M302 : Géométrie affine et euclidienne

Université des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

M302 : Géométrie affine et euclidienne

Notes de cours par Clément Boulonne

L3 Mathématiques 2008 - 2009

Table des matières

1 Structures algébriques 31.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Homomorphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Groupes opérant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Ensembles quotients - groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Produit direct et produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Espaces affines 122.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Vectorialisé d’un espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Dimension, repère affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Barycentres et coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.1 Coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.2 Famille affinement libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Plongement dans un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Droite dans un plan en coordonnées cartésiennes et barycentrique . . . . . . . . 182.8 Intersection et parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.9 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.10 Groupes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.11 Le groupe des homothéties et translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.12 Projections, symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.13 Affinités et transvections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.14 Théorèmes principaux pour la géométrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.14.1 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.14.2 Le théorème de Ménélaüs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.14.3 Le théorème de Céva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.14.4 Le théorème de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.14.5 Le théorème de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 L’axiomatique de Hilbert 393.1 Les axiomes d’incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Les axiomes d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Axiomes de congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Le postulat d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5 Axiomes de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6 Compatibilité et indépendance des axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2

4 Espaces euclidiens 464.1 Produit scalaire et distance euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Projections et symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4 Formes linéaires, dual, adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4.1 Adjoint d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5 Isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5.1 Déplacements et anti-déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5.2 Décomposition canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5.3 Génératerurs de Isom(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.6 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6.1 Angles orientés de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6.2 Angles orientés de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.6.3 Mesure des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.6.4 Angles géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.7 Isométrie en dimension 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.7.1 Classification en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.7.2 Classification en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.8 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.8.1 Similitudes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.8.2 Les similitudes planes et le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Géométrie du triangle et du cercle 665.1 Médiatrices, médianes, hauteurs, bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.1 Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2 Critère de cocyclicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.1 Le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4 Cas d’égalité et de similitudes des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4.1 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Géométrie dans l’espace 736.1 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Calcul d’aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 Les polyèdres convexes réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.3.1 Polyèdres convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 Groupes de transformations 777.1 Géométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2 Expression analytique dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.3 Isométries fixant une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3.1 Triangles et quadrilatères dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A Barycentre (par Jean-François Robinet) 80A.1 L’espace des points pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.2 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

A.2.1 Repères barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.2.2 Application : milieu d’un segment, parallélogrammes . . . . . . . . . . . 83

A.3 Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4

A.3.1 For the Snark was just a Boojum, you see ! . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.3.2 Calcul des coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Chapitre 1

Structures algébriques

NB : Les démonstrations manquantes sur certains théorèmes ou propositions sont laisséesen exercice

1.1 Groupes

1.1.1 Premières définitionsDéfinition 1.1.1. Une opération ∗ est une application :

∗ : G×G → G(x, y) 7→ x ∗ y

Définition 1.1.2. Soit G un ensemble muni d’une opération. On dit que (G, ∗) est un groupesi :1) L’opération ∗ est associative : ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) = a ∗ b ∗ c.2) Existence d’un élément neutre eG tel que ∀a ∈ G, a ∗ eG = eG ∗ a = a.3) Existence d’inverses : ∀a ∈ G, ∃a′ ∈ G tel que : a ∗ a′ = a′ ∗ a = eG. En général, on le note

a−1.

Exemple 1.1.1. – (Z,+), (Q,+), (Q∗,×), (R,+), (R∗, x) sont des groupes infinies.– (Z/nZ,+), ((Z/pZ)∗,×) avec p premier.– Les matrices inversibles munis du produit des matrices.– (Mn(K),+)– Groupes de permutations

Définition 1.1.3. Un sous-ensemble F de (G, ∗) est un sous groupe si :1) il est stable par ∗.2) (F, ∗) a une structure de groupe, c’est-à-dire :

∗ : F × F → F(a, b) 7→ a ∗ b

Proposition 1.1.1. Soit (G, ∗) un groupe et F ⊂ G alors l’ensemble (F, ∗) est un sous-groupesi et seulement si : ∀(a, b) ∈ F × F , on ait : a ∗ b−1 ∈ F .

5

6 Chapitre 1. Structures algébriques

1.1.2 Homomorphisme de groupesDéfinition 1.1.4. Soient (G, ∗) et (G′,4) deux groupes. Une application ϕ de G→ G′ est unhomomorphisme de groupes si ∀(a, b) ∈ G2, on a :

ϕ(a ∗ b) = ϕ(a)4ϕ(b)

Exemple 1.1.2. – Les applications linéaires d’un espace vectoriel E dans lui-même sontdes homomorphismes du groupe additif (E,+).

– La fonction exponentielle est un morphisme de (C,+) → (C∗,+). On a : exp(x + y) =expx exp y

Proposition 1.1.2. Soient (G, ∗) et (G′,4) deux groupes, ϕ est un homomorphisme de G→ G′

alors :1) Le noyau de ϕ, Ker(ϕ) = x ∈ G |ϕ(x) = eG′ est un sous-groupe de (G, ∗).2) L’image de ϕ, Im(ϕ) = ϕ(x), x ∈ G = y ∈ G′, ∃x ∈ G ; y = ϕ(x) est un sous-groupe de

(G′,4).

1.1.3 Groupes opérant sur un ensembleDéfinition 1.1.5. (G, ∗) un groupe, X un ensemble. On considère SX l’ensemble des bĳectionsde X → X. On dit que le groupe (G, ∗) agit sur l’ensemble X s’il existe un morphisme α de(G, ∗) sur (SX , ) tel que :

α : G → SXg 7→ α(g)

etα(g) : X → X

x 7→ α(g)(x)

α(g) est une bĳection de X. α est un morphisme de groupes, c’est-à-dire ∀g, h ∈ G : α(g ∗h) =α(g) α(h). C’est-à-dire ∀x ∈ X, α(g ∗ h)(x) = (α(g) α(h))(x).

Notation. Pour alléger les notations :1. Pour g, h ∈ G, on notera gh = g ∗ h.2. Pour g ∈ G, x ∈ X, on notera g.x = α(g)(x).Donc : la Définition 1.1.5. s’écrit de cette manière : g.(h.x) = (gh).x.

Exemple 1.1.3. 1. G agit sur lui-même :– par translation : g.x = gx ou bien g.x = xg, x ∈ G et g ∈ G.– par automorphisme intérieur : g.x = gxg−1 ou g′xg, x ∈ G et g ∈ G.

2. E un espace vectoriel, G = GL(E), u ∈ GL(E), x ∈ E, u.x = u(x).

Définition 1.1.6. G opérant sur X, x ∈ X :

Gx = g ∈ G | g.x = x

est un sous-groupe de G appelé stabilisateur de x.

Définition 1.1.7. L’ensemble G.x = g.x, g ∈ G ⊂ X est appelé l’orbite de X (sous l’actionde G).

Chapitre 1. Structures algébriques 7

Proposition 1.1.3.Kerα =

⋂x∈X

Gx

Démonstration. Soit α : G→ SX . Alors :

Kerα = g ∈ G |α(g) = idX = g ∈ G | ∀x ∈ X, g.x = x =⋂x∈X

Gx

Proposition 1.1.4. Les sous-groupes Gx et Gy sont conjugés si x et y sont dans la mêmeorbite (y ∈ G.x).

Démonstration. Si x et y sont dans la même orbite : ∃g ∈ G, y = g.x :

Gy = h ∈ G, h.y = y = h ∈ G, h.(g.x) = g.x = h ∈ G, (g−1hg).x = x

h ∈ Gy ⇔ g−1hg ∈ Gx donc Gy = gGxg−1.

Définition 1.1.8. – On dit que G opére transitivement sur X si ∀(x, y) ∈ X2,∃g ∈ G telque y = g.x.

– On dit que G opére fidèlement sur X si la relation ∀x, gx = x ⇒ g = eG. On a alors :Kerα = eG.

Proposition 1.1.5. Soit G commutatif, opérant fidèlement et transitivement sur X. Alors∀(x, y) ∈ X2, ∃!g ∈ G tel que y = g.x. En particulier, ∀x ∈ X, l’application :

. : G → Xg 7→ g.x

est une bĳection.

Démonstration. Soit x ∈ X, g ∈ G tel que g.x = x (g ∈ G.x). Soit y ∈ X, le groupe agittransitivement, ∃h ∈ G tel que y = h.x.

g.y = g.(h.x) = (gh).x = (hg).x = h.(g.x) = h.x = y

donc ∀y ∈ X, g.y = y, or le groupe opère fidèlement donc ceci implique que g = eG.On suppose que ∃h et h′ ∈ G tel que y = h.x = h′.x. On a alors :

h.x = h′.x⇔ x = (h−1h′).x⇔ h−1h′ = eG ⇔ h = h′

d’où l’unicité.Proposition 1.1.6. L’action de G sur X induit une relation d’équivalence sur X :

(x, y) ∈ X2, x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G, y = g.x

Définition 1.1.9. La classe d’équivalence d’un élément x est son orbite G.x.Proposition 1.1.7 (Formule des classes). Soit G un groupe fini opérant sur X un ensemblefini. S ⊂ X un ensemble de représentants des orbites. Alors on a :

card(X) =∑s∈S

cardGcardGs

Définition 1.1.10. Soit G opérant sur 2 ensembles X et Y et ϕ : X → Y une application. Ondit que ϕ est compatible avec les actions de G sur X et Y (ou G-compatible) si ∀x ∈ G, x ∈X, ϕ(g.x)︸︷︷︸

opérant sur X

= g.ϕ(x)︸︷︷︸opérant sur Y


1.2 Ensembles quotients - groupes quotientsDéfinition 1.2.1. Soit X un ensemble, ∼ une relation d’équivalence sur X. L’ensemble X/ ∼est l’ensemble des classes d’équivalence.

Définition 1.2.2. G un groupe et H un sous-groupe. La relation :

g ∼ g′ ⇔ g−1g′ ∈ H ⇔ gH = g′H

avec :gH = gh, h ∈ H

L’ensemble quotient pour cette relation d’équivalence est noté (G/H)d. C’est l’ensemble desclasses gH, g ∈ G qu’on nomme classe à droite.

On définit de même les classes à gauche Hg = hg, h ∈ H :

g ∼ g′ ⇔ Hg = Hg′ ⇔ gg′−1 ∈ H

Exemple 1.2.1 (Exemple commutatif). C’est le cas de Z/nZ. Soit a ∈ Z alors :

a+ nZ = a+ nk, k ∈ Z

et :a ∼ b⇔ a− b ∈ nZ⇔ n|a− b

Définition 1.2.3. Le groupe G agit sur (G/H)d de la manière suivante. Soit x = xH ∈ (G/H)davec x ∈ G, on a ainsi : g.x = (gx)H. On vérifie que l’on a bien une action de groupe surl’ensemble (G/H)d.

Remarque. Si on considère :G→ Gg 7→ g′

Cette bĳection induit une bĳection de (G/H)d sur (G/H)g.

Définition 1.2.4. Si G est un groupe fini et H un sous-groupe de G, on appelle indice de Hdans G, noté [G : H] le cardinal de l’ensemble (G/H)d (ou (G/H)g).

Proposition 1.2.1. Soit G un groupe fini, H un sous-groupe de G, on a :

card(G) = card(H)[G : H]

Démonstration. Soit xH ∈ (G/H)d, x ∈ G. Soit :

ψ : H → Gh 7→ xh

On a que ψ est injective et son image est l’ensemble xH. Donc ψ est une bĳection de H surxH. Ainsi, toutes les classes d’équivalences ont le même nombre d’éléments. Or, les classesd’équivalences forment une partition de G et l’indice [G : H] désigne le nombre d’éléments de(G/H)d, c’est-à-dire le nombre de classes d’équivalence. D’où :

card(G) = [G : H] card(H)


Définition 1.2.5 (Sous-groupe distingué (ou normal)). Un sous-groupe H d’un groupe G estdit distingué dans G (ou normal), noté H C G s’il vérifie l’une des conditions équivalentessuivantes :1) ∀x ∈ G, xH = Hx

2) ∀x ∈ G, xH ⊂ Hx

3) ∀x ∈ G, xHx−1 = H

4) ∀x ∈ G, xHx−1 ⊂ H

Démonstration : Equivalence des conditions de sous-groupe distingué. 2) ⇒ 1) : On supposeque ∀x ∈ G, xH ⊂ Hx. On démontre qu’alors on a Hx ⊂ xH. On considère x ∈ G, h ∈ H etl’élément h−1x.

(h−1x)−1 = x−1h ∈ x−1H ⊂ Hx−1

donc ∃h′ ∈ H tel que :x−1h = h′x−1 ⇔ hx = xh′

Donc : hx ∈ xH. On a bien : Hx ⊂ xH.

Proposition 1.2.2. Soit H un sous-groupe de G, la loi de composition définie sur (G/H)dpar (xH).(yH) = xyH est une application et munit (G/H)d d’une structure de groupe si etseulement si H C G.

Démonstration. 1) On suppose que (G/h)d groupe pour la loi ∗ : (xH) ∗ (yH) = xyH aveceH = H l’élément neutre. On démontre que H C G. Soit x ∈ G et h ∈ H.

xhx−1H = (xH) ∗ (hH)) ∗ (x−1H) = (xH) ∗ (x−1H) = H

On a donc : ∀x ∈ G, xHx−1 ⊂ H : ce qui prouve que H C G.2) On suppose que H C G. On considère :

(G/H)d × (G/H)d → (G/H)d(xH, yH) 7→ (xH) ∗ (yH) = xyH

On suppose que x et x′ tel que xH = x′H et y et y′ tel que yH = y′H. On montre quexyH = x′y′H. Or H C G :

xyH = xHy = xHHy = xHyH = x′Hy′H = x′HHy′ = x′Hy′ = x′y′H

L’associativité est évidente et on a (xH)−1 = x−1H.

Proposition 1.2.3. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Soit x ∈ X alors l’orbitede x, G.x est stable par l’action de G et G.x muni de l’action induite est isomorphe (en tantque G-ensemble) à l’ensemble quotient G/Gx.

Démonstration. Stabilité : Soit y ∈ G.x, il existe h ∈ G tel que y = h.x, pour tout g ∈ G, ona :

g.y = g.(h.x) = (gh).x ∈ G.x

Isomorphisme : ϕ : G → G.xg 7→ g.x

est surjective.

ϕ(g) = ϕ(h)⇔ g.x = h.x⇔ (h−1g).x = x⇔ h−1g ∈ Gx


Cette application induit donc une bĳection de G.x sur G/Gx compatible avec l’action G.

ϕ : (G/Gx)d → G.xh.Gx 7→ h.x

ϕ compatible avec la structure de G-ensemble de (G/Gx)d et G.x ⊂ X.

ϕ(g(h.Gx)) = ϕ((gh)Gx) = (gh).x

g.ϕ(h.Gx) = g.(hx) = (gh).x

Les ensembles (G/Gx) et G.x sont isomorphes au sens de leur structure de G-ensembles. Si Gfini :

card(G/Gx) = card(G.x) = card(G)card(Gx)

X =⋃s∈S

s.X

où S est un ensemble de représentants des orbites 1. D’où le résultat :

card(X) =∑s∈S

cardGcardGs

1.3 Produit direct et produit semi-directProposition 1.3.1. Soient (H, ∗) et (K,4) deux groupes. Le produit cartésien H × K =(h, k), h ∈ H, k ∈ K muni de l’opération suivante · défini par :

(h, k) · (h′, k′) = (h ∗ h′, k4k′)

est appelé produit direct et c’est un groupe.

Exemple 1.3.1. R× R = R2 = (x, y), x ∈ R, y ∈ R muni de l’addition :

(x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′)

Proposition 1.3.2. Soit G produit direct de deux de ses sous-groupes. H C G, K C G tel queH ∩G = e et H.K2 = G. Alors G ' H ×K et ∀h ∈ H et ∀k ∈ K, kh = hk.

Démonstration.ϕ : H ×K → G = H.K

(h, k) 7→ h.k

ϕ est surjective. On montre que pour tout h ∈ H et pour tout k ∈ K, hk = kh. Or : K C G,∀h ∈ H ⊂ G et ∀k ∈ K, on a :

h−1kh ∈ K ⇒ (h−1.k.h)k ∈ K1Les orbites sont disjointes ou confondues, elles forment une partition de X2H.K = hk, h ∈ G, k ∈ K


On a aussi : H C G, ∀k ∈ K ⊂ G, ∀h ∈ H, k−1hk ∈ H et h−1 (k−1.h.k)︸︷︷︸∈H

∈ H car H C G. On a

donc :h−1k−1hk ∈ H ∩K = e

où :h−1k−1hk = e⇔ h−1hk = h⇔ hk = kh

On vérifie que ϕ est un morphisme de groupes. h, h′ ∈ H, k, k′ ∈ K.ϕ((h, k).(h′, k′)) = ϕ((hh′, kk′)) = (hh′)(kk′) = h(kh′)k = (hk)(h′k′) = ϕ(h, k).ϕ(h′, k′)

ϕ injective ⇔ [ϕ(h) = e⇔ h = e

ϕ(h) = ϕ(g)⇔ ϕ(h)ϕ(g−1) = e⇔ ϕ(h)ϕ(g−1) = ϕ(hg−1) = e⇔ h = g

ϕ((h, k)) = e⇔ h.k = e⇔ h = k−1

or H ∩K = e d’où le résultat.

Produit semi-direct

Définition 1.3.1. G,F deux groupes. Aut(F ) : groupe des automorphismes de F . Soit :τ : G → Aut(F )

g 7→ τ(g)un morphisme de groupes.

τ(g) : F → Ff 7→ τ(g)(f)

τ(g) est un morphisme bĳectif de F . On définit sur le produit cartésien F × G = (f, g), f ∈F, g ∈ G l’opération suivante : τ(g) est un morphisme bĳectif de F . On définit sur le produitcartésien F ×G = (f, g), f ∈ F, g ∈ G l’opération suivante :

(f, g)τ(f ′, g′) = (fτ(g)(f ′), gg′)Muni de cette loi, le produit cartésien est un groupe, on l’appelle produit semi-direct de G parF relativement à τ . On le note F ×τ G.Exemple 1.3.2. R2 ×GL(R2) :

(−→u , f).(−→v , g) = (−→u + f(−→v ), f × g)

Produit semi-direct de sous-groupes

Soit G groupe. Aut(G) = automorphisme de G et Int(G) = automorphismes intérieurs deG pour a ∈ G :

ϕn : G → Gg 7→ aga−1

τ : G → Int(G)a 7→ ϕa

Si H et K sont deux sous-groupes de G, H C K. On considère h ∈ K :ϕk : H → H

h 7→ khk−1

τ : K → Aut(K)k 7→ ϕk


Proposition 1.3.3. H,K deux sous-groupes de G, on suppose H C G, H ∩ K = e etH.K = G :

τ : G → Int(G)a 7→ ϕa

oùϕa : G → G

g 7→ aga−1

Alors l’application :ψ : H ×K → G = HK

(h, k) 7→ h.k

est un morphisme de H ×τ K sur G.

Démonstration. ψ est surjective car G = HK, ψ morphisme de groupes :

ψ((h, k).(h′, k′)) = ψ((h (kh′k−1)︸︷︷︸ϕk(h)=τ(k)(h′)

, kk′) = hkh′k−1kk′

= (hk)(h′k′) = ψ((h, k)).ψ((h′, k′))

On a aussi :

kerϕ = (h, k) ∈ H ×K, ψ((h, k)) = e = (h, k)/hk = e = e

car H ∩K = e

1.4 Espaces vectorielsDéfinition 1.4.1. Soit (E,+) un groupe abélien et K un corps commutatif. On définit uneopération externe :

. : K × E → E(λ,−→u ) 7→ λ−→u

L’ensemble (E,+, .) est un espace vectoriel sur le corps K si pour tout (α, β) ∈ K2 et pourtout (−→u ,−→v ) ∈ E2, on a :1) (α + β)−→u = α−→u + β−→u2) α(−→u +−→v ) = α−→u + α−→v3) α(β−→u ) = (αβ)−→u4) 1.−→u = −→u

Proposition 1.4.1. E est de dimension n alors E ' Rn.

Définition 1.4.2. E et F deux espaces vectories sur un corps K, une application ϕ : E × Fest dite linéaire si ∀(λ, µ) ∈ K2, ∀(−→u ,−→v ) ∈ E.

ϕ(λ−→u + µ−→v ) = ϕ(λ−→u ) + ϕ(µ−→v ) = λϕ(−→u ) + µϕ(−→v )

On note l’ensemble des applications qui va de E dans F : L(E,F ).

Définition 1.4.3. GL(E) = groupe linéaire = groupes des automorphismes de E.


Espaces vectoriels quotients

Soit E un espace vectoriel sur K et F un sous-espace vectoriel de E, l’ensemble E esten particulier un groupe additif et F est un sous-groupe, on peut considérer le groupe quo-tient E/F . Cet ensemble est naturellement muni d’une structure d’espace vectoriel, en effet,considérons la surjection canonique p de E sur E/F qui à un vecteur x de E associe sa classeX = x + F ∈ E/F , c’est un morphisme de groupes (remarquons, au passage, la notationadditive x+ F pour désigner la classe d“équivalence modulo F , x+ F = x+ y, y ∈ F).

Soient x et x′ ∈ X, λ ∈ K. On montre que p(λx) = p(λx′). On a :

p(λx)− p(λx′) = p(λx− λx′) = p(λ(x− x′))

or, λ(x − x′) ∈ F , donc p(λ(x − x′)) = 0, ainsi λx + F = p(λx) ne dépend que X et non dex, on peut donc définir une opération externe de K × E/F dans E/F qui envoie (λ,X) surλ.X = p(λx) pour x ∈ X. L’ensemble (E/F,+, .) est alors unK-espace vectoriel et l’applicationp est K-linéaire.

Proposition 1.4.2. Soient E et F deux espaces vectoriels et ϕ : E → F une application,notons N = kerϕ, I = Imϕ, p : E → E/N la projection canonique et j : I → F l’injectioncanonique. Soit ϕ = E/N → I tel que ϕ = j ϕ p.

alors, l’application ϕ est un homomorphisme d’espaces vectoriels de E/N sur I.

Démonstration. L’application ϕ est injective et surjective par définition et si λ, µ ∈ K, X, Y ∈E/N , x ∈ X et y ∈ Y , on a :

ϕ(λX + µY ) = ϕ(λp(x) + µp(y)) = ϕ(p(λx+ µy)) = (ϕ p)(λx+ µy)

= ϕ(λx+ µy) = λϕ(x) + µϕ(y) = λ(ϕ p)(x) + µ(ϕ p)(y) = λϕ(X) + µϕ(Y )

Exemple 1.4.1. Soit ψ une application linéaire de Rn dans Rn, on suppose l’application ψ derang n− 1, ainsi dim Imψ = n− 1 et dim kerψ = 1. L’ensemble :

H = Imψ ' Rn/ kerψ

est un hyperplan de Rn.

Chapitre 2

Espaces affines

Les définitions que nous donnerons ici reposent sur l’algèbre linéaire, nous verrons dans lechapitre suivant la définition axiomatique du plan et de l’espace (à trois dimensions) affines.

Nous noterons E un espace vectoriel sur un corps K de caractéristique 0, dans la pratiquesur le corps R des réels.

Définition 2.0.1. On appelle espace affine dirigé par E tout ensemble E sur lequel le groupeadditif de l’espace vectoriel E opère transitivement et fidèlement. C’est-à-dire que l’on définieune loi externe :

E × E → E(M,−→v ) 7→ M +−→v

telle que pour tout (M,N) ∈ E2 il existe un unique −→v dans E tel que N = M + −→v on notealors −→v = −−→MN et pour O fixé dans E , l’application M 7→ −−→OM est une bĳection de E sur E.Cette définition nous fournit une notation cohérente : M +−→v qui désigne l’unique point N telque −−→MN = −→v , ce que l’on peut encore écrire −→v = N −M . Nous verrons plus tard comment lecalcul barycentrique permet de donner du sens à la notation M +N .

Conséquence. Relations de Chasles :

1) Pour tout A ∈ E , −→AA = −→0 .

2) Pour tout A,B ∈ E , B = A+−→AB et −→BA = −−→AB.

3) Pour tout A,B,C ∈ E , on a : −→AB = −→AC +−−→CB.

Parallèlogramme : Soient A,B,C,D ∈ E , alors −→AB = −−→DC ⇔ −−→AD = −−→BC (Chasles), on dit dansce cas que ABCD est un parallèlogramme. Les bipoints (A,B) et (D,C) sont dits équipollents.La relation d’équipollence est une relation d’équivalence sur les bipoints de E et les vecteurs deE sont les classes d’équivalence.

On aurait pu aussi bien définir l’espace affine E de la manière suivante.

14

Chapitre 2. Espaces affines 15

Définition 2.0.2. Un ensemble E est muni d’une structure d’espace affine de direction E parla donnée d’une application Φ de E × E dans E :

∗E × E → E

(A,B) 7→ −→AB

telle que :1) Pour tout point A dans E , l’application B 7→ −→AB est une bĳection de E sur E.

2) Pour tous points A,B et C de E , on a la relation de Chasles −→AB = −→AC +−−→CB.

2.1 TranslationsDéfinition 2.1.1. Pour −→u ∈ E fixé, l’application de E dans E qui envoie un point M surN = M +−→v est appelée translation de vecteur −→u , notée t−→u . On a les propriétés suivantes :1) Pour M ∈ E et −→u ∈ E, t−→u (M) = M +−→u .2) t−→0 = idE et pour −→u et −→v ∈ E, t−→u t−→v = t−→u+−→v .3) Pour tout −→u ∈ E, t−→u est bĳective et (t−→u )−1 = t−

−→u .

Proposition 2.1.1. L’ensemble T (E) des translations de E est un groupe isomorphe au groupeadditif de E par l’application −→u 7→ t−→u de E dans T (E).

2.2 Vectorialisé d’un espace affineEn choisissant un point O de E comme origine de notre espace affine, on construit une

bĳection de E dans E :E → E

M 7→−−→OM

On note EO l’espace vectoriel isomorphe à E obtenu. Le point O s’envoie sur −→0 de E, c’est lezéro de l’espace EO. On transporte ainsi la structure d’espace vectoriel de E sur E .

2.3 Sous-espace affineSoit E un espace affine de direction E. Soit F une partie de E .

Proposition 2.3.1. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) ∃A ∈ F , FA = −−→AM,M ∈ F soit un sous-espace vectoriel de E.

(ii) ∀A ∈ F , FA = −→A,M ∈ F est un sous-espace vectoriel de E.Alors pour A,B ∈ F , on a FA = FB et (F , FA) est un espace affine.

Définition 2.3.1. Une partie F de E qui vérifie la proposition ci-dessus esta ppelée sous-espaceaffine de E .

Un sous-espace affine est donc défini par la donnée d’un point de E et d’un sous-espacevectoriel de E, directeur.

16 Chapitre 2. Espaces affines

2.4 Dimension, repère affineSoit E un espace affine dirigé par un espace vectoriel E de dimension n sur le corps K,

l’espace affine est alors dit de dimension n. Si l’on choisit une origine O pour l’espace affine E ,et une base (−→e1 , ...,−→en) pour l’espace vectoriel E alors tout point M de E peut être repéré dela manière suivante :

∃!(a1, ..., an) ∈ Kn,−−→OM = a1

−→e1 + ...+ an−→en

par ailleurs, pour tout i, 1 ≤ i ≤ n, il existe un unique point Ai ∈ E tel que −−→OAi = −→ei , ainsi levecteur −−→OM s’écrit : −−→

OM = a1−−→OA1 + ...+ an

−−→OAn

L’ensemble (O,A1, ..., An) est appelé repère affine de l’espace E , les coordonnées du vecteur−−→OM dans la base (−−→OAi)1≤i≤n sont les coordonnées cartésiennes du point M dans ce repère. Ilfaut donc n+ 1 points pour repérer les points d’un espace affine de dimension n.

2.5 Barycentres et coordonnées barycentriquesIl y a une autre manière, plus naturelle, de repérer les points dans un espace affine, ce sont

les barycentres. C’est une notion purement affine, elle ne nécessite pas de vectorialiser l’espaceE en lui choissisant une origine.

Définition 2.5.1. Soient A1, ..., Ak des points de l’espace affine E et soient α1, ..., αk des sca-laires.1) Si ∑k

i=0 ai 6= 0, il existe un unique point G de E tel que ∑ki=1 αi

−−→GAi = −→0 , de plus, si note

α = ∑ki=1 αi et si O est un point quelconque de E , le point G défini par :

−→OG = 1

α

k∑i=1

αi−−→OAi

et ne dépend pas de O.2) Si ∑k

i=1 αi = 0 et si O est un point quelconque de E , le vecteur ∑ki=1 αi

−−→OAi, ne dépend pas

de O.

Lorsque∑ki=1 αi 6= 0, le pointG est appelé barycentre du système pondéré (A1, α1), ..., (Ak, αk).


Remarque. Si λ est un scalaire, le barycentre du système (A1, λα1), ..., (Ak, λαk) est le mêmeque le barycentre du système (A1, α1), ..., (Ak, αk), on peut supposer que ∑k

i=0 αi = 1.Nous traduisons alors la définition ci-dessus par la proposition suivante :

Proposition 2.5.1. Soient A1, ..., Ak des points de l’espace affine E et soient α1, ..., αk desscalaires, on suppose que ∑k

i=0 αi = 1, les conditions suivantes sont équivalentes :(i) ∑k

i=1 αi−−→GAi = −→0

(ii) ∃A ∈ E, −→AG = ∑ki=1 αi

−−→AAi

(iii) ∀A ∈ E, −→AG = ∑ki=1 αi

−−→AAi

On pourra alors écrire G = α1A1 + α2A2 + ...+ αkAk.

Exemple 2.5.1. – Soient A et B deux points de E , le point 12A+ 1

2B désigne le milieu dusegment [AB].

– Soient A,B,C trois points non alignés, le point G = 13A+ 1

3B + 13C désigne le centre de

gravité du triangle (ABC).

2.5.1 Coordonnées barycentriquesSoit E un espace affine de dimension n dirigé par l’espace vectoriel E. Soient (A0, A1, ..., An),

n + 1 points de E formant un repère affine de E . Soit M ∈ E , les coordonnées cartésiennes Mdans le repère (A0, A1, ..., An) sont les coordonnées de

−−−→A0M dans la base de E, −−−→A0A1, ...,

−−−→A0An,

on a donc : −−−→A0M = λ1

−−−→A0A1 + ...+ λn

−−−→A0An

ou encore : (1−

n∑i=1

λi

)−−−→A0M + λ1

−−−→A1M + ...+ λn

−−−→AnM = −→0

ainsi, le point M est le barycentre du système (A0, λ0), ..., (An, λn) avec λ0 = 1−∑ni=1 λi. Tout

point M de E est barycentre d’un système (A0, λ0), ..., (An, λn) avec∑ni=0 λi = 1, on peut alors

écrire :M = λ0A0 + ...+ λnAn

Les scalaires λ0, ..., λn sont les coordonnées barycentriques deM dans le repère affine (A0, A1, ..., An).Nous avons ainsi une nouvelle définition d’un sous-espace affine exprimée par la proposition

suivante :


Proposition 2.5.2. Soit F une partie d’un espace affine (E , E), alors F est un sous-espaceaffine de E si et seulement si pour tout ensemble fini I, pour toute famille de points (Mi)i∈I ettoute famille de scalaires (λi)i∈I avec

∑i∈I λi = 1, le barycentre du système (Mi, λi)i∈I appartient

à F .

Démonstration. 1) Soit F un sous-espace affine de E , soit A ∈ F , alors FA = −−→AM,M ∈ Fest un sous-espace vectoriel de E. Soit (Mi)i∈I une famille finie de points de F et soit (λi)i∈Iune famille de scalaires tels que ∑i∈I λi = 1, montrons que le barycentre M des (Mi, λi)i∈Iest dans F . On a :

M =∑i∈I

λiMi ⇒−−→AM =

∑i∈I

−−→AMi

or les (Mi)i∈I sont des points de F , donc les vecteurs (−−→AMi)i∈I sont des vecteurs de FA etcomme FA est un sous-espace vectoriel de E, il est stable par combinaison linéaire, donc−−→AM ∈ FA et ainsi M ∈ F .

2) Réciproquement, soit F un sous-ensemble de E tel que pour tout ensemble fini I, pour toutefamille de points (Mi)i∈I et toute famille de scalaire (λi)i∈I avec ∑i∈I λi = 1, le barycentredu système (Mi, λi)i∈I appartient à F . Montrons que F est un sous-espace affine de E ,pour cela on considère A ∈ F et on montre que FA = −−→AM, M ∈ F est un sous-espacevectoriel de E. Soit (Mi)i∈I des points de F , les vecteurs (−−→AMi)i∈I sont des vecteurs de FA,on considère des scalaires (αi)i∈I , montrons que la combinaison linéaire ∑i∈I αi

−−→AMi est dans

FA, c’est-à-dire qu’il existe M ∈ F tel que −−→AM = ∑i∈I αi

−−→AMi, or :

−−→AM =

∑i∈I

αi−−→AMi ⇔M =

(1−

∑i∈I

αi

)A+

∑i∈I

αiMi

c’est-à-dire que M est le barycentre des points pondérés (A, (1−∑i∈I αi)) et (Mi, αi)i∈I .

Un sous-espace affine est donc une partie non-vide stable par barycentre.

Définition 2.5.2. Soit (Mi)i∈I une famille de points de E , on appelle sous-espace affine engen-dré par la famille (Mi)i∈I , l’ensemble des barycentres des points (Mi)i∈I pondérés. C’est le pluspetit sous-espace affine de E contenant les points (Mi)i∈I .

2.5.2 Famille affinement libreSoit (Mi)i∈I une famille de poitns d’un espace affine E cette famille est dite affinement libre

si elle vérifie les conditions équivalentes dans la proposition suivante :

Proposition 2.5.3. Il y a équivalence de :(i) Aucun des points Mi (i ∈ I) ne peut s’exprimer comme barycentre des autres.

(ii) ∃i0 ∈ I tel que (−−−−→Mi0Mi)i∈I\i0 est un système libre de E.

(iii) ∀i0 ∈ I, (−−−−→Mi0Mi)i∈I\i0 est un système libre de E.(iv) ∀j ∈ I, Mj n’appartient pas au sous-espace affine engendré par les (Mi)i∈I\j.

Un espace affine engendré par n+ 1 points est de dimension n si et seulement si ces pointsson affinement libres.

Une base affine de E est une famille affinement libre de points qui engendre E .


2.6 Plongement dans un espace vectorielProposition 2.6.1. Soit E un espace affine dirigé par un espace vectoriel E. Alors il existeun espace vectoriel E et une forme linéaire non nulle sur E, ϕ, tels que E soit isomorphe àl’espace affine ϕ−1(1) = x ∈ E, ϕ(x) = 1, dirigé par le sous-espace vectoriel kerϕ. L’espacevectoriel kerϕ opère sur E ' ϕ−1(1) par l’addition de E.

Démonstration. Soit E = K ×E et ϕ : K ×E → K la forme linéaire définie par ϕ(λ,−→v ) = λ.Alors kerϕ opère sur ϕ−1(1 par addition de E. L’application α : E → kerϕ définie parα(−→u ) = (0,−→u ) est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Si A ∈ E , alors β : E → ϕ−1(1)définie par β(M) = (1,−−→AM) est une bĳection, ainsi, les espaces affines E et ϕ−1(1) sontisomorphes.

Eclairage :R3 = (x, y, z), x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R

On considère un plan dans R3

P : ax+ by + cz + d = 0et :

P : ax+ by + cz = 0On a que P est un sous-espace vectoriel de R3, direction du plan affine P . On considère :

ϕ : R3 → R(x, y, z) 7→ ax+ by + cz

ϕ est une forme linéaire.

ϕ−1(0) = (x, y, z) | ax+ by + cz = 0 (plan vectoriel de R3)

ϕ−1(1) = (x, y, z) | ax+ by + cz = 1 (plan affine de R3)et on considère :

M = x0A0 + x1A1 + x2A2 avec x0 + x1 + x2 = 1−−→OM = x0

−−→OA0 + x1

−−→OA1 + x2

−−→OA2 = x0

−→e0 + x1−→e1 + x2

−→e2avec (−→e0 ,−→e1 ,−→e2 ) une base de R3. Donc :

−−−→A0M = x1

−−−→A0A1 + x2

−−−→A0A2

en vectorialisant le plan affine engendré par (A0, A1, A2) en (A0,−−−→A0A1,

−−−→A0A2)

Proposition 2.6.2. Soient A,B,C,D quatre points d’un plan vectoriel P, on suppose que(ABCD) est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.


Démonstration. On considère A,B,C,D comme des vecteurs d’un espace affine dans lequel estplongé P . On a :

−→AB = −−→DC ⇔ B − A = C −D ⇔ B +D = A+ C ⇔ 1

2B + 12D = 1

2A+ 12C

Remarque. Nous n’avons jusque là pas précisé le corps de base de l’espace vectoriel, étant plusou moins sous-entendu que la géométrie qui nous intéresse dans ce cours est la géométrie deRn, il est toutefois intéressant de noter que le résultat précédent n’a de sens que si le corps Kn’est pas de caractéristique 2.

2.7 Droite dans un plan en coordonnées cartésiennes etbarycentrique

On considère le plan affine réel P (espace affine de dimension 2) dirigé par un espace vectorielE isomorphe à R2. Soient A et B deux points de P , la droite affine passant par A et B estl’ensemble des barycentres des points A et B, c’est-à-dire :

M ∈ (AB)⇔ ∃t ∈ R, M = tA+ (1− t)B

Par ailleurs, si (O, I, J) est un repère affine de P , on peut repérer un point M par ses co-ordonnées cartésiennes (x1, x2) ∈ R2 telles que −−→OM = x1

−→OI + x2

−→OJ ou par ses coordonnées

barycentriques (x0, x1, x2) ∈ R3 telles que M = x0O+ x1I + x2J avec x0 + x1 + x2 = 1. Notons(a1, a2) les coordonnées de A et (b1, b2) celles de B,

M ∈ (AB)⇔ ∃λ ∈ R,−−→AM = λ

−→AB

ce qui équivaut à la nullité des déterminants suivants :

0 =∣∣∣∣∣x1 − a1 b1 − a1x2 − a2 b2 − a2

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣

0 0 1x1 − a1 b1 − a1 a1x2 − a2 b2 − a2 a2

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 1x1 b1 a1x2 b2 a2

∣∣∣∣∣∣∣posons x0 = 1− (x1 + x2), a0 = 1− (a1 + a2) et b0 = 1− (b1 + b2), on a alors :∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1x1 b1 a1x2 b2 a2

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣x0 b0 a0x1 b1 a1x2 b2 a2

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

On obtient alors la proposition suivante :


Proposition 2.7.1. Trois points du plan affine sont alignés si et seulement si le déterminantde leur coordonnées barycentriques dans un repère affine est nul.

Il est clair que ceci peut se généraliser aux espaces affines de dimension quelconque. Dansun espace de dimension n, n points sont affinements liés si et seulement si le déterminant deleur coordonnées barycentriques dans un repère affine est nul.

La nullité des déterminants précédents nous fournit une équation de la droite affine (AB)en coordonnées cartésienne :

M(x1, x2) ∈ (AB)⇔ (b2 − a2)x1 − (b1 − a1)x2 = a1b2 − a2b1

ou en coordonnées barycentriques

(b1a2 − b2a1)x0 + (b2a0 − b0a2)x1 + (b0a1 − b1a0)x2 = 0

Si l’on se place dans l’espace E, une droite de P a pour équations x0 + x1 + x2 = 1 et uneéquation de la forme ax0 + bx1 + cx2 = 0, c’est l’intersection du plan affine P d’équationx0 + x1 + x2 = 1 et d’un plan vectoriel qui n’est pas parallèle à P . On va préciser cette notionde parallèlisme.

2.8 Intersection et parallélismeContrairement à l’intersection des sous-espaces vectoirels, l’intersection de sous-espaces af-

fines peut être vide, c’est le cas par exemple des droites parallèles.

Définition 2.8.1. Soient F et G deux sous-espaces affines d’un espace E , soient F et G leursdirections respectives, on dit que F et G sont parallèles si F = G.

Notons que cette relation est une relation d’équivalence, elle ne recouvre pas tous les casde sous-ensembles disjoints. On peut définir une notion de parallèlisme faible lorsque F ⊂ G.Les espaces affines que nous avons définis vérifient le postulat d’Euclide. C’est la propositionsuivante :

Proposition 2.8.1. Par tout point d’un espace affine, il passe une unique droite à une droitedonnée.

Démonstration. Soit D une droite de E dirigée par D et A un point. Alors droite passant parA et parallèle à D est définie par :

D′ = M ∈ E , −−→AM ∈ D


Proposition 2.8.2. E espace affine dirigé par E, (F , F ) et (G, G) deux espaces affines. SoitA ∈ F et B ∈ G :(i) F ∩ G 6= ∅ ⇔ −→AB ∈ F +G

(ii) Si F ∩ G 6= ∅, alors F ∩ G est dirigé par F ∩G.(iii) H l’espace affine engendré par F ∪G (plus petit espace affine contenant la réunion F ∪G),

H l’espace vectoriel direction de H :a) F ∩ G 6= ∅, H est engendré par H = F +G.b) F ∩ G = ∅, H = (F + g)⊕ k−→AB

(iv) Si F +G = E, alors tout sous-espace parallèle à F rencontre G.

Démonstration. (i) (⇒) Supposons F ∩ G 6= 0 alors H = F ∩ G. On prend A ∈ F et B ∈ Galors −−→AM ∈ F et −−→AM ∈ G donc :

−→AB = −−→AM︸︷︷︸

∈F

+−−→MB︸︷︷︸∈G

∈ F +G

(⇐) ∀A ∈ F , ∀B ∈ G, −→AB ∈ F +G. On écrit −→AB = −→u +−→v . Il existe un unique M ∈ F(respectivement N ∈ G) tel que −−→AM = −→u (respectivement −−→NB = −→v ). On a :

−→AB = −−→AM +−−→MN +−−→NB = −→u +−−→MN +−→v = −→u v

donc −−→MN = −→0 d’où M = N et F + G 6= ∅.(ii) évident(iii) Soit H le sous-espace affine engendré par F ∩ G

a) F ∩ G = ∅, M ∈ F ∩ F . Soit :

H = HM = −−→MN,N ∈ H ⊃ −−→MN,N ∈ F︸︷︷︸

F⊂H

∪−−→MN,N ∈ G︸︷︷︸

G⊂H

= F ∪G

On a donc : F ∪G ⊂ H et donc F +G ⊂ H. On considère l’espace affine H′ passantpar M et dirigé par (F +G) :

H′ = N ∈ E , −−→MN ∈ F +G

On démontre que H = H′. On a : F ∪G ⊂ H′ donc F ∪G ⊂ H ⊂ H′ car H est le pluspetit sous-espace affine contenant F ∪G. On a ainsi : H ⊂ H′ ⇒ H ⊂ H ′

b) F ∩ G = ∅. Soit A ∈ F , B ∈ G, tel que −→AB 6∈ F +G. On considère K le corps de baseet :

K−→AB = k−→AB, k ∈ K (droite vectoirelle engendrée par −→AB)

On a ainsi K−→AB ∩ (F +G) = −→0 , H′ est un sous-espace affine contenant F ∪ G, H ′sa direction (−→AB ∈ H, F ⊂ H ′, G ⊂ H ′).

K−→AB ⊕ (F +G) ⊂ H ′

On considère maintenant :

H′ = A+ (K−→AB ⊕ (F +G)) = N ∈ E , −−→AN ∈ K−→AB ⊕ (F +G)

On a : F ∪ G ⊂ H′ donc H′ contient H. On a donc : H = K−→AB ⊕ (F +G).


(iv) Soit M ∈ E et F ′ le sous-espace affine passant par M et dirigé par F , si B ∈ G, on a :−−→MB ∈ E = F +G, ainsi d’après (i), F ′ ∩ G 6= ∅.

Tout plan parrallèle au plan du point O rencontre la droite (OG).

2.9 Applications affinesProposition 2.9.1. Soient E, F deux espaces affines, soit E,F deux espaces vectoriels. f :E → F est dite affine si les propriétés équivalentes suivantes.(i) ∃ϕ : E → F linéaire tel que ∀(M,N) ∈ E2 :

−−−−−−−→f(M)f(N)︸︷︷︸

∈F

= ϕ(−−→MN)︸︷︷︸∈E

(ii) ∃O ∈ E et une application linéaire ϕ : E → F tel que ∀M ∈ E :

−−−−−−−→f(O)f(M) = ϕ(−−→OM)

Démonstration. (i) ⇒ (ii) est clair. On montre que (ii) ⇒ (i). On suppose ∃O ∈ E et ϕ ∈L(E,F ) tel que ∀M ,

−−−−−−−→f(O)f(M) = ϕ(−−→OM). M et N ∈ E :

−−−−−−−→f(O)f(M) = ϕ(−−→OM)

−−−−−−−→f(O)f(N) = ϕ(−−→ON)

−−−−−−−→f(M)f(N) =

−−−−−−−→f(M)f(O) +

−−−−−−−→f(O)f(N) = −

−−−−−−−→f(O)f(M) +

−−−−−−−→f(O)f(N)

= −ϕ(−−→OM) + ϕ(−−→ON) = ϕ(−−−→OM +−−→ON) = ϕ(−−→MN)

Notation. On notera ϕ = −→f

Proposition 2.9.2. f : E → F , f affine ⇔ f conserve les barycentres. Soient (Mi, λi)i∈I avecI fini tel que : ∑

i∈Iλi = 1

f(∑

λiMi

)=∑

λif(Mi)


Démonstration. (⇒) On suppose que f est affine. A ∈ E , on a :−−−−−−−→f(A)f(Mi) = ϕ(−−→AMi)⇔ f(Mi) = f(A) + ϕ(−−→AMi)

avec ϕ linéaire associée à f . Soit M = ∑λiMi donc

−−→AM = ∑

λi−−→AMi∑

λif(Mi) =∑

λi(f(A) + ϕ(−−→AMi) =(∑

λi)

︸︷︷︸=1

f(A) +∑

λiϕ(−−→AMi)

= f(A) + ϕ(∑

λ−−→AMi

)= f(A) + ϕ(−−→AM)

−−−−−−−→f(A)f(M) = ϕ(−−→AM)

donc : f(A) + ϕ(−−→AM) = f(M) = f (∑λiMi) donc f conserve les barycentres.(⇐) (M1, a1), ..., (Mn, an) avec a1 + ...+ an = 1 :

M = a1M1 + ...+ anMn

f(M) = a1f(M1) + ...+ akf(Mk)Pour démontrer que f est affine, on définit ϕ à partir de f et on montre que ϕ est linéaire.Soit −→u ,−→v ∈ E, −→w = −→u +−→v . On montre alors que ϕ(−→w ) = ϕ(−→u ) +ϕ(−→v ). Alors il exiteun unique M ∈ E tel que −→u = −−→OM , il existe un unique N ∈ E , tel que −→v = −−→ON et ilexiste un unique P ∈ E , tel que −→w = −→OP .

−→w = −→u +−→v ⇔ −→OP = −−→OM +−−→ON = −→OP +−−→PM +−→OP +−−→PN

⇔−−→PM +−−→PN −−→PO = −→0

P barycentre de (M, 1), (N, 1), (O,−1), ainsi :

P = M +N −O

or f , par hypothèse, conserve les barycentres :

f(P ) = f(M) + f(N)− f(O)

d’où :−−−−−−→f(O)f(P ) =

−−−−−−−→f(O)f(M)+

−−−−−−−→f(O)f(N)⇔ ϕ(−→OP ) = ϕ(−−→OM)+ϕ(−−→ON)⇔ ϕ(−→w ) = ϕ(−→u )+ϕ(−→v )

Soit −→u ∈ E et λ ∈ K,−−→OM = −→u−−→ON = λ−→u

⇔−−→ON = λ

−−→OM ⇔ N −O = λM − λN (dans E)

⇔ N = λM + (1− λ)Oor f conserve les barycentres (par hypothèse) :

f(N) = λf(M) + (1− λ)f(0)⇔ ϕ(λ−→u ) = ϕ(−−→ON) =−−−−−−−→f(O)f(N) = λ

−−−−−−−→f(O)f(M) = λϕ(−→u )


Conséquence. Une application affine conserve l’alignement. Précisions : soit D = (AB) unedroite affine, on suppose que f(A) 6= f(B), alors f(D) est une droite. En effet, si D = (AB) alorstout pointM ∈ D s’écritM = λA+(1−λ)B avec λ ∈ K, on a alors f(M) = λf(A)+(1−λ)f(B),ainsi f(D) = (f(A)f(B)).Remarque. – Compte tenu du prolongement de l’espace affine E dans un espace vectoriel

E, une application affine définie sur E sur la restriction d’une application linéaire de E.Les points de E sont des vecteurs de E.

– Si (λi)1≤i≤k est une famille de scalaires tels que ∑ki=1 λi = 0, alors si (Mi)1≤i≤k est une

famille de points de E , on a :k∑i=1

λif(Mi) = ϕ

(k∑i=1

λiMi

)

En effet,∑ki=1 λiMi est un vecteur de E, si O est un point quelconque de E , c’est le vecteur∑k

i=1 λi−−→OMi qui est indépendant du point O.

2.10 Groupes affinesProposition 2.10.1. Soient f : E → E ′ et g : E ′ → E ′′ deux applications affines, on note ϕ etψ leurs applications linéaires associées respectives alors :(i) l’application g f est affine et son application linéaire ψ ϕ.(ii) l’application f est bĳective si et seulement si ϕ est un isomorphisme linéaire, l’application

linéaire assoicée à f−1 est ϕ−1

(iii) Si F ⊂ E est un sous-espace affine de E, alors f(F) est un sous-espace de E ′

(iv) Si F ′ ⊂ E ′ est un sous-espace affine de E ′, alors, si f−1(F ′) n’est pas vide, c’est unsous-espace affine de E.

Démonstration. (i) Il est clair en considérant la conservation des barycentres que la composéeg f est affine. Soient M et N deux points de E , on a :

−−−−−−−−−−−−→g f(M)g f(N) = ψ(

−−−−−−−→f(M)f(N)) = ψ(ϕ(−−→MN)) = ψ ϕ(−−→MN)

(ii) Supposons f bĳective, alors pour tout N ∈ E ′, il existe un unique M ∈ E tel que f(M) =N . Soit O un point de E et v un vecteur de l’espace vectoriel E ′, direction de E ′, on montrequ’il existe un unique u ∈ E, direction de E , tel que ϕ(u) = v. Or, :

∃!N ∈ E ′,−−−−→f(O)N = v

et∃!M ∈ E , N = f(M)

on a doncv =−−−−→f(O)N =

−−−−−−−→f(O)f(M) = ϕ(−−→OM)

Par conséquent, il existe un unique vecteur u ∈ E tel que v = ϕ(u), c’est u = −−→OM et ϕest une application linéaire bĳective de E dans E ′.Réciproquement, on suppose ϕ bĳective, soit O ∈ E et N ∈ E ′. On note −→v =

−−−−→f(O)N ∈ E ′.

Il existe un unique vecteur −→u ∈ E tel que −→v = ϕ(−→u ), or :

∃!M ∈ E , −→u = −−→OM


on a donc :−→v = ϕ(−−→OM) =

−−−−−−−→f(O)f(M) =

−−−−→f(O)N

donc :∃!M tel que N = f(M)

Notation. On va noter :

GA(E) = f : E → E , bĳective et affine

Proposition 2.10.2. L’application ψ :

ψ : GA(E) → GL(E)f 7→

−→f

est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau kerψ est le groupe des translations de E.De plus kerψ est distingué dans GA(E).

Démonstration. La Proposition 2.10.1 nous montre que ψ est un morphisme de groupes, onvérifie qu’il est surjectif. Soit ϕ ∈ GL(E) et soient O et O′ deux points de E . L’application deE de E qui envoie un point M sur le vecteur −−→OM est une bĳection, on définit l’application fsur E par f(M), le point E tel que ϕ(−−→OM) =

−−−−−→O′f(M).

On regarde :kerψ = f ∈ GA(E),−→f = idE

Soit f ∈ kerψ, si M,N ∈ E :−−−−−−−→f(M)f(N) = −→f (−−→MN) = −−→MN ⇔

−−−−−→Mf(M)︸︷︷︸−→v

=−−−−→Nf(N)︸︷︷︸−→v

donc ∀M ∈ E ,−−−−−→Mf(M) = −→v :

f(M) = M +−→v = t−→v (M)

On montre maintenant que le groupe T des translations est distingué dans GA(E). Soit f ∈GA(E) et u ∈ E, on a :

−−−−−−−→f tu f−1 = −→f −→tu (−→f )−1 = −→f (−→f )−1 = idE

ce qui prouve que l’application linéaire associé f tu f−1 est l’identité donc :

∀f ∈ E , ∀t ∈ T , f tu f−1 ∈ T

le sous-groupe T est distingué.On a : f tu f−1 = t−→

f (u). En effet, soit M ∈ E et N tel que f(N) = M , on a :

f t−→u f−1(M) = f t−→u (N) = f(N +−→u ) = f(N) +−→f (−→u ) = M +−→f (−→u )

Proposition 2.10.3. Soit ϕ : E → F une application linéaire. Soient E et F deux espacesaffines dirigés respectivement par E et F . Pour tous points O et O′ de E, il existe une uniqueapplication affine f : E → F telle que f(O) = O′ et

−→f = ϕ.


Démonstration. On définit l’application f : E → E qui envoie M sur N tel que :−−→O′N = ϕ(−−→OM)

L’application f est définie de manière unique par son application linéaire ϕ et l’image d’unpoint.

Corollaire. Soit O ∈ E, pour toute application affine f ∈ GA(E), il existe une translationt ∈ T et une unique application g ∈ GA(E), vérifiant g(O) = O, telles que :

f = t g

Démonstration. Soit f une bĳection affine, on pose O′ = f(O) et u =−−→OO′ alors l’application

g = f−1 tu vérifie g(O) = O.

Proposition 2.10.4. Soit G = GA(E) le groupe d’un espace affine E dirigé dans un espacevectoriel E, soit O ∈ G et T le groupe des translations de E, on note :

GO = f ∈ G, f(O) = O

Alors GO est un sous-groupe de G isomorphe à GL(E) et G est produit semi-direct de GO parT . Comme T est isomorphe à E, on a :

GA(E) ' E ×τ GL(E)

Démonstration. T et GO sont des sous-groupes de GA(E) et que T C GA(E). On a aussi :E ∩ GO = idE et GA(E) = T .GO. Si f ∈ G = GA(E) et si O′ = f(O), on note −→u =

−−→OO′

alors :f−1 t−→u ∈ GO

Alors : ∀f ∈ GA(E), ∃g ∈ GO et t−→u ∈ T tel que f = t−→u g :

GA(E) = T .GO

Soit −→u ,−→v ∈ E, f et g ∈ GO :

(t−→u , f).(t−→v , g) = (t−→u (f t−→v f−1), f g) = (t−→u t−→f (−→v ), f g) = (t−→u+f(−→v ), f g)

: T ×GO → GA(E)(t, g) 7→ t g

est un morphisme de groupe. On identifie T à E par t−→u 7→ −→u et GO à GL(E) par g 7→ −→g . SurE ×GL(E), l’opération est définie par :

(−→u , ϕ).(−→v .ψ) = (−→u + ϕ(−→v ), ϕ ψ)

→ isomorphisme →E ×GL(E) −→

∼T ×GO −→

∼GA(E)

(−→u , ϕ) 7→ (t−→u , g)︸︷︷︸g tq −→g =ϕ et g(0)=0

7→ t−→u g

Proposition 2.10.5. Soit f : E → E une application affine, alors les propriétés suivantes sontéquivalentes :


(i) Il existe A ∈ E tel que−−−−→Af(A) ∈ Im(−→f − idE).

(ii) Pour tout A ∈ E, on a−−−−→Af(A) ∈ Im(−→f − idE).

(iii) a) f admet au moins un point fixe

b) L’ensemble des points fixes de f est un sous-groupe affine de E dirigé par ker(−→f − idE)c) si 1 n’est pas valeur propre de

−→f , alors f admet un point fixe.

Démonstration. (i)⇒ (ii) Supposons qu’il existe A ∈ E tel que−−−−→Af(A) ∈ Im(−→f − idE),

alors pour M ∈ E on a :−−−−−→Mf(M) = −−→MA+

−−−−→Af(A)+

−−−−−−−→f(A)f(M) =

−−−−→Af(A)+−→f (−−→AM)−−−→AM =

−−−−→Af(A)+(−→f −idE)(−−→AM)

D’où−−−−−→Mf(M) ∈ Im(−→f − idE) pour tout M ∈ E .

(ii)⇒ (iii) a) Soit A ∈ E , il existe v ∈ E tel que−−−−→Af(A) = −→f (v) − v et il existe M ∈ E

tel que v = −−→MA. On a :−−−−−→Mf(M) = −−→MA+

−−−−→Af(A) +

−−−−−−−→f(A)f(M) =

−−−−→Af(A)− (f(−−→MA)−−−→MA) = −→0

Ainsi f admet au moins un point fixe.b) Soient M et N deux points fixes de f , on a alors :

−→f (−−→MN)−−−→MN =

−−−−−−−→f(M)f(N)−−−→MN = −−→MN −

−−→MN = −→0

Ainsi −−→MN ∈ ker(−→f − idE).c) Si 1 n’est pas valeur propre de −→f , alors ker(−→f − idE) = −→0 , donc il n’y a qu’un

seul point fixe.(iii)⇒ (i) Supposons que f admette un point fixe M . Soit A ∈ E , on a :

−−−−→Af(A) =

−−−−→Af(M) +

−−−−−−−→f(M)f(A) = −−→AM +−→f (−−→MA) = (−→f − idE)(−−→MA)

donc :−−−−→Af(A) ∈ Im(−→f − idE).

2.11 Le groupe des homothéties et translationsDéfinition 2.11.1. Une application affine h de E dans E est appelée homothétie, s’il existeA ∈ E et λ ∈ K tels que pour tout vecteur v ∈ E, on ait :

h(A+ v) = A+ λv

C’est l’application qui à un point M associe N tel que −−→AN = λ−−→AM . L’application linéaire

assoicée à h est l’homothétie vectorielle ϕ = λ idE, l’homothétie h admet un unique point fixeA appelé centre, le scalaire λ est appelé rapport de h.

Si A,B,C sont trois points alignées de E , alors il existe un unique homothétie h telle queh(A) = A et h(B) = C.

Proposition 2.11.1. Soient A 6= A′, B 6= B′ des points de E tels que les droites D = (AB) etD′ = (A′B′) soient distinctes et parallèles, alors :


a) si (AA′)//(BB′), on a : B′ = t−−→AA′

(B)b) si (AA′) ∩ (BB′) = O, on a : B′ = h(O,λ)(B) où h(O,λ) est l’homothétie de centre O et de

rapport λ tel que−−→OA′ = λ

−→OA.

Démonstration. a) On a (AB)//(A′B′) et (AA′)//(BB′), d’où l’existence de deux scalaires αet β tels que

−−→A′B′ = α

−→AB et

−−→BB′ = β

−−→AA′, c’est-à-dire :

B′ = A′ + αB − αA = βA′ +B − βA

d’où α = β et donc−−→BB′ =

−−→AA′.

b) On note λ le scalaire tel que−−→OA′ = λ

−→OA. Il existe k tel que

−−→A′B′ = k

−→AB d’où B′ =

A′ + kB − kA, donc :−−→OB′ =

−−→OA′ +−−→OB − k−→OA = (λ− k)−→OA+ k

−−→OB

ce qui prouve que k = λ (car O,B et B′ sont alignés).

Proposition 2.11.2. Les bĳections de E qui transforment toute droite en une droite parallèleforment un groupe dont les éléments sont exactement les homothéties et les translations. Cegroupe est appelé groupe des homothéties-translations, noté HT(E).

Démonstration. Il est clair que l’ensemble de ces bĳections est un groupe qui contient leshomothéties et les translations. On montre la réciporque : soit f une telle bĳection, on vaexaminer trois cas :1) f n’a pas de point fixe : soit M un point de E , on considère N 6∈ (Mf(M)), si (Mf(M)) ∩

(Nf(N)) = O alors O est un point fixe de f , en effet, par hypothèse :

(f(O)f(M))//(OM) = (Of(M)) donc f(O) ∈ (Of(M))

mais on a aussi

(f(O)f(N))//(ON) = (Of(N)) donc f(O) ∈ (Of(N))

ce qui prouve que f(O) = (Mf(M)) ∩ (Nf(N)) = O. L’application f étant supposéesans point fixe, les données (Mf(M)) et (Nf(N)) sont donc parallèles, on est dans lasituation a) de la proposition précédente, f est une translation.

2) f admet un unique point fixe O : soient M et N tels que O,M,N ne soient plus alignés, ona :

(Of(M)) = (f(O)f(M))//(OM)⇒ f(M) ∈ (OM)et de même

(Of(N)) = (f(O)f(N))//(ON)⇒ f(N) ∈ (ON)De plus, par hypothèse, (MN)//(f(M)f(N)), on est ainis dans la situation b) de la propo-sition précédente et f est une homothétie.

3) f admet au moins deux points fixes O et O′, soitM 6∈ (OO′), alors la droite (f(O)f(M)) estune droite parallèle à (OM) qui contient O, c’est donc la droite (OM), de même, (O′f(M)) =(O′M), ainsi f(M) ∈ (OM) ∩ (O′M) donc f(M) = M , les points de E qui ne sont pas sur(OO′) sont fixes. Si N ∈ (OO′), le point N 6∈ (OM) avec O et M fixes, on a donc pour lesmêmes raisons, f(N) = N ainsi f est l’identité.


Proposition 2.11.3. Soit E un espace affine dirigé par E, soit ϕ : GA(E)→ GL(E) qui à uneapplication affine f associe son application linéaire

−→f . Le sous-groupe ϕ−1(K ∗ idE) est égal au

groupe des homothéties et translations et il est distingué dans GA(E). On a :

f ∈ HT(E)⇔ ∃k ∈ K∗ | f(M + v) = f(M) + λv, ∀M ∈ E , ∀v ∈ E

1. si λ = 1, f est la translation de vecteur−−−−→Af(A) pour tout A ∈ E.

2. si λ 6= 1, f est l’homothétie de rapport λ et de centre (pour tout A ∈ E) :

C = −λ1− λA+ 1

1− λf(A)

2.12 Projections, symétriesSoit E un espace affine dirigé par E, soient F et G deux sous-espaces affines de E par F et

G respectivement. On suppose dans ce paragraphe que E = F ⊕G, c’est-à-dire que F et G sontsupplémentaires, on a F ∩ G = O, les sous-espaces F et G sont des sous-espaces vectorielssupplémentaires de EO.Rappel (Projecteurs linéaires). E = F ⊕ G, donc pour tout u ∈ E, il existe un unique couple(v, w) ∈ F × G tel que u = v + w, l’application de E dans E définie par ϕ(u) = v est laprojection sur F parallèlement à G, elle est linéaire et vérifie ϕϕ = ϕ, F = Imϕ et G = kerϕ.

Définition 2.12.1. Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E , on suppose F∩G =O, alors, pour tout A ∈ E , il existe M ∈ F et N ∈ G, uniques, tels que :

−→OA = −−→OM +−−→ON

On définit le projecteur p de E sur F parallèlement à G par :

p : E → EA 7→ M

Le projecteur p est caractérisé par les propriétés suivantes :


a) Pour tout M ∈ E , le point p(M) est l’unique point de E tel que :

p(M) ∈ F et−−−−−→p(M)M ∈ G

b) L’application p est affine, vérifie p p = p et F = p(E) est l’ensemble des points de p.c) L’application linéaire associée à p est le projecteur −→p de E sur F parallèlement à G.

Rappel (Symétries linéaires). Soit E un espace vectoriel et ϕ une application linéaire, on note :

E1 = x ∈ E, ϕ(x) = x et E−1 = x ∈ E, ϕ(x) = −x

alors ϕϕ = idE ⇔ E = E1⊕E−1. On appelle symétrie, toute application distincte de l’identitéqui vérifie ces propriétés équivalentes

Définition 2.12.2. Soit E un espace affine, une application affine s de E dans E est appeléesymétrie affine si et seulement si elle vérifie s s = idE . Une symétrie affine est caractérisée parles propriétés équivalentes suivantes :a) s est une symétrie affine.b) s est affine, admet au moins un point fixe et −→s −→s = idE.c) Il existe deux sous-espaces affines supplémentaires F et G de E tels que pour tout M ∈ E ,

s(M) est l’unique point de E tel que le milieu deM et s(M) soit dans F et−−−−−→s(M)M ∈ G. Alors

F est l’ensemble des points de s, on dit que s est la symétrie par rapport à F parallèlementà G.


2.13 Affinités et transvections

Soit E un espace vectoriel surK et soient F et G des sous-espaces vectoriels tel que E = F⊕G, soient E un espace affine dirigé par E, et F et G des sous-espaces de E dirigés respectivementpar F et G, on note O le point tel que F ∩ G = O. Pour M ∈ E , on note p(M) le projeté deM sur F parallèlement à G. Soit α ∈ K. On considère l’application :

f : E → EM 7→ M ′ = (1− α)p(M) + α(M)

le point M ′ image de M par f vérifie donc−−−−−→p(M)M ′ = α

−−−−−→p(M)M .

• Si α = 0, l’application f est la projection de E sur F parallèlement à G.• Si α 6= 0, l’application f est une bĳection affine. Une telle application est appelée affinité.– Si α = −1, c’est la symétrie par rapport à F parallèlement à G.– Si α 6= 1 alors f(M) = M ⇔ p(M) = M ⇔M ∈ F .

On suppose E de dimension n et H un hyperplan affine de E , c’est-à-dire un sous-espaceaffine de dimension n− 1, on notera E et H les directions de E et H.

Nous allons nous intéresser aux bĳections affines f : E → E telles que fH = idH. On a alors−→f H = idH . On note (v1, ..., vn−1) une base de H que l’on complète par un vecteur vn en unebase de E, (v1, ..., vn−1, vn). La matrice de −→f dans cette base est alors de la forme :

1 0 · · · 0 a1

0 1 . . . ... a2

· · · . . . 0 ...0 0 · · · 1 an−10 · · · · · · 0 γ

avec γ 6= 0 car f est supposée bĳective. On distingue alors les cas :

1) γ 6= 1 alors γ est valeur propre de −→f , il existe un vecteur wn tel que −→f (wn) = γwn et(v1, ..., vn−1, wn) soit une base de E, dans cette base, la matrice de −→f s’écrit :

1 0 · · · 0 00 1 · · · ... 0... . . . 0 ...0 0 · · · 1 00 · · · · · · 0 γ

Soit M un point de E , la droite DM passant par M et dirigée par le vecteur wn coupel’hyperplan H en un point P qui est le projeté de M sur H parallèlement à Kwn, l’imagef(M) est définie par :

−−−−→Pf(M) = γ

−−→PM

l’application f est une affinité.


2) γ = 1, dans ce cas, ou bien −→f = idE, ou bien la matrice de −→f n’est pas diagonalisable, alorsla matrice de −→f dans la base (v1, ..., vn) s’écrit :

1 0 · · · 0 a1

0 1 . . . ... a2... . . . 0 ...0 0 · · · 1 an−10 · · · · · · 0 1

Notons u le vecteur u = a1v1 + ... + an−1vn−1 ∈ H. Soit O ∈ H et M ∈ E , on écrit−−→OM = y + xnvn avec y ∈ H, on a alors :−−−−→Of(M) =

−−−−−−−→f(O)f(M) = −→f (−−→OM) = −→f (y) + xn

−→f (vn) = y + xn(u+ vn) = −−→OM + xnu

d’où : −−−−−→Mf(M) = −−→MO +

−−−−→Of(M) = −−→MO +−−→OM + xnu = xnu

L’application f est une transvection d’hyperplan H.Plus généralement, si g est une forme affine, c’est-à-dire une application affine de E dans K,si H = ker g et si u est un vecteur non nul de la direction H de H alors l’application définiepar :

f : E → EM 7→ M ′ = M + g(M)u

est une transvection affine d’hyperplan H.


Proposition 2.13.1. Soit f une bĳection affine de E, distincte de l’identité, laissant fixe chaquepoint d’un hyperplan affine H, s’il existe MinE\H tel que

−−−−−→Mf(M) ∈ H, alors cette propriété

est vraie pour tout point de E et f est une transvection, sinon f est une affinité.

2.14 Théorèmes principaux pour la géométrie affineNous allons démontrer maintenant quelques théorèmes classiques de géométrie, ce sont des

théorèmes affines, dans la mesure où ils font intervenir ques des propriétés affines. Dans unespace affine, il n’y a pas de mesure de longueur, pas de distance entre les points, nous intro-duirons une distance, euclidienne, lorsque nous étudirons les espaces euclidiens, ce sera l’ojetd’un prochain chapitre. Par contre, si A,B,C sont trois points alignés, alors il existe un scalaireλ tel que −→AC = λ

−→AB et si u est un vecteur directeur de la droite définie par les points alignés

A,B,C on peut définir la mesure algébrique de −→AB, qui dépend du choix de u comme étant leréel AB tel que :

−→AB = ABu

Le rapport de proportions ACAB

= λ, lui, ne dépend pas du choix de u. Les bĳections affinesconservent les rapports de proportions.

2.14.1 Le théorème de ThalèsCe théorème exprime le fait que les projectons sont des applications affines.

Theorème 2.14.1. Soient H1,H2,H3 trois hyperplans d’un espace affine E, parallèles, de di-rection H. Soient D et D′ deux droites affines dont la direction n’est pas contenue dans H, onnote, pour 1 ≤ i ≤ 3, Ai = Hi ∩ D et A′i = Hi ∩ D′ alors :

A1A3

A1A2= A′1A

′3

A′1A′2

Réciproquement si B ∈ D vérifie :A1B

A1A2= A′1A

′3

A′1A′2

alors B ∈ H3 et B = A3.

Démonstration. On considère la projection p sur D′ parallèlement à H, on a, pour 1 ≤ i ≤ 3,A′i = p(Ai), notons λ = A1A3

A1A2, on a −−−→A1A3 = λ

−−−→A1A2 ainsi :

−−−→A′1A

′3 =−−−−−−−→p(A1)p(A3) = −→p (−−−→A1A3) = λ−→p (−−−→A1A2) = λ

−−−→A′1A

′2

d’où le résultat. Réciproquement, si B vérifie :

A1B

A1A2= A′1A

′3

A′1A′2

alors, il existe un scalaire λ tel que −−→A1B = λ−−−→A1A2 = −−−→A1A3, ce qui prouve que B = A3 ∈ H3.


Remarque. 1) Si on a A′1 = A1 = D ∩D′ alors on a aussi :

A1A3

A1A2= A1A′3A1A′2

= A′3A3

A′2A2

2) Si E est un plan affine alors les hyperplans H1, H2 et H3 sont des droites, on retrouve lethéorème de Thalès que l’on connait bien, et si A1 = A′1 on peut le démontrer avec deshomothéties.

2.14.2 Le théorème de MénélaüsNous allons commencer par donner la version plane de ce théorème puis nous le généralise-

rons en dimension quelconque.

Theorème 2.14.2. Soit P un plan affine, soient A1, A2, A3 trois points non alignés de P.Soient B1 ∈ (A1A2)\A1, A2, B2 ∈ (A2, A3)\A2, A3 et B3 ∈ (A3A1)\A3, A1, alors :

B3 ∈ (B1B2)⇔B1A1

B1A2

B2A2

B2A3

B3A3

B3A1= 1

Démonstration. Supposons B1, B2, B3 alignés sur une droite D, soit D′ la parallèle à D passnatpar A3, elle coupe (A1A2) en B, d’après le théorème de Thalès, on a :

B3A3

B3A1= B1B

B1A1et B2A2

B2A3= B1A2

B1B

d’où :1 = B1B

B1B= B1A1

B1A2

B2A2

B2A3

B3A3

B3A1


Réciproquement, supposons cette condition satisfaite. Notons B′ = (B1B2)∩ (A1A3), les pointsB′, B1, B2 sont alignés, on a donc :

B1A1

B1A2

B2A2

B2A3

B′A3

B′A1= 1

mais aussi, par hypothèse :B1A1

B1A2

B2A2

B2A3

B3A3

B3A1= 1

D’où :B′A3

B′A1= B3A3

B3A1

ainsi, il existe un scalaire α 6= 1 tel que :

−−−→B′A3 = α

−−−→B′A1 et −−−→B3A3 = α

−−−→B3A1

d’où l’on déduit par Chasles que−−−→B′B3 = α

−−−→B′B3 donc

−−−→B′B3 = −→0 et B′ = B3. Ce qui prouve

que B1, B2, B3 sont alignés.

Theorème 2.14.3. Soit E un espace affine de dimension n. Soit (A0, A1, ..., An) un repèreaffine de E. Soient, pour 0 ≤ i ≤ n− 1, Bi ∈ (Ai, Ai+1)\Ai, Ai+1 et Bn ∈ (AnA0)\An, A0,alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) La famille (B0, B1, ..., Bn) est affinement liée.(ii)

B0A0

B0A1

B1A1

B1A2· · · Bn−1An−1

Bn−1An

BnAnBnA0

= 1

Démonstration. Pour 1 ≤ i ≤ n − 1, il existe λi ∈ K tel que Bi = λiAi + (1 − λi)Ai+1 et ilexiste λn ∈ K tel que Bn = λnAn + (1− λn)A0. Ainsi, pour 1 ≤ i ≤ n− 1, on a :

BiAiBiAi+1

= λi − 1λi


Ecrivons la matrice M des coordonnées barycentriques des points B0, B1, ..., Bn dans le repèreaffine (A0, A1, ..., An) :

M =

λ0 0 · · · · · · 0 1− λn1− λ0 λ1 0 · · · 0 0

0 1− λ1 λ2 0 ... 0... ... ... . . . λn−1 00 · · · · · · · · · 1− λn−1 λn

On a :

det(M) = λ0λ1...λn − ((λ0 − 1)(λ1 − 1)...(λn − 1))La famille (B0, B1, ..., Bn) est liée si et seulement si ce déterminant est nul, ce qui est équivalentà :

B0A0

B0A1

B1A1

B1A2· · · Bn−1An−1

Bn−1An

BnAnBnA0

= 1

2.14.3 Le théorème de CévaTheorème 2.14.4. Soient A,B,C trois points non alignés d’un espace affine E, ils définissentun plan affine, on cosnidère trois points A′ ∈ (BC)\B,C, B′ ∈ (AC)\A,C et C ′ ∈(AB)\A,B, alors les propriétés suivantes sont équivalentes.(i) Les droites (A′A), (B′B) et (C ′C) sont parallèles ou sécantes en un point.(ii)

A′B

A′C

B′C

B′A

C ′A

C ′B= −1 (∗)

Démonstration. 1) (droites concourrantes) On suppose (A′A) ∩ (B′B) ∩ (C ′C) = O. Onapplique le théorème de Ménélaüs au triangle (AA′C) avec O ∈ (A′A), B ∈ (A′C) etB′ ∈ (AC), on a alors :

B′C

B′A

OA

OA′BA′

BC= 1

On applique de nouveau le théorème de Ménélaüs au triangle (AA′B) avec O ∈ (A′A),C ′ ∈ (AB) et C ∈ (A′B), on a :

C ′B

C ′A

OA

OA′CA′

CB= 1

d’où l’on déduit :B′C

BA

BA′

BC= C ′B

C ′A

CA′

C ′B= OA′

OA

c’est-à-dire :A′B

A′C

B′C

B′A

C ′A

C ′B= −1

Réciproquement, supposons cette propriété vraie et notons O le point d’intersection desdroites (A′A) et (B′B), montrons que O ∈ (C ′C). Si la droite (OC) est parallèle à ladroite (AB), alors il existe une homothétie de centre A′ qui envoie (AB) sur (OC) et unehomothétie qui échange A et B, on a alors :

A′B

AC

B′C

B′A= −1


ce qui avec l’égalité (∗) implique C′AC′B

= 1, ce qui est impossible. Par conséquent les droites(OC) et (AB) sont sécantes, notons C ′′ = (OC)∩(AB). Compte tenu de la démonstrationprécédente, on a :

A′B

A′C

B′C

B′A

C ′′A

C ′′B= −1

ce qui avec (∗) implique C ′′ = C ′ et donc (AA′), (B′B) et (C ′C) sont concourrantes.

2) (droites parallèles) Supposons (A′A)//(B′B)//(C ′C) alors par le théorème de Thalès, on a :

A′B

A′C= AB

AC ′et B

′C

B′A= BC ′

BA

d’où :A′B

A′C

B′C

B′A

C ′A

C ′B= AB

AC ′BC ′

BA

C ′A

C ′B= (−1)(−1)(−1) = −1

Réciproquement, supposons cette propriété vérifiée et (A′A)//(B′B). On considère la paral-lèle à (A′A) passant par C elle coupe (AB) en C ′′, elle ne peut pas lui être parallèle car lespoints A,B,C sont non-alignés, comptenu de ce qui précède, C ′′ vérifie :

A′B

A′C

B′C

B′A

C ′′A

C ′′B= −1

ce qui avec (∗) implique C ′′ = C ′, ainsi les trois droites sont parallèles.


2.14.4 Le théorème de PappusTheorème 2.14.5. Soit P un plan affine, soient D et D′ deux droites distinctes A,B,C troispoints de D, A′, B′, C ′ trois points de D′ tels que D∩D′∩A,B,C,A′, B′, C ′ = ∅. On suppose(AB′)//(BA′) et (BC ′)//(CB′), alors (CA′)//(AC ′).

Démonstration. 1) On suppose D ∩D′ = D, alors d’après le théorème de Thalès, on a :

DB

DC= DC ′

DB′et DADB

= DB′

DA′

ainsi :DB

DC

DA

DB= DC ′

DB′DB′

DA′

d’où :DA

DC= DC ′

DA′

ce qui implique (AC ′)//(A′C). En fait, on compose deux homothéties de centre D, l’unevérifie f(A) = B et f(B′) = A′ et l’autre vérifie g(B) = C et g(C ′) = B′, on obtientl’homothétie h = f g = g f de centre D qui vérifie h(A) = C et h(C ′) = A′, ce qui prouveque les droites (A′C) et (AC ′) sont parallèles.

2) On suppose que D ∩ D′ = ∅, les droites sont parallèles. On remplace les homothéties dela démonstration ci-dessus par des translations t1 et t2 telles que t1(A) = B, t1(B′) = A′,t2(B) = C et t2(C ′) = B′. On a t = t1 t2 = t2 t1, t(A) = C et t(C ′) = A′. D’où leparallélisme (AC ′)//(A′C).


2.14.5 Le théorème de DesarguesTheorème 2.14.6. Soient A,B,C (respectivement A′, B′, C ′) trois points affinement indépen-dants d’un espace affine E tels que A,B,C ∩ A′, B′, C ′ = ∅.1) On suppose (AB)//(A′B′), (BC)//(B′C ′) et (CA)//(C ′A′). Alors les drotes (AA′), (BB′)

et (CC ′) sont concourantes ou parallèles.2) On suppose (AB)//(A′B′), (BC)//(B′C ′) et les droites (AA′), (BB′) et (CC ′) concourantes

ou parallèles. Alors (CA)//(C ′A′).

Démonstration. 1) a) (droites concourantes) On suppose (AA′) ∩ (BB′) = D. Il existe unehomothétie h de centre D telle que h(A) = A′ et h(B) = B′. Comme (AC)//(A′C ′), alorsh((AC)) = (A′C ′), ainsi h(C) ∈ (A′C ′). De même h(C) ∈ (B′C ′), ainsi h(C) = C ′. Ce quiprouve que les points D,C et C ′ sont alignés, D ∈ (CC ′), les droites sont concourantes.

b) (droites parallèles) On suppose (AA′)//(BB′), alors−−→AA′ =

−−→BB′, on remplace h par une

translation t et on obtient (CC ′)//(AA′).2) a) (droites concourantes) On note D = (AA′) ∩ (BB′) ∩ (CC ′), il existe une homothétie

h de centre D telle que h(A) = A′ et h(B) = B′, comme (BC)//(B′C ′), on a h(C) = C ′

et (CA)//(C ′A′).b) (droites parallèles) On considère alors la translation telle que t(A) = A′, t(B) = B′ et

t(C) = C ′. On a bien, là encore, (AC)//(A′C ′).

Chapitre 3

L’axiomatique de Hilbert

Dans ce chapitre, nous allons définir les notions de points, droites, plans et espace de dimen-sion 3 à partir d’un certain nombre d’axiomes que doivent vérifier ces objets. C’est la présenta-tion de la géométrie d’Euclide, formalisée par D.Hilbert au début du 20e siècle. Contrairementà Hilbert, nous n’écrirons pas forcément un système minimal d’axiomes.

Les postulats de la géométrie plane d’Euclide sont au nombre de cinq.

Axiomes d’Euclide : On demande :1) de pouvoir conduire une doite d’un point quelconque à un point quelconque2) de prolonger par continuité une droite finie en une droite3) de décrire un cercle d’un point quelconque et avec un intervalle quelconque (c’est-à-dire une

ouverture de compas quelconque)4) que tous les angles droits sont égaux entre eux5) et que par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette

droiteLa présentation que nous donnons ici est plus proche de celle de Hilbert.

3.1 Les axiomes d’incidenceCes axiomes sont communs à tous les géométries, ils définissent les points, les droites et

l’espace.

I1) Toute droite contient au moins deux points distincts.I2) Tout plan contient au moins trois points non-alignés.I3) Par deux points distincts A et B passe une droite et une seule, on la note (AB).I4) L’espace contient au moins trois points non-alignés et au moins quatre points non co-planaires (ainsi, l’espace est de dimension au moins 3).

I5) Par trois points non-alignés passe un plan et un seul.I6) Une droite qui n’est pas contenu dans un plan le rencontre en au plus un point.I7) Si deux plans ont un point commun, ils en ont au moins un autre (ainsi l’espace est dedimension au plus 3).

A partir de cette première famille d’axiomes, on peut déjà démontrer les résultats suivants :

Proposition 3.1.1. Deux droites distinctes se coupent en au plus un point, deux plans distincts,ou bien ne se rencontrent pas, ou bien se coupent en une droite.

41

42 Chapitre 3. L’axiomatique de Hilbert

Proposition 3.1.2. Deux droites concourantes de l’espace déterminent un unique plan qui lescontient toutes les deux. De même une droite et un point pris hors de cette droite déterminentun unique plan qui les contient tous les deux.

Proposition 3.1.3. Tout plan contient au moins trois droites non concourantes. L’espacecontient au moins six droites distinctes et quatre plans distincts.

Remarque. 1) Si on appelle espace un ensemble de 4 points E = A,B,C,D et droite toutepaire points de E . Alors les axiomes d’incidence sont tous vérifiés. Ceci montre à quel pointces axiomes sont insuffisants.

2) Il est clair que l’espace affine de dimension 3 et les droites affines définis au chapitre précédentvérifient les axiomes d’incidence.

3.2 Les axiomes d’ordreCes axiomes permettent de définir le fait pour un point d’être entre deux autres, et de définir

un ordre sur les droites, les géométries qui vérifient ces axiomes sont dites ordonnées. C’est lecas de la géométrie affine si le corps de base de l’espace vectoriel est ordonné (c’est le cas deR).

Les trois premiers axiomes nous disent que si le point B est entre les points A et C alors ilest entre C et A.O1) A tout couple de points distincts A et B est associée une partie de l’espace notée ]AB[

appelée intervalle d’extrémités A et B.O2) Pour tout couple A,B de l’espace, on a ]AB[=]BA[.O3) Si A 6= B, alors ]AB[⊂ (AB)\A,B. On notera [AB] =]AB[∪A,B appelé segement

[AB].O4) Si A 6= B, alors il existe C tel que B ∈]AC[.O5) Parmi les trois relations : B ∈]AC[, C ∈]AB[ et A ∈]BC[, il n’y en a jamais deux qui ont

lieu en même temps.O6) Axiome de Pasch : soient A,B,C trois points non alignés. Si une droite du plan (ABC)

rencontre [AB], elle rencontre alors ou [BC] ou [CA] (une droite qui entre dans un triangleen ressort).

De ces axiomes on déduit les propriétés évidentes des intervalles, que nous connaissons.Cependant, toute propriété, aussi évidente soit-elle, doit être démontrée si ce n’est pas unaxiomes. Par exemple, on démontre :

Propriété 3.2.1. Si B ∈]AC[ et C ∈]BD[, alors B ∈]AD[ et C ∈]AD[.

Démonstration. Montrons que C ∈]AD[. Soit E 6∈ (AB), un tel E existe dans le plan. SoitF ∈ (CE) tel que E ∈]CF [. Comme (BF ) coupe ]AC[ mais pas ]CE[, elle coupe ]AE[ en unpoint G. Comme (AE) coupe ]CF [ mais pas ]BC[, elle coupe ]BF [. Comme (CF ) coupe ]BD[mais pas [BG], elle coupe ]GD[. Comme (CF ) coupe ]GD[ mais pas [GA] elle coupe ]AD[.Ainsi C ∈]AD[.

On peut aussi démontrer :

Propriété 3.2.2. Si B ∈]AC[ et C ∈]AD[, alors C ∈]BD[ et B ∈]AD[.

Proposition 3.2.3. Si A 6= B, alors ]AB[ 6= ∅.

Chapitre 3. L’axiomatique de Hilbert 43

Proposition 3.2.4. Si A,B,C sont trois points alignés, des trois relations B ∈]AC[, C ∈]AB[et A ∈]BC[, une et une seule a lieu.

Proposition 3.2.5. (a) Soient A,B,C trois points distincts et alignés tels que B ∈]AC[. Alors]AB[⊂]AC[ et ]BC[⊂]AC[.

(b) Soient A,B,C,D quatre points distincts et alignés tels que B ∈]AD[ et C ∈]AD[. Alors[BC] ∈]AD[.

Un autre résultat important :

Proposition 3.2.6. Entre deux points d’une droite, il y en a une infinité.

Ces axiomes d’ordre permettent de définir des demi-droites et des demi-plans grâce auxpropositions suivantes :

Proposition 3.2.7. Soit d une droite et O ∈ d. La relation définie sur d\O par :

A ∼ B ⇔ O 6∈]AB[

est une relation d’équivalence qui possède exactement deux classes.

Proposition 3.2.8. Soit d une droite du plan P. La relation définie sur P\d par :

A ∼ B ⇔ d ∩ [AB] = ∅

est une relation d’équivalence qui possède exactement deux classes.

Ces axiomes d’ordre permettent également de définir les polygones ainsi qu’une notiond’angles (sans mesure d’angle). Jusque là, il n’est pas question de distances, ni de parallélisme.Néanmoins, avec ces seuls axiomes de la géométrie ordonnée on peut donner une démonstrationtrès simple et très élégante d’un résultat de Sylvester qui a résisté jusqu’en 1933.

Problème de Sylvester. Soient n points non colinéaires, alors il existe au moins unedroite qui ne contient que deux d’entre eux.

Démonstration. Soient S = P1, ..., Pn, l’ensemble de ces n points, on suppose P1, P2, P3 nonalignés.

– Les droites joignant le point P1 à tous les autres points de S coupent la droite (P2P3) enau plus (n− 1) points (P2 et P3 inclus).

– Soit Q un autre point de cette droite, alors la droite (P1Q) contient le point P1 maisaucun autre point de l’ensemble S.

– Les droites joignant les points de S coupent la droite (P1Q) en au plus C2n−1 + 1 1 points

(P1 et Q inclus). Ces points d’intersection partagent la droite (P1Q) en segments.– Soit A ∈ (P1Q) tel que pour tout i, j, 2 ≤ i 6= j ≤ n, on ait [P1A] ∩ (PiPj) = ∅ (A peutêtre égal à Q).

– Par définition A appartient à au moins une droite (PiPj), disons A ∈ (P4P5).– Si la droite (P4P5) ne contient aucun autre point de S, c’est terminé.– Sinon, il y a au moins trois points de S sur cette droite passant par A, notons les P4, P5et P6 et supposons (sans perdre de généralité) que P4 ∈]AP5[ mais P6 6∈]AP5[.

– Montrons alors que la droite (P1P5) ne contient que deux points de S. Raisonnons parl’absurde, supposons qu’il existe un point de S, notons le P7 tel que P7 ∈ (P1P5). Enraison de l’axiome de Pasch, on a :

1On rappelle que Ckn = n!(n−k)!k!


– Si P7 ∈]P1P5[ alors ]P1A[∩(P6P7) 6= ∅.– Si P5 ∈]P1P7[ alors P1 ∈]P5P7[ alors ]P1A[∩(P4P7) 6= ∅.Ce qui est contradictoire avec la définition du point A. Le résultat est donc démontré.

3.3 Axiomes de congruenceCes axiomes s’ajoutent aux axiomes d’ordre et vont permettre d’obtenir les géométries

absolues, euclidiennes (au sens des parallèles) ou non-euclidiennes. Il n’est pas encore questionde parallélisme. Les axiomes de congruences vont permettre de mesurer des segments ainsi quedes angles. Ces axiomes ne sont pas vérifiés par les espaces affines dans lesquels on ne peutmesurer que des rapports de longueurs sur une même droite. Ces axiomes consistent à définirune relation d’équivalence entre les segments. Des segments équivalents auront même longueur.C’est ce que nous verrons au chapitre lorsque les espaces vectoriels qui définissent nos espacesaffines seront munis d’une distance euclidienne.C1) Soit, donnée une relation entre les segments, on notera AB ≡ CD et on dira que les

segments AB et CD sont congruents.C2) Si A 6= B et C est un point, alors sur toute demi-droite issue de C, il existe un unique

point D tel que AB ≡ CD. Cet axiome permet le report des longueurs.C3) On a AB ≡ BA.C4) Si AB ≡ CD et CD ≡ EF , alors AB ≡ EF .C5) Si B ∈]AC[ et B′ ∈]A′C ′[ et si on a AB ≡ A′B′ et BC ≡ B′C ′ alors AC ≡ A′C ′. Cet

axiome permet d’ajouter des longueurs.Dans le plan, nous allons définir de la même manière une relation d’équivalence entre les

angles, précisons ici la définition d’un angle. C’est un ensemble de deux demi-droites distinctes[Ox) et [Oy) issues d’un même point O. On le notera xOy. Les demi-droites sont les côtésde l’angle, le point O en est le sommet. L’angle partage le plan en deux régions, l’intérieurde l’angle et l’extérieur. L’angle xOx est l’angle nul et l’angle défini par deux demi-droitesopposées par rapport à un point O et portées par une même droite est appelé angle plat.

C6) La congruence (ou égalité) entre les angles de demi-droites est une relation d’équiva-lence.

C7) Soit α = x′Oy′ un angle. De chaque côté d’une demi-droite [Ox), il existe des demi-droites [Oy) et [Oz) telles que α = xOy = xOz.

C8) Soient A,B,C et A′, B′, C ′ deux triangles (c’est-à-dire trois points non-alignés), onsuppose les congruences suivantes satisfaites AB = A′B′, AC = A′C ′ et BAC = B′A′C ′,alors ABC = A′B′C ′, BC = B′C ′ et ACB = A′C ′B′. On dit que les triangles sont égaux.

Cet axiome est aussi connu comme premier cas d’égalité des triangles, les autres cas d’égalitéque nous étudierons au chapitre suivante sont des conséquences de ces axiomes de congruence.L’axiome suivant permet d’ajouter, sous certaines conditions, des angles.

C9) Soient [Oy) et [0z) de part et d’autre de [Ox), on a alors yOx+ xOz = yOz.Nous verrons dans le chapitre suivant comment la notion d’angles orientés permet d’ajouter

des angles sans conditions.

Ces axiomes permettent de définir les angles droits à partir de la définition suivante :Définition 3.3.1. Deux angles sont dits suplémentaires, s’ils ont même sommet, un côté com-mun et si les autres côtés sont portés par une même droite. Un angle congruent à un de sessupplémentaires est appelé angle droit.


On a le résultat suivant :Proposition 3.3.1. Tous les angles droits sont congruents.

Cette proposition, qui peut être démontrée à partir des axiomes était un axiome chez Eu-clide.

Les axiomes de congruence permettent donc de mesurer les longueurs et les angles, les géo-métries vérifiant les trois groupes d’axiomes, incidence, ordre et congruence sont les géométriespré-euclidiennes ou géométries absolues. On peut y définir les isométries et y démontrer déjàbeaucoup de résultats. Selon l’axiome des parallèles que l’on choisira d’y ajouter, on obtiendrala géométrie euclidienne ou la géométrie hyperbolique.

3.4 Le postulat d’EuclideAxiome d’Euclide : Soient un droite d et un point A 6∈ d, alors, dans le plan déterminé

par A et d, il existe au plus une droite qui passe par A et qui ne rencontre pas d.Remarque. – Les axiomes précédents permettaient de démontrer que par un point donné

du plan, il passe au moins une droite qui ne rencontre pas une droite donnée, l’axiomed’Euclide démontre l’unicité d’une telle parallèle.

– C’est l’axiome d’Euclide qui permet de définir la notion de parallélogramme et, par làmême, celle de bipoints quipollents et de vecteurs. C’est une manière d’introduire, enles construisant, les espaces vectoriels. Les axiomes d’ordre imposeront au corps de based’être ordonné, les axiomes de continuité imposeront le corps des réels.

– On a longtemps cherché à démontrer que cet axiome était une conséquence des précédents,jusqu’à ce que l’on construise des géométries cohérentes pour lesquelles il n’est pas vérifié,ce sont les géométries non-euclidiennes

Remarquons que cet axiome est un axiome du plan, il a pour conséquence le résultat suivant :Proposition 3.4.1. La somme des angles d’un triangle est égale à deux angles droits.

Les axiomes de congruence permettant la définition du cercle, on obtiendra avec l’exiomed’Euclide des parallèles les propriétés classique du cercle, cercle circonscrit, angles inscrits...que nous étudirons à la fin du chapitre suivant.

3.5 Axiomes de continuitéAxiome d’Archimède : Si AB et CD sont deux segments quelconques, il existe un entier

tel que le report du segment CD, n fois à partir de A sur la demi-droite [AB) coduit un pointE tel que B ∈ [AE].

Axiome de l’intégrité linéaire : Les éléments points, droites et plans de la géométrieconstituent un système qui, si l’on admet les axiomes précédents, n’est susceptible d’aucuneextension.

Ces axiomes sont des axiomes linéaires. L’axiome d’intégrité n’est pas une conséquence del’axiome d’Archimède et c’est l’axiome d’intégrité qui permet la correspondance biunivoqueentre les points de la droite et les nombres réels.

La géométrie construite à partir des familles d’axiomes que nous venons d’énoncer est lagéométrie cartésienne de R3.


3.6 Compatibilité et indépendance des axiomesDans son ouvrage "Les fondements de la géométrie", David Hilbert étudie la compatibilité

es axiomes et leur indépendances les uns vis-à-vis des autres. Ceci en construisant différentesgéométries cohérentes vérifiant telle ou telle famille d’axiomes. Sans vouloir ici entrer dans lesdétails, il est intéressant de faire quelques remarques qui donent un aperçu des liens entre lesaxiomes. Nous ferons références à quelques ouvrages qu’il nous semble intéressant et enrichissantde consulter.Remarque. 1) Il existe des géométries dites non-archimédiennes dans lesquelles tous les axiomes

sont vérifiés sauf les axiomes de continuité.2) Si l’on admet l’axiome d’Archimède, l’axiome d’Euclide peut être remplacé par : La somme

des angles d’un triangle est égale à deux droits.3) Si l’on exclut l’axiome d’Archimède, il ne résulte pas de l’existence par un pint d’une infinité

de parallèles à une droite donnée que la somme des angles d’un triangle est inférieure à deuxdroits.

4) Le fait que la somme des angles d’un triangle dépasse toujours deux droits résulte de lanon-existence des parallèles.

5) Le théorème de Desargues ne peut être démontré sans les axiomes de congruences si l’onreste en géométrie plane, c’est-à-dire si l’on n’admet pas les axiomes de l’espace.

6) Dans ce cours, nous avons choisi de présenter les géométries affines et euclidiennes réelles,c’est-à-dire vérifiant tous les axiomes énoncés précédemment. Coxeter, dans "Introductionto Geometry" fait de même et pour lui la géométrie affine est ordonnée et continue. Parcontre, Hartshorne, dans "Geometry : Euclid and beyond" appelle géométrie affine toutegéométrie vérifiant les axiomes d’incidence et l’axiome des parallèles d’Euclide, il considèreainsi comme des plans affines les ensembles cartésiens K2 pour K un corps quelconque. Lespropriétés du corps K impliqueront pour K2 les axiomes d’ordres, dans le cas des corpsordonnés, ou de continuité.

7) Dans le plan affine défini par Coxeter, le théorème de Desargues est un axiome. Son planvérifie les axiomes d’incidence, d’ordre et de continuité ainsi que l’axiome d’Euclide, c’estl’axiome de Desargues qui lui permet de définir les dilatations, les vecteurs et les coordonnées.On peut faire la même chose si l’on se place dans l’espace auxquel cas l’axiome de Desarguesdevient un théorème.

8) Soit K un corps tel que pour tout x ∈ K, on ait√

1 + x2 ∈ K, un tel corps est ditpythagoricien. Si K n’est pas pythagoricien, alors dans K2, la droite y = x et le cerclex2 + y2 = 1 ne se rencontrent pas.

9) Soit K un corps ordonné tel que pour tout x ∈ K, on ait x2 ∈ K+, un tel corps est diteuclidien. Il existe des corps euclidiens mais non pythagoriciens et des corps pythagoriciensnon-euclidiens.

10) Il existe quatre points A,B,C,D deK2 tels que (AB)//(CD), (AC)//(BD) et (AD)//(BC)si et seulement si le corps K est de caractéristique 2.

11) Si K est un corps, le plan euclidien K2, que nous noterons ΠK , est un modèle de planaffine (au sens où l’entend Hartshorne). Il vérifie les axiomes d’incidence, ainsi que l’axiomeeuclidien des parallèles. Nous allons examiner le lien entre les différentes familles d’axiomeset les propriétés du corps K.

Proposition 3.6.1. Le plan ΠK vérifie les axiomes d’ordre si et seulement si le corps K estordonné.


Considérons le nouvel axiome (E) suivant :(E) : Soient K un corps et ΠK le plan cartésien K2, soient Γ et ∆ deux cercles du plan

ΠK, on suppose que ∆ contient au moins un point à l’intérieur de Γ et au moins un point àl’extérieur, alors l’intersection Γ ∩∆ contient exactement deux points.

On a alors la proposition suivante :

Proposition 3.6.2. Soit K un corps ordonné, alors ΠK vérifie l’axiome (E) si et seulementsi le corps K est euclidien.

Par ailleurs, on a :

Proposition 3.6.3. Si K est un corps ordonné, alors ΠK vérifie les axiomes C1, C3, C4, C5,C6, C7 et C8, il vérifie l’axiome C2 si et seulement si le corps K est pythagoricien.

R.Hartshorne appelle "plan euclidien", un ensemble qui vérifie les axiomes d’incidence I1, I2,I3, les axiomes d’ordre, les axiomes de congruence, l’axiome euclidien des parallèles et l’axiome(E).

Un plan euclidien qui vérifie les axiomes de continuité est isomorphe à R2.

Chapitre 4

Espaces euclidiens

Nous allons maintenant étudier les espaces affines euclidiens. Ils vérifient les axiomes d’in-cidence, d’ordre, ainsi le postulat d’Euclide, mais aussi les axiomes de congruences et de conti-nuité. Ainsi, dans ce chapitre, le corps de base des espaces vectoriel est le corps R des nombresréels.

4.1 Produit scalaire et distance euclidienneSoit E un espace vectoriel sur R.

Définition 4.1.1. Une application φ : E × E → R est un produit scalaire, si c’est une formebilinéaire symétrique, définie-positive, c’est-à-dire, en notant (u|v) = φ(u, v) :1) ∀(u, v, w) ∈ E3 et ∀λ ∈ R, on a :

– (u|v + w) = (u|v) + (u|w)– (u+ v|w) = (u|w) + (v|w)– (λu|v) = λ(u|v) = (u|λv).

2) ∀(u, v) ∈ E2, on a (u|v) = (v|u).3) ∀u ∈ E, (u|u) ≥ 0 et (u|u) = 0⇔ u = −→0 .Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire est appelé espace vectoriel euclidien.Proposition 4.1.1. Soit E un espace vectoriel euclidien. Alors, l’application :

‖ · ‖ : E → R+

u 7→√u|u = ‖u‖

est une norme, c’est-à-dire qu’elle vérifie :1) ∀u ∈ E, ‖u‖ = 0⇔ u = −→02) ∀u ∈ E, on a : ‖λu‖ = |λ|‖u‖3) ∀(u, v) ∈ E2, on a ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.Proposition 4.1.2 (Inégalité de Minkowski). Pour tout (u, v) ∈ E2, on a : |(u|v)| ≤ ‖u‖‖v‖.Définition 4.1.2. On appelle espace affine euclidien un espace affine E dirigé par un espacevectoriel E euclidien. On peut alors définir une distance sur E par :

∀(A,B) ∈ E2, d(A,B) = ‖−→AB‖On peut vérifier que l’application d ainsi définie est une distance, en particulier que pour

(A,B,C) ∈ E , on a d(A,B) ≤ d(A,C)+d(C,B) avec égalité si et seulement si les points A,B,Csont alignés et C ∈ [A,B].

On s’autorisera désormais à noter u.v pour (u|v) et AB pour d(A,B).

48

Chapitre 4. Espaces euclidiens 49

4.2 OrthogonalitéDéfinition 4.2.1. On dit que deux vecteurs u et v d’un espace vectoriel eclidien sont ortho-gonaux, noté u ⊥ v si leur produit scalaire u.v est nul.

Si F est un sous-espace vectoriel de E, on définit le sous-espace orthogonal de F par :

F⊥ = u ∈ E, u.v = 0, ∀v ∈ F

On a E = F ⊕ F⊥. Plus généralement, si S est une partie de E, on définit :

S⊥ = u ∈ E, u.v = 0, ∀v ∈ S

C’est un sous-espace vectoriel de E qui est l’orthogonal du sous-espace engendré pr la partie S.

Définition 4.2.2. Une base (e1, ..., en) de E est dite orthogonale si ei.ej0 pour tout (i, j),1 ≤ i 6= j ≤ n. Elle est dite orthonormale si, de plus, ‖ei‖ = 1.

Proposition 4.2.1 (Procédé d’orthonormalisation de Schmidt). Soit (c1, ..., cn) une base deE, il existe une base orthonormée (e1, ..., en) telle que pour tout k, 1 ≤ k ≤ n, l’espace engendrépar les vecteurs (e1, ..., ek) soit égal à l’espace engendré par (c1, ..., ck).

Démonstration. On note < c1, ..., ci > le sous-espace engendré par les vecteurs (c1, .., ci). Ladémonstration se fait par réccurence sur k. On pose e1 = c1

‖c1‖ .Supposons e2, ..., ek construits tels que ei.ej = 0, ‖ei‖ = 1, pour 1 ≤ i 6= j ≤ k et <

e1, ..., ek−1 >=< c1, ..., ck−1 >, on cherche alors ek sous la forme :

ek = α1e1 + ...+ αk−1ek−1 + αck

avec (α1, ..., αk−1, α) ∈ Rk.Pour 1 ≤ i ≤ k − 1, on a ei.ek = 0 d’où αi = −αck.ei. La condition ‖ek‖ = 1 permet

de calculer α en fonction des vecteurs e1, ..., ek−1 et ck. D’où la possibie la construction parréccurence.

4.3 Projections et symétries orthogonalesDéfinition 4.3.1. Soit E un espace vectoriel euclidien et F un sous-espace vectoriel de E, on aE = F ⊕ F⊥, on note pF la projection sur F associée à cette décomposition en somme directe,c’est la projection orthogonale sur F . Pour tout u ∈ E et v ∈ F , on a :

v = pF (u)⇔ u− v ∈ F⊥

Dans le cas où F = H est un hyperplan : si a est un vecteur unitaire directeur de H⊥ alorsE = H ⊕ Ra et, pour u ∈ E, pH(u) = u− (u.a)a et pH⊥(u) = (u.a)a.

La symétrie orthogonale sF est l’application linéaire égale à idF sur F et à − idF⊥ sur F⊥.Soit u ∈ E, u = v + w avec v ∈ F et w ∈ F⊥, alors sF (u) = v − w.

On définit de la même manière les projection et les symétries orthogonales affines, dontles applications linéaires associées sont les projections et les symétries orthogonales vectoriellesdéfinies ci-dessus.

50 Chapitre 4. Espaces euclidiens

Définition 4.3.2 (Projection orthogonale affine). Soit E un espace affine euclidien dirigé parE. Soit F un sous-espace affine de E dirigé par le sous-espace vectoriel de F de E.1) Pour tout M ∈ E , il existe un unique point N ∈ F tel que −−→MN ∈ F⊥, on note :

N = pF(M)

En effet, fixons A ∈ F , soitM ∈ E , le vecteur −−→AM ∈ E = F ⊕F⊥, d’où l’existence de u ∈ Fet v ∈ F⊥, uniques, tels que −−→AM = u+ v. Par ailleurs, il existe un unique point N ∈ F telque −−→AN = u, on écrit :

−−→AM = −−→AN +−−→NM = u+ v ⇔

−−→NM = v ∈ F⊥

2) Le point N = pF(M) est l’unique point de F tel que :

MN = d(M,N) = d(M,F) = infMA, A ∈ F

L’application pF est affine et −→p F = pF .

Définition 4.3.3 (Symétrie orthogonale affine). Soit E un espace affine euclidien euclidiendirigé par E. Soit F un sous-espace affine de E dirigé par le sous-espace vectoriel F de E.1) Pour tout M ∈ E , il existe un unique point N ∈ E tel que :

−−→MN ∈ F⊥ et 1

2M + 12N ∈ F

En effet, fixons A ∈ F , soitM ∈ E , le vecteur −−→AM ∈ E = F ⊕F⊥, d’où l’existence de u ∈ Fet v ∈ F⊥, uniques, tels que −−→AM = u+ v. Par ailleurs, il existe un unique point N ∈ F telque sF (−−→AM) = u− v = −−→AN . On a :

−−→MN = −−→MA+−−→AN = −u− v + u− v = −2v ∈ F⊥

et si P ∈ E est le milieu de [MN ], P = 1/2M + 1/2N , on a :

−→AP = 1

2−−→AM + 1

2−−→AN = 1

2(u+ v) + 12(u− v) = u ∈ F

d’où P ∈ F .2) On pose N = sF(M), l’application sF est la symétrie orthogonale par rapport à F , elle est

affine et−→s F = sF , l’ensemble des points points fixes est F et elle est involutive, sFsF = idE .Si F est un hyperplan affine de E , la symétrie sF est appelée réflexion.


4.4 Formes linéaires, dual, adjointProposition 4.4.1. Soit E un espace vectoriel euclidien, pour toute forme linéaire f sur E, ilexiste un unique vecteur a ∈ E tel que f(u) = u.a pour tout u ∈ E.

Démonstration. Soit (e1, ..., en) une base orthonormale de E, posons f(ei) = ai ∈ R. Soit a levecteur a = a1e1 + ...+ anen, soit u ∈ E, u = x1e1 + ...+ xnen, on a :

f(u) = x1a1 + ...+ xnan = u.a

d’où l’existence de a, ce vecteur a est unique, en effet s’il existe b tel que pour tout u ∈ E,f(u) = b.u, alors pour tout u ∈ E, on a (b− a).u = 0 donc b− a ∈ E⊥ = 0.

Soit E∗ le dual de E, l’application :

ϕa : E → E∗

a 7→ ϕ(a) : u 7→ a.u

est une bĳection, elle est linéaire, c’est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

4.4.1 Adjoint d’un endomorphismeDéfinition 4.4.1. Soit f une application linéaire de E dans E. Soit v ∈ E, on considère laforme linéaire fv : u 7→ f(u).v, d’après ce qui précède, il existe un unique vecteur w tel quefv(u) = w.u. On note ce vecteur w = f ∗(v). On a ainsi défini un endomorphisme f ∗ qui vérifie,pour tout u, v ∈ E, f(u).v = u.f ∗(v), c’est l’adjoint de f .

Proposition 4.4.2. Dans une base orthonormée quelconque de E, si P est la matrice de f , etP ∗ la matrice de f ∗, on a : P ∗ = tP .

4.5 IsométriesDéfinition 4.5.1. Une isométrie vectorielle, d’un espace vectoriel euclidien E, est une appli-cation linéaire ϕ qui conserve la norme :

∀u ∈ E, ‖ϕ(u)‖ = ‖u‖

Une isométrie affine, d’un espace affine euclidien E , est une application affine f qui conserve ladistance :

∀(A,B) ∈ E2, d(f(A), f(B)) = d(A,B)


Soit ϕ une isométrie vectorielle, alors ϕ est injective, en effet :

∀(u, v) ∈ E2, ‖ϕ(u)− ϕ(v)‖ = ‖u− v‖

elle est donc bĳective car E est de dimension finie. Il en est de même des isométries affines, cesont des éléments du groupe affine.

Le groupe des isométries vectorielles de E est appelé groupe orthogonal noté O(E), c’estun sous-groupe du groupe linéaire GL(E).

Le groupe des isométries affines de E , noté Isom(E) est un sous-groupe du groupe affineGA(E).

Proposition 4.5.1. Soit ϕ ∈ GL(E) alors les propriétés suivantes sont équivalentes :(i) ϕ est une isométrie.(ii) ϕ conserve le produit scalaire, pour u, v ∈ E, on a ϕ(u).ϕ(v) = u.v.(iii) On a ϕ−1 = ϕ∗.(iv) ϕ transforme toute base orthonormale en une base orthonormale.(v) ϕ transforme une base orthonormale en une base orthonormale.

Démonstration. (i)⇒ (ii) : On remarque que pour tout u, v ∈ E, on a :

4u.v = ‖u+ v‖2 − ‖u− v‖2

or :

‖ϕ(u) + ϕ(v)‖2 − ‖ϕ(u)− ϕ(v)‖2 = ‖ϕ(u+ v)‖2 − ‖ϕ(u− v)‖2 = ‖u+ v‖2 − ‖u− v‖2

d’où 4ϕ(u).ϕ(v) = 4u.v.(ii)⇒ (iii) : Par définition de ϕ∗, on a pour u, v ∈ E, ϕ(u).v = u.ϕ∗(v), ainsi d’après (ii) :

u.v = ϕ(u).ϕ(v) = u.ϕ∗ ϕ(v)

d’où :∀(u, v) ∈ E2, u.(v − ϕ∗ ϕ(v)) = 0

donc, pour tout v ∈ E, v − ϕ∗ ϕ(v) ∈ E⊥ = 0. Ce qui prouve que ϕ−1 = ϕ∗.(iii)⇒ (iv) : On suppose que ϕ ∈ GL(E) vérifie ϕ∗ ϕ = idE, soit (e1, ..., en) une baseorthonormale de E, on a pour 1 ≤ i 6= j ≤ n.

ϕ(ei).ϕ(ej) = ei.ϕ∗ ϕ(ej) = ei.ej = 0 et ϕ(ei).ϕ(ei) = ei.ei = 1

d’où le résultat.(iv)⇒ (v) : évident.(v)⇒ (i) : On considère une base orthonormale (e1, ..., en) de E telle que (ϕ(e1), ..., ϕ(en))soit une base orthonormale. Soit u = x1e1 + ...+ xnen ∈ E, on a :

‖ϕ(u)‖2 = ‖x1ϕ(e1) + ...+ xnϕ(en)‖2 = x21 + ...+ x2

n = ‖u‖2

.

Proposition 4.5.2. Une symétrie est une isométrie si et seulement si c’est une symétrieorthogonale.


Démonstration. Soit E = F ⊕ G et s la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Toutu ∈ E s’écrit u = v + w avec v ∈ F et w ∈ G, et s(u) = v − w. Supposons s ∈ O(E), alors :

‖v + w‖2 = ‖s(v + w)‖2 = ‖v − w‖2

ainsi 4v.w = ‖v + w‖2 − ‖v − w‖2 = 0, ce qui prouve que G = F⊥ et que s est la symétrieorthogonale sF .

Réciproquement, si s = sF est la symétrie orthogonale par rapport à F , alors pour u = v+wet u′ = v′ + w′ avec (v, v′) ∈ F 2 et (w,w′) ∈ (F⊥)2, on a :

s(u).s(u′) = (v − w).(v′ − w′) = v.v′ + w.w′ = u.u′

d’où le résultat.Proposition 4.5.3. Soit f ∈ Isom(E), alors les conditions suivantes sont équivalentes :(i) f 2 = idE .(ii) f est une symétrie orthogonale.Démonstration. (ii)⇒ (i) : évident

(i)⇒ (ii) : Soit f une isométrie telle que f 2 = idE . Soit A ∈ E et soit O le milieu de A etf(A), on a :

O = A+ f(A)2 donc f(O) = f(A) + A

2 = O

Ainsi, f admet un point fixe. On considère le sous-espace affine F = M, f(M) = M,alors, on a :

F = ker(−→f − idE) et F = O + ker(−→f − idE)On a donc : f |F et f 2 = idE . Or :

E = ker(−→f − idE)⊥⊕ Im(−→f − idE) = F + F⊥

En effet, su v = −→f (u)− u ∈ Im(−→f − idE) et w ∈ ker(−→f − idE), alors :

u.w = (−→f (u)− u).w = −→f (u).w − u.w = −→f (u).−→f (w)− u.w = 9

Soit u ∈ E, on écrit u = u1 + u2 = −→f (u3)− u3 + u2, avec u2 ∈ F , u1 = −→f (u3)− u3 ∈ F⊥,on a alors :

−→f (u) = −→f 2(u3)−

−→f (u3) +−→f (u2) = u3 −

−→f (u3) + u2 = u2 − u1

Ainsi, f est la symétrie orthogonale par rapport à F .

Proposition 4.5.4. Soit E un espace affine euclidien dirigé par un espace vectoriel euclidien E,soient O(E) le groupe orthogonal de E et Isom(E) le groupe des isométries de E. L’application :

ψ : Isom(E) → O(E)f 7→

−→f

est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est le groupe des translations de E.De même que dans le cas du groupe affine, on peut écrire le groupe des isométries comme

un produit semi-direct.Proposition 4.5.5. Soit G = Isom(E) le groupe des isométries d’un espace affine E dirigé parun espace vectoriel E, soit A ∈ E et T le groupe des translations de E, on note :

IsomA = f ∈ G, f(A) = AAlors IsomA est un sous-groupe de G isomorphe à O(E) et G est produit semi-direct de IsomA

par T .


4.5.1 Déplacements et anti-déplacementsDéfinition 4.5.2. Soit ϕ une isométrie vectorielle, on a vu qu’alors ϕ−1 = ϕ∗ et que si P estla matrice de ϕ dans une base orthonormale de E, la matrice de ϕ∗ est la transposée de P , ona donc, pour ϕ ∈ O(E) :

det(ϕ ϕ∗) = det(P tP ) = det(P )2 = 1

d’om detϕ ∈ −1, 1. On appelle déplacement une isométrie affine dont le déterminant del’isométrie linéaire associée est égal à 1 (c’est, par exemple, le cas des translations). On appelleanti-déplacement, une isométrie affine dont le déterminant de l’isométrie linéaire associée estégal à −1 (c’est, par exemple, le cas des symétries orthogonales).

L’ensemble des déplacements, ou isométries positives, noté Isom+(E) est un sous-groupe deIsom(E).

4.5.2 Décomposition canoniqueProposition 4.5.6. Soit E un espace affine euclidien dirigé par un espace vectoriel E, soit fune isométrie et

−→f son isométrie vectorielle associée. Alors, il existe une unique décomposition,

f = tg où t est une translation et g est une isométrie affinie admettant un sous-espace F affinenon-vide de points fixes. On a alors t g = g t, la direction F de F est égale à ker(−→f − idE)et t = tu avec u ∈ F .

Démonstration. Notons F = ker(−→f − idE) et on remarque que F⊥ = Im(−→f − idE), en effetsoit v ∈ Im(−→f − idE), il existe u ∈ E tel que v = −→f (u) − u, soit w ∈ ker(−→f − idE), on a :−→f (w) = w et :

v.w = (−→f (u)− u).w = −→f (u).w − u.w = −→f (u).−→f (w)− u.w = 0

car −→f conserve le produit scalaire.On a donc bien E = ker(−→f − idE)

⊥⊕ Im(−→f − idE) = F + F⊥.

Soit A ∈ E , on écrit−−−−→Af(A) = u1 + u2 avec u1 ∈ F et u2 ∈ F⊥, il existe u3 ∈ E tel que

u2 = −→f (u3)− u3. Remarquons que le vecteur u1 ne dépend que de f et pas du point A choisi.En effet, si A′ 6= A est un autre point de E , le vecteur

−−−−−→A′f(A′) s’écrit u′1 + u′2 avec u′1 ∈ F et

u′2 ∈ F⊥, on a :−→f (−−→AA′)−

−−→AA′ ∈ F⊥ = Im(−→f − idE)

et :−→f (−−→AA′)−

−−→AA′ =

−−−−−−−→f(A)f(A′)−

−−→AA′ =

−−−−→f(A)A+

−−→AA′ +

−−−−−→A′f(A′)−

−−→AA′ = (u′1 − u1) + (u′2 − u2)

d’où u′1−u1 = 0. On note u ce vecteur qui ne dépend que de f . On rappelle que u2 = −→f (u3)−u3.On pose B = A − u3, on a f(B) = f(A) − −→f (u3), or, f(A) = A + u + u3 −

−→f (u3). D’où

f(B) = A− u3 + u = B + u1 + tu(B).On définit l’isométrie affine g par g = t−u f , c’est-à-dire f = tu g avec u ∈ F défini de

manière unique comme ci-dessus. On a −→g = −→f et g(B) = B.Vérifions l’unicite de la décomposition, supposons f = tu g = t′u g′ avec g(B) = B et

g′(B′) = B′, on a f(B) = B + u et f(B′) = B′ + u′ d’où :−−−−−−−→f(B′)f(B)−

−−→B′B = u− u′ ∈ ker(−→f − idE) ∩ Im(−→f − idE)

donc u = u′ et g = g′.


Cette décomposition, unique f = tu g, s’appelle la décomposition canonique de f . L’en-semble des points fixes de g qui est un sous-espace affine de E dirigé par ker(−→f − idE), estappelé axe de f .

4.5.3 Génératerurs de Isom(E)Proposition 4.5.7. Soit E un espace affine de dimension n dirigé par un espace vectoriel eucli-den E, soit f ∈ Isom(E) et

−→f l’automorphisme orthogonal associé. On note k = dim ker(−→f −

idE), alors f s’écrit comme produit de p réflexions, avec p = n− k si f admet un point fixe etp = n− k + 2 sinon.

Lemme 4.5.8. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n. Toute isométrie ϕ de Es’écrit comme produit de p symétries orthogonales hyperplanes, avec p ≤ n.

Démonstration du Lemme 4.5.8. La démontsration se fait par réccurence sur la dimension nde E. Le cas n = 1 correspond à E = R, il n’y a que deux isométries, idE et − idE. L’identitéest composée de zéro symétrie et − id est une symétrie hyperplane (d’hyperplan H = 0).Supposons donc le résultat vrai pour tout espace vectoriel de dimension ≤ n − 1. On se placealors dans E de dimension n. Soit u0 un vecteur non nul de E, on distingue alors deux cas :1) ϕ(u0) = u0, on considère l’hyperplan H = v ∈ E, u0.v = 0, ϕ conserve le produit scalaire,

on a donc :v ∈ H ⇒ ϕ(v).u0 = ϕ(v).ϕ(u0) = v.u0 = 0

ainsi, pour tout v ∈ H, ϕ(v) ∈ H. Par conséquent ϕ′ = ϕ|H est une isométrie de H et Hest un espace vectoriel de dimension n − 1. Ainsi, par hypothèse de réccurence, il existe qhyperplans H ′i, 1 ≤ i ≤ q, de H avec q ≤ n− 1, tels que :

ϕ′ = sH′1 ... sH′q

Pour i, 1 ≤ i ≤ q, on note Hi l’hyperplan de E engendré par H ′i et u0. Vérifions que :

ϕ = sH1 ... sHq

Il suffit d’écrire E = H ⊕H⊥ = H ⊕ Ru0, alors :– si u = λu0, on a sH1 ... sHq = u = ϕ(u), en effet, pour tout i, 1 ≤ i ≤ q, Hi = H ′i⊕Ru0,donc λu0 ∈ Hi.

– Maintenant, si v ∈ H, sH1 ...sHq(v) = sH′1 ...sH′q(v) = ϕ′(v) = ϕ(v). D’où le résultat,avec q ≤ n− 1 ≤ n.

2) ϕ(u0) 6= u0. On considère v0 = 1/2(u0 − ϕ(u0)) 6= 0 et H = u ∈ E, u.v0 = 0. Ainsi1/2(u0 − ϕ(u0)) ∈ H⊥ et ‖ϕ(u0)‖ = ‖u0‖ d’où sH(u0) = ϕ(u0) et :

sH ϕ(u0) = sH(ϕ(u0)) = u0

Ainsi l’isométrie sH ϕ admet un vecteur fixe, on est ramené au cas précédent, il existe qsymétries orthogonales hyperplanes, avec q ≤ n− 1, telles que :

sH ϕ = sH1 ... sHq

ainsi ϕ = sH sH1 ... sHq est bien coposée de p symétries orthogonales hyperplanes avecp ≤ n.


Démonstration du Proposition 4.5.7. Soit f une isométrie affine de E . Si f admet un pointfixe A, on vectorialise en A et on applique le lemme à l’espae vectoriel EA. Si f n’a pas de pointfixe, on considère A et A′ = f(A) etH l’hyperplan médiateur de A et A′, c’est-à-dire l’hyperplanqui passe par le milieu des points A et A′ et qui est dirigé par H = u ∈ E,

−−→AA′.u = 0. Alors

l’isométrie sH f est une isométrie affine qui fixe A, on peut donc lui appliquer ce qui précède.Ainsi, toute isométrie se décompose en produit de p réflexions, avec p ≤ n.

Montrons que p = n−k si f admet un point fixe et n−k+2 sinon, où k = dim ker(−→f − idE).Nous allons distinguer trois cas :1) On suppose que f admet au moins deux points fixes distincts A et B. Dans ce cas, comme

dans la démonstration du lemme, on procède par réccurence sur la dimension n de E . Onsuppose que le résultat est vrai pour tout espace affine de dimension ≤ n − 1, soit E dedimension n et f ∈ Isom(E), on note k = dim ker(−→f − idE).Soit H = u ∈ E, u.

−→AB = 0 et H l’hyperplan qui passe par A et dirigé par H, on a

−→f (−→AB) = −→AB donc −→f est un isomorphisme de H, ceci implique que pour tout M ∈ H,f(M) ∈ H, ainsi f ′ = f |H = sH′1 ... sH′q , où les H′i sont des hyperplans de H et, parhypothèse de réccurence, q = (n−1)−dim ker(

−→f ′−idH). Or ker(

−→f ′−idH) = ker(−→f −idE)∩H

et donc dim ker(−→f ′ − idH) = k − 1. Ainsi, comme d’après le lemme, on a f = sH1 ... sHq ,

on a bien une décomposition de f en q symétries avec q = (n− 1)− (k − 1) = n− k.2) On suppose que f admet un unique point fixe A, on a alors k = 0. Soit M0 ∈ E , on

note N0 le point de E tel que −−→AM0 −−→f (−−→AM0) = −−→AN0 et H = u ∈ E, u

−−→AN0 = 0.

On a alors (sH −→f )(−−→AM0) = −−→AM0, si H est l’hyperplan passant par A et dirigé par H,

l’isométrie g = sH f admet au moins deux points fixes et on est ramené au cas précédent,g se décompose en q symétries, avec q = n − k′ où k′ = dim ker(sH

−→f − idE). Notons

K = ker(sh −→f − idE), on a dimK ≥ 1 car −−→AM0 ∈ K. Par ailleurs :

u ∈ K ⇔ (sH −→f )(u) = u⇔

−→f (u) = sH(u)⇔ u−

−→f (u) ∈ H⊥

Or :u−−→f (u) ∈ H⊥ ⇔ ∃λ ∈ R, u−

−→f (u) = λ

−−→AN0

Notons u = λ−−→AM0 + v, alors :

u−−→f (u) = λ

−−→AN0 ⇔ λ

−−→AM0 + v−

−→f (λ−−→AM0)−

−→f (v) = λ

−−→AM0−λ

−→f (−−→AM0)⇔ v−

−→f (v) = 0

or, ker(−→f − idE) = 0, d’où u = λ−−→AM0. Ce qui prouve que k′ = dim ker(sH

−→f − idE) = 1.

Ainsi, g se décompose en n− 1 symétries, donc f se décompose en p = n− k symétries.3) On suppose que f n’admet pas de point fixe ; D’après la Proposition 4.5.6, f se décompose

canoniquement en g tu = tu g, où g admet un espace affine de points fixes dirigé parF = ker(−→f − idE) = ker(−→g − idE), ainsi, d’après les questions précédentes, g se décomposeen n− k réflexions.Il reste à démontrer que tu s’écrit comme produit de 2 réflexions. Soit H l’hyperplan vectorieldes vecteurs orthogonaux à −→u , on considère H1 un hyperplan de E dirigé par H et H2 =H1 + u/2, on montre qu’alors tu = sH2 sH1 . Soit M un point de E , notons M1 = pH1(M)le projeté orthogonal de M sur H1 et M ′ = sH1(M).On note M2 = pH2(M ′) = pH2(M), le projeté orthogonal de M ′ (et de M) sur l’hyperplanH2 et M ′′ = sH2(M ′) = (sH2 sH1)(M). On a alors :

M1 = M +M ′

2 M2 = M ′ +M ′′

2 et −−−−→M1M2 = u

2


Montrons que−−−→MM ′′ = u. Pour cela, nous allons plonger E dans E et ainsi écrire :

M ′′ −M = (2M2 −M ′)−M = 2M2 − (2M1 −M)−M = 2(M2 −M1)

On a donc bien−−−→MM ′′ = u et, ainsi, f se décompose en produit de p = n− k + 2 réflexions.

4.6 AnglesNous avons vu dans le chapitre sur l’axiomatique que certaines définitions des angles ne

permettait pas de faire toutes les opérations souhaitées, nous allons maintenant définir demanière rigoureuse la notion d’angles orientés de vecteurs.

On se place dans le plan affine euclidien P dirigé par un plan vectoriel E, les isométriesvectorielles positives de E sont appelées rotations.

Proposition 4.6.1. Soient u et v deux vecteurs de E tels que ‖u‖ = ‖v‖ = 1, il existe uneunique rotation r ∈ O+(E) telle que r(u) = v.

Démonstration. Soit (e1, e2) une base orthonormée de E telle que e1 = u. On a v = ae1 + be2avec a2 + b2 = 1 car on a supposé le vecteur v unitaire. La rotation r dont la matrice dans labaxe (e1, e2) est la suivante : (

a −bb a

)vérifie bien r(u) = v et elle est déterminée de manière unique par a et b.

4.6.1 Angles orientés de vecteursSoit S = u ∈ E, ‖u‖ = 1 l’ensemble des vecteurs unitaires de E, l’application :

: S × S → O+(E)(u, v) 7→ r


r étant l’unique rotation telle que v = r(u), est surjective et définit une relation d’équivalencesur les couples de vecteurs unitaires.

(u, v)R(y′, v′)⇔ ∃r ∈ O+(E), v = r(u) et v′ = r(u′)

⇔ ∃ρ ∈ O+(E), u′ = ρ(u) et v′ = ρ(v)La classe d’équivalence du couple (u, v) est appelée angle orienté des vecteurs u et v. L’ensembledes classes d’équivalence, noté A, est l’ensemble des angles orientés. L’application :

Φ : A → O+(E)(u, v) 7→ r

r étant l’unique rotation telle que v = r(u), est maintenant bĳective. Cette application, considé-rée comme isomorphisme de groupes permet de transporter la structure de groupes commutatifde O+(E) sur A, on a :

(u, v) + (u′, v′) = Φ−1(Φ((u, v)) Φ((u′, v′)))

L’angle nul correspond à l’identité, soit (u, u). On appelle angle plat l’angle (u,−u), il corres-pond à la symétrie centrale − idE. Un angle tel que 2(u, v) = (u,−u) est appelé angle droit. Ily a ainsi deux angles droits, l’angle (u, v) est droit si et seulement si les vecteurs u et v sontorthogonaux. Un angle droit correspond à une rotation r qui vérifie r r = − id, c’est-à-dire :(

a −bb a

)2

=(−1 00 −1

)

ce qui implique a = 0 et b = 1 ou b = −1.Les angles orientés forment donc un groupe additif et, de plus, ils vérifient la relation de

Chasles.

Proposition 4.6.2. Soient u, v, w des vecteurs unitaires de E, on a :

(u, v) + (v, w) = (u,w)

Démonstration. On considère les rotations r1 et r2 telles que v = r1(u) et w = r2(v), on a alorsw = r2 r1(u).

4.6.2 Angles orientés de droitesSoientD etD′ deux droites vectorielles de E dirigée respectivement par les vecteurs unitaires

u et u′. Les vecteurs −u et −u′ sont également des vecteurs unitaires directeurs de D et D′, onva alors considérer la relation d’équivalence suivante :

(u, u′)R(v, v′)⇔ (u, u′) = (v, v′) ou (u, u′) = (−v, v′)

L’angle orienté des droites D et D′, noté (D,D′), est alors la classe d’équivalence du couple devecteurs unitaires (u, u′) pour cette relation d’équivalence. L’ensemble des angles orientés dedroites est un groupe comme quotient du groupe A par le sous-groupe d’ordre 2 engendré parl’angle plat.

Proposition 4.6.3. Soient D,D′,∆ et ∆′ des droites dirigées respectivement par les vecteursunitaires u, u′, v et v′, on a alors :

2(u, u′) = 2(v, v′)⇔ (D,D′) = (∆,∆′)


4.6.3 Mesure des angles orientésCommençons par orienter le plan vectoriel P par le choix d’une base orthonormée B, les

bases de P dont la matrice dans la base B ont un déterminant positif sont dites directes, cellesdont le déterminant de la matrice dans B est négatif sont dites indirectes. La matrice d’unerotation est la même dans toutes les bases orthonormées directes.

Définition 4.6.1. Soient u et v deux vecteurs unitaires de E, l’angle (u, v) ∈ A est définiepar la rotation r ∈ O+(E) telle que v = r(u), la matrice de cette rotation dans toute baseorthonormée directe est de la forme : (

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

où θ est un nombre réel défini modulo 2π appelé angle de la rotation r ou mesure de l’angleorienté (u, v).

Si les vecteurs u et v ne sont plus supposés unitaires, on peut encore définir l’angle (u, v)comem étant égal à ( u

‖u‖ ,v‖v‖

). Si θ est une mesure de cet angle, on a :

cos θ = u.v

‖u‖.‖v‖

L’application :R→ R/2πZ→ O+(E)→ A

est surjective, ainsi tout angle orienté possède une mesure.L’application :

R/2πZ→ O+(E)→ A

est injective, ainsi, si θ est une mesure de (u, v), toutes les autres mesures sont de la formeθ + 2kπ, avec k ∈ Z. Le nombre π est une mesure de l’angle plat. Les mesures des angles dedroites sont des éléments de R/πZ et on a, si θ et ϕ sont des mesures d’angles :

2θ ' 2ϕ mod 2π ⇔ θ ' ϕ mod π

Proposition 4.6.4. L’application qui, à un angle orienté de vecteurs (resp. de droites) associeune de ses mesures, définit un homomorphisme du groupe des angles orientés dans R/2πZ (resp.R/πZ). Ce morphisme dépend de l’orientation du plan choisie et c’est un isomorphisme.

4.6.4 Angles géométriques

Pour définir l’angle géométrique des vecteurs u et v, on confond (u, v) et (v, u). On peutainsi définir une mesure de l’angle, non orienté, des vecteurs u et v comme étant :

(u, v) = arccos u.v

‖u‖.‖v‖∈ [0, π]

Si A,B,C sont trois points de E , on note :

BAC = (−→AB,−→AC)

l’angle non-orienté (ou géométrique) des vecteurs −→AB et −→AC.On perd ainsi la structure de groupe. On garde les notions d’angles plat et d’angle droit et

on a la proposition suivante :


Proposition 4.6.5. Les isométries du plan conservent les angles géométriques.

On termine le paragraphe sur les angles par quelques résultats bien connus.

Proposition 4.6.6. Soient A,B,C trois points du plan affine euclidien P. La somme desangles orientés de vecteurs :

(−→AB,−→AC) + (−−→BC,−→BA) + (−→CA,−−→CB)

est égale à un angle plat.

Démonstration. On a par Chasles :

(−→AB,−→AC) + (−−→BC,−→BA) + (−→CA,−−→CB) = (−→AB,−→AC) + (−−→BC,−→BA) + (−→AC,−−→BC)

= (−→AB,−→AC) + (−→AC,−−→BC) + (−−→BC,−→BA) = (−→AB,−→BA)

On a le corollaire suivant :

Corollaire. Soient A,B,C trois points du plan affine euclidien orienté. On note α, β, γ desmesures des angles orientés (−→AB,−→AC), (−−→BC,−→BA), (−→CA,−−→CB), on a :

α + β + γ ' π mod 2π

et la somme des mesures des angles géométriques est exactement π.

Proposition 4.6.7. Soient A,B,C trois points d’un cercle de centre O, alors, on a :

(−→OA,−−→OB) = 2 (−→CA,−−→CB)

Démonstration. Le point O étant sur la médiatrice du segment [AC], on a :

(−→CA,−→CO) = (−→AO,−→AC)

ainsi :(−→OA,−→OC) + 2 (−→CO,−→CA) = π

De même, on a :(−→OA,−−→OB) + 2 (−−→CB,−→CO) = π

Ce qui nous donne en ajoutant ces deux égalités et en utilisant la relation de Chasles :

(−→OA,−−→OB) + 2 (−−→CB,−→CA) = 0


Si le point C est confondu avec le point B, alors la droite (BC) est remplacée par la tangenteau cercle en B. On a alors la proposition suivante :

Proposition 4.6.8. Soient C un cercle de centre O, B un point de C et D la tangente en Bau cercle C. Alors si A ∈ C, A 6= B, on a :

(−→OA,−−→OB) = 2((AB),D)

De cette proposition, on déduit le critère de cocyclicité suivant.

Proposition 4.6.9. Soient A,B,C,D des points du plan affine, les points A,B,C,D sontcocycliques ou alignés si et seulement si les angles de droites (CA,CB) et (DA,DB) sontégaux.


On remarque qu’on a défini les angles dans le plan affine euclidien, mais, dans la mesure oùdeux vecteurs définissent un plan vectoriel, on peut toujours parler d’angle de deux vecteursquelque soit la dimension de l’espace. La mesure d’angle nécessite une orientation du plan danslequel on se place.

4.7 Isométrie en dimension 2 et 3On a vu dans un précédent chapitre la structure de groupe des isométries. On va maintenant

s’intéresser à leur classification dans le cas du plan affine et de l’espace de dimension 2.

4.7.1 Classification en dimension 2On note P la plan affine, et P son plan vectoriel directeur. Soit f une isométrie affine de P

et −→f l’automorphisme orthogonal associé. Ecrivons la décomposition canonique de f :

f = g tu = tu g

où g est une isométrie affine admettant un sous-espace affine non vide F de points fixes, dirigépar le sous-espace vectoriel F = ker(−→f − idP ), le vecteur u de la translation tu appartient à F .

On a vu précédemment que les isométries vectorielles étaient composées d’une ou de deuxréflexions. La composée de deux réflexions est une isométrie positive, dans le cas du plan, c’estune rotation. Ainsi, l’application −→f = −→g est-elle égale ou bien à l’identité ou à une réflexionou à une rotation. Nous noterons L = M ∈ P , f(M) = M, l’ensemble des points fixes de f .Nous allons classifier les cas suivant la dimension de F et l’existence de points fixes de f :

1) dimF = 2. Dans ce cas, −→f = idP , l’isométrie f est une translation (ou l’identité de P) etL = ∅ (ou P).

2) dimF = 1, on note F = D alors −→f = −→s D est la symétrie orthogonale par rapport à ladroite vectorielle D.a) si f admet un point fixe A alors L = D, la droite passant par A et dirigée par D. Le

vecteur u de la translation dans la décomposition canonique de f est nul, l’isométrie fest la symétrie orthogonale par rapport à la droite affine D.


b) si f n’admet pas de point fixe, L = ∅, on note D l’ensemble des points fixes de g etg = sD. On a f = sD tu = tu sD avec u 6= −→0 , l’isométrie f est une symétrie glisée.

3) dimF = 0, −→f n’est ni l’identité, ni une réflexion, donc −→f = −→g est une rotation vectorielled’angle θ, dans ce cas, l’isométrie f admet un unique point fixe, L = A et f est la rotationde centre A et d’angle θ. On remarque que si θ = π, f est aussi l’homothétie de centre A etde rapport −1.

4.7.2 Classification en dimension 3Comme dans le cas précédent, on note E l’espace affine de dimension 3, et E son espace

vectoriel directeur. Soit f une isométrie affine de E et −→f l’automorphisme orthogonal associé.On écrit la décomposition canonique de f :

f = g tu = tu g

où g est une isométrie affine admettant un sous-espace affine non vide F de points fixes, dirigépar le sous-espace vectoriel F = ker(−→f − idP ), le vecteur u de la translation tu appartient àF . Par ailleurs, l’isométrie vectorielle −→f est composée d’une deux ou trois réflexions (symétriesorthogonales hyperplanes). Nous noterons encore L = M ∈ P , f(M) = M, l’ensemble despoints fixes de f et nous allons examiner tous les cas possibles en classifiant selon la dimensionde F , l’existence des points fixes et la décomposition de −→f en produit de réflexions.

1) dimF = 3, alors −→f = idE, l’isométrie f est soit l’identité et L = E soit une translation devecteur u 6= 0 et L = ∅.

2) dimF = 2, dans ce cas, 1 est valeur propre de −→f et le sous-espace propre associé est unplan vectoriel P , il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de −→f s’écrit :1 0 0

0 1 00 0 −1

L’application −→f est alors la symétrie orthogonale par rapport au plan P .a) si f admet un point fixe A alors L = P , où P est le plan affine passant par A et dirigé

par P , l’isométrie f est alors la symétrie orthogonale par rapport au plan P . Le vecteuru de la décomposition canonique est nul.

b) si f n’admet pas de points fixes, on note P l’ensemble des points fixes de g = sP , il estdirigé par P . On a sP tu et u ∈ P . L’isométrie f est une symétrie glisée orthogonale.

3) dimF = 1, alors 1 est valeur propre de −→f et le sous-espace propre associé est une droite D,il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de −→f s’écrit :1 0 0

0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

−→f est alors une rotation d’axe la droite D engendrée par le premier vecteur de cette base,−→f est le produit de deux réflexions.a) si f admet un point fixe A alors f est la rotation d’axe D, passant par A et dirigé par D,

et d’angle θ. On a L = D et la translation de la décomposition canonique est l’identité.


b) si f n’admet pas de point fixe, on note D l’axe de rotation −→f et D l’ensemble des pointsfixes de la rotation r = g. On a la décomposition f = r tu = tu r où u est un vecteurnon nul de D. L’isométrie f est alors un visage d’axe D, d’angle θ et de vecteur u.

4) dimF = 0, alors −→f est le produit de trois réflexions ou encore d’une réflexion et d’unerotation, dans ce cas il existe une orthonormée de E dans laquelle la matrice de −→f s’écrit :−1 0 0

0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

on a −→f = −→r D −→s P = −→s P = −→r D, où −→r D est la rotation vectorielle d’axe D et −→s P lasymétrie orthogonale par rapport au plan P = D⊥. Par ailleurs, la décomposition canoniquenous dit que f = tu g, où g admet un espace de points fixes dirigé par F ainsi g admetun point fixe A et u ∈ F donc u = −→0 . On a alors f = g = sP rD où P est le plan affinedirigé par P et passant par le point A et D est la droite affine dirigée par D et passant parA. L’isométrie f admet A comme point fixe, elle est la composée d’une rotation d’axe Dpassant par A et d’une symétrie orthogonale de plan P passant par A et dirigé par P = D⊥.

4.8 SimilitudesDéfinition 4.8.1. Soit E un espace vectoriel euclidien, une application ϕ ∈ GL(E) est unesimilitude si elle s’écrit ϕ = h ψ avec h une homothétie vectorielle et ψ ∈ O(E). On a alors(c’est une définition équivalente) pour tout u ∈ E, ϕ(u).ϕ(u) = λ2u.u, si λ est le rapport del’homothétie, |λ| est appelé rapport de la similitude.

Proposition 4.8.1. 1) On suppose dimE ≥ 2. Soit ϕ ∈ GL(E), l’application ϕ est une simi-litude si et seulement si elle conserve l’orthogonalité.

2) Les similitudes conservent les angles (non-orientés) et ce sont les seuls endomorphismesbĳectifs de Eayant cette propriété.

Démonstration. 1) Soient u et v deux vecteurs orthogonaux de E, si ϕ est une similitude, ona ϕ(u).ϕ(v) = λ2u.v = 0, ainsi ϕ conserve l’orthogonalité.Réciproquement, considérons ϕ ∈ GL(E) telle que pour (u, v) ∈ E2 :

u.v = 0⇒ ϕ(u).ϕ(v) = 0

Pour v ∈ E, on considère la forme linéaire :

fv : E → Ru 7→ ϕ(u).ϕ(v)

Cette forme linéaire s’annule sur 〈v〉⊥ = u ∈ E, u.v = 0, elle est donc proportionnelle àla forme linéaire u→ u.v, ainsi il existe k(v) ∈ R tels que :

∀u ∈ E, ϕ(u).ϕ(v) = k(v)u.v

En échangeant les rôles des vecteurs de u et v, on obtient k(u) = k(v), le réel k est doncindépendant de v et on a pour u ∈ E :

‖ϕ(u)‖2 = k‖u‖2

ce qui prouve que ϕ est une similitude.


2) Soient ϕ une similitude de rapport k, u et v des vecteurs de E, on a :

cos (ϕ(u), ϕ(v)) = ϕ(u).ϕ(v)‖ϕ(u)‖.‖ϕ(v)‖ = k2u.v

k2‖u‖.‖v‖= u.v

‖u‖.‖v‖= cos (u, v)

Réciproquement, si ϕ est un automorphisme de E qui conserve les angles (non orientés),alors ϕ conserve en particulier l’orthogonalité et ainsi, d’après a), ϕ est une similitude.

Les similitudes vectorielles forment un sous-groupe de GL(E), les similitudes dont le déter-minant est positif sont dites similitudes directes, elles conservent alors les angles orientés, cellesdont le déterminant est négatif sont dites indirectes.

4.8.1 Similitudes affinesSoit E un espace affine dirigé par un espace vectoriel E. Une bĳection affine f est une simi-

litude affine si son application linéaire associée −→f est une similitude vectorielle. La similitudeaffine f est dite directe ou indirecte comme la similitude vectorielle −→f et son rapport est celuide −→f . Si f est une similitude de rapport k, on a :

∀(M,N) ∈ E2, f(M)f(N) = ‖−−−−−−−→f(M)f(N)‖ = ‖−→f (−−→MN)‖ = k‖

−−→MN‖ = kMN

Il est clair que les isométries sont des similitudes (de rapport 1). pour les similitudes de rapportk 6= 1, on a la proposition suivante :

Proposition 4.8.2. Soit f une similitude de rapport k 6= 1, alors f admet un unique point fixeO qui est appelé centre de la similitude.

Démonstration. L’application linéaire associée à f est une similitude vectorielle de rapportk 6= 1, ainsi elle n’admet pas 1 comme valeur propre. Ceci prouve d’après la Proposition2.10.5, que f admet un unique point fixe.

En admettant le théorème fondamentale de la géométrie affine, déjà cité, qui dit qu’unebĳection de E qui transforme trois points alignés en trois points alignés est une bĳection affine,on peut caractériser les similitudes par la proposition suivante :

Proposition 4.8.3. Soit f une bĳection de E dans E, il y a équivalence de :(i) f est une similitude

(ii) Pour tout A,B,C ∈ E, on a BAC = f(B)f(A)f(C)(iii) Pour tout A,B,C,D ∈ E, on a (AB) ⊥ (CD)⇒ (f(A)f(B)) ⊥ (f(C)f(D)).

Démonstration. Compte tenu des propriétés des similitudes vectorielles, il est évident que (i)⇒(ii)⇒ (iii), en effet −→f conserve l’orthogonalité et les angles (non-orientés).

On montre que (iii) ⇒ (i), il suffit de vérifier que f est affine et c’est là qu’intervient lethéorème fondamental, pour démontrer que f est affine, nous allons démontrer que l’hypothèse(iii) implique que f conserve l’alignement. On aura alors une bĳection affine f telle que −→fconserve l’orthogonalité.

Soient A,B,C trois points alignés de E . Notons D la droite passant par A et dirigée par−→AB, on a C ∈ D. On note −→e1 = −→AB et considérons une base orthogonale (−→e1 ,−→e2 , ...,−→en)de E.Pour 1 ≤ i ≤ n, il existe un unique Ai ∈ E , tel que −→ei = −−→AAi, (A1 = B), comme f conserve


l’orthogonalité, les vecteurs−→e′i =

−−−−−−−→f(A)f(Ai) sont orthogonaux deux à deux, ils forment donc un

système libre de n vecteurs, donc une base de E. Notons λ1, ..., λn les coordonnées de−−−−−−→f(A)f(C)

dans cette base, sachant que pour 2 ≤ i ≤ n,

(AC) = (AB) = (AA1) ⊥ (AAi)

et que f conserve l’orthogonalité, on a (f(A)f(C)) ⊥ (f(A)f(Ai)). Ainsi−→AC.−−→AAi = 0 pour

2 ≤ i ≤ n, d’où λi = 0 pour 2 ≤ i ≤ n. Ce qui prouve que−−−−−−→f(A)f(C) = λ1

−−−−−−−→f(A)f(A1) donc que

f(C) ∈ (f(A)f(B)).

Les similitudes conservent aussi les rapports de distances.Proposition 4.8.4. Soit f : E → E une application non constante, les propriétés suivantessont équivalentes :(i) f est une similitude de rapport k > 0(ii) Pour tout M,M ′, N,N ′ dans E tels que MN 6= 0 et f(M)f(N) 6= 0, on a :

f(M ′)f(N ′)f(M)f(N) = M ′N ′

MN

(iii) ∃k > 0, ∀(M,N) ∈ E2, f(M)f(N) = kMN .Démonstration. (i) ⇒ (ii) est évident. On montre que (ii) ⇒ (iii) : il existe M 6= N tels quef(M) 6= f(N), si M ′ et N ′ sont deux points de E alors :

f(M ′)f(N ′)f(M)f(N) = M ′N ′

MN

si M ′N ′ 6= 0 alors :f(M ′)f(N ′)

M ′N ′= f(M)f(N)

MNdonc f(M ′) 6= f(N ′), ainsi f est injective et il existe k > 0 tel que f(M)f(N) = kMN .

On montre maintenant que (iii) ⇒ (i). On considère une homothétie h de rapport k−1.Posons g = h f , on a alors pour tout M,N ∈ E :

g(M)g(N) = k−1f(M)f(N) = k−1kMN = MN

ce qui prouve que g est une isométrie, ainsi f = h−1 g est une similitude.

4.8.2 Les similitudes planes et le plan complexeOn a vu qu’une similitude plane, ou bien est une isométrie, ou bien admet un centre O. On

vectorialise le plan affine P en O, une similitude vectorielle est le produit d’une isométrie etd’une homothétie.

On identifie le plan affine au plan complexe. Un point M de coordonnées (x, y) dans unrepère orthonormé est identifié au nombre complexe z = x + iy. Les similitudes directes sontalors les applications de la forme :

f : z 7→ f(z) = az + b

et les similitudes indirectes sont de la forme :

f : z 7→ f(z) = az + b

où a et b sont des nombres complexes. Le rapport de la similitude est |a|. On étudie précisementces applications.


1er cas. Les similitudes directes : on commence par étudier les points fixes de f .

f(z) = z ⇔ z = az + b⇔ (1− a)z = b

ainsi, si a = 1, l’application f n’a pas de point fixe, on a f(z) = z+ b, c’est la translationde vecteur −−→OB, où O est le point d’affixe 0 et B le point d’affixe b. Si a 6= 1, f admet ununique point fixe, le point Ω d’affixe b/(1− a).Si a 6= 1, on décompose f de la manière suivante :

f : z 7→ az 7→ az + b

On note z = ρeiθ et a = |a|eiα, l’application ϕ(z) = az envoie ρeiθ sur |a|ρeiθ+α. C’estdonc la rotation de centre O, d’angle θ composée avec l’homothétie de centre O de rapport|a|, c’est une similitude vectorielle. L’application f vérifie :

‖f(z)− f(0)‖ = ‖az‖ = |a|‖z − 0‖

ce qui caractérise bien les similitudes affines de rapport |a|.2ème cas. Les similitudes indirectes : on caractérise les points fixes de f , on note S = z ∈

C, z = az + b :– si |a| = 1, l’application z 7→ az est une isométrie vectorielle, c’est la composée de lasymétrie d’axe y = 0 et de la rotation d’angle un argument de a. Ainsi, si S est unedroite D, f est la symétrie orthogonale de base D et si S = ∅, f est une symétrie glisée.on retrouve ainsi les isométries négatives en dimension 2.

– si |a| 6= 1, l’application z 7→ az est une similitude vectorielle, c’est la composée dela symétrie d’axe y = 0, de l’homothétie de rapport |a| et de la rotation d’angle unargument de a.

On a alors S = Ω et f est une similitude affine indirecte de centre Ω et de rapport |a|.

Chapitre 5

Géométrie du triangle et du cercle

On va réunir dans ce chapitre, des résultats classiques sur les cercles et les triangles dans lecadre de la géométrie affine euclidienne que nous avons développé.

Dans tout ce chapitre, ABC est un triangle, c’est-à-dire que les points A,B et C ne sontpas alignés. On travaille dans le plan affine euclidien P défini par ces trois points.

5.1 Médiatrices, médianes, hauteurs, bissectricesTheorème 5.1.1. Les trois médiatrices d’un triangle ABC se coupent en un point O qui estle centre de l’unique cercle passant par les points A,B et C.

La médiatrice d’un segment [AB] est l’ensemble des points à égale distance des points A etB, c’est aussi la droite orthogonale à la droite (AB) qui passe par le milieu du segment [AB](on pourra vérifier l’équivalence de ces deux définitions).

Les points A,B et C n’étant pas alignés, les médiatrices de [AB] et de [BC] sont sécantesen un point O, celui-ci est à égale distance de A,B et C, il se trouve donc sur la médiatrice de[AC].

Theorème 5.1.2. Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H appeléorthocentre.

On rappelle que la hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et estorthogonale au côté opposé.

Démonstration. Soit M un point de P , on note :

f(M) = −−→MA.−−→BC +−−→MB.

−→CA+−−→MC.

−→AB

on a f(M) = 0, c’est une simple application de la relation de Chasles, en effet :

f(M) = −−→MA.−−→BC + (−−→MA+−→AB).−→CA+ (−−→MA.

−→AC)−→AB

d’oùf(M) = −−→MA.(−−→BC +−→CA+−→AB) +−→AB.(−→CA+−→AC) = 0

Ainsi, si H est l’intersection des hauteurs issues de A et B, on obtient −−→HC.−→AB = 0, ce quiprouve que H est également sur la hauteur issue de C.

Theorème 5.1.3. Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G, centre degravité du triangle.

68

Chapitre 5. Géométrie du triangle et du cercle 69

Nous avons déjà démontré ce résultat, en effet :

G = 13(A+B + C) = 1

3A+ 23B + C

2 = 13B + 2

3A+ C

2 = 13C + 2

3A+B

2Si l’on note :

A′ = B + C

2 , B = A+ C

2 , C ′ = A+B

2on a −→AG = 2

3−−→AA′, −−→BG = 2

3−−→BB′ et −→CG = 2

3−−→CC ′.

Theorème 5.1.4. Les points O,H et G sont alignés et on a −−→OH = 3−→OG (ils se situent sur ladroite d’Euler).

Démonstration. On considère l’homothétie de centre G et de rapport −2, elle envoie A′ sur A,B′ sur B et C ′ sur C. Elle transforme le triangle A′B′C ′ en le triangle ABC. Or le point O,centre du cercle circonscrit à ABC est l’intersection des hauteurs du triangle A′B′C ′. Le pointO est donc envoyé sur le point H par l’homothétie précédente, d’où :

−−→GH = −2−→GO

c’est-à-dire : −−→OH = 3−→OG

5.1.1 BissectricesDéfinition 5.1.1. Soient D et D′ deux droites du plan affine euclidien, sécantes en un pointO, une droite ∆ est dite bissectrice des droites D et D′ si l’on a :

s∆(D) = D′ et s∆(D′) = D

où s∆ désigne la symétrie orthogonale par rapport à la droite ∆.

70 Chapitre 5. Géométrie du triangle et du cercle

Theorème 5.1.5. Soient D et D′ deux droites, on note D∩D′ = O. Soient A ∈ D et A′ ∈ D′tels que OA = OA′. Il existe exactement deux bissectrices aux droites D et D′, elles passentpas O, sont perpendiculaires l’une et l’autre et sont dirigées respectivement par les vecteurs−→OA+

−−→OA′ et −→OA−

−−→OA′.

Theorème 5.1.6. L’ensemble des points équidistants de deux droites sécantes D et D′ est laréunion des bissectrices du couple (D,D′).

Theorème 5.1.7. La droite ∆ est une bissectrice du couple de droites (D,D′) si et seulementsi on a l’égalité des angles orientés de droite (modulo π).

(D,∆) = (∆, D′) ou encore (D,D′) = 2(D,∆)

Définition 5.1.2. Soient [OA) et [OB) deux demi-droites, l’axe de l’unique symétrie quiéchange les deux demi-droites est appelé bissectrice du couple de demi-droites ([0A), [OB)).Si OA = OB, c’est la droite passant par O et dirigée par −→OA + −−→OB, si −→OA + −−→OB = −→0 , c’estla droite orthogonale à (AB) passant par O.

Soit (A,B,C) un triangle, on note a = BC, b = AC et c = AB. Les bissectrices intérieuresdu triangle (A,B,C) sont les bissectrices des couples de droites ([AB), [AC)), ([BA), [BC)) et([CA), [CB)). On a le théorème suivant :

Theorème 5.1.8. Les trois bissectrices intérieures d’un triangles sont concourantes en unpoint I situé à l’intérieur du triangle et admettant les coordonnées barycentriques (a, b, c) dansle repère (A,B,C). Le point I est le centre du cercle inscrit au triangle.

Démonstration. Il est clair que les bissectrices sont concourantes, en effet soit I le point d’in-tersection des bissectrices issues de A et B, on a alors l’égalité des distances :

d(I, (AC)) = d(I, (AB)) et d(I, (BC)) = d(I, (BA))

d’où d(I, (BC)) = d(I, (AC)), ce qui prouve que I est sur la bissectrice issue de C. On note :

I = a

a+ b+ cA+ b

a+ b+ cB + c

a+ b+ cC

on a alors :−→AI = b

a+ b+ c

−→AB + c

a+ b+ c

−→AC

On note :−−→AM = b

a+ b+ c

−→AB et −−→AN = c

a+ b+ c

−→AC


On a, d’une part : −−→AM = −→NI

et d’autre partAM = AN = bc

a+ b+ c

Ce qui prouve que le quadrilatère AMIN est un losange, c’est-à-dire un parallélogramme ayantses côtés égaux. Ainsi, la droite (AI) est bien la bissectrice intérieure de A, on montrerait deme que les droites (BI) et (CI) sont respactivement les bissectrices issues de B et C.

Le point I est à égale distance des côtés du triangle, si l’on considère les projetés orthogonauxP,Q,R de I sur les côtés, le cercle de centre I passant par P,Q,R est tangent aux trois côtésdu triangle (A,B,C). C’est le cercle inscrit.

5.2 Critère de cocyclicitéDans le chapitre sur les angles, on a demontré le théorème de l’angle inscrit et énoncé un

critère de cocyclicité, on y revient ici :

Theorème 5.2.1. Soient A et B deux points distincts d’un cercle C de centre O.

1) pour tout point M ∈ C\A,B, on a : (−→OA,−−→OB) = 2 (−−→MA,−−→MB)

2) Soit TA la tangente au cercle C en A, on a (−→OA,−−→OB) = 2(TA, (AB)).

Démonstration. 1) LE point O est sur la médiatrice de [MA] et sur la médiatrice de [MB] ona donc :

2 (−−→MA,−−→MO) + (−−→OM,

−→OA) = π

et2 (−−→MO,

−−→MB) + (−−→OB,−−→OM) = π

d’où en additionnant :2 (−−→MA,

−−→MB) + (−−→OB,−→OA) = 0

L’angle (−−→MA,−−→MB) est appelé angle inscrit et l’angle (−→OA,−−→OB) est l’angle au centre corres-

pondant.


2) Si dans le cas précédent, le point M coincide avec le point A, la droite (AM) est alorsremplacée par la tangente au cercle C en A, on remplace le vecteur −−→MA par n’importe quelvecteur −→TA où T ∈ TA et on obtient le même résultat.

Corollaire. 1) Soit ABC un triangle, un point M (distinct de A et B) du plan appartient aucercle circonscrit au triangle ABC, si et seulement si on a l’égalité modulo π des angles :

(−−→MA,−−→MB) = (−→CA,−−→CB) mod π

2) Quatre points distincts A,B,C,D du plan sont alignés ou cocyliques si et seulement si :

(−−→DA,−−→DB) = (−→CA,−−→CB) mod π

5.3 TrigonométrieOn suppose le plan euclidien E orienté. La matrice de rotation vectorielle d’angle α dans

une base orthonormée directe ne dépend que de α, c’est la matrice :

M(α) =(

cosα − sinαsinα cosα

)

On a cos2 α + sin2 α = 1. Si u et v sont deux vecteurs de E, on a les relations suivantes :

cos (u, v) = u.v

‖u‖.‖v‖et sin (u, v) = det(u, v)

‖u‖.‖v‖

où le déterminant est calculé dans une base orthonormée directe.On démontre facilement, à l’aide des matrices, les formules de trigonométries :

cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β

etsin(α + β) = cosα sin β + cos β sinα

Proposition 5.3.1 (Formule d’Al-Kashi). Soit ABC un triangle, on note a = BC, b = AC etc = AB alors1 :

a2 + b2 + c2 − 2bc cos A

Proposition 5.3.2 (Formule des sinus). Soit ABC un triangle quelconque, S son aire et R lerayon de son cercle circonscrit, alors on a :

a

sin A= b

sin B= c

sin C= 2R = abc

2S

1A est l’angle géométrique (non orienté) au point A


5.3.1 Le triangle rectangleOn appelle triangle rectangle un triangle dont un des angles est un angle droit, c’est-à-dire

de mesure π/2.

Theorème 5.3.3 (Pythagore). Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si :

AB2 + AC2 = BC2

Démonstration. On a :

BC2 = ‖−−→BC‖2 = −−→BC.−−→BC = (−→BA+−→AC)2 = BA2 + AC2 + 2−→BA.−→AC

d’où le résultat.

Theorème 5.3.4. Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si A appartient aucercle de diamètre [BC].

Démonstration. Notons O le milieu de [BC], on a :

−→AB.−→AC = 0 ⇔ (−→AO +−−→OB).(−→AO +−→OC) = 0

⇔ AO2 +−→AO.(−→OC +−−→OB) +−−→OB.−→OC = 0

Or, −→OC +−−→OB = −→0 et −−→OB.−→OC = −14BC

2, on obtient donc :

−→AB.−→AC = 0⇔ OA = BC

2

Theorème 5.3.5. Le triangle ABC est rectangle si et seulement si :

cos (−−→BC,−→BA) = BA

BC

Theorème 5.3.6. Le triangle ABC est rectangle si et seulement si :

| sin (−−→BC,−→BA)| = AC

BC

Theorème 5.3.7. Soit ABC un triangle et H le pied de la hauteur issue de A, on a équivalencedes propriétés suivantes :

(i) Le triangle ABC est rectangle en A.(ii) AH.BC = AB.AC

(iii) BA2 = BHBC

Theorème 5.3.8. Soit ABC un triangle et H le pied de la hauteur issue de A. Le triangleABC est rectangle en A si et seulement si AH2 = BHHC.


5.4 Cas d’égalité et de similitudes des trianglesSoit ABC un triangle, on note A, B, C les angles géométriques (non orientés) aux sommets.

Proposition 5.4.1. Deux triangles ABC et A′B′C ′ du plan sont isométriques si et seulementsi l’une des assertions équivalentes suivantes est vérifiée.1) AB = A′B′, BC = B′C ′ et CA = C ′B′.

2) AB = A′B′, BC = B′C ′ et −→B =−→B′.

3) AB = A′B′, −→A =−→A′ et −→B =

−→B′.

5.4.1 SimilitudesOn dit que deux triangles ABC et A′B′C ′ du plan sont semblables, s’il existe une similitude

affine qui transforme les sommets de l’un et les sommets de l’autre.

Proposition 5.4.2. Deux triangles ABC et A′B′C ′ sont semblables si et seulement si leurscôtés sont proportionnels, c’est-à-dire :

A′B′

AB= B′C ′

BC= C ′A′

CA

Pour démontrer cette proposition, on essaie de mettre en évidence les transformations quipermettent de passer du triangle ABC du triangle A′B′C ′ et on obtient une similitude (parcomposition d’une homothétie, d’une rotation, d’une translation et le cas échéant d’une ré-flexion).

Proposition 5.4.3. Deux triangles ABC et A′B′C ′ sont semblables si et seulement si l’unedes assertions équivalentes suivantes est vérifiée.1) A′B′

AB= B′C′

BC= C′A′

CA

2) A′B′

AB= B′C′

BCet B = B′.

3) A = A′ et B = B′.où A, B, C désignent les mesures dans ]0, π[ des angles géométriques du triangle ABC.


Démonstration. La condition (i) est la proposition précedente, elle implique évidemment lesconditions (ii) et (iii). Réciproquement, supposons (ii) vraie, on pose k = A′B′

ABet on a alors :

A′C ′2 = A′B′2 +B′C ′2 − 2A′B′.B′C ′ cos B′ = k2(AB2 +BC2 − 2AB.BC cos B = k2AC2

d’où (i). Supposons maintenant (iii) vraie, on a :

C ′ = π − (A′ + B′) = π − (A+ B) = C

d’oùAB

sinC = BC

sinA = CA

sinB et A′B′

sin C ′B′C ′

sin A′= C ′A′

sin B′d’où le (i).

Chapitre 6

Géométrie dans l’espace

On a classifié les isométries en dimension 3, on va dans ce court chapitre définir le produitvectoriel puis étudier les polyèdres réguliers.

6.1 Produit vectorielOn se place dans un espace vectoriel E de dimension 3, orienté. On notera B = e1, e2, e3

une base orthonormée directe de E.

Theorème 6.1.1. Soient u, v, w trois vecteurs de E, le déterminant detB(u, v, w) ne dépendpas de la base (orthonormée directe) choisie.

Démonstration. Le déterminant est une forme multilinéaire alternée, detB est l’unique formemultilinéaire qui prend la valeur 1 en (e1, e2, e3), et si B′ est une autre base de E, on a :

detB′

(u, v, w) = detBB′ det

B(u, v, w)

or, detB B′ = 1.

Theorème 6.1.2. Soient u et v deux vecteurs de E, il existe un unique vecteur, appelé produitvectoriel de u et v, noté u ∧ v tel que :

∀w ∈ E, (u ∧ v).w = det(u, v, w)

Démonstration. Si les vecteurs u et v sont fixés, l’application ϕ : w 7→ det(u, v, w) est uneforme linéaire sur E, ainsi, on a vu dans le chapitre sur le dual qu’il existe un unique vecteura tel que pour tout w ∈ E, on a ϕ(w) = a.w. On note ce vecteur qui dépend ici des vecteurs uet v, u ∧ v.

Theorème 6.1.3. L’application de E × E dans E qui envoie le couple (u, v) sur le produitvectoriel u ∧ v est bilinéaire et antisymétrique.

Démonstration. C’est immédiat, d’après le théorème précédent.

Theorème 6.1.4. Le vecteur u ∧ v est l’unique vecteur qui vérifie les propriétés suivantes :1) u ∧ v = 0⇔ u et v sont colinéaires.2) u ∧ v est orthogonal à u et v.3) Si u et v ne sont pas colinéaires, la base (u, v, u ∧ v) est une base directe de E

76

Chapitre 6. Géométrie dans l’espace 77

4) ‖u ∧ v‖ = ‖u‖.‖v‖| sin (u, v)|.

Démonstration. 1) On a ∀w ∈ E, (u ∧ v).w = det(u, v, w), ainsi, si les vecteurs u et v sontcolinéaires alors, ∀w ∈ E, (u ∧ v).w = 0, ce qui prouve que le vecteur u ∧ v est nul.Réciproquement, si u ∧ v = 0 alors ∀w ∈ E, det(u, v, w) = 0 ce qui prouve que les vecteursu et v sont colinéaires.

2) Il est clair que (u ∧ v).u = 0 = (u ∧ v).v.3) On a det(u, v, u∧ v) = (u∧ v).(u∧ v) = ‖u∧ v‖2 > 0, ce qui prouve que la base (u, v, u∧ v)

est directe.4) Soient u et v deux vecteurs linéairement indépendants. On considère une base orthonormée

directe (e1, e2, e3) de E, telle que les vecteurs e1 et e2 forment une base de l’espace vectorielengendré par u et v. Notons (x, y, 0) et (x′, y′, 0) les coordonnées respectives de u et v danscette base. Soit w = (a, b, c) un vecteur de E exprimé dans la même base, on a :

(u ∧ v).w = det(u, v, w) =

∣∣∣∣∣∣∣x x′ ay y′ b0 0 c

∣∣∣∣∣∣∣ = det(e1,e2)

(u, v)c

ceci étant vrai pour tout w ∈ E, le vecteur u∧ v a pour coordonnées (0, 0, det(u, v)) dans labase (e1, e2, e3). Ainsi, on a bien :

‖u ∧ v‖ = ‖u‖.‖v‖| sin (u, v)|

6.2 Calcul d’airesDéfinition 6.2.1. Soit E un plan affine euclidien dirigé par un espace vectoriel E. Soit (−→ı ,−−−−→jmath)une base orthonrmée de E, soit O un point de E . Une mesure des aires planes est une applica-tion µ définie sur un ensemble Q de parties de E (dites mesurables), à valeurs dans R+ vérifiantles propriétés suivantes :1) Si C est le carré unité sur le repère (O,−→ı ,−→ ), alors C ∈ Q et µ(C) = 1.

78 Chapitre 6. Géométrie dans l’espace

2) µ est simplement additive, si A,B ∈ Q telles que A ∩B = ∅, on a :

µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B)

3) µ est invariante par isométrie. Si f ∈ Isom(E), et si A ∈ Q, alors µ(f(A)) = µ(A).4) µ est homogène. Si h est une homothétie de E de rapport λ et si A ∈ Q, alors µ(h(A)) =

λ2µ(A).

On admettra qu’une telle mesure existe sur un ensemble Q de parties de E satisfaisant eton identifiea l’aire A(A) à sa mesure µ(A). Sans se préoccuper d’unité, on dira que l’aire decarré C est égale à 1. A partir de cette définition, on retrouvera l’aire du rectangle, largeur ×longueur, ou du triangle, 1/2(base × hauteur) que l’on attend. On revient au produit vectorielet on se place dans un espace affine euclidien de dimension 3. Un triangle définit un plan :

Theorème 6.2.1. L’aire du triangle ABC est donnée par :

A(ABC) = 12‖−→AB ∧

−→AC‖

Démonstration. Notons H la hauteur issue de C du triangle ABC, on a :

A(ABC) = 12AB.C + 1

2AB.AC| sin(−→AB,−→AC)| = 1

2‖−→AB ∧

−→AC‖

On remarque que l’aire est plutôt une notion euclidienne, puisuqe le calcul d’une aire né-cessite le produit scalaire et l’orthogonalité. Néamoins, les rapports d’aires sont conservés parles bĳections affines. On peut, sans orthogonalité considérer un repère affine A,B,C du planet définir l’aire d’un triangle à partir du déterminant exprimé dans la base (−→AB,−→AC). Ainsi, siM,N,P sont trois points non alignés du plan on aura :

A(MNP ) = 12 | det(−−→MN,

−−→MP )|

l’unité d’aire étant l’aire du parallélogramme construit sur le base (−→AB,−→AC).

Chapitre 6. Géométrie dans l’espace 79

6.3 Les polyèdres convexes réguliers

6.3.1 Polyèdres convexesDéfinition 6.3.1. On appelle polyèdre convexe l’enveloppe convexe d’un nombre fini de pointsnon coplanaires.

Proposition 6.3.1. Tout polyèdre convexe est l’intersection d’un nombre fini de demi-espacesfermés. Réciproquement, toute intersection compacte d’un nombre fini de demi-espaces fermésest un polyèdre convexe.

Propriété 6.3.2. Soit P un polyèdre convexe.1) Le nombre de côtés d’une face est supérieur ou égal à 3.2) Le nombre d’arrêtes aboutissant en un sommet est égal au nombre de faces aboutissant en

ce même sommet et ce nombre est supérieur ou égal à 3.3) Une arête est commune à exactement deux faces.4) Si A est un sommet de P , la somme des angles en A de toutes les faces aboutissant en A

est inférieure strictement à 2π.

Theorème 6.3.3 (Formule d’Euler). Soit P un polyèdre convexe, on note f le nombre de sesfaces, a le nombre de ses arrêtes et s le nombre de ses sommets, alors :

f − a+ s = 2

Définition 6.3.2. Un polyèdre convexe est dit régulier si ses faces sont des polygones réguliersayant tous le même nombre q de côtés et si en chacun de ses sommets le même nombre p defaces (ou d’arêtes).

Theorème 6.3.4. Dans l’espace, il y a exactement cinq polyèdres convexes réguliers. Les couples(p, q) correspondants sont les suivants :

(3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5)

les triplets (s, a, f) correspondants sont les suivants :

(4, 6, 4), (6, 12, 8), (8, 12, 6), (12, 30, 20), (20, 30, 12)

ce sont (respectivement) le tétraèdre, l’octaèdre, le cube, l’icosaèdre et le dodécaèdre. On appelleces cinq polydères, les cinq solides de Platon.

Démonstration. On a fq = 2a et sp = 2a, il s’agit de résoudre le système :s− a+ f = 2fq = 2asp = 2a

d’où :s = 4q

2p+ 2q − pq , a = 2pq2p+ 2q − pq , f = 4p

2p+ 2q − pqOn recherche alors tous les couples d’entiers (p, q) vérifiant p ≥ 3, q ≥ 3 et 2p+ 2q− pq > 0, eton en obtient exactement 5, desquels on déduit les triplets (s, a, f).

On admet que les cinq polyèdres obtenus sont constructibles et que ce sont les seuls àsimilitude près.

Chapitre 7

Groupes de transformations

Dans ce chapitre, suivant l’idée de Félix Klein dans son programme d’Erlangen, on va étudierles différentes géométries du point de vue des groupes de transformations et de leurs invariants.Voici la question qu’il pose :

"Etant donné une multiplicité et un groupe de transformations de cette multiplicité, enétudier les êtres du point de vue des propriétés qui ne sont pas altérées par les transformationsdu groupe"

ce qu’il exprime aussi ainsi :"On donne une multiplicité et un groupe de transformations de cette multiplicité ; développer

la théorie des invariants relatifs à ce groupe"Dans ce cours, on a étudié la géométrie affine et la géométrie euclidienne. On a rencontré

des groupes de transformations de l’espace ou du plan et étudié des propriétés invariantes parces groupes.

Par exemple, le groupe affine conserve les barycentres, l’alignement, le parallélisme et lesrapports de proportions. Le groupe des similitudes conserve les angles. Le groupe des isométriesconserve les distances. Le groupe des déplacements conserve l’orientation...

Dans la géométrie d’Euclide, il n’est question ni de groupes, ni de coordonnées ou de nombresréels, par contre l’espace est supposé homogène, les points sont équivalents et on ne changepas une figure en la déplaçant par un mouvement rigide. On pourrait considérer chez Euclidel’utilisation de la méthode de superposition comme un axiome non-dit supplémentaire. Laformalisation moderne, après F.Klein, suppose l’exsitence d’un groupe de mouvements rigidesagissant sur le plan. Ce point de vue pouvant se généraliser à d’autres groupes comme nousl’avons vu avec la géométrie affine ou le groupe des similitudes, mais aussi avec la géométrieprojective et les géométries non-euclidiennes.

7.1 GéométriesOn peut définir une géométrie de la manière suivante :

Définition 7.1.1. On dira qu’un couple (E,G) est une géométrie si E est un ensemble et Gun sous-groupe du groupe des bĳections de E dans lui-même. Les éléments de E sont appelésles points, les éléments du groupe G sont les transformations ponctuelles de la géométrie.Les propriétés intrinsèques d’une géométrie (E,G) sont les propriétés de E conservées partransformation par un élément de G. On appelle le groupe G le groupe principal ou fondamentalde la géométrie considérée. Le groupe affine est le groupe fondamental de la géométrie affine,le groupe des isométries, celui de la géométrie euclidienne. Le groupe principal de la géométrieprojective est le groupe des homographies.

80

Chapitre 7. Groupes de transformations 81

Définition 7.1.2. Deux géométries (E,G) et (E, G) sont dites isomorphes, s’il existe unebĳection ϕ : E → E telle que l’application :

ϕ : G → Gf 7→ ϕ f ϕ−1

est un isomorphisme de groupes.

On aura les définitions suivantes :

Définition 7.1.3. On appelle plan affine une géométrie isomorphe à (R2,GA(R2). On appelleplan euclidien une géométrie isomorphe à (R2, Isom(R2).

Les géométries qu’on a étudiées sont subordonnées les unes aux autres. En effet, le groupe af-fine contient le groupe des similitudes et les similitudes sont des bĳections affines qui conserventles angles. Le groupe des similitudes contient le groupe des isométries et les isométries sont dessimilitudes qui conservent les distances. Le groupe des déplacements est un sous-groupe dugroupe des isométries et les déplacements sont des isométries qui conservent l’orientation. Legroupe affine est en fait lui-même un sous-groupe du groupe projectif, ce sont les homographiesqui fixent le plan. De même, le groupe fondamental de la géométrie hyperbolique est le groupedes homographies qui laissent invariante une conique propre. Ainsi toutes les géométries sonten fait des sous-géométries de la géométrie projective, mais ce n’est pas l’objet de notre étude.

7.2 Expression analytique dans R2

On considère le groupe linéaire GL(R2) que l’on identifie au groupe des matrices 2 × 2 àcoefficients dans R de déterminant non nul.

Une bĳection de f de R2 est une application affine s’il existe une matrice A ∈ GL(R2) etun vecteur −→b = (α, β) ∈ R2 tels que pour tout −→u = (x, y) ∈ R2 on ait :

f(−→u ) = A.U +B, où U =(xy

)et B =

(αβ

)

La matrice A =(a bc d

), avec ad− bc 6= 0, on note f(−→u ) = (x′, y′), on a :

(x′ = ax+ by + αy′ = cx+ dy + β

)

Les isométries de R2 sont les bĳections affines pour lesquelles la matrice A appartient au groupeorthogonal O(R2). On a :

O(R2) = A ∈ GL(R2), tA,A−1

Si f ∈ Isom(R2), alors :

f : R2 → R2(xy

)7→

(a −εbb εa

)(xy

)+(αβ

)

avec (a, b, α, β) ∈ R4, ε = detA et a2 + b2 = 1.

82 Chapitre 7. Groupes de transformations

Les similitudes sont composées d’une isométrie et d’une homothétie, pour f une similitudede R2, on a :

f : R2 → R2(xy

)7→ λ

(a −εbb εa

)(xy

)+(αβ

)avec (λ, a, b, α, β) ∈ R5, ελ = detA et a2 + b2 = 1. On retrouve bien la forme complexe.

On va terminer ce cours par l’étude de quelques sous-groupes du groupe des isométries duplan ou de l’espace, qui conservent une partie.

7.3 Isométries fixant une partieSoit E un espace affine euclidien, et P une partie de E . On note Isom(P) le sous-groupe de

Isom(E) des isométries f telles que f(P) = P . On distinguera également les isométries positiveset négatives, Isom+(P) et Isom−(P). On va commencer par quelques théorèmes généraux quinous permettrons de déterminer les sous-groupes laissant fixe certaines parties du plan ou del’espace.Theorème 7.3.1. 1) Isom(P) est un sous-groupe de Isom(E) et Isom+(P) est un sous-groupe

de Isom+(E).2) Si s ∈ Isom−(P), l’application de Isom+(P) dans Isom−(P) qui à f fait correspondre s f

est une bĳection. On a donc Isom−(P) = sIsom+(P).Theorème 7.3.2. Soit P = A0, A1, ..., An est une partie finie de E. Toute isométrie laissantglobalement invariant P, fixe l’isobarycentre des Ai, 0 ≤ i ≤ n.

Ces deux théorèmes nous permettent de voir, d’une parti, qu’il suffit de déterminer Isom+(P)et un élément de Isom−(P) pour obtenir Isom(P) et, d’autre part, que si P est finie, on devradéterminer les isométries laissant fixe un point, l’isobarycentre des points de P .

7.3.1 Triangles et quadrilatères dans le planTheorème 7.3.3. Soit P = ABC un triangle du plan, alors :1) Si ABC n’est pas isocèle, Isom(P) = idE.2) Si ABC est isocèle en A, Isom(P) = idE , sA où sA est la symétrie par rapport à la

médiatrice de [BC].3) Si ABC est équilatéral, Isom(P) est isomorphe au groupe des permutations S3.Theorème 7.3.4. Soit P un parallélogramme ABCD du plan :1) Si ABCD n’est ni rectangle, ni un losange, Isom(P) = idE , sO, où sO est la symétrie par

rapport au centre O du parallélogramme.2) Si ABCD est un losange, Isom(P) = idE , sO, sAC , sBD.3) Si ABCD est un rectangle, Isom(P) = idE , sO, s∆AB , s∆BC où les droites ∆AB et ∆BC

désignent les médiatrices.4) Si ABCD est un carré, Isom(P) = idE , r, r2, r3, sAC , sBD, s∆AB , s∆BC où r désigne la

rotation de centre O, le centre du carré et d’angle π/2.Et pour terminer, on pourra déterminer les groupes suivants :

1) Dans le plan, le groupe fixant un polygône régulier à n côtés.2) Dans l’espace, le groupe des isométries du cube.

Annexe A

Barycentre (par Jean-FrançoisRobinet)

Dans la suite, E désigne un espace affine de dimension n, sur un corps K, dirigé par unespace vectoriel E.

A.1 L’espace des points pondérésOn appelle champ de vecteurs sur E une application (quelconque) ξ : E → E. L’ensemble

X des champs de vecteurs sur E est (de manière naturelle1) un espace vectoriel sur K.

Exercice - Démontrer que l’espace X est de dimension infinie, c’est-à-dire qu’il existe une(des) famille(s) de champs de vecteurs de cardinal infini, dont toute sous-famille finie est libre.- On pourra considérer des champs de vecteurs partout nuls sauf en un point.

1) Etant donné un vecteur −→v ∈ E, nous désignerons par [−→v ] le champ de vecteurs constant devaleur −→v , c’est-à-dire, défini par : [−→v ](M) = −→v , pour tout M ∈ E .Nous noterons Xc l’ensemble des champs de vecteurs constants. Il est clair que c’est unsous-espace vectoriel de X, et que l’application −→v 7→ [−→v ] est un isomorphisme (d’espacesvectoriels) de E sur Xc.

2) Etant donné un point A ∈ E nous lui associerons le champ de vecteur [A] défini par [A](M) =−−→MA.Si a est un scalaire non nul, le champ de vecteur a[A] est donc défini par a[A](M) = a

−−→MA ;

et on a évidemment (cas a = 0) : 0[A] = [−→0 ].Nous appelerons champ de vecteurs radial un champ de vecteurs de la forme a[A], avecA ∈ E et a ∈ K× (groupe multiplicatif des éléments non nuls de K) et nous noterons Xr

l’ensemble des champs de vecteurs radiaux.Observons que l’application K× × E 3 (a,A) 7→ a[A] ∈ Xr est bĳective.En effet, si a[A] = a′[A′], il vient −→0 = a[A](A) = a′[A′](A) = a′

−−→A′A d’où

−−→A′A = −→0 (puisque

a′ 6= 0) et A = A′ ; ensuite, la relation a−−→MA = a[A](M) = a′[A](M) = a′

−−→MA (∀M)

implique a = a′ ; d’où l’injectivité de l’application considérée. Qu’elle soit surjective, résultede la définition même de Xr.

1Etant donnés deux champs de vecteurs ξ, ξ′ et un scalaire a, on pose : (ξ + ξ′)(M) = ξ(M) + ξ′(M) et(aξ)(M) = aξ(M), pour M ∈ E .

83

84 Annexe A. Barycentre (par Jean-François Robinet)

Ceci étant, soit E la réunion des deux ensembles disjoints Xc et Xr ; et notons ε l’applicationde E dans K définie par ε([−→v ]) = 0 et ε(a[A]) = a (en particulier, ε([A]) = 1, pour A ∈ E).

Proposition A.1.1. L’ensemble E est un sous-espace vectoriel de l’espace X des champs devecteurs sur E et ε est une forme linéaire sur E, de noyau Xc (isomorphe à E), et on adim E = (dimE) + 1.

Pour qu’un champ de vecteurs ξ ∈ E soit de la forme [A] (pour un certain point A), il faut,et il suffit, que ε(ξ) = 1.

Démonstration. • Il est clair que : x[−→v ] = [x−→v ], pour x ∈ K ; et que x(a[A]) = (xa)[A],si x ∈ K×, et 0(a[A]) = [−→0 ].Il est tout aussi clair que :

[−→v ] + [−→v′ ] = [−→v +

−→v′ ] (A.1)

• Calculons maintenant a[A] + a′[A′]. Nous avons (Chasles) :

(a[A] + a′[A′])(M) = a−−→MA+ a′

−−→MA′ = (a+ a′)−−→MA+ a′

−−→AA′ (A.2)

Si a+ a′ = 0 (c’est-à-dire a′ = −a), il vient (a[A]− a[A′])(M) = a′−−→A′A, d’où :

a[A] + a′[A′] =[a−−→A′A

](champ constant) (A.3)

Supposons maintenant a+ a′ 6= 0. De (A.2), on déduit :

(a[A] + a′[A′])(M) = a−−→MA+ a′

−−→MA′ = (a+ a′)

(−−→MA+ a′

a+ a′−−→AA′

)

Soit B = A+ a′

a+a′−−→AA′, c’est-à-dire le point caractérisé par −→AB = a′

a+a′−−→AA′. Il vient donc :

(a[A] + a′[A′])(M) = (a+ a′)(−−→MA+−→AB) = (a+ a′)−−→MB

Nous avons donc établi :

a[A] + a′[A′] = (a+ a′)[B] si a+ a′ 6= 0, où B = A+ a′

a+ a′−−→AA′ (A.4)

• Considérons enfin une somme de champs de vecteurs de la forme a[A] + [−→v ] (a 6= 0). Ilvient :

(a[A] + [−→v ]) = a(−−→MA+ 1

a−→v)

Soit alors B = A+ 1a−→v , point caractérisé par −→AB = 1

a−→v , et par conséquent :

(a[A] + [−→v ])(M) = a(−−→MA+−−→MB

)= a−−→MB = a[B](M)

Nous avons établi :a[A] + [−→v ] = a[B], avec B = A+ 1

a−→v (A.5)

De ces formules, on déduit d’abord que E est un sous-espace vectoriel de l’espace vectorielX des champs de vecteurs sur E ; elles permettent ensuite de vérifier, cas par cas, les égalitésε(ξ + ξ′) = ε(ξ) + ε(ξ′) et ε(xξ) = xε(ξ), pour ξ, ξ′ dans E et x dans K - ce qui montreque l’application ε : E → K est une forme linéaire sur E, dont, par construction même, Xc

(qui est clairement un sous-espace vectoriel de E , isomorphe à E) est le noyau ; il s’ensuit :dim E = dim Xc + 1 = dimE + 1 = n+ 1.

La dernière assertion du théorème est immédiate.

Annexe A. Barycentre (par Jean-François Robinet) 85

On change de notation :

Notation. L’application −→v 7→ [−→v ] étant bĳective (de E sur Xc), il est licite d’identifier levecteur −→v au champ constant [−→v ] - c’est-à-dire −→v désignera aussi bien le vecteur que le champconstant de valeur ce vecteur.

Similairement, l’application (a,A) 7→ a[A] étant bĳective, nous désignerons simplementpar aA le champ radial a[A] - le point A se trouve, en particulier identifié au champ radialM 7→

−−→MA.

Les éléments de E sont donc de la forme −→v , ou aA, avec A ∈ E , a 6= 0. On dit (souvent)que E est l’espace des points pondérés2.

Remarque. Revenons sur les formules (A.1) et (A.5) établies ci-dessus. La première s’écrit (aprèsce changement de notations) −→u +−→v = −→u +−→v , elle paraît tautologique ; elle ne l’est pas ! Carelle exprime que la somme dans E des deux éléments (champs) −→u et −→v (premier membre del’égalité) est (le champ de vecteurs constant associé à) la somme dans E des deux vecteurs.

Quant à la formule (A.4), elle donne en particulier : A+−→v = B où −→AB = −→v . Comme dansl’espace affine E , on a B = A +−→AB, cette formule a, elle aussi, une apparence tautologique, àsavoir : A+−→AB = A+−→AB ; elle ne l’est cependant pas, car le premier membre est à lire dansE et le second dans E . Elle exprime que la somme dans E d’un point A et d’un vecteur −→v (ouplus exactement des champs de vecteurs associés) est le (champ associé au) point A + −→v , ausens de l’opération externe de l’espace vectoriel E sur l’espace affine E .

Exemple A.1.1. Supposons E de dimension 2. Soient A,B,C trois points distincts, supposons-les linéairement dépendants dans E ; il existe donc des scalaires a, b, c non tous nuls, pour lesquelsaA + bB + cC = −→0 . Mais puisque ε est une forme linéaire sur E , il vient a + b + c = 0, c’est-à-dire c = −(a + b), et la relation précédente s’écrit a(A − C) + b(B − C) = −→0 , soit encore :a−→CA + b

−−→CB = −→0 ; or, les 3 points étant supposés distincts, on a nécessairement ab 6= 0, la

relation de dépendance linéaire signifie donc que A,B,C sont alignés.On peut montrer la réciproque, c’est-à-dire qu’on ura démontré que : dans un plan affine

E , trois points distincts sont alignés, si et seulement si, ils sont linéairement dépendants dansE ce qui équivaut à l’existence d’une relation non triviale de la forme aA+ bB + cC = −→0 , aveca+ b+ c = 0.

A.2 Barycentres

Considérons un élément de la forme∑ki=1 aiAi dans E . Nous avons : ε

(∑ki=1 aiAi

)= ∑k

i=1 ai,soit a ce scalaire.• On suppose que a 6= 0, il vient alors ε

(∑ki=1

aiaAi)

= 1, et par conséquent ∑ki=1

aiaAi

est un point G, bien déterminé. Comme la précédente relation est à comprendre commeégalité entre champs de vecteurs - vec les premières notations employées - elle s’écrit∑ki=1

aia[Ai] = [G] - le point G est caractérisé par les relations :

k∑i=1

aia

−−→MAi = −−→MG (∀M ∈ E) (A.6)

2Il est aussi connu sous le nom d’espace universel de Berger, qui, à l’occasion, le qualifie d’"hydre" - voirl’ouvrage bien connu Géométrie de cet auteur


Ce point est appelé barycentre de la famille des points pondérés(Ai,

aia

)(où 1 ≤ i ≤ m),

de "masse totale" ∑ni=1

aia

= 1. Il vient (en faisant M = G) :

k∑i=1

aia

−−→GAi = −→0 (A.7)

Cette égalité caractérise aussi le point G. En effet, supposons-la satisfaite, il vient, pourun point M ∈ E :

k∑i=1

aia

−−→MAi =

k∑i=1

aia

(−−→MG+−−→GAi

)=(

k∑i=1

aia

)−−→MG+

k∑i=1

aia

−−→GAi = −−→MG

du fait que ∑ki=1

aia.

• Par contre, quand a = 0, le symbole (c’est-à-dire le champ de vecteurs)∑mi=1 aiAi représent

un vecteur −→u (c’est-à-dire est le champ de vecteur constant défini par −→u ) caractérisé par−→u = (∑m

i=1 aiAi) (M), c’est-à-dire −→u = ∑mi=1 ai

−−→MAi, ∀M ∈ E. La formule (A.3) s’écrit

donc :aA− aA′ = a(A− A′) = a

−−→A′A (A.8)

et en particulier :A− A′ =

−−→A′A (A.9)

Remarque. La formule d’associativité des barycentres ne nécessite aucune démonstration, ellerésulte trivialement de l’associativité des combinaisons linéaires dans l’espace vectoriel E .

A.2.1 Repères barycentriquesL’arguement de l’Exemple A.1.1., s’étend au cas général (c’est-à-dire n quelconque).

Proposition A.2.1. Pour que n + 1 points distincts A0, ..., An de l’espace affine E, formentune base de l’espace E, il faut, et il suffit, qu’ils n’appartiennent pas à un même hyperplan affine(sous-espace ffine de codimension 1 de E).

En effet, pour que ces n+1 points forment une base de E (de dimension n+1) il suffit qu’ilsforment une famille libre. Supposons qu’ils satisfassent à une relation de dépendance linéairenon triviale : a0A0 + ...+ anAn = −→0 , il vient alors : a0 + ...+ an = 03, il s’ensuit :

−→0 =n∑i=1

ai(Ai − A0) =n∑i=1

ai−−−→A0Ai

cette égalité ayant lieu dans E, elle signifie que les vecteurs −−−→A0A1, ...,−−−→A0An appartiennent à

un même sous-espace vectoriel H de E, de dimension ≤ n − 1 (c’est-à-dire contenu dansun hyperplan vectoriel). Les points A0, A1, ..., An, appartiennent alors au sous-espace affineH = A0+H, de dimension≤ n−1 (c’est-à-dire contenu dans un hyperplan affine). La réciproqueest claire.

Définition A.2.1. Quand les n+1 points A0, ..., An forment une base de E , nous dirons aussiqu’ils forment un repère barycentrique de l’espace affine E .

3on a appliqué ε aux deux membres de l’égalité


S’il en est ainsi, tout point M ∈ E s’écrit de manière unique (dans E) : M = ∑ni=0 xiAi avec∑n

i=0 xi = 14. Les scalaires (x0, ..., xn) - de somme égale à 1 - sont les coordonnées barycentriquesdu point M de repère barycentrique considéré. Tout point E s’écrit donc de manière uniquecomme barycentres des points A0, ..., An.Remarque. On trouvera en Section A.3, une expression générale des coordonnées barycen-triques d’un point.

A.2.2 Application : milieu d’un segment, parallélogrammesSoient A,B deux points de l’espace E , le point I = 1

2(A + B) est, par définition, le milieudu segment [AB]. Ce point est donc caractérisé par −−→MI = 1

2(−−→MA+−−→MB), ∀M ∈ E , ou, ce qui

revient au même, −→IA+−→IB = −→0 , c’est-à-dire : −→AI = −→IB = 12−→AB.

On se place dans le cas où E est un plan, c’est-à-dire n = 2. Soient A,B deux points distincts,la droite affine qu’ils déterminent, est, par définition le sous-espace affine (de dimension 1)(AB) = A+K

−→AB de E . Deux droites distinctes (AB) et (CD) sont dites paralèlles lorsqu’elles

sont disjointes.

Lemme A.2.2. Pour que des droites (AB), (CD) soient parallèles, il faut, et il suffit, que lesvecteurs −→AB et −−→CD soient proportionnels.

Un point M commun aux deux droites (AB) et (CD) s’écrit A + x−→AB = M = C + y

−−→CD

pour des scalaires x, y convenables. Si un tel point existe, il vient A+ x−→AB = A+−→AC + y

−−→CD

et x−→AB = −→AC + y−−→CD, par simple transitivité, c’est-à-dire −→AC = x

−→AB − y

−−→CD.

Lorsque les vecteurs −→AB, −−→CD ne sont pas proportionnels, ils forment une base de E, il existedonc des scalaires x, y uniques, pour lesquels −→AC = x

−→AB− y

−−→CD, remontant le calcul ci-dessus,

nous avons A+x−→AB = C+y

−−→CD, et ce point est l’unique point d’intersection des droites (AB),

(CD).Lorsque, les vecteurs −→AB, −−→CD sont proportionnels, (c’est-à-dire K−→AB = K

−−→CD) et s’il existe

M ∈ (AB)∩(CD), on a (AB) = M+K−→AB = M+K−−→CD = (CD), contrairement à l’hypothèse.

Proposition A.2.3. Soient A,B,C,D quatre points trois à trois non alignés. Les conditionssuivantes sont équivalentes :

(i) −→AB = −−→CD ; (i’) −→AC = −−→BD(ii) les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.(iii) les droites (AB), (CD) sont parallèles, ainsi que les droites (AC), (BD).

Dans E , les conditions i) et i′) s’écrivent respectivement B−A = D−C et C−A = D−B,et il est immédiat qu’elles sont équivalentes. Ces conditions équivalent encore à A+D = B+C,ou à 1

2(A+D) = 12(B + C) condition qui exprime que les segments [AD] et [BC] ont le même

milieu, c’est-à-dire ii).Compte tenu du lemme, la condition iii) s’écrit −→AB = a

−−→CD et −→AC = b

−−→BD, pour des

scalaires a, b non nuls convenables ; soit encore B − A = a(D − C) et C − A = b(D − B), ouA = B + aC − aD et A = bB + C − bD. Mais n’étant pas alignés, les points B,C,D formentun repère barycentrique dans le plan, et l’écriture de A comme combinaison linéaire de cespoints est unique, il s’ensuit que nécessairement 1 = b, a = 1 (et aussi a = b). La condition iii)

4on a appliqué ε aux deux membres de la relation


équivaut donc à B−A = D−C et C−A = D−B, ou : −→AB = −−→CD et −→AC = −−→BD. L’équivalencede iii) avec i) et/ou i′) s’ensuit aussitôt.

Lorsqu’il en est ainsi, on dit que les points A,B,D,C (dans cet ordre) forment un parallèlo-gramme. On dit aussi que les bipoints (A,B) et (C,D) sont équipollents5 ; c’est là une condition(de nature géométrique) nécessaire et suffisante pour que soit satisfaite l’égalité −→AB = −−→CD.Quand les points A,B,C,D sont alignés, on établit de même −→AB = −−→CD, si et seulement si, lessegments [AB] et [CD] ont le même milieu.

A.3 Appendices

A.3.1 For the Snark was just a Boojum, you see !Nous reprenons les notations de la section A.1.1. Fixons une origine O dans l’espace affine

E , et considérons l’application de E → K × E, qui au champ de vecteurs constant [−→v ] fait

correspondre(

0−→v

)et au champ de vecteurs radial a[A] fait correspondre

(a

a−→OA

).

L’application ainsi définie est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Nous avons en premierlieu : (

0−→u

)+(

0−→v

)=(

0−→u +−→v

)(A.10)

et, en second lieu : (a

a−→OA

)+(

a′

a′−−→OA′

)=(

a+ a′

a−→OA+ a′

−−→OA′

)

Quand a+ a′ = 0, il vient :(

a

a−→OA

)+(

a′

a′−−→OA′

)=(

0a(−→OA−

−−→OA′)

)=(

0a−−→A′A

)(A.11)

Quand a+ a′ 6= 0, on peut écrire

a−→OA+ a′

−−→OA′ = a

−→OA+ a′(−→OA+

−−→AA′) = (a+ a′)

(−→OA+ a′

a+ a′−−→AA′

)

et, par suite : (a

a−→OA

)+(

a′

a′−−→OA′

)= a+ a′

(a+ a′)(−→OA+ a′

a+a′−−→AA′

) (A.12)

Nous avons enfin : (0

a−→OA

)+(

0−→v

)=(

a

a(−→OA+ 1

a−→v)) (A.13)

Pour établir que l’application considérée est linéaire, il suffit de mettre en regard les relations(A.1), (A.3), (A.4), (A.5) et (A.10), (A.11), (A.12), (A.13). Par ailleurs, il est immédiat qu’elleest bĳective.

5Auquel cas, (A,C) et (B,D) le sont aussi.


A.3.2 Calcul des coordonnées barycentriquesConvention : Soit B = −→e1 , ...,−→en une base d’un espace vectoriel de dimension n, et n

vecteurs −→v1 , ...,−→vn avec −→vi = ∑n

j=1 xij−→ej , nous poserons alors detB(−→v1 , ...,

−→vn) := det(xij).Soient O un point de l’espace affine E et B = −→u1, ...,

−→un une base de E ; notons Ei le pointpour lequel −−→OEi = −→ui , on démontre sans peine que O,E1, ..., En est un repère barycentriquede E , et que B := O,−→u1, ...,

−→un est une base6 de E - observer (ce qui va servir dans un instant)que les coordonnées barycentriques de O dans ce repère sont 1, 0, ..., 0.

Etant donnés n+ 1 points A0, ..., An de E , nous poserons :

〈A0, ..., An〉 = detB(A0, ..., An) (A.14)

cette quantité est donc non nulle si et seulement si A0, ..., An est un repère barycentrique.

Lemme A.3.1. On a (avec les notations introduites ci-dessus) :

〈A0, ..., An〉 = detB(−−−→A0A1, ...,

−−−→A0An)

Nous avons7 :

detB(A0, ..., An) = detB(A0, A1 − A0, ..., An − A0)= detB(O +−−→OA0,

−−−→A0A1, ...,

−−−→A0An)

= detB(O,−−−→A0A1, ...,

−−−→A0An) + detB(

−−→OA0,

−−−→A0A1, ...,

−−−→A0An)

= detB(O,−−−→A0A1, ...,

−−−−→A0, An)

Le premier terde la dernière ligne est detB(−−−→A0A1, ...,

−−−→A0An) - comme on le voit en développement

ce determinant par rapport à la première colonne qui est le premier vecteur de la base canoniquede Kn+1 (cf remarque ci-dessus). Le second terme est nul, puis c’est le déterminant de n + 1appartenant au sous-espace E de E (qui est de dimension n), et qui sont donc linéairementdépendant dans E, et donc aussi dans E .

Proposition A.3.2. Les coordonnées barycentriques xi, d’un point M dans un repère barycen-trique A0, ..., An sont8 :

xi = 〈A0, ..., Ai−1,M,Ai+1, ..., An〉〈A0, ..., An〉

Ecrivons donc M = ∑nk=0 xkAk, avec

∑nk=0 xk = 1, il vient :

〈A0, ..., Ai−1,M,Ai+1, ..., An〉 = 〈A0, ..., Ai−1,∑nk=0 xkAk, Ai+1, ..., An〉

= ∑nk=0 xk〈A0, ..., Ai−1, Ak, Ai+1, ..., An〉

= xi〈A0, ..., Ai−1, Ai, Ai+1, ..., An〉

puisque 〈A0, ..., Ai−1, Ak, Ai+1, ..., An〉 = 0 quand k 6= i (déterminant ayant deux colonneségales) ; ce qui établit l’énoncé.

6c’est-à-dire étant donnée une base −→v1, ...,−→vn de E et O un point de E (c’est-à-dire un repère affine de l’espace

affine E), ces éléments forment une base de l’espace E .7Par définition même, les termes figurant dans les divers déterminants sont à interpréter comme vecteurs de

Kn+1 ou de Kn.8Les formules ci-dessous présupposent donc qu’une base E de E a été choisie, afin d’exprimer les déterminants

qui y figurent implicitement.


Exemple A.3.1. Plaçons-nous dans le cas où E est un plan euclidien orienté ; ici K = R.Une base orthonormée B = (−→e1 ,−→e2 ) étant fixée (qui définit l’orientation), la surface du carrédéfini par ces deux vecteurs est prise pour unité de surface. Etant donnés trois points distincts,A,B,C non alignés, 〈A,B,C〉 = detB(

−→AB,−→AC) représente l’aire (réel > 0) du parallèlogramme

dont deux côtés consécutifs sont [AB] et [AC], affecté du signe + ou du signe − suivant que labase (−→AB,−→AC) de E est directe ou non.

Etant donné un repère barycentrique A,B,C c’est-à-dire trois points non alignés, nousavons, pour tout point M :

M = 〈M,B,C〉〈A,B,C〉

A+ 〈A,M,C〉〈A,B,C〉

B + 〈A,B,M〉〈A,B,C〉

C

formule dont les coefficients s’interprêtent au signe près comme les rapports respectifs des airesdes triangles MBC, AMC, ABM à celle du triangle ABC.

En particulier, quandM est l’isobarycentre du triangleABC, les trianglesMBC,AMC,ABMont la même aire.

Exemple A.3.2. Dans un plan euclidien, soient ABC un triangle des poitns A′ ∈ BC, B′ ∈CA, C ′ ∈ AB. Nous pouvons alors écrire A′ = λB + λ′C, B′ = µC + µ′A et C ′ = νA + ν ′Bavec λ+ λ′ = µ+ µ′ = ν + ν ′ = 1.

Nous avons donc : 〈A′, B′, C ′〉 = 〈λA + λ′C, µC + µ′A, νA + ν ′B〉 ; compte tenu de lamultilinéarité du déterminant, on obtient aisément :

〈A′, B′, C ′〉 = (λµν + λ′µ′ν ′)〈A,B,C〉

Puisuqe 〈A′, B′, C ′〉 est 2 fois l’aire du triangle A′B′C ′, on conclut que les points A′, B′, C ′ sontalignés si et seulement si 〈A′, B′, C ′〉 = 0, ce qui équivaut à :

λµν

λ′µ′ν ′= −1

comme :λ

λ′= −A

′C

A′B,µ

µ′= −B

′A

B′C,ν

ν ′= −C

′A

C ′B

Nous avons démontré que : les points A′, B′, C ′ sont alignés si et seulement si :

A′C

A′B

B′A

B′C

C ′B

C ′A= 1

c’est-à-dire le théorème de Menelaüs.

Bibliographie

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1997.[MER] Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie, préparation au CAPES et à l’agreg, EPU 2004.[PER] Daniel Perrin, Mathématiques d’école, nombres, mesures et géométrie, Cassini 2005.[CAR] Michel Carral, Géométrie, Ellipses, 1995.[HIL] David Hilbert, Les fondements de la géométrie, Réédition Gabay 1997.[LIO] Georges Lion, Géométrie du plan, Collection "Les sciences en fac", Vuibert 2001.[BOURIC] Alain Bouvier, Denis Richard, Groupes, observation, théorie, pratique, Hermann

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M302 : Géométrie affine et euclidienne