M103 : Fondements de l'analyse 2 - Les Maths de Cl©ment Boulonne

Notes de CoursM103 : FONDEMENTS DE L’ANALYSE 2

Clément BOULONNEWeb : http://clementboulonne.new.fr

Mail : [email protected]

Université des Sciences et Technologies de LilleU.F.R de Mathématiques Pures et Appliquées

Licence de Mathématiques — Semestre 2

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Table des matières

1 Polynômes 11.1 Introduction historique et définitions . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Rappels sur la structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Structure d’anneau polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Division polynomiale suivant les puissances décroissantes . . 51.6 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7.2 Détermination des coefficients de la décomposition . . 131.7.3 Partie polaire et théorème de la division suivant les

puissances croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Intégrales de Riemann 212.1 Somme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Méthodes d’intégration par les primitives . . . . . . . . . . . . 302.3 Primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Primitives de fractions rationnelles trigonométriques . . . . . 352.5 Primitives de polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . 362.6 Applications de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6.1 Travail effectué par une force . . . . . . . . . . . . . . . 382.6.2 Longueur d’une trajectoire plane . . . . . . . . . . . . . 382.6.3 Calcul de l’aire d’une surface de révolution . . . . . . . 40

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Développements limités et formules de Taylor 453.1 Introduction sur les développements limités . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.2 Unicité du développement limité . . . . . . . . . . . . . 463.1.3 DL au voisinage d’un point quelconque de R . . . . . . 48

iii

iv TABLE DES MATIÈRES

3.1.4 Théorèmes sur les fonctions réelles . . . . . . . . . . . . 493.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . 523.2.2 Formule de Taylor avec reste lagrangien . . . . . . . . . 523.2.3 Formule de Taylor-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.4 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.5 Formule de Taylor-MacLaurin (cas particulier Taylor-

Young) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Opérations sur les DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.2 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.3 Quotient de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.4 Composition de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.5 Dérivation et intégration de DL . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.1 Recherche d’équivalents en x0 . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.2 Recherche d’un équivalent en +∞ . . . . . . . . . . . . 593.4.3 Calcul de limites, formes indéterminées . . . . . . . . . 603.4.4 Etude locale des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Équations différentielles 674.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 Équation du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.1 Équations à variables séparables . . . . . . . . . . . . . 674.2.2 Équation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Équations différentielles du second ordre . . . . . . . . . . . . 734.3.1 Équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.2 Solutions de l’équation avec second membre . . . . . . 74

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A Formulaires 77A.1 Primitive des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.2 Quelques formules de DL au voisinage de 0 . . . . . . . . . . . 78A.3 Quelques formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . 78

Programme du cours

M103 : Fondements de l’analyse 2 [S2, 5 ECTS]Prérequis : M101 et M102

– (12 h) Polynômes - Fractions rationnelles.Définitions. Anneau des polynômes. Arithmétique (Bezout, Gauss, poly-nômes irréductibles, D’Alembert, factorisation sur Q, R, C). Racines,ordre de multiplicité. Fractions rationnelles. Décomposition en élémentssimples.

– (18 h) Intégrales de Riemann - Calcul d’intégrales.Définition de l’intégrale via les sommes de Riemann pour les fonctionsC 0. Propriétés de base : relation de Chasles, linéarité, inégalité triangu-laire. Applications à la définition de la longueur d’une courbe, du travaileffectué par une force, de l’aire d’une surface de révolution. Théorèmede Newton-Lebniz (ou Théorème fondamental du calcul intégral).Calcul d’intégrales via les primitives avec des applications. Intégrationpar parties et par changement de variables. Primitives de fonctionsrationnelles, de fonctions rationnelles trigonométriques.

– (12 h) Formules de Taylor.Formules de Taylor (de Lagrange, avec reste intégrale), applications.Développements limités, applications.

– (8 h) Équations différentielles.Linéaires du premier ordre et à variables séparées. Linéaires du secondordre à coefficients constants, homogènes et inhomogènes.

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vi PROGRAMME DU COURS

Chapitre 1

Polynômes

1.1 Introduction historique et définitionsLa notion de « polynôme » signifie plusieurs monômes, c’est-à-dire une

expression qui comporte plusieurs inconnues dont on veut trouver leurs va-leurs. La naissance de l’algèbre, qui marque un détachement progressif de lacontrainte géométrique, permet une meilleure compréhension des polynômes.Al-Khawarizimi, dans son ouvrage Abrégé du calcul par la restauration et lacomparaison, décrit et résout les six équations canoniques 1 du second degréainsi que les méthodes pour s’y ramener. Il y détermine X comme la racinedu polynôme et X2 son carré. Les lettres a, b et c sont connus et deviendrontdes « variables » au XVIIIe siècle.

Définition 1.1 (Définition fonctionelle des polynômes). Un polynôme sur unanneau commutatif K est une fonction de type :

P : K → KX 7→ α0 + α1X + · · ·+ anX

n.

ou encore (une notation un peu plus abrégée) :

P : K → K

X 7→n∑i=0

αiXi .

On appelle X la variable du polynôme P et αi ∈ K les coefficients du polynôme.

Définition 1.2 (Définition générale des polynômes). Soit K un anneau com-mutatif unitaire (à élément unité). On appelle polynôme à une variable à

1. qui sont aX2 = c, aX2 = bc, aX = c, aX2+bX = c, aX2+c, aX2+c = bX, bX+c = aX2.

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2 CHAPITRE 1. POLYNÔMES

coefficients dans K, une suite (αk)k∈N d’éléments dans K, nulle à partir d’uncertain rang. Le coefficient α0 est appelé terme constant et les αi, pour i ∈ N,sont nommés les coefficients du polynôme. On notera K[X] l’ensemble despolynômes à une variable X et à coefficients dans K.

Dans la section suivante, nous allons faire un rappel sur les notionsd’anneaux.

1.2 Rappels sur la structure d’anneauDéfinition 1.3 (Anneau). Soit A un ensemble. On dit que A est un anneaus’il est muni de deux lois de composition interne.

– Une loi additive notée + qui est associative, commutative, possède unélément neutre (qu’on note « 0 ») et chaque élément de A possède uninverse pour +. Si on montre ces quatre propriétés, on montre que (A,+)est un groupe abélien.

– Une loi multiplicarive notée × qui est associative, c’est-à-dire :

∀x, y, z ∈ A, x(yz) = (xy)z,

et distributive, c’est-à-dire :

∀x, y, z ∈ A, x× (y + z) = xy + xz.

Si cette loi est commutative, on dit que l’anneau est commutatif et si A possèdeun élément unité pour la mulitiplication, on dit que A est unitaire.

Définition 1.4 (Sous-anneau). Soient A un anneau et B un sous-ensemble deA. On dit que B est un sous-anneau de A si :

1. B est un sous-groupe de A pour l’addition,2. Pour tout x, y ∈ B, x× y ∈ B.

Définition 1.5 (Homomorphisme d’anneau). Soient A un anneau et f : A→ Aune application. On dit que f est un homorphisme d’anneau si c’est uneapplication linéaire vérifiant des propriétés de transport :

– f(x+ y) = f(x) + f(y), pour tout x, y ∈ A.– f(xy) = f(x)f(y), pour tout x, y ∈ A.

Définition 1.6 (Anneau intègre). Soit A un anneau. On dit que A est intégresi

– A est un anneau commutatif,

1.3. STRUCTURE D’ANNEAU POLYNOMIALE 3

– A possède un élément neutre pour la multiplication (qui est différent del’élément neutre pour l’addition),

– Si x, y ∈ A tels que x 6= 0 et y 6= 0 alors x · y 6= 0.

Définition 1.7 (Idéal). B est un idéal d’un anneau A si :– B ⊂ A,– B est un sous-groupe additif de A,– Si x ∈ B alors, pour tout x ∈ A, x · y ∈ B (cette propriété est l’absorbance

de A dans B).

1.3 Structure d’anneau polynomialeDéfinition 1.8 (Addition polynomiale). Soient P = (α0, α1, . . .) etQ = (β0, β1, . . .)deux polynômes. On définit l’addition polynomiale par

P +Q = (α0 + β0, α1 + β1, . . .).

Définition 1.9 (Multiplication polynomiale). Soient P = (α0, α1, . . .) et Q =(β0, β1, . . .) on définit alors la multiplication polynomiale par :

P ·Q = (ρ0, ρ1, ρ2, . . .)

avec

ρ0 = α0β0,

ρ1 = α1β0 + α0β1

ρ2 = α2β0 + α1β1 + α0β2

· · · · · ·

ρn = α0βn + α1βn−1 + · · ·+ αpβn−p + · · ·+ αnβ0 =∑i+j=n

αiβj.

Proposition 1.10. Soient P = (α0, α1, . . .) et Q = (β0, β1, . . .). Si les αi s’an-nulent à partir d’un certain rang N et βj s’annulent à partir d’un certain rangP alors ρn s’annule à partir du rang N + P .

Démonstration. On suppose que αi = 0 pour tout i ≥ N et βj = 0 pour toutj ≥ P . Dans ρN+P , chaque αiβj sera nul car soit i ≥ N ou j ≥ P . D’où chaqueterme dans la somme de ρN+P sera nul.

Si α ∈ K, on note α = (α, 0, 0, . . .) et on peut vérifier, en exercice, que :

f : K → K[X]α 7→ α


est un homomorphsime injecitve. Ainsi K devient un sous-anneau de l’anneaupolynomiale K[X] et comme 1 ∈ K, f(1) = 1 = (1, 0, 0, . . .) est l’élément neutredu produit

Définition 1.11 (Écriture usuelle des polynômes). On note le polynôme racineX = (0, 1, 0, 0, . . .). Donc :

X2 = (0, 1, 0, 0, . . .)

· · · · · ·Xn = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .)

où le 1 est la (n+ 1)e coordonnée de la suite

αnXn = (0, 0, . . . , 0, αn, 0, . . .)

où le αn est la (n+ 1)e coordonnée de la suite

.

D’où, si P est un polynôme qui s’écrit de la manière suivante :

α0 + α1X + α2X2 + α3X

3 + · · ·

alors il s’écrit comme une suite (α0, α1, α2, α3, . . .).

1.4 Degré d’un polynômeDéfinition 1.12 (Degré d’un polynôme). Soit P ∈ K[X] tel que P =

∑ki=0 αiX

i.On appelle degré du polynôme P , le plus grand entier n tel que αn 6= 0. Cetentier existe sauf si P = 0, on dit, dans ce cas, que le polynôme P est de degré0.

Définition 1.13 (Coefficient dominant et polynôme unitaire). Soit P ∈ K[X]tel que son degré soit n. Si αn 6= 0 alors αn est le coefficient dominant dupolynôme P et si le coefficient dominant de P est égal à 1 alors P est unpolynôme unitaire.

Exemple 1.14. X3 + 3X + 2 est un polynôme unitaire de degré 2 car soncoefficient dominant est 1.

Remarque 1.15. « degP ≤ n signifie soit que P est de degré inférieur ouégale à n ou P est un polynôme nul.

1.5. DIVISION POLYNOMIALE SUIVANT LES PUISSANCES DÉCROISSANTES5

Proposition 1.16. Soient K un anneau commutatif et unitaire et P et Q deuxpolynômes dans K[X]. On note degP (resp. degQ) le degré du polynôme P(resp. du polynôme Q). On a toujours :

deg(P +Q) ≤ sup(degP + degQ).

Proposition 1.17. Si K est un anneau intégre alors K[X] est un anneauintégre.

Théorème 1.18. Soient K un anneau commutatif et unitaire et P,Q ∈ K[X]tels que P 6= 0 et Q 6= 0 alors la règle des degrés est la suivante :

deg(P ·Q) ≤ degP + degQ

avec égalité si et seulement si K est intègre (en vertu de la proposition 1.17, siK[X] est intègre).

Démonstration. 1 est élément unité de K[X] différent de 0 (élément neutrede l’addition). Soient

P (X) = α0 + α1X + · · ·+ αnXn,

Q(X) = β0 + β1X + · · ·+ βpXp

avec αn 6= 0 et βn 6= 0. D’où :

P ·Q(X) = α0β0 + (α0β1 + α1β0)X + · · ·+ αnβpXn+p (1.1)

avec αnβp 6= 0 car K est intègre. On a donc P · Q 6= 0 et K[X] est intègre.D’après (1.1), degP ·Q = degP + degQ.

1.5 Division polynomiale suivant les puissancesdécroissantes

On suppose que K est un corps.

Théorème 1.19 (Division euclidienne). Soient A et B des éléments deKk[X]tels que B 6= 0. Alors il existe Q et R appartenant à K[X] tels que

A = B ×Q+R

avec deg(R) < deg(P ). On appelle Q (resp. R) le quotient (resp. le reste) de ladivision de A par B.


Proposition 1.20 (Divisibilité des polynômes). 1. Si λ ∈ K tel que λ 6= 0alors λ divise tout polynôme de A de K[X] car :

A = λ

(1

λA

).

2. Soient A,B ∈ K[X] tels que B 6= 0 et A | B alors degA ≤ degB et sidegA = degB alors il existe λ ∈ K avec λ 6= 0 tel que B = λ · A.

3. Si A | B et B | A alors B = λA avec λ ∈ K et λ 6= 0. Dans ce cas, on direque A et B sont des polynômes associés.

4. Dans les problèmes de divisibilité, deux polynômes associés jouent lemême rôle. En particulier, à tout polynôme différent de 0, on peut associerun polynôme unitaire.

Lemme 1.21. Si I est un idéal de K[X] alors :(i) Il existe P ∈ K[X] tel que I est l’ensemble des multiples P .

(ii) P est déterminé de manière unique à multiplication près par une constantedifférente de 0.

Démonstration. (i) Si I = 0 alors le lemme 1.21 est évident car I = 0×P ,pour tout P ∈ K[X]. Supposons que I 6= 0 alors on considère P ∈ Itels que P 6= 0 et P ayant le plus petit degré possible. Tout multiplede P appartient à I car I est un idéal de K[X]. Donc tous les multiplesde P sont inclus dans I. Inversement, soit A ∈ I alors A ∈ K[X]. Donc,d’après le théorème 1.19, on peut appliquer la divbision euclidienneà A. Il existe donc Q,R appartenant à K[X] tels que A = PQ + R etdegP < degP . Or A et P appartiennent à I donc P · Q ∈ I (car I estun idéal) et A− PQ ∈ I. D’où R ∈ I. Or, deg(R) < deg(P ) et P est celuiqui a le plus petit degré possible. On aboutit donc à une contradiction,c’est-à-dire R = 0.

(ii) Comme A = PQ, tout élément de A est un multiple de P .

Remarque 1.22. Si λ 6= 0 alors I est l’ensemble des multiples de λ · P car siA ∈ I et A = Q · P alors

A =

(1

λQ

)· (λP ) = Q′P ′.

Tout polynôme associé engendre I. Inversement, si I est l’ensemble desmultiples de P mais aussi, l’ensemble des multiples de P ′ alors P et P ′ sedivise l’un l’autre.

1.5. DIVISION POLYNOMIALE SUIVANT LES PUISSANCES DÉCROISSANTES7

Théorème 1.23 (PGCD). (i) Il existe un élément D de K[X] tel que lesdiviseurs comuns à A et à B sont les diviseurs de D.

(ii) D est déterminé d’une manière unique par (1.1) à une constante multi-plicative près.

(iii) Si A et B ne sont pas tous les deux non nuls, degD majore le degré detout diviseur de A et de B.

(iv) On a la formule de Bézout : il existe U, V ∈ K[X] tels que AU +BV = D.

Démonstration. Soit I un sous-ensemble de K[X] qui est l’ensemble quis’écrient sous la forme AP + BQ avec P,Q ∈ K[X]. I est alors un idéal deK[X]. Donc, d’après le lemme 1.21, puisque I est un idéal, il existe D ∈ K[X]tel que I l’ensemble des multiples de D. Donc, pour tout élément de la formeAP +BQ, il existe R tel que AP +BQ = RD.

– Si P = 1 et Q = 0 alors A = R1D, d’où D | A.– Si P = 0 et Q = 1 alors B = R2D, d’où D | B.

De plus, on a les équivalences suivantes :(i) Pour tout H ∈ K[X], H | A et H | B.

(ii) Pour tout H ∈ K[X], H | AP + BQ, pour des polynômes P et Q dansK[X].

(iii) Pour tout H ∈ K[X], H | C et ceci pour tout C ∈ I.(iv) Pour tout H ∈ K[X], H | D où D = PGCD(A,B).

Remarques 1.24 (Méthodes de calcul). Soient A,B ∈ K[X].1. Si on veut calculer le PGCD(A,B), cela sous-entend que degA ≥ degB.

Si B = 0 alors les diviseurs communs de A et de B sont les diviseursde A et ainsi PGCD(A,B) = A. Si B 6= 0 alors A = BQ + R1 avecdegR1 < degB. Si P | A et P | B alors on utilise le théorème 1.19. SiP | A et si P | BQ alors P | A − BQ et P | R1. Comme P | B et P |R1 alors PGCD(A,B) = PGCD(B,R1) (c’est l’algorithme d’Euclide). SiR1 = 0 alors PGCD(B, 0) = B. Si R1 6= 0 alors il existe Q1 et R2 tels queB = Q1R1 +R2 avec degR2 < degR1. Comme (degB, degRk)k∈N∗ est unesuite décroissante d’entiers naturels, par la méthode de descente finie,on finira par arriver à un moment où Rn+1 = 0. Donc : PGCD(A,B) =PGCD(Rn, Rn+1) = Rn.

2. On cherche à déterminer U et V associés àD = PGCD(A,B). On supposeque degB < degA, donc il existe Q,R1 ∈ K[X] tels que :

A = BQ+R1. (1.2)


Si R1 6= 0, il existe Q1, R2 ∈ K[X] tels que :

B = Q1R1 +R2. (1.3)

Si R2 6= 0, il existe Q2, R3 ∈ K[X] tels que :

R1 = R2Q2 +R3.

Si R3 = 0 (par exemple), R1 = R2Q2. Donc :

PGCD(A,B) = PGCD(B,R1) = PGCD(R1, R2) = PGCD(R2, R3)

car R3 = 0. On a alors :

R2 = B −R1Q1 (d’après (1.3))= B − (A−BQ)Q1 (d’après (1.2))

= −AQ1 + 1(QQ1)B.

Si on pose U = Q1 et V = 1 +QQ1, on obtient R2 = AU +BV .

Théorème 1.25. Soient A,B, P ∈ K[X]. D = PGCD(A,B) si et seulement siDP = PGCD(AP,BP ).

Démonstration. (⇒) Si D | A et D | B alors DP | AP et DP | BP .(⇐) Si Q | AP et Q | BP alors il existe U et V tels que Q | APU + BPV .

Donc Q | DP car d’après le théorème de Bézout, il existe U, V ∈ K[X]tels que AU +BV = D.

Théorème 1.26. Soient Q,A,B ∈ K[X] tels que Q | A et Q | B avec Q 6= 0.On suppose qu’il existe A1, B1 ∈ K[X] tels que A = A1Q et B = B1Q. SiD = PGCD(A,B) alors Q | D et D = D1Q et D1 = PGCD(A1, B1).

Démonstration. Supposons que D′1 = PGCD(A1, B1). Donc, d’après le théo-rème 1.25, on a :

D′1Q = PGCD(A1Q,B1Q).

D’où : D′1Q = PGCD(A,B) = D.

Théorème 1.27 (Généralisation de la formule de Bézout). Soient A,B,C ∈K[X]. Alors D = PGCD(A,B,C) vérifie la formule de Bézout, c’est-à-dire ilexiste U, V,W ∈ K[X] tels que AU +BV + CW = D.

1.6. POLYNÔMES IRRÉDUCTIBLES 9

Définition 1.28 (Polynômes premiers entre eux). Soient A,B ∈ K[X]. On ditque A et B sont premiers entre eux si PGCD(A,B) = 1.

Lemme 1.29 (Lemme de Gauss). Soient A,B,C ∈ K[X]. Si A | BC et si A etB sont premier entre eux alors A | C.

Théorème 1.30. Soient A un polynôme et (Bk)1≤k≤n une suite de polynômes.Si, pour tout 1 ≤ i ≤ n, PGCD(A,Bi) = 1 alors :

PGCD

(A,

n∏k=0

Bk

)= 1.

Démonstration dans le cas n = 2. Si PGCD(A,B1) = PGCD(A,B2) = 1 alorsil existe U1, V1 ∈ K[X] tels que :

AU1 +B1V1 = 1. (1.4)

et il existe U2, V2 ∈ K[X] tels que :

AU2 +B2V2 = 1. (1.5)

En faisant la multiplication de (1.4) et (1.5), on obtient :

(AU1+B1V1)(AU2+B2V2) = 1⇔ A(AU1U2+B1V1U2+U1B2V2)+B1B2(V1V2) = 1.

D’où PGCD(A,B1B2) = 1.

1.6 Polynômes irréductiblesDéfinition 1.31 (Polynôme irréductible). Soit P ∈ K[X]. On dit que P est unpolynôme irréductible si degP ≥ 1 et si tout diviseur de P est associé à P ou à1.

Remarque 1.32. On montre que ces polynômes jouent le même rôle que lesnombres premiers pour les entiers.

Exemples 1.33. 1. Tout polynôme de degré 1 est iréductible.2. X2 + 1 comme élément de R[X] est irréductible. Supposons que X2 + 1

est réductible, cela veut dire qu’il possède un diviseur forcément dedegré 1. On pourra écrire X2 + 1 = (X + a)(X + a′). En développant eten identifiant, on trouve :

a = −aa2 = −1


Or, a2 = −1 n’admet pas de solutions dans R donc le polynôme X2 +1 estirréductible dans R[X]. Par contre, le polynôme X2 + 1 comme élémentde C[X] n’est pas irréductible car :

X2 + 1 = (X − i)(X + i).

3. X2 − 2 comme élément de R[X] n’est pas irréductible car

X2 − 2 = (X +√

2)(X −√

2)

et ±√

2 ∈ R. Mais X2− 2 est irréductible dans l’anneau Q[X] car ±√

2 /∈Q.

Remarque 1.34. Soient P,Q ∈ K[X] tels que Q est irréductible. Alors Q estpremier avec P ou Q divise P car si Q n’est pas premier avec P alors il existeun diviseur commun de P et de Q (qu’on notera R) avec R | P et P | Q et Rest différente d’une constante. Mais Q étant irréductible, R est donc associéà Q.

Conséquence 1.35. Si P etQ sont tous deux irréductibles alors PGCD(P,Q) =1 ou P et Q sont des polynômes associés. Si P et Q sont irréductibles, distinctset unitaires alors PGCD(P,Q) = 1.

Définition 1.36 (Décomposition des polynômes). Soient P un polynôme nonnul dans K[X] et (Pi)i∈I une famille de polynômes unitaires et irréductibles,c’est-à-dire que pour tout i 6= j, on a : PGCD(Pi, Pj) (cette famille est, engénéral, infinie). Alors :

P = λ∏i∈I

Pαii

avec λ ∈ K et αi ∈ N nuls à partir d’un certain rang.

Théorème 1.37. Soient P = λ∏

i∈I Pαii et Q = µ

∏i∈I P

βii avec λ, µ ∈ K et

αi, βi ∈ N∗. Alors P | Q si et seulement si, pour tout i ∈ I, αi ≤ βi.

Définition 1.38 (Fonction polynômiale). Soit P = (α0, α1, . . . , αn) ∈ K[X], onlui associe la fonction polynômiale :

X 7→ P (X) = α0 + α1X + · · ·+ αnXn.

Définition 1.39 (Racine). Soit P ∈ K[X] et ρ ∈ K. On dit que ρ est racine ouzéro si P (ρ) = 0.

Théorème 1.40. Soient P ∈ K[X] et ρ ∈ K alors ρ est une racine de P si etseulement si (X − ρ) | P .

1.6. POLYNÔMES IRRÉDUCTIBLES 11

Démonstration. (⇐) On suppose que (X − ρ) | P alors il existe Q ∈ K[X]tel que P (X) = (X − ρ)Q(X), d’où P (ρ) = (ρ− ρ)Q(ρ) = 0 et ainsi ρ estune racine de P .

(⇒) Si ρ est une racine de P alors P (ρ) = 0. On effectue la divisioneuclidienne de P par (X − ρ). Il existe Q et R des polynômes de K[X]tels que

P (X) = (X − ρ)Q(X) +R(X)

avec deg(R(X)) ≤ 1. D’où R est réduite à une constante λ ∈ K et

P (ρ) = (ρ− ρ)Q(ρ) + λ

, c’est-à-dire λ = 0, d’où (X − ρ) | P .

Théorème 1.41. Soient P un polynôme dans K[X], ρ ∈ K et h ∈ N∗. Alorsles assertions suivantes sont équivalentes :

(i) (X − ρ)h | P et (X − ρ)h+1 - P ,(ii) P s’écrit sous la forme :

P = (X − ρ)hQ(X) avec Q(ρ) = 0.

Démonstration. ((i)⇒ (ii)) On va montrer la contraposée, c’est-à-dire(¬(ii)) ⇒ (¬(i)). Si Q(ρ) = 0 alors il existe un polynôme Q1 tel queQ(X) = (X − ρ)Q1(X). Or, d’après (ii), P doit s’écrit :

P = (X − ρ)hQ(X) = (X − ρ)h+1Q1,

ce qui implique que (X + ρ)h+1 | P , ce qui est contraire à (i).((ii)⇒ (i)) P est de la forme P = (X − ρ)hQ(X), ce qui implique que

(X − ρ)h | P . Si (X − ρ)h+1 divise ρ alors on aura (X − ρ)h+1Q1(X). Donc :

Q = (X − ρ)Q1(X)⇒ Q(ρ) = 0,

ce qui est contraire à (ii).

Définition 1.42 (Ordre d’une racine). Soient P un polynôme dans K[X],ρ ∈ K et h ∈ N∗. Si (X − ρ)h | P et (X − ρ)h+1 - P alors ρ est une racine d’ordreh de P . On dit que ρ est une racine simple si ρ est une racine d’ordre 1. On ditque ρ est une racine double si ρ est une racine d’ordre 2. On dit que ρ est uneracine multiple si ρ est une racine d’ordre n.


Théorème 1.43. Soit P ∈ K[X]. Si ρ1, ρ2 . . . , ρp sont des racines distincts deP , d’ordre respective h1, h2, . . . , hp alors :

P (X) = (X − ρ1)h1(X − ρ2)h2 · · · (X − ρp)hpQ(X)

avec Q(ρi) 6= 0, pour tout 1 ≤ i ≤ p.

Corollaire 1.44. Si n est le degré de P alors P possède au plus n racines car :

P (X) = (X − ρ1)h1 · · · (X − ρp)hpQ(X)

et on sait que degP = n = h1 + h2 + · · ·+ hp + degQ.

Théorème 1.45 (Théorème de D’Alembert-Gauss). Tout polynôme dans K[X]admet au moins une racine.

Théorème 1.46 (Théorème fondamental des polynômes). Pour tout P ∈ C[X],si degP = n alors P a exactement n racines réels ou complexes, distinctes ouconfondues. P s’écrit alors :

P (X) = ρ(X − α1)k1(X − α2)k2 · · · (X − αp)kp ,

avec∑p

q=1 kq = n.

1.7 Fractions rationnelles

1.7.1 DéfinitionsDéfinition 1.47 (Fraction rationnelle). Une fraction rationnelle est une ex-pression de la forme P (X)

Q(X)avec P et Q deux polynômes dans K[X].

Définition 1.48 (Élément simple). On appelle élément simple sur R, unefraction rationelle de l’un des deux types suivantes :

1. les éléments de première espèce :

a

(x− α)k, avec a, α ∈ R et k ∈ N∗,

2. les éléments de seconde espèce :

ax+ b

(x2 + px+ q)n, avec a, b, p, q ∈ R, n ∈ N∗ et p2 − 4q < 0.

1.7. FRACTIONS RATIONNELLES 13

Théorème 1.49. Si AB

est une fraction rationnelle (on suppose alors degA ≥degB) et B de la forme :

B = λ(x− ρ)h · · · (x− ρ)k

avec ρ, . . . , σ des racines du polynôme B deux à deux distincts alors il existeune décomposition unique de A

Bsous la forme suivante :

A

B= E(X) +

[λh

(x− ρ)h+ · · ·+ λ1

(x− ρ)

]+ [· · ·] +

[µk

(x− σ)k+ · · ·+ µ1

(x− σ).

]On appelle E la partie principale de la décomposition. Si degA ≥ degB alorsE 6= 0 s’obtient par la division euclidienne de A par B, c’est-à-dire :

A = EB +R⇒ A

B= E +

R

B.

1.7.2 Détermination des coefficients de la décompositionPremier cas

On s’intéresse au cas où :

A

B=

A(x)

(x− α)(x− β)

avecA(x) = px+q. On développe deux méthodes pour obtenir la décompositiondu théorème 1.49 :

A(x)

(x− α)(x− β)=

a

(x− α)+

b

(x− β). (1.6)

Proposition 1.50 (Méthode de « réduction au même dénominateur). Onmultiple (1.6) par (x− α)(x− β) et on obtient :

A(x) = a(x− β) + b(x− α) = (a+ b)x+ aβ + bα.

Or A(x) = px+ q, d’où la résolution de ce système d’équations :a+ b = p

aβ + bα = q

d’inconnues a et b.


Proposition 1.51. Comme A(x) = px+ q, (1.6) se réécrit :

px+ q

(x− α)(x− β)=

a

x− α+

b

x− β. (1.7)

On multiplie (1.7) par (x− α) et on obtient :

px+ q

x− β· x− αx− α

= a+b(x− α)

(x− β).

On pose maintenant x = α et on peut déterminer a :

a =pα + q

α− β.

La détermination de b se fait de la même manière : on multiple (1.7) par(x− β) :

px+ q

x− α· x− βx− β

=a(x− β)

x− α+ b

et :b =

pβ + q

β − α.

Exemple 1.52.

x+ 2

(x− 4)(x+ 1)=

6

5·(

1

x− 4− 1

5(x+ 1)

).

Deuxième cas

Le cas suivant est celle où :A

B=

px+ q

(x− α)2(1.8)

qu’on peut décomposer de la manière suivante :

A

B=

a

(x− α)2+

b

(x− α)(1.9)

On veut chercher a et b dans la décomposition (1.9) et pour cela :1. On multiplie (1.8) et (1.9) par (x− α)2 :

(px+ q) · (x− α)2

(x− α)2= a+ b(x− α) (1.10)

et on évalue (1.10) en x = α. On obtient donc a = pα + q.


2. On multiplie (1.8) et (1.9) par x :

x(px+ q)

(x− α)2=

ax

(x− α)2+

bx

x− α(1.11)

Dans (1.11), on fait tendre x vers l’infini. Le terme ax(x−α)2

tend vers0, celui de bx

x−α tend vers b et si on développe le terme du membre degauche, on obtient :

px2 + qx

x2 − 2αx+ α2→ p quand x→ +∞.

Exemple 1.53.−3x+ 1

(x+ 1)2= − 2

(x+ 1)2+

3

x+ 1.

Troisième cas

Dans ce dernier cas, on s’interesse à la décomposition :

A

B=

3x2 − 7

(x− 2)3=

a

(x− 2)3+

b

(x− 2)2+

c

(x− 2). (1.12)

Pour trouver a, b et c dans (1.12), on peut :

1. multiplier (1.12) par (x− 2)3

3x2 − 7 = a+ b(x− 2) + c(x− 2)2

et on évalue l’expression en x = 2.

3× 4− 7 = a⇒ a = 5.

2. multiplier (1.12) par x

x(3x2 + 7)

(x− 2)3=

ax

(x− 2)3+

bx

(x− 2)2+

cx

x− 2

et on fait tendre x vers l’infini pour déterminer 2 c = 3.

3. donner des valeurs particulières pour x dans (1.12) (x = 0 ou x = 2). Ici,on peut prendre x = 0 pour trouver b = 12.

2. car ax(x−2)3 → 0 et bx

(x−2)2 → 0.


1.7.3 Partie polaire et théorème de la division suivantles puissances croissantes

Définition 1.54 (Partie polaire). Chaque décomposition d’une fraction ra-tionnelle associée à la racine est dite partie polaire associée au pôle α.

Exemple 1.55. La fraction rationnelle x2+2x3(x−1)

admet comme décomposition :

3

x− 1+

(−2

x− 2

x2− 2

x3

).

Cette décomposition a deux parties polaires :– 3

x−1est celle asociée à α = 1,

– − 2x3− 2

x2− 2

xest celle associée à β = 0.

Théorème 1.56 (Théorème de la division suivant les puissances croissantes).Soient A et B deux polynômes dans K[X] tels que B(0) 6= 0. Alors, pour toutn ∈ N, il existe deux uniques polynômes Qn et Rn dans K[X] tels que

A = BQn +Xn+1Rn avec degQn ≤ n.

Démonstration. Unicité Supposons que la division n’est pas unique doncque A se décompose de deux manières différentes :

A = BQn +Xn+1Rn, (1.13)A = bQ′N + xn+1R′n. (1.14)

On fait la différence de (1.13) avec (1.14) et on pose P = Qn − Q′n etS = Rn −R′n :

0 = B(Qn −Q′n) +Xn+1(Rn −R′n)⇒ 0 = BP +Xn+1S ⇒ BP = −Xn+1S.

Donc Xn+1 | BP mais Xn+1 est premier avec B (car B(0) 6= 0), ce quiimplique que

B = b0 + b1X + · · ·+ bqXq.

D’après le lemme 1.29 de Gauss, Xn+1 | P . Mais degP = deg(Qn−Q′n) ≤n. Ceci est imposible donc P = 0. Cela entraîne que S = 0 et :

Qn = Q′n, Rn = R′n.

Existence On fait une démonstration par récurrence, on pose :

Pn : « il existe deux polynômes uniques Qn, Rn dans K[X]

tels que A = BQn +Xn+1 avec degQn ≤ n ».


Initialisation On veut démontrer P0. Soit Q0 = A(0)B(0)

, on a :

A−BQ0 = A−B · A(0)

B(0)= A−B · a0

b0

= (a0 + a1X + ·+ apXp)− a0

b0

· (b0 + b1X + · · · bqXq)

= (a1X + · · ·+ apXp)− (b1X + · · ·+ bqX

q)

= XR0

D’où, on obtient la décomposition :

A = BQ0 +XR0. (1.15)

Hérédité On suppose que Pn soit vraie, il existe donc qu’il existe despolynômes Qn et Rn tels que :

A = BQn +Xn+1Rn. (1.16)

On applique P0 à Rn, c’est-à-dire qu’il existe qn+1 et Rn+1 ∈ K telsque Rn | B avec Rn = Bqn+1 + XRn+1 d’après (1.15). On remplaceQn dans (1.16) qui est supposé vraie :

A = BQn +Xn+1[Bqn+1 +XRn+1]

= B[Qn + qn+1Xn+1︸︷︷︸

Qn+1

] +Xn+2Rn+1

= BQn+1 +Xn+2Rn+1.

Donc, par récurrence, pour tout n ∈ N, il existe deux polynômes Qn, Rn

dans K[X] tels que :A = BQn +Xn+1Rn.

Théorème 1.57. Si α est un pôle de AB

(c’est-à-dire une racine de B) d’ordre≥ 2 et degA < degB :

A

B=

A(x)

(x− α)k× 1

Q(x)

avec k l’ordre de α et Q(α) 6= 0.


Démonstration. Si on pose x−α = X (c’est-à-dire xα+X) et on divise A(α+X)par Q(α +X) suivant les puissances croissante jusqu’à l’ordre k − 1 :

A

(x− α)kQ(x)=

A(α +X)

XkQ(α +X)

= Q(α +X)[a0 + a1X + · · ·+ ak−1Xk−1] +XkR(X)

=a0

Xk+

a1

Xk−1+ · · ·+ ak−1

X+

R(X)

Q(α +X).

On obtient donc :

A

B=

(ak−1

x− α+

ak−2

(x− α)2+ · · ·+ a1

(x− α)k−1+

a0

(x− α)k

)+R(x− α)

Q(x)

avec Q(α) 6= 0.

Exemple 1.58. On veut décomposer :

x3 + 2

x3(x− 1)=

a

x− 1+

(b

x3+

c

x2+d

x

).

On pose x = α +X, d’où X = x− α. On obtient :

(α +X)3 + 2

(α +X)3 + (α +X − 1)=

X3 + 2

X3(X − 1)=

2 +X3

X3(−1 +X).

En faisant la division euclidienne de 2 +X3 par −1 +X, on a :

2 +X3 = (−1 +X)(−2− 2X − 2X2) + 3X2

, ce qui implique que :

2 +X3

X3(1−X)2= − 2

X3− 2

X2− 2

X+

3

X − 1.

1.8 ExercicesExercice 1.1. Montrer que (K[X],+) est un groupe commutatif avec la suitenulle comme élément neutre et si P = (α0, α1, α2, . . .) alors son inverse estnoté :

−P = (−α0,−α1,−α2, . . .).

Exercice 1.2. Montrer que (K[X],+, ·) est un anneau commutatif et unitaire.

1.8. EXERCICES 19

Exercice 1.3. Écrire sous forme fonctionnelle les polynômes suivants :1. P1(X) = (1, 0, 3, 2),2. P2(X) = (α1, β1, 0, 0, 0, 1, 2),3. P3(X) = (0, 1/2,

√3, 2/3),

4. P4(X) = (0, 0, 1, 0, 0).Exercice 1.4. SoientA = X5+4X4+6X3+6X2+6X+4 etB = X3+2X2+X+2.

1. Calculer PGCD(A,B), PPCM(A,B).2. Résoudre dans Q[X] l’équation AU +BV = X2 + 2X.

Exercice 1.5. 1. Calculer PGCD(X24 − 1, X15 − 1).2. Soit a, b ∈ N∗. Montrer que PGCD(Xa − 1, Xb − 1) = XPGCD(a,b) − 1.3. Calculer PGCD(X5400 − 1, X2002 − 1).

Exercice 1.6. Déterminer le reste de la division euclidienne de P par X2− 1,sachant que le reste de P par X − 1 est 0 et par X + 1 est 1.Exercice 1.7. Écrire la décomposition en facteurs irréductibles dans R[X] etdans C[X] des polynômes suivants : X3 − 1 ; X3 + 1 ; X3 − 3 ; X6 − 1 ; X12 − 1.Exercice 1.8. Soit P = X8 + 2X6 + 3X4 + 2X2 + 1.

1. Montrer que j est une racine de P . Déterminer son ordre de multiplicité.2. Quelle conséquence peut-on tirer de la parité de P ?3. Décomposer P en facteurs irréductibles dans C[X] et dans R[X].

Exercice 1.9. Soient a ∈ R, P ∈ R[X] et

Q(X) =1

2(X − a)(P ′(X) + P ′(a))− P (X) + P (a).

Montrer que a est une racine de Q. Déterminer son ordre de multiplicité.Exercice 1.10. Soient n ∈ N tel que n ≥ 2 et Pn =

∑k=nk=0

Xk

k!. Pn a-t-il un zéro

multiple ?Exercice 1.11. Décomposer, dans R[X] et C[X], en éléments simples lesfractions suivantes :

1

1−X2;

1

a2 +X2, a ∈ R ;

1

(1 +X2)2;

X3

X2 − 4;

4X

(X − 4)2

1

(X − 1)5;

X2

(X − 1)5;

X + 3

(X + 1)5(X2 + 2X + 2);

1

X2 +X + 1

1

(X2 + 2X − 1)2;

3X + 1

X2 − 2X + 10;

1

X3 + 1;

X + 1

X(X − 2)2

X2

(X2 + 3)3(X + 1);X7 +X3 − 4X − 1

X(X2 + 1)2.


Chapitre 2

Intégrales de Riemann

2.1 Somme de RiemannDéfinition 2.1 (Somme de Riemann). On appelle somme de Riemann atta-chée à la sudivision D = (x0, x1, . . . , xn) de [a , b] pour une fonction f définiesur [a , b] toute somme de la forme :

n−1∑i=0

f(yi) · (xi+1 − xi) avec yi ∈ [xi , xi+1].

y

xa b

FIGURE 2.1 – Aire sous la courbe approchée par une suite de rectangles

Remarques 2.2. 1. yi est un point dans l’intervalle [xi , xi+1].2. xi+1 − xi est la longueur de l’intervalle [xi , xi+1].3. f(yi) représente la hauteur.4. En fait, on cherche à calculer l’aire du rectangle R de longueur xi+1 − xi

et de hauteur f(yi). Mais l’aire du rectangle R n’est pas tout à fait la

21

22 CHAPITRE 2. INTÉGRALES DE RIEMANN

surface délimitée par l’intervalle [xi , xi+1] et la courbe (qu’on notera CS).On dit que l’aire R est presque égale à l’aire de CS. Plus on prend unesubdivision « fine », plus on aura une approximation précise de CS.

On va, en fait, calculer l’intégrale de la fonction pour avoir CS en fonctiond’une variable.

Théorème 2.3. Les sommes de Riemann d’une fonction f sur [a , b] ont unelimite qui est exactement l’aire sous la courbe CS, qu’on appelle intégrale def sur [a , b]. Cette limite est obtenue lorsque le pas de la subdivision est pett(c’est-à-dire sup(xi+1 − xi) → 0 quand n → +∞) et l’intégrale de f sur [a , b]

sera notée∫ baf(x) dx.

Définition 2.4 (Fonction en escalier). Soit φ : [a , b]→ R une fonction réelle.Elle est dite en escalier ou étagée s’il existe une subdivision D = (x0, x1, . . . , xn)tel que φ soit constante sur chaque intervalle [xi , xi+1] de la subdivision.

Proposition 2.5 (Intégrale d’une fonction en escalier). Soit φ : [a , b] → Rune fonction étagée. Alors :∫ b

a

φ(x) dx =n−1∑i=0

αi(xi+1 − xi)

avec φ(x) = αi, pour tout x ∈ [xi , xi+1].

Définition 2.6 (Intégrale de Riemann). Soit f : [a , b]→ R une fonction bornéesur [a , b]. f est dite Riemann-intégrable si, pour tout ε > 0, il existe deuxfonctions en escaliers φ et ψ vérifiant :

1. ϕ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x),2. ∫ b

a

[ψ(x)− φ(x)] ≤ ε.

Si f est Riemann-intégrable alors l’intégrale de f (notée∫ baf(x) dx) est

l’unique nombre α tel que :∫ b

a

φ(x) dx ≤ α ≤∫ b

a

ψ(x) dx,

pour toute fonction φ et ψ vérifiant φ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x) pour tout x ∈ [a , b].

Proposition 2.7. (i) Si f est continue sur [a , b] alors f est intégrable sur[a , b].

2.1. SOMME DE RIEMANN 23

y

xa b

y

xa b

y

xa b

y

xa b

FIGURE 2.2 – Illustration d’une fonction Riemann-intégrable par subdivisionde plus en plus « fine ».


(ii) Si f est continue par morceaux alors f est intégrable sur les différentsmorceaux.

(iii) Si f est monotone et bornée sur [a , b] alors f est intégrable sur [a , b].

Démonstration de l’assertion (iii) de la proposition i. Soient D = (x0, x1, . . . , xn)de pas ε, φ et ψ une fonction en escalier telle que φ(x) = f(xi) et ψ(x) = f(xi+1)sur [xi , xi+1], pour tout i ∈ N. On a : φ(x) ≤ f(x) ≤ psi(x) pour tout x ∈ [a , b](par définition de φ et de ψ) et :∫ b

a

(ψ(x)− φ(x)) dx =n−1∑i=0

[ψ(xi)− φ(xi)](xi+1 − xi)

=n−1∑i=0

(f(xi+1)− f(xi))(xi+1 − xi)

≤ εn−1∑i=0

(f(xi+1)− f(xi))

≤ ε(f(x1)− f(x0) + f(x2)− f(x1) + · · ·+ f(xn)− f(xn−1))

≤ ε(f(xn)− f(x0)) ≤ ε(f(b)− f(a)) ≤ ε′.

D’où f est Riemann-intégrable.

Définitions 2.8 (Minorant, majorant d’une fonction). Soit f : [a , b]→ R unefonction.

– M est un majorant de f si pour tout x ∈ [a , b], f(x) ≤M .– m est un minorant de f si pour tout x ∈ [a , b], f(x) ≥ m.

Proposition 2.9 (Inégalité de la moyenne). Soient f : [a , b]→ R une fonctionet M (resp. m) un majorant (resp. un minorant) de f sur [a , b]. Alors :

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤M(b− a).

Démonstration. On montre que la définition de l’intégrale implique l’inégalitéde la moyenne. En effet, si on prend la subdivsion D = (x0, x1) avec x0 = a etx1 = b, on obtient le résultat.

Définition 2.10 (Fonction positive). Soit f : [a , b]→ R une fonction. On ditque f est positive si f(x) ≥ 0, pour tout x ∈ [a , b].

Proposition 2.11. Soit f : [a , b]→ R une fonction. Si f est positive alors :∫ b

a

f(x) dx ≥ 0. (2.1)


y

xa b

m

M

FIGURE 2.3 – Inégalité de la moyenne

Démonstration. Il suffit de prendre m = 0 dans l’inégalité de la moyennepour obtenir (2.1).

Proposition 2.12 (Relation de Chasles). Soient f : [a , b]→ R et c ∈ [a , b]. fest intégrable sur [a , b] si et seulement si f est intégrable sur [a , c] et [c , b] eton a : ∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx.

On notera désormais la valeur :

−∫ b

a

f(x) dx :=

∫ a

b

f(x) dx.

Proposition 2.13 (Linéarité de l’intégrale). Si f, g sont deux fonctions inté-grables au sens de Riemann (ou Riemann-intégrable) sur [a , b] et λ ∈ R alorsf + g et λ · f sont Riemann-intégrables et on a :∫ b

a

[f(x) + g(x)] dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx,∫ b

a

λ · f(x) dx = λ ·∫ b

a

f(x) dx.

Proposition 2.14 (Conservation des inégalités). Soient f : [a , b] → R etg : [a , b] → R deux fonctions Riemann-intégrables sur [a , b]. Si f(x) ≤ g(x),pour tout x ∈ [a , b] alors : ∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

g(x) dx.


Démonstration. On a :∫ b

a

g(x) dx−∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

[g(x)− f(x)] dx.

Mais, par hypothèse, g(x)− f(x) ≥ 0. D’après la proposition 2.9,∫ b

a

[g(x)− f(x)] dx ≥ 0.

D’où le résutat est vérifié.

Définition 2.15 (Valeur absolue). On défnit la fonction « valeur absolue »par :

|x| =

x si x ≥ 0,

−x si x ≤ 0∀x ∈ R.

Proposition 2.16. Si f est intégrable sur [a , b] alors :∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣ =

∫ b

a

|f(x)| dx.

Démonstration. Si a > 0 alors :

|x| ≤ a⇔

x ≤ a

−x ≤ a⇔

x ≤ a

x ≤ −a⇔ −a ≤ x ≤ a.

Pour ce qui est de la proposition 2.16, il suffit d’écrire

− |f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| .

D’après la proposition 2.16 :

−∫ b

a

|f(x)| dx ≤∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

|f(x)| dx ≤∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣ =

∫ b

a

|f(x)| dx.

Remarque 2.17 (Intégrale et limite de suite). Si on choisit comme subdivi-sion de [a, b], une subdivision à intervalles égaux de longueur b−a

net si f est

intégrable alors on aist que :∫ b

a

f(x) dx = limn→+∞

n−1∑i=0

f(αi)(xi+1 − xi)


avec αi ∈ [xi, xi+1]. Mais xi+1 − xi = b−an

, pour tout 1 ≤ i ≤ n− 1, d’où∫ b

a


(b− an

) n−1∑i=0

f(αi)

Si on choisit αi = a+ (b−a)·in

,

= limn→+∞

b− an

n−1∑i=0

f

(a+

(b− a) · in

).

En particulier si a = 0 et b = 1 :∫ 1

0


1

n

n−1∑k=0

f

(k

n

).

Exemple 2.18. On veut calculer la limite de

un =n∑k=0

n

k2 + n2

qu’on peut tout de suite transformer

un =1

n

n∑k=0

1

1−(kn

)2 .

D’où le calcul de la limite est simple à partir de la remarque 2.17 :

limn→+∞

un = limn→+∞

1

n

n−1∑k=0

f

(k

n

)=

∫ b

a

1

1 + x2dx.

Proposition 2.19 (Formule de la moyenne). Soient f : [a , b] → R continuesur [a , b]. Alors il existe c ∈ [a , b] tel que :∫ b

a

f(x) dx = f(c) · (b− a).

Démonstration. On reprend l’inégalité de la moyenne (développé proposition2.9),

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤M(b− a)⇒ m ≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤M.


On pose α = (b−a)−1∫ baf(x) dx et on obtient m ≤ α ≤M . D’après le théorème

des valeurs intermédiaires, il existe c ∈ [a , b] tel que f(c) = α. D’où la formule :

f(c)(b− a) =

∫ b

a

f(x) dx.

y

xa bc

f(c)

FIGURE 2.4 – Formule de la moyenne

Théorème 2.20 (Théorème fondamental de l’analyse, première version).Soient I un intervalle de R non réduit à un point, f : [a , b]→ R une fonctioncontinue sur I et a ∈ I. Alors :

F : I → Ix 7→ F (x) =

∫ xaf(t) dt

est une fonction dérivable sur I et F ′(x) = f(x) avec F (a) = 0. Donc F est laprimitive de f qui s’annule au point a.

Démonstration. Soit x0 ∈ I. D’après la proposition 2.13,

F (x)− F (x0)

x− x0

=1

x− x0

∫ x

a

f(t) dt.

Mais grâce à la proposition 2.19 appliqué à l’intervalle [x0 , x], il existec(x0, x) ∈ [x0 , x] tel que : ∫ x

x0

f(t) dt = f(c(x, x0)).


Si x tend vers x0 alors c(x, x0) tend vers x0 et f(c) tend vers f(x0) car f estcontinue. D’où :

F ′(x0) = limx→x0

F (x)− F (x0)

x− x0

= f(x0).

Comme x0 est quelconque dans I, on a, pour tout x ∈ I, F ′(x) = f(x).

Corollaire 2.21. Soient f : [a , b] → R une fonction continue sur [a , b]. G estune primitive de f si et seulement s’il existe c ∈ R tel que :

G(x) =

∫ x

a

f(t) dt+ c.

Démonstration. (⇐) G′(x) = f(x) donc G est une primitive de f .(⇒) Si G est une primitive de f alors G′ = f . D’où G′ − f = 0, c’est-à-dire

que G− F est constante :

G = F + c =

∫ x

a

f(t) dt+ c.

Théorème 2.22 (Théorème fondamental de l’analyse, deuxième version).Soient f une fonction continue sur [a , b] et F une primitive quelconque de fsur [a , b]. Alors : ∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a).

Démonstration. D’après le corollaire 2.21,

F (x) =

∫ b

a

f(t) dt+ c.

Si on prend c = F (a), on obtient bien le théorème :

F (b) =

∫ b

a

f(t) dt+ F (a).

On notera doréanvant :

[F (x)]ba = F (b)− F (a).


Théorème 2.23 (Généralisation du théorème 2.22). Soient u, V deux fonc-tions réelles définies sur un intervalle I de R non réduit à un point et f unefonction continue sur I. Alors la dérivée de G : I → R définie par :

G(x) =

∫ v(x)

u(x)

f(t) dt

est de la forme :

G′(x) = f(v(x)) · v′(x)− f(u(x)) · u′(x).

Exemple 2.24. Soient

G(x) =

∫ x2

x

dt

ln t

alors sa dérivée est :

G′(x) =2x

ln(x2)− 1

lnx=

2x

2 lnx− 1

lnx=x− 1

lnx.

2.2 Méthodes d’intégration par les primitivesLe tableau A.1 référence les primitives des fonctions usuelles.

Proposition 2.25 (Intégration par parties). Soient f et g deux fonctionsréelles dérivables sur [a , b] tels que f ′, g′ continues sur [a , b]. Alors :∫ b

a

f(x) · g′(x) dx = [f(x) · g(x)]ba −∫ b

a

f ′(x) · g(x) dx.

Démonstration. On dérive le produit de deux fonctions f et g (comme f et gsont dérivables sur [a , b]) :

(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x).

Comme f ′ et g′ sont continues sur [a , b], f ′ et g′ sont intégrables sur [a , b] :∫ b

a

(f · g)′(x) dx =

∫ b

a

f ′(x) · g(x) dx+

∫ b

a

f(x) · g′(x) dx.

Mais, d’après le théorème fondamental de l’analyse :

[f(x) · g(x)]ba =

∫ b

a

f ′(x) · g(x) dx+

∫ b

a

f(x) · g′(x) dx.

D’où le résultat.

2.2. MÉTHODES D’INTÉGRATION PAR LES PRIMITIVES 31

Exemple 2.26. On veut calculer l’intégrale :∫ π/2

0

x cos(x) dx.

On pose f(x) = x (sa dérivée est f ′(x) = 1 et g′(x) = cos(x) (une primitive deg′ est g(x) = sin(x). D’où, par intégration par parties :∫ π/2

0

x cos(x) dx = [x sin(x)]π/20 −∫ π/2

0

sin(x) dx

= [x sin(x)]π/20 − [− cos(x)]π/20 =π

2− 1.

Théorème 2.27 (Intégration par changement de variables). Soit φ : [a , b]→R dérivable et φ′ continue sur [a , b]. Alors, pour toute fonction f : φ([a , b])→ R,on a : ∫ β

α

f(φ(u)) · φ′(u) du =

∫ φ(β)

φ(α)

f(x) dx.

On va distinguer plusieurs cas :Premier cas On veut calculer :∫ β

α

f(φ(u)) · φ′(u) du.

Pour cela, on pose x = φ(u) et dx = φ(u) du. D’où :∫ β

α

f(φ(u)) · φ′(u) du =

∫ φ(β)

φ(α)

f(x) dx.

Deuxième cas On veut calculer : ∫ b

a

f(x) dx.

On pose x = φ(u) et on s’arrange pour que φ soit bijective (le démontrer).Alors u = φ−1(u). On choisira α et β teels que a = φ(a) et b = φ(β).

Passons aux exemples pratiques d’intégration par changement de va-riables.

Exemples 2.28. 1. Soit à calculer :

I =

∫ 1

0

du

3 + e−u=

∫ 1

0

eu

1 + 3eudu.


On pose x = eu et dx = eu du. Alors si u = 0 alors x = 1 et si u = 1 alorsx = e. On a alors :

I =

∫ 1

0

eu

1 + 3udu =

∫ e

1

dx

1 + 3x=

[1

3ln(1 + 3x)

]e

1

.

2. Soit à calculer :

J =

∫ √3

1

x2

√4− x2

dx.

On pose x = 2 sinu donc dx = 2 cos(u) du. On choisit u = π6

pour obtenirx = 1 et u = π

3pour avoir x =

√3. Finalement :

I =

∫ π/3

π/6

4 sin2(u)× 8 cos(u) d

2 cos(u)du =

∫ π/3

π/6

4 · (1− 2 sin2(u)) du

= 2

∫ π/3

π/6

[1− 2 cos(2u) du]

= 2

∫π/6π/3 du− 2

∫ π/3

π/6

cos(2u) du

= 2 [u]π/3π/6 − 2

[1

2sin(2u)

]π/3π/6

=π

3.

2.3 Primitives de fractions rationnellesOn rappelle qu’une fraction rationnelle peut se décomposer de la manière

suivante :P (X)

Q(X)= E(X) + P(X) + S(X)

où P(X) représente les éléments de première espèce et S(X), les élémentsde second espèce.

Proposition 2.29 (Intégration de E(X)). Si on écrit

E(x) =n∑k=0

akxk,

alors l’intégrale de E(x) est :∫E(x) dx =

n∑k=0

∫akx

k dx.

2.3. PRIMITIVES DE FRACTIONS RATIONNELLES 33

On s’interesse maintenant à l’intégration des éléments simples de pre-mière espèce. Ils sont de la forme an

(x−α)n.

Proposition 2.30 (Intégration des éléments de première espèce). – Si n =1, ∫

a1 dx

x− α= a1 ·

∫dx

x− α= a1 ln(x− α).

– Si n ≥ 2, ∫an dx

(x− α)n= a1 ·

∫(x− α)−n dx =

an · (x− α)−n+1

−n+ 1.

L’intégration des éléments simples de second espèce est un peu pluscompliquée. Rappelons que les éléments simples de second espèce sont de laforme : αx+β

(x2+px+q)n.

Proposition 2.31 (Intégration des éléments de second espèce). – Si n =1 alors :

αx+ β

x2 + px+ q=

2xpλ+ λp+ µ

x2 + px+ q.

Il faut donc trouver λ et µ ∈ R tels que :

2λxp+ λp+ µ = αx+ β

avec α, β, p, q connus. On est donc amener à résoudre le système d’équa-tions suivant :

2λp = α

λp+ µ = βde solutions :

λ = α

2

µ = β − α2.

D’où :∫2xλ+ λp+ µ

x2px+ qdx = λ

∫2x+ p

x2 + px+ q+ µ

∫dx

x2 + px+ q

On pose u(x) = x2 + px+ q et on remarque que u′(x) = 2x+ p

= λ

∫u′(x) dx

u(x)+ µ

dx(x+ p

q

)2

+(q − p2

4

)


On pose a = p2

et b2 = q − p2

4

= λ

∫u′(x) dx

u(x)+ µ

dx

(x+ a)2 + b2

= λ(ln |u|+ c) + µ× 1

b2

∫dx(

x+ab

)2+ 1

= λ · lnx2 + px+ q + c+ argtanh(u) + c′

= λ ln∣∣x2 + px+ q

∣∣+ c+ argtanh(x2 + px+ q) + c′

– Si n ≥ 2 alors le calcul de ∫αx+ β

(x2 + px+ q)n

se fait comme pour la partie précédente. On a :

λ

∫2x+ p

x2 + px+ q+ µ

∫dx

x2 + px+ q=: I + J.

Le calcul deI = λ

∫2x+ p

x2 + px+ q

est simple si on pose u(x) = x2+px+q et en remarquant que u′(x) = 2x+p :

I = λ

∫u′(x) dx

un= λ

[u−n+1

−n+ 1

].

PourJn = µλ

dx

(x2 + px+ q)n

avec n ≥ 2, on peut intégrer par parties et on fait apparaître une relationde récurrence en Jn et Jn+1.

Exemple 2.32. Soit à calculer :

I =

∫dx

x2 + 4x+ 7=

∫dx

(x+ 2)2 + (√

3)2=

1

3

∫dx

x+2√3

+ 1.

On pose u = x+2√3

, d’où dx =√

3 du. Ainsi,

I =1√3

argtanh

(x+ 2√

3

).

2.4. PRIMITIVES DE FRACTIONS RATIONNELLES TRIGONOMÉTRIQUES35

2.4 Primitives de fractions rationnelles trigo-nométriques

Définition 2.33 (Changement de variables trigonométrique). Pour calculer∫f(x) dx, on tient compte de la règle suivante :(i) – Si f(x) dx reste invariante si x = −x, on fait le changement de variable

u = cos(x).– Si f(x) dx reste invariante si x = π − x, on fait le changement de

variable u = sin(x).– Si f(x) dx reste invariante si x = π + x, on fait le changement de

variable u = tan(x).(ii) Si f(x) dx n’est pas invariant par les 3 opérations de (i), on pse u = tan x

2.

Exemples 2.34 (Exemples pour le cas (i)). 1. Soit à calculer

I =

∫2 + cos(x)

sin3(x) + 6 tan(x)=

∫2 + cos(x)

sin(x)(

sin2(x) + 6cos(x)

) × sin(x)

sin(x)dx.

On a f(−x) d(−x) = f(x) dx donc on pose u = cos(x), d’où du = − sin(x) dx.

I =u(2 + u)

(1− u2)(u3 − u− 6)du =

∫u(2 + u)

(1− u)(1 + u)(u− 2)(u2 + 2u+ 3) du

=

∫1

4· 1

1− udu+

∫1

12· 1

1− udu+

∫− 8

33· 1

u− 2du+

∫au+ b

u2 + 2u+ 3du

=1

4ln |u− 1|+ 1

12ln |u+ 1| − 8

33ln |u− 2|

− 1

22ln(u2 + 2u+ 3) +

5

22√

2arctan

(u+ 1√

2

)2. Soit à calculer :

I =

∫3− sin(x)

2 cos(3x) + 3 tan(x)dx =

∫3− sin(x)

cos(x) ·(

2 cos(x) + 3 sin(x)cos(x)

) dx

Comme f(π − x) d(π − x) = f(x) dx, on pose u = sin(x)⇒ du = cos(x) dx.D’où :

I =u− 3

2u2 − 3u+ 2du = −1

5+

7

5

∫du

2u+

= −1

5ln |u− 2|+ 7

10ln |2u+ 1|

= −1

5ln(2− sin(x)) +

7

10ln |1 + sin(x)| .


3. Soit à calculerI =

∫1

7 + tan(x)dx.

On a : f(π + x) d(π + x) = f(x) dx, ainsi on peut poser u = tan(x). Onobtient alors :

udu = 1 + tan2 x dx⇒ du = (1 + u2) dx⇒ dx =du

1 + u2.

Le changement de variables est valable dans tout intervalle ne conte-nant pas π

2+ kπ. On obtient :

I =

∫du

(1 + u2)(u+ 7)=

1

50

du

u+ 7+

1

50

(7− u)

u2 + 1du

=1

50ln |u+ 7| − 1

100ln(u2 + 1) +

7

50arctan(u) + c.

Remarque 2.35. Les formules de l’exercice 2.9 seront utiles quand on fait lechangement de variables trigonométrique dans le cas (ii).

Exemple 2.36. Soit à calculer :

i =

∫dx

2 + sin(x) + cos(x).

f(x) dx n’est pas invariable par les changements de variables du cas (i) doncon pose tan x

2= t, ce qui donne :

I =

∫2

1 + t2× 1

2 + 2t1+t2

+ 1−t21+t2

=

∫2

t2 + 2t+ 3dt

=√

2 arctan

(t+ 1

2

)=√

2 arctan

(1 + tan x

2√2

).

2.5 Primitives de polynômes trigonométriquesPremier cas Si on est devant une expression de la forme cosm(x) sinn(x) où

l’un au moins des entiers m ou n est impaire alors on pose u = sin(x) etv = cos(x).

Second cas Si on est devant une expression de la forme cosm(x) sinn(x) oùles entiers m et n sont pairs alors on linéarise à l’aide de la formuled’Euler :

cos(x) =eix + e−ix

2, sin(x) =

eix − e−ix

2i.

2.5. PRIMITIVES DE POLYNÔMES TRIGONOMÉTRIQUES 37

Troisième cas Si on est en présence d’une expression de la formen∏i=1

cos(aix) ·m∏j=1

cos(bjx),

on utilise les formules de linéarisation :

cos(a) · cos(b) =1

2(cos(a− b) + cos(a+ b)) ,

sin(a) · sin(b) =1

2(cos(a− b)− cos(a+ b)) ,

sin(a) · cos(b) =1

2(sin(a+ b) + sin(a− b)) .

Exemples 2.37. 1. Soit à calculer :

I =

∫sin8(x) cos3(x) dx.

On remarque que sin8(x) cos3(x) dx = sin8(x) cos2(x) cos(x) dx. On poseu = sin(x) alors on a u8(1− u2) du. D’où :

I =

∫u8(1− u2) du =

u9

9− u11

11+ c =

sin9(x)

9− sin11(x)

11+ c.

2. Soit à calculer :J =

∫cos6(x) dx.

Or :

cos6(x) =1

26(eix + e−ix)6

=1

26

(e6ix + e−6ix + 6(e4ix + e−4ix) + 15(e2ix + e−2ix) + 20

)=

1

25(cos(6x) + 6 cos(4x) + 15 cos(2x) + 10) .

3. Soit à calculer :

I =

∫cos(3x) · sin(5x) · sin(6x) dx.

On a, par les formules de linéarisation :

cos(3x) sin(5x) =1

2(sin(8x) + sin(2x))


et

(cos(3x) sin(5x))(sin(6x)) =1

2sin(8x) sin(6x) +

1

2sin(2x) sin(6x)

=1

4(cos(2x)− cos(14x) + cos(4x)− cos(8x)).

D’où :

I =1

4

(sin(2x)

2− sin(14x)

14+

sin(4x)

4− sin(8x)

8

).

2.6 Applications de l’intégrale de Riemann

2.6.1 Travail effectué par une forceOn applique à M un point mobile et une force F . On veut calculer le

travail W de cette force entre a et b. Si F est constate et s = |b− a| représentale distance parcourue alors on a W = F · s.

Supposons donc que F (x) soit une froce variable. On a alors :

W =

∫ b

a

F (x) dx.

On suppose que F varie continuellement. Alors on divise [a , b] en n intervallesde longueur ∆kx (par exemple b−a

n). Soit ψk un élément de la ke subdivision

[xk−1 , xk]. On suppose que F est constante sur [xk−1 , xk] quitte à choisir unpas très petit. Dans ce cas, sur [xk−1 , xk], on admet que :

W = F (ψk) ·∆kx.

D’où :

W = limk→+∞

n∑k=1

F (ψk) ·∆k(x) =

∫ b

a

F (x) dx.

2.6.2 Longueur d’une trajectoire plane

Soient deux points A et B et une courbe plane_AB donné par la figure 2.5.

On veut calculer la longueur de la trajectore_AB qu’on note :

` =

∫_AB

ds.

2.6. APPLICATIONS DE L’INTÉGRALE DE RIEMANN 39

A

B

FIGURE 2.5 – Courbe plane AB

Si la courbe donnée est le graphe d’une fonction f : [a , b] → R continuealors :

` =

∫ b

a

√1 + f(x)2 dx.

On va subdiviser la courbe en intervalles (comme le présente la figure2.6), ensuite remplacer chaque somme de la courbe par d’autres segmentsP1, P2, . . . , Pn et on va confondre les segments par l’arc de la courbe.

∆kx représente le segment parallèle à l’axe des abscisses eet délimité park − 1, ∆ky représente le segment parallèle délimité par ∆kx et Pk.

On a :

_Pk−1Pk ≈ |Pk−1Pk| =

√(∆kx)2 + (∆ky)2 =

√1 +

(∆ky

∆kx

)2

×∆kx.

Or f est dérivable, donc d’après le théorème des accroissements finies, on a,sur [xk−1 , xk] :

f(xk)− f(xk−1)︸︷︷︸∆ky

= (xk − xk−1)︸︷︷︸∆kx

f ′(γk)⇔∆ky

∆kx= f ′(γk)

pour γk ∈ [xk−1 , xk]. On a donc :

|Pk−1Pk| =√

1 + f ′(xk)2 ×∆kx

et : ∫_AB

ds = limn→+∞

n∑k=1

∆kx×√

1 + f ′(xk)2.

C’est une somme de Riemman, d’où :∫_AB

ds =

∫ B

A

√1 + f ′(x)2 dx.


A

B

∆kx

∆ky

FIGURE 2.6 – Subdivision de la courbe plane AB

2.6.3 Calcul de l’aire d’une surface de révolution

On considère [a , b] un intervalle dans R et une surface de révolution dansR3 d’axe [a , b]. On découpe cet intervalle en n intervalles et on se concentre àcalculer l’aire de la surface de révolution sur les intervalles [k , k + 1].

FIGURE 2.7 – Surface de révolution

2.7. EXERCICES 41

On agrandit la section Pk−1PkP′kPk−1 et on a alors cette formule :

Sk = 2πy ×√

(∆kx)2 + (∆ky)2

avec ∆yx représente la base du cylindre xk−1xk (c’est le cercle décrit par xk−1

de ∆yk la hauteur du cylindre).

FIGURE 2.8 – Découpage de la surface de révolution

On obtient :

Sk = 2πy ×

√1 +

(∆ky

∆kx

)2

×∆kx.

On réutilise le théorème des accroissements finis pour avoir :

Sk = 2πf(xk)×√

1 + f ′(xk)2 ×∆kx.

Puis, en sommant les n petites surfaces latérales et en faisant tendre n versl’infini, on a :∫

_AB

ds = limn→+∞

2πf(xk)√

1 + (f(x′k))2 ×∆kx =

∫ B

A

2πf(x)√

1 + (f ′(x))2 dx.

2.7 ExercicesExercice 2.1. 1. Montrer que les fonctions x 7→ x, x 7→ x2 et x 7→ ex sont

intégrales sur un intervalle fermé borné.


2. En utilisant les sommes de Riemann, calculer les intégrales∫ 1

0x dx,∫ 2

1x2 dx,

∫ x0

et dt pour x > 0.3. Calculer les limites des suites définies par :

un =1 +√

2 + · · ·+√n

n√n

, vn =

p=n∑p=1

n

n2 + p2, wn =

k=n∏k=1

(1 +

k

n

)1/n

.

Exercice 2.2. Soit f une fonction continue sur [−a , a], a > 0. Montrer que :∫ a

−af(t) dt =

2∫ a

0f(t) dt si f est paire,

0 si f est impaire.

Exercice 2.3. Soient f et g deux fonctions continues sur [a , b] telles queg(x) > 0, pour tout x ∈ [a , b]. Montrer qu’il existe un réel c ∈ [a , b] tel que∫ b

a

f(t)g(t) dt = f(c) ·∫ b

a

g(t) dt.

Application : Montrer que

limn→+∞

∫ 1

0

tnln t

1− t2dt = 0

(indication : considérer g : x 7→ xn−1 sur [0 , 1]).

Exercice 2.4. Soit f une fonction continue sur R. Montrer que la fonctiong : x 7→

∫ x2+1

xf(t) dt est dérivable sur R et calculer sa dérivée.

Exercice 2.5. Soit f une fonction continue sur [−1 , 1]. Montrer que la fonc-tion F : x 7→

∫ sinx

0f(t) dt est dérivable sur [−1 , 1] et calculer sa dérivée.

Exercice 2.6. Soit f la fonction définie sur [−π4, π

4] par :

f(x) =

∫ x

0

√cos(2t) dt.

1. Vérifier que f est bien définie.2. Montrer que f est impaire.3. Étudier les variations de f et l’allure de la courbe.

Exercice 2.7. Soit f la fonction définie sur R par :

f(x) =

∫ 2x

x

dt√t2 + t+ 1

.

2.7. EXERCICES 43

1. Vérifier que f est bien définie.2. Montrer que f est impaire.3. Étudier les variations de f et l’allure de la courbe.

Exercice 2.8. Calculer∫f(x) dx dans le cas où f(x) est égale à :

1

(1 + x2)2;

x3

x2 − 4;

4x

(x− 4)2;

1

(x− 1)5;

x2

(x− 1)5

x+ 3

(x+ 1)5(x2 + 2x+ 2);

1

x2 + x+ 1;

1

(x2 + 2x− 1)2;

3x+ 1

x2 − 2x+ 10

x+ 1

x(x− 2)2;

x2

(x2 + 3)3(x+ 1);x7 + x3 − 4x− 1

x(x2 + 1)2

Exercice 2.9. On pose t = tan(t2

). Montrer que :

sin(x) =2t

1 + t2, cos(x) =

1− t2

1 + t2, tan(x) =

2t

1− t2.

Exercice 2.10. Calculer∫f(x) dx dans le cas où f est égale à :

1. 1sin(x)

,

2. 12+cos(x)

,

3. sin(x)

sin3(x)+cos3(x).


Chapitre 3

Développements limités etformules de Taylor

3.1 Introduction sur les développements limi-tés

3.1.1 Définitions généralesDéfinition 3.1 (Développement limité). Soient une fonction f réelle définiesur un intervalle ]−α , α[ (avec α ∈ R) sauf peut-être en 0 et n ∈ N∗. On dit quef admet un développement limité (en abrégé DL) d’ordre n s’il existe des réelsa0, a1, . . . , an et une fonction réelle ε définie sur ]−α , α[ (toujours avec α ∈ R)sauf peut-être en 0 tels que, pour tout x ∈ ]−α , α[,

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n + xnε(x)

avec limx→0 ε(x) = 0.

Définition 3.2 (Partie régulière et reste). Soient f une fonction réelle définiesur ]−α , α[ (avec α ∈ R) sauf peut-être en 0 et admettant un développementlimité d’ordre n en 0. Alors f s’écrit :

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ xnε(x),

tel que limx→0 ε(x) = 0. Le polynôme a0 +a1x+ · · ·+anxn est dit partie régulière

du développement limité et xnε(x) est le reste.

Remarques 3.3. 1. Des fonctions ne répondent pas à la définition précé-dente, elles peuvent ne pas avoir de DL.

45

46CHAPITRE 3. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS ET FORMULES DE TAYLOR

2. Des fonctions peuvent admettre un développement limité à l’ordre 3mais pas forcément à l’ordre 5.

3. ε(x) est une fonction mais on ne doit pas se préoccuper de sa forme. Ilsuffit juste de montrer que limx→0 ε(x) = 0.

4. Toute fonction ayant un DL peut s’écrirre en deux morceaux et sa limiteva fonctionner, se compléter comme un polynôme au voisinage de 0.

Exemple 3.4. On veut montrer que

f : [−1 , 1] → Rx 7→ 1

1−x

admet un DL d’ordre n au voisinage de 0 en [−1 , 1]. On a :

1 + x+ x2 + · · ·+ x= 1− xn+1

1− x=

1

1− x− xn+1

1− x

Or :xn+1

1− x= xn ·

(x

1− x

),

d’où, si on pose ε(x) = x1−x , on remarque que :

1

1− x= 1 + x+ x2 + · · ·+ xn + xnε(x)


3.1.2 Unicité du développement limitéProposition 3.5. Si f admet un DL d’ordre n en 0 alors il est unique.

Démonstration. Supposons que f admet deux DL :

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn + xnε(x) avec limx→0 ε(x) = 0,

= b0 + b1x+ · · ·+ bnxn + xnη(x) avec limx→0 η(x) = 0.

Comme f(0) = a0 et f(0) = b0, on a donc b0 = a0 et :

x(a1 + a2x+ · · · anxn−1ε(x)) = x(b1 + b2x+ · · ·+ bnxn−1 + xn−1η(x)).

Pour tout x 6= 0, on peut simplifier par x et on fait tendre x vers 0 donc onaura a1 = b1 et ainsi de suite jusqu’à an + ε(x) = bn + η(x), c’est-à-dire an = bn.En faisant tendre x vers 0, on obtient ε(x) = η(x) sur ]−α , α[.

3.1. INTRODUCTION SUR LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 47

Proposition 3.6. Si f admet un DL d’ordre n en 0 alors f admet un DLd’ordre p < n en 0. Sa partie régulière s’obtient en prenant la partie régulièrede f jusqu’à l’ordre p.

Démonstration. Si f admet un DL d’ordre n alors f s’écrit

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn + xnε(x)

= (a0 + a1x+ · · ·+ apxp) + ap+1x

p+1 + · · ·+ anxn + xnε(x)

= (a0 + a1x+ · · ·+ apxp) + xp(ap+1x+ · · ·+ anx

n−p + xn−pε(x)).

Comme p < n et que limx→0 ε(x) = 0, alors :

ap+1x+ · · ·+ anxn−p + xn−pε(x) = η(x)

avec limx→0 η(x) = 0. On obtient donc :

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ apxp + xpη(x).

Proposition 3.7. Si f admet un DL d’ordre n en 0 alors :

(i) Si f est paire, son DL ne contient que des puissances paires.

(ii) Si f est impaire, son DL ne contient que des puissances impaires.

Démonstration. (i) Si f est paire alors f(x) = f(−x). f admet un DLd’ordre n donc f s’écrit :

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn + xnε(x).

On a :

f(−x) = a0 − a1x+ · · ·+ (−1)nanxn + (−1)nxnε(x)

= a0 − a1x+ · · ·+ (−1)nanxn + xn((−1)nε(x)).

On pose alors η(x) = (−1)nε(x) et grâce à la proposition 3.5 :

a1 = a3 = · · · = a2k+1 = · · · = 0.

(ii) Même démonstration mais a2k = 0 pour tout k ∈ N.


3.1.3 DL au voisinage d’un point quelconque de R

Définition 3.8 (Intervalle centré en x0). Soit x0 ∈ R. Un intervalle ouvertcentré en x0 est de la forme ]x0 − α , x0 + α[.

Définition 3.9 (Développement limité en x0). Soient x ∈ ]x0 − α , x0 + α[ eth ∈ ]−α ,+α[. On dira que f (une fonction réelle) admet un DL d’ordre n en x0

(ou au voisinage de x0) si la fonction h 7→ f(x0 + h) admet un DL d’ordre n en0, c’est-à-dire, pour tout h ∈ ]−α , α[ :

f(x0 + h) = a0 + a1h+ · · ·+ anhn avec limh→0 ε(h) = 0,

et on aura, pour tout h ∈ ]x0 − α , x0 + α[ :

f(x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ an(x− x0)n + (x− x0)nε(x− x0).

On pose η(x) = ε(x− x0) et on a :

limx→x0

η(x) = 0.

Exemple 3.10. Soit la fonction x 7→ f(x) = x3 + 2x2 + 3.

1. La fonction f admet un DL d’ordre 2 en 0 car

f(x) = 3 + 2x2 + x3 = 3 + 0x+ 2x2 + x2(x).

On pose ε(x) = x et on a bien limx→0 ε(x) = 0. D’où :

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + x2ε(x).

2. La fonction f admet un DL d’ordre 2 en 1. On pose x0 = 1 donc x =x0 + h = 1 + h⇒ h = x− 1. On a donc :

f(1+h) = 3+2(1+h)2 +(1+h3) = 5+7h+5h2 +h3 = 6+7h+5h2 +h2(h).

On pose ε(h) = h, d’où :

f(x) = 6 + 7(x− 1) + 5(x− 1)2 + (x− 1)2η(x)

avec η(x) = x− 1 et limx→1 η(x) = 0.


3.1.4 Théorèmes sur les fonctions réellesThéorème 3.11 (Théorème de Rolle). Soit une fonction f continue sur [a , b]et dérivable sur ]a , b[ telle que f(a) = f(b). Alors il existe c ∈ ]a , b[ tel quef ′(c) = 0.

Géométriquement, il existe une tangente horizontale dans l’intervalle]a , b[ (souvent un changement de variables).

Démonstration. 1. f est constante sur [a , b] si, pour tout x ∈ [a , b], f ′(x) =0.

2. Si f n’est pas constante alors f([a , b]) = [m,M ], il existe au moinsun point [a , b] où f réalise son minimum et un point où f réalise sonmaximum. Comme f n’est pas constante, m 6= M . Donc m ou M sontdifférents de f(a) et f(b). Supposons que c’est M (on peut faire la mêmechose avec m), il existe c ∈ ]a , b[ tel que f(c) = M . Comme f est dérivableen c alors f est définie autour de c. On pose :

θ(x) =f(x)− f(c)

x− c.

(a) Si x → c avec x < c alors x − c < 0 et f(x) − f(c) < 0, pour tout xcar f(c) est le maximum. Donc :

f(x)− f(c)

x− c> 0⇒ lim

x→c−θ(x) = f ′(c) ≥ 0. (3.1)

(b) Si x→ c avec x > c et f(x)− f(c) < 0, pour tout x. On a :

f(x)− f(c)

x− c< 0⇒ lim

x→c+θ(x) = f ′(c) ≤ 0. (3.2)

Si on combine (3.1) et (3.2), on obtient f ′(c) = 0.

Théorème 3.12 (Théorème des accroissements finies). Soit [a , b] : R→ conti-nue sur [a , b] et dérivable sur ]a , b[. Alors il existe c ∈ ]a , b[ tel que f(b)−f(a) =(b− a)f ′(c).

Démonstration. On pose :

g(x) = f(x)− (x− a) · f(b)− f(a)

b− a.


g est continue sur [a , b] et dérivable sur ]a , b[. On a, de plus, g(b) = g(a) et

g(a) = f(a)− 0x = f(a)

g(b) = f(b)− (b− a) · f(b)− f(a)

b− a= f(b)− f(b) + f(a) = f(a).

Donc le théorème de Rolle s’applique à g, c’est-à-dire il existe c ∈ ]a , b[ tel queg′(c) = 0. On a :

g′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a)

b− a,

donc :

0 = g′(c) = f ′(c)− f(b)− f(a)

b− a⇒ f ′(c)(b− a) = f(b)− f(a).

Corollaire 3.13 (Inégalité des accroissements finies). Si f est bornée sur[a , b], c’est-à-dire qu’il existe M > 0 tel que |f(x)| ≤ M , pour tout x ∈ [a , b].C’est-à-dire,

∀x, y ∈ [a , b], |f(x)− f(y)| ≤M |x− y| .

Proposition 3.14. Soit f : I → R une fonction dérivable. f est constante surI si et seulement si f ′(x) = 0, pour tout x ∈ I.

Démonstration. (⇒) Si f est constante sur I alors

f(x)− f(y)

x− y= 0⇒ lim

y→xθ(x) = f ′(x) = 0.

(⇐) Si f ′(x) = 0, pour tout x ∈ I alors si x0 ∈ I et x ∈ I, on a, d’après lethéorème des inégalités des accroissements finies, il existe c ∈ [x , x0],tel que :

f(x)− f(x0) = (x− x0)f ′(c) = 0⇒ f(x) = f(x0).

Proposition 3.15. Soit f : I → R une fonction dérivable. f est croissante(resp. décroissante) sur I si et seulement si f ′(x) ≥ 0, pour tout x ∈ I.

Démonstration. Si f est croissante sur I alors f(x)− f(x0) est de même signeque x− x0. Si on pose

θ(x) =f(x)− f(x0)

x− x0

,


on a :limx→x0

θ(x) = f ′(x0) ≥ 0.

Si f ′(x) ≥ 0 sur I alors pour x, x0 ∈ I, il existe c ∈ ]x0 , x[,

f(x)− f(x0) = (x− x0)f ′(c)⇒ f(x)− f(x0)

x− x0

= f ′(c) ≥ 0,

d’où f(x)− f(x0) a le même signe que x− x0. Donc f est croissante sur I.

Définition 3.16 (Extremum local). Soient f : I → R une fonction définiesur un intervalle I ⊂ R et x0 ∈ I. On dit que x0 est un maximum local(resp. minimum local) s’il existe un η > 0 tel que, pour tout x ∈ I vérifiant|x− x0| < η, on ait f(x) ≤ f(x0) (resp. f(x) ≥ f(x0)). Un minimum local ou unmaximum local est appelé extremum local

Théorème 3.17. Soit f une fonction définie dans un voisinage de x0 ∈ R. Sif est dérivable et admet un extremum local en x0 alors f ′(x0) = 0.

Démonstration. Si f est un maximum local en x0 alors il existe un η > 0 telque f(x) ≤ f(x0), pour tout x ∈ ]x0 − η , x0 + η[. On est en présence de deuxcas :

1. Si x ∈ ]x0 − η , x0[ alors x− x0 < 0 et f(x)− f(x0) < 0. Ainsi,

θ(x) =f(x)− f(x0)

x− x0

≥ 0.

D’où :limx→x−0

θ(x) = f ′(x0) ≥ 0. (3.3)

2. Si x ∈ ]x0 , x0 + η[ alors x− x0 > 0 et f(x)− f(x0) ≥ 0. Ainsi,

θ(x) =f(x)− f(x0)

x− x0

≤ 0

etlimx→x+0

θ(x) = f ′(x0) ≤ 0. (3.4)

En combinant (3.3) et (3.4), on obtient f ′(x0) = 0.

Remarques 3.18 (Autre recherche d’extremum local). 1. On peut les cher-cher aux points où f est dérivable et f ′(x0) = 0 mais tous les pointsoù f ′(x0) = 0 ne correspondent pas nécessairement aux extremas (parexemple la fonction x 7→ x3 en 0).

2. On peut les chercher là où f n’est pas dérivable.


3.2 Formules de Taylor

3.2.1 Formule de Taylor avec reste intégralThéorème 3.19 (Formule de Taylor avec reste intégral). Soit f : [a , b] → Rune fonction définie sur un intervalle [a , b] ⊂ R telle que f admet des dérivéescontinues jusqu’à l’ordre n+ 1 (on dira aussi que f est de classe C n+1). Alors :

f(b) = f(a) +n−1∑k=1

(b− a)k

k!f (k)(a) +

∫ b

a

(b− t)n−1

(n− 1)!dt.

Démonstration. On démontre le théorème par récurrence :Initialisation P (1) est vraie car, pour n = 1, on a :∫ b

a

f ′(x) dx = f(b)− f(a)⇒ f(b) = f(a) +

∫ b

a

f ′(t) dt.

Hérédité Supposons que Pc(n) soit vraie. On montre que P (n+ 1) est vraie.Pour cela, on intègre par parties :∫

(b− t)n−1

(n− 1)!f (n)(t) dt.

On pose u = f (n)(t) et dv = (b−t)n−1

(n−1)!dt. Ce qui nous donne du = f (n+1)(t) dt

et v = (b−t)nn!

. D’où :∫ b

a

(b− t)n−1

(n− 1)!f (n)(t) dt =

[f (n)(t)

(b− t)n

n!

]ba

−∫ b

a

(b− t)n

n!f (n+1)(t) dt.

On remplace, dans P (n), l’expression trouvé :∫ b

a

(b− t)n−1

(n− 1)!f (n)(t) dt =

(b− a)n

n!f (n)(a) +

∫ b

a

(b− t)n

n!f (n+1)(t) dt.

On a donc vérifié la formule à l’ordre n+ 1.

3.2.2 Formule de Taylor avec reste lagrangienThéorème 3.20. Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalle I ⊂ Ret tel que f est n + 1 fois dérivable sur I. Alors, pour tout a ∈ I et pour toutx ∈ I, il existe un γ ∈ ]a , x[ tel que :

f(x) = f(a) +n∑k=1

(x− a)k

k!f (k)(a) +

(x− a)n+1

(n+ 1)!f (n+1)(γ).

3.2. FORMULES DE TAYLOR 53

Démonstration. Soit C ∈ R tel que :

f(x) = f(a) +n∑k=1

(x− a)k

k!f (k)(a) + C · (x− a)n+1. (3.5)

On considère φ une fonction définie sur I telle que :

φ(t) = f(x)−

(f(x) +

n∑k=1

(x− t)k

k!f (k)(t) + C · (x− t)n+1

).

On a φ(a) = 0 et, d’après (3.5), φ(x) = 0. φ est dérivable et de dérivée continuecar f (n) est dérivable et f (n+1) est continue par hypothèse. On a alors :

φ′(t) = f ′(t) +

(f ′(t)

1!− (x− t)

1!f ′′(t)

)+ · · ·+

(f (n+1)(t)

n!(x− t)n + (n+ 1)C(x− t)n

)=f (n+1)(t)

n!(x− t)n + (n+ 1)C(x− t)n.

Or φ(x) = φ(a) = 0, donc, d’après le théorème de Rolle, il existe un γ ∈ ]a , x[tel que φ′(γ) = 0 :

0 = φ′(γ) =f (n+1)(γ)

n!(x− γ)n + (n+ 1)C(x− γ)n.

D’où :

C =f (n+1)(γ)

(n+ 1)!.

3.2.3 Formule de Taylor-MaclaurinThéorème 3.21 (Formule de Taylor-Maclaurin). Soit f : I → R une fonctiondéfinie sur un intervalle I ⊂ R et tel que f est n+ 1 fois dérivable sur I. Alors,pour tout x ∈ I, il existe θ ∈ ]0 , 1[ tels que :

f(x) =n∑k=0

f (k)(0)

k!+f (n+1)(θx)

(n+ 1)!xn+1.

Démonstration. On applique le théorème 3.20 de Taylor-Lagrange avec a = 0et γ

∫]0 , x[, c’est-à-dire γ = θx avec θ ∈ ]0 , 1[.


3.2.4 Formule de Taylor-YoungProposition 3.22 (Formule de Taylor-Young). Si f est de classe C n (c’est-à-dire f (n) existe et f (n) est continue) sur ]x0 − α , x0 + α[. Alors il existe unefonction ε : ]−α , α[→ R telle que, pour tout h ∈ ]−α , α[ :

f(x0 + h) =n∑k=0

hk

k!f (k)(h) + hnε(h).

Dans ce cas, on a :

f(x) =n∑k=0

(x− x0)h

k!f (k)(x0) + (x− x0)nε(x) avec lim

x→x0ε(x) = 0.

Démonstration. D’après la formule de Taylor-Lagrange :

f(x) =n−1∑k=0

(x− x0)k

k!f (k)(x0) +

(x− x0)n

n!f (n)(γ). (3.6)

avec γ ∈ ]x0 , x[. Quand x tend vers x0, γ tend vers x0. Mais comme f (n) estune fonction continue, on a :

limγ→x0

f (n)(γ) = f (n)(x0)⇒ limγ→x0

f (n)(γ)− f (n)(x0) = 0.

D’où, il existe une fonction ε : ]−α , α[→ R telle que :

f (n)(γ) = f (n)(x0) + ε(γ).

On a ainsi :

(3.6)⇔ f(x) =n−1∑k=0

(x− x0)k

k!f (k)(x0) +

(x− x0)n

n!f (n)(x0) +

(x− x0)n

n!ε(x)

avec limx→x0 ε(x) = 0.

3.2.5 Formule de Taylor-MacLaurin (cas particulier Taylor-Young)

Théorème 3.23. Si f est de classe C n sur ]−α , α[ alors il existe ε : ]−α , α[→R telle que :

f(x) =n∑k=0

xk

k!f (k)(0) + xnε(x)


3.3. OPÉRATIONS SUR LES DL 55

3.2.6 RemarquesRemarques 3.24. 1. Toute fonction n fois dérivable au voisinage de 0

(resp. de x0) admet un développement limité à l’ordre n en 0 (resp. enx0).

2. Si f est n fois dérivable alors les coefficients du DL sont f(0), f ′(0), . . .,f (n)(0)n!

mais la réciproque est fausse. Par exemple, prenons la fonction :

x 7→ f(x) = 3− 7x+ 4x2 + x3 sin1

x= (3− 7x+ 4x2) + x2ε(x)

avec limx→0 ε(x) = 0 et ε(x) = x sin 1x

= 0. Or f n’est pas deux foisdérivable. f ′ existe car :

g′(0) = limx→0

x3 sin(x−1)− 0

x− 0avec g(0) = 0

= limx→0

x2 sin1

x= 0.

On a donc :

f ′(x) = −7 + 8 + 3x2 sin1

x− x cos

1

x.

Mais f ′′ n’existe pas car f ′ n’est pas dérivable en 0 car :

limx→0

x cos(x−1)− 0

x= lim

x→0cos(x−1)

n’a pas de limite.

3. Toutes les formules de Taylor permettent d’avoir un DL de f dérivable nfois mais il ne faut pas utiliser systématiquement les formules de Taylor,en particulier lorsque la fonction est donnée d’une manière complexe.On peut prendre par exemple la fonction :

x 7→ exx2 sin(x2)

cos(x).

3.3 Opérations sur les DLAvant de commencer cette section, signalons que quelques formules de

DL au voisinage de 0 sont décrites à la section A.2.


3.3.1 Somme

Définition 3.25 (DL d’une somme de deux fonctions). Soient f et g deux fonc-tions réelles définies sur I un intervalle réel centré en 0 et tel qu’ils admettentun développement limité d’ordre n en 0. On peut écrire :

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn + xnε1(x),

g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn + xnε2(x).

Alors le DL de f + g à l’ordre n est :

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)xn + xnε(x).

3.3.2 Produit

Définition 3.26 (DL d’un produit de deux fonctions). Soient f et g deux fonc-tions réelles définies sur I un intervalle réel centré en 0 et tel qu’ils admettentun développement limité d’ordre n en 0. On peut écrire :

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn + xnε1(x),

g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn + xnε2(x).

Alors la fonction f · g un DL d’ordre n en 0 est :

f · g(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cnxn + xnε(x)

avec :ck =

∑i+j=k

aibj.

Exemple 3.27. Soit la fonction x 7→ f(x) = cos(x) · ex. On veut le DL à l’ordre4 en 0.

f(x) =

(1− x2

2+x4

24+ x4ε1(x)

)·(

1 + x+x2

2+x3

3+x4

24+ x4ε(x)

)= 1 + x+

(1

2− 1

2

)x2 +

(1

6− 1

2

)x3 +

(1

24− 1

4+

1

24

)x4 + x4ε(x)

= 1 + x− x3

3− x4

6+ x4ε(x)

3.3. OPÉRATIONS SUR LES DL 57

3.3.3 Quotient de DLOn rappelle la divison euclidienne sur les polynômes :

Théorème 3.28 (Division euclidienne). Soient A et B des éléments deKk[X]tels que B 6= 0. Alors il existe Q et R appartenant à K[X] tels que

A = B ×Q+R

avec deg(R) < deg(P ). On appelle Q (resp. R) le quotient (resp. le reste) de ladivision de A par B.

Proposition 3.29. Soient f et g deux fonctions réelles admettant un DLd’ordre n en 0 avec A(X) (resp. B(X)), la partie régulière de f (resp. g) :

A(X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn

B(X) = b0 + b1X + · · ·+ bnXn

et b0 6= 0. Alors fg

est définie au voisinage de 0 et admet un DL en 0. On obtientla partie régulière en faisant la division euclidienne suivant les puissancescroissantes de A(X) et B(X) à l’ordre

Démonstration. g est continue n 0 car g a un DL en 0 à l’ordre n ≥ 0 maisg(0) = b0 6= 0. Donc il existe un voisinage de 0 où g est différent de 0 doncv(0) = f(0)

g(0)est bien définie. Comme B(0) = b0 6= 0 alors on peut appliquer la

division suivant les puissances croissantes :

A(x) = B(x)Q(x) + xn+1R(X) (3.7)

On a donc :

f(x)

g(x)=A(x) + xnε1(x)

B(x) + xnε2(x)

=[B(x)Q(x) + xn+1R(x)] + xnε1(x) + xnε2(x)− xnε2(x)

B(x) + xnε2(x)

=Q(x)[B(x) + xnε2(x)]− xnε2(x)Q(x) + xn+1R(x) + xnε1(x)

B(x) + xnε2(x)

= Q(x)− xnε2(x)Q(x) + xn+1R(x) + xnε1(x)

B(x) + xnε2(x)

Finalement :f(x)

g(x)= Q(x) +

xnT (x)

B(x) + xnε2(x)

avec ε(x) := T (x)B(x)+xnε2(x)

.


On a :f(x)

g(x)= f(x)× 1

g(x)= f(x) · 1

b0 + b1x+ · · ·+ bnxn + ε(x)xn

= f(x) · 1

b0(1 + Θ(x))avec Θ(x)→ 0 quand x→ 0

=f(x)

b0

× 1

1 + x=f(x)

b0

n∑k=0

(−1)kxk + xnε(x).

Tout ce calcul sera justifié par le théorème 3.30

3.3.4 Composition de DLThéorème 3.30. Soient f et g deux fonctions réelles tels que :

– g admet un DL d’ordre n en 0,– si g s’écrit :

g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn + xnε2(x) avec lim

x→0ε(x) = 0

, on peut supposer que f a un DL d’ordre n en b0 :

f(b0 + h) = a0 + a1h+ · · · anhn + hnε1(x).

Alors f g admet un DL à l’ordre n en 0 obtenu par sa partie régulière suivanteen développant :

a0 + a1 (b1x+ · · ·+ bnxn)︸︷︷︸

X

+ · · ·+ an(b1x+ · · ·+ bnxn)n.

3.3.5 Dérivation et intégration de DLProposition 3.31. Si f est dérivable en 0 et si f ′ a un DL à l’ordre n en 0 (onpourra écrire

f ′(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn + xnε(x))

alors f a un DL d’ordre n + 1 dont la partie régulière s’obtient en intégrantterme à terme celui de f ′.

On a donc :

f(x) = f(0) + a0x+ a1 ·x2

2+ · · ·+ an ·

xn+1

n+ 1+ xn+1η(x)

avec limx→0 η(x) = 0.

Proposition 3.32. Si f a un DL d’ordre n en 0 et si f ′ a un DL d’ordre n− 1alors la partie régulière de f ′ s’obtient en dérivant terme à terme celle de f .

3.4. APPLICATIONS 59

3.4 Applications

3.4.1 Recherche d’équivalents en x0

Définition 3.33 (Equivalent de f en x0). Soit f : I → R une fonction réelledéfinie sur un intervalle I. Un équivalent en x0 de f est le premier terme nonnul de son développement limité en x0.

En effet, si l’on a trouvé f(x) = anxn + xnε(x) où le coefficient an est non

nul, ceci peut s’écrire :

f(x) = anxn ×

(1 +

ε(x)

an

).

ce qui est la définition de « f est « équivalent au voisinage de 0 à anxn ».

Exemple 3.34. On veut trouver un équivalent de sin2(x) − x au voisinagede 0. Pour cela, on calcule le développement limité de sin2(x) à l’ordre 3, celadonne :

sin2(x) =

(x− x2

6+ x3ε(x)

)2

= x2 − x4

3+ x4η(x).

D’où : sin2(x)− x2 est équivalent à −x4

3au voisinage de 0.

3.4.2 Recherche d’un équivalent en +∞Définition 3.35 (Equivalent de f en +∞). Soit f : I → R une fonction réelledéfinie sur un intervalle I. Un équivalent en +∞ de f est le premier termenon nul de son développement limité de g(t) = f(1

t) en 0.

Exemple 3.36. On veut trouver un équivalent de f(x) = 3√x+ 1− 3

√x en +∞.

En posant t = 1x, on obtient :

f(1/t) = 3√

1/t× 3√

1 + t− 1).

Il suffit de prendre un développement limité au premier ordre pour avoir :

f(x) = t−1/3

(1 +

1

3+ tε(t)− 1

)=

1

3t2/3(1 + 3ε(t)) =

1

3x2/3(1 + η(x))

où η(x) tend vers 0 quand x tend vers l’infini. L’équivalent cherché est doncf(x) ∼ 1

3x2/3.


3.4.3 Calcul de limites, formes indéterminéesLes développements limites permettent de lever les formes indéterminées.

On étudie ici deux cas importants :

Détermination de limx→0 f(x)/g(x)

On étudie le cas où f et g tendent tous les deux vers 0 : il s’agit d’uneforme indéterminée « 0

0». Pour cela, on cherche le développement limité du

dénominateur g jusqu’à premier ordre donnant une partie ruglière non nulle 1,puis on effectue le développement limité du numérateur à cet ordre définipar le dénominateur.

Exemple 3.37. On veut déterminer

limx→0

sin(x)− xx3

.

On doit développer le numérateur à l’ordre 3, soit sin(x) = x− x3

6+ x3ε(x). On

a donc :

limx→0

sin(x)− xx3

= limx→0

(−1

6+ ε(x)

)= −1

6.

Détermination de limx→0(f(x))g(x)

On étudie le cas où f tend vrs 1 et g tend vers l’infini (quand x tend vers0). Cette forme indéterminée « 1+∞ » peut se ramener à une forme « 0 ·+∞ »en écrivant :

(f(x))g(x) = exp(g(x) · ln(f(x))).

Exemple 3.38. On veut calculer :

limx→0

(cos(x))1/x2 = limx→0

exp

(1

x2ln cos(x)

).

Il nous faut développer ln cos(x) à l’ordre 2, c’est-à-dire développer à l’ordre :ln(1− x2

2+ x2ε(x)). On a donc :

ln(cos(x)) = −x2

2+ x2η(x).

1. Il suffit d’ailleurs d’avoir un équivalent de g (le premier terme non nul du développe-ment limité)


D’où1

x2ln cos(x) =

1

2+ η(x)

tend vers −12

qunad x tend vers 0 et la limite cherchée est égale à exp(−1

2

)=

1√e.

3.4.4 Etude locale des courbesPosition d’une courbe par rapport à sa tangente

Définition 3.39 (Équation de la tangente). L’équation de la tangente (lors-qu’elle existe) à la courbe représentative de f au point de coordonnée (x0, f(x0))est donnée par la partie régulière du développement de f à l’ordre 1, c’est-à-diresi le développement limité de f est 2 :

f(x) = a0 + a1(x− x0) + (x− x0)ε(x).

l’équation de la tangente est bien :

Y = a0 + a1(X − x0).

Proposition 3.40. Pour obtenir l’équation de la tangente et la position de lacourbe par rapport à cette tangente, on cherche un développement limité de fau voisinage de x0 à un ordre n ≥ 2 de la forme :

f(x) = a0 + a1(x− x0) + an(x− x0)n + (x− x0)nε(x)

où an est le premier coefficient non nul dans le développement limité après a1

(qui, lui peut être nul, la courbe ayant alors une tangente horizontale).

La mesure algébrique (mesurée sur l’axe y′Oy) de la distance entre lepoint (x, f(x)) de la courbe et le point de même abscisse x sur la tangente en(x0, f(x0)) est donnée par :

f(x)− a0 − a1(x− x0) = (x− x0)n × (an + ε(x))

où limx→x0(an + ε(x)) = an est non nulle.Au voisinage de x0, le signe de la différence f(x)− a0 − a1(x− x0) est celui

de an(x− x0)n :– si n est pair, le signe de an(x− x0)n est constant, égal au signe de an quex soit plus petit ou plus grand que x0. Cela signifie qu’au voisinage de x0,la courbe reste d’un même côté de la tangente en x0. Plus précisément,la courbe est au-dessus de sa tangente si an > 0 et est en dessous sian < 0.

2. On sait que a0 = f(x0) et que a1 = f ′(x0)


y

x

FIGURE 3.1 – Cas où n est pair

– si n est impair, la quantité an(x−x0)n change de signe suivant que x estplus petit ou plus grand que x0 : la courbe situé d’un côté de la tagentepour x < x0 et passe de l’autre côté quand x > x0. On dit que la courbeprésente un point d’inflexion en x0.

Position d’une courbe par rapport à ses asymptotes

Proposition 3.41. Si l’on peut écrire la fonction f sous la forme f(x) =

ax + b + cxn

+ ε(x)xn

où ε(x) vers 0 quand x tend vers 0 et où c est différent de 0,alors la droite ax+ b est asymptote oblique de f en +∞ (ou en −∞) et le signede c donne la position de la courbe par rapport à son asymptote.

Si l’on considère une asymptote comme étant une tangente à l’infini, onretrouve bien les mêmes principes que pour la tangente à une courbe en unpoint x0 fini. Il suffit ici de se ramener au voisinage de 0 en posant y = 1

xen

développement g(y) = f( 1y) sous la forme g(y) = a

y+ b + cyn + ynε(y). On dit

que l’on ffectue un développement asymptotique de f en x au voisinage del’infini.

Exemple 3.42. On veut étudier l’asymptote éventuelle de f(x) = 3√x3 + x2 + 1

en +∞ et trouver la position de la courbe représentative par rapport à sonasymptote. Posons :

g(y) = f(1/y) = 3

√1 + y + y3

y3=

1

y3√

1 + y + y2


y

x

FIGURE 3.2 – Cas où n est impair, point d’inflexion


et on calcule le développement limité de 3√

1 + y + y3 au voisinage de 0 àl’ordre 2. On sait que :

3√

1 + u = 1 +1

3u− 1

9u2 + u2ε(u),

ce qui nous donne, par application du théorème des fonctions composées,

3√

1 + y + y3 = 1 +1

3y − 1

9y2 + y2η(y).

Finalement :f(x) = x+

1

3− 1

9x+

1

xη(x)

où η(x) tend vers 0 quand x tend vers l’infini. La droite y = x+ 13

est asymptoteà la courbe à l’infini ; comme f(x) − x − 1

3est du signe de − 1

9xà l’infini, la

courbe est en dessous de son asymptote à +∞ et au dessus de son asymptoteen −∞.

3.5 ExercicesExercice 3.1. 1. Montrer que pour tout réel positif x, on a :

x− x2

2+x3

3− x4

4≤ ln(1 + x) ≤ x− x2

2+x3

3.

Existe-t-il une formule analogue pour x ∈ ]−1 , 0[ ?2. Calculer ln(1, 001) et

√e avec 10 décimales exacts.

3. (a) Soit x > 0. Montrer qu’il existe un réel c ∈ ]0 , x[ tel que :

ln(1 + x) = x− x2

2+ · · ·+ (−1)n−1x

n

n+

(−1)nxn+1

(n+ 1)(1 + c)n+1.

(b) En déduire

limn→+∞

(1− 1

2+ · · ·+ (−1)n−1

n

).

Exercice 3.2 (Règle de l’Hospital). Soient f et g deux fonctions de classe C n

sur un intervalle ouvert contenant un réel x0. On suppose que :

f(x0) = f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = g(x0) = g′(x0) = · · · = g(n−1)(x0) = 0

et g(n)(x0) 6= 0.

3.5. EXERCICES 65

1. Montrer que :

limx→x0

f(x)

g(x)=f (n)(x0)

g(n)(x0).

2. Application : Calculer la limite quand x tend vers 0 des fonctions :

x 7→ ax − bx

x, a > 0, b > 0

x 7→ ex − cos(x)− sin(x)

x2.

Exercice 3.3. Calculer les DL au voisinage de 0 à l’ordre n des fonctionssuivantes :

1. ln(1 + x) + ex, n = 4 ;2. sinx+ sinhx+ cosh, n = 3 ;3. ex cos(x), n = 2 ;4. ln(2 + x)e1+x, n = 3 ;5. sin(ln(1 + x)), n = 2 ;6. ln(cos(x)), n = 3 ;7. (1 + x)sin(x), n = 3 ;8. arctan

(x

1+x2

), n = 3 ;

9.∫ 2x

xdt√t2+1

, n = 3.

Exercice 3.4. Calculer les DL au voisinage de x0 à l’ordre n des fonctionsdéfinies par :

1. ex, x0 = 2, n = 3 ;2.√x, x0 = 3, n = 2 ;

3. x ln(x)1−x2 , x0 = 1, n = 2 ;

4. 1x2

sin 1(x+1)2

, x0 = +∞, n = 5 ;

5. 1x

√x2 + x+ 1 · e1/x, x0 = +∞, n = 2.

Exercice 3.5. Calculer la limite quand x tend vers x0 des fonctions définiespar :

1. 1−cos(x)tan2(x)

, x0 = 0 ;

2.(1 + 1

x

)x, x0 = +∞ ;3. (ln(1 + x))x, x > 0, x0 = 0 ;


4. 1sin2(x)

− 1x2

, x0 = 0 ;

5. x2(e1/x − e1/(x+1)

), x0 = +∞ ;

6. (2− x)tan(πx/2), x0 = 1 ;

7. e1/x−cos(1/x)

1−√

1−(1/x2), x0 = −∞ ;

8. etan(x)−esin(x)

tan(x)−sin(x), x0 = 0 ;

9. (1−cosx) arctanx

x sin2 x, x0 = 0 ;

10. (1 + sin x)1/x, x0 = 0 ;

11.(tan πx

2x+1

)1/x, x0 = +∞.

Exercice 3.6. Soient f et g les fonctions définies par :

f(x) =

cos(x)−1

xsi x 6= 0,

0 si x = 0et g(x) =

sin2(x)ex−1

si x 6= 0,

0 si x = 0.

1. Pour chaque fonction, déterminer l’équation de la tangente à la courbeet la position de la courbe par rapport à la tangente au point 0.

2. Déterminer la position de la courbe de f par rapport à celle de g aupoint 0.

Exercice 3.7. Étudier les branches infinies des courbes des fonctions définiespar :

1. f(x) = x2+2x2−1

,

2. g(x) =√x3 + x+ 1−

√x2 − x− 1,

3. h(x) = x · e1/x −√x2 + x+ 1.

Chapitre 4

Équations différentielles

4.1 DéfinitionsDéfinition 4.1 (Équation différentielle). On appelle équation différentielled’ordre n, une relation faisant intervenir une fonction x 7→ y(x) et certaines deses dérivées. Elle s’exprime par une équation de la forme :

G(x, y(x), y′(x), . . . , y(n)(x)) = 0.

Définition 4.2 (Ordre d’une équation différentielle). L’ordre de l’équationdifférentielle est l’ordre le plus élevé de dérivation intervenant dans la relation.

Le problème de la résolution est de déterminer la (ou les) fonction(s) yvérifiant l’équation. On souhaite discuter de l’existence et l’unicité de lasolution.

4.2 Équation du premier ordreThéorème 4.3. Si la fonction F (x, y) est continue en (x, y) quand x appartientà l’intervalle I et y à J et si pour tout x ∈ I, la dérivée partielle ∂F

∂y(x, y) est une

fonction continue de y, alors, pour tout (x0, y0) ∈ I×J , il existe une et une seulesolution maximale y = f(x) de l’équation y = F ′(x, y) telle que f(x0) = y0.

Cette fonction f est définie sur un intervalle maximale inclus dans I quel’on appelle durée de vie.

4.2.1 Équations à variables séparablesDéfinition 4.4 (Équation à variables séparables). On appelle équation àvariables séparables, toute équation pouvant se mettre sous la forme g(y)y′ =

67

68 CHAPITRE 4. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

h(x). C’est-à-dire on peut séparer d’un coté, ce qui est en y et de l’autre, ce quiest en x.

On calcule alors une primitive de chacun des deux membres :∫ x

x0

g(y) dy =

∫ x

x0

h(t) dt

qui nous donne une relation de la forme :

G(y(x))−G(y0) = H(x)−H(x0)

où G et H sont des primitives de g et h respectivement. Si l’expression de Gest assez simple, on peut espérer exprimier y en fonction de x (dans certainscas, on peut exprimer x en fonction de y).

Exemples 4.5. 1. Soit à résoudre l’équation différentielle yy′ = 1 aveccondition initiale y(x0) = x0. L’intégration donne immédiatement

1

2y2 − 1

2y2

0 = x− x0,

soit y(x) = ±√

2(x− x0) + y20. Il faut choisir ensuite le signe + si y0 est

positif et le signe − sinon. La durée de vie est une demi-droite [a ,+∞[.2. Soit à résoudre l’équation différentielle x3y′ = y2. Le passage à l’écriture

y′

y2= 1

x2sous-entend que x et y soient non nuls. On notera que la fonction

y(x) = 0 identiquement nulle est solution de l’équation différentielle. Lepassage par les primtives conduit à

1

y=

1

2

(1

x2+ C

)où C est une constante.

et finalement :y(x) =

2x2

1 + Cx2.

Les figures 4.1 et 4.2 présentent la durée de vie de la solution selon si Cest positive ou négative.

4.2.2 Équation linéaireDéfinition 4.6 (Équation linéaire). On appelle équation linéaire, une équa-tion qui s’écrit a(x)y′ + b(x)y = c(x) où a, b et c sont des fonctions réelles dex.

4.2. ÉQUATION DU PREMIER ORDRE 69

y

x

FIGURE 4.1 – Pour C ≥ 0, on obtient une solution dont la durée de vie est Rtout entier (la figure correspond au cas où C > 0, pour C = 0 on obtient uneparabole)

y

x

FIGURE 4.2 – Courbe intégrale avec C négatif


On se place a priori sur chacun des intervalles où la fonction a ne s’annulepas, pour pouvoir effectuer la division. L’application linéaire se justifie enremarquant que si y1 et y2 sont deux solutions de l’équation homogène associéeou équation sans second membre. La résolution complète de l’équation vase faire en deux étapes : résolution de l’équation sans second membre, puisrecherche de la solution complète.

Résolution de l’équation sans second membre

On met cette équation sous la forme :

y

y′= − b(x)

a(x)

et l’on se ramène au calcul de la primitive de ce quotient. On n’oubliera pasla constante d’intégration. La solution va apparaître sous la forme y = λu(x)où λ est une constante.

Exemples 4.7. 1. Soit à résoudre l’équation différentielle :

2xy + y′ = 0.

On la met sous la forme y′

y= − 1

2xqui s’intègre en log

∣∣ yλ

∣∣ = −12

log |x|.Soit donc :

log∣∣∣yλ

∣∣∣ = log |x|−1/2 = log

∣∣∣∣ 1√x

∣∣∣∣ .Ce qui donne la solution :

y =λ√|x|

après élimination des logarithmes.2. Soit à résoudre l’équation différentielle :

x(x+ 1)(x2 + 1)y′ − (x2 − 2x− 1)y = 0.

On met sous la forme :

y′

y=

x2 − 2x− 1

x(x+ 1)(x2 + 1),

fraction rationnelle que l’on décompose en éléents simples sous la forme :

−1

x− 1

x+ 1+

2x

x2 + 1.

4.2. ÉQUATION DU PREMIER ORDRE 71

On en déduit par intégration :

log∣∣∣yλ

∣∣∣ = − log |x| − log |x+ 1|+ log x2 + 1 = log

∣∣∣∣ x2 + 1

x(x+ 1)

∣∣∣∣ .La solution cherchée est donc :

y = λ · x2 + 1

x(x+ 1).

Recherche d’une solution particulière

Dans certains cas simples, on peut trouver de façon évidente une fonctiony1(x), solution particulière de l’équation avec second membre. Dans ce cas, lasolution générale de l’équation différentielle est égale à y(x) = y1(x) + λu(x)où λ est une constante.

Exemple 4.8. Soit à résoudre 2xy′ + y = 1. La fonction constante y = 1 estsolution de l’équation ; la solution la plus générale est donc :

y = 1 +λ√|x|.

Méthode de la variation de la constante

On a donc déterminé la solution de l’éaquation homogène λu(x), c’est-à-dire vérifiant

λa(x)u′(x) + λb(x)u(x) = 0.

On va chercher la solution de l’équation complète sous la forme y(x) =λ(x)u(x) où maintenant λ(x) est une fonction de x. En dérivant y(x) commeproduit de deux fonctions et en reportant de l’équation, on obtient :

a(x)(λ′(x)u(x) + λ(x)u′(x)) + b(x)λ(x)u(x) = c(x),

soitλ(x)(a(x)u′(x) + b(x)u(x)) + λ′(x)a(x)u′(x) = c(x)

où le terme a(x)u′(x) + b(x)u(x) est identiquemetn nul. On est ramené àl’équation λ′(x)a(x)u(x) = c(x) qui fait seulement intervenir la dérivée deλ(x). Il s’agit simplement d’un calcul de la primitive de c(x)(a(x)u(x))−1. Onen déduit λ(x) (avec une constante d’intégration) et la solution de l’équationen multipliant par u(x).


Exemples 4.9. 1. Soit à résoudre l’équation différentielle 2xy′ + y = 11−x .

La solution de l’équation homogène associée est y = λ√|x|

où λ est une

constante. On cherche maintenant y(x) = λ(x)√|x|

où λ est une fonction de

x. Le calcul de dérivation et le remplaement conduisent à l’équation :

2xλ′(x)√|x|

=1

1− x.

A cet instant, il faut distinguer deux cas : x < 0 ou x > 0.– Si x > 0 alors on obtient :

λ(x) =

∫dx

2√x(1− x)

que l’on intégre en posant x = t2, dx = 2t. D’où :

λ =

∫dt

1− t2=

1

2log

∣∣∣∣1 + t

1− t

∣∣∣∣+ C = argtanh t+ C

ety(x) =

argtanhx+ C√x

.

– Si x < 0 alors :λ(x) = −

∫dx

2√−x(1− x)

.

Ici, l’écriture est correcte car si x < 0 alors −x > 0, la racine contientbien un terme positif. On pose donc x = −t2, dx = −2t dt et λ devient :

λ(t) =

∫dt

1 + t2= arctan t+ C,

d’où la solution :y(x) =

arctan(−x) + C√−x

.

2. Soit à résoudre l’équation différentielle suivante :

x(x+ 1)(x2 + 1)y′ − (x2 − 2x− 1)y = (1− x)(1 + x2)2e−x.

On cherche la solution générale sous la forme y = λ(x) x2+1x(x+1)

; la dériva-tion et le remplacement conduisent à :

x(x+ 1)(x2 + 1)λ′(x)x2 + 1

x(x+ 1)= (1− x)(1 + x2)2e−x,

soit λ′(x) = (1− x)e−x. Une intégration par parties nous donne λ(x) =xe−x + C et finalement

y(x) =x2 + 1

x(x+ 1)(xe−x + C).

4.3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE 73

4.3 Équations différentielles du second ordreCette partie est consacrée à l’étude des équations différentielles du second

ordre à coefficients constants du type :

ad2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = f(x) (4.1)

où a, b, c sont des constantes réelles et où f(t) est une fonction infinimentdérivable sur R à valeurs dans R ou C, y(t) est une fonction infinimentdérivable sur R à valeurs dans R ou C.

4.3.1 Équation homogèneSi y1 et y2 sont des solutions de l’équation (4.1) alors la fonction y = y1− y2

est solution de l’équation :

ad2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = 0 (4.2)

qui est appelé équation homogène associée à (4.1). On en déduit facilementque l’ensemble des solutions de l’équation (4.1) s’écrit comme la somme d’unesolution particulière de (4.1) et de l’ensemble des solutions de (4.2). On vadonc tout d’abord s’attacher à résoudre l’équation homogène.

Remarque 4.10. Supposons que l’on connaisse deux solutions y1 et y2 del’équation homogène (4.2). Si λ et µ sont deux complexes, alors λy1 + µy2 estencore une solution de l’équation (4.2). C’est l’expression du caractère linéairede cette équation.

Théorème 4.11. Pour exprimer la solution générale réelle y(t) de l’équationdifférentielle homogène,

ay′′ + by′ + cy = 0, pour a, b, c ∈ R,

on utilise les racines r1 et r2 de l’équation caractéristique ar2 + br + c = 0.– Si b2 − 4ac > 0 alors r1 et r2 sont distinctes et réelles. On a :

y1(t) = k1er1t + k2er2t, k1, k2 ∈ R.

– Si b2 − 4ac = 0, alors r1 = r2 et :

y(t) = (k1t+ k2)er1t, k1, k2 ∈ R.

– Si b2 − 4ac < 0, alors r1 = r2 et si r1 = α + iΩ :

y(t) = eαt(k1 cos(Ωt) + k2 sin(Ωt), k1, k2 ∈ R.


4.3.2 Solutions de l’équation avec second membreSoit y(x) = λ1y1(x) + λ2y2(x) (avec λ1, λ2 ∈ R) la solution générale de

l’équation homogène. On cherche alors une solution particulière de l’équationavec second membre sous la forme λ1(x)y1(x) + λ2y2(x) où les fonctions x 7→λ1(x) et x 7→ λ2(x) sont à déterminer. Pour les déterminer, on peut imposer lacondition :

λ′1(x)y1(x) + λ′2(x)y2(x) = 0.

Remarques 4.12 (Cas particuliers). 1. Si le second membre est de la formePn(x)eαx où Pn(x) est un polynôme de degré n et α un nombre réel, oncherchera une solution particulière sous la forme

y0 = xsQn(x)eαx

où s est l’ordre de multiplicité de a comme racine de l’équation caracté-ristique (s = 0 si a n’est pas une racine de l’équation caractéristique) etQ est un polynôme de degré inférieur ou égal à n.

2. Si le second membre de l’équation de la forme :

eαx|Pn(x) cos(βx) +Qn(x) sin(βx)

avec Pn et Qm des polynômes de degré, respectivement n et m et avecα et β des réels différents de 0, on cherche une solution particulière del’équation avec second membre de la forme :

y0 = xseαxQn(x)[Tk(x) cos(βx) +Rk sin(βk)]

où s est l’ordre de multiplicité de a + ib comme racine de l’équationcaractéristique (s = 0 ou 1), k = max(n,m), Tk et Rk sont des polynômede degré inférieur ou égal à k.

Exemple 4.13. Soit à résoudre l’équation différentielle suivante :

y′′ − 2y′ + 2y = 2x2 − 4x+ 4. (4.3)

L’équation caractéristique associée à l’équation est r2− 2r+ 2 = 0. Elle admetles racines complexes 1 + i et 1− i. Donc, la forme générale des solutions del’équation homogène associée à l’équation est :

y = ex(A cosx+B sinx)

où A et B sont des nombres réels. Comme le second membre de l’équationest une fonction polynôme du second degré en x, cherchons une solution

4.4. EXERCICES 75

particulière sous la forme y = ax2 + bx+ c. On a y′ = 2ax+ b et y′′ = 2a, d’où*en partant de l’équation de départ :

2a− 4ax− 2b+ 2ax2 + 2bcx+ 2c = 2x− 4x+ 4.

Par identification, on en tire :2a = 2

2(b− 2a) = −4

2(a+ c− b) = 4

de solutions a = 1, b = 0 et c = 1. La forme générale des solutions de l’équationest :

y = ex(A cosx+B sinx) + x2 + 1

où A et B sont des nombres réels.

4.4 ExercicesExercice 4.1. Résoudre les équations :

1. y′′ + 5y′ + 4y = 0.

2. y′′ + 4y′ + 4y = 0.

3. y′′+3y′+4y = 0. Déterminer la solution qui vérifie y(0) = 1 et y′(0) = −1.

4. x′′ + 3x′ + 2x = et.

5. y′′ + y′ = 4x2ex.

6. y′′ + 10y′ + 25y = 4e−5x.

7. y′′ + 3y′ + 2y = x sinx.

8. y′′ + 6y′ + 5y = sin 3x+ (x2 − x+ 1)e−x.

9. y′′ + 2y′ + 5y = e−x cos 2x.

10. y′′ + y = tanx.

11. y′′−2y′+y = 2ex

(1+x)3. On cherchera une solution particulière sous la forme

y = exx.

Exercice 4.2. Soit l’équation :

x2y′′ − 3xy′ + 4y = x3. (4.4)


1. Trouver un réel r tel que xr soit solution de l’équation homogène :

x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0. (4.5)

Résoudre (4.5) sur chacun des intervalle ]−∞ , 0[, ]0 ,+∞[, en utilisantle changement de fonction défnie par y = xrz.

2. Montrer que (4.4) admet une solution polynômiale.3. Donner la solution générale de (4.4) sur chacun des intervalles ]−∞ , 0[,

]0 ,+∞[.4. Déterminer les solutions de (4.4) sur R.

Annexe A

Formulaires

A.1 Primitive des fonctions usuelles

La table suivante présente les primitives des fonctions usuelles.

Fonction Primitives Intervalle de validitéxn xn+1

n+1+ c R∗+ (R si n ∈ N)

1x

lnx+ c R∗+ ou R∗−eαx 1

αeαx + c α 6= 0

ln(x) x lnx− x R∗+1

1+x2arctanx+ c R

1x2+a2

1a

arctan(xa

)+ c R

1√1−x2 arcsin(x) + c ]−1 , 1[1√

1+x2argsinh(x) + c = ln(x+

√1 + x2) + c R

1√x2−1

argcosh(x) + c = ln∣∣x+

√x2 − 1

∣∣+ c ]−∞ ,−a[ ou ]a ,+∞[

sin(x) − cos(x) + c Rcos(x) sin(x) + c R

1cos2(x)

tan(x) + c ]−π2

+ kπ , π2

+ kπ[, k ∈ Z

tanx − ln |cosx|+ c ]−π2

+ kπ , π2

+ kπ[, k ∈ Zsinh(x) cosh(x) + c Rcosh(x) sinh(x) + c R

TABLE A.1 – Primitives de fonctions usuelles

77

78 ANNEXE A. FORMULAIRES

A.2 Quelques formules de DL au voisinage de0

La table A.2 donne un formulaire sur les DL au voisinage de 0.

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ o(xn)

cosh(x) = 1 +x2

2!+x4

4!+ · · ·+ x2n

(2n)!+ o(x2n+1

)sinh(x) = x+

x3

3!+x5

5!+ · · ·+ x2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2

)cos(x) = 1− x2

2!+x4

4!+ · · ·+ (−1)n · x

2n

(2n)!+ o(x2n+1

)sin(x) = x− x3

3!+x5

5!+ · · ·+ (−1)n · x2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2

)(1 + x)α = 1 + αx+

α(α− 1)

2!x2 + · · ·+ α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

n!xn + o(xn)

1

1 + x= 1− x+ x2 + · · ·+ (−1)nxn + o(xn)

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ · · ·+ (−1)n−1 · x

n

n+ o(xn) .

TABLE A.2 – Quelques formules de DL au voisinage de 0

A.3 Quelques formules de trigonométrie– Table A.3 : Valeurs particulières de cos et sin,– Table A.4 : Relations particulières entre cos et sin,– Table A.5 : Formules d’Euler,– Table A.6 : Formule d’addition,– Table A.7 : Formules de duplication,– Table A.8 : Formule de linéarisation,– Table A.9 : Autres formules.

A.3. QUELQUES FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE 79

0 π6

π4

π3

π2

cos 1√

32

√2

212

0

sin 0 12

√2

2

√3

21

TABLE A.3 – Valeurs particulières de cos et sin

cos(−α) = cos(α)

cos(α + π) = − cos(α)

cos(α +

π

2

)= − sin(α)

cos(π − α) = − cos(α)

cos(π

2− α

)= sin(α)

sin(−α) = − sin(α)

sin(α + π) = − sin(α)

sin(α +

π

2

)= cos(α)

sin(π − α) = sin(α)

sin(π

2− α

)= cos(α)

TABLE A.4 – Relations particulières entre cos et sin

cos(x) =eix + e−ix

2

sin(x) =eix − e−ix

2i

cosh(x) =ex + e−x

2

sinh(x) =ex − e−x

2

TABLE A.5 – Formule d’Euler


cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y)

sin(x+ y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

cos(x− y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y)

sin(x− y) = sin(x) cos(y)− cos(x) sin(y)

TABLE A.6 – Formule d’addition

cos(2x) = cos2(x)− sin2(x) = 2 cos2(x)− 1 = 1− 2 sin2(x)

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

cos(3x) = 4 cos3(x)− 3 cos(x)

sin(3x) = 3 sin(a)− 4 sin3(a)

TABLE A.7 – Formule de duplication

cos2(x) =1 + cos(2x)

2

sin2(x) =1− cos(2x)

2

cos3(x) =cos(3x) + 3 cos(x)

4

sin3(x) =− sin(3x) + 3 sin(x)

4

TABLE A.8 – Formule de linéarisation

A.3. QUELQUES FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE 81

cos(x) cos(y) =1

2[cos(x− y) + cos(x+ y)]

cos(x) sin(y) =1

2[sin(x+ y)− sin(x− y)]

sin(x) sin(y) =1

2[cos(x− y)− cos(x+ y)]

cos(p) + cos(q) = 2 cos

(p+ q

2

)cos

(p− q

2

)cos(p)− cos(q) = −2 sin

(p+ q

2

)sin

(p− q

2

)sin(p) + sin(q) = 2 sin

(p+ q

2

)cos

(p− q

2

)sin(p)− sin(q) = 2 sin

(p− q

2

)cos

(p+ q

2

)

TABLE A.9 – Autres formules


Bibliographie

[1] T. GALLOUËT & A. BENABDALLAH, Analyse (2ème semestre), Universitéde Marseille, Licence de Mathématiques, 1ère année.

[2] M. BAUER, Analyse 1, Résumé succinct, Cours de première année delicence, Université de Rennes 1, Version du 4 novembre 2008.

[3] Chapitre 2 : Polynômes,URL : http://www.math-express.com/articles/polynomes.pdf

[4] Chapitre 5 : Polynômes, Université Paris 12, URL : http://ufr-math-p12.univ-mlv.fr/L1/telecharger/Anciens%20cours/MIAS1chap5.pdf

[5] F. FERRÉOL, 9. Polynômes, Cours MPSI.[6] Polynômes, IUT Orsay, Mesures Physiques, Cours du 1er sem-

stre, URL : http://www.iut-orsay.fr/dptmphy/Pedagogie/Mathematiques/S1/Cours-8-Polynomes.pdf

[7] G. CONSTANTINI, Calcul intégral, URL : http://bacamaths.net.[8] C. BERTAULT, Calcul intégral, MPSI.[9] M. BAUER, Chapitre 8 : Calcul de primitives.

[10] J.-M. GINOUX, Développements limités 5, URL : http://ginoux.univ-tln.fr.

[11] M. BAUER, Chapitre 10 : L’outil développement limité, URL : http://perso.univ-rennes1.fr/maximilian.bauer.

[12] V. DUCHÊNE, Feuille 4 : Développements limités, PCME 24.2, LM110 :Fonctions, 2008-2009.

[13] R. FERRÉOL, 8. Fonctions de R dans R : Formules de Taylor - Young -Développements limités, Exercices MPSI, 09/10.

[14] G. CONSTANTINI, Équations différentielles - Modèles d’évolution.[15] J.-L. RAIMBAULT, Équations différentielles, cours et exericces, Université

Paris XI, 2007.

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[17] G. CONSTANTINI, Trigonométrie : formulaires.

Index

équationà variables séparables, 61différentielle, 61

ordre, 61homogène, 63

résolution, 63linéaire, 62

algorithmed’Euclide, 6

anneau, 2commutatif, 2homomorphisme, 2intégre, 2unitaire, 2

coefficientdominant, 4

développementasymptotique, 56

développement limitécomposition, 52dérivation, 53en 0, 41en x0, 43intégration, 53partie régulière, 41produit, 51quotient, 51somme, 50

élémentpremière espèce, 11seconde espèce, 11

simple, 11extremum local, 46

fonctionéquivalente en +∞, 54équivalente en x0, 53étagée, 20en escalier, 20majorant, 22minorant, 22valeur absolue, 24

formulede Bézout, 6

généralisaion, 7de la moyenne, 25

formule de Tayloravec reste intégral, 47avec reste lagrangien, 47Maclaurin, 48, 49Young, 48

fractionrationelle, 10

idéal, 2inégalité

des accroissements finies, 45intégrale, 20

de Riemann, 20fonction en escalier, 20linéarité, 23

intégrationpar changement de variables, 28

trigonométrique, 31par parties, 27

85

86 INDEX

intervallecentré en x0, 43

irréductible, 8

lemmede Gauss, 7

méthodede la variation de la constante, 64

maximum local, 46minimum local, 46

partiepolaire, 14principale, 11

pointd’inflexion, 56

polynômeaddition, 2coefficient, 1coefficients, 1décomposition, 9définition fonctionnelle, 1définition générale, 1degré, 4division euclidienne, 5, 51

quotient, 5, 51reste, 5, 51

fonction, 9multiplication, 3racine, 9

double, 10multiple, 10ordre, 10simple, 10

terme constant, 1unitaire, 4variable, 1zéro, 9

polynômesassociés, 5premiers entre eux, 7

primitive, 25

relationde Chasles, 23

Riemann-intégrable, 20

solution, 61durée de vie, 61particulière, 64

sommede Riemann, 19

sous-anneau, 2

tagenteéquation, 55

théorèmede D’Alembert-Gauss, 10de Rolle, 44des accroissements finies, 45fondamental de l’analyse

deuxième version, 26première version, 25

Documents

M103 : Fondements de l'analyse 2 - Les Maths de Cl©ment Boulonne