m A T A def bxxbbd Rm x A T A T R

Geometria superiore Calcolo sulle varieta/1

PremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessaPremessa

A ⇢ Rm aperto, x 2 A 3

TTDŒÕ << <

spazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangente ad A in x

TxAdef== {v = bbbdxx | x 2 Rm}

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) TxA = TxRm 5 Rm (v $ x� x) spazio vett. di dim m

2) {e1, . . . , em}$ {e1, . . . , em} base canonica di TxA

A0

e1

em

vx

xx x− e1

em

Rm

f : A! B appl. di↵. con A ⇢ Rm e B ⇢ Rn ap., x 2 A e y = f(x)

43 Txf : TxA! TyB applicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangente a f in x

v 7! w = Txf(v)

l lx� x 7! y � y = dxf(x� x) = Jxf · (x� x)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) Txf lineare, TxidA = idTxA, Tx(g a f) = Tyg a Txf

2) Txf isomorfismo , f di↵eo locale intorno a x

3) Jxf matrice di Txf rispetto alle basi canoniche

g : A! R funzione di↵. con A ⇢ Rm aperto, x 2 A

v = ⌃iviei 2 TxA 3

TTDŒÕ << <

derivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a vderivata di g rispetto a v

v g =@g

@v=P

i vi @g

@xi2 R

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) vg R-lineare rispetto a v 2 TxA

2) v (ag + bh) = a (v g) + b (v h) 8 a, b 2 R 8 g, h : A! R di↵.

3) v (g · h) = (v g) · h + g · (v h) 8 g, h : A! R di↵.

v : C1(A)! R derivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazionederivazione (= R-lineare + regola di Leibnitz)

v =@

@v=P

i vi @

@xi

⇣{e1, . . . , em}43

n @

@x1, . . . ,

@

@xm

o⌘


NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) v g $ Txg(v) (mediante l’isomorf. canonico Tg(x)R 5 R)

2) f : A! B applicazione di↵., g : B ! R funzione di↵.

v =P

i vi @

@xi2 TxA, w =

Pj wj @

@yj= Txf(v) 2 TyB

) w g = Tyg(w) = Tyg(Txf(v)) = Tx(g a f)(v) = v (g a f)⇣in coord.

Pj wj @g

@yj=P

i,j vi @yj

@xi

@g

@yj=P

i vi @(g af)

@xi

⌘

A ⇢ Rm aperto, x 2 A

43

TTDŒÕ << <

spazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangente ad A in x

T ⇤x Adef== (TxA)⇤ = {l : TxA! R | l lineare}

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) T ⇤x A = T ⇤x Rm 5 Rm

2) {e1, . . . , em} 3 {e1, . . . , em} base duale (ei(ej) = �ij)

f : A! B appl. di↵. con A ⇢ Rm e B ⇢ Rn ap., x 2 A e y = f(x)

43 T ⇤x f = (Txf)⇤ : T ⇤y B ! T ⇤x A (definita l 7! l a Txf)TTDŒÕ << <

applicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangente a f in x

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) T ⇤x f lineare, T ⇤x idA = idT⇤x A, T ⇤x (g a f) = T ⇤x f a T ⇤y g

2) T ⇤x f isomorfismo , f di↵eo locale intorno a x

3) (Jxf)⇤ matrice di T ⇤x f rispetto alle basi canoniche duali

g : A! R funzione di↵. con A ⇢ Rm aperto, x 2 A

43 dg : TxA! R definita v 7! dg(v)def== v g

TTDŒÕ << <

di↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenziale di g in x

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) dg 2 T ⇤x A (dg e lineare)

2) xi : A! R funzioni coord. ) dxi⇣ @

@xj

⌘=@xi

@xj= �i

j

3 {dx1, . . . , dxm} base duale di T ⇤x A

3) dg =P

i

@g

@xidxi (= di↵erenziale totale di g)

4) dg $ dxg $ Txg (mediante gli isomorf. canonici

TxRm 5 Rm e Tg(x)R 5 R)


Spazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangentiSpazi tangenti

M m-varieta di↵erenziabile, p 2M

TT§—HHHH

curve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabilicurve di↵erenziabili in M uscenti da p

�pMdef== {� : I !M di↵erenziabile | 0 2 I ⇢ R , �(0) = p}

(A,') carta locale di M con p 2 A

43 �' : �pM ! T'(p)Rm 5 Rm

� 7! �'(�) = (' a �)0(0) = T0(' a �)⇣ @@t

⌘

TpMdef== �pM/⇠' spazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangente a M in p

v = [�] 2 TpM vettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangentevettore tangente a M in p (velocita iniziale di �)

RmM

A

It p

0

ϕ

ϕ

(A)

ϕ(p)

σϕ(γ

γ

γ)v = [γ]

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) �' 3 ⌧' = �'/⇠': TpM ! T'(p)Rm biiettiva

3 TpM spazio vettoriale reale t.c. ⌧' : TpM 5 T'(p)Rm

2) TpM e ben definito, cioe non dipende dalla carta (A,')

((B, ) carta con p 2 B ) � (�) = T'(p)( a'�1)(�'(�)))

σϕ σψ τϕ τψ

5Tϕ(p)Rm Tψ(p)R

m

TpMΓp M

5

5 5

Tϕ(p)Rm Tψ(p)R

m

Tϕ(p)(ψ aϕ−1)Tϕ(p)(ψ aϕ−1)

3) (A,') con coord. (x1, . . . , xm) 3 TpM =D @

@x1, . . . ,

@

@xm

E

(B, ) con coord. (y1, . . . , ym) 3 TpM =D @

@y1, . . . ,

@

@ym

E


v = [�]⌧'�! (' a �)0(0) =

Pi vi

x@

@xicon vi

x =@xi

@t

v = [�]⌧ �! ( a �)0(0) =

Pj vj

y@

@yjcon vj

y =@yj

@t

3 vjy =

Pi

@yj

@xivi

x

⇣ @

@yj=P

i

@xi

@yj

@

@xi

⌘

4) M = A ⇢ Rm ap., p = x ) TpM = TxA ([�]$ �0(0))

f : M ! N appl. di↵. con M e N varieta di↵., p 2M , q = f(p)

43

TTDŒÕ << <

applicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangente a f in p

Tpf : TpM ! TqN definita v = [�] 7! w = Tpf(v)def== [f a �]

Rm

M

A

It p

0

ϕ(A)

ϕ(p)

Rn

γ

γ f

N

B

q

f a γ

ψ(B)

ψ(q)

vx wy

ψ

ψ

af a ϕ

ϕ

−1

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) Tpf e ben definita e lineare (wy = T'(p)( a f a '�1)(vx))

2) TpidM = idTpM , Tp(g a f) = Tf(p)g a Tpf , rgp f = rgTpf

3) Tpf isomorfismo , f di↵eo locale intorno a p

4) (A,') con coord. (x1, . . . , xm) 3 TpM = h@/@x1, . . . , @/@xmi(B, ) con coord. (y1, . . . , ym) 3 TqN = h@/@y1, . . . , @/@ymiwj

y =P

i

@yj

@xivi

x (J'(p)( a f a '�1) matrice di Tpf rispetto

alle basi canoniche indotte da ' e )

5) (A,') carta locale di M intorno a p ) Tp' = ⌧'6) M = A ⇢ Rm e N = B ⇢ Rn aperti, p = x ) Tpf = Txf


M varieta di↵erenziabile, v = [�] 2 TpM

43

TT§—HHHH

derivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a vderivazione rispetto a v (R-lineare + regola di Leibnitz)

v : C1(M)! R definita g 7! v g =@g

@v= (g a �)0(0)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) v g $ Tpg(v) (mediante l’isomorf. canonico Tf(p)R 5 R)

2) f : M ! N appl. di↵., g 2 C1(N) ) Tf(v) g = v (g a f)

3) in coord. locali (x1, . . . , xm) si ha: v g =P

i vix@g

@xi

M m-varieta di↵., N ⇢M n-sottovarieta di↵., p 2 N

) TpN ⇢ TpM sottospazio vettoriale ([�]N 2 TpN 3 [�]M 2 TpM)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) i : N ,!M inclusione 3 Tpi : TpN ,! TpM inclusione

2) (A,') carta adattata ) TpN =D @

@x1, . . . ,

@

@xn

E⇢ TpM

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. M m-varieta di↵., N ⇢M n-sottovarieta di↵., p 2 N

1) E : A! Rm�n equaz. loc. reg. di N in A int. ap. di p

) TpN = KerTpE ⇢ TpM (TpE = 0 equaz. di TpN)

2) f : D ! A par. loc. reg. di N , A ⇢ N int. ap. di p = f(x)

) TpN = ImTxf ⇢ TpM (Txf param. di TpN)

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. 1) TpN ⇢ KerTpE ([�] 2 TpN ) E a � = 0 ) TpE([�]) = 0)

E regolare ) dim KerTpE = n ) TpN = KerTpE

2) ImTxf ⇢ TpN ([�] 2 TxD ) f a � ⇢ N ) Txf([�]) 2 TpN)

f regolare ) dim ImTxf = n ) ImTf = TpN

NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: N ⇢ Rm n-sottovarieta di↵erenziabile, x 2 N

TxN ⇢ TxRm sottospazio a�ne di Rm (v = bbbdxx$ x)

E(x) = 0 eq. loc. reg. 3 TxE(x� x) = 0 equaz. cartesiana

x = f(t) par. loc. reg. 3 x� x = Ttf(t� t) equaz. param.

EsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: 1) C curva di↵. regolare in R2, p = (x, y) 2 C

f(x, y) = 0 equazione loc. reg. di C intorno a p

3 f 0x(p)(x� x) + f 0y(p)(y � y) = 0

equazione cartesiana di TpC ⇢ R2


⇢x = x(t)

y = y(t)param. loc. reg. di C intorno a (x, y)

3

⇢x = x + x0(t)(t� t)

y = y + y0(t)(t� t)equaz. param. di TpC ⇢ R2

x

y

C ⊂ R2T(x,y)C p = (x, y)

(fx(p), fy(p)) (x (t), y (t))

2) S superficie di↵. regolare in R3, p = (x, y, z) 2 S

f(x, y, z) = 0 equazione loc. reg. di S intorno a p

3 f 0x(p)(x� x) + f 0y(p)(y � y) + f 0z(p)(z � z) = 0

equazione cartesiana di TpS ⇢ R3

8<:

x = x(t1, t2)

y = y(t1, t2)

z = z(t1, t2)

param. loc. reg. di S intorno a p

3

8<:

x = x + x0t1(t1, t 2)(t1 � t 1) + x0t2(t

1, t 2)(t2 � t 2)

y = y + y0t1(t1, t 2)(t1 � t 1) + y0t2(t

1, t 2)(t2 � t 2)

z = z + z0t1(t1, t 2)(t1 � t 1) + z0t2(t

1, t 2)(t2 � t 2)

equaz. param. di TpS ⇢ R3 0 0 ∂∑HHHHHHH

x

z

y

(f ′x(p), f

′y(p), f

′z(p))

( , , ))

))p (= x, y, z)

TpS

S ⊂ R3

xt1(t 1,t 2) yt1(t 1,t 2) zt1(t 1,t 2

( , ,xt2(t 1,t 2) yt2(t 1,t 2) zt2(t 1,t 2


3) C curva di↵. regolare in R3, p = (x, y, z) 2 C⇢f(x, y, z) = 0

g(x, y, z) = 0equaz. loc. reg. di C intorno a (x, y, z)

3

⇢f 0x(p)(x� x) + f 0y(p)(y � y) + f 0z(p)(z � z) = 0

f 0x(p)(x� x) + f 0y(p)(y � y) + f 0z(p)(z � z) = 0

equazione cartesiana di TpC ⇢ R38<:

x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

param. loc. reg. di C intorno a p

3

8<:

x = x + x0t(t)(t� t)

y = y + y0t(t)(t� t)

z = z + z0t(t)(t� t)

equaz. param. di TpS ⇢ R3

x

z

y pTp gS

Tp fSfS

gS

C = Sf ∩ Sg ⊂ R3

TpC = TpSf ∩ TpSg

f : M ! N applicazione di↵erenziabile

L-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolareL-regolare (o trasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversaletrasversale rispetto a L) con L ⇢ N sottovar. di↵.def() Tpf(TpM) + TqL = TqN per ogni p 2M tale che f(p) = q 2 L

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) se m + ` < n allora f e L-regolare , f(M) \ L = ?2) se m � n allora q 2M val. reg. di f , f e {q}-regolare

M,L ⇢ N sottovarieta di↵erenziabili

trasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalitrasversalidef() l’inclusione iM : M ,! N e L-regolare

() l’inclusione iL : L ,! N e M-regolare

() TpM + TpL = TpN per ogni p 2M \ L

NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: se m + ` < n allora M e L trasversali , M \ L = ?


PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. 1) f : M ! N appl. di↵. L-regolare con L ⇢ N sottovar. di↵.

m + ` � n ) f�1(L) ⇢M (m + `� n)-sottovar. di↵.

2) M,L ⇢ N sottovarieta di↵erenziabili trasversali

m + ` � n ) M \ L ⇢ N (m + `� n)-sottovar. di↵.

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. 1) p 2 f�1(L) 3 (A,') 2 SN carta adattata a L in q = f(p)

3 E = ⇡ a ' af : f�1(A)! Rn�` di↵. regolare

3 equazione loc. regolare per f�1(L) in p

2) segue da 1) con f = iM : M ,! N inclusione

Teorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversaleTeorema di approssimazione trasversale

1) f :M ! N appl. di↵., L ⇢ N sottov. di↵., " : N ! ]0,1[ cont.

) 9 idN 5" h 2 Di↵eoN tale che g = h af e L-regolare

(9H: idN ' h t.c. ht 2 Di↵eoN , d(ht(q), q) < "(q) 8 q 2 N)

2) M,L ⇢ N sottovarieta di↵., " : N ! ]0,1[ continua

) 9 idN 5" h 2 Di↵eoN t.c. M 0 = h(M) e L sono trasversali

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. 1) A = {(Ai,'i)}i�1 famiglia loc. finita di carte speciali di N

adattate a L tali che B = {Bi = '�1i (B(0,1))}i�1 ricopre L

3 Hi : hi�1 5�i hi 2 Di↵eoN con �i(q) = "(h�1i�1(q))/2

i

t.c. hi a f e Li-regolare con Li = L \ (B1 [ . . . [Bi)

hi|N�Ai= hi�1|N�Ai

e Hi|N�Aicostante (omot. rel.)

Rn

Rℓ

Rℓ

0π v

ϕ

Rn−ℓ

N

B(0,1)AiiBi

Lif(M)

gi(Li)

τv( )

(induz. su i � 0 a partire da h0 = idM con A0 = L0 = ?v 2 Rn�` valore regolare per ⇡ a 'i af : f�1(Ai)! Rn�`

3 ⌧v : Rn ! Rn definita ⌧v(x) = x + ⌘(x)v

3 gi 2 Di↵eoN def. gi|Ai= '�1

i a ⌧v a ', gi|M�Ai= idAi

t.c. ('�1i a ⌧tv a')t : idN 5 gi e hi�1 af e gi(Li)-regolare


3 hi = g�1i a hi�1 2 Di↵eoN con le propr. desiderate

se kvk su↵. piccolo per preservare Li�1-regolarita)

3 H : idN 5" h 2 Di↵eoN tale che g = h af e L-regolare

(h = limi!1 hi ben definito perche A localmente finita

H = concat. delle Hi riscalate su [1�1/2i�1,1�1/2i]

per induzione su i � 0 si ha 8 t 2 [1�1/2i�1,1�1/2i]

d(ht(q), q) = d((hi)1�1/2i�1+t/2i(hi�1(q)), q)

< �i(hi�1(q)) + d(hi�1(q), q)

< "(q)/2i+(1�1/2i�1)"(q) = (1�1/2i)"(q))

2) segue da 1) con f = iM : M ,! N inclusione

M varieta di↵erenziabile

43 TM = tp2M TpM spazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangentespazio tangente a M

⌧M : TM !M proiezione definita da ⌧M(TpM) = p 8 p 2MTT§—H

HHH

fibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangentefibrato tangente di M

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) A ⇢ Rm aperto ) TA 5 A⇥Rm (v = bbbdxx$ (x, x� x))

2) (A,') 2 SM carta locale di M 3

T' = tTp' : TA! T'(A) 5 '(A)⇥Rm ⇢ R2m

3) A atlante di↵. di M 3 TA = {(TA, T') | (A,') 2 A}TA atlante di↵. orientato per TM con la top. definita

da: S ⇢ TM aperto , T'(S \ TA) aperto in R2m

((A,') con coord. (x1, . . . , xm) 3 T' : (p, v) 7! (xi, vix)

(B, ) con coord. (y1, . . . , ym) 3 T : (p, v) 7! (yj , vjy)

J(T a T'�1) =

J( a '�1)

@vjy/@xi

0

J( a '�1)

!)

4) TM 2m-varieta di↵. orientata con OTM = O(TSM)

⌧M : TM !M fibrato vettoriale localmente banale

(appl. di↵. regolare t.c. ⌧M |⌧�1M (A) 5 ⇡ : TA 5 A⇥Rm ! A)

5) f : M ! N appl. di↵. (regolare) con M e N varieta di↵.

3 Tf = tp2MTpf : TM ! TN appl. di↵. (regolare)TTDŒÕ << <

applicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangenteapplicazione tangente a f


Teorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di WhitneyTeorema di immersione di Whitney

M m-varieta di↵. compatta (vale per ogni varieta di↵.)

9M ,! R2m+1 immersione di↵erenziabile regolare

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. M ⇢ Rn (teorema di immersione di↵erenziabile)

3 � : M ⇥M ��M ! Sn�1 def. �(p, q) = (p� q)/kp� qk : T1M ! Sn�1 def. (v) = v (applicato nell’origine)

n > 2m + 1 ) Im� e Im hanno di misura nulla in Sn�1

(teorema di Sard con domini di dim 2m)

) 9 v 2 Sn�1 t.c. ⇡v : M ! Rn�1 imm. di↵. reg.

( )

v Sn−1

Sn−2πv

πv

MRn−1

RM ⊂ n

Campi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettoriCampi di vettori


V : M ! TM campo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettoricampo di vettori su Mdef() 1) V (p) = Vp 2 TpM per ogni p 2M

2) V di↵erenziabile ((A,') con coord. (x1, . . . , xm) 3

V|A =P

i vix@

@xicon vi

x : A! R di↵.)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) VM = {V campo vett. su M} e un C1(M)-modulo

(V,W 2 VM , f, g 2 C1(M) 3 fV + gW 2 VM)

2) V campo vett. su M , g : M ! R funzione di↵.

3 V g : M ! R funzione di↵. definita V g(p) = Vp g

3 V : C1(M)! C1(M) derivazione


EsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: V = x@

@x+ y

@

@ye W = � y

@

@x+ x

@

@ycampi di vett. su R2

x

y

V

x

y

W

V,W campi di vettori su M , (A,') con coord. (x1, . . . , xm)

3 V =P

i vi @

@xie W =

Pj wj @

@xjnella carta A

3 V (Wg) =P

i vi @

@xi

⇣Pj wj @g

@xj

⌘=P

i,j vi @wj

@xi

@g

@xj+ viwj @2g

@xi@xj

W (V g) =P

i wi @

@xi

⇣Pj vj @g

@xj

⌘=P

i,j wi @vj

@xi

@g

@xj+ wivj @2g

@xi@xj

V (Wg)�W (V g) =P

j

Pi

⇣vi @wj

@xi� wi @vj

@xi

⌘ @

@xjg

43 [V,W ]def== V W �WV campo di vettori su M

TTDŒÕ << <

parentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lieparentesi di Lie di V e W

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) [V,W ] e ben definito su M (non dipende dalle coord.)

2) [V,W ] R-bilineare e antisimmetrica rispetto a V e W

([V,W ] = �[W,V ] ) [V, V ] = 0 8V,W 2 VM)

3) [fV,W ] = f [V,W ]� (Wf)V 8 f 2 C1(M) 8V,W 2 VM

4) [U, [V,W ]] + [V, [W,U ]] + [W, [U, V ]] = 0 8U, V,W 2 VMTTDŒÕ << <

identita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobiidentita di Jacobi (non associativita)

5) [V,W ]p dipende solo da V e W in un intorno di p 2M

6)h @

@xi,@

@xj

i= 0 8 i, j , ma in generale [V,W ] 6= 0

(V,W dell’esempio 3 [V,W ] = 0 mah V

kV k ,W

kWki6= 0)


f : M ! N applicazione di↵. con M e N varieta di↵.

V 2 VM e W 2 VN f-correlaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelaticorrelatidef() Tpf(Vp) = Wf(p) 8 p 2M

f di↵eo 3 f⇤ : VM ! VN applicazione R-lineare

definita f⇤(V )q = Tpf(Vp) con p = f�1(q) 8 q 2 N

f di↵eo locale 3 f⇤ : VN ! VM applicazione R-lineare

definita f⇤(W )p = Tpf�1(Wf(p)) 8 p 2M

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) f⇤(gV ) = (g a f�1)f⇤(V ) 8 g 2 C1(M) 8V 2 VM

f⇤([V1, V2]) = [f⇤(V1), f⇤(V2)] 8V1, V2 2 VM

2) f⇤(hW ) = (h a f)f⇤(W ) 8h 2 C1(M) 8W 2 VN

f⇤([W1,W2]) = [f⇤(W1), f⇤(W2)] 8W1,W2 2 VN

� : I !M di↵. con I ⇢ R intervallo aperto

curva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integralecurva integrale per V campo di vettori su Mdef() �0(t) = V (�(t)) per ogni t 2 I

NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: (A,') con coord. (x1, . . . , xm)

3 �(t) = (x1(t), . . . , xm(t)) curva integ. per V =P

i vi @

@xi

, dxi

dt= vi(x1(t), . . . , xm(t)) 8 i = 1, . . . ,m

EsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: curve int. per i campi vett. V e W dell’esempio sopra

x

y

V

x

y

W

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. M varieta di↵erenziabile, V campo di vettori su M

8 p 2M 9! �Vp : I !M curva integrale massimale per V

uscente da p (�(0) = p 3 Vp = [�Vp ])


DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. 9! soluzione massimale al problema di Cauchy

dxi/dt = vi(x1, . . . , xm) , xi(0) = xi con i = 1, . . . ,m

) 9! curva integrale massimale localmente (in (A,') 2 A)

) 9! curva massimale globale (raccordo delle soluz. locali)

NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: interpretazione geometrica di [V,W ] come �0(0) = [�]

Wp1

Vp

γVp

γ−Vp2

Wp3

=

γ−Wp3

p3 = p2 = γWp1

p1 =

[V,W ]p

−V

−

p2

)) =γ(t

(t )

γ (0)

1/2(t )1/2

(t1/2

(t )1/2

p

(V = @/@xi , W = @/@xj ) �(t) = p ) [@/@xi, @/@xj] = 0)

Campi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimentiCampi di riferimenti

M m-varieta di↵., (F1, . . . , Fm) campi di vettori su A ⇢M aperto

campo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenticampo di riferimenti su A (o anche riferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento localeriferimento locale per M)def() TpM = hF1(p), . . . , Fm(p)i (base di TpM) 8 p 2 A

NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: (A,') carta locale con coord. (x1, . . . , xm) 3 Fi =P

j f ji

@

@xj

3 (F1, . . . , Fm) campo di riferim. , det(f ji (x)) 6= 0 8x

campo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinaticampo di riferimenti coordinati su Adef() 8 p 2M 9 (B, ) carta locale intorno a p con coord. (x1, . . . , xm)

tale che (F1|B, . . . , Fm|B) =⇣ @

@x1, . . . ,

@

@xm

⌘NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: ogni varieta di↵erenziabile ha campi coordinati locali,

poche hanno campi di riferim. globali (var. parallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabiliparallelizzabili)

per es.: l’unica superficie compatta parallelizzabile e T 2

(coordinate angolari (#1,#2) 3 (@/@#1, @/@#2)),

ma @ campo di vettori ovunque 6= 0 su S2 o Tg>1


EsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempio: V,W dell’esempio sopra

3 (V,W ) campo di riferimenti coord. su R2 � {0}

3

⇣ V

kV k ,W

kWk⌘

campo di rif. non coord. su R2 � {0}

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. M varieta di↵., (F1, . . . , Fm) campo di riferimenti su A ⇢M

campo di riferimenti coord. , [Fi, Fj] = 0 8 i, j = 1, . . . ,m

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. )) [@/@xi, @/@xj] = 0 3 [Fi, Fj] 8 i, j = 1, . . . ,m

() dimostrazione per m = 2 (per m > 2 e analoga)

p 2M 3 �p : I !M curva int. per F1 t.c. �p(0) = p

t 2 I 3 �t : Jt !M curva int. per F2 t.c. �t(0) = �p(t)

3 h : I ⇥ J !M appl. di↵. definita h(x1, x2) = �x1(x2)

x1

x x

M p

2

0

h

I ×Jγp

h(x) = δx1

δx1

(x2)

γp(x1)

Txh(@/@x2) = F2(h(x)) 8x 2 I ⇥ J

T(x1,0)h(@/@x1) = F1(h(x1,0)) 8x1 2 I

) h regolare in 0 3 h|I0⇥J0 di↵eo (teor. funzione inv.)

3 = h�1| : B ! '(B) = I 0 ⇥ J 0 con coord. (x1, . . . , xm)

posto Txh(@/@x1) = a1(h(x))F1(h(x)) + a2(h(x))F2(h(x))

si ha: [a1F1 + a2F2, F2] = 0 , [F1, F2] = 0 ) F2ai = 0

) Txh(@/@x1) = F1(h(x)) 8x 2 I 0 ⇥ J 0

Spazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangentiSpazi cotangenti

M m-varieta di↵erenziabile, p 2M

43

TTDŒÕ << <

spazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangente a M in p

T ⇤p Mdef== (TpM)⇤ = {l : TpM ! R | l lineare}


NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: (A,') con coord. (x1, . . . , xm) 3 T ⇤p M = hdx1, . . . , dxmi(B, ) con coord. (y1, . . . , ym) 3 T ⇤p M = hdy1, . . . , dymi

l = ⌃ilxi dxi = ⌃jlyj dyj con lxi = l

⇣ @

@xi

⌘e lyj = l

⇣ @

@yj

⌘

43 lyj =P

i

@xi

@yjlxi

⇣dyj =

Pi

@yj

@xidxi

⌘

f : M ! N appl. di↵. con M e N varieta di↵., p 2M , q = f(p)

43

TTDŒÕ << <

applicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangenteapplicazione cotangente a f in p

T ⇤p f = (Tpf)⇤ : T ⇤q N ! T ⇤p M definita l 7! k = T ⇤p f(l)def== l a Tpf

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) T ⇤p idM = idT⇤p M , T ⇤p (g a f) = T ⇤p f a T ⇤f(p)g, rgp f = rgT ⇤p f

2) (A,') con coord. (x1, . . . , xm) 3 T ⇤p M = hdx1, . . . , dxmi(B, ) con coord. (y1, . . . , ym) 3 T ⇤q N = hdy1, . . . , dymikx

i =P

j

@yj

@xilyj ((J'(p)( a f a '�1))⇤ matrice di T ⇤p f risp.

alle basi canon. duali indotte da ' e )


43 T ⇤M = tp2M T ⇤p M spazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangentespazio cotangente a M

⌧⇤M : T ⇤M !M proiezione definita da ⌧⇤M(T ⇤p M) = p 8 p 2MTT§—H

HHH

fibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangentefibrato cotangente di M

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) A ⇢ Rm aperto ) T ⇤A 5 A⇥Rm

2) (A,') 2 SM carta locale di M 43

(T ⇤')�1= t(T ⇤p')�1 : T ⇤A! T ⇤'(A) 5 '(A)⇥Rm ⇢ R2m

3) A atlante di↵. di M 3 T ⇤A = {(T ⇤A, (T ⇤')�1) | (A,') 2 A}T ⇤A atlante di↵. orientato per T ⇤M con la top. definita

da: S ⇢ T ⇤M aperto , (T ⇤')�1(S \ T ⇤A) aperto in R2m

((A,') con coord. (x1, . . . , xm) 3 (T ⇤')�1:(p, l) 7! (xi, lxi )

(B, ) con coord. (y1, . . . , ym) 3 (T ⇤ )�1:(p, l) 7! (yj , lyj )

J((T ⇤ )�1 a T ⇤') =

J( a '�1)

@ljy/@xi

0

J(' a �1)⇤

!)

4) T ⇤M 2m-varieta di↵. orientata con OT⇤M = O(T ⇤SM)

⌧⇤M : T ⇤M !M fibrato vettoriale localmente banale

5) f : M ! N appl. di↵. 63 T ⇤f : T ⇤N ! T ⇤M appl. di↵.


g : M ! R funzione di↵., p 2M

43 dpg : TpM ! R definita v 7! dpg(v)def== v g

TTDŒÕ << <

di↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in pdi↵erenziale di g in p

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) dpg 2 T ⇤p M (dg e lineare)

2) in coord. locali (x1, . . . , xm) si ha: dpg =P

i

@g

@xidxi

Forme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenzialiForme di↵erenziali


L : M ! T ⇤M forma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineareforma di↵erenziale lineare su Mdef() 1) L(p) = Lp 2 T ⇤p M per ogni p 2M

2) L di↵erenziabile ((A,') con coord. (x1, . . . , xm) 3

L|A =P

i lxi dxi con lxi : A! R di↵.)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) LM = {L f.d.l. su M} e un C1(M)-modulo

(L,K 2 LM , f, g 2 C1(M) 3 fL + gK 2 LM)

2) L forma di↵. lin. su M , V campo di vettori su M

3 LV : M ! R funzione di↵. definita LV (p) = Lp(Vp)

3) g : M ! R funz. di↵. 3 dg f.d.l. (di↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenzialedi↵erenziale di g)

definita dg(p) = dpg : TpM ! R


43 f⇤ : LN ! LM applicazione R-lineare

definita (f⇤L)p = T ⇤p f(Lf(p)) 8 p 2M

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) f⇤(gL) = (g a f)f⇤(L) 8 g 2 C1(M) 8L 2 LN

2) f di↵eo loc. ) (f⇤L)(f⇤V ) = LV af 8L 2 LN 8V 2 VM

M varieta di↵., p 2M

⇤kpM

def== {� : (TpM)k ! R | � multilineare antisimmetrica}

⇤pMdef== �k�0⇤k

pM algebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmann di M in p

� 2 ⇤kpM , µ 2 ⇤h

pM 3 �^µ 2 ⇤k+hp M prodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esternoprodotto esterno

�^µ(v1, . . . , vk+h)def==

P⇡=(i1,...,ik+h)

i1<...<ik , ik+1<...<ik+h

�(⇡)�(vi1 , . . . , vik)µ(vik+1 , . . . , vik+h)


NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) ⇤0pM 5 R, ⇤1

pM 5 T ⇤p M , ⇤kpM spazio vett. reale 8 k � 0

⇤pM algebra graduata anticomm. (�^µ = (�1)khµ^�)

2) (A,') con coord. (x1, . . . , xm),

I = i1 < . . . < ik , J = j1 < . . . < jk

3 dxI def== dxi1^ . . . ^ dxik ,

@

@xJ=⇣ @

@xj1, . . . ,

@

@xjk

⌘

) dxI⇣ @

@xJ

⌘= �I

J (vale 1 se I = J, 0 altrimenti)

3) (A,') con coord. (x1, . . . , xm) 3 ⇤kpM =

⌦{dxI | |I| = k}

↵(B, ) con coord. (y1, . . . , ym) 3 ⇤k

pM =⌦{dyJ | |J | = k}

↵� =

P|I|=k

�xI dxI =

P|J|=k

�xJdxJ con �x

I = �⇣ @

@xI

⌘,�y

J = �⇣ @

@yJ

⌘

3 �yJ =

P|I|=k

det⇣@xI

@yJ

⌘�x

I

⇣dyJ =

P|I|=k

det⇣@yJ

@xI

⌘dxI⌘

4) dim⇤kpM =

⇣m

k

⌘8 k � 0 3 dim⇤pM = 2m

⇤mp M =

⌦dx1 . . . ^ dxm

↵5 R , ⇤k

pM 5 0 8 k > m

(dx1 . . . ^ dxm(v1, . . . , vm) = det(vji ) = vol. eucl. orient.)

M varieta di↵. 3 ⇤kMdef== [p2M⇤k

pM , ⇤Mdef== [p2M⇤pM

� : M ! ⇤kM k-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenzialek-forma di↵erenziale su Mdef() 1) �(p) = �p 2 ⇤k

pM per ogni p 2M

2) � “di↵erenziabile” ((A,') con coord. (x1, . . . , xm) 3

�|A =P|I|=k

�xI dxI con �x

I : A! R di↵.)

DkMdef== {k-forme di↵erenziabili su M}

DMdef== �k�0DkM algebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmannalgebra di Grassmann di M

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) D0M 5 C1(M) , D1M 5 LM

DkM e un C1(M)-modulo 8 k � 0

(�, µ 2 DkM , f, g 2 C1(M) 3 f�+ gµ 2 DkM)

2) DM algebra graduata anticomm. ((�^µ)pdef== �p ^µp)



3 f⇤ : DkN ! DkM per ogni k � 0, definita dall’uguaglianza

f⇤(�)p(v1, . . . , vk) = �f(p)(Tpf(v1), . . . , Tpf(vk)) 8 p 2M,vi 2 TpM

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) f⇤ : D0N ! D0M coincide con g 7! g af 8 g 2 C1(N)

f⇤ : D1N ! D1M coincide con f⇤ : LN ! LM def. sopra

2) f⇤ e R-lineare e f⇤(�^µ) = f⇤(�)^f⇤(µ) 8�, µ 2 Dk,hN

3) in coordinate locali (x1, . . . , xm) di M e (y1, . . . , yn) di N

� =PJ�y

JdyJ 7! f⇤(�) =PI�x

I dxI con �xI =

PJ

det⇣@yJ

@xI

⌘�y

J

4) (idM)⇤ = idDkM , (g af)⇤ = f⇤ a g⇤

5) i : N ⇢M sottovar. di↵., � 2 DkM 3 �|N = i⇤(�) 2 DkN

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. M varieta di↵., 9 ! d : DM ! DM (di↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esternodi↵erenziale esterno)

t.c.: 1) d appl. R-lineare e d(DkM) ⇢ Dk+1M 8 k � 0

2) d|D0M : D0M ! D1M = di↵erenziale di funzioni

3) d(�^µ) = d�^µ + (�1)k�^dµ 8� 2 DkM , µ 2 DhM

4) d a d = 0

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. Caso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso specialeCaso speciale M = A ⇢ Rm

d : � =P

I �IdxI 7!P

I d�I ^dxI con d�I di↵. di funzione

soddisfa le proprieta 1 e 2 banalmente e anche 3 e 4:

3) d(�^µ) = d(P

I,J �IµJdxI^dxJ) =P

I,J d(�IµJ)^dxI^dxJ

=P

I,J d�I^dxI^µJdxJ + (�1)|I|�IdxI^dµJ^dxJ

= d�^µ + (�1)k�dµ

4) dd�= dd(P

I �IdxI) = d(P

I d�I^dxI) = d(P

I,i

@�I

@xidxi dxI)

=P

I,i d@�I

@xi^dxi dxI =

PI,i,j

@2�I

@xi@xjdxj^dxi dxI = 0

d : DA! DA altra appl. con le stesse proprieta

) ddxi = ddxi = 0 8 i = 1, . . . ,m

) ddxI = d(dxi1^ . . . ^ dxik) = 0 8 I = i1 < . . . < ik) d� = d(

PI �IdxI) =

PI(d�I^dxI + �IddxI) =

PI d�I^dxI


Caso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicitaCaso generale/unicita (se d esiste allora e unico)

d : DM ! DM soddisfa le proprieta 1, . . . ,4

) d e locale, cioe: �|A = µ|A ) (d�)|A = (dµ)|A8�, µ 2 DM 8A ⇢M aperto

(p 2 A 3 A0 intorno aperto di p t.c. A0 ⇢ ClA0 ⇢ A

f 2 C1(M) t.c. f(A0) = 1 e f(M �A) = 0

�|A = µ|A ) f� = fµ ) d(f�) = d(fµ)

) (df ^�+ fd�)p = (df ^µ + fdµ)p ) (d�)p = (dµ)p)

) dA : DA! DA definita (dA�)p = (d(f�))p 8 p 2 A

e ben-definita (non dipende dalla scelta di f)

e soddisfa le proprieta 1, . . . ,4 (sono tutte locali)

) dA unica se A 5 '(A) ⇢ Rm (carta locale)

) d unica ((d�)p = (d(f�))p = dA(�|A)p 8 p 2 (A,'))

Caso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenzaCaso generale/esistenza

(A,') con coord. (x1, . . . , xm) 3 dx : DA! DA

(B, ) con coord. (y1, . . . , ym) 3 dy : DB ! DB

) (dx(�|A))|A\B = dx(�|A\B) = dy(�|A\B) = (dy(�|B))|A\B

3 d : DM ! DM definita (d�)|A = dA(�|A) 8 (A,') 2 SM

e ben definita e soddisfa le proprieta 1, . . . ,4

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. M varieta di↵erenziabile, � 2 LM , V,W 2 VM

) d�(V,W ) = V �(W )�W�(V )� �([V,W ])

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. (A,') carta locale con coord. (x1, . . . , xm)

3 � =P

i �idxi , V =P

j vj @

@xj, W =

Pk wk @

@xk

3 d� =P

i,j

@�i

@xjdxj^dxi , d�(V,W ) =

Pi,j

@�i

@xj(vjwi � viwj)

V �(W ) = VP

i(�iwi) =P

i,j vj @�i

@xjwi + vj�i

@wi

@xj

W�(V ) = WP

i(�ivi) =P

i,j wj @�i

@xjvi + wj�i

@vi

@xj

�([V,W ]) =P

i,j �i

⇣vj @wi

@xj� wj @vi

@xj

⌘


� 2 DkM k-forma di↵. chiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusachiusadef() d� = 0 (cioe � 2 Ker d)

k-forma di↵. esattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattaesattadef() � = dµ (cioe � 2 Im d)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) k-forma di↵. esatta :) k-forma di↵. chiusa

2) f 2 D0M 5 C1(M) chiusa , f localmente costante

3) � 2 D1M 3 �|A =P

i �idxi con (A,') 2 SM

3 d�|A =P

i<j

⇣@�i

@xj� @�j

@xi

⌘dxi dxj

� chiusa , @�j

@xi=@�i

@xj8 i, j = 1, . . . ,m 8 (A,') 2 A

� esatta , 9 f 2 C1(M) t.c. �i =@f

@xi8 i 8 (A,') 2 A

EsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempiEsempi: 1) d# 2 D1S1 e chiusa ma non esatta

(# e ben definita localmente ma non su tutto S1)

2) �y/(x2 + y2)dx + x/(x2 + y2)dy 2 D1(R2 � {0})e chiusa ma non esatta (non si puo estendere a R2)

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) f : M ! N appl. di↵. ) f⇤(d�) = d(f⇤(�)) 8� 2 DkN

2) � 2 DkN chiusa/esatta ) f⇤(�) chiusa/esatta

Lemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di PoincareLemma di Poincare 1 k m , � 2 DkRm chiusa ) esatta

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. m = 1 ) k = 1 ) � 2 D1R chiusa ed esatta

(� = df con f 2 C1(R) definita f(x) =R x0 �)

m > 1 3 �k : DkRm ! Dk�1Rm definita per ogni k � 1

� =P

I �IdxI 7! �k(�) = (�1)k�1P

m2Ib�Idx

bIdove: bf(x) =

R xm

0 f(x1, . . . , xm�1, ⇠)d⇠ , bI = I � {m}

) d(�k(�)) = (�1)k�1P

m2I

Pj /2I

@b�I

@xjdxj^dx

bI + Pm2I

�IdxI

�k+1(d�) = (�1)kP

m2I

Pj /2I

d@�I

@xjdxj^dx

bI+ Pm/2I

�IdxI � µ

con µ = (�1)kP

m/2I

�I(x1, . . . , xm�1,0)dxI

= (�1)k⇡⇤(�|Rm�1)

) d(�k(�)) +�k+1(d�) = �� µ


d� = 0 ) d�|Rm�1 = 0 ) µ = d⌫ (induzione)

) � = d(�k(�)) + d⌫ = d(�k(�) + ⌫)

CorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorol. M varieta di↵., k � 1 , � 2 DkM chiusa , localm. esatta

(8 p 2M 9A ⇢M intorno aperto di p tale che �|A e esatta)

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. p 2M 3 (A,') carta locale speciale intorno a p

� chiusa ) �|A chiusa ) �|A esatta (A 5 Rm)

IntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazioneIntegrazione

C ⇢M chiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibilechiuso ammissibile in M m-varieta di↵.def() 1) C chiuso regolare (cioe C = Cl(IntC))

2) FrC = F1 [ . . . [ Fl con Fi ⇢ C ⇢M chiuso

3) Fi ch. ammissibile in Ni ⇢M (m�1)-sottovar. di↵.

4) IntNiFi \ IntNj Fj = ? per ogni i 6= j

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) per m = 0 ogni C ⇢M e chiuso ammissibile

2) M chiuso ammissibile in se stesso con FrM = ?3) C ⇢M con FrC = N ⇢M (m� 1)-sottovar. di↵.

TT§—HHHH

varieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordovarieta con bordo (localmente 5 Rm, Rm+ )

C ⇢ A ⇢ Rm chiuso ammissibile (in A aperto in Rm)

f : A! R continua con supp(f) ⇢ B = I1 ⇥ . . .⇥ Im

3 ef : B ! R estensione di f|C definita ef(x) = 0 8x 2 B � C

3R

C f(x1, . . . , xm)dx1. . . dxm =R

Im. . .R

I1

ef(x1, . . . , xm)dx1. . . dxm

TTDŒÕ << <

integrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemannintegrale di Riemann di f su C

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1)R

C f dx1. . . dxm e ben definito (non dipende da B)

e si puo cambiare l’ordine d’integrazione (t. di Fubini)

2)R

C(af+bg)dx1. . . dxm = aR

C f dx1. . . dxm + bR

C g dx1. . . dxm

3) f g )R

C f dx1. . . dxm R

C g dx1. . . dxm

4) C1, C2 ⇢ A t.c. C = C1 [ C2 e IntC1 \ IntC2 = ?)R

C f dx1. . . dxm =R

C1f dx1. . . dxm +

RC2

f dx1. . . dxm

5) h : A! A0 di↵eo, C ⇢ A , C0 = h(C) , y = h(x)

)R

C0 f dy1. . . dym =R

C f |det(@yj/@xi)|dx1. . . dxm


M = (M,O) m-varieta di↵erenziabile orientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientataorientata,

C ⇢M chiuso ammissibile, ! 2 DmM con supporto compatto

{(An,'n)} ⇢ O atlante speciale, {fn} partizione dell’unita subord.

3R

C !def==

Pn

R'n(C\An) fn!xdx1. . . dxm integraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegrale di ! su C

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1)R

C ! e ben definito (non dipende da {(An,'n)} e {fn})({(Bn, n)} ⇢ O atl. spec., {gn} partiz. dell’unita subord.

)P

n0R n0 (C\Bn0 )

gn0!ydy1. . . dym

=P

n,n0R n0 (C\An\Bn0 )

fngn0!ydy1. . . dym

=P

n,n0R'n(C\An\Bn0 )

fngn0!y det(@yj/@xi) dx1. . . dxm

=P

n,n0R'n(C\An\Bn0 )

fngn0!xdx1. . . dxm

=P

n

R'n(C\An) fn!xdx1. . . dxm)

2)R

C a! + b!0 = aR

C ! + bR

C !0 8 a, b 2 R 8!,!0 2 DmM

3) C1, C2 ⇢M t.c. C = C1 [ C2 e IntC1 \ IntC2 = ?)R

C ! =R

C1! +

RC2! 8! 2 DmM

4) orientazione opposta �O su M 3 integrali opposti

! 2 DmM forma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volumeforma di volume su M m-varieta di↵.def() !p 6= 0 per ogni p 2M

PropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropPropProp. M varieta di↵., 9 forma di volume su M , M orientabile

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. )) ! 2 DmM forma di volume su M = (M,S)

3 {(A,') 2 S | !x > 0 con x = (x1, . . . , xm) coord. su A}atlante orient. su M (!x,!y > 0 ) det(@yj/@xi) > 0)

() {(An,'n)} atl. orient. su M , {fn} part. dell’unita subord.

3 ! =P

n fn dx1 . . . ^ dxm forma di volume su M

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) {orientazioni su M}$ {forme di vol. su M}/!⇠ f! 8 f>0

2) ! forma di vol. su M (3 orient. su M) 3 misura su M

t.c. mis(C) =R

C ! per ogni C ⇢M compatto ammissibile

3) ! forma di vol. su M 3 C1(M)$ DmM (f $ f !)


M varieta di↵., ! forma di volume su M (3 orient. su M)

3R

C f! 8 f 2 C1(M) con supporto compattoTTDŒÕ << <

integraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegraleintegrale di f su C ⇢ (M,!)

NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: l’integrazione di funzioni in M = (M,!) generalizza

l’integrazione di Riemann in Rm = (Rm, dx1 . . . ^ dxm)

e soddisfa proprieta analoghe a 2 ,3 e 4 viste per questa

M varieta di↵., C chiuso amm. in N ⇢M n-sottovar. di↵. orient.

3R

C �def==

RC �|N =

RC i⇤� 8� 2 DnM con supporto compatto

@Cdef== FrNC = F1[ . . .[Fl con Fi ⇢ Ni (n�1)-sottovar. di↵. di N

orientata in modo che 8 (A,') carta speciale di N

tale che '(A \ C) = Rn+ = {x 2 Rn | xn � 0}

si ha (A \Ni,'|A\Ni) 2 ONi , (A,') 2 (�1)nON

3R@C µ

def==

Pi

RFi

µ 8µ 2 Dn�1M con supporto compatto

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1)R@C µ e ben definito (non dipende da F1, . . . , Fl)

2) orient. opposta su N 3 orient. opposta su ogni Ni

3 integraliR

C � eR@C µ opposti

Teorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di StokesTeorema di Stokes

M varieta di↵., C ch. amm. in N ⇢M n-sottovar. di↵. orient.

)R

C d� =R@C � 8� 2 Dn�1M con supporto compatto

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim. si puo assumere N = M (sostituendo � in M con i⇤� in N)

e C ⇢M varieta con bordo (sostituendo M con M�[iFrNiFi)

T. fond. calcolo integrale ) casi spec. M = Rm e C = Rm, Rm+

{(An,'n)} atlante spec. orient., {fn} part. dell’unita subord.

3R

C d� =P

n

R'n(C\An) fnd� =

Pn

R'n(C\An) d(fn�)

=P

n

R'n(@C\An) fn� =

R@C �

EsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempioEsempio: C ⇢ R2 chiuso amm., f : R2 ! R di↵. con supp. comp.

)Z@C

fdx = �Z

C

@f

@ydxdy e

Z@C

f dy =

ZC

@f

@xdxdy


Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2Calcolo vettoriale in R2

C∞(R2) VR

d d

2 C∞(R2)

D1R2D0R2 D2R2

grad rot

5 51 2

d

VR2 C∞(R2)

D1R2 D2R2

5 5 2

div

1′

grad f = rf =@f

@x

@

@x+@f

@y

@

@y

rotV = r⇥⇣vx @

@x+ vy @

@y

⌘=@vy

@x� @vx

@y

divV = r ·⇣vx @

@x+ vy @

@y

⌘=@vx

@x+@vy

@y

V = vx @

@x+ vy @

@y1 ! vxdx + vydy (t.c. W 7! V ·W )

V = vx @

@x+ vy @

@y10 ! vxdy � vydx (t.c. W 7! !R2(V,W ))

f2 ! f !R2 = f dx^dy

NotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNotaNota: rot(grad f) = 0

CorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorol. C ⇢ R2 arco regolare orientato da p a q

f 2 C1(R2) )R

Chgrad f, T i ds = f(q)� f(p)

DimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDimDim.R

Chgrad f, T i ds =R

C f 0(s) ds =R

C df =R@C f = f(q)� f(p)

CorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorol. C ⇢ R2 chiuso ammissibile compatto

V 2 VR2 )R

C rotV !R2 =R@ChV, T i ds


C rotV !R2 =R

C(@vy/@x� @vx/@y) dx^dy

=R

Cd(vxdx + vydy) =R@C vxdx + vydy =

R@ChV, T i ds


V 2 VR2 )R

C divV !R2 = �R@ChV,Ni ds


C divV !R2 =R

C(@vx/@x + @vy/@y) dx^dy

=R

C d(vxdy � vydx) =R@C vxdy � vydx = �

R@ChV,Ni ds


Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3Calcolo vettoriale in R3

C∞(R3) VR

d d d

3 VR3 C∞(R3)

D1R3D0R3 D2R3 D3R3

grad rot

5 51 2 5 3

div

grad f = rf =@f

@x

@

@x+@f

@y

@

@y+@f

@z

@

@z

rotV = r⇥⇣vx @

@x+ vy @

@y+ vz @

@z

⌘

=⇣@vz

@y� @vy

@z

⌘ @@x�⇣@vz

@x� @vx

@z

⌘ @@y

+⇣@vy

@x� @vx

@y

⌘ @@z

divV = r ·⇣vx @

@x+ vy @

@y+ vz @

@z

⌘=@vx

@x+@vy

@y+@vz

@z

V = vx @

@x+ vy @

@y+ vz @

@z1 ! v1dx1 + v2dx2 + v3dx3

(t.c. W 7! V ·W )

V = vx @

@x+ vy @

@y+ vz @

@z2 ! vxdy^dz � vydx^dz + vzdx^dy

(t.c. (W1,W2) 7! !R3(V,W1,W2))f

3 ! f !R3 = f dx^dy^dz

NoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNoteNote: 1) rot(grad f) = 0 , div(rotV ) = 0

2) V1 ! � , W

1 ! µ ) V ⇥W2 ! � ^ µ

CorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorol. C ⇢ R3 arco regolare orientato da p a q

f 2 C1(R3) )R

Chgrad f, T i ds = f(q)� f(p)


Chgrad f, T i ds =R

Cf 0(s) ds =R

C df =R@C f = f(q)� f(p)

CorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorolCorol. C ⇢ S chiuso ammis. comp. in S ⇢ R3 superf. di↵. orientata

V 2 VR3 )R

ChrotV,Ni dS =R@ChV, T i ds


ChrotV,Ni dS =R

ChrotV,X1 ⇥X2i dt1 dt2

=

ZC

⇣@vy

@x�@vx

@y

⌘dx^dy+

⇣@vz

@x�@vx

@z

⌘dx^dz+

⇣@vz

@y�@vy

@z

⌘dy^dz


=R

C d(vxdx + vydy + vzdz)

=R@C vxdx + vydy + vzdz =

R@ChV, T i ds


V 2 VR3 )R

C divV !R3 =R@ChV,Ni dS


C divV !R3 =R

C(@vx/@x + @vy/@y + @vz/@z) dx^dy^dz

=R

C d(vxdy^dz � vydx^dz + vzdx^dy)

=R@C vxdy^dz � vydx^dz + vzdx^dy

=R@ChV,X1 ⇥X2i dt1 dt2 =

R@ChV,Ni dS

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