120/04

NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING

NR. 22 MARTS 2005

M A T I L D E

Tema:Fysik og matematik

2 20/04

Temaet for dette nummer af Matilde er Fysik og Mate-matik. Vi har ladet nogle fysikere komme til orde medderes personlige syn på matematikkens rolle i deres fagog karriere, ligesom vi bringer en artikel om spin glas-ser, et særdeles aktivt emne indenfor statistisk mekanik,hvor der i de senere år er gjort store fremskridt i den ma-tematiske baggrund for teorien.

Blandt de mange giganter, der i historien har berigetbåde fysikken og matematikken med deres opdagelser,er det Isaac Newton der pryder forsiden. Efter at havestillet sig selv mange spørgsmål om basale begreber sombevægelse, kraft, rum, tid, lys og farver, gjorde han i en-som majestæt op med mange års Aristotelisk kanon ogindførte præcise matematiske definitioner (i hvert fald iforhold til samtidens begrebsverden) - han opdagede gra-vitationen og infinitesimalregningen. Newton viste hvor-dan Keplers love for planeternes bevægelser fulgte afnogle simple aksiomer for gravitation og kraft, herunderdet opsigtsvækkende, at alle legemer udøver massetil-trækning - over selv store afstande og uden egentlig for-bindelse til hverandre (ingen stoflige hvirvler el. lign. -påvirkning gennem det tomme rum; ikke underligt at f.eks. C. Huygens efter et besøg hos Newton udtalte siganerkendende om det unge menneskes matematiske ta-lenter, men ønskede han ville holde op med at spilde sintid med spekulationer om gravitation).

Årsagsbegrebet er her det centrale: Helt tilbage til Ari-stoteles diskuterer man årsager og virkninger; i matema-tikken studeres aksiomer og antagelser og hvad deraf føl-ger, mens fysikken ofte interesserer sig for ud fra virk-ningerne at finde årsagerne, altså en slags omvendt for-hold.

I år er det 100 siden A. Einstein revolutionerede fy-sikken med tre berømte artikler: 1. Relativitetsteorien (dersom bekendt ikke siger at alt er relativt, men derimod atlysets hastighed er en universel konstant). 2. Fotoelektriskeffekt og kvanteteori (at lyset består af fotoner, en slagssmå partikler med bestemt energi afhængig af bølgelæng-den; disse kan igen vekselvirke med elektroner i banerom atomkerner - i øvrigt en kilde til mange godmodigediskussioner med Niels Bohr, der snarere så lyset somklassiske elektromagnetiske bølger, og at sådanne ikkehavde nogen kvante-opførsel; med sit typiske lune erklæ-rede Bohr engang, at selv om Einstein en skønne dag skul-le finde et endegyldigt bevis for, at der var tale om par-tikler, ja så ville beskeden herom ikke kunne nå Bohr, thiden måtte jo transmitteres via elektromagnetiske bølger!).3. Brownske bevægelser og statistisk fysik (der skulle gi-ve anledning til megen senere matematisk analyse i uen-delig dimension, herunder kvantefeltteori, og såmændogså stokastiske differentialligninger, der nu om dageanvendes i financieringsteori og andre bankforretninger).

Richard Feynman er en af de moderne fysikere, dermest uforfærdet (og med stort held) har ladet matema-tikken vekselvirke med fysikken. Da han i 1966 fik No-

belprisen, var det for den matematiske formalisme bagkvanteelektrodynamikken, altså beskrivelsen af elektriskladede partiklers vej gennem elektriske og magnetiskefelter - vel at mærke i kvantemekaniske udgaver. Mankunne kalde det bilæggelsen af striden mellem Einsteinog Bohr: de havde begge lidt ret. Lad os give ordet tilFeynman selv via fire citater:

I think that I can safely say that nobody understandsquantum mechanics.

-The Character of Physical Law(Cambridge, USA, 1967)

What I am going to tell you about is what we teachour physics students in the third or fourth year ofgraduate school... It is my task to convince you not toturn away because you don’t understand it. You see myphysics students don’t understand it... That is becauseI don’t understand it. Nobody does.

- QED, The Strange Theory of Light and Matter,(London, 1990) 9.

Now one may ask, “What is mathematics doing in aphysics lecture?” We have several possible excuses: first,of course, mathematics is an important tool, but thatwould only excuse us for giving the formula in twominutes. On the other hand, in theoretical physics wediscover that all our laws can be written inmathematical form; and that this has a certainsimplicity and beauty about it. So, ultimately, in orderto understand nature it may be necessary to have adeeper understanding of mathematical relationships.But the real reason is that the subject is enjoyable, andalthough we humans cut nature up in different ways,and we have different courses in different departments,such compartmentalization is really artificial, and weshould take our intellectual pleasures where we findthem.

-The Feynman Lectures on Physics

Bent Ørsted

Leder

fors. side 3

Leder

320/04

Matilde – Nyhedsbrev forDansk Matematisk Foreningmedlem af EuropeanMathematical Society

Nummer 22 – marts 2005

Redaktion:

Bent Ørsted, AU(ansvarshavende)

Bent Ørsted(TEMAREDAKTØR)

Carsten Lunde Petersen, RUCJørn Børling Olsson, KUPoul Hjorth, DTUMikael Rørdam, SDUCarl Winsløw, KU

Adresse:

MatildeMatematisk AfdelingKøbenhavns UniversitetUniversitetsparken 52100 København Ø

Fax: 3532 0704e-post: matilde@mathematics.dkURL:www.matilde.mathematics.dk

ISSN: 1399-5901

Matilde udkommer 4 gange omåret

Indlæg til næste nummer skalvære redaktionen i hændesenest 15. juni 2005

Tema: Fysik og matematik

Ove PoulsenOm matematik, tabellerog naturfag .......................................................................... 4

Andrew D. JacksonMathematics as the Language of Science ........................... 6

Peter SigmundMatematik, en skøn kunst ................................................. 11

Frank den Hollander & Fabio ToninelliSpin glasses: A mystery about to be solved ...................... 13

Jesper LützenEn Videnskabelig duo: Matematikkens samspil medfysik 1809 – 1950 ............................................................... 18

Uddannelsesfronten ..................................................................... 21

Ian KimingHvorledes kan kvaliteten afuniversitetsundervisningen forbedres? ............................ 21

Kjeld Bagger LaursenKUs vej til kvalitet i uddannelserne .................................. 23

MatematikerNyt ........................................................................... 26

Aftermath ..................................................................................... 27

Indhold:

To those who do not know mathematics it is difficult to get across areal feeling as to the beauty, of nature..... If you want to learn aboutnature, to appreciate nature, it is necessary to understand the languageshe speaks in.

-The Character of Physical Law.

Der er ingen tvivl om, at der vil blive krævet endnu flere matemati-ske kundskaber af fremtidens fysikere; modellerne bliver stadig merekomplicerede jo dybere man trænger ind i (og ud i) universets mysteri-er, og hverken algebra, geometri eller analyse vil blive overflødiggjortforeløbig.

Samtidig vil det for matematikere og for matematikuddannelserne(på alle niveauer) forblive vigtigt at holde sig tæt til udviklingen i detfag, der har helliget sig forsøget på at forstå den fysiske verdens struk-tur. Dette passer vel også godt ind i tidens tegn - og som en af matema-tikkens store hædersmænd, C. F. Gauss formulerede det:

Die Wissenschaft soll die Freundin der Praxis sein,aber nicht ihre Sklavin.

forts. fra side 2

Foto på forsiden: James Thornhill: Sir Isaac Newton (1709 - 1712)

4 20/04 Tema

I forbindelse med flytning og de deraf afledede ekskur-sioner tilbage i gamle bogkasser dukkede to små bøgerop, som jeg ikke havde haft omgang med i mere end 30år, Erlangs Logaritmetabel og Gauss Fünfstellige. Tan-kerne gik nu rask tilbage og snart havde jeg også genop-daget mine to regnestokke, begge i læderhylster, den enetil brystlommen, den anden med tabel med alle muligeomregningsfaktorer vedlagt.

Jeg fastholder disse tanker fordi logaritmer og denhurtigt efterfølgende differentialregning var de første rig-tige eksempler på matematisk kraft. Før denne matema-tiske åbenbaring var utallige de gange, hvor selv simpleopgaver af geometrisk eller aritmetisk art, ikke var letløste. Engang som 12-årig, til et møde i det hjemlige for-samlingshus, skulle foredragsholderen, en efterskolefor-stander ”lige brillere” med en opgave, som han var sik-ker på ingen i forsamlingen kunne løse. En ko var tøjret iet tøjr med længden 5 meter i en afstand på 4 meter fra ethegn. Beregn græsningsarealet. Efter 2 døgns arbejde blevsvaret sendt til efterskoleforstanderen og hele sognet varbehørigt imponeret. Fra regning over aritmetik og geo-metri til matematik er dækkende for den udvikling sommange af min generation oplevede i vores introduktiontil matematik.

Det valg, der til slut afgjorde mit forhold til matema-tik, var ubevidst. Jeg valgte fysik-kemi linien på AarhusUniversitet. Matematik med Bundgaard og Thue Poul-sen blev dermed min første, men også sidste formelle in-troduktion til matematik og matematiske metoder, bort-set fra en enkelt ekskursion ind i gruppeland. Herommere. Det matematiske gen tog aldrig over fordi fokusvar på eksperimenter i fysik. Set i bagklogskabens klarelys viste dette valg sig senere at være afgørende for minepersonlige valg, der altid vil være afledt af de mulighe-der, som et fagligt beredskab giver. Mine manglende ma-tematiske færdigheder blev der kompenseret for gennemsamarbejde med dygtige matematisk orienterede fysike-re i årene der kom.

Nu tilbage til de matematiske tabuleringer. Det tog mig10 minutter at ”genlære” at bruge logaritmetabellerne. Ide samme 10 minutter gik tankerne tilbage til de utalligetimer, der blev brugt på opslag, ikke bare i logaritmeta-beller, men også i andre matematiske tabeller, som skulleforfølge mig i mange år.

Som fysiker, med hovedfag i kemi, fik jeg mulighedfor at stifte bekendtskab med gruppeteori, herunderpunktgrupper og Lie grupper. Således var gruppeteore-tiske metoder den eneste farbare vej til forståelsen af kom-plekse atomare elektronkonfigurationer. Prøv fx at se lidtnærmere på konfigurationer som f3ds eller f2d2p, som først

Ove PoulsenRektor, Ingeniørhøjskolen i Århus

email: opo@iha.dk

Om matematik,tabeller

og naturfag

520/04Fysik og matematik

blev beskrevet af Wigner i 30erne. Husk lige, at vi taler omtiden før komputere, der kunne klare beregninger af den-ne kompleksitet. For at holde os til den simple ende afspektret tog det således 2 uger af en ny specialestudentstid at reducere matrixelementet <1s2p 3PJ, 3/2,FMF z 1s2s3S1,3/2,F´MF´> til elementære fysiske parametre.

Mange programmer var under forberedelse, men igenvar det tabeller, der prægede tilværelsen, russiske tabel-ler for at være mere præcis. Tabeller, der blev distribuereti dårlige kopier, men som havde en stor handelsværdi.Adgang til disse tabeller med n-j symboler og særligt U(k)

og V(k, l), der beskriver unitære transformationer mellemikke koblede og koblede bølgefunktioner, var helt afgø-rende for at kunne reducere eksperimentelle data til ele-mentære fysiske parametre, der kunne beregnes ab-initioeller endog beskrives analytisk.

Den dag i dag har jeg de russiske tabeller over U(k) ogV(k, l), som jeg tilegnede mig under et studieophold i Ar-gonne i 1977-78. Få år senere var disse tabeller uden vær-di, fordi lettilgængelige programmer nu blev frit distri-bueret, men dengang var de helt afgørende.

De grundlæggende matematiske ”teknologier” blevudviklet af matematiske fysikere, startende med Wigner.Historien er interessant for mig personligt, fordi den ervendt tilbage til mig, men af helt andre veje. En studentskrev i 70erne en række artikler om komplekse spektre un-der anvendelse af avancerede grafiske og gruppeteoreti-ske metoder i den samme gruppe, hvor de gode russisketabeller blev fabrikeret. Allerede dengang var denne stu-dent en frygtindgydende teoretiker, på et niveau overkvantekemikerne, der ellers var berygtede for at tale sortog som en ung eksperimentalfysikstuderende dengangikke vidste af at stille spørgsmål. Det gør jeg i dag, mennu i et samarbejde om sager, der nok er afledt af de tidli-ge interesser, men dog også helt anderledes. Han er præ-sident for det Litauenske Fysiske Selskab og sammen ar-bejder vi med uddannelsespolitiske temaer inden for ram-merne af det Europæiske Fysiske Selskab, herunder devanskeligheder, som de matematiske og fysiske fag ople-ver i uddannelsessystemet i de fleste lande.

Det som så mange af vores generation oplevede somen spændende rejse ind i et nyt land har ikke længereden samme tiltrækningskraft på generationer af ungemennesker. Naturvidenskab og matematik har holdt sinandel af ungdomsårgangene, men disse realfag har ikkefået del i den vækst, som andre uddannelser har oplevet.ROSE (Relevance of Science Education) undersøgelsenviser klart, at studerende i ungdomsuddannelserne op-fatter naturvidenskab, herunder matematik, som væsent-lige for en fortsat samfundsmæssig udvikling, men at desamme elever ikke selv ønsker at bidrage til denne ud-vikling gennem et tilvalg af disse fag. Det skal bemær-kes, at matematik ikke skal betragtes som, eller er, et na-turvidenskabeligt fag, men at det er korrekt at notere ek-sistensen af tætte bånd mellem matematik, fysik og kemi(MFK fagene) såvel historisk som aktuelt.

Uden at føre sandhedsbevis for de følgende observa-tioner, men derimod forvise argumenterne til policy rum-met, skal det være min påstand, at MFK fagene på avan-ceret niveau bevidst eller ubevidst er i færd med at øde-lægge fagenes muligheder for overlevelse. Hvorfor nudenne påstand?

To observationer kan belyse påstanden. For det første

er vi som naturvidenskabeligt trænede personer ”vant”til at gøre tingene rigtigt og vi er kendte for at kunne ”reg-ne den ud”. Resultatet af disse to let genkendelige karak-tertræk er ofte et fagligt syn, der er kendetegnet ved etfravær af empati i relation til omgivelserne. Det gælderogså for megen af den såkaldte formidling, der ofte måkarakteriseres som mere forkyndelse end af et oprigtigtønske om at skabe en informeret dialog. Faglig monosynfører også let videre til en tro på generaliserbarheden afspecifik faglig ekspertise, fx som indgang til opfattelserom samfundets indretning og om værdiskabelse.

Gymnasiereformen som jeg arbejder med i andre sam-menhænge, introducerer en ny almen dannelse for allegymnasiets elever. Ikke så snart er disse tanker søsat førMFK udøverne bekymret taler om fravær af klassiske A,B og C niveauer i det nye gymnasium og formulerer be-kymring for fagenes videre udvikling. Sammenholdesdenne diskussion - som må formodes læserne bekendt -med det totale fravær af objektiv studievejledning og krav-specifikation til MFK studierne på de videregående ud-dannelser, er det klart, at såvel studerende som deresforældre bliver forvirrede. Hvorfor denne mangel på reelinformation? Fordi MFK fagene af deres udøvere betrag-tes som så centrale, at ingen vejledning er nødvendig.Interesse for MFK fagene forudsætter imidlertid, at vi bli-ver bedre til at møde ”kunderne” på kundernes præmis-ser. Har man haft det privilegium at arbejde i industrienlærer man hurtigt fakturaens kraft og kundens centralebetydning. Måtte denne simple og egentligt banale kends-gerning lyse på MFK fagenes udøvere.

For det andet må vi tage et opgør med myten om alfagligheds store moder, herunder at evnen til at undervi-se kun afledes af dyb faglig indsigt gennem en unitærtransformation. Det gør den ikke. Begrebet forsknings-baseret undervisning må revurderes og fagdidaktik måsikres en mere central placering i undervisningen i MFKfagene, det være sig i folkeskolen, gymnasiet og på devideregående uddannelser. Fagligheden skal selvfølgeligvære i orden, men det er ikke nødvendigt at fastholdeden klassiske faglighed, fag-faglighed, i undervisningeni disse centrale fag. Det er nyttigt at huske på, at det storeflertal af en ungdomsårgang skal have kendskab til na-turvidenskab og matematik, men at kun et mindretal skalvære egentlige udøvere af disse fag. Dette afspejler sig idet nye gymnasium, hvor alle studerende skal stifte be-kendtskab med naturvidenskabelige fag, i varierendeomfang, og dermed også varierende kompleksitet.

Afslutningsvis beder den gamle redaktør om matema-tiske kuriositeter. Dem kan jeg ikke diske op med, menmange matematisk orienterede problemer har været medtil at sikre gode ahaoplevelser. Tydeligst de problemer,hvor intuitionen fortæller hvad svaret skulle være fordernæst, efter formulering af en matematisk model til sidstat sidde med et svar, der rummede den intuitive løsningsamt ”noget mere”, som ikke var intuitivt. Disse øjeblik-ke står som gode mærker i et liv med naturvidenskab.

6 20/04 Tema

Mathematics is one of the two languages of science.1

Its universal use illustrates the fact that specific sci-entific questions have unique answers which are in-dependent of culture. Mathematics is so fundamen-tal to the form and practice of modern science2 that itis difficult to separate the two. Nevertheless, let metry to illustrate three significant functions of mathe-matics in science including:

(i) The description of phenomena andthe efficient storage of results.(ii) The construction of physical laws andtheories and their confirmation.(iii) The revelation of unexpected conse-quences of present theories and the in-

spiration for new discoveries.

Description and pre-theory: Let us recall our under-standing of the universe before Kepler. The sun andthe planets were assumed to move in circular orbitsabout the earth.3 Nothing less than “perfect” circleswould do for the description of celestial perfection.The stars were fixed on the celestial sphere.

With better data, it became clear that planets couldexhibit retrograde motion, and simple circular orbitsno longer sufficed. “Epicycles” were required.4

As data improved, more complicated epicyclic hier-archies were required.

Figure 1: The geocentric solar system

1The other is, of course, broken English.2When I say “science”, I mean “physics”. It can be argued that physics is the only fully-developed science in a sense that will

be made clear below.3The known celestial bodies were the sun, the moon, Mercury, Venus, Mars, Jupiter and Saturn.4Each planet was assumed to be fixed on a small circle (i.e., an epicycle) which rotates with constant angular velocity. The

center of the epicycle lies on a larger circle (i.e., the deferent) and also moves with constant (but different) angular velocity. Notethat a single epicycle would provide an exact description of planetary motion of their orbits were all perfectly circular. They arenot.

Mathematics as theLanguage of

ScienceAndrew D. Jackson

Niels Bohr Instituttet, KUemail: jackson@nbi.dk

720/04Fysik og matematik

, -4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

Figure 2: A single epicycle moving on the deferent (left) and the resulting retrograde motion (right).

Figure 3: Two epicycles.

This description of planetary motion was clearlymathematical (i.e., geometrical), and it was quantita-tively successful. It was not scientific in any contem-porary sense. Since the number of epicycles, theirradii and their angular velocities could not be de-termined a priori, this description was incapable ofpredicting the motion of planets then unseen. Lack-

ing predictive power, it was not falsifiable. It thusfailed the crucial requirement of modern scientifictheory. By contrast, Johannes Kepler (with the aid ofTycho Brahe’s data and the new astronomical tele-scope) offered a “scientific” and equally mathemati-cal alternative embodied in his three laws of plane-tary motion.5

Figure 4: Kepler’s view of planetary motion.

5I. Planets move in ellipses with the sun at one focus. II. The orbit of every planet sweeps out equal areas in equal times. III.The period of a planet, τ is related to its mean distance from the sun, R as τ 2

∼ R3.

8 20/04 Tema

These laws were also successful in describing thedata, and since an ellipse is determined by preciselytwo parameters, the complete orbit of new plan-ets could be predicted on the basis of a few simplemeasurements.6 Mathematics was essential in boththe epicyclic and Keplerian descriptions of planetarymotion; both were able to provide a fully quantita-tive description of existing data. The ultimate suc-cess of the Keplerian system lies in its ability to makequantitatively correct predictions.7

Physical laws and modern science: A truly mod-ern description of all mechanics (including plane-tary motion) required even more mathematics (i.e.,the calculus) and the genius of Isaac Newton (1642–1727). Newton’s Philosophiae Naturalis PrincipiaMathematica was published in 1687. It containsboth Newton’s laws of motion,

dp

dt= F Newton′s second law,

and the fact that the gravitational force between twobodies is inversely proportional to the square of thedistance between them,

|F12| ∼1

|r12|2

.

The economy of Newton’s second law is truly stag-gering. The empirical determination of the forceon a body (through, e.g., static measurements) per-mits a dynamical description of all possible motionfor the body. Similarly compact mathematical formslater became available for electromagnetism (in theform of Maxwell’s equations)8

∇ ·E = 4πρ

∇× B −1

c

∂E

∂t=

4π

cJ

∇× E +1

c

∂B

∂t= 0

∇ ·B = 0

and quantum mechanics (as embodied in theSchrodinger equation)

−h2

2m∇2ψ + V (x)ψ = ih

∂

∂tψ .

Armed with these powerful (and mathematical) pre-dictive tools, modern science embarked on the pathwe know today: Since our knowledge of empiricallaws is based on experiments of limited accuracy,the best one can claim is that “a theory has not yetbeen proved to be false”. Thus, we continue to testthe predictions of theories against reality until thetheory breaks. A new theory is found which doespredict the outcome of all known experiments, andthe process is repeated.9 The incredible successesof modern physics and the speed with which theycome has encouraged imitations in other fields ofnatural and social science. The precondition for suc-cess, however, is the construction of well-definedmathematical theories which render a science pre-dictive and therefore both falsifiable and improv-able. This has not always been possible in otherfields.10

Mathematics as a source of insight and inspiration:The choice of language matters. “I’m undecidedabout committing suicide” simply fails to measureup to “To be, or not to be, —that is the question.”Language matters in science, too. A given physicallaw can be cast in a bewildering variety of equiv-alent forms. While humanist colleagues often feelthat one mathematical formula is more than enough,the choice of mathematical language can be cru-cial for the development of an intuitive understand-ing of the physical contents of a theory and for itseventual improvement and/or replacement. Con-sider the case of quantum mechanics. Heisenbergand Schrodinger invented quite distinct “represen-tations” of modern quantum mechanics almost si-multaneously in 1926.11 Their formulations were so

6The period determines the mean radius. The angular velocity at two points on a planets orbit determine the eccentricity ofthe ellipse.

7If we think of planets as finite bodies rather than point particles, it is clear that both the Ptolemaic as well as the Kepleriantheory makes specific, falsifiable predictions, e.g., regarding the “phases” of the planets. By studying the phases of Venus, Galileowas able to demonstrate conclusively that the Ptolemaic theory is wrong.

8Maxwell’s four equations represent, respectively, a synthesis of the works of Coulomb, Ørsted and Faraday as well as the factthat no free magnetic charges have been seen in nature.

9When the accuracy of mathematical predictions is combined with accurate experimental data, the rejection of firmly heldtheories can often be forced on the basis of surprisingly small discrepancies. Think of the initial empirical tests of relativity. Thisfact has given rise to the notion of scientific “paradigms” and “paradigm shifts”. While this notion can be useful, it invites non-scientists to infer, e.g., that the discovery of relativity and quantum mechanics forces us to throw Newton’s mechanics away.Nothing could be farther from the truth. Rather, Einstein tells us that Newton fails only when velocities approach that of light;Bohr sends us the same message when working with atomic sizes. Away from these quantifiable limits, Newtonian mechanicscontinues to work and remains a mainstay of university physics education.

10It is impossible to imagine serious objections to the Keplerian system today, but the difficulty of making falsifiable predictionsof Darwinian evolution permits the continued advocacy of biblical creationism in some circles.

11Heisenberg invented a representation based on matrices, “matrix mechanics”; Schrodinger invented a representation basedon differential equations, “wave mechanics”. Heisenberg received the Nobel Prize for his work in 1932 (awarded in 1933).Schrodinger and P. A. M. Dirac received the Nobel Prize jointly in 1933.

920/04Fysik og matematik

different that it took the genius of Dirac and his “rep-resentation independent” formulation of quantummechanics to sort things out. In spite of their manyvirtues and their differing choice of language, nei-ther Heisenberg’s nor Schrodinger’s representationswere well-suited to understanding the connectionbetween quantum mechanics and Newton’s classi-cal mechanics.

This puzzle was finally solved by Feynman follow-ing a suggestion of Dirac. In order to understandFeynman’s contribution, we must first realize thatthere are alternate (and more powerful) formula-tions of Newtonian mechanics. In particular, New-ton’s second law is equivalent to “Hamilton’s Prin-ciple” which reads:

δ

∫t2

t1

dtL = 0 with L(x, x, t) =p2

2m− V .

What does this mean? We seek the trajectory, x(t),of a particle as a function of time subject to the con-straints that x(t1) = x1 and x(t2) = x2. Hamilton’sPrinciple states that the actual time evolution of thesystem, x(t), will be that function for which this in-tegral is an extremum (i.e., a maximum or a mini-mum) in the sense that any change in x(t) will eitherlower or raise its value (respectively). Feynman wasable to create a third “path integral” formulation ofquantum mechanics which describes the time evo-lution of a quantum mechanical system as

〈x, t|x1, t1〉 =

∫x

x1

D[x(t)] exp

[i/h

∫t

t1

dtL

].

The initial integral here is over all possible trajecto-ries taking us from a given point, x(t1) = x1, at timet1 to an arbitrary point, x(t) at time t. Note that theclassical action appears in this totally quantum me-chanical formula. It is then easy to see that Newton’sclassical physics emerges from quantum mechanicsin the limit where (Planck’s constant) h → 0.12 Thisresult, which is both beautiful and of the most el-egant simplicity, provided a better understandingprecisely because of the clarity and imagery of Feyn-man’s choice of mathematical language.13 One of

the central conceptual problems in quantum me-chanics simply evaporated when the theory was ex-pressed in the right language.

Finally, let us return to Maxwell’s equation to seehow a mathematical formulation of a physical lawcan provide tempting hints of new physics. I amnot thinking about the fact that Maxwell’s equationscontained the direct prediction of completely un-expected new physics; unambiguously indicate thepossibility of electromagnetic radiation.14 While thisprediction is, of course, implicit in the combined ef-forts of Coulomb, Ampere, Ørsted and Faraday, it isonly in Maxwell’s synthesis that it leaps out to us as“obvious”. I am rather thinking about the possibili-ties of genuinely new discoveries which are not con-tained in Maxwell’s equations but which are rathersuggested by its near symmetry.15

Even a cursory glance at the left sides of Maxwell’sequations suggests a remarkable symmetry betweenthe electric and magnetic fields.16 This symme-try is broken by the presence of the source terms,ρ and J, for electrical charge and current on therights sides of these equations. Complete symme-try would be restored if only we added two newterms, ρm and Jm, describing magnetic charge anddensities. The only problem is that no-one hasever seen an isolated magnetic north or south pole,a magnetic monopole.17 Such isolated poles areknown as “magnetic monopoles”. If you believe —as many theoretical physicists do — that “beauty”,“elegance”, and “symmetry” are useful organizingtools in the discovery of new experimental resultsand the crafting of more fundamental physical lawsand theories, these æsthetic arguments provide am-ple reason to suspect that magnetic monopoles mayexist none the less. If you add to this Dirac’s 1932quantum mechanical demonstration that the exis-tence of even one magnetic in the universe wouldhelp us to understand the phenomenally accurateand puzzling equality of the magnitudes of the elec-tron and proton electric charges, you might thinkthat an experimental search for the monopole.18

Many experimental physicists share this view. Of12As h → 0, small changes in x(t) will lead to violent oscillations of the exponential function and no net contribution to the time

evolution operator unless Hamilton’s Principle is satisfied.13See J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, The Benjamin/Cummings Publishing Company (1985) pp. 116–23 for a clear

and simple description of Feynman’s path integral formulation.14Specifically, consider Maxwell’s equations in completely free space where the charge and current densities, J = ρ = 0. One

immediately finds “wave” solutions of these equations for which (i) the electric and magnetic fields are perpendicular to one an-other and to the direction of wave propagation and (ii) the wave travels with the velocity of light. This fact was noted immediatelyby Maxwell in 1873.

15The importance of symmetry, or more accurately near symmetry, as a source of inspiration for new physics is a lovely storywhich I do not have the time to tell here.

16This symmetry can be made even more striking by making a relativistically covariant rewriting of Maxwell’s equations.17We all know that a bar magnetic has a north and a south pole and net magnetic charge zero. Cut it in half, and you obtain two

magnets — each with a north and south pole. Isolated poles, i.e., a magnetic charge, have never been observed.18Dirac considered the system of an isolated magnetic monopole and an electric charge, e.g., an electron. Using quantum me-

10 20/04 Tema

course, it may turn out that such æsthetic criteria areas misleading as the perfect Aristotelian circles.

I have chosen not to address the most puzzling ques-tion regarding the role of mathematics in physics:Why does it work so well? There are no convinc-ing answers to this question. Consider, for exam-ple, what Eugene Wigner, a truly great mathematicalphysicist,19 had to say:

“The miracle of the appropriateness ofthe language of mathematics for the for-mulation of the laws of physics is a won-derful gift which we neither understandnor deserve. We should be grateful for itand hope that it will remain valid in fu-

ture research.”

It is possible that things are far less miraculous thanWigner would have us believe. The extraordinarysuccess of physics over the last 200 years has beendue to the repeated cycle from mathematical predic-tions to experimental indications of the inadequacyof present theory to improved theory. It may well bethat physicists, mindful of the success of this strat-egy, have a tendency to pursue only those questionswhich fit into its pattern and to dismiss all others aseither “unprofitable” or “uninteresting”.20 Indeed,mathematics may be so deeply embedded in physicsthat it determines the questions we choose to pose aswell as the form of their answers.

chanics and the condition that the wave function of the electron must be single valued, he showed that the magnetic charge of themonopole must be quantized. Repeating the argument for this quantized monopole and any other electrically charged particleshows that all electric charges must be rationally related.

19E. P. Wigner, Comm. Pure Appl. Math. 13 (1960) 1. Wigner’s own work on the application of group theory to atomic spectrumwas awarded the Nobel Prize.

20The serious study of chaotic phenomena, such as turbulence, was for many years regarded as “uninteresting” until newmathematical tools (first developed, e.g., by H. Poincare) transformed it into one of the most exciting areas of physics.

Rettelse til Matilde 21På side 27 var de to fotos af forfatterne Christian Thommesen og Olav Geil blevet byttet om.Redaktørerne beklager

Gamle årgange af Nordisk Matematisk TidskriftEr du interesseret i et komplet eksemplar af Nordisk Matematisk Tidskrift(1953-2004) så henvend dig til Hans Rischel på hans@rischel.dk.

1120/04Fysik og matematik

Matematik,en skøn kunst Af: Peter Sigmund

Fysisk Institut,Syddansk Universitet,

5230 Odense Memail: psi@dou.dk

Næst efter kvindekønnet og musikken er matematikkenen af de skønneste opfindelser, jeg er opmærksom pa.Mens det imidlertid er Vorherre der skabte det første fæ-nomen, har mennesker en væsentlig andel i no. 2 og 3, ogderfor har vi da ogsa mulighed for at pavirke disse.

For mit eget vedkommende, tror jeg, er kærlighedentil matematikken af ældre dato end den til savel kvin-dekønnet og musikken. Min fascination af tal gar helt be-stemt længere tilbage end min bevidste erindring. Deri-mod husker jeg helt klart en række situationer, hvor jegikke kunne løse nogle konkrete matematikopgaver: Denfortivlelse var større end enhver kærlighedssorg, jeg si-den hen matte have oplevet. Og omvendt, fa glæder kanmale sig med diverse aha-oplevelser, som for eksempelda jeg en dag, uden nogen ydre anledning, kom til at for-mulere et problem der involverede to ligninger med toubekendte og fik løst det af egen kraft. Sikken begiven-hed!

Nar jeg nu tæller matematikken til de skønne kunster,sa sker det af i hvert fald to grunde, hvoraf den enesandsynligvis kan akcepteres af de fleste matematikere:En hel del matematik af den art, almindelige menneskersom fysikere og andet godtfolk kender til, er overordent-lig tilfredsstillende fra et æstetisk synspunkt. Den andengrund er formentlig mere kontroversiel: Jeg ser en alvor-lig fare for at matematikken snart ikke er andet end enskøn kunst.

Lad mig først dvæle lidt ved den første. De fleste af fysik-kens love udmærker sig ved, at de i deres mest generelleform kan udtrykkes matematisk meget enkelt og kom-pakt. Enkelhed og kompakthed er vel fortsat med i mate-matikkens skønhedsideal. Det er slet ikke til at forestillesig, hvordan man skulle formulere elektromagnetismensgrundlove, hvis man ikke havde matematiske udtryk forde nødvendige differential- eller integral-operationer derindgar her. Derudover er der en indbygget symmetri idisse ligninger, hvortil kommer den specialitet, at der erplads til magnetiske ladninger: Ligningerne ville bliveendnu mere symmetriske, hvis disse ladninger eksiste-rede. Jagten pa magnetiske ladninger ville givetvis foregamed betydeligt ringere intensitet, hvis ikke de havde ennaturlig plads i Maxwells ligninger.

Det at skrive en ligning pa papir er ikke kun et skridti en videnskabelig proces, det har ogsa æstetiske aspek-ter. Det er ikke ligegyldigt, om der skrives to brøker derganges med hinanden, eller en enkelt brøk, eller maskeendog en dobbeltbrøk, hvis det indholdsmæssigt bidra-ger til øget klarhed. Det er heller ikke ligegyldigt, om man

strør om sig med sub- og superskripter, og hvordan mangør det nar det er nødvendigt. Med fremkomsten af TEX-systemet har vi faet et herligt værktøj til at fa vore æsteti-ske behov sa godt som fuldt tilfredsstillet hvad angar denvisuelle formulering af vore matematiske udredninger.

Vigtigheden af dette kan slet ikke overvurderes i en tid,hvor matematisk rutine ikke er noget, som kan forudsæt-tes blandt studerende og juniorforskere. Det er i hvertfald ikke noget, man kan overlade til et matematikpro-gram. Kommandoen ‘simplify %’ kan vel i nogle tilfældereducere et meget kompliceret til et mindre kompliceretudtryk, men bortset fra det tror jeg, at æstetik er et frem-medord i matematikprogrammer.

Computerens sejrstog har haft en lang række positiveindvirkninger pa de matematiske videnskaber. Vi kanregne problemer igennem, man ikke har kunnet regnetidligere; vi kan tegne en kompliceret funktion i løbet afminutter eller endog sekunder, hvor man tidligere havdebrug for alskens kunstgreb som Taylor- og asymptotiskeudviklinger; i stedet for at undersøge eksistensen af enmatematisk størrelse kan vi finde den; og dertil kommersa frynsegoder som kommunikation mm.

Men computerens fremkomst har sandelig ikke væretomkostningsfri. Kendskabet til elementær matematik erraslet ned fra generation til generation, ikke kun heri landet. Det er allerede en del ar siden, jeg fik til-sendt en afhandling om teoretisk fysik, hvor forfatternematte ga til computeren for at kunne evaluere integralet∫ β

αxdx/

√a2 + x2 numerisk. Det er dog for intet at regne

mod den forholdsvis nye erfaring, at fysikstuderende vedmit universitet ikke nødvendigvis er pa det rene med for-skellen mellem tæller og nævner af en brøk. Kan manikke integrere, kan man vel stadig opna fornuftige resul-tater hvis man forstar at programmere eller i det mind-ste at benytte en programpakke. Men hvis man forveks-ler tæller med nævner er man lige darlig til matematik ogtil programmering.

Med computerens sejrstog har Taylor-udviklingen sand-synligvis mistet noget af sin betydning i matematikken.I hvert fald er den fremmed for de studerende, vi seri fysikken. Taylor-udviklingen indeholder imidlertid enmasse fysik: Der er en kolossal forskel mellem, om udvik-lingens førende led er af nulte, første eller anden orden.Det er dog en overkommelig opgave for fysikundervis-ningen at fa de studerende til at erkende, at en Taylor-udvikling er andet og mere end en metode til at frem-bringe darlige tilnærmelser til komplicerede funktioner.

12 20/04 Tema

Mangelegemeproblemet er et omrade, hvor matemati-kerne i nogen grad har kapituleret, og hvor fysikere harstaet for en stor del af den matematiske metodeudvik-ling, vel at mærke for tilnærmet løsning, bade inden forklassisk og kvantemekanik. Imidlertid har computererenfor længst overtaget førerpositionen. At programmere etmangelegemeproblem er trivielt fra et fysisk synspunkt,og problemerne ligger alene i økonomiseringen af pro-grammet i forhold til isenkrammets formaen. Omvendter matematikken i analytiske løsninger normalt sa tilpasindviklet, at numerikere og matematikere maske slet ikkehar et fælles sprog til at kommunikere med hinanden.

Et af mine mareridt er en tid, hvor al fysikforskningforegar per computersimulering. Jeg er dybt overbe-vist om, at et fysisk fænomen kun er forstaet, hvis detkan formuleres i form af en eller flere ligninger, hvoriindgar malbare størrelser, naturkonstanter og evt. andrestørrelser med en veldefineret betydning. Et program, dertillader beregning af en proces, er et nyttigt redskab derikke mindst kan bidrage til at afsløre betydningen af ef-fekter, man ikke nødvendigvis har taget i betragtning,men det er dybt utilfredsstillende at skulle foretage enny simulering, hver gang man ønsker at undersøge be-tydningen af en enkelt parameter. Jeg har, berettiget el-ler ej, tillid til computersimulering nar jeg sætter mig iet fly. Men at fremstille fysisk viden som bestaende af etpar grundlove plus en samling molekyldynamiske pro-grammer: Nej tak, der sætter jeg grænsen for mit ved-kommende.

Hertil kommer, at nogle computersimulanter ynder atkalde deres arbejde for computereksperimenter, og maleter fuldt nar de sa bare kalder det eksperimenter. Med an-dre ord, man mener at computeren kan erstatte bade teoriog eksperiment. Jeg ved ikke, om det er en af grundenetil den manglende tilslutning til naturvidenskabelige stu-

dier, men det ville ikke undre mig.

Aret 1964 har været skelsættende i mit forhold til mate-matikken. Inden da konsulterede jeg en bog eller en ma-tematiker, nar jeg havde et matematisk problem der ikkeumiddelbart syntes at have en løsning. Siden denganggar jeg til Abramowitz & Stegun, og hvis jeg ikke kan fahjælp der, sa konkluderer jeg mere eller mindre bevidst,at sa findes der nok ikke nogen løsning. Det er sikkert heltforkert men en udbredt holdning blandt fysikere. Jeg haren fornemmelse af, at matematikprogrammers formaenikke er ret forskellig fra hvad der kan opnas ved hjælp afAbramowitz og en god integraltabel.

Vi har for længst vænnet os til, at vore studerende ikkekommer fra skolen med en overvældende ballast af pa-ratviden i fysik. Det kan de samænd godt fa hos os. Mendet ville være dejligt, om vi slap for at bruge kostbar un-dervisningstid pa brøkregning og den lille tabel. Det maFolkeskolen altsa kunne klare, med eller uden Pisa. Forgymnasiets vedkommende ville jeg ønske mig, at absol-venterne var opmærksomme pa forskellen mellem inte-gration og differentiation savel som mellem cosinus ogsinus, og for universitetsmatematikkens vedkommendesynes jeg er det nok sa vigtigt, at de studerende lærerat tænke i 3 dimensioner, som forhabentlig ikke ligefremer skadeligt med henblik pa sidenhen at arbejde med n-dimensionale rum.

Noget af det smukkeste og samtidigt mest nyttige, jeg erbekendt med inden for matematikken, er kompleks funk-tionsteori. Som studerende i Gottingen fik vi rutine i inte-gration af meromorfe funktioner som et værktøj. Jeg harindtryk af at den slags handværksmæssig kompetencesammen med meget andet fremover vil være forbeholdtprofessionelle matematik-kunstnere.

1320/04Fysik og matematik

Spin glasses:

A mystery aboutto be solved

Artiklen udkom først i NIEUW ARCHIEF WISKUNDEi december 2004 og er gengivet med tilladelse fraforfatterne og forlaget. Artiklen vil også udkomme iEuropean Math. Newsletter

Abstract

The study of spin glasses started some thirtyyears ago, as a branch of the physics of disor-dered magnetic systems. In the late 1970’s andearly 1980’s it went through a period of intenseactivity, when experimental and theoretical physi-cists discovered that spin glasses exhibit new andremarkable phenomena. However, a real under-standing of the behaviour of these systems was notachieved and little progress was made in the nexttwenty years, especially in mathematical terms. Inthe 1990’s various related systems were studiedwith mounting success, most notably, neural net-works and random energy models. Since a coupleof years the field has again entered a phase of excit-ing development. Some of the main mathematicalquestions surrounding spin glasses are currentlybeing solved and a full understanding is at hand.In this paper we sketch the main steps in this de-velopment, which is interesting not only for thephysical and the mathematical relevance of thisresearch field, but also because it is an examplewhere scientific progress follows a tortuous path.

Acknowledgment. The authors are grateful to Aernout vanEnter (Groningen) for detailed comments on a draft ofthis paper.

1. Ferromagnets. Let us begin with a brief history of mag-netic materials. All matter is composed of a large numberof atoms. Atoms carry a spin, i.e., a microscopic “mag-netic moment” generated by the motion of the electronsaround the nucleus. This spin, which in turn generatesa microscopic magnetic field around the atom, can beviewed as a vector in three-dimensional space. To sim-plify matters, assume that for this vector only two op-posite directions are allowed, up and down. In ferromag-nets, materials capable of attracting pieces of iron placedin their vicinity, each spin has a tendency to align withthe spins in its neighbourhood. At high temperature, themotion of the spins is so erratic that at any time abouthalf of them are pointing up and half are pointing down.

Consequently, the net macroscopic magnetisation is zero,i.e., the individual microscopic magnetic fields generatedby the spins cancel each other out. As the temperatureis lowered, the erratic motion of the spins reduces andthe spins become more and more sensitive to their mu-tual interaction. The characteristic feature of ferromag-nets is that there is a critical temperature, Tc, below whichthe spins exhibit collective behaviour in that a majority ofthem point in the same direction (either a majority up ora majority down). This phenomenon is called spontaneousmagnetisation (see Figure 1).

0

m(T )

1

TTc

Figure 1: Spontaneous magnetization: the magnetisation m(T ) as afunction of the temperature T for a typical configuration of the spins;m(T ) is the difference between the number of up-spins and the numberof down-spins divided by the total number of spins. The characteristicfeature of ferromagnets is that there is a critical temperature, Tc , belowwhich the spins exhibit collective behaviour in that a majority of thempoint in the same direction (either a majority up or a majority down).By symmetry, configurations with the opposite magnetisation −m(T )

are equally likely.

Below Tc the individual microscopic magnetic fields sumup coherently to create a macroscopic magnetic field,which is what is ultimately responsible for the ferromag-net’s capability to attract iron. It is important to empha-size that this seemingly natural picture took a long timeto emerge – from 1895 (Curie) until 1944 (Onsager) – andthat the genius of many illustrious theoretical physicistsand mathematicians was necessary in order to fully es-tablish that this is what actually happens.

The microscopic theory that explains the collective be-haviour of atoms is called statistical physics. According to

∗present address: Laboratoire de Physique, ENS Lyon, 46 Allee d’Italie, 69364 Lyon Cedex 7, France

Frank den HollanderEURANDOM, P.O. Box 513,

5600 MB Eindhoven, TheNetherlands

&

Fabio ToninelliInstitut für Mathematik der

Universität Zürich,Wintherthurerstrasse 190,

CH-8057 Zürich, Switzerland

14 20/04 Tema

this theory, a system in equilibrium is described with thehelp of an energy functional, called Hamiltonian, whichassociates with each microscopic configuration of the sys-tem a macroscopic energy. In our case a configurationmeans a complete list of the orientations of all the spins.If the spins are located at the sites x in a macroscopic boxΛ, and if sx ∈ {+1,−1} denotes the value of the spin atsite x (+1 for up and −1 for down), then the configurationis

s = {sx: x ∈ Λ}

and the Hamiltonian of the ferromagnet is

H(s) = −∑

x,y∈Λ

x∼y

sxsy,

where x ∼ y means that x and y are neighbouring sites.Thus, each pair of neighbouring aligned spins gets en-ergy −1, each pair of neighbouring anti-aligned spinsgets energy +1. At a given temperature T , the state ofthe system is described by the Gibbs distribution associ-ated with H ,

µT (s) =1

ZTe−H(s)/kT , s ∈ {+1,−1}Λ,

where k is Boltzmann’s constant and ZT normalizes µT

to a probability distribution: µT (s) is the probability thatthe system assumes configuration s. When T is lowered,µT tends to concentrate more and more around the con-figurations having minimal energy, the so-called groundstates of the system. For the ferromagnet these groundstates are those configurations where all the spins havethe same value. Indeed, it is only when sx = +1 for allx or sx = −1 for all x that all terms in H(s) give a nega-tive contribution, leading to the maximal value for µT (s).This maximum is a pronounced peak when T is small,explaining why for low temperature in a typical configu-ration the majority of the spins is aligned.

2. Spin glasses. Now that we have briefly introducedsome important concepts from the theory of magnetism,we are in a position to explain what spin glasses are.Consider a system of spins, as before, but assume thatsome pairs of neighbouring spins prefer to be aligned,while the others prefer to be anti-aligned. The formerare said to have a ferromagnetic interaction, the latter ananti-ferromagnetic interaction. Say that for any given pairof spins the type of interaction is chosen randomly withequal probability. It is because of this randomness in theinteractions that such systems are called disordered.

In terms of the Hamiltonian, the above model can be de-fined as

H(s) = −∑

x,y∈Λ

x∼y

Jxysxsy,

where, for each x ∼ y, Jxy can be either +1 (indicat-ing a ferromagnetic interaction) or −1 (indicating an anti-ferromagnetic interaction), with probability 1

2 each. ThisHamiltonian was introduced in 1975 by Edwards andAnderson [8], in an attempt to describe a class of dis-ordered magnetic systems found a few years earlier byexperimental physicists and termed “spin glasses”. Ex-amples in this class are disordered magnetic alloys, i.e.,

metals containing random magnetic impurities, such asAuFe or CuMn.

What is the analogue in this case of the behaviour de-picted in Figure 1? Even at low temperature there is noreason why the majority of the spins should be aligned.Indeed, due to the equal competition between ferromag-netic and anti-ferromagnetic interactions the correspond-ing magnetisation m(T ) will be zero for all T . One mightthus conclude that the model simply has no critical tem-perature and therefore exhibits no interesting phenom-ena.

However, in the early 1970’s it was found experimen-tally, by Cannella and Mydosh [6] and by Tholence andTournier [19], that there still is a critical temperature be-low which the system undergoes an ordering transition, inthe sense that the spins act coherently in some sort of way(see Figure 2). This fact came as a surprise to the physi-cists.

0

χ(T )

TTc

Figure 2: The magnetic susceptibility χ(T ) as a function of the temper-ature T . χ(T ) measures the sensitivity of the system to the applicationof a magnetic field and shows a cusp at the critical temperature Tc. Thiscusp signals a freezing of the spins in random directions.

In simplified terms, what happens is the following.Above Tc, the spins behave essentially independentlyfrom one another, i.e., their orientation is hardly influ-enced by the spins in their neighbourhood. As a result,the typical configurations of the system are those that arecompletely disordered. This is true both for the ferro-magnet and for the spin glass. Below Tc, however, thespins show cooperative behaviour and can be found inmore than one class of typical configurations. In the caseof the ferromagnet described above, there are two classesof typical configurations, namely, those having magneti-sation +m(T ) and −m(T ), respectively. These classes ofconfigurations are called pure states. In the case of the spinglass, instead, there are many pure states, which are notcharacterised by a non-zero magnetisation, but rather bythe occurrence of many “mesoscopic domains” (micro-scopically large but macroscopically small) in which thespins show some form of “local magnetic order”. In fact,a whole “hierarchy” of such domains occurs. At presentit is not yet clear what the features of these domains pre-cisely are. The important point, however, is that the exis-tence of a transition at Tc is experimentally observable.

The Edwards-Anderson model is far too difficult to beanalysed theoretically in detail, even today. In fact, con-densed matter physicists have been disputing heatedly

1520/04Fysik og matematik

in the past three decades about what precisely happensat low temperature. In 1975 Sherrington and Kirkpatrick[15] introduced a simplified version of this model. Thedifference with the Edwards-Anderson model is that eachspin is influenced not only by its neighbouring spins, butby all the spins in the system. The corresponding Hamil-tonian reads

H(s) = −1

|Λ|1/2

∑

x,y∈Λ

x �=y

Jxysxsy,

where Jxy is +1 or −1, with probability 12 each, for all

x �= y (rather than for x ∼ y only), and a factor 1/|Λ|1/2 isadded to normalise the interaction. In statistical physicaljargon, the Sherrington-Kirkpatrick model is a mean-fieldapproximation of the Edwards-Anderson model. Strangeas it may seem, this type of approximation actually makesthe model easier.

For a history of spin glasses up to 1986, we refer to Binderand Young [2].

3. Replica symmetry breaking. The article by Sherring-ton and Kirkpatrick carried the rather innocent title “Asolvable model of a spin glass”. The authors never imag-ined that they were giving birth to one of the most excit-ing enigmas of modern statistical physics. The solutionthey proposed, assuming so-called “replica symmetry”,turned out to be incorrect, and even self-contradictory asthey themselves realised very well. It was only a fewyears later, in 1980, that the Italian theoretical physicistGiorgio Parisi [14] proposed a different solution, knownas the continuous replica symmetry breaking scheme, whichcould account for many of the experimental observations(both laboratory experiments and computer simulations).

Replica symmetry breaking theory predicts the exis-tence of a collective behaviour with many exotic features,never before observed in any physical system. In sim-ple words, Parisi’s theory predicts that the Hamiltonianof the Sherrington-Kirkpatrick model has many groundstates (growing in number as the volume of the systemincreases), which are highly disordered and which do notseem to be related to one another via simple transforma-tions. In contrast, recall that the ferromagnetic Hamil-tonian has only two ground states, one with all spinsup and one with all spins down, which are fully orderedand which are related to one another via a global in-version of all the spins. Moreover, it turns out that forthe Sherrington-Kirkpatrick model, by choosing a differ-ent realisation of the disorder (i.e., a different choice for therandom interactions Jxy = ±1, again with probability 1

2each), the new ground states in general have nothing todo with the old ones. Even more surprisingly, if the dis-order realisation is kept fixed but the volume of the sys-tem is increased, then the new ground states are not re-lated to the old ones either (“chaotic size dependence”).In spite of this extremely irregular situation, accordingto Parisi’s theory the collection of all the ground stateshas some regular, highly non-trivial, geometrical struc-ture, called ultrametricity, which is not modified when thedisorder realisation is changed. So, what distinguishesthe region above the critical temperature Tc from the onebelow, for the Sherrington-Kirkpatrick model? Suppose

that we take two copies – two replicas – of the system,with the same realisation of the disorder, and compute theoverlap between them, i.e.,

q(s(1), s(2)) =1

|Λ|

∑

x∈Λ

s(1)x s(2)

x ,

where s(1) and s(2) are the configurations of the first andthe second replica, respectively. Then, above Tc the over-lap is zero for typical configurations (typical with respectto the Gibbs distribution and the disorder realisation),while below Tc it can assume a range of non-zero randomvalues. This can be explained as follows. Recall that, atlow temperature, the Gibbs distribution is peaked aroundthe ground states of the system. Consequently, the con-figurations in the two replicas will each be very close toone of the ground states (not necessarily the same one),which causes a non-zero overlap. Due to the erratic na-ture of the ground states, the overlap does not have afixed value: it varies randomly with the ground states.

Replica symmetry breaking theory came as a shock to thephysics community, not only for the novelty of the phe-nomena predicted, but also for the way in which it waspresented. It happens frequently that theories formu-lated by physicists are not mathematically rigorous, andcontain a number of assumptions and simplifications thatneed to be justified. Often full mathematical proofs comeonly much later. Here the situation was more delicate:the works of Parisi and co-workers were not only non-rigorous, they were based on such strange and daringtechniques that it was hard to see how the relevant state-ments could be formulated in a proper mathematical lan-guage. This is why part of the mathematics communityhas regarded Parisi’s theory as somewhat magic. Still,the phenomena predicted by the theory were so appeal-ing, and its range of applications so wide, that it soon be-came a standard tool for theoretical physicists, who weremuch more excited by its power than worried by its lackof mathematical sense and precision. One could say thatParisi had discovered a new world.

A review of the results of replica symmetry breaking the-ory up to 1987 can be found in Mezard, Parisi and Vira-soro [12].

4. Towards a solution. The reader might wonder at thispoint whether all the excitement about the Sherrington-Kirkpatrick model is really justified. After all, it is onlyan approximate version of the more difficult – but morerealistic – Edwards-Anderson model, which remains un-solved. In fact, it is not yet clear how much we re-ally learn about the Edwards-Anderson model from adetailed analysis of the Sherrington-Kirkpatrick model.According to a scenario put forward by Newman andStein (see Newman [13]), the behaviour of the two mod-els may well turn out to be qualitatively different: themain phenomena related to replica symmetry breakingmay not occur in “short range” models like the Edwards-Anderson model. Still, the excitement is understandable.First, the study of the Sherrington-Kirkpatrick modelhas taught us a lot and continues to do so. In the at-tempts to understand this model, new ideas and tech-niques have been invented and further developed that

16 20/04 Tema

are extremely interesting and that have turned out to befruitful for other statistical physical models as well. Sec-ond – and more importantly – it has gradually becomeclear that the knowledge gained through the analysis ofthe Sherrington-Kirkpatrick model can be applied to avariety of – apparently unrelated – problems in mathe-matics, physics and engineering. These problems havetherefore come to be considered as belonging to the realmof spin glasses. Examples are neural networks (modelsfor memory and learning), error correcting codes (usedin communications engineering to recover the informa-tion transmitted through a noisy channel) and randomcombinatorial optimisation (problems of decision in thepresence of many mutually competing requirements).

From the moment the replica symmetry breaking the-ory came into being, trying to prove – or to disprove –the predictions of Parisi and co-workers became an ex-citing challenge for many among the best mathematicalphysicists. The task proved to be quite hard and frus-trating, and for almost years progress was painfully slow.Much effort was devoted to the search for and the studyof mathematical models that would be easier than theSherrington-Kirkpatrick model, but that would still ex-hibit replica symmetry breaking effects. In particular,the Generalized Random Energy Model, introduced byDerrida [7] in 1985, shows striking similarities with theSherrington-Kirkpatrick model, yet is exactly solvable.The structure of the Gibbs distribution in this model hasbeen analysed in full mathematical detail by Bovier andKurkova [4]. Similarly, extensive rigorous results havebeen obtained by Bovier, Gayrard and Picco for the Hop-field model of neural networks (see [3] and referencestherein). The latter is a paradigm for auto-associativememory, i.e., systems that try to recognize words – or pat-terns – that were previously memorized. In this case, thespins should be interpreted as the states of the neuronslocated at the various sites: sx = +1 if the neuron at site xis sending electric pulses, sx = −1 if it is not. When vary-ing the number of memorized patterns, the behaviour canrange from a ferromagnetic type to a spin glass type. Foran overview of the expanding panorama of spin glassesup to 1998, see Bovier and Picco [5].

It gradually became clear – more through failures thanthrough positive results – that completely new ideaswere needed to make significant progress in the com-prehension of replica symmetry breaking. It is onlyin the last few years that we are witnessing a rapidand unexpected boost in the mathematical understand-ing of the key questions. Surprisingly, the missing newideas turned out to be relatively simple, although theywere very hard to find. The first steps in this break-through were taken in 2000-2002 by the Italian mathemat-ical physicist Francesco Guerra [10], together with FabioToninelli [11], building on earlier work by Ghirlandaand Guerra [9]. As a result, some of the mathematicalquestions that had been tackled in vain in the precedingtwenty years could finally be solved. One important re-sult is the existence of the “thermodynamic limit” for theSherrington-Kirkpatrick model. This means that phys-ical quantities, like the energy of the ground states di-vided by the volume of the system, converge to a welldefined limit when the volume of the system tends to

infinity. The proof of this fact is quite standard in sta-tistical physics for models with “short range” interac-tions, but it is not for mean-field models, especially notfor disordered ones. Another important result is thatwith the help of certain rigorous comparison identities– so-called sum rules – the thermodynamic properties ofthe Sherrington-Kirkpatrick model can be compared withthe corresponding expressions given by Parisi’s theory.These sum rules concern the free energy f(T, |Λ|) as a func-tion of the temperature T and the volume |Λ|, a quantityof central importance in statistical physics, from which allthermodynamic properties of the system can be deduced.This free energy is related to the Gibbs distribution µT

via the relation f(T, |Λ|) = −kT log ZT . The result is thatf(T, |Λ|) can be related to the free energy predicted byParisi’s theory via an identity of the type

4f(T, |Λ|) = fParisi(T, |Λ|) + R(T, |Λ|),

where R(T, |Λ|) is an “error term”. Proving the va-lidity of Parisi’s theory is equivalent to showing thatR(T, |Λ|)/|Λ| tends to zero in the thermodynamic limit|Λ| → ∞. A particularly important fact is that R(T, |Λ|)turns out to be non-negative, so that Parisi’s free energyat least is a lower bound for f(T, |Λ|), a fact that itself isrich in physical implications (see Toninelli [20]). Subse-quently, Aizenman, Sims and Starr [1] obtained Guerra’ssum rules through a general variational principle andshowed that Parisi’s free energy arises from a restrictionof this variational principle to “ultrametric structures”.This restriction is optimal precisely when replica symme-try breaking theory correctly describes the Sherrington-Kirkpatrick model.

These new ideas provoked great excitement in the scien-tific community, and new feverish work began. The lastpart of this story is still in progress and is keeping theexcitement high. In July 2003 the French mathematicianMichel Talagrand, who has been working on the prob-lem intensively and who has introduced many new ideasin this field since the mid 1990’s (see [16]), announced(see [17]) that he was able to complete the mathemati-cal proof of Parisi’s solution, extending the method ofsum rules invented by Guerra. The details of the proofwere made public only in April 2004 [18] and will be pub-lished in 2005. It is not hard to imagine the impressionthis announcement has produced on the experts. It seemsthat the full mathematical justification of Parisi’s theory,explaining the mysterious features of the Sherrington-Kirkpatrick model, is finally at hand. Currently, researchin this rapidly evolving field is being carried out by anumber of groups, including the Random Spatial Struc-tures group at EURANDOM, the European institute forresearch on stochastic phenomena located at the Techni-cal University of Eindhoven, The Netherlands.

Fabio Toninelli worked as a postdoc in the RSS pro-gramme at EURANDOM. Frank den Hollander is super-visor of the RSS-group and scientific director of EURAN-DOM.

1720/04Fysik og matematik

References

[1] M. Aizenman, R. Sims and S. Starr, An extended vari-ational principle for the SK spin-glass model, Phys. Rev.B68 (2003) 214403.

[2] K. Binder and A.P. Young, Spin glasses: Experimen-tal facts, theoretical concepts, and open questions,Rev. Mod. Phys. 58 (1986) 801–976.

[3] A. Bovier and V. Gayrard, Hopfield models as gen-eralized random mean field models, in: [5], pp. 3–89.

[4] A. Bovier and I. Kurkova, Rigorous results on somesimple spin glass models, Markov Proc. RelatedFields 9 (2003) 209–242.

[5] A. Bovier and P. Picco (eds.), Mathematical Aspects ofSpin Glasses and Neuronal Networks, Progress in Prob-ability 41, Birkhauser, Basel, 1998.

[6] V. Cannella and J.A. Mydosh, Magnetic ordering ingold-iron alloys, Phys. Rev. B6 (1972) 4220–4237.

[7] B. Derrida, A generalization of the random energymodel which includes correlations between ener-gies, J. Physique Lett. 46 (1985) L401–L407.

[8] S.F. Edwards and P.W. Anderson, Theory of spinglasses, J. Phys. F: Metal Phys. 5 (1975) 965–974.

[9] S. Ghirlanda and F. Guerra, General properties ofoverlap distributions in disordered spin systems. To-wards Parisi ultrametricity, J. Phys. A31 (1998) 9149–9155.

[10] F. Guerra, Broken replica symmetry bounds in themean field spin glass model, Commun. Math. Phys.233 (2003) 1–12.

[11] F. Guerra and F.L. Toninelli, The thermodynamiclimit in mean field spin glass models, Commun.Math. Phys. 230 (2002) 71–79.

[12] M. Mezard, G. Parisi and M.A. Virasoro, Spin GlassTheory and Beyond, World Scientific, Singapore, 1987.

[13] C.M. Newman, Topics in Disordered Systems, Lecturesin Mathematics, ETH Zurich, Birkhauser, Basel,1997.

[14] G. Parisi, The order parameter for spin glasses: afunction on the interval [0, 1], J. Phys. A13 (1980)1101–1112.

[15] D. Sherrington and S. Kirkpatrick, A solvable modelof a spin-glass, Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 1792–1796.

[16] M. Talagrand, Spin Glasses: A Challenge for Math-ematicians, Ergebnisse der Mathematik und ihrerGrenzgebiete 46, Springer, Berlin, 2003.

[17] M. Talagrand, The generalized Parisi formula, C. R.Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003) 111–114.

[18] M. Talagrand, The Parisi formula, to appear in Ann.Math.

[19] J.L. Tholence and R. Tournier, Susceptibility andremnant magnetization of a spin glass, J. Phys.(Paris) Colloq. 35 (1974) C4, p. 229–235.

[20] F.L. Toninelli, About the Almeida-Thouless transi-tion line in the Sherrington-Kirkpatrick mean fieldspin glass model, Europhys. Lett. 60 (2002) 764–767.

18 20/04 Tema

Indledning

Samspillet mellem matematik og fysik opfattes ofte somen ”anvendelse” af et stykke færdigudviklet matematikindenfor fysik, en anvendelse hvis effektivitet Eugin Wig-ner i 1960 betegnede som ”unreasonable”. Det urimeligeskulle bestå i at matematik, som er undfanget af den ube-smittede menneskelige tanke, kan bruges til at beskriveden fysiske natur og endog forudsige dens virkemåde.En historisk analyse af vekselvirkningen mellem de tofag viser imidlertid at matematik og fysik i historiens løbhar vekselvirket på mere nuancerede måder end ideenom ”anvendelse” af matematik i fysik lader ane. Veksel-virkningen har i de fleste tilfælde været meget mere in-tim, idet mødet mellem fagene har beriget dem begge ogofte har været afgørende for begges videre udvikling. Detkan ikke afvises at der findes eksempler på at ren mate-matik har vist sig umiddelbart anvendelig inden for engren af fysikken, i stil med den rene talteoris anvendelsei kryptografi, men det hører til sjældenhederne. Oftestvil ufærdig matematik og ufærdig fysik mødes og underen kompliceret proces berige hinanden så der til sidstfremkommer en tilfredsstillende matematisk beskrivel-se (model, forklaring) af det fysiske fænomen eller om-råde.

I denne artikel vil jeg fremdrage nogle eksempler pådenne proces. I de fleste tilfælde vil jeg fokusere på hvor-dan matematikken er blevet påvirket af mødet med fy-sik. Andre artikler i dette nummer af Matilde giver ek-sempler på hvad fysik kan få ud af mødet.

Jeg vil især hente eksemplerne fra min egen forskningi Liouvilles matematik (1809-1882), Hertz’ mekanik (1894)og distributionsteoriens forhistorie (?-1950)

Liouvilles matematik

Liouville blev bl.a. ved École Polytechnique opdraget ien matematiktradition, hvori de vigtigste emner var ud-sprunget direkte af fysiske problemstillinger. Han tilslut-tede sig med glæde denne tradition og understregedesenere i livet at de fleste vigtige matematiske disciplinerstår i stor gæld til fysikken, især mekanikken. Han bi-drog som bekendt selv meget til videreudvikling af denanalytiske mekanik og andre oplagt fysisk inspireredediscipliner som potentialteori, og selv hans bidrag til mere”rene” matematiske områder var ofte direkte eller indi-rekte udsprunget af fysik. For eksempel beviste han sinsætning om konforme afbildninger af rummet i forbin-delse med en analyse af William Thomsons (Lord Kel-vins) ideer om elektriske billeder. Liouville udvikledeogså en meget interessant, men for størstedelen upubli-ceret spektralteori for en speciel type integraloperatorer,

En Videnskabelig duo:

Matematikkens samspilmed fysik 1809 – 19501

som var direkte inspireret af hans arbejde med ligevægts-figurer for roterende væskeplaneter.

Mere overraskende er det måske at Liouvilles teori fordifferentiation af arbitrær orden, d.v.s. af ikke-heltalligorden, havde sine rødder i fysik. Hans notesbøger afslø-rer at han udviklede teorien for at kunne løse visse inte-gralligninger, som er principielt vigtige i det fysiske forsk-ningsprogram, som Laplace havde lanceret. Laplace hav-de foreslået, at ligesom himmellegemernes bevægelserkunne forklares ud fra Newtons gravitationskræfter mel-lem materiens dele, så skulle alle andre fysiske fænome-ner forklares ved fjernkræfter mellem disse dele og even-tuelle vægtløse fluida. I tråd hermed havde Ampère fore-slået at elektrodynamiske kræfter skulle kunne føres til-bage til en elementarkraft mellem to infinitesimale leder-elementer. Liouville, som var Ampères studerende, på-pegede at hvis størrelsen af denne elementarkraft skaldeduceres fra makroskopiske eksperimenter, blev manledt til en integralligning, som kunne løses ved differen-tiation af ikke-heltallig orden. Det fysiske udgangspunktfor Liouvilles teori viser sig i den færdige teori, bl.a. vedat definitionen af de ikke-heltallige afledede kun virkerefter hensigten, hvis de betragtede funktioner går modnul i uendeligt, sådan som kræfter og potentialer gør.

Eksemplet viser at noget så uhåndgribeligt som et fy-sisk forskningsprogram (her den Laplacianske fysik) kanhave direkte indflydelse på hvilke matematiske teorierder udvikles og endog på teoriernes udformning.

Et knapt så overraskende, men langt vigtigere eksem-pel på et stykke fysiskinspireret matematik er den teorifor differentialligninger, som Liouville udviklede i sam-arbejde med sin ven Sturm, og som senere kom til at bæ-re deres navne. De var begge stærkt interesserede i Fou-riers og Poissons teori for varmeledning i homogene ma-terialer (og den dertil udviklede teori for trigonometri-ske rækker) og forsøgte at generalisere teorien til varme-ledning i heterogene materialer. I det generelle tilfældekunne de dog ikke finde brugbare eksplicitte udtryk forløsningerne (egenfunktionerne), hvorfor de måtte ”nøjes”med, ud fra selve ligningen, at undersøge kvalitative egen-skaber ved løsningerne, så som antallet og opførslen afderes nulpunkter (Sturms sammenlignings- og oscilla-tonssætninger)2. På grundlag af Sturms resultater lykke-des det for Liouville at bevise konvergensen af den gene-raliserede Fourierrække for en ”arbitrær” funktion.

Det var således generaliteten af det fysiske problem,som tvang de to venner til at tage et stort skridt hen imoden kvalitativ teori for differentialligninger. En sådan ud-vikling fra en formelbaseret kvantitativ matematik henmod en mere kvalitativ begrebsorienteret matematik er

Af Jesper LützenMatematisk afdeling, KU

email: lutzen@math.ku.dk

1920/04Fysik og matematik

ofte blevet fremhævet som et vigtigt kendetegn ved ma-tematikkens udvikling i 1800-tallet. Vi ser altså her et ek-sempel på at en fysisk teori har været medvirkende til etfundamentalt kursskifte i matematikken.3

Hertz’ mekanik

I løbet af 1800-tallet forskød det matematiske tyngde-punkt sig mod Tyskland, hvor en neohumanistisk opfat-telse af matematik som et produkt af den menneskeligeånd overskyggede matematikkens anvendelighed. Detførte til en større opsplitning mellem ren og anvendtmatematik, som dog nok er blevet overdrevet af mangematematikhistorikere. For selv om matematikken opnå-ede en større autonomi i forhold til sine anvendelser, såvedblev anvendelser, og især anvendelser i fysik, at væ-re en stor inspirationskilde for matematikken. Når detfor eksempel ofte fremstilles, som om ikke-euklidisk ogRiemannsk geometri kom til verden som resultat af enren matematisk analyse af aksiomssystemet for geome-trien og især parallelaksiomets stilling, giver det et heltskævt billede af det faktiske historiske forløb. De centra-le aktører i historien: Gauss, Lobachevski, Riemann ogHelmholtz var ikke interesserede i aksiomssystemer, menville undersøge det fysiske rums natur, ved først at un-dersøge de matematisk mulige geometrier for dernæstempirisk at undersøge, hvilket rum vi virkelig lever i.

Da den ny ikke-euklidiske geometri i sin riemannskedifferentialgeometriske form blev alment kendt omkring1870 benyttede matematikere som Lipschitz og Darbouxden øjeblikkeligt til en ny differentialgeometrisk formu-lering af mekanikken. Også her gav den ny fysiske situa-tion anledning til indførelse af ny matematiske begreberog resultater. Også fysikeren Heinrich Hertz tog (stort setuafhængigt af sine matematikkolleger) et lignende skridt.I de sidste tre år af sit liv skrev han bogen Prinzipien derMechanik (1894), hvori han formulerede et grundlag formekanikken, som ikke opererede med kræfter eller ener-gi som fundamentale begreber, og som var formuleret idifferentialgeometriske termer. I indledningen til bogenskrev Hertz at den matematiske form og det fysiske ind-hold af bogen i princippet er uafhængige af hinanden,om end de gensidigt støtter hinanden. Hans efterladtenoter og kladder til bogen afslører dog, at medens Hertzarbejdede med bogen smittede matematikken og fysik-ken af på hinanden på mere afgørende vis end den færdi-ge bog lader ane. Et sted, hvor fysikken smittede afgø-rende af på den matematiske form var i Hertz’ definitionaf ”den reducerede komponent af en vektorstørrelse i engiven retning”. Dette begreb, som svarer til den covari-ante komponent af vektoren, indførte Hertz i sine manu-skripter fordi han ønskede at Lagranges og Hamiltons lig-ninger skulle have det sædvanlige udseende. Her er altsået eksempel på at et vigtigt differentialgeometrisk begrebblev indført af fysiske årsager.

Det modsatte findes der også eksempler på i Hertz’mekanik. For eksempel opstillede Hertz et billede (enmodel) af materien som bestående af uendelig små ensmassedele. Filosoffer har været interesserede i dette bil-lede af materien, fordi det senere blev inspirationskildetil visse elementer i Wittgensteins Tractatus. Nu viserHertz’ kladder at de infinitesimale massedele blev ind-ført fordi de tillod Hertz at udlede det for ham så funda-

mentale ikke-euklidiske linieelement i konfigurations-rummet ud fra den euklidiske afstand mellem massede-lene. Massedelene blev altså indført for at få den mate-matiske formalisme til at passe.

Hertz indførte nok den differentialgeometriske forma-lisme i konfigurationsrummet fordi den tillod ham at be-handle mekaniske systemer under ét på linie med densædvanlige behandling af en enkelt punktmasse. Mensom indførelsen af massedelene viser, virkede den mate-matiske formalisme tilbage på det fysiske billede. Hertz’billede af materien fik ikke nogen betydning for fysik-kens videre udvikling, men der er mange betydningsful-de eksempler på at den matematiske formalisme ud overat levere et kvantitativt sprog til at formulere sammen-hænge mellem fysiske størrelser også er medvirkende veddannelsen af de fundamentale størrelser og begreber. Ja,bortset fra begreberne tid, sted og masse er de fleste fysi-ske størrelser nok begrebsliggjort eller i hvert fald kvan-tificeret med matematikkens hjælp. Selv et begreb somhastighed blev først et brugbart kvantificeret begreb i sam-menhæng med differentialregningens udvikling, og ener-gibegrebet blev først dannet efter at matematiske fysike-re havde opdaget at newtonske kræfter kunne deduceressom gradienten af et potential. I begyndelsen var poten-tialet blot en matematisk hjælpestørrelse, men gradvistog især takket være Helmholtz skiftede den karakter (ogfortegn) og blev til en potentiel energi, som sammen medvarme mm. udgjorde en bevaret størrelse: energi.

Distributionsteori

Indtil ca. 1900 var matematik filosofisk set tæt koblet tilvirkeligheden. Platon betragtede matematik som en be-skrivelse af den ideelle virkelighed, Aristoteles betragte-de den som en abstrakt beskrivelse af virkeligheden me-dens Kant argumenterede for at matematik var en a pri-ori forudsætning for vores beskrivelse af virkeligheden.Men bl.a. som følge af opdagelsen af den ikke-euklidi-ske geometri opstod den formalistiske matematikfiloso-fi, ifølge hvilken matematik beskæftiger sig med logiskededuktioner fra et sæt konsistente men i øvrigt vilkårligtvalgte aksiomer. Matematikken blev dermed i princip-pet helt uafhængig af den virkelighed, som fysikken prø-ver at beskrive. Det var først i denne forbindelse at detfaldt nogen ind at undre sig over ”the unreasonable ef-fectiveness of mathematics”.

Der ligger givetvis et dybt filosofisk problem begra-vet i denne effektivitet, men jeg mener man overspillerproblemet, hvis man ud fra en formalistisk matematikfi-losofi slutter at matematikken i det 20. århundrede harudviklet sig ubesmittet af den omgivne verden og viden-skab. Matematiske aksiomssystemer og strukturer bliverjo ikke til ved at en matematiker opfinder dem vilkårligt.De er en del af den dynamik som driver matematikkenvidere, hvor samspil med andre fag ikke mindst fysik sta-dig spiller en væsentlig rolle. Som et eksempel kan næv-nes distributionsteoriens tilblivelse.

Allerede i 1822 i forbindelse med sit studium af var-meledning ombyttede Fourier integration og summationi udtrykket for Fourierrækken for en vilkårlig funktionog konkluderede derfra, at funktionen

1

π

(1

2+

∞∑n=1

cos nx

)

20 20/04 Tema

havde den egenskab, at hvis den blev ganget med f(x) ogintegreret mellem - og ville resultatet blive f(0). Efterat uendelige størrelser og divergente rækker blev heltbandlyst i matematikken og det nu accepterede funkti-onsbegreb blev generelt accepteret, måtte en sådan funk-tion imidlertid afvises. Da Darboux udgav Fouriers sam-lede værker tilføjede han således en fodnote, hvori hanerklærede at den ovenstående sum ikke havde nogenmening.

Funktioner med lignende egenskaber dukkede dog opi forskellige områder af fysikken. I ellæren var det sværtat undgå sådanne funktioner i forbindelse med punkt-ladninger og mere generelt i forbindelse med Greens funk-tion. Kirchhoff indførte eksplicit funktionen i 1882 og denindgik centralt i Heavisides analyse af telegrafi og elek-triske netværk. Her blev den defineret som den aflededeaf Heavisides stepfunktion. Sit navn fik funktionen dogførst i 1926 af Dirac, som benyttede den på afgørende vis

i sin fremstilling af kvantemekanikken. Alle disse anven-delser af deltafunktionen skete dog uden for den etable-rede matematik. Ja, von Neumann nævner selv at det vardenne funktions illegitimitet, som ansporede ham til atudvikle sin egen version af kvantemekanikken.

Laurent Schwartz var som bekendt den første somfandt en legitim indførelse af deltafunktionen inden fordistributionsteorien. Han var dog nok så meget inspire-ret til sin udvidelse af funktionsbegrebet af overvejelseromkring generaliserede løsninger til differentialligninger.I klassisk stringent analyse kan f(x – t) kun være løsningtil bølgeligningen, hvis f er to gange differentiabel. Detteer uheldigt, da man jo sagtens kan forestille sig bølgermed kanter. Fra slutningen af 1800-tallet opstod der der-for forskellige metoder til at generalisere løsningsbegre-bet, så også ikke-differentiable funktioner kan siges atvære løsninger til for eksempel bølgeligningen.

Schwartz fortæller i sin selvbiografi at han ikke varhelt tilfreds med de eksisterende generalisationer, fordidet forblev et mysterium hvad de afledede af funktioner-ne var. Det var dette spørgsmål han fik afklaret med sindistributionsteori udviklet i perioden 1945 – 50.

Hvor problemerne, som ledte til distributionsteoriensåledes bl.a. kom fra fysik så kom løsningen fra den net-op udviklede funktionalanalyse. Denne teori var nokudviklet som en ren matematisk disciplin, om end an-

vendelsen af Hilbertrum inden for kvantemekanikkengivetvis havde givet feltet ekstra liv. Men som det oftesker, viste anvendelsen af funktionalanalysen inden fordistributionsteorien sig at åbne nye veje inden for denanvendte disciplin (funktionalanalyse). Dieudonné påpe-gede nemlig over for Schwartz, at det ville være ønsk-værdigt, hvis han kunne udlede det limesbegreb, hanhavde indført i distributionsrummene, fra en egentlig to-pologi. Det gav ophav til L-F topologierne.

Igen ser vi hvordan fysikken (her ellære, kvanteme-kanik og bølgeudbredelse) gav anledning til fundamen-tale matematiske begreber.

Konklusion

I de godt 100 år, der gik mellem Liouville og Schwartz,ændredes samspillet mellem matematik og fysik sig bå-de sociologisk og filosofisk. Sociologisk set er det værd

at bemærke at medens 1800-tallets videnskabsmandmeget ofte var matematiker og fysiker i samme person,så blev det matematiske og det fysiske samfund stort setdisjunkte i det 20. århundrede. For eksempel tilbragteFourier megen tid i laboratoriet, hvor han eksperimente-rede med de varmeledningsfænomener, hvis matemati-ske beskrivelse ledte ham til Fourier-rækker og deltafunk-tionen, hvorimod Schwartz kun kendte de fysiske pro-blemer på anden hånd. Filosofisk set havde matematik-ken på Liouvilles tid sin rod i virkeligheden, medens denpå Schwartz’ tid var helt frigjort fra virkeligheden. Alli-gevel fortsatte det komplicerede samspil mellem de tofag gennem hele perioden i en form, som var til stor gavnfor dem begge. Denne gensidige berigelse er utvivlsomten afgørende forudsætning for matematikkens effektivi-tet i naturbeskrivelsen.

Noter

1 Artiklen er en forkortet udgave af forfatterens tiltrædel-sesforelæsning

2 Det kan nævnes at Sturms sætning om antallet af reellerødder af et polynomium på et interval også var et resul-tat af disse undersøgelser. Den kan opfattes som en di-skret udgave af Sturm’s oscillationssætning.

3 Senere skubbede problemet om solsystemets stabilitet isamme retning.

Heinrich Hertz Joseph Liouville Laurent Schwartz

π π

2120/04

Uddannelsesfronten

ved Carl Winsløw

Universiteternes egen undervisning – af kommende generationer af forskere, lærere osv. –er i stigende grad på den politiske dagsorden. Er kvaliteten god nok? Kan den gøresbedre?

Denne udgave af Matilde bringer to markante synspunkter, som nok skal sætte debatten igang blandt læserne – også gerne her i bladet.

Der er ikke mange, der beskæftiger sig med undervis-ning og som betvivler nytten af de sædvanlige, daglig-dags, pragmatiske diskussioner med kolleger angåendekonkrete forbedringer af konkrete undervisningsaktivi-teter.

Men det forekommer mig, at spørgsmålet i titlen i deseneste adskillige år i stigende grad stilles i andre kredse,nemlig først i medierne og derefter som konsekvens i denpolitiske arena. Dette er der i og for sig ikke noget i vejenmed hvis det ikke var for den simple kendsgerning, atselvom spørgsmålet så ofte stilles i disse nye kredse, såhører man yderst sjældent de oplagte, skeptiske mod-spørgsmål stillet, om der nu også er noget reelt problem medundervisningen, og i så fald hvorledes dette kunne kon-stateres med objektive, empiriske metoder. At disse mod-spørgsmål ikke stilles er symptom på en tiltagende poli-tisering af diskussionen, som finder sted af de oplagtegrunde: Tøjles diskussionen ikke af konfrontation medvirkeligheden, er det let for politikere eller andre refor-matorer at score billige points med simple, men dyre, ‘hov-sa-løsninger’ på reelle eller indbildte problemer, - løsnin-ger hvis virkningsløshed eller måske endda skadelighedførst konstateres længe efter, at de pågældende har truk-ket sig tilbage for at nyde deres (velfortjente?) pensioner.

Netop derfor er det så vigtigt snart at bringe nogetmere empiri ind i diskussionen. Jeg vil her kort give nog-le simple eksempler på, at konfrontation med eksisteren-de, empiriske data meget vel kan føre til konklusioner,der strider mod antagelser, der ofte implicit gøres udendiskussion.

Af: Ian Kiming, MatematiskAfdeling, Københavns Universitet,

kiming@math.ku.dk

Hvorledes kan kvaliteten afuniversitetsundervisningenforbedres?

Der resulterer et konkret bud på en mulig strategi tilforbedring af undervisningens kvalitet på universiteter-ne.

‘Direct Instruction’ versus ‘DiscoveryLearning’

Direct Instruction (DI) og Discovery Learning (DL) er 2velkendte undervisningformer: DI er essentielt den klas-siske forelæsningsform, selvom også f.eks. selvstudiumpå grundlag af bøger og med vejledning må opfattes somDI. Derimod er DL den undervisningsmetode, der be-står i, at elever/studerende med mere eller mindre hjælpselv genopdager det stof, der skal læres. Det har længeværet kendt, at DL er betydeligt mindre effektiv i denforstand, at det nødvendige tidsforbrug er langt størreend hvis opgaven løses via DI. Men den klassiske på-stand - baseret på diverse ideologisk funderede teorier -er nu, at selvom DL koster flere resurser, så er disse godtgivet ud, idet elever, der har lært et stof via DL, vil værelangt bedre til at løse nye problemer, end hvis de havdelært lektien via DI.

Denne klassiske påstand er forkert: Psykologerne D.Klahr og M. Nigram påviste for nyligt i et eksperiment,se [5], at DI og DL er ækvivalente hvad angår den opnåedeevne til at løse nye problemer. Således kan det betydeligtstørre resurseforbrug ved DL ikke retfærdiggøres.

I en tid med politiske krav om effektivisering af un-dervisningen lyder en nødvendig konklusion derfor:Færre projekter af den type hvor de studerende skal ‘gen-

22 20/04

opdage’ stoffet; flere klassiske fore-læsninger i stedet for.

Studenterevalueringer

Så ofte som undervisningens kva-litet diskuteres, kan det undre, atdet tilsyneladende er antaget somaksiom, at undervisningens kvali-tet ikke skal måles ved at måle un-dervisningens kvalitet (hvornår harvi sidst hørt forslag om ‘Universi-tets-PISA’???), men ved at målehvad de studerende mener/føler, atdenne kvalitet er. Jeg taler naturligvis om brugen af stu-denterevalueringer som definerende for undervisningenskvalitet.

Det har længe været kendt, at dette mål delvist hæn-ger på subtile psykologiske strukturer, der har lidet at gøremed objektive mål af undervisningens resultater: Psyko-logen S. J. Ceci påviste i et kontrolleret eksperiment, se[1], at resultaterne af studenterevalueringer kan forbed-res dramatisk ved brug af så billige tricks som større arm-bevægelser og stemmeudsving (i bogstavelig forstand), -vel at mærke uden, at de studerendes niveau som målt vedeksamensresultater havde ændret sig signifikant.

Et andet interessant empirisk studie [4] påviser enpositiv korrelation mellem gode studenterevalueringer ogforelæserens fysiske attraktivitet, - hvor korrelationen in-teressant nok er større for mandlige forelæseres vedkom-mende end for kvindelige.

Behøver vi at tænke ret længe, før vi indser hvor ab-surd det ville være at gøre studenterevalueringer til etvægtigt kriterium ved stillingsbesættelser?

For at citere Ceci og Williams i slutningen af [1]: ‘To-day, all instructors would be well advised to ask their studentsfrequently, “How’m I doing?” and listen carefully to the an-swer. As in politics, however, the answer may have more to dowith style than substance’.

Ovenstående problemer til trods vil universiteternenok længe endnu være underkastet brugen af studenter-evalueringer som mål for undervisningens kvalitet. Omvi vil eller ej, er dette det evolutionstryk, vi lever under.Spørgsmålet er så naturligvis hvordan vi bedst håndtererdette tryk. Lad os se bort fra mere useriøse forslag såsomobligatoriske kurser i showmanship for forelæsere ellersponserering af kosmetiske operationer til mandlige fore-læsere.

Nye ideer kan fås ved at betragte undersøgelsen [3] afpsykologerne A. G. Greenwald og G. M. Gillmore: I un-dersøgelsen gives først empirisk belæg for en påstand omen betydelig, positiv korrelation mellem studenternesevalueringer og deres opnåede karakterer. Men Green-wald og Gillmore går videre og diskuterer mulige forkla-ringer på eksistensen af denne korrelation; de identifice-rer 2 sådanne, nemlig for det første ‘mildhed i karakter-givningen’. Udnyttelse af denne faktor kan ske på for-skellige måder, eksempelvis via den gode gamle og vel-afprøvede metode, der består i niveausænkninger.

Nu forekommer det mig imidlertid, at denne metodespotentiale er ved at være udtømt, - medmindre man daer indstillet på at tage en egentlig afvikling af universite-

terne som universiteter i klassisk for-stand med i købet.

Men vi kunne da se på den an-den faktor fra Greenwald og Gill-more, nemlig faktoren ‘den stude-rendes forventede karak-ter’(forventet på grundlag af denpågældendes tidligere opnåedekarakterer), der vises også atudvise en ikke-triviel, positivkorrelation med evalueringen.En mulig forklaring herpå ly-der, at studerende med en højforventet karakter bedre er istand til at værdsætte kurser

og som følge heraf tenderer til at give bedre evalueringer.

Forskning og undervisning

Denne forklaring er også konsistent med et andet ekspe-rimentelt resultat, nemlig den meget høje korrelationmellem forsknings- og undervisningsmæssig kvalitet(‘Research Assessment Exercise’ versus ‘Teaching Quali-ty Assessment’), der er fundet på gamle universiteter iUK: Vi citerer fra [2]: ‘... this paper examines the relati-onship between teaching quality assessment (TQA) sco-res, reputational factors and resourcing indicators. Theanalysis identifies a significant correlation between TQAscores, student entry standards and research assessmentexercise (RAE) results. A principal component analysisof this data identifies a high multi-collinearity betweenthese variables, such that the reputational factors (stu-dent entry standards and RAE results) exhibit the hig-hest loadings’.

Det er korrekt, at dersom man ikke kun ser på situati-onen på de gamle universiteter, men mere generelt, daskrumper korrelationen mellem forsknings- og undervis-ningsmæssig kvalitet betragteligt ind til en positiv, menbeskeden korrelation r = 0.10. Der er en simpel, muligforklaring på dette, som jeg dog vil overlade til læserenselv at finde (ja, ja, det er discovery learning, men jeg harikke fået plads nok til også at gå ind på dette punkt).

Tilbage står dog under alle omstændigheder på bund-linien, at der udover de ovennævnte mere eksotiske egen-skaber ved underviseren, som påviseligt har betydningfor undervisningens kvalitet (således, som det er os på-lagt at måle/definere den), mig bekendt i dag ikke kendesnogen anden egenskab ved forelæseren af betydning for under-visningens kvalitet end vedkommendes forskningsmæssige sta-tus.

Har jeg som mindre velbevandret i den didaktiske lit-teratur overset noget her, modtager jeg meget gerne enkorrektion, - hvor naturligvis min interesse for en sådankorrektion stiger med omfanget af understøttende, em-piriske data.

En optimal strategi

Der resulterer af det ovenstående klare anbefalinger an-gående optimal strategi for universiteter, der ønsker for-

forsættes s. 23

2320/04

KUs vej tilkvalitet iuddannelserne

Skal det være en nyhed? Eller en vits?

Nej, overskriften refererer til et nyligt udviklingsprojektpå Københavns Universitet, en såkaldt ‘auditering’ (sehttp://www.ku.dk/auditering). Som så ofte før har viher et engelsk ord, der i oversættelsen til dansk har fåeten meget specifik betydning, nemlig ‘evaluering af kva-litetssystemer’. I denne omgang fik begrebet endda end-nu en stramning, idet processen med hovedvægten påuddannelsessiden har skullet evaluere styrker og svag-heder ved ‘kvalitetskontrolarbejdet’ på KU. Der blev altsåikke fokuseret på forskning, ejheller på administration,bortset fra de administative aspekter af uddannelses-drif-ten.

Før vi kaster os ud i at vurdere processen - og specielthvordan det kan tage sig ud for matematikundervisnin-gen og -uddannelserne - et par ord om hvad der konkretblev gjort: KU dannede en 15-20 arbejdsgrupper som hverbidrog med en delrapport om et specifik side af uddan-nelses-driften til en selvevalueringsrapport. Delrappor-terne drejede sig fx om hvordan et bestemt studienævnforholder sig til undervisningens kvalitet, eller hvordanKU håndterer uddannelsen af underviserne. Den resul-terende selvevalueringsrapport gik til et internationaltpanel, som efter en besøgsrunde udarbejdede en egentligauditeringsrapport med et stort antal observationer ogforslag.

Og nu er det så op til KU at beslutte sig for hvordanreaktionen konkret skal se ud.

Sådan en proces betjener sig af ganske mange nye ord,

og det er fristende at stille sig skeptisk an. Spørgsmål som‘Hvad er kvalitet i universitetsundervisning?’ melder signemt. Og skeptisk kan man forundre sig over om sådannoget kan måles, hvis det overhovedet kan identificeres?

Lad det være sagt straks: begrebet ‘kvalitet’ er lidt li-gesom begrebet ‘hund’: ikke nemt at definere, men hellerikke svært at genkende, når hunden er der. Og analogienkan drives videre: når vi ser en sund og stærk hund, er-kender vi det uden de helt store problemer. Og det er jodet det drejer sig om her: kan vi identificere, og helst og-så kvantificere kvalitetsundervisning? Ja, svarer jeg, til envis grad. Og videre: Det er arbejdet med at identificere ogkvantificere kvalitet, der kan betegnes som ‘kvalitetsar-bejde’, eller sågar kvalitetsstyring.

Vi har jo en del af den slags. Veletableret og genereltaccepteret. Tænk bare på karaktergivning, eller på eksa-men. Tænk på censorinstitutionen. Tænk på de kursus-evalueringer, der er meget almindeligt brugt på universi-teterne. OK, måske ikke altsammen generelt accepteret, iden forstand at der ikke er behov for overvejelser om formog brug, men ihvertfald velkendte instrumenter, som måopfattes som led i et kvalitetssikringssystem.

I KUs selvevaluering er al den slags opregnet, og påen række punkter er ærligheden stor nok til at selvkritik,og ønsker om forbedringer, dukker op. Fx skriver en afarbejdsgrupperne i sin delrapport: “Vi anbefaler at vej-ledningsindsatsen kvalitetsudvikles i forhold til specia-ler og bachelorprojekter mv. Det er gruppens forslag at

Af: Kjeld Bagger Laursen,Matematisk Afdeling,

Københavns Universitet,laursen@math.ku.dk

bedring af undervisningen med metoder, der ikke resul-terer i yderligere erosion af det faglige niveau:

• Forhøj adgangskravene til matematikstudiet (mindst8.0 i gennemsnit?).

• Vig ikke bort fra princippet om, at forskningsmæssigkvalitet skal have højeste prioritet ved stillingsbesæt-telser.

• Flere klassiske forelæsninger og selvstudium undervejledning i stedet for projektbaseret undervisning afDL-typen.

Referencer

1. S. J. Ceci, W. M. Williams: ‘“How’m I doing”: Concerns aboutthe use of student ratings of instructors and courses’, Change

forsat fra side 22Magazine 09/10 1997, 12-23.

2. L. Drennan, M. Beck: ‘Teaching quality assessment scores:measuring quality or confirming hierarchy?’, online: http://w w w. q u a l i t y re s e a rc h i n t e r n a t i o n a l . c o m / p a p e r s /drennanpmv6.pdf

3. A. G. Greenwald, G. M. Gillmore: ‘Grading leniency is a re-movable contaminant of student ratings’, American Psycholo-gist 52 (1997), 1209-1217.

4. D. S. Hamermesh, A. M. Parker: ‘Beaty in the classroom: In-structors’ pulchritude and putative pedagogical productivity’,to appear, Economics of Education Review.

5. D. Klahr, M. Nigram: ‘The equivalence of learning paths inearly science instruction. Effects of Direct Instruction and Disco-very Learning’, Psychological Science 15 (2004), 661-667.

24 20/04

specialeskrivning og bachelorprojekter skal knyttes tilforløb af undervisningsmæssig karakter, da vi serisolationen af vejledningen fra et fælles undervis-ningsrum som knyttet sammen med de bestå-ende problemer med afvikling af speciale-skrivning inden for fastsat tidsramme. End-videre ser vi vejledning frem til færdiggø-relse og aflevering af især specialer, men ogsåbachelorprojekter, som et område institutter-ne i fremtiden i øget grad må tage ansvarfor.” Det har tydeligvis været bekymrendefor denne gruppe at konstatere hvor usik-kert et undervisningsfelt projektvejledninger på KU, og hvor mange tilfælde af ‘spe-cialesumpere’ der findes.

Citatet taler om at ‘kvalitetsudvikle’.Åbenbart i tiltro til at sådan noget kan gø-res. Men er det en realistisk tiltro? Svaret er‘ja, hvis man *vil* udvikle’.

Vil ‘man’ det? Det afhænger selvfølge-lig af hvem man spørger. Mange, måskenavnlig i ledelsesniveauerne, vil gerne, bla.fordi de føler forventningspresset fra detomgivende samfund (politisk pres, eller ar-bejdsmarkedsbehov, såsom lærermangel).

Andre vil fordi de ikke er overbevist om at den tradi-tionelle undervisning er god nok, i den aktuelle situati-on. Et sæt særdeles slagkraftige forslag til hvordan uni-versiteter kan forbedre deres naturvidenskabs- og mate-matikundervisning blev således for nogle måneder sidenpræsenteret i Science (nr. 304, 2004, pp. 521ff), under over-skriften Scientific Teaching, et begreb som anbefaler at‘gå til undervisningen med samme stringens som man ibedste fald bedriver forskning’. Artiklen indeholder etvæld af konkrete henvisninger til aspekter som ‘problem-løsning i grupper under forelæsninger’, ‘problembaseretlæring’, ‘interaktiv computerbaseret læring’ (se:www.sciencemag.org/cgi/content/full/304/5670/521/).

Atter andre vil ikke, udvikle altså. Måske fordi de ik-ke ved at man kan - eller hvordan man kan. Eller måskefordi universitetsfolk sidder i den tvetydige situation hvorforskningskrav og -ønsker konkurrerer om rådighed overdøgnets timer med undervisningens krav.

Dem der ikke vil, fordi de ikke ved noget om under-visning, bortset fra den de selv har oplevet, eller ikke vedhvordan man kan gribe tingene anderledes an, udgør enuddøende race. Det gør de fordi velfungerende adjunkt-pædagogikumforløb findes, og fordi de vil brede sig såalle - eller næsten alle - får et vist professionaliseringsløfti tidens løb. Det bliver muligvis forholdsvis beskedent,men det vil være der. Se bare på hvordan ansættelsespro-cessen nu opererer med at en ansøger skal dokumenteresin indsigt på alle universiteternes indsatsfelter, forskning,uddannelse, videndeling.

Men hvad med den anden grund til at universitetsun-dervisning ikke får helt så megen opmærksomhed, kon-kurrencen med forskningen? Kan man gøre noget her,uden at det går ud over forskningsindsatsen?

Let er det ikke, thi det døgnforlængende trick har vi joendnu ikke opfundet. Men meget af konkurrencen mel-lem de enkelte slags krav til universitetsfolks tidsforbrugkan håndteres lidt bedre gennem fornuftig ‘time manage-ment’: Grundlæggende er der jo tale om den enkelte med-

arbejders allokering af sin tid/opmærksomhed. Og herser jeg tegn på at sådan noget som NAT-KUs nye under-visningsrammer, bloksystemet, kan være til hjælp. Op-delingen af det akademiske år i fire korte blokke er påmange måder ganske revolutionerende (og det er ikkeentydigt positive signaler der kommer frem, her hvor dethele er nyt og eksperimenterende). Men de kortere ogmere intensive undervisningsforløb kan muliggøre - ja,nærmest diktere - en opdeling af undervisernes arbejds-år, sådan at visse af årets blokke *helt* kan helliges un-dervisningsindsatsen, og andre kan være rene (eller næ-sten rene) forskningsperioder. Det kan meget vel giveundervisningsindsatsen (ifm kursusafholdelse) bedre vil-kår.

Men der skal mere til. Og her vil jeg fremhæve værdi-en af at lægge større vægt på fællesskabet. At bringe un-dervisningsindsats, og -betingelser, frem i lyset øger mu-ligheden for kvalitetsløft. Som det også siges et sted i dendanske udgave af KUs selvevaluering, hvor det foreslåsat indføre “...øget brug af to-lærer-undervisning eller men-torordninger, så undervisning kunne udvikle sig til ikkekun at være et individuelt anliggende, men foregå på ba-sis af gensidigt samarbejde og sparring til indbyrdes er-faringsudveksling og inspiration.”

Mere betoning af team-aspektet af undervisning fal-der ikke særlig godt i tråd med den helt traditionelle for-ståelse af universitetsunderviserens rolle som den ind-sigtsfulde ekspert, hvis viden (ja, visdom!) studerendegerne vil have lejlighed til at få del i. Om denne traditio-nelle forståelse er for det første at sige, at den ikke funge-rer særlig hensigtsmæssigt i begyndelsen af moderneuddannelser, der har et ret broget klientel, interessemæs-sigt, perspektivmæssigt, og talentmæssigt, og hvor derhyppigt er tale om at skulle lære forholdsvis grundlæg-gende og fastlagte aspekter af fagene - og for det andet at

2520/04

denne undervisningsstil jo vinder relevans efterhåndensom den studerendes uddannelse skrider frem, i specia-le-fasen, og under ph.d.studiet, er det jo den det drejersig om.

Men hovedpointen med fællesskabet er, som sagt, atfå undervisningsdelen frem i lyset. Fordi det sandsynlig-vis vil bidrage til kvalitetsløft - og fordi det også vil bi-drage til erkendelsen af væsentligheden af den side af uni-versiternes virksomhed. Hvorfor tror jeg at ‘frem i lyset’vil bidrage til kvalitetsløft? Jo, simpelthen fordi sådan servi jo at vores forskning bliver bedre - ved at blive holdtop imod andres forskning, og ved at indgå i et samspilmed andres forskning.

At bringe undervisningen ud i et kollegielt ‘rum’ skerbare ikke af sig selv. Som konkurrent til forsknings-op-mærksomhed skal uddannelsessiden leve efter devisen‘if you can’t beat’em, join’em’. Der skal opbygges incita-mentsstrukturer, der vil noget.

Igen kunne jeg basere argumentationen på citater fraKUs selvevaluering og fra auditeringsrapporten. Men ladmig selv vælge ordene, så de står skarpere, og bedre sva-rer til hvad jeg føler for alt dette!

Incitamenterne skal grundlæggende gå ud på at etab-lere symmetri mellem forskning og undervisning i ‘værd-sættelsen’ af de to aktiviteter. Men samtidig med at jegplæderer for symmetrisering, vil jeg gerne pointere atforskningsverdenenes konkurrence-kriterier ikke må op-fattes som det eneste saliggørende her. I jo højere gradarbejdet med at bringe selve den daglige undervisnings-aktivitet ind i kollegasfæren, og dermed fremme en kol-legialitet, der er baseret på samarbejde mellem ligevær-dige, jo bedre vil undervisningen blive. Selv om det er‘peer-review’ jeg taler om, skal det ikke nødvendigvisvære det mest skånselsløst inspektionsmæssige, med detpræg af kritiserende vurdering, der kan lægges i de mestformaliserede udgaver af peer review.

Der er folk der er megte mindre ‘bløde’ på dette punktend jeg er. Og jeg må medgive at hovedpointen jo er athvis man ønsker at undervisning skal tages lige så alvor-ligt som forskningsindsats og forskningsvurdering, måman behandle det lige så alvorligt. Lee Shulman, præsi-dent for The Carnegie Foundation for the Advancementof Teaching, går ret vidt i sin argumentation for dette:”Teaching is not valued because it is not judged. The va-lue comes as a consequence of rigorous regular judge-ment amongst peers. It is not seen as hard to teach. Whileresearch grant applications have a very low acceptancerate, plans for teaching courses are almost always ac-cepted: the judgement standards are much lower. Imagi-ne what would happen if only one in five course propo-sals were accepted and you did not get any funding (orpay) unless your course proposal was accepted.”

Den slags no-nonsense vurderinger som Shulman ta-ler om kan bruges i systematiske eftersyn af bestemte ud-dannelser, fx med udefrakommende evaluatorer. Men iden daglige drift af en god matematiker-uddannelse ervi bedre stillet med roligt og åbent samarbejde, samarbej-de som tillader kollegiale råd og vurderinger uden at skul-le befrygte nedvurderinger.

Tilbage til symmetriseringen: På KU har vi forsknings-vogtning. Det var bedre om det blev erstattet af det mankunne kalde indsatsvogtning, som altså så på alle aspek-ter af medarbejdernes indsats. Og som blev udbygget ved

at forbedre de karriere- og lønmæssige udviklingsmulig-heder, gennem udvidet og systematiseret anvendelse afløntillæg for god undervisning. Hvad med at indføre be-løbsmæssig ligeværdighed mellem tillæg givet for forsk-ning og undervisning?

Jeg siger dette velvidende at det også bliver nødven-digt, på det enkelte universitet at forholde sig hvordander kan udvikles målepunkter for undervisning og ud-dannelse, der kan danne grundlag for den her nævntemeritering. Blandt mulighederne kunne man overvejesådan noget som at lave individuelle aftaler hvert år omtillæg for bestemte undervisningsopgaver: Giv merit forudvikling af nye undervisningsforløb, -former, undervis-ningsmaterialer.

Endelig kan jeg nævne at det vil have effekt på kvali-tetsarbejdet med undervisningen når universiteterne harnogle ansættelsesprocedurer der bruger en reel afprøv-ning af de undervisningsmæssige kompetencer. Det er an-søgerens undervisningskompetencer, ikke blot -erfarin-gerne, der skal dokumenteres. Tag relevante studielede-re med i den gruppe, der gennemfører ansættelsessamta-lerne (inkl. prøveundervisning), og som efterfølgenderådgiver ledelsen.

Som jeg sagde før, kan jeg se visse tegn på et beske-dent professionaliseringsløft i gang allerede. Didaktiskviden er under udbredelse, også på universiteterne. Derer ikke sket nogen revolution - endnu da. Men bevidst-hedsniveauet er højere, og vidensniveauet er også på vejop. Mange matematikere ser fortsat på fagdidaktikeremed betydelig mistro, men de ubønhørlige - og fuldt for-ståelige - krav til en professionel tilgang til faget, for os tilmatematik, der hersker når det drejer sig om matematiskforskning, vil brede sig til forståelsen af hvad et forsvar-ligt udgangspunkt for undervisning bør være: man skalvide hvad man gør, når man uddanner nye matematike-re, statistikere, brugere af matematik, man skal vide hvor-for man gør det, og man skal vide hvordan man gør det.Det kræver en vis indsigt - altså en vis professionalisme.

“Log-a-rhythms”

26 20/04

Boganmeldelse MatematikerNytved Mikael Rørdam

Jessica Carter er 1. februar ansatsom adjunkt ved Institut for Mate-matik og Datalogi, Syddansk Uni-versitet, Odense.Jessica er uddannet Cand. Scient. imatematik fra Odense Universitet(1994) og ph.d. (2002) i matematik-kens filosofi også fra SyddanskUniversitet, men finansieret afDansk Center for Naturvidenskabs-didaktik. Hendes forskning er især

indenfor matematikkens filosofi, mere specifikt handlerden om at give en (filosofisk) beskrivelse af matematik-kens objekter især på baggrund af studier af den moder-ne matematiks praksis.

Fritiden tilbringer Jessica helst med familien og gernei haven. Om sommeren nyder hun at være oppe i famili-ens ødegård hvor det er muligt at finde bær og svampeog studere små otte-benede dyr.

Jesper Lützen er pr 1. januar ansatsom professor ved Institut for Ma-tematiske Fag ved KøbenhavnsUniversitet.

Jesper er Cand. Scient i matema-tik og fysik fra Aarhus Universitet(1976), Licentiat (1980) sammestedsog Dr. Scient fra Københavns Uni-versitet (1990). Efter forskellige an-sættelser i Århus (1976-1980) ogOdense (1980-1985) har han været

ansat ved KU siden 1985. Han har været på længereva-rende studie- og forskningsophold ved Utrecht Universi-ty, Yale University, University of Toronto, UCSB, MIT ogCaltech samt i Paris.

Jesper skrev speciale i matematikkens historie ved Vi-denskabshistorisk Institut (AU) og har siden da forsket idette emne, og på det seneste især fysikkens historie. Hansforskning omhandler især analysens historie efter 1750men også algebraens, geometriens og mekanikkens hi-storie. Mange af hans forskningsresultater er opsumme-ret i tre bøger om distributionsteoriens forhistorie, JosephLiouville og Heinrich Hertz’s mekanik. Den sidstnævnteudkommer her til foråret. Jesper er medlem af Videnska-bernes Selskab og formand for Videnskabshistorisk Sel-skab.

Om sommeren tilbringer han gerne sin tid på det go-de skib Strix IV af Vedbæk.

Henrik Schlichtkrull blev ansat pr1 januar som professor i “aspekteraf moderne geometri” ved Institutfor Matematiske Fag ved Køben-havns Universitet.

Henrik er Cand. Scient. i mate-matik og fysik fra KU (1980) og Lic.Scient. fra samme sted (1983). Hanvar post-doc ved KU (1983-1985),derefter lektor ved KVL (1985-1996),lektor ved KU (1996-2004) Henrik

har publiceret cirka 40 arbejder, alle sammen indenfor re-præsentationsteori og harmonisk analyse relateret til Liegrupper. Navnlig har han arbejdet med harmonisk ana-lyse på symmetriske rum, hvor han har haft (og stadighar) et længerevarende samarbejde med Erik van den Ban,Utrecht. Omtrent halvdelen af de 40 arbejder er fællesarbejde med van den Ban, herunder en fortløbende ræk-ke af artikler (i Annals of Math, Acta Math og Inventio-nes Math), hvor de bestemmer Plancherel dekompositio-nen af alle reduktive symmetriske rum.

Henrik Schlichtkrull er leder af forskerskolen ”Mate-matik og Anvendelser”.

Martin Jacobsen er fra 1. novem-ber 2004 ansat som professor i sand-synlighedsregning ved Afdeling forAnvendt Matematik og Statistik,Institut for Matematiske Fag, Kø-benhavns Universitet.

Martin er Cand. Stat. fra Køben-havns Universitet 1968 og blev ansatsom amanuensis ved det daværendeInstitut for Matematisk Statistik 1969,siden som lektor og docent, kun af-

brudt af midlertidige ansættelser ved universiteterne i Aar-hus og Göteborg samt Imperial College, London. Han harsom gæsteforsker og -forelæser været tilknyttet en rækkeuniversiteter i Europa, USA, Kina og Australien.

Martins forskningsområde er teorien for stokastiskeprocesser, specielt Markovprocesser og herunder endnumere specielt, diffusionsprocesser og stykkevis determi-nistiske Markovprocesser.

George A Elliott er d. 1. november2004 udnævt til adjungeret profes-sor ved Matematisk Institut, Købe-havns Universitet. Udnævnelsengælder indtil videre for 5 år. GeorgeElliott var lektor ved KøbenhavnsUniversitet fra 1972 indtil han i 2001blev tildelt en Canadian ResearchChair in Mathematics ved Univer-sity of Toronto.

2720/04

Boganmeldelse Aftermathved Mogens Esrom Larsen

� � � � � � � �� � � � � � � �

� � " $ & ' ) & & ' + & ) - & - 0 ' " 4 & - & ' 7 9 ) ; = & ' > ? " - B+ & D " - 9 H " = 4 I J J = & K > M O 4 & - & ' K > Q S S U V W X K - & )" = = & [ � " $ & ' & ' = _ K - " 0 b c c & f + I & 4 [ I = K & ) > [ [ � " $ & ) h j I D D & ' " 0 c ' _ ; & ' k & ' - 9 = = 9 & = _ K - " 04 ' [ c = & D ' I � � & ) l [ ) M D [ ' & V� o p p s t u v w t x y s tz 9 $ & - & - ) " - I ' = 9 - - " = > } � � V � " ) K I D D & )" 0 " = = & c ' _ ; & ' > �� � > + $ [ ' � [ � & ' 9 ) � c � ' � & K� ' 9 D 9 K ; & > S � � � � � } > [ � � � � } V

� 9 K > " - ' & K I = - " - & - " = - 9 � & ' = 9 D & � � � V� & ) c & K ; ' & $ ) & K I D c & - & ) & K D & � � � V j �" & '� � � � � � � � � � � ¡ � > + $ [ ' � � & ' K I D D & ) " 0� & = & � 9 � � > K [ D + " ' � � } > [ ¡ � & ' K I D D & )" 0 � & = & � 9 � � � � > K [ D + " ' � � � � } > " = - K �"

� � � ©� ª � « � ¬ ® � ¬ � ¯ ° ��� } � �} ©� ª � « � ¬ ® � ¬ � ¯ ° �

��¡ � � ©� ª � « � � � ¬ ® � ¬ � � � ¯ ° �

�� ² } � � ³� " ² � ´ } ³ � ² � ´ } � � ³ > & '

¡ � � ©� ª � « � µ � ¬ ® � ¬ � ¯ ° �� �} ©� ª � « � µ � ¬ ® � ¬ � ¯ ° �

¶ �� � �} � � · � � �

� $ K � � � � � � � 0 [ ' } � Q > [ � " � � � � � > 0 _ = & '� �" K - " ) � & ) V¸ s ¹ º » t y ¼ s t¾ H 9 ' ; = & ' + " ' 0 [ ' K ; & = = 9 & ' " � 9 & ' > [ 9 ) & ) = 9 B & ' 9 ) � & ) 9 & ) " 0 � & " ) � ' & V ¿ X = = & K - " ) & ) - & ' ) &- 9 = + $ & ' - � " ' " 0 H 9 ' ; = & ' K ; X ' & ' + 9 ) " ) � & ) 9 & -� I ) ; - > $ 9 ; " ) ; " = � & h 0 [ H I K V k

� 9 K > " - � & ¾ 0 [ H 9 = 9 & ' � �" & ) ' & - = 9 ) 9 & V4 �" K - " ) � & ) 0 _ = & ' " 0 l & $ " K K X - ) 9 ) > 9 � & - � & ¾0 [ H 9 � & = & ' K 9 � & ' ) & 9 � & ) - ' & ; " ) - > � & ' + " ' H 9 ' ; B= & ' ) & K H & ) - ' & K [ D $ 9 ) ; & = K � 9 � K & ' > 9 0 [ ' + [ = � & ) &Ä � Å Ä � > Ä � Å Ä Æ > [ Ä Æ Å Ä � V

Ç È s t » É ¼ u Ê s Êb - Ë & ' & ) Ì I ' � " ) ) & - " 0 ¾ = 9 ) 9 & K - � ; ; & ' D & �& - 0 X = = & K & ) � & � I ) ; - V � 9 K > " - � & ' + _ Î K - & ' - X = B= & = 9 D " ) & � 9 K Î I ) ; - & Ë B & ' 9 & ) � = " ) VÏ & $ 9 K 0 ' " Ñ " ) � � � [ I + & ' - � > � + 9 [ j - " - & Ó ) 9 B$ & ' K 9 - � V O ) � - - 9 = + $ & ' - Ë ¾ H 9 ' ; = & ' D & � ' " - 9 [ B) " = - H & ) - ' I D [ ' " - 9 [ ) " = ' " � 9 I K > K �" � & 9 ) � & B+ [ = � & ' Ë B & - K ¾ & ) � � I ) ; - & ' > [ K �" K D �" > " - 9 ) B & ) " 0 � & D 9 ) � & + [ = � & ' � I ) ; - & ' 0 ' " � & - [ " ) � ' &" ' D & � �" Ë B & - V � & - & ' ) I 9 ; ; & D I = 9 - 0 [ ' ¾ Ë B& ' " - + " $ & - 9 = ; ) � - - & - � & K " D D & ¾ H 9 ' ; = & ' V f + 99 K �" 0 " = � ; I ) ) & ; ) I � & � I ) ; - & - 0 ' " + $ & ' - Ë 0 [ ' Bc 9 ) � & K D & � + $ & ' " 0 H 9 ' ; = & ' ) & K ¾ H & ) - ' & D & � & -K - � ; ; & " 0 " ' D & ) & 0 - & ' 0 I = - " 0 H 9 ' ; = & ) K ' " � 9 I K V� & - $ 9 = = & 9 $ & & ) ' " 0 > � & ' $ 9 � & K 9 ; ; & " - ; I ) ) &

Løsninger

28 20/04

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

! # % & ' ) +

, � � � 0 2 � � � � 0 5 7 � 9 � � : 5 � � � � � 5 � 0 � : ? � :A � : C � � � � � � � � � : F � : 0 J : 0 � : � � � �

L � � 2 � � � � 0 � � � � 5 7 � 9 � � : 5 � � � � � 5 � 0 � : ? F � :A � : C � � � � � 0 0 J : 0 � � : � � � �

P ' R # T U V � 0 � : � Y C � 0 � \� � ] C C � � � C Y � � � C �5 7 � 9 � � : �

, � C � � 2 : ] 9 � _ Y : � � � 5 5 � \� 5 7 � 9 � � � d� e � ] C C � � � C Y � � � C � 5 7 � 9 � � : 5 � � � � � 5 � 0 � :

? Y : � � � 0 � � � � � C � ] � Y � � V � 0 � : � � 0 � 0 � � � 0 d� : � � � ] C 0 � � 0 Y : � � � 0 � \� � � � � � 0 � � : � e _ Y : � � � 5 5 � e J � 9 � : � � 0 � 0 F � � : 0 � � � 5 � � 0 j � d � :� � � � F Y � � 0 � � 0 5 � C � 5 � � 0 � � � 5 � � 0 � m �

V � 5 � C � 5 � � � � � � 5 � � 0 � : � d � : 5 7 � 9 � � : � �5 � � C Y � 0 � � 0 2 : � � � � �

p � 0 � 9 � � 5 � � 9 � � 0 5 7 � 9 � � � j r d � C C � F � :C Y � 0 � � 0 2 : � � � � � u \� F � : j � 0 : � � � ] � C 0 � w � \� � � � � � 0 y y z { w y y | ? e Y : � � � � z r j � V �

j � : C Y 5 � C 0 Y 9 e ] � C 0 � Y � � � z � y y z { w y y � :C Y � 0 � � ] � : 0 � � : 0 � � � � 0

� � w � � � w � y y z { w y y y z r j � | ?

Y 9 \� � : � � 0 C Y � � � C � F � � 0 � : � e 5 7 � 9 � � � j �� � y y y � { w y y � ? { � � w � � � 5 7 � 9 � � � d � � � :

F � : j Y 5 7 9 0 � � � � 5 7 � 9 � � �

V � 0 � : � � 0 � 0 � � � � � 0 � � F � � : 5 7 � 9 � � 5 � � � � �C Y � 0 � � 0 � 2 : � � � � ? F � : Y 5 C : � � � � Y 9 e J � 9 � � � 9� : � � F � � : 5 7 � 9 � � 5 � � � � � 5 � 0 � : ? � � � � F Y � � 0� � � � ] C C � 0 C Y � � � C 5 7 � 9 � � 5 � � Y 5 C : � � � �Y 9 2 � � � � 0 � � 5 � : A � : C � � � � � � 5 � � 0 J : 0 � : � � � �

� # � & ) ' % # % � �

, � � � 0 2 � � � � 0 � � 5 7 � 9 � � � e 5 � : � � � � � �

] � C 0 � : � � � � � � � � � 0 � � � � � � : � � � � � : � � � � � � � C � � �

V � : C ] � � � F � � � 0 \� � 0 � 0 ] 5 � � � C � � � �

  ¡ T T ' %

¢ � � £ r ¤ � ¥ � C � � � : � 0 C : � � : Y � ] C 0 � e £� � � � � � 9 � 5 7 � 9 � � : � j ¦ § ¨ ¨ ¨ § j � � ¥ � C � � © �© ¦ ª ¨ ¨ ¨ ª © � C � � � � � � � 9 � � 0 � � 9 ] � � � : C � � �

F � � F � � : � � � 5 7 � 9 � � � : 7 9 0 � ¬ © ­ ® j ­ �

¯ � � � � 0 e Y : � C Y 5 5 � � � 0 � � C � � C � � � � � � �e 7 : : � � � � £ � 9 � � 0 � � 9 � � � µ ] � C 0 � ] � � � : C � � : ¶

¢ � � Y 2 : ] 9 � � � � : 7 A � � 2 � 0 � 9 � � � � £ ¸ C � � �L � 9 � � � � � � � � � 0 5 � : � � � � \� 0 \� � 0 � � � 5 � � 9 � 0

� � 9 � � £ ¸ C � � � : e Y : � � � � 9 5 7 � 9 � � � e e 7 : : �� � � £ » ? � 9 � � 0 � � 9 � ] � � � : C � � : � � : � � � � ¸

µ ] � C 0 � � � � � : � µ �

½ � � � � 0 � : � 0 � � � ] C 0 � Y � 2 � � � � V � 0 � : C � � : 0 �� 0 \� 0 � � � � � � : : � 9 0 � 9 e Y : £ � ? � \� � � � Y � � 0 � 9 � � � 0 � � � � : : � 9 0 � 9 e Y : £ � ¿ { ? �

2920/04

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! " � � & � " � & � � * + � ,

- � � � - * + � , / � ! � / � � �1 � � " � � * + 4 ,

� * + 4 ,� � � � * + 4 ,� � � � � � " � � & 7 9 "

: � � � � � � � � � � > � ?

� � � @ � B � � * + � ,� ! " 7 � � * + � , E � � � E * + � , � � � �

� � : � � � � � � � � � � > ! � / � 9 7 � � @ � B * + 4 ,� ?

J L� � � O @ � Q � � � � � � � * + � ,- � � � -

* + � , ! " � 7 & � L� � � V � W X Y � � � � � � � � � � � � � � > ! � � � 9 � " � 1 � � " � � � > � � � W X � " � � & 7 9 " �

: � � � � � � � � � � * + � ,� � � � * + � ,� E � � � E * + � ,� � � � * + � ,� ? ] > 9 � � : � & 9 ! � � � � & � " � 7 � � � > ` 7 " � � � & � W

X � V � W X Y c X ! " � 7 & � L� � � h � � � � c X ?

� � 9 � � � � � � & ! 1 � & : � � � � � � � � � � � � � � � 7 � � � �� 9 � l : � � & � > � � > � 7 � � � � � � � � : 7 & � & � & o � � � & 1 : �

7 9 " & 9 � � & � � � > ! � � & / � � � & & � 7 q r � � � � � � q �� � � � � � � � � � > ! � � � 9 � " � 1 � � " � � � > q c X � " � � & �7 9 " � : � � � � � � � � � � ?

J � & � � 1 7 9 " y � O X E z E � � � E q c X Q ! " y 4 �y � O � Q > ! � � � X E z E � � � E q c X ! " 7 � � � � y |

* + 4 ,� y |4 ? } � � & / � � � & � : � � & 9 � � : � / � � q

� ! ! � � 9 � � & � � � � � � & � � ! ! � � 9 � � & 1 � � " � � 9 � � � �/ ! 7 � & 9 � � � > y 4 � � � � � ! " � L� & 9 7 / ` � � � � : � � & � &

* + 4 , ? ] 7 & � L� � � � � � | � �4 � � * + 4 , ?

� � � � � � � � �� � 1 � � " � � � 9 � � � / ! 7 � � � & � 7 7 � � � � ! " X � � 1 &

1 9 � � � 7 � � � � 9 � � � > � � / � � � � � � � 7 9 " � � 7 1 � � " � �9 � ? � 9 � � & � 9 � � � / ! 7 � � � � 7 7 � � � & 9 ! � � 7 � & � 7 9

9 � & � � � � 7 7 � & � E X " ?

} � & � � � 7 � � & � & � 9 � � � / ! 7 � � � � 7 7 � & � 7 � > > ! � 1 � ��� $ / � ! � h ! " q � � � ! � 9 & 9 � � / � 7 � & � 7 1 � � � �h � z | ?

� � & � � " & � � � � � � & � & � � & 9 ! � � 7 & & � 7 � � B " � E X / � ! � � � � : 7 9 " � ? � � 7 " q ! " h � L� 7 � � � � � &

z | � � � & ( hz | � �

� � h c Xz | V X Y

J L� � � �� � h

z | c )� z |

/ � ! � � � ) � � ! " 1 � � � � � � & � � � � 1 9 � � � 7 �� � � � 9 � � � > � & � 7 9 � � � 1 7 9 " & � 7 7 � � �

h c )z | E h + Xz | E h + z

z | E � � � E h + �z |

/ � ! � � � � � � � � �� � � � � > > ! � 1 � � � - 4� $ � � 7 " & 1 � �� � � � � � �� ! " � 0� ) ? ] > V X Y > ` 7 " � � � & � �h � z | W � ! " � � � o � : " / � � � > � � � 1 � � 7 � & � &� � � � " 9 � � � & � 7 & 9 7 / ` � � � � ?

J 7 : & & � 7 9 " ! o � � � � � � � � � & / � 9 � � � � > ! � � & / � 7 && � 7 � V : 7 9 " � � 7 7 � � 7 9 " � Y " � 7 � � � � & � 7 7 � o � ` � � �

� � � � X E � � � E � W X & 9 7 / ` � � � 2 � L� " � 7 � � � � � &� � 1 1 � o � ` � � � � � � � 34� � � � E X E � � � E � W X ! "� � � 1 � � > � � " � � � 9 � 7 7 � � � & 9 ! � � 7 � & � 7 9 � E X " ?

  ¡ ¢ 7 9 £ ¤ ¥ ¢ �

¦ � § ¨ � � � © ª � � § � ª � � � � §

30 20/04

� � � �� � � � � � � � � � � � � � " � $

% % % % % & & &( % ) * + & & &( ( % * � & & &( ( ( % + & & &( ( ( ( % & & &

� � � � � � � � " " 1 � 2 4 5 � 7 9 ; < � 4 > < 2 7 � ? @ � � % B� C E � � � � � � " � � � " ? � I K " � � � O � B � @ � � C E � � � � " " � � � � " � � " " � � @ � � � � � � � @ K V

� � � " � � " � � � " % B � C E � � I � � � � � @ � � " � O �� � � � � � � � � � � " � $

[ [[\ [ \[] [� [][ [[ \ [[ \ [ [� [\ � [] � [\ � [ �[� [] � [� � [� � [] � [�[� [ \ [[ � � [[ � [[ � � [ \ [ �

& & & & & & & && & & & & & & &

^ B � � B � � � � I � " � � " � [] b [[ \ b [] � b B B B � � " * B� C E � � � " " � � @ � � � � @ � � � [[ b [ \ b [] b B B B I � * b � b % ( b B B B b � � � I � � � " � � * B O � � � � � � � � �

� � � " � B

� � � b � � ? @ � � C E � � g � � � �� � � � � � � " � � " � � �� � � I � " � � � � C E � � " � � � @ � " � � � B

j � 4 � k k 2 4 l m � I I � " � � � � � I � " � � " � � ? @ �

� C E � � K p � � � � " g � � � � I � @ O � � " s " � � � K I � � � � " � � " I � � � � I � " � C � � � K � � " � � � � �

@ O � � � " � K � � �� � " � � C E � � B

w > 4 7 � x k k 9

� � � � � " � � � � � � " � K z � " K � � � � p K � 1 " K I � � " � � K { � % b

� �� } � � �

� ~ � � " � ~ � � � � & � � � � { � % � &~ � � " � & � � { � " � & � % � ~ � � [ � " � & �

� 7 4 ( < < >

� @ � � � * � � b � � ( � % � ) � & & & � � " � C � � � � � � �" � � � � � @ � � � � � � � � � b � � � � � @ � � � � b � � O � "� K " @ � � � " � $

+� � } �

* �� � � * � � * [ � & & & � * � � / 0

1 � k 3 7 � 5 9 > k �

^ � " � � � � � � � K " � � � " � p K � 1 " K I � � I � � � �� � � � � I � ? C E � � � � � � � K � 6 � � � " � % b � �� � �

� � � � � � � 8 � p �� � � � � 8 b ? @ K 8 � ( �

� 9 � � � 2 7 � 9 ; <

� � � b � � � � � " � " � � " � � ? � ? � � � � � � � � � � C � " � " � �

� � � � � � ) � \ � \ � ) � \ � \ � ) � \ � \� ) +

  ¡ ¢ 7 9 £ ¤ ¥ ¢ �

¦ � § ¨ � � � © ª � � § � ª � � � � §

3120/04

Gallileo Gallilei (1564-1642)

Johannes Kepler (1571-1630)

Albert Einstein (1879-1955)

Niels Bohr (1885 - 1962 )

32 20/04

Aerial view of the CERN site showing the path of the 27kilometer tunnel to house the LHC collider.