GUÍA DE EJERCICIOS Nº 16

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Y ELEMENTOS SECUNDARIOS

1. Dos triángulos isósceles que tienen bases de igual longitud, son siempre congruentes

si

A) la altura de los 2 triángulos mide lo mismo.

B) sus ángulos basales son agudos.

C) el ortocentro de cada uno, queda en el interior del triángulo.

D) sus bases son de menor medida que sus lados congruentes.

E) los ángulos basales de ambos triángulos miden lo mismo.

2. En el triángulo ABC de la figura 1, BD es bisectriz del ABC. Si CAB = 70º y

BCA = 50º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 30º

B) 50º

C) 60º

D) 70º

E) 100º

3. ¿Cuál(es) de los siguientes par(es) de triángulo(s) es (son) siempre congruente(s)?

I) II) III)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

A B

C

D x

fig. 1

60° 60°

60° 8 8

8

10

37°

10

53°

5 5

6

5

3

4

C u r s o : Matemática

Material N° 16-E

2

4. En el triángulo ABC de la figura 2, rectángulo en C,CD es transversal de gravedad. Si

CAD = 60º, entonces el ángulo BCD mide

A) 45º

B) 40º

C) 30º

D) 25º

E) 20º

5. Si en un triángulo ABC, isósceles y rectángulo en C, se traza CD AB , entonces ¿cuál

de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) BAC BCD

B) ADC BDC

C) AD DB

D) AD CA

E) AC BC

6. En el ABC de la figura 3, ED y FE son medianas, entonces es FALSO

A) FEC DBE

B) ADF FEC

C) CFE DEF

D) AEC AEB

E) FDE ECF

7. En la figura 4, los puntos A, B y D son colineales, ABC DBE, = 36º y CBE = 20º,

¿cuánto mide el DEB?

A) 20º

B) 36º

C) 64º

D) 108º

E) 116º

A B

C

D

E

fig. 4

A B D

C

fig. 2

A B

C

D

E F

fig. 3

3

8. El PQR de la figura 5, es isósceles de base PQ . Si el PRQ = 80º, PS bisectriz del

QPR y TQ es altura, entonces el valor de x es

A) 160º

B) 125º

C) 115º

D) 90º

E) 40º

9. En la figura 6, el ABC AED, si BAF = 70º y CAF = 10º, entonces el AED es

A) 10º

B) 45º

C) 55º

D) 70º

E) 80º

10. En la figura 7, ABC rectángulo en C, trazo AD bisectriz del CAB y DB // AC ,

entonces si el ángulo BEA = 110º, el ángulo CBA mide

A) 90º

B) 70º

C) 50º

D) 40º

E) 20º

11. En el triángulo ABC, de la figura 8 es rectángulo en C y ABCD , AE es bisectriz del

BAC. Si EFC = 57º, entonces la medida del ABC es

A) 24º

B) 26º

C) 28º

D) 34º

E) 57º

R

P Q

S

fig. 5

T

x

A B

E

C

D fig. 6

F

fig. 7

A C

E

B D

110°

B

E

A D

C

fig. 8

F

x

57°

4

12. En la figura 9, si el ángulo = 60º, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) y son ángulos suplementarios.

II) = 1

5

III) = – 3β

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

13. En el ABC de la figura 10, CAB = 12º y ABC = 132º. Si AD es bisectriz del EAB y

los puntos E, A y C son colineales, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es

verdadera?

A) AD = BD

B) AD = AC

C) AD = AB

D) AB = BC

E) AB = BE

14. En el ABC de la figura 11, BD y AD son bisectrices de ABC y EAC respectivamente.

Si ACB = , entonces ADB en función de es

A) 2

B) α

C) 2α

D) 90º – α

E) ninguna de las anteriores.

fig. 9

C

B A

C

fig.10

10

A

E

B

D

B

fig. 11

A E

D C

5

15. En el triángulo ABC de la figura 12, el punto I es el incentro del ABC, si DAE = 25º y

AIE = 80º, entonces la medida del ángulo EBD es

A) 20º

B) 23º

C) 30º

D) 37º

E) 53º

16. En la figura 13, si el ABC es rectángulo en C y CD es altura, ¿cuáles de las

afirmaciones siguientes nos permiten asegurar que ADC BDC?

I) ABC isósceles.

II) AD DC

III) D punto medio de AB .

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas.

17. Según la información de la figura 14, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)

verdadera(s)?

I) ACB DFE

II) EFAB

III) BCA FED

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

fig. 14

A B

C

16 10º

15

140º

D E

F

16

30º

140º

fig. 12

A E

C

D

I

B

C

A D B

fig. 13

6

18. Desde el vértice C del triángulo ABC de la figura 15, se han trazado la altura CD y la

bisectriz CE del ACB. Entonces, el DCE mide

A) 25º

B) 20º

C) 15º

D) 10º

E) 5º

19. El PQR de la figura 16, es rectángulo en P y ED es simetral del lado QR . Si

QRP = 70º, ¿cuál es la medida del EDP?

A) 70º

B) 50º

C) 30º

D) 20º

E) 10º

20. En el ΔABC de la figura 17, AB BC y el triángulo AEC es isósceles de base AC . Si

ACB = 15º y AD es bisectriz del BAE, entonces la medida del ADB es

A) 20º

B) 30º

C) 40º

D) 50º

E) 60º

21. El ABC de la figura 18, es equilátero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

siempre verdadera(s)?

I) EPD = 120º

II) P es punto medio de AB .

III) Si CE CD , entonces EP PD .

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

fig. 15

A B D

C

30° 40°

E

A C

B

E D fig. 17

C

A B

D

fig. 18

E

P

R Q

P

D

E fig. 16

7

22. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) Dos triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente, son

congruentes.

B) Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes.

C) Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos congruentes, son congruentes.

D) Si dos triángulos rectángulos tienen dos catetos congruentes, son congruentes.

E) Todas las anteriores son correctas.

23. En la figura 19, PTR SVQ. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

siempre verdadera(s)?

I) TR // VQ

II) PR // SQ

III) PT SV

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

24. En el ABC de la figura 20, PQ y ST son alturas del APB y SCB respectivamente, Si

APQ SCT, entonces la medida del x + y es

A) 40º

B) 50º

C) 60º

D) 80º

E) 100º

25. En el ABC de la figura 21, BC AD y CD DE , entonces 3 =

A) 75º

B) 60º

C) 45º

D) 30º

E) 15º

fig. 19

Q

S

V

P

T R

B

C

A

115º

E

D

fig. 21

A

fig. 20

P S C

B

T Q

80° x

y

8

26. En el ABC de la figura 22, AE y BD son alturas, M es punto medio de AB y el MDE

mide 70º. Entonces, la medida del DME es

A) 20º

B) 30º

C) 40º

D) 50º

E) 70º

27. En la figura 23, el ABC es rectángulo en C, DE es mediana, EF BE y BAC = 20º. El

valor del x es

A) 70º

B) 40º

C) 35º

D) 55º

E) 20º

28. El ABC de la figura 24, BD y AE son bisectrices de los CAB y ABC,

respectivamente. Si el ACB = , entonces el AFB es igual a

A) 90º –

B) 180º – 2

C) 90º – 2

D) 90º +2

E) 90º + 2

29. En la figura 25, se cumple que los APR BQT, y que los ángulos en D y en C son

rectos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ATD BRC

II) DFA CEB

III) GRT es isósceles

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

fig. 22

A M B

D E

C

B A

C F

D

fig. 23

E

x

fig. 25

B A

D C

G

P Q

H

F E

T R

fig. 24

A

D

C

F E

B

9

30. En la figura 26, ABCD es un rectángulo y EDC es un triángulo rectángulo en D. Se

puede determinar que el EDC CBA, si:

(1) CD es altura del EAC.

(2) ED DA

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

31. En el MNP de la figura 27, se puede afirmar que RON ROP, si:

(1) R punto medio de NP .

(2) MOP equilátero.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

32. En el triángulo PQR de la figura 28, S es punto medio de PQ . Se puede determinar que

el PQR es isósceles, si:

(1) RS PQ

(2)

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

M N O

P fig. 27

R

E

C

B A

D

fig. 26

R

55º

P

Q

S

fig. 28

10

33. En el ABC de la figura 29, se puede asegurar que ADF CEF, si:

(1) CD AB y AE BC

(2) ABC es equilátero.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

34. En el ABC de la figura 30, se tiene que ADC BEC. El DEC es equilátero, si:

(1) CAD = 30º

(2) ADC = 120º

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

35. El ABC de la figura 31 es rectángulo, si:

(1) CAB = ABC

(2) BFA = 135º; AD y BE son bisectrices de los ángulos A y B, respectivamente.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

fig. 30

A D E B

C

fig. 31

A B

E D

C

F

C

E

A B

fig. 29

D

F

11

CLAVES

DMQMA16-E

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1. E 6. D 11. A 16. D 21. C 26. C 31. D

2. E 7. C 12. E 17. A 22. D 27. C 32. D

3. B 8. C 13. C 18. E 23. E 28. D 33. C

4. C 9. B 14. A 19. B 24. E 29. E 34. B

5. D 10. C 15. A 20. E 25. C 30. B 35. B