C.g và g D.2g và g

Giải: Tại vị trí cân bằng ta có : 3

3mg

kA mg Ak

= ⇒ =

khi dây đứt B rơi tự do với gia tốc g; A chịu lực quán tính trái đất và lực đàn hồi 2

ax

3. 3 3 2m A

k mga A g g g g g

m kω= = = ⇒ = − =

Câu 27. Cho cơ hệ như hình vẽ. Lò xo có độ cứng k = 100 N/m, m1 = 100 g, m2 = 150 g. Bỏ qua ma sát giữa m1 và mặt sàn nằm ngang, ma sát giữa m1 và m2 là µ12 = 0,8. Biên độ dao động của vật m1 bằng bao nhiêu để hai vật không trượt lên nhau: A. A ≤ 0,8 cm. B. A ≤ 2 cm C. A ≤ 7,5 cm D. A ≤ 5cm Giải: để không trượt: Lực quán tính cực đại nhỏ hơn lực ma sát

k m2

m1



k

mm

( ) 22 2 2

1 2

. 10.0,82

1000, 25

gm A m g A cm

k

m m

µω µ≤ ⇒ ≤ = =

+

. Đáp án B

Câu 28. Cho cơ hệ như hình vẽ. Lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k = 50 N/m. vật m1 = 200 g vật m2 = 300 g. Khi m2 đang cân bằngta thả m1 từ độ cao h (so với m2). Sau va chạm m2 dính chặt với m1, cả hai cùng dao động với biên độ A = 10 cm. Độ cao h là: A. h = 0,2625 m B. h = 25 cm C. h = 0,2526 m D. h = 2,5 cm Giải: Trước va chạm lò xo lén 6cm. Sau va chạm lò xo nén 10 cm (VTCB) vậy tọa độ va chạm x = 4 cm. vận tốc của hệ ngay lúc va chạm:

1

1 2

. 2 0, 4 20m

v gh hm m

= =+

=> 2

2 22

0,2625v

A x hω

= + ⇒ =

Đáp án A

Câu 29. Cho cơ hệ như hình vẽ. Lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k = 100 N/m. vật m1 = 150 g vật m2 = 100 g. Bỏ qua lực cản của không khí, lấy g = 10 m/s2. m1 và m2 cùng dao động. Hỏi biên độ của hai vật bằng bao nhiêu thì m1 không rời khỏi m2? A. A bất kì. B. A ≤ 2 cm C. A ≤ 2,5 cm D. A ≤ 5cm

Giải: làm giống bài 22 => 2

2,5g

A cmω

≤ =

Câu 30. Một vật nhỏ khối m đặt trên một tấm ván nằm ngang hệ số ma sát nghỉ giữa vật và tấm ván là µ =0,2. Cho tấm ván dao động điều hòa theo phương ngang với tần số f=2Hz. Để vật không bị trượt trên tấm ván trong quá trình dao động thì biên độ dao động của tấm ván phải thõa mãn điều kiện nào: A. A ≤1,25cm B A ≤1,5cm C A ≤2,5cm D A ≤2,15 cm Giải : Để vật không trượt trên tấm ván , thì vật và tấm ván cùng gia tốc ( vật luôn đứng yên trên tấm ván ) . Áp dụng điều kiện cân bằng cho vật trên tấm ván

0FF qtMS

��=+ với lực quán tính là amFqt

��−= và gia tốc a = – ω2x

FMS – Fqt = 0 => FMS = – ma = – mω2x Để vật không trượt thì FMS ≤ Lực ma sát nghỉ cực đại = µN Vì vật ở trên mặt phẳng nằm ngang N = mg Từ (1); (2) => về độ lớn |mω2x | ≤ µmg Khi li độ cực đại |x | = A => A ≤ µg/ ω2 (3) với ω = 2πf. Thay số : A ≤ 1,26 cm => chọn A Cách khác: đơn giản theo định luật II Newton áp dụng cho vật m : F = ma = mω2A ≤ Lưc ma sát nghỉ cực đại = µmg => A ≤ µg/ ω

Câu 31. Cho một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Một học sinh tiến hành hai lần kích thích dao động. Lần thứ nhất, nâng vật lên rồi thả nhẹ thì gian ngắn nhất vật đến vị trí lực đàn hồi triệt tiêu là x. Lần thứ hai, đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ thì thời gian ngắn nhất đến lúc lực hồi phục đổi chiều là y. Tỉ số x/y = 2/3. Tỉ số gia tốc vật và gia tốc trọng trường ngay khi thả lần thứ nhất là

A. 1/5 B. 3 C. 3/2 D. 2 Giải:

m1

h

k

m2

MSF�

qtF�

a�



+Ở TN 1 thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí ban đầu đến vị trí lực đàn hồi triệt tiêu tương ứng với từ vị trí biên âm đến vị trí l∆− lúc này vật thực hiện góc quay ϕ = x.ω (1)

Và A

l∆=ϕcos (2)

+TN 2 vật đi từ vị trí ban đầu đến vị trí lực hồi phục đổi chiều đầu tiên tương ứng với từ vị trí

biên về vị trí cân bằng. thời gian này là ωπ24

==T

y ;Do ωπ33

2=→= x

y

x(3)

Từ 1 và 3 3

πϕ =→ kết hợp với 2 :

2

1=

∆A

l

Mạt khác ở thí ngiêm lần 1 vật ở VTB nên gia tốc của vật là cực đại :

22 =∆

=→∆

==l

A

g

aA

l

gAa ω

Câu 32. Con lắc lò xo thẳng đứng, lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật nặng có khối lượng m = 1kg. Nâng vật lên cho lò xo có chiều dài tự nhiên rồi thả nhẹ để con lắc dao động. Bỏ qua mọi lực cản. Khi vật m tới vị trí thấp nhất thì nó tự động được gắn thêm vật m0 = 500g một cách nhẹ nhàng. Chọn gốc thế năng là vị trí cân bằng. Lấy g = 10m/s2. Hỏi năng lượng dao động của hệ thay đổi một lượng bằng bao nhiêu?

A. Giảm 0,375J B. Tăng 0,125J C. Giảm 0,25J D. Tăng 0,25J Giải:

1 10,1 10mg

l m cm Ak

∆ = = = =

Tại vị trí thấp nhất của m1: ñh 1 1 0( ) 20 15F k l A N P P N= ∆ + = > + = Do đó vị trí gắn m0 cũng là vị trí biên lúc sau của hệ con lắc có hai vật (m + m0)

02

( )0,15

m m gl m

k

+∆ = =

Từ hình vẽ, ta có: 1 2 25 5OO cm A cm= ⇒ = Độ biến thiên cơ năng:

2 2 2 22 1 2 1

1 1W W ( ) .100.(0,05 0,1 ) 0,375

2 2k A A J− = − = − = − .Đáp ánA

Câu 33: Con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng ngang không ma sát. Khi vật ở vị trí biên, ta giữ chặt một phần của lò xo làm cơ năng của vật giảm 10% thì biên độ dao động của vật sẽ: A. giảm 10 % B. tăng 10 % C. giảm 10% D. tăng 10% Giải 1:

- Gọi chiều dài tự nhiên của lò xo là lo - Chiều dài tự nhiên của đoạn cố định là l01.

- Chiều dài tự nhiên của đoạn nối với vật là l02.

- l + A: Chiều dài của lò xo khi vật ở vị trí biên. - l1: chiều dài của đoạn cố định. - l2: Chiều dài của đoạn còn lại khi vật ở vị trí biên: - Đặt l2 = n.l1 ⇒ l02 = n.l01; ∆l02 = n.∆l01. ( ∆l01; ∆l02: lần lượt là độ biến dạng của lò xo của đoạn cố định, của đoạn còn lại khi vật

đang ở vị trí biên ∆l02 = A’)

∆l2 O1

∆l1

-A1

A1

m1

O2 A2

P�

0P�

ñhF�



+ Ta có: k.l0 = k1.lo1 = k2.lo2 ⇒ k(lo1 + lo2) = k2.lo2 hay klo2 (n

1 + 1) = k2.lo2

⇒ k2 = (n

1 + 1)k (1)

+ Lại có: A = .∆l01 + ∆l02 = (n

1 + 1)∆l02 = (

n

1 + 1)A’ ⇒ A’ = A

n

n

1+ (2)

+ Theo giả thiết W’ = 0,9W ⇒ 22

2 '2

1.9,0

2

1AkkA = (3)

+ Từ (1), (2) và (3) suy ra: A’ = 0,9A ⇒ Biên độ giảm 10% Giải 2: Từ một lò xo luôn có tích: k0l0 = k1l1 = hằng số. Do đó k0.∆l0 = k.∆l

Với con lắc lò xo nằm ngang có: ∆l = A; ∆l0 = A0.

⇒ k0A0 = kA ⇒ 0 0 0

0 0

1

21

2

k A AE A

E AkAA= = Tóm lại cơ giảm 10% thì biên cũng giảm 10%

Câu 34. Một lò xo nhẹ độ cứng k = 20N/m đặt thẳng đứng, đầu dưới gắn cố định, đầu trên gắn với 1 cái đĩa nhỏ khối lượng M = 600g, một vật nhỏ khối lượng m = 200g được thả rơi từ độ cao h = 20cm so với đĩa, khi vật nhỏ chạm đĩa thì chúng bắt đầu dao động điều hòa, coi va chạm hoàn toàn không đàn hồi. Chọn t = 0 ngay lúc va chạm, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của hệ vật M + m, chiều dương hướng xuống. Phương trình dao động của hệ vật là.

A. 3

x 20 2cos(5t )cm4

π= − B.

3x 10 2cos(5t )cm

4

π= −

C. x 10 2cos(5t )cm4

π= + D. x 20 2cos(5t )cm

4

π= −

Giải:

+ Khi chỉ có đĩa M thì trạng thái cân bằng lò xo nén: 1

Mgl

k∆ =

+ Khi có hệ M + m thì vị trí cân bằng lò xo nén; 2

(M m)gl

k

+∆ =

+ Khi xảy ra va chạm thì hệ M+m đang ở li độ 0 2 1

mgx l l

k= ∆ − ∆ = = 10cm

+ Vận tốc của m ngay trước khi va chạm là: v 2gh= = 2m/s. + Bảo toàn động lượng cho hệ hai vật trong thời gian va chạm ta có:

0 0

mvmv (M m)v v

M m= + ⇒ =

+ = 0,5m/s

+ Tần số góc: k

M mω =

+ = 5(rad/s).⇒ Biên:

22 00

vA x

= + ω

= 10 2 cm.

+ t0 = 0 có: 0

A 2x

2= và v0 > 0(chiều dương hướng xuống) ⇒ ϕ = -

4

π ⇒

πx = 20 2cos(5t - )cm

4, Đáp án: B

Câu 35. Con lắc lò xo thẳng đứng, lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật nặng có khối lượng m = 1kg. Nâng vật lên cho lò xo có chiều dài tự nhiên rồi thả nhẹ để con lắc dao động. Bỏ qua mọi lực cản. Khi vật m tới vị trí thấp nhất thì nó tự động được gắn thêm vật m0 = 500g một cách nhẹ nhàng. Chọn gốc thế năng là vị trí cân bằng. Lấy g = 10m/s2. Hỏi năng lượng dao động của



hệ thay đổi một lượng bằng bao nhiêu? A. Giảm 0,25J B. Tăng 0,25J C. Tăng 0,125J D. Giảm 0,375J

Giải: Gọi O là VTCB lúc đầu. Biên độ dao động của vât: A = ∆l = k

mg = 0,1m = 10cm

Khi vật ở điểm thấp nhất M vật có li độ x = A Năng lượng dao động của hê bằng cơ năng của vật ở VTCB O

W0 = Wd + Wt = 2

2kA+ 0 =

2

2kA= 0,5J

(Vì chọn gốc thế năng là vị trí cân bằng) Sau khi thêm vật m0 VTCB mới tại O’

Với M’O’ = ∆l’ = k

gmm )( 0+ = 0,15m = 15 cm = 1,5A

Tại M vật tốc của (m + m0) bằng 0 nên biện độ dao động mới của hệ A’ = MO’ = 0,5A Năng lượng dao động của hê bằng cơ năng của vật ở VTCB O’

W = Wd + Wt = 2

'2kA+ 0 =

8

2kA (Vì chọn gốc thế năng là vị trí cân bằng).

∆W = W0 – W = 2

2kA -

8

2kA =

8

3 2kA =

4

5,1 = 0,375 J

Năng lượng dao động của hệ giảm một lượng bằng 0,375J. Chọn D

Câu 36. Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo với biên độ 4cm. Biết lò xo nhẹ có độ cứng 100N/m và lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s2. Khi vật đến vị trí cao nhất, ta đặt nhẹ nhàng lên nó một gia trọng m∆ = 150g thì cả hai cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động sau khi đặt là

A. 2,5 cm B. 2 cm C. 5,5 cm D. 5 cm

Giải: Khoảng cách giữa vị trí cân bằng lúc chưa đặt gia trọng và

sau khi nđặt gia trọng là OO’ = k

m∆g = 1,5.10-2 m = 1,5cm

Do đó biên độ dao động lúc đầu là A = OM0 = 4cm

Biên độ dao động lúc sau A’ = O’M0 = OM0 + OO’ = 5,5 cm.

Câu 37. Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm vật M có khối lượng 400g và lò xo có hệ số cứng 40N/m đang dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng với biên độ 5cm. Khi M qua vị trí cân bằng người ta thả nhẹ vật m có khối lượng 100g lên M (m dính chặt ngay vào M), sau đó hệ m và M dao động với biên độ

A. 2 5cm B. 4,25cm

C. 3 2cm D. 2 2cm

Giải: Tần số góc của con lắc: ω = M

k=

4,0

40= 10 rad/s.

• M• O • O’

∆ m m

• M’

• O

• O’

• M (m + m )

m



Tốc độ của M khi qua VTCB v = ωA = 50 cm/s;Tốc độ của (M + m) khi qua VTCB v’ =

mM

Mv

+ = 40 cm/s

Tần số góc của hệ : ω’ = mM

k

+=

5,0

40=

5

20 rad/s.Biên độ dao động của hệ: A’ =

'

'

ωv

= 2 5

cm. Đáp án A

Câu 38: Một quả cầu có khối lượng M = 0,2kg gắn trên một lò xo nhẹ thẳng đứng có độ cứng 20N/m, đầu dưới của lò xo gắn với đế có khối lượng Mđ. Một vật nhỏ có khối lượng m = 0,1 kg rơi từ độ cao h = 0,45m xuống va chạm đàn hồi với M. Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s2. Sau va chạm vật M dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Muốn để không bị nhấc lên thì Mđ không nhỏ hơn

A. 300 g B. 200 g C. 600 g D. 120 g Giải: Gọi O là VTCB . Vận tốc của m trước khi chạm M: v0 = gh2 = 18 = 3 2 m/s Gọi V và v là vận tốc của M và m sau va chạm MV + mv = mv0 (1) với v0 = - 3 2 m/s

2

2MV +

2

2mv =

2

20mv

(2)

Từ (1) và (2) V = 3

2v0 = - 2 2 m/s=> Vmax = 2 2 m/s

Tần số góc của dao động : ω = M

k=

2,0

20 = 10 2 rad/s

Độ nén của lò xo khi vật ở VTCB: ∆l = k

mg=

20

10.2,0 = 0,1m = 10 cm

Biên độ của dao động: A = ωmaxV

= 210

22 = 0,2 m = 20 cm

Muốn để không bị nhấc lên Fđhmax ≤ gMđ

Fđhmax = k (A - ∆l) = 20.0,1 = 2 N Do đó Mđ ≥ g

Fđh max = 0,2 kg = 200g. Chọn B

Câu 39. Một vật có khối lượng m1 = 1,25 kg mắc vào lò xo nhẹ có độ cứng k = 200 N/m, đầu kia của lò xo gắn chặt vào tường. Vật và lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang ma sát không đáng kể. Đặt vật thứ hai có khối lượng m2 = 3,75 kg sát với vật thứ nhất rồi đẩy chậm cả hai vật cho lò xo nén lại 8 cm. Khi thả nhẹ chúng ra, lò xo đẩy hai vật chuyển động về một phía. Lấy 2π = 10. Khi lò xo dãn cực đại lần đầu tiên thì hai vật cách xa nhau một đoạn là

A. (4 4) cm.π − B. (2 4) cm.π − C. 16 cm. D. (4 8) cm.π − Giải: Thế năng ban đầu của hệ E = kA1

2/2 = 200. (8.10-2)2/2 = 0,64J Vận tốc của hai vật khi về vị trí cân bằng có: v2 = 2.E/( m1 + m2) = 2.0,64/5 = 0,256 = 162. 10-3 Suy ra v = 0,16 π ( m/s) Khi về đến vị trí cân bằng vật 2 chuyển động thẳng đều với vận tốc v

Vật 1 dao động điều hòa với chu kỳ T = 2π =k

m1 2π =200

25,10,5 s

Khi lò xo dãn cực đại lần đầu tiên thì vật 1 đi đến vị trí biên và thời gian chuyển động t = T/4 = 0,125s

Mđ

x m

O

h

M



Biên độ dao động A’ = 2

1

k

vm=

200

256,0.25,1 0.04m = 4cm

Quãng đường vật 2 đi được khi đó ( trong thời gian t = 0,125s): S = v.t = 0,16 π. 0,125= 0,02. π(m) = 2 π.cm Khoảng cách giữa hai vật L = S – A’ = ( 2 π – 4 ) cm = 2(π – 2) cm. Đáp án B Câu 40. Một con lắc lò xo gồm vật M và lò xo có độ cứng k đang dao động điều hòa trên mặt phẳng ngằm ngang nhẵn với biên độ A1. Đúng lúc vật M đang ở vị trí biên thì một vật m có khối lượng bằng khối lượng vật M, chuyển động theo phương ngang với vận tốc v0 bằng vận tốc cực đại của vật M, đén va chạm với M. Biết va chạm giữa hai vật là đàn hồi xuyên tâm, sau va chạm vật M tiếp tục dao động điều hòa với biên độ A2. Tính tỉ số biên độ dao động của vật M trước và sau va chạm:

A 1

2

A

A=

2

2 B 1

2

A

A=

3

2 C 1

2

A

A=

2

3 D 1

2

A

A=

1

2

Giải: * Trước va chạm m1=M có vận tốc v1=0 ( ở biên ) m2=M có vận tốc v2=v0=v1 max ==ωA1 * Gọi v'1 và v'2 là vận tốc của 2 vật sau va chạm * Áp dụng ĐLBT động lượng và cơ năng ta có

' ''1 1 2 2 1 1 2 21 2 12 2 2 2

'1 1 2 2 1 1 2 22

' ' 02 2 2 2

m v m v m v m vv v A

m v m v m v m v v

ω + = +

= =⇒

=+ = +

( sau va chạm 2 vật trao đổi vận tốc cho nhau)

* Như vậy đối với vật m2=M, có tại vị trí x=A1 , được truyền vận tốc v'1=-ωA1 ( vì chiều + Ox như hình vẽ )

� ( )2 2'

22 2 21 12 1 12

v AA x A A

ωω ω = + = + =

� 1

2

A

A=

2

2 � Đáp án A

Câu 41. Con lắc lò xo gồm vật nặng M = 300g, lò xo có độ cứng k = 200N/m lồng vào một trục thẳng đứng như hình bên. Khi M đang ở vị trí cân bằng, thả vật m = 200g từ độ cao h = 3,75cm so với M. Lấy g = 10m/s2. Bỏ qua ma sát. Va chạm là mềm.Sau va chạm cả hai vật cùng dao động điều hòa.Chọn trục tọa độ thẳng đứng hướng lên, gốc tọa độ là vị trí cân bằng của M trước khi va chạm, gốc thời gian là lúc va chạm. Phương trình dao động của hai vật là A. )(1)3/2cos(2 cmtx −+= ππ B. )(1)3/2cos(2 cmtx ++= ππ C. )()3/2cos(2 cmtx ππ += D. )()3/2cos(2 cmtx ππ −= Hướng dẫn: + Chọn mốc thế năng tại O (Vị trí cân bằng của M trước va chạm)

● O

k A1

m2=M

m1= M

v0=ωA1

M

m h



+ Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho m ta có : smghvmvmgh /866,022

1 2 ≈=⇒=

+ AD định luật bảo toàn động lượng ta có: smMm

mvVVMmmv /3464,0)( =

+=⇒+=

+ Khi có thêm vật m vị trí cân bằng mới O’ cách O một đoạn : cmkmgl 1/ ==∆ + Như vậy hệ (m + M ) sẽ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O’ cách O một đoạn 1cm. + Phương trình dao động của hệ (m + M ) khi gốc tọa độ tại O có dạng là : 1)cos( −+= ϕωtAx

+ Tần số góc : )/(20 sradmM

k=

+=ω

+ Khi t = 0 Vv

x

−=

=

0

0 0⇔

64,34sin

01cos

−=−

=−

ϕω

ϕ

A

A

+ Giải hệ phương trình trên ta được :A = 2cm ; 3/πϕ = + Phương trình dao động là : )(1)3/2cos(2 cmtx −+= ππ Câu 42. Hai vật A, B dán liền nhau mB=2mA=200g, treo vào 1 lò xo có độ cứng k=50N/m. Nâng vật lên đến vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên l0=30cm thì buông nhẹ. Lấy g=10m/s2. Vật dao động điều hòa đến vị trí lực đàn hồi lò xo có độ lớn lớn nhất, vật B tách ra. Tính chiều dài ngắn nhất của lò xo A. 26 B. 24 C. 30 D. 22 Giải: Độ biến dạng ban đầu khi hệ vật ở VTCB là

( )cmm

k

gmml BA 606,0

50

10)1,02,0(==

+=

+=∆

Nâng vật lên đến vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên l0=30cm thì buông nhẹ. Do đó A = 6cm

Độ biến dạng lúc sau của vật khi vật B tách ra là cmmk

gml A 202,0

50

10.1,0' ====∆

Chièu dài ngắn nhất của lò xo là cmAlll 266230'0 =−+=−∆+= Câu 43: Một vật A có m1 = 1kg nối với vật B có m2 = 4,1 kg bằng lò xo nhẹ có k=625 N/m. Hệ đặt trên bàn nằm ngang, sao cho B nằm trên mặt bàn và trục lò xo luôn thẳng đứng. Kéo A ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 1,6 cm rồi buông nhẹ thì thấy A dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Lấy g =9,8 m/s2. Lưc tác dụng lên mặt bàn có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là A.19,8 N; 0,2 N B.50 N; 40,2 N C. 60 N; 40 N D. 120 N; 80 N GIẢI :+ ∆l = m1g/k = 0,01568m < A + Lực tác dụng lên mặt bàn là : Q = N + Nmin khi lò xo giãn cực đại => vật ở cao nhất : Fđhmax + N – P = 0 => Nmin = P – Fđhmax => N = m2g – k(A - ∆l ) = 39,98 N + Nmax khi lò xo bị nén nhiều nhất => vật ở VT thấp nhất : Nmax – Fđh – P2 = 0 => Nmax = P2 + Fđh = m2g + k(A + ∆l ) => Nmax = 59,98N

P2

Fđh

N

Q

P2

Fđh

N

Q

∆l

O

x

A

-A

B

A nén



Câu 44: Hai vật A và B dán liền nhau mB=2mA=200g, treo vào một lò xo có độ cứng k =50 N/m. Nâng vật lên đến vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên L0=30 cm thì buông nhẹ. Vật dao động điều hoà đến vị trí lực đàn hồi của lò xo có độ lớn lớn nhất , vật B bị tách ra. Tính chiều dài ngắn nhất của lò xo. A. 26 cm, B. 24 cm. C. 30 cm. D.22 cm

Giải: Khi treo 2 vật độ giãn của lò xo: ( )

0,06 6A Bm m gl m cm

k

+∆ = = = .

Biên độ dao động của hệ lúc này A = 6 cm’ Lực đàn hồi của lò xo lớn nhất khi độ dài của lò xo lmax = 36 cm. Khi vật B tách ra hệ dao động điều hoà với vị trí cân bằng mới

' 0,02 2Am gl m cm

k∆ = = =

Biên độ dao động của con lắc lò xo lấn sau A’ = 10cm.. Suy ra chiều dài ngắn nhất của lò xo lmin = 30 –(10-2) = 22cm Chọn D. Câu 45: Một lò xo nhẹ có độ cứng k, một đầu được móc vào trần nhà, đầu còn lại được nối với một trục của ròng rọc. Một sợi dây một đầu buộc vào sàn nhà, đầu còn lại buộc vào vật nặng m rồi vắt qua ròng rọc ở trên. Hệ được bố trí sao cho trục của ròng rọc và phương của dây treo luôn hướng thẳng đứng, vật m có thể chuyển động theo phương thẳng đứng. Bỏ qua ma sát, khối lượng ròng rọc và dây treo. Kích thích cho hệ dao động điều hòa thì chu kì dao động của hệ là:

A. m

Tk

π=. B. 2

mT

kπ=

.

C. 4m

Tk

π= D. 2

2m

Tk

π=

Bài giải: -Tại VTCB : 00 0 TPTP ==>=+

��=> T0 = mg

0 01 02 0 010 2 0đh đhF T T F T+ + = => + =� ��

0 1 02 2ok T T=> ∆ = =ℓ = 2mg (do T01=T0) (1)

-Tại vị trí li độ x: c cP T ma T P ma+ = => − =� � �

1cT P ma T=> = − = (2)

02)2/(020 10121 =++∆−=>=+=>==++ TxkTFamTTF đhrrđh ℓ��

(3) (Vật đi xuống 1 đoạn là x thì lò xo dãn x/2) -Thay (2) vào (3) => 0)(2)2/( 0 =−++∆− mamgxk ℓ

=> 022/20 =−−+∆− makxmgk ℓ (4)

-Từ (1) và (4) => =−− makx 22/ 0 => 04

''04

=+=>=+m

kx

m

kxa . Đặt

m

k

4=ω

=> Vật DĐĐH với PT x = A cos(ωt+φ) với m

k

4=ω => Chu kì

k

mT π

ωπ

42

==

Câu 46: Một vật có khối lượng 250M g= , đang cân bằng khi treo dưới một lò xo có độ cứng 50 /k N m= . Người ta đặt nhẹ nhàng lên vật treo một vật có khối lượng m thì cả hai bắt đầu

dao động điều hòa trên phương thẳng đứng và khi cách vị trí ban đầu 2cm thì chúng có tốc độ 40 cm/s. Lấy 210 /g m s≈ . Khối lượng m bằng :

∆l’ O’

-A’

A

x

m

k 0đhF�

02T�

01T�

0T�

P�

m

k đhF�

2T�

1T�

CT�

P�

•

x

O



A. 100g. B. 150g. C. 200g. D. 250g.

GIẢI: Ban đầu vật cân bằng ở O, lúc này lò xo giãn: cmmk

Mgl 505,0 ===∆

O’ là VTCB của hệ (M+m): ( )

k

gmMl

+=∆ '

Khi đặt vật m nhẹ nhàng lên M, biên độ dao động của hệ lúc này là: ( ) ( )m

mOA

505,0

50

10.m0,25ll'-O' =−

+=∆∆== .

Trong quá trình dao động, bảo toàn cơ năng cho hai vị trí O và M:

( ) ( )222MO '

2

1

2

1

2

1WW MOkvmMkA M ++=⇔=

( ( )mm

OMAMO5

1,0'

−=−= )

( )2

22

5

1,0.50.

2

14,025,0

2

1

5.50.

2

1

−++=

⇔m

mm

gkgm 25025,0 ==⇒ CHỌN ĐÁP ÁN D

Câu 47: Cho hệ cơ thẳng đứng gồm lò xo khối lượng không đáng kể, độ cứng 62,5N/m, đầu

dưới cố định, đầu trên gắn vật m2 = 100g. Hệ đang cân bằng thì thả vật m1 = 301

kg từ độ cao h

so với m2. Bỏ qua sức cản không khí. Xem va chạm là hoàn toàn đàn hồi xuyên tâm. Sau va chạm, ta hứng vật m1 ra cho m2 dao động. Cho biết biên độ dao động điều hoà của m2 là 2cm. Độ cao h là

A. 10cm B. 5,62

1 cm C. 5cm D. 0,05cm

GIẢI : + vận tốc m2 trước khi va chạm là : v = 2gh + va chạm là hoàn toàn đàn hồi nên Theo ĐL BT động lượng : m2v0 + m1v1 = m1v => m2v0 = m1 (v – v1) (1) Theo ĐL BT động năng : ½ m2v0

2 + ½ m1v12 = ½ m1v

2 => m2v02 = m1(v

2 – v12) (2)

+ (1) : (2) => v0 = v + v1 => v1 = v0 – v (3)

+ (1) và (3) => v0 = 1

1 2

2m v

m m+= 1

1 2

2 2m gh

m m+=

12

2gh

V0 = ωA => 1

22

gh = 25. 0,02 => h = 0,05m = 5cm

Câu 48: Một lò xo nhẹ độ cứng k = 20N/m đặt thẳng đứng, đầu dưới gắn cố định, đầu trên gắn với 1 cái đĩa nhỏ khối lượng M = 600g, một vật nhỏ khối lượng m = 200g được thả rơi từ độ cao h = 20cm so với đĩa, khi vật nhỏ chạm đĩa thì chúng bắt đầu dao động điều hòa, coi va chạm hoàn toàn không đàn hồi. Chọn t = 0 ngay lúc va chạm, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của hệ vật M + m, chiều dương hướng xuống. Phương trình dao động của hệ vật là.

A. 3

x 20 2cos(5t )cm4

π= − B.

3x 10 2cos(5t )cm

4

π= −

C. x 10 2cos(5t )cm4

π= + D. x 20 2cos(5t )cm

4

π= −



Giải:

+ Khi chỉ có đĩa M thì trạng thái cân bằng lò xo nén: 1

Mgl

k∆ =

+ Khi có hệ M + m thì vị trí cân bằng lò xo nén; 2

(M m)gl

k

+∆ =

+ Khi xảy ra va chạm thì hệ M+m đang ở li độ 0 2 1

mgx l l

k= ∆ − ∆ = = 10cm

+ Vận tốc của m ngay trước khi va chạm là: v 2gh= = 2m/s.

+ Bảo toàn động lượng cho hệ hai vật trong thời gian va chạm ta có:

0 0

mvmv (M m)v v

M m= + ⇒ =

+ = 0,5m/s

+ Tần số góc: k

M mω =

+ = 5(rad/s). ⇒ Biên:

22 00

vA x

= + ω

= 10 2 cm.

+ t0 = 0 có: 0

A 2x

2= và v0 > 0(chiều dương hướng xuống) ⇒ ϕ = -

4

π ⇒

πx = 20 2cos(5t - )cm

4

Hạt thóc trong bát cơm em ăn là hạt sạn nhưng là hạt vàng trong thúng thóc của Mẹ em .

CHÚC THÀNH CÔNG !

Documents

Luyện giải bài tập vật lý 12 – Dao động cơ học ương Văn Thanh