Matematička teorija konsonantnosti u muzici

Tatjana Bunčić, 200/08

Kako je moguće da se matematički način razmišljanja može upotrebiti u muzici?

Šta je zvuk?

Zvuk je mehanički talas koji registrujemo čulom sluha.

Nastaje oscilovanjem nekog tela, zvučnog izvora, u elastičnoj sredini.

Oscilatorno kretanje je specijalna vrsta periodičnog kretanja, koje se vrši uvek po istoj putanji kroz jednu ravnotežnu tačku.

Karakteristike oscilatornog kretanja

Amplituda je rastojanje između ravnotežnog položaja i najvećeg udaljenja do kojeg je telo stiglo pri oscilatornom kretanju.Jačina zvuka određena je energijom koja je preneta zvučnom izvoru.Ljudsko uho može da čuje zvuke jačine od 5dB do 130 dB Frekvencija ili učestalost je broj oscilacija u sekundi.Ljudsko uho može da čuje zvuke frtekvencije od 16 Hz do 20 000 Hz.

Karakteristike tonova

Intenzitet tona zavisi od jačine zvuka.

Visina tona zavisi od frekvencije zvučnog talasa.

Boja zavisi od spektra.

Trajanje je dužina vremena za koje se čuje ton.

Harmonijsko oscilovanje

Prosto harmonijsko oscilovanje je kretanje u kome je položaj tela sinusna funkcija vremena.

Furijerova (harmonska) analiza

Furijer (1768-1830. godine)

Zašto baš sinusna funkcija?

Struktura ljudskog uha

Spoljašnje uho-ušna školjka i spoljašnji slušni kanalSrednje uho-bubna opna, slušne koščice (čekić, nakovanj i uzengija), Eustahijeva tubaUnutrašnje uho- fenestra ovalis, vestibularni lavirint (polukružni kanalići i vestibulum), kohleja, Kortijev organ, bazilarna membrana, slušni receptori, slušni nervPrag provodljivosti bazilarne membrane-kreće se između cele note i male terce, a za male frekvencije se povećava do velike terce

Muzički intervali

Interval u muzici predstavlja razmak izmađu dva tona sa izuzetkom čiste prime kod koje su oba tona iste visine. Osnovna podela intervala je harmonske, kod kojih oba tona zvuče istovremeno, i na melodijske, kod kojih se dva tona čuju jedan za drugim. Podela intervala po veličini: prima, sekunda, terca, kvarta, kvinta, seksta, septima, oktava

Podela intervala po vrsti

čisti, koji mogu biti prima, kvarta, kvinta i oktava,

veliki i mali, koji mogu biti sekunda, terca, seksta i septima,

umanjeni, koji mogu biti svi intervali osim prime,

prekomerni, koji mogu biti svi intervali.

Muzička skala

Muzička skala je niz više uzastopnih tonova koji se penju od jednog tona do drugog, kao po nekoj lestvici.

Dijatonske skale su sastavljene od tonova jedne oktave koju čini 12 polustepena.

durska (jonska) i molska (eolska) skala

Konsonantnost i disonantnost

Konsonantnost i disonantnost se odnose na istovremeno zvučanje dva tona, pri čemu je disonantnost osećaj neprijatnosti, napetosti ili nelagode prilikom slušanja određenih tonova.Danas se uzimaju pravila klasične muzike za određenje konsonantnosti i disonantnosti intervala, a prema njima:

konsonantni su svi čisti intervali, velika i mala terca i seksta, adisonantni svi smanjeni, povećani intervali, velika i mala sekunda i septima.

Istorija pojma konsonantnosti i disonantnosti

Od antičkih Grka do 9. veka n.e – melodijski kontekstIzmeđu 900. i 1300. g.n.e - terce i sekste su smatrane disonantnimaIzmeđu 1300. i 1700. g.n.e - dolazi do preokreta ka posmatranju istovremenog zvučanja nota zavisno od muzičkog konteksta, tako da su iste note mogle biti smatrane konsonantnim u jednom kontekstu, a disonantnim u drugom. Skup konsonantih intervala je proširen i uključuje terce i sekste. U osamnaestom veku, uvodi se pojam osnovnog korena i tada je pojedinačna nota konsonantna ili disonantna po njenom odnosu sa korenom.U devetnaestom veku, Helmholc se vraća kvalitetu zvuka proizvedenog pomoću dva istovremena tona, ali daje objašnjenje pomoću udara između viših harmonika zvuka. Helmholcovo objašnjenje je postavljeno na čvršću osnovu koristeći ideje zasnovane na pragu provodljivosti bazilarne membrane, naročito u radu Plompa i Levelta (1965).

Pitagora i pitagorejci

Zakon malih brojeva

“muzika nebeskih tela”

Koren iz 2

Pitagorejska skala

Kvintni krug

Jednako temperovana skala

Jedno od prvih objašnjenja zakona malih brojeva dao je Galileo Galilej (1564-1642. godine).

Kompleksni tonovi

Ljudsko uho radi kao Furijerov analizator, odnosno razdvaja kompleksan ton na spektar prostih sinusnih talasa.

Boja tona zavisi od tog spektra frekvencija, a kada ljudsko uho prepozna zvuk violine, klavira ili glas određene osobe, tada je ono detektovalo specifični spektar od koga zavisi boja tonova svakog instrumenta i ljudskog glasa.

Sekundarne frekvencije

Komponenta zvuka sa frekvencijom f naziva se fundamentalna frekvencija ili osnovni ton.Komponenta sa frekvencijom mf m-ti harmonik ili (m-1).-vi gornji ton.Priroda žičanih i duvačkih instrumenata je da proizvode frekvencije koje su celobrojni umnošci osnovne. Za udaraljke to ne važi.

Različito pojmljenje konsonantnog i disonantnog u različitim kulturama

Čini se da su skale koje se koriste u muzici nekih istočnjačkih naroda u kontradikciji sa zakonom malih brojeva.

Helmholcovo objašnjenje konsonantnosti i disonantnosti

Ramo (1683-1764), Sordž (1703-1778),Helmholc (1821-1894).Konstruktivna i destruktivna interferencija talasaRezonantni udariProsto harmonijsko oscilovanje-”brzi udari”, “spori udari”, “dva tona”Kompleksni tonovi: ako dodamo “disonantnosti” među sve parove alikvotnih tonova svih intervala, dobićemo krivu disonantnosti.Alikvotni tonovi su celobrojni umnošci osnovnog –kriva disonantnosti ima minimume kod većine pitagorejskih intervalaAlikvotni tonovi NISU celobrojni umnošci osnovnog –kriva disonantnosti NEMA minimume kod većine pitagorejskih intervala

Kombinacija tonova

Sordž (1744.), Ramo (1753), Tartini(1714): Kada su dve glasne note sa različitim frekvencijama, odsvirane zajedno, čuje se nota čija je frekvencija jednaka razlici pomenute dve.Tartinijevi tonoviHelmholc je 1856. otkrio postojanje još jedne, slabije note čija je frekvencija jednaka zbiru pomenute dve, , ali je tu notu teško opaziti zbog efekta maskiranja, koji je Helmholc prevideo. Zajedničko ime i za zbir i za razliku ove dve frekvencije je kombinacija tonova.

Efekat maskiranja

Do efekta maskiranja dolazi kada se jave dva zvuka bliskih frekvencija, ali tako da je jedan većeg intenziteta od drugog.

Zbog efekta maskiranja uopšte nećemo čuti drugi, tiši zvuk.

Efekat maskiranja ima svoju primenu u tehnici.

Kombinacija tonova nije rezultat rezonantnih udara

Ne čujemo zvuk koji odgovara frekvenciji rezonantnih udara kada čujemo udare, jer na bazilarnoj nema mesta gde bi se takva frekvencija mogla opaziti.

Kada preko slušalica na jedno uho čujemo zvuk jedne frekvencije, a na drugo uho druge frekvencije, čujemo rezonantne udare, dok se kombinacija tonova ne čuje.

Helmholcovo objašnjenje kombinacije tonova

Zasnovano je na nelinearnostima nekih delova slušnog aparata.Kvadratne i kubne nelinearnostiHelmholc je smatrao da nelinearnosti u uhu dovode do distorzije u srednjem uhu, a delom i na bubnoj opni.Distorzija je promena frekvencije prilikom prenošenja ili prostiranja zvuka kroz aparature.Merenja, koja su sproveli 1967. Guinan i Pik, pokazuju da nelinearnosti u strukturi uha nisu dovoljne da bi se objasnila pojava kombinacije tonova. Oni poreklo distorzije, odgovorne za nastanak kubnih nelinearnosti, pripisuju psihofizičkoj spregi koja predstavlja deo normalne slušne funkcije.

Virtuelna visina

ŠontenAko je uho istovremeno izloženo zvucima frekvencije od 1800 Hz, 2000 Hz i 2200 Hz, tada se čuje ton frekvencije 200 Hz koji predstavlja “izgubljen osnovni ton” i koji bi mogao biti kombinacija tonova. Međutim, ako je uho izloženo frekvencijama od 1840 Hz, 2040 Hz i 2240 Hz, po Helmholcovoj teoriji trebalo bi da se čuje ton frekvencije 200 Hz. U stvarnosti čuje se ton frekvencije 204 Hz. Volajzer je 1969. odredio algoritam za određivanje izgubljenog osnovnog tona. Liklajder (1915-1990) je pokazao da razlika tonova ne može biti maskirana zvucima bliskih frekvencija, a to bi bilo moguće da je Helmholcova teorija tačna.

Plomp i Leveltovi eksperimenti

Na skali od 0 do 1, gde je 0 disonantno, a 1 konsonantno, ljudi su izražavali svoje lične osećaje za konsonantnost, odnosno disonantnost.

Aproksimacija Plomp-Leveltovih kriva

Veštački spektri

Menjajući neke alikvote, možemo da učinimo da skoro svaki interval zvuči konsonantno.Pirs (1910-2002.) je dizajnirao spektar pogodan za jednako temperovanu skalu sa osam nota oktave. Primer u kom su napravljene četiri različite verzije četvrtog Bahovog korala.

Muzički paradoksi

Šepardova skala

Triton paradoks

KRAJ