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Ministério de EducaçãoUniversidade Tecnológica Federal do ParanáUnidade de CuritibaGerência de Ensino e PesquisaDepartamento Acadêmico de Eletrônica

EL51A Matemática Aplicada

MA11Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Telecomunicações

01 UNIDADE CURRICULAR: MATEMÁTICA APLICADA PROFA. JAMEA CRISTINA

INTEGRAIS

O Método da Integração Tabular:

Para evitar o uso trabalhoso da integração por partes repetidas vezes, usa-se a integração tabular.

Exemplo:

Calcule a integral da seguinte função:

Fazemos e .

f(x) e suas derivadas g(x) e suas integrais

x2 ex

2x ex

2 ex

0 ex

Combinamos então o produto das funções ligadas pelas setas de acordo com os sinais de operação

acima delas e obtemos:

Compare este resultado com o obtido na aula passada, usando o método convencional de

integração por partes.

.......................................................................................................................................................

OBS: Escolha f(x) aquela função a qual derivada repetidas vezes chega a zerar.

Exemplo 2:

1

(+)

(-)

(+)

2

Calcule a integral da seguinte função:

Fazemos e .

f(x) e suas derivadas g(x) e suas integrais

x3 senx

3x2 -cosx

6x -senx

6 cosx

0 senx

.......................................................................................................................................................

Exemplo 3: uso especial da Integração por Partes.

Calcule a integral da seguinte função

Solução: Para resolver esta integral fazemos:

e .

Se integrarmos esta equação dos dois lados temos:

Fazemos integração por partes de novo:

e .

Se integrarmos esta equação dos dois lados temos:

2

(-)

(+)

(-)

(+)

3

A integral desconhecida aparece dos dois lados. Adicionamos então a integral aos dois lados.

Dividindo por dois o lado direito, temos:

....................................................................................................................................................

A INTEGRAL DEFINIDA

A Área sob uma Curva (como uma integral definida):

Se for não negativa e integrável em um intervalo fechado [a,b], então a área sob

esta curva desde a até b será a integral de f no intervalo de a até b.

Exemplo: Calcule a área sob a curva , no intervalo .

3

4

Solução:

....................................................................................................................................................

Propriedades das Integrais Definidas:

1) Ordem de Integração:

2) Zero:

3) Multiplicação por Constante:

4) Soma e Subtração:

5) Aditividade:

LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMERO 5

1) Calcule as seguintes integrais pelo método mais adequado.

a) b)

y

x

5

51

1

4

5

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

..................................................................................................................................................

LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMERO 6

1) Calcule as seguintes integrais definidas.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i)

2. Determine a área total da região entre a curva e o eixo x.

a) para

b) para ....................................................................................................................................................

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

- Thomas, G. B; Finney, R. L.; Weir, M. D.; Giordano, F. R. Cálculo. Vol. 1. 10a edição.

São Paulo. Pearson Education do Brasil. 2006. 660 p.

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