Matematiki fakultet

Matematiki fakultet

BeogradHARMONIJA I MATEMATIKA U MUZICIMilica ivanovi ml03007

Sardaj

Dijalektika ...................................................................................................... 4Alikvotni tonovi .............................................................................................. 4Harmonija i spirala ........................................................................................ 7Alikvotni tonovi i harmonijska etvorka taaka ......................................... 9Logaritamska spirala ..................................................................................... 11Logaritamska spirala i zlatni presek ........................................................... 13Logaritamska spirala i Zenonovi paradoksi ... 17Zakljuak ........................................................................................................ 19Imenik ............................................................................................................. 21Literatura ........................................................................................................ 29Bliznakinje naela krsta, oploene istim

ukrtanjem, simetrija i armonija

su uspele da zanu vaselenu i da je rode,

razviju i nasele venim ivotom.Laza Kosti

Veliki matematiar Leopold Kroneker je 1886. godine na Kongrsu u Berlinu rekao: Die Ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. (Cele brojeve je stvorio dragi Bog, a sve ostalo je delo ljudskih ruku.) S druge strane, kineski filozof Li Pu Ve iz III veka pre Hrista, kae da o muzici moe govoriti samo sa ovekom koji je shvatio sutinu sveta. I zaista, ove dve izjave izmeu kojih je razmak od 2200 godina su dovedene u vezu!

DijalektikaDijalektika kao metoda pobijanja ili dokazivanja bila je poznata i pre Platona. No, sasvim je sigurno da niko pre njega nije poznavao re dijalektika. Tu re je sam Platon skovao kao ime za filozofsku istraivaku aktivnost. Neposredni uzor za konstrukciju Platonove dijalektike bili su sokratski razgovori, sokratska ispitivanja. Platon govori o uzdizanju i osveavanju due na putu saznanja. On kae da je taj put ulazni, progresivan, poinje od najnieg stepena saznanja (od onoga to pokazuju ula), ide preko prouavanja i razumevanja matematikih oblika i relacija, da bi dospeo do onog najvieg (do uvida u vrhunsko dobro, koje je dobro po sebi, a ne po neemu drugom). Platon, s jedne strane, pod reju dijalektika podrazumeva uee ljubavi jer ni do ega vrednog se ne moe stii bez tog zanosa, a s druge strane, podrazumeva vetinu dolaenja do pojmnovnog saznanja. Osnovni princip dijalektike glasi da se sve to zapaamo u prirodi i drutvu, oko nas i u nama, razvija, menja i kree. Meutim, obratiemo posebnu panju na jednu prirodnu pojavu koja, ini se, od iskona prkosi osnovnom principu dijalektike, a s druge strane objanjava rei Leopolda Kronekera.

Alikvotni tonoviPoznato je da svaki muziki ton predstavlja sloenu zvunu pojavu. U zvuku svakog tona sadrani su i njegovi tzv. alikvotni tonovi (parcijalni tonovi ili harmonici), ije se frekvencije odnose prema tonu u kojem se pojavljuju, tj. osnovnom tonu, kao 1:2:3:4:5:6:7:8:9 itd. do odreene granine frekvencije. Ova granica kod nekih instrumenata iznosi:

InstrumentHornaFlautaViolinaTrubaTriangl

Granina frekvencija (kHz)1.548916

Tako su, na primer u tonu A, ija je frekvencija 110Hz, sadrani sledei alikvotni tonovi:

Osnovni tonAlikvotni tonovi (Hz)

110 Hz2203304405506607708809901100121013201430

Priblian tonae1a1cis2e2g2a2h2cis3dis3e3f3

A u tonu C su sadrani naredni alikvoti:

Alikvotne tonove ne razabiramo sluhom kao samostalne tonove, nego samo kao prizvuk, odnosno boju glavnog, osnovnog tona. Takoe, to je manji broj alikvotnih tonova (tj. to je granina frekvencija nia) to je zvuk instrumenta meki i obratno to je alikvotnih tonova vie, to je zvuk instrumenta otriji. Na nekim instrumentima se, naroitim postupkom u sviranju, moe postii da pojedini alikvoti zazvue izdvojeno, kao tzv. flaoleti. Dovoljno je na odredjenom mestu icu samo lagano dotai, umesto vrsto pritisnuti, usled ega nastaje specifina boja tona Slika ili dijagram odnosa tih tonova zove se zvuni spektar, a mogu se registovati i tzv. Helmholcovim rezonatorima, kojima je utvreno njihovo postojanje. etvrti, peti i esti alikvotni ton daju tonove durskog trozvuka, pa je na osnovu toga proistekla teorija nekih estetiara o prirodnoj osnovi durskog tonaliteta. Nemaki muzikolig Hugo Riman postavio je hipotezu o postojanju niza alikvotnih tonova sa suprotnim kretanjem intervala odozgo nanie. Fiziko postojanje donjeg alikvotnog niza nije eksperimentalno utvreno, ali prema Rimanu i etvrti, peti i esti ton donjeg alikvotong niza obrazuju molski trozvuk. Na osnovu ovoga je izveden zakljuak da i molski tonalitet ima u jednom akustinom zakonu svoju prirodnu podlogu, to predstavlja tzv. Rimanovu hipotezu. Zakljuimo, dakle, da je jo od najdavnijih vremena, od kada je ovek proizvodio muziku bilo svojim glasom, bilo na nekom od prvobitnih muzikih instrumena, u osnovi svakog tona leao i lei niz prirodnih brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i to upravo onaj kojeg nam je po reima Kronekera podario dragi Bog. Njihove reciprone vrednosti obrazuju tzv. harmonijski niz 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 za iji naziv postoji vie razloga. Prvo, kao to je ve pomenuto, ovi tonovi u akustici esto nose naziv harmonici, a sami brojevi tano oznaavaju deo ice koja treperi prilikom proizvoenja odgovarajueg tona. Zatim, svaki lan ovog niza predstavlja harmonijsku sredinu dva susedna lana koja se izraunava po formuli:

H(a, b) =

Pri tome treba imati u vidu da su jo stari pitagorejci, a posebno Arhita, koristili aritmetiku i harmonijsku sredinu za podelu oktave na sve manje i manje intervale i tako dobili vie razliitih dijatonskih skala.

Reciprona funkcija (hiperbola) y = k/x ima svoju podlogu u prirodnom zakonu, da je kod ice muzikog instrumenta broj oscilacija obrnuto proporcionalan duini dela ice koji treperi.

U nizu alikvotnih tonova poseban i izuzetan znaaj zauzimaju oktave. Pre svega, njihove frekvencije se odnose kao 1:2:4:8:16, tj. obrazuju geometrijsku progresiju, iji je kolinik 2. Ali i bez toga, oktava je za sve harmoniare najvaniji interval u muzici i najsavreniji. Tokom mnogih vekova, od vremena pitagorejaca do dananjih dana, matematiari, akustiari, teoretiari muzike i graditelji muzikih instrumenata prouavali su problem tonskog ureivanja, izjednaavanja i tempiranja muzikih skala i tanog odreivanja poloaja svakog tona u njima, ali teko da se iko usudio da dirne u svetinju oktave, jer su intuitivno oseali da se ona nalazi u temeljima postanka sveta. S jedne strane, osnovni ton i njegova oktava nisu identini, a s druge strane, oba tona u oveku pobuuju kvalitativno isti subjektivni doivljaj. Svaki ton je u stanju da iz sebe izvede, po pravilu geometrijske progresije, itav jedan neogranien niz oktava ili tzv. oktavni prostor. Ali i svaki novonastali ton ima tu istu reproduktivnu mo.Posmatrajmo sada uporedo dva pomenuta, moda najvanija, na prirodnim zakonima zasnovana niza, i to:

oktavni niz: 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...

niz prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Prvi od njih raste eksponencijalno, a drugi linearno. Vidimo da se lanovi drugog niza dobijaju logaritmovanjem prvog za osnovu 2. Zapravo, drugi niz je niz logaritama prvog, to nas vodi do Veber-Fehnerovog zakona. Oktavni brojevi predstavljaju podraaje u obliku frekvencija, a prirodni brojevi odgovaraju subjektivno doivljenim tonskim visinama. Osnovni psihofiziki zakon prema Fehneru ima oblikS = k * logR

gde je S jaina oseta (ili kako neki vie vole intenzitet senzacije), k je konstanta karakteristina za odreeni modalitet, i R je intenzitet stimulacije tj. podraaja. Dakle, Fehnerov zakon glasi da jaina oseta jeste proporcionalna logaritmu odgovarajueg podraaja. To opet znai da eksponencijalnom rastu veliine podraaja odgovara linerani rast veliine oseta.

Veber-Fehnerov zakon je doiveo mnoge polemike i osporavanja, ali u oktavnom prostoru je dobio svoju najveu potvrdu. Oktava je fundamentalnan muziki interval koji kao nijedan drugi tonski korak, u nama izaziva isti kvalitet oseta. Koraanje du niza oktava oseamo kao ravnomerno penjanje ili sputanje, tako da se u ovom sluaju pomenuti zakon ostvaruje.

Bitno je spomenuti da Gustav Teodor Fehner (1801-1887) jeste ovek koji je teio jednoj sveobuhvatnoj psiholokoj slici sveta sveta u kome se duhovni i materijalni procesi od poetka razvijaju uporedo i zajedno, jedni sa drugima, isto kao i fiziko i psihiko u njegovoj psihofizici. Kau da iz njegovih dela govori jedno istinsko jedinstvo religije, umetnosti i nauke, u kome Bog i priroda, duh i materija, vera i nauka stoje u tesnoj meusobnoj povezanosti, kao i da je njegova glavna preokupacija bila nai most izmeu srca i razuma. A sloiemo se svi da je ovo u izvesnom smislu i jedna od preokupacija harmonije. Vratimo se sada na harmonijski niz koji predstavlja alikvotne tonove. Iz ovog niza moemo izdvojiti geometrijski podniz, odnosno oktavni podniz. Njegovim logaritmovanjem ponovo se dobija harmonijski niz, i ova igra uz pomo logaritamske funkcije moe po volji da se produi. Stoga se smatra da je logaritamska funkcija matematiki izraz povezanosti fizikog i psihikog, objektivnog i subjektivnog. Harmonija i spiralaNiz alikvotnih tonova, odnosno harmonijski niz, fascinirao je sve prave istraivae nauke o harmoniji, koji su u njemu doivljavali jedan od osnovnih prafenomena univerzuma i otkrivali razliita i vieslojna znaenja. Poznati nemaki harmoniar Peter Nojbeker spontano je i intuitivno alikvotni niz predstavio u obliku jedne spirale (sl. 2) pri emu svaka oktava oznaava jedan nov ciklus, a zatim je to dovedeno u vezu sa biblijskom Knjigom postanja.Broj 1 ukazuje da tonski prostor jo nije u sebi struktuiran ve haotian, a jedina polazna taka je osnovni ton jedno duh Boji koji sve obuhvata, odnosno kako Biblija kae: Bee tama nad bezdanom; i duh Boji dizae se nad vodom.

Broj 2 u tonskom prostoru izaziva prvu polarizaciju koja istovremeno vodi ka ciklikoj oktavnoj strukturi. Prvi akt stvaranja je polarizacija u svetlost i tamu koja istovremeno vodi ka ciklikom fenomenu dana i noi. I ree Bog: neka bude svetlost. I bi svetlost. I vide Bog svetlost da je dobra; i rastavi Bog svetlost od tame.

Broj 3 se pojavljuje u drugom ciklusu kao prvo novo bie u obliku kvinte. Istovremeno sa njom nastala je i mogunost formiranja kvintnog kruga, a time i mnotva tonova u njihovoj organskoj ureenosti. Trojka polarizuje oktavu na kvintu i kvartu, a kvinta simbolizuje prvog oveka Adama.

Kvinta se kroz broj 5 dalje polarizuje u veliku i malu tercu. Pojavljuju se dur i mol muko i ensko. Dok je u prvom ciklusu stvaranja ovek jo bio androgeno bie, tek na ovom stepenu kroz polarizaciju na oveka i enu, dobija se istinski ljudski kvalitet.

Sedmi alikvotni ton sa prethodnim obrazuje septakord koji se doivljava kao pitanje kojim se stvoreni ovek obraa stvaraocu. Pitanje se postavlja o kuanju sa drveta saznanja i obeanju zmije da e ovek postati kao Bog.

Sa brojem 8 zatvara se jo jedan oktavni ciklus, a sa brojem 9 poinje napredovanje i izgradnja tonske skale iz manjih elemenata. Posle broja 8 ovek mora da napusti rajski prostor i zapone tegoban zemaljski ivot koji se u Bibliji opisuje reima Sa znojem lica svojega jee hleb.Peter Nojbeker nije dao nikakvo matematiko izvoenje, niti je precizirao o kom obliku spirale je re. Postoje, tri glavna tipa spirala (Arhimedova, hiperbolika i logaritamska). I sva tri su u neposrednoj, ivoj i organskoj vezi sa nizom alikvotnih tonova, ali pored toga imaju i mnoga druga znaenja i ispoljavanja. Jednaine svih ovih spirala izraavaju se u tzv. polarnim koordinatama i , gde je poteg ili rastojanje neke take od koordinatnog poetka ili pola, a ugao izmeu potega i polarne (horizontalne) ose (sl. 3).Jedan od najveih matematiara i naunika helenistike epohe i celokupnog starog sveta bio je Arhimed (287 212. pre nove ere). U svojoj knjizi O spiralama, on definie krivu koju mi danas nazivamo Arhimedova spirala kao liniju opisanu takom koja se jednoliko kree po pravoj, koja se pak sa svoje strane jednoliko obre oko jedne stalne take. Ako uzmemo da se poetni poloaj obrtne prave nalazi na polarnoj osi i da je poetni poloaj pokretne take u polu polarnog koordinatnog sistema, tada jednaina spirale ima oblik = a, gde konstanta a predstavlja faktor proporcionalnosti. Na slici 4 imamo spiralu nacrtanu za dva suprotna smera obrtanja pokretne prave.

Ova kriva u muzikom smislu predstavlja krivu frekvencija alikvotnih tonova. Uobiajeno je da se njihov redosled obeleava rednim brojevima (prvi, drugi, trei) odozdo navie. Ako je frekvencija osnovnog tona a, tada e frekvencije alikvotnih tonova dalje biti 2a, 3a, 4a, 5a, 6a I to su tano one brojne vrednosti i apscise taaka u kojima spirala see polarnu osu. Spomenimo da i gramofonska igla kreui se po ploi opisuje putanju koja tano predstavlja Arhimedovu spiralu.

Hiperboliku spiralu definiemo jednainom = a/. Primetimo da se poteg neogranieno smanjuje kada ugao neogranieno raste, kao i da se odgovarajua linija zavija kod pola i asimptotski mu se pribliava. S druge strane, ordinata ove krive je odreena sa y = sin, pa imamo y = sin =

jer je

.Spirala se odavde nalazi ispod prave y = a i asimptotski joj se pribliava (videti sl. 5), jer je

= 1

Ovu spiralu pominje i Isak Njutn u prvoj knjizi svojih Principia pri razmatranju zakona gravitacije i mogueg obilaska planeta oko Sunca.Ova kriva u muzikom smislu upravo predstavlja krivu samih alikvotnih tonova. Ukoliko izaberemo a = 2 dobiemo presene take sa polarnom osom 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6... To znai da jedinini interval [0,1] moemo da posmatramo kao duinu ice muzikog instrumenta, pa e spirala prolaziti tano kroz one take na ici u kojima se stvaraju alikvotni tonovi. Svaki alikvotni ton predstavlja harmonijsku sredinu dva susedna alikvotna tona.

Alikvotni tonovi i harmonijska etvorka taakaPokuajmo da dovedemo alikvotne tonove iliti harmonike u vezu sa tzv. harmonijskom etvorkom taaka, na ta nas sam termin harmonijski navodi.

Poznato je da 4 take A, B, C i D jedne prave linije obrazuju harmonijsku etvorku taaka ako taka C deli odseak AB iznutra u istom odnosu u kome ga taka D deli spolja:

: = :

(1)

Pitanje je da li bilo koja 4 alikvotna tona na ici muzikog instrumenta prikazana kao take na brojnoj osi, mogu da predstavljaju harmonijsku etvorku taaka.

Oznaimo apscise ovih taaka sa

i

pri emu n oznaava redosled alikvotnog tona od koga poinjemo formiranje etvorke, a a, b i c su za sada nepoznati prirodni brojevi uz uslov a < b < c. Dvostruka proporcija (1) svodi se na

(2)Posle kraeg raunanja, relacija (2) svodi se na relaciju

a (c-b) = (b-a) c

(3)

Primetimo da se u relaciji (3) vie ne pojavljuje n, to znai da je svejedno od kog alikvotnog tona emo poeti formiranje harmonijskih etvorki. Ovu relaciju posmatrajmo sada kao jednu tzv. Diofantovu jednainu sa tri nepoznate veliine a, b, c uz uslov 0