Chapitre 4
TRANSFORMATION DE FOURIER
1- Definition : F(f)() = f() =IR
e2ipixf(x) dx.
2- Proprietes elementaires
Formule de Plancherel Si f, g L1,
f(t).g(t) dt =
f(t).g(t) dt.
Decalage : F(f(t a))() = e2ipiaf().Modulation : f( 0) =
F(exp(2ipi0t).f(t))().
Changement dechelle : F(f(at))() = 1|a| f(a
)(en particulier F(f(t))() = F(f)())
Transformee inverse de Fourier : f(x) =p.p.
e2ipixf() d sous reserve dintegrabilites.
Derivation et transformee de Fourier : f (k)() = (2ipi)k f() et
f (k)() = (2ipi)k tkf(t)().Convolution : f g = f .g et f.g = f g
sous reserve des integrabilites.
Exercices dentranement
1. Determiner les transformees de Fourier des fonctions :
a) t 7 c 1I[T,T ](t), b) t 7sin tt
, c) t 7 e|t|/T , d) t 7 1pi
11 + t2
.
2. Soit f(x) = epix2. Determiner (f()) et en deduire une
equation differentielle en f que
lon resoudra. [On rappelle queIR
epix2dx = 1]
3. Soit lequation integrale, pour 0 < a < b et f L1(IR)
:IR
f(t)(x t)2 + a2 dt =
1x2 + b2
()
Exprimer () sous forme dune equation de convolution, determiner
f() et en deduire f(t).
4. Soit f : IR C integrable et f sa transformee de Fourier.Pour
tout T > 0 et pour tout t IR, on definit fT (t) =
TT
(1 |x|
T
)e2ipitxf(x) dx.
1) Demontrer que fT (t) =1
pi2T
+0
sin2(piTs)s2
(f(t+ s) + f(t s)) ds.
2) Calculer la valeur de I = +0
sin2 uu2
du.
1
3) Supposons f bornee. Montrer quen tout point t IR ou` f(t+) et
f(t) existent, on a :
limT+
fT (t) =12(f(t+) + f(t)).
5. Resoudre lequation de Laplace2
x2+
2
y2= 0 ou` y > 0, avec
x 0 et 0 quand
(x, y) +, (x, 0) = 1 pour |x| 1 et (x, 0) = 0 pour |x| > 1.
[Utiliser la transformee deFourier par rapport a` x]
The`me detude : resolution de lequation de la chaleur
Objectif : Etude de levolution de la temperature a` linterieur
dune tige rectiligne, ho-moge`ne, de section petite par rapport a`
la longueur que lon suppose infinie.
On note u(x, t) la temperature de la tige en labscisse x au
temps t. Lequation aux deriveespartielles associee a` ce mode`le
est lequation de la chaleur :
u
t= a2
2u
x2
(avec a2 =
cou` est la conductivite de la tige, sa masse volumique et c sa
chaleur specifique.)
On va resoudre ce proble`me dans le cas ou` la temperature est
soumise a` la condition initialeu(x, 0) = (x), ou` est une fonction
bornee et integrable sur IR. On suppose u de classe C2 parrapport
a` x, et de classe C1 par rapport a` t.
1) Appliquer la transformee de Fourier par rapport a` x, aux
deux membres de lequation dela chaleur. En deduire une equation
differentielle verifiee par u(x, t). La resoudre.
2) Exprimer u(x, t) sous forme dun produit de convolution.
2
