MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2019/2020

15 November 2019

Apa yang Telah Dipelajaripada Kuliah Sebelumnya

Fungsi logaritma natural:

yang menyatakan luas daerah dibawah kurva y = 1/t, 1 ≤ t ≤ x.

11/20/2013

x

txdtx

1

1 ,0,:ln

1 x

y=1/t

t

y

2(c) Hendra Gunawan

Turunan dari Fungsi Invers

Jika y = f(x) dan f’(x) ≠ 0, maka

Dalam notasi Leibniz:

11/20/2013

.1

.)('

1)()'( 1

dxdydy

dx

xfyf

3(c) Hendra Gunawan

Latihan

1. Hitung (f -1)’(2) apabila f(x) = 3x5 + x – 2.

2. Buktikan bahwa y = f(x) = ln x mempunyaiinvers, sebutlah y = g(x). Kemudian buktikanbahwa g’(x) = g(x).

11/20/2013 4(c) Hendra Gunawan

Sasaran Kuliah Hari Ini6.3 Fungsi Eksponen Natural

- Menentukan turunan dari fungsi eksponennatural dan variannya.

- Menentukan integral tak tentu dari eu danvariannya.

6.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum

- Menentukan turunan dan integral dari fungsieksponen umum.

- Menentukan turunan dari fungsi logaritmaumum.11/20/2013 5(c) Hendra Gunawan

6.3 FUNGSI EKSPONEN NATURALMA1101 MATEMATIKA 1A

11/22/2013

- Menentukan turunan dari fungsi eksponennatural dan variannya.- Menentukan integral tak tentu dari eu danvariannya.

6(c) Hendra Gunawan

Fungsi Eksponen Natural (exp)

Dari soal latihan terakhir, fungsiy = ln x monoton naik, sehinggamempunyai invers.

Definisi: x = exp y j.h.j. y = ln x.

Sifat: exp(ln x) = x utk tiap x > 0

ln(exp y) = y utk tiap y є R.

11/22/2013

1 x

y

7(c) Hendra Gunawan

Bilangan e

Definisi: Bilangan e adalah bilangan real positifyang memenuhi ln e = 1.

Catatan. e ≈ 2,718281828459045…

11/22/2013

1 e

y=1/t

t

y

.11

1 e

tdt

8(c) Hendra Gunawan

Fungsi exp adalah fungsi eksponen!

Perhatikan bahwa untuk tiap r є Q berlaku:

Ini menunjukkan bahwa fungsi exp merupakanfungsi eksponen, dengan eksponen e.

Catatan. Fungsi eksponen berbeda dengan fungsipangkat. Pada fungsi pangkat, yang merupakanpeubah adalah bilangan yang dipangkatkan. Padafungsi eksponen, yang merupakan peubah adalahpangkatnya.11/22/2013

reree rr exp)lnexp()exp(ln

9(c) Hendra Gunawan

Jadi …

Juga:

Bagaimana membuktikan sifat terakhir di atas?

[Gunakan sifat-sifat logaritma!]

11/22/2013

.,)ln(

0,ln

yye

xxe

y

x

.baba eee

10(c) Hendra Gunawan

Turunan dari y = ex

Dari x = ln y, kita peroleh

sehingga

Jadi

11/22/2013

.1

ydy

dx

1.

dxdy

dyy

dx

.)( xx eedx

d

11(c) Hendra Gunawan

Integral Tak Tentu dari y = ex

Dari hasil sebelumnya, kita peroleh

11/22/2013

.Cedxe xx

12(c) Hendra Gunawan

Contoh

1. Tentukan dy/dx bila

Jawab: Dengan Aturan Rantai, kita peroleh

11/22/2013

.2xey

..2)()(222 2 xxx exx

dx

dee

dx

d

dx

dy

13(c) Hendra Gunawan

Contoh

2. Tentukan

Jawab: Misalkan u = x2. Maka, du = 2x.dx, sehingga

11/22/2013

.2

dxxex

.22

21

21

21 CeCeduedxxe xuux

14(c) Hendra Gunawan

Latihan

1. Tentukan dy/dx bila

2. Tentukan

3. Hitunglah

4. Gambar grafik fungsi y = xe-x, x ≥ 0.

11/22/2013

.2xxey

.dxx

e x

1

0

2 .dxe x

15(c) Hendra Gunawan

6.4 FUNGSI EKSPONEN DANLOGARITMA UMUM

MA1101 MATEMATIKA 1A

11/22/2013

- Menentukan turunan dan integral dari fungsieksponen umum.- Menentukan turunan dari fungsi logaritmaumum.

16(c) Hendra Gunawan

Fungsi Eksponen ax

Jika a > 0 dan r rasional, maka

Definisi: Untuk a > 0, x є R, kita definisikan

Catatan: Jika a = e, maka ax = ex.ln e = ex. [konsisten]

11/22/2013

.)lnexp()exp(ln lnarrr earaa

.: lnaxx ea

17(c) Hendra Gunawan

Sifat-Sifat Fungsi Eksponen

11/22/2013

x

x

b

ax

ba

xxx

xyyx

yxyx

yxyx

baab

aa

aaa

aaa

)(

.)(

)(

.

18(c) Hendra Gunawan

Teorema

11/22/2013

.1,ln

.ln)(

aCa

adxa

aaadx

d

xx

xx

19(c) Hendra Gunawan

Contoh

1. Tentukan dy/dx jika

Jawab:

2. Tentukan

Jawab:

11/22/2013

.2

2ln2.2ln2)2(

xx

dx

d

dx

d

dx

dy xxx

.2 xy

.532

dxx x

20(c) Hendra Gunawan

Fungsi Logaritma Umum loga x

Definisi: Misal a > 0, a ≠ 1. Kita definisikan

Catat jika a = e, maka loga x = ln x.

11/22/2013

.log y

a axxy

xy ln xey

xy alog xay

IN

VER

SI

21(c) Hendra Gunawan

Catatan

Jika y = loga x, maka x = ay, sehingga

ln x = ln ay = y ln a.

Karena itu,

sehingga

Jadi

11/22/2013

.ln

lnlog

.ln

ln

a

xx

a

xy

a

.ln

1log

axx

dx

da

22(c) Hendra Gunawan

Contoh

Tentukan dy/dx jika

Jawab: Misalkan u = x2 + 1. Maka y = log10 u, sehingga …

11/22/2013

).1(log 2

10 xy

23(c) Hendra Gunawan

Latihan

1. Tentukan

2. Hitunglah

3. Buktikan bahwa monoton.

Tentukan inversnya.

11/22/2013

).10(2x

dx

d

1

0

3 .5 dxx

,1,1

1

a

a

ay

x

x

24(c) Hendra Gunawan